Grafos Planares

Victor Cândido da Silva

Na teoria dos grafos, um grafo planar é um grafo que pode ser representado no plano de tal forma que suas arestas não se cruzem. Por exemplo, os dois grafos seguintes são planares:

(a) Um desenho plano de um grafo planar. (b) Um desenho que não é plano do mesmo grafo.

Teorema de Kuratowski

Segundo o Teorema de Kuratowski, um grafo planar não pode apresentar nem o grafo completo K5 nem o grafo bipartido K3,3 como subgrafos. A prova de que o K3,3 não é planar pode ser feita de duas formas: por indução e por construção, enquanto a do K5 é feita apenas por construção.

Não é possível redesenhar estes grafos sem que suas arestas se cruzem.

Representação do K5 Representação do K3,3 (um grafo completo com 5 vértices). (Um grafo bipartido completo com 6 vértices)

Região ou Face

Um grafo plano divide o plano em várias

regiões. Uma delas é chamada região

externa. Cada aresta deve fazer parte da

borda de alguma região.

Exemplo No grafo abaixo temos 6 faces.A

ultima face é o exterior do grafo que também é chamada da face infinita

FORMULA DE EULER Um fato sobre os grafos planares foi

descoberto por Euler, um matemático suiço do século XVIII, Leonhard Euler percebeu que um grafo simples, planar (desenhado na sua forma planar) e conexo divide o plano em um certo número de regiões, incluindo regiões totalmente fechadas e a região infinita exterior. Euler estabeleceu uma relação entre o número de arestas, o número de vértices e o número de regiões para tais gráficos que é dada pela fórmula:

  n – a + r = 2 Onde n é o número de vértices, a é o número de arestas e r é o número de regiões.

Considere o grafo

 No grafo o número de regiões é

r=1 ,Portanto: n = 2a = 1r = 1  

1-2+1=2De modo que a fórmula n - a + r = 2 se verifica.