geometria analitica

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1 Material Didtico Notas de Aula Viviane Carla Fortulan 2 I MATRIZES 1.Definio:Matrizmxnumatabeladem.nnmerosreaisdispostosemm linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Exemplos: 1.((

=2 4 03 2 1A uma matriz 2 x 3; 2.||.|

\|=1 10 4B uma matriz 2 x2; 3.6 1213 4 02 015 2 3C = uma matriz 4 x 3. Comopodemosnotarnosexemplos1,2e3respectivamente,umamatrizpodeser representada por colchetes, parnteses ou duas barras verticais. 2. Representao de uma matriz: As matrizes costumam ser representadas por letras maisculas e seus elementos por letras minsculas, acompanhadas de dois ndices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna ocupadas pelo elemento. Exemplo: Uma matriz A do tipo m x n representada por: (((((((

=mn 3 m 2 m 1 mn 3 33 32 31n 2 23 22 21n 1 13 12 11a a a a

aa a aaa a aa a a aA

.. . .

ou, abreviadamente, A=| |n x mija , onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa, s s s sn j 1m i 1. Porexemplo,namatrizanterior, 23a oelementodasegundalinhacomoda terceira coluna. Exemplo 1: Seja a matriz A=| |2 x 2ija , ondej i 2 aij+ = : 3 Genericamente,temos: 2 x222 2112 11a aa aA||.|

\|= .Utilizandoaregradeformaodos elementos dessa matriz, temos: j i 2 aij+ = 6 2 ) 2 ( 2 a4 2 ) 1 ( 2 a5 1 ) 2 ( 2 a3 1 ) 1 ( 2 a22122111= + == + == + == + = Assim, A=||.|

\|6 54 3. 3. Matrizes especiais: 3.1 Matriz linha: toda matriz do tipo 1 x n, isto , com uma nica linha. Ex:( )4 x 11 3 7 4 A = . 3.2 Matriz coluna: toda matriz do tipo n x 1, isto , com uma nica coluna. Ex: 1 x 3014B((((

= . 3.3Matrizquadrada:todamatrizdotiponxn,isto,comomesmonmerode linhas e colunas. Neste caso, dizemos que a matriz de ordem n. Ex: 2 x 21 27 4C||.|

\|=3 x 33 7 23 00 1 4D||||.|

\|t= Matriz de ordem 2 Matriz de ordem 3 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diagonal principal de uma matriz quadrada o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i = j. Diagonalsecundriadeumamatrizquadradaoconjuntodeelementosdessa matriz, tais que i + j = n + 1.. Exemplo: 4 |||.|

\|=6 7 53 0 35 2 1A3 Descrio da matriz: -O subscrito 3 indica a ordem da matriz; -A diagonal principal a diagonal formada pelos elementos 1, 0 e 6; -A diagonal secundria a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5; - 11a = -1 elemento da diagonal principal, pois i = j = 1; - 31a = 5 elemento da diagonal secundria, pois i + j = n + 1 = 3 + 1. 3.4 Matriz nula: toda matriz em que todos os elementos so nulos. Notao: n x mOExemplo: ((

=0 0 00 0 0O3 x 2 3.5Matrizdiagonal:todamatrizquadradaondesoselementosdadiagonal principal so diferentes de zero. Exemplo: ((

=1 00 2A2 |||.|

\|=7 0 00 3 00 0 4B3. 3.6Matrizidentidade:todamatrizquadradaondetodososelementosqueno esto na diagonal principal so nulos e os da diagonal principal so iguais a 1. Notao: nIonde n indica a ordem da matriz identidade. Exemplo: ((

=1 00 1I2 |||.|

\|=1 0 00 1 00 0 1I3 ou :| |=== =j i se 0,j i se , 1a , a Iij ij n 3.7 Matriz transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas. Notao: tA . 5 Exemplo: Se ((

=1 2 10 3 2 Aento tA =((((

102 31 2 Desse modo, se a matriz A do tipo m x n, tA do tipo n x m. Note que a primeira linhadeAcorrespondeprimeiracolunade tA easegundalinhadeAcorresponde segunda coluna de tA . 3.8 Matriz simtrica: Uma matriz quadrada de ordem n simtrica quando A=tA .OBS: Se A = -tA , dizemos que a matriz A anti-simtrica. Exemplo: Se 3 x 35 4 14 2 31 3 2A|||.|

\|=3 x 3t5 4 14 2 31 3 2A|||.|

\|=3.9Matrizoposta:ChamamosdematrizopostadeumamatrizAamatrizque obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todas os seus elementos.Notao: - A Exemplo: Se ((

=1 - 40 3AentoA =((

1 40 3 3.10 Igualdade de matrizes: Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, so iguais se, todos os elementos que ocupam a mesma posio so idnticos.Notao: A = B. Exemplo: Se ((

=b 10 2A((

=3 1c 2Be A = B, ento c = 0 e b = 3 Simbolicamente: ij ijb a B A = =para todom i 1 s se todon i 1 s s . 6 1 LISTA DE GEOMETRIA ANALTICA II 1-) Escreva a matriz A=( )3 x 2ija , onde ija =2i+3j. 2-) Escreva a matriz B=( )3 x 3ijb , onde ijb = ji. 3-)EscrevaamatrizC=( )1 x 4ijc ,onde j i c2ij+ = . 4-) Escreva a matriz D=( )3 x 1ijd , onde ijd = i j. 5-)EscrevaamatrizA=( )3 x 4ija ,onde < >=j i se , 1j i se , 2aij 6-)EscrevaamatrizA=( )3 x 3ija ,onde = = +=j i se , 0j i se , j iaij 7-)EscrevaamatrizA=( )3 x 2ija ,onde < > +=j i se , j ij i se , j i 2aij 8-)Chama-setraodeumamatrizquadradaa somadoselementosdadiagonalprincipal. Determine o trao de cada uma das matrizes A = |||.|

\| =||.|

\|1 0 15 3 21 0 2B e3 42 1. 9-) Dada a matriz A= ||.|

\| 4 12 1, determinar: a-) a transposta de A b-) a oposta de A 10-)DadasasmatrizesA=||.|

\|3 a2 1e ||.|

\|=3 b3 xB ,determinara,bexparaque A=tB . 11-) Determinar os valores de a e b, tais que: ||.|

\|++=||.|

\|++3 a2 b3 b1 a 2 12-) Determine x e y na igualdade: |||.|

\|=|||.|

\|5945yx log23 13-) Seja A=( )3 x 2ija , onde ija =i + j. Determine m, n e p em B=||.|

\| +5 p 2 m 1 n4 3 n m a fim de que tenhamos A=B. 14-) Determine a, b, x e y, tais que: .1 12 3y x 2 b ay x b a((

=((

+ + 15-) Determine x e y, tais que: a-).6453xyx log22((((

=((((

b-).y 2 x 5 10 57 10 y 3 x 2((

+=((

+ 16-) Sendo A uma matriz de ordem 3x3, cujos elementos so dados pela funo , determine a soma dos elementos da diagonal principal. 17-)A organizao econmica Merco formada pelos pases 1, 2 e 3. O volume anual de negcio realizados entre os trs parceiros representado em uma matriz A com 3 linhas e 3 colunas, na qual o elemento de linha i e coluna j informam quanto o pas i exportou para o pas j, em bilhes de dlares. Se , ento Qual o pas que mais exportou e qual o que mais importou no Merco? 18-)Seja M = [ aij ]nxn uma matriz quadrada de ordem n , onde aij = i + j. Nessas condies, qual a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz. 7 RESPOSTAS 1-) A=((

13 10 711 8 5 2-) B=((((

1 31 2123323121 3-) C=(((((

171052 4-) D=| | 2 1 0 5-) A=(((((

2 2 22 2 21 2 21 1 2 6-) A=((((

6 0 00 4 00 0 2 7-) ((

=1 6 52 1 3A8-) trA = 4 etrB = 4 9-) a-) ((

=4 21 1Atb-) A=((

4 12 1 10-) a = 3, b = 2 e x = 1 11-) a = 1e b = 1 12-) x = 81ey= 3 13-) m = -2 n = 4 e p = -3 14-) a = 2, b = 1,x = 1 e y = 1 15-) a-) x = 8 e y =5 b-) x = 57ey = 1511 16-)a11 + a22 + a33 = 0 17-) O pas 2 foi o que mais exportou (4,6bi). O pas 3 foi o que mais importou (5,6bi). 18-)S = n2 + n 4. Adio de Matrizes:Dadas as matrizes A=| |n x mijae B =| |n x mijb , chamamos de soma das matrizes A e B a matriz C =| |n x mijc , tal que ij ij ijb a c + = , para todom i 1 s se todon i 1 s s . Notao: A + B = C OBS: A + B existe se, e somente se, A e B so do mesmo tipo (m x n). Propriedades:A,BeCsomatrizesdomesmotipo(mxn),valemasseguintes propriedades: 1)Associativa:(A + B) + C = A + (B + C) 2)Comutativa A + B = B + A 3)Elemento Neutro A + O = O + A = A onde O a matriz nula m x n. 4)Elemento Oposto 8 A + (-A) = (-A) + A = O Exemplos: 1) ( )((

=((

+ + + +=((

+((

9 03 32 7 0 01 4 2 12 01 27 04 1 2) ( )((

=((

+ + ++ + +=((

+((

1 0 11 4 52 1 1 1 1 01 0 1 3 3 22 1 - 11 1 31 1 00 3 2 5. Subtrao de Matrizes:Dadas as matrizes A=| |n x mijae B=| |n x mijb , chamamos de diferena entre as matrizes A e B a soma de A com a matriz oposta de BNotao: A - B = A + (-B) OBS: A + B existe se, e somente se, A e B so do mesmo tipo (m x n). Exemplo: 1) ((

=((

+ + =((

+((

=((

((

5 42 22 7 0 42 0 1 32 02 - 17 4032 - 02 17 403 6. Multiplicao de um nmero real por uma matriz:Dados um nmero real x e uma matriz A do tipo m x n , o produto dex por A uma matriz do tipo m x n, obtida pela multiplicao de cada elemento de A por x. Notao: B = x.AOBS.: Cada elemento ijbde B tal que ijb = xijaPropriedades:SendoAeBmatrizesdomesmotipo(mxn)exeynmerosreais quaisquer, valem as seguintes propriedades: 1)Associativa:x.(y.A) = (x.y).A 2)Distributiva de um nmero real em relao a adio de matrizes: x.(A+B) = x.A + x.B 3)Distributiva de uma matriz em relao a soma de dois nmeros reais: (x + y).A = x.A + y.A 4)Elemento Neutro: x.A = A, para x = 1, ou seja: 1.A = A Exemplo: 9 1) ( )((

=((

=((

0 321 60 . 3 1 . 37 . 3 2 . 30 17 2. 37. Multiplicao de matrizes:Oprodutodeumamatrizporoutranopodeserdeterminadoatravsdoproduto dosseusrespectivoselementos.Amultiplicaodematrizesnoanlogamultiplicao de nmeros reais. Assim,oprodutodasmatrizesA=| |p x mija eB=| |n xpijb amatrizC=| |n x mijc ,onde cadaelemento ijc obtidoatravsdasomadosprodutosdoselementoscorrespondentes da i-sima linha de A pelos elementos da j-sima coluna de B. OBS:Elementoscorrespondentesdematrizesdomesmotipomxn,soos elementos que ocupam a mesma posio nas duas matrizes. Exemplo: Sejam ((

=2 0 34 6 1Ae ((

=4 3 72 0 5B . Os elementos2 b e 4 a13 13= =so elementos correspondentes. Decorrncia da definio:A matriz produto A.B existe apenas se o nmero de colunas da primeira matriz (A) igual ao nmero de linhas da segunda matriz (B). Assim:( )n xm n xp p xmB . A B e A Note que a matriz produto ter o nmero de linhas (m) do primeiro fator e o nmero de colunas (n) do segundo fator. Exemplos: 1)Se( )5 x3 5 x2 2 x3B . A B e A 2)Seproduto existe no que B e A3 x2 1 x43)( )1 x4 1 x2 2 x4B . A B e A Propriedades:Verificadasascondiesdeexistncia,paraamultiplicaode matrizes so vlidas as seguintes propriedades: 1)Associativa:(A.B).C = A.(B.C) 2)Distributiva em relao adio: a)A.(B+C) = A.B + A.C b)(A+B).C = A.C + B.C 3)Elemento Neutro: 10 A.nI= nI .A = A onde nI a matriz identidade de ordem n. Ateno: No valem as seguintes propriedades: 1)Comutativa, pois, em geral, A.B=B.A 2)Sendo n xmOuma matriz nula, A.B = n xmOno implica, necessariamente, que A = n xmOou B = n xmO . Exemplos: 1)SendoA=((

1 43 2eB=((

4 32 1,vamosdeterminarA.BeB.Aecompararos resultados Soluo:A.B = ((

1 43 2.((

4 32 1 coluna 1 e linha 1 aa a11 = = 2.1 + 3.3 = 2 + 9 = 11 coluna 2 e linha 1 aa a12 = = 2.2 + 3.4 =4 + 12 = 16 coluna 1 e linha 2 aa a21 = = 4.1 + 1.3 = 4 + 3 = 7 coluna 2 e linha 2 aa a22 = = 4.2 + 1.4 = 8 + 4 = 12 Assim: A.B = 2 x21 43 2((

.2 x24 32 1((

= 2 x212 716 114 8 3 412 4 9 24 . 1 2 . 4 3 . 1 1 . 44 . 3 2 . 2 3 . 3 1 . 2((

=((

+ ++ +=((

+ ++ + B.A = 2 x24 32 1((

.2 x21 43 2((

= 2 x213 225 104 9 16 62 3 8 21 . 4 3 . 3 4 . 4 2 . 31 . 2 3 . 1 4 . 2 2 . 1((

=((

+ ++ +=((

+ ++ + Comparandoosresultados,observamosqueA.B= B.A,ouseja,apropriedade comutativa para multiplicao de matrizes no vale. 2)Seja A=3 x22 x34 0 23 2 1 B e4 11 0 3 2 ((

=((((

, determine: a)A.B b)B.A Soluo: 11 a) A.B = 3 x33 x22 x34 . 4 3 . 1 0 . 4 2 . 1 ) 2 .( 4 1 . 14 . 1 3 . 0 0 . 1 2 . 0 ) 2 .( 1 1 . 04 . 3 3 . 2 0 . 3 2 . 2 ) 2 .( 3 1 . 24 0 23 2 1 .4 11 0 3 2 ((((

+ + + + + ++ + +=((

((((

= = 3 x3 3 x313 2 94 0 218 4 416 3 0 2 ) 8 ( 14 0 0 0 ) 2 ( 012 6 0 4 ) 6 ( 2((((

=((((

+ + + + + ++ + + b) B.A = 2 x22 x33 x24 . 4 ) 1 .( 0 ) 3 .( 2 ) 1 .( 4 ) 0 .( 0 ) 2 .( 2) 4 .( 3 ) 1 .( 2 ) 3 .( 1 ) 1 .( 3 0 . 2 2 . 14 11 0 3 2 4 0 23 2 1 .((

+ + + + + + + +=((((

((

= 2 x2 2 x210 817 116 0 6 ) 4 ( 0 412 2 3 ) 3 ( 0 2((

=((

+ + + + + + + + Concluso: Verificamos que A.B= B.A 8. Matriz Inversa:DadaumamatrizA,quadrada,deordemn,seexistirumamatriz 'A ,demesma ordem,talqueA.'A = 'A .A= nI ,ento 'A matrizinversadeA.(Emoutraspalavras:Se A.'A = 'A .A = nI , isto implica que 'A a matriz inversa de A, e indicada por 1A). Notao: 1A Exemplo: Sendo A = 2 x21 22 1 ((

, vamos determinar a matriz inversa de A, se existir. Soluo: Existindo, a matriz inversa de mesma ordem de A. Como, para que exista inversa, necessrio que A.'A = 'A .A = nI , vamos trabalhar em duas etapas: o1Passo: Impomos a condio de que A.'A= nIe determinamos 'A : A. 'A= nI2 x21 22 1 ((

.2 x2d cb a((

=((

2 x21 00 1 2 x2 2 x22 x2 2 x 21 00 1d 2b - c a 2d 2 bc 2 a 1 00 11.d 2.b - c . 1 a . 2d . 2 b . 1c . 2 a . 1 ((

=((

+ + + +((

=((

+ + + + 12 Apartirdaigualdadedematrizes,resolvemososistemaacimapelomtododaadioe chegamos :

51a 0522a -0 c 2a -

52c 2 5c0 c2a -2 4c 2a

0 c a 2(-2) 1 c 2 a ________ __________= = += += == += + . = + = +

52b 1512b - 1 d 2b -

51d 1 5d1 d2b -0 4d 2b

1 d b 2(-2) 0 d 2 b ________ __________ = = += += == += + . = + = + Assim temos: 'A =.2 x2d cb a((

= 2 x251

525251((((

o2Passo: Verificamos se 'A A = 2I : 'A .A = 2 x251

525251((((

.2 x21 22 1 ((

=

( )( ) ( )( )22 x22 x2 2 x 2I1 00 1550055 51545252525254511 .512 .522 .511 .52 1 ..522 .51 2 .521 .51

=(((

=((((

==((((

+ +=((((

+ + + += 13 Portanto temos uma matriz 'A , tal que: A.'A = 'A .A = 2ILogo, 'A inversa de A e pode ser representada por: 1A= 2 x251

525251((((

. 14 2 LISTA DE GEOMETRIA ANALTICA II 1-) Sendo A=||.|

\|321041 e B=||.|

\|1 2 41 0 3, calcule: a-) A + Bb-) A Bc-) B A 2-)Calculex,yez,taisque ||.|

\|=||.|

\|||.|

\| 0 4z 2 31 77 11 y xz x 2. 3-)SendoA=( )2 x 3ija ,onde ija =2i-j,eB= ( )2 x 3ijb , com ijb =, j i2+calcule: a-)A B b-) B Ac-)( )tB A+4-)Verifique experimentalmenteque,seA eB so matrizes do mesmo tipo, ento( )t t tB A B A + = + Sugesto:ConsidereAeBasmatrizes encontradas no exerccio 3. 5-) Sendo A= ||.|

\|2 00 2 e ||.|

\|=3 00 3B , determinar as matrizes X e Y, tais que: X + Y = A + B e 2X Y = A B. 6-)DadasasmatrizesA=||.|

\|1 03 2, ||.|

\|=2 34 0B e C=||.|

\|18 014 15 calcule:a-) 3.(A B) + 3.(B C) + 3.(C A) b-) 2.(A - B) 3.(B C) 3.C c-) a matriz X, tal que3.(X A) + 2.B = 4.(X A + 2.C) 7-) Sendo A=|||.|

\|032 e B=|||.|

\| 201, determine as matrizes X e Y, tais que 3X Y = 2A B e X + Y = A B. 8-) Determine a relao existente entre as matrizes A=||.|

\|314023 e B=|||.|

\|342103. 9-)SendoamatrizA= ((((

3 2 0y 4 3c 3 2simtrica, determine c e y. 10-)SendoA=( )2 x 2ija ,onde ija =2i-j,e B= ( )2 x 2ijb ,com ijb =i j ,determineXtal que 3A + 2X = 3B. 11-)SendoA= ||.|

\| 2 31 2e ||.|

\|=1 11 0B , calculeasmatrizesXeYnosistema = += +A Y 2 X 3B Y 3 X 2. 12-)SendoA= ((((

1 1 20 1 03 2 1eB=-2A, determine a matriz X, tal queB21A 3 X 2 = 13-) Dadas as matrizes A=( )4 x 6ija , tal queija= i - j, B= ( )5 x 4ijb , tal que com ijb =i j e C = AB, determine o elemento42c . 14-)SendoA=||.|

\|2 12 2,calcule 22I 5 A 4 A + . 15-)DetermineamatrizX,talque ( )tA B . A A 2 X = + ,sendoA=||.|

\|1 01 2e B=||.|

\|0 12 1. 16-)Dadasasmatrizes A=((((

=((((

5 3 15 3 15 3 1B ,4 3 15 4 15 3 23 x 3e C=((((

3 2 14 3 14 2 2. Calcule:a-) A.B b-) B.A c-) A.C d-) C.A 15 17-)(UFPA)AmatrizA=( )3 x 3ija definidadetal modo que == =+j i se , 0j i se , ) 1 (aj iij.Ento,Aiguala: a-) ((((

0 1 11 0 11 1 0b-) ((((

1 0 10 1 10 0 1c-)((((

0 1 11 0 11 1 0

d-) ((((

1 0 00 1 00 0 1e-) ((((

0 1 11 0 11 1 0 18-)(PUC-SP)Dadas as matrizesA=( )ijaeB= ( )ijb , quadradasdeordem2,com j 3 i 4 b e j 4 i 3 aij ij = + = ,seC=A+B,ento 2C igual a: a-)((

1 00 1 b-)((

1 00 1 c-)((

0 11 0 d-)((

0 11 0 e-) ((

1 11 1 19-)VerifiqueseB=2 x 23132210((

inversade A=((

3 40 2 20-) Determinar, se existir, 1A em cada caso: a-) A=((

1 00 1b-) A=((

1 23 2.((

1 10 1 21-) Sendo A=((

4 32 1, calcule( )11A. 22-)AsmatrizesA,BeCsoinvertveisede mesmaordem2.SendoB. 21I A =eC.B=A, determine C e 1C. 23-) (MACK) A uma matriz mxn e B uma matriz mxp. A afirmao falsa : a-) A + B existe se, e somente se, n = p b-) A=tAimplica m = n (tA = transposta de A) c-) A.B existe se, e somente se, n = p d-) A. tBexiste se, e somente se, n = p e-) tA .B sempre existe 24-)Seamatriztal que A2 = A, uma matriz no nula, determine o valor de m-n. 25-)Paraqualvaloresdexasmatrizes satisfazemapropriedadecomutativada multiplicao? e 26-)Para a confeco de um cartaz, uma grfica dispe das cores: preto, amarelo, vermelhos e azuis, cujas doses tm preos unitrios, em reais, representados pela matriz A seguir. Atendendo solicitao do cliente, a grfica apresentou um oramento com as possveis combinaes de cores, cujas quantidades de doses utilizadas em cada cartaz esto representadas pela matriz B abaixo. Nessas condies, qual o cartaz de menor custo? e 27-)Se A = uma matriz real tal que AtA =, ento quanto vale a+b? 28-)Dadas as matrizes A =(aij)3x2, definida por aij =i-j;B=(bij)2x3,definidaporbij=j;C=(cij), definidaporC=AB,corretoafirmarqueo elemento c23 : a)igual ao elemento c12. b)igual ao produto de a23 por b23. c)o inverso do elemento c32. d)igual soma de a12 com b11. e)igual ao produto de a21 por b13. 29)DadaumamatrizA=esua inversa A-1, determine A + A-1. 16 30-)ConsiderandoamatrizA=qualo primeiro elemento da primeira linha da matriz A-1. 31)ConsidereasmatrizesAeBtaisqueA= eAB=.Determineo equivalentesomadoselementosdaprimeira coluna da matriz B. Respostas 1)a) ((

233084 b) ((

411002 c) ((

411002 2)x=2, y=-9 e z=-7 3)a) ((((

743521 b) ((((

743521 c) ((

15158833 4)------------- 5)X=(((

343400 e Y=(((

31131100 6)a) ((

0 00 0 b) ((

8 1514 4 c) ((

139 6101 118 7)X=((((

1249 e Y=((((

1143 8)A= tB 9)c=0 e y=2 10) X=((

3 62323 11) X=(((

545115156 e Y=((

51595154 12) X=((((

1 1 20 1 03 2 1 13) 2 14) ((

9 816 9 15) X=((

3 31 3 16) a) ((((

0 0 00 0 00 0 0 b) ((((

0 0 00 0 00 0 0 c) AC= A d) CA= C 17) alternativa a) 18) alternativa b) 19) Sim, B inversa de A 20) a) ((

1 00 1 b) (((

85818381 21) A inversa da inversa de uma matriz A a prpria matriz A. 22) C=21I C = 23) Alternativa c) 24)m=1 e n=2, ento m-n = -1 25)x = 0 26)O cartaz de menor custo de R$10,00. 27)a+b = 1 28)c23 = 3 29) 30)a11 = 1 31)b11 + b21 = 3 II DETERMINANTES Definio: Determinante um nmero associado a uma matriz quadrada. Aplicaes dos determinantes na matemtica: -Clculo da matriz inversa; -Resoluo de alguns tipos de sistemas de equaes lineares; -Clculo da rea de um tringulo, quando so conhecidas as coordenadas dos vrtices. 1.Determinante de primeira ordem 17 Dada uma matriz quadrada de a1ordem M=| |11a , chamamos de determinante associado matriz M o nmero real 11a . Notao: det M ou 11a= 11aExemplos:1. | | 5 5 ou5 M det 5 M1 1= = = 2. | | 3 3 - ou3 M det 3 M1 2 = = =2.Determinante de segunda ordem Dada a matriz M=((

22 2112 11a aa a, de ordem 2, por definio, temos que o determinante associado a essa matriz, ou seja, o determinante de a2ordem dado por: ( )21 12 22 1122 2112 11a a a aa aa aM det =((

=Assim: ( )21 12 22 11a a a a M det =Exemplo: Sendo M=((

5 43 2, ento: det M= 2 12 10 4 3 5 25 43 2 = = = Logo: det M = -2 Concluso: O determinante de uma matriz de ordem 2 dado pela diferena entre o produtodoselementosdadiagonalprincipaleoprodutodoselementosdadiagonal secundria. 3. Menor Complementar Chamamos de menor complementar relativo ao elemento ijade uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o determinante ijMC , de ordem n 1, associado matriz obtida de M quando suprimos a linha e a coluna que passam por ija . Exemplo 1: Dada a matriz M=((

22 2112 11a aa a, de ordem 2, para determinarmos o menor complementar relativo ao elemento 11a(11MC ), retiramos a linha 1 e a coluna 1; MC = menor complementar 18

((

22 2112 11a aa a, logo, 22 22 11a a MC = = Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento 12a dado por:

((

22 2112 11a aa a, logo, 21 21 12a a MC = =e assim por diante. Exemplo 2: Dada a matriz M=((((

33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a a, de ordem 3, vamos determinar: a) 11MCb) 12MCc) 13MCd) 21MCSoluo:OBS.: Vamos denotar menor complementar por MC a)retirandoalinha1eacoluna1damatrizdadaacima ((((

33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a a,temos que: 11MC = ( )32 23 33 2233 3223 22a a a aa aa a =((

b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima, temos que: 12MC =((

33 3123 21a aa a= ( )31 23 33 21a a a a c) retirando a linha 1 e a coluna 3 da matriz dada acima, temos que:

13MC =((

32 3122 21a aa a= ( )31 22 32 21a a a a d) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima, temos que:

21MC =((

33 3213 12a aa a= ( )32 13 33 12a a a a 19 4.CofatorChamamos de cofator (ou complemento algbrico) relativo ao elemento ijade uma matriz quadrada de ordem n o nmero ijA , tal que ijj iijMC ) 1 ( A =+. Exemplo1:DadaM=((

22 2112 11a aa a,oscofatoresrelativosatodososelementosda matriz M so: 22 222MC221 111a a ) 1 ( a ) 1 ( A11+ = = =+; 21 213MC212 112a a ) 1 ( a ) 1 ( A12 = = =+; 12 123MC121 221a a ) 1 ( a ) 1 ( A21 = = =+; 11 114MC112 222a a ) 1 ( a ) 1 ( A22+ = = =+. Assim, podemos tambm determinar amatriz dos cofatores (que ser denotada por Cof(A)) como sendo: ((

=((

=11 1221 2222 2112 11 ) (a aa aA AA AA CofExemplo 2: Sendo M=((((

33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a a, vamos calcular os cofatores 31 23 22A e A , A : ( ) | | ( ) | |31 13 33 11 31 13 33 11433 3113 11 2 222a a a a ) 1 ( a a a a ) 1 (a aa a) 1 ( A + = =((

=+; ( ) | | ( ) | |31 12 32 11 31 12 32 11532 3112 11 3 223a a a a ) 1 ( a a a a ) 1 (a aa a) 1 ( A = =((

=+; ( ) | | ( ) | |22 13 23 12 22 13 23 12423 2213 12 1 331a a a a ) 1 ( a a a a ) 1 (a aa a) 1 ( A + = =((

=+. 5.Matriz Adjunta A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A chamada adjunta de A.Assim:( )tA Cof adjA ) ( = 20 6.Teorema de Laplace Definio:Odeterminantedeumamatrizquadrada| | ( ) 2 m a Mm xmij> = podeser obtidopelasomadosprodutosdoselementosdeumafilaqualquer(linhaoucoluna)da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixandom j 1 que tal , N j s s e , temos: ==m1 iij ijA a M detonde, =m1 i o somatrio de todos os termos de ndice i, variando de 1 at m,N mee ijA o cofator ij. Exemplo : Calcular com o auxlio do Teorema de Laplace, os seguintes determinantes: a) 3201111 3 0200 1 432 D b) 6 5 0 2 1 24 3 2 D2 1= =Soluo: a) 6 5 0 2 1 24 3 2 D1=Aplicando Laplace na coluna 1, temos: 2 14 3(-1) 06 54 3(-1) ) 2 (6 52 1(-1) 2 D313121211111CofatorA1 3aCofatorA1 2a) 11 cofator ( A1 1a1+ + =+ + + _ _ _ 06 54 326 52 12 D1 ++ = 2(38) 2(-4) 20) 2(18 10) - 2(6 D1 + = + + = 68 76 8 D1= + = b)Comotrsdosquatroelementosda a2 linhasonulos,convmaplicarLaplace nessa linha. 3201111 3 0200 1 432 D2=21 + + =+ 3 0 11 1 31 3 2) 1 ( 2 0 0 D23MCD 3 22 _ OBS.:Entopodemosrescrever 2Dcomo: (I)D 2 D2 =Agora precisamos calcular o valor de D para substituirmos em (I) Para isso aplicamos Laplace na a3linha (mais conveniente, pois um dos elementos nulo), e obtemos: + =+ + _ _ 33 31MC3 3MC1 31 - 33 2) 1 ( 31 1 -1 - 3) 1 ( 1 D = + = + = 33 2 ) 11 ( 3 ) 2 ( 1 ) 9 2 ( 3 ) 1 3 ( 1 D35 D =Finalmente, substituindo esse valor em (I), obtemos: -2(-35) D D 2 D2 2 = = 70 D2 =7.Regra de Sarrus Dispositivo prtico para calcular o determinante de a3ordem. Exemplo 1: Calcular o seguinte determinante atravs da Regra de Sarrus. D=33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a a Soluo: a1 Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da a3 : 32221231211133 32 3123 22 2113 12 11aaa aaa

a a aa a aa a a a2 Passo:Encontrarasomadoprodutodoselementosdadiagonalprincipalcomos dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal. OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja: 22 ( )32 21 13 31 23 12 33 22 11a a a a a a a a a + + + =a3 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundria com os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal. OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja: ( )33 21 12 32 23 11 31 22 13a a a a a a a a a + + Assim:( )33 21 12 32 23 11 31 22 13a a a a a a a a a D + + = ( )32 21 13 31 23 12 33 22 11a a a a a a a a a + + +OBS.: Se desenvolvssemos esse mesmo determinante de a3 ordem com o auxlio do teoremadeLaplace,veramosqueasexpressessoidnticas,poisrepresentamomesmo nmero real. Exemplo 2: Calcular o valor dos seguintes determinantes: a) 0110 01 - 01 2100 101 - 2 D b) 1 2 32 1 4 1 3 2 D2 1==Soluo: a)( ) ( ) 47 24 23 8 18 2 12 8 3213 3 -42

1 2 32 1 4 1 3 2 D1 = = + + + === b) 0110 01 - 01 2100 101 - 2 D2 =Aplicando Laplace na a2 linha, temos: + + + =+ + _ _ ' '2'2D4 2D3 221 1 01 - 0 10 1 2) 1 ( 20 1 00 0 11 1 2) 1 ( 1 0 0 D23 ' '2'2 2D 2 D ) 1 ( D + =-Clculo de '2D : Como, na a2linha, dois elementos so nulos, conveniente aplicar Laplace; assim: 1 ) 1 0 ( 10 11 1) 1 ( 1 D1 2 '2= = =+ -Clculo de ' '2D : Utilizando a Regra de Sarrus, temos: =' '2D =101 - 012

1 1 0 1 - 0 1 0 1 - 2 3 ) 0 0 0 ( ) 1 2 0 ( = + + + =Portanto, 5 D6 1 ) 3 ( 2 ) 1 ( 1 DD 2 D ) 1 ( D22' '2'2 2= + = + = + = PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: (de matriz quadrada de ordem n) Aspropriedadesaseguirsorelativasadeterminantesassociadosamatrizes quadradas de ordem n. Estas propriedades, muitas vezes nos permite simplificar os clculos.P1-)Quandotodososelementosdeumafila(linhaoucoluna)sonulos,odeterminante dessa matriz nulo. Exemplos: 1-)03 9 12 183 1 2 30 0 0 07 8 9 4=2-)07 0 13 0 215 0 3=P2-) Se duas filas paralelas de uma matriz so iguais, ento seu determinante nulo. Exemplo: 24 1-)03 4 7 95 3 1 28 9 2 45 3 5 2= pois, L1 = L3 P3-)Seduasfilasparalelasdeumamatrizsoproporcionais,entooseudeterminante nulo. Exemplo: 1-)06 2 34 1 22 4 1= pois C3 = 2C1 P4-)Seoselementosdeumafiladeumamatrizsocombinaeslinearesdoselementos correspondentes de filas paralelas, ento o seu determinante nulo. Exemplos: 1-)05 2 36 4 24 3 1=pois C1 + C2 = C32-)05 10 73 2 11 4 3=pois 2L1 + L2 = L3 OBS.: Definio de combinao linear:Um vetor v uma combinao linear dos vetores v1, v2, ... ,vk, se existem escalares a1, a2, ... ,ak tal que: v= a1. v1+...+ ak. vk P5-) Teorema de Jacobi: O determinante de uma matriz no se altera quando somamos aos elementosdeumafilaumacombinaolineardoselementoscorrespondentesdefilas paralelas. Exemplo: 1-)93 4 22 1 23 2 1=Substituindo a 1 coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2, temos: 93 4 102 1 43 2 53 4 2 4 22 1 2 1 23 2 2 2 12C2 C1= = + + ++ 25 P6-) O determinante de uma matriz e o de sua transposta so iguais. Exemplo: Det A =93 4 22 1 23 2 1= Det At =93 2 34 1 22 2 1=P7-)Multiplicandoporumnmerorealtodososelementosdeumafilaemumamatriz,o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse nmero. Exemplos: 1-)41 2 31 1 23 2 1 = Multiplicando C1 por 2, temos:( ) 8 4 21 2 61 1 43 2 2 = = 2-)1451 0 24 7 30 10 5 =MultiplicandoL1por 51,temos:( ) 29 145511 0 24 7 30 2 1 = = P8-)Quandotrocamosasposiesdeduasfilasparalelas,odeterminantedeumamatriz muda de sinal. Exemplo: 41 2 31 1 23 2 1 = Trocando as posies de L1 e L2, por exemplo, temos: 41 2 33 2 11 1 2+ = P9-) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal so todos nulos, o determinante igual ao produto dos elementos dessa diagonal. Exemplos: 26 1-)c b ac f e0 b d0 0 a = 2-)z y xz 0 0i y 0h g x =P10-)Quando,emumamatriz,oselementosacimaouabaixodadiagonalsecundriaso todos nulos, o determinante igual ao produto dos elementos dessa diagonal, multiplicado por( )( )21 n n1 . Exemplos: 1-)b ax ba 0 = 2-)c b az y cx b 0a 0 0 =P11-) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos: Observao: Como A A-1 = I, na propriedade acima, temos: Exemplo: Se A =,4 31 2B = 2 20 1eAB = 8 112 4, ento: ( )2510B det A det AB det = _ _ P12-) Se k e 9, ento det (kA) = kn detA. Exemplo: Sendo k=3,A = 5 41 2e kA = 15 123 6, temos: ( ) _ _ 623n54A det k A k det = P13-) det (A+B)=detA + detB det (AB) = det A det B det (A-1) = A det1 27 10. Inverso de matrizes com o auxlio da teoria dos determinantes A inversa de uma matriz quadrada de ordem n pode ser calculada pela aplicao do seguinte teorema: Amatrizinversa 1AdeumamatrizA(quadradadeordemn)existese,esomente se,0 A det =e dada por: adjAA det1A1 = OBS.: adj A a matriz transposta da matriz dos cofatores: adj A =()tAExemplos:1)Verificar se a matriz ((

=3 106Aadmite inversa Soluo: A matriz A admite inversa se, e somente se,0 A det = . Assim, como: 0 183 - 10 6A det = = = , existe a matriz inversa de 2)Calcular x para que exista a inversa da matriz ((((

=x 120 1 x 2 3 3 ASoluo: Verificar se existe a matriz inversa de A ( 0 A det A-1= - ) Ento: 1 13

2x 3

x 120 1 x 2 3 3 ( )( )0 4 x 3x x 3 0 4 2x 0 3x - 22= + + + = Assim,-1 x e34x A1 -= = -3)Calcular,seexistir,ainversadamatriz ((

=4 13 2A comoauxliodafrmula adjAA det1A1 = Soluo: 28 Passo 1: Calcular o determinante de A para ver se existe inversa. ( ) 5 3 8 ) 1 ( 3 4 2 A det = + = =Como 1A 0 5- = Passo 2: Calcular os cofatores dos elementos de A. 4 4 ) 1 (1 111= =+A1 1 ) 1 (2 112= =+A3 3 ) 1 (1 221 = =+A2 2 ) 1 (2 222 = =+AAssim, a matriz dos cofatores dada por: ((

=2 -31 4 APasso 3: Clculo da matriz adjunta de A.: ()((

= =2 - 13 4adjA A adjAt Passo 4: Clculo da matriz inversa de A (1A): ((

= = 2 - 13 451det11 1A adjAAA((

=525153541A 29 3 LISTA DE GA I 1)Calcularovalordosdeterminantesdas seguintes matrizes: a) A=((

8 33 , 021b) A=| | . j i a onde , aij2 x 2ij+ = 2)CalcularovalordeR x e naigualdade 3 x 43 x 3+=03)O conjunto soluo de 1 x1 11 x1 11 1x 1=: a) { } 1 x | R x = e b){0;1}c){1}d){-1}e) {0} 4)Determinaramatrizformadapelos cofatoresdoselementosdamatriz A=((((

2 210 141 2 3 . 5)Dada a matriz A= ((((

313232323132323231

. Calcule A, conhecida como matriz dos cofatores, e a matriz adjunta de A. 6)Calculeosseguintesdeterminantes, aplicando o Teorema de Laplace: a) 9 8 76 5 43 2 1b) 0 0 1 01 0 0 02 0 0 23 1 1 0 7)Odeterminante 03 0 0 x21 0 0x2 11 0x 0 representa o polinmio: a)1 x2+d)3(x2 + 1) b)1 x2 e)3(x + 1)(x 1) c)1 x 328)(FuvestSP)Odeterminantedamatriz ((

a bb a,onde x x x xe e 2b e e e a 2 = + = igual a:a) 1b) 1c) xe d) xee) 0 9)UtilizandoaregradeSarrus,calcule: 0 8 11 1 21 5 , 0 3 , 03212 0 -

10) Sendo A=((((

2 3 12 1 00 3 2, calcule: a)det A b)det tA 11) Calcular x na igualdade03 x 13 1 x1 0 1= 12) Calcularxnaigualdade 09 x 6 x 4 x3 x 2 x1 1 12 2=+ 13) Sendo A=(((((

1 64 27 81 16 9 41 4 3 21 1 1 1, calcular det A. 14) Utilizandoaspropriedadesdos determinantes,calculeosdeterminantes justificando os valores obtidos: a) ((((

1 5 23 1 12 4 3 30 b) 1 3 0 22 8 0 44 9 0 35 1 0 2 c) 3 2 0 18 12 6 43 1 2 44 6 3 2 d) 5 0 0 03 4 0 09 2 3 05 4 2 1 e) =+ + + 4 3 12 2 01 0 017 21 81 3 48 9 20 9 70 2 20 4 354 8 2772 34 2818 42 55 15)(MACK-SP)Se ((

=((

4 xb 1y 32 a, A=((

y xb a e B = tA , ento det(A.B) vale: a) 8b) 4c) 2d) 2e) 4 16)(FAAP-SP)DadaamatrizA=((

3 02 1, calcule o determinante da matriz inversa de A. 17) Determine, se existir, a inversa de cada uma das matrizes: a) A=((

2 31 0b) B=((((

2 0 71 3 50 6 4 18)Nafigura,ospontosV1,V2eV3soos vrticesdetringuloretngulo.SendoA=aij uma matriz de ordem 3, em que aij a distncia deVi aVj.Qualovalordodeterminanteda matriz B = 4A-1. Respostas 1) a) 3b) 1c) 1 2) x= -4 ou x=1 3) alternativa c) 4) ((((

=5 4 14 7 67 8 2A5) ((((

=313232323132323231

AeadjA=() =tA((((

313232323132323231-- 6) a) 0 b) 2 7)alternativa d)8)alternativa a) 9) 12510) a) 2 b) 2 11) x=1oux=-4 12) x=2oux=5 13) 600 14) a) 0b) 0c) 0d) 60e) 2 15) alternativa b) 16) 3117) a) ((

=0 1A31321

b) ((((

=1 1B212122141417172711 18)detB =/8 2 2V1 V2 V3 31 III SISTEMAS LINEARES 1Equao linear Toda equao da forma: b x a x a x an n= + + + 2 2 1 1 onde na a a , , ,2 1 sonmerosreaisquerecebemonomedecoeficientesdasincgnitas nx x x, ,2 1 e b um nmero real chamado termo independente. OBS: Quando b = 0, a equao recebe o nome de linear homognea. Exemplos:Equaes LinearesEquaes No-Lineares 1) 3x 2y + 4z = 71) xy3z + t = 8 2) x + y 3z - 7 t = 0 (homognea) 2) x2- 4y = 3t - 4 3) 2x + 4z = 3t y + 4 3)x - y + z = 7 2Sistema Linear Definio: Um conjunto de equaes lineares da forma: = + + + += + + + += + + + +m n mn m m mn nn nb x a x a x a x ab x a x a x a x ab x a x a x a x a

.

3 3 2 2 1 12 2 3 23 2 22 1 211 1 3 13 2 12 1 11 um sistema linear de m equaes e n incgnitas. 2.1 Soluo do Sistema Linear Chamamos de soluo do sistema a n-upla de nmeros reais ordenados( )nr r r , , ,2 1 que , simplesmente, soluo de todas equaes do sistema. 2.2 Matrizes associadas a um Sistema Linear 2.2.1Matriz incompleta a matriz A, formada pelos coeficientes da incgnitas do sistema. Exemplos: 32 Seja o sistema: = + + = + += +4 27 40 3 2z y xz y xz y x Matriz incompleta: A=((((

1 1 21 1 41 3 2 2.2.2Matriz Completa amatrizB,queobtemosaoacrescentarmosmatrizincompletaumaltimacoluna formadapelostermosindependentesdasequaesdosistema.Assimamatrizcompleta referente ao sistema anterior : B = ((((

470 111 - 113 2 -42 2.3 Sistemas Homogneos Um sistema homogneo quando os termos independentes de todas as equaes so nulos. Exemplo: = += + = + 4 3 20 3 40 2 3y xz y xz y x 2.3.1Solues de um Sistema Homogneo An-upla(0,0,0,...,0)sempresoluodeumsistemalinearhomogneocomn incgnitaserecebeonomedesoluotrivial.Quandoexistem,asdemaissoluesso chamadas no-triviais. 2.4 Classificao de um sistema linear quanto ao nmero de solues -possvelsolues) (infinitas ado indeterminnica) (soluo o determinad -impossvel (no tem soluo) Exemplos: 1. = = +1 28y xy x Tem soluo nica: o par ordenado (3, 5). Portanto o sistema possvel e determinado. 2. = + = +16 2 28y xy x 33 Tem infinitas solues: algumas so dadas pelos pares ordenados: (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3),.. Portanto o sistema possvel e indeterminado. 3. = = +1010y xy x Notemumparordenadoquesatisfazsimultaneamenteasequaes.Portantoo sistema impossvel. 2.5 Sistema Normal Um sistema normal quando tem o mesmo nmero de equaes (m) e de incgnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema diferente de zero, ou seja, se m = n e det A= 0, o sistema normal.OBS.: Todo sistema normal possvel e determinado e portanto tem soluo nica. Exemplo: DeterminarR k e , de modo que o sistema = += +53ky xy kx seja normal. Soluo: Para o sistema ser normal temos que observar duas condies: m=n e detA= 0 1 condio: m = 2 e n = 2n m = No sistema, o nmero de equaes (m = 2) igual ao nmero de incgnitas (n = 2) 2 condio: det A= 0 det A = 1 0 1112 = = = k kkk Logo, o sistema normal para qualquer k real diferente de 1 e de 1. 2.6 Regra de Cramer Todosistemanormaltemumanicasoluodadapor DDxii = ,onde{ } n i , 3, , 2 , 1e , D= detA o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e iD o determinante obtido atravs da substituio, na matriz incompleta, da colunai pela coluna formada pelos termos independentes.Exemplo: Resolver com o auxlio da Regra de Cramer, os seguintes sistemas: a) = = +3 3 27 2y xy x Soluo:Temos: m = n = 2 (1 condio) econdio) (2 0 8 2 63 212= = == DPortanto, como o sistema normal, podemos utilizar a Regra de Cramer para resolv-lo. 1 Passo: Calcular y xD D e34 -Substituindo,namatrizincompleta ((

3 212,acoluna 1c pelacolunaformadapelos termos independentes, encontramos: 24 3 213 317 = ==xD- - Substituindo, agora, 2cpela coluna dos termos independentes, encontramos: 8 14 63 27 2 = = =yD2 Passo: Encontrar x e y: Assim: 1883824== === =DDyDDxyx Logo, (x, y) = (3, 1) a soluo do sistema dado. b) = + = += + ++ ++2 2 2 29 2 2 27 2 2 21 11z y xz y xz y x ou = + = += + +2 2 . 2 2 . 2 29 2 2 2 . 27 2 2 21 11z y xz y xz y x Soluo: Damaneiracomoapresentadoosistemanolinear.Assim,paratorn-lolinear, fazemos as substituies: c b ay x= = =z2e2 , 2 , obtendo: = + = += + +2 2 29 27c b ac b ac b a Agora temos um sistema linear com 3 equaes e 3 incgnitas (m = n) e determinante da matriz incompleta diferente de zero, veja: 0 10 3 7 4 1 2 4 2 1211

121 2 2 11 12111= = = + = = D1 Passo: Calcular cD e ,b aD Dsubstituindo as colunas 1, 2 e 3, respectivamente, pelos termos independentes: 40 6 34 18 2 14 18 14 2211

297 2 2 21 19117 = = + = =aD20 15 35 4 7 18 28 2 9297

121 2 2 11 9 217 1 = + = + + + = =bD35 10 17 7 28 9 2 4 18 7211

121 2 2 19 12711 = = + + + + = =cDPortanto, por Cramer vem: 41040== =DDaa21020== =DDbb11010== =DDcc Voltandoatransformaofeitaanteriormente(afinalqueremososvaloresdex,yez) temos: 2 2 2 4 2 22= = = = x ax x x 1 2 2 2 2 21= = = = y by y y 0 2 2 1 2 20= = = = z cz z z Logo, (x, y, z) = (2, 1, 0) a soluo do sistema dado. c) = + = = + +0 3020 4 3z y xz y xz y x Soluo: Temos m = n = 3 e0 29 6 4 3 8 9 131 -4

123 1 - 3 11 1 - 2 143 = = + + + + + = = DPortanto, como o sistema normal, apresentando uma nica soluo e, alm do mais, o sistema homogneo, esta soluo nica ser a soluo trivial (0, 0, 0). Logo, (x, y, z) = (0, 0, 0). 2.7 Discusso de um Sistema Linear Paradiscutirumsistemalineardenequaesenincgnitas,calculamoso determinante D da matriz incompleta. Assim, se = 0 DSistema possvel e determinado (SPD), ou seja tem soluo nica. = 0 D Sistemapodeserpossveleindeterminado(SPI)(terinfinitassolues)ou impossvel (SI) (no ter soluo). Observaes: 1)Seo0 = D ,osistemaserSPDeportantoteremosumanicasoluoparao problema. 2)Seo0 = D ,sistemapoderserSPIouSI.ParaidentificarmosdeeleSPIouSI teremosqueencontrartodosos iD sparasaberseosistemapossvele indeterminado ou impossvel. De que forma? Se todos os iDforem iguais a 0, teremos um SPI Se pelo menos um iDdiferente de zero, teremos um SI. 36 Exemplos: 1) = + = += + 6 2 34 3 23 z y xz y xz y x Temos: m = n = 3 0 32 1 31 1 21 1 1= == DLogo, o sistema possvel e determinado, apresentando soluo nica. 2) = += += + +0 2 3 34 3212z y xz y xz y x Temos: m = n = 3 02 - 3 33 1 212 1= = D0 352 - 3 03 1 412 1= = =xDSendo D = 0 e0 =xD , o sistema impossvel, no apresentando soluo. 3) = + + = + + = + +1 3 4 2 21 2 3 z y xz y xz y x Temos: m = n = 3 03 4 11 1 22 3 1 = = D03 4 11 1 22 3 1 = =xD03 1 11 2 - 22 1 1 = =yD37 01 - 4 12 1 213 1 = =zDLogotemos,D=0,0 =xD ,0 =yD ,0 =zD .Portanto,osistemapossvele indeterminado, apresentando infinitas solues. 2.8Sistemas equivalentes Dois sistemas so equivalentes quando possuem o mesmo conjunto soluo. Exemplo: Sendo = += +=8 3 23 1y xy xS e= += +=5 23 2y xy xSoparordenado(x,y)=(1,2)satisfazambosenico.Logo, 2 1e S S soequivalentes: . ~2 1S S 2.8.1 Propriedades dos sistemas equivalentes 1)Trocandodeposioasequaesdeumsistema,obtemosumoutrosistema equivalente. Exemplo: Sendo: = + += +=== +== + += I z y xIII z yII - z xSIII z yII - z xI z y xS) ( 1 2 ) ( 2) ( 3e ) ( 2) ( 3) ( 1 2 2 1 temos,. ~2 1S S 2)Multiplicando uma ou mais equaes de um sistema por um nmerok, k*R e , obtemos um sistema equivalente ao anterior. Exemplo: Dado ( )( )= = +=II y xI y xS0 3 21, multiplicando a equao (II) por 3, obtemos: = = += = = +=0 3 3 3 23 ) 0( 3 22 2y xy xSy xy xSAssim, temos. ~2 1S S 3)Adicionandoaumadasequaesdeumsistemaoprodutodeoutraequaodesse mesmo sistema por um nmero k, k*R e , obtemos um sistema equivalente ao anterior. Exemplo: Dado ( )( )= = +=II y xI y xS1 4 21,substituindonestesistemaaequao(II)pelasomada equao (I), multiplicada por (-1), com a equao (II), obtemos: 38

-3 3y - 1 4 21 ) 1 ( ) 4 2 ('1'1== = = = = +=y xy xSy xy xS Logo:

3 34 22 = = +=yy xS Assim, , pois (x, y) = (2, 1) soluo de ambos os sistemas. 39 4 LISTA DE GA I 1)Verifique se os sistemas abaixo so normais: a) = + = + += + +4 25 2 3 21z y xz y xz y xb) = + + = + += 19 z 6 y 6 x17 z 7 y 4 x6 z y 3 x c) = += += + +9 y 4 x 30 z y x8 z y 3 x 2 2)DetermineosvaloresdekeR,paraqueos sistemas sejam normais: a) = + + = + + = + +0 kz y x 20 z 3 ky x0 z 2 ky x b) + = += + k 3 1 y 2 x ) 1 k (k 2 y 4 x ) 1 k ( c) = + += + += + +1 z 9 y 4 x k7 z 3 y 2 kx1 z y x2 3)Resolva os seguintes sistemas lineares: a) = = +4 y 3 x 25 y x 3 b) = + + = + = +0 z y x 25 z 4 y x 39 z 3 y 2 x c) ==13 x 52 y 7y 3x 2 1 4)Determineparaquaisvaloresdekosistema = += +2 ky x 23 y 2 x : a)possvel e determinado; b)possvel e indeterminado; c)impossvel. 5)(UFPR)Osistemadeequaes = + += + += +Q Pz y x 46 z y x10 z 3 y x 7 : a)Impossvel, se P = -1 e Q= 8. b)Indeterminado, se P = -1 e Q= 8. c)Indeterminado, se P = -1 e Q=8. d)Impossvel, se P=-1 e Q= 8. e)Impossvel, se P = -1 e Q=8. 6)Escalone,classifiqueeresolvaossistemas abaixo: a) = += +2 y x 51 y 3 x b) = + += + 0 z y x 462zy x 2 c) = + = += + 8 z 3 y x 35 z 2 y 2 x9 z y 3 x 2d) = += += + +6 z y 4 x 34 z 2 y 3 x 22 z y x e)=+=+13 x 41 y 5y 2x 2 1 f) = += += 34 y 3 x 53 y x 37 y 4 x 7)(Fatec-SP) Dois casais foram a um barzinho. O primeiropagouR$5,40por2latasde refrigeranteeumaporodebatatasfritas. OsegundopagouR$9,60por3latasde refrigerante e 2 pores de batatas fritas.Nesselocalenessedia,adiferenaentreo preodeumaporodebatasfritaseo preo de uma lata de refrigerante era de: a)R$2,00b)R$1,80 c)R$1,75 d)R$1,50e)R$1,20 8)(Unifor-CE)Umpacotetem48balas:algumas dehorteleasdemaisdelaranja.Seatera partedodobrodonmerodebalasde hortel excede a metade do de laranjas em 4 unidades, ento nesse pacote h: a)igual nmero de balas dos dois tipos b)duasbalasdehortelamaisquede laranja c)20 balas de hortel d)26 balas de laranja e)duasbalasdelaranjaamaisquede hortel 9)(UCDB-MT)Osistema = += + = += + + 0 2 5 7 20 6 10 40 2 20 2 2z y xz y xz y xz y x: a)impossvel b)homogneo c)determinado d)indeterminado com uma varivel arbitrria. 40 e)Indeterminadocomduasvariveis arbitrrias. 10) (Cefet-PR)ParaafestadoNatal,umacreche necessitava de 120 brinquedos. Recebeu uma doaodeR$370,00.Esperava-secomprar carrinhosaR$2,00cada,bonecasaR$3,00e bolas a R$3,50. Se o nmero de bolas deveria serigualaonmerodebonecasecarrinhos juntos, a soluo seria comprar: a)60 bonecas, 30carrinhos e 30 bolas b)20 bonecas, 40carrinhos e 60 bolas c)30 bonecas, 30carrinhos e 60 bolas d)25 bonecas, 45carrinhos e 70 bolas e)40 bonecas, 20carrinhos e 60 bolas 11) (Unificado-RJ)Paraquevaloresdekexiste umanicamatriz ||.|

\|yx,talque ?0012 1||.|

\|=||.|

\|||.|

\| yxkk a) k = -1b)k=-2c) k=-2 ou k=1 d)k = -2 e k = 1 e)k = 2 e k = -1 12) (UF-AL)Osistema = = +13 2y bxy ax,nas variveis reais x e y, : a)possvel e determinado,a, beR. b)possvel e indeterminado se a = 2b. c)possvel e determinado se a=2b. a, beR. d)possvel e indeterminado se a = -2b. e)impossvel se a = -2b. 13) (F.M.TringuloMineiro-MG)Emtrsmesas deumalanchoneteoconsumoocorreuda seguinte forma: Mesa Hambrguer RefrigerantePoro de fritas 1422 2683 3231 A conta da 1 mesa foi R$18,00 e da 2 mesa R$30,00. Com esses dados: a)possvelcalcularacontada3mesae apenas o preo unitrio do refrigerante. b)possvelcalcularacontada3mesa,mas nenhumdospreosunitriosdostrs componentes do lanche. c) possvel calcular a conta da 3 mesa e alm disso,saberexatamenteospreosunitrios de todos os componentes do lanche. d)nopossvelcalcularacontada3mesa, poisdeveriamserfornecidosospreos unitrios dos componentes do lanche. e) impossvel calcular a conta da 3 mesa e os preos unitrios dos componentes do lanche, poisdeveterhavidoumerronacontada1 ou da 2 mesa. Respostas 1)a) Sim b) Sim c) No 2)a) S={keR | k =211 1} b) S={keR | k =31 } c) S={keR | k = 2 e k = 3} 3)a) S={(1, 2)} b) S={(2, -1, -3)} c)S={(-4, -3)} 4) a) k = 4 b)-/k e R c) k = 4 5) alternativa d) 6) a) possvel e determinado;S=)`|.|

\|143,145 b)possveleindeterminado; S=)`e o |.|

\|o o R p/, 4 ,44 c) possvel e determinado;S= ( ) { } 1 , 2 , 1d)possveleindeterminado; S= ( ) { } R p/, 4 , 5 2 e o o o o e) possvel e determinado;S=)`|.|

\|2 ,23 f)sistema impossvel;S={ } 7) alternativa b) 8) alternativa a) 9) alternativa c) 10) alternativa e) 11) alternativa e) 12)alternativa e) 13) alternativa a)41 LISTA EXTRA DE SISTEMAS LINEARES 1-) Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI. a-) = += + += +12 2 7 45 4 3 24 3 2z y xz y xz y x b-) = + = + += +13 4 2 75 4 2 34 3 2x z yz x yz y x c-) = + = + = + 12 9 6 25 6 4 24 3 2z y xz y xz y x d-) = + += + += + +11464 5732 2134 2134670 2134 5732 21347866 2134 2134 5732z y xz y xz y x e-) = + + += + + += + + += + + +16 5 3 74 3 7 50 7 5 312 7 5 3w z y xw z y xw z y xw z y xf-) = + += += += +0542z y xy xz yz x g-) = += + += + + 2 60 2 2 21 2y xt z y xt z y x 2-) Determine para que valores de m e n o sistema = + += += + n mz y xz y xz y x34 21 3 2 seja: a-) Indeterminado b-) impossvel Respostas 1-) a-) SI(0 = -1)b-) SPI S={(x, y, z) =( ) o o o , 10 3 , 17 2 + } c-) SI (0 = -3)d-) SPDS={(x, y, z) = (1,-1,2)} e-) SPDS={(x, y, z, w) = (1,-1,0,2)}f-) SI (0 = -11/2) g-) S={(x, y, z, t) = |.|

\| + + oo o o,275 1,274 10,2724 6} 2-) a-) m = 2 e n = 5 b-) m = 2 e n= 5 42 IV - APLICAES DE SISTEMAS LINEARES Exemplos 1)Trsirmos,Paula,JliaeAndr,aoconfrontaremsuascontasdetelefonecelular, ficaramcuriososemsaberquantocustouumminutodecadatipodeligaorealizada. As rrs contas apresentaram ligaes para telefones fixos e mveis (celulares) e ligaes internacionais para Buenos Aires, onde moram seus primos. Atabelainformaotempo(emminutos)dasligaesquecadaumefetuoueovalor correspondente da conta, j descontado o preo da assinatura. FixoMvelInternacional (Buenos Aires) Valor Paula10 min6 min2 min12,20 Jlia14 min4 min3 min13,40 Andr8 min5 min5 min14,70 Vamosdenominarx,yezospreosdominutodeligaoparatelefonesfixos,paratelefones mveis e para Buenos Aires, respectivamente. Desta forma,-A conta de Paula dada por: 10x + 6y + 2z = 12,20 -A conta de Jlia dada por: 14x + 4y + 3z = 13,40 -A conta de Andr dada por: 8x + 5y + 5z = 14,70 As trs equaes acima constituem um exemplo de aplicao de sistema linear. 2)(EU-RJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana: LojaProdutosPreo unitrio (R$) Despesa (R$) ACaneta3,0050,00 Lapiseira5,00 BCaderno 4,0044,00 Corretor2,00 Sabendoqueelaadquiriuamesmaquantidadedecanetasecadernos,almdomaiornmero possvel de lapiseiras, o nmero de corretores comprados foi igual a: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 43 3)(PUC)Alfeu,BentoeCintiaforamaumacertalojaecadaqualcomproucamisas escolhidas entre trs tipos, gastando nessa compra os totais de R$134,00, R$ 115,00 e R$ 48,00, respectivamente. Sejam as matrizes: ((((

=((((

=zyxX e A0 1 25 0 14 3 0 tais que: -oselementosdecadalinhadeAcorrespondemsquantidadesdostrstiposde camisas compradas por Alfeu (1 linha), Bento (2 linha) e Cntia (3 linha); -os elementos de cada coluna de A Correspondem s quantidades de um mesmo tipo de camisa; -oselementosdeXcorrespondemaospreosunitrios,emreais,decadatipode camisa. Nessas condies, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa : a) R$53,00 b) R$55,00 c) R$57,00 d) R$62,00 e) R$65,00 4)(U.F. Uberlndia-MG) Gumercindo decidiu dividir sua fazenda de 30 alqueires entre seus dois filhos Joo e Jos. Essa diviso seria diretamente proporcional produo que cada filho conseguisse em uma plantao de soja. Eles produziram juntos 1,5 tonelada de soja, sendo que Jos produziu 250 kg a mais que Joo. Como foi dividida a Fazenda? 5)(Vunesp-SP)Umorfanatorecebeuumacertaquantidadexdebrinquedosparaser distribudaentreascrianas.Secadacrianarecebertrsbrinquedos,sobraro70 brinquedosparaseremdistribudos;mas,paraquecadacrianapossarecebercinco brinquedos, sero necessrios mais 40 brinquedos. O nmero de crianas do orfanato e a quantidade x de brinquedos que o orfanato recebeu so, respectivamente: a) 50 e 290 b) 55 e 235 c) 55 e 220 d) 60 e 250 e) 65 e 265 6)Aoserindagadosobreovalordopedgio,umcaixarespondeu:Quandopassaram2 carrosdepasseioe3nibus,arrecadou-seaquantiadeR$26,00;quandopassaram2 nibus e 5 caminhes, a quantia arrecadada foi de R$47,00, e quando passaram 6 carros depasseioe4caminhes,arrecadou-seaquantiadeR$52,00.Qualfoiovalordo pedgio para cada tipo de veculo citado?