CAP5: Grfico de Controle para Variveis

Base Estatstica

Utiliza-se a hiptese de normalidade para a caracterstica da qualidade (ou o teorema do Limite Central que garante uma aproximao da normalidade) Na prtica no se conhece . Logo devem ser estimados por amostras preliminares, retiradas quando o processo supostamente estava sob controle. Amostras: conjunto de observaes da caracterstica da qualidade. (em geral pequeno, assumindo valor 4, 5 ou 6). aqui representa o nmero de amostras retiradas em intervalos regulares de tempo.

Cada amostra produz uma mdia: .

o melhor estimador para

Logo no grfico de controle a Tambm produz uma amplitude :

a amplitude mdia, usada para estimar

Resultado relacionado: chamada de amplitude relativa e tem distribuio que depende do parmetro n. A mdia de W , assim,

o estimador no viesado de .

Logo no grfico de controle 3-sigma

e

ou

e Para controlar a variabilidade do processo utilizamos o grfico R (amplitude) ou S (desvio padro). O desvio padro de W .

Assim, O desvio padro de

Logo no grfico R de controle 3-sigma

e

ou

e

Grfico de Controle

Em resumo: Grfico de Controle

Grfico de Controle R Os valores de so obtidos na Tabela Anexo A.

RAxLIC

xcentralLinha

RAxLSC

2

2

RDLIC

RcentralLinha

RDLSC

3

4

Exemplo 5.1: Com base nas 25 amostras preliminares, estabelea os limites de controle dos grficos e .

Observao Amostra 1 2 3 4 5 Mdia Amplitude

1 74,030 74,002 74,019 73,992 74,008 74,010 0,038

2 73,995 73,992 74,001 74,011 74,004 74,001 0,019

3 73,988 74,024 74,021 74,005 74,002 74,008 0,036

4 74,002 73,996 73,993 74,015 74,009 74,003 0,022

5 73,992 74,007 74,015 73,989 74,014 74,003 0,026

6 74,009 73,994 73,997 73,985 73,993 73,996 0,024

7 73,995 74,006 73,994 74,000 74,005 74,000 0,012

8 73,985 74,003 73,993 74,015 73,988 73,997 0,030

9 74,008 73,995 74,009 74,005 74,004 74,004 0,014

10 73,998 74,000 73,990 74,007 73,995 73,998 0,017

11 73,994 73,998 73,994 73,995 73,990 73,994 0,008

12 74,004 74,000 74,007 74,000 73,996 74,001 0,011

13 73,983 74,002 73,998 73,997 74,012 73,998 0,029

14 74,006 73,967 73,994 74,000 73,984 73,990 0,039

15 74,012 74,014 73,998 73,999 74,007 74,006 0,016

16 74,000 73,984 74,005 73,998 73,996 73,997 0,021

17 73,994 74,012 73,986 74,005 74,007 74,001 0,026

18 74,006 74,010 74,018 74,003 74,000 74,007 0,018

19 73,984 74,002 74,003 74,005 73,997 73,998 0,021

20 74,000 74,010 74,013 74,020 74,003 74,009 0,020

21 73,988 74,001 74,009 74,005 73,996 74,000 0,021

22 74,004 73,999 73,990 74,006 74,009 74,002 0,019

23 74,010 73,989 73,990 74,009 74,014 74,002 0,025

24 74,015 74,008 73,993 74,000 74,010 74,005 0,022

25 73,982 73,984 73,995 74,017 74,013 73,998 0,035

Mdia 74,001 0,023

Para n=5 Grfico de Controle ; e Grfico de Controle R e e

Grfico de Controle

De modo semelhante se produz os limites de controle para um grfico e , utilizando o desvio padro amostral

como estimador de ,

, sendo

e

.

Os limites de controle so:

Exemplo 5.2 Para n=5 Grfico de Controle ; e

Grfico de Controle S e e

Grfico de Controle para Medidas Individuais

H ainda os grficos de controle para medidas individuais, quando . Exemplos de algumas situaes onde isto ocorre: Taxa de produo muito lenta, sendo inconveniente acumular mais de uma observao para amostra. Medidas repetidas do processo s diferem devido a erros nos instrumentos de medio. Isso ocorre em muitos processos qumicos. Em situaes onde a variabilidade do processo varia muito pouco em longos intervalos de tempo. Para construo do grfico individual recorreremos mesma forma de estimar o desvio-padro j utilizada no

grfico e R, ou seja,

Entretanto, a amplitude R estimada a partir do clculo da mdia da amplitude mvel ( ) obtida em amostras e os valores da tabela so obtidos para . Vejamos:

Exemplo 5.3: A viscosidade da tinta para avies uma importante caracterstica para a qualidade. A taxa de produo muito lenta, o que justifica a aplicao deste tipo de grfico. A seguir a viscosidade de 15 lotes da tinta

LOTE

Viscosidade RM

1 33,75

2 33,05 0,7

3 34,00 0,95

4 33,81 0,19

5 33,46 0,35

6 34,02 0,56

7 33,68 0,34

8 33,27 0,41

9 33,49 0,22

10 33,20 0,29

11 33,62 0,42

12 33,00 0,62

13 33,54 0,54

14 33,12 0,42

15 33,84 0,72

Mdia 33,52 0,48 Para n=2 temos

Grfico de Controle ; e Grfico de Controle R e e Atente para o fato de que o erro padro

para a mdia dado por

Em estudos realizados verificou-se a eficincia de R comparada a S, constatando-se que o tamanho da amostra fator preponderante nas determinaes de tal eficincia.

n Eficincia Relativa

2 1

3 0,992

4 0.975

5 0,955

6 0,93

10 0,85

Em razo de tal fato, costuma-se retirar amostras de tamanho 4, 5 e no mximo 6 usando a amplitude R. Embora mais trabalhoso, a partir do tamanho 6 conveniente adotar-se as cartas associadas ao desvio padro amostral S.

xbar.one Chart

for x

Group

Gro

up

su

mm

ary

sta

tistics

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

32

.53

3.0

33

.53

4.0

34

.5

LCL

UCL

CL

Number of groups = 15

Center = 33.52333

StdDev = 0.4261651

LCL = 32.24484

UCL = 34.80183

Number beyond limits = 0

Number violating runs = 0

Exerccio: (Consulte a bibliografia para exerccios adicionais Montgomery cap5) 1- Uma estimativa do desvio padro pode ser superestimada. Suponha que na construo de um grfico de controle o desvio padro foi superestimado em 10%. Avalie a probabilidade do erro tipo II quando h um deslocamento na mdia de 1 para 2- O fornecimento de energia eltrica em alta voltagem necessrio para ter uma potencia de 350V.Considere a seguinte amostra, cujos dados correspondem s diferenas entre a voltagem registrada e a voltagem nominal multiplicada por 10. Isto , Xi = (Voltagem observada 350)*10.

Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X1 6 10 7 8 9 12 16 7 9 15

X2 9 4 8 9 10 11 10 5 7 16

X3 10 6 10 6 7 10 8 10 8 10

X4 15 11 5 13 13 10 9 4 12 13

s 3,74166 3,30404 2,08167 2,94392 2,50000 0,95743 3,59398 2,64575 2,16025 2,64575

a) Obtenha a estimativa do desvio padro utilizando o estimador no viesado

b) Obtenha a estimativa do estimador

c) Obtenha os limites de controle do grfico e e e 3- Uma substncia qumica, cuja produo envolvia a realizao de reaes qumicas muito lentas, era produzida em uma indstria por meio de um processo descontnuo em bateladas(corridas). Uma das caractersticas da qualidade de interesse desta substncia era seu teor de pureza, o qual devia ser superior a 85%, segundo as especificaes do mercado. A indstria desejava implementar grficos de controle para o monitoramento da estabilidade do processo produtivo, em relao a essa caracterstica da qualidade. No entanto, como cada batelada da substncia demorava vrias horas para ser fabricada, a taxa de produo era muito baixa para permitir a utilizao de tamanhos amostrais superiores a 1. Em vista deste fato, a indstria decidiu utilizar os grficos de controle para medidas individuais. Estabelea os limites de controle com base na amostra:

Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Teor 92,9 94,9 89,8 95,2 92,8 92,2 88,3 90,4 89,1 90,7 93 93,9 94,8 96,4 91,4 89,2 93,7 90,8 91,8 93,1 89,9 93,4 87,2 92,2

a)Verifique se o processo est sob controle no que diz respeito a variabilidade. b)Verifique se o processo est sob controle no que diz respeito a mdia. Respostas

1)

e

. Padronizando os limites dado que , tem-se:

e

respectivamente. O que se pede

2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mdia

s 3,74166 3,30404 2,08167 2,94392 2,50000 0,95743 3,59398 2,64575 2,16025 2,64575 2,65744

R 9 7 5 7 6 2 8 6 5 6 6,10000

Xbarra 10,00 7,75 7,50 9,00 9,75 10,75 10,75 6,50 9,00 13,5 9,45000

a)

b)

c) 4.4469 e [0, 20.0202]; 4.326312 e [0, 12.12176]

3)Amplitude Mdia = 2.821739; mdia=91.9625; Grfico de Controle ; e Grfico de Controle R e e Valores de R: 2.0, 5.1, 5.4, 2.4, 0.6, 3.9, 2.1, 1.3, 1.6, 2.3, 0.9, 0.9, 1.6, 5.0, 2.2, 4.5, 2.9, 1.0, 1.3, 3.2, 3.5, 6.2, 5.0

xbar.one Chart

for y

Group

Gro

up sum

mar

y stat

istic

s

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

8590

9510

0

LCL

UCL

CL

Number of groups = 24

Center = 91.9625

StdDev = 2.501542

LCL = 84.45787

UCL = 99.46713

Number beyond limits = 0

Number violating runs = 0

5 10 15 20

02

46

810

Grfico R

Index

(abs

(xi -

xi_

))

Tabela Anexo A