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GOVERNO DO PARSECRETARIA DE ESUPERINTENDÊNCPROGRAMA DE DE
A
FUNÇÕES: Urelação ao
R
ANÁ STADO DA EDUCAÇÃO IA DA EDUCAÇÃO SENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
DRIANA CHINOTTI AGUIAR
Relato de Experiência
ma abordagem, contextualizada em tema meio ambiente, por meio da esolução de Problemas
IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL
ORIENTADORA: Prof.ª Dr.ª MÁRCIA CRISTINA DE COSTA TRINDADE
CYRINO ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA
LONDRINA - 2012
1
FUNÇÕES: Uma abordagem, contextualizada em relação ao tema meio ambiente,
por meio da Resolução de Problemas1
Professora PDE: Adriana Chinotti Aguiar2
Orientadora IES: Márcia Cristina de Costa Trindade Cyrino3
Resumo
O presente artigo apresenta o relato de uma experiência realizada numa turma de 1ª série do Ensino Médio, curso Técnico em Meio Ambiente Integrado, em um colégio estadual do Núcleo Regional de Londrina/PR. Nessa experiência oportunizamos aos alunos o estudo de conceitos referentes ao Conteúdo Função Polinomial do 1º grau utilizando como metodologia a Resolução de Problemas. Na perspectiva da Resolução de Problemas adotada, o problema foi o ponto de partida para o ensino e a aprendizagem dos conceitos. Utilizamos como contexto o tema meio ambiente, porque acreditávamos que este pudesse atrair os estudantes para o estudo dos conteúdos por trazerem, situações do mundo do trabalho para o qual eles se preparam ou por tratarem de situações de uma realidade possivelmente conhecida pelos mesmos. Com a metodologia proposta, buscamos possibilitar um trabalho cooperativo entre os alunos e estimular a construção dos conceitos matemáticos relacionados às Funções a partir de suas estratégias e resoluções dos problemas. Por meio de registro diário das observações dos fatos ocorridos em sala de aula, da produção escrita dos alunos, do registro de suas falas, estruturamos o relato. Com esse trabalho, promovemos em sala de aula, um espaço favorável para que os alunos construíssem conceitos matemáticos relacionados às Funções Polinomiais do 1º grau, no contexto do tema meio ambiente. Além disso, procuramos incentivá-los a perceber que eram capazes de aprender Matemática e participassem das aulas expressando e discutindo suas ideias.
Palavras chave: Resolução de Problemas; Função Polinomial do 1º grau; Contextualização.
1 Artigo produzido no Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) da SEED-PR 2 Professora da Rede Estadual de Educação do Paraná 3 Professora Doutora da Universidade Estadual de Londrina
2
1 INTRODUÇÃO
O quadro que encontramos nas escolas de modo geral, em relação ao
desempenho dos alunos em Matemática é, no mínimo, curioso. Descobrir onde
estão possíveis falhas nos processos de ensino e aprendizagem, preocupa os
educadores. Percebemos que na comunidade escolar, quase todos têm interesse
em entender como alunos que passaram 11 anos de suas vidas estudando, pelo
menos 4 horas por dia, não conseguem demonstrar que aprenderam o básico.
Para constatar esse fato basta nos atentarmos para resultados de provas
como o Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB) e o Exame Nacional do
Ensino Médio (ENEM), por exemplo. Podemos citar que, não raramente, escutamos
pessoas dizendo que determinado aluno terminou o Ensino Médio e não sabe nem
fazer uma divisão de números inteiros, entre outros.
Diante de observações como essa, surgem questões como: Por que os
alunos não estão aprendendo Matemática? Por que os métodos utilizados pelos
professores não têm conseguido atingir a maioria dos educandos? Quando
corrigimos em sala de aula questões do ENEM ou de concursos vestibulares, por
exemplo, os alunos frequentemente demonstram que conheciam os cálculos
necessários para resolvê-las, no entanto, não conseguiram solucioná-las sozinhos.
Fatos como esses nos suscitam questionamentos, por exemplo, por que alguns
alunos não demonstram autonomia quando se deparam com questões de
matemática? Será que nossas aulas estão favorecendo para que o aluno tenha essa
autonomia?
No curso técnico no qual foi desenvolvido o projeto de intervenção, por meio
da produção didático-pedagógica, cuja implementação deu origem a esse artigo, o
cenário não era diferente, o que gerava no professor de matemática uma
preocupação, pois estava formando profissionais, com titulação para exercer uma
profissão que exige conhecimento, senso crítico e autonomia. A responsabilidade do
professor nessa situação parece ser ainda maior.
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei nº 9.394/96), entre
outros fatores, estabelece que o Ensino Médio tem, também, o objetivo de preparar
para o trabalho e para o exercício da cidadania. Nesta etapa da vida escolar os
alunos deverão aprender Matemática, inclusive, para resolver problemas práticos do
cotidiano e ter condições de modelar fenômenos de outras áreas do conhecimento.
3
As recomendações da Lei, a constante preocupação com a falta de interesse
dos alunos e a constatação das dificuldades de aprendizagem destes, reforçam a
necessidade de se trabalhar com metodologias como a Resolução de Problemas.
Nesse trabalho tivemos intenção de possibilitar que os alunos percebessem que
eram capazes de aprender Matemática; possibilitar um trabalho cooperativo entre
estes, que pudessem discutir ideias, estratégias de resolução e analisar resultados,
respeitando a opinião dos colegas, além de estimulá-los a construir conceitos
matemáticos relacionados às Funções Polinomiais do 1ºgrau, no contexto do tema
meio ambiente.
2 ASPECTOS TEÓRICOS
2.1 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE A CONTEXTUALIZAÇÃO
A Proposta de trabalhar de forma contextualizada em relação ao tema meio
ambiente foi o ponto de partida para o ensino e a aprendizagem do conteúdo
Função Polinomial do 1º grau. Nossa idéia foi iniciar o ensino da matemática a partir
de problemas, que pudessem atrair os estudantes para o estudo dos conteúdos por
trazerem, situações do mundo do trabalho para o qual eles se preparam ou por
tratarem de situações de uma realidade possivelmente conhecida pelos mesmos,
valorizando, dessa forma, os conhecimentos que estes já possuem. Para tanto,
adotamos a concepção de contextualização apresentada por Vasconcelos e Rêgo
(2010, p.06),
[...] contextualizar é apresentar em sala de aula situações que dêem sentido aos conhecimentos que desejamos que sejam aprendidos, por meio da problematização, resgatando os conhecimentos prévios e as informações que os alunos trazem criando, dessa forma, um contexto que dará significado ao conteúdo, isto é, que os conduza à sua compreensão. O que queremos enfatizar é que a contextualização é uma alternativa que poderá auxiliar na construção do significado, apesar de não ser a única possibilidade para que isso aconteça.
Na atualidade, o tema meio ambiente, é um contexto que pode interessar aos
alunos, principalmente, pela sua importância para a sociedade. Os Parâmetros
Curriculares Nacionais - Ensino Médio (PCNEM) sugerem como um dos objetivos da
contextualização o desenvolvimento da capacidade de utilizar a Matemática na
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interpretação e intervenção no real, embora o intuito do trabalho desenvolvido com
os alunos não tenha sido de estudar as questões ambientais, a possibilidade de
discutí-las, durante algumas das etapas da resolução dos problemas favoreceu para
que houvesse discussões a esse respeito.
A proposta de utilizar problemas contextualizados requer do professor a
habilidade de proporcionar aos estudantes a percepção da universalidade dos
conceitos estudados, para Ricardo (2005 apud VASCONCELOS E RÊGO, 2010,
p.08) “é preciso ter cuidado para não dar a contextualização um valor de uso estrito,
de aplicação imediata, mas de busca de sentido ao que se ensina”. Embora os
problemas com os quais trabalhamos fossem relacionados ao tema meio ambiente,
a abordagem destes, por meio da metodologia Resolução de Problemas,
oportunizava a construção de conceitos matemáticos que podiam ser ressignificados
em outros contextos.
Dessa forma, a Resolução de Problemas pode favorecer, por meio da
formalização dos conceitos, que o aluno não enxergue na contextualização, apenas
o aspecto utilitário, mas uma forma de aprender com significado. O uso da
Resolução de Problemas vai ao encontro da orientação dos PCN+ ao sugerirem, por
exemplo, como pode ser trabalhado o conteúdo Funções.
Os problemas de aplicação não devem ser deixados para o final desse estudo, mas devem ser motivo e contexto para o aluno aprender funções. A riqueza de situações envolvendo funções permite que o ensino se estruture permeado de exemplos do cotidiano, das formas gráficas que a mídia e outras áreas do conhecimento utilizam para descrever fenômenos de dependência entre grandezas. (BRASIL, 2002, p.121)
2.2 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
A Resolução de Problemas é uma estratégia metodológica utilizada há pouco
tempo para se ensinar os conteúdos de Matemática, apesar de, ao longo da história
da humanidade podermos perceber o papel de destaque dado à atividade de
resolver problemas. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009)
No Brasil a importância dada à Resolução de Problemas é recente. A
Resolução de Problemas como uma metodologia de ensino, começa ser objeto de
pesquisa na década de 90, e nessa década boa parte dos estudos, foram
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desenvolvidos para a sala de aula, e em sala de aula (ONUCHIC, 1999). Ainda
nessa década são elaborados no Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN) (BRASIL: 1997, 1998, 1999) que trazem a resolução de problemas como um
dos propósitos do ensino de Matemática, influenciados por Standards do Conselho
Nacional de Professores de Matemática (NCTM) dos Estados Unidos (ONUCHIC e
ALLEVATO, 2005).
De acordo com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática
do Estado do Paraná, os “conteúdos propostos devem ser abordados por meio de
tendências metodológicas da Educação Matemática que fundamentam a prática
docente” (PARANÁ, 2008, p. 63). Dentre elas, pode-se destacar a Resolução de
Problemas.
Resolver problemas apresenta-se, também, como uma atividade essencial
para se aprender matemática, de acordo com os PCN+ (2002, p.112) a “resolução
de problemas é peça central para o ensino de Matemática, pois o pensar e o fazer
se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no
enfrentamento de desafios”. Contudo, o enfoque, que há muito tempo, é dado nas
salas de aula para essa atividade, privilegia os problemas de aplicação direta do
conteúdo, ou seja, na verdade exercícios de memorização, pois o aluno só é
considerado apto para resolvê-los depois de ter estudado o conteúdo necessário.
Sobre a Resolução de Problemas podemos encontrar, na literatura, de acordo
com Onuchic (1999) citando Schroeder e Lester (1989), três abordagens distintas: 1)
ensinar sobre resolução de problemas que é centrada nos passos indicados por
Polya para resolver um problema; 2) ensinar a resolver problemas, nesta proposta o
objetivo do professor se concentra na forma como a matemática é ensinada e o que
se pode aplicar na solução de problemas; e 3) ensinar matemática através da
resolução de problemas. A terceira abordagem foi o foco de nosso trabalho aqui
relatado.
Ao se ensinar matemática através da resolução de problemas, os problemas são importantes não somente como um propósito de se aprender matemática, mas, também, como um primeiro passo para se fazer isso. [...] O aprendizado, deste modo, pode ser visto como um movimento do concreto (um problema do mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o abstrato (uma representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar com esses símbolos). (ONUCHIC,1999, p.207)
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A metodologia Resolução de Problemas, não exige que se sigam regras
inflexíveis para sua aplicação, entretanto, para organizar o trabalho do professor e
dos alunos em sala de aula, as etapas sugeridas por Allevato e Onuchic (2009)
podem ser utilizadas.
O ensino de matemática através da Resolução de Problemas propõe o
problema como o ponto de partida para, a partir de sua resolução, construir-se
conhecimento. Segundo, Allevato e Onuchic (2009, p.07) baseando-se em Van de
Walle (2001) um “problema é qualquer tarefa ou atividade para a qual os estudantes
não têm métodos ou regras prescritas ou memorizadas, nem a percepção de que
haja um método específico para chegar à solução correta”. Acrescentando um
caráter subjetivo a esta questão, as autoras ainda consideram que “problema refere-
se a tudo aquilo que não sabemos fazer, mas que estamos interessados em fazer”
(ibidem).
O professor precisa ter uma idéia clara sobre o que é um problema, uma vez
que é o problema que conduzirá à aprendizagem. Ainda com relação ao professor,
ao trabalhar na perspectiva da Resolução de Problemas, também incidem
responsabilidades em relação à formação e sustentação de um ambiente propício
para a realização das tarefas pelos alunos. Deve preocupar-se em incentivar,
questionar e intervir de modo a possibilitar a resolução dos problemas, sem resolvê-
los para os alunos.
Nesse sentido, o professor exercerá um papel, muito mais complexo, do que
o de transmissor de conteúdos. Ao trabalhar com essa metodologia, exige-se mais
planejamento, mais conhecimento do conteúdo a ser estudado e mais habilidade
para se administrar o ambiente da sala.
Não há dúvida de que ensinar com problemas é difícil. As tarefas precisam ser planejadas ou selecionadas a cada dia, considerando a compreensão dos alunos e as necessidades do currículo. É frequentemente difícil planejar mais do que alguns poucos dias de aula à frente. Se há um livro-texto tradicional, será preciso, muitas vezes, fazer modificações. Entretanto, há boas razões para se fazer esse esforço. (ONUCHIC e ALLEVATO, 2005, p.223)
Trabalhos a respeito da utilização dessa metodologia indicam que ela pode
proporcionar melhorias para a aprendizagem em Matemática. Em suas
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considerações sobre os resultados de sua experiência de utilização da Resolução de
Problemas em sala de aula, Nishimura (2008, p.15), por exemplo, relata o seguinte:
A participação dos alunos ocorreu de forma dinâmica e criativa. Alunos que inicialmente pareceram inseguros na resolução de tarefas, começaram a demonstrar interesse e até iniciativa no trabalho em grupo. Foi prazeroso observar mudanças no comportamento e a satisfação de poder discutir questões matemáticas de forma bastante envolvente. O uso da Resolução de Problemas possibilitou aos alunos uma aprendizagem de atitudes, considerando que opiniões pessoais se formaram e as várias estratégias utilizadas pelos alunos para chegar às soluções de problemas sugeriram apreciações e comparações, proporcionando uma mudança significativa no cotidiano da sala de aula.
Não queremos colocar a Resolução de Problemas como solução definitiva
para os problemas enfrentados no ensino de Matemática nem como a única
metodologia a ser utilizada. Existem outras metodologias que também podem ser
utilizadas pelo professor visando à aprendizagem dos alunos. Contudo, de acordo
com Onuchic e Allevato (2005, p.230) podemos afirmar que, “esta metodologia de
ensino pode contribuir sobremaneira para uma aprendizagem mais efetiva e
significativa” da disciplina Matemática.
3 RELATO DA EXPERIÊNCIA
Nesta experiência de ensino e aprendizagem de Matemática, trabalhamos a
metodologia da Resolução de Problemas de acordo com a proposta apresentada
pelas autoras Allevato e Onuchic (2009), por meio de um problema contextualizado
em relação ao tema meio ambiente, com alunos da 1ª série do Ensino Médio
Integrado do Curso Técnico em Meio Ambiente, de um Colégio da Rede Estadual na
cidade de Ibiporã-PR.
Apresentamos neste artigo um relato a respeito das tarefas realizadas em
torno da resolução do problema, tais como algumas das resoluções obtidas pelos
alunos e uma síntese das discussões realizadas em sala de aula. Para preservar a
identidade dos alunos, conforme o termo de Cessão assinado pelos pais ou
responsáveis pelos alunos, ao longo do relato eles foram identificados como Aluno
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01, Aluno 02 e assim por diante. Todas as resoluções presentes neste artigo, foram
apresentadas na lousa.
Antes do início do desenvolvimento do trabalho, a professora explicou para os
alunos e seus pais ou responsáveis em reunião, como seria a metodologia a ser
desenvolvida nas aulas, para evitar que houvesse algum mal entendido,
principalmente porque a postura do professor ao trabalhar com a Resolução de
Problemas se difere da postura do professor em aulas que seguem o esquema
tradicional de ensino.
Os alunos demonstraram interesse em participar, mas também demonstraram
certa expectativa, pois, a proposta de discutir as resoluções das questões seria para
eles uma novidade nas aulas de Matemática. Dos 23 alunos, que até então
frequentavam as aulas, 15 participaram, até a finalização, das tarefas, que
aconteceram em período oposto ao turno que estes estudavam.
Também ficou estabelecido que utilizaríamos o dicionário da Língua
Portuguesa sempre que houvesse necessidade, e que todas as resoluções deveriam
ser feitas à tinta, assim, nas resoluções que eles considerassem erradas deveriam
apenas riscar com um “xis”.
O problema foi preparado pela professora, e os itens que o constituíam foram
apresentados aos alunos um por vez. Seguimos durante o trabalho as etapas
sugeridas por Allevato e Onuchic (2009, p. 7-8): Leitura individual, leitura coletiva,
resolução do item do problema, observar e incentivar, registro das resoluções na
lousa, plenária, busca do consenso e formalização do conteúdo.
A professora combinou também com os alunos que em todas as aulas eles
seriam avaliados por meio de sua observação em relação aos seguintes aspectos:
envolvimento e cooperação durante os trabalhos em grupo, participação na
elaboração das estratégias para resolução do problema e participação na plenária.
Para dar início ao trabalho com o problema, a professora solicitou aos alunos
que se organizassem em duplas de acordo com sua preferência, informando que
estas poderiam ser as duplas em todas as aulas seguintes. Os alunos demoram um
pouco para se organizarem conforme foi sugerido, houve certo tumulto, acreditamos
que talvez devido a vontade de “enrolar” a aula. Depois disso, a professora distribuiu
o enunciado do problema até o item a.
Durante a leitura em grupo, a professora, ao observar o trabalho nas duplas,
percebeu a dificuldade dos alunos com a pontuação, com a decodificação e o
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significado das palavras e muita timidez por parte de alguns alunos. Após a leitura
individual e leitura coletiva, a professora sugeriu-lhes então que conversassem um
pouco sobre o texto. Alguns alunos demonstraram interessar-se bastante pelo
assunto e já ter algumas ideias sobre o contexto. Na expectativa de que todos
compreendessem o texto e observassem que já possuíam informações acerca do
contexto, a professora lançou algumas questões que provocavam discussões. Ao
responderem a essas questões os alunos foram ficando mais desinibidos e
participaram das discussões.
PROBLEMA
O Quarto Relatório de Avaliação do Painel Intergovernamental de Mudanças
Climáticas (IPCC), da ONU, que veio a público no primeiro semestre, é contundente
ao afirmar, com 90% de confiança, que as atividades humanas são a causa principal
do aquecimento global observado nos últimos 50 anos e aponta o acúmulo de gases
de efeito estufa, notadamente o dióxido de carbono, o metano e o óxido nitroso, [...]
como os principais responsáveis. É certo que o rápido aumento da concentração
destes gases na atmosfera se deve à ação humana. [...]
Associada ao aquecimento já registrado, observa-se a intensificação de
alguns tipos de fenômenos meteorológicos extremos, como ondas de calor, secas,
chuvas intensas e ciclones tropicais em várias partes do globo. Em resumo,
praticamente estão descartadas causas naturais para o aquecimento das últimas
décadas, o qual se deve, em sua quase totalidade, à mudança da composição da
atmosfera por ações humanas.
O relatório projeta que o planeta continuará a aquecer numa taxa de 0,2 ºC
por década nas próximas duas a três décadas, taxa esta que é, até certo ponto,
independente do cenário de emissões de gases de efeito estufa neste mesmo
período. Até o final do século XXI a temperatura média global pode subir de 2 °C a
mais de 4 °C; o nível médio do mar, entre 28 e 59 cm, com o risco de se elevar mais
10
de 1 m, se a tendência de degelo das grandes massas de gelo da Groenlândia e da
Antártica Ocidental se acelerar, como muitos estudos recentes já apontam.[...]
Estima-se subjetivamente que poderemos evitar as conseqüências mais
perigosas das mudanças climáticas se o aumento das temperaturas globais não
ultrapassar 2 °C em relação às temperaturas da época pré-industrial.
Fonte: NOBRE, Carlos A. Mudanças climáticas globais e o Brasil: por que devemos nos
preocupar. Revista Plenarium, v.5, n.5, p.12 - 20, out., 2008.
O quadro a seguir foi elaborado, considerando que atualmente a temperatura
média do planeta Terra é de aproximadamente15°C e o aumento de 0,2°C na
temperatura média do planeta Terra seja mantido nas próximas décadas, iniciando a
contagem na década atual, que será considerada como a década zero.
Quantidade de décadas
decorridas (d)
Temperatura média do planeta Terra em °C (T)
0 15
1 15,2
2 15,4
3 15,6
Quadro 1: Valores estimados para a temperatura média do planeta Terra
Para responder às questões a seguir, considere também que esse aumento de
0,2°C na temperatura média do planeta Terra a cada década continue ao longo das
décadas seguintes, não apenas nas próximas duas ou três décadas.
Item a do Problema
No quadro apresentado, os valores referentes à quantidade de décadas decorridas e
à temperatura média do planeta Terra, mantiveram-se constantes? O que
aconteceria com a temperatura média do planeta Terra, caso a perspectiva de
aumento mínimo ao invés de 0,2°C em cada uma das próximas décadas fosse
nula?Justifique as respostas.
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O objetivo ao resolver esse item do problema era o de definir grandeza e
identificar a relação entre as grandezas.
Durante a etapa de resolução, os alunos ficaram em dúvida quanto às palavras:
década, constante e nulo. A professora então permitiu que conversassem a esse
respeito e incentivou-os também a usarem o dicionário.
Ao término das resoluções nos grupos, os alunos registraram suas resoluções na
lousa.
Figura 1: Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 02 e 03 no item a
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
Com as respostas na lousa, começamos a plenária. No início, os alunos
estavam tímidos, mas aos poucos foram participando, até chegar num ponto que
todos queriam falar ao mesmo tempo. Para a professora, conduzir os trabalhos
durante a plenária foi uma etapa trabalhosa. A questão foi lida várias vezes por eles,
que perceberam que algumas duplas não haviam respondido ao que foi perguntado,
e, em consenso, escolheram a resposta apresentada na Figura 1, como a mais
adequada.
Escolhida a resposta, iniciou-se a formalização. A professora, objetivando
falar de grandezas, questionou:
“De que maneira, vocês acham, que o IPCC conseguiu obter todos esses
dados para dizer que o planeta está ficando mais quente?”
12
Aluno 12: “Porque eles fizeram estudos”.
Aluno 04 : “Porque tem as medidas”.
A professora aproveitou essa fala do aluno para perguntar:
“Que medidas temos no quadro apresentado no problema?”
Alguns alunos responderam: “grau Celsius e décadas”.
Professora: “Foi isso o que foi medido?”
Aluno 10: “Não, foi medido a temperatura.”
Professora: “E a outra medida, ao que se refere?”
Após certo silêncio na sala, a professora disse:
“O que podemos medir em décadas?”
O aluno 10, que havia respondido anteriormente, disse: “Tempo.”
A professora questionou:
“Qual o nome dado às coisas que conseguimos medir?”
A sala ficou em silêncio. A professora apresentou a definição de grandeza e
chamou a atenção para que não confundissem grandeza com unidade de medida,
utilizando para isso o próprio quadro do problema.
Discutindo as respostas apresentadas pelas duplas, os alunos também
apresentaram dúvida quanto ao significado da palavra constante. Procuraram no
dicionário e optaram pela definição de que constante é “o que não varia”, aprovando
a interpretação da dupla que apresentou a resolução da Figura 1. A professora
aproveitou a discussão sobre a variação nas quantidades de décadas e temperatura
média do planeta Terra, que eles mencionaram ao discutir o significado de
constante, para questionar se eles haviam percebido alguma relação entre as
grandezas.
O aluno 05 disse: “ Ao dizer que os valores se mantiveram constante, nós
quisemos dizer que sempre aumentava 0,2ºC na temperatura e 1 na quantidade de
década.”
Apesar dessa constatação acertada do aluno, ainda faltava responder ao que
foi questionado no item a: No quadro apresentado, os valores referentes à
quantidade de décadas decorridas e à temperatura média do planeta Terra,
mantiveram-se constantes?
A professora questionou aos demais para observar como haviam entendido. A
maioria respondeu que constatou, mediante a observação do quadro, que os valores
estavam variando da seguinte forma: Para cada década decorrida, estava
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aumentando 0,2°C na temperatura média do Planeta Terra. Houve consenso de que
a resposta apresentada na figura 1 estava adequada.
Os conceitos formalizados foram escritos na lousa para os alunos copiarem, e
eles demoraram ao fazê-lo. Em virtude disso, a professora decidiu levar digitados,
nas próximas aulas, os conceitos que seriam formalizados e os alunos colariam em
seus cadernos.
Acreditamos ter atingido os objetivos propostos para esse item.
Item b do Problema
Existe uma relação entre a temperatura média do planeta e a quantidade de
décadas decorridas. Descreva com palavras essa relação. A partir disso, escreva
uma expressão matemática para a temperatura média (T) do planeta Terra, após
uma quantidade de décadas decorridas (d) qualquer.
A professora iniciou a aula formando um círculo com as duplas e distribuiu,
juntamente com o enunciado do item b que seria resolvido, o material que tinham
utilizado na aula anterior (folha avulsa contendo o enunciado do problema até o item
a, com as resoluções da dupla), para consulta.
O objetivo ao resolver esse item do problema era o de explorar a noção
intuitiva de função. Durante a resolução, a professora observou que várias duplas
ficaram em dúvida sobre o que seria uma expressão matemática. Os alunos
questionaram o que seria isso, e, para que pudessem dar continuidade à resolução,
a professora sugeriu que pensassem em outras grandezas que se relacionam,
dando como exemplo a fatura de água de suas casas. O aluno 12 foi até a lousa e
escreveu seu raciocínio para explicar aos outros o que ele considerava uma
expressão matemática.
Escrita do aluno na lousa: 1L= 5,00 R$
FAMÍLIA = 300L
1L = 5,00 $
300 X 5 = 1500
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O aluno 12 finalizou dizendo que achava que uma expressão matemática seria
uma fórmula onde aparecem letras e números. A professora observou que ele havia
falado de expressão algébrica e questionou se eles conheciam outros tipos de
expressão matemática.
O aluno 08 respondeu que aprendeu expressões só com números onde tinha
que resolver chaves, colchetes e parênteses. A professora disse que o aluno tinha
razão, que existem expressões matemáticas que são expressões numéricas e
questionou se para resolver esse item do problema seria viável utilizar uma
expressão numérica. O aluno 13 também foi até a lousa e fez um diagrama para
representar relações entre grandezas, dizendo que o diagrama também era uma
forma de se expressar matematicamente.
Ainda assim, eles aparentavam ter dúvida sobre o que seria uma expressão
matemática. A professora disse que a discussão estava muito produtiva e que cada
dupla deveria responder ao item com base em seus próprios conhecimentos e, se
achassem conveniente, nas contribuições apresentadas até o momento pelos
colegas.
O aluno 12 escreveu para o exemplo que ele apresentou a expressão:
X LITROS. 5 = $
Explicou sua expressão dizendo que com essa expressão ele poderia calcular
quanto uma família teria que pagar ($) para qualquer quantidade (X) de litros de
água consumida, desde que o preço fosse sempre R$ 5,00 por litro. Essa explicação
parece ter ajudado aos demais a responderem ao item b. A professora aproveitou
para dizer que se fossem utilizar letras poderiam usar T para temperatura e d para
décadas. O aluno 04 perguntou se poderia usar o “xis” explicando que sempre usam
essa letra, a professora respondeu que sim, porém, qualquer letra poderia ser
utilizada. A professora também sugeriu que escrevessem por extenso de que forma
fizeram o cálculo da temperatura para cada década, com a intenção de auxiliá-los a
obter a expressão matemática.
Os alunos foram incentivados a pensar em outros exemplos de grandeza que
se relacionam e cada dupla, a partir dessas discussões, elaborou sua resposta à
questão.
15
Na plenária do item b, os alunos estavam ansiosos para saber qual resposta
estava correta, pois respostas diferentes foram registradas na lousa, entre elas as
resoluções das Figuras 2 e 3. As resoluções apresentadas demonstravam que os
alunos perceberam que haveria um aumento na temperatura.
Figura 2: Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 02 e 03 no item b
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
Nesta resolução é possível observar que os alunos não conseguiram escrever
corretamente a relação entre a temperatura média do planeta Terra e a quantidade
de décadas decorridas, embora tenham percebido que a cada década há um
aumento de 0,2ºC na temperatura média do planeta Terra e tenham tentado
escrever uma expressão matemática. O diagrama apresentado também não está de
acordo com o quadro de valores apresentado no enunciado.
Discutindo a resolução apresentada na Figura 2 o aluno 15 questionou: “Se
fizer a conta dá o resultado?”
O aluno 04 respondeu: “Tem que somar 15 para dar certo.”
O aluno 08 sugeriu: “O cálculo tem que ser outro.”
A professora então sugeriu que escrevessem a relação por extenso.
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O aluno 04 então disse: “A temperatura média é igual ao número de décadas
vezes zero vírgula dois mais quinze.”
A professora pediu aos demais alunos que testassem se esse raciocínio levaria
aos resultados que eles haviam obtido.
O aluno 13 foi à lousa e fez o cálculo para 04 décadas e chegou em 15,8°C.
Então concluíram que o raciocínio seria esse e que a resolução apresentada na
Figura 3 estava correta.
Figura 3: Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 08 e 09 no item b
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
Na resolução da Figura 3, professora observou que a notação utilizada para
relacionar a década com sua respectiva temperatura não estava adequada, e disse
que matematicamente não podemos escrever que 0 = 15, por exemplo. Ninguém
percebeu a anotação equivocada para as temperaturas nas décadas 1, 2, 3 e 4.
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Após observar os cálculos feitos pelo aluno 13, o aluno 05 disse: “Com esse
raciocínio poderíamos calcular para uma quantidade infinita de décadas, basta saber
qual é a década que descobrimos a temperatura.”
A professora aproveitou e disse: “O que o aluno acabara de perceber é que
existe uma regularidade.”
Continuando a discussão sobre a resposta da Figura 3, o aluno 16 disse: “Uma
coisa depende da outra.”
Outros alunos falaram sobre situações do cotidiano em que um resultado
depende de outro.
O aluno 13 comentou: “Até quem nunca frequentou a escola tem uma noção
dessas coisas” e apresentou como exemplo a compra de tomate na feira.
A professora aproveitou essas discussões para falar com os alunos a respeito
da noção intuitiva de função. Acreditamos ter atingido com esse item do problema o
objetivo de explorar a noção intuitiva de função.
Item c do Problema
Utilizando a relação que você apresentou no item b, determine: qual a temperatura
do planeta depois de decorridas 30 décadas? E numa década, d, qualquer? É
possível em alguma das próximas décadas a temperatura ser menor que 15ºC?
Justifique.
Ao resolver esse item o objetivo era o de definir função como uma relação
entre dois conjuntos, definir domínio, contradomínio e imagem de uma função.
Dispondo as duplas em círculo a professora entregou a folha impressa com o
item c do problema juntamente com o material utilizado em aulas anteriores (folha
avulsa contendo o enunciado do problema e os itens a e b, com as resoluções da
dupla), para consulta.
Durante a resolução desse item as duplas chamaram poucas vezes a
professora, pois haviam tirado várias dúvidas ao resolver o item b.
18
A plenária começou com a discussão da resolução da Figura 4, pois a dupla
afirmou que a temperatura do planeta seria de 6ºC após 30 décadas decorridas e
escreveu 0,6 no resultado da operação.
Figura 4: Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 16 e 17 no item c
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
O aluno 04 lembrou-se do que havíamos discutido no item anterior, quando
ele disse que deveria somar 15ºC ao resultado do produto de 0.2 por d (quantidade
de décadas decorridas) para obter o valor da temperatura do planeta depois de uma
quantidade de décadas qualquer, e sugeriu que os alunos 16 e 17 somassem 15ºC
ao valor 6ºC.
O aluno 16 da dupla que fez a resolução da Figura 4 disse: “Professora
fizemos errado, não somei o 15.”
A professora questionou a dupla sobre que resultado, então, eles
consideravam para o acréscimo na temperatura depois de 30 décadas. Eles
responderam que o correto seria 6ºC, que escreveram 6 e 0,6, pois não sabiam qual
estaria correto, não se lembravam como fazer o cálculo. Dessa forma colocaram as
duas respostas, pois acreditavam que uma delas estaria certa. A professora refez o
cálculo junto com eles, relembrando como devem posicionar a vírgula na
multiplicação de decimais.
Depois disso, a classe concluiu que daria 21ºC.
O aluno 04 disse: “A fórmula facilita a conta.”
19
O aluno 14 não sabia como calcular usando fórmula, então o aluno 04 que
sugeriu o uso da expressão matemática, chamada por ele de fórmula, disse: “É só
trocar o número de décadas por 30.”
Eles fizeram o cálculo, e a professora percebeu nas duplas uma satisfação
por parte dos alunos em conseguir realizar o cálculo e obter o resultado por meio da
expressão matemática. Além disso, eles observaram que a resolução, apresentada
na Figura 5 a seguir, estava correta, mas foi trabalhosa, comparado com a resolução
que fizeram agora.
Figura 5: Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 08 e 09 no item c
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
A professora questionou: “Pode acontecer de haver várias décadas com a
mesma temperatura?”
Após certo silêncio o aluno 03 respondeu:
“Não, observe a resolução (Figura 5), para cada década há um valor de
temperatura diferente.”
O aluno 02 disse: “É, daria certo pra qualquer década, faz a conta.”
20
A professora aproveitou para formalizar o conceito de função.
Logo após começaram a discutir se a temperatura poderia ser menor que
15ºC, todas as duplas disseram que não, pois sempre ia aumentando.
A professora perguntou: “O produto entre dois números positivos pode
resultar em um número negativo?”
A turma, depois de segundos de silêncio, respondeu: “Não.”
O aluno 10 disse: “Não tem como ser menor que 15, pois para isso
deveríamos diminuir um valor de 15.”
O aluno 04 observou e disse: “Se o 0,2 fosse negativo daria certo.”
A professora perguntou: “O 0,2 pode ser negativo?”
O aluno 15 respondeu: “Não, pelo que está escrito no problema, não, só
aumentaria.”
A professora questionou: “A quantidade de décadas poderia ser negativa?”
O aluno 10 respondeu: “Não o tempo é sempre positivo, eu vi na matéria de
Física.”
A professora aproveitando a fala do aluno que disse que a quantidade de
décadas não poderia ser negativa, formalizou o conceito de domínio.
A professora ainda mencionou: “Na definição de função falamos de uma
relação entre conjuntos. No problema que estamos estudando que conjuntos são
esses?”
O aluno 10 respondeu: “Reais, naturais.”
A Professora questionou: “Como você chegou a essa conclusão?”
O aluno respondeu: “Pesquisei no caderno.”
A seguir a professora questionou: “Qual é o conjunto numérico que
representa o domínio da função que estamos estudando?”
O aluno 01: “Reais positivos.”
Após o aluno 01 responder isso em relação à quantidade de décadas, o aluno
10 respondeu: “A temperatura poderia ser negativa, nós já vimos temperatura
negativa.”
A professora perguntou: “Além de negativa, poderia ser 4,06°C ou 0,33°C, por
exemplo, números decimais?”
Os alunos: “Sim.”
A professora questionou: “A que conjunto numérico eles pertencem?”
21
Os alunos ficaram em dúvida. A professora, então, esclareceu que são
números reais.
O aluno 05 questionou: “Esse conjunto tem um nome específico na função,
como o outro que é domínio?”
A professora aproveitou a questão do aluno para formalizar, verbalmente, o
conceito de contradomínio.
Seguiu-se então uma discussão sobre os cálculos feitos e os resultados
obtidos na resolução da Figura 5 a partir dos quais a professora formalizou, também
verbalmente, o conceito de imagem da função.
A professora então pediu que relembrassem que no item b uma dupla
apresentou um diagrama de flechas (Figura 2) e nele poderiam observar os
conjuntos domínio, contradomínio e imagem.
A dupla que tinha feito o diagrama na lousa percebeu que haviam errado, pois
não consideraram a década zero. O diagrama foi arrumado, então essa dupla
esclareceu para a turma que os valores das quantidades de décadas seriam o
domínio, os valores da temperatura o contradomínio. No entanto, perceberam que
no diagrama que fizeram, o contradomínio e a imagem tinham os mesmos valores.
A professora questionou: “O contradomínio e a imagem terão sempre os
mesmos valores?”
O aluno 05 respondeu: “Não, o contradomínio pode ser maior, é só
pensarmos um pouco.”
A professora perguntou: “Em que poderíamos pensar?”
Ele disse: “O contradomínio pode ser qualquer valor de temperatura no
planeta e Imagem é um valor para a fórmula desse problema.”
A professora concordou com o aluno 05 e aproveitou para enfatizar que os
valores que eles calculavam e obtinham por meio da expressão matemática para a
temperatura do planeta para determinada quantidade de décadas pertenciam ao
conjunto Imagem da função e que quando se define uma função é necessário que
saibamos qual a sua lei de formação, seu domínio e seu contradomínio. A
professora complementou dizendo que no estudo de qualquer função, conhecer
esses itens é essencial. Em seguida, questionou a turma sobre quais seriam a lei de
formação, o domínio e o contradomínio da função estudada no problema.
Os alunos ainda não estavam familiarizados com o termo lei de formação,
então a professora, reformulou a pergunta utilizando o termo expressão matemática
22
e eles responderam. A participação dos alunos estava boa, a maioria estava
interessada, mas não agradava a todos.
Durante essa plenária o aluno 14 disse: “Tá demorando muito no mesmo
assunto, está ficando cansativo.” Esse mesmo aluno, havia dito que as aulas não
estavam parecendo aula de Matemática que “ler texto era coisa de Português”.
Acreditamos que reações como essa do aluno 14 sejam provenientes do fato
de não estarem acostumados a trabalhar com a Resolução de Problemas. A ideia de
aula para a maioria do alunos, ainda é, aquela em que o professor escreve o
conteúdo na lousa, explica, dá exemplos variados e depois solicita aos alunos que
resolvam exercícios similares. O professor ao trabalhar com a Resolução de
Problemas deve estar preparado para enfrentar situações como essa e seguir em
frente, deixando claro aos alunos os objetivos que espera alcançar.
Em resposta ao aluno 14 a professora conversou a respeito dos objetivos que
esperava alcançar com essas aulas e pediu a ele que participasse e deixasse para
avaliar o trabalho que estava sendo desenvolvido no final da implementação do
projeto. Essa resposta teve como intenção que com o passar das aulas, e o possível
engajamento de todos na Resolução de Problemas, o aluno 14 percebesse que, a
cada dia, diferentes conceitos estavam sendo discutidos, de forma participativa com
respeito às opiniões, e, desse modo, ele pudesse perceber que assim há um
incentivo para participar das aulas de Matemática, favorecendo a aprendizagem.
Respondendo à fala do aluno 14, quanto à demora, o aluno 08 respondeu: “É,
mas cada dia aprendemos coisas novas.”
O aluno 09 disse: “Acho que tá legal, eu nunca participei da aula de
Matemática e agora tô entendendo.”
Percebemos a necessidade de trabalharmos outros problemas que abordem
os conceitos estudados nessas aulas, ainda assim, acreditamos ter atingido o
objetivo de definir função como relação entre dois conjuntos, definir domínio,
contradomínio e imagem de uma função.
23
Item d do Problema
Na expressão matemática obtida no item b temos letras e números, quais?Estima-se
que a temperatura média do planeta Terra na época pré-industrial era,
aproximadamente, 0,8ºC menor que a temperatura atual. De acordo com a
expressão matemática obtida, após que quantidade de décadas decorridas, seria
ultrapassado o limite de 2°C em relação à temperatura média do planeta Terra na
época pré-industrial? O que poderíamos supor em relação à projeção mencionada
no texto do enunciado para o valor da temperatura global até o final do século XXI, a
partir da expressão obtida?
Ao resolver esse item os objetivos eram: definir variável, variável dependente
e variável independente, definir função polinomial, definir função polinomial do 1º
grau, definir função afim, definir inequação do 1º grau.
Como o trabalho com as duplas dispostas em círculo na sala de aula nos
dias anteriores resultou numa participação maior dos alunos, a professora manteve
essa distribuição. Foi distribuído o enunciado para a resolução do item d, juntamente
com o material com os itens anteriores.
Durante a resolução desse item, várias duplas não conseguiam descobrir qual
era a temperatura na época pré-industrial, e demoraram um pouco para iniciar a
resolução. A professora precisou intervir, pedindo que um aluno lesse novamente a
questão e fez alguns questionamentos tais como:
“ Qual o valor considerado para a temperatura média do planeta Terra
atualmente?”
Todos responderam: 15ºC.
Uma dupla percebeu que deveria subtrair 0,8ºC e encontrou o valor da
temperatura na época pré-industrial. As demais duplas tiveram bastante dificuldade,
principalmente em fazer a subtração 15 – 0,8. A professora sugeriu que usassem a
calculadora, e os alunos resolveram esse problema, exceto uma dupla que não
conseguia manusear a calculadora para realizar essa operação e a professora
orientou-os, primeiro retomando as operações adição e subtração com números
decimais, utilizando o algoritmo e depois ajudou-os a realizar o cálculo utilizando a
calculadora.
24
Depois disso, quase todas as duplas conseguiram resolver o que era pedido
na questão, mas encontraram um pouco de dificuldade em responder: “O que
poderíamos supor em relação à projeção mencionada no texto do enunciado para o
valor da temperatura global até o final do século XXI, a partir da expressão obtida?”
A professora sugeriu que relessem o texto do enunciado e observassem qual
foi a projeção mencionada, a saber: Até o final do século XXI a temperatura média
global pode subir de 2 °C a mais de 4 °C.
Durante a plenária houve bastante discussão para se chegar a um consenso,
pois, algumas duplas divergiam na resposta.
O aluno 05 sugeriu: “Vamos ler as perguntas e ver as respostas por parte.”
A turma concordou e eles começaram a analisar as respostas que estavam
na lousa, entre elas as resoluções que aparecem nas Figuras 6 e 7.
Durante a formalização do item b, já havíamos escrito a expressão utilizando
as letras T e d, assim, todas as duplas que responderam, fizeram da mesma forma
a primeira parte da questão sobre as letras e os números. Nesse momento a
professora abordou os conceitos de variável dependente e independente, para isso
sugeriu que os alunos relembrassem o que haviam discutido sobre noção intuitiva de
função no item a e definição de função como relação entre dois conjuntos.
Questionados se conseguiam identificar tais variáveis nas resoluções
apresentadas, todas as duplas identificaram a temperatura média do planeta Terra
(T) como variável dependente e a quantidade de décadas decorridas (d) como
variável independente.
Depois dessa discussão a professora chamou a atenção da turma para a
resposta da dupla que escreveu “variáveis e coeficientes” (Figura 6) a seguir, e
perguntou a eles por que utilizaram esses nomes.
25
Figura 6: Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 02 e 03 no item d
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
Resposta da dupla: “A gente escreveu porque a senhora disse para nós
lembrarmos o que estudamos na sétima série sobre álgebra, quando a gente
resolveu a letra b.”
O aluno 06 perguntou: “Tá certo?”
A professora aproveitou o momento para formalizar esses conceitos.
Depois disso continuaram a analisar as respostas, o aluno 05 foi direcionando
o raciocínio e as duplas perceberam que não haviam respondido corretamente a
questão “após que quantidade de décadas decorridas seria ultrapassado o limite de
2ºC”. Perceberam que a resposta que apresentaram estava relacionada à
quantidade de décadas correspondentes ao acréscimo de 2ºC, ou seja, 10 décadas.
Alguns alunos disseram: “Temos que descobrir em quantas décadas chegou
em 16,2ºC.”
O aluno 01 respondeu: “Pela minha conta dá para saber que foi na 6ª
década.”
Várias duplas disseram que era possível concluir que o limite de 2ºC seria
ultrapassado. A professora questionou então quando seria. Depois de conversarem
e contarem as décadas, a partir da atual, que já haviam discutido quando resolveram
o item a, concluíram que seria na década que começa em 1º de janeiro de 2070.
Os alunos da dupla que respondeu que não ultrapassaria o limite de 2ºC
( Figura 7 ) a seguir, perceberam que pelo raciocínio que tiveram, não consideraram
o século XXI com 10 décadas e, pelo cálculo apresentado nem tomaram como
referência a temperatura da época pré-industrial.
26
Figura 7: Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 16 e 17 no item d
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
Nenhuma dupla utilizou desigualdades, nem havia respondido que o limite
seria ultrapassado a partir da 6ª década. Ao concluírem que o limite seria
ultrapassado a partir da 6ª década, houve muita discussão sobre o aquecimento
global, causas e consequências.
O aluno 05 disse: “Pelas contas que fizemos com essa fórmula dá para ver
que a temperatura vai ser maior do que a projeção, estamos perdidos.”
O aluno 10 respondeu: “Ainda que só tá considerando um aumento de 0,2ºC,
eu já ouvi no jornal que pode ser mais que isso.”
O aluno 06 questionou: “Será que tem jeito de parar esse negócio?”
Durante essa discussão quase todos os alunos disseram algo, tinham uma
opinião. A professora sugeriu que fizessem uma pesquisa sobre o aquecimento
global para perceberem se podíamos fazer algo. Decidiram que deveriam fazer
algum tipo de campanha de conscientização no colégio.
Para a formalização dos conceitos, a professora distribuiu a folha com os
conceitos impressos e sugeriu que observassem o que estava escrito e procurassem
nas resoluções. O primeiro conceito se referia às variáveis. Os alunos conseguiram
identificá-las na expressão matemática que haviam escrito, e, o aluno 04 perguntou
se poderia usar as letras x e y como variáveis, porque ele já tinha visto assim. A
professora disse que sim e aproveitou para falar sobre função polinomial.
Alguns alunos não sabiam a definição de polinômio, devido a isso a
professora questionou a sala se alguém se lembrava. Leram o significado no
dicionário, mesmo assim não se lembravam, pois no dicionário falava em soma
algébrica de monômios. Então a professora explicou todos esses conceitos, sempre
a partir das resoluções dos alunos, para que não ficassem dúvidas a esse respeito.
27
Quando foi destacada a expressão matemática do problema como sendo a
expressão que representa uma função polinomial do primeiro grau, alguns alunos
disseram que já tinham estudado função, que existia também a do 2º grau, mas que
não sabiam dizer por que usavam esse nome. Discutiu-se então sobre grau dos
polinômios.
Em seguida, a professora pediu que um aluno lesse a definição de função
afim.
O aluno 10 comentou: “Tá escrito na folhinha que para ser função afim tem
que ser domínio ‘Reais’, e contradomínio ‘Reais’.”
A professora concordou e enfatizou que uma mesma lei de formação (nesse
momento eles já conheciam esse conceito) pode ter domínio e contradomínio
diferentes quando associadas a contextos diferentes.
O aluno 16 disse: “Não entendi, como assim?”
A professora percebeu que muitos alunos tinham dúvidas sobre esse assunto,
então sugeriu que pensassem na lei de formação T= 15 + 0,2d, considerando T o
preço de uma passagem de ônibus e d a distância percorrida em quilômetros.
Perguntou se nesse caso o domínio e o contradomínio poderia ser o conjunto dos
números reais.
Depois de um breve silêncio, o aluno 03 respondeu: “Não, porque o T seria o
preço e não pode ser negativo.”
A dupla formada pelos alunos 04 e 05 respondeu que tinha entendido e ainda
disseram que agora perceberam por que estudaram conjuntos numéricos. A
professora questionou o aluno 16, que disse não ter entendido o que estava sendo
discutido, e ele respondeu que agora estava começando a entender. A professora
percebeu que a dúvida não era apenas do aluno 16, e deu outros exemplos
utilizando a lei de formação T= 15 + 0,2d considerando outros contextos.
Para finalizar, uma aluna leu a definição de inequação. A professora
questionou sobre o porquê dessa definição se não havia inequação nas resoluções
apresentadas. Nenhum aluno respondeu. Então, a professora apresentou aos
alunos outra possibilidade de resolução para essa questão, por meio de uma
inequação, e formalizou o conceito de inequação.
Consideramos que essas discussões foram muito importantes para a
construção, por parte dos alunos, dos conceitos de função polinomial do 1º grau e
função afim. Encontramos dificuldades, como por exemplo: a falta de intimidade de
28
alguns alunos com a linguagem algébrica; a dificuldade em realizar cálculos com
números decimais; a dependência da aprovação ou não de suas resoluções pela
professora.
Ainda assim, a partir das resoluções apresentadas neste item, e também
retomando itens anteriores, consideramos ter atingindo os objetivos de definir
variável, variável dependente e variável independente, definir função polinomial,
definir função polinomial do 1º grau, definir função afim, definir inequação do 1º grau
tendo os alunos como co-construtores da “matemática nova” abordada (ALLEVATO;
ONUCHIC, 2009, p. 8).
Item e do Problema
Além de representar esses dados na forma de um quadro, de um diagrama, ou
utilizando a escrita por extenso, você poderia representá-los de outra forma? Qual?
Represente-os, justificando a disposição dada aos valores das quantidades de
décadas decorridas e da temperatura média do planeta.
Ao resolver esse item o objetivo era o de definir gráfico cartesiano, identificar
o gráfico da função afim, identificar uma função afim crescente.
No dia em que o item e do problema foi resolvido, ocupamos outra sala,
diferente da utilizada nas aulas anteriores.Nesta sala não pudemos continuar com a
disposição das duplas em círculo, pois era a sala de vídeo do colégio mais ampla e
com o piso em degraus. As duplas ficaram bem afastadas umas das outras, o que
dificultou um pouco o atendimento pela professora, e permitiu que os alunos
ficassem mais dispersos. No entanto, eles já estavam acostumados com a dinâmica
das aulas utilizando a metodologia Resolução de Problemas, fato que favoreceu a
continuidade dos trabalhos.
Depois de ler a questão, imediatamente vários alunos perguntaram: “É pra
fazer gráfico?”
A professora respondeu: “Gráfico é um outro jeito de representar dados?”
Ao concluírem que sim, todos resolveram fazer gráficos. A professora então
sugeriu que, se quisessem, poderiam usar o papel milimetrado. Alguns alunos
perceberam a vantagem em utilizá-lo.
29
Duas duplas fizeram gráfico de colunas, a professora não interferiu. Contudo,
uma das duplas decidiu fazer um gráfico cartesiano também. A professora
questionou por que, e eles responderam que é o tipo de gráfico que eles mais
encontram, pois estavam vendo na disciplina de Física. Uma dupla ficou em dúvida
onde localizaria o zero. A professora perguntou se eles já haviam construído gráficos
antes, eles disseram que sim, mas ainda tinham dúvidas em alguns aspectos.
Os alunos terminaram suas resoluções, todas as duplas construíram gráficos,
03 delas escreveram na lousa, as resoluções, Figuras 8, 9, 10 e 11, em seguida
iniciamos a plenária.
A professora questionou a turma: “Por que fizeram gráfico?”
O aluno 04 respondeu: “Percebi pelas evidências. Vi que a senhora trouxe
régua e esse papel quadriculadinho que usamos para fazer gráfico.”
O aluno12 respondeu: “Baseado na questão dá para perceber.”
A professora questionou a dupla que fez dois gráficos: “Por que fizeram o 2º
gráfico (Figura 9)? ”
O aluno 03 da dupla disse: “É mais fácil de entender, o gráfico cartesiano.”
A professora questionou: “Como vocês, e outros, sabem que o nome desse
tipo de gráfico é cartesiano?”
O aluno 02 respondeu: “Não temos a menor ideia.”
O aluno 12 falou: “Porque quem inventou ele tem alguma coisa de
cartesiano no nome.”
A professora questionou: “Como é o nome?”
Como os alunos não sabiam, a professora nesse momento falou sobre Renè
Descartes. Os alunos se interessaram bastante.
O aluno 03 da dupla que construiu os dois gráficos reafirmou que o
cartesiano era melhor, no sentido de que seria mais fácil construir. O aluno 05 disse
que no gráfico de colunas também era possível analisar os valores de temperatura
em cada década.
A professora solicitou que ele apontasse no gráfico de colunas onde estava
representada, por exemplo, a temperatura depois de 1 década e meia. Ele constatou
que naquele gráfico não tinha esse dado. O aluno 02 observou que no gráfico
cartesiano isso seria possível encontrar, principalmente, com a ajuda do papel
milimetrado. A turma concordou que para representar função, o melhor tipo de
gráfico seria o cartesiano.
30
Figura 8. Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 02 e 03 no item e
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
Figura 9. Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 02 e 03 no item e
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
31
A professora questionou as duplas sobre a disposição dos valores no
gráfico, pois os gráficos nas resoluções dos alunos divergiam. Assim como a
resposta da Figura 11, apresentada, a maioria deles não apresentou uma
justificativa.
Figura 10: Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 01 e 09 no item e
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
O aluno 03 disse: “Porque as décadas passam e a temperatura aumenta.”
A professora questionou de onde tiraram os valores.
O aluno 14 respondeu: “Do quadro (mencionando o quadro do enunciado do
problema).”
A professora pediu que ele formasse pares com aqueles números e ele,
corretamente, relacionou os valores de quantidade de décadas e o correspondente
valor de temperatura média do planeta Terra. O aluno 07 comentou que deveriam
ser colocadas bolinhas (referindo-se aos pontos no plano cartesiano) em cada local
em que as linhas (referindo-se às pontilhadas que são geralmente feitas pelos
professores para localizar um ponto no plano cartesiano) se encontram. A
professora questionou se haviam colocado todos os pontos no gráfico.
O aluno 07 respondeu: “Sim, mas no 3º gráfico (Figura 11) tem uma bolinha
a mais, o zero e zero.”
A professora questionou: “O que essa bolinha representa no problema?”
O aluno 05 respondeu: “Que na década zero a temperatura é zero.”
O aluno 02 então disse: “Mas na década zero é 15, como colocamos no
nosso gráfico (Figura 9).”
32
Figura 11: Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 06 e 14 no item e
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
Chegou-se ao consenso que o gráfico que melhor representava a função
polinomial do 1º grau do problema era o gráfico da Figura 9, outras duplas também
resolveram dessa maneira.
Durante a formalização, a professora distribuiu uma folha com os conceitos
impressos e sugeriu que os alunos observassem o que estava escrito e a resolução
de consenso. Concluíram que no gráfico de consenso (Figura 9) a distribuição dos
valores nos eixos não estava adequada, já no gráfico que aparece na Figura 11
estava. Foi sugerido também que construíssem na lousa o gráfico correto e o aluno
14 fez. Nesse momento puderam responder sobre a distribuição dos valores nos
eixos, que até então, não havia sido discutido. Um aluno questionou a respeito de
colocar os valores da variável dependente no eixo horizontal e os valores da variável
independente no eixo vertical e a questão foi encaminhada à turma.
Houve uma discussão e foi estabelecido que os valores da variável
independente localizamos no eixo das abscissas e os valores da variável
dependente no eixo das ordenadas.
Continuando a formalização a professora chamou a atenção para o termo
“bolinhas” que eles haviam utilizado para referirem-se aos pontos no plano, e
formalizou os conceitos de par ordenado, referindo-se aos pares que haviam
33
formado, e quadrantes indicando-os no plano desenhado no gráfico apresentado
pelo aluno 14.
Os alunos foram questionados por que todos os gráficos cartesianos
apresentados tinham os pontos unidos formando uma reta. Após segundos de
silêncio responderam que sempre tem que unir os pontos. A professora perguntou
também se sempre seria uma reta. O aluno 01 respondeu que achava que não, mas
se fizer certinho (referindo-se a escala) daria uma reta.
A professora então sugeriu que calculassem outros valores de imagem,
valores intermediários para a quantidade de décadas, e fossem colocando no
gráfico. Com a ajuda da professora fizeram os cálculos e observaram que, quanto
mais valores calculassem, e, respeitando uma escala, o gráfico se aproximava de
uma reta. A professora disse que essa era uma característica da função polinomial
do 1º grau e que a figura geométrica que representa o gráfico, depende da função
que está sendo estudada.
O aluno 10 disse que já tinha visto outros gráficos, e fez o desenho de uma
parábola na lousa. Nesse momento a professora aproveitou para falar do gráfico da
função afim e a questão do domínio da função, observando que no gráfico de
algumas duplas existiam valores negativos para a quantidade de décadas, devido ao
prolongamento que fizeram da semi-reta. O aluno 03 disse não saber que não podia
prolongar o gráfico, devido ao contexto do problema, para o terceiro quadrante onde
haveriam valores negativos do eixo x.
A professora aproveitou para explorar no gráfico a questão do domínio e
contradomínio estabelecido para a função estudada. Mostrou aos alunos como
poderiam identificar se um gráfico representa ou não uma função, pedindo que o
aluno 03 fosse à lousa e desenhasse retas paralelas ao eixo vertical, e explicou
como fazer a análise. Uma observação interessante do aluno 10 ao estudar o gráfico
foi a de que no gráfico pode-se perceber melhor o quanto a temperatura está
aumentando. Aproveitando essa fala do aluno foi formalizado o conceito de função
afim crescente.
Construir os gráficos ocupou grande parte do tempo. Acreditamos ser
importante relatar que ainda existia em alguns alunos a necessidade de saber se
haviam acertado ou errado, embora existisse o ambiente de colaboração entre eles,
também podia se observar certa competitividade. Para alguns essa competitividade
servia de estímulo, para outros era inibidora, exigindo intervenções da professora
34
para que os alunos pudessem discutir suas idéias e suas estratégias de resolução
sem temer o julgamento dos colegas e ainda, respeitar as opiniões dos mesmos.
Item f do Problema
E se, ao contrário, de todas as projeções científicas, a temperatura média do planeta
Terra começasse cair 0,2°C em cada uma das décadas seguintes à década atual,
como ficaria a expressão matemática que fornece a temperatura média do planeta
Terra (T), após uma quantidade de décadas decorridas (d) qualquer? E a
representação feita no item e? Apresente semelhanças e diferenças entre as
expressões obtidas e as representações feitas.
No dia em que resolveram esse item os alunos já estavam cientes de que
encerraríamos a resolução do problema. Já conheciam a dinâmica de trabalho.
Demonstraram não querer que esse “tipo” de aula terminasse. Fizeram as tarefas
propostas com mais rapidez. Receberam a questão do dia e todos os materiais das
resoluções que realizaram nas aulas anteriores.
Durante a resolução, poucas vezes as duplas chamaram a professora em
suas carteiras, resolveram com tranquilidade a questão. E iniciamos a plenária.
Depois de desenharem os gráficos na lousa, o aluno 05 percebeu que havia
algo errado com a disposição dos valores nos gráficos das Figuras 12, 13 e 14, ele
apontou que no gráfico da Figura 12 aparecem dois zeros e nas Figuras 13 e 14, os
valores dispostos no eixo vertical abaixo de zero devem ser negativos.
35
Figura 12: Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 12 e 13 no item f
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
A dupla que fez a resolução da Figura 11 não concordou com a observação
do colega, dizendo que em Física é assim. O aluno 15 disse que não, que só tem
um zero mesmo.
A professora questionou: “Quais são os números que estão entre o primeiro
zero e o segundo zero?” Houve um breve silêncio. Alguns disseram que não sabiam.
O aluno 05 respondeu: “Nenhum.” Nesse momento a professora aproveitou
para relembrar conceitos sobre a reta real e o plano cartesiano. Os alunos
concordaram que deveria ter apenas um zero, lembrando-se da origem do sistema
cartesiano.
O aluno 08 sugeriu o seguinte para a dupla que fez a resolução da Figura 12:
“O gráfico fica certo, é só mudar o eixo y para onde está o segundo zero.” A dupla
fez isso. O aluno 02 ainda chamou a atenção para a identificação dos eixos, que
deveriam indicar temperatura (ºC) no eixo vertical e tempo (décadas) no eixo
horizontal, como haviam visto em aulas anteriores.
Durante a discussão do gráfico da Figura 13 a professora questionou por que
haviam colocado os números daquela forma, (outras duplas também resolveram do
mesmo jeito) os alunos da dupla responderam que é porque a temperatura estava
caindo.
36
Figura 13: Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 10 e 11 no item f
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
O aluno 05 já havia observado que os valores do eixo vertical da Figura 13
não tinham a disposição correta, ele mencionou que os valores abaixo do zero são
negativos e o primeiro deles (referindo-se ao inteiro negativo mais próximo do zero)
é o -1.
O aluno 10 disse que percebera que as temperaturas não eram negativas,
mas havia colocado dessa forma porque entendeu que por se tratar de “uma baixa”
na temperatura, os valores deveriam ficar todos abaixo de zero. O aluno 10 concluiu
dizendo que havia entendido como deveriam ser dispostos os valores quando foi
discutido o gráfico da dupla anterior (Figura 12).
O aluno 08 percebeu que apenas a resolução da Figura 14 apresentava
resposta completa à questão.
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Figura 14: Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 02 e 03 no item f
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
Os alunos decidiram considerar como resolução correta o gráfico da Figura
12, corrigido, e as respostas, com exceção do gráfico que estava incorreto, da
resolução da Figura 14. Observando essas duas resoluções a professora formalizou
os conceitos que pretendia.
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Ao resolver esse item os objetivos eram: definir coeficiente angular e
coeficiente linear, identificar o gráfico de uma função afim decrescente. Os alunos
conseguiram identificar com tranquilidade os coeficientes nas funções T= 15 +0,2d e
T= 15 – 0,2d, e, depois de formalizados 0,2 e –0,2 como coeficientes angulares e 15
como linear, demonstraram conseguir identificar coeficiente angular e linear em
outros exemplos de funções polinomiais do 1º grau mencionados pela professora.
Durante a plenária o aluno 05 já havia dito que nesse caso o gráfico
construído seria de uma função decrescente
Item g do Problema
O que aconteceria com a água, na superfície do planeta, caso continuasse a
redução de temperatura apresentada no item f depois de decorridas 75 décadas?
Durante a resolução desta questão a professora percebeu que nem todas as
duplas anotaram os cálculos na folha de resolução, apenas deram a resposta.
Apresentaram dúvida quanto ao resultado da multiplicação de 75 por -0,2, devido ao
sinal negativo e também quanto ao que aconteceria com a água salgada do mar.
Discutindo entre si, resolveram rapidamente a primeira dúvida. A outra que se referia
ao que aconteceria com a água do mar ficou, nesse momento, sem resposta.
Durante a plenária, o aluno 10 da dupla que fez a resolução apresentada na
Figura 15 só de observar a resolução das outras duplas percebeu o equívoco e
disse que não prestou atenção na leitura.
Figura 15: Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 10 e 11 no item g
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
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Chegaram rápido ao consenso de que a resolução da Figura 16 estaria
correta.
Figura 16: Resolução apresentada pela dupla formada pelos alunos 02 e 03 no item g
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
A partir dessa resolução, foi formalizado o conceito de raiz ou zero da função.
A professora questionou se seria possível encontrar a raiz da função definida pela
expressão T = 15 + 0,2d, que o aluno utilizou na resolução da Figura 15. Pensaram
um pouco e responderam que não. O aluno 08 respondeu “só dá zero se o 0,2 for
negativo”. O aluno 03 observou que para a expressão T = 15 + 0,2d também daria
zero se o 75 a ser substituído em d fosse negativo, mas d representa tempo e não
poderia ser um valor negativo. A professora questionou se em outro contexto
existiria então a raiz dessa função, os alunos responderam que sim desde que o 75
pudesse ser negativo.
A professora falou sobre a importância de se conhecer o domínio da função e
ainda esclareceu, verbalmente, que outra maneira de se determinar o zero ou raiz
da função é igualar a zero a expressão que define a função e resolver a equação
obtida. O aluno 03 disse não ter entendido. A professora fez o cálculo, 0= 15 +0,2d,
obtendo d= -75. Eles, rindo, perguntaram por que a professora não tinha ensinado
isso antes. Ela então escreveu na lousa outra função e pediu que obtivessem sua
raiz, e os alunos o fizeram corretamente. A professora chamou a atenção para a lei
de formação, e relembrou-os do que tinham estudado sobre a relação entre as
grandezas.
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O aluno 12 complementou dizendo: “Nessa fórmula se tem valor de T dá prá
calcular d, e vice-versa.”
Cabe destacar também que durante a plenária os alunos elogiaram a
resposta do aluno 05 que apresentou suas considerações na resolução da Figura 17
Figura 17: Resolução apresentada pelo aluno 05 no item g
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
Suas considerações motivaram a discussão sobre as condições de vida no
planeta, a discussão sobre o congelamento ou não da água do mar retornou. A
professora informou que a presença de sais altera o ponto de solidificação da água e
que a água do mar congela, aproximadamente, a -1,9ºC e a água da superfície dos
rios e lagos, observadas as condições de pressão e salinidade congelam a 0ºC.
A professora ainda sugeriu aos alunos que questionassem o professor de
Química sobre esse assunto ou fizessem uma pesquisa a respeito, como forma de
ampliar seus conhecimentos, ficou combinado que se informações diferentes fossem
apresentadas, eles discutiriam em sala de aula no período regular.
Depois dessa sugestão o aluno 05 fez uma observação interessante dizendo
que qualquer que fosse a situação: temperatura média do planeta Terra aumentar
muito ou temperatura média do planeta Terra diminuir muito, não seria boa para a
humanidade. Os demais concordaram e fizeram suas considerações sobre o
descaso do homem com o planeta.
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Esperávamos com a resolução desse item definir zero ou raiz de uma função.
Acreditamos tê-lo atingido.
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao desenvolver este trabalho tínhamos como objetivo principal proporcionar
por meio da Resolução de Problemas, o estudo de alguns conceitos pertinentes ao
Conteúdo Função Polinomial do 1º grau, utilizando um problema contextualizado em
relação ao tema meio ambiente. Acreditamos ter atingido esse objetivo.
A dinâmica estabelecida nas aulas, devido à utilização da Resolução de
Problemas na perspectiva adotada, favoreceu para que os alunos percebessem que
são capazes de aprender Matemática. Também possibilitou um trabalho cooperativo
entre os alunos em que estes puderam discutir ideias, estratégias de resolução e
analisar os resultados obtidos para as questões.
No início, exigiu muito empenho da professora, para que o ambiente da sala
de aula tivesse a disciplina necessária para a realização das plenárias de modo que
houvesse o respeito à opinião dos colegas, mas aos poucos isso foi ocorrendo e
ficando prazeroso. A princípio, nem todos os alunos acreditavam que poderiam
aprender, sem que o professor iniciasse a aula escrevendo na lousa e explicando
exercícios.
O aluno 14, por exemplo, no início dos trabalhos reclamava de fazer as
leituras e dizia que a dinâmica era cansativa, inclusive por ter que discutir todas as
resoluções. No último dia do projeto os alunos responderam uma autoavaliação
escrita à respeito de sua participação nas tarefas e também do projeto em si. Na
Figura 18, apresentamos a resposta do aluno 14 à questão: “Sobre as aulas
ministradas utilizando essa metodologia posso dizer que: ”
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Figura 18: Resposta do aluno 14 a uma das questões da autoavaliação
Fonte: Adriana Chinotti Aguiar
Estudamos muito sobre essa metodologia para depois utilizá-la, isso
favoreceu para que tivéssemos paciência em aguardar os resultados. O
desenvolvimento do aluno 14 foi um exemplo disso. Ele, e também os demais
alunos, aos poucos foram percebendo que poderiam aproveitar esse momento de
autonomia para aprender.
Autonomia para expressar as ideias foi a característica que mais marcou,
positivamente, os alunos que participaram dessas aulas. Não é um trabalho fácil
para o professor, exige preparo, estudo do conteúdo e a respeito da estratégia
metodológica. Ao utilizarmos esta metodologia saímos da zona de conforto e
passamos a trabalhar, por mais que nos preparemos, com o inesperado.
Acreditamos ter possibilitado aos alunos desta turma construir conceitos
matemáticos relacionados à Função Polinomial do 1º grau, no contexto do tema
meio ambiente. Nessas aulas discutimos conceitos, que os alunos foram construindo
a partir de suas resoluções. Não foram conceitos definidos no início da aula,
ensinados e treinados por meio de exercícios de aplicação. Da forma como foram
abordados os conceitos, percebemos que os alunos conseguiram mobilizá-los para
além do contexto do tema meio ambiente, demonstrando que essa alternativa de se
trabalhar com a Resolução de Problemas é viável, no sentido de tornar o
aprendizado mais significativo, pois oportuniza ao aluno aprender matemática com
compreensão.
Não poderíamos deixar de mencionar que passamos por dificuldades durante
o trabalho desenvolvido: alguns alunos se dispersavam durante as aulas; durante a
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plenária tínhamos que chamar a atenção de outros; em alguns momentos tivemos
que abandonar o problema que estávamos resolvendo para retomar algum conceito,
possivelmente já estudado pelos alunos em anos anteriores, necessários para
aquela resolução, mas que os alunos ainda não dominavam, como aconteceu ao se
trabalhar as operações com números decimais; por ser em período oposto alguns
alunos faltavam e na aula seguinte que frequentavam já não estavam inteirados do
desenvolvimento do problema.
Durante as plenárias observamos que parte dos alunos não tem o hábito de
questionar seus colegas, seja por inibição, falta de costume, falta de argumentos,
entre outros. Desse modo, as questões que formulavam eram dirigidas à professora
que em alguns momentos as direcionava para os autores das resoluções, ou para a
turma. Acreditamos que a continuidade do trabalho com a Resolução de Problemas
com esses alunos possa favorecer para que se familiarizem com essa dinâmica.
Levando em conta todos os aspectos destacados, faríamos novamente um
trabalho semelhante a esse com a Resolução de Problemas, pois foi gratificante
perceber o empenho de alguns alunos, a participação, o interesse, a tão sonhada
motivação para aprender. Podemos dizer que o contexto os atraiu, mas a
metodologia foi que os fez aumentar gradativamente o interesse, pois eles
percebiam que mesmo tendo conseguido resolver as questões com os conceitos
matemáticos que conheciam até então, sempre podíamos explorar novos conceitos
a partir de suas resoluções, favorecendo para que cada questão se tornasse um
problema (de acordo com o caráter subjetivo atribuído por Allevato e Onuchic (2009,
p. 7) a o que seja um problema, “problema refere-se a tudo aquilo que não sabemos
fazer, mas que estamos interessados em fazer”), pois os alunos demonstravam
interesse em resolvê-la.
Ainda assim, percebemos que o problema, por apresentar vários itens, foi
extenso e, com isso, se tornou um pouco cansativo abordar o mesmo contexto
durante diversas aulas. Em outra oportunidade o reformularíamos para que pudesse
melhorar nesse aspecto. O trabalho em período oposto, com uma quantidade menor
de alunos, favoreceu bastante para que pudéssemos atingir os objetivos propostos.
Contudo, percebemos que esta metodologia é viável para o trabalho em sala de
aula, em aulas regulares, mesmo que tenhamos que adequar os problemas
propostos, a dinâmica da plenária e formalização, com a carga horária das aulas e o
número de alunos por turma.
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Essa experiência associada à nossa trajetória como docente na escola
pública nos faz acreditar, ainda mais, que possuímos condições para auxiliar nossos
alunos em seu processo de aprendizagem.
5 REFERÊNCIAS
ALLEVATO, N. S. G; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, n.55, 2009.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília. MEC/SEMTEC, 1999. ___________PCN+ Ensino Médio - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília. MEC, SEMTEC,2002. ___________ Senado Federal. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional: nº 9394/96. Brasília, 1996. NISHIMURA, Nilza Tomie. Relato de Experiência: Resolução de Problemas – Um estudo em sala de aula. Projeto de Intervenção Pedagógica (Programa de desenvolvimento Educacional), SEED/PR, 2008. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos>. Acesso em: 14 fev. 2011. ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V.(org.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 1999. cap.12, p. 199-220. ONUCHIC, L R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (orgs). Educação Matemática - pesquisa em movimento. 2.ed. São Paulo: Cortez, 2005. p. 213-231. PARANA. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2006. VASCONCELOS, M. B. F; RÊGO, R. G. A Contextualização como recurso para o ensino e a aprendizagem da Matemática. In: VI EPBEM, Monteiro. PB, 2010.