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GOVERNO DO PARANÁ SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

ADRIANA STRASSACAPPA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UM RELATO DE EXPERIÊNCIA NA 6ª SÉRIE

IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL

ORIENTADORA: PROFª. DRª. REGINA LUZIA CORIO DE BURIASCO

ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA

FEVEREIRO - 2008 - LONDRINA

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ADRIANA STRASSACAPPA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: UM RELATO DE EXPERIÊNCIA NA 6ª SÉRIE

Relato de experiência apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional. Orientadora: Profª. Drª. Regina Luzia Corio de Buriasco.

UEL - LONDRINA – 2008

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .........................................................................................................3

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA...............................................................................3

3 PROPOSTA DE ENSINO.........................................................................................4

3.1 Objetivos ............................................................................................................14

3.2 Conteúdo a ser desenvolvido ..........................................................................14

3.3 Recursos didáticos ...........................................................................................14

3.4 Avaliação............................................................................................................14

4 DESENVOLVIMENTO DA PROPOSTA ................................................................15

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................32

6 REFERÊNCIAS......................................................................................................34

7 ALGUMA BIBLIOGRAFIA CONSULTADA...........................................................34

3

1 INTRODUÇÃO

O objeto de estudo de meu Plano de Trabalho no Programa de

Desenvolvimento Educacional é a Resolução de Problemas e a Investigação

Matemática, enquanto estratégias que se apresentam como possíveis alternativas

para promover a aprendizagem, de modo a possibilitar que a matemática aprendida

na escola sirva aos alunos nas necessidades do seu cotidiano, como cidadãos

construtivos, comprometidos, críticos e reflexivos.

Por conseguinte, o presente trabalho consiste no relato de uma

oficina, na qual foi utilizada a estratégia da Resolução de Problemas realizada em

uma turma de 6ª série do Ensino Fundamental de um colégio da rede pública

estadual da cidade de Londrina.

Este trabalho contém quatro partes: a fundamentação teórica, a

proposta da oficina, a descrição do desenvolvimento da oficina, algumas

considerações sobre o trabalho desenvolvido.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

De acordo com as Diretrizes Curriculares do Paraná, um dos

objetivos do ensino de Matemática é contribuir para

[...] que o estudante tenha condições de constatar regularidades matemáticas, generalizações e apropriação de linguagem adequada para descrever e interpretar fenômenos matemáticos e de outras áreas do conhecimento. (PARANÁ, 2006, p.25)

As estratégias da Resolução de Problemas e Investigação

Matemática coadunam com o objetivo acima mencionado porque oportunizam ao

aluno trabalhar em grupo, desenvolver sua autonomia, ser cooperativo, comunicar-

se, questionar, conjeturar, induzir, deduzir, fazer conexões, elaborar e validar

estratégias e procedimentos de resolução, justificar respostas, fazer uso de

materiais manipulativos e tecnológicos como calculadoras e computadores.

Utilizando a Resolução de Problemas e a Investigação Matemática o professor pode

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proporcionar aos seus alunos momentos de reflexão e refinamento de conceitos

matemáticos, pois, é pela interação dos indivíduos com o conhecimento

historicamente produzido que se dá a apropriação do mesmo.

Os problemas sempre ocuparam lugar de destaque nos currículos de

Matemática, contudo, vistos como aplicação de conteúdos e algoritmos ensinados,

como motivação, atividade lúdica, e, como ferramenta para promover o

desenvolvimento do raciocínio. Para Polya (1981) “o saber fazer em Matemática é a

capacidade de resolver problemas”. Segundo ele, embora o uso de problemas

rotineiros favoreça alguns aspectos do ensino de Matemática, somente pela

utilização de problemas não rotineiros e pela sistematização de diferentes

estratégias de resolução de problemas é que se dá o desenvolvimento do aluno.

Branca (1997) destaca que o

[...] que é importante nesta interpretação são os métodos, os procedimentos, as estratégias e as heurísticas que os alunos usam na resolução de problemas. (p.5)

Na aula baseada na Resolução de Problemas, o problema é o ponto

de partida para o “fazer matemática”. O professor apresenta um problema, escolhido

por ele ou pelos alunos; os alunos procuram elaborar uma estratégia de resolução

com os conhecimentos que já possuem, caso percebam que isto não é possível

devido à falta de conteúdos específicos envolvidos na sua resolução, o professor

apresenta estes conteúdos. Volta-se ao problema, discutindo a sua resolução e o(s)

conteúdo(s) apresentado(s). Inicia-se novamente o processo com a apresentação de

um novo problema.

3 PROPOSTA DE ENSINO

A proposta consiste em desenvolver uma oficina de Resolução de

Problemas, na 6ª série do Ensino Fundamental. Esta oficina é composta de três

etapas: o trabalho com o problema Grade Curricular de um Curso-1, o trabalho com

o problema Horário Escolar e, a resolução de alguns problemas retirados de provas

das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP).

5

Nestas tarefas objetiva-se, além de outras coisas, o desenvolvimento

do raciocínio combinatório que

[...] é caracterizado por situações em que o indivíduo em aprendizagem tem de examinar vários fatores, considerar todas as combinações em que estes podem ocorrer, avaliar cada uma destas combinações individuais, em relação a um constrangimento objetivo, e depois selecionar ou ordenar hierarquicamente as combinações. (PORTUGAL, 2004, p.13)

Primeira etapa

A oficina iniciar-se-á com a apresentação do professor. Em seguida,

será desenvolvida uma dinâmica na qual os alunos se apresentarão e “brincarão”

com a sonoridade e o significado de algumas palavras. Em seus cadernos, os

alunos escreverão qual significado eles atribuiriam às palavras: falácia, hermeneuta,

traquinagem e defenestrar. O professor escolhe um aluno, este se apresenta e lê a

definição que atribuiu a uma das quatro palavras citadas, até que todos se

apresentem. Então, o professor lê trechos da crônica “Defenestração”, de Luis

Fernando Veríssimo1, e, apresenta o verdadeiro significado de falácia, hermeneuta,

traquinagem e defenestrar.

Prosseguindo, o professor explica que o trabalho desenvolvido

durante a oficina terá como base a Resolução de Problemas, que eles receberão

uma situação desafiadora que deverão resolver e, ao final, comunicar a solução

encontrada para os demais alunos. O professor deve ressaltar que na Resolução de

Problemas, o mais importante, não é a solução final e sim, o processo (hipóteses,

estratégias, formas de representação, procedimentos) que utilizaram para chegar

nesta solução. Assim sendo, o professor deve encorajar os alunos a trocarem idéias

com os demais integrantes do grupo e a registrarem todos os passos que

percorreram até a resposta final, e, destacar que serão avaliados pela sua

participação e envolvimento em todas as etapas do trabalho.

Para o bom andamento do trabalho, o professor pode estabelecer

algumas regras que promovam o respeito, a cooperação e a comunicação entre os

integrantes do grupo. Por exemplo:

1 VERÍSSIMO, Luis Fernando. Defenestração. In: Comédias para se ler na Escola. Rio de Janeiro: Objetiva,

2001. p.59.

6

• Todos os grupos deverão propor uma solução para o problema

e registrá-la na folha do grupo.

• Os integrantes devem fazer a leitura do problema, destacar as

informações importantes, trocar idéias, anotá-las e discuti-las.

• O professor pode ser consultado, desde que todas as opções

no grupo tenham se esgotado.

• Cada grupo deve escolher um representante para anotar a

solução no quadro.

• Os integrantes dos grupos devem trabalhar juntos.

• A avaliação será feita por aula, segundo critérios estabelecidos

pelo professor.

O trabalho inicia-se com a formação de grupos de três alunos,

escolhidos por sorteio. Cada grupo receberá uma folha contendo o problema Grade

Curricular de um Curso -1. Este problema foi retirado da prova do PISA (Programme

for International Student Assessment), aplicada no Brasil no ano de 2003.

GRADE CURRICULAR DE UM CURSO

Uma escola técnica oferece 12 matérias para um curso de 3 anos. A duração de cada matéria é de um ano. Código da

matéria Nome da Matéria

1 M1 Mecânica – Nível 1

2 M2 Mecânica – Nível 2

3 E1 Eletrônica – Nível 1

4 E2 Eletrônica – Nível 2

5 B1 Estudos Comerciais – Nível 1



8 C1 Computação – Nível 1



11 T1 Tecnologia e Informática – Nível 1

12 T2 Tecnologia e Informática – Nível 2

Questão 1: Grade Curricular de um Curso Cada aluno fará 4 matérias por ano, completando assim 12 matérias em 3 anos. O aluno só poderá cursar uma matéria de um nível mais avançado quando tiver concluído os níveis anteriores da mesma matéria. Por exemplo, você só poderá cursar Estudos Comerciais – Nível 3 após concluir Estudos Comerciais – Níveis 1 e 2. Além disso, você só poderá cursar Eletrônica – Nível 1, depois de concluir Mecânica – Nível 1 e Eletrônica – Nível 2 somente depois que concluir Mecânica – Nível 2.

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a) Determine quais matérias deverão ser oferecidas a cada ano, preenchendo a tabela a seguir. Escreva os códigos das matérias na tabela.

b) Justifique sua resposta.

Matéria 1 Matéria 2 Matéria 3 Matéria 4

1º Ano

2º Ano

3º Ano

Quadro 1: Questão - Grade Curricular de um Curso

Fonte:< http://www.inep.gov.br/internacional/pisa/Novo/oquee.htm>

Os grupos deverão resolver o problema proposto, elaborando

estratégias, selecionando procedimentos e justificando a resposta encontrada. Neste

momento, o professor media e orienta o trabalho.

Terminada a etapa da resolução do problema, cada grupo fará a

exposição oral e escrita (na lousa) das soluções encontradas. O professor coordena

as discussões, estimulando seus alunos a comunicarem as estratégias utilizadas e a

fazerem a verificação das respostas. Esta etapa é tão importante quanto a anterior e

não deve ser tratada de forma aligeirada. De acordo com Schoenfeld (1997)

[...] explicar aos alunos de onde vêm os argumentos – ou, melhor ainda, compreender os argumentos com eles, quando possível – pode ajudar a desmistificar a matemática e permitir-lhes enfrentá-la com menos medo e apreensão (p.22).

Na confrontação e validação das soluções apresentadas, os alunos

devem verificar se realizaram todos os cálculos necessários, se a resposta dada

está adequada à pergunta do problema, se está de acordo com estimativas feitas, se

é possível fazer generalizações.

Alguns exemplos de questões que podem ajudar o trabalho do

professor com o problema Grade Curricular:

_ Qua(l)(is) critério(s) utilizaram para preencher a tabela? Por quê?

_As soluções atendem todas as restrições apresentadas no

problema?

_As soluções apresentadas são equivalentes? Por quê?

Então, o professor sistematiza as idéias, destacando o fato de que a

troca da ordem das matérias em cada linha da tabela, neste caso, não implica em

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um novo subconjunto (nos subconjuntos a ordem dos elementos não importa).

Enfatiza que a idéia de combinação é muito útil e pede aos alunos que dêem outros

exemplos de Combinação. Pode-se fazer um resumo das idéias discutidas no

quadro para os alunos copiarem no caderno.

_É possível existir outra combinação das matérias que satisfaça

todas as condições do problema?

O professor pode aproveitar este momento para destacar as

diferentes formas de representação que existem e apresentar a ‘árvore das

possibilidades’, mostrando que há somente uma solução que satisfaz todas as

restrições do problema.

1º ANO: M1 → B1 → C1 → T1

T2 2º ANO: M2 → B2 → C2 E1 E1 → E2 3º ANO: B3 → C3 E1 → T2

Ao final do trabalho, os grupos entregarão toda a produção escrita a

fim de subsidiar a avaliação.

Segunda etapa

A segunda etapa consiste em oportunizar o envolvimento dos alunos

em uma atividade de concepção de um horário escolar.

Novamente, o trabalho inicia-se com a formação de grupos e com a

distribuição do problema para cada grupo.

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HORÁRIO ESCOLAR

1- Complete as tabelas, montando um horário escolar para as turmas da 6ªA e da 6ª B da Escola Bem-Me-Quer, mas observe que:

• cada turma deve ter: 4 aulas semanais de Português;

4 aulas semanais de Matemática; 3 aulas semanais de Ciências; 3 aulas semanais de História; 3 aulas semanais de Geografia; 3 aulas semanais de Educação Física; 2 aulas semanais de Inglês; 2 aulas semanais de Artes; 1 aula semana de Ensino Religioso.

• a professora Cláudia dá aulas de Português na 6ªA e na 6ªB. • o professor Carlos dá aulas de Matemática na 6ªA e na 6ªB. • a escola só dispõe de uma quadra esportiva para atender todas as turmas. • a escola só dispõe de uma sala de Artes para atender todas as turmas. • a professora de Português só virá à escola para dar aulas às segundas-feiras,

às terças-feiras e às quintas-feiras. • a professora de Ciências só virá à escola para dar aulas às terças-feiras, às

quartas-feiras e às sextas-feiras. 6ª A Segunda-feira terça-feira quarta-

feira quinta-feira

sexta-feira

1ª aula 2ª aula 3ª aula 4ª aula 5ª aula

6ª B Segunda-feira terça-feira quarta-

feira quinta-feira

sexta-feira

1ª aula 2ª aula 3ª aula 4ª aula 5ª aula Quadro 2: Questão - Horário Escolar

O professor orienta o trabalho, faz questionamentos e coordena a

apresentação das respostas dos grupos.

Então, segue-se a comparação das tabelas apresentadas. O objetivo

é que os alunos percebam que, diferentemente do que acontecia no problema

anterior, ao trocarmos a ordem dos elementos de uma linha tem-se outro horário. O

professor pode direcionar a discussão com perguntas, como:

_Se a 6ªB tem o seguinte horário:

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6ª B Segunda-feira terça-feira quarta-feira quinta-feira sexta-feira

1ª aula Português Ciências Matemática Inglês História

e trocarmos a ordem das disciplinas, fazendo


1ª aula Inglês História Ciências Matemática Português

podemos dizer que temos o mesmo horário? Por quê?

Agrupando e organizando as idéias surgidas nesta discussão o

professor introduz a noção de Arranjo. É importante que se faça uma comparação

entre as duas tarefas desenvolvidas e os conceitos presentes em cada uma delas.

Assim sendo, na primeira tarefa trabalha-se com a noção de Combinação, cuja

definição é “Combinações simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os

subconjuntos com exatamente p elementos que se podem formar com os n

elementos dados” (DANTE, 2003. p.364).

E, na segunda tarefa trabalha-se com a noção de Arranjo, cuja

definição é “Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os

agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com p dos n elementos

dados” (DANTE, 2003. p.361).

Terceira etapa

Nesta etapa os alunos trabalharão em duplas. Cada dupla resolverá

quatro, dos seguintes problemas, escolhidos arbitrariamente pelo professor.

1- O número da casa de Júlia tem exatamente três algarismos, cuja soma é 24. Encontre todos os possíveis números da casa de Júlia, em cada uma das situações a seguir: a) Os três algarismos são iguais. b) Os algarismos são todos diferentes. c) Apenas dois algarismos são iguais.

Quadro 3: Questão - Número da casa de Júlia Fonte:<http://www.obmep.org.br/obmepcontent/banco_de_questoes/mainColumnParagraphs/03/document/16nivel1.pdf>

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2- As vizinhas Elza, Sueli, Patrícia, Heloísa e Cláudia chegam juntas do trabalho e começam a subir as escadas do prédio de 5 andares onde moram. Cada uma mora num andar diferente. Heloísa chega a seu andar depois de Elza, mas antes de Cláudia. Quando Sueli chega ao seu andar, Heloísa ainda tem 2 andares para subir, e o mesmo ocorre a Patrícia quando Elza chega ao seu andar. Sueli não mora no 1º andar. Em qual andar mora cada uma delas? Justifique sua resposta.

Andar Moradora

1º

2º

3º

4º

5º

Quadro 4: Questão – Andares Fonte:<http://www.obmep.org.br/obmepcontent/banco_de_questoes/mainColumnParagraphs/09/document/712nivel1.pdf> 3- O desenho ao lado mostra o mapa de um país (imaginário) constituído por cinco estados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarela, de modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado? Justifique sua resposta.

Quadro 5: Questão – Mapa Fonte:<http://www.obmep.org.br/obmepcontent/banco_de_questoes/mainColumnParagraphs/03/document/16nivel1.pdf>

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4- Em um mesmo lado de uma rua serão construídas 6 casas vizinhas. As casas podem ser de tijolo ou de madeira, mas como medida de segurança contra incêndio, duas casas de madeira não podem ser vizinhas. De quantas maneiras se pode planejar a construção dessas casas? Justifique sua resposta.

Quadro 6: Questão – Disposição de casas Fonte:<http://www.obmep.org.br/obmepcontent/banco_de_questoes/mainColumnParagraphs/03/document/16nivel1.pdf> 5- A figura mostra a árvore genealógica de uma família. Cada flecha vai do pai em direção ao seu filho. Quem é o irmão do pai do irmão do pai de Evaristo? Justifique sua resposta.

Quadro 7: Questão – Árvore genealógica Fonte:<http://www.obmep.org.br/obmepcontent/banco_de_questoes/mainColumnParagraphs/09/document/712nivel1.pdf> 6- Três casais de namorados vão sentar-se em um banco de uma praça. Em quantas ordens diferentes os seis podem sentar-se de modo que cada namorado fique ao lado de sua namorada? Justifique sua resposta. (A) 6 (B) 12 (C) 44 (D) 46 (E) 48

Quadro 8: Questão – Disposição de Casais Fonte:<http://www.obmep.org.br/obmepcontent/provas2006/provas1fase/mainColumnParagraphs/00/document/N2F1.pdf>

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7- Dentre as seis opções enumeradas, escolha a figura que completa a posição da 3ª seqüência. Justifique sua escolha.

1ª Opções 1 2 3 2ª 3ª

? 4 5 6

Quadro 9: Questão – Seqüência 1 Fonte: Sistema Anglo de Ensino. Ensino Fundamental-3ª série-caderno 3, 2007. p.185. 8- Dentre as seis opções enumeradas, escolha a figura que deve ocupar a última posição na 3ª seqüência. Justifique sua escolha.

Opções 1ª 1 2 3 2ª 3ª

? 4 5 6 Quadro 10: Questão – Seqüência 2 Fonte: Sistema Anglo de Ensino. Ensino Fundamental-3ª série-caderno 3, 2007. p.209.

Cada dupla expõe para o restante da turma a resolução de um

problema, escolhido pelo professor, explicando as estratégias e os procedimentos

que utilizaram. As outras duplas que tiverem o mesmo problema também podem

expor a sua resolução e tecer comentários.

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3.1 Objetivos

• Desenvolver o raciocínio analítico.

• Desenvolver o raciocínio combinatório.

• Desenvolver noções de Combinação e Arranjo.

• Compreender e organizar informações.

• Identificar alternativas relevantes e estabelecer relações entre elas.

• Aplicar ou criar um sistema de representação que satisfaça todas

as condições apresentadas nos problemas.

• Comunicar e justificar soluções encontradas no processo de

resolução de problemas.

• Desenvolver atitudes como cooperação e respeito mútuo.

3.2 Conteúdo a ser desenvolvido

• Noções de Análise Combinatória (Combinação e Arranjo).

• Formas de representação (esquemas, tabelas, diagramas).

3.3 Recursos didáticos

Serão utilizados os seguintes materiais: folhas contendo cópia dos

problemas propostos, quadro, giz, transparências e retroprojetor.

3.4 Avaliação

O professor deve avaliar todo o processo de trabalho com o problema

proposto para a turma e, não somente, o resultado final. Assim sendo, na avaliação,

considera-se a participação e o envolvimento do aluno em todas as fases, na

compreensão do problema proposto, no levantamento das dúvidas, na elaboração

de estratégias, na resolução do problema, na verificação e comunicação da solução

encontrada.

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Além da participação dos alunos no processo da resolução do

problema, a análise da produção escrita desses alunos também é material rico para

a composição da avaliação da aprendizagem. O professor deve recolher toda a

produção escrita, para orientar a continuidade de seu trabalho, e, observar como

seus alunos estão lidando com o raciocínio combinatório e com as diferentes formas

de representação. A definição dos aspectos a serem considerados na correção da

produção escrita e dos critérios que serão utilizados constitui-se em um guia para

professor e aluno. Segundo Buriasco (2004) “uma das tarefas do professor é fazer

com que o erro, aos poucos se torne observável pelo aluno para que este tome

consciência daquele”.

4 DESENVOLVIMENTO DA PROPOSTA

A proposta foi aplicada em uma oficina de Resolução de Problemas,

em uma turma de 6ª série, mas pode ser adaptada para outras séries da Educação

Básica.

Primeira etapa

A primeira etapa foi desenvolvida no dia 11/08/2007, com duração

de 4 horas. Compareceram à aula 25 alunos de 6ª série. Já de início foi possível

perceber que a turma estava bastante agitada. Todos participaram da primeira

atividade escrevendo no caderno ‘definições’ para as palavras: falácia,

hermenêutica, traquinagem e defenestrar, que seriam tratadas no texto

Defenestração. A palavra traquinagem já era conhecida, porque a maioria definiu

como ‘bagunça’. Algumas respostas interessantes dadas pelos alunos:

Falácia = falar.

Hermenêutica = remédio, farmácia, uma obra de arte, uma doença.

Defenestrar = castrar, defender uma pessoa, ajudar alguém.

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Após a leitura do texto e comentários sobre as palavras tratadas no

mesmo, os alunos copiaram as definições corretas do quadro, fornecidas pela

professora.

Seguiu-se a explicação do trabalho a ser desenvolvido no dia, da

forma como seriam avaliados e a colocação das regras.

Houve o sorteio e os alunos formaram sete grupos com 3 alunos e

um grupo com 4 alunos. Receberam a folha e começaram a resolução. Todos os

grupos solicitaram ajuda da professora, os comentários eram:

_ O que é para fazer?

_ Não entendemos nada!

No primeiro momento, fui passando nos grupos e sugerindo que

todos os integrantes lessem o problema até o final, que trocassem idéias, e, deixava

a pergunta:

_ O que o problema pede para fazer?

Voltei a passar nos grupos e notei que alguns já estavam fazendo

progressos. Dois grupos começaram a completar a tabela escrevendo o nome todo

da matéria ao invés de utilizar os códigos. Dois grupos acharam que o problema se

resolvia com cálculos e fizeram 312 × e 412× . Ao passar novamente por estes

grupos vi que tinham abandonado esta idéia. Um grupo teve dificuldade para

apreender o significado de ‘Nível 1, Nível 2,...’ que acompanha o nome da matéria.

Insistia com os grupos para apresentarem uma solução e um aluno

me perguntou:

_ Mesmo se estiver errado vale nota?

Eu disse que sim, ele arregalou os olhos (como se aquilo não fosse

possível) e começou a fazer. Outros alunos ouviram a conversa e repetiram a

pergunta. Confirmei que estava interessada no processo de resolução e isso

pareceu aumentar-lhes a auto-estima.

Mesmo sabendo que nenhum grupo tinha chegado a uma solução

satisfatória iniciei a confrontação e a validação das respostas, porque percebi que

estavam perdendo o interesse no problema. Eu precisei rever meu posicionamento

porque não queria desestimulá-los. Então, ao invés de tratar a solução em termos de

“certa” ou “errada”, resolvi verificar juntamente com os alunos quais restrições

(relações) postas no problema cada grupo atendeu. Desta forma, consegui desviar a

atenção para o fato de nenhum grupo ter chegado à solução correta, e, enfatizar o

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que tinham apresentado de positivo. Não foi possível promover uma discussão sobre

as estratégias utilizadas, pois não consegui mobilizá-los para isso e os grupos

pareciam não ter adotado critérios bem definidos para preencher a tabela. Pela

observação da aula e da produção escrita deduz-se que a estratégia mais utilizada

pelos grupos foi a tentativa e erro.

Um representante de cada grupo foi ao quadro e escreveu a

solução.

Grupo 1


1º Ano M1 M2 E1 E2

2º Ano T1 T2 C1 C2

3º Ano C3 B1 B2 B3

Quadro 11: Solução apresentada pelo Grupo 1

O problema trazia três condições a serem atendidas (p.6). A solução

apresentada pelo grupo 1 atendeu a 1ª condição (cada aluno fará 4 matérias por

ano...), mas não atendeu a 2ª condição (só poderá cursar uma matéria de um nível

mais avançado quando tiver concluído os níveis anteriores) e não atendeu a 3ª

condição (cursar Eletrônica – Nível 1 depois de concluir Mecânica – Nível 1).

Grupo 2


1º Ano M1 E1 B1 C1

2º Ano M2 E2 B2 C2

3º Ano T1 T2 B3 C3


A solução do grupo 2 atendeu a 1ª condição (cada aluno fará 4

matérias por ano...) , atendeu parcialmente a 2ª condição (só poderá cursar uma

matéria de um nível mais avançado quando tiver concluído os níveis anteriores) e

não atendeu a 3ª condição (cursar Eletrônica – Nível 1 depois de concluir Mecânica

– Nível 1).

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Grupo 3


1º Ano M1 E1 B1 C1

2º Ano M2 T1 B2 C2

3º Ano B3 C3 E2 T2


O grupo 3 apresentou uma solução que atendeu a 1ª condição (cada

aluno fará 4 matérias por ano...), atendeu a 2ª condição (só poderá cursar uma

matéria de um nível mais avançado quando tiver concluído os níveis anteriores) e

não atendeu a 3ª condição (cursar Eletrônica – Nível 1 depois de concluir Mecânica

– Nível 1).

Grupo 4


1º Ano M1 E1 T1 B1

2º Ano M2 E2 T2 B2

3º Ano C1 C2 C3 B3


A resolução do grupo 4 atendeu a 1ª condição, atendeu parcialmente

a 2ª condição e não atendeu a 3ª condição.

Grupo 5


1º Ano M1 M2 E1 E2

2º Ano B1 B2 B3 C1

3º Ano C2 C3 T1 T2


A resolução do grupo 5 atendeu a 1ª condição, não atendeu a 2ª

condição e não atendeu a 3ª condição.

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Grupo 6


1º Ano M1 E1 B1 C1

2º Ano M2 E2 B2 C2

3º Ano T1 T2 B3 C3


O grupo 6 apresentou uma solução que atendeu a 1ª condição,

atendeu parcialmente a 2ª condição e não atendeu a 3ª condição.

Grupo 7


1º Ano M1 E2 B3 C3

2º Ano M2 B1 C1 T1

3º Ano E1 B2 C2 T1


A solução apresentada pelo grupo 7 atendeu a 1ª condição, não

atendeu a 2ª condição e não atendeu a 3ª condição.

Grupo 8


1º Ano M1 E1 M2 E2

2º Ano M2 E2 B2 C2

3º Ano T1 T2 B3 C3


A resolução do grupo 8 atendeu a 1ª condição, atendeu parcialmente

a 2ª condição e não atendeu a 3ª condição.

Fui observando as respostas apresentadas pelos grupos e

questionei-os, tentando entender porque estavam colocando M1 e E1; M2 e E2 no

mesmo ano, já que, esta era uma restrição clara presente no problema. Pude

perceber que muitos tiveram dificuldade para lidar com a tabela do problema,

acreditavam que colocando E1 depois de M1 na mesma linha da tabela estavam

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dizendo que se estudaria Mecânica e depois Eletrônica e não as duas matérias

simultaneamente.

O primeiro dia da oficina estava chegando ao fim. Na fase da

resolução do problema alguns alunos se envolveram muito pouco, e, na fase da

validação, a participação ficou aquém do esperado.

Encerrando a discussão com os alunos, lancei a pergunta:

_ O que há de matemática neste problema?

E ouvi:

_ Nada!

Retornei:

_ Por quê?

_ Porque não tem contas, cálculo.

Então, expliquei que o problema envolvia a idéia de Combinação e

dei alguns exemplos de situações em que usamos o raciocínio combinatório. Pedi

que dessem outros exemplos e ouvi:

_ Na comida que a gente come.

_ No horário da escola.

Esta segunda resposta me marcou, pois tratava-se justamente do

assunto da próxima etapa da oficina e também porque foi dita por um aluno que

tinha se envolvido muito pouco na resolução do problema. Por diversas vezes eu

havia chamado sua atenção por estar atrapalhando a aula. Acredito que ele não

estava tão alheio ao assunto quanto eu imaginava. Isso me fez pensar o quão difícil

é avaliar o grau de envolvimento de um aluno numa determinada tarefa e que,

muitas vezes, nós professores, cometemos injustiças.

Segunda etapa

No dia 18/08/07 dei seguimento à segunda etapa da oficina. Estavam

presentes 27 alunos. Foi preciso um redirecionamento em relação à proposta

original, devido ao que observei na etapa anterior e na produção escrita dos alunos.

Ficou evidente que não conseguiram lidar com a tabela proposta no problema, não

entenderam que a primeira linha deveria conter as matérias que seriam estudadas

no primeiro ano e assim sucessivamente, e que, as matérias colocadas em cada

linha da tabela eram estudadas simultaneamente ao longo do ano. Foi necessário

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discutir estas idéias com os alunos para dar continuidade ao que tinha sido

planejado para a primeira etapa.

Primeiramente, reafirmei as regras colocadas na primeira etapa, pois

muitos grupos não as tinham respeitado e a participação da turma ficou aquém do

esperado. Entreguei a folha da primeira etapa para que vissem as anotações que fiz.

Na folha de cada grupo coloquei observações sobre a resolução do problema e

sobre o cumprimento das regras combinadas. Retomei o problema Grade Curricular

e, no quadro-negro, escrevi

Tabela 1


1º Ano M1 T1 B1 C1

2º Ano M2 E1 B2 C2

3º Ano B3 C3 E2 T2

Tabela 2


1º Ano M1 B1 C1 T1

2º Ano B2 M2 E1 C2

3º Ano C3 B3 T2 E2

e perguntei:

_As soluções apresentadas são equivalentes? Explique.

Os alunos apresentaram certa dificuldade para entender a pergunta.

Muitos não conheciam o significado da palavra ‘equivalentes’. Feita a explicação,

dois alunos disseram que as tabelas eram equivalentes, porém, ainda não havia um

consenso. Outro aluno sugeriu que comparássemos ano a ano, e assim fizemos.

Quando terminamos ‘quase’ todos (algumas carinhas aparentavam dúvida)

concordavam que a ordem em que a matéria aparecia na linha da tabela não

influenciava em quais matérias deveriam ser estudadas em cada ano do curso.

Escrevi no quadro a segunda questão:

_É possível existir outra combinação das matérias que satisfaça

todas as condições do problema?

22

Por meio desta questão introduzi a “árvore das possibilidades” e

apresentei o esquema abaixo, mostrando que há somente uma solução que satisfaz

todas as condições do problema.

1º ANO: M1 → B1 → C1 → T1

T2 2º ANO: M2 → B2 → C2 E1 E1 → E2 3º ANO: B3 → C3 E1 → T2

Os alunos copiaram as questões e a árvore das possibilidades e

iniciei o trabalho com a segunda tarefa da proposta: a montagem do horário escolar.

Escolhi nove alunos e, cada um deles, escolheu outros dois alunos

para compor o grupo. Entreguei uma folha contendo o problema para cada grupo.

Relembrei que o mais importante não era a solução final e sim, o

processo que utilizariam para chegar nesta solução, que deveriam trocar idéias com

os demais integrantes do grupo e registrar todos os passos. Reafirmei que seriam

avaliados pela sua participação e envolvimento em todas as etapas do trabalho.

Passando pelos grupos observei que o trabalho estava se

desenvolvendo com mais fluência que na etapa anterior. Mas, em alguns grupos

apenas um ou dois integrantes tentavam resolver o problema porque um aluno se

apossava da folha que continha a tarefa e não a dividia com os outros. Foi preciso

intervir, passei nestes grupos, pedi que um de cada vez lesse a tarefa e expressasse

sua opinião. Em um dos grupos foi preciso dar uma folha para cada participante.

Não obtive sucesso com todos os grupos.

As dificuldades mais freqüentes levantadas pelos alunos diziam

respeito à compreensão da linguagem e de suas implicações no problema. Não

entendiam o significado de “4 aulas semanais”, “3 aulas semanais” e de “a escola só

dispõe de uma sala de Artes para atender todas as turmas”.

No grupo 4 um aluno explicou para os outros integrantes o que seria “

4 aulas semanais”:

23

_Pode ter uma aula na segunda - feira, uma na terça e outra na

quarta, mas juntando tudo tem que dar quatro durante a semana inteira, não precisa

ser todas num dia só.

Ainda neste grupo, somente depois dos alunos completarem duas

colunas da tabela referente à 6ªA é que começaram e se dar conta das restrições

impostas. Ao terminarem a primeira tabela um deles disse:

_Mas não tinha que ter aula de Ciências na terça, quarta e sexta?

O integrante que liderava o grupo respondeu:

_Tem que ter três aulas, mas não precisa ter aula em todos estes

dias, pode ter duas num dia e uma no outro.

A estratégia deste grupo para completar a tabela com o horário da

6ªB foi trocar a ordem das aulas e não fizeram nenhuma verificação do resultado

encontrado.

Quando todos os grupos terminaram, recolhi as folhas com a

resolução e deixei a etapa de comunicação e confrontação das respostas para a

etapa seguinte da oficina, porque os alunos estavam se desinteressando e não

haveria o envolvimento necessário.

No tempo restante da oficina, em grupos, os alunos trabalharam com

jogos envolvendo quebra-cabeças, perguntas e respostas (conhecimentos gerais e

cálculo mental), caça ao tesouro. Assim como os problemas, os jogos também

auxiliam o desenvolvimento do raciocínio e da autonomia.

Terceira etapa

O último dia da oficina foi 25/08/2007. Neste dia compareceram 22

alunos. Iniciei a aula com a entrega das folhas com o problema da etapa anterior

contendo os comentários, escritos por mim, sobre a resolução de cada grupo e o

cumprimento do contrato didático.

Como seria trabalhoso e cansativo escrever todas as tabelas no

quadro, levei transparências contendo a resposta de cada grupo para fazermos a

discussão das estratégias e a verificação das respostas apresentadas. Utilizei a

mesma estratégia do primeiro problema: ao invés de tratar a solução em termos de

“certa” ou “errada” verifiquei quais restrições cada grupo atendeu. Assim, fomos

analisando grupo a grupo e anotando quantas restrições tinham sido atendidas. O

24

problema trazia sete restrições a serem observadas na formulação de cada horário

escolar (p.8). Novamente, a participação dos alunos ficou aquém do esperado e não

consegui discutir as estratégias utilizadas.

Grupo 1

6ª A Segunda-feira terça-feira quarta-feira quinta-feira sexta-feira

1ª aula Português Ciências Matemática. Português. Educ. Física

2ª aula Matemática Geografia História Geografia Inglês

3ª aula História Educ. Física Matemática. História Inglês

4ª aula Matemática. Educ. Física Ciências Geografia Ciências

5ª aula Artes Quadra esport Artes Ens. Religioso Quadra esport


1ª aula Português Português Ciências Português Ciências

2ª aula Matemática Ciências Artes Matemática Matemática

3ª aula Artes História História Português Geografia

4ª aula História Geografia Educ. Física Geografia Educ. Física

5ª aula Educ. Física Inglês Ens. Religioso Matemática Inglês


A resolução apresentada pelo grupo 1 não atendeu a primeira

restrição (quantidade de aulas de cada disciplina), não atendeu a segunda (a

professora de Português é a mesma para 6ªA e 6ªB, portanto não poderá haver

aula desta disciplina simultaneamente nas duas séries), não atendeu a terceira

restrição (não poderá haver aula de Matemática simultaneamente nas duas

séries), atendeu a quarta (não poderá haver aula de Educação Física

simultaneamente nas duas séries), a quinta (não poderá haver aula de Artes

simultaneamente nas duas séries), a sexta (a professora de Português só virá à

escola para dar aulas às segundas-feiras, às terças-feiras e às quintas-feiras) e

atendeu a sétima restrição (a professora de Ciências só virá à escola para dar

aulas às terças-feiras, às quartas-feiras e às sextas-feiras).

25

Grupo 2


1ª aula Educ. Física Ciências Inglês Português Português

2ª aula Inglês História Geografia Ens. Religioso Geografia

3ª aula Artes Educ. Física Matemática Português Matemática

4ª aula História História Ciências Matemática Matemática

5ª aula Geografia Artes Ciências Educ. Física Português


1ª aula Inglês Educ. Física Ciências Português Matemática

2ª aula Matemática Ciências Matemática Português Matemática

3ª aula Português Ciências História História Geografia

4ª aula Artes Artes História Geografia Geografia

5ª aula Educ. Física Português Inglês Educ. Física Ens. Religioso


O grupo 2 apresentou uma solução que atendeu a primeira restrição

(quantidade de aulas de cada disciplina), não atendeu a segunda (a professora

de Português é a mesma para 6ªA e 6ªB, portanto não pode haver aula desta

disciplina simultaneamente nas duas séries), não atendeu a quarta restrição (não

pode haver aula de Educação Física simultaneamente nas duas séries) e não

atendeu a sexta (a professora de Português só virá à escola para dar aulas às

segundas-feiras, às terças-feiras e às quintas-feiras).

Grupo 3


1ª aula Português Ciências Educ. Física Matemática Ciências

2ª aula Matemática História Ciências Artes Matemática

3ª aula Inglês Português Ens. Religioso Educ. Física Geografia

4ª aula Português Inglês História Português Geografia

5ª aula História Artes Matemática Geografia Educ. Física


1ª aula História Inglês História Artes Geografia

2ª aula Inglês Artes Ens. Religioso Português Geografia

3ª aula Matemática História Educ. Física Geografia Matemática

4ª aula Português Ciências Matemática Educ. Física Educ. Física

5ª aula Inglês Português Ciências Matemática Ciências


26

A resolução do grupo 3 não atendeu a primeira restrição (quantidade

de aulas de cada disciplina), não atendeu a segunda (a professora de Português

é a mesma para 6ªA e 6ªB, portanto não pode haver aula desta disciplina

simultaneamente nas duas séries) e atendeu as demais restrições.

Grupo 4


1ª aula Matemática Ciências Ciências Artes Geografia

2ª aula Português Ciências História Geografia Geografia

3ª aula Matemática Português Inglês História Educ. Física

4ª aula Português História Educ. Física Matemática Educ. Física

5ª aula Ens. Religioso Matemática Geografia Português Artes


1ª aula Português Português História Geografia Educ. Física

2ª aula Matemática Ciências Ciências Artes Artes

3ª aula Português Matemática Educ. Física Matemática Inglês

4ª aula Ens. Religioso História Geografia Português Educ. Física

5ª aula Matemática Ciências Inglês História Ciências


A resolução apresentada pelo grupo 4 não atendeu a primeira

restrição (quantidade de aulas de cada disciplina) e atendeu as demais

restrições.

Grupo 5


1ª aula Português Ciências Matemática Educ. Física Matemática

2ª aula Matemática Português Ciências Geografia Ciências

3ª aula Educ. Física História Inglês Português História

4ª aula História Matemática Geografia Artes Artes

5ª aula Português Geografia Educ. Física Ens. Religioso Inglês


1ª aula Matemática Português Ciências Geografia Ciências

2ª aula Português História Matemática Português História

3ª aula História Matemática Geografia Educ. Física Artes

4ª aula Português Geografia Inglês Educ. Física Inglês

5ª aula Educ. Física Português Ens. Religioso Artes Matemática


27

O grupo 5 apresentou uma solução que não atendeu a primeira

restrição (quantidade de aulas de cada disciplina) e atendeu as demais

restrições.

Grupo 6


1ª aula História Ciências Ciências História Educ. Física

2ª aula Matemática Português Ciências Matemática Educ. Física

3ª aula Geografia Matemática Geografia Matemática História

4ª aula Artes Educ. Física Artes Português Geografia

5ª aula Ens. Religioso Português Inglês Português Inglês


1ª aula Português Geografia História Matemática Português

2ª aula Inglês Artes Educ. Física História Geografia

3ª aula Ciências História Matemática Ciências Educ. Física

4ª aula Artes Português Matemática História Educ. Física

5ª aula Inglês Português Ciências Geografia Ens. Religioso


A resolução do grupo 6 não atendeu a primeira restrição (quantidade

de aulas de cada disciplina), atendeu a segunda, a terceira e a quarta restrição e

não atendeu as demais.

Grupo 7


1ª aula Português Ciências Ciências Geografia Ciências

2ª aula Artes Português Geografia Geografia Inglês

3ª aula Matemática Matemática Matemática História Ens. Religioso

4ª aula Português Matemática Artes História Inglês

5ª aula Educ. Física Educ. Física História Português Educ. Física


1ª aula Matemática Português Matemática História Geografia

2ª aula Matemática Matemática História Educ. Física Artes

3ª aula Português Ciências História Geografia Inglês

4ª aula Ciências Ciências Geografia Educ. Física Educ. Física

5ª aula Português Português Ens. Religioso Artes Inglês


28

A resolução apresentada pelo grupo 7 só não atendeu a última

restrição (a professora de Ciências só virá à escola para dar aulas às terças-

feiras, às quartas-feiras e às sextas-feiras).

Grupo 8


1ª aula Português História Matemática Português Geografia

2ª aula Geografia Educ. Física Geografia História Matemática

3ª aula Matemática Português Artes Educ. Física História

4ª aula Educ. Física Inglês Ciências Ens. Religioso Ciências

5ª aula Português Ciências Inglês Matemática Artes


1ª aula História Português Ciências Matemática Ciências

2ª aula Geografia Português História Geografia História

3ª aula Português Ciências Educ. Física Português Matemática

4ª aula Inglês Matemática Inglês Educ. Física Ens. Religioso

5ª aula Matemática Geografia Artes Artes Educ. Física


O grupo 8 apresentou uma solução que atendeu todas as restrições

postas no problema.

Grupo 9


1ª aula Português Matemática Geografia Educ. Física Educ. Física

2ª aula Matemática Ciências Matemática Geografia Ciências

3ª aula Português História Ciências Português Inglês

4ª aula História Matemática Geografia Inglês Artes

5ª aula Ens. Religioso Português História Artes Ciências


1ª aula Matemática Português Matemática Português Ciências

2ª aula Português Matemática Geografia Inglês Artes

3ª aula Matemática Ciências Educ. Física Artes Inglês

4ª aula Ens. Religioso História Ciências Educ. Física Ciências

5ª aula História Geografia Educ. Física Geografia Educ. Física


29

A solução do grupo 9 não atendeu a primeira restrição (quantidade

de aulas de cada disciplina), mas atendeu as demais restrições.

Então, copiei no quadro uma das tabelas que estavam sendo

projetadas e troquei a ordem dos elementos da segunda linha.

Tabela projetada:



2ª aula Geografia Educ. Física Geografia História Matemática




Tabela resultante após troca dos elementos da segunda linha:



2ª aula História Matemática Geografia Geografia Educ. Física




Perguntei:

_É o mesmo horário? São equivalentes?

Os alunos responderam que não e iniciamos uma discussão sobre a

importância da ordem dos elementos neste problema. Os alunos concluíram que a

troca dos elementos implica em um novo horário. Coloquei no quadro-negro as

tabelas do problema Grade Curricular, trabalhadas na etapa anterior (ver p. 20)

Tabela 1


1º Ano M1 T1 B1 C1

2º Ano M2 E1 B2 C2

3º Ano B3 C3 E2 T2

Tabela 2


1º Ano M1 B1 C1 T1

2º Ano B2 M2 E1 C2

3º Ano C3 B3 T2 E2

30

e relembramos que, neste caso, a ordem dos elementos em cada linha não implica

em um novo subconjunto.

Comparando os problemas trabalhados os alunos concluíram que os

dois envolvem agrupamentos, sendo que, no primeiro a ordem dos elementos em

cada linha não importava e no segundo sim. Fazendo esta diferenciação introduzi os

termos Combinação e Arranjo, sendo que

Combinação→ idéia presente no primeiro problema, pois cada linha da tabela é um

subconjunto dos 12 elementos dados (ver p. 10).

Arranjo → idéia presente no segundo problema, pois cada linha é um agrupamento

ordenado diferente dos elementos dados (ver p. 10).

Prossegui com um exemplo, escolhi três alunos e coloquei três

cadeiras e perguntei:

_De quantas maneiras diferentes eles podem se sentar nestas

cadeiras?

Fizemos uma rápida encenação, encontrando a resposta 6 maneiras

diferentes.

_É Combinação ou Arranjo?

Fiquei satisfeita quando ouvi a resposta “Arranjo” da maioria dos

alunos. No quadro, iniciei uma ‘árvore das possibilidades’ representando a situação

e cada aluno copiou e completou a ‘árvore’ em seu caderno.

O trabalho com os outros problemas iniciou-se com a formação de

duplas e a entrega de quatro problemas para cada dupla. Alguns dos problemas que

selecionei envolvem noções de Análise Combinatória, eu queria observar quais as

estratégias de resolução, e, se as duplas utilizariam a ‘árvore das possibilidades’.

Porém, a maioria das duplas apresentou dificuldade para

compreender os problemas e utilizou a tentativa e erro como estratégia. Nenhuma

dupla utilizou a ‘árvore das possibilidades’. Destaco algumas estratégias:

32

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Na ocasião da idealização e desenvolvimento deste trabalho cometi

um equívoco devido ao meu desconhecimento sobre as diferenças que caracterizam

‘tabela’ e ‘quadro’. De acordo com a ABNT (2002b) “as tabelas apresentam

informações tratadas estatisticamente enquanto que os quadros contêm informações

textuais agrupadas em colunas” (apud FRANÇA, 2003, p. 95).

Portanto, utilizei a palavra ‘tabela’ para designar algo que, de fato, é

um quadro. Optei por não fazer a correção neste relato porque, naquele momento

histórico, acreditava que estava lidando com tabelas e foi assim que me dirigi aos

alunos. Mas, neste ano de 2008, ao reaplicar a proposta vou corrigir o meu erro,

farei as modificações necessárias nas questões propostas e readequarei minha fala.

Analisando os resultados obtidos com a aplicação desta proposta à

luz dos objetivos estabelecidos, acredito que dois deles não foram plenamente

atingidos:

• aplicar ou criar um sistema de representação que satisfaça todas as

condições apresentadas nos problemas;

33

• comunicar e justificar soluções encontradas no processo de

resolução de problemas.

Isto se deu, em parte, porque poucos grupos realmente se dedicaram

a criar estratégias criativas e eficazes para resolver as tarefas propostas e, as

justificativas apresentadas foram empobrecidas.

No final do último dia da oficina perguntei aos alunos o que achavam

do trabalho que realizamos e ouvi:

_Tem que pensar!

_Não foi aquilo de sempre, fazer a mesma coisa.

_ É muito chato estudar tabela.

A primeira resposta diz respeito ao que não se faz muito na aula de

Matemática (pensar) e a segunda ao que se faz (sempre a mesma coisa). A terceira

resposta foi dita por uma aluna e indica a necessidade de investigar, junto à mesma,

a sua motivação.

Refletindo sobre respostas, encontrei mais perguntas.

Como melhorar o envolvimento de alguns alunos na resolução de um

problema?

Será que um trabalho efetivo e duradouro com a Resolução de

Problemas conscientizaria estes alunos sobre a importância da participação na

discussão das estratégias e na validação das respostas?

Os alunos tiveram mais facilidade em lidar com o segundo problema.

Será que ele realmente era mais fácil ou haviam incorporado o procedimento?

Será que a continuidade deste trabalho melhoraria o desempenho

dos alunos?

No ano de 2008, quando aplicarei esta proposta na escola em que

trabalho, buscarei respostas (e, com elas, tenho certeza, encontrarei mais

perguntas).

Termino este trabalho com mais um relato: no último dia da oficina

um aluno veio ao meu encontro e disse que estava lendo o livro do Luis Fernando

Veríssimo, o mesmo que eu havia divulgado na primeira aula. Se, a aplicação desta

proposta de ensino não tivesse me trazido mais coisa alguma de bom, penso que só

por este fato já teria valido a pena.

34

6 REFERÊNCIAS BRANCA, Nicholas A. Resolução de problemas como meta, processo e habilidade básica. In: KRULIK, S.; REYS, R.E (Org.). A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997. p.4 -12. BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Análise da Produção Escrita: a busca do conhecimento escondido. In: ROMANOWSKI, J.P.; MARTINS,P.L.; JUNQUEIRA, S.A.(orgs). Conhecimento Local e conhecimento Universal: a aula e os campos do conhecimento. Curitiba: Champagnat, 2004.ISBN 85-7292-120-6. DANTE, Luiz R. Matemática: Contexto & Aplicações. São Paulo: Ática, 2003. FRANÇA, J. L. et al. Manual para normalização de publicações técnico-científicas. 6.ed. Rev. e ampl. Belo Horizonte: Ed. Da UFMG, 2003. PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2006. PORTUGAL. Gabinete de Avaliação Educacional do Ministério da Educação.PISA 2003-Conceitos fundamentais em jogo na avaliação de resolução de problemas. Lisboa, 2004. Disponível em:< http://www.gave.min-edu.pt/np3content/?newsId=33&fileName=conceitos_fundamentais_avaliacao_pisa2003.pdf>. Acesso em: 06 dez 2007. SCHOENFELD, Alan. Heurísticas na sala de aula. In: KRULIK, S.; REYS, R.E (Org.). A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997. p.13 - 31.

7 ALGUMA BIBLIOGRAFIA CONSULTADA BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Sobre a Resolução de Problemas (I). NOSSO FAZER, Ano 1, n.º5. Secretaria Municipal de Educação, Londrina, 1995. p. 1. BURIASCO, Regina Luzia Corio de. Sobre a Resolução de Problemas (II). NOSSO FAZER, Ano 1, n.º6. Secretaria Municipal de Educação, Londrina, 1995. p. 1. BUTTS, Thomas. Formulando Problemas Adequadamente. In: KRULIK, S.; REYS, R.E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997. GOLDENBERG, E. Paul. Quatro Funções da Investigação na Aula de Matemática. Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/mem/textos/goldenberg.doc.>. Acesso em: 11 dez 2002. KRULIK, S.; REYS, R.E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997.

35

LANGDON, N.; SNAPE, C. O que é uma actividade de investigação? Disponível em: <http://www.apm.pt/ip/>. Acesso em: 3 mar 2005. PONTE, J. P.; BROCADO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo horizonte: Autêntica, 2005. SCHOENFELD, Alan. Porquê toda esta Agitação Acerca da Resolução de Problemas? In: ABRANTES, P.; LEAL, L. C.; PONTE, J. P.(Eds). Investigar para aprender Matemática. Lisboa: Projecto MPT e APM. 1996, p. 61-72. STANIC, George M.A; KILPATRICK, Jeremy. Perspectivas Históricas da Resolução de Problemas no Currículo de Matemática. In: CHARLES, R. I.; SILVER, E. A. The teaching and assessment of mathematical problem solving. Reston, VA: NCTM, Lawrence Erlbaum, 1989.

governo do paranÁ secretaria de estado da … · para polya (1981) “o saber fazer em matemática...

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