Geometria / GE 3. Desplaçaments © S. Xambó

Definició de desplaçament Una condició equivalent Desplaçaments directes i inversos Exemple (simetria respecte d’una varietat lineal) Desplaçaments de la recta euclidiana Girs del pla euclidià orientat Exemple: rotacions a l’espai Classificació 2D Algorisme de classificació dels desplaçaments del pla Classificació 3D Algorisme de classificació dels desplaçaments de l’espai Notes

2

Definició de desplaçament

Un desplaçament de l’espai euclidià , és una afinitat que conserva les distàncies, és a dir, tal que

, ,

qualssevol que siguin , .

Proposició. Una afinitat és un desplaçament si i només si | | | | per a tot , [ ]

on és la transformació lineal associada a .

Prova. És conseqüència immediata de la relació

,

de la definició de distància, i del fet que és un vector qualse‐vol de .

Ens referim a la condició [ ] dient que és una isometria lineal de .

3

Una condició equivalent

Com que el producte escalar no només determina la norma, sinó que queda determinat per ella (fórmula 2 | | | | | | ),

és una isometria lineal si i només si

qualssevol que siguin , .

En coordenades aquesta relació equival, si és la matriu de i la ma‐triu de la mètrica, a

és a dir,

. [ ]

4

Remarques En referència rectangular la condició [ ] equival a dir que (és a dir, que és una matriu ortogonal). En altres paraules, és un des‐plaçament si i només si transforma tota base ortonormal (o una base ortonormal donada) en una base ortonormal. La condició més general significa que si és la matriu de la mètrica en una base i posem , llavors , és a dir,

(1 , ).

Adonem‐nos, doncs, que aquestes condicions, necessàries per la propi‐etat , són suficients per tal que sigui un desplaça‐ment.

5

Desplaçaments directes i inversos

Els desplaçaments es classifiquen en directes o inversos, segons que con‐servin o inverteixin l’orientació, és a dir, segons que det 1 o det 1 (o, en termes de les equacions, segons que det 1 o det 1).

Exemple (translacions). Les translacions són les afinitats tals que . Vist que la identitat de és clarament una isometria lineal, tenim que les translacions són desplaçaments directes.

Exemple (simetria central). L’homotècia de centre i raó , , , és un desplaçament si i només si 1, ja que i per tant

. El cas 1 dóna i el cas 1 dóna , , la simetria central de centre

. Com que , és directa si és parell i inversa si és senar. La figura mostra el re‐sultat, , d’aplicar al triangle .

6

Exemple (simetria respecte d’una varietat lineal)

Sigui una varietat lineal. El simètric d’un punt res‐pecte de , , es defineix (fig. (a)) així: 2 . Veurem que és un desplaçament i identificarem la seva transformació lineal associada. Amb les notacions de la figura (b), i amb , tenim , , , , i 2

2 ,

on . Com que l’aplicació , és una isometria lineal, resulta que és un des‐plaçament i .

Si escollim una base ortonormal de manera que , … , és una base de , llavors les equacions

(a)

(b)

7

de en la referència ; són

si 1 si 1

En particular resulta que és directa si és parell i inversa si és senar. Un cas particular important és quan és un punt , en el qual

és la simetria central de centre (v. el segon exemple de la pàgina 6):

per a tot vector , ja que en aquest cas 0 (l’espai director de és 0 ) i .

Simetria especular. En el cas en què és un hiperplà, és un desplaça‐ment invers i es diu que és una simetria especular (per a 2, la sime‐tria especular s’anomena simetria axial).

Exemple (Desplaçaments de la recta euclidiana). Les afinitats d’una recta afí són translacions ( ), o homotècies , ( 0,1). Les transla‐cions són desplaçaments, però de les homotècies només les de raó 1 (simetries centrals) ho són. En resum: els desplaçaments de la recta eu‐clidiana són les translacions i les simetries centrals.1

8

Girs del pla euclidià orientat

Suposem que estem en un pla euclidià orientat , i sigui , una base ortonormal positiva de . Donat un nombre real i un punt , anem a determinar els desplaçaments del pla que deixen fix i compleixen cos sin .

Com que ha de ser unitari i perpendicular a , tenim

sin cos . A més, vist que les funcions cos i sin són periòdiques de període 2 , po‐dem suposar que 0, 2 . Analitzem les dues possibilitats per se‐parat.

Cas sin cos . Aquest desplaçament, que en principi depèn de , i , de fet només depèn de i . En efecte, si pro‐visionalment posem , , per denotar‐lo, es tracta de veure, si és una altra base ortonormal positiva, que , , , , .

9

Per veure això, notem primer que per definició

cossin sin cos

és ensems la matriu de , , respecte de la base i la de , , respec‐te de la base . Si posem (és a dir, és la matriu de respec‐te de ), llavors la matriu de , , respecte de és . Però sa‐bem que per algun i per tant , com volíem de‐mostrar. Per tant, podem posar , per denotar el desplaçament caracteritzat per deixar fix i de manera que , per una base ortonormal po‐sitiva qualsevol . D’aquest desplaçament en direm el gir de centre i amplitud (o angle) . Les equacions de , en la referència ; són

cossin sin cos .

Remarquem que , és la identitat per 0 i la simetria central per . En tot cas, , és un desplaçament directe.2

cos , sin

10

Cas sin cos . La matriu de respecte de és

cossin sincos .

El polinomi característic de és 1, de manera que els seus valors propis són 1. Per tant, és diagonalitzable i la corresponent matriu di‐agonal és diag 1, 1 . De fet cos /2 sin /2 i sin /2 cos /2 són vectors propis unitaris de valors propis 1 i 1, respectivament. Po‐dem, doncs, concloure que

és la simetria axial / respecte de la recta que passa per amb vector director cos /2 sin /2 .

11

Exemple (rotacions a l’espai). Considerem un vector unitari de l’espai euclidià orientat , , i . Definim

, , :

de la manera següent: , , , , , cos sin , , . , , és una aplicació afí amb aplicació line‐al associada , , i és un desplaçament: , | | cos | | sin | | | | cos | | sin | | | | | | | | . , , deixa invariants els punts de la recta

i indueix un gir de centre i ampli‐tud en el pla .

cos , sinPla

cos , sin

,

12

Direm que , , és la rotació (o gir) d’eix i amplitud . Notem que podem escriure

, , cos sin cos 1 cos sin .

Una referència convenient per expressar les equacions de , , és ; , , , on , és qualsevol vector unitari perpendicu‐lar a i . La matriu de , en la base , , és

1 0 00 cos sin0 sin cos

i per tant les equacions de , , en la referència són

, cos sin , sin cos .

En particular veiem que les rotacions de l’espai són desplaçaments direc‐tes.

13

Classificació 2D

Lema. Si i són dos punts fixos d’un desplaça‐ment , llavors és un vector propi de

de valor propi 1. Recíprocament, si és un punt fix de i és un vector propi de valor propi 1 de , llavors també és fix.

Prova. Si P i Q són dos punts fixos del desplaçament , , de manera que . Recíprocament, si és fix i , .

Ara procedirem per casos segons la dimensió de la varietat de punts fixos d’un desplaçament del pla euclidià orientat , .

Cas . El desplaçament és la identitat. En qualsevol referència les seves equacions són

, .

14

Cas , una recta. Siguin i un punt i un vec‐tor director unitari de . Llavors és un vector propi de valor propi 1 de (pel lema). Si és un vector uni‐tari perpendicular a , ha de ser , ja que altrament seria i la varietat de punts fixos no es reduiria a (el punt seria fix). Per tant, és la simetria axial d’eix .

En la referència ; , les equacions de són

, . Cas F=O, un punt. Si , és una base ortonormal de , les equaci‐ons de en la referència ; , tenen la forma

,

on A és una matriu ortogonal. Sabem, però, que aquestes matrius tenen la forma

15

cos sinsin cos o

cos sinsin cos

amb 0, 2 .

El cas no es pot donar, vist que tindria el valor propi 1 (el seu polinomi característic és 1) i per tant els punts fixos de no es re‐duirien a .

En el cas , tenim el gir , de centre i amplitud . Podem ex‐cloure el cas 0, ja que tindríem diag 1, 1 i seria la iden‐titat. Per , diag 1, 1 (té el valor propi 1 repetit) i

, la simetria central de centre . Altrament no té valors propis reals, ja que el seu polinomi

característic és 2 cos 1, que no té arrels reals si 0, . La distinció geomètrica és que deixa invariants totes les rectes per O, mentre que , no deixa cap recta invariant si 0, .

16

Cas . En aquest cas ha de tenir el valor propi 1, ja que altrament sabem que tindria un punt fix. Sigui un vector propi unitari de valor propi 1 i un vector unitari perpendicular a . Llavors és unitari i ortogonal a i, per tant, tenim dues possibilitats:

.

Donat un punt arbitrari com a origen, en la referència ; , les equacions de tenen la forma

1 00 1 ,

és a dir, , . El cas del signe , tenim una translació. Prenent en la direcció de la translació, podem suposar que 0, de manera que ens queda, posant

, , ( 0, altrament tindríem la identitat).

17

El cas del signe , tenim una simetria axial seguida de translació. Com que podem escriure

/2 /2 ,

fent el canvi d’origen 0, 0 0, /2 podem aconseguir que 0, de manera que ens queda, posant ,

, ( 0, altrament tindríem una simetria axial). Es tracta, doncs, d’una simetria axial ( , , ) seguida d’una translació paral·lela a l’eix de la simetria, i en diem simetria axial amb translació paral·lela o amb lliscament.3

18

Taula de la classificació 2D

La columna conté una descripció del conjunt de punts fixos: significa que és una recta, que hi ha un únic punt fix i que no hi ha punts fixos. En la columna de les equacions canòniques posem cos , sin en el cas i amb sense va‐lors propis. En la columna , que conté una descripció simbòlica del desplaçament, representa una simetria axial, una translació paral·lela a l’eix de . Abreugem els noms amb les convencions següents: SA indica una simetria axial; SC una simetria central; G un gir d’amplitud 0, ; T una translació diferent de la identitat; i SA+T una simetria axial amb translació paral·lela. Finalment, ( ) és la multiplicitat del valor propi 1 ( 1) de la transformació lineal associada i denota el «sentit» del desplaçament ( di‐recte, invers).

Equacions canòniques Nom , 2 0 Id d

, 1 1 SA i , 0 2 , SC d

, 0 0 , , 0, G d , ( 0) 2 0 T d

, ( 0) 1 1 SA+T i

19

Algorisme de classificació dels desplaçaments del pla

Partim d’una afinitat donada per l’equació matricial

.

Suposem que hem verificat que es compleix la condició per ser un desplaçament, que hem calculat les multiplicitats i dels va‐lors propis 1 i 1 de , i que hem decidit (mirant si el sistema

és compatible o no) si hi ha punts fixos o no ( o ).

2 G, cos tr 2 2 TId 1 SA TSA 0 SC

20

Classificació 3D

Anàlogament al cas 2D, procedirem per casos segons la dimensió de la varietat de punts fixos d’un desplaçament de l’espai euclidià orientat ( , ).

Cas . El desplaçament és la identitat. En qualsevol referència les seves equacions són

, , .

Cas , un pla. Siguin i , un punt i dos vectors unitaris ortogonals directors de . Llavors , són vectors propis de valor propi 1 de . Si és un vector unitari perpendicular a , , ha de ser . Per tant, és la simetria especular respecte del pla . En la referència ; , les equacions de són

, , .

21

Cas , una recta. Siguin i un punt i un vector director unitari de . Llavors, és un vec‐tor propi de valor propi 1 de . Siguin , vec‐tors unitaris ortogonals a , i ortogonals entre sí. Llavors , ,

i indueix un desplaçament del pla , que té el punt com a únic punt fix (altrament no es reduiria a ). Per tant és un gir de centre i amplitud 0,2 , gir que és una simetria central si . En resulta que és un gir d’amplitud al voltant de l’eix , gir que esde‐vé la simetria axial del mateix eix quan . En la referència ; , , , les equacions de són

, , ( cos , sin ).

Per ,

, , . (equacions de la simetria axial).

22

Cas , un punt. Si , , és una base ortonormal de , les equacions de en la referència ; , , tenen la forma

,

on és una matriu ortogonal. Estant en dimensió senar, té necessàri‐ament un valor propi real. Aquest valor propi ha de ser 1 (altrament tindria punts fixos distints de ). Podem suposar, doncs, que és un vector propi amb valor propi 1. Igual que en el cas anterior, indueix un desplaçament del pla , que té el punt com a únic punt fix (altrament no es reduiria a ). Per tant és un gir de centre i amplitud 0,2 , gir que és una simetria central si . En resulta que és un gir d’amplitud al voltant de l’eix (gir que esdevé la simetria axial del mateix eix quan ), seguit de la simetria especu‐lar respecte del pla , . En la referència ; , , , les equacions de són (amb cos , sin ): , , . Pere , , , (simetria central ).

23

Cas . En aquest cas ha de tenir el valor propi 1, ja que altrament sabem que tindria un punt fix. Sigui la dimensió de l’espai de vec‐tors propis de valor propi 1. Les possibilitats són 3, 2 o 1. 3 . En aquest cas i és una translació diferent de la identi‐tat. Escollint de manera que estigui en la direcció de la translació, aconseguim que les equacions de la translació tinguin la forma

, , 0 . 2 Podem escollir i de manera que formin una base de . Llavors és necessàriament un vector propi de valor propi 1 i les equacions de tenen la forma

, , . Fent el canvi d’origen 0, 0, 0 0, 0, /2 , podem suposar que 0. Es tracta d’una simetria especular seguida d’una translació paral·lela al pla de la simetria (simetria especular amb translació paral·lela o amb llis‐cament).

24

Observem finalment que podem escollir una altra base ortonormal de amb la qual 0 i 0, quedant finalment les equacions

, , . 1 Sigui un vector unitari de valor propi 1 i siguin , vectors unitaris ortogonals a i ortogonals entre si. Llavors ,, i la restricció de a , no té el valor propi 1. En resulta que les equacions de en la referència ; , , , un origen arbitrari, tenen la forma (posant cos , sin )

1 0 000 .

Vist que no té el valor propi 1, podem fer un canvi d’origen de

la forma 0, 0, 0 0, , i aconseguir que en la nova referència tin‐guem 0. Ens queden, doncs, les equacions

25

1 0 000 00 ,

que mostren que el desplaçament és un gir d’eix seguit d’una translació en la direcció d’aquest eix. D’aquest desplaçament se’n diu moviment helicoïdal. En el cas , és una simetria axial seguida d’una translació paral·lela a l’eix de la simetria (també es diu que és una sime‐tria axial amb lliscament).4

26

Taula de classificacio 3D

Equacions canòniques Nom , , 3 0 Id d

, , 2 1 SE i , , 1 2 SA d

, , 1 0 , G d , , 0 3 SC i

, , 0 1 G+SE i , , 3 0 T d

, , 2 1 SE+T i , , 1 2 SA+T d , , 1 0 G+T d

27

Explicació de les convencions de la taula

Columna (varietat de punts fixos): significa que no hi ha punts fixos; , un únic punt fix; , que és una recta; i que, és un pla.

Columna de les equacions: cos , sin , 0, .

Columna (descripció simbòlica del desplaçament): representa un gir d’amplitud 0, ; , una simetria axial; una simetria especular (que en el cas de és respecte d’un pla perpendicular al l’eix de ); una translació paral·lela a l’eix de , o , segons correspongui.

Nom: SE indica una simetria especular; SA, una simetria axial; G un gir d’amplitud 0, ; SC, una simetria central; T, una translació diferent de la identitat; SE+T, una simetria especular amb translació paral·lela al pla de la simetria; SA+T, una simetria axial amb translació paral·lela al seu eix; i G+T, un moviment helicoïdal.

( ): multiplicitat del valor propi 1 ( 1).

La columna conté el «sentit» ( directe, invers). És igual a 1 .

28

Algorisme de classificació dels desplaçaments de l’espai

Partim d’una afinitat donada per l’equació matricial .

Suposem que hem verificat que es compleix la condició per ser un desplaçament, que hem calculat les multiplicitats i dels va‐lors propis 1 i 1 de , i que hem decidit (mirant si el sistema

és compatible o no) si hi ha punts fixos o no ( o ). 3 G T, 2cos tr 1 0 G, 2cos tr 10 G SE, 2cos tr 1

33 T Id 2 SE TSE 1 SA TSA 0 SC

29

Notes

1. És fàcil comprovar les següents regles de càlcul:

,

,

, on .

Vegem, com a exemple, el primer cas. Com que el desplaçament és invers, serà la simetria central respecte del seu punt fix .

Si posem , llavors i

d’on resulta que , és a dir, i .

2. La matriu de , respecte d’una base ortonormal orientada negati‐vament és .

30

3. A la nota 1 hem vist que tot desplaçament de la recta euclidiana és o una simetria central o producte de dues simetries centrals (les translaci‐ons). En el cas 2D, tot desplaçament és composició de com a molt 3 sime‐tries axials. La raó d’aquesta afirmació prové del fet que les translacions (girs) es poden posar com a composició de dues simetries axials d’eixos paral·lels (respectivament d’eixos que es tallen en el centre de gir).

En efecte, el producte de dues simetri‐es axials i és un desplaçament directe. Si els eixos i són paral·lels, és una translació, ja que si és l’espai director d’aquests eixos,

). Més concretament, , on és el vector perpendicular a les rectes i de norma igual a la dis‐tància entre elles).

I si la intersecció dels eixos i és un punt , llavors és un gir de cen‐tre (si considerem la simetria central de centre com un gir d’amplitud

), ja que és l’únic punt fix de (si és un punt fix de , llavors

2

31

; però és perpendicular a i és perpendicular a , de manera que 0 i 0, és a dir, ha de

ser fix per i per ). Si l’angle entre els dos eixos és , l’amplitud del gir és 2 .

Resumint: si un desplaçament del pla té una recta de punts fixos, és la simetria respecte d’aquesta recta; si té un únic punt fix és el produc‐te de dues simetries respecte d’eixos que passen per ; i si no té punts fi‐xos, és el producte de dues simetries axials d’eixos paral·lels si és una translació i el producte de tres simetries axials si és una simetria axial amb lliscament.

4. En el cas 3D tot desplaçament és composició de com a molt 4 simetries especulars. La raó d’aquesta afirmació prové del fet que les translacions (rotacions) es poden posar com a composició de dues simetries especu‐lars respecte de plans paral·lels (respectivament, de plans no paral·lels). Els arguments són similars al cas del pla i es deixen com a exercici.

2

32

En relació a la taula de classificació 3D, el nombre de simetries necessà‐ries per expressar els diversos casos ve donat per la taula següent:

Nom SE SA G SC G+SE T SE+T SA+T G+T

1 2 2 3 3 2 3 4 4