Geometria

espacial I

AUTORIA:

Ângela Ferreira Pires da Trindade

EDIÇÃO DE CONTEÚDO:

Lúcio Carneiro

EDIÇÃO DE TEXTO:

Miriam Raquel Moro Conforto

CRÉDITOS DAS IMAGENS DE ABERTURA:

LatinStock/Corbis/DK Limited; ©iStockphoto.com/Jorge

Delgado; ©iStockphoto.com/Dario Sabljak; Mary Evans

Picture Library;

©Shutterstock/joingate

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Estes objetos lembram alguns sólidos

geométricos. Quais são eles?

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Poliedros

Estes são alguns exemplos de poliedros

Elementos dos poliedros

➢ Cada um dos polígonos planos que formam o poliedro é denominado face do poliedro.

➢ Cada lado comum a duas faces e denominado aresta do poliedro.➢ Cada vértice de uma face é também denominado vértice do

poliedro.

Poliedros são sólidos geométricos limitados por um número finito de polígonos denominados faces. Cada lado desses polígonos é comum a um único lado de outro polígono.

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Poliedros

O poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhumadas suas faces intersecta suas faces em, no máximo, dois pontos.

Relação de Euler

O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), entre suasinúmeras contribuições para a Matemática, descobriu e publicouum artigo apresentando a expressão:

V – A + F = 2

que relaciona os números V de vértices,A de arestas e F de faces em um poliedroconvexo qualquer.Por esse fato, a expressão é conhecidacomo Relação de Euler.

Relação de Euler

HANDMANN, Jakob Emanuel. Retrato de LeonhardEuler. 1753. 1 pastel: color.; 57,9 cm x 75,5 cm. Coleção

particular.

Poliedros regulares

São poliedros regulares aqueles cujas faces são polígonos regularescongruentes e os ângulos poliédricos são congruentes, ou seja, em cada vértice concorre o mesmo número de arestas, diz-se que esse poliedro é regular.

São apenas cinco os poliedros regulares:

Características dos poliedros convexos:

Considere dois planos paralelos distintos, e β, uma região poligonalconvexa V1, V2, V3, ..., Vn contida em e uma reta r que intersecta osdois planos. O conjunto de todos os segmentos paralelos e congruentesa r, que tem uma extremidade pertencente à região poligonal e a outrapertencente a β, é um poliedro chamado prisma limitado ousimplesmente prisma.

Prismas

Classificação dos prismas

Paralelepípedo

O prisma cujas bases são paralelogramos é chamado de paralelepípedo.

Diagonal de um paralelepípedo

Qual é a medida da diagonal do paralelepípedo e do cubo em função das medidas de suas arestas?

Área da superfície de um prisma

Essa embalagem lembra oprisma hexagonal regular.

A figura a seguir representa a embalagem e suas dimensões:

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11

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Área da superfície de um prisma

Desmontado

Planificado

Princípio de Cavalieri

Dados dois sólidos A e B, apoiados em um plano α e, se todo o plano β paralelo ao plano α secciona os dois sólidos determinando superfícies de áreas iguais, então esses sólidos têm o mesmo volume.

Assim:O volume de um prisma é o produto da área da base (A) pelamedida da altura (h).V = A ∙ h

Volume de um prisma qualquer

Cilindro

A reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta t, com uma extremidade na região circular de centro O e raio r, e a outra extremidade em um ponto do plano β, forma um cilindro circular ou, simplesmente, cilindro.

Elementos do Cilindro

O cilindro pode ser:

Reto Oblíquo

Área da superfície de um cilindro reto

Por meio da planificação de um cilindro obtém-se um retângulo e dois círculos. Portanto,

Área lateral = 2 ∙ π ∙ r ∙ h Área total = 2 ∙ π ∙ r ∙ (r + h)

Pelo Princípio de Cavalieri, pode-se determinar ovolume de um cilindro.O volume de um cilindro é o produto da área dabase pela medida da altura.Logo:

A = π r² h

Volume de um cilindro