geraÇÃo aleatÓria de polÍgonos geraÇÃo e partiÇÃo de polÍgonos ana gonçalves inês matos...

GERAÇÃO GERAÇÃO ALEATÓRIA DE ALEATÓRIA DE

POLÍGONOSPOLÍGONOSGERAÇÃO E PARTIÇÃO DE GERAÇÃO E PARTIÇÃO DE

POLÍGONOSPOLÍGONOS

Ana GonçalvesAna Gonçalves

Inês MatosInês Matos

Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro

2

DEFINIÇÕEDEFINIÇÕESS

3

Definições

Polígono Monótono: um polígono simples diz-se monótono em relação a alguma direcção se todas as linhas perpendiculares a essa direcção intersectam o polígono, no máximo, em dois pontos ou num intervalo fechado quando coincide com uma aresta.

Exemplos:

x

y

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Definições

Grafo de Visibilidade: grafo cujos vértices são os mesmos do polígono simples e onde dois vertices são adjacentes se são mutuamente visíveis. As arestas deste grafo são chamadas de arestas de visibilidade e o número de arestas deste grafo será denotado por K.

Exemplo:

v

5

Definições

Heurística: também algoritmo heurístico, utiliza-se quando existe um procedimento que encontra uma boa solução para resolver um certo problema. No entanto, essa solução pode não ser óptima e pode mesmo dar-se o caso do procedimento não encontrar qualquer solução (apesar dela existir).

Posição Geral: um conjunto de pontos está em posição geral se não existirem três pontos colineares ou quatro pontos cocirculares.

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GERAÇÃO GERAÇÃO DE DE

POLÍGONOPOLÍGONOSS

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Geração de Polígonos

Por geração uniforme de polígonos aleatórios entende-se que cada polígono gerado tem probabilidade 1/k de ocorrer, se existirem k polígonos possíveis.

A geração uniforme de polígonos aleatórios é um problema para o qual não se conhece solução polinomial.

Sendo assim, temos que recorrer a heurísticas para gerar polígonos. No entanto, a heurística que escolhemos deve ser condicionada pela solução que queremos obter.

8


Que tipo de polígono queremos gerar?

Qual a característica que queremos impôr ao polígono final?

Simples Monótono Estrelado Ortogonal Convexo...

Polígono com n vértices Polígono com n vértices reflexos Polígono a partir de um dado conjunto de pontos Polígono com uma dada área...

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Geração de Polígonos Simples

Sobre este problema existem dois trabalhos que se evidenciam dos restantes. Ambos partem de um conjunto S de pontos no plano (em posição geral) que são os vértices do polígono simples final.

O trabalho mais conhecido é o RPG – Heuristics for the Generation of Random Polygons de Thomas Auer e Martin Held. Nele podemos encontrar diversas heurísticas para gerar polígonos simples.

http://www.cosy.sbg.ac.at/~held/projects/rpg/rpg.html

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Geração de Polígonos Estrelados

Star Universe(gera todos os polígonos estrelados possíveis)

Quick Star – O(nlogn)(gera uniformemente todos os polígonos estrelados possíveis)

Um polígono estrelado é determinado pelo seu núcleo. O conjunto de todos os núcleos forma uma partição do invólucro convexo. Para gerar todos os polígonos estrelados, trabalha-se sobre esta partição. A complexidade deste algoritmo é elevada.

Star Universe

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Quick Star

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Quick Star Determina o invólucro convexo

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Quick Star Escolhe um ponto interior

p0

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Quick Star Ordena os restantes pontos em torno desse ponto interior

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Quick Star Ligar os pontos por ordem

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Quick Star

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Ligar os pontos por ordem

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Quick Star

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Ligar os pontos por ordem

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Quick Star Polígono Estrelado Final

O(nlogn)

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Steady Growth – O(n2)(não gera todos os polígonos simples possíveis)

Space Partitioning – O(nlogn)(não gera todos os polígonos possíveis)

Permute & Reject - O(nlogn) (gera todos os polígonos possíveis uniformemente)

2-Opt Moves - O(n3)(gera todos os polígonos possíveis embora não seja uniforme)

Incremental Construction & Backtracking

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Steady Growth

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Steady Growth Encontrar três pontos que formem um triângulo vazio

s1

s2

s3

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Steady Growth Escolher um ponto si tal que não exista nenhum

ponto de S\{s1,s2,s3} interior a CH(s1,s2,s3,s4)

s1

s2

s3

s4

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Steady Growth Encontrar uma aresta do polígono já formado que seja completamente visível para si

s1

s2

s3

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Steady Growth Criar duas novas arestas e ir acrescentando os vários pontos, um a um, ao polígono já formado

s1

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Steady Growth Continuar com este procedimento para todos os diferentes pontos

s1

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Steady Growth Polígono Simples Final

O(n2)

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Space Partitioning Escolher dois pontos aleatórios

i1

f1

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Space Partitioning Separar os pontos de S em dois conjuntos

i1

f1

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Space Partitioning

i1

f1

Separar os pontos de S em dois conjuntos

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Space Partitioning Escolher um ponto x1 do conjunto da esquerda

i1

f1

x1

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Space Partitioning Dividir os pontos deste conjunto através de uma recta que passa por x1 e intersecta a recta inicial

i1

f1

x1

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Space Partitioning Dividir os pontos deste conjunto através de uma recta que passa por x1 e intersecta a recta inicial

i1

f1

x1

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Space Partitioning Continuar com este processo até existir um conjunto vazio

i1

f1

x1

x2

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Space Partitioning A aresta é formada pelo início e fim do conjunto em questão

i1

f1

x1

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Space Partitioning A aresta é formada pelo início e fim do conjunto em questão

i1

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Space Partitioning

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Space Partitioning

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Space Partitioning

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Space Partitioning

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Space Partitioning

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O início e o fim trocam para o conjunto da direita

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Space Partitioning

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Space Partitioning

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Space Partitioning

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Space Partitioning

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Space Partitioning

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Space Partitioning

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Space Partitioning Polígono Simples Final

O(nlogn)

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Permute & Reject

Começa por calcular uma permutação dos índices dos pontos (pode ser feita em tempo linear).

De seguida liga os pontos pela ordem da permutação e depois verifica se gerou ou não um polígono simples.

Se o polígono final não for simples, então gera uma nova permutação de índices.

A verificação da existência de intersecções no polígono também é feita em tempo linear, mas o tempo real do método depende apenas de quantos polígonos necessitam ser gerados até encontrar um que seja realmente simples.

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2-Opt Moves

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2-Opt Moves Ligar os pontos de S aleatoriamente, por exemplo, pela ordem por que foram gerados

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2-Opt Moves Como não resultou num polígono simples, procura uma intersecção, por ex, s2s3 e s1s11

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2-Opt Moves Desfaz as intersecções criando as arestas s11s3 e

s1s2 ou s1s3 e s2s11.

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2-Opt Moves Desfaz as intersecções criando as arestas s11s3 e

s1s2 ou s1s3 e s2s11.

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2-Opt Moves Continua com este processo de modo a desfazer as ligações sem desconexar o polígono.

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2-Opt Moves Polígono Simples Final

O(n3)

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Incremental Construction & BacktrackingEscolher dois pontos aleatoriamente e uni-los. Prosseguir escolhendo um ponto aleatório e ligando aos anteriores enquanto a cadeia se mantiver simples. Aplicar backtracking quando existir uma intersecção.

Obviamente, um dos objectivos principais é evitar o backtracking exaustivo.

Este algoritmo gera todos os polígonos simples possíveis com boa probabilidade. A sua eficiência depende do número de backtrackings que foram necessários.

95


Existe ainda uma heurística que é uma adaptação do algoritmo Steady Growth. Esta encontra-se no trabalho Generación de Polígonos Aleatorios de Pau Sanchez Campello.

Partition Growth - O(t log t)(gera polígonos com pelo menos n vértices)

t é o número de vértices a mover sobre uma recta

96


Partition Growth Número mínimo de vértices do polígono é 10.

Gerar um polígono com três vértices.

97


Partition Growth Gerar uma recta que intersecte o polígono

98


Partition Growth Determinar os pontos de intersecção entre a recta e o polígono.

99


Partition Growth Dividir em dois as arestas do polígono que são intersectadas pela recta

100


Partition Growth Deslocar aleatoriamente todos os pontos de intersecção sobre a recta, mantendo a ordem relativa das intersecções (para não produzir novas intersecções).

101


Partition Growth O número de pontos é menor que 10.Gerar outra recta que intersecte o polígono.

102



103



104


Partition Growth Deslocar aleatoriamente todos os pontos de intersecção sobre a recta, mantendo a ordem relativa das intersecções (para não produzir novas intersecções).

105


Partition Growth Número de pontos é menor que 10.Gerar uma recta que intersecte o polígono.

106



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Partition Growth Deslocar aleatoriamente todos os pontos de intersecção sobre a recta mantendo a ordem relativa das intersecções (para não produzir novas intersecções).

109


Partition Growth Número de pontos é maior que 10.

O(t log t)

110

Existe outra heurística para gerar polígonos estrelados que é apresentada em Generating Random Star-Shaped Polygons de Christian Sohler.

Las Vegas – O(n2logn)

A heurística constrói uma partição do plano que define todos os núcleos de polígonos estrelados (não degenerados) num conjunto de pontos S. Trabalhando sobre esta partição, podemos gerar todos os polígonos estrelados.


111


O outro trabalho tem o nome de POPS - Polygonalizations of Point Sets de G.T. Toussaint, V. Sitaru, T. Ruso. Nele podemos encontrar outras heurísticas para gerar polígonos simples aleatoriamente.

http://www.cs.mcgill.ca/~ktulu/507/

Convex Bottom - O(nlogn)(não gera todos os polígonos simples possíveis)

Two Peasants - O(nlogn)(não gera todos os polígonos simples possíveis)

Radar Sweep - O(nlogn)(não gera todos os polígonos estrelados possíveis)

112


Convex Bottom

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Convex Bottom Encontrar os pontos de menor e maior abcissa

xmin

xmax

114


Convex Bottom

xmin

xmax

Criar uma recta e dividir os pontos

115


Convex Bottom

xmin

xmax

Criar uma recta e dividir os pontos

116


Convex Bottom

xmin

xmax

Criar o invólucro convexo de um dos grupos de pontos

117


Convex Bottom

xmin

xmax

Ligar os restantes pontos através da sua abcissa

118


Convex Bottom Polígono Simples Final

O(nlogn)

119


Two Peasants

120


Two Peasants Encontrar os pontos de menor e maior abcissa

xmin

xmax

121


Two Peasants Criar uma recta e dividir os pontos

xmin

xmax

122


Two Peasants Criar uma recta e dividir os pontos

xmin

xmax

123


Two Peasants Ligar cada conjunto através da sua abcissa

xmin

xmax

124


Two Peasants Ligar cada conjunto através da sua abcissa

xmin

xmax

125


Two Peasants Ligar cada conjunto aos extremos

xmin

xmax

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Two Peasants Polígono Simples Final

O(nlogn)

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Radar Sweep

128


Radar Sweep Encontrar o ponto de menor abcissa

xmin

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Radar Sweep Ordenar os pontos em redor de p0 = xmin

p0

130



p0

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p0

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p1

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p1

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Radar Sweep Ligar os pontos pela ordem que foram encontrados (ordem dada pelos índices)

p0

p1

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p3 p4

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Radar Sweep Ligar o primeiro ponto ao último

p0

p1

p2

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p8

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p9

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Radar Sweep Polígono Estrelado Final

O(nlogn)

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Geração de Polígonos Ortogonais

Em 2000, Joseph O’Rourke estava a estudar a partição de polígonos ortogonais (de onde resultou o artigo Partitioning Ortogonal Polygons into Fat Rectangles) e, para isso, criou um gerador que foi baptizado de ROP – Random Orthogonal Polygon e implementado em LISP.

Este gerador não gera polígonos através de um conjunto de vértices mas sim através de uma grelha que vai sendo preenchida (a selecção aleatória das células é feita por heurísticas). A grelha tem NX por NY células e o resultado final é um polígono cuja área contém n células. O número final de vértices não é controlado, até porque os pontos colineares só são retirados depois do polígono estar gerado.

Não sabemos qual a complexidade do algoritmo, mas deve ser aproximadamente linear pois este é extremamente rápido a obter polígonos ortogonais para um elevado número de células.

144


Em 2003 surge o trabalho de Ana P. Tomás e de Antonio L. Bajuelos, onde apresentam dois geradores de polígonos ortogonais no artigo Quadratic-Time Linear-Space Algorithms for Generating Orthogonal Polygons with a Given Number of Vertices. Qualquer dos geradores permite controlar o número final de vértices do polígono.

Inflate-Cut - O(n2)(gera todos os polígonos possíveis numa grelha)

Inflate-Paste - O(n2)(gera todos os polígonos possíveis numa grelha)

145


Inflate-Cut O algoritmo começa numa célula única que vai alargando. Para efeitos de exemplo, começa-se já com uma parte do polígono formada

146

Inflate-Cut Escolhe uma célula interior aleatória


147

Inflate-Cut A célula escolhida vai “inchar” (inflate)


148

Inflate-Cut A célula escolhida vai “inchar” (inflate)


149

Inflate-Cut Procura as peças que podem ser cortadas (cut). Uma peça pode cortar-se se apenas contiver um vértice do polígono


1 2

34

150

Inflate-Cut Corta a peça escolhida e obtém outro polígono ortogonal


151



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O(n2)

158


Inflate-Paste O algoritmo começa por escolher um vértice convexo v do polígono

v

159


Inflate-Paste Selecciona uma célula que se encontra em FSN(v).

v

Por FSN(v) entende-se o maior polígono em escada nesta grelha que tem v como vértice, não intersecta o interior do polígono e a aresta horizontal adjacente ao vértice tem que fazer parte do lado do polígono.

160


Inflate-Paste Depois de seleccionada a célula, determina o ponto central da peça e cria um novo rectângulo definido pelo vértice v e pelo ponto central determinado.

161


Inflate-Paste Polígono resultante.

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O(n2)

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Também existe uma alteração ao algoritmo Inflate-Cut, dos mesmos autores, que impõe restrições à geração de polígonos. Um exemplo de um polígono final simétrico pode ver-se na figura seguinte:

177


No trabalho anterior existe também uma referência a um trabalho de M. Filgueiras cuja apresentação foi apenas oral.

A ideia do algoritmo para gerar polígonos ortogonais é semelhante à do algoritmo de O’Rourke. Este algoritmo une rectângulos de áreas superiores à das células da grelha, permitindo a sobreposição dos rectângulos.

178

Geração de Polígonos Monótonos

Chong Zu e outros apresentam um trabalho denominado Generating Polygons with Given Vertices que consegue gerar aleatoriamente polígonos monótonos em tempo linear.

Parte-se do pressuposto que Sn é um conjunto de n pontos no plano que estão ordenados segundo a sua abcissa (supõe-se também que não existem dois pontos com a mesma abcissa).A ideia do algoritmo é fazer um varrimento da cadeia monótona da esquerda para a direita (de s1 até sn) e contar o número de

polígonos monótonos possíveis neste conjunto S. Escolher um número aleatório dentro do intervalo possível e desenhar o respectivo polígono, desta vez, da direita para a esquerda.

Usando este algoritmo, conseguimos contar o número de polígonos monótonos existentes, consequentemente, conseguimos gerar uniformemente polígonos monótonos aleatórios. Este trabalho é então a solução para o problema da geração aleatória de polígonos monótonos e não apenas uma heurística.

179


Seja então Si o subconjunto de S, 1 i n. Qualquer polígono monótono pode ser dividido em duas cadeias monótonas: cadeia superior e a cadeia inferior. É claro que os pontos extremos (s1 e si) pertencem a ambas as cadeias e são os únicos nestas condições.

s1

s2

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s7

Contagem (O(n) espaço e O(K) tempo)

A contagem é recursiva, sabemos quantos polígonos existem em Si ,

N(i) através de N(j) , ou seja, do número de polígonos monótonos que existem em Sj , j<i. Para isto, divide-se o tipo de polígonos monótonos existentes em dois conjuntos.

180


Estes dois conjuntos são T(i) e B(i). T(i) é o conjunto de polígonos monótonos cuja aresta si-1si pertence à cadeira superior (top) e B(i) é o conjunto onde a mesma aresta pertence à cadeia inferior (bottom).

s1

s2

s3

s4

s5

s6

s7


Sai então que N(k) = |T(k)| + |B(k)| = T(k) + B(k).

T(7)

s1

s2

s3

s4

s5

s6

s7

B(7)

181


Cada um deles é calculado através de VT(k) e VB(k) . O primeiro é o

conjunto de todos os pontos que sk “vê em cima” e o segundo o

conjunto de pontos que sk “vê em baixo”.


Basicamente, VT(k) é o conjunto de todos os pontos visíveis para sk

que se encontrem acima da linha sjsk , i < j < k. VB(k) é semelhante mas os pontos têm que se encontrar abaixo da referida linha.

VT(8) = {6}VB(8) = {3,5}

s1

s2

s3

s4

s5

s6

s7

s8

182


Daqui sai então que:


Cada um destes conjuntos é calculado e guardado sob a forma de uma árvore binária. Cada conjunto superior é calculado à custa do inferior e vice-versa, como se pode observar.

)(

|)1(| |)(|kVj B

jBkT

|)1(| |)(|)(

kVj T

jTkB

183


Geração (O(n) espaço e tempo)

• Escolhe x [1, N(n)] aleatoriamente

• Acrescenta sn à cadeia superior e à cadeia inferior

• Constrói o polígono da direita para a esquerda: - se x T(n) então começa pela cadeira superior (sn-1 pertence à cadeia superior) - senão, x = x - T(n) e começa pela cadeia inferior (sn-1 pertence à cadeia inferior)

• Constrói as cadeias através de dois procedimentos recursivos: Generate_Top e Generate_Bottom que se chamam mutuamente

• Acrescenta s1 à cadeia por onde começou

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O algoritmo anterior pode ser modificado para gerar um polígono monótono dentro de outro polígono monótono. Neste caso a complexidade sobe para O(n + |P|), sendo |P| o número de vértices do polígono monótono exterior.

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Geração de Polígonos Convexos

No mesmo trabalho é referido um método de complexidade O(n3) para gerar polígonos convexos. Este consiste em determinar um subconjunto de pontos de S que forme um polígono convexo.

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APLICAÇÕEAPLICAÇÕESS

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Aplicações

Avaliação prática de algoritmos relativos à manipulação de polígonos:

verificação da sua exactidão determinação do tempo de execução

O problema da geração aleatória de polígonos é então motivado pela necessidade de gerar instâncias de teste para algoritmos geométricos. Por exemplo, para testar algoritmos de iluminação, partição ou intersecção de polígonos. A geração de polígonos monótonos dentro de outros polígonos monótonos é particularmente relevante para testar algoritmos relacionados com aspectos geográficos (GIS - Geographical Information Systems) .

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AppletApplet

http://web.informatik.uni-bonn.de/I/GeomLab/polygon/RandomPhttp://web.informatik.uni-bonn.de/I/GeomLab/polygon/RandomPolygon.html.enolygon.html.en

geraÇÃo aleatÓria de polÍgonos geraÇÃo e partiÇÃo de polÍgonos ana gonçalves inês matos...

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