geometria analitica

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1 Material Didtico Notas de Aula Viviane Carla Fortulan 2 I MATRIZES 1.Definio:Matrizmxnumatabeladem.nnmerosreaisdispostosemm linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Exemplos: 1.((

=2 4 03 2 1A uma matriz 2 x 3; 2.||.|

\|=1 10 4B uma matriz 2 x2; 3.6 1213 4 02 015 2 3C = uma matriz 4 x 3. Comopodemosnotarnosexemplos1,2e3respectivamente,umamatrizpodeser representada por colchetes, parnteses ou duas barras verticais. 2. Representao de uma matriz: As matrizes costumam ser representadas por letras maisculas e seus elementos por letras minsculas, acompanhadas de dois ndices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna ocupadas pelo elemento. Exemplo: Uma matriz A do tipo m x n representada por: (((((((

=mn 3 m 2 m 1 mn 3 33 32 31n 2 23 22 21n 1 13 12 11a a a a

aa a aaa a aa a a aA

.. . .

ou, abreviadamente, A=| |n x mija , onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa, s s s sn j 1m i 1. Porexemplo,namatrizanterior, 23a oelementodasegundalinhacomoda terceira coluna. Exemplo 1: Seja a matriz A=| |2 x 2ija , ondej i 2 aij+ = : 3 Genericamente,temos: 2 x222 2112 11a aa aA||.|

\|= .Utilizandoaregradeformaodos elementos dessa matriz, temos: j i 2 aij+ = 6 2 ) 2 ( 2 a4 2 ) 1 ( 2 a5 1 ) 2 ( 2 a3 1 ) 1 ( 2 a22122111= + == + == + == + = Assim, A=||.|

\|6 54 3. 3. Matrizes especiais: 3.1 Matriz linha: toda matriz do tipo 1 x n, isto , com uma nica linha. Ex:( )4 x 11 3 7 4 A = . 3.2 Matriz coluna: toda matriz do tipo n x 1, isto , com uma nica coluna. Ex: 1 x 3014B((((

= . 3.3Matrizquadrada:todamatrizdotiponxn,isto,comomesmonmerode linhas e colunas. Neste caso, dizemos que a matriz de ordem n. Ex: 2 x 21 27 4C||.|

\|=3 x 33 7 23 00 1 4D||||.|

\|t= Matriz de ordem 2 Matriz de ordem 3 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diagonal principal de uma matriz quadrada o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i = j. Diagonalsecundriadeumamatrizquadradaoconjuntodeelementosdessa matriz, tais que i + j = n + 1.. Exemplo: 4 |||.|

\|=6 7 53 0 35 2 1A3 Descrio da matriz: -O subscrito 3 indica a ordem da matriz; -A diagonal principal a diagonal formada pelos elementos 1, 0 e 6; -A diagonal secundria a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5; - 11a = -1 elemento da diagonal principal, pois i = j = 1; - 31a = 5 elemento da diagonal secundria, pois i + j = n + 1 = 3 + 1. 3.4 Matriz nula: toda matriz em que todos os elementos so nulos. Notao: n x mOExemplo: ((

=0 0 00 0 0O3 x 2 3.5Matrizdiagonal:todamatrizquadradaondesoselementosdadiagonal principal so diferentes de zero. Exemplo: ((

=1 00 2A2 |||.|

\|=7 0 00 3 00 0 4B3. 3.6Matrizidentidade:todamatrizquadradaondetodososelementosqueno esto na diagonal principal so nulos e os da diagonal principal so iguais a 1. Notao: nIonde n indica a ordem da matriz identidade. Exemplo: ((

=1 00 1I2 |||.|

\|=1 0 00 1 00 0 1I3 ou :| |=== =j i se 0,j i se , 1a , a Iij ij n 3.7 Matriz transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas. Notao: tA . 5 Exemplo: Se ((

=1 2 10 3 2 Aento tA =((((

102 31 2 Desse modo, se a matriz A do tipo m x n, tA do tipo n x m. Note que a primeira linhadeAcorrespondeprimeiracolunade tA easegundalinhadeAcorresponde segunda coluna de tA . 3.8 Matriz simtrica: Uma matriz quadrada de ordem n simtrica quando A=tA .OBS: Se A = -tA , dizemos que a matriz A anti-simtrica. Exemplo: Se 3 x 35 4 14 2 31 3 2A|||.|

\|=3 x 3t5 4 14 2 31 3 2A|||.|

\|=3.9Matrizoposta:ChamamosdematrizopostadeumamatrizAamatrizque obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todas os seus elementos.Notao: - A Exemplo: Se ((

=1 - 40 3AentoA =((

1 40 3 3.10 Igualdade de matrizes: Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, so iguais se, todos os elementos que ocupam a mesma posio so idnticos.Notao: A = B. Exemplo: Se ((

=b 10 2A((

=3 1c 2Be A = B, ento c = 0 e b = 3 Simbolicamente: ij ijb a B A = =para todom i 1 s se todon i 1 s s . 6 1 LISTA DE GEOMETRIA ANALTICA II 1-) Escreva a matriz A=( )3 x 2ija , onde ija =2i+3j. 2-) Escreva a matriz B=( )3 x 3ijb , onde ijb = ji. 3-)EscrevaamatrizC=( )1 x 4ijc ,onde j i c2ij+ = . 4-) Escreva a matriz D=( )3 x 1ijd , onde ijd = i j. 5-)EscrevaamatrizA=( )3 x 4ija ,onde < >=j i se , 1j i se , 2aij 6-)EscrevaamatrizA=( )3 x 3ija ,onde = = +=j i se , 0j i se , j iaij 7-)EscrevaamatrizA=( )3 x 2ija ,onde < > +=j i se , j ij i se , j i 2aij 8-)Chama-setraodeumamatrizquadradaa somadoselementosdadiagonalprincipal. Determine o trao de cada uma das matrizes A = |||.|

\| =||.|

\|1 0 15 3 21 0 2B e3 42 1. 9-) Dada a matriz A= ||.|

\| 4 12 1, determinar: a-) a transposta de A b-) a oposta de A 10-)DadasasmatrizesA=||.|

\|3 a2 1e ||.|

\|=3 b3 xB ,determinara,bexparaque A=tB . 11-) Determinar os valores de a e b, tais que: ||.|

\|++=||.|

\|++3 a2 b3 b1 a 2 12-) Determine x e y na igualdade: |||.|

\|=|||.|

\|5945yx log23 13-) Seja A=( )3 x 2ija , onde ija =i + j. Determine m, n e p em B=||.|

\| +5 p 2 m 1 n4 3 n m a fim de que tenhamos A=B. 14-) Determine a, b, x e y, tais que: .1 12 3y x 2 b ay x b a((

=((

+ + 15-) Determine x e y, tais que: a-).6453xyx log22((((

=((((

b-).y 2 x 5 10 57 10 y 3 x 2((

+=((

+ 16-) Sendo A uma matriz de ordem 3x3, cujos elementos so dados pela funo , determine a soma dos elementos da diagonal principal. 17-)A organizao econmica Merco formada pelos pases 1, 2 e 3. O volume anual de negcio realizados entre os trs parceiros representado em uma matriz A com 3 linhas e 3 colunas, na qual o elemento de linha i e coluna j informam quanto o pas i exportou para o pas j, em bilhes de dlares. Se , ento Qual o pas que mais exportou e qual o que mais importou no Merco? 18-)Seja M = [ aij ]nxn uma matriz quadrada de ordem n , onde aij = i + j. Nessas condies, qual a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz. 7 RESPOSTAS 1-) A=((

13 10 711 8 5 2-) B=((((

1 31 2123323121 3-) C=(((((

171052 4-) D=| | 2 1 0 5-) A=(((((

2 2 22 2 21 2 21 1 2 6-) A=((((

6 0 00 4 00 0 2 7-) ((

=1 6 52 1 3A8-) trA = 4 etrB = 4 9-) a-) ((

=4 21 1Atb-) A=((

4 12 1 10-) a = 3, b = 2 e x = 1 11-) a = 1e b = 1 12-) x = 81ey= 3 13-) m = -2 n = 4 e p = -3 14-) a = 2, b = 1,x = 1 e y = 1 15-) a-) x = 8 e y =5 b-) x = 57ey = 1511 16-)a11 + a22 + a33 = 0 17-) O pas 2 foi o que mais exportou (4,6bi). O pas 3 foi o que mais importou (5,6bi). 18-)S = n2 + n 4. Adio de Matrizes:Dadas as matrizes A=| |n x mijae B =| |n x mijb , chamamos de soma das matrizes A e B a matriz C =| |n x mijc , tal que ij ij ijb a c + = , para todom i 1 s se todon i 1 s s . Notao: A + B = C OBS: A + B existe se, e somente se, A e B so do mesmo tipo (m x n). Propriedades:A,BeCsomatrizesdomesmotipo(mxn),valemasseguintes propriedades: 1)Associativa:(A + B) + C = A + (B + C) 2)Comutativa A + B = B + A 3)Elemento Neutro A + O = O + A = A onde O a matriz nula m x n. 4)Elemento Oposto 8 A + (-A) = (-A) + A = O Exemplos: 1) ( )((

=((

+ + + +=((

+((

9 03 32 7 0 01 4 2 12 01 27 04 1 2) ( )((

=((

+ + ++ + +=((

+((

1 0 11 4 52 1 1 1 1 01 0 1 3 3 22 1 - 11 1 31 1 00 3 2 5. Subtrao de Matrizes:Dadas as matrizes A=| |n x mijae B=| |n x mijb , chamamos de diferena entre as matrizes A e B a soma de A com a matriz oposta de BNotao: A - B = A + (-B) OBS: A + B existe se, e somente se, A e B so do mesmo tipo (m x n). Exemplo: 1) ((

=((

+ + =((

+((

=((

((

5 42 22 7 0 42 0 1 32 02 - 17 4032 - 02 17 403 6. Multiplicao de um nmero real por uma matriz:Dados um nmero real x e uma matriz A do tipo m x n , o produto dex por A uma matriz do tipo m x n, obtida pela multiplicao de cada elemento de A por x. Notao: B = x.AOBS.: Cada elemento ijbde B tal que ijb = xijaPropriedades:SendoAeBmatrizesdomesmotipo(mxn)exeynmerosreais quaisquer, valem as seguintes propriedades: 1)Associativa:x.(y.A) = (x.y).A 2)Distributiva de um nmero real em relao a adio de matrizes: x.(A+B) = x.A + x.B 3)Distributiva de uma matriz em relao a soma de dois nmeros reais: (x + y).A = x.A + y.A 4)Elemento Neutro: x.A = A, para x = 1, ou seja: 1.A = A Exemplo: 9 1) ( )((

=((

=((

0 321 60 . 3 1 . 37 . 3 2 . 30 17 2. 37. Multiplicao de matrizes:Oprodutodeumamatrizporoutranopodeserdeterminadoatravsdoproduto dosseusrespectivoselementos.Amultiplicaodematrizesnoanlogamultiplicao de nmeros reais. Assim,oprodutodasmatrizesA=| |p x mija eB=| |n xpijb amatrizC=| |n x mijc ,onde cadaelemento ijc obtidoatravsdasomadosprodutosdoselementoscorrespondentes da i-sima linha de A pelos elementos da j-sima coluna de B. OBS:Elementoscorrespondentesdematrizesdomesmotipomxn,soos elementos que ocupam a mesma posio nas duas matrizes. Exemplo: Sejam ((

=2 0 34 6 1Ae ((

=4 3 72 0 5B . Os elementos2 b e 4 a13 13= =so elementos correspondentes. Decorrncia da definio:A matriz produto A.B existe apenas se o nmero de colunas da primeira matriz (A) igual ao nmero de linhas da segunda matriz (B). Assim:( )n xm n xp p xmB . A B e A Note que a matriz produto ter o nmero de linhas (m) do primeiro fator e o nmero de colunas (n) do segundo fator. Exemplos: 1)Se( )5 x3 5 x2 2 x3B . A B e A 2)Seproduto existe no que B e A3 x2 1 x43)( )1 x4 1 x2 2 x4B . A B e A Propriedades:Verificadasascondiesdeexistncia,paraamultiplicaode matrizes so vlidas as seguintes propriedades: 1)Associativa:(A.B).C = A.(B.C) 2)Distributiva em relao adio: a)A.(B+C) = A.B + A.C b)(A+B).C = A.C + B.C 3)Elemento Neutro: 10 A.nI= nI .A =