MatemáticaFascículo 02

Manoel Benedito Rodrigues

Índice

Geometria Plana

Resumo Teórico .................................................................................................................................1

Exercícios ...........................................................................................................................................3

Dicas .................................................................................................................................................5

Resoluções ........................................................................................................................................6

Geometria Plana

Resumo Teórico

Principais Fórmulas

Lei dos Senos

asen

bsen

csen

2R� � �

� � �

Lei dos Cossenos

a2 = b2 + c2 – 2 � b � c �cos �

b2 = a2 + c2 – 2 � a � c �cos �

c2 = a2 + b2 – 2 � a � b �cos �

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

h2=m � n b � c=a � h

b2=a � m a2=b2 + c2

c2=a � n

Relações Métricas no Círculo

PA � PB = PC � PD PA � PB = PC � PD (PT)2 = PA � PB

1

a b

c

��

�

R

ab

c

��

�

h

m n

a

b c

A

BC

DP

T

B

A

P

A

BC

D

P

Razões Trigonométricas

sen =ba

ca

e tg =bc

� � �, cos �

Polígonos Convexos

Sendo n= número de lados;

d= número de diagonais;

Si= soma dos ângulos internos e

Se= soma dos ângulos externos,

temos: d=n(n – 3)

2Si = (n – 2) � 180º e Se = 360º

Teorema da Bissetriz Interna

bx

cy

�

Teorema da Bissetriz Externa

bx

cy

�

2

x y

b c

S

A

c

y

x

b c

C SB

A

c

a

�

b

Semelhança de Triângulos

Sendo k a razão de semelhança entre os �ABC e �PQR, temos:

ax

by

cz

Hh

k� � � �Área ABC

Área PQRk2�

��

Comprimento da Circunferência

C 2� �R � em graus: l =360º

R)�

�� (2

� em radianos: l = �R

Áreas

Círculo Setor Circular

A R2� �� AR2

�� �� �360º

AR2

���2

AR

��l

2

� em graus � em radianos

Exercícios

01. Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A medida, emgraus, do ângulo 3 é:

a. 50b. 55c. 60d. 80e. 100

3

yz

P

xQ R

h

bc

A

aB C

H

R�

R

l

R�

R

�

R R

l

02. Considere um arco AB de 110º numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A’B’

de 60º numa circunferência de raio 5cm. Dividindo–se o comprimento do arco AB pelo do arco A’B’(ambos medidos em cm), obtém–se

a.116

b. 2

c.113

d.223

e. 11

03. No quadrilátero ABCD abaixo, ABC$ = 150º, AD = AB = 4 cm, BC = 10 cm, MN = 2 cm, sendo M eN, respectivamente, os pontos médios de CD e BC. A medida, em cm2, da área do triângulo BCD é:

a. 10b. 15c. 20d. 30e. 40

04. O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe–se que A e B são extremidadesde um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em cm2, vale

a. 24b. 12

c.5 3

2d. 6 2e. 2 3

05. A figura mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe–se que duas paredescontíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB = 2,5m, BC = 1,2m,EF = 4,0m, FG = 0,8m, HG = 3,5m e AH = 6,0m. Qual a área dessa sala em metros quadrados?

a. 37,2b. 38,2c. 40,2d. 41,2e. 42,2

4

06. Do quadrilátero ABCD da figura, sabe–se que: os ângulos internos dos vértices A e C são retos; osângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm.

Então os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:

a. 6 3eb. 5 3ec. 6 2ed. 6 5ee. 3 5e

07. Na figura ao lado têm-se AB // CD, AB = 6cm, AD = 4 cm e os ângulos internos de vértices A e B têmas medidas indicadas. A área do quadrilátero ABCD, em centímetros quadrados, é

a. 3b. 2 3c. 4 3d. 6 3e. 8 3

Dicas

01. Prolongue um dos segmentos entre as paralelas de forma a obter um triângulo.

Use o fato de ângulos alternos entre paralelas serem congruentes.

02. Se para 360º (uma “volta completa”) em torno da circunferência, é percorrida uma distância igual a2�R, onde R é o raio da circunferência, qual seria a distância percorrida correspondente a 110º?

03. Teorema: O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceirolado e mede a metade da medida do terceiro lado.

04. Use o fato de que todo triângulo inscrito numa semi-circunferência é retângulo.

05. A seguinte figura pode ajudar:

Área do retângulo = base x altura

5

06. Note que o triângulo BCD é isósceles.

Calcule seus lados e use razões trigonométricas (sen30º, cos30º) no �ABD.

07. Considere a seguinte figura:

Resoluções

01. Alternativa e.

1. DBA D 1$ $ $� � (alternos internos)

2. �ABC: $3 é ângulo externo, logo:$ $ $

$ º º

$ º

3 1 2

3 45 55

3 100

� �

� �

�

02. Alternativa c.

3602 10

110 559

3602 5

60 5

º º

º º

��

��

��

��

AB

AB= cm

A'B'

A' B'=3

55953

113

cm

AB

A'B'

� �

�

�

03. Alternativa c.

1.M ponto médio de CD

N ponto médio de BC

��

MN // BD; BD = 4cm

2.�ADB é equilátero

ABC =150ºDBC = 90º$

$��

3. Sendo ABCD a área do �BCD, tem-se:

ABCD =(BC) (BD)�

��

2

10 42

ABCD = 20cm2

6

04. Alternativa a.

1. Se AB é diâmetro, o ângulo $C é reto.Logo, pelo teorema de Pitágoras, temos:

AC2 + BC2 = AB2

AC2 + 62 = 102 AC = 8 cm

2. A�ABC =(AC) (BC)�

��

28 6

2A�ABC = 24 cm2

05. Alternativa e.

1.a resolução:

AI = 6 � 2,5 = 15 m2

AII = 5 � 4,8 = 24 m2

AIII = 4 � 0,8 = 3,2 m2

AT: área total

AT = AI + AII + AIII

AT = 15 + 24 + 3,2 AT = 42,2 m2

2.a resolução:

Área A I E J = 7,5 � 6,8 = 51m2

Área B C D I = 1,2 � 5 = 6 m2

Área F G H J = 0,8 � 3,5 = 2,8 m2

Área da sala ABCDEFGH =

51 – 6 – 2,8 = 42,2 m2

06. Alternativa c.

1. �BCD$B= 45º BC = 2 dm

BD2 = 22 + 22 BD = 2 2

2. �BCD

cos 30º =x x

x dm2 2

32 2 2

6 � �

sen 30º =y y

y dm2 2

12 2 2

2 � �

7

07. Alternativa e

Consideremos E e F as projeções dos vértices D e C, nesta ordem, sobre a base AB do trapézio ABCD.

Temos:

1. �ADE é congruente ao �BCF, pelo caso LAAo.

Logo, ABCD é trapézio isósceles

2. No triângulo ADE:

sen 60º =x x

x cm4

32 4

2 3 � �

cos 60º =y y

y cm4

12 4

2 � �

3. AB = 6 2y + EF = 6 2 � 2 + EF = 6 EF = 2 cm = CD

4. Seja A a área do trapézio ABCD

A(AB CD) DE

2A

(6 2) 22

A = 8 3 cm2�� �

�� �

3

8