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GeoGebra Quickstart Gua Rpida de Referncia sobre GeoGebra
www.geogebra.at autor: Markus Hohenwarter| Markus.Hohenwarter@sbg.ac.at
Introduo
Geometria, lgebra e Clculo esto disponveis no programa educativo de
geometria dinmica GeoGebra, galardoado em numerosas ocasies, um software que
conjuga geometria e lgebra. Est escrito na linguagem Java, em cdigo aberto e fun-
ciona em qualquer plataforma (Microsoft Windows, Linux, Macintosh, etc).
Permite construir de modo simples, pontos, figuras, segmentos, rectas, vectores,
cnicas e tambm grficos de funes dinamicamente modificveis com o rato. GeoGe-
bra tambm admite expresses como: g: 3x + 4y = 7 ou c: (x 2) + (y 3) = 25 e ofe-
rece uma gama de comandos entre os que cabe destacar a derivao e a integrao.
A caracterstica mais destacvel de GeoGebra a percepo dupla dos objectos:
cada expresso na janela de lgebra corresponde a um objecto da Zona de Grficos e
vice-versa.
Este guia rpido permite familiarizar-se com GeoGebra, examinando trs exem-
plos:
Exemplo 1: Tringulo circunscrito numa circunferncia.
Exemplo 2: Tangentes a uma circunferncia.
Exemplo 3: Derivada e tangente curva representativa da funo num ponto.
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Ao iniciar o programa surge a seguinte janela:
constituda por trs partes:
A Janela da esquerda ou janela de lgebra, onde aparecem indicaes dos
objectos (coordenadas de pontos, equaes de rectas, de circunferncia, com-
primentos, reas );
A janela da direita ou janela de grficos ou ecr de grficos onde aparecem
os pontos, figuras geomtricas, ). Apresenta um sistema de eixos coordena-
dos;
A linha/entrada de comandos, zona destinada entrada dos coman-
dos/condies que definem os objectos.
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Possvel activar/desactivar a janela de lgebra, a janela dos grficos e a linha de comandos
(se necessitarmos), utilizando o menu Exibir:
Com a ajuda do rato e com os botes da barra de ferramentas vamos construir figu-
ras sobre a janela de grficos). As coordenadas e equaes aparecem na janela de
lgebra.
Na linha/entrada de comandos podemos introduzir directamente as coordena-
das, as condies, comandos, e as expresses que definem as funes que logo de
seguida, so representados na Janela de Grficos ao accionar a tecla Enter.
Um exemplo:
Desenhar a circunferncia definida pela condio: ( ) ( ) + =222 4 16x y
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Exemplo 1: Circunferncia circunscrita num tringulo
1 Tarefa: Construir uma circunferncia circunscrita num tringulo.
1 passo: Construir o tringulo [ABC]
- Seleccionamos com um clique o boto ;
- Seleccionamos de seguida a opo Polgono e na zona de Grficos damos um cli-
que para definir o primeiro vrtice A e em seguida o ponto B depois o ponto C
e novamente o ponto A, dando um clique sobre este.
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- Activamos a opo mediatriz;
- Damos um clique sobre dois dos lados do tringulo;
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- Para alterar a linha para tracejado, com o boto do lado direito do rato sobre a recta,
d um clique, abrindo-se um menu de contexto:
- D um clique na opo propriedades e altere-se o estilo da recta para tracejado:
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- Obtm-se:
- Determina-se de seguida a interseco das duas mediatrizes (circuncentro). Para este
efeito selecciona-se o opo interseco de dois pontos do boto ;
- Em seguida d um clique sobre as duas rectas para obter o ponto de interseco
(circuncentro);
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- Para acabar o exemplo necessrio definir a circunferncia com centro em D
(ponto de interseco) e que passa num ponto (por exemplo A);
- Obtemos a circunferncia que circunscreve o tringulo. Se agora arrastar um
dos pontos pode verificar que a construo se mantm assim como todas as
relaes associadas.
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Alguns truques:
- O comando Desfazer (Ctrl+z) do menu Editar muito til para rectificar e anular a(s)
ltima(s) operao(es);
- Todo o objecto pode ficar invisvel se desactivar a opo exibir objecto do menu de
contexto quando sobre aquele d um clique com o boto do lado direito do rato;
- O comando Desfazer (Ctrl+z) do menu Editar muito til para rectificar e anular a(s)
ltima(s) operao(es);
- Todo o objecto pode ficar invisvel se desactivar a opo exibir objecto do menu de
contexto quando sobre
aquele d um clique com o
boto do lado direito do
rato; Permite tambm alte-
rar a cor a espessura, etc,
dos objectos;
- Pode activar a janela de lge-
bra e a linha de comandos
quando quiser para termos
acesso quer s coordenadas
dos pontos quer s condi-
es que definem quer a
circunferncia quer das rectas;
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- O protocolo de construo est disponvel no menu Exibir permite editar os
passos dados para a construo de uma actividade:
Construo utilizando a linha de comandos
Para construir o mesmo tringulo atravs da utilizao da linha de comandos ou campo de
texto.
Abra um novo documento (Ficheiro > Novo ou CTRL+N) e introduza os seguintes comandos
accionando a tecla Enter no final de cada comando introduzido:
A = (2, 1)
B = (12, 5)
C = (8, 11)
Polgono[A,B,C]
m_a=Mediatriz[a]
m_b=Mediatriz[b]
M = Interseco[m_a,m_b]
Crculo[M, A]
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Alguns truques
- Depois de se comear a introduzir as primeiras letras de um comando este
completa-se. Se desejar o comando basta accionar a tecla Enter se no for esse o
comando pretendido deve continuar a introduzir as restantes letras para o
GeoGebra o reconhecer:
- Um clique sobre o boto de insero de comandos (situado no lado direito da
linha de comandos) permite introduzir directamente o comando desejado.
Exemplo 2:
Tangentes a uma circunferncia
Objectivo: Representar com GeoGebra a circunferncia de equao (x - 3) + (y - 2) = 25 e as duas
tangentes que passam por um ponto A de coordenadas (11, 2).
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Pode introduzir na linha de comandos:
- A equao da circunferncia c: (x - 3) + (y - 2) = 25 e accionar a tecla Enter;
(Truque: o expoente est disponvel no menu situado imediatamente direita da linha de comandos);
- O comando c=centro[c] e accionar Enter;
- O ponto A = (11, 4) para desenhar o ponto A;
Passe s opes dos menus para prosseguir:
- Seleccione Tangentes no menu do quarto cone e seleccione com um clique o
ponto A e a circunferncia c.
- Accione a tecla Esc e em seguida arraste o ponto A. Verifica ao lado que, as
condies que definem as tangentes alteram-se dinamicamente assim como as
coordenadas do ponto A.
Alguns Truques:
- Para aproximar a imagem com o comando zoom, basta dar um clique com o
boto do lado direito do rato e seleccionar o tamanho desejado ou ento obter
uma janela de zoom atravs do boto ampliar ou reduzir dando vrios cliques
at obter o zoom desejado.
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Exemplo 3:
Derivada e tangente curva representativa da funo num ponto. Objectivo: Representar graficamente a funo seno, sua derivada e a tangente curva no ponto,
assim como o tringulo ilustrativo do declive da mesma.
Opo 1: O ponto est sobre o grfico que representa a funo f
- Introduza na linha de comandos a funo definida por f(x) = sin(x) e accionar a
tecla Enter.
- Seleccione a opo Novo Ponto e d um clique sobre a representao grfica da fun-
o f para criar um ponto A sobre o grfico de f .
- Active a opo Tangentes e d um clique sobre o ponto A e sobre a grfico de f .
Renomear t a tangente (da