Grafos

Histórico, exemplos e problemas

• Dois tipos de elementos

– Vértices ou nós

– Arestas

Definições

v1

v2v3 v4

v5 v6

• G = (V,E)

– V é um conjunto finito não-vazio de vértices

– E é um conjunto finito de arestas

– |V| é o número de vértices representado por n, se n=|V|

– |E| é o número de arestas representado por m, isto é m=|

E|

– Cada aresta e pertencente ao conjunto E será denotada

pelo par de vértices (x,y) que a forma

– Dizemos que os vértices x e y são extremos (ou

extremidades) da aresta e.

Grafo Simples

Grafo Simples

– Resumindo: um grafo é simples se entre

cada par de vértices distintos existir no

máximo uma aresta e se, além disso,

não contiver laços, ou seja existir uma

aresta que conecta um vértice a ele

mesmo.

G = (V,E)

Dois vértices x e y são ditos adjacentes ou vizinhos se existe uma aresta e unindo-os.

Os vértices u e v são ditos incidentes na aresta e, se eles são extremos de e.

Duas arestas são adjacentes se elas têm ao menos um vértice em comum.

A aresta e=(x,y) é incidente a ambos os vértices x e y.

v1

v2v3 v4

v5 v6

e1V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}

E = {(v1,v2),(v1,v3),(v1,v4),(v2,v4),(v3,v4),(v4,v5)}

Grafo simples

e1 é incidente a v4 e v5

Exemplo

Exercício

Desenhe a representação geométrica do seguinte grafo:

V = {1,2,3,4,5,6}; E ={(1,2),(1,3),(3,2),(3,6),(5,3),(5,1),(5,6),(4,6), (4,5),(6,1),(6,2),(3,4)}

• Laço– É uma aresta formada por um par de vértices

idênticos

• Arestas múltiplas ou paralelas– Quando existe mais de uma aresta entre o

mesmo par de vértices.

• Multigrafo– Um grafo que permite a existência de arestas

múltiplas

Mais definições

Exercício

Defina formalmente o grafo abaixo e identifique os conceitos de laço, aresta múltipla e multigrafo no mesmo:

Grau de um vértice

Grau de um vértice v (grau(v))é o número de arestas que incidem em v.

O grau de um vértice v também pode ser definido como o número de arestas adjacentes a v.

Obs.: Um laço conta duas vezes para o grau de um vértice

Grau(b) = 3Grau(d) = 2Grau(a) = 2

– Qualquer vértice de grau zero é um vértice isolado

– Qualquer vértice de grau 1 é um vértice terminal

– Um vértice ímpar tem um número ímpar de arestas

– Um vértice par, tem um número par de arestas

Grafo Regular (k-regular)– todos os vértices têm o mesmo grau (k)

v1

v2v4

v3

Seqüência de graus de um grafo consiste em escrever em ordem crescente o grau de todos os seus vértices

v1

v2v3 v4

v5 v6

e1

V6 é um vértice isolado, grau(v6)=0

V5 é um vértice terminal, grau(v5)=1

V2 é um vértice par, grau(v2)=2

V1 é um vértice ímpar, grau(v1)=3

Seqüência de graus = 0,1,2,2,3,4

Exercício

Identificar no grafo abaixo os vértices isolados, terminais, impares, pares e a seqüência de graus do grafo :

Reflexão

O que podemos concluir sobre a soma dos graus de um grafo?

Soma dos graus de um grafo:

O resultado é sempre par, e corresponde à formula abaixo:

A prova é inspirada no Teorema do Aperto de Mãos que diz:

Se várias pessoas se apertam a mão o número total de mãos apertadas tem que ser par. Precisamente porque duas mãos estão envolvidas em cada aperto.

Soma dos graus de um grafo:

Em grafos, cada aresta contribui duas unidades para o cômputo geral do grau dos vértices, pois cada aresta possui dois extremos. Portanto, a soma total é par e duas vezes o número de arestas do grafo.

Se o grafo for regular de grau r, a soma dos graus dos vértices também é igual a r vezes o número de vértices.

A soma dos graus de um grafo é sempre par:

Quando o grafo é regular de grau r, temos:

Corolário

Em qualquer grafo, o no de vértices com grau ímpar deve ser PAR

Prova

Para a soma ser par, o primeiro somatório tem que gerar um resultado par, portanto |Vímpar| é par.

Grafo Nulo (vazio)

Grafo cujo número de arestas é zero. Ou, grafo regular de grau zero.

Outros tipos de grafos

1

4

3

2

Nn é um grafo nulo com n vértices

Exemplo: N4

V={1,2,3,4}; E={ }.

Grafo Completo

Grafo simples em que quaisquer vértices distintos dois a dois são adjacentes. Ou, grafo regular de grau n-1, onde n=|V|.

Kn é um grafo completo com n vértices.

Exemplo: K4

Quantas arestas tem o Kn?

Veja que |E| = ( r * |v| ) / 2, onde r é o grau e v o número de vértices.

Logo |E| = (( n - 1 ) n ) / 2

Podemos provar também com análise combinatória. O número de arestas é igual ao número de combinações de n vértices dois a dois.

Cn,m = n! / ( m! (n – m)! )

Complemento de um grafo

Seja G um grafo simples com um conjunto de vértices V. G é complemento de G se

V = V e

dois vértices são adjacentes em G, se e somente se, não o são em G

Complemento de um grafo

Complemento de um grafo

Exercício:

Dê exemplos que confirmem as propriedades acima

Propriedade 1Um grafo regular tem complemento

regular

Propriedade 2 O complemento de Kn é Nn

Grafo Bipartido

Um grafo é dito ser bipartido quando seu conjunto de vértices V puder ser particionado em dois subconjuntos V1 e V2, tais que toda

aresta de G une um vértice de V1 a outro de V2.

1

4

3

2

5

6

V1

V2

Grafo BipartidoSejam os conjuntos H={h | h é um homem} e M={m | m é um mulher} e o grafo G(V,A) onde:

V = H U M A = {(v,w) | (v H e w M) ou (v M e w H) e <v foi namorado de w>}

Grafo Bipartido Completo

É um grafo bipartido em V1 e V2, sendo que cada elemento de V1 é adjacente a cada elemento de V2.

K3,3

V1

V2

Subgrafo

Um grafo Gs(Vs, As) é dito ser subgrafo de um

grafo G(V,A) quando Vs V e As A. O grafo

G2, por exemplo, é subgrafo de G1.

Denotamos por G2 G1

G1 G2

Subgrafo Próprio

Um subgrafo G2 é dito próprio, quando G2 é

subgrafo distinto de G1

V(G2) V(G1) ou A(G2) A(G1) Ou seja, G2 G1 e G2 G1, denotamos G2 G1 e dizemos que G2 é subgrafo próprio de G1

Subgrafos podem ser obtidos através da remoção de arestas e vértices.

Subgrafo Induzido

Se G2 é um subgrafo de G1 e possui toda a aresta

(v, w) de G1 tal que ambos, v e w, estejam em V2,

então G2 é o subgrafo induzido pelo subconjunto de

vértices V2.3 2

1

4 5

V1= {1,2,3,4,5}

G1

3 2

1

4

V2= {1,2,3,4}

G2

V2 induz G2

Clique

Denomina-se clique de um grafo G a um subgrafo (induzido) de G que seja completo

Grafo Rotulado

Um grafo G(V,A) é dito ser rotulado em vértices (ou arestas) quando a cada vértice (ou aresta) estiver associado um rótulo

Grafo Valorado

Um grafo  G(V,A) é dito ser valorado quando existe uma ou mais funções relacionando V e/ou A com um conjunto de números.

V = {v | v é uma cidade com aeroporto} A = {(v,w,t) | <há linha aérea ligando v a w, sendo t o tempo esperado de vôo>}

Isomorfismo de Grafos

Dois grafos G1 e G2 são isomorfos se existe

uma correspondência um a um entre os vértices de G1 e G2, com a propriedade de que o

número de arestas unindo os vértices em G1

é igual ao número de arestas unindo os vértices correspondentes em G2.

Isomorfismo de Grafos (em outras palavras)

Sejam dois grafos G1(V1,A1) e G2(V2,A2). Um

isomorfismo de G1 sobre G2 é um mapeamento

bijetivo f: V1 V2 tal que {x,y} A1 se e

somente se {f(x),f(y)} A2, para todo x,y V1.

Função: { (a2), (b 1), (c 3), (d 4), (e 6), (f 5) }

Isomorfismo de Grafos (exemplo)

f(u) = azul, f(v) = lilás, f(w) = vermelho,f(x) = verde, f(y) = amarelo, f(z) = rosa

u v w

x y z

Isomorfismo

• Qual não é isomorfo aos outros 3 ?

Isomorfismo

• Resposta

Os três primeiros grafos são isomorfos ao esqueleto de um octaedro. Qualquer um dos três têm 8 vértices, todos de grau 4. O quarto grafo tem um vértice de grau 5, tem um vértice de grau 3 e os restantes vértices de grau 4. Logo não pode ser isomorfo aos 3 primeiros grafos

Isomorfismo de Grafos

Preserva:

•Reflexividade: Todo o grafo é isomorfo a si mesmo. •Simestria: Se grafo é isomorfo a um segundo grafo então também o segundo é isomorfo ao primeiro. •Transitividade: Se um grafo é isomorfo a um segundo, que por sua vez é isomorfo a um terceiro grafo, então o o primeiro é isomorfo ao terceiro.

•Proposições válidas se G1 G2G1 e G2 têm o mesmo número de vértices•G1 e G2 têm o mesmo número de arestas•G1 e G2 têm a mesma sequência de graus

Grafos Orientados ou Dígrafos

Um dígrafo D(V,A) é um conjunto finito não vazio V de vértices, e um conjunto A de pares ordenados de elementos de V. Chamamos o conjunto A de arcos

Digrafo Simples

É um digrafo que não possui laços e os arcos são todos distintos

Mais sobre dígrafos

• Conjunto finito não vazio de vértices

• Conjunto finito não vazio de arestas– Arestas são chamadas de arcos– Um arco (v,w) passa a ser vw

D = (V,A)

V = {a,b,c,d)A = {ac,ba,bc,cb,cd,cd)

a d

b c

• Dígrafos Simples– Todos os arcos são distintos– Não existem auto-laços

• Para obter o grafo correspondente a um dígrafo– Eliminar as direções dos arcos– Não necessariamente um grafo correspondente

a um dígrafo simples é um grafo simples

Apresente um exemplo de um dígrafo simples que quando transformado em grafo, não é simples

• Os vértices de um dígrafo possuem:– Grau de entrada: número de arcos que chegam no vértice

(grauent(v))– Grau de saída: número de arcos que partem do vértice

(grausai(v))• Da mesma forma:

– Sequência de graus de entrada– Sequência de graus de saída

Proposição

grauent(vi) = grausai(vi) = | A |

• Os dígrafos são isomórficos se:– Existe um isomorfismo entre os respectivos

grafos correspondentes– Preserva a ordem dos vértices em cada arco

a d

b c

a d

b c

Os grafos abaixo não são isomorfos