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Cálculo de pilaresTRANSCRIPT
Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 1
1 Sobre o tema
O cálculo de pilares de concreto armado é, sem sombra de dúvidas, um dos temas
mais interessantes e instigantes de toda Engenharia de Estruturas. Trata-se de um
assunto que está sempre em voga, é cercado por muitas discussões e, naturalmente,
por algumas divergências e controvérsias.
Com a entrada em vigor da NBR 6118:2003, inúmeras dúvidas a respeito do cálculo de
pilares surgiram no meio técnico profissional, visto que diversas novidades foram
introduzidas nessa recente norma de concreto.
Apenas para citar um exemplo, se antes na extinta NBR 6118:1978 tínhamos apenas
um método para analisar os efeitos locais de 2ª ordem, hoje, na atual NBR 6118:2003,
temos quatro formulações distintas disponíveis, levando-nos a questionar:
Qual método deve ser adotado no projeto de um edifício usual?
Como obter a rigidez de um diagrama N, M, 1/r?
Qual método tornará a estrutura mais segura?
Em quais casos deve-se utilizar o método geral?
Além disso, na prática, como qualquer outra área tecnológica, todas essas inovações
ficaram atreladas aos computadores que, ao mesmo tempo em que permitiram que
processamentos até então inviáveis fossem realizados de forma produtiva, passaram a
usar novos conceitos ainda não muito bem disseminados no meio técnico de forma
efetiva e corriqueira. O termo “momento-curvatura”, por exemplo, não era tão
comum há alguns anos atrás como é hoje em dia nos softwares atuais.
Diante desse panorama que acaba de ser descrito, cabe então ao Engenheiro de
Estruturas a difícil tarefa de se manter sempre atualizado, já que o assunto em questão,
o cálculo de pilares de concreto armado, pode ser decisivo na tomada de decisões
durante a elaboração ou verificação de um projeto estrutural.
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2 Apresentação do curso
O cálculo de pilares como um todo é um tema amplo, que abrange uma teoria
relativamente complexa e que envolve vários assuntos, tais como: análise não-linear,
estabilidade global, dimensionamento de seções de concreto armado, técnicas de
detalhamento de armaduras, etc. Existem inúmeras publicações (livros, teses, artigos)
que cobrem cada um desses tópicos de forma rica e detalhada.
Diante dessa diversidade de temas, portanto, é importante deixar bem claro qual o
real intuito desse curso: o seu foco principal será o cálculo de esforços em pilares, mais
especificamente no que se refere à análise das imperfeições geométricas locais e dos
efeitos de 2ª ordem.
Serão abordados desde conceitos básicos até avançados. Pretende-se proporcionar
uma visão prática e objetiva dos problemas estudados, sem se aprofundar
demasiadamente em deduções matemáticas. Procurar-se-á transmitir os conceitos de
forma “concreta”, de tal forma que possam ser aplicados diretamente no dia-a-dia.
Diversos exemplos serão resolvidos manualmente, passo-a-passo. Em alguns deles, será
necessário fazer o uso de sistemas computacionais destinados à elaboração de
projetos de estruturas de concreto, de tal forma a aprimorar e agilizar o aprendizado.
Veja, a seguir, alguns pontos que serão abordados durante o curso:
Revisão de conceitos importantes utilizados no cálculo de pilares, tais como a
não-linearidade física, a não-linearidade geométrica, a relação momento-curvatura,
o coeficiente f3, entre outros.
Classificação e metodologias usuais para obtenção dos esforços atuantes num
pilar de um edifício de concreto armado.
Apresentação dos métodos existentes para análise das imperfeições
geométricas locais, principalmente no que se refere à aplicação do momento mínimo
de primeira ordem (M1d,mín).
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Estudo detalhado do diagrama N, M, 1/r proposto pela NBR 6118:2003, que
serve como base para os processos mais refinados de cálculo dos efeitos locais de 2ª
ordem.
Estudo dos processos disponíveis para análise
dos efeitos locais de 2ª ordem: pilar-padrão com 1/r
aproximada, pilar-padrão com rigidez aproximada,
pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r e método
geral.
Análise à flexão composta oblíqua por meio da linearização que permite
desacoplamento das duas direções, bem como pela curva real oblíqua.
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Análise dos efeitos localizados de 2ª
ordem em pilar-parede pelo método
aproximado presente na NBR 6118:2003 e por
uma modelagem com malha.
Visão geral de aspectos gerenciais relevantes no projeto de pilares de edifícios
de concreto armado.
Apresentação de tendências no cálculo de pilares de concreto armado.
De forma alguma, esse curso se propõe a colocar um ponto final no que se refere ao
cálculo de pilares, mesmo porque existem diversas questões ainda em aberto, sem
resposta definitiva. O que se objetiva, sim, é esclarecer as dúvidas atuais mais comuns
presentes no meio técnico profissional.
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3 Introdução
3.1 Importância dos pilares
Porque um edifício cai?
Trata-se de uma questão extremamente complicada de se responder, pois existem
inúmeras causas que podem levar um prédio à ruína. Cada caso é um caso, e é
impossível generalizar a resposta.
No entanto, todo Engenheiro de Estruturas precisa pensar sobre esse assunto, tirar suas
próprias conclusões, e principalmente, cercar-se de atitudes que evitem tal desastre.
Afinal de contas, todo projeto deve conduzir a uma estrutura segura.
Obviamente, qualquer peça numa estrutura tem a sua devida importância e precisa
ser dimensionada corretamente para atender às funções a que se destina. Existem,
porém, certos tipos de elementos que necessitam ter um cuidado redobrado, pois
podem ocasionar conseqüências mais graves, como o colapso total da edificação.
Dentre eles, estão os pilares.
Um erro grosseiro no cálculo dos pilares pode derrubar um edifício!
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A afirmação anterior é um tanto quanto “pesada”. Encare-a não como uma ameaça,
mas sim, como uma forma de lembrá-lo de que os pilares são vitais na segurança
estrutural de um edifício. E que, por esta razão, precisam ser calculados,
dimensionados e detalhados com muito rigor e atenção.
3.2 Funções de um pilar
Basicamente, os pilares têm as seguintes funções no comportamento estrutural de um
edifício:
Resistir às cargas verticais presentes na estrutura e transmiti-las aos elementos
de fundação.
Resistir às cargas horizontais atuantes na estrutura, auxiliando de forma
significativa na manutenção da estabilidade global do edifício.
Taxa de compressão
Os pilares, principalmente nos lances junto à base de edifícios altos, estarão
constantemente submetidos a uma elevada força normal de compressão.
Esta força, principalmente em pilares mais esbeltos, tende a desestabilizar os mesmos,
podendo ocasionar uma situação de desequilíbrio indesejável.
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Com a tendência natural de se buscar espaços maiores nas edificações com o intuito
de otimizar o aproveitamento da construção, tanto o número bem como as
dimensões dos pilares vêm sendo gradativamente reduzidas, aumentando ainda mais
a responsabilidade dos mesmos.
Os pilares, cada vez mais, são obrigados a suportar elevadas taxas de compressão.
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3.3 Particularidades
O que é um pilar?
Definir o que é um pilar??? O que é isso??? Todo Engenheiro de Estruturas sabe muito
bem o que é um pilar!
Correto, porém é importante não subestimar essa pergunta, pois existem muitos casos
no qual um elemento é tratado e calculado como um simples pilar indevidamente.
Veja, a seguir, três situações bastante freqüentes no projeto de edifícios de concreto
armado.
Pilar-parede não é pilar!
Pilar-parede é um elemento de superfície. E, portanto, não pode ser tratado como um
pilar comum (elemento linear). Existem considerações especiais que devem ser
levadas em conta em seu dimensionamento.
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Tirante não é pilar!
Apesar de possuir uma geometria semelhante, dimensionar um tirante não é a mesma
coisa que dimensionar um pilar.
Pilar-inclinado não é pilar!
Dependendo do ângulo de inclinação do elemento estrutural, ele não pode ser
tratado como um simples pilar, pois aparecerão esforços de flexão e cisalhamento
consideráveis, e a força normal de compressão pode deixar de ser preponderante.
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Atenção nessas situações
As situações descritas anteriormente (pilar-parede, tirante, pilar-inclinado) são muito
comuns em edifícios de concreto armado. É importante estar atento para o que pode
ser considerado como um simples pilar ou não.
Dependo do caso, fazer o cálculo como um pilar comum nestas condições é uma
ótima referência para uma aproximação inicial. Já, em outros, erros graves podem
estar sendo cometidos de forma totalmente despercebida, tornando a estrutura
insegura.
3.4 Cálculo de um pilar
Abstração da vida real
Quando calculamos uma estrutura ou parte dela, seja de forma manual ou por meio
de um computador, estamos adotando explicitamente um protótipo cujo objetivo é
simular o comportamento da mesma na vida real. Essa é uma condição primária que
em hipótese alguma pode ser tratada de forma implícita.
Por mais sofisticado que seja o modelo adotado, nem sempre, ou melhor dizendo,
jamais conseguiremos obter respostas durante o cálculo que traduzam a realidade de
forma 100% exata. Sempre existirão limitações decorrentes das aproximações
consideradas.
Essas afirmações podem nos auxiliar a dar uma resposta a uma questão normalmente
levantada no meio técnico:
Eu sempre fiz desse jeito e nunca deu problema. Por que tenho que mudar?
A margem de segurança de um edifício de concreto armado é algo muito difícil de
ser mensurada, principalmente se tratada de forma geral. Se mesmo em ensaios
laboratoriais controlados nos mínimos detalhes, muitas vezes é difícil reproduzir
respostas uniformes, imagine em estruturas reais!
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Durante a elaboração de um projeto estrutural, trabalhamos com inúmeras hipóteses,
aproximações e, principalmente, valores que, na prática, podem se tornar
discrepantes.
Quando calculamos um pilar, por exemplo, procuramos estabelecer diversos critérios
de segurança, mas que podem variar para mais (mais segurança) ou menos (menos
segurança) na vida real. Dificilmente descobriremos a real exatidão dos cálculos
efetuados. O ELU (Estado Limite Último) é algo utópico, mas estritamente necessário.
A busca por metodologias que procuram retratar a realidade de forma mais precisa é
algo extremamente bem-vinda, salutar e que enriquece a profissão. Sem de forma
alguma menosprezar os processos aproximados, que têm sim sua devida relevância no
nosso dia-a-dia, é importante caminhar no sentido de aprimorar o cálculo e entender
melhor os fenômenos físicos, mesmo porque somente dessa forma é que saberemos o
“quão aproximado” são os métodos simplificados.
Portanto, a questão colocada anteriormente, “Eu sempre fiz desse jeito, e nunca deu
problema. Por que tenho que mudar?”, pode ser encarada de uma outra forma:
Será que os processos que tenho utilizado estão sempre a favor da segurança? Será
que o que estou fazendo pode apresentar problema algum dia?
Na essência, essa é uma das razões que coloca a Engenharia de Estruturas num
patamar diferenciado, que envolve responsabilidade, discernimento e coerência.
Trabalha-se com limites opostos, a segurança e a economia, que, perante toda a
sociedade, devem que ser atendidos na sua plenitude.
Aproximações no cálculo de um pilar
Apesar de um tanto filosófico, as considerações colocadas anteriormente são
importantes, pois nos servem para chamar a atenção para a seguinte questão: quais
aproximações são adotadas no cálculo de um pilar? Como um pilar, na vida real, é
calculado durante o projeto estrutural?
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Antes de adentrar a fundo no cálculo de efeitos de 2ª ordem, imperfeições
geométricas, fluência, diagramas momento-curvatura, M1d,mín, método geral, etc..., é
extremamente importante ter em mente exatamente como estamos calculando um
pilar, e quais simplificações estão sendo tomadas. Isso é imprescindível para se ter
controle global de um projeto estrutural.
Vejamos, a seguir, um resumo de como um pilar é comumente calculado hoje em dia.
Seja uma estrutura real, como a apresentada na figura ao
lado, cujos pilares precisam ser dimensionados e
detalhados pelo Engenheiro de Estruturas.
Nota: a foto ao lado é de uma construção localizada na
cidade de Porto Alegre (RS), e é capa do capítulo
“Slender Columns” do livro “Reinforced Concrete –
Mechanics and Design” de James G. MacGregor e James
K. Wight.
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A estrutura como um todo é
calculada no computador por
meio de uma modelagem
numérica (pórtico espacial,
grelhas, elementos finitos, ...), que
contém diversas aproximações.
A rigidez à flexão EI da seção transversal dos pilares é minorada para análise no Estado
Limite Último (ELU) a fim de considerar a não-linearidade física de forma aproximada
(0,7.EIc ou 0,8.EIc). A rigidez axial dos mesmos é majorada a fim de compensar os
efeitos decorrentes da construção. De onde vêm esses coeficientes?
Nessa etapa, um lance de pilar está “imerso” no meio da estrutura. Suas vinculações
no topo e na base são relativamente bem simuladas por meio das ligações com os
elementos de vigas e lajes.
Durante esse cálculo global, os efeitos globais de 2ª ordem são então avaliados (0,95.z
ou P-), bem como as imperfeições geométricas globais (desaprumo do edifício como
um todo).
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Uma vez efetuado o cálculo
global, cada lance de pilar é
extraído desse modelo e passa
a ser analisado de forma
isolada.
Nesse modelo local, as vinculações no topo e na base passam a ser tratadas de forma
bastante simplificada (apoios simples), de tal forma a manter o equilíbrio de esforços
com o modelo global.
A não-linearidade física, por sua vez, é considerada de forma mais refinada que no
modelo global (1/r aproximada, rigidez aproximada, rigidez acoplada a diagrama N,
M, 1/r).
Os efeitos locais de 2ª ordem são então avaliados por processo aproximado (pilar-
padrão ou pilar-padrão melhorado) ou processos iterativos mais refinados (“P-”)
Nessa etapa, são também calculados os esforços devido às imperfeições geométricas
locais (falta de retilineidade ou desaprumo no lance) e a fluência (deformação lenta).
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Concluindo
É importante notar que há uma série de simplificações consideradas durante todo o
processo de cálculo dos pilares de uma estrutura, sem contar as aproximações
posteriores inerentes às etapas de dimensionamento e detalhamento.
As seguintes questões ficam em aberto:
Por que não tratar todo problema por meio de um modelo único, sem a
separação global do local?
Por que não considerar a rigidez dos elementos de forma uniforme?
As imperfeições geométricas que podem ou não aparecer durante a
construção da estrutura não poderiam ser consideradas de outra forma?
E a fluência? Será que as formulações atuais são condizentes com a realidade?
Essas questões deixam evidente o quanto temos ainda que evoluir, ao mesmo tempo
em que servem para nos lembrar: o cálculo atual de pilares é repleto de
simplificações! E, portanto, todo cuidado na hora de dimensioná-los é necessário.
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4 Revisão
A seguir, será realizada uma revisão sucinta de alguns conceitos fundamentais que são
aplicados no cálculo de um pilar.
4.1 Análise não-linear
Praticamente, todo o cálculo de esforços de 2ª ordem em pilares de concreto armado
é baseado em análise não-linear, seja ela aproximada ou refinada.
É muito importante, portanto, que se identifique claramente como as não-linearidades
(física e geométrica) estão sendo consideradas em cada caso, pois muitas vezes elas
são adotadas de forma implícita e podem “passar” de forma despercebida.
De forma bastante simplificada, pode-se dizer que uma análise não-linear é um
cálculo na qual a resposta da estrutura, seja em deslocamentos, esforços ou tensões,
possui um comportamento não-linear, isto é, desproporcional à medida que um
carregamento é aplicado.
Exemplo
Seja uma estrutura qualquer submetida a um carregamento “P”, cujo deslocamento
resultante num determinado ponto é igual a “d”.
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Agora, imagine se adicionássemos nesta estrutura mais uma mesma carga “P”, de tal
maneira que o carregamento total ficasse igual a “2.P”. Qual será o deslocamento
resultante?
Se for efetuada uma análise puramente linear, certamente o deslocamento resultante
será proporcional ao acréscimo de carga, isto é, igual “2.d”. A resposta da estrutura
em termos de deslocamentos terá um comportamento linear à medida que o
carregamento é aplicado.
Por sua vez, se for efetuada uma análise não-linear, o deslocamento resultante não
será proporcional ao acréscimo de carga, isto é, será um valor diferente de “2.d”. E
mais, provavelmente maior que “2.d”. A resposta da estrutura em termos de
deslocamentos terá um comportamento não-linear à medida que o carregamento é
aplicado.
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Basicamente, existem dois fatores principais que geram o comportamento não-linear
de uma estrutura:
Alteração das propriedades dos
materiais que compõem a estrutura,
designada “não-linearidade física” (NLF).
Alteração da
geometria da estrutura,
designada “não-
linearidade geométrica”
(NLG).
4.1.1 Não-linearidade física
A não-linearidade física na análise de estruturas de concreto armado que, diga-se de
passagem, é um material essencialmente não-linear, pode ser tratada de diferentes
formas, desde processos aproximados até metodologias mais complexas.
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Não-linearidade física de forma aproximada
Uma maneira aproximada para considerar a não-linearidade física em uma estrutura,
isto é, considerar a variação do comportamento do material à medida que o
carregamento é aplicado, é alterar diretamente o valor da rigidez dos elementos que
a compõe.
É o que fazemos, por exemplo, no cálculo do pórtico espacial no Estado Limite Último
(ELU) quando adotamos 0,8.EIc nos pilares e 0,4.EIc nas vigas.
Outro exemplo: redução de rigidez nas bordas de laje de tal forma a simular uma
possível fissuração do concreto nessas regiões. Em elementos predominantes fletidos
como vigas e lajes, a fissuração é preponderante no comportamento não-linear da
estrutura.
Não-linearidade física de forma refinada
Uma maneira mais refinada de tratar a não-linearidade física em uma estrutura é por
meio do uso de relações momento-curvatura.
Curvatura é a variação do ângulo de
rotação ao longo de um trecho (d/ds) e,
portanto não é expresso em graus ou
radianos.
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A maneira mais comum e também correta
de definir curvatura é sendo o inverso do
raio de curvatura (1/r).
Em uma seção de concreto armado, a curvatura pode ser expressa de forma
aproximada da seguinte forma:
Ou seja, com as deformações no concreto e no aço, c e s, e a altura útil d, é possível
calcular a curvatura em uma seção de concreto armado.
Também de forma aproximada, é possível relacionar a curvatura de uma seção com
o momento fletor atuante na mesma através da seguinte fórmula:
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A relação momento-curvatura (M x 1/r) é análoga à expressão que relaciona a tensão
com a deformação ( x ), porém tem uma grande vantagem: permite que a não-
linearidade física seja acoplada aos cálculos de uma forma mais fácil e direta.
Diagrama momento-curvatura
Quando a relação momento-curvatura
de uma seção é definida para
diferentes níveis de solicitação, obtém-
se então o diagrama “M x 1/r”.
Veja, a seguir, o exemplo de um diagrama M x 1/r usualmente utilizado no cálculo de
flechas em pavimentos de concreto armado (ELS).
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Perceba que a curva momento-curvatura não é linear (uma única reta) e, portanto a
rigidez EI é variável. O diagrama procura “traduzir” de forma fiel o comportamento
esperado de um elemento de concreto armado, levando em consideração a
presença de fissuras (Mr) e os diagramas não-lineares nos materiais (fc x c e fy x y).
Relação normal-momento-curvatura (N, M, 1/r)
Com a presença concomitante de uma força normal na seção, a relação momento-
curvatura continua válida, porém, é claro, dependente diretamente do valor da força
normal. Nesse caso, a relação passa ser denominada N, M, 1/r.
Diagrama N, M, 1/r
Com a presença da força normal, o diagrama “M x 1/r” passa a ser chamado de
normal-momento-curvatura ou “N, M, 1/r”.
O conceito é exatamente o mesmo: dada uma força normal atuante, a curvatura na
seção se altera de acordo com o momento fletor solicitante. Esta variação é
determinada por uma rigidez EI.
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A compreensão do diagrama “N, M, 1/r” é extremamente importante no cálculo de
pilares. Lembre-se que os mesmos estão submetidos à atuação conjunta de momentos
fletores e da força normal de compressão.
Veja, a seguir, o exemplo de um diagrama “N, M, 1/r” para uma seção retangular (30
cm X 60 cm) e com uma determinada configuração de armadura adotada.
Para uma dada força
normal (N = 150 tf), note que
a variação da curvatura
(1/rx) à medida que o
momento fletor (Mx)
aumenta não é linear.
Na construção desse
diagrama não é levada em
conta à resistência à tração
do concreto (ELU).
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Eng. Alio Ernesto Kimura 24
O diagrama N, M, 1/r varia em função das seguintes características:
Geometria da seção
Materiais (concreto e aço)
Configuração de armaduras
Força normal atuante
Diagramas N, M, 1/r na prática
A montagem de diagramas N, M, 1/r para seções de concreto armado, na prática,
torna-se viável somente com o uso de computadores. De forma manual, os cálculos
demandam muito tempo, e tornam impraticáveis diante da produtividade exigida
durante a elaboração de um projeto estrutural.
Hoje, por meio de algoritmos numéricos confiáveis e eficientes, um diagrama N, M, 1/r
pode ser calculado para uma seção de concreto armado genérica em centésimos
de segundos.
Cabe ao Engenheiro Estrutural saber
interpretar o diagrama gerado por
um sistema computacional. E neste
caso, compreender bem conceitos
como rigidez, relação momento-
curvatura são imprescindíveis.
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Exercício
Com o intuito de fixar os principais conceitos relativos ao diagrama N, M, 1/r, vamos
iniciar uma rápida simulação em uma seção de concreto armado.
Nesse caso, como exposto anteriormente, torna-se necessário o uso do computador
para efetuar os cálculos.
Dados iniciais:
Seção 30 cm x 60 cm, conforme figura abaixo
Armadura composta de 16 20 mm
Concreto C30, c = 1,4
Aço CA50, s = 1,15
Considerando a resistência do concreto no ELU igual a 0,85.fcd, e aplicando uma força
normal de compressão com valor de cálculo igual a NSd = 100 tf, obtém-se o seguinte
diagrama N, M, 1/r em torno da direção menos rígida da seção (direção x).
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Comentários:
A curva é idêntica nos dois sentidos, positivo e negativo, pois a seção é
inteiramente simétrica na direção x.
O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 30,4 tf.m.
A curvatura na ocasião da atuação do MRd é igual a 2,72x10-2 m-1.
A rigidez EIsec definida por uma reta secante para M = MRd é igual a 1117,5 tf.m2.
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Para a mesma força normal de compressão NSd = 100 tf, obtém-se o seguinte
diagrama N, M, 1/r em torno da direção mais rígida da seção (direção y).
Comentários:
A curva é idêntica nos dois sentidos, como esperado.
O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 59,5 tf.m.
A curvatura na ocasião da atuação do MRd é igual a 1,41x10-2 m-1.
A rigidez EIsec definida por uma reta secante para M = MRd é igual a 4235,2 tf.m2.
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Retornando a análise em torno da direção menos rígida (direção x). Vamos alterar a
força normal de compressão para NSd = 200 tf. Obtém-se então o seguinte diagrama
N, M, 1/r.
Comentários:
O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 28,7 tf.m (para NSd = 100
tf, MRd = 30,4 tf.m).
A rigidez EIsec definida pela reta secante é igual a 1435,6 tf.m2 (para NSd = 100 tf,
EIsec = 1117,5 tf.m2).
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Aumentando a força normal de compressão para NSd = 300 tf, obtém-se então o
seguinte diagrama N, M, 1/r.
Comentários:
O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 22,6 tf.m (para NSd = 100
tf, MRd = 30,4 tf.m e para NSd = 200 tf, MRd = 28,7 tf.m).
A rigidez EIsec definida pela reta secante é igual a 1440,1 tf.m2 (para NSd = 100 tf,
EIsec = 1117,5 tf.m2 e para NSd = 200 tf, EIsec = 1435,6 tf.m2).
Tanto em termos de resistência como em termos de rigidez, a variação à
medida que a força normal aumenta não é linear.
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Mantendo a força normal de compressão para NSd = 300 tf, e agora alterando a
armadura para 16 12,5 mm, obtém-se então o seguinte diagrama N, M, 1/r.
Comentários:
O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 11,4 tf.m (para 16 20
mm, MRd = 22,6 tf.m).
A rigidez EIsec definida pela reta secante é igual a 911,1 tf.m2 (para 16 20 mm,
EIsec = 1440,1 tf.m2).
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Mantendo as mesmas informações, também é possível obter uma rigidez secante para
um determinado nível de solicitação inferior ao MRd. Por exemplo, Md = 7,4 tf.m.
Finalmente, vamos eliminar a simetria das
armaduras retirando três barras do canto
esquerdo inferior, conforme mostra a figura ao
lado.
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Comentários:
O diagrama não apresenta simetria nos dois sentidos.
Para um momento fletor Md = 0,0 tf.m, há o aparecimento de uma curvatura
diferente de zero, ocasionado exclusivamente pela presença da força normal de
compressão para NSd = 300 tf.
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4.1.2 Não-linearidade geométrica
Assim como a não-linearidade física, a não-linearidade geométrica também gera
uma resposta não-linear de uma estrutura. Porém, esse comportamento não ocorre
mais devido a alterações no material, mas sim devido a mudanças na geometria dos
elementos estruturais à medida que um carregamento é aplicado.
O surgimento dos efeitos de 2ª ordem, gerados a partir do equilíbrio na configuração
deformada, ocasiona uma resposta não-linear de uma estrutura, chamada de não-
linearidade geométrica.
Não-linearidade geométrica aproximada
Assim como a não-linearidade física, a não-linearidade geométrica pode ser resolvida
de forma aproximada. Nesse caso, a forma final da posição de equilíbrio é pré-
determinada, permitindo a solução matemática do problema.
É o que fazemos, por exemplo, ao utilizar a fórmula do coeficiente z, cuja formulação
é resultante de uma estimativa da variação da forma da estrutura à medida que as
cargas são aplicadas à mesma.
Outro exemplo: o método do pilar-padrão aplicado no cálculo dos efeitos locais de 2ª
ordem em pilares. Nesse caso, admite-se que a forma final da posição de equilíbrio do
elemento em questão é uma curva senoidal.
Não-linearidade geométrica de forma refinada
Existem diversos processos numéricos, comumente denominados P-, que tratam a
não-linearidade geométrica de forma refinada. Basicamente, são cálculos iterativos
em que se busca a posição final de equilíbrio da estrutura ou parte dela.
Por ser um processo iterativo, é necessária a definição de tolerâncias para obtenção
da convergência do método. Existem formulações baseadas na introdução de
“deltas” de esforços entre cada iteração, bem como outras, mais sofisticadas, que
corrigem a matriz de rigidez dos elementos de tal forma a simular a variação da
geometria da estrutura à medida que o carregamento é aplicado sobre a mesma.
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4.1.3 Coeficiente f3
O coeficiente ponderador das ações f, usualmente igual a 1,4, é resultante da
multiplicação de 3 fatores apresentados a seguir.
O primeiro fator f1 procura prever a variabilidade do valor da ação, ou seja, considera
que a carga efetivamente aplicada à estrutura real não é 100% exata, podendo ser
maior ou menor que o valor especificado em projeto.
O segundo f2 procura prever a simultaneidade das ações, isto é, a probabilidade de
ocorrência simultânea de ações distintas. São os famosos coeficientes .
Já o terceiro fator f3 leva em conta as aproximações feitas em projeto. Vale lembrar
que todo projeto estrutural, por mais que seja elaborado de forma refinada, é apenas
uma simulação simplificada de um edifício real.
NBR 6118:2003
No item 15.3.1 da NBR 6118:2003, tem-se:
“Pode ser considerada também a formulação de segurança em que se calculam os efeitos de 2ª
ordem das cargas majoradas de f/f3, que posteriormente são majorados de f3, com f3 = 1,1,
...”
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Pelo menos à primeira vista, essa afirmação presente na norma é um pouco confusa.
O que se objetiva com essa consideração é suprir da análise dos esforços de 2ª ordem,
que possui uma resposta não-linear, o fator do coeficiente de segurança que trata das
aproximações de projeto (f3), de tal forma que os efeitos de segunda ordem
calculados com valores de cálculo fiquem ligeiramente menores, não podendo
esquecer, obviamente, de complementá-los com f3 para obtenção do resultado final.
Exemplo
A consideração do coeficiente f3 = 1,1 tem influência direta na análise de uma
estrutura com comportamento não-linear. Veja, a seguir, um exemplo bastante simples
que procura mostrar a influência do coeficiente f3 em um cálculo.
Seja uma estrutura hipotética que possui um comportamento tipicamente não-linear,
conforme mostra a figura a seguir.
A resposta da estrutura (S) em função da
ação (F) está representada pela curva em
azul.
Imagine que o valor da ação característica a ser aplicada sobre a estrutura é Fk = 10,
resultando numa resposta S k = 45.
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Utilizando f = 1,4 de tal forma a considerar o
valor de cálculo, teremos:
Fd = 10 x 1,4 = 14 Sd = 85
Utilizando a formulação de segurança com
f3 = 1,1, teremos:
Fd = 10 x 1,4/1,1 = 12,7 Sd = 72
Sd,tot = 72 x 1,1 = 79,2 < 85
Como se pôde observar, a análise com a formulação de segurança com f3 = 1,1
resulta em valores finais menores quando comparados com a aplicação direta de f =
1,4 em estruturas com comportamento não-linear.
Dessa forma, o cálculo de uma estrutura em que se considera a não-linearidade
geométrica (z ou P-) ou física (N, M, 1/r) é influenciado diretamente pelo f3 = 1,1.
Vale lembrar que a adoção de f3 = 1,1 é opcional, podendo ser adotado também f3
= 1,0.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 37
Exercício
Nesse exercício, vamos analisar uma estrutura muito simples considerando a não-
linearidade geométrica, ora com f3 = 1,0 e ora com f3 = 1,1.
Seja uma barra vertical engastada na
base com comprimento igual a 5 m,
com seção transversal 30 cm x 30 cm,
módulo de elasticidade igual a 28.000
MPa, submetida a uma força horizontal
constante (Fh = 10 tf) e a uma força
vertical variável (Fv = 0 tf a 100 tf) em seu
topo, conforme mostra a figura ao lado.
OBS.: valores da força são de cálculo.
Por meio do cálculo linear tradicional em primeira ordem, isto é, na configuração
geométrica inicial indeformada, obtém-se as seguintes reações e esforços (força
normal, força cortante e momento fletor).
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Note que o momento fletor final na base da barra (50,0 tf.m) não varia à medida que
a força vertical é incrementada.
Agora, vamos fazer a análise considerando a não-linearidade geométrica por meio de
um processo P-, efetuado no computador, considerando f3 = 1,0. Veja, a seguir, a
variação do momento fletor na base à medida que a carga vertical é alterada.
Note que o esforço varia de 50,0 tf.m até 97,0 tf.m.
Finalmente, vamos fazer a análise com NLG e considerando f3 = 1,1.
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Também houve uma variação de momentos fletores, de 50,0 tf.m até 88,7 tf.m, porém
os valores dos esforços finais ficaram menores devido à consideração de f3 = 1,1.
Em ambos os casos com NLG, o aumento de esforços à medida que a carga vertical é
incrementada é decorrente do surgimento de efeitos de 2ª ordem, que tornam o
comportamento da estrutura nitidamente não-linear, conforme mostra o gráfico a
seguir.
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5 Diagrama N, M, 1/r no cálculo de pilares
5.1 NBR 6118:2003
Vamos estudar com maiores detalhes o diagrama N, M, 1/r proposto na NBR 6118:2003,
que serve como base para aplicação de processos mais refinados no cálculo de
pilares (pilar-padrão acoplado a diagramas e método geral).
No item 15.3 da NBR 6118:2003, tem-se:
“A não-linearidade física, presente nas estruturas de concreto armado, deve ser
obrigatoriamente considerada.”
No item 15.3.1 da NBR 6118:2003, tem-se:
“O principal efeito da não-linearidade pode, em geral, ser considerado através da construção
da relação momento-curvatura para cada seção, com armadura suposta conhecida, e para o
valor da força normal atuante.”
“Pode ser considerada também a formulação de segurança em que se calculam os efeitos de 2ª
ordem das cargas majoradas de f/f3, que posteriormente são majorados de f3, com f3 = 1,1,
...”
Espera-se que, com as informações transmitidas anteriormente, essas afirmações
estejam bem claras. Já vimos que a não-linearidade física pode ser analisada com o
uso do diagrama N, M, 1/r, bem como a influência da força normal e da armadura na
montagem do mesmo. Estudamos também a influência do f3 no comportamento de
uma estrutura.
Tensão de pico igual a 1,1.fcd
Faltam mais alguns poucos detalhes para compreendermos plenamente o diagrama
da norma. No item 15.3 da NBR 6118:2003, tem-se:
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“A deformabilidade dos elementos deve ser calculada com base nos diagramas tensão-
deformação dos materiais. A tensão de pico do concreto deve ser igual a 1,1.fcd, ...”
A tensão de pico do concreto foi elevada em 30% em relação ao 0,85.fcd (0,85 * 1,3 ≈
1,1) de tal forma a uniformizar a condição das seções ao longo de todo lance de um
pilar no Estado Limite Último (ELU). Imaginar que, no momento da perda de
estabilidade, será atingido o esgotamento da capacidade de todas as seções
simultaneamente seria um tanto exagerado.
Portanto, exclusivamente para avaliar a deformabilidade de um lance pilar, que terá
influência direta no cálculo dos efeitos de 2ª ordem, deve-se utilizar 1,1.fcd.
OBS.: o coeficiente que multiplica o fcd (0,85 ou 1,1) é conhecido como c.
Objetivo do diagrama
O diagrama N, M, 1/r proposto pela NBR 6118:2003 é mostrado a seguir:
Em primeiro lugar, é importante deixar bem claro o seguinte: o objetivo principal é
extrairmos desse diagrama uma rigidez que permita fazer a análise dos efeitos de 2ª
ordem em um pilar de tal forma que a não-linearidade física seja bem retratada.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 42
Curva com 0,85.fcd
A curva com o tradicional
0,85.fcd somente serve para
definir o momento resistente
último de cálculo (MRd) no
Estado Limite Último (ELU), e
não para extrair a rigidez EI.
Essa curva deve ser montada
fixando-se um força normal
atuante igual à NSd.
Curva com 1,1.fcd
Esta, sim, é a curva na qual
deve ser extraída a rigidez EI
para consideração da
deformabilidade do pilar.
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Na realidade, a curva montada com uma tensão de pico igual a 1,1.fcd atinge um
patamar acima do MRd calculado com 0,85.fcd, conforme mostra a figura a seguir.
Porém, de ponto de vista prático, tudo que está acima de MRd não tem validade real,
pois está além da resistência admitida pela seção no ELU.
Dessa forma, principalmente com o intuito de otimizar o tempo de processamento, em
geral, os sistemas computacionais apenas utilizam a curva com 1,1.fcd até o ponto B
que define a rigidez que se deseja calcular.
Linearização – Reta AB
Na curva com 1,1.fcd, a rigidez EI varia de acordo com a magnitude do momento
fletor (é uma curva). Ou seja, num lance de pilar, onde há a variação dos esforços
entre o seu topo e a sua base, ficam então definidos diferentes níveis de rigidezes.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 44
Correto. Porém, não seria interessante ter uma maneira de obter uma rigidez única
que pudesse se aplicada ao longo de todo lance, a favor da segurança obviamente?
Outra questão: na extração da rigidez EI na curva não deveria ser levado em conta o
esforço concomitante na outra direção y?
A linearização por meio da reta AB responde exatamente essas questões, pois ela
define uma rigidez constante EIsec que pode ser utilizada ao longo de todo lance,
tanto na análise à flexão composta normal como na oblíqua (a rigidez pela curva não
pode ser utilizada na flexão composta oblíqua).
Veja, a seguir, um gráfico com várias curvas N, M, 1/r montadas para diversos níveis de
solicitação na direção y. Note que a reta AB sempre fornece uma rigidez EIsec a favor
da segurança (menor), independente da magnitude do esforço na outra direção. Ou
seja, as direções são desacopladas.
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Coeficiente f3
Alternativamente (não é obrigatório), pode-se fazer o uso do coeficiente f3 = 1,1 na
obtenção da rigidez EIsec. Nesse caso, a curva com 1,1.fcd é montada com uma força
normal igual a NRd/f3, e o esforço para definição da reta deve ser igual MRd/f3.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 46
A rigidez EI é calculada no ponto B (MRd/1,1), pois com a aplicação de NRd/1,1 jamais
se atingirá o MRd na sua totalidade.
Vale lembrar que a adoção de f3 = 1,0, que também é válida, leva a uma rigidez
menor (a favor da segurança) que a obtida com f3 = 1,1.
Seção não-padrão
A obtenção da rigidez EIsec por meio da linearização do diagrama N, M, 1/r já foi
amplamente testada e validada para seção retangular com armadura simétrica. Nos
demais casos, deve-se ter precaução.
Veja, a seguir, como fica o diagrama N, M, 1/r para uma seção com formato em “L”,
segundo seu eixo principal de menor inércia. Note que há diferentes rigidezes secantes
EIsec para cada sentido da solicitação.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 47
Nesse caso, qual rigidez deve ser adotada na análise da deformabilidade do pilar,
9042,7 tf.m2 ou 10052,2 tf.m2?
Pesquisas atuais estão sendo realizadas para solucionar essa questão. A princípio,
enquanto não se tem uma resposta definitiva, sugere-se tomar o valor a favor da
segurança (9042,7 tf.m2).
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6 Esforços em um pilar
Uma condição essencial para que os pilares sejam dimensionados de forma correta é
a obtenção de esforços precisos e realistas durante a análise estrutural.
Basicamente, os esforços solicitantes mais importantes que atuam ao longo de cada
um dos lances de um pilar, decorrentes da aplicação das ações verticais e horizontais
num edifício, são:
Força normal, predominantemente de compressão.
Momentos fletores, em cada direção.
Há também a atuação do momento torsor e das forças cortantes. No entanto, nos
casos usuais de edifícios, os mesmos podem ser desprezados, pois não são solicitações
preponderantes e significativas.
Devido à atuação simultânea de uma força normal (N) e dois momentos fletores (Mx e
My), é caracterizado então uma flexão composta oblíqua.
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Em certos casos, porém, nos quais o momento fletor numa das direções é desprezível,
pode-se adotar uma flexão composta normal.
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É bom lembrar que a consideração da flexão composta normal é uma aproximação,
válida apenas para simplificar o cálculo manual em certos casos específicos. Na vida
real, os pilares quase sempre estarão submetidos a momentos fletores nas duas
direções.
Nos sistemas computacionais atuais, usualmente todos os pilares são dimensionados
sob atuação de uma flexão composta oblíqua (N, Mx e My). Não há a simplificação
em flexão composta normal.
6.1 Representação de esforços em planta
Existem inúmeras formas de representar graficamente os esforços solicitantes em um
lance de pilar. Uma maneira bastante interessante e eficiente é a representação em
planta.
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Veja, a seguir, o exemplo de uma representação em planta de um lance de pilar de
concreto armado com momentos fletores variando linearmente entre o seu topo e a
sua base.
Cada par de esforços (Mx e My) fica representado por um único ponto. Dessa forma, os
momentos solicitantes no topo e na base ficam representados por dois pontos (Topo e
Base), como apresentados na figura anterior.
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Como nesse caso os momentos fletores variam linearmente entre o topo e a base, os
esforços ao longo do lance ficam representados por uma reta.
A curva resistente é definida de acordo com os materiais, a geometria da seção, a
configuração de armaduras e a força normal solicitante. Por meio do desenho dessa
curva, é possível quantificar graficamente o nível de solicitação atuante em relação à
resistência do pilar. Um ponto sobre ou fora da curva significa que o ELU foi atingido.
Veja, a seguir, um outro exemplo, agora com o momento My atuando no mesmo
sentido.
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A representação de esforços em planta é bastante simples, possibilita a visualização
completa do que ocorre num lance, e nos auxiliará na compreensão das explanações
feitas a seguir sobre a envoltória mínima de 1ª ordem, bem como sobre os esforços
locais de 2ª ordem.
6.2 Parcelas de esforços
Com o intuito de facilitar o cálculo de um pilar, o esforço total utilizado no seu
dimensionamento pode ser subdividido nas seguintes parcelas:
Estas parcelas de esforços se referem basicamente aos momentos fletores (Mx e My) no
pilar. Para as demais solicitações (força normal, forças cortantes e momento torsor),
não é necessário subdividi-las com detalhes dessa maneira. E, portanto, é muito
comum definir a seguinte expressão:
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Além disso, também é usual expressar estas parcelas em valores de excentricidades.
Nesse caso, basta dividir os respectivos momentos fletores pela força normal:
É muito importante saber como se calcula cada uma dessas parcelas.
Muito embora esses esforços atuem de forma conjunta na vida real, é comum utilizar
modelos distintos e separados para calcular cada uma dessas parcelas durante a
elaboração de um projeto estrutural.
Usualmente, os esforços iniciais, os esforços globais de 2ª ordem e os esforços
provenientes das imperfeições geométricas globais, são calculados por meio de
modelos que contemplam toda a estrutura (modelo global), enquanto que os esforços
locais de 2ª ordem, os esforços provenientes de imperfeições geométricas locais e os
esforços devido à fluência, são analisados por meio de modelos que tratam o lance
de pilar de forma isolada (modelo local).
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Veja, a seguir, uma breve descrição de cada uma das parcelas de esforços atuantes
num pilar de concreto armado. Posteriormente, apenas daremos ênfase ao cálculo de
esforços devido às imperfeições geométricas locais e a análise dos esforços locais de
2ª ordem.
6.2.1 Esforços iniciais
São chamados esforços iniciais as solicitações calculadas durante a análise estrutural
do edifício, resultantes da aplicação das cargas verticais e horizontais, e necessárias
para manter o equilíbrio da estrutura na posição indeformada (análise em primeira
ordem).
Modelo realista
Estes esforços devem reproduzir a resposta da estrutura perante as ações da maneira
mais realista possível. E, portanto, necessitam ser calculados por meio de um modelo
estrutural adequado.
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É obrigatório sempre utilizar um modelo numérico que forneça resultados precisos e
confiáveis. Caso contrário, é melhor nem começar a calcular os pilares. Se os esforços
iniciais estiverem incorretos, todo o cálculo dos demais esforços (imperfeição
geométrica, 2ª ordem, fluência) ficará comprometido.
6.2.2 Esforços devido às imperfeições geométricas
Todo edifício, quando executado num canteiro de obra, está sujeito ao aparecimento
de desvios geométricos, isto é, distorções na forma e no posicionamento dos
elementos estruturais originados durante a sua implantação.
Estas “falhas” de construção, chamadas de imperfeições geométricas, são
praticamente inevitáveis e aleatórias. Podem ser grandes ou pequenas.
Toda estrutura é geometricamente imperfeita!
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Muito embora não tenha o controle direto dessa situação de obra, o Engenheiro de
Estruturas deve obrigatoriamente levar em conta as imperfeições geométricas durante
a elaboração do projeto, pois as mesmas, na maioria dos casos, não estão cobertas
pelos coeficientes de segurança.
Os pilares são elementos altamente sensíveis às imperfeições geométricas!
Muito embora as imperfeições geométricas gerem repercussão em toda a estrutura,
nos pilares a influência é muito mais significativa. E, por isso, os mesmos precisam ser
adequadamente dimensionados de modo a resistir, dentro de certa tolerância, às
solicitações extras devido ao aparecimento destes desvios.
É obrigatório considerar as imperfeições geométricas no cálculo de pilares de edifícios
de concreto armado.
A NBR 6118:2003, item 11.3.3.4 “Imperfeições geométricas”, divide as imperfeições
geométricas em dois grupos:
Imperfeições geométricas globais.
Imperfeições geométricas locais.
Imperfeições geométricas globais
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As imperfeições globais se referem ao edifício como um todo, ou seja, é como se a
estrutura inteira ficasse inclinada (em desaprumo) para uma dos lados, ocasionando
esforços adicionais principalmente nas vigas e nos pilares, devido à presença das
cargas verticais.
A NBR 6118:2003, item 11.3.3.4.1 “Imperfeições geométricas globais”, define que o
desaprumo global não deve ser superposto ao efeito do vento e deve ser considerado
apenas quando for mais desfavorável que o mesmo.
De maneira geral, pode-se dizer que o desaprumo global somente é mais
desfavorável que o vento em edificações baixas submetidas a cargas verticais
elevadas (ex: construções industriais).
Em edifícios mais altos, normalmente o vento é preponderante, muito embora existam
casos particulares na qual esta afirmação não se confirme (ex: edifício com uma face
delgada na qual a pressão de vento é muito baixa).
Os efeitos das imperfeições geométricas globais são calculados por meio de modelos
que contemplam toda a estrutura, como por exemplo, um pórtico espacial. Há
diversas maneiras de simular a presença do desaprumo global. Uma delas é aplicar
momentos nos nós a partir do deslocamento da força vertical gerado pela rotação a.
Uma outra possibilidade é inclinar toda a geometria da estrutura por a. Essas duas
opções são similares.
Imperfeições geométricas locais
As imperfeições geométricas locais referem-se basicamente aos pilares de um edifício,
ocasionando esforços adicionais aos mesmos, devido à presença da carga normal de
compressão.
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O efeito dessa imperfeição geométrica gerada pela rotação 1 não é simples de ser
calculado, uma vez que é difícil definir a sua direção e o seu sentido crítico de
atuação. Usualmente, nos sistemas computacionais, o que se faz é considerar as
imperfeições nas duas direções principais, por meio da definição de excentricidades
adicionais.
A NBR 6118:2003, em seu item 11.3.3.4.3, permite que o efeito das imperfeições
geométricas locais em um lance de pilar seja substituído, em estruturas reticuladas,
pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem (M1d,mín), cujo valor é obtido pela
seguinte fórmula:
).03,0015,0.(,1 hNM Sdmínd
sendo: NSd a força normal solicitante com o seu valor de cálculo e h a altura da seção
na direção analisada, em metros.
Aplicação do momento mínimo de primeira ordem
A formulação do momento mínimo de 1ª ordem tem origem na norma americana,
enquanto que a definição das imperfeições por meio do ângulo 1 vem do código
europeu.
No Brasil, após a entrada em vigor da NBR 6118:2003 que possibilita o uso de ambas as
formulações, é mais comum o uso do M1d,mín, muito embora a aplicação do 1
também seja válida.
Embora a fórmula do momento mínimo de 1ª ordem seja extremamente simples,
muitas dúvidas com relação à sua aplicação surgiram no meio técnico. Na
publicação que contém comentários da NB-1, publicada pelo Ibracon, há uma
explanação de como aplicar o M1d,mín que parece ser bastante defensável e
coerente.
Estudaremos com detalhes como aplicar o M1d,mín mais adiante.
OBS.: na extinta NBR 6118:1980, as imperfeições geométricas locais eram consideradas
por meio de uma excentricidade adicional, cujo valor era o maior entre 2cm ou h/30.
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6.2.3 Esforços de 2ª ordem
Efeitos de 2ª ordem são efeitos adicionais à estrutura gerados quando o equilíbrio da
mesma é tomado na sua posição deformada. Esses efeitos são reais, e podem ser
grandes ou pequenos.
A NBR 6118:2003, item 15.2, permite desprezar os efeitos de segunda ordem somente
após a constatação de que a magnitude dos mesmos não represente um acréscimo
de 10% nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura.
A NBR 6118:2003, item 15.4.1, classifica os efeitos de segunda ordem presentes numa
estrutura de concreto em três tipos:
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Muito embora ocorram de forma simultânea no edifício, os efeitos globais, locais e
localizados de segunda ordem comumente são calculados de forma separada,
conforme sintetiza a figura a seguir:
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6.2.4 Esforços globais de 2ª ordem
Os esforços globais de 2ª ordem estão relacionados ao edifício como um todo, isto é,
ao conjunto completo formado pelos pilares, pelas vigas e lajes da estrutura. Ex: um
edifício submetido à ação do vento desloca-se horizontalmente. Com isso, geram-se
esforços adicionais nesses elementos devido à presença simultânea de cargas
verticais (peso próprio + sobrecarga), chamados de efeitos globais de 2ª ordem.
Processos de cálculo
Os esforços globais de segunda ordem podem ser calculados de duas formas:
Análise aproximada pelo coeficiente z, válida para estruturas com mais de três
andares com coeficiente z ≤ 1,3.
Análise não-linear P-.
Não-linearidade física
A NBR 6118:2003, seção 15 “Instabilidade e efeitos de 2ª ordem”, item 15.7.3, permite
definir uma rigidez aproximada em vigas, pilares e lajes na análise dos esforços globais
de 2ª ordem em estruturas reticuladas com no mínimo quatro andares. Exemplo: em
edifícios modelados por pórtico espacial que atendam essa última condição, pode-se
adotar, de forma aproximada, EIsec = 0,4.Eci.Ic nas vigas e EIsec = 0,8.Eci.Ic nos pilares.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 63
E, para estruturas com menos de quatro andares? O que fazer? Posso adotar os
mesmos valores? Por que essas reduções são recomendadas somente para estruturas
com no mínimo quatro andares?
Essa restrição foi definida na norma devido à falta de estudos específicos para este
tipo de estrutura, onde, dependendo do nível de solicitação, no Estado Limite Último
(ELU), as rigidezes nas vigas, e principalmente nos pilares, podem atingir valores bem
inferiores aos especificados de forma aproximada. Nesse caso, com a adoção das
reduções de rigidez definidas anteriormente, os efeitos de 2ª ordem seriam
subestimados. E, portanto, a análise estaria contra a segurança.
Atualmente, existem pesquisas direcionadas para análise deste assunto. Em breve,
teremos uma possível resposta para esta questão.
Neste momento, a única afirmação que se pode fazer é que a não-linearidade física
em estruturas com menos de quatro andares deve obrigatoriamente ser sempre
considerada. E que, na impossibilidade de definição de valores de redução de rigidez
mais precisos (obtidos por meio de diagramas momento-curvatura), os mesmos devem
ser estimados com precaução, priorizando sempre um cálculo a favor da segurança.
Análise não-linear geométrica e coeficiente f3
Seja na análise P- como no cálculo por meio do coeficiente z, pode ser considerada
a formulação de segurança em que se calculam os efeitos de 2ª ordem das cargas
majoradas de f/f3, que posteriormente são majorados de f3.
Em estruturas com comportamento não-linear, como no caso de um edifício de
concreto armado, o cálculo com f3 = 1,1 resulta em valores finais menores quando
comparados com a aplicação direta de f = 1,4 (f3 = 1,0).
No capítulo anterior “Coeficiente f3”, foi possível constatar a afirmação acima por
meio de um exemplo no qual utilizamos a análise P-. No caso do uso do coeficiente
z, sua formulação deve ser adaptada então da seguinte forma:
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Eng. Alio Ernesto Kimura 64
3,,1
, 11
1
fdtot
dtot
z
M
M
, com f3 = 1,0 ou f3 = 1,1.
Note que, para f3 = 1,1 o valor do coeficiente z obtido é menor do que quando
adotado f3 = 1,0.
Efeitos globais nos pilares
A análise global em 2ª ordem gera efeitos adicionais tanto nas vigas como nos pilares.
Na modelagem global usualmente adotada para o cálculo de edifícios de concreto
armado, como por exemplo, o pórtico espacial, a influência dos efeitos globais de 2ª
ordem se concentra no topo e na base de cada lance de pilar, uma vez que cada
um desses trechos é discretizado com apenas um único elemento (barra).
6.2.5 Esforços locais de 2ª ordem
Os efeitos locais de 2ª ordem estão relacionados a uma parte isolada da estrutura. Ex:
um lance de pilar sob a atuação de momentos fletores no seu topo e na sua base se
deforma. Com isso, geram-se efeitos adicionais devido à presença simultânea da
carga normal de compressão, chamados de efeitos locais de 2ª ordem.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 65
Efeitos locais nos pilares
No item 15.7.4 da NBR 6118:2003, tem-se:
“A análise global de 2ª ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras,
devendo ser realizada uma análise dos efeitos locais de 2ª ordem ao longo dos eixos das barras
comprimidas, ...”
“Os elementos isolados, para fins da verificação local, devem ser formados pelas barras
comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento le, ..., porém aplicando-se às suas
extremidades os esforços obtidos através da análise global de 2ª ordem.”
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 66
Comprimento le
Na análise dos efeitos locais de 2ª ordem, é fundamental definir corretamente o
comprimento equivalente le.
No item 15.6 da NBR6118:2003, ”Análise de estruturas de nós fixos”, é apresentado uma
formulação qual pode-se reduzir o valor do comprimento equivalente dependendo
dos vínculos em seus extremos. Porém, o cálculo segundo esse item somente deve ser
adotado quando os elementos de travamento do lance do pilar estiverem muito bem
definidos.
Veja o exemplo a seguir.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 67
É fácil perceber que o topo do pilar não está
travado pela viga segundo a direção de
menor rigidez.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 68
Índice de esbeltez limite 1
Partindo do princípio básico de que os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados
desde que a magnitude dos mesmos seja inferior a 10% da resposta total, a NBR
6118:2003, em seu item 15.8.2 “Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem”,
estabelece um índice de esbeltez limite calculado pela seguinte fórmula:
90.5,1225
35
1
1
b
he
Essa é uma das grandes melhorias da atual norma de concreto em relação à anterior
NBR 6118:1980, que fixava um valor limite constante igual a 40.
Além de depender da excentricidade relativa e1/h, o valor de 1 é altamente
influenciado pelo coeficiente b, que procura levar em conta o tipo de vinculação nos
extremos do pilar, bem como a forma do diagrama de momentos fletores.
O coeficiente b é calculado da seguinte forma:
a) 0,1.4,06,04,0 A
Bb
M
M para pilares biapoiados sem cargas transversais,
sendo MA o maior valor absoluto do momento fletor ao longo do pilar e MB o momento
na outra extremidade, com sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e
negativo em caso contrário.
b) 0,1.2,08,085,0 A
C
bM
M para pilares engastados, sendo MA o momento no
engaste e MC o momento na meio do pilar em balanço.
c) 0,1b para pilares com momentos inferiores ao M1d,mín ou pilares biapoiados com
cargas transversais significativas.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 69
A expressão definida em (a) equivale a dizer
AB MM .5,0 , ou seja, o momento com o
valor menor (MB) deve ser no mínimo maior
que metade do momento maior (MA) com
sinal invertido. Veja, ao lado, um exemplo:
Vinculações no topo e na base
As condições de vinculação no topo e na base do lance do pilar é extremamente
relevante na avaliação dos efeitos locais de 2ª ordem. Por exemplo, um pilar com 3 m
de pé-direito, biapoiado, terá resultados bastante distintos se considerado apenas
engastado na base.
Atualmente, nos processos de cálculo usuais, apenas duas condições de vinculações
são consideradas, biarticulado e engastado na base, muito embora, na vida real, um
lance de pilar imerso no interior da estrutura de um edifício se comporte de forma
intermediária entre ambas situações.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 70
Talvez, essa seja a mais exagerada de todas as aproximações que levamos em conta
durante o cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem. Quem sabe, num futuro próximo,
possamos melhorar essa análise de forma a retratar as vinculações no topo e na base
de cada lance de forma um pouco mais fiel com realidade.
Processos de cálculo
Basicamente, os efeitos locais de 2ª ordem podem ser calculados de duas maneiras:
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 71
Método aproximado em que as não-linearidades física e geométrica são
tratadas de forma simplificada.
Método refinado, chamado de Método Geral, em que as não-linearidades são
tratadas de forma não-aproximada.
A NBR 6118:2003 dispõe de três métodos aproximados além de permitir o uso do
método geral, que serão estudados com detalhes mais adiante.
Também pode ser considerada a formulação de segurança em que se calculam os
efeitos de 2ª ordem das cargas majoradas de f/f3, que posteriormente são majorados
de f3.
6.2.6 Esforços localizados de 2ª ordem
Os efeitos localizados de 2ª. ordem referem-se a uma região específica de um
elemento onde se concentram tensões. Ex: um pilar-parede sob a atuação de
momento fletor segundo sua direção mais rígida se deforma mais em uma de suas
extremidades (região comprimida). Com isso, geram-se efeitos adicionais devido à
presença da carga normal de compressão nesta região, chamados de efeitos
localizados de 2ª ordem.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 72
A consideração ou não desses efeitos, bem como a metodologia de cálculo dos
mesmos têm sido alvo de uma intensa discussão no meio técnico.
O que se pode afirmar com absoluta certeza é de que trata de um tema que
necessita ser mais bem estudado e avaliado, seja por meio de pesquisas baseadas em
modelagens numéricas como em ensaios em laboratório.
A análise dos efeitos localizados de 2ª ordem em pilar-parede, bem como sua
influência na determinação das armaduras transversais será estudada com detalhes
mais adiante.
6.2.7 Esforços devido à fluência
A fluência, ou seja, o acréscimo de deformações no concreto ao longo do tempo sob
a aplicação de uma tensão constante, gera esforços adicionais no lance de pilar em
virtude do aumento de deslocamentos.
A NBR 6118:2003, item 15.8.4 “Consideração da fluência”, indica a necessidade do
cálculo de efeitos gerados pela deformação lenta em pilares cuja esbeltez for superior
a 90, por meio de uma formulação aproximada que adiciona uma excentricidade ecc
na análise.
(Correção da 1ª ordem)
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 73
Como o próprio texto normativo deixa bem claro, trata-se de uma maneira
aproximada de considerar a fluência. Dessa forma, não se pode exigir uma precisão
absoluta em relação ao comportamento real de um pilar de concreto armado.
Outro processo
Um outro processo bastante interessante se baseia na correção da curvatura da
seção em função dos acréscimos de deformações no concreto, influenciando de
forma direta na obtenção da rigidez secante EIsec a partir do diagrama N, M, 1/r.
Veja o exemplo a seguir de uma seção com os seguintes dados:
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 74
Seção 30 cm x 60 cm
Armadura composta de 16 20 mm
Concreto C30, c = 1,4
Aço CA50, s = 1,15
Para uma força normal de cálculo igual a 200 tf e, inicialmente, sem admitir o efeito
da fluência, temos:
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 75
A rigidez secante obtida pelo diagrama N, M, 1/r é de 2183,0 tf.m2.
Agora, considerando um coeficiente de fluência igual a 1,5, veja como essa rigidez é
alterada.
A rigidez secante obtida para a mesma seção se reduz para 1174,7 tf.m2.
Esse processo não é largamente utilizado na prática, e precisa ser melhor testado.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 76
7 Efeitos locais de 2ª ordem
A revisão dos conceitos sobre as não-linearidades presentes em estruturas de concreto
armado (momento-curvatura, coeficiente f3, ...) realizada no início deste curso não foi
feita à toa, visto que no cálculo dos efeitos locais de segunda ordem, duas questões
são a chave para a solução do problema:
Como considerar a não-linearidade física (NLF)?
Como considerar a não-linearidade geométrica (NLG)?
Em outras palavras, na análise de um lance de pilar, temos duas perguntas principais a
responder:
Qual rigidez EI deve ser considerada?
Como se deformará o pilar à medida que o carregamento é aplicado?
Para cada uma dessas questões existem soluções distintas, umas mais aproximadas e
outras que tratam o problema de forma mais refinada. Daí é que surgem os diferentes
métodos presentes na NBR 6118:2003.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 77
NBR 6118:2003
A NBR 6118:2003 permite o uso de 4 métodos para análise local de 2ª ordem. São eles:
Os três primeiros métodos são considerados processos aproximados e são descritos no
item 15.8.3.3 da NBR 6118:2003, enquanto que o Método geral, como a própria
nomenclatura já deixa meio evidente, é um processo mais abrangente e sofisticado.
Vale lembrar que na extinta NBR 6118:1980 havia apenas um método disponível, o
pilar-padrão com curvatura aproximada, cuja formulação era praticamente similar à
atual.
Cada um desses métodos possui limitações próprias, e por isso, podem ser aplicados
desde que a esbeltez do pilar esteja dentro de um certo patamar. Evidentemente, os
processos aproximados possuem uma limitação maior.
Estudaremos cada um desses métodos detalhadamente mais adiante.
Esbeltez limite
Os métodos do pilar-padrão com 1/r aproximada e pilar-padrão com aproximada
podem ser utilizados em pilares com esbeltez máxima igual a 90. O método do pilar-
padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r é limitado para uma esbeltez máxima de 140.
O método geral, por sua vez, pode ser usado até um limite de 200.
Acima desse valor, a norma não permite o uso de nenhum método, a não ser em
casos de postes onde a força normal de compressão é baixa.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 78
Representação em planta
Independente do método a ser aplicado na análise dos efeitos locais de 2ª ordem, é
muito importante “enxergar” com clareza a influência dos mesmos no comportamento
de um pilar.
Para isso, vamos recorrer ao uso da representação em planta.
Seja um pilar submetido a uma flexão composta oblíqua, com esforços de 1ª ordem
apresentados na figura a seguir.
Como a variação dos momentos de 1ª ordem entre o topo e a base é linear em
ambas as direções, fica então definida uma reta na representação em planta.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 79
Adotando-se um método geral para calcular o pilar, é possível então perceber que os
efeitos locais de 2ª ordem tendem a gerar esforços adicionais no sentido levar o
mesmo à ruína (ELU), conforme mostra a figura a seguir.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 80
Os efeitos de 2ª ordem tendem a levar os esforços totais ao longo do lance para fora
da curva resistente, na direção crítica onde o pilar é mais esbelto.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 81
7.1 Métodos aproximados
Antes mesmo de iniciar o estudo da formulação de cada um dos métodos
aproximados, pela própria nomenclatura dos mesmos é possível tirar algumas
conclusões prévias. Note que os três processos aproximados fazem o uso de um termo
comum: “pilar-padrão”.
O que é pilar-padrão?
Conforme já sabemos, o cálculo da deformada do lance de um pilar à medida que o
carregamento é aplicado sobre o mesmo, é um dos desafios presentes na análise
local em 2ª ordem. Como tratar a não-linearidade geométrica num lance de pilar?
O método do pilar-padrão consiste numa aproximação que pressupõe que a
deformada final do pilar será representada por uma curva senoidal. Existem inúmeros
estudos que comprovam a eficiência dessa simplificação, válida até um determinado
limite de esbeltez.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 82
Uma vez definida a forma final do lance do pilar (senóide), é possível então chegar a
uma solução analítica para o problema da não-linearidade geométrica, obtendo-se
expressões relativamente simples que podem ser utilizadas no cálculo do pilar.
Dessa forma, conclui-se que os três processos aproximados presentes na NBR
6118:2003, tratam a não-linearidade geométrica (NLG) de forma idêntica.
O que diferencia um método aproximado do outro é justamente as diferentes
maneiras de considerar a outra não-linearidade, a física (NLF).
Pilar-padrão melhorado
O método do pilar-padrão comum considera toda a deformação do pilar (1ª ordem +
2ª ordem) como sendo uma curva senoidal. Existe também o método do pilar-padrão
melhorado em que apenas a deformada de 2ª ordem é considerada senoidal. Esse
último processo não será objeto de estudo nesse curso.
7.1.1 Pilar-padrão com 1/r aproximada
Aplicabilidade
Esse método pode ser empregado apenas para pilares com ≤ 90, seção constante e
armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 83
Não-linearidade geométrica
Admite-se que a deformação da barra seja senoidal (pilar-padrão).
Não-linearidade física
A rigidez do lance do pilar é obtida por meio da definição de uma curvatura
aproximada na seção crítica.
Formulação
A formulação é extremamente simples e possibilita o cálculo manual. O momento total
(1ª ordem + 2ª ordem) máximo no pilar é calculado pela seguinte expressão:
Ad
e
dAdbtotd Mr
lNMM ,1
2
,1,
1.
10.. , sendo
hhr
005,0
)5,0.(
005,01
onde:
cdc
Sd
fA
N
. e míndAd MM ,1,1
O momento de 2ª corresponde à parcela Nd.(le2/10).(1/r).
Note que não é necessário conhecer previamente a armadura do pilar para aplicar as
fórmulas acima.
7.1.2 Pilar-padrão com aproximada
Aplicabilidade
O método do pilar-padrão com rigidez aproximada pode ser adotado na análise de
pilares retangulares com ≤ 90, com armadura simétrica e constante ao longo de
seu eixo.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 84
Não-linearidade geométrica
Admite-se que a deformação da barra seja senoidal (pilar-padrão).
Não-linearidade física
A não-linearidade física no lance do pilar é considerada por meio de uma expressão
aproximada para rigidez, cuja dedução foi obtida durante a tese de doutoramento
do prof. Ricardo França.
O valor da rigidez é tomado de forma adimensional e é denominado de rigidez
(“kapa”).
Formulação
Assim como o método do pilar-padrão com 1/r aproximada, a formulação do pilar-
padrão com aproximada é simples e possibilita o cálculo manual.
Segundo a formulação apresentada na NBR 6118:2003, o cálculo do momento total
máximo MSd,tot deve ser realizado de forma iterativa em função da rigidez
adimensional , de acordo com as seguintes fórmulas:
/.1201
.2
,1
,
AdSb
totSd
MM
..
.51.32,
Sd
totSd
Nh
M
O momento de 2ª ordem é calculado por uma amplificação da 1ª (b.MS1d,A).
Note que não é necessário conhecer previamente a armadura do pilar para aplicar as
fórmulas acima.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 85
PP com 1/r aproximada X PP com rigidez aproximada
Aparentemente, a formulação acima é bastante distinta da formulação do método
do pilar-padrão com 1/r aproximada. No entanto, a única diferença se concentra na
consideração na não-linearidade física, ora adotando um valor aproximado para 1/r,
ora um valor aproximado para rigidez ().
Veremos, mais adiante, que para valores equivalentes de 1/r e rigidez, o resultado final
(MSd,tot) é o mesmo, comprovando que a aproximação pela curva senoidal (pilar-
padrão) é similar em ambos os métodos.
Cálculo direto sem a necessidade de iterações
Conforme já observado, a formulação do método do pilar-padrão com rigidez
aproximada presente na NBR 6118:2003 prevê um processo iterativo, pois a fórmula do
MSd,tot depende de , que por sua vez possui uma expressão dependente de MSd,tot.
Embora a convergência do método não seja demasiadamente trabalhosa,
necessitando normalmente de até 3 ou 4 iterações, pode-se também utilizar uma
formulação que evita o processo iterativo.
Substituindo a equação ..
.51.32,
Sd
totSd
Nh
M em
/.1201
.2
,1
,
AdSb
totSd
MM
e considerando AdSbdS MM ,11 . , obtém-se:
0.. ,
2
, CMBMA totSdtotSd , onde:
dSSd
dS
eSd
Sd
MhNC
MhlN
NhB
hA
1
2
1
2
2
..
..5320
..
.5
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 86
O momento total final é dado então por:
A
CABBM totSd
.2
..42
,
sendo: h a altura da seção na direção analisada, le o comprimento equivalente do
lance do pilar, NSd a força normal solicitante com seu valor de cálculo e MS1d o
momento solicitante de 1ª ordem na seção considerada com o seu valor de cálculo.
A formulação que possibilita o cálculo direto sem a necessidade de iterações que
acaba de ser apresentada gera, obviamente, resultados compatíveis com o processo
iterativo.
7.1.3 Pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r
Aplicabilidade
Esse método pode ser empregado apenas para pilares com ≤ 140.
Não-linearidade geométrica
Admite-se que a deformação da barra seja senoidal (pilar-padrão).
Não-linearidade física
A não-linearidade física é considerada por meio da obtenção da rigidez no diagrama
N, M, 1/r proposto pela NBR 6118:2003, conforme mostra a figura a seguir.
Note que há uma relação entre a rigidez secante EIsec e a rigidez adimensional .
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 87
Muito embora tenha o mesmo nome da rigidez adimensional calculada no método do
pilar-padrão com rigidez aproximada, essa rigidez obtida pelo diagrama (rigidez
acoplada ao diagrama N, M, 1/r) é mais precisa. Poderíamos dizer que se trata de
uma rigidez “mais refinada e real”.
Formulação
O momento total máximo MSd,tot é calculado exatamente pela mesma fórmula do
método do pilar-padrão com rigidez aproximada:
/.1201
.2
,1
,
AdSb
totSd
MM
No entanto, deve-se ficar bem claro que o valor da rigidez a ser utilizado na fórmula
é o obtido pelo diagrama normal-momento-curvatura, e não a rigidez aproximada.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 88
Quando se faz o uso do coeficiente f3, a fórmula para obtenção do momento total
fica assim:
/..1201
.
3
2
,1
,
f
AdSb
totSd
MM
Duas observações muito importantes com relação ao método do pilar-padrão
acoplado ao diagrama N, M, 1/r:
Trata-se de um método que, na prática, somente é viável com o uso de um
computador, pois como vimos no início deste curso, a montagem do diagrama N, M,
1/r é extremamente complicada de ser realizada manualmente.
É necessário que a armadura existente no lance do pilar seja previamente
conhecida, pois não há diagrama N, M, 1/r sem armadura definida! Ou seja, o
processo de dimensionamento é realizado por um processo iterativo de verificações.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 89
7.1.4 Resumo
A tabela a seguir apresenta um resumo das principais características de cada um dos
métodos aproximados.
Pilar-padrão com
1/r aproximada
Pilar-padrão com
rigidez aproximada
Pilar-padrão acoplado
a diagrama N, M, 1/r
Item da NBR 6118 15.8.3.3.2 15.8.3.3.3 15.8.3.3.4
NLG Pilar-padrão Pilar-padrão Pilar-padrão
NLF hhr
005,0
)5,0.(
005,01
.
..51.32
,
Sd
totSd
Nh
M
cdc fhA
EI
.. 2
sec
Esbeltez limite ≤ 90 ≤ 90 ≤ 140
Cálculo manual Sim Sim Não
Necessita As
conhecido Não Não Sim
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 90
7.1.5 Exemplo 1
Vamos resolver um exemplo que está presente nos comentários da NB-1. Trata-se do
mesmo pilar em que estudamos a verificação do M1d,mín anteriormente, cujos dados
são apresentados a seguir.
cmb 20 e cmh 60
3,1760
300.12.12
h
le
x
0,5220
300.12.12
b
le
y
Apenas para relembrar, as envoltórias mínimas já calculadas são:
Note que, em torno da direção menos rígida (em torno do eixo y), o dimensionamento
deve conduzir um momento resistente MRd maior que 7,12 tf.m.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 91
Serão estudados três casos de flexão composta normal em torno da direção menos
rígida, com distribuição de momentos fletores distintos ao longo do pilar.
Os esforços locais de 2ª ordem serão calculados pelo método do pilar-padrão com
rigidez aproximada.
7.1.5.1 Caso 1
O pilar está submetido a momentos fletores que atuam no topo e na base em sentidos
opostos, com MS1d,A > M1d,mín.
A. Cálculos iniciais
mtfM AdS .0,10,1
mtfM BdS .5,3,1
mtfbM mínd .41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1
Como míndAdS MM ,1,1 : 46,010
5,3.4,06,0.4,06,0
,1
,1
AdS
BdS
bM
M
_________________________________________
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 92
8,6046,0
2,0
210/10.5,1225
/.5,1225.5,1225
,11
1
b
SdAdS
b
b
NM
b
e
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem
Como 8,600,52 1 , não é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem.
C. Esforços finais para dimensionamento
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua
resistência ),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir.
C.1 Esforços mínimos
tfNSd 210 ; mtfM Sdx .93,6 ; mtfM Sdy .0,0
tfNSd 210 ; mtfM Sdx .0,0 ; mtfM Sdy .12,7
C.2 Flexão normal no topo do pilar
tfNSd 210 ; mtfM Sdy .5,3
C.3 Flexão normal na base do pilar
tfNSd 210 ; mtfM Sdy .0,10
D. Representação em planta
A representação dos esforços em planta é apresentada a seguir.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 93
7.1.5.2 Caso 2
O pilar está submetido a momentos fletores que atuam no topo e na base em mesmos
sentidos, com MS1d,A > M1d,mín.
A. Cálculos iniciais
mtfM AdS .0,10,1
mtfM BdS .0,7,1
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 94
mtfbM mínd .41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1
Como míndAdS MM ,1,1 : 88,010
7.4,06,0.4,06,0
,1
,1
AdS
BdS
bM
M
0,35358,3188,0
2,0
210/10.5,1225
/.5,1225.5,1225
1
,11
1
b
SdAdS
b
b
NM
b
e
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem
Como 0,350,52 1 , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem.
Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez aproximada,
tem-se:
mtfMM AdSbdS .8,80,10.88,0. ,11
0,12,0.5.5 bA
3,68,8.2,0.5320
3.210210.2,0..5
320
..
22
1
2
2 dS
eSd
Sd MblN
NbB
9,738,8.2,0.210.. 2
1
2 dSSd MbNC
mtfA
CABBM totSd .31,12
0,1.2
9,73.0,1.43,63,6
.2
..422
,
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3:
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 95
5,64817,0.210.2,0
31,12.51.32.
..51.32
,
Sd
totSd
Nb
M
!3,12
817,0/5,64.120
0,521
8,8
/.1201
22
1
, OKM
M dS
totSd
C. Esforços finais para dimensionamento
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua
resistência ),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir.
C.1 Esforços mínimos
tfNSd 210 ; mtfM Sdx .93,6 ; mtfM Sdy .0,0
tfNSd 210 ; mtfM Sdx .0,0 ; mtfM Sdy .12,7
C.2 Flexão normal no topo do pilar
tfNSd 210 ; mtfM Sdy .0,7
C.3 Flexão normal na base do pilar
tfNSd 210 ; mtfM Sdy .0,10
C.4 Flexão normal entre o topo e a base do pilar
tfNSd 210 ; mtfM Sdy .31,12
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 96
D. Representação em planta
A representação dos esforços em planta é apresentada a seguir.
7.1.5.3 Caso 3
O pilar está submetido a momentos fletores que atuam no topo e na base em mesmos
sentidos, com b.MS1d,A < M1d,mín.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 97
A. Cálculos iniciais
mtfM AdS .5,4,1
mtfM BdS .0,4,1
mtfbM mínd .41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1
Como míndAdS MM ,1,1 : 96,05,4
4.4,06,0.4,06,0
,1
,1
AdS
BdS
bM
M
0,35356,2796,0
2,0
210/5,4.5,1225
/.5,1225.5,1225
1
,11
1
b
SdAdS
b
b
NM
b
e
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem
Como 0,350,52 1 , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem.
Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez aproximada,
tem-se:
mtfMM AdSbdS .3,45,4.96,0. ,11
0,12,0.5.5 bA
8,13,4.2,0.5320
3.210210.2,0..5
320
..
22
1
2
2 dS
eSd
Sd MblN
NbB
1,363,4.2,0.210.. 2
1
2 dSSd MbNC
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 98
mtfA
CABBM totSd .98,6
0,1.2
1,36.0,1.48,18,1
.2
..422
,
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3:
9,47817,0.210.2,0
98,6.51.32.
..51.32
,
Sd
totSd
Nb
M
!0,7
817,0/9,47.120
0,521
3,4
/.1201
22
1
, OKM
M dS
totSd
C. Esforços finais para dimensionamento
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua
resistência ),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir.
C.1 Esforços mínimos
tfNSd 210 ; mtfM Sdx .93,6 ; mtfM Sdy .0,0
tfNSd 210 ; mtfM Sdx .0,0 ; mtfM Sdy .12,7
C.2 Flexão normal no topo do pilar
tfNSd 210 ; mtfM Sdy .0,4
C.3 Flexão normal na base do pilar
tfNSd 210 ; mtfM Sdy .5,4
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 99
C.4 Flexão normal entre o topo e a base do pilar
tfNSd 210 ; mtfM Sdy .98,6
D. Representação em planta
A representação dos esforços em planta é apresentada a seguir.
Note que, nesse caso, o esforço final crítico, apesar de existir 2ª ordem entre o topo e a
base (ponto M), continuou a ser o esforço mínimo decorrente do M1d,mín.
7.1.6 Exemplo 2
Neste exemplo, vamos fazer um primeiro comparativo entre os métodos aproximados.
Vamos calcular um pilar submetido a uma flexão composta normal pelos métodos do
pilar-padrão com curvatura aproximada, pilar-padrão com rigidez k aproximada e
pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r.
Toda resolução será acompanhada com o uso de um sistema computacional.
Os dados do pilar são mostrados na figura a seguir.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 100
A. Cálculos iniciais
7,8825,0
4,6.12
8,4AM ; 4,2BM
9,125,0.03,0015,0.84,1 míndM
4,08,4
4,2.4,06,0
b
6,694,0
25,0
84/8,4.5,1225
1
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 101
Como > 1, é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem.
Como < 90, pode-se adotar qualquer um dos métodos aproximados.
Não verificaremos o M1d,mín com o intuito de focar a análise da 2ª ordem.
B. Pilar-padrão com curvatura aproximada
36,0
4,1
2000.65,0.25,0
84
02,0
r
102,0
25,0
005,0023,0
5,036,0.25,0
005,0
r
1
mtfM totSd .8,802,0.10
4,6.848,4.4,0
2
,
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 102
Note que:
A parcela referente à 2ª ordem corresponde a r
lN e
d
1.
10.
2
.
O coeficiente b procura determinar o ponto entre o topo e a base do lance
onde ocorrerá o efeito local de 2ª ordem mais desfavorável.
Foi possível realizar todos os cálculos manualmente, sem conhecer a armadura
do pilar.
C. Pilar-padrão com aproximada
25,125,0.5 A
9,78,4.4,0.25,0.5320
4,6.8484.25,0
22 B
1,108,4.4,0.25,0.84 2 C
mtfM totSd .41,725,1.2
1,10.25,1.49,79,7 2
,
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3:
3236,0.84.25,0
41,7.51.32
!41,7
36,0/32.120
7,881
8,4.4,02, OKM totSd
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 103
Note que:
A parcela referente à 2ª ordem corresponde a AbtotSd MM ., .
O coeficiente b procura determinar o ponto entre o topo e a base do lance
onde ocorrerá o efeito local de 2ª ordem mais desfavorável.
Foi possível realizar todos os cálculos manualmente, sem conhecer a armadura
do pilar.
D. Pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r
Esse método prevê o uso da rigidez secante obtida pelo diagrama N, M, 1/r, que
somente é viável com o uso de computador.
É necessário, portanto, predefinir uma configuração de
armadura. Como exemplo, vamos adotar 6 12,5 mm.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 104
O diagrama N, M, 1/r para a armadura adotada, NSd = 84tf e f3 = 1,0 é apresentado a
seguir.
Note que:
O momento resistente último MRd na direção analisada é de 8,4 tf.m.
A rigidez obtida pelo diagrama (34,6) é maior que a rigidez aproximada
(32,0).
O momento total aplicando a rigidez obtida pelo normal-diagrama momento-
curvatura é:
mtfM totSd .1,6
36,0/6,34.120
7,881
8,4.4,02,
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 105
Note que:
A parcela referente à 2ª ordem corresponde a AbtotSd MM ., .
O coeficiente b procura determinar o ponto entre o topo e a base do lance
onde ocorrerá o efeito local de 2ª ordem mais desfavorável.
Foi necessário usar o computador para montar o diagrama N, M, 1/r.
Foi necessário predefinir uma armadura para calcular os efeitos locais de 2ª
ordem.
E. Conclusões
A primeira observação importante é que por meio dos dois primeiros métodos, pilar-
padrão com 1/r aproximada e pilar-padrão com rigidez aproximada, foi possível
efetuar toda a análise manualmente, e sem o conhecimento prévio das armaduras.
Isso possibilita na prática, quando um pilar necessita ser analisado para uma série de
combinações de esforços, executar uma montagem prévia de todos os
carregamentos (1ª ordem + 2ª ordem), antes de dimensionar as armaduras.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 106
E por isso, é comum nos sistemas computacionais ter disponível uma listagem
chamada “montagem de carregamentos”, quando se faz o uso de um desses
métodos (1/r ou aproximada).
Veja, a seguir, um exemplo.
Note a existência do momento total MSd,tot = 7,41 tf.m, calculado pelo pilar-padrão
com rigidez aproximada.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 107
Ao contrário de tudo isso, quando se usa o método do pilar-padrão acoplado a
diagrama N, M, 1/r, não é possível montar essa listagem prévia de carregamento, pois
os esforços finais dependem da armadura.
Nesse caso, o processo de dimensionamento é iterativo. Define-se previamente uma
armadura e analisa-se o pilar sucessivamente, até a obtenção de uma armadura
necessária.
Isso torna, obviamente, o processamento mais oneroso. Porém, com o enorme avanço
no desenvolvimento de subrotinas matemáticas poderosas e eficientes (atreladas a
inúmeros métodos numéricos), tornou-se possível utilizar o método do pilar-padrão
acoplado a diagrama N, M, 1/r na prática, durante a elaboração de projetos
estruturais de edifícios de concreto armado.
Para finalizar, é importante lembrar que para uma configuração de armadura de 6
12,5 mm, o momento resistente último MRd foi de 8,4 tf.m.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 108
Note que como variou momento total final com 2ª ordem utilizando a representação
de esforços em planta.
Nesse caso, se for adotado o método do pilar-padrão com 1/r aproximada, o pilar não
passa, e a armadura tem que ser aumentada.
Isso mostra uma tendência de que os métodos do pilar-padrão com rigidez
aproximada e pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r gerem um
dimensionamento mais econômico perante a aplicação do método do pilar-padrão
com 1/r aproximada (que era então o único disponível na NBR 6118:1980).
Faremos um comparativo mais detalhado entre os métodos, inclusive o método geral,
mais adiante.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 109
Nota importante
Para efeito de dimensionamento desse pilar, é importante lembrar que a verificação
do M1d,mín é obrigatória. Esse cálculo não foi realizado nesse exemplo, pois o objetivo
era focar apenas a análise dos efeitos locais de 2ª ordem.
Curvatura 1/r e rigidez equivalentes
Na NBR 6118:2008, item 15.8.3.3.3, o método do pilar-padrão acoplado a diagramas N,
M, 1/r é definido da seguinte forma:
“A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares com ≤140 pode ser feita pelo
método do pilar-padrão ou pilar-padrão melhorado, utilizando-se para a curvatura da seção
crítica valores obtidos de diagramas N, M, 1/r específicos para o caso.”
Pois bem, ao aplicar esse método no exemplo, inicialmente calculamos a rigidez pelo
diagrama normal-momento-curvatura mostrado a seguir.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 110
E, depois, aplicamos a fórmula na qual o momento fletor final (1ª ordem + 2ª ordem) é
calculado em função da rigidez secante obtida (502,3 tf.m2 ou = 34,6).
/.1201
.2
,1
,
AdSb
totSd
MM mtf .1,6
36,0/6,34.120
7,881
8,4.4,02
É interessante observar que o resultado final obtido pela fórmula em função da
curvatura deve ser o mesmo. Basta definirmos a 1/r equivalente na seção crítica
(MSd,tot = 6,1 tf.m), utilizando o valor da rigidez 502,3 tf.m2.
mtfM totSd .1,6)10.21,1.(10
4,6.848,4.4,0 2
2
,
Isso comprova que as duas fórmulas para cálculo do MSd,tot, apesar de parecerem
bastante distintas, tem a mesma origem (pilar-padrão). O que varia de método para
método é a aproximação feita para não-linearidade física (1/r aproximada, k
aproximada, acoplado a diagrama N, M, 1/r).
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 111
7.2 Método geral
No item anterior, foram apresentados três métodos aproximados para análise dos
efeitos locais de 2ª ordem. Agora, vamos estudar um processo mais abrangente e
sofisticado, usualmente chamado de Método Geral.
NBR 6118:2003
O método geral é definido na NBR 6118:2003, item 15.8.3.2, por apenas uma única
frase:
“Consiste na análise não-linear de 2a. ordem efetuada com discretização adequada da barra,
consideração da relação momento-curvatura real em cada seção, e consideração da não-
linearidade geométrica de maneira não aproximada.”
Nesse item, não existe nenhuma formulação definida, e muito menos uma descrição
detalhada de como aplicar o método. Somente existe a definição acima, e nada
mais.
Dessa frase, podemos extrair as seguintes informações principais:
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 112
Aplicabilidade
O método geral pode ser empregado apenas para pilares com ≤ 200 e é obrigatório
para pilares com > 140. Acima desse último limite (140), não se pode aplicar nenhum
dos processos aproximados estudados anteriormente.
Não-linearidade geométrica
As deformações ao longo lance do pilar devem ser analisadas por processo refinado.
Não se pode adotar a aproximação por uma curva senoidal (pilar-padrão).
Existem diferentes maneiras para considerar a não-linearidade geométrica de forma
refinada. Uma primeira alternativa é a partir do diagrama de momentos fletores no
lance do pilar, obter as curvaturas (1/r) por meio da rigidez EI, as rotações () e
deslocamentos (d) por meio de integrações sucessivas, e depois, com esses
incrementar os momentos de 2ª ordem nos esforços originais. Esse cálculo é repetido
inúmeras vezes até o acréscimo de esforços ou deslocamentos tender a zero.
Uma outra forma de tratar o problema é utilizar modelos numéricos que possibilitem a
análise em 2ª ordem (equilíbrio na posição deformada), como por exemplo, o cálculo
de um pórtico espacial por meio de uma análise P-.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 113
Seja qual for o processo empregado, a informação principal que se busca é a posição
final de equilíbrio do lance do pilar, de tal forma a definir a magnitude total dos efeitos
locais de 2ª ordem.
A busca dessa posição de equilíbrio é sempre iterativa. E, por isso, é fundamental que
sejam consideradas tolerâncias que controlem a convergência dos processos de
forma eficiente e segura. Usualmente, esses valores são definidos em “deltas máximos
de deslocamentos ou esforços”.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 114
Instabilidade local
Ao empregar um processo aproximado (pilar-padrão com 1/r aproximada, pilar-
padrão com aproximada, pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r), a única
resposta final que temos é se o lance de pilar passa ou não em relação à resistência
última da seção crítica (ruptura).
Já, no método geral, além dessa informação (ruptura da seção crítica), pode-se
flagrar se o lance é estável ou instável, pois a busca pela posição de equilíbrio do
mesmo é iterativa.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 115
Ao adotar o método geral no cálculo de um pilar demasiadamente
esbelto, por exemplo, pode-se se chegar numa situação de
instabilidade quando o número máximo de iterações definido na
análise é alcançado.
Nesse caso, o processo não converge pois os acréscimos de
deslocamentos a cada iteração são superiores à tolerância
adotada. Esse resultado independe do nível de solicitação da
seção crítica em relação à sua resistência.
Não-linearidade física
A não-linearidade física é considerada por meio da obtenção da rigidez no diagrama
N, M, 1/r. Essa rigidez pode ser definida das seguintes formas:
Pela rigidez secante EIsec obtida pela linearização do diagrama (reta), e que
pode ser estendida para todas as seções do lance. É a forma mais recomendável de
se obter a rigidez, pois está a favor de segurança bem como facilita a análise
(desacoplamento das duas direções).
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 116
Pela rigidez secante EI obtida pela curva para cada seção do lance de
acordo com a sua solicitação atuante. Trata-se de um procedimento válido somente
para casos de flexão composta normal.
Pela rigidez secante oblíqua em que considerem simultaneamente os esforços
solicitantes em ambas as direções dos pilares.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 117
Discretização adequada
No método geral, é fundamental que o lance do pilar seja discretizado
adequadamente, de tal forma a obter as respostas em várias seções.
Ao contrário dos processos aproximados em que a definição da seção crítica entre o
topo e a base do lance do pilar era realizada de forma simplificada pelo coeficiente
b, no método geral essa seção é definida de forma bem mais realista.
Em lances de pilares de edifícios usuais, a discretização em 10 trechos é suficiente.
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Coeficiente f3
Pode ser considerada a formulação de segurança em que se calculam os efeitos de
2ª ordem das cargas majoradas de f/f3, que posteriormente são majorados de f3.
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Processo de verificação
O método geral é essencialmente um processo de verificação, pois é necessário
conhecer previamente a armadura ao longo do lance do pilar para calcular os
esforços de 2ª ordem.
Dessa forma, assim como no método do pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r,
o processo de dimensionamento pelo método geral é iterativo. Define-se uma
armadura e analisa-se o pilar sucessivamente, até a obtenção de uma armadura
necessária.
Cálculo manual
Calcular manualmente um lance de pilar pelo método geral é inviável, visto que é
necessário considerar tanto a não-linearidade física como a geométrica de forma
refinada. Na prática, o emprego do método geral somente é realizado com o uso de
um computador.
Cabe ao Engenheiro de Estruturas conhecer a teoria que envolve o método, de tal
forma a poder interpretar os resultados obtidos de forma segura.
Esbeltez acima de 140
Devido ao fato de que pilares de edifícios de concreto armado com esbeltez superior
a 140 ainda tenham sido pouco estudados com o uso do método geral, recomenda-
se o uso de um coeficiente ponderador de esforços adicional (n), cujo valor pode ser
entre 1,2 a 1,4.
7.2.1 Exemplo 1
Vamos calcular o pilar analisado no último exemplo pelos três processos aproximados,
agora, empregando o Método Geral.
Relembrando...
Os dados do pilar são relembrados a seguir.
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Os resultados até então obtidos pelos processos aproximados são apresentados na
figura abaixo.
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Manteremos a mesma configuração de armadura pré-
definida no exemplo anterior, 6 12,5 mm.
O diagrama N, M, 1/r para essa armadura, NSd = 84tf e f3 = 1,0 é apresentado a seguir.
Veja que se trata da mesma rigidez adotada no método do pilar-padrão acoplado a
diagramas.
Ou seja, em relação à não-linearidade física, não há diferença entre o método geral e
o método do pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r.
Adotando-se uma tolerância máxima de deslocamentos relativos de 0,1 mm e um
número máximo de iterações igual a 20, chegaremos ao seguinte resultado final.
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Note que:
Várias seções foram analisadas entre o topo e a base, e não somente uma
como nos demais processos aproximados.
O momento total final MSd,tot (5,9 tf.m) foi ligeiramente menor que o obtido pelo
método do pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r (6,1 tf.m).
A seção em que resultou o maior esforço de 2ª ordem (3,4 tf.m) corresponde a
seção com a 1ª ordem b.MA (1,92 tf.m).
No método geral, além dos esforços finais, também é possível obter os deslocamentos
de 2ª ordem, mostrados a seguir.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 123
Perceba que os deslocamentos são compatíveis com os esforços de 2ª ordem (tração
na face esquerda).
Mais uma observação importante: de acordo com as tolerâncias definidas
(deslocamento relativo máximo = 0,1 mm e número máximo de iterações = 20) foi
necessário, nesse exemplo, 13 iterações para o processo convergir, isto é, o lance do
pilar entrar em equilíbrio.
Para finalizar, vamos comparar os esforços finais obtidos por todos os quatro métodos
utilizados.
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Note que:
Há certa uniformidade entre todos os métodos sob ponto de vista qualitativo.
Quando comparado com o processo mais preciso (método geral), o método
do pilar-padrão com 1/r aproximada superestimou os efeitos locais de 2ª ordem
(+49%).
Quando comparado com o processo mais preciso (método geral), o método
do pilar-padrão com rigidez aproximada superestimou os efeitos locais de 2ª ordem
(+25%).
Em relação ao processo mais preciso (método geral), o método do pilar-
padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r teve um resultado bem próximo (+3%).
O que gerou a diferença entre os três métodos aproximados foi o tratamento
dado para a não-linearidade física em cada um deles.
A pequena diferença entre os dois últimos métodos foi ocasionada pelo
tratamento dado para a não-linearidade geométrica em cada um deles.
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Tendência
É importante, no entanto, deixar bastante claro que esse exemplo não pode ser
extrapolado para todo e qualquer tipo de pilar. Ele nos serve apenas para mostrar
uma tendência, mas nada que seja definitivo e invariável. Há casos em que o método
geral, por exemplo, pode gerar um resultado mais a favor da segurança que os
demais processos.
7.2.2 Exemplo 2
Nesse exemplo, vamos analisar um pilar engastado na base submetido a uma flexão
composta normal, que é objeto de estudo durante o curso do PECE-USP.
Inicialmente, iremos adotar f3 = 1,0 e rigidez EIsec pela reta. Depois, analisaremos os
resultados com f3 = 1,1. Finalmente, veremos o cálculo com a rigidez EI obtida pela
curva (válida apenas para casos de flexão composta normal).
A. Dados
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Além da força normal de compressão, o pilar está submetido a uma força horizontal e
um momento fletor no topo segundo a sua direção menos rígida, de tal forma que os
esforços de primeira ordem são:
Para montar o diagrama N, M, 1/r, é preciso predefinir uma
configuração de armadura. Como exemplo, vamos adotar 8
16 mm.
B. Cálculos iniciais
3,9326,0
)5,3.2.(12
0,2AM ; 3,1CM
8,126,0.03,0015,0.8,79,1 míndM
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93,00,2
3,1.2,08,0 b
352,2893,0
26,0
8,79/0,2.5,1225
11
Como > 1, é necessário calcular os efeitos de 2ª ordem.
Como > 90, é obrigatório o uso do método geral.
Não verificaremos o M1d,mín com o intuito de focar apenas a análise dos efeitos locais
de 2ª ordem. Essa verificação é obrigatória no caso de dimensionamento.
C. Análise com f3 = 1,0 e EIsec pela reta
O diagrama N, M, 1/r (calculado por computador) com NSd = 79,8 tf e 8 16 mm é
apresentado a seguir.
O momento resistente último da seção (MRd) é 7,1 tf.m e a rigidez secante pela reta é
igual a 532,5 tf.m2.
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Veja, a seguir, os deslocamentos e momentos fletores resultantes ao longo do pilar.
Note que o esforço final na base atinge a resistência última do pilar.
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D. Análise com f3 = 1,1 e EIsec pela reta
O diagrama N, M, 1/r (calculado por computador) com NSd = 79,8 tf e 8 16 mm é
apresentado a seguir.
O momento resistente último da seção (MRd) continua o mesmo 7,1 tf.m (como era
esperado) e a rigidez secante pela reta aumentou para 567,8 tf.m2.
Como a análise em 2ª ordem é feita com NSd / 1,1 (que posteriormente é majorado por
1,1), bem como uma rigidez maior, os deslocamentos são menores.
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Consequentemente, os momentos fletores finais também diminuem, conforme mostra
a figura a seguir.
E. Análise com f3 = 1,1 e EIsec pela curva
Nesse caso, a rigidez adotada ao longo do lance do pilar é variável de acordo com a
solicitação em cada trecho. Note que as rigidezes obtidas pela curva são maiores.
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Devido ao aumento de rigidez ao longo de todo o lance, os deslocamentos e os
esforços finais diminuem bastante.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 132
F. Conclusões
Resumindo os resultados numa tabela, temos:
f3 Rigidez EI MSd,tot (base)
1,0 Reta (532,5 tf.m2) 7,1 tf.m
1,1 Reta (567,8 tf.m2) 5,5 tf.m
1,1 Curva (entre 780 e 840 tf.m2) 4,2 tf.m
Nesse exemplo, o coeficiente f3 e o modo como a rigidez foi calculada (reta ou
curva) foram significativos nos resultados.
Perceba que os valores obtidos pela curva, nesse exemplo, são bem superiores aos da
reta.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 133
Veja, a seguir, como a rigidez em cada seção é calculada utilizando a curva.
Trata-se de uma forma bastante refinada de definir a rigidez ao longo de um pilar, pois
cada trecho possui um EI de acordo com a sua solicitação.
É importante lembrar, no entanto, que essa metodologia somente é válida para casos
de flexão composta normal, visto que os esforços na outra direção são ignorados. Mais
adiante, veremos como obter a rigidez EI oblíqua real.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 134
7.2.3 Exemplo 3
Vamos, novamente, analisar um pilar utilizando todos os métodos definidos na NBR
6118:2003. No caso do método geral, vamos variar o coeficiente f3, ora com um valor
de 1,0 ora com um valor de 1,1, e o modo de como a rigidez é extraída do diagrama
N, M, 1/r, ora pela reta, ora pela curva.
Trata-se, também, de um exemplo estudado no curso do PECE-USP.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 135
A. Cálculos iniciais
2,7435,0
5,7.12
5,10AM ; 0,2BM
mtfM mínd .2,835,0.03,0015,0.320,1
524,05,10
0,2.4,06,0
b
50524,0
35,0
320/5,10.5,1225
1
Como > 1, é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem.
Como < 90, pode-se adotar qualquer um dos métodos aproximados bem como o
método geral.
Não verificaremos o M1d,mín com o intuito de focar apenas a análise dos efeitos locais
de 2ª ordem. Essa verificação é obrigatória no caso de dimensionamento.
B. Pilar-padrão com curvatura aproximada
985,0
4,1
2000.65,0.35,0
320
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00962,0
r
1014,0
35,0
005,000962,0
5,0985,0.35,0
005,0
r
1
mtfM totSd .8,220962,0.10
5,7.3205,10.524,0
2
,
C. Pilar-padrão com aproximada
75,135,0.5.5 bA
675,265,10.524,0.35,0.5320
5,7.320320.35,0..5
320
..
22
1
2
2 dS
eSd
Sd MblN
NbB
6,2155,10.524,0.35,0.320.. 2
1
2 dSSd MbNC
mtfA
CABBM totSd .1,21
75,1.2
6,215.75,1.4675,26675,26
.2
..422
,
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Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3:
2,61985,0.320.35,0
1,21.51.32
!1,21
985,0/2,61.120
2,741
5,10.524,02, OKM totSd
D. Pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r
Esse método prevê o uso da rigidez secante obtida
pelo diagrama N, M, 1/r, sendo necessário, portanto,
predefinir uma configuração de armadura. Como
exemplo, vamos adotar 12 20 mm.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 138
O diagrama N, M, 1/r para a armadura adotada, NSd = 320 tf e f3 = 1,0 é apresentado
a seguir.
Note que:
O momento resistente último MRd na direção analisada é de 14,8 tf.m.
A rigidez obtida pelo diagrama (78,6) é bem maior que a rigidez
aproximada (61,2).
O momento total aplicando a rigidez obtida pelo normal-diagrama momento-
curvatura é:
mtfM totSd .9,12
985,0/6,78.120
2,741
5,10.524,02,
Esse esforço é bem menor que os valores obtidos anteriormente (22,8 tf para pilar-
padrão com 1/r aproximada e 21,1 para pilar-padrão com rigidez aproximada).
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Eng. Alio Ernesto Kimura 139
E. Método geral
O diagrama N, M, 1/r para é o mesmo utilizado anteriormente no método do pilar-
padrão acoplado a diagrama.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 140
Adotando-se uma tolerância máxima de deslocamentos relativos de 0,1 mm e um
número máximo de iterações igual a 20, chegaremos ao seguinte resultado final.
Note que o momento fletor total na seção crítica (13,3 tf) é maior que o valor obtido
pelo método do pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r (12,9 tf.m).
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 141
Lembrando que para a armadura adotada, tem MRd = 14,8 tf.m.
Note que:
Quando comparado com o processo mais preciso (método geral), o método
do pilar-padrão com 1/r aproximada superestimou os efeitos locais de 2ª ordem
(+71%).
Quando comparado com o processo mais preciso (método geral), o método
do pilar-padrão com rigidez aproximada superestimou os efeitos locais de 2ª ordem
(+59%).
Em relação ao processo mais preciso (método geral), o método do pilar-
padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r teve um resultado bem próximo (-3%).
F. Método geral com f3 = 1,1
O diagrama N, M, 1/r (calculado por computador) com NSd = 320 tf e 12 20 mm é
apresentado a seguir.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 142
O momento resistente último da seção (MRd) continua o mesmo 14,8 tf.m (como era
esperado) e a rigidez secante pela reta aumentou para 3359,0 tf.m2.
Como a análise em 2ª ordem é feita com NSd / 1,1 (que posteriormente é majorado por
1,1), bem como uma rigidez maior, os deslocamentos são menores.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 143
Consequentemente, os momentos fletores finais também diminuem, conforme mostra
a figura a seguir.
G. Método geral pela curva
Nesse caso, a rigidez adotada ao longo do lance do pilar é variável de acordo com a
solicitação em cada trecho. Note que as rigidezes obtidas pela curva são
praticamente as mesmas da reta, pois a curva quase coincide com a reta.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 144
E, portanto, nesse caso, os resultados variam muito pouco (como era de se esperar).
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 145
H. Conclusões
Resumindo os resultados numa tabela, temos:
Método f3 Rigidez EI MSd,tot
Pilar-padrão com 1/r aproximada 1,0 Aprox. (2370 tf.m2) 22,8 tf.m
Pilar-padrão com aproximada 1,0 Aprox. (2437 tf.m2) 21,1 tf.m
Pilar-padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r 1,0 Reta (3130 tf.m2) 12,9 tf.m
Método geral 1,0 Reta (3130 tf.m2) 13,3 tf.m
Método geral 1,1 Reta (3359 tf.m2) 12,1 tf.m
Método geral 1,1 Curva (entre 3340 e
3386 tf.m2) 11,9 tf.m
Note que:
A maneira como a não-linearidade física é tratada é significativa no resultado
final. As rigidezes aproximadas geram valores finais com uma boa margem de
segurança.
A maneira como a não-linearidade geométrica é tratada (pilar-padrão X
processo não-aproximado) não trouxe grandes diferenças nos resultados.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 146
7.3 Resumo geral
Até o momento, estudamos com relativa profundidade todos os processos presentes
na NBR 6118:2003 para análise dos efeitos locais de 2ª ordem. Por meio de exemplos,
foi possível perceber as particularidades cada método e conhecer um pouco das suas
vantagens e desvantagens.
O gráfico a seguir faz um resumo geral quanto à aplicabilidade dos métodos em
função do índice de esbeltez do pilar.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 147
No gráfico anterior, a palavra “qualquer” deve ser encarada com certa precaução,
pois há casos em que o seu campo de aplicação ainda não foi devidamente testado
e comprovado, sendo necessário estudos mais aprofundados para se ter uma resposta
mais precisa e definitiva.
O próprio Método Geral que é mais abrangente, por exemplo, necessita de mais
testes para que seja comprovada a sua validade para todo e qualquer tipo de pilar
(ex.: pilares de seção genérica com índice de esbeltez acima de 140).
Enquanto não se tem uma resposta definitiva para todos os casos, é sempre
conveniente durante a elaboração de um projeto estrutural, cercar-se de soluções
que levem a uma estrutura mais segura, principalmente em situações “que fogem do
trivial”.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 148
8 Flexão composta oblíqua
Na vida real, todo pilar, seja ele de canto, de extremidade ou intermediário, está
submetido a uma força normal de compressão e a momentos fletores concomitantes
nas duas direções, ou seja, a uma flexão composta oblíqua.
Há certos casos em que a aproximação para uma flexão composta normal é possível
e defensável, principalmente quando se quer resolver um problema de forma manual,
sem o auxílio de um computador.
Nos sistemas computacionais atuais destinados à elaboração de projetos de estruturas
de concreto armado, todo lance de pilar é analisado nas duas direções. Mesmo que
os momentos fletores em uma delas sejam pequenos, o pilar é dimensionado levando
em consideração a existência dos mesmos.
Porém, é importante deixar claro que o que se faz hoje, na prática, é analisar o pilar
nas duas direções separadamente, calculando os efeitos de 2ª ordem e das
imperfeições geométricas de forma isolada, e depois ao final, fazer a composição dos
esforços obtidos para o dimensionamento das armaduras. Isto é, nada mais é do que
duas flexões compostas normais que se juntam no fim. Podemos dizer então que se
trata de uma análise oblíqua “simplificada”.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 149
A figura anterior representa bem o que foi colocado. Os esforços são calculados nas
direções y e z de forma independente (um não influi na resposta do outro), e depois
são acoplados durante o dimensionamento.
Esse tipo de procedimento, que na realidade é uma simplificação da análise oblíqua
verdadeira, é bastante eficiente desde que certas precauções sejam consideradas, e
também é permitido pela norma de concreto atual.
NBR 6118:2003
No item 15.8.3.3.5 da NBR 6118:2003, tem-se:
“Quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta normal
oblíqua for menor que 90 ( < 90) nas duas direções principais, pode ser aplicado o processo
descrito em 15.8.3.3.3 simultaneamente em cada uma das direções.”
“A amplificação dos momentos de 1ª ordem em cada direção é diferente, pois depende de
valores distintos de rigidez e esbeltez.”
“Uma vez obtida a distribuição de momentos totais de 1ª e 2ª ordens, em cada direção, deve ser
verificada, para cada seção ao longo do eixo, se a composição desses momentos solicitantes
fica dentro da envoltória de momentos resistentes para a armadura escolhida. Essa verificação
pode ser realizada em apenas três seções: nas extremidades A e B e num ponto intermediário
onde se admite atuar concomitantemente os momentos Md,tot nas duas direções (x e y).”
É possível perceber que a atual norma de concreto permite, com restrições, adotar a
flexão composta oblíqua “simplificada” utilizando o método do pilar-padrão com
rigidez aproximada.
A seguir, serão estudados alguns exemplos aplicando esse tipo de procedimento. No
final deste capítulo, será feita uma breve discussão a respeito da análise à flexão
composta oblíqua mais precisa.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 150
8.1 Exemplo 1
Trata-se de um exemplo presente na publicação do Ibracon “Comentários da NB-1”,
cujos dados são fornecidos a seguir.
Apenas para relembrar, as envoltórias mínimas em função do M1d,mín já foram
calculadas para esse mesmo pilar no item 7.2.2:
Note que, em torno da direção menos rígida (em torno do eixo y), o dimensionamento
deve conduzir um momento resistente MRd maior que 7,12 tf.m. E, na direção mais
rígida a uma resistência superior a 6,93 tf.m.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 151
A. Cálculos iniciais
A.1 Cálculo em x
mtfM AdxS .0,7,1
mtfM BdxS .0,4,1
mtfhM míndx .93,6)6,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1
Como míndxAdxS MM ,1,1 : 4,04,037,07
4.4,06,0.4,06,0
,1
,1
bx
AdxS
BdxS
bxM
M
2,644,0
6,0
210/7.5,1225
/.5,1225.5,1225
,11
1
bx
SdAdxS
bx
x
x
h
NM
h
e
A.2 Cálculo em y
mtfM AdyS .0,6,1
mtfM BdyS .0,0,1
mtfbM míndy .41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1
Como míndyAdyS MM ,1,1 : 6,06
0.4,06,0.4,06,0
,1
,1
AdyS
BdyS
byM
M
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 152
6,446,0
2,0
210/6.5,1225
/.5,1225.5,1225
,11
1
by
SdAdyS
by
y
y
b
NM
b
e
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem
Embora o índice de esbeltez limite tenha sido ultrapassado apenas em uma direção,
isto é, 2,643,17 1 xx e 6,440,52 1 yy , vamos calcular os efeitos locais
de 2ª ordem tanto em x como em y.
B.1 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar
a) Cálculo em x
Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez aproximada,
tem-se:
mtfMM AdxSbxdxS .8,20,7.4,0. ,11
0,36,0.5.5 hA
3,618,2.6,0.5320
3.210210.6,0..5
320
..
22
1
2
2 dxS
eSd
Sd MhlN
NhB
7,2118,2.6,0.210.. 2
1
2 dxSSd MhNC
mtfA
CABBM totSdx .01,3
0,3.2
7,211.0,3.43,613,61
.2
..422
,
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 153
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3:
3,29817,0.210.6,0
01,3.51.32.
..51.32
,
Sd
totSdx
xNh
M
!0,3
817,0/3,29.120
3,171
8,2
/.1201
22
1
, OKM
M
x
x
dxS
totSdx
b) Cálculo em y
mtfMM AdySbydyS .6,30,6.6,0. ,11
0,12,0.5.5 bA
1,16,3.2,0.5320
3.210210.2,0..5
320
..
22
1
2
2 dyS
eSd
Sd MblN
NbB
2,306,3.2,0.210.. 2
1
2 dySSd MbNC
mtfA
CABBM totSdy .08,6
0,1.2
2,30.0,1.41,11,1
.2
..422
,
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3:
1,45817,0.210.2,0
08,6.51.32.
..51.32
,
Sd
totSdy
yNb
M
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 154
!1,6
817,0/1,45.120
0,521
6,3
/.1201
22
1
, OKM
M
y
y
dyS
totSdy
C. Esforços finais para dimensionamento
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua
resistência ),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir.
C.1 Esforços mínimos
São os esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do
momento mínimo de 1ª ordem.
C.2 Flexão oblíqua no topo do pilar
tfNSd 210 ; mtfM Sdx .0,7 ; mtfM Sdy .0,0
C.3 Flexão oblíqua na base do pilar
tfNSd 210 ; mtfM Sdx .0,4 ; mtfM Sdy .0,6
C.4 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar
tfNSd 210 ; mtfM Sdx .01,3 ; mtfM Sdy .08,6
D. Dimensionamento de armadura
Considerando um cobrimento igual a 30 mm e uma armadura transversal com
diâmetro de 6,3 mm, obtém-se uma possível configuração de armadura longitudinal
composta por 10 barras de 20 mm (As = 31,4 cm2), aço CA50, na qual todas as
condições de solicitação são atendidas, conforme mostra a figura a seguir.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 155
Note que:
O efeito do M1d,mín na direção menos rígida (ponto Y) é o esforço crítico para o
dimensionamento.
O esforço de 2ª ordem no meio do lance (ponto M) tende a levar a seção para
o ELU na direção menos rígida.
Utilizando o Método Geral, no qual se considera a relação momento-curvatura real
em diversas seções ao longo do pilar (rigidez EI pela reta) e a não-linearidade
geométrica de forma não aproximada, obtém-se a seguinte resposta:
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 156
Note que:
O efeito do M1d,mín na direção menos rígida (ponto Y) é o esforço crítico para o
dimensionamento.
Os efeitos locais de 2ª foram razoavelmente menores que os calculados pelo
método aproximado. Na direção mais rígida, esses esforços são insignificantes.
8.2 Exemplo 2
Trata-se do mesmo lance de pilar analisado anteriormente, porém com o diagrama de
momentos fletores em torno da direção menos rígida alterado.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 157
A. Cálculos iniciais
A.1 Cálculo em x
mtfM AdxS .0,7,1
mtfM BdxS .0,4,1
mtfhM míndx .93,6)6,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1
Como míndxAdxS MM ,1,1 : 4,04,037,07
4.4,06,0.4,06,0
,1
,1
bx
AdxS
BdxS
bxM
M
2,644,0
6,0
210/7.5,1225
/.5,1225.5,1225
,11
1
bx
SdAdxS
bx
x
x
h
NM
h
e
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 158
A.2 Cálculo em y
mtfM AdyS .0,6,1
mtfM BdyS .0,5,1
mtfbM míndy .41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1
Como míndyAdyS MM ,1,1 : 93,06
5.4,06,0.4,06,0
,1
,1
AdyS
BdyS
byM
M
0,35358,2893,0
2,0
210/6.5,1225
/.5,1225.5,1225
1
,11
1
y
by
SdAdyS
by
y
y
b
NM
b
e
B. Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem
Embora o índice de esbeltez limite tenha sido ultrapassado apenas em uma direção,
isto é, 2,643,17 1 xx e 0,350,52 1 yy , vamos calcular os efeitos locais
de 2ª ordem tanto em x como em y.
B.1 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar
a) Cálculo em x
Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez aproximada,
tem-se:
mtfMM AdxSbxdxS .8,20,7.4,0. ,11
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 159
0,36,0.5.5 hA
3,618,2.6,0.5320
3.210210.6,0..5
320
..
22
1
2
2 dxS
eSd
Sd MhlN
NhB
7,2118,2.6,0.210.. 2
1
2 dxSSd MhNC
mtfA
CABBM totSdx .01,3
0,3.2
7,211.0,3.43,613,61
.2
..422
,
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3:
3,29817,0.210.6,0
01,3.51.32.
..51.32
,
Sd
totSdx
xNh
M
!0,3
817,0/3,29.120
3,171
8,2
/.1201
22
1
, OKM
M
x
x
dxS
totSdx
b)Cálculo em y
mtfMM AdySbydyS .6,50,6.93,0. ,11
0,12,0.5.5 bA
1,36,5.2,0.5320
3.210210.2,0..5
320
..
22
1
2
2 dyS
eSd
Sd MblN
NbB
0,476,5.2,0.210.. 2
1
2 dySSd MbNC
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 160
mtfA
CABBM totSdy .59,8
0,1.2
0,47.0,1.41,31,3
.2
..422
,
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3:
9,52817,0.210.2,0
59,8.51.32.
..51.32
,
Sd
totSdy
yNb
M
!6,8
817,0/9,52.120
0,521
6,5
/.1201
22
1
, OKM
M
y
y
dyS
totSdy
C. Esforços finais para dimensionamento
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua
resistência ),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições de solicitação listadas a seguir.
C.1 Esforços mínimos
São os esforços mínimos já calculados anteriormente durante a verificação do
momento mínimo de 1ª ordem.
C.2 Flexão oblíqua no topo do pilar
tfNSd 210 ; mtfM Sdx .0,7 ; mtfM Sdy .0,5
C.3 Flexão oblíqua na base do pilar
tfNSd 210 ; mtfM Sdx .0,4 ; mtfM Sdy .0,6
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 161
C.4 Flexão oblíqua entre o topo e a base do pilar
tfNSd 210 ; mtfM Sdx .01,3 ; mtfM Sdy .59,8
D. Dimensionamento de armadura
Considerando um cobrimento igual a 30 mm e uma armadura transversal com
diâmetro de 6,3 mm, obtém-se uma possível configuração de armadura longitudinal
composta por 14 barras de 20 mm (As = 44,0 cm2), aço CA50, na qual todas as
condições de solicitação são atendidas, conforme mostra a figura a seguir.
Note que o efeito de 2ª ordem no meio do lance (ponto M) é o esforço crítico para o
dimensionamento e tende a levar a seção para o ELU na direção menos rígida.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 162
Utilizando o Método Geral, no qual considera-se a relação momento-curvatura real
em diversas seções ao longo do pilar (rigidez EI pela reta) e a não-linearidade
geométrica de forma não aproximada, obtém-se a seguinte resposta:
Note que o efeito da 2ª ordem na direção menos rígida continua a ser preponderante
e tende a levar a seção para o ELU. Quando comparado com o esforço total
calculado pelo método aproximado (8,59 tf.m), o valor obtido pelo Método Geral é
um pouco menor (8,0 tf.m).
8.3 Análise oblíqua mais precisa
Nos exemplos anteriores, analisamos os pilares por meio de uma análise à flexão
composta oblíqua “simplificada”, isto é, calculamos os efeitos locais nas duas direções
de forma desacoplada, e depois fizemos a composição no final para o
dimensionamento da armadura.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 163
Para que essa simplificação possa ser adotada, a consideração da não-linearidade
física em cada uma das direções, isto é, a definição das rigidezes EI a serem
empregadas na análise, deve estar sempre a favor da segurança.
A rigidez EI jamais pode ser extraída pela curva em casos de flexão
oblíqua!
Em casos em que há atuação de momentos fletores concomintantes em ambas
direções (flexão composta oblíqua), quando for utilizado o diagrama N, M, 1/r
(método geral ou pilar-padrão acoplado a diagramas), a rigidez EI calculada, em
hipótese alguma, ela poderá ser extraída pela curva (como havíamos feito nos
exemplos com flexão composta normal).
Nessa situação, deve-se utilizar sempre a rigidez definida pela reta (linearização do
diagrama N, M, 1/r). Caso contrário, isto é, se a rigidez for calculada pela curva, os
resultados ficarão contra a segurança.
Um exemplo vale mais que muitas palavras
Seguindo esse princípio, vamos fazer uma rápida aplicação para compreender o que
foi colocado anteriormente.
Seja uma seção de 30 cm x 60 cm, composta por armadura de 16 barras 20 mm,
concreto C30, (c = 1,4), aço CA50, (s = 1,15).
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 164
O diagrama N, M, 1/r em torno da direção menos rígida com Nd = 150 tf e f3 = 1,1 é
mostrado a seguir.
Note que:
O momento resistente último é de MRd = 31,0 tf.m.
A rigidez secante obtida pela reta é de EIsec = 1970,5 tf.m2.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 165
O diagrama N, M, 1/r em torno da direção mais rígida é apresentar a seguir.
Note que:
O momento resistente último é de MRd = 60,3 tf.m.
A rigidez secante obtida pela reta é de EIsec = 8236,6 tf.m2.
Momentos atuantes nas duas direções
Imagine, agora, que esta seção esteja solicitada por um momento Mx = 15 tf.m e um
momento My = 37 tf.m.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 166
Rigidezes pela reta
Se fossem adotadas as retas, as rigidezes seriam EIsec,x = 1970,5 tf.m2 e EIsec,y = 8236,6
tf.m2, conforme mostram as figuras a seguir.
Note que as rigidezes em ambas as direções não variam em função dos momentos,
são sempre constantes.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 167
Rigidezes pela curva
Utilizando o diagrama N, M, 1/r em torno de x (menos rígida), é possível extrair a rigidez
pela curva com Mx = 15 tf.m.
Perceba que a rigidez obtida pela curva (2769,3 tf.m2) é bem superior ao valor obtido
pela reta (1970,5 tf.m2).
Por sua vez, utilizando o diagrama N, M, 1/r em torno de y (mais rígida), é possível
extrair a rigidez pela curva com My = 37 tf.m.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 168
Observe que a rigidez obtida pela curva (10068,9 tf.m2) é bem superior ao valor obtido
pela reta (8236,6 tf.m2).
Essas rigidezes que acabaram de ser calculadas pelas curvas não podem ser
utilizadas, pois conduziriam a resultados contra a segurança!
Quando extraímos a rigidez EIsec,x = 2769,3 tf.m2 pelo diagrama N, Mx, (1/r)x,
simplesmente não levamos em conta o momento My = 37 tf.m. Enquanto que, quando
extraímos a rigidez EIsec,y = 10068,9 tf.m2 pelo diagrama N, My, (1/r)y, não contabilizamos
o momento Mx = 15 tf.m.
A rigidez pela curva EIsec,x = 2769,3 tf.m2 somente poderia ser utilizada se o momento My
fosse igual a zero (flexão composta normal em torno de x). Já a rigidez pela curva
EIsec,y = 10068,9 tf.m2 somente poderia ser utilizada se o momento Mx fosse igual a zero
(flexão composta normal em torno de y).
Repetindo: as rigidezes pelas curvas, em nenhuma hipótese, podem ser adotadas em
análises à flexão composta oblíqua.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 169
Rigidezes pela superfície
Vamos agora introduzir uma novidade ainda não muito bem divulgada no meio
técnico profissional: a montagem de diagrama N, M, 1/r variando o momento fletor na
direção ortogonal à direção analisada. Isso gerará uma série de curvas (um para
cada valor de momento ortogonal até o esforço último).
Trata-se uma abordagem ainda aproximada da flexão composta oblíqua real, mas
que já leva em conta a atuação dos dois momentos fletores na seção de forma
conjunta.
Veja, a seguir, uma série de diagramas N, M, 1/r em torno da direção x da seção
analisada, variando o momento My de 0 até o momento resistente último MRd,y = 60,3
tf.m.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 170
As curvas com My = 0,0 tf.m destacadas na figura anterior correspondem exatamente
aos diagramas com 0,85.fcd e 1,1.fcd que utilizamos para extrair as rigidezes EIsec,x.
Como é possível montar infinitos diagramas variando My de 0,0 tf.m até My = MRdy =
60,3 tf.m, podemos então definir uma chamada superfície N, M, 1/r.
Com esse tipo de abordagem, passa a ser possível, por exemplo, extrair a rigidez (1/r)x
para um momento Mx = 15 tf.m com a atuação simultânea de um momento ortogonal
My = 37 tf.m.
Veja, a seguir, como fica o cálculo da rigidez EIsec,x para Mx = 15 tf.m utilizando o
diagrama N, Mx, (1/r)x com My = 37 tf.m. Esse diagrama é apresentado na vista lateral e
espacial, respectivamente.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 171
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 172
Note que a rigidez obtida na superfície (2065,2 tf.m2) é um pouco maior que a extraída
pela reta (1970,5 tf.m2), porém bem menor do que o valor da curva (2769,3 tf.m2)
Veja, a seguir, como fica o cálculo da rigidez EIsec,y para My = 37 tf.m utilizando o
diagrama N, My, (1/r)y com Mx = 15 tf.m. Esse diagrama é apresentado na vista
espacial e lateral, respectivamente.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 173
Note que a rigidez obtida na superfície (8605,2 tf.m2) é um pouco maior que a extraída
pela reta (8236,6 tf.m2), porém bem menor do que o valor da curva (10068,9 tf.m2)
Reta a favor da segurança
Bem, o principal objetivo de conhecer esse tipo de abordagem em que os dois
esforços são considerados em conjunto é compreender que a rigidez obtida pela
linearização dos diagramas (retas), na grande maioria das vezes, está a favor da
segurança. E, por isso, é a forma mais recomendada de se obter a rigidez para o
cálculo dos efeitos locais num lance de pilar.
Voltemos a análise em torno da direção x (menor rigidez). A rigidez secante pela reta
é obtida com tensão de pico igual a 1,1.fcd, f3 = 1,1 e para um esforço igual a MRd =
28,2 tf.m, conforme mostra a figura a seguir.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 174
Agora, veja os diagramas N, Mx, (1/r)x, variando o momento ortogonal My de 0,0 até
MRdy = 60,3 tf.fm.
A reta está por baixo de quase todas as curvas, gerando quase sempre uma rigidez
menor (a favor da segurança), independente do valor de My.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 175
A análise na direção em torno de y (mais rígida) é análoga.
A reta está por baixo de quase todas as curvas, gerando quase sempre uma rigidez
menor (a favor da segurança), independente do valor de Mx.
É exatamente pelas colocações anteriores que pode-se afirmar que ao adotar a
rigidez obtida pela reta estamos desacoplando as direções, pois a análise em uma
delas passa a ficar independente do esforço ortogonal à mesma.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 176
8.4 Exemplo 3
Trata-se de um pilar esbelto submetido a uma flexão composta oblíqua, conforme
mostra a figura a seguir.
Esse exemplo é baseado em um caso estudado no PECE-USP.
Inicialmente, vamos verificá-lo à flexão composta oblíqua “simplificada” por meio dos
quatro métodos disponíveis na norma (pilar-padrão com 1/r aproximada, pilar-padrão
com rigidez aproximada, pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r e método
geral).
Depois, vamos utilizar a análise à flexão composta oblíqua de forma mais precisa,
empregando as rigidezes obtidas pela superfície N, M, 1/r.
Embora a verificação do M1d,mín seja obrigatória, não vamos fazê-la aqui pois o
objetivo desse exemplo será focar a análise dos efeitos locais de 2ª ordem.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 177
8.4.1 Cálculos iniciais
Cálculo em y
6,8626
650.12.12
b
le
y
mtfM AdyS .0,4,1
mtfM BdyS .0,1,1
mtfbM míndy .0,2)26,0.03,0015,0.(9,86).03,0015,0.(9,86,1
Como míndyAdyS MM ,1,1 : 5,00,4
0,1.4,06,0.4,06,0
,1
,1
AdyS
BdyS
byM
M
4,545,0
26,0
9,86/4.5,1225
/.5,1225.5,1225
,11
1
bx
SdAdyS
by
y
y
b
NM
b
e
Como y = 86,6 > 1y = 54,4, é necessário calcular os efeitos locais nessa direção.
Cálculo em z
7,5739
650.12.12
h
le
z
mtfM AdzS .0,8,1
mtfM BdzS .0,4,1
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 178
mtfhM míndz .32,2)39,0.03,0015,0.(9,86).03,0015,0.(9,86,1
Como míndzAdzS MM ,1,1 : 4,00,8
0,4.4,06,0.4,06,0
,1
,1
AdzS
BdzS
bzM
M
9,694,0
39,0
9,86/8.5,1225
/.5,1225.5,1225
,11
1
bz
SdAdzS
bz
z
z
h
NM
h
e
Como z = 57,7 < 1z = 69,9, não é necessário calcular os efeitos locais nessa direção.
Ficam então definidos os momentos no topo (8,0 tf.m), na base (-4,0 tf.m) e no meio do
lance (b.MS1dz,A = 0,4 . 8,0 = 3,2 tf.m).
8.4.2 Pilar-padrão com 1/r aproximada
Vamos calcular os efeitos locais de 2ª apenas na direção mais esbelta (direção y).
6,0
4,1
2000.39,0.26,0
9,86
01748,0
r
10192,0
26,0
005,001748,0
5,06,0.26,0
005,0
r
1
mtfM totSd .4,801748,0.10
5,6.9,864.5,0
2
,
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 179
Fazendo a composição dos esforços nas duas direções, tem-se:
Veja que o pilar rompe na seção calculada entre o topo e a base (ponto M).
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 180
8.4.3 Pilar-padrão com aproximada
3,126,0.5.5 bA
2,84.5,0.26,0.5320
5,6.9,869,86.26,0..5
320
..
22
1
2
2 dS
eSd
Sd MblN
NbB
75,114.5,0.26,0.9,86.. 2
1
2 dSSd MbNC
mtfA
CABBM totSd .5,7
3,1.2
75,11.3,1.42,82,8
.2
..422
,
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3:
1,516,0.9,86.26,0
5,7.51.32
!.5,7
6,0/1,51.120
6,861
0,4.5,02, OKmtfM totSd
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 181
Fazendo a composição dos esforços nas duas direções, tem-se:
A seção calculada entre o topo e a base (ponto M) fica no limite.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 182
8.4.4 Pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r
O diagrama N, M, 1/r na direção menos rígida (direção y) para a armadura adotada,
NSd = 86,9 tf e f3 = 1,0 é apresentado a seguir.
Note que:
O momento resistente último MRd na direção analisada é de 8,7 tf.m.
A rigidez obtida pelo diagrama (61,2) é maior que a rigidez aproximada
(51,1).
O momento total aplicando a rigidez obtida pelo normal-diagrama momento-
curvatura é:
mtfM totSd .2,5
6,0/2,61.120
6,861
0,4.5,02,
Esse esforço é bem menor que os valores obtidos anteriormente (8,4 tf para pilar-
padrão com 1/r aproximada e 7,5 para pilar-padrão com rigidez aproximada).
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 183
Fazendo a composição dos esforços nas duas direções, tem-se:
A seção calculada entre o topo e a base (ponto M) passa.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 184
8.4.5 Método geral
Nesse processo, os efeitos locais de 2ª ordem são calculados nas duas direções.
As rigidezes EI são obtidas pela linearização dos diagramas N, M, 1/r (retas) em cada
direção, apresentados a seguir.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 185
A posição de equilíbrio do lance é definida iterativamente. Os deslocamentos obtidos
após 11 iterações são mostrados a seguir.
Note que o pilar se deforma em ambas direções.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 186
Os diagramas de momentos fletores nas direções menos rígida e mais rígida são
apresentados a seguir, respectivamente.
Como esperado, os efeitos de 2ª ordem na direção menos rígida foram pequenos,
justificando a não necesidade de calculá-los nos métodos aproximados ( < 1).
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 187
Fazendo a composição dos esforços nas duas direções, tem-se:
Os esforços finais praticamente foram iguais aos valores obtidos pelo pilar-padrão
acoplado a diagramas.
8.4.6 Flexão oblíqua mais precisa
Finalmente, vamos analisar o mesmo pilar por um processo em que as rigidezes das
seções ao longo do lance, em cada direção, são calculadas levando em conta
atuação simultânea dos dois momentos fletores (My e Mz).
Veja, a seguir, algumas figuras que ilustram como as rigidezes foram obtidas nesse
processo.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 188
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Eng. Alio Ernesto Kimura 189
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 190
É possível notar que nas duas direções, de uma forma geral, as rigidezes obtidas na
superfície N, N, 1/r são maiores que as rigidezes extraídas pelas retas (EIsecy = 598,9 tf.m2
e EIsecy = 1356,4 tf.m2).
Dessa forma, os esforços de 2ª ordem ao longo do lance são menores, conforme
mostra a figura a seguir.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 191
9 Imperfeições geométricas locais
De uma forma geral, analisar os efeitos de imperfeições geométricas durante a
elaboração de um projeto estrutural é uma tarefa bastante complexa e desafiante.
Como prever a magnitude das possíveis “falhas” geométricas que
aparecerão durante a construção?
Essa é uma questão extremamente complicada de ser respondida, e que sempre
precisa ser tratada com muita seriedade pelo Engenheiro de Estruturas. Afinal de
contas, a resposta de um pilar é bastante sensível ao aparecimento dessas
imperfeições.
No caso da avaliação dos efeitos das imperfeições locais, isto é, relacionados ao
lance de um pilar, além da dificuldade inerente ao tema, surgiram ainda muitas
dúvidas com relação à aplicação do momento mínimo de primeira ordem definido na
NBR 6118:2003.
A seguir, será exposta e estudada a proposta presente nos comentários técnicos da
NB-1, publicado pelo Ibracon.
9.1 Aplicação do M1d,mín
A NBR 6118:2003, em seu item 11.3.3.4.3, permite que o efeito das imperfeições
geométricas locais em um lance de pilar seja substituído, em estruturas reticuladas,
pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem, cujo valor é obtido pela
seguinte fórmula:
).03,0015,0.(,1 hNM Sdmínd
sendo: NSd a força normal solicitante com o seu valor de cálculo e h a altura da seção
na direção analisada, em metros.
No mesmo item, define-se ainda que os efeitos de 2ª ordem, quando calculados,
devem ser acrescidos a este momento mínimo.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 192
Logo, em primeiro momento, percebe-se que a consideração do momento mínimo,
como o próprio nome deixa claro, não tem o efeito aditivo de uma excentricidade
acidental adicional, como se preconizava na extinta NBR 6118:1980.
Também, em primeiro momento, o uso do M1d,mín não parece trazer grandes
complicações, visto que a sua formulação é muito simples. Note que ele é apenas
dependente da força normal e da dimensão da seção transversal do pilar. No fundo,
se analisarmos a expressão, nada mais é que um momento mínimo gerado por uma
excentricidade de 1,5 cm acrescido de 3% da dimensão da seção.
Mero engano. Veja, a seguir, uma situação bastante típica que já nos traz alguns
questionamentos.
Seja um pilar com índice de esbeltez igual a 50, cujos
momentos nas extremidades, MA e MB, sejam opostos
e com valores iguais ao momento mínimo M1d,mín,
conforme mostra a figura ao lado.
Nesse caso, 4,04,02,0.4,06,0 b
A
Bb
M
M
Admitindo uma excentricidade relativa e1/h = 0,08, teremos: 654,0
08,0.5,12251
.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 193
Como pilar = 50 < 1 = 65, não é necessário calcular os efeitos locais de segunda
ordem. E, portanto, o momento crítico para o dimensionamento será igual ao M1d,mín.
Imagine então se para esse mesmo pilar os momentos
nas extremidades, MA e MB, continuem opostos,
porém com valores ligeiramente inferiores ao
momento mínimo M1d,mín, conforme mostra a figura ao
lado.
Nesse caso, 0,1b (MA < M1d,mín) e a excentricidade relativa praticamente seria a
mesma, de tal forma que: 3535260,1
08,0.5,122511
.
Como pilar = 50 > 1 = 35, será necessário calcular os efeitos locais de segunda ordem.
E, portanto, o momento crítico para o dimensionamento será maior ao M1d,mín, pois
terá o acréscimo do efeito de 2ª ordem (M2).
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 194
Note que para situações bastante similares, os resultados são diferentes, podendo
ocasionar uma relativa descontinuidade de valores finais.
Proposta prof. Graziano – ENECE 2004
Em virtude do comportamento que acabou de ser descrito, o prof. Franscisco
Graziano propôs no ENECE realizado em 2004 um novo tipo de abordagem para
aplicação do momento mínimo de primeira ordem, conforme está resumido a seguir.
Sejam as seguintes situações possíveis de atuação de momentos nas extremidades de
um pilar:
As linhas tracejadas representam o M1d,mín.
As linhas em cinza representam o diagrama original de momentos fletores.
As linhas azuis representam as formas efetivamente usadas no cálculo do pilar.
A proposta do prof. Graziano consiste em aplicar o momento mínimo de tal forma que
as situações onde poderiam ocorrer descontinuidades (II, III e V) sejam alteradas de
maneira a minimizar a discrepância de resultados.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 195
As situações I, IV e V continuam equivalentes com a forma original.
Vale lembrar que a proposta do prof. Graziano leva a resultados a favor da
segurança.
M1d,mín nas duas direções ?
Uma outra questão levantada sobre o momento mínimo de primeira ordem é quanto
a sua aplicação simultânea nas duas direções do pilar.
Vejamos o cálculo do M1d,mín para um pilar de seção retangular.
A pergunta é: será necessário verificar uma situação em que há a atuação dos dois
momentos mínimos, M1dx,mín e M1dy,mín, ao mesmo tempo?
À primeira vista, e também recorrendo a alguns exemplos de pilares calculados
segundo o ACI na literatura, percebe-se que não se deve aplicar os momentos
mínimos totais nas duas direções simultaneamente.
Mas, como solucionar isso?
Comentários NB-1, Ibracon
Diante das inúmeras questões relativas à aplicação de momento mínimo de primeira
ordem, a comissão CT-301, responsável pela elaboração de comentários da NBR
6118:2003, propõe um novo tipo de abordagem para o problema em questão, que
provavelmente fará parte da revisão NBR 6118:2008.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 196
A proposta consiste em definir uma envoltória mínima de 1ª ordem, tomada a favor da
segurança, pela seguinte expressão:
Desta forma, a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida
quando, no dimensionamento adotado, obtém-se uma envoltória resistente que
englobe a envoltória mínima de 1ª ordem.
Por sua vez, quando há a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem, a
verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando, no
dimensionamento adotado, obtém-se uma envoltória resistente que englobe a
envoltória mínima com 2ª ordem, cujos momentos totais são calculados a partir dos
momentos mínimos de 1ª ordem.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 197
A consideração destas envoltórias mínimas pode ser realizada através de duas
análises à flexão composta normal, calculadas de forma independente dos momentos
fletores de 1ª ordem atuantes nos extremos do pilar.
É importante notar que:
A definição da envoltória mínima com e sem 2ª ordem independe do
diagrama de momentos fletores solicitantes no lance do pilar. Ou seja, a
descontinuidade apresentada nos itens anteriores deixará de existir.
Não há a aplicação simultânea do momento mínimo total nas duas direções.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
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9.2 Exemplos
A seguir, vamos resolver alguns exemplos com o intuito de tornar o que foi exposto
sobre o M1d,mín mais claro.
9.2.1 Exemplo 1
Seja um pilar de 30 cm x 30 cm, com comprimento equivalente de 3 m e força normal
de cálculo igual a 210 tf, conforme mostra a figura a seguir.
cmb 30 e cmh 30
6,3430
300.12.12
h
le
x
6,3430
300.12.12
b
le
y
Antes de iniciar os cálculos, é interessante observar quais dados são necessários para
fazer a verificação do M1d,mín. São eles: seção transversal, comprimento equivalente le
e força normal de compressão. Note que não é necessário conhecer previamente o
diagrama de momentos fletores solicitantes.
A. Flexão composta normal com atuação de M1dx,mín e M1dy,mín
Como a seção é simétrica, temos:
mtfhMM míndymíndx .04,5024,0.210)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1,1
0,1bx , pois M1dA = M1d,mín
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 199
0,3535260,1
3,0
210/04,5.5,1225
/.5,1225.5,1225
1
,1,1
1
x
bx
Sdmíndx
bx
mínx
x
h
NM
h
e
0,3511 xy
Como 0,356,34 1 , não é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem em
nenhuma das direções.
B. Esforços mínimos para dimensionamento
O pilar deverá ser dimensionado de modo que a sua resistência ),,( RdyRdxRd MMN
atenda as condições mínimas de solicitação listadas a seguir. São duas flexões
compostas normais isoladas.
B.1 Flexão normal com atuação de M1dx,mín
tfNSd 210
mtfMM míndxSdx .04,5,1
mtfM Sdy .0,0
B.2 Flexão normal com atuação de M1dy,mín
tfNSd 210
mtfM Sdx .0,0
mtfM Sdy .04,5
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 200
C. Envoltória mínima
De acordo com os esforços calculados anteriormente, a envoltória mínima de 1ª
ordem fica definida:
O dimensionamento do pilar deve gerar uma envoltória resistente que englobe
totalmente a envoltória mínima de 1ª ordem.
9.2.2 Exemplo 2
Vamos resolver agora um exemplo que está presente nos comentários da NB-1.
Seja um pilar de 20 cm x 60 cm, com comprimento equivalente de 3 m e força normal
de cálculo igual a 210 tf, conforme mostra a figura a seguir.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 201
cmb 20 e cmh 60
3,1760
300.12.12
h
le
x
0,5220
300.12.12
b
le
y
Independente dos momentos fletores que o pilar estará submetido, para verificar a
envoltória mínima devem ser realizadas duas análises à flexão composta normal.
A. Flexão normal com atuação de M1dx,mín
mtfhM míndx .93,6)6,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1
0,1bx , pois M1dA = M1d,mín
0,35357,250,1
6,0
210/93,6.5,1225
/.5,1225.5,1225
1
,1,1
1
x
bx
Sdmíndx
bx
mínx
x
h
NM
h
e
Como 0,353,17 1 xx , não é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem.
B. Flexão normal com atuação de M1dy,mín
mtfbM míndy .41,4)2,0.03,0015,0.(210).03,0015,0.(210,1
0,1by , pois M1dA = M1d,mín
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Eng. Alio Ernesto Kimura 202
0,35353,260,1
2,0
210/41,4.5,1225
/.5,1225.5,1225
1
,1,1
1
y
by
Sdmíndy
by
míny
y
b
NM
b
e
Como 0,350,52 1 yy , é necessário calcular os efeitos locais de 2ª ordem.
Utilizando a formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez aproximada
(que estudaremos posteriormente), tem-se:
mtfMM míndydS .41,4,11
0,12,0.5.5 bA
9,141,4.2,0.5320
3.210210.2,0..5
320
..
22
1
2
2 dS
eSd
Sd MblN
NbB
0,3741,4.2,0.210.. 2
1
2 dSSd MbNC
mtfA
CABBM totSdy .12,7
0,1.2
0,37.0,1.49,19,1
.2
..422
,
C. Esforços mínimos para dimensionamento
A armadura longitudinal do pilar deverá ser dimensionada de modo que a sua
resistência ),,( RdyRdxRd MMN atenda as condições mínimas de solicitação listadas a
seguir.
C.1 Flexão normal com atuação de M1dx,mín
tfNSd 210 ; mtfMM míndxSdx .93,6,1 ; mtfM Sdy .0,0
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Eng. Alio Ernesto Kimura 203
C.2 Flexão normal com atuação de M1dy,mín
tfNSd 210 ; mtfM Sdx .0,0 ; mtfM Sdy .12,7
D. Envoltórias mínimas
De acordo com os esforços calculados anteriormente, as seguintes envoltórias mínimas
ficam então definidas:
O dimensionamento do pilar deve gerar uma envoltória resistente que englobe
totalmente a envoltória mínima com 2ª ordem, que foi gerada a partir a envoltória
mínima de 1ª ordem.
Perceba que, com a representação gráfica em planta, fica fácil compreender bem
como verificar o momento mínimo de 1ª ordem.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 204
Concluindo
A verificação do M1d,mín por meio das envoltórias mínimas independe dos momentos
fletores atuantes no pilar. Se por exemplo, para o pilar estudado anteriormente
existissem várias hipóteses de diagramas de momentos fletores, conforme mostra a
figura a seguir, a verificação do momento mínimo de primeira ordem seria realizada
apenas uma única vez.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 205
10 Pilar-parede
Esse é, com certeza, um dos temas que tem mais gerado controvérsias no meio
técnico profissional após a aprovação da NBR 6118:2003. Existem várias razões para
isso, pois, como veremos mais adiante, se trata de um assunto que ainda tem uma
longa e difícil trajetória de pesquisas na busca de uma solução que tenha uma
abrangência adequada e significativa.
Dessa forma, o que será exposto a seguir não pode, em hipótese alguma, ser
considerado como uma verdade absoluta. O que se pretende aqui é fornecer uma
visão ampla de um problema que ainda necessita ser resolvido e melhor estudado.
Definição
Segundo a NBR 6118:2003, item 14.4.2.4, pilar-parede é um elemento bidimensional,
usualmente disposto na vertical e submetido preponderantemente à compressão, que
pode ser composto por uma ou mais superfícies (ou lâminas) associadas.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 206
Nesse mesmo item da norma de concreto, tem-se: “Para que se tenha um pilar-
parede, em alguma dessas superfícies a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da
maior, ambas consideradas na seção transversal do elemento do pilar”.
Pilar-parede não é um pilar comum!
Antes de iniciar o cálculo de um pilar-parede, é importante refletir um pouco sobre
suas funções e particularidades, que o tornam um elemento particular e notoriamente
diferente de um pilar comum.
Em edifícios altos usuais, além de resistir às cargas verticais, um pilar-parede, em
conjunto com os pórticos formados pelas vigas e pilares, tem grande responsabilidade
na manutenção da estabilidade global da estrutura. Trata-se de um típico elemento
de contraventamento.
Quando esse tipo de edificação é solicitado por ações horizontais (ex.: vento), um
pilar-parede resiste uma parcela significativa dos esforços resultantes. Veja, a seguir,
um exemplo hipotético, mas bastante representativo.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
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Seja um edifício composto por oito pavimentos, conforme mostram as figuras a seguir.
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Note que o pilar intermediário P6 possui dimensões (20 cm X 180 cm) que o caracteriza
como um pilar-parede.
Como esperado, esse pilar resiste a uma boa parcela dos esforços gerados pelas
ações verticais e horizontais (vento), conforme mostra a figura a seguir.
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Perceba que o pilar-parede P6, dentro do contexto global do edifício, quando
solicitado pela ação horizontal, praticamente tem um comportamento de uma barra
engastada na base, resistindo momentos fletores significativos nos dois primeiros
lances. O mesmo não ocorre nos demais pilares que fazem parte dos pórticos de
contraventamento.
Seção plana?
É uma hipótese quase que constante no dimensionamento de um elemento de
concreto armado, a manutenção da seção plana após as deformações. Pergunta:
num pilar-parede submetido à flexão composta oblíqua, isso é válido?
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Particularidades
Devido a imposições arquitetônicas e estruturais, o emprego de pilares-parede em
edifícios de concreto armado tem sido muito comum no Brasil. Em países sujeitos a
efeitos sísmicos, o uso desse elemento como parte integrante da estrutura resistente,
sempre foi uma prática usual e recomendada. São os chamados “reinforced concrete
walls” e “shear walls”.
Contudo, é importante visualizar claramente que existem discrepâncias entre o que é
empregado nos países com sismo e o que é adotado no Brasil. Embora as dimensões
da seção transversal dos pilares presentes em estruturas no exterior os caracterizem
como pilar-parede (hi < bi/5), a esbeltez em torno da menor dimensão não é tão
elevada como nos pilares-parede comuns em estruturas no nosso país.
Veja, a seguir, o exemplo de uma estrutura definida no Canadá.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 211
Nesse exemplo, os pilares-parede têm espessura de 40 cm a 50 cm, totalmente
diferente da situação nacional, onde se pode observar o emprego de pilares-parede
com até 14 cm de espessura.
Segurança
Imagine um pilar-parede de 19 cm X 200 cm com pé-direito duplo de 6 m no hall de
um edifício comercial de alto padrão, “sustentando” uma carga vertical aplicada em
20 pisos, ao mesmo tempo em que tem que resistir a ação do vento.
Agora, imagine que ao efetuar o cálculo desse mesmo pilar-parede, você tem como
resultado uma taxa de armadura praticamente igual a mínima (0,6%.Ac = 15,2 cm2
20 10 mm).
Mesmo que intuitivamente, sem fazer cálculos, não fica evidenciada uma certa
necessidade de aumentar a segurança desse elemento devido à sua
responsabilidade no comportamento da estrutura?
Evidentemente, para se ter uma resposta correta e defensável dessa questão é
necessário fazer estudos teóricos e práticos aprofundados, e não apenas usar a
intuição como referência (embora na Engenharia de Estruturas, esse quesito, às vezes,
é tão importante quanto um cálculo refinado).
Enquanto não se dispõe de uma formulação teórica que “acerte” em 100% dos casos
com a boa e coerente prática da Engenharia, é importante focar um
dimensionamento sempre a favor da segurança. Embora não tenhamos nenhum caso
de patologia ocorrido em função da esbeltez excessiva de pilares-parede (felizmente),
fica difícil mensurar a situação real desses elementos em relação ao ELU.
É exatamente sobre esse enfoque (a segurança) é que deve ser encarado o que será
exposto a seguir, que nada mais é do que a aplicação do que está prescrito na atual
norma de concreto, a NBR 6118:2003.
Apenas à título de informação, na recente publicação “Reinforced Concrete:
Mechanics and Design” de James G. MacGregor e James K. Wight, existe um capítulo
destinado ao estudo mais detalhado de pilares-parede.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 212
10.1 Efeitos localizados de 2ª ordem
Conforme já foi apresentado no capítulo anterior, os efeitos de 2ª ordem presentes
numa estrutura de concreto armado podem ser subdivididos em: globais, locais e
localizados.
Nos pilares-parede simples (uma lâmina) ou compostos (mais de uma lâmina), além
dos efeitos locais no lance como um todo, podem surgir efeitos concentrados em suas
extremidades devido ao aumento do esforço normal provocado pela atuação do
momento fletor segundo sua direção mais rígida. Esses são os chamados efeitos
localizados de 2ª ordem.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 213
Dispensa da análise dos efeitos localizados
Na NBR 6118:2003, item 15.9.2, tem-se:
Os efeitos localizados de 2ª ordem de pilares-parede podem ser desprezados se, para cada uma
das lâminas componentes do pilar-parede, forem obedecidas as seguintes condições:
a) a base e o topo da lâmina devem estar convenientemente fixados às lajes do edifício,
que conferem ao todo o efeito de diafragma horizontal.
b) a esbeltez i de cada lâmina deve ser menor que 35, podendo o cálculo dessa
esbeltez i ser efetuado através da expressão dada a seguir:
i
ei
ih
l.46,3
onde, para cada lâmina: lei é o comprimento equivalente e hi é a espessura.
O valor de lei depende dos vínculos de cada uma das extremidades verticais da lâmina,
conforme mostra a figura a seguir.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 214
Ou seja, num pilar retangular e num com formato “U”, tem-se:
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 215
Processos de cálculo
Existem inúmeras formas de calcular os efeitos localizados de 2ª ordem em um pilar-
parede. Seja uma metodologia simples ou mais sofisticada, é fundamental que as não-
linearidades presentes (física e geométrica) sejam retratadas de maneira coerente.
A seguir, serão estudados dois processos de cálculo com detalhes. O primeiro, mais
simples, é baseado no método aproximado recomendado na NBR 6118:2003. Já, o
segundo se baseia numa modelagem um pouco mais refinada (modelo com malha).
10.2 Método aproximado – NBR 6118:2003
Aplicabilidade
Esse método somente pode ser adotado quando a esbeltez de cada lâmina for
inferior a 90.
Descrição
Esse método é descrito no item 15.9.3 da NBR 6118:2003. Os efeitos localizados de 2ª
ordem são calculados a partir da subdivisão das lâminas do pilar-parede em faixas.
A largura de cada faixa deve ser ai = 3.h ≤ 100 cm.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 216
Decomposição de esforços
O esforço total atuante no pilar é decomposto para cada uma das faixas
considerando uma distribuição de tensões linear ao longo da seção, conforme ilustra
a figura a seguir.
O momento fletor decomposto na direção menos rígida de cada faixa geralmente é
pequeno, prevalecendo quase que sempre a aplicação do M1d,mín.
Cálculo dos efeitos de 2ª ordem
Cada faixa é calculada separadamente, como se fosse um pilar isolado.
Para análise dos efeitos de 2ª ordem, pode ser utilizado qualquer método aproximado
(pilar-padrão com 1/r aproximada, pilar-padrão com rigidez aproximada ou pilar-
padrão acoplado a diagrama N, M, 1/r) ou o Método Geral.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 217
O fato de cada faixa ser analisada de forma isolada é uma das grandes críticas ao
método, visto que a interação entre elas (que existe) é ignorada.
10.2.1 Exemplo 1
Trata-se de um pilar-parede retangular cujos dados são apresentados na figura a
seguir.
Esse exemplo foi apresentado em uma das palestras do ENECE2006.
Vamos analisar os efeitos localizados de 2ª ordem por meio do processo aproximado
da NBR 6118:2008, utilizando o método geral para o cálculo das faixas.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 218
A. Cálculo sem efeitos localizados
Inicialmente, apenas com o intuito de discutir mais a frente sobre o acréscimo de
armadura gerado pela análise dos efeitos localizados, vamos calcular o pilar-parede
somente considerando somente os efeitos locais de 2ª ordem, lembrando que,
segundo a NBR 6118:2003, isso não é permitido.
A.1 Cálculos iniciais
522,0
0,3.12x
mtfMM BxAx .4,8
mtfM míndx .2,182,0.03,0015,0.868,1
0,14,8
4,8.4,06,0 bx
35356,250,1
2,0
868/4,8.5,1225
11
xx
5,30,3
0,3.12y ; 351 y
A.2 Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem
Como x = 52 > 1x = 35 e y =3,5 < 1y = 35, então é necessário calcular os efeitos de 2ª
ordem na direção x. Para isso, vamos utilizar o método do pilar-padrão com rigidez
aproximada.
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mtfMM míndxdS .2,18,11
0,12,0.5.5 bA
92,72,18.2,0.5320
0,3.868868.2,0..5
320
..
22
1
2
2 dS
eSd
Sd MblN
NbB
9,6322,18.2,0.868.. 2
1
2 dSSd MbNC
mtfA
CABBM totSd .4,29
0,1.2
9,632.0,1.492,792,7
.2
..422
,
Conferindo a convergência segundo as fórmulas do item 15.8.3.3.3:
675,0
4,13000.3.2,0
868
9,39675,0.868.2,0
4,29.51.32
!.4,29
675,0/9,39.120
521
2,182, OKmtfM totSd
A.3 Dimensionamento
Os esforços que deversão ser cobertos pelo dimensionamento são:
NSd = 868 tf; MSdx = 8,4 tf.m; MSdy = 210 tf.m (topo e base)
NSd = 868 tf; MSdx = 29,4 tf.m; MSdy = 210 tf.m (meio)
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 220
Uma possível configuração de armadura que resiste adequadamente esses esforços é
apresentada a seguir.
Essa armadura equivale a uma taxa geométrica de 1,7%.Ac (100,5 cm2).
B. Cálculo com efeitos localizados
B.1 Armadura
Dividindo a lâmina do pilar-parede em 5 faixas com largura de 60 cm, e calculando os
efeitos localizados pelo método geral por meio de sucessivas verificações (já que para
aplicação desse método é necessário conhecer previamente a armação), chega-se
a seguinte configuração de armadura necessária:
Essa armadura equivale a uma taxa geométrica de 2,3%.Ac (138,2 cm2) e representa
um acréscimo de 38% em relação ao cálculo sem a consideração dos efeitos
localizados.
Como os momentos fletores em torno da direção mais rígida atuam de forma
simétrica, a distribuição das armaduras também deve ser simétrica.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 221
OBS.: recomenda-se sempre definir uma configuração de armaduras simétrica em
pilares-parede retangulares, a fim de evitar erros de posicionamento das mesmas
durante a construção.
B.2 Decomposição de esforços e rigidezes das faixas
Conhecendo a armadura e o esforço normal oriundo da decomposição da força
normal (NSd = 868 tf) e do momento fletor (Myd = 210 tf.m) atuante no pilar, pode-se
calcular a rigidez secante EI para cada faixa da lâmina por meio da montagem de
diagramas N, M, 1/r.
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B.3 Cálculo dos efeitos localizados
Com a rigidez definida em cada faixa, pode-se então fazer uma análise não-linear
geométrica discretizando cada faixa em vários segmentos (barras), com intuito de
obter os efeitos localizados de 2ª ordem.
Os principais resultados são apresentados resumidamente nas figuras a seguir.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 224
Percebe-se o surgimento de efeitos localizados de 2ª ordem na extremidade do pilar-
parede comprimida pelo momento fletor que atua na direção mais rígida.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 225
10.2.2 Exemplo 2
Nesse exemplo, vamos estudar um pilar composto por 3 lâminas com um formato de
um “U”, cujos dados são mostrados a seguir.
Ele representa uma situação típica de uma caixa de elevador comum nos edifícios de
concreto armado.
Analisando a esbeltez de cada lâmina de acordo com o comprimento le corrigido em
função de suas vinculações, percebe-se que é necessário calcular os efeitos
localizados de 2ª ordem, conforme mostra a figura a seguir.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 226
A. Cálculo sem efeitos localizados
O dimensionamento sem a consideração dos efeitos
localizados de 2ª ordem (em desacordo com a NBR
6118:2003) conduziria a um dimensionamento com
112 10 mm (88 cm2).
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Eng. Alio Ernesto Kimura 227
B. Cálculo com efeitos localizados
O dimensionamento com a consideração
dos efeitos localizados de 2ª ordem
calculados pelo processo aproximado da
NBR 6118:2003 conduziria a um
dimensionamento com 90 16 mm (181
cm2). Isso representa um aumento de 105%
em relação à análise sem os efeitos
localizados.
A decomposição de esforços e o cálculo de rigidez das
faixas é realizado de forma similar ao que foi feito no
exemplo anterior.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 229
Percebe-se o surgimento de efeitos localizados de 2ª ordem na extremidade livre do
pilar-parede comprimida pelo momento fletor.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 230
C. Enrijecimento das extremidades livres
Uma alternativa muito eficente para se evitar o acréscimo exagerado de armaduras
nas extremidades livres de pilar-parede, onde os efeitos localizados de 2ª ordem são
preponderantes, é enrijecer esses locais por meio da criação de “dentes de
concreto”.
Trata-se de um tipo de solução que os construtores não apreciam, pois dificulta a
execução da obra. Porém, é extremamente eficaz.
Veja, a seguir, um exemplo de enrijecimento num pilar de caixa de escadas.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 231
Vamos analisar o pilar-parede que calculamos a pouco criando “dentes de concreto”
de 20m nas extremidades livres, conforme ilustra a figura a seguir.
Analisando a esbeltez de cada lâmina de acordo com o comprimento le corrigido em
função de suas vinculações (que agora deve levar em conta os “dentes de concreto”
como enrijecedores das extremidades livres), percebe-se que não é mais necessário
calcular os efeitos localizados de 2ª ordem, conforme mostra a figura a seguir.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 232
Dessa forma, o dimensionamento conduziria a um
dimensionamento com 116 10 mm (91 cm2).
A criação dos “dentes de concreto” evitaria a
necessidade de acréscimo de armaduras nas
pontas.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 233
Apenas para comprovar que esse resultado está compatível, vamos subdividir o pilar-
parede em faixas e verificá-las.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 234
Embora a extremidade com o “dente de concreto” seja solicitada por uma força
normal de compressão maior (a área da faixa aumenta), note que os efeitos
localizados de 2ª ordem nas extremidades são pequenos. Os esforços de 2ª ordem
passam a ser maiores nas faixas que estão no meio das lâminas.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 235
10.3 Modelo com malha
Conforme já foi dito no início deste capítulo, o cálculo de pilares-parede é um dos
assuntos mais discutidos e criticados no meio técnico profissional após a entrada em
vigor da NBR 6118:2003.
Quando comparada com a extinta NB1-1980, na qual o pilar-parede era calculado
somente como um pilar comum, o dimensionamento considerando os efeitos
localizados de 2ª ordem pelo processo aproximado previsto na norma atual, gerou um
acréscimo significativo na taxa de armadura necessária.
Alguns artigos técnicos foram publicados procurando evidenciar a imprecisão do
método proposto na NBR 6118:2003. Esse fato deve, sim, ser considerado, mas com
ressalvas.
Os efeitos localizados de 2ª ordem, no Estado Limite Último (ELU), em paredes de
concreto com grande esbeltez podem ocorrer e precisam ser considerados de forma
a introduzir uma maior segurança nesses elementos que, como já vimos, possuem uma
grande responsabilidade na estabilidade da estrutura de um edifício.
O fato de até hoje não existir algum caso de patologia registrado que demonstre que
os efeitos localizados foram responsáveis por algum dano estrutural, não justifica a não
consideração desses efeitos no cálculo. Não podemos esperar que o ELU seja atingido
em um caso real para nos cercar de mais segurança no projeto estrutural.
Evidentemente, como em qualquer outro problema de Engenharia, é necessária a
execução de ensaios em laboratório para se ter uma noção mais realista do
comportamento de pilares-parede. Somente dessa forma, chegaremos à conclusão
se o que está definido na norma atual está realmente superestimando os efeitos
localizados de 2ª ordem.
Enquanto esses ensaios não forem realizados, é importante que a análise numérica
desse tipo de elemento seja cada vez mais aperfeiçoada, de tal forma a obter
resultados mais precisos e confiáveis.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 236
A maior crítica com relação ao processo aproximado definido na NBR 6118:2003 é a
subdivisão das lâminas do pilar-parede em faixas independentes entre si como se
fossem pilares isolados, pois isso vai contra a situação real.
A seguir, será apresentado e estudado por meio de exemplos um novo tipo de
modelagem que representa uma evolução do processo presente na norma.
Nessa modelagem, o pilar-parede continua sendo dividido em faixas, porém as
mesmas passam a ser interligadas umas às outras por meio de elementos transversais,
resultando numa malha de barras.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 237
Cada faixa é modelada por barras longitudinais que são interligadas por barras
transversais.
Dada a força normal (NSd) após a decomposição dos esforços totais no pilar-parede,
bem como a configuração de armaduras existente, são montados vários diagramas N,
M, 1/r que definem uma rigidez EIsec (a partir da linearização) para cada faixa.
Os efeitos de 2ª ordem são calculados por um processo iterativo que busca a posição
final de equilíbrio de todo conjunto.
As imperfeições geométricas são consideradas por meio da aplicação do momento
mínimo de 1ª ordem (M1d,mín) em cada faixa.
Enfim, trata-se de uma modelagem em que as não-linearidades física e geométrica
são consideradas de forma bastante refinada. Nada mais é do que o Método Geral
aplicado a um conjunto de barras.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 238
Esforços transversais
Devido à presença das barras transversais no modelo, além dos esforços ao longo de
cada faixa, obtêm-se também os esforços solicitantes (N, M e V) na direção transversal
do pilar-parede.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 239
Esses esforços podem ser utilizados no dimensionamento da armadura transversal
(estribos), lembrando que essas armaduras também devem ser verificadas e
dimensionadas para resistir outros tipos de efeitos, como por exemplo, a flambagem
das barras longitudinais.
No item 18.5 da NBR 6118:2003, tem-se:
“A armadura transversal de pilares-parede deve respeitar a armadura mínima de flexão de
placas, se essa flexão e a armadura correspondente forem calculadas. Em caso contrário, a
armadura transversal deve respeitar o mínimo de 25% da armadura longitudinal da face.”
Esse é um outro item que gerou uma grande discussão no meio técnico profissional,
principalmente por ter gerado um consumo excessivo de armadura transversal em
pilares-parede, muito embora na extinta NB-1:1980, item 6.3.1.4, a taxa mínima exigida
era de 50%, condição esta que poderia ser desprezada quando As > 2%.Ac ou l >
12,5mm.
A seguir, vamos resolver os mesmos exemplos calculados anteriormente pelo processo
aproximado da NBR 6118:2003, agora com a modelagem com malha.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 240
10.3.1 Exemplo 1
Trata-se de um pilar-parede retangular (já estudado anteriormente), conforme mostra
a figura abaixo.
A lâmina é subdivida em 5 faixas com largura de 60 cm, cada qual com uma
configuração de armadura pré-definida.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 241
Com a armadura e o esforço normal oriundo da decomposição da força normal (NSd
= 868 tf) e do momento fletor (Myd = 210 tf.m) atuante no pilar, calcula-se a rigidez
secante EI para cada faixa da lâmina por meio da montagem de diagramas N, M, 1/r.
É adotada a rigidez à flexão integral nas barras transversais (EIc), enquanto que a
rigidez à torção das mesmas é desprezada.
Com as rigidezes de todos os elementos definidos, pode-se então fazer uma análise
não-linear geométrica com intuito de obter os efeitos localizados de 2ª ordem.
Os principais resultados são apresentados resumidamente nas figuras a seguir.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 244
Conclusões
A modelagem com malha se comportou de forma adequada.
A ligação entre as faixas gerou uma diminuição dos efeitos localizados de 2ª
ordem (de 2,4 tf.m para 2,0 tf.m). Porém, nesse exemplo, isso não refletiria num
decréscimo na armadura consumida nas extremidades do pilar-parede.
Os momentos fletores nas barras transversais foram muito pequenos, reflexo da
ligeira deformação dos alinhamentos horizontais. Contudo, esses resultados não
podem ser considerados de forma exclusiva para o estabelecimento de uma
armadura transversal mínima.
Para se ter uma resposta mais conclusiva com relação aos efeitos localizados
de 2ª ordem, bem como da definição da armadura transversal necessária, deve-se
estudar inúmeros outros casos que podem estar presentes em estruturas de edifícios de
concreto armado. Veja apenas um deles a seguir.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 245
10.3.2 Exemplo 2
Trata-se de um pilar em “U” (já estudado anteriormente), conforme mostra abaixo.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 246
Os principais resultados obtidos pela modelagem com malha são apresentados a
seguir.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 247
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 248
Conclusões
A modelagem com malha se comportou de forma adequada.
A ligação entre as faixas gerou uma diminuição significativa dos efeitos
localizados de 2ª ordem (de 4,6 tf.m para 1,0 tf.m), não justificando o acréscimo de
armadura consumida nas extremidades do pilar-parede gerado pela aplicação do
processo aproximado (faixas isoladas).
Os momentos fletores nas barras transversais foram não foram tão pequenos,
pois as lâminas com uma borda livre praticamente “engastaram” na superfície
vinculada do pilar-parede. Esses esforços indicaram a necessidade da colocação de
armaduras transversais (estribos).
10.3.3 Exemplo 3
Finalmente, vamos fazer a análise do pilar em “U” com dentes de concreto em suas
extremidades livres por meio da modelagem com a malha.
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Conclusões
Novamente, a modelagem com malha se comportou de forma adequada.
Assim como no processo aproximado, os “dentes de concreto” se mostraram
muito eficientes com relação à estabilidade nas extremidades do pilar-parede. Os
efeitos localizados de 2ª ordem passaram a ser desprezíveis.
Os “dentes de concreto” também tiveram uma influência significativa na
resposta nas barras transversais do pilar-parede. A necessidade de armadura
transversal (estribos) para resistirem aos esforços gerados pela flexão das lâminas
diminuiu sensivelmente.
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11 Aspectos gerenciais de projeto
Os processos mais exatos (se é que existe “exatidão” na Engenharia) são normalmente
aqueles mais valorizados pelo meio acadêmico. Para um pesquisador, por exemplo,
não importa muito se o que está sendo adotado é algo inviável de ser colocado em
prática. Interessa, sim, a precisão dos resultados, o uso de formulações inovadoras e
deduções rebuscadas.
Paralelamente a esse panorama, existe o profissional que efetivamente faz o uso dos
processos criados em pesquisas na vida real. É a pessoa que precisa “colocar a
estrutura de pé” e que necessita gerenciar um conjunto de fatores ao mesmo tempo,
dentre eles a segurança, o conhecimento, a responsabilidade, a experiência, o bom-
senso e a produtividade. Nesse caso, nem sempre o mais preciso é o mais indicado
para ser usado de forma generalizada no cotidiano.
Vejamos um exemplo a seguir.
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Para o pesquisador, se o esforço no ponto M ultrapassar em 0,001 tf.m a resistência da
seção, o pilar não passa. Já, para o profissional, existem duas alternativas: ou “o pilar
passa”, pois está seguro de que existem outras aproximações tomadas à favor da
segurança, ou o “pilar não passa”, pois quer introduzir mais segurança à estrutura.
Enfim, são duas formas distintas de se encarar a Engenharia de Estruturas, cada qual
com a sua devida importância. O crescimento e a valorização dessa área, a
Engenharia de Estruturas, depende do sucesso de ambas as frentes, tanto a
profissional como a acadêmica.
O principal objetivo desse curso foi apresentar conceitos e informações a respeito do
cálculo de pilares de forma prática, objetiva, sem se aprofundar demasiadamente nas
formulações matemáticas. Ou seja, de uma forma mais direcionada para o
Engenheiro que necessita projetar estruturas de concreto armado.
Dessa forma, pretende-se fazer aqui um resumo de aspectos gerenciais importantes no
que se refere ao cálculo de pilares sem se deter ao preciosismo matemático e ao rigor
científico.
O intuito é aliar os conceitos apresentados ao longo curso com a prática do dia-a-dia,
de tal forma a auxiliar na tomada de decisões durante a elaboração de um projeto.
Não encare o que vai ser apresentado a seguir como regras fechadas, imutáveis e
infalíveis. São apenas colocações que devem ser encaradas sempre de forma muito
crítica, pois na Engenharia de Estruturas “cada caso é um caso”.
11.1 Importância dos pilares
Em primeiro lugar, é sempre muito importante relembrar que os pilares são elementos
essenciais no bom comportamento estrutural de um edifício. Dessa forma, verificar os
resultados emitidos por um sistema computacional passa a ser uma tarefa que
necessita ser realizada sempre com extremo cuidado e atenção.
No fundo, todo Engenheiro sabe da importância dos pilares. O que acontece é que,
devido a exigências arquitetônicas e principalmente ao intenso ritmo do cotidiano, isso
acaba sendo esquecido e o Engenheiro passa a correr mais riscos desnecessários.
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11.2 Visão gerencial
Nos dias de hoje, de um modo geral, os Engenheiros de Estruturas estão confiando
demais nos computadores. Isso é um fato consumado. A visão global do projeto e a
sensibilidade com relação à ordem de grandeza dos resultados estão sendo
“perdidas”.
Para que isso seja evitado, mais do que saber executar os cálculos nos mínimos
detalhes, é necessário saber gerenciar o projeto.
No caso de pilares, antes mesmo de entrar a fundo no seu dimensionamento, é
fundamental detectar quais são os pontos críticos da estrutura. Qual lance de pilar eu
não posso errar? Qual aquele que devo introduzir mais segurança? Quais são aqueles
que eu não preciso me preocupar?
As respostas dessas questões são a chave para um bom cálculo de pilares. Acontece
que respondê-las, quase sempre, não é uma tarefa fácil e direta como se imagina.
A seguir, serão apresentados alguns pontos que podem auxiliá-lo a responder essas
perguntas.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
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11.2.1 Análise estrutural
Foque a análise estrutural em primeiro lugar. Se essa etapa for bem resolvida, “meio
caminho estará andado” para que o projeto seja um sucesso. Muitas vezes, quando
surgem problemas no dimensionamento, os porquês dessas ocorrências são
encontrados na modelagem adotada. O dimensionamento das armaduras é reflexo
direto da análise estrutural.
Uma simples visualização gráfica da distribuição de esforços ao longo do edifício já
pode auxiliar bastante.
Na medida do possível, duplique edifícios, estude várias alternativas, de tal forma a
obter uma “estrutura ideal”. Nisso, o computador pode nos ajudar bastante.
11.2.2 Valores globais
Durante a elaboração de um projeto estrutural, não é função do Engenheiro de
Estruturas verificar os resultados obtidos por um sistema computacional nos mínimos
detalhes. Nem existe tempo disponível para isso. O objetivo é evitar que erros grosseiros
passem de forma despercebida.
Por isso, num primeiro momento, é conveniente recorrer a relatórios que forneçam
resultados globais que despertem algum tipo de sensibilidade com relação aos
cálculos efetuados pelo computador. Somente utilize relatórios que possuem detalhes
de esforços, que geralmente são listagens “infinitas”, quando for necessário averiguar
algum valor específico após o checklist inicial.
Não adianta abrir um relatório de montagem de carregamentos utilizados no
dimensionamento de pilares para ser verificado do início ao fim. Ele é bastante útil
apenas no momento em que se deseja saber, por exemplo, porque a magnitude de
um esforço num determinado lance de pilar está exagerada.
A seguir, serão apresentados e discutidos alguns valores que podem ser úteis durante a
avaliação global do cálculo de pilares.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 256
Índice de esbeltez
Basicamente, os pilares podem ser classificados de acordo com o seu índice de
esbeltez da seguinte forma:
Nas estruturas usuais de concreto armado, a grande maioria dos pilares tem um índice
de esbeltez inferior a 90. Em certos casos particulares na qual a arquitetura do edifício
impõe uma geometria mais ousada, adotam-se pilares mais esbeltos (90 < ≤ 140).
Casos de pilares com índice de esbeltez superior a 140 são raros e devem ser evitados.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
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A definição do índice de esbeltez de um trecho de pilar depende diretamente das
condições de vínculo em suas extremidades. Usualmente, elas são consideradas livres
ou restritas à translação e à rotação, muito embora na vida real de edifícios de
concreto armado, que é monolítica, nenhum desses casos (totalmente livre ou
totalmente restrito) ocorra.
Embora os sistemas computacionais atuais procurem detectar as condições de vínculo
dos pilares de forma automática, é sempre conveniente averiguar se os valores de
esbeltez de cada lance estão dentro do esperado.
Lembre-se sempre que um pilar com = 90 já é bastante esbelto. Num trecho
biapoiado com seção de 25 x 40, para atingir esse valor é necessário um comprimento
equivalente de 6,5 m.
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É conveniente evitar a adoção de pilares esbeltos num edifício de forma generalizada,
pois isso pode comprometer à segurança do edifício. Os pilares esbeltos são mais
sensíveis às imperfeições geométricas e aos efeitos de 2ª ordem.
Não é porque existem processos que permitem o cálculo de pilares com até = 200,
que os pilares com esbeltez elevada devem ser definidos de forma generalizada e
arbitrária.
Após o processamento do edifício, procure separar os trechos de pilares com > 90
para serem avaliados com mais detalhes.
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Taxa de compressão
Um pilar de concreto armado está predominantemente sujeito a uma compressão
gerada pelas ações atuantes no edifício. De uma forma geral, é interessante avaliar o
nível de compressão nos lances de pilares calculando a tensão ou a força normal
adimensional gerada pelas cargas verticais totais.
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É difícil estabelecer um limite máximo para a tensão de compressão ou para a força
normal adimensional, visto que o dimensionamento final da seção do pilar é
dependente de diversos outros fatores. Mas, de uma forma geral, ≥ 1,0 já representa
uma taxa de compressão considerável.
Após o processamento do edifício, procure dar atenção a trechos de pilares com ≥
1,2, e verifique a possibilidade diminuir a taxa de compressão aumentando a seção de
concreto ou alterando a estrutura.
Além disso, é recomendável que os pilares tenham taxas de compressão similares na
base do edifício, de tal forma a evitar uma situação em que alguns deles estejam
“folgados” e os outros “muito carregados”.
Taxa de armadura
A NBR 6118:2003 estabelece 0,4%.Ac e 8%.Ac como taxas geométricas de armaduras
longitudinais mínimas e máximas numa seção de pilar, respectivamente. Na prática,
valores acima de 2%.Ac já podem ser considerados elevados.
Após o processamento do edifício, separe os trechos de pilares que possuem uma
taxa de armadura superior a 2%.Ac, e verifique a possibilidade diminuir esse valor
aumentando a seção de concreto ou alterando a estrutura.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 261
Na vida real
De acordo com o exposto anteriormente, não significa que nunca possamos definir
um lance com > 90 ou com > 1,2 ou com uma taxa de armadura superior a 2%.Ac,
pois, na vida real, são situações que invariavelmente acontecem.
O importante é ter noção do que elas representam para o comportamento da
estrutura, de tal forma a sempre priorizar um cálculo de pilares que alie segurança e
economia.
Cada Engenheiro, com a sua experiência, deve ir memorizando em sua mente valores
ou índices globais que o auxiliem a gerenciar o cálculo de pilares. Na prática, muitas
vezes, isso acaba até sendo mais importante do que saber calcular “um pilar na mão”.
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11.3 Imperfeições geométricas
Já foi dito que um pilar de concreto armado é bastante sensível perante as
imperfeições geométricas locais, e que a consideração das mesmas é obrigatória em
seu cálculo.
A NBR 6118:2003 estabelece duas alternativas para se considerar as imperfeições
geométricas locais: pela verificação do momento mínimo de primeira ordem (M1d,mín)
ou pela aplicação de uma excentricidade adicional gerada por uma inclinação a.
Daí, vem a pergunta: qual devo utilizar?
No Brasil, é mais comum o uso do M1d,mín, que tende a gerar um dimensionamento à
favor da segurança (não é regra geral). Durante esse curso, foi estudado com
detalhes apenas a aplicação do M1d,mín por meio da definição das envoltórias
mínimas, proposta na publicação “Comentários da NB-1” do Ibracon.
Apenas para relembrar, essa envoltória é verificada sem grandes dificuldades por
meio de duas flexões compostas normais.
11.4 Efeitos locais de 2ª ordem
Esse foi o tema mais estudado durante todo o curso.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 263
Devido ao fato de que a recente norma de concreto permite a aplicação de 4
métodos distintos, gerou-se muitas dúvidas com relação a esse assunto no meio
técnico profissional. Qual método devo utilizar?
Conforme já foi apresentado, cada um dos métodos tem suas próprias limitações
muito bem prescritas na NBR 6118:2003. No entanto, sob o ponto de vista gerencial de
projeto, pode-se definir a abrangência de cada um dos processos de uma forma um
pouco mais específica. Isso será discutido nos itens seguintes.
11.4.1 Aspectos gerais
Conforme se pôde observar durante a resolução dos exemplos ao longo do curso, o
uso de processos mais sofisticados (pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r e
método geral) tende a levar a um dimensionamento mais econômico. Em certos
casos, a redução da armadura não é pequena.
No entanto, é importante ter em mente que o uso de processos mais refinados, e a
conseqüente redução de armaduras, leva a uma estrutura “mais enxuta”, e portanto,
que fica mais propensa a atingir um Estado Limite Último. Na vida real, não temos a
noção exata do quanto estamos perto ou longe do ELU considerado nos cálculos.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 264
Por isso, é recomendável que o uso de processos mais refinados no dimensionamento
de armaduras de pilares, de forma generalizada, seja feito apenas se o Engenheiro
tenha total segurança e controle da modelagem utilizada para simular a estrutura.
Caso contrário, deve-se sempre primar pela segurança da estrutura.
É muito importante lembrar que existem especialistas renomados que defendem que
uma maior segurança seja introduzida no cálculo atual dos pilares.
Vale a pena se arriscar?
Estudar e experimentar
Nos sistemas computacionais atuais, pode-se verificar um lance de pilar por qualquer
um dos métodos de forma bastante fácil. Isso auxilia, e muito, no entendimento do
assunto (que é complexo), em adquirir mais confiança nos resultados emitidos pelo
computador e em enxergar melhor as aproximações inerentes de cada método.
É recomendável, portanto, que se utilize o software como ferramenta de aprendizado,
e não apenas como ferramenta de projeto. Na medida do possível, estude casos
aplicando os 4 métodos disponíveis para análise dos efeitos locais de 2ª ordem.
11.4.2 Pilar-padrão com 1/r aproximada X Pilar-padrão com aproximada
Para o dimensionamento de pilares retangulares com armadura simétrica e < 90,
sugere-se aplicar o método do pilar-padrão com rigidez aproximada. Esse processo,
ao mesmo tempo em que é um pouco mais econômico que o pilar-padrão com 1/r
aproximada, já foi exaustivamente estudado, é seguro e está sendo largamente
aplicado nos dias atuais.
Em casos de pilares com < 90, não-retangulares ou com armadura assimétrica,
recomenda-se o uso do pilar-padrão com 1/r aproximada.
11.4.3 Pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r
Na grande maioria dos casos, o método do pilar-padrão acoplado a diagramas N, M,
1/r resultará num dimensionamento mais econômico que os métodos comentados no
item anterior.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 265
É importante ressaltar que pequenas variações do valor da rigidez extraída do
diagrama em relação ao aproximado, podem gerar alterações bruscas no
momento total final (MSd,tot).
O uso o pilar-padrão acoplado é obrigatório para o dimensionamento de pilares com
esbeltez entre 90 e 140.
Em casos de pilares não-retangulares ou com armadura assimétrica, seu uso deve ser
feito com certas restrições.
Embora possa ser aplicado no dimensionamento de pilares com < 90, de forma
generalizada, recomenda-se o uso do pilar-padrão acoplado a diagramas somente
em casos específicos. Por exemplo: quando o Engenheiro da obra solicita a
verificação de um lance de pilar em que o seu concreto não atingiu a resistência
esperada, e é necessário analisar com mais precisão se o mesmo pode ser mantido ou
precisa ser refeito.
11.4.4 Método geral
Para o dimensionamento de armaduras, de forma generalizada, sugere-se utilizar
sempre os métodos aproximados, devido ao fato de que processamento com o
método geral é bem mais lento do que o cálculo com qualquer processo aproximado,
pois para cada trecho de pilar analisado pelo método geral é necessário executar
uma busca iterativa da sua posição final de equilíbrio.
Num processamento que leve em conta todos os pilares de um edifício via método
geral pode-se tornar muito mais oneroso que o cálculo com um dos métodos
aproximados. Isso pode prejudicar significativamente a produtividade durante a
elaboração do projeto.
Assim como o pilar-padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r, o método geral é mais
indicado para verificação de situações específicas, como foi exemplificado no item
anterior. Nesses casos, sua grande vantagem é que ele nos consegue retratar a real
situação do pilar perante o ELU.
O uso do método geral é obrigatório para pilares com > 140. Recomenda-se adotar
um coeficiente ponderador adicional (n = 1,4) nesses casos.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 266
11.5 Pilar-parede
A análise de pilares-parede ainda tem um longo e difícil caminho de estudos e
pesquisas, de tal forma a se chegar a resultados sempre seguros e coerentes com a
prática.
Encare o processo aproximado para análise dos efeitos localizados de 2ª ordem
presente na NBR 6118:2003 apenas como um estágio inicial, e não como algo
definitivo. Alguns artigos já mostraram que esse método, em certos casos, pode se
tornar impreciso.
Enquanto aguardamos uma solução definitiva para esse problema, é necessário bom-
senso na tomada de decisões.
Na medida do possível, evite a adoção de pilares-paredes com grandes esbeltez, pois
isso resultará num elevado consumo de armaduras em suas extremidades livres. Muitas
vezes, ao aumentar um pouco a espessura da lâmina, os efeitos localizados de 2ª
ordem podem se tornar insignificantes.
Uma outra boa alternativa já abordada anteriormente é o enrijecimento das
extremidades do pilar-parede com “dentes de concreto”.
Os efeitos localizados de 2ª ordem somente são preponderantes em paredes de
concreto com elevada esbeltez.
11.5.1 Casos especiais
Em casos particulares e especiais, sempre procure privilegiar a segurança.
Isso, sim, é uma regra geral no dimensionamento de pilares de concreto
armado.
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Eng. Alio Ernesto Kimura 267
12 Tendências
Prever o futuro é uma tarefa bastante complicada, mas é possível fazer algumas
indicações com relação ao cálculo de pilares de concreto armado.
Complexidade inevitável
Embora todo tipo de aproximação de um problema de Engenharia seja algo
extremamente salutar (na essência, fazer Engenharia, muitas vezes, é simplificar o que
existe na vida real), o cálculo de pilares tenderá a ser cada vez mais refinado e
sofisticado, tornando-se, inevitavelmente, mais complexo.
Se existisse uma fórmula simples que possibilitasse o cálculo de todo e qualquer tipo de
pilar de forma precisa, segura e infalível, seria ótimo! Talvez isso venha a ocorrer no
futuro, mas é pouco provável por enquanto.
Uso intenso de computadores
O uso de computadores estará cada vez mais presente na análise de pilares. No dia-
a-dia de elaboração de projetos estruturais, onde cada vez mais a produtividade se
torna um requisito indispensável, fica difícil imaginar o trabalho de um Engenheiro de
Estruturas sem o auxílio de sistemas computacionais.
12.1 NBR 6118:2008
A evolução da nossa norma de concreto, a NBR 6118, seja talvez uma das
necessidades mais importantes de toda Engenharia de Estruturas, uma vez que a
mesma é o mecanismo mais eficiente para se fazer o elo entre a teoria e a prática.
No que se refere ao cálculo de pilares, as novidades que podem fazer parte da
próxima revisão da NBR 6118 prevista para 2008, são:
Melhoria no texto que descreve o momento mínimo de 1ª ordem (M1d,mín),
indicando o uso das envoltórias mínimas como forma de verificação das imperfeições
geométricas locais.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
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Inclusão da formulação direta do método do pilar-padrão com rigidez
aproximada.
0.. ,
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dSSd
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Melhorias com relação ao cálculo dos efeitos localizados de 2ª ordem em
pilares-parede que, conforme já foi dito anteriormente, ainda tem muito que evoluir.
12.2 Futuros modelos
Conforme já foi apresentado logo no início desse curso, o cálculo de pilares que
efetuamos hoje em dia possui várias aproximações.
Vamos relembrar como calculamos os pilares atualmente.
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Curso ABECE – Cálculo de pilares de concreto armado
Eng. Alio Ernesto Kimura 269
Inicialmente, a estrutura como um todo é calculada no computador por meio de uma
modelagem numérica (modelo global).
- Os pilares estão imersos nesse
modelo global, vinculados às vigas.
- A rigidez à flexão EI da seção
transversal dos pilares é minorada a
fim de considerar a não-linearidade
física de forma aproximada (0,7.EIc
ou 0,8.EIc).
- Os efeitos globais de 2ª ordem são
avaliados pelo coeficiente z ou pelo
processo P-.
- Podem ser consideradas as
imperfeições geométricas globais.
Uma vez efetuado o cálculo global, cada lance de pilar é extraído desse modelo e
passa a ser analisado de forma isolada (modelo local).
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Eng. Alio Ernesto Kimura 270
- As vinculações no topo e na
base passam a ser tratadas de
forma bastante simplificada
(apoios simples ou engaste).
- A não-linearidade física, por
sua vez, é considerada de
forma mais refinada (1/r aprox.,
rigidez aprox., rigidez acoplada
a diagrama N, M, 1/r).
- Os efeitos locais de 2ª ordem
são então avaliados por pilar-
padrão ou processo iterativo
mais refinado (“P-”).
- São consideradas as
imperfeições geométricas
locais e a fluência.
Note que foram adotados dois tipos de modelos, global e local, na análise de um
mesmo pilar. E que, para cada um deles, são impostas simplificações distintas, embora
o elemento estudado seja o mesmo.
- Por que considerar a NLF de forma distinta nos modelos globais e locais?
- Os efeitos de 2ª ordem globais e locais não acontecem de forma conjunta?
Enfim, são aproximações necessárias para se viabilizar o dimensionamento de pilares
durante a elaboração de um projeto estrutural no atual estágio da Engenharia.
É de se esperar, no entanto, que esse tipo de abordagem evolua. É quase que certo
que o cálculo de pilares vai ser aperfeiçoado de tal forma que essas simplificações,
aos poucos, sejam deixadas de lado.
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12.2.1 Exemplo
A seguir, será apresentado um novo tipo de modelagem, chamado daqui em diante
de “Pórtico NLFG” (pórtico não-linear físico e geométrico), que pode se tornar comum
no dia-a-dia do Engenheiro de Estruturas.
Seja uma estrutura hipotética de concreto
armado, conforme mostra a figura ao lado.
Processo de verificação
Imagine que as armaduras nos pilares e nas vigas sejam
conhecidas, e que se deseja verificar a estrutura no Estado
Limite Último (ELU) perante as solicitações normais,
considerando as não-linearidades (física e geométrica) de
forma refinada.
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Discretização
Toda a estrutura é então modelada por meio de um pórtico espacial, sendo que cada
vão de viga e lance de pilar é discretizado por várias barras.
Essa discretização mais refinada permitirá uma melhor análise dos efeitos das não-
linearidades física e geométrica.
Não-linearidade física
A não-linearidade física nas vigas e pilares do Pórtico NLFG é considerada por meio da
obtenção de rigidezes à flexão EI a partir das relações momento-curvatura (M x 1/r ou
N, M, 1/r) em cada seção do pórtico espacial.
As rigidezes de cada barra que representam um trecho de viga ou pilar são
calculadas de acordo com a geometria e as armaduras detalhadas em cada
elemento estrutural, bem como os esforços solicitantes iniciais obtidos por um pré-
processamento. Dessa forma, a consideração aproximada comumente adotada nos
modelos ELU (0,4.EIc para vigas e 0,8.EIc para pilares), é integralmente substituída por
um cálculo mais refinado.
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Nos pilares, são calculadas as rigidezes à flexão nas duas direções (EIy e EIz). Nas vigas,
é calculada apenas a rigidez à flexão EIy. A rigidez lateral EIz, comumente modificada
para simular o efeito de diafragma rígido das lajes, não é corrigida.
Nos pilares, as rigidezes são calculadas
exatamente de acordo com o
diagrama N, M, 1/r definido na NBR
6118:2003. Ou seja, considera-se uma
tensão de pico igual a 1,1.fcd, com a
possibilidade de considerar f3 = 1,1.
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Já, nas vigas, as rigidezes são obtidas
com o diagrama calculado com
0,85.fcd e f3 = 1,0.
As forças normais nas vigas também
são consideradas.
Tanto nas vigas e pilares, as rigidezes podem ser obtidas por meio da linearização dos
diagramas momento-curvatura nas quais as duas direções são desacopladas (reta),
ou por meio da curva oblíqua (superfície) obtida com os esforços solicitantes
concomitantes nas duas direções.
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Não-linearidade geométrica
A não-linearidade geométrica, ou seja, a influência da forma da estrutura à medida
que o carregamento é aplicado sobre a mesma, é considerada por meio de uma
análise não-linear na qual a posição de equilíbrio da estrutura é calculada
iterativamente (P-).
A grande diferença é que, como cada lance de pilar e vão de viga é discretizado em
inúmeras barras, além dos efeitos globais de 2ª ordem, são flagrados também os
efeitos locais de 2ª ordem, de forma conjunta e concomitante.
Outro grande avanço é que as vinculações nos extremos de cada lance
de pilar no cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem são consideradas de
forma mais realista. Não há mais a aproximação de considerar cada
trecho biapoiado ou engastado na base.
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Imperfeições geométricas
No Pórtico NLFG, podem ser consideradas imperfeições geométricas globais ou locais.
Essas imperfeições são impostas no modelo através da alteração direta da geometria
da estrutura.
Uma grande vantagem desse tipo de abordagem é que os efeitos gerados pelas
imperfeições locais passam a ser absorvidas por todo conjunto de vigas e pilares, e
não mais apenas por um lance de forma isolada.
Fluência
O efeito da fluência ou deformação lenta do concreto é considerado por meio de
uma correção direta nas deformações em cada seção, que por sua vez influencia
diretamente na curvatura da mesma.
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Essa correção é feita através de uma majoração nas deformações no concreto
(encurtamentos) por (1+ ), sendo o coeficiente de fluência definido na NBR
6118:2003.
Dessa forma, a obtenção da rigidez EI do diagrama momento-curvatura é alterada.
Verificação ELU
Ao término do processamento, após a obtenção dos esforços finais em cada barra do
Pórtico NLFG, é realizada a verificação de cada trecho de viga e pilar perante os
esforços normais (força normal + momentos fletores) no Estado Limite Último (ELU),
levando-se em conta todas as prescrições presentes na NBR 6118:2003.
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13 Referências bibliográficas
O que se apresenta a seguir é uma modestíssima lista de referências bibliográficas
utilizadas para a elaboração dessa apostila. O cálculo de pilares de concreto armado
vem sido estudado de longa data, de tal forma que existem inúmeros trabalhos sobre
esse assunto.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT), “NBR 6118:2003 - Projeto de
estruturas de concreto – Procedimento”, Rio de Janeiro, 2003.
COVAS, N. C & KIMURA, A. E., “Efeitos locais de 2ª ordem em pilares”, São Paulo, 2003.
COVAS, N. C & BOLINELLI JR., H. L., “Efeitos localizados de 2ª ordem em pilares-parede”,
São Paulo, 2003.
FRANÇA, R. L. S., “Contribuição ao estudo dos efeitos de segunda ordem em pilares de
concreto-armado”, Tese de doutoramento, São Paulo, 1991.
FRANÇA, R. L. S., “Relações momento-curvatura em peças de concreto-armado
submetidas à flexão oblíqua composta”, Dissertação de mestrado, São Paulo, 1984.
FRANÇA, R. L. S. & KIMURA, A. E., “Resultados de recentes pesquisas para o
dimensionamento das armaduras longitudinal e transversal em pilares-parede”, ENECE,
São Paulo, 2006.
FUSCO, P. B., “Estruturas de Concreto – Solicitações Normais”, LTC - Livros Técnicos e
Científicos Editora, Rio de Janeiro, 1981.
GRAZIANO, F. P., “Alterações no consumo de aço no dimensionamento de pilares de
edifício empregando-se a NBR-6118-2003 – Comparação de resultados”, ENECE, São
Paulo, 2004.
IBRACON, “Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação NB-1”, Comitê Técnico
Concreto Estrutural, São Paulo, 2007.
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INSTITUTO DE ENGENHARIA, “Coletânea de trabalhos sobre estabilidade global e local
das estruturas de edifícios”, São Paulo, 1997.
KIMURA, A. E., “Informática Aplicada em Estruturas de Concreto Armado”, Editora Pini,
São Paulo, 2007.
MACGREGOR, J. G & WIGHT, J. K., “Reinforced Concrete: Mechanics and Design”,
Pearson - Prentice Hall, New Jersey, 2005.
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO CONTINUADA (PECE), “ES009 - Estabilidade global e
análise de peças esbeltas”, Universidade São Paulo, Notas de aula, 2003.
SANTOS, L.M., “Estado limite último de instabilidade”, EP/USP, São Paulo, 1987.
STUCCHI, F. R., “Estágio atual da análise da NBR 6118 – pró-revisão 2008”, ENECE, São
Paulo, 2007.
TQS INFORMÁTICA, Curso CAD/TQS v11 NBR 6118:2003, São Paulo, 2003.
TQS INFORMÁTICA, Fluxogramas CAD/Pilar, São Paulo, 2004.
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