gerson - calculo de pilares

Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado

Eng. Alio Ernesto Kimura 1

1 Sobre o tema

O cálculo de pilares de concreto armado é, sem sombra de dúvidas, um dos temas

mais interessantes e instigantes de toda Engenharia de Estruturas. Trata-se de um

assunto que está sempre em voga, é cercado por muitas discussões e, naturalmente,

por algumas divergências e controvérsias.

Com a entrada em vigor da NBR 6118:2003, inúmeras dúvidas a respeito do cálculo de

pilares surgiram no meio técnico profissional, visto que diversas novidades foram

introduzidas nessa recente norma de concreto.

Apenas para citar um exemplo, se antes na extinta NBR 6118:1978 tínhamos apenas

um método para analisar os efeitos locais de 2ª ordem, hoje, na atual NBR 6118:2003,

temos quatro formulações distintas disponíveis, levando-nos a questionar:

Qual método deve ser adotado no projeto de um edifício usual?

Como obter a rigidez de um diagrama N, M, 1/r?

Qual método tornará a estrutura mais segura?

Em quais casos deve-se utilizar o método geral?

Além disso, na prática, como qualquer outra área tecnológica, todas essas inovações

ficaram atreladas aos computadores que, ao mesmo tempo em que permitiram que

processamentos até então inviáveis fossem realizados de forma produtiva, passaram a

usar novos conceitos ainda não muito bem disseminados no meio técnico de forma

efetiva e corriqueira. O termo “momento-curvatura”, por exemplo, não era tão

comum há alguns anos atrás como é hoje em dia nos softwares atuais.

Diante desse panorama que acaba de ser descrito, cabe então ao Engenheiro de

Estruturas a difícil tarefa de se manter sempre atualizado, já que o assunto em questão,

o cálculo de pilares de concreto armado, pode ser decisivo na tomada de decisões

durante a elaboração ou verificação de um projeto estrutural.

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2 Apresentação do curso

O cálculo de pilares como um todo é um tema amplo, que abrange uma teoria

relativamente complexa e que envolve vários assuntos, tais como: análise não-linear,

estabilidade global, dimensionamento de seções de concreto armado, técnicas de

detalhamento de armaduras, etc. Existem inúmeras publicações (livros, teses, artigos)

que cobrem cada um desses tópicos de forma rica e detalhada.

Diante dessa diversidade de temas, portanto, é importante deixar bem claro qual o

real intuito desse curso: o seu foco principal será o cálculo de esforços em pilares, mais

especificamente no que se refere à análise das imperfeições geométricas locais e dos

efeitos de 2ª ordem.

Serão abordados desde conceitos básicos até avançados. Pretende-se proporcionar

uma visão prática e objetiva dos problemas estudados, sem se aprofundar

demasiadamente em deduções matemáticas. Procurar-se-á transmitir os conceitos de

forma “concreta”, de tal forma que possam ser aplicados diretamente no dia-a-dia.

Diversos exemplos serão resolvidos manualmente, passo-a-passo. Em alguns deles, será

necessário fazer o uso de sistemas computacionais destinados à elaboração de

projetos de estruturas de concreto, de tal forma a aprimorar e agilizar o aprendizado.

Veja, a seguir, alguns pontos que serão abordados durante o curso:

Revisão de conceitos importantes utilizados no cálculo de pilares, tais como a

não-linearidade física, a não-linearidade geométrica, a relação momento-curvatura,

o coeficiente f3, entre outros.

Classificação e metodologias usuais para obtenção dos esforços atuantes num

pilar de um edifício de concreto armado.

Apresentação dos métodos existentes para análise das imperfeições

geométricas locais, principalmente no que se refere à aplicação do momento mínimo

de primeira ordem (M1d,mín).

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Estudo detalhado do diagrama N, M, 1/r proposto pela NBR 6118:2003, que

serve como base para os processos mais refinados de cálculo dos efeitos locais de 2ª

ordem.

Estudo dos processos disponíveis para análise

dos efeitos locais de 2ª ordem: pilar-padrão com 1/r

aproximada, pilar-padrão com rigidez aproximada,

pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r e método

geral.

Análise à flexão composta oblíqua por meio da linearização que permite

desacoplamento das duas direções, bem como pela curva real oblíqua.

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Análise dos efeitos localizados de 2ª

ordem em pilar-parede pelo método

aproximado presente na NBR 6118:2003 e por

uma modelagem com malha.

Visão geral de aspectos gerenciais relevantes no projeto de pilares de edifícios

de concreto armado.

Apresentação de tendências no cálculo de pilares de concreto armado.

De forma alguma, esse curso se propõe a colocar um ponto final no que se refere ao

cálculo de pilares, mesmo porque existem diversas questões ainda em aberto, sem

resposta definitiva. O que se objetiva, sim, é esclarecer as dúvidas atuais mais comuns

presentes no meio técnico profissional.

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3 Introdução

3.1 Importância dos pilares

Porque um edifício cai?

Trata-se de uma questão extremamente complicada de se responder, pois existem

inúmeras causas que podem levar um prédio à ruína. Cada caso é um caso, e é

impossível generalizar a resposta.

No entanto, todo Engenheiro de Estruturas precisa pensar sobre esse assunto, tirar suas

próprias conclusões, e principalmente, cercar-se de atitudes que evitem tal desastre.

Afinal de contas, todo projeto deve conduzir a uma estrutura segura.

Obviamente, qualquer peça numa estrutura tem a sua devida importância e precisa

ser dimensionada corretamente para atender às funções a que se destina. Existem,

porém, certos tipos de elementos que necessitam ter um cuidado redobrado, pois

podem ocasionar conseqüências mais graves, como o colapso total da edificação.

Dentre eles, estão os pilares.

Um erro grosseiro no cálculo dos pilares pode derrubar um edifício!

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A afirmação anterior é um tanto quanto “pesada”. Encare-a não como uma ameaça,

mas sim, como uma forma de lembrá-lo de que os pilares são vitais na segurança

estrutural de um edifício. E que, por esta razão, precisam ser calculados,

dimensionados e detalhados com muito rigor e atenção.

3.2 Funções de um pilar

Basicamente, os pilares têm as seguintes funções no comportamento estrutural de um

edifício:

Resistir às cargas verticais presentes na estrutura e transmiti-las aos elementos

de fundação.

Resistir às cargas horizontais atuantes na estrutura, auxiliando de forma

significativa na manutenção da estabilidade global do edifício.

Taxa de compressão

Os pilares, principalmente nos lances junto à base de edifícios altos, estarão

constantemente submetidos a uma elevada força normal de compressão.

Esta força, principalmente em pilares mais esbeltos, tende a desestabilizar os mesmos,

podendo ocasionar uma situação de desequilíbrio indesejável.

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Com a tendência natural de se buscar espaços maiores nas edificações com o intuito

de otimizar o aproveitamento da construção, tanto o número bem como as

dimensões dos pilares vêm sendo gradativamente reduzidas, aumentando ainda mais

a responsabilidade dos mesmos.

Os pilares, cada vez mais, são obrigados a suportar elevadas taxas de compressão.

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3.3 Particularidades

O que é um pilar?

Definir o que é um pilar??? O que é isso??? Todo Engenheiro de Estruturas sabe muito

bem o que é um pilar!

Correto, porém é importante não subestimar essa pergunta, pois existem muitos casos

no qual um elemento é tratado e calculado como um simples pilar indevidamente.

Veja, a seguir, três situações bastante freqüentes no projeto de edifícios de concreto

armado.

Pilar-parede não é pilar!

Pilar-parede é um elemento de superfície. E, portanto, não pode ser tratado como um

pilar comum (elemento linear). Existem considerações especiais que devem ser

levadas em conta em seu dimensionamento.

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Tirante não é pilar!

Apesar de possuir uma geometria semelhante, dimensionar um tirante não é a mesma

coisa que dimensionar um pilar.

Pilar-inclinado não é pilar!

Dependendo do ângulo de inclinação do elemento estrutural, ele não pode ser

tratado como um simples pilar, pois aparecerão esforços de flexão e cisalhamento

consideráveis, e a força normal de compressão pode deixar de ser preponderante.

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Atenção nessas situações

As situações descritas anteriormente (pilar-parede, tirante, pilar-inclinado) são muito

comuns em edifícios de concreto armado. É importante estar atento para o que pode

ser considerado como um simples pilar ou não.

Dependo do caso, fazer o cálculo como um pilar comum nestas condições é uma

ótima referência para uma aproximação inicial. Já, em outros, erros graves podem

estar sendo cometidos de forma totalmente despercebida, tornando a estrutura

insegura.

3.4 Cálculo de um pilar

Abstração da vida real

Quando calculamos uma estrutura ou parte dela, seja de forma manual ou por meio

de um computador, estamos adotando explicitamente um protótipo cujo objetivo é

simular o comportamento da mesma na vida real. Essa é uma condição primária que

em hipótese alguma pode ser tratada de forma implícita.

Por mais sofisticado que seja o modelo adotado, nem sempre, ou melhor dizendo,

jamais conseguiremos obter respostas durante o cálculo que traduzam a realidade de

forma 100% exata. Sempre existirão limitações decorrentes das aproximações

consideradas.

Essas afirmações podem nos auxiliar a dar uma resposta a uma questão normalmente

levantada no meio técnico:

Eu sempre fiz desse jeito e nunca deu problema. Por que tenho que mudar?

A margem de segurança de um edifício de concreto armado é algo muito difícil de

ser mensurada, principalmente se tratada de forma geral. Se mesmo em ensaios

laboratoriais controlados nos mínimos detalhes, muitas vezes é difícil reproduzir

respostas uniformes, imagine em estruturas reais!

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Durante a elaboração de um projeto estrutural, trabalhamos com inúmeras hipóteses,

aproximações e, principalmente, valores que, na prática, podem se tornar

discrepantes.

Quando calculamos um pilar, por exemplo, procuramos estabelecer diversos critérios

de segurança, mas que podem variar para mais (mais segurança) ou menos (menos

segurança) na vida real. Dificilmente descobriremos a real exatidão dos cálculos

efetuados. O ELU (Estado Limite Último) é algo utópico, mas estritamente necessário.

A busca por metodologias que procuram retratar a realidade de forma mais precisa é

algo extremamente bem-vinda, salutar e que enriquece a profissão. Sem de forma

alguma menosprezar os processos aproximados, que têm sim sua devida relevância no

nosso dia-a-dia, é importante caminhar no sentido de aprimorar o cálculo e entender

melhor os fenômenos físicos, mesmo porque somente dessa forma é que saberemos o

“quão aproximado” são os métodos simplificados.

Portanto, a questão colocada anteriormente, “Eu sempre fiz desse jeito, e nunca deu

problema. Por que tenho que mudar?”, pode ser encarada de uma outra forma:

Será que os processos que tenho utilizado estão sempre a favor da segurança? Será

que o que estou fazendo pode apresentar problema algum dia?

Na essência, essa é uma das razões que coloca a Engenharia de Estruturas num

patamar diferenciado, que envolve responsabilidade, discernimento e coerência.

Trabalha-se com limites opostos, a segurança e a economia, que, perante toda a

sociedade, devem que ser atendidos na sua plenitude.

Aproximações no cálculo de um pilar

Apesar de um tanto filosófico, as considerações colocadas anteriormente são

importantes, pois nos servem para chamar a atenção para a seguinte questão: quais

aproximações são adotadas no cálculo de um pilar? Como um pilar, na vida real, é

calculado durante o projeto estrutural?

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Antes de adentrar a fundo no cálculo de efeitos de 2ª ordem, imperfeições

geométricas, fluência, diagramas momento-curvatura, M1d,mín, método geral, etc..., é

extremamente importante ter em mente exatamente como estamos calculando um

pilar, e quais simplificações estão sendo tomadas. Isso é imprescindível para se ter

controle global de um projeto estrutural.

Vejamos, a seguir, um resumo de como um pilar é comumente calculado hoje em dia.

Seja uma estrutura real, como a apresentada na figura ao

lado, cujos pilares precisam ser dimensionados e

detalhados pelo Engenheiro de Estruturas.

Nota: a foto ao lado é de uma construção localizada na

cidade de Porto Alegre (RS), e é capa do capítulo

“Slender Columns” do livro “Reinforced Concrete –

Mechanics and Design” de James G. MacGregor e James

K. Wight.

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A estrutura como um todo é

calculada no computador por

meio de uma modelagem

numérica (pórtico espacial,

grelhas, elementos finitos, ...), que

contém diversas aproximações.

A rigidez à flexão EI da seção transversal dos pilares é minorada para análise no Estado

Limite Último (ELU) a fim de considerar a não-linearidade física de forma aproximada

(0,7.EIc ou 0,8.EIc). A rigidez axial dos mesmos é majorada a fim de compensar os

efeitos decorrentes da construção. De onde vêm esses coeficientes?

Nessa etapa, um lance de pilar está “imerso” no meio da estrutura. Suas vinculações

no topo e na base são relativamente bem simuladas por meio das ligações com os

elementos de vigas e lajes.

Durante esse cálculo global, os efeitos globais de 2ª ordem são então avaliados (0,95.z

ou P-), bem como as imperfeições geométricas globais (desaprumo do edifício como

um todo).

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Uma vez efetuado o cálculo

global, cada lance de pilar é

extraído desse modelo e passa

a ser analisado de forma

isolada.

Nesse modelo local, as vinculações no topo e na base passam a ser tratadas de forma

bastante simplificada (apoios simples), de tal forma a manter o equilíbrio de esforços

com o modelo global.

A não-linearidade física, por sua vez, é considerada de forma mais refinada que no

modelo global (1/r aproximada, rigidez aproximada, rigidez acoplada a diagrama N,

M, 1/r).

Os efeitos locais de 2ª ordem são então avaliados por processo aproximado (pilar-

padrão ou pilar-padrão melhorado) ou processos iterativos mais refinados (“P-”)

Nessa etapa, são também calculados os esforços devido às imperfeições geométricas

locais (falta de retilineidade ou desaprumo no lance) e a fluência (deformação lenta).

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Concluindo

É importante notar que há uma série de simplificações consideradas durante todo o

processo de cálculo dos pilares de uma estrutura, sem contar as aproximações

posteriores inerentes às etapas de dimensionamento e detalhamento.

As seguintes questões ficam em aberto:

Por que não tratar todo problema por meio de um modelo único, sem a

separação global do local?

Por que não considerar a rigidez dos elementos de forma uniforme?

As imperfeições geométricas que podem ou não aparecer durante a

construção da estrutura não poderiam ser consideradas de outra forma?

E a fluência? Será que as formulações atuais são condizentes com a realidade?

Essas questões deixam evidente o quanto temos ainda que evoluir, ao mesmo tempo

em que servem para nos lembrar: o cálculo atual de pilares é repleto de

simplificações! E, portanto, todo cuidado na hora de dimensioná-los é necessário.

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4 Revisão

A seguir, será realizada uma revisão sucinta de alguns conceitos fundamentais que são

aplicados no cálculo de um pilar.

4.1 Análise não-linear

Praticamente, todo o cálculo de esforços de 2ª ordem em pilares de concreto armado

é baseado em análise não-linear, seja ela aproximada ou refinada.

É muito importante, portanto, que se identifique claramente como as não-linearidades

(física e geométrica) estão sendo consideradas em cada caso, pois muitas vezes elas

são adotadas de forma implícita e podem “passar” de forma despercebida.

De forma bastante simplificada, pode-se dizer que uma análise não-linear é um

cálculo na qual a resposta da estrutura, seja em deslocamentos, esforços ou tensões,

possui um comportamento não-linear, isto é, desproporcional à medida que um

carregamento é aplicado.

Exemplo

Seja uma estrutura qualquer submetida a um carregamento “P”, cujo deslocamento

resultante num determinado ponto é igual a “d”.

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Agora, imagine se adicionássemos nesta estrutura mais uma mesma carga “P”, de tal

maneira que o carregamento total ficasse igual a “2.P”. Qual será o deslocamento

resultante?

Se for efetuada uma análise puramente linear, certamente o deslocamento resultante

será proporcional ao acréscimo de carga, isto é, igual “2.d”. A resposta da estrutura

em termos de deslocamentos terá um comportamento linear à medida que o

carregamento é aplicado.

Por sua vez, se for efetuada uma análise não-linear, o deslocamento resultante não

será proporcional ao acréscimo de carga, isto é, será um valor diferente de “2.d”. E

mais, provavelmente maior que “2.d”. A resposta da estrutura em termos de

deslocamentos terá um comportamento não-linear à medida que o carregamento é

aplicado.

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Basicamente, existem dois fatores principais que geram o comportamento não-linear

de uma estrutura:

Alteração das propriedades dos

materiais que compõem a estrutura,

designada “não-linearidade física” (NLF).

Alteração da

geometria da estrutura,

designada “não-

linearidade geométrica”

(NLG).

4.1.1 Não-linearidade física

A não-linearidade física na análise de estruturas de concreto armado que, diga-se de

passagem, é um material essencialmente não-linear, pode ser tratada de diferentes

formas, desde processos aproximados até metodologias mais complexas.

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Não-linearidade física de forma aproximada

Uma maneira aproximada para considerar a não-linearidade física em uma estrutura,

isto é, considerar a variação do comportamento do material à medida que o

carregamento é aplicado, é alterar diretamente o valor da rigidez dos elementos que

a compõe.

É o que fazemos, por exemplo, no cálculo do pórtico espacial no Estado Limite Último

(ELU) quando adotamos 0,8.EIc nos pilares e 0,4.EIc nas vigas.

Outro exemplo: redução de rigidez nas bordas de laje de tal forma a simular uma

possível fissuração do concreto nessas regiões. Em elementos predominantes fletidos

como vigas e lajes, a fissuração é preponderante no comportamento não-linear da

estrutura.

Não-linearidade física de forma refinada

Uma maneira mais refinada de tratar a não-linearidade física em uma estrutura é por

meio do uso de relações momento-curvatura.

Curvatura é a variação do ângulo de

rotação ao longo de um trecho (d/ds) e,

portanto não é expresso em graus ou

radianos.

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A maneira mais comum e também correta

de definir curvatura é sendo o inverso do

raio de curvatura (1/r).

Em uma seção de concreto armado, a curvatura pode ser expressa de forma

aproximada da seguinte forma:

Ou seja, com as deformações no concreto e no aço, c e s, e a altura útil d, é possível

calcular a curvatura em uma seção de concreto armado.

Também de forma aproximada, é possível relacionar a curvatura de uma seção com

o momento fletor atuante na mesma através da seguinte fórmula:

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A relação momento-curvatura (M x 1/r) é análoga à expressão que relaciona a tensão

com a deformação ( x ), porém tem uma grande vantagem: permite que a não-

linearidade física seja acoplada aos cálculos de uma forma mais fácil e direta.

Diagrama momento-curvatura

Quando a relação momento-curvatura

de uma seção é definida para

diferentes níveis de solicitação, obtém-

se então o diagrama “M x 1/r”.

Veja, a seguir, o exemplo de um diagrama M x 1/r usualmente utilizado no cálculo de

flechas em pavimentos de concreto armado (ELS).

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Perceba que a curva momento-curvatura não é linear (uma única reta) e, portanto a

rigidez EI é variável. O diagrama procura “traduzir” de forma fiel o comportamento

esperado de um elemento de concreto armado, levando em consideração a

presença de fissuras (Mr) e os diagramas não-lineares nos materiais (fc x c e fy x y).

Relação normal-momento-curvatura (N, M, 1/r)

Com a presença concomitante de uma força normal na seção, a relação momento-

curvatura continua válida, porém, é claro, dependente diretamente do valor da força

normal. Nesse caso, a relação passa ser denominada N, M, 1/r.

Diagrama N, M, 1/r

Com a presença da força normal, o diagrama “M x 1/r” passa a ser chamado de

normal-momento-curvatura ou “N, M, 1/r”.

O conceito é exatamente o mesmo: dada uma força normal atuante, a curvatura na

seção se altera de acordo com o momento fletor solicitante. Esta variação é

determinada por uma rigidez EI.

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A compreensão do diagrama “N, M, 1/r” é extremamente importante no cálculo de

pilares. Lembre-se que os mesmos estão submetidos à atuação conjunta de momentos

fletores e da força normal de compressão.

Veja, a seguir, o exemplo de um diagrama “N, M, 1/r” para uma seção retangular (30

cm X 60 cm) e com uma determinada configuração de armadura adotada.

Para uma dada força

normal (N = 150 tf), note que

a variação da curvatura

(1/rx) à medida que o

momento fletor (Mx)

aumenta não é linear.

Na construção desse

diagrama não é levada em

conta à resistência à tração

do concreto (ELU).

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O diagrama N, M, 1/r varia em função das seguintes características:

Geometria da seção

Materiais (concreto e aço)

Configuração de armaduras

Força normal atuante

Diagramas N, M, 1/r na prática

A montagem de diagramas N, M, 1/r para seções de concreto armado, na prática,

torna-se viável somente com o uso de computadores. De forma manual, os cálculos

demandam muito tempo, e tornam impraticáveis diante da produtividade exigida

durante a elaboração de um projeto estrutural.

Hoje, por meio de algoritmos numéricos confiáveis e eficientes, um diagrama N, M, 1/r

pode ser calculado para uma seção de concreto armado genérica em centésimos

de segundos.

Cabe ao Engenheiro Estrutural saber

interpretar o diagrama gerado por

um sistema computacional. E neste

caso, compreender bem conceitos

como rigidez, relação momento-

curvatura são imprescindíveis.

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Exercício

Com o intuito de fixar os principais conceitos relativos ao diagrama N, M, 1/r, vamos

iniciar uma rápida simulação em uma seção de concreto armado.

Nesse caso, como exposto anteriormente, torna-se necessário o uso do computador

para efetuar os cálculos.

Dados iniciais:

Seção 30 cm x 60 cm, conforme figura abaixo

Armadura composta de 16 20 mm

Concreto C30, c = 1,4

Aço CA50, s = 1,15

Considerando a resistência do concreto no ELU igual a 0,85.fcd, e aplicando uma força

normal de compressão com valor de cálculo igual a NSd = 100 tf, obtém-se o seguinte

diagrama N, M, 1/r em torno da direção menos rígida da seção (direção x).

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Comentários:

A curva é idêntica nos dois sentidos, positivo e negativo, pois a seção é

inteiramente simétrica na direção x.

O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 30,4 tf.m.

A curvatura na ocasião da atuação do MRd é igual a 2,72x10-2 m-1.

A rigidez EIsec definida por uma reta secante para M = MRd é igual a 1117,5 tf.m2.

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Para a mesma força normal de compressão NSd = 100 tf, obtém-se o seguinte

diagrama N, M, 1/r em torno da direção mais rígida da seção (direção y).

Comentários:

A curva é idêntica nos dois sentidos, como esperado.

O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 59,5 tf.m.

A curvatura na ocasião da atuação do MRd é igual a 1,41x10-2 m-1.

A rigidez EIsec definida por uma reta secante para M = MRd é igual a 4235,2 tf.m2.

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Retornando a análise em torno da direção menos rígida (direção x). Vamos alterar a

força normal de compressão para NSd = 200 tf. Obtém-se então o seguinte diagrama

N, M, 1/r.

Comentários:

O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 28,7 tf.m (para NSd = 100

tf, MRd = 30,4 tf.m).

A rigidez EIsec definida pela reta secante é igual a 1435,6 tf.m2 (para NSd = 100 tf,

EIsec = 1117,5 tf.m2).

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Aumentando a força normal de compressão para NSd = 300 tf, obtém-se então o

seguinte diagrama N, M, 1/r.

Comentários:

O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 22,6 tf.m (para NSd = 100

tf, MRd = 30,4 tf.m e para NSd = 200 tf, MRd = 28,7 tf.m).

A rigidez EIsec definida pela reta secante é igual a 1440,1 tf.m2 (para NSd = 100 tf,

EIsec = 1117,5 tf.m2 e para NSd = 200 tf, EIsec = 1435,6 tf.m2).

Tanto em termos de resistência como em termos de rigidez, a variação à

medida que a força normal aumenta não é linear.

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Mantendo a força normal de compressão para NSd = 300 tf, e agora alterando a

armadura para 16 12,5 mm, obtém-se então o seguinte diagrama N, M, 1/r.

Comentários:

O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 11,4 tf.m (para 16 20

mm, MRd = 22,6 tf.m).

A rigidez EIsec definida pela reta secante é igual a 911,1 tf.m2 (para 16 20 mm,

EIsec = 1440,1 tf.m2).

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Mantendo as mesmas informações, também é possível obter uma rigidez secante para

um determinado nível de solicitação inferior ao MRd. Por exemplo, Md = 7,4 tf.m.

Finalmente, vamos eliminar a simetria das

armaduras retirando três barras do canto

esquerdo inferior, conforme mostra a figura ao

lado.

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Comentários:

O diagrama não apresenta simetria nos dois sentidos.

Para um momento fletor Md = 0,0 tf.m, há o aparecimento de uma curvatura

diferente de zero, ocasionado exclusivamente pela presença da força normal de

compressão para NSd = 300 tf.

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4.1.2 Não-linearidade geométrica

Assim como a não-linearidade física, a não-linearidade geométrica também gera

uma resposta não-linear de uma estrutura. Porém, esse comportamento não ocorre

mais devido a alterações no material, mas sim devido a mudanças na geometria dos

elementos estruturais à medida que um carregamento é aplicado.

O surgimento dos efeitos de 2ª ordem, gerados a partir do equilíbrio na configuração

deformada, ocasiona uma resposta não-linear de uma estrutura, chamada de não-

linearidade geométrica.

Não-linearidade geométrica aproximada

Assim como a não-linearidade física, a não-linearidade geométrica pode ser resolvida

de forma aproximada. Nesse caso, a forma final da posição de equilíbrio é pré-

determinada, permitindo a solução matemática do problema.

É o que fazemos, por exemplo, ao utilizar a fórmula do coeficiente z, cuja formulação

é resultante de uma estimativa da variação da forma da estrutura à medida que as

cargas são aplicadas à mesma.

Outro exemplo: o método do pilar-padrão aplicado no cálculo dos efeitos locais de 2ª

ordem em pilares. Nesse caso, admite-se que a forma final da posição de equilíbrio do

elemento em questão é uma curva senoidal.

Não-linearidade geométrica de forma refinada

Existem diversos processos numéricos, comumente denominados P-, que tratam a

não-linearidade geométrica de forma refinada. Basicamente, são cálculos iterativos

em que se busca a posição final de equilíbrio da estrutura ou parte dela.

Por ser um processo iterativo, é necessária a definição de tolerâncias para obtenção

da convergência do método. Existem formulações baseadas na introdução de

“deltas” de esforços entre cada iteração, bem como outras, mais sofisticadas, que

corrigem a matriz de rigidez dos elementos de tal forma a simular a variação da

geometria da estrutura à medida que o carregamento é aplicado sobre a mesma.

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4.1.3 Coeficiente f3

O coeficiente ponderador das ações f, usualmente igual a 1,4, é resultante da

multiplicação de 3 fatores apresentados a seguir.

O primeiro fator f1 procura prever a variabilidade do valor da ação, ou seja, considera

que a carga efetivamente aplicada à estrutura real não é 100% exata, podendo ser

maior ou menor que o valor especificado em projeto.

O segundo f2 procura prever a simultaneidade das ações, isto é, a probabilidade de

ocorrência simultânea de ações distintas. São os famosos coeficientes .

Já o terceiro fator f3 leva em conta as aproximações feitas em projeto. Vale lembrar

que todo projeto estrutural, por mais que seja elaborado de forma refinada, é apenas

uma simulação simplificada de um edifício real.

NBR 6118:2003

No item 15.3.1 da NBR 6118:2003, tem-se:

“Pode ser considerada também a formulação de segurança em que se calculam os efeitos de 2ª

ordem das cargas majoradas de f/f3, que posteriormente são majorados de f3, com f3 = 1,1,

...”

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Pelo menos à primeira vista, essa afirmação presente na norma é um pouco confusa.

O que se objetiva com essa consideração é suprir da análise dos esforços de 2ª ordem,

que possui uma resposta não-linear, o fator do coeficiente de segurança que trata das

aproximações de projeto (f3), de tal forma que os efeitos de segunda ordem

calculados com valores de cálculo fiquem ligeiramente menores, não podendo

esquecer, obviamente, de complementá-los com f3 para obtenção do resultado final.

Exemplo

A consideração do coeficiente f3 = 1,1 tem influência direta na análise de uma

estrutura com comportamento não-linear. Veja, a seguir, um exemplo bastante simples

que procura mostrar a influência do coeficiente f3 em um cálculo.

Seja uma estrutura hipotética que possui um comportamento tipicamente não-linear,

conforme mostra a figura a seguir.

A resposta da estrutura (S) em função da

ação (F) está representada pela curva em

azul.

Imagine que o valor da ação característica a ser aplicada sobre a estrutura é Fk = 10,

resultando numa resposta S k = 45.

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Utilizando f = 1,4 de tal forma a considerar o

valor de cálculo, teremos:

Fd = 10 x 1,4 = 14 Sd = 85

Utilizando a formulação de segurança com

f3 = 1,1, teremos:

Fd = 10 x 1,4/1,1 = 12,7 Sd = 72

Sd,tot = 72 x 1,1 = 79,2 < 85

Como se pôde observar, a análise com a formulação de segurança com f3 = 1,1

resulta em valores finais menores quando comparados com a aplicação direta de f =

1,4 em estruturas com comportamento não-linear.

Dessa forma, o cálculo de uma estrutura em que se considera a não-linearidade

geométrica (z ou P-) ou física (N, M, 1/r) é influenciado diretamente pelo f3 = 1,1.

Vale lembrar que a adoção de f3 = 1,1 é opcional, podendo ser adotado também f3

= 1,0.

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Exercício

Nesse exercício, vamos analisar uma estrutura muito simples considerando a não-

linearidade geométrica, ora com f3 = 1,0 e ora com f3 = 1,1.

Seja uma barra vertical engastada na

base com comprimento igual a 5 m,

com seção transversal 30 cm x 30 cm,

módulo de elasticidade igual a 28.000

MPa, submetida a uma força horizontal

constante (Fh = 10 tf) e a uma força

vertical variável (Fv = 0 tf a 100 tf) em seu

topo, conforme mostra a figura ao lado.

OBS.: valores da força são de cálculo.

Por meio do cálculo linear tradicional em primeira ordem, isto é, na configuração

geométrica inicial indeformada, obtém-se as seguintes reações e esforços (força

normal, força cortante e momento fletor).

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Note que o momento fletor final na base da barra (50,0 tf.m) não varia à medida que

a força vertical é incrementada.

Agora, vamos fazer a análise considerando a não-linearidade geométrica por meio de

um processo P-, efetuado no computador, considerando f3 = 1,0. Veja, a seguir, a

variação do momento fletor na base à medida que a carga vertical é alterada.

Note que o esforço varia de 50,0 tf.m até 97,0 tf.m.

Finalmente, vamos fazer a análise com NLG e considerando f3 = 1,1.

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Também houve uma variação de momentos fletores, de 50,0 tf.m até 88,7 tf.m, porém

os valores dos esforços finais ficaram menores devido à consideração de f3 = 1,1.

Em ambos os casos com NLG, o aumento de esforços à medida que a carga vertical é

incrementada é decorrente do surgimento de efeitos de 2ª ordem, que tornam o

comportamento da estrutura nitidamente não-linear, conforme mostra o gráfico a

seguir.

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5 Diagrama N, M, 1/r no cálculo de pilares

5.1 NBR 6118:2003

Vamos estudar com maiores detalhes o diagrama N, M, 1/r proposto na NBR 6118:2003,

que serve como base para aplicação de processos mais refinados no cálculo de

pilares (pilar-padrão acoplado a diagramas e método geral).

No item 15.3 da NBR 6118:2003, tem-se:

“A não-linearidade física, presente nas estruturas de concreto armado, deve ser

obrigatoriamente considerada.”


“O principal efeito da não-linearidade pode, em geral, ser considerado através da construção

da relação momento-curvatura para cada seção, com armadura suposta conhecida, e para o

valor da força normal atuante.”

“Pode ser considerada também a formulação de segurança em que se calculam os efeitos de 2ª

ordem das cargas majoradas de f/f3, que posteriormente são majorados de f3, com f3 = 1,1,

...”

Espera-se que, com as informações transmitidas anteriormente, essas afirmações

estejam bem claras. Já vimos que a não-linearidade física pode ser analisada com o

uso do diagrama N, M, 1/r, bem como a influência da força normal e da armadura na

montagem do mesmo. Estudamos também a influência do f3 no comportamento de

uma estrutura.

Tensão de pico igual a 1,1.fcd

Faltam mais alguns poucos detalhes para compreendermos plenamente o diagrama

da norma. No item 15.3 da NBR 6118:2003, tem-se:

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“A deformabilidade dos elementos deve ser calculada com base nos diagramas tensão-

deformação dos materiais. A tensão de pico do concreto deve ser igual a 1,1.fcd, ...”

A tensão de pico do concreto foi elevada em 30% em relação ao 0,85.fcd (0,85 * 1,3 ≈

1,1) de tal forma a uniformizar a condição das seções ao longo de todo lance de um

pilar no Estado Limite Último (ELU). Imaginar que, no momento da perda de

estabilidade, será atingido o esgotamento da capacidade de todas as seções

simultaneamente seria um tanto exagerado.

Portanto, exclusivamente para avaliar a deformabilidade de um lance pilar, que terá

influência direta no cálculo dos efeitos de 2ª ordem, deve-se utilizar 1,1.fcd.

OBS.: o coeficiente que multiplica o fcd (0,85 ou 1,1) é conhecido como c.

Objetivo do diagrama

O diagrama N, M, 1/r proposto pela NBR 6118:2003 é mostrado a seguir:

Em primeiro lugar, é importante deixar bem claro o seguinte: o objetivo principal é

extrairmos desse diagrama uma rigidez que permita fazer a análise dos efeitos de 2ª

ordem em um pilar de tal forma que a não-linearidade física seja bem retratada.

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Curva com 0,85.fcd

A curva com o tradicional

0,85.fcd somente serve para

definir o momento resistente

último de cálculo (MRd) no

Estado Limite Último (ELU), e

não para extrair a rigidez EI.

Essa curva deve ser montada

fixando-se um força normal

atuante igual à NSd.

Curva com 1,1.fcd

Esta, sim, é a curva na qual

deve ser extraída a rigidez EI

para consideração da

deformabilidade do pilar.

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Na realidade, a curva montada com uma tensão de pico igual a 1,1.fcd atinge um

patamar acima do MRd calculado com 0,85.fcd, conforme mostra a figura a seguir.

Porém, de ponto de vista prático, tudo que está acima de MRd não tem validade real,

pois está além da resistência admitida pela seção no ELU.

Dessa forma, principalmente com o intuito de otimizar o tempo de processamento, em

geral, os sistemas computacionais apenas utilizam a curva com 1,1.fcd até o ponto B

que define a rigidez que se deseja calcular.

Linearização – Reta AB

Na curva com 1,1.fcd, a rigidez EI varia de acordo com a magnitude do momento

fletor (é uma curva). Ou seja, num lance de pilar, onde há a variação dos esforços

entre o seu topo e a sua base, ficam então definidos diferentes níveis de rigidezes.

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Correto. Porém, não seria interessante ter uma maneira de obter uma rigidez única

que pudesse se aplicada ao longo de todo lance, a favor da segurança obviamente?

Outra questão: na extração da rigidez EI na curva não deveria ser levado em conta o

esforço concomitante na outra direção y?

A linearização por meio da reta AB responde exatamente essas questões, pois ela

define uma rigidez constante EIsec que pode ser utilizada ao longo de todo lance,

tanto na análise à flexão composta normal como na oblíqua (a rigidez pela curva não

pode ser utilizada na flexão composta oblíqua).

Veja, a seguir, um gráfico com várias curvas N, M, 1/r montadas para diversos níveis de

solicitação na direção y. Note que a reta AB sempre fornece uma rigidez EIsec a favor

da segurança (menor), independente da magnitude do esforço na outra direção. Ou

seja, as direções são desacopladas.

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Coeficiente f3

Alternativamente (não é obrigatório), pode-se fazer o uso do coeficiente f3 = 1,1 na

obtenção da rigidez EIsec. Nesse caso, a curva com 1,1.fcd é montada com uma força

normal igual a NRd/f3, e o esforço para definição da reta deve ser igual MRd/f3.

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A rigidez EI é calculada no ponto B (MRd/1,1), pois com a aplicação de NRd/1,1 jamais

se atingirá o MRd na sua totalidade.

Vale lembrar que a adoção de f3 = 1,0, que também é válida, leva a uma rigidez

menor (a favor da segurança) que a obtida com f3 = 1,1.

Seção não-padrão

A obtenção da rigidez EIsec por meio da linearização do diagrama N, M, 1/r já foi

amplamente testada e validada para seção retangular com armadura simétrica. Nos

demais casos, deve-se ter precaução.

Veja, a seguir, como fica o diagrama N, M, 1/r para uma seção com formato em “L”,

segundo seu eixo principal de menor inércia. Note que há diferentes rigidezes secantes

EIsec para cada sentido da solicitação.

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Nesse caso, qual rigidez deve ser adotada na análise da deformabilidade do pilar,

9042,7 tf.m2 ou 10052,2 tf.m2?

Pesquisas atuais estão sendo realizadas para solucionar essa questão. A princípio,

enquanto não se tem uma resposta definitiva, sugere-se tomar o valor a favor da

segurança (9042,7 tf.m2).

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6 Esforços em um pilar

Uma condição essencial para que os pilares sejam dimensionados de forma correta é

a obtenção de esforços precisos e realistas durante a análise estrutural.

Basicamente, os esforços solicitantes mais importantes que atuam ao longo de cada

um dos lances de um pilar, decorrentes da aplicação das ações verticais e horizontais

num edifício, são:

Força normal, predominantemente de compressão.

Momentos fletores, em cada direção.

Há também a atuação do momento torsor e das forças cortantes. No entanto, nos

casos usuais de edifícios, os mesmos podem ser desprezados, pois não são solicitações

preponderantes e significativas.

Devido à atuação simultânea de uma força normal (N) e dois momentos fletores (Mx e

My), é caracterizado então uma flexão composta oblíqua.

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Em certos casos, porém, nos quais o momento fletor numa das direções é desprezível,

pode-se adotar uma flexão composta normal.

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É bom lembrar que a consideração da flexão composta normal é uma aproximação,

válida apenas para simplificar o cálculo manual em certos casos específicos. Na vida

real, os pilares quase sempre estarão submetidos a momentos fletores nas duas

direções.

Nos sistemas computacionais atuais, usualmente todos os pilares são dimensionados

sob atuação de uma flexão composta oblíqua (N, Mx e My). Não há a simplificação

em flexão composta normal.

6.1 Representação de esforços em planta

Existem inúmeras formas de representar graficamente os esforços solicitantes em um

lance de pilar. Uma maneira bastante interessante e eficiente é a representação em

planta.

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Veja, a seguir, o exemplo de uma representação em planta de um lance de pilar de

concreto armado com momentos fletores variando linearmente entre o seu topo e a

sua base.

Cada par de esforços (Mx e My) fica representado por um único ponto. Dessa forma, os

momentos solicitantes no topo e na base ficam representados por dois pontos (Topo e

Base), como apresentados na figura anterior.

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Como nesse caso os momentos fletores variam linearmente entre o topo e a base, os

esforços ao longo do lance ficam representados por uma reta.

A curva resistente é definida de acordo com os materiais, a geometria da seção, a

configuração de armaduras e a força normal solicitante. Por meio do desenho dessa

curva, é possível quantificar graficamente o nível de solicitação atuante em relação à

resistência do pilar. Um ponto sobre ou fora da curva significa que o ELU foi atingido.

Veja, a seguir, um outro exemplo, agora com o momento My atuando no mesmo

sentido.

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A representação de esforços em planta é bastante simples, possibilita a visualização

completa do que ocorre num lance, e nos auxiliará na compreensão das explanações

feitas a seguir sobre a envoltória mínima de 1ª ordem, bem como sobre os esforços

locais de 2ª ordem.

6.2 Parcelas de esforços

Com o intuito de facilitar o cálculo de um pilar, o esforço total utilizado no seu

dimensionamento pode ser subdividido nas seguintes parcelas:

Estas parcelas de esforços se referem basicamente aos momentos fletores (Mx e My) no

pilar. Para as demais solicitações (força normal, forças cortantes e momento torsor),

não é necessário subdividi-las com detalhes dessa maneira. E, portanto, é muito

comum definir a seguinte expressão:

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Além disso, também é usual expressar estas parcelas em valores de excentricidades.

Nesse caso, basta dividir os respectivos momentos fletores pela força normal:

É muito importante saber como se calcula cada uma dessas parcelas.

Muito embora esses esforços atuem de forma conjunta na vida real, é comum utilizar

modelos distintos e separados para calcular cada uma dessas parcelas durante a

elaboração de um projeto estrutural.

Usualmente, os esforços iniciais, os esforços globais de 2ª ordem e os esforços

provenientes das imperfeições geométricas globais, são calculados por meio de

modelos que contemplam toda a estrutura (modelo global), enquanto que os esforços

locais de 2ª ordem, os esforços provenientes de imperfeições geométricas locais e os

esforços devido à fluência, são analisados por meio de modelos que tratam o lance

de pilar de forma isolada (modelo local).

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Veja, a seguir, uma breve descrição de cada uma das parcelas de esforços atuantes

num pilar de concreto armado. Posteriormente, apenas daremos ênfase ao cálculo de

esforços devido às imperfeições geométricas locais e a análise dos esforços locais de

2ª ordem.

6.2.1 Esforços iniciais

São chamados esforços iniciais as solicitações calculadas durante a análise estrutural

do edifício, resultantes da aplicação das cargas verticais e horizontais, e necessárias

para manter o equilíbrio da estrutura na posição indeformada (análise em primeira

ordem).

Modelo realista

Estes esforços devem reproduzir a resposta da estrutura perante as ações da maneira

mais realista possível. E, portanto, necessitam ser calculados por meio de um modelo

estrutural adequado.

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É obrigatório sempre utilizar um modelo numérico que forneça resultados precisos e

confiáveis. Caso contrário, é melhor nem começar a calcular os pilares. Se os esforços

iniciais estiverem incorretos, todo o cálculo dos demais esforços (imperfeição

geométrica, 2ª ordem, fluência) ficará comprometido.

6.2.2 Esforços devido às imperfeições geométricas

Todo edifício, quando executado num canteiro de obra, está sujeito ao aparecimento

de desvios geométricos, isto é, distorções na forma e no posicionamento dos

elementos estruturais originados durante a sua implantação.

Estas “falhas” de construção, chamadas de imperfeições geométricas, são

praticamente inevitáveis e aleatórias. Podem ser grandes ou pequenas.

Toda estrutura é geometricamente imperfeita!

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Muito embora não tenha o controle direto dessa situação de obra, o Engenheiro de

Estruturas deve obrigatoriamente levar em conta as imperfeições geométricas durante

a elaboração do projeto, pois as mesmas, na maioria dos casos, não estão cobertas

pelos coeficientes de segurança.

Os pilares são elementos altamente sensíveis às imperfeições geométricas!

Muito embora as imperfeições geométricas gerem repercussão em toda a estrutura,

nos pilares a influência é muito mais significativa. E, por isso, os mesmos precisam ser

adequadamente dimensionados de modo a resistir, dentro de certa tolerância, às

solicitações extras devido ao aparecimento destes desvios.

É obrigatório considerar as imperfeições geométricas no cálculo de pilares de edifícios

de concreto armado.

A NBR 6118:2003, item 11.3.3.4 “Imperfeições geométricas”, divide as imperfeições

geométricas em dois grupos:

Imperfeições geométricas globais.

Imperfeições geométricas locais.

Imperfeições geométricas globais

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As imperfeições globais se referem ao edifício como um todo, ou seja, é como se a

estrutura inteira ficasse inclinada (em desaprumo) para uma dos lados, ocasionando

esforços adicionais principalmente nas vigas e nos pilares, devido à presença das

cargas verticais.

A NBR 6118:2003, item 11.3.3.4.1 “Imperfeições geométricas globais”, define que o

desaprumo global não deve ser superposto ao efeito do vento e deve ser considerado

apenas quando for mais desfavorável que o mesmo.

De maneira geral, pode-se dizer que o desaprumo global somente é mais

desfavorável que o vento em edificações baixas submetidas a cargas verticais

elevadas (ex: construções industriais).

Em edifícios mais altos, normalmente o vento é preponderante, muito embora existam

casos particulares na qual esta afirmação não se confirme (ex: edifício com uma face

delgada na qual a pressão de vento é muito baixa).

Os efeitos das imperfeições geométricas globais são calculados por meio de modelos

que contemplam toda a estrutura, como por exemplo, um pórtico espacial. Há

diversas maneiras de simular a presença do desaprumo global. Uma delas é aplicar

momentos nos nós a partir do deslocamento da força vertical gerado pela rotação a.

Uma outra possibilidade é inclinar toda a geometria da estrutura por a. Essas duas

opções são similares.

Imperfeições geométricas locais

As imperfeições geométricas locais referem-se basicamente aos pilares de um edifício,

ocasionando esforços adicionais aos mesmos, devido à presença da carga normal de

compressão.

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O efeito dessa imperfeição geométrica gerada pela rotação 1 não é simples de ser

calculado, uma vez que é difícil definir a sua direção e o seu sentido crítico de

atuação. Usualmente, nos sistemas computacionais, o que se faz é considerar as

imperfeições nas duas direções principais, por meio da definição de excentricidades

adicionais.

A NBR 6118:2003, em seu item 11.3.3.4.3, permite que o efeito das imperfeições

geométricas locais em um lance de pilar seja substituído, em estruturas reticuladas,

pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem (M1d,mín), cujo valor é obtido pela

seguinte fórmula:

).03,0015,0.(,1 hNM Sdmínd

sendo: NSd a força normal solicitante com o seu valor de cálculo e h a altura da seção

na direção analisada, em metros.

Aplicação do momento mínimo de primeira ordem

A formulação do momento mínimo de 1ª ordem tem origem na norma americana,

enquanto que a definição das imperfeições por meio do ângulo 1 vem do código

europeu.

No Brasil, após a entrada em vigor da NBR 6118:2003 que possibilita o uso de ambas as

formulações, é mais comum o uso do M1d,mín, muito embora a aplicação do 1

também seja válida.

Embora a fórmula do momento mínimo de 1ª ordem seja extremamente simples,

muitas dúvidas com relação à sua aplicação surgiram no meio técnico. Na

publicação que contém comentários da NB-1, publicada pelo Ibracon, há uma

explanação de como aplicar o M1d,mín que parece ser bastante defensável e

coerente.

Estudaremos com detalhes como aplicar o M1d,mín mais adiante.

OBS.: na extinta NBR 6118:1980, as imperfeições geométricas locais eram consideradas

por meio de uma excentricidade adicional, cujo valor era o maior entre 2cm ou h/30.

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6.2.3 Esforços de 2ª ordem

Efeitos de 2ª ordem são efeitos adicionais à estrutura gerados quando o equilíbrio da

mesma é tomado na sua posição deformada. Esses efeitos são reais, e podem ser

grandes ou pequenos.

A NBR 6118:2003, item 15.2, permite desprezar os efeitos de segunda ordem somente

após a constatação de que a magnitude dos mesmos não represente um acréscimo

de 10% nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura.

A NBR 6118:2003, item 15.4.1, classifica os efeitos de segunda ordem presentes numa

estrutura de concreto em três tipos:

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Muito embora ocorram de forma simultânea no edifício, os efeitos globais, locais e

localizados de segunda ordem comumente são calculados de forma separada,

conforme sintetiza a figura a seguir:

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6.2.4 Esforços globais de 2ª ordem

Os esforços globais de 2ª ordem estão relacionados ao edifício como um todo, isto é,

ao conjunto completo formado pelos pilares, pelas vigas e lajes da estrutura. Ex: um

edifício submetido à ação do vento desloca-se horizontalmente. Com isso, geram-se

esforços adicionais nesses elementos devido à presença simultânea de cargas

verticais (peso próprio + sobrecarga), chamados de efeitos globais de 2ª ordem.

Processos de cálculo

Os esforços globais de segunda ordem podem ser calculados de duas formas:

Análise aproximada pelo coeficiente z, válida para estruturas com mais de três

andares com coeficiente z ≤ 1,3.

Análise não-linear P-.

Não-linearidade física

A NBR 6118:2003, seção 15 “Instabilidade e efeitos de 2ª ordem”, item 15.7.3, permite

definir uma rigidez aproximada em vigas, pilares e lajes na análise dos esforços globais

de 2ª ordem em estruturas reticuladas com no mínimo quatro andares. Exemplo: em

edifícios modelados por pórtico espacial que atendam essa última condição, pode-se

adotar, de forma aproximada, EIsec = 0,4.Eci.Ic nas vigas e EIsec = 0,8.Eci.Ic nos pilares.

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E, para estruturas com menos de quatro andares? O que fazer? Posso adotar os

mesmos valores? Por que essas reduções são recomendadas somente para estruturas

com no mínimo quatro andares?

Essa restrição foi definida na norma devido à falta de estudos específicos para este

tipo de estrutura, onde, dependendo do nível de solicitação, no Estado Limite Último

(ELU), as rigidezes nas vigas, e principalmente nos pilares, podem atingir valores bem

inferiores aos especificados de forma aproximada. Nesse caso, com a adoção das

reduções de rigidez definidas anteriormente, os efeitos de 2ª ordem seriam

subestimados. E, portanto, a análise estaria contra a segurança.

Atualmente, existem pesquisas direcionadas para análise deste assunto. Em breve,

teremos uma possível resposta para esta questão.

Neste momento, a única afirmação que se pode fazer é que a não-linearidade física

em estruturas com menos de quatro andares deve obrigatoriamente ser sempre

considerada. E que, na impossibilidade de definição de valores de redução de rigidez

mais precisos (obtidos por meio de diagramas momento-curvatura), os mesmos devem

ser estimados com precaução, priorizando sempre um cálculo a favor da segurança.

Análise não-linear geométrica e coeficiente f3

Seja na análise P- como no cálculo por meio do coeficiente z, pode ser considerada

a formulação de segurança em que se calculam os efeitos de 2ª ordem das cargas

majoradas de f/f3, que posteriormente são majorados de f3.

Em estruturas com comportamento não-linear, como no caso de um edifício de

concreto armado, o cálculo com f3 = 1,1 resulta em valores finais menores quando

comparados com a aplicação direta de f = 1,4 (f3 = 1,0).

No capítulo anterior “Coeficiente f3”, foi possível constatar a afirmação acima por

meio de um exemplo no qual utilizamos a análise P-. No caso do uso do coeficiente

z, sua formulação deve ser adaptada então da seguinte forma:

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3,,1

, 11

1

fdtot

dtot

z

M

M

, com f3 = 1,0 ou f3 = 1,1.

Note que, para f3 = 1,1 o valor do coeficiente z obtido é menor do que quando

adotado f3 = 1,0.

Efeitos globais nos pilares

A análise global em 2ª ordem gera efeitos adicionais tanto nas vigas como nos pilares.

Na modelagem global usualmente adotada para o cálculo de edifícios de concreto

armado, como por exemplo, o pórtico espacial, a influência dos efeitos globais de 2ª

ordem se concentra no topo e na base de cada lance de pilar, uma vez que cada

um desses trechos é discretizado com apenas um único elemento (barra).

6.2.5 Esforços locais de 2ª ordem

Os efeitos locais de 2ª ordem estão relacionados a uma parte isolada da estrutura. Ex:

um lance de pilar sob a atuação de momentos fletores no seu topo e na sua base se

deforma. Com isso, geram-se efeitos adicionais devido à presença simultânea da

carga normal de compressão, chamados de efeitos locais de 2ª ordem.

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Efeitos locais nos pilares


“A análise global de 2ª ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras,

devendo ser realizada uma análise dos efeitos locais de 2ª ordem ao longo dos eixos das barras

comprimidas, ...”

“Os elementos isolados, para fins da verificação local, devem ser formados pelas barras

comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento le, ..., porém aplicando-se às suas

extremidades os esforços obtidos através da análise global de 2ª ordem.”

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Comprimento le

Na análise dos efeitos locais de 2ª ordem, é fundamental definir corretamente o

comprimento equivalente le.

No item 15.6 da NBR6118:2003, ”Análise de estruturas de nós fixos”, é apresentado uma

formulação qual pode-se reduzir o valor do comprimento equivalente dependendo

dos vínculos em seus extremos. Porém, o cálculo segundo esse item somente deve ser

adotado quando os elementos de travamento do lance do pilar estiverem muito bem

definidos.

Veja o exemplo a seguir.

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É fácil perceber que o topo do pilar não está

travado pela viga segundo a direção de

menor rigidez.

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Índice de esbeltez limite 1

Partindo do princípio básico de que os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados

desde que a magnitude dos mesmos seja inferior a 10% da resposta total, a NBR

6118:2003, em seu item 15.8.2 “Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem”,

estabelece um índice de esbeltez limite calculado pela seguinte fórmula:

90.5,1225

35

1

1

b

he

Essa é uma das grandes melhorias da atual norma de concreto em relação à anterior

NBR 6118:1980, que fixava um valor limite constante igual a 40.

Além de depender da excentricidade relativa e1/h, o valor de 1 é altamente

influenciado pelo coeficiente b, que procura levar em conta o tipo de vinculação nos

extremos do pilar, bem como a forma do diagrama de momentos fletores.

O coeficiente b é calculado da seguinte forma:

a) 0,1.4,06,04,0 A

Bb

M

M para pilares biapoiados sem cargas transversais,

sendo MA o maior valor absoluto do momento fletor ao longo do pilar e MB o momento

na outra extremidade, com sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e

negativo em caso contrário.

b) 0,1.2,08,085,0 A

C

bM

M para pilares engastados, sendo MA o momento no

engaste e MC o momento na meio do pilar em balanço.

c) 0,1b para pilares com momentos inferiores ao M1d,mín ou pilares biapoiados com

cargas transversais significativas.

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A expressão definida em (a) equivale a dizer

AB MM .5,0 , ou seja, o momento com o

valor menor (MB) deve ser no mínimo maior

que metade do momento maior (MA) com

sinal invertido. Veja, ao lado, um exemplo:

Vinculações no topo e na base

As condições de vinculação no topo e na base do lance do pilar é extremamente

relevante na avaliação dos efeitos locais de 2ª ordem. Por exemplo, um pilar com 3 m

de pé-direito, biapoiado, terá resultados bastante distintos se considerado apenas

engastado na base.

Atualmente, nos processos de cálculo usuais, apenas duas condições de vinculações

são consideradas, biarticulado e engastado na base, muito embora, na vida real, um

lance de pilar imerso no interior da estrutura de um edifício se comporte de forma

intermediária entre ambas situações.

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Talvez, essa seja a mais exagerada de todas as aproximações que levamos em conta

durante o cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem. Quem sabe, num futuro próximo,

possamos melhorar essa análise de forma a retratar as vinculações no topo e na base

de cada lance de forma um pouco mais fiel com realidade.


Basicamente, os efeitos locais de 2ª ordem podem ser calculados de duas maneiras:

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Método aproximado em que as não-linearidades física e geométrica são

tratadas de forma simplificada.

Método refinado, chamado de Método Geral, em que as não-linearidades são

tratadas de forma não-aproximada.

A NBR 6118:2003 dispõe de três métodos aproximados além de permitir o uso do

método geral, que serão estudados com detalhes mais adiante.

Também pode ser considerada a formulação de segurança em que se calculam os

efeitos de 2ª ordem das cargas majoradas de f/f3, que posteriormente são majorados

de f3.

6.2.6 Esforços localizados de 2ª ordem

Os efeitos localizados de 2ª. ordem referem-se a uma região específica de um

elemento onde se concentram tensões. Ex: um pilar-parede sob a atuação de

momento fletor segundo sua direção mais rígida se deforma mais em uma de suas

extremidades (região comprimida). Com isso, geram-se efeitos adicionais devido à

presença da carga normal de compressão nesta região, chamados de efeitos

localizados de 2ª ordem.

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A consideração ou não desses efeitos, bem como a metodologia de cálculo dos

mesmos têm sido alvo de uma intensa discussão no meio técnico.

O que se pode afirmar com absoluta certeza é de que trata de um tema que

necessita ser mais bem estudado e avaliado, seja por meio de pesquisas baseadas em

modelagens numéricas como em ensaios em laboratório.

A análise dos efeitos localizados de 2ª ordem em pilar-parede, bem como sua

influência na determinação das armaduras transversais será estudada com detalhes

mais adiante.

6.2.7 Esforços devido à fluência

A fluência, ou seja, o acréscimo de deformações no concreto ao longo do tempo sob

a aplicação de uma tensão constante, gera esforços adicionais no lance de pilar em

virtude do aumento de deslocamentos.

A NBR 6118:2003, item 15.8.4 “Consideração da fluência”, indica a necessidade do

cálculo de efeitos gerados pela deformação lenta em pilares cuja esbeltez for superior

a 90, por meio de uma formulação aproximada que adiciona uma excentricidade ecc

na análise.

(Correção da 1ª ordem)

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Como o próprio texto normativo deixa bem claro, trata-se de uma maneira

aproximada de considerar a fluência. Dessa forma, não se pode exigir uma precisão

absoluta em relação ao comportamento real de um pilar de concreto armado.

Outro processo

Um outro processo bastante interessante se baseia na correção da curvatura da

seção em função dos acréscimos de deformações no concreto, influenciando de

forma direta na obtenção da rigidez secante EIsec a partir do diagrama N, M, 1/r.

Veja o exemplo a seguir de uma seção com os seguintes dados:

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Seção 30 cm x 60 cm

Armadura composta de 16 20 mm

Concreto C30, c = 1,4

Aço CA50, s = 1,15

Para uma força normal de cálculo igual a 200 tf e, inicialmente, sem admitir o efeito

da fluência, temos:

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A rigidez secante obtida pelo diagrama N, M, 1/r é de 2183,0 tf.m2.

Agora, considerando um coeficiente de fluência igual a 1,5, veja como essa rigidez é

alterada.

A rigidez secante obtida para a mesma seção se reduz para 1174,7 tf.m2.

Esse processo não é largamente utilizado na prática, e precisa ser melhor testado.

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7 Efeitos locais de 2ª ordem

A revisão dos conceitos sobre as não-linearidades presentes em estruturas de concreto

armado (momento-curvatura, coeficiente f3, ...) realizada no início deste curso não foi

feita à toa, visto que no cálculo dos efeitos locais de segunda ordem, duas questões

são a chave para a solução do problema:

Como considerar a não-linearidade física (NLF)?

Como considerar a não-linearidade geométrica (NLG)?

Em outras palavras, na análise de um lance de pilar, temos duas perguntas principais a

responder:

Qual rigidez EI deve ser considerada?

Como se deformará o pilar à medida que o carregamento é aplicado?

Para cada uma dessas questões existem soluções distintas, umas mais aproximadas e

outras que tratam o problema de forma mais refinada. Daí é que surgem os diferentes

métodos presentes na NBR 6118:2003.

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NBR 6118:2003

A NBR 6118:2003 permite o uso de 4 métodos para análise local de 2ª ordem. São eles:

Os três primeiros métodos são considerados processos aproximados e são descritos no

item 15.8.3.3 da NBR 6118:2003, enquanto que o Método geral, como a própria

nomenclatura já deixa meio evidente, é um processo mais abrangente e sofisticado.

Vale lembrar que na extinta NBR 6118:1980 havia apenas um método disponível, o

pilar-padrão com curvatura aproximada, cuja formulação era praticamente similar à

atual.

Cada um desses métodos possui limitações próprias, e por isso, podem ser aplicados

desde que a esbeltez do pilar esteja dentro de um certo patamar. Evidentemente, os

processos aproximados possuem uma limitação maior.

Estudaremos cada um desses métodos detalhadamente mais adiante.

Esbeltez limite

Os métodos do pilar-padrão com 1/r aproximada e pilar-padrão com aproximada

podem ser utilizados em pilares com esbeltez máxima igual a 90. O método do pilar-

padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r é limitado para uma esbeltez máxima de 140.

O método geral, por sua vez, pode ser usado até um limite de 200.

Acima desse valor, a norma não permite o uso de nenhum método, a não ser em

casos de postes onde a força normal de compressão é baixa.

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Representação em planta

Independente do método a ser aplicado na análise dos efeitos locais de 2ª ordem, é

muito importante “enxergar” com clareza a influência dos mesmos no comportamento

de um pilar.

Para isso, vamos recorrer ao uso da representação em planta.

Seja um pilar submetido a uma flexão composta oblíqua, com esforços de 1ª ordem

apresentados na figura a seguir.

Como a variação dos momentos de 1ª ordem entre o topo e a base é linear em

ambas as direções, fica então definida uma reta na representação em planta.

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Adotando-se um método geral para calcular o pilar, é possível então perceber que os

efeitos locais de 2ª ordem tendem a gerar esforços adicionais no sentido levar o

mesmo à ruína (ELU), conforme mostra a figura a seguir.

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Os efeitos de 2ª ordem tendem a levar os esforços totais ao longo do lance para fora

da curva resistente, na direção crítica onde o pilar é mais esbelto.

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7.1 Métodos aproximados

Antes mesmo de iniciar o estudo da formulação de cada um dos métodos

aproximados, pela própria nomenclatura dos mesmos é possível tirar algumas

conclusões prévias. Note que os três processos aproximados fazem o uso de um termo

comum: “pilar-padrão”.

O que é pilar-padrão?

Conforme já sabemos, o cálculo da deformada do lance de um pilar à medida que o

carregamento é aplicado sobre o mesmo, é um dos desafios presentes na análise

local em 2ª ordem. Como tratar a não-linearidade geométrica num lance de pilar?

O método do pilar-padrão consiste numa aproximação que pressupõe que a

deformada final do pilar será representada por uma curva senoidal. Existem inúmeros

estudos que comprovam a eficiência dessa simplificação, válida até um determinado

limite de esbeltez.

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Uma vez definida a forma final do lance do pilar (senóide), é possível então chegar a

uma solução analítica para o problema da não-linearidade geométrica, obtendo-se

expressões relativamente simples que podem ser utilizadas no cálculo do pilar.

Dessa forma, conclui-se que os três processos aproximados presentes na NBR

6118:2003, tratam a não-linearidade geométrica (NLG) de forma idêntica.

O que diferencia um método aproximado do outro é justamente as diferentes

maneiras de considerar a outra não-linearidade, a física (NLF).

Pilar-padrão melhorado

O método do pilar-padrão comum considera toda a deformação do pilar (1ª ordem +

2ª ordem) como sendo uma curva senoidal. Existe também o método do pilar-padrão

melhorado em que apenas a deformada de 2ª ordem é considerada senoidal. Esse

último processo não será objeto de estudo nesse curso.

7.1.1 Pilar-padrão com 1/r aproximada

Aplicabilidade

Esse método pode ser empregado apenas para pilares com ≤ 90, seção constante e

armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo.

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Não-linearidade geométrica

Admite-se que a deformação da barra seja senoidal (pilar-padrão).


A rigidez do lance do pilar é obtida por meio da definição de uma curvatura

aproximada na seção crítica.

Formulação

A formulação é extremamente simples e possibilita o cálculo manual. O momento total

(1ª ordem + 2ª ordem) máximo no pilar é calculado pela seguinte expressão:

Ad

e

dAdbtotd Mr

lNMM ,1

2

,1,

1.

10.. , sendo

hhr

005,0

)5,0.(

005,01

onde:

cdc

Sd

fA

N

. e míndAd MM ,1,1

O momento de 2ª corresponde à parcela Nd.(le2/10).(1/r).

Note que não é necessário conhecer previamente a armadura do pilar para aplicar as

fórmulas acima.

7.1.2 Pilar-padrão com aproximada

Aplicabilidade

O método do pilar-padrão com rigidez aproximada pode ser adotado na análise de

pilares retangulares com ≤ 90, com armadura simétrica e constante ao longo de

seu eixo.

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A não-linearidade física no lance do pilar é considerada por meio de uma expressão

aproximada para rigidez, cuja dedução foi obtida durante a tese de doutoramento

do prof. Ricardo França.

O valor da rigidez é tomado de forma adimensional e é denominado de rigidez

(“kapa”).

Formulação

Assim como o método do pilar-padrão com 1/r aproximada, a formulação do pilar-

padrão com aproximada é simples e possibilita o cálculo manual.

Segundo a formulação apresentada na NBR 6118:2003, o cálculo do momento total

máximo MSd,tot deve ser realizado de forma iterativa em função da rigidez

adimensional , de acordo com as seguintes fórmulas:

/.1201

.2

,1

,

AdSb

totSd

MM

..

.51.32,

Sd

totSd

Nh

M

O momento de 2ª ordem é calculado por uma amplificação da 1ª (b.MS1d,A).

Note que não é necessário conhecer previamente a armadura do pilar para aplicar as

fórmulas acima.

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PP com 1/r aproximada X PP com rigidez aproximada

Aparentemente, a formulação acima é bastante distinta da formulação do método

do pilar-padrão com 1/r aproximada. No entanto, a única diferença se concentra na

consideração na não-linearidade física, ora adotando um valor aproximado para 1/r,

ora um valor aproximado para rigidez ().

Veremos, mais adiante, que para valores equivalentes de 1/r e rigidez, o resultado final

(MSd,tot) é o mesmo, comprovando que a aproximação pela curva senoidal (pilar-

padrão) é similar em ambos os métodos.

Cálculo direto sem a necessidade de iterações

Conforme já observado, a formulação do método do pilar-padrão com rigidez

aproximada presente na NBR 6118:2003 prevê um processo iterativo, pois a fórmula do

MSd,tot depende de , que por sua vez possui uma expressão dependente de MSd,tot.

Embora a convergência do método não seja demasiadamente trabalhosa,

necessitando normalmente de até 3 ou 4 iterações, pode-se também utilizar uma

formulação que evita o processo iterativo.

Substituindo a equação ..

.51.32,

Sd

totSd

Nh

M em

/.1201

.2

,1

,

AdSb

totSd

MM

e considerando AdSbdS MM ,11 . , obtém-se:

0.. ,

2

, CMBMA totSdtotSd , onde:

dSSd

dS

eSd

Sd

MhNC

MhlN

NhB

hA

1

2

1

2

2

..

..5320

..

.5

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O momento total final é dado então por:

A

CABBM totSd

.2

..42

,

sendo: h a altura da seção na direção analisada, le o comprimento equivalente do

lance do pilar, NSd a força normal solicitante com seu valor de cálculo e MS1d o

momento solicitante de 1ª ordem na seção considerada com o seu valor de cálculo.

A formulação que possibilita o cálculo direto sem a necessidade de iterações que

acaba de ser apresentada gera, obviamente, resultados compatíveis com o processo

iterativo.

7.1.3 Pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r

Aplicabilidade

Esse método pode ser empregado apenas para pilares com ≤ 140.




A não-linearidade física é considerada por meio da obtenção da rigidez no diagrama

N, M, 1/r proposto pela NBR 6118:2003, conforme mostra a figura a seguir.

Note que há uma relação entre a rigidez secante EIsec e a rigidez adimensional .

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Muito embora tenha o mesmo nome da rigidez adimensional calculada no método do

pilar-padrão com rigidez aproximada, essa rigidez obtida pelo diagrama (rigidez

acoplada ao diagrama N, M, 1/r) é mais precisa. Poderíamos dizer que se trata de

uma rigidez “mais refinada e real”.

Formulação

O momento total máximo MSd,tot é calculado exatamente pela mesma fórmula do

método do pilar-padrão com rigidez aproximada:

/.1201

.2

,1

,

AdSb

totSd

MM

No entanto, deve-se ficar bem claro que o valor da rigidez a ser utilizado na fórmula

é o obtido pelo diagrama normal-momento-curvatura, e não a rigidez aproximada.

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Quando se faz o uso do coeficiente f3, a fórmula para obtenção do momento total

fica assim:

/..1201

.

3

2

,1

,

f

AdSb

totSd

MM

Duas observações muito importantes com relação ao método do pilar-padrão

acoplado ao diagrama N, M, 1/r:

Trata-se de um método que, na prática, somente é viável com o uso de um

computador, pois como vimos no início deste curso, a montagem do diagrama N, M,

1/r é extremamente complicada de ser realizada manualmente.

É necessário que a armadura existente no lance do pilar seja previamente

conhecida, pois não há diagrama N, M, 1/r sem armadura definida! Ou seja, o

processo de dimensionamento é realizado por um processo iterativo de verificações.

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7.1.4 Resumo

A tabela a seguir apresenta um resumo das principais características de cada um dos

métodos aproximados.

Pilar-padrão com

1/r aproximada

Pilar-padrão com

rigidez aproximada

Pilar-padrão acoplado

a diagrama N, M, 1/r

Item da NBR 6118 15.8.3.3.2 15.8.3.3.3 15.8.3.3.4

NLG Pilar-padrão Pilar-padrão Pilar-padrão

NLF hhr

005,0

)5,0.(

005,01

.

..51.32

,

Sd

totSd

Nh

M

cdc fhA

EI

.. 2

sec

Esbeltez limite ≤ 90 ≤ 90 ≤ 140

Cálculo manual Sim Sim Não

Necessita As

conhecido Não Não Sim

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7.1.5 Exemplo 1

Vamos resolver um exemplo que está presente nos comentários da NB-1. Trata-se do

mesmo pilar em que estudamos a verificação do M1d,mín anteriormente, cujos dados

são apresentados a seguir.

cmb 20 e cmh 60

3,1760

300.12.12

h

le

x

0,5220

300.12.12

b

le

y

Apenas para relembrar, as envoltórias mínimas já calculadas são:

Note que, em torno da direção menos rígida (em torno do eixo y), o dimensionamento

deve conduzir um momento resistente MRd maior que 7,12 tf.m.

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Serão estudados três casos de flexão composta normal em torno da direção menos

rígida, com distribuição de momentos fletores distintos ao longo do pilar.

Os esforços locais de 2ª ordem serão calculados pelo método do pilar-padrão com

rigidez aproximada.

7.1.5.1 Caso 1

O pilar está submetido a momentos fletores que atuam no topo e na base em sentidos

opostos, com MS1d,A > M1d,mín.

A. Cálculos iniciais

mtfM AdS .0,10,1

mtfM BdS .5,3,1

mtfbM mínd .41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1

Como míndAdS MM ,1,1 : 46,010

5,3.4,06,0.4,06,0

,1

,1

AdS

BdS

bM

M

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

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_________________________________________

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8,6046,0

2,0

210/10.5,1225

/.5,1225.5,1225

,11

1

b

SdAdS

b

b

NM

b

e

B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem

Como 8,600,52 1 , não é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem.

C. Esforços finais para dimensionamento

A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua

resistência ),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir.

C.1 Esforços mínimos

tfNSd 210 ; mtfM Sdx .93,6 ; mtfM Sdy .0,0


C.2 Flexão normal no topo do pilar

tfNSd 210 ; mtfM Sdy .5,3

C.3 Flexão normal na base do pilar


D. Representação em planta

A representação dos esforços em planta é apresentada a seguir.

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7.1.5.2 Caso 2

O pilar está submetido a momentos fletores que atuam no topo e na base em mesmos

sentidos, com MS1d,A > M1d,mín.


mtfM AdS .0,10,1

mtfM BdS .0,7,1

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mtfbM mínd .41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1

Como míndAdS MM ,1,1 : 88,010

7.4,06,0.4,06,0

,1

,1

AdS

BdS

bM

M

0,35358,3188,0

2,0

210/10.5,1225

/.5,1225.5,1225

1

,11

1

b

SdAdS

b

b

NM

b

e


Como 0,350,52 1 , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem.

Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez aproximada,

tem-se:

mtfMM AdSbdS .8,80,10.88,0. ,11

0,12,0.5.5 bA

3,68,8.2,0.5320

3.210210.2,0..5

320

..

22

1

2

2 dS

eSd

Sd MblN

NbB

9,738,8.2,0.210.. 2

1

2 dSSd MbNC

mtfA

CABBM totSd .31,12

0,1.2

9,73.0,1.43,63,6

.2

..422

,

Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3:

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5,64817,0.210.2,0

31,12.51.32.

..51.32

,

Sd

totSd

Nb

M

!3,12

817,0/5,64.120

0,521

8,8

/.1201

22

1

, OKM

M dS

totSd











C.4 Flexão normal entre o topo e a base do pilar


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7.1.5.3 Caso 3

O pilar está submetido a momentos fletores que atuam no topo e na base em mesmos

sentidos, com b.MS1d,A < M1d,mín.

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mtfM AdS .5,4,1

mtfM BdS .0,4,1

mtfbM mínd .41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1

Como míndAdS MM ,1,1 : 96,05,4

4.4,06,0.4,06,0

,1

,1

AdS

BdS

bM

M

0,35356,2796,0

2,0

210/5,4.5,1225

/.5,1225.5,1225

1

,11

1

b

SdAdS

b

b

NM

b

e


Como 0,350,52 1 , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem.


tem-se:

mtfMM AdSbdS .3,45,4.96,0. ,11

0,12,0.5.5 bA

8,13,4.2,0.5320

3.210210.2,0..5

320

..

22

1

2

2 dS

eSd

Sd MblN

NbB

1,363,4.2,0.210.. 2

1

2 dSSd MbNC

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mtfA

CABBM totSd .98,6

0,1.2

1,36.0,1.48,18,1

.2

..422

,


9,47817,0.210.2,0

98,6.51.32.

..51.32

,

Sd

totSd

Nb

M

!0,7

817,0/9,47.120

0,521

3,4

/.1201

22

1

, OKM

M dS

totSd











_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

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_________________________________________

_________________________________________

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C.4 Flexão normal entre o topo e a base do pilar




Note que, nesse caso, o esforço final crítico, apesar de existir 2ª ordem entre o topo e a

base (ponto M), continuou a ser o esforço mínimo decorrente do M1d,mín.

7.1.6 Exemplo 2

Neste exemplo, vamos fazer um primeiro comparativo entre os métodos aproximados.

Vamos calcular um pilar submetido a uma flexão composta normal pelos métodos do

pilar-padrão com curvatura aproximada, pilar-padrão com rigidez k aproximada e

pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r.

Toda resolução será acompanhada com o uso de um sistema computacional.

Os dados do pilar são mostrados na figura a seguir.

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7,8825,0

4,6.12

8,4AM ; 4,2BM

9,125,0.03,0015,0.84,1 míndM

4,08,4

4,2.4,06,0

b

6,694,0

25,0

84/8,4.5,1225

1

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Como > 1, é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem.

Como < 90, pode-se adotar qualquer um dos métodos aproximados.

Não verificaremos o M1d,mín com o intuito de focar a análise da 2ª ordem.

B. Pilar-padrão com curvatura aproximada

36,0

4,1

2000.65,0.25,0

84

02,0

r

102,0

25,0

005,0023,0

5,036,0.25,0

005,0

r

1

mtfM totSd .8,802,0.10

4,6.848,4.4,0

2

,

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

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Note que:

A parcela referente à 2ª ordem corresponde a r

lN e

d

1.

10.

2

.

O coeficiente b procura determinar o ponto entre o topo e a base do lance

onde ocorrerá o efeito local de 2ª ordem mais desfavorável.

Foi possível realizar todos os cálculos manualmente, sem conhecer a armadura

do pilar.

C. Pilar-padrão com aproximada

25,125,0.5 A

9,78,4.4,0.25,0.5320

4,6.8484.25,0

22 B

1,108,4.4,0.25,0.84 2 C

mtfM totSd .41,725,1.2

1,10.25,1.49,79,7 2

,


3236,0.84.25,0

41,7.51.32

!41,7

36,0/32.120

7,881

8,4.4,02, OKM totSd

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Note que:

A parcela referente à 2ª ordem corresponde a AbtotSd MM ., .



Foi possível realizar todos os cálculos manualmente, sem conhecer a armadura

do pilar.

D. Pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r

Esse método prevê o uso da rigidez secante obtida pelo diagrama N, M, 1/r, que

somente é viável com o uso de computador.

É necessário, portanto, predefinir uma configuração de

armadura. Como exemplo, vamos adotar 6 12,5 mm.

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O diagrama N, M, 1/r para a armadura adotada, NSd = 84tf e f3 = 1,0 é apresentado a

seguir.

Note que:

O momento resistente último MRd na direção analisada é de 8,4 tf.m.

A rigidez obtida pelo diagrama (34,6) é maior que a rigidez aproximada

(32,0).

O momento total aplicando a rigidez obtida pelo normal-diagrama momento-

curvatura é:

mtfM totSd .1,6

36,0/6,34.120

7,881

8,4.4,02,

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Note que:

A parcela referente à 2ª ordem corresponde a AbtotSd MM ., .



Foi necessário usar o computador para montar o diagrama N, M, 1/r.

Foi necessário predefinir uma armadura para calcular os efeitos locais de 2ª

ordem.

E. Conclusões

A primeira observação importante é que por meio dos dois primeiros métodos, pilar-

padrão com 1/r aproximada e pilar-padrão com rigidez aproximada, foi possível

efetuar toda a análise manualmente, e sem o conhecimento prévio das armaduras.

Isso possibilita na prática, quando um pilar necessita ser analisado para uma série de

combinações de esforços, executar uma montagem prévia de todos os

carregamentos (1ª ordem + 2ª ordem), antes de dimensionar as armaduras.

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E por isso, é comum nos sistemas computacionais ter disponível uma listagem

chamada “montagem de carregamentos”, quando se faz o uso de um desses

métodos (1/r ou aproximada).

Veja, a seguir, um exemplo.

Note a existência do momento total MSd,tot = 7,41 tf.m, calculado pelo pilar-padrão

com rigidez aproximada.

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Ao contrário de tudo isso, quando se usa o método do pilar-padrão acoplado a

diagrama N, M, 1/r, não é possível montar essa listagem prévia de carregamento, pois

os esforços finais dependem da armadura.

Nesse caso, o processo de dimensionamento é iterativo. Define-se previamente uma

armadura e analisa-se o pilar sucessivamente, até a obtenção de uma armadura

necessária.

Isso torna, obviamente, o processamento mais oneroso. Porém, com o enorme avanço

no desenvolvimento de subrotinas matemáticas poderosas e eficientes (atreladas a

inúmeros métodos numéricos), tornou-se possível utilizar o método do pilar-padrão

acoplado a diagrama N, M, 1/r na prática, durante a elaboração de projetos

estruturais de edifícios de concreto armado.

Para finalizar, é importante lembrar que para uma configuração de armadura de 6

12,5 mm, o momento resistente último MRd foi de 8,4 tf.m.

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Note que como variou momento total final com 2ª ordem utilizando a representação

de esforços em planta.

Nesse caso, se for adotado o método do pilar-padrão com 1/r aproximada, o pilar não

passa, e a armadura tem que ser aumentada.

Isso mostra uma tendência de que os métodos do pilar-padrão com rigidez

aproximada e pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r gerem um

dimensionamento mais econômico perante a aplicação do método do pilar-padrão

com 1/r aproximada (que era então o único disponível na NBR 6118:1980).

Faremos um comparativo mais detalhado entre os métodos, inclusive o método geral,

mais adiante.

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Nota importante

Para efeito de dimensionamento desse pilar, é importante lembrar que a verificação

do M1d,mín é obrigatória. Esse cálculo não foi realizado nesse exemplo, pois o objetivo

era focar apenas a análise dos efeitos locais de 2ª ordem.

Curvatura 1/r e rigidez equivalentes

Na NBR 6118:2008, item 15.8.3.3.3, o método do pilar-padrão acoplado a diagramas N,

M, 1/r é definido da seguinte forma:

“A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares com ≤140 pode ser feita pelo

método do pilar-padrão ou pilar-padrão melhorado, utilizando-se para a curvatura da seção

crítica valores obtidos de diagramas N, M, 1/r específicos para o caso.”

Pois bem, ao aplicar esse método no exemplo, inicialmente calculamos a rigidez pelo

diagrama normal-momento-curvatura mostrado a seguir.

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E, depois, aplicamos a fórmula na qual o momento fletor final (1ª ordem + 2ª ordem) é

calculado em função da rigidez secante obtida (502,3 tf.m2 ou = 34,6).

/.1201

.2

,1

,

AdSb

totSd

MM mtf .1,6

36,0/6,34.120

7,881

8,4.4,02

É interessante observar que o resultado final obtido pela fórmula em função da

curvatura deve ser o mesmo. Basta definirmos a 1/r equivalente na seção crítica

(MSd,tot = 6,1 tf.m), utilizando o valor da rigidez 502,3 tf.m2.

mtfM totSd .1,6)10.21,1.(10

4,6.848,4.4,0 2

2

,

Isso comprova que as duas fórmulas para cálculo do MSd,tot, apesar de parecerem

bastante distintas, tem a mesma origem (pilar-padrão). O que varia de método para

método é a aproximação feita para não-linearidade física (1/r aproximada, k

aproximada, acoplado a diagrama N, M, 1/r).

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7.2 Método geral

No item anterior, foram apresentados três métodos aproximados para análise dos

efeitos locais de 2ª ordem. Agora, vamos estudar um processo mais abrangente e

sofisticado, usualmente chamado de Método Geral.

NBR 6118:2003

O método geral é definido na NBR 6118:2003, item 15.8.3.2, por apenas uma única

frase:

“Consiste na análise não-linear de 2a. ordem efetuada com discretização adequada da barra,

consideração da relação momento-curvatura real em cada seção, e consideração da não-

linearidade geométrica de maneira não aproximada.”

Nesse item, não existe nenhuma formulação definida, e muito menos uma descrição

detalhada de como aplicar o método. Somente existe a definição acima, e nada

mais.

Dessa frase, podemos extrair as seguintes informações principais:

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Aplicabilidade

O método geral pode ser empregado apenas para pilares com ≤ 200 e é obrigatório

para pilares com > 140. Acima desse último limite (140), não se pode aplicar nenhum

dos processos aproximados estudados anteriormente.


As deformações ao longo lance do pilar devem ser analisadas por processo refinado.

Não se pode adotar a aproximação por uma curva senoidal (pilar-padrão).

Existem diferentes maneiras para considerar a não-linearidade geométrica de forma

refinada. Uma primeira alternativa é a partir do diagrama de momentos fletores no

lance do pilar, obter as curvaturas (1/r) por meio da rigidez EI, as rotações () e

deslocamentos (d) por meio de integrações sucessivas, e depois, com esses

incrementar os momentos de 2ª ordem nos esforços originais. Esse cálculo é repetido

inúmeras vezes até o acréscimo de esforços ou deslocamentos tender a zero.

Uma outra forma de tratar o problema é utilizar modelos numéricos que possibilitem a

análise em 2ª ordem (equilíbrio na posição deformada), como por exemplo, o cálculo

de um pórtico espacial por meio de uma análise P-.

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Seja qual for o processo empregado, a informação principal que se busca é a posição

final de equilíbrio do lance do pilar, de tal forma a definir a magnitude total dos efeitos

locais de 2ª ordem.

A busca dessa posição de equilíbrio é sempre iterativa. E, por isso, é fundamental que

sejam consideradas tolerâncias que controlem a convergência dos processos de

forma eficiente e segura. Usualmente, esses valores são definidos em “deltas máximos

de deslocamentos ou esforços”.

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Instabilidade local

Ao empregar um processo aproximado (pilar-padrão com 1/r aproximada, pilar-

padrão com aproximada, pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r), a única

resposta final que temos é se o lance de pilar passa ou não em relação à resistência

última da seção crítica (ruptura).

Já, no método geral, além dessa informação (ruptura da seção crítica), pode-se

flagrar se o lance é estável ou instável, pois a busca pela posição de equilíbrio do

mesmo é iterativa.

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Ao adotar o método geral no cálculo de um pilar demasiadamente

esbelto, por exemplo, pode-se se chegar numa situação de

instabilidade quando o número máximo de iterações definido na

análise é alcançado.

Nesse caso, o processo não converge pois os acréscimos de

deslocamentos a cada iteração são superiores à tolerância

adotada. Esse resultado independe do nível de solicitação da

seção crítica em relação à sua resistência.


A não-linearidade física é considerada por meio da obtenção da rigidez no diagrama

N, M, 1/r. Essa rigidez pode ser definida das seguintes formas:

Pela rigidez secante EIsec obtida pela linearização do diagrama (reta), e que

pode ser estendida para todas as seções do lance. É a forma mais recomendável de

se obter a rigidez, pois está a favor de segurança bem como facilita a análise

(desacoplamento das duas direções).

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Pela rigidez secante EI obtida pela curva para cada seção do lance de

acordo com a sua solicitação atuante. Trata-se de um procedimento válido somente

para casos de flexão composta normal.

Pela rigidez secante oblíqua em que considerem simultaneamente os esforços

solicitantes em ambas as direções dos pilares.

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Discretização adequada

No método geral, é fundamental que o lance do pilar seja discretizado

adequadamente, de tal forma a obter as respostas em várias seções.

Ao contrário dos processos aproximados em que a definição da seção crítica entre o

topo e a base do lance do pilar era realizada de forma simplificada pelo coeficiente

b, no método geral essa seção é definida de forma bem mais realista.

Em lances de pilares de edifícios usuais, a discretização em 10 trechos é suficiente.

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Coeficiente f3

Pode ser considerada a formulação de segurança em que se calculam os efeitos de

2ª ordem das cargas majoradas de f/f3, que posteriormente são majorados de f3.

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Processo de verificação

O método geral é essencialmente um processo de verificação, pois é necessário

conhecer previamente a armadura ao longo do lance do pilar para calcular os

esforços de 2ª ordem.

Dessa forma, assim como no método do pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r,

o processo de dimensionamento pelo método geral é iterativo. Define-se uma

armadura e analisa-se o pilar sucessivamente, até a obtenção de uma armadura

necessária.

Cálculo manual

Calcular manualmente um lance de pilar pelo método geral é inviável, visto que é

necessário considerar tanto a não-linearidade física como a geométrica de forma

refinada. Na prática, o emprego do método geral somente é realizado com o uso de

um computador.

Cabe ao Engenheiro de Estruturas conhecer a teoria que envolve o método, de tal

forma a poder interpretar os resultados obtidos de forma segura.

Esbeltez acima de 140

Devido ao fato de que pilares de edifícios de concreto armado com esbeltez superior

a 140 ainda tenham sido pouco estudados com o uso do método geral, recomenda-

se o uso de um coeficiente ponderador de esforços adicional (n), cujo valor pode ser

entre 1,2 a 1,4.

7.2.1 Exemplo 1

Vamos calcular o pilar analisado no último exemplo pelos três processos aproximados,

agora, empregando o Método Geral.

Relembrando...

Os dados do pilar são relembrados a seguir.

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Os resultados até então obtidos pelos processos aproximados são apresentados na

figura abaixo.

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Manteremos a mesma configuração de armadura pré-

definida no exemplo anterior, 6 12,5 mm.

O diagrama N, M, 1/r para essa armadura, NSd = 84tf e f3 = 1,0 é apresentado a seguir.

Veja que se trata da mesma rigidez adotada no método do pilar-padrão acoplado a

diagramas.

Ou seja, em relação à não-linearidade física, não há diferença entre o método geral e

o método do pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r.

Adotando-se uma tolerância máxima de deslocamentos relativos de 0,1 mm e um

número máximo de iterações igual a 20, chegaremos ao seguinte resultado final.

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Note que:

Várias seções foram analisadas entre o topo e a base, e não somente uma

como nos demais processos aproximados.

O momento total final MSd,tot (5,9 tf.m) foi ligeiramente menor que o obtido pelo

método do pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r (6,1 tf.m).

A seção em que resultou o maior esforço de 2ª ordem (3,4 tf.m) corresponde a

seção com a 1ª ordem b.MA (1,92 tf.m).

No método geral, além dos esforços finais, também é possível obter os deslocamentos

de 2ª ordem, mostrados a seguir.

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Perceba que os deslocamentos são compatíveis com os esforços de 2ª ordem (tração

na face esquerda).

Mais uma observação importante: de acordo com as tolerâncias definidas

(deslocamento relativo máximo = 0,1 mm e número máximo de iterações = 20) foi

necessário, nesse exemplo, 13 iterações para o processo convergir, isto é, o lance do

pilar entrar em equilíbrio.

Para finalizar, vamos comparar os esforços finais obtidos por todos os quatro métodos

utilizados.

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Note que:

Há certa uniformidade entre todos os métodos sob ponto de vista qualitativo.

Quando comparado com o processo mais preciso (método geral), o método

do pilar-padrão com 1/r aproximada superestimou os efeitos locais de 2ª ordem

(+49%).


do pilar-padrão com rigidez aproximada superestimou os efeitos locais de 2ª ordem

(+25%).

Em relação ao processo mais preciso (método geral), o método do pilar-

padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r teve um resultado bem próximo (+3%).

O que gerou a diferença entre os três métodos aproximados foi o tratamento

dado para a não-linearidade física em cada um deles.

A pequena diferença entre os dois últimos métodos foi ocasionada pelo

tratamento dado para a não-linearidade geométrica em cada um deles.

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Tendência

É importante, no entanto, deixar bastante claro que esse exemplo não pode ser

extrapolado para todo e qualquer tipo de pilar. Ele nos serve apenas para mostrar

uma tendência, mas nada que seja definitivo e invariável. Há casos em que o método

geral, por exemplo, pode gerar um resultado mais a favor da segurança que os

demais processos.

7.2.2 Exemplo 2

Nesse exemplo, vamos analisar um pilar engastado na base submetido a uma flexão

composta normal, que é objeto de estudo durante o curso do PECE-USP.

Inicialmente, iremos adotar f3 = 1,0 e rigidez EIsec pela reta. Depois, analisaremos os

resultados com f3 = 1,1. Finalmente, veremos o cálculo com a rigidez EI obtida pela

curva (válida apenas para casos de flexão composta normal).

A. Dados

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Além da força normal de compressão, o pilar está submetido a uma força horizontal e

um momento fletor no topo segundo a sua direção menos rígida, de tal forma que os

esforços de primeira ordem são:

Para montar o diagrama N, M, 1/r, é preciso predefinir uma

configuração de armadura. Como exemplo, vamos adotar 8

16 mm.

B. Cálculos iniciais

3,9326,0

)5,3.2.(12

0,2AM ; 3,1CM

8,126,0.03,0015,0.8,79,1 míndM

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93,00,2

3,1.2,08,0 b

352,2893,0

26,0

8,79/0,2.5,1225

11

Como > 1, é necessário calcular os efeitos de 2ª ordem.

Como > 90, é obrigatório o uso do método geral.

Não verificaremos o M1d,mín com o intuito de focar apenas a análise dos efeitos locais

de 2ª ordem. Essa verificação é obrigatória no caso de dimensionamento.

C. Análise com f3 = 1,0 e EIsec pela reta

O diagrama N, M, 1/r (calculado por computador) com NSd = 79,8 tf e 8 16 mm é

apresentado a seguir.

O momento resistente último da seção (MRd) é 7,1 tf.m e a rigidez secante pela reta é

igual a 532,5 tf.m2.

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Veja, a seguir, os deslocamentos e momentos fletores resultantes ao longo do pilar.

Note que o esforço final na base atinge a resistência última do pilar.

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D. Análise com f3 = 1,1 e EIsec pela reta

O diagrama N, M, 1/r (calculado por computador) com NSd = 79,8 tf e 8 16 mm é


O momento resistente último da seção (MRd) continua o mesmo 7,1 tf.m (como era

esperado) e a rigidez secante pela reta aumentou para 567,8 tf.m2.

Como a análise em 2ª ordem é feita com NSd / 1,1 (que posteriormente é majorado por

1,1), bem como uma rigidez maior, os deslocamentos são menores.

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Consequentemente, os momentos fletores finais também diminuem, conforme mostra

a figura a seguir.

E. Análise com f3 = 1,1 e EIsec pela curva

Nesse caso, a rigidez adotada ao longo do lance do pilar é variável de acordo com a

solicitação em cada trecho. Note que as rigidezes obtidas pela curva são maiores.

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Devido ao aumento de rigidez ao longo de todo o lance, os deslocamentos e os

esforços finais diminuem bastante.

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F. Conclusões

Resumindo os resultados numa tabela, temos:

f3 Rigidez EI MSd,tot (base)

1,0 Reta (532,5 tf.m2) 7,1 tf.m

1,1 Reta (567,8 tf.m2) 5,5 tf.m

1,1 Curva (entre 780 e 840 tf.m2) 4,2 tf.m

Nesse exemplo, o coeficiente f3 e o modo como a rigidez foi calculada (reta ou

curva) foram significativos nos resultados.

Perceba que os valores obtidos pela curva, nesse exemplo, são bem superiores aos da

reta.

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Veja, a seguir, como a rigidez em cada seção é calculada utilizando a curva.

Trata-se de uma forma bastante refinada de definir a rigidez ao longo de um pilar, pois

cada trecho possui um EI de acordo com a sua solicitação.

É importante lembrar, no entanto, que essa metodologia somente é válida para casos

de flexão composta normal, visto que os esforços na outra direção são ignorados. Mais

adiante, veremos como obter a rigidez EI oblíqua real.

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7.2.3 Exemplo 3

Vamos, novamente, analisar um pilar utilizando todos os métodos definidos na NBR

6118:2003. No caso do método geral, vamos variar o coeficiente f3, ora com um valor

de 1,0 ora com um valor de 1,1, e o modo de como a rigidez é extraída do diagrama

N, M, 1/r, ora pela reta, ora pela curva.

Trata-se, também, de um exemplo estudado no curso do PECE-USP.

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2,7435,0

5,7.12

5,10AM ; 0,2BM

mtfM mínd .2,835,0.03,0015,0.320,1

524,05,10

0,2.4,06,0

b

50524,0

35,0

320/5,10.5,1225

1

Como > 1, é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem.

Como < 90, pode-se adotar qualquer um dos métodos aproximados bem como o

método geral.

Não verificaremos o M1d,mín com o intuito de focar apenas a análise dos efeitos locais

de 2ª ordem. Essa verificação é obrigatória no caso de dimensionamento.

B. Pilar-padrão com curvatura aproximada

985,0

4,1

2000.65,0.35,0

320

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00962,0

r

1014,0

35,0

005,000962,0

5,0985,0.35,0

005,0

r

1

mtfM totSd .8,220962,0.10

5,7.3205,10.524,0

2

,

C. Pilar-padrão com aproximada

75,135,0.5.5 bA

675,265,10.524,0.35,0.5320

5,7.320320.35,0..5

320

..

22

1

2

2 dS

eSd

Sd MblN

NbB

6,2155,10.524,0.35,0.320.. 2

1

2 dSSd MbNC

mtfA

CABBM totSd .1,21

75,1.2

6,215.75,1.4675,26675,26

.2

..422

,

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2,61985,0.320.35,0

1,21.51.32

!1,21

985,0/2,61.120

2,741

5,10.524,02, OKM totSd

D. Pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r

Esse método prevê o uso da rigidez secante obtida

pelo diagrama N, M, 1/r, sendo necessário, portanto,

predefinir uma configuração de armadura. Como

exemplo, vamos adotar 12 20 mm.

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O diagrama N, M, 1/r para a armadura adotada, NSd = 320 tf e f3 = 1,0 é apresentado

a seguir.

Note que:


A rigidez obtida pelo diagrama (78,6) é bem maior que a rigidez

aproximada (61,2).


curvatura é:

mtfM totSd .9,12

985,0/6,78.120

2,741

5,10.524,02,

Esse esforço é bem menor que os valores obtidos anteriormente (22,8 tf para pilar-

padrão com 1/r aproximada e 21,1 para pilar-padrão com rigidez aproximada).

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E. Método geral

O diagrama N, M, 1/r para é o mesmo utilizado anteriormente no método do pilar-

padrão acoplado a diagrama.

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Adotando-se uma tolerância máxima de deslocamentos relativos de 0,1 mm e um

número máximo de iterações igual a 20, chegaremos ao seguinte resultado final.

Note que o momento fletor total na seção crítica (13,3 tf) é maior que o valor obtido

pelo método do pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r (12,9 tf.m).

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Lembrando que para a armadura adotada, tem MRd = 14,8 tf.m.

Note que:


do pilar-padrão com 1/r aproximada superestimou os efeitos locais de 2ª ordem

(+71%).


do pilar-padrão com rigidez aproximada superestimou os efeitos locais de 2ª ordem

(+59%).

Em relação ao processo mais preciso (método geral), o método do pilar-

padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r teve um resultado bem próximo (-3%).

F. Método geral com f3 = 1,1

O diagrama N, M, 1/r (calculado por computador) com NSd = 320 tf e 12 20 mm é


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O momento resistente último da seção (MRd) continua o mesmo 14,8 tf.m (como era

esperado) e a rigidez secante pela reta aumentou para 3359,0 tf.m2.

Como a análise em 2ª ordem é feita com NSd / 1,1 (que posteriormente é majorado por

1,1), bem como uma rigidez maior, os deslocamentos são menores.

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Consequentemente, os momentos fletores finais também diminuem, conforme mostra

a figura a seguir.

G. Método geral pela curva

Nesse caso, a rigidez adotada ao longo do lance do pilar é variável de acordo com a

solicitação em cada trecho. Note que as rigidezes obtidas pela curva são

praticamente as mesmas da reta, pois a curva quase coincide com a reta.

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E, portanto, nesse caso, os resultados variam muito pouco (como era de se esperar).

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H. Conclusões

Resumindo os resultados numa tabela, temos:

Método f3 Rigidez EI MSd,tot

Pilar-padrão com 1/r aproximada 1,0 Aprox. (2370 tf.m2) 22,8 tf.m

Pilar-padrão com aproximada 1,0 Aprox. (2437 tf.m2) 21,1 tf.m

Pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r 1,0 Reta (3130 tf.m2) 12,9 tf.m

Método geral 1,0 Reta (3130 tf.m2) 13,3 tf.m

Método geral 1,1 Reta (3359 tf.m2) 12,1 tf.m

Método geral 1,1 Curva (entre 3340 e

3386 tf.m2) 11,9 tf.m

Note que:

A maneira como a não-linearidade física é tratada é significativa no resultado

final. As rigidezes aproximadas geram valores finais com uma boa margem de

segurança.

A maneira como a não-linearidade geométrica é tratada (pilar-padrão X

processo não-aproximado) não trouxe grandes diferenças nos resultados.

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7.3 Resumo geral

Até o momento, estudamos com relativa profundidade todos os processos presentes

na NBR 6118:2003 para análise dos efeitos locais de 2ª ordem. Por meio de exemplos,

foi possível perceber as particularidades cada método e conhecer um pouco das suas

vantagens e desvantagens.

O gráfico a seguir faz um resumo geral quanto à aplicabilidade dos métodos em

função do índice de esbeltez do pilar.

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No gráfico anterior, a palavra “qualquer” deve ser encarada com certa precaução,

pois há casos em que o seu campo de aplicação ainda não foi devidamente testado

e comprovado, sendo necessário estudos mais aprofundados para se ter uma resposta

mais precisa e definitiva.

O próprio Método Geral que é mais abrangente, por exemplo, necessita de mais

testes para que seja comprovada a sua validade para todo e qualquer tipo de pilar

(ex.: pilares de seção genérica com índice de esbeltez acima de 140).

Enquanto não se tem uma resposta definitiva para todos os casos, é sempre

conveniente durante a elaboração de um projeto estrutural, cercar-se de soluções

que levem a uma estrutura mais segura, principalmente em situações “que fogem do

trivial”.

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8 Flexão composta oblíqua

Na vida real, todo pilar, seja ele de canto, de extremidade ou intermediário, está

submetido a uma força normal de compressão e a momentos fletores concomitantes

nas duas direções, ou seja, a uma flexão composta oblíqua.

Há certos casos em que a aproximação para uma flexão composta normal é possível

e defensável, principalmente quando se quer resolver um problema de forma manual,

sem o auxílio de um computador.

Nos sistemas computacionais atuais destinados à elaboração de projetos de estruturas

de concreto armado, todo lance de pilar é analisado nas duas direções. Mesmo que

os momentos fletores em uma delas sejam pequenos, o pilar é dimensionado levando

em consideração a existência dos mesmos.

Porém, é importante deixar claro que o que se faz hoje, na prática, é analisar o pilar

nas duas direções separadamente, calculando os efeitos de 2ª ordem e das

imperfeições geométricas de forma isolada, e depois ao final, fazer a composição dos

esforços obtidos para o dimensionamento das armaduras. Isto é, nada mais é do que

duas flexões compostas normais que se juntam no fim. Podemos dizer então que se

trata de uma análise oblíqua “simplificada”.

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A figura anterior representa bem o que foi colocado. Os esforços são calculados nas

direções y e z de forma independente (um não influi na resposta do outro), e depois

são acoplados durante o dimensionamento.

Esse tipo de procedimento, que na realidade é uma simplificação da análise oblíqua

verdadeira, é bastante eficiente desde que certas precauções sejam consideradas, e

também é permitido pela norma de concreto atual.

NBR 6118:2003

No item 15.8.3.3.5 da NBR 6118:2003, tem-se:

“Quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta normal

oblíqua for menor que 90 ( < 90) nas duas direções principais, pode ser aplicado o processo

descrito em 15.8.3.3.3 simultaneamente em cada uma das direções.”

“A amplificação dos momentos de 1ª ordem em cada direção é diferente, pois depende de

valores distintos de rigidez e esbeltez.”

“Uma vez obtida a distribuição de momentos totais de 1ª e 2ª ordens, em cada direção, deve ser

verificada, para cada seção ao longo do eixo, se a composição desses momentos solicitantes

fica dentro da envoltória de momentos resistentes para a armadura escolhida. Essa verificação

pode ser realizada em apenas três seções: nas extremidades A e B e num ponto intermediário

onde se admite atuar concomitantemente os momentos Md,tot nas duas direções (x e y).”

É possível perceber que a atual norma de concreto permite, com restrições, adotar a

flexão composta oblíqua “simplificada” utilizando o método do pilar-padrão com

rigidez aproximada.

A seguir, serão estudados alguns exemplos aplicando esse tipo de procedimento. No

final deste capítulo, será feita uma breve discussão a respeito da análise à flexão

composta oblíqua mais precisa.

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8.1 Exemplo 1

Trata-se de um exemplo presente na publicação do Ibracon “Comentários da NB-1”,

cujos dados são fornecidos a seguir.

Apenas para relembrar, as envoltórias mínimas em função do M1d,mín já foram

calculadas para esse mesmo pilar no item 7.2.2:

Note que, em torno da direção menos rígida (em torno do eixo y), o dimensionamento

deve conduzir um momento resistente MRd maior que 7,12 tf.m. E, na direção mais

rígida a uma resistência superior a 6,93 tf.m.

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A.1 Cálculo em x

mtfM AdxS .0,7,1

mtfM BdxS .0,4,1

mtfhM míndx .93,6)6,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1

Como míndxAdxS MM ,1,1 : 4,04,037,07

4.4,06,0.4,06,0

,1

,1

bx

AdxS

BdxS

bxM

M

2,644,0

6,0

210/7.5,1225

/.5,1225.5,1225

,11

1

bx

SdAdxS

bx

x

x

h

NM

h

e

A.2 Cálculo em y

mtfM AdyS .0,6,1

mtfM BdyS .0,0,1

mtfbM míndy .41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1

Como míndyAdyS MM ,1,1 : 6,06

0.4,06,0.4,06,0

,1

,1

AdyS

BdyS

byM

M

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6,446,0

2,0

210/6.5,1225

/.5,1225.5,1225

,11

1

by

SdAdyS

by

y

y

b

NM

b

e


Embora o índice de esbeltez limite tenha sido ultrapassado apenas em uma direção,

isto é, 2,643,17 1 xx e 6,440,52 1 yy , vamos calcular os efeitos locais

de 2ª ordem tanto em x como em y.

B.1 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar

a) Cálculo em x


tem-se:

mtfMM AdxSbxdxS .8,20,7.4,0. ,11

0,36,0.5.5 hA

3,618,2.6,0.5320

3.210210.6,0..5

320

..

22

1

2

2 dxS

eSd

Sd MhlN

NhB

7,2118,2.6,0.210.. 2

1

2 dxSSd MhNC

mtfA

CABBM totSdx .01,3

0,3.2

7,211.0,3.43,613,61

.2

..422

,

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3,29817,0.210.6,0

01,3.51.32.

..51.32

,

Sd

totSdx

xNh

M

!0,3

817,0/3,29.120

3,171

8,2

/.1201

22

1

, OKM

M

x

x

dxS

totSdx

b) Cálculo em y

mtfMM AdySbydyS .6,30,6.6,0. ,11

0,12,0.5.5 bA

1,16,3.2,0.5320

3.210210.2,0..5

320

..

22

1

2

2 dyS

eSd

Sd MblN

NbB

2,306,3.2,0.210.. 2

1

2 dySSd MbNC

mtfA

CABBM totSdy .08,6

0,1.2

2,30.0,1.41,11,1

.2

..422

,


1,45817,0.210.2,0

08,6.51.32.

..51.32

,

Sd

totSdy

yNb

M

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!1,6

817,0/1,45.120

0,521

6,3

/.1201

22

1

, OKM

M

y

y

dyS

totSdy





São os esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do

momento mínimo de 1ª ordem.

C.2 Flexão oblíqua no topo do pilar


C.3 Flexão oblíqua na base do pilar


C.4 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar


D. Dimensionamento de armadura

Considerando um cobrimento igual a 30 mm e uma armadura transversal com

diâmetro de 6,3 mm, obtém-se uma possível configuração de armadura longitudinal

composta por 10 barras de 20 mm (As = 31,4 cm2), aço CA50, na qual todas as

condições de solicitação são atendidas, conforme mostra a figura a seguir.

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Note que:

O efeito do M1d,mín na direção menos rígida (ponto Y) é o esforço crítico para o

dimensionamento.

O esforço de 2ª ordem no meio do lance (ponto M) tende a levar a seção para

o ELU na direção menos rígida.

Utilizando o Método Geral, no qual se considera a relação momento-curvatura real

em diversas seções ao longo do pilar (rigidez EI pela reta) e a não-linearidade

geométrica de forma não aproximada, obtém-se a seguinte resposta:

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Note que:

O efeito do M1d,mín na direção menos rígida (ponto Y) é o esforço crítico para o

dimensionamento.

Os efeitos locais de 2ª foram razoavelmente menores que os calculados pelo

método aproximado. Na direção mais rígida, esses esforços são insignificantes.

8.2 Exemplo 2

Trata-se do mesmo lance de pilar analisado anteriormente, porém com o diagrama de

momentos fletores em torno da direção menos rígida alterado.

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A.1 Cálculo em x

mtfM AdxS .0,7,1

mtfM BdxS .0,4,1

mtfhM míndx .93,6)6,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1

Como míndxAdxS MM ,1,1 : 4,04,037,07

4.4,06,0.4,06,0

,1

,1

bx

AdxS

BdxS

bxM

M

2,644,0

6,0

210/7.5,1225

/.5,1225.5,1225

,11

1

bx

SdAdxS

bx

x

x

h

NM

h

e

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A.2 Cálculo em y

mtfM AdyS .0,6,1

mtfM BdyS .0,5,1

mtfbM míndy .41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1

Como míndyAdyS MM ,1,1 : 93,06

5.4,06,0.4,06,0

,1

,1

AdyS

BdyS

byM

M

0,35358,2893,0

2,0

210/6.5,1225

/.5,1225.5,1225

1

,11

1

y

by

SdAdyS

by

y

y

b

NM

b

e


Embora o índice de esbeltez limite tenha sido ultrapassado apenas em uma direção,

isto é, 2,643,17 1 xx e 0,350,52 1 yy , vamos calcular os efeitos locais

de 2ª ordem tanto em x como em y.

B.1 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar

a) Cálculo em x


tem-se:

mtfMM AdxSbxdxS .8,20,7.4,0. ,11

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0,36,0.5.5 hA

3,618,2.6,0.5320

3.210210.6,0..5

320

..

22

1

2

2 dxS

eSd

Sd MhlN

NhB

7,2118,2.6,0.210.. 2

1

2 dxSSd MhNC

mtfA

CABBM totSdx .01,3

0,3.2

7,211.0,3.43,613,61

.2

..422

,


3,29817,0.210.6,0

01,3.51.32.

..51.32

,

Sd

totSdx

xNh

M

!0,3

817,0/3,29.120

3,171

8,2

/.1201

22

1

, OKM

M

x

x

dxS

totSdx

b)Cálculo em y

mtfMM AdySbydyS .6,50,6.93,0. ,11

0,12,0.5.5 bA

1,36,5.2,0.5320

3.210210.2,0..5

320

..

22

1

2

2 dyS

eSd

Sd MblN

NbB

0,476,5.2,0.210.. 2

1

2 dySSd MbNC

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mtfA

CABBM totSdy .59,8

0,1.2

0,47.0,1.41,31,3

.2

..422

,


9,52817,0.210.2,0

59,8.51.32.

..51.32

,

Sd

totSdy

yNb

M

!6,8

817,0/9,52.120

0,521

6,5

/.1201

22

1

, OKM

M

y

y

dyS

totSdy





São os esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do

momento mínimo de 1ª ordem.

C.2 Flexão oblíqua no topo do pilar


C.3 Flexão oblíqua na base do pilar


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C.4 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar


D. Dimensionamento de armadura

Considerando um cobrimento igual a 30 mm e uma armadura transversal com

diâmetro de 6,3 mm, obtém-se uma possível configuração de armadura longitudinal

composta por 14 barras de 20 mm (As = 44,0 cm2), aço CA50, na qual todas as

condições de solicitação são atendidas, conforme mostra a figura a seguir.

Note que o efeito de 2ª ordem no meio do lance (ponto M) é o esforço crítico para o

dimensionamento e tende a levar a seção para o ELU na direção menos rígida.

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Utilizando o Método Geral, no qual considera-se a relação momento-curvatura real

em diversas seções ao longo do pilar (rigidez EI pela reta) e a não-linearidade

geométrica de forma não aproximada, obtém-se a seguinte resposta:

Note que o efeito da 2ª ordem na direção menos rígida continua a ser preponderante

e tende a levar a seção para o ELU. Quando comparado com o esforço total

calculado pelo método aproximado (8,59 tf.m), o valor obtido pelo Método Geral é

um pouco menor (8,0 tf.m).

8.3 Análise oblíqua mais precisa

Nos exemplos anteriores, analisamos os pilares por meio de uma análise à flexão

composta oblíqua “simplificada”, isto é, calculamos os efeitos locais nas duas direções

de forma desacoplada, e depois fizemos a composição no final para o

dimensionamento da armadura.

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Para que essa simplificação possa ser adotada, a consideração da não-linearidade

física em cada uma das direções, isto é, a definição das rigidezes EI a serem

empregadas na análise, deve estar sempre a favor da segurança.

A rigidez EI jamais pode ser extraída pela curva em casos de flexão

oblíqua!

Em casos em que há atuação de momentos fletores concomintantes em ambas

direções (flexão composta oblíqua), quando for utilizado o diagrama N, M, 1/r

(método geral ou pilar-padrão acoplado a diagramas), a rigidez EI calculada, em

hipótese alguma, ela poderá ser extraída pela curva (como havíamos feito nos

exemplos com flexão composta normal).

Nessa situação, deve-se utilizar sempre a rigidez definida pela reta (linearização do

diagrama N, M, 1/r). Caso contrário, isto é, se a rigidez for calculada pela curva, os

resultados ficarão contra a segurança.

Um exemplo vale mais que muitas palavras

Seguindo esse princípio, vamos fazer uma rápida aplicação para compreender o que

foi colocado anteriormente.

Seja uma seção de 30 cm x 60 cm, composta por armadura de 16 barras 20 mm,

concreto C30, (c = 1,4), aço CA50, (s = 1,15).

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O diagrama N, M, 1/r em torno da direção menos rígida com Nd = 150 tf e f3 = 1,1 é

mostrado a seguir.

Note que:

O momento resistente último é de MRd = 31,0 tf.m.

A rigidez secante obtida pela reta é de EIsec = 1970,5 tf.m2.

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O diagrama N, M, 1/r em torno da direção mais rígida é apresentar a seguir.

Note que:

O momento resistente último é de MRd = 60,3 tf.m.

A rigidez secante obtida pela reta é de EIsec = 8236,6 tf.m2.

Momentos atuantes nas duas direções

Imagine, agora, que esta seção esteja solicitada por um momento Mx = 15 tf.m e um

momento My = 37 tf.m.

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Rigidezes pela reta

Se fossem adotadas as retas, as rigidezes seriam EIsec,x = 1970,5 tf.m2 e EIsec,y = 8236,6

tf.m2, conforme mostram as figuras a seguir.

Note que as rigidezes em ambas as direções não variam em função dos momentos,

são sempre constantes.

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Rigidezes pela curva

Utilizando o diagrama N, M, 1/r em torno de x (menos rígida), é possível extrair a rigidez

pela curva com Mx = 15 tf.m.

Perceba que a rigidez obtida pela curva (2769,3 tf.m2) é bem superior ao valor obtido

pela reta (1970,5 tf.m2).

Por sua vez, utilizando o diagrama N, M, 1/r em torno de y (mais rígida), é possível

extrair a rigidez pela curva com My = 37 tf.m.

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Observe que a rigidez obtida pela curva (10068,9 tf.m2) é bem superior ao valor obtido

pela reta (8236,6 tf.m2).

Essas rigidezes que acabaram de ser calculadas pelas curvas não podem ser

utilizadas, pois conduziriam a resultados contra a segurança!

Quando extraímos a rigidez EIsec,x = 2769,3 tf.m2 pelo diagrama N, Mx, (1/r)x,

simplesmente não levamos em conta o momento My = 37 tf.m. Enquanto que, quando

extraímos a rigidez EIsec,y = 10068,9 tf.m2 pelo diagrama N, My, (1/r)y, não contabilizamos

o momento Mx = 15 tf.m.

A rigidez pela curva EIsec,x = 2769,3 tf.m2 somente poderia ser utilizada se o momento My

fosse igual a zero (flexão composta normal em torno de x). Já a rigidez pela curva

EIsec,y = 10068,9 tf.m2 somente poderia ser utilizada se o momento Mx fosse igual a zero

(flexão composta normal em torno de y).

Repetindo: as rigidezes pelas curvas, em nenhuma hipótese, podem ser adotadas em

análises à flexão composta oblíqua.

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Rigidezes pela superfície

Vamos agora introduzir uma novidade ainda não muito bem divulgada no meio

técnico profissional: a montagem de diagrama N, M, 1/r variando o momento fletor na

direção ortogonal à direção analisada. Isso gerará uma série de curvas (um para

cada valor de momento ortogonal até o esforço último).

Trata-se uma abordagem ainda aproximada da flexão composta oblíqua real, mas

que já leva em conta a atuação dos dois momentos fletores na seção de forma

conjunta.

Veja, a seguir, uma série de diagramas N, M, 1/r em torno da direção x da seção

analisada, variando o momento My de 0 até o momento resistente último MRd,y = 60,3

tf.m.

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As curvas com My = 0,0 tf.m destacadas na figura anterior correspondem exatamente

aos diagramas com 0,85.fcd e 1,1.fcd que utilizamos para extrair as rigidezes EIsec,x.

Como é possível montar infinitos diagramas variando My de 0,0 tf.m até My = MRdy =

60,3 tf.m, podemos então definir uma chamada superfície N, M, 1/r.

Com esse tipo de abordagem, passa a ser possível, por exemplo, extrair a rigidez (1/r)x

para um momento Mx = 15 tf.m com a atuação simultânea de um momento ortogonal

My = 37 tf.m.

Veja, a seguir, como fica o cálculo da rigidez EIsec,x para Mx = 15 tf.m utilizando o

diagrama N, Mx, (1/r)x com My = 37 tf.m. Esse diagrama é apresentado na vista lateral e

espacial, respectivamente.

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Note que a rigidez obtida na superfície (2065,2 tf.m2) é um pouco maior que a extraída

pela reta (1970,5 tf.m2), porém bem menor do que o valor da curva (2769,3 tf.m2)

Veja, a seguir, como fica o cálculo da rigidez EIsec,y para My = 37 tf.m utilizando o

diagrama N, My, (1/r)y com Mx = 15 tf.m. Esse diagrama é apresentado na vista

espacial e lateral, respectivamente.

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Note que a rigidez obtida na superfície (8605,2 tf.m2) é um pouco maior que a extraída

pela reta (8236,6 tf.m2), porém bem menor do que o valor da curva (10068,9 tf.m2)

Reta a favor da segurança

Bem, o principal objetivo de conhecer esse tipo de abordagem em que os dois

esforços são considerados em conjunto é compreender que a rigidez obtida pela

linearização dos diagramas (retas), na grande maioria das vezes, está a favor da

segurança. E, por isso, é a forma mais recomendada de se obter a rigidez para o

cálculo dos efeitos locais num lance de pilar.

Voltemos a análise em torno da direção x (menor rigidez). A rigidez secante pela reta

é obtida com tensão de pico igual a 1,1.fcd, f3 = 1,1 e para um esforço igual a MRd =

28,2 tf.m, conforme mostra a figura a seguir.

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Agora, veja os diagramas N, Mx, (1/r)x, variando o momento ortogonal My de 0,0 até

MRdy = 60,3 tf.fm.

A reta está por baixo de quase todas as curvas, gerando quase sempre uma rigidez

menor (a favor da segurança), independente do valor de My.

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A análise na direção em torno de y (mais rígida) é análoga.

A reta está por baixo de quase todas as curvas, gerando quase sempre uma rigidez

menor (a favor da segurança), independente do valor de Mx.

É exatamente pelas colocações anteriores que pode-se afirmar que ao adotar a

rigidez obtida pela reta estamos desacoplando as direções, pois a análise em uma

delas passa a ficar independente do esforço ortogonal à mesma.

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8.4 Exemplo 3

Trata-se de um pilar esbelto submetido a uma flexão composta oblíqua, conforme

mostra a figura a seguir.

Esse exemplo é baseado em um caso estudado no PECE-USP.

Inicialmente, vamos verificá-lo à flexão composta oblíqua “simplificada” por meio dos

quatro métodos disponíveis na norma (pilar-padrão com 1/r aproximada, pilar-padrão

com rigidez aproximada, pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r e método

geral).

Depois, vamos utilizar a análise à flexão composta oblíqua de forma mais precisa,

empregando as rigidezes obtidas pela superfície N, M, 1/r.

Embora a verificação do M1d,mín seja obrigatória, não vamos fazê-la aqui pois o

objetivo desse exemplo será focar a análise dos efeitos locais de 2ª ordem.

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8.4.1 Cálculos iniciais

Cálculo em y

6,8626

650.12.12

b

le

y

mtfM AdyS .0,4,1

mtfM BdyS .0,1,1

mtfbM míndy .0,2)26,0.03,0015,0.(9,86).03,0015,0.(9,86,1

Como míndyAdyS MM ,1,1 : 5,00,4

0,1.4,06,0.4,06,0

,1

,1

AdyS

BdyS

byM

M

4,545,0

26,0

9,86/4.5,1225

/.5,1225.5,1225

,11

1

bx

SdAdyS

by

y

y

b

NM

b

e

Como y = 86,6 > 1y = 54,4, é necessário calcular os efeitos locais nessa direção.

Cálculo em z

7,5739

650.12.12

h

le

z

mtfM AdzS .0,8,1

mtfM BdzS .0,4,1

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mtfhM míndz .32,2)39,0.03,0015,0.(9,86).03,0015,0.(9,86,1

Como míndzAdzS MM ,1,1 : 4,00,8

0,4.4,06,0.4,06,0

,1

,1

AdzS

BdzS

bzM

M

9,694,0

39,0

9,86/8.5,1225

/.5,1225.5,1225

,11

1

bz

SdAdzS

bz

z

z

h

NM

h

e

Como z = 57,7 < 1z = 69,9, não é necessário calcular os efeitos locais nessa direção.

Ficam então definidos os momentos no topo (8,0 tf.m), na base (-4,0 tf.m) e no meio do

lance (b.MS1dz,A = 0,4 . 8,0 = 3,2 tf.m).

8.4.2 Pilar-padrão com 1/r aproximada

Vamos calcular os efeitos locais de 2ª apenas na direção mais esbelta (direção y).

6,0

4,1

2000.39,0.26,0

9,86

01748,0

r

10192,0

26,0

005,001748,0

5,06,0.26,0

005,0

r

1

mtfM totSd .4,801748,0.10

5,6.9,864.5,0

2

,

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Fazendo a composição dos esforços nas duas direções, tem-se:

Veja que o pilar rompe na seção calculada entre o topo e a base (ponto M).

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8.4.3 Pilar-padrão com aproximada

3,126,0.5.5 bA

2,84.5,0.26,0.5320

5,6.9,869,86.26,0..5

320

..

22

1

2

2 dS

eSd

Sd MblN

NbB

75,114.5,0.26,0.9,86.. 2

1

2 dSSd MbNC

mtfA

CABBM totSd .5,7

3,1.2

75,11.3,1.42,82,8

.2

..422

,


1,516,0.9,86.26,0

5,7.51.32

!.5,7

6,0/1,51.120

6,861

0,4.5,02, OKmtfM totSd

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A seção calculada entre o topo e a base (ponto M) fica no limite.

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O diagrama N, M, 1/r na direção menos rígida (direção y) para a armadura adotada,

NSd = 86,9 tf e f3 = 1,0 é apresentado a seguir.

Note que:


A rigidez obtida pelo diagrama (61,2) é maior que a rigidez aproximada

(51,1).


curvatura é:

mtfM totSd .2,5

6,0/2,61.120

6,861

0,4.5,02,

Esse esforço é bem menor que os valores obtidos anteriormente (8,4 tf para pilar-

padrão com 1/r aproximada e 7,5 para pilar-padrão com rigidez aproximada).

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A seção calculada entre o topo e a base (ponto M) passa.

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8.4.5 Método geral

Nesse processo, os efeitos locais de 2ª ordem são calculados nas duas direções.

As rigidezes EI são obtidas pela linearização dos diagramas N, M, 1/r (retas) em cada

direção, apresentados a seguir.

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A posição de equilíbrio do lance é definida iterativamente. Os deslocamentos obtidos

após 11 iterações são mostrados a seguir.

Note que o pilar se deforma em ambas direções.

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Os diagramas de momentos fletores nas direções menos rígida e mais rígida são

apresentados a seguir, respectivamente.

Como esperado, os efeitos de 2ª ordem na direção menos rígida foram pequenos,

justificando a não necesidade de calculá-los nos métodos aproximados ( < 1).

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Os esforços finais praticamente foram iguais aos valores obtidos pelo pilar-padrão

acoplado a diagramas.

8.4.6 Flexão oblíqua mais precisa

Finalmente, vamos analisar o mesmo pilar por um processo em que as rigidezes das

seções ao longo do lance, em cada direção, são calculadas levando em conta

atuação simultânea dos dois momentos fletores (My e Mz).

Veja, a seguir, algumas figuras que ilustram como as rigidezes foram obtidas nesse

processo.

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É possível notar que nas duas direções, de uma forma geral, as rigidezes obtidas na

superfície N, N, 1/r são maiores que as rigidezes extraídas pelas retas (EIsecy = 598,9 tf.m2

e EIsecy = 1356,4 tf.m2).

Dessa forma, os esforços de 2ª ordem ao longo do lance são menores, conforme

mostra a figura a seguir.

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9 Imperfeições geométricas locais

De uma forma geral, analisar os efeitos de imperfeições geométricas durante a

elaboração de um projeto estrutural é uma tarefa bastante complexa e desafiante.

Como prever a magnitude das possíveis “falhas” geométricas que

aparecerão durante a construção?

Essa é uma questão extremamente complicada de ser respondida, e que sempre

precisa ser tratada com muita seriedade pelo Engenheiro de Estruturas. Afinal de

contas, a resposta de um pilar é bastante sensível ao aparecimento dessas

imperfeições.

No caso da avaliação dos efeitos das imperfeições locais, isto é, relacionados ao

lance de um pilar, além da dificuldade inerente ao tema, surgiram ainda muitas

dúvidas com relação à aplicação do momento mínimo de primeira ordem definido na

NBR 6118:2003.

A seguir, será exposta e estudada a proposta presente nos comentários técnicos da

NB-1, publicado pelo Ibracon.

9.1 Aplicação do M1d,mín

A NBR 6118:2003, em seu item 11.3.3.4.3, permite que o efeito das imperfeições

geométricas locais em um lance de pilar seja substituído, em estruturas reticuladas,

pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem, cujo valor é obtido pela

seguinte fórmula:

).03,0015,0.(,1 hNM Sdmínd

sendo: NSd a força normal solicitante com o seu valor de cálculo e h a altura da seção

na direção analisada, em metros.

No mesmo item, define-se ainda que os efeitos de 2ª ordem, quando calculados,

devem ser acrescidos a este momento mínimo.

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Logo, em primeiro momento, percebe-se que a consideração do momento mínimo,

como o próprio nome deixa claro, não tem o efeito aditivo de uma excentricidade

acidental adicional, como se preconizava na extinta NBR 6118:1980.

Também, em primeiro momento, o uso do M1d,mín não parece trazer grandes

complicações, visto que a sua formulação é muito simples. Note que ele é apenas

dependente da força normal e da dimensão da seção transversal do pilar. No fundo,

se analisarmos a expressão, nada mais é que um momento mínimo gerado por uma

excentricidade de 1,5 cm acrescido de 3% da dimensão da seção.

Mero engano. Veja, a seguir, uma situação bastante típica que já nos traz alguns

questionamentos.

Seja um pilar com índice de esbeltez igual a 50, cujos

momentos nas extremidades, MA e MB, sejam opostos

e com valores iguais ao momento mínimo M1d,mín,

conforme mostra a figura ao lado.

Nesse caso, 4,04,02,0.4,06,0 b

A

Bb

M

M

Admitindo uma excentricidade relativa e1/h = 0,08, teremos: 654,0

08,0.5,12251

.

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Como pilar = 50 < 1 = 65, não é necessário calcular os efeitos locais de segunda

ordem. E, portanto, o momento crítico para o dimensionamento será igual ao M1d,mín.

Imagine então se para esse mesmo pilar os momentos

nas extremidades, MA e MB, continuem opostos,

porém com valores ligeiramente inferiores ao

momento mínimo M1d,mín, conforme mostra a figura ao

lado.

Nesse caso, 0,1b (MA < M1d,mín) e a excentricidade relativa praticamente seria a

mesma, de tal forma que: 3535260,1

08,0.5,122511

.

Como pilar = 50 > 1 = 35, será necessário calcular os efeitos locais de segunda ordem.

E, portanto, o momento crítico para o dimensionamento será maior ao M1d,mín, pois

terá o acréscimo do efeito de 2ª ordem (M2).

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Note que para situações bastante similares, os resultados são diferentes, podendo

ocasionar uma relativa descontinuidade de valores finais.

Proposta prof. Graziano – ENECE 2004

Em virtude do comportamento que acabou de ser descrito, o prof. Franscisco

Graziano propôs no ENECE realizado em 2004 um novo tipo de abordagem para

aplicação do momento mínimo de primeira ordem, conforme está resumido a seguir.

Sejam as seguintes situações possíveis de atuação de momentos nas extremidades de

um pilar:

As linhas tracejadas representam o M1d,mín.

As linhas em cinza representam o diagrama original de momentos fletores.

As linhas azuis representam as formas efetivamente usadas no cálculo do pilar.

A proposta do prof. Graziano consiste em aplicar o momento mínimo de tal forma que

as situações onde poderiam ocorrer descontinuidades (II, III e V) sejam alteradas de

maneira a minimizar a discrepância de resultados.

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As situações I, IV e V continuam equivalentes com a forma original.

Vale lembrar que a proposta do prof. Graziano leva a resultados a favor da

segurança.

M1d,mín nas duas direções ?

Uma outra questão levantada sobre o momento mínimo de primeira ordem é quanto

a sua aplicação simultânea nas duas direções do pilar.

Vejamos o cálculo do M1d,mín para um pilar de seção retangular.

A pergunta é: será necessário verificar uma situação em que há a atuação dos dois

momentos mínimos, M1dx,mín e M1dy,mín, ao mesmo tempo?

À primeira vista, e também recorrendo a alguns exemplos de pilares calculados

segundo o ACI na literatura, percebe-se que não se deve aplicar os momentos

mínimos totais nas duas direções simultaneamente.

Mas, como solucionar isso?

Comentários NB-1, Ibracon

Diante das inúmeras questões relativas à aplicação de momento mínimo de primeira

ordem, a comissão CT-301, responsável pela elaboração de comentários da NBR

6118:2003, propõe um novo tipo de abordagem para o problema em questão, que

provavelmente fará parte da revisão NBR 6118:2008.

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A proposta consiste em definir uma envoltória mínima de 1ª ordem, tomada a favor da

segurança, pela seguinte expressão:

Desta forma, a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida

quando, no dimensionamento adotado, obtém-se uma envoltória resistente que

englobe a envoltória mínima de 1ª ordem.

Por sua vez, quando há a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem, a

verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando, no

dimensionamento adotado, obtém-se uma envoltória resistente que englobe a

envoltória mínima com 2ª ordem, cujos momentos totais são calculados a partir dos

momentos mínimos de 1ª ordem.

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A consideração destas envoltórias mínimas pode ser realizada através de duas

análises à flexão composta normal, calculadas de forma independente dos momentos

fletores de 1ª ordem atuantes nos extremos do pilar.

É importante notar que:

A definição da envoltória mínima com e sem 2ª ordem independe do

diagrama de momentos fletores solicitantes no lance do pilar. Ou seja, a

descontinuidade apresentada nos itens anteriores deixará de existir.

Não há a aplicação simultânea do momento mínimo total nas duas direções.

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9.2 Exemplos

A seguir, vamos resolver alguns exemplos com o intuito de tornar o que foi exposto

sobre o M1d,mín mais claro.

9.2.1 Exemplo 1

Seja um pilar de 30 cm x 30 cm, com comprimento equivalente de 3 m e força normal

de cálculo igual a 210 tf, conforme mostra a figura a seguir.

cmb 30 e cmh 30

6,3430

300.12.12

h

le

x

6,3430

300.12.12

b

le

y

Antes de iniciar os cálculos, é interessante observar quais dados são necessários para

fazer a verificação do M1d,mín. São eles: seção transversal, comprimento equivalente le

e força normal de compressão. Note que não é necessário conhecer previamente o

diagrama de momentos fletores solicitantes.

A. Flexão composta normal com atuação de M1dx,mín e M1dy,mín

Como a seção é simétrica, temos:

mtfhMM míndymíndx .04,5024,0.210)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1,1

0,1bx , pois M1dA = M1d,mín

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0,3535260,1

3,0

210/04,5.5,1225

/.5,1225.5,1225

1

,1,1

1

x

bx

Sdmíndx

bx

mínx

x

h

NM

h

e

0,3511 xy

Como 0,356,34 1 , não é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem em

nenhuma das direções.

B. Esforços mínimos para dimensionamento

O pilar deverá ser dimensionado de modo que a sua resistência ),,( RdyRdxRd MMN

atenda as condições mínimas de solicitação listadas a seguir. São duas flexões

compostas normais isoladas.

B.1 Flexão normal com atuação de M1dx,mín

tfNSd 210

mtfMM míndxSdx .04,5,1

mtfM Sdy .0,0

B.2 Flexão normal com atuação de M1dy,mín

tfNSd 210

mtfM Sdx .0,0

mtfM Sdy .04,5

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C. Envoltória mínima

De acordo com os esforços calculados anteriormente, a envoltória mínima de 1ª

ordem fica definida:

O dimensionamento do pilar deve gerar uma envoltória resistente que englobe

totalmente a envoltória mínima de 1ª ordem.

9.2.2 Exemplo 2

Vamos resolver agora um exemplo que está presente nos comentários da NB-1.

Seja um pilar de 20 cm x 60 cm, com comprimento equivalente de 3 m e força normal

de cálculo igual a 210 tf, conforme mostra a figura a seguir.

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cmb 20 e cmh 60

3,1760

300.12.12

h

le

x

0,5220

300.12.12

b

le

y

Independente dos momentos fletores que o pilar estará submetido, para verificar a

envoltória mínima devem ser realizadas duas análises à flexão composta normal.

A. Flexão normal com atuação de M1dx,mín

mtfhM míndx .93,6)6,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1

0,1bx , pois M1dA = M1d,mín

0,35357,250,1

6,0

210/93,6.5,1225

/.5,1225.5,1225

1

,1,1

1

x

bx

Sdmíndx

bx

mínx

x

h

NM

h

e

Como 0,353,17 1 xx , não é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem.

B. Flexão normal com atuação de M1dy,mín

mtfbM míndy .41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1

0,1by , pois M1dA = M1d,mín

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0,35353,260,1

2,0

210/41,4.5,1225

/.5,1225.5,1225

1

,1,1

1

y

by

Sdmíndy

by

míny

y

b

NM

b

e

Como 0,350,52 1 yy , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem.

Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez aproximada

(que estudaremos posteriormente), tem-se:

mtfMM míndydS .41,4,11

0,12,0.5.5 bA

9,141,4.2,0.5320

3.210210.2,0..5

320

..

22

1

2

2 dS

eSd

Sd MblN

NbB

0,3741,4.2,0.210.. 2

1

2 dSSd MbNC

mtfA

CABBM totSdy .12,7

0,1.2

0,37.0,1.49,19,1

.2

..422

,

C. Esforços mínimos para dimensionamento


resistência ),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições mínimas de solicitação listadas a

seguir.

C.1 Flexão normal com atuação de M1dx,mín

tfNSd 210 ; mtfMM míndxSdx .93,6,1 ; mtfM Sdy .0,0

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C.2 Flexão normal com atuação de M1dy,mín


D. Envoltórias mínimas

De acordo com os esforços calculados anteriormente, as seguintes envoltórias mínimas

ficam então definidas:

O dimensionamento do pilar deve gerar uma envoltória resistente que englobe

totalmente a envoltória mínima com 2ª ordem, que foi gerada a partir a envoltória

mínima de 1ª ordem.

Perceba que, com a representação gráfica em planta, fica fácil compreender bem

como verificar o momento mínimo de 1ª ordem.

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Concluindo

A verificação do M1d,mín por meio das envoltórias mínimas independe dos momentos

fletores atuantes no pilar. Se por exemplo, para o pilar estudado anteriormente

existissem várias hipóteses de diagramas de momentos fletores, conforme mostra a

figura a seguir, a verificação do momento mínimo de primeira ordem seria realizada

apenas uma única vez.

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10 Pilar-parede

Esse é, com certeza, um dos temas que tem mais gerado controvérsias no meio

técnico profissional após a aprovação da NBR 6118:2003. Existem várias razões para

isso, pois, como veremos mais adiante, se trata de um assunto que ainda tem uma

longa e difícil trajetória de pesquisas na busca de uma solução que tenha uma

abrangência adequada e significativa.

Dessa forma, o que será exposto a seguir não pode, em hipótese alguma, ser

considerado como uma verdade absoluta. O que se pretende aqui é fornecer uma

visão ampla de um problema que ainda necessita ser resolvido e melhor estudado.

Definição

Segundo a NBR 6118:2003, item 14.4.2.4, pilar-parede é um elemento bidimensional,

usualmente disposto na vertical e submetido preponderantemente à compressão, que

pode ser composto por uma ou mais superfícies (ou lâminas) associadas.

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Nesse mesmo item da norma de concreto, tem-se: “Para que se tenha um pilar-

parede, em alguma dessas superfícies a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da

maior, ambas consideradas na seção transversal do elemento do pilar”.

Pilar-parede não é um pilar comum!

Antes de iniciar o cálculo de um pilar-parede, é importante refletir um pouco sobre

suas funções e particularidades, que o tornam um elemento particular e notoriamente

diferente de um pilar comum.

Em edifícios altos usuais, além de resistir às cargas verticais, um pilar-parede, em

conjunto com os pórticos formados pelas vigas e pilares, tem grande responsabilidade

na manutenção da estabilidade global da estrutura. Trata-se de um típico elemento

de contraventamento.

Quando esse tipo de edificação é solicitado por ações horizontais (ex.: vento), um

pilar-parede resiste uma parcela significativa dos esforços resultantes. Veja, a seguir,

um exemplo hipotético, mas bastante representativo.

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Seja um edifício composto por oito pavimentos, conforme mostram as figuras a seguir.

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Note que o pilar intermediário P6 possui dimensões (20 cm X 180 cm) que o caracteriza

como um pilar-parede.

Como esperado, esse pilar resiste a uma boa parcela dos esforços gerados pelas

ações verticais e horizontais (vento), conforme mostra a figura a seguir.

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Perceba que o pilar-parede P6, dentro do contexto global do edifício, quando

solicitado pela ação horizontal, praticamente tem um comportamento de uma barra

engastada na base, resistindo momentos fletores significativos nos dois primeiros

lances. O mesmo não ocorre nos demais pilares que fazem parte dos pórticos de

contraventamento.

Seção plana?

É uma hipótese quase que constante no dimensionamento de um elemento de

concreto armado, a manutenção da seção plana após as deformações. Pergunta:

num pilar-parede submetido à flexão composta oblíqua, isso é válido?

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Particularidades

Devido a imposições arquitetônicas e estruturais, o emprego de pilares-parede em

edifícios de concreto armado tem sido muito comum no Brasil. Em países sujeitos a

efeitos sísmicos, o uso desse elemento como parte integrante da estrutura resistente,

sempre foi uma prática usual e recomendada. São os chamados “reinforced concrete

walls” e “shear walls”.

Contudo, é importante visualizar claramente que existem discrepâncias entre o que é

empregado nos países com sismo e o que é adotado no Brasil. Embora as dimensões

da seção transversal dos pilares presentes em estruturas no exterior os caracterizem

como pilar-parede (hi < bi/5), a esbeltez em torno da menor dimensão não é tão

elevada como nos pilares-parede comuns em estruturas no nosso país.

Veja, a seguir, o exemplo de uma estrutura definida no Canadá.

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Nesse exemplo, os pilares-parede têm espessura de 40 cm a 50 cm, totalmente

diferente da situação nacional, onde se pode observar o emprego de pilares-parede

com até 14 cm de espessura.

Segurança

Imagine um pilar-parede de 19 cm X 200 cm com pé-direito duplo de 6 m no hall de

um edifício comercial de alto padrão, “sustentando” uma carga vertical aplicada em

20 pisos, ao mesmo tempo em que tem que resistir a ação do vento.

Agora, imagine que ao efetuar o cálculo desse mesmo pilar-parede, você tem como

resultado uma taxa de armadura praticamente igual a mínima (0,6%.Ac = 15,2 cm2

20 10 mm).

Mesmo que intuitivamente, sem fazer cálculos, não fica evidenciada uma certa

necessidade de aumentar a segurança desse elemento devido à sua

responsabilidade no comportamento da estrutura?

Evidentemente, para se ter uma resposta correta e defensável dessa questão é

necessário fazer estudos teóricos e práticos aprofundados, e não apenas usar a

intuição como referência (embora na Engenharia de Estruturas, esse quesito, às vezes,

é tão importante quanto um cálculo refinado).

Enquanto não se dispõe de uma formulação teórica que “acerte” em 100% dos casos

com a boa e coerente prática da Engenharia, é importante focar um

dimensionamento sempre a favor da segurança. Embora não tenhamos nenhum caso

de patologia ocorrido em função da esbeltez excessiva de pilares-parede (felizmente),

fica difícil mensurar a situação real desses elementos em relação ao ELU.

É exatamente sobre esse enfoque (a segurança) é que deve ser encarado o que será

exposto a seguir, que nada mais é do que a aplicação do que está prescrito na atual

norma de concreto, a NBR 6118:2003.

Apenas à título de informação, na recente publicação “Reinforced Concrete:

Mechanics and Design” de James G. MacGregor e James K. Wight, existe um capítulo

destinado ao estudo mais detalhado de pilares-parede.

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10.1 Efeitos localizados de 2ª ordem

Conforme já foi apresentado no capítulo anterior, os efeitos de 2ª ordem presentes

numa estrutura de concreto armado podem ser subdivididos em: globais, locais e

localizados.

Nos pilares-parede simples (uma lâmina) ou compostos (mais de uma lâmina), além

dos efeitos locais no lance como um todo, podem surgir efeitos concentrados em suas

extremidades devido ao aumento do esforço normal provocado pela atuação do

momento fletor segundo sua direção mais rígida. Esses são os chamados efeitos


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Dispensa da análise dos efeitos localizados

Na NBR 6118:2003, item 15.9.2, tem-se:

Os efeitos localizados de 2ª ordem de pilares-parede podem ser desprezados se, para cada uma

das lâminas componentes do pilar-parede, forem obedecidas as seguintes condições:

a) a base e o topo da lâmina devem estar convenientemente fixados às lajes do edifício,

que conferem ao todo o efeito de diafragma horizontal.

b) a esbeltez i de cada lâmina deve ser menor que 35, podendo o cálculo dessa

esbeltez i ser efetuado através da expressão dada a seguir:

i

ei

ih

l.46,3

onde, para cada lâmina: lei é o comprimento equivalente e hi é a espessura.

O valor de lei depende dos vínculos de cada uma das extremidades verticais da lâmina,

conforme mostra a figura a seguir.

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Ou seja, num pilar retangular e num com formato “U”, tem-se:

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Existem inúmeras formas de calcular os efeitos localizados de 2ª ordem em um pilar-

parede. Seja uma metodologia simples ou mais sofisticada, é fundamental que as não-

linearidades presentes (física e geométrica) sejam retratadas de maneira coerente.

A seguir, serão estudados dois processos de cálculo com detalhes. O primeiro, mais

simples, é baseado no método aproximado recomendado na NBR 6118:2003. Já, o

segundo se baseia numa modelagem um pouco mais refinada (modelo com malha).

10.2 Método aproximado – NBR 6118:2003

Aplicabilidade

Esse método somente pode ser adotado quando a esbeltez de cada lâmina for

inferior a 90.

Descrição

Esse método é descrito no item 15.9.3 da NBR 6118:2003. Os efeitos localizados de 2ª

ordem são calculados a partir da subdivisão das lâminas do pilar-parede em faixas.

A largura de cada faixa deve ser ai = 3.h ≤ 100 cm.

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Decomposição de esforços

O esforço total atuante no pilar é decomposto para cada uma das faixas

considerando uma distribuição de tensões linear ao longo da seção, conforme ilustra

a figura a seguir.

O momento fletor decomposto na direção menos rígida de cada faixa geralmente é

pequeno, prevalecendo quase que sempre a aplicação do M1d,mín.

Cálculo dos efeitos de 2ª ordem

Cada faixa é calculada separadamente, como se fosse um pilar isolado.

Para análise dos efeitos de 2ª ordem, pode ser utilizado qualquer método aproximado

(pilar-padrão com 1/r aproximada, pilar-padrão com rigidez aproximada ou pilar-

padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r) ou o Método Geral.

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O fato de cada faixa ser analisada de forma isolada é uma das grandes críticas ao

método, visto que a interação entre elas (que existe) é ignorada.

10.2.1 Exemplo 1

Trata-se de um pilar-parede retangular cujos dados são apresentados na figura a

seguir.

Esse exemplo foi apresentado em uma das palestras do ENECE2006.

Vamos analisar os efeitos localizados de 2ª ordem por meio do processo aproximado

da NBR 6118:2008, utilizando o método geral para o cálculo das faixas.

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A. Cálculo sem efeitos localizados

Inicialmente, apenas com o intuito de discutir mais a frente sobre o acréscimo de

armadura gerado pela análise dos efeitos localizados, vamos calcular o pilar-parede

somente considerando somente os efeitos locais de 2ª ordem, lembrando que,

segundo a NBR 6118:2003, isso não é permitido.

A.1 Cálculos iniciais

522,0

0,3.12x

mtfMM BxAx .4,8

mtfM míndx .2,182,0.03,0015,0.868,1

0,14,8

4,8.4,06,0 bx

35356,250,1

2,0

868/4,8.5,1225

11

xx

5,30,3

0,3.12y ; 351 y

A.2 Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem

Como x = 52 > 1x = 35 e y =3,5 < 1y = 35, então é necessário calcular os efeitos de 2ª

ordem na direção x. Para isso, vamos utilizar o método do pilar-padrão com rigidez

aproximada.

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mtfMM míndxdS .2,18,11

0,12,0.5.5 bA

92,72,18.2,0.5320

0,3.868868.2,0..5

320

..

22

1

2

2 dS

eSd

Sd MblN

NbB

9,6322,18.2,0.868.. 2

1

2 dSSd MbNC

mtfA

CABBM totSd .4,29

0,1.2

9,632.0,1.492,792,7

.2

..422

,


675,0

4,13000.3.2,0

868

9,39675,0.868.2,0

4,29.51.32

!.4,29

675,0/9,39.120

521

2,182, OKmtfM totSd

A.3 Dimensionamento

Os esforços que deversão ser cobertos pelo dimensionamento são:

NSd = 868 tf; MSdx = 8,4 tf.m; MSdy = 210 tf.m (topo e base)

NSd = 868 tf; MSdx = 29,4 tf.m; MSdy = 210 tf.m (meio)

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Uma possível configuração de armadura que resiste adequadamente esses esforços é

apresentada a seguir.

Essa armadura equivale a uma taxa geométrica de 1,7%.Ac (100,5 cm2).

B. Cálculo com efeitos localizados

B.1 Armadura

Dividindo a lâmina do pilar-parede em 5 faixas com largura de 60 cm, e calculando os

efeitos localizados pelo método geral por meio de sucessivas verificações (já que para

aplicação desse método é necessário conhecer previamente a armação), chega-se

a seguinte configuração de armadura necessária:

Essa armadura equivale a uma taxa geométrica de 2,3%.Ac (138,2 cm2) e representa

um acréscimo de 38% em relação ao cálculo sem a consideração dos efeitos

localizados.

Como os momentos fletores em torno da direção mais rígida atuam de forma

simétrica, a distribuição das armaduras também deve ser simétrica.

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OBS.: recomenda-se sempre definir uma configuração de armaduras simétrica em

pilares-parede retangulares, a fim de evitar erros de posicionamento das mesmas

durante a construção.

B.2 Decomposição de esforços e rigidezes das faixas

Conhecendo a armadura e o esforço normal oriundo da decomposição da força

normal (NSd = 868 tf) e do momento fletor (Myd = 210 tf.m) atuante no pilar, pode-se

calcular a rigidez secante EI para cada faixa da lâmina por meio da montagem de

diagramas N, M, 1/r.

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B.3 Cálculo dos efeitos localizados

Com a rigidez definida em cada faixa, pode-se então fazer uma análise não-linear

geométrica discretizando cada faixa em vários segmentos (barras), com intuito de

obter os efeitos localizados de 2ª ordem.

Os principais resultados são apresentados resumidamente nas figuras a seguir.

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Percebe-se o surgimento de efeitos localizados de 2ª ordem na extremidade do pilar-

parede comprimida pelo momento fletor que atua na direção mais rígida.

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10.2.2 Exemplo 2

Nesse exemplo, vamos estudar um pilar composto por 3 lâminas com um formato de

um “U”, cujos dados são mostrados a seguir.

Ele representa uma situação típica de uma caixa de elevador comum nos edifícios de

concreto armado.

Analisando a esbeltez de cada lâmina de acordo com o comprimento le corrigido em

função de suas vinculações, percebe-se que é necessário calcular os efeitos

localizados de 2ª ordem, conforme mostra a figura a seguir.

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A. Cálculo sem efeitos localizados

O dimensionamento sem a consideração dos efeitos

localizados de 2ª ordem (em desacordo com a NBR

6118:2003) conduziria a um dimensionamento com

112 10 mm (88 cm2).

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B. Cálculo com efeitos localizados

O dimensionamento com a consideração

dos efeitos localizados de 2ª ordem

calculados pelo processo aproximado da

NBR 6118:2003 conduziria a um

dimensionamento com 90 16 mm (181

cm2). Isso representa um aumento de 105%

em relação à análise sem os efeitos

localizados.

A decomposição de esforços e o cálculo de rigidez das

faixas é realizado de forma similar ao que foi feito no

exemplo anterior.

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Percebe-se o surgimento de efeitos localizados de 2ª ordem na extremidade livre do

pilar-parede comprimida pelo momento fletor.

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C. Enrijecimento das extremidades livres

Uma alternativa muito eficente para se evitar o acréscimo exagerado de armaduras

nas extremidades livres de pilar-parede, onde os efeitos localizados de 2ª ordem são

preponderantes, é enrijecer esses locais por meio da criação de “dentes de

concreto”.

Trata-se de um tipo de solução que os construtores não apreciam, pois dificulta a

execução da obra. Porém, é extremamente eficaz.

Veja, a seguir, um exemplo de enrijecimento num pilar de caixa de escadas.

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Vamos analisar o pilar-parede que calculamos a pouco criando “dentes de concreto”

de 20m nas extremidades livres, conforme ilustra a figura a seguir.

Analisando a esbeltez de cada lâmina de acordo com o comprimento le corrigido em

função de suas vinculações (que agora deve levar em conta os “dentes de concreto”

como enrijecedores das extremidades livres), percebe-se que não é mais necessário

calcular os efeitos localizados de 2ª ordem, conforme mostra a figura a seguir.

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Dessa forma, o dimensionamento conduziria a um

dimensionamento com 116 10 mm (91 cm2).

A criação dos “dentes de concreto” evitaria a

necessidade de acréscimo de armaduras nas

pontas.

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Apenas para comprovar que esse resultado está compatível, vamos subdividir o pilar-

parede em faixas e verificá-las.

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Embora a extremidade com o “dente de concreto” seja solicitada por uma força

normal de compressão maior (a área da faixa aumenta), note que os efeitos

localizados de 2ª ordem nas extremidades são pequenos. Os esforços de 2ª ordem

passam a ser maiores nas faixas que estão no meio das lâminas.

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10.3 Modelo com malha

Conforme já foi dito no início deste capítulo, o cálculo de pilares-parede é um dos

assuntos mais discutidos e criticados no meio técnico profissional após a entrada em

vigor da NBR 6118:2003.

Quando comparada com a extinta NB1-1980, na qual o pilar-parede era calculado

somente como um pilar comum, o dimensionamento considerando os efeitos

localizados de 2ª ordem pelo processo aproximado previsto na norma atual, gerou um

acréscimo significativo na taxa de armadura necessária.

Alguns artigos técnicos foram publicados procurando evidenciar a imprecisão do

método proposto na NBR 6118:2003. Esse fato deve, sim, ser considerado, mas com

ressalvas.

Os efeitos localizados de 2ª ordem, no Estado Limite Último (ELU), em paredes de

concreto com grande esbeltez podem ocorrer e precisam ser considerados de forma

a introduzir uma maior segurança nesses elementos que, como já vimos, possuem uma

grande responsabilidade na estabilidade da estrutura de um edifício.

O fato de até hoje não existir algum caso de patologia registrado que demonstre que

os efeitos localizados foram responsáveis por algum dano estrutural, não justifica a não

consideração desses efeitos no cálculo. Não podemos esperar que o ELU seja atingido

em um caso real para nos cercar de mais segurança no projeto estrutural.

Evidentemente, como em qualquer outro problema de Engenharia, é necessária a

execução de ensaios em laboratório para se ter uma noção mais realista do

comportamento de pilares-parede. Somente dessa forma, chegaremos à conclusão

se o que está definido na norma atual está realmente superestimando os efeitos


Enquanto esses ensaios não forem realizados, é importante que a análise numérica

desse tipo de elemento seja cada vez mais aperfeiçoada, de tal forma a obter

resultados mais precisos e confiáveis.

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A maior crítica com relação ao processo aproximado definido na NBR 6118:2003 é a

subdivisão das lâminas do pilar-parede em faixas independentes entre si como se

fossem pilares isolados, pois isso vai contra a situação real.

A seguir, será apresentado e estudado por meio de exemplos um novo tipo de

modelagem que representa uma evolução do processo presente na norma.

Nessa modelagem, o pilar-parede continua sendo dividido em faixas, porém as

mesmas passam a ser interligadas umas às outras por meio de elementos transversais,

resultando numa malha de barras.

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Cada faixa é modelada por barras longitudinais que são interligadas por barras

transversais.

Dada a força normal (NSd) após a decomposição dos esforços totais no pilar-parede,

bem como a configuração de armaduras existente, são montados vários diagramas N,

M, 1/r que definem uma rigidez EIsec (a partir da linearização) para cada faixa.

Os efeitos de 2ª ordem são calculados por um processo iterativo que busca a posição

final de equilíbrio de todo conjunto.

As imperfeições geométricas são consideradas por meio da aplicação do momento

mínimo de 1ª ordem (M1d,mín) em cada faixa.

Enfim, trata-se de uma modelagem em que as não-linearidades física e geométrica

são consideradas de forma bastante refinada. Nada mais é do que o Método Geral

aplicado a um conjunto de barras.

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Esforços transversais

Devido à presença das barras transversais no modelo, além dos esforços ao longo de

cada faixa, obtêm-se também os esforços solicitantes (N, M e V) na direção transversal

do pilar-parede.

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Esses esforços podem ser utilizados no dimensionamento da armadura transversal

(estribos), lembrando que essas armaduras também devem ser verificadas e

dimensionadas para resistir outros tipos de efeitos, como por exemplo, a flambagem

das barras longitudinais.

No item 18.5 da NBR 6118:2003, tem-se:

“A armadura transversal de pilares-parede deve respeitar a armadura mínima de flexão de

placas, se essa flexão e a armadura correspondente forem calculadas. Em caso contrário, a

armadura transversal deve respeitar o mínimo de 25% da armadura longitudinal da face.”

Esse é um outro item que gerou uma grande discussão no meio técnico profissional,

principalmente por ter gerado um consumo excessivo de armadura transversal em

pilares-parede, muito embora na extinta NB-1:1980, item 6.3.1.4, a taxa mínima exigida

era de 50%, condição esta que poderia ser desprezada quando As > 2%.Ac ou l >

12,5mm.

A seguir, vamos resolver os mesmos exemplos calculados anteriormente pelo processo

aproximado da NBR 6118:2003, agora com a modelagem com malha.

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10.3.1 Exemplo 1

Trata-se de um pilar-parede retangular (já estudado anteriormente), conforme mostra

a figura abaixo.

A lâmina é subdivida em 5 faixas com largura de 60 cm, cada qual com uma

configuração de armadura pré-definida.

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Com a armadura e o esforço normal oriundo da decomposição da força normal (NSd

= 868 tf) e do momento fletor (Myd = 210 tf.m) atuante no pilar, calcula-se a rigidez

secante EI para cada faixa da lâmina por meio da montagem de diagramas N, M, 1/r.

É adotada a rigidez à flexão integral nas barras transversais (EIc), enquanto que a

rigidez à torção das mesmas é desprezada.

Com as rigidezes de todos os elementos definidos, pode-se então fazer uma análise

não-linear geométrica com intuito de obter os efeitos localizados de 2ª ordem.

Os principais resultados são apresentados resumidamente nas figuras a seguir.

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Conclusões

A modelagem com malha se comportou de forma adequada.

A ligação entre as faixas gerou uma diminuição dos efeitos localizados de 2ª

ordem (de 2,4 tf.m para 2,0 tf.m). Porém, nesse exemplo, isso não refletiria num

decréscimo na armadura consumida nas extremidades do pilar-parede.

Os momentos fletores nas barras transversais foram muito pequenos, reflexo da

ligeira deformação dos alinhamentos horizontais. Contudo, esses resultados não

podem ser considerados de forma exclusiva para o estabelecimento de uma

armadura transversal mínima.

Para se ter uma resposta mais conclusiva com relação aos efeitos localizados

de 2ª ordem, bem como da definição da armadura transversal necessária, deve-se

estudar inúmeros outros casos que podem estar presentes em estruturas de edifícios de

concreto armado. Veja apenas um deles a seguir.

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10.3.2 Exemplo 2

Trata-se de um pilar em “U” (já estudado anteriormente), conforme mostra abaixo.

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Os principais resultados obtidos pela modelagem com malha são apresentados a

seguir.

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Conclusões

A modelagem com malha se comportou de forma adequada.

A ligação entre as faixas gerou uma diminuição significativa dos efeitos

localizados de 2ª ordem (de 4,6 tf.m para 1,0 tf.m), não justificando o acréscimo de

armadura consumida nas extremidades do pilar-parede gerado pela aplicação do

processo aproximado (faixas isoladas).

Os momentos fletores nas barras transversais foram não foram tão pequenos,

pois as lâminas com uma borda livre praticamente “engastaram” na superfície

vinculada do pilar-parede. Esses esforços indicaram a necessidade da colocação de

armaduras transversais (estribos).

10.3.3 Exemplo 3

Finalmente, vamos fazer a análise do pilar em “U” com dentes de concreto em suas

extremidades livres por meio da modelagem com a malha.

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Conclusões

Novamente, a modelagem com malha se comportou de forma adequada.

Assim como no processo aproximado, os “dentes de concreto” se mostraram

muito eficientes com relação à estabilidade nas extremidades do pilar-parede. Os

efeitos localizados de 2ª ordem passaram a ser desprezíveis.

Os “dentes de concreto” também tiveram uma influência significativa na

resposta nas barras transversais do pilar-parede. A necessidade de armadura

transversal (estribos) para resistirem aos esforços gerados pela flexão das lâminas

diminuiu sensivelmente.

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11 Aspectos gerenciais de projeto

Os processos mais exatos (se é que existe “exatidão” na Engenharia) são normalmente

aqueles mais valorizados pelo meio acadêmico. Para um pesquisador, por exemplo,

não importa muito se o que está sendo adotado é algo inviável de ser colocado em

prática. Interessa, sim, a precisão dos resultados, o uso de formulações inovadoras e

deduções rebuscadas.

Paralelamente a esse panorama, existe o profissional que efetivamente faz o uso dos

processos criados em pesquisas na vida real. É a pessoa que precisa “colocar a

estrutura de pé” e que necessita gerenciar um conjunto de fatores ao mesmo tempo,

dentre eles a segurança, o conhecimento, a responsabilidade, a experiência, o bom-

senso e a produtividade. Nesse caso, nem sempre o mais preciso é o mais indicado

para ser usado de forma generalizada no cotidiano.

Vejamos um exemplo a seguir.

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Para o pesquisador, se o esforço no ponto M ultrapassar em 0,001 tf.m a resistência da

seção, o pilar não passa. Já, para o profissional, existem duas alternativas: ou “o pilar

passa”, pois está seguro de que existem outras aproximações tomadas à favor da

segurança, ou o “pilar não passa”, pois quer introduzir mais segurança à estrutura.

Enfim, são duas formas distintas de se encarar a Engenharia de Estruturas, cada qual

com a sua devida importância. O crescimento e a valorização dessa área, a

Engenharia de Estruturas, depende do sucesso de ambas as frentes, tanto a

profissional como a acadêmica.

O principal objetivo desse curso foi apresentar conceitos e informações a respeito do

cálculo de pilares de forma prática, objetiva, sem se aprofundar demasiadamente nas

formulações matemáticas. Ou seja, de uma forma mais direcionada para o

Engenheiro que necessita projetar estruturas de concreto armado.

Dessa forma, pretende-se fazer aqui um resumo de aspectos gerenciais importantes no

que se refere ao cálculo de pilares sem se deter ao preciosismo matemático e ao rigor

científico.

O intuito é aliar os conceitos apresentados ao longo curso com a prática do dia-a-dia,

de tal forma a auxiliar na tomada de decisões durante a elaboração de um projeto.

Não encare o que vai ser apresentado a seguir como regras fechadas, imutáveis e

infalíveis. São apenas colocações que devem ser encaradas sempre de forma muito

crítica, pois na Engenharia de Estruturas “cada caso é um caso”.

11.1 Importância dos pilares

Em primeiro lugar, é sempre muito importante relembrar que os pilares são elementos

essenciais no bom comportamento estrutural de um edifício. Dessa forma, verificar os

resultados emitidos por um sistema computacional passa a ser uma tarefa que

necessita ser realizada sempre com extremo cuidado e atenção.

No fundo, todo Engenheiro sabe da importância dos pilares. O que acontece é que,

devido a exigências arquitetônicas e principalmente ao intenso ritmo do cotidiano, isso

acaba sendo esquecido e o Engenheiro passa a correr mais riscos desnecessários.

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11.2 Visão gerencial

Nos dias de hoje, de um modo geral, os Engenheiros de Estruturas estão confiando

demais nos computadores. Isso é um fato consumado. A visão global do projeto e a

sensibilidade com relação à ordem de grandeza dos resultados estão sendo

“perdidas”.

Para que isso seja evitado, mais do que saber executar os cálculos nos mínimos

detalhes, é necessário saber gerenciar o projeto.

No caso de pilares, antes mesmo de entrar a fundo no seu dimensionamento, é

fundamental detectar quais são os pontos críticos da estrutura. Qual lance de pilar eu

não posso errar? Qual aquele que devo introduzir mais segurança? Quais são aqueles

que eu não preciso me preocupar?

As respostas dessas questões são a chave para um bom cálculo de pilares. Acontece

que respondê-las, quase sempre, não é uma tarefa fácil e direta como se imagina.

A seguir, serão apresentados alguns pontos que podem auxiliá-lo a responder essas

perguntas.

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11.2.1 Análise estrutural

Foque a análise estrutural em primeiro lugar. Se essa etapa for bem resolvida, “meio

caminho estará andado” para que o projeto seja um sucesso. Muitas vezes, quando

surgem problemas no dimensionamento, os porquês dessas ocorrências são

encontrados na modelagem adotada. O dimensionamento das armaduras é reflexo

direto da análise estrutural.

Uma simples visualização gráfica da distribuição de esforços ao longo do edifício já

pode auxiliar bastante.

Na medida do possível, duplique edifícios, estude várias alternativas, de tal forma a

obter uma “estrutura ideal”. Nisso, o computador pode nos ajudar bastante.

11.2.2 Valores globais

Durante a elaboração de um projeto estrutural, não é função do Engenheiro de

Estruturas verificar os resultados obtidos por um sistema computacional nos mínimos

detalhes. Nem existe tempo disponível para isso. O objetivo é evitar que erros grosseiros

passem de forma despercebida.

Por isso, num primeiro momento, é conveniente recorrer a relatórios que forneçam

resultados globais que despertem algum tipo de sensibilidade com relação aos

cálculos efetuados pelo computador. Somente utilize relatórios que possuem detalhes

de esforços, que geralmente são listagens “infinitas”, quando for necessário averiguar

algum valor específico após o checklist inicial.

Não adianta abrir um relatório de montagem de carregamentos utilizados no

dimensionamento de pilares para ser verificado do início ao fim. Ele é bastante útil

apenas no momento em que se deseja saber, por exemplo, porque a magnitude de

um esforço num determinado lance de pilar está exagerada.

A seguir, serão apresentados e discutidos alguns valores que podem ser úteis durante a

avaliação global do cálculo de pilares.

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Índice de esbeltez

Basicamente, os pilares podem ser classificados de acordo com o seu índice de

esbeltez da seguinte forma:

Nas estruturas usuais de concreto armado, a grande maioria dos pilares tem um índice

de esbeltez inferior a 90. Em certos casos particulares na qual a arquitetura do edifício

impõe uma geometria mais ousada, adotam-se pilares mais esbeltos (90 < ≤ 140).

Casos de pilares com índice de esbeltez superior a 140 são raros e devem ser evitados.

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A definição do índice de esbeltez de um trecho de pilar depende diretamente das

condições de vínculo em suas extremidades. Usualmente, elas são consideradas livres

ou restritas à translação e à rotação, muito embora na vida real de edifícios de

concreto armado, que é monolítica, nenhum desses casos (totalmente livre ou

totalmente restrito) ocorra.

Embora os sistemas computacionais atuais procurem detectar as condições de vínculo

dos pilares de forma automática, é sempre conveniente averiguar se os valores de

esbeltez de cada lance estão dentro do esperado.

Lembre-se sempre que um pilar com = 90 já é bastante esbelto. Num trecho

biapoiado com seção de 25 x 40, para atingir esse valor é necessário um comprimento

equivalente de 6,5 m.

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É conveniente evitar a adoção de pilares esbeltos num edifício de forma generalizada,

pois isso pode comprometer à segurança do edifício. Os pilares esbeltos são mais

sensíveis às imperfeições geométricas e aos efeitos de 2ª ordem.

Não é porque existem processos que permitem o cálculo de pilares com até = 200,

que os pilares com esbeltez elevada devem ser definidos de forma generalizada e

arbitrária.

Após o processamento do edifício, procure separar os trechos de pilares com > 90

para serem avaliados com mais detalhes.

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Taxa de compressão

Um pilar de concreto armado está predominantemente sujeito a uma compressão

gerada pelas ações atuantes no edifício. De uma forma geral, é interessante avaliar o

nível de compressão nos lances de pilares calculando a tensão ou a força normal

adimensional gerada pelas cargas verticais totais.

cdc

Sd

cd

cSd

cck

cSkf

Rd

Sd

fA

N

f

AN

f

AN

.

/

/

/).(

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É difícil estabelecer um limite máximo para a tensão de compressão ou para a força

normal adimensional, visto que o dimensionamento final da seção do pilar é

dependente de diversos outros fatores. Mas, de uma forma geral, ≥ 1,0 já representa

uma taxa de compressão considerável.

Após o processamento do edifício, procure dar atenção a trechos de pilares com ≥

1,2, e verifique a possibilidade diminuir a taxa de compressão aumentando a seção de

concreto ou alterando a estrutura.

Além disso, é recomendável que os pilares tenham taxas de compressão similares na

base do edifício, de tal forma a evitar uma situação em que alguns deles estejam

“folgados” e os outros “muito carregados”.

Taxa de armadura

A NBR 6118:2003 estabelece 0,4%.Ac e 8%.Ac como taxas geométricas de armaduras

longitudinais mínimas e máximas numa seção de pilar, respectivamente. Na prática,

valores acima de 2%.Ac já podem ser considerados elevados.

Após o processamento do edifício, separe os trechos de pilares que possuem uma

taxa de armadura superior a 2%.Ac, e verifique a possibilidade diminuir esse valor

aumentando a seção de concreto ou alterando a estrutura.

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Na vida real

De acordo com o exposto anteriormente, não significa que nunca possamos definir

um lance com > 90 ou com > 1,2 ou com uma taxa de armadura superior a 2%.Ac,

pois, na vida real, são situações que invariavelmente acontecem.

O importante é ter noção do que elas representam para o comportamento da

estrutura, de tal forma a sempre priorizar um cálculo de pilares que alie segurança e

economia.

Cada Engenheiro, com a sua experiência, deve ir memorizando em sua mente valores

ou índices globais que o auxiliem a gerenciar o cálculo de pilares. Na prática, muitas

vezes, isso acaba até sendo mais importante do que saber calcular “um pilar na mão”.

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11.3 Imperfeições geométricas

Já foi dito que um pilar de concreto armado é bastante sensível perante as

imperfeições geométricas locais, e que a consideração das mesmas é obrigatória em

seu cálculo.

A NBR 6118:2003 estabelece duas alternativas para se considerar as imperfeições

geométricas locais: pela verificação do momento mínimo de primeira ordem (M1d,mín)

ou pela aplicação de uma excentricidade adicional gerada por uma inclinação a.

Daí, vem a pergunta: qual devo utilizar?

No Brasil, é mais comum o uso do M1d,mín, que tende a gerar um dimensionamento à

favor da segurança (não é regra geral). Durante esse curso, foi estudado com

detalhes apenas a aplicação do M1d,mín por meio da definição das envoltórias

mínimas, proposta na publicação “Comentários da NB-1” do Ibracon.

Apenas para relembrar, essa envoltória é verificada sem grandes dificuldades por

meio de duas flexões compostas normais.

11.4 Efeitos locais de 2ª ordem

Esse foi o tema mais estudado durante todo o curso.

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Devido ao fato de que a recente norma de concreto permite a aplicação de 4

métodos distintos, gerou-se muitas dúvidas com relação a esse assunto no meio

técnico profissional. Qual método devo utilizar?

Conforme já foi apresentado, cada um dos métodos tem suas próprias limitações

muito bem prescritas na NBR 6118:2003. No entanto, sob o ponto de vista gerencial de

projeto, pode-se definir a abrangência de cada um dos processos de uma forma um

pouco mais específica. Isso será discutido nos itens seguintes.

11.4.1 Aspectos gerais

Conforme se pôde observar durante a resolução dos exemplos ao longo do curso, o

uso de processos mais sofisticados (pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r e

método geral) tende a levar a um dimensionamento mais econômico. Em certos

casos, a redução da armadura não é pequena.

No entanto, é importante ter em mente que o uso de processos mais refinados, e a

conseqüente redução de armaduras, leva a uma estrutura “mais enxuta”, e portanto,

que fica mais propensa a atingir um Estado Limite Último. Na vida real, não temos a

noção exata do quanto estamos perto ou longe do ELU considerado nos cálculos.

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Por isso, é recomendável que o uso de processos mais refinados no dimensionamento

de armaduras de pilares, de forma generalizada, seja feito apenas se o Engenheiro

tenha total segurança e controle da modelagem utilizada para simular a estrutura.

Caso contrário, deve-se sempre primar pela segurança da estrutura.

É muito importante lembrar que existem especialistas renomados que defendem que

uma maior segurança seja introduzida no cálculo atual dos pilares.

Vale a pena se arriscar?

Estudar e experimentar

Nos sistemas computacionais atuais, pode-se verificar um lance de pilar por qualquer

um dos métodos de forma bastante fácil. Isso auxilia, e muito, no entendimento do

assunto (que é complexo), em adquirir mais confiança nos resultados emitidos pelo

computador e em enxergar melhor as aproximações inerentes de cada método.

É recomendável, portanto, que se utilize o software como ferramenta de aprendizado,

e não apenas como ferramenta de projeto. Na medida do possível, estude casos

aplicando os 4 métodos disponíveis para análise dos efeitos locais de 2ª ordem.

11.4.2 Pilar-padrão com 1/r aproximada X Pilar-padrão com aproximada

Para o dimensionamento de pilares retangulares com armadura simétrica e < 90,

sugere-se aplicar o método do pilar-padrão com rigidez aproximada. Esse processo,

ao mesmo tempo em que é um pouco mais econômico que o pilar-padrão com 1/r

aproximada, já foi exaustivamente estudado, é seguro e está sendo largamente

aplicado nos dias atuais.

Em casos de pilares com < 90, não-retangulares ou com armadura assimétrica,

recomenda-se o uso do pilar-padrão com 1/r aproximada.


Na grande maioria dos casos, o método do pilar-padrão acoplado a diagramas N, M,

1/r resultará num dimensionamento mais econômico que os métodos comentados no

item anterior.

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É importante ressaltar que pequenas variações do valor da rigidez extraída do

diagrama em relação ao aproximado, podem gerar alterações bruscas no

momento total final (MSd,tot).

O uso o pilar-padrão acoplado é obrigatório para o dimensionamento de pilares com

esbeltez entre 90 e 140.

Em casos de pilares não-retangulares ou com armadura assimétrica, seu uso deve ser

feito com certas restrições.

Embora possa ser aplicado no dimensionamento de pilares com < 90, de forma

generalizada, recomenda-se o uso do pilar-padrão acoplado a diagramas somente

em casos específicos. Por exemplo: quando o Engenheiro da obra solicita a

verificação de um lance de pilar em que o seu concreto não atingiu a resistência

esperada, e é necessário analisar com mais precisão se o mesmo pode ser mantido ou

precisa ser refeito.

11.4.4 Método geral

Para o dimensionamento de armaduras, de forma generalizada, sugere-se utilizar

sempre os métodos aproximados, devido ao fato de que processamento com o

método geral é bem mais lento do que o cálculo com qualquer processo aproximado,

pois para cada trecho de pilar analisado pelo método geral é necessário executar

uma busca iterativa da sua posição final de equilíbrio.

Num processamento que leve em conta todos os pilares de um edifício via método

geral pode-se tornar muito mais oneroso que o cálculo com um dos métodos

aproximados. Isso pode prejudicar significativamente a produtividade durante a

elaboração do projeto.

Assim como o pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r, o método geral é mais

indicado para verificação de situações específicas, como foi exemplificado no item

anterior. Nesses casos, sua grande vantagem é que ele nos consegue retratar a real

situação do pilar perante o ELU.

O uso do método geral é obrigatório para pilares com > 140. Recomenda-se adotar

um coeficiente ponderador adicional (n = 1,4) nesses casos.

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11.5 Pilar-parede

A análise de pilares-parede ainda tem um longo e difícil caminho de estudos e

pesquisas, de tal forma a se chegar a resultados sempre seguros e coerentes com a

prática.

Encare o processo aproximado para análise dos efeitos localizados de 2ª ordem

presente na NBR 6118:2003 apenas como um estágio inicial, e não como algo

definitivo. Alguns artigos já mostraram que esse método, em certos casos, pode se

tornar impreciso.

Enquanto aguardamos uma solução definitiva para esse problema, é necessário bom-

senso na tomada de decisões.

Na medida do possível, evite a adoção de pilares-paredes com grandes esbeltez, pois

isso resultará num elevado consumo de armaduras em suas extremidades livres. Muitas

vezes, ao aumentar um pouco a espessura da lâmina, os efeitos localizados de 2ª

ordem podem se tornar insignificantes.

Uma outra boa alternativa já abordada anteriormente é o enrijecimento das

extremidades do pilar-parede com “dentes de concreto”.

Os efeitos localizados de 2ª ordem somente são preponderantes em paredes de

concreto com elevada esbeltez.

11.5.1 Casos especiais

Em casos particulares e especiais, sempre procure privilegiar a segurança.

Isso, sim, é uma regra geral no dimensionamento de pilares de concreto

armado.

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12 Tendências

Prever o futuro é uma tarefa bastante complicada, mas é possível fazer algumas

indicações com relação ao cálculo de pilares de concreto armado.

Complexidade inevitável

Embora todo tipo de aproximação de um problema de Engenharia seja algo

extremamente salutar (na essência, fazer Engenharia, muitas vezes, é simplificar o que

existe na vida real), o cálculo de pilares tenderá a ser cada vez mais refinado e

sofisticado, tornando-se, inevitavelmente, mais complexo.

Se existisse uma fórmula simples que possibilitasse o cálculo de todo e qualquer tipo de

pilar de forma precisa, segura e infalível, seria ótimo! Talvez isso venha a ocorrer no

futuro, mas é pouco provável por enquanto.

Uso intenso de computadores

O uso de computadores estará cada vez mais presente na análise de pilares. No dia-

a-dia de elaboração de projetos estruturais, onde cada vez mais a produtividade se

torna um requisito indispensável, fica difícil imaginar o trabalho de um Engenheiro de

Estruturas sem o auxílio de sistemas computacionais.

12.1 NBR 6118:2008

A evolução da nossa norma de concreto, a NBR 6118, seja talvez uma das

necessidades mais importantes de toda Engenharia de Estruturas, uma vez que a

mesma é o mecanismo mais eficiente para se fazer o elo entre a teoria e a prática.

No que se refere ao cálculo de pilares, as novidades que podem fazer parte da

próxima revisão da NBR 6118 prevista para 2008, são:

Melhoria no texto que descreve o momento mínimo de 1ª ordem (M1d,mín),

indicando o uso das envoltórias mínimas como forma de verificação das imperfeições

geométricas locais.

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Inclusão da formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez

aproximada.

0.. ,

2

, CMBMA totSdtotSd , onde:

dSSd

dS

eSd

Sd

MhNC

MhlN

NhB

hA

1

2

1

2

2

..

..5320

..

.5

A

CABBM totSd

.2

..42

,

Melhorias com relação ao cálculo dos efeitos localizados de 2ª ordem em

pilares-parede que, conforme já foi dito anteriormente, ainda tem muito que evoluir.

12.2 Futuros modelos

Conforme já foi apresentado logo no início desse curso, o cálculo de pilares que

efetuamos hoje em dia possui várias aproximações.

Vamos relembrar como calculamos os pilares atualmente.

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Inicialmente, a estrutura como um todo é calculada no computador por meio de uma

modelagem numérica (modelo global).

- Os pilares estão imersos nesse

modelo global, vinculados às vigas.

- A rigidez à flexão EI da seção

transversal dos pilares é minorada a

fim de considerar a não-linearidade

física de forma aproximada (0,7.EIc

ou 0,8.EIc).

- Os efeitos globais de 2ª ordem são

avaliados pelo coeficiente z ou pelo

processo P-.

- Podem ser consideradas as

imperfeições geométricas globais.

Uma vez efetuado o cálculo global, cada lance de pilar é extraído desse modelo e

passa a ser analisado de forma isolada (modelo local).

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- As vinculações no topo e na

base passam a ser tratadas de

forma bastante simplificada

(apoios simples ou engaste).

- A não-linearidade física, por

sua vez, é considerada de

forma mais refinada (1/r aprox.,

rigidez aprox., rigidez acoplada

a diagrama N, M, 1/r).

- Os efeitos locais de 2ª ordem

são então avaliados por pilar-

padrão ou processo iterativo

mais refinado (“P-”).

- São consideradas as

imperfeições geométricas

locais e a fluência.

Note que foram adotados dois tipos de modelos, global e local, na análise de um

mesmo pilar. E que, para cada um deles, são impostas simplificações distintas, embora

o elemento estudado seja o mesmo.

- Por que considerar a NLF de forma distinta nos modelos globais e locais?

- Os efeitos de 2ª ordem globais e locais não acontecem de forma conjunta?

Enfim, são aproximações necessárias para se viabilizar o dimensionamento de pilares

durante a elaboração de um projeto estrutural no atual estágio da Engenharia.

É de se esperar, no entanto, que esse tipo de abordagem evolua. É quase que certo

que o cálculo de pilares vai ser aperfeiçoado de tal forma que essas simplificações,

aos poucos, sejam deixadas de lado.

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12.2.1 Exemplo

A seguir, será apresentado um novo tipo de modelagem, chamado daqui em diante

de “Pórtico NLFG” (pórtico não-linear físico e geométrico), que pode se tornar comum

no dia-a-dia do Engenheiro de Estruturas.

Seja uma estrutura hipotética de concreto

armado, conforme mostra a figura ao lado.

Processo de verificação

Imagine que as armaduras nos pilares e nas vigas sejam

conhecidas, e que se deseja verificar a estrutura no Estado

Limite Último (ELU) perante as solicitações normais,

considerando as não-linearidades (física e geométrica) de

forma refinada.

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Discretização

Toda a estrutura é então modelada por meio de um pórtico espacial, sendo que cada

vão de viga e lance de pilar é discretizado por várias barras.

Essa discretização mais refinada permitirá uma melhor análise dos efeitos das não-

linearidades física e geométrica.


A não-linearidade física nas vigas e pilares do Pórtico NLFG é considerada por meio da

obtenção de rigidezes à flexão EI a partir das relações momento-curvatura (M x 1/r ou

N, M, 1/r) em cada seção do pórtico espacial.

As rigidezes de cada barra que representam um trecho de viga ou pilar são

calculadas de acordo com a geometria e as armaduras detalhadas em cada

elemento estrutural, bem como os esforços solicitantes iniciais obtidos por um pré-

processamento. Dessa forma, a consideração aproximada comumente adotada nos

modelos ELU (0,4.EIc para vigas e 0,8.EIc para pilares), é integralmente substituída por

um cálculo mais refinado.

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Nos pilares, são calculadas as rigidezes à flexão nas duas direções (EIy e EIz). Nas vigas,

é calculada apenas a rigidez à flexão EIy. A rigidez lateral EIz, comumente modificada

para simular o efeito de diafragma rígido das lajes, não é corrigida.

Nos pilares, as rigidezes são calculadas

exatamente de acordo com o

diagrama N, M, 1/r definido na NBR

6118:2003. Ou seja, considera-se uma

tensão de pico igual a 1,1.fcd, com a

possibilidade de considerar f3 = 1,1.

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Já, nas vigas, as rigidezes são obtidas

com o diagrama calculado com

0,85.fcd e f3 = 1,0.

As forças normais nas vigas também

são consideradas.

Tanto nas vigas e pilares, as rigidezes podem ser obtidas por meio da linearização dos

diagramas momento-curvatura nas quais as duas direções são desacopladas (reta),

ou por meio da curva oblíqua (superfície) obtida com os esforços solicitantes

concomitantes nas duas direções.

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A não-linearidade geométrica, ou seja, a influência da forma da estrutura à medida

que o carregamento é aplicado sobre a mesma, é considerada por meio de uma

análise não-linear na qual a posição de equilíbrio da estrutura é calculada

iterativamente (P-).

A grande diferença é que, como cada lance de pilar e vão de viga é discretizado em

inúmeras barras, além dos efeitos globais de 2ª ordem, são flagrados também os

efeitos locais de 2ª ordem, de forma conjunta e concomitante.

Outro grande avanço é que as vinculações nos extremos de cada lance

de pilar no cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem são consideradas de

forma mais realista. Não há mais a aproximação de considerar cada

trecho biapoiado ou engastado na base.

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Imperfeições geométricas

No Pórtico NLFG, podem ser consideradas imperfeições geométricas globais ou locais.

Essas imperfeições são impostas no modelo através da alteração direta da geometria

da estrutura.

Uma grande vantagem desse tipo de abordagem é que os efeitos gerados pelas

imperfeições locais passam a ser absorvidas por todo conjunto de vigas e pilares, e

não mais apenas por um lance de forma isolada.

Fluência

O efeito da fluência ou deformação lenta do concreto é considerado por meio de

uma correção direta nas deformações em cada seção, que por sua vez influencia

diretamente na curvatura da mesma.

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Essa correção é feita através de uma majoração nas deformações no concreto

(encurtamentos) por (1+ ), sendo o coeficiente de fluência definido na NBR

6118:2003.

Dessa forma, a obtenção da rigidez EI do diagrama momento-curvatura é alterada.

Verificação ELU

Ao término do processamento, após a obtenção dos esforços finais em cada barra do

Pórtico NLFG, é realizada a verificação de cada trecho de viga e pilar perante os

esforços normais (força normal + momentos fletores) no Estado Limite Último (ELU),

levando-se em conta todas as prescrições presentes na NBR 6118:2003.

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13 Referências bibliográficas

O que se apresenta a seguir é uma modestíssima lista de referências bibliográficas

utilizadas para a elaboração dessa apostila. O cálculo de pilares de concreto armado

vem sido estudado de longa data, de tal forma que existem inúmeros trabalhos sobre

esse assunto.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT), “NBR 6118:2003 - Projeto de

estruturas de concreto – Procedimento”, Rio de Janeiro, 2003.

COVAS, N. C & KIMURA, A. E., “Efeitos locais de 2ª ordem em pilares”, São Paulo, 2003.

COVAS, N. C & BOLINELLI JR., H. L., “Efeitos localizados de 2ª ordem em pilares-parede”,

São Paulo, 2003.

FRANÇA, R. L. S., “Contribuição ao estudo dos efeitos de segunda ordem em pilares de

concreto-armado”, Tese de doutoramento, São Paulo, 1991.

FRANÇA, R. L. S., “Relações momento-curvatura em peças de concreto-armado

submetidas à flexão oblíqua composta”, Dissertação de mestrado, São Paulo, 1984.

FRANÇA, R. L. S. & KIMURA, A. E., “Resultados de recentes pesquisas para o

dimensionamento das armaduras longitudinal e transversal em pilares-parede”, ENECE,

São Paulo, 2006.

FUSCO, P. B., “Estruturas de Concreto – Solicitações Normais”, LTC - Livros Técnicos e

Científicos Editora, Rio de Janeiro, 1981.

GRAZIANO, F. P., “Alterações no consumo de aço no dimensionamento de pilares de

edifício empregando-se a NBR-6118-2003 – Comparação de resultados”, ENECE, São

Paulo, 2004.

IBRACON, “Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação NB-1”, Comitê Técnico

Concreto Estrutural, São Paulo, 2007.

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INSTITUTO DE ENGENHARIA, “Coletânea de trabalhos sobre estabilidade global e local

das estruturas de edifícios”, São Paulo, 1997.

KIMURA, A. E., “Informática Aplicada em Estruturas de Concreto Armado”, Editora Pini,

São Paulo, 2007.

MACGREGOR, J. G & WIGHT, J. K., “Reinforced Concrete: Mechanics and Design”,

Pearson - Prentice Hall, New Jersey, 2005.

PROGRAMA DE EDUCAÇÃO CONTINUADA (PECE), “ES009 - Estabilidade global e

análise de peças esbeltas”, Universidade São Paulo, Notas de aula, 2003.

SANTOS, L.M., “Estado limite último de instabilidade”, EP/USP, São Paulo, 1987.

STUCCHI, F. R., “Estágio atual da análise da NBR 6118 – pró-revisão 2008”, ENECE, São

Paulo, 2007.

TQS INFORMÁTICA, Curso CAD/TQS v11 NBR 6118:2003, São Paulo, 2003.

TQS INFORMÁTICA, Fluxogramas CAD/Pilar, São Paulo, 2004.

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gerson - calculo de pilares

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