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GeoGebra Quickstart Gua Rpida de Referncia sobre GeoGebra

www.geogebra.at autor: Markus Hohenwarter| Markus.Hohenwarter@sbg.ac.at

Introduo

Geometria, lgebra e Clculo esto disponveis no programa educativo de

geometria dinmica GeoGebra, galardoado em numerosas ocasies, um software que

conjuga geometria e lgebra. Est escrito na linguagem Java, em cdigo aberto e fun-

ciona em qualquer plataforma (Microsoft Windows, Linux, Macintosh, etc).

Permite construir de modo simples, pontos, figuras, segmentos, rectas, vectores,

cnicas e tambm grficos de funes dinamicamente modificveis com o rato. GeoGe-

bra tambm admite expresses como: g: 3x + 4y = 7 ou c: (x 2) + (y 3) = 25 e ofe-

rece uma gama de comandos entre os que cabe destacar a derivao e a integrao.

A caracterstica mais destacvel de GeoGebra a percepo dupla dos objectos:

cada expresso na janela de lgebra corresponde a um objecto da Zona de Grficos e

vice-versa.

Este guia rpido permite familiarizar-se com GeoGebra, examinando trs exem-

plos:

Exemplo 1: Tringulo circunscrito numa circunferncia.

Exemplo 2: Tangentes a uma circunferncia.

Exemplo 3: Derivada e tangente curva representativa da funo num ponto.

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Ao iniciar o programa surge a seguinte janela:

constituda por trs partes:

A Janela da esquerda ou janela de lgebra, onde aparecem indicaes dos

objectos (coordenadas de pontos, equaes de rectas, de circunferncia, com-

primentos, reas );

A janela da direita ou janela de grficos ou ecr de grficos onde aparecem

os pontos, figuras geomtricas, ). Apresenta um sistema de eixos coordena-

dos;

A linha/entrada de comandos, zona destinada entrada dos coman-

dos/condies que definem os objectos.

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Possvel activar/desactivar a janela de lgebra, a janela dos grficos e a linha de comandos

(se necessitarmos), utilizando o menu Exibir:

Com a ajuda do rato e com os botes da barra de ferramentas vamos construir figu-

ras sobre a janela de grficos). As coordenadas e equaes aparecem na janela de

lgebra.

Na linha/entrada de comandos podemos introduzir directamente as coordena-

das, as condies, comandos, e as expresses que definem as funes que logo de

seguida, so representados na Janela de Grficos ao accionar a tecla Enter.

Um exemplo:

Desenhar a circunferncia definida pela condio: ( ) ( ) + =222 4 16x y

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Exemplo 1: Circunferncia circunscrita num tringulo

1 Tarefa: Construir uma circunferncia circunscrita num tringulo.

1 passo: Construir o tringulo [ABC]

- Seleccionamos com um clique o boto ;

- Seleccionamos de seguida a opo Polgono e na zona de Grficos damos um cli-

que para definir o primeiro vrtice A e em seguida o ponto B depois o ponto C

e novamente o ponto A, dando um clique sobre este.

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- Activamos a opo mediatriz;

- Damos um clique sobre dois dos lados do tringulo;

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- Para alterar a linha para tracejado, com o boto do lado direito do rato sobre a recta,

d um clique, abrindo-se um menu de contexto:

- D um clique na opo propriedades e altere-se o estilo da recta para tracejado:

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- Obtm-se:

- Determina-se de seguida a interseco das duas mediatrizes (circuncentro). Para este

efeito selecciona-se o opo interseco de dois pontos do boto ;

- Em seguida d um clique sobre as duas rectas para obter o ponto de interseco

(circuncentro);

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- Para acabar o exemplo necessrio definir a circunferncia com centro em D

(ponto de interseco) e que passa num ponto (por exemplo A);

- Obtemos a circunferncia que circunscreve o tringulo. Se agora arrastar um

dos pontos pode verificar que a construo se mantm assim como todas as

relaes associadas.

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Alguns truques:

- O comando Desfazer (Ctrl+z) do menu Editar muito til para rectificar e anular a(s)

ltima(s) operao(es);

- Todo o objecto pode ficar invisvel se desactivar a opo exibir objecto do menu de

contexto quando sobre aquele d um clique com o boto do lado direito do rato;

- O comando Desfazer (Ctrl+z) do menu Editar muito til para rectificar e anular a(s)

ltima(s) operao(es);

- Todo o objecto pode ficar invisvel se desactivar a opo exibir objecto do menu de

contexto quando sobre

aquele d um clique com o

boto do lado direito do

rato; Permite tambm alte-

rar a cor a espessura, etc,

dos objectos;

- Pode activar a janela de lge-

bra e a linha de comandos

quando quiser para termos

acesso quer s coordenadas

dos pontos quer s condi-

es que definem quer a

circunferncia quer das rectas;

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- O protocolo de construo est disponvel no menu Exibir permite editar os

passos dados para a construo de uma actividade:

Construo utilizando a linha de comandos

Para construir o mesmo tringulo atravs da utilizao da linha de comandos ou campo de

texto.

Abra um novo documento (Ficheiro > Novo ou CTRL+N) e introduza os seguintes comandos

accionando a tecla Enter no final de cada comando introduzido:

A = (2, 1)

B = (12, 5)

C = (8, 11)

Polgono[A,B,C]

m_a=Mediatriz[a]

m_b=Mediatriz[b]

M = Interseco[m_a,m_b]

Crculo[M, A]

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Alguns truques

- Depois de se comear a introduzir as primeiras letras de um comando este

completa-se. Se desejar o comando basta accionar a tecla Enter se no for esse o

comando pretendido deve continuar a introduzir as restantes letras para o

GeoGebra o reconhecer:

- Um clique sobre o boto de insero de comandos (situado no lado direito da

linha de comandos) permite introduzir directamente o comando desejado.

Exemplo 2:

Tangentes a uma circunferncia

Objectivo: Representar com GeoGebra a circunferncia de equao (x - 3) + (y - 2) = 25 e as duas

tangentes que passam por um ponto A de coordenadas (11, 2).

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Pode introduzir na linha de comandos:

- A equao da circunferncia c: (x - 3) + (y - 2) = 25 e accionar a tecla Enter;

(Truque: o expoente est disponvel no menu situado imediatamente direita da linha de comandos);

- O comando c=centro[c] e accionar Enter;

- O ponto A = (11, 4) para desenhar o ponto A;

Passe s opes dos menus para prosseguir:

- Seleccione Tangentes no menu do quarto cone e seleccione com um clique o

ponto A e a circunferncia c.

- Accione a tecla Esc e em seguida arraste o ponto A. Verifica ao lado que, as

condies que definem as tangentes alteram-se dinamicamente assim como as

coordenadas do ponto A.

Alguns Truques:

- Para aproximar a imagem com o comando zoom, basta dar um clique com o

boto do lado direito do rato e seleccionar o tamanho desejado ou ento obter

uma janela de zoom atravs do boto ampliar ou reduzir dando vrios cliques

at obter o zoom desejado.

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Exemplo 3:

Derivada e tangente curva representativa da funo num ponto. Objectivo: Representar graficamente a funo seno, sua derivada e a tangente curva no ponto,

assim como o tringulo ilustrativo do declive da mesma.

Opo 1: O ponto est sobre o grfico que representa a funo f

- Introduza na linha de comandos a funo definida por f(x) = sin(x) e accionar a

tecla Enter.

- Seleccione a opo Novo Ponto e d um clique sobre a representao grfica da fun-

o f para criar um ponto A sobre o grfico de f .

- Active a opo Tangentes e d um clique sobre o ponto A e sobre a grfico de f .

Renomear t a tangente (da