geodésia - apostila

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APRESENTAÇÃO O presente trabalho destina-se como material de apoio para a disciplina de Geodésia do Curso Pòs-Graduação em GEOTECNOLOGIAS SOLUÇÕES DE INTELIGÊNCIA GEOGRÁFICA, À NÍVEL DE ESPECIALIZAÇÃO LATO SENSU. Qualquer citação ao presente trabalho deve ser feita, seguindo-se as normas da ABNT, como: TEIXEIRA, N. N. Geodésia. Apostila do Curso de Pós-Graduação em Geotecnologias Soluções de Inteligência Geográfica. EEEMBA, Salvador, BA, 2010.

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Page 1: Geodésia - Apostila

APRESENTAÇÃO

O presente trabalho destina-se como material de apoio para a disciplina de Geodésia

do Curso Pòs-Graduação em GEOTECNOLOGIAS – SOLUÇÕES DE

INTELIGÊNCIA GEOGRÁFICA, À NÍVEL DE ESPECIALIZAÇÃO LATO SENSU.

Qualquer citação ao presente trabalho deve ser feita, seguindo-se as normas da

ABNT, como:

TEIXEIRA, N. N. Geodésia. Apostila do Curso de Pós-Graduação em Geotecnologias

– Soluções de Inteligência Geográfica. EEEMBA, Salvador, BA, 2010.

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Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 4

1.1 CONCEITUAÇÃO 4

1.2 ATUAÇÃO DA GEODÉSIA 5

2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 8

2.1 TOPOGRAFIA 8

2.2 CARTOGRAFIA 12

2.3 ASTRONOMIA DE POSIÇÃO 13

2.4 SENSORIAMENTO REMOTO 15

2.5 CARACTERÍSTICAS DA GEODÉSIA E DAS CIÊNCIAS AFINS 15

2.6 ERROS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO DEVIDO À

CURVATURA TERRESTRE E À REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA

17

2.7 FORMAS DA TERRA 26

3 SISTEMAS DE COORDENADAS E DE REFERÊNCIA 38

3.1 SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU

GEOGRÁFICAS

40

3.2 SISTEMA DE REFERÊNCIA TERRESTRE CONVENCIONAL 42

3.3 SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS 44

3.4 SISTEMA GEODÉSICO LOCAL 46

3.5 SISTEMA DE COORDENADAS PLANAS RETANGULARES 47

3.6 SISTEMAS DE COORDENADAS TOPOGRÁFICAS LOCAIS 53

3.7 SISTEMAS DE REFERÊNCIA 57

3.8 SISTEMAS DE REFERÊNCIA GEODÉSICOS ADOTADOS NO

BRASIL

61

4 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE 72

4.1 ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO 73

4.2 SEÇÕES NORMAIS RECÍPROCAMENTE INVERSAS 83

4.3 LINHA GEODÉSICA 85

5 TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS E DE SISTEMAS DE

REFERÊNCIA

88

5.1 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS 88

5.2 TRANSFORMAÇÃO ENTRE SISTEMAS DE REFERÊNCIAS 103

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS 108

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Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira

3

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONCEITUAÇÃO

A palavra Geodésia de forma literal expressa a “divisão ou

particionamento da Terra”, e foi utilizado pela primeira vez por Aristóteles (384-322

a.C.). No entanto, tal expressão não é suficiente para definir com clareza a amplitude

de atuação e importância desta ciência, havendo então necessidade de buscar, através

de autores renomados, conceitos e definições da mesma.

Deste modo, segundo GEMAEL (1987), Geodésia é a ciência que tem como

objeto a determinação da forma e dimensões do nosso planeta, bem como a

determinação dos parâmetros definidores do campo da gravidade. Com o acréscimo de

uma outra componente que são suas variações temporais. No entanto, com o

desenvolvimento da era espacial a sua área de atuação inclui hoje outros componentes

do sistema solar, como por exemplo, a Selenodésia, que tem como objetivo o estudo

da forma, dimensões e movimentos da Lua.

TARDI-LACLAVERE (1951), divide a Geodésia em duas partes que são:

Geodésia Teórica ou Matemática e Geodésia Operacional. Segundo ele, a primeira

trata do estudo da forma e das dimensões da Terra, enquanto a segunda, estabelece os

procedimentos para a medida de porções da Terra, que por suas dimensões requerem a

consideração da curvatura terrestre.

WILSON (1908) define a Geodésia como sendo a ciência que soluciona

questões envolvendo a forma e dimensão da Terra, compreendendo ainda:

A medida exata de uma linha de base de alguns quilômetros;

Determinação da latitude, longitude e azimute de um dos extremos;

Ampliação de base, pela triangulação; e

Cálculo da triangulação.

BOMFORD (1962) afirma que a Geodésia é a divisão da Terra, cujo objetivo

principal é o de estabelecer uma estrutura geométrica precisa para apoiar os

levantamentos topográficos.

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Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira

4

A consecução dos objetivos da Geodésia se dá por meio de operações

geométricas realizadas sobre a superfície terrestre (medidas angulares e de distância)

associadas a esparsas determinações astronômicas; ou utilizar medidas gravimétricas

que conduzam ao conhecimento detalhado do campo da gravidade; ou mais

modernamente, valer-se de medidas efetuadas sobre satélites artificiais (GEMAEL,

1987). Considerando-se variedade de operações e conseqüentemente de dados,a

Geodésia pode assim ser dividida:

Geodésia Geométrica;

Geodésica Física; e

Geodésia Espacial, ou Celeste ou ainda por Satélites.

Considerando-se o desenvolvimento tecnológico a Geodésia pode, ainda, ser

dividida em:

Selenodésia; e

Geodésia Marinha.

1.2 ATUAÇÃO DA GEODÉSIA

Geralmente, a atuação da Geodésia se dá na solução de problemas, que podem

ser divididos em Científicos e Científicos-Práticos.

No que diz respeito à atuação cientifica, a principal tarefa da Geodésia é o estudo

da forma e das dimensões do nosso planeta, bem como, de seu campo gravitacional

externo.

A solução deste problema compreende (ZAKATOV, 1981):

1. Determinação das medidas e do tipo de superfície matemática regular que

represente a forma adequada da figura da Terra em sua totalidade. Considera-se

que tal superfície seja a de uma elipsóide de revolução achatado, também

denominado de elipsóide terrestre;

2. O estudo da figura real da Terra e seu campo de gravitacional exterior. Por

figura real da Terra se entende a superfície física real da Terra.

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Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira

5

O estudo da figura real da Terra compreende a determinações de parâmetros ou

magnitudes geodésicas que expressam os desvios de sua superfície com relação à

superfície do elipsóide terrestre.

Outros problemas científicos da Geodésia são:

Detecção e análise de movimentos tridimensionais da crosta terrestre;

Determinação da estrutura interna da Terra;

Determinação da diferença dos níveis médios dos mares e quantificação dos

movimentos das linhas de costa dos oceanos;

Estudo dos movimentos dos pólos;

Lançamento de satélites artificiais e monitoramento de seus movimentos, em seu

ciclo de vida útil;

Dentre outros.

Atualmente, a observação e descrição do 'campo de gravidade' e sua variação

temporal, é o problema científico de maior interesse da Geodésia.

No que diz respeito aos problemas científicos-práticos, a Geodésia se ocupa com

o desenvolvimento dos mais modernos métodos e instrumentos para a execução de

medições e observações de alta precisão, como por exemplo:

Medições lineares: precisão melhor do que 1:500.000;

Medições de ângulos horizontais: = 0 ,7”;

Medições de distâncias zenitais: precisão de poucos segundos;

Nivelamento geodésico: = 0,05 mm/km;

Neste tipo de problema inclui-se a determinação de coordenadas geodésicas ( ,

, h) de pontos da superfície terrestre, a nível local, regional e global, com relação a

um sistema único de coordenadas. Deste modo, com os métodos geodésicos se

determina coordenadas com alta precisão de alguns pontos da superfície terrestre, os

quais são denominados de rede geodésica de apoio. Por outro lado, como

complementação da Geodésia, a Topografia – com seus métodos – utiliza os pontos

das redes geodésicas de apoio para determinar os detalhes de porções da superfície

terrestre.

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Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira

6

A Geodésia também oferece apoio às atividades de Cartografia. Neste contexto

estão inclusos as técnicas, metodologias e especificações para a mensuração e

representação de grandes extensões da superfície terrestre, abrangendo em muitas

aplicações cidades, estados e nações.

Em geral, o profissional ligado às atividades de mensuração lida

comumente com três superfícies:

a) Superfície Física da Terra: superfície que é palco das operações topográficas,

geodésicas e astronômicas;

b) Geóide, superfície que melhor representa a forma da Terra, o qual é obtido pelo

prolongamento do nível médio dos mares, não perturbado, através dos

continentes. Esta figura é bem definida fisicamente, porém de difícil tratamento

matemático, pois possui muitas irregularidades;

c) Superfície do modelo geométrico: superfície de referência, sobre a qual são

efetuados os cálculos geodésicos. Geralmente, está superfície é o elipsóide

revolução, pois possibilita tratamento matemático e se aproxima muito do

Geóide. O elipsóide de revolução é obtido pela rotação de uma elipse meridiana

em torno de seu eixo menor.

Estas três superfícies podem ser vistas na figura 1.1.

FIGURA 2.2 – SUPERFÍCIES UTILIZADAS NA MENSURAÇÃO

a

b

Pn

Ps

Q´ Q

P

Superfície Física

Geóide

Elipsóide de Revolução

G

h

H

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2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS

No capítulo 1 explanou-se as definições envolvendo a Geodésia. Neste

capítulo iniciar-se-á definindo as ciências correlatas a Geodésia, que também lidam com

o mapeamento e posicionamento, e semelhantemente à Geodésia estudam os elementos

geométricos para a representação da superfície terrestre que são:

a) Topografia;

b) Cartografia;

c) Astronomia de Posição; e

d) Sensoriamento Remoto e Fotogrametria (esta já definida no capítulo 1).

2.1 TOPOGRAFIA

A Topografia é a ciência aplicada, que utiliza a Geometria Plana e a

Trigonometria Plana como ferramenta, definindo a posição relativa de pontos sobre a

superfície da Terra utilizando medidas de distâncias, direções e alturas, ou seja,

medidas geométricas sobre a superfície da Terra. Além disto, esta ciência abrange

também locação de pontos necessários à construção de obras da Engenharia,

Arquitetura e Agronomia, como por exemplo, barragens, loteamentos e construções

rurais.

A palavra Topografia provém do grego topos que significa lugar e

graphos que significa descrição, ou seja, descrição exata e minuciosa do lugar ou

terreno. Deste modo, a Topografia pode descrever exatamente o local de interesse, o

que é feito tanto numericamente – por meio das coordenadas dos pontos, quanto

geograficamente – por meio dos desenhos obtidos com as medidas de ângulos e

distâncias, ou das respectivas coordenadas.

Esta descrição exata e minuciosa do terreno, que envolve a determinação

de seu contorno, dimensão e posição relativa, não leva em conta os efeitos da

curvatura terrestre proveniente de sua esfericidade. Deste modo, o modelo da Terra é

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reduzido à uma superfície plana, onde os cálculos tornam-se menos complexos,

permitindo, como mencionado anteriormente, a utilização da Geometria e

Trigonometria Planas.

A importância da Topografia reside no fato de que para o projeto e

execução de obras envolvendo a Engenharia, Arquitetura e Agronomia, é necessário o

conhecimento detalhado do terreno no qual o projeto será desenvolvido, o qual se

obtém através do levantamento topográfico do local. Este levantamento compreende as

seguintes etapas:

Medição de ângulos;

Medição de distâncias;

Cálculos; e

Desenho topográfico.

2.1.1 Finalidade da Topografia

A finalidade da Topografia é a representação no papel da configuração

de uma porção da superfície terrestre com todos os seus acidentes e objetos, que é feita

por meio de projeção ortogonal cotada.

Esta projeção é realizada sobre uma superfície de nível, ou seja, sobre

uma superfície definida pela propriedade de ser, em cada um de seus pontos, normal à

direção da gravidade: as projetantes dos diversos pontos a representar são, pois, as

verticais desses pontos. A esta projeção ou imagem figurada de terreno dá-se o nome

de planta ou plano topográfico (ESPARTEL ,1982), conforme pode ser visto pela

figura 2.1.

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FIGURA 2.1 – PROJEÇÃO ORTOGONAL COTADA

Na figura 2.1 as verticais verdadeiras 1, 2, 3, 4 e 5 são substituídas pelas

verticais A, B, C, D e E que são perpendiculares ao plano HH‟, que é o plano

topográfico, e consideradas paralelas entre si dentro da área a representar.

A vertical é constituída por uma reta que une um ponto qualquer da

superfície física da Terra ao centro de massa da mesma. Esta reta pode ser

materializada pelo fio de prumo do teodolito.

2.1.2 Distinção entre a Topografia e a Geodésia

Tanto a Topografia como a Geodésia são ciências ligadas ao

mapeamento, nas quais repousam elementos geométricos para representação da

superfície terrestre, e por isso, não raras às vezes utilizam os mesmos instrumentos,

técnicas e metodologias. No entanto, há duas diferenças principais que estão no

tratamento dos dados e na consideração dos efeitos da curvatura terrestre.

A Topografia, como mencionado anteriormente, limita-se à descrição

minuciosa de pequenas porções da superfície terrestre. De acordo com alguns autores

de compêndios topográficos esta limitação se estende até a área descrita por um

círculo de 25km, 30km ou 50km de raio. No entanto, de acordo com a NBR

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Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira

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13.133/1994 (Norma da ABNT que fixa as condições para a execução de

levantamentos topográficos no Brasil) o plano topográfico possui dimensão máxima

limitada a 80km.

A Geodésia tem por objetivo a determinação da forma e dimensões da

Terra, levando em conta os efeitos provenientes da curvatura da terrestre, bem como

da refração atmosférica. Neste contexto estão implícitos os estudos de soluções que

visam transformar a superfície do elipsóide em uma superfície plana como a dos

mapas e cartas. A figura 3.2 ilustra os instrumentos utilizados em Geodésia.

FIGURA 3.2 – INSTRUMENTOS UTILIZADOS EM GEODÉSIA

Geralmente, as soluções dos problemas em Geodésia são resolvidos por

matemática não-elementar, enquanto, em Topografia os problemas são menos

complexos, não exigindo o mesmo rigor matemático. Considerando-se seu campo de

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atuação, que é toda a Terra e alguns componentes do Sistema Solar, a Geodésia é a

ciência que abrange o todo, enquanto a Topografia se atém aos detalhes. Deste modo,

devido ao seu âmbito restrito a Topografia é um capítulo da Geodésia. Porém, ambas

se completam para a harmonia do conjunto, do qual resultam as cartas geográficas e

topográficas (ESPARTEL, 1982).

2.2 CARTOGRAFIA

Cartografia é a ciência e a arte de expressar graficamente, por meio de

mapas e cartas o conhecimento humano da superfície e o ambiente terrestre.

É ciência porque essa expressão gráfica, para alcançar exatidão

satisfatória procura um apoio científico que se obtém pela consecução de

determinações astronômicas, topográficas e geodésicas, utilizando-se também da

matemática e física como ferramenta.

É arte quando se subordina às leis estéticas da harmonia, clareza e

simplicidade, procurando atingir o ideal artístico da beleza.

Esta expressão ou representação gráfica dos detalhes físicos, naturais e

artificiais de uma área restrita ou extensa da superfície terrestre, é feita sobre uma

superfície plana – denominada de mapa ou carta – por meio de escalas médias e

pequenas, levando em consideração os efeitos da curvatura terrestre. Nesta

representação também está implícito o posicionamento rigoroso destes detalhes, os

quais são atrelados a um sistema de referência de coordenadas.

No entanto, dificuldades existem no que diz respeito à representação

gráfica de detalhes da superfície terrestre sobre uma superfície plana. Estas

dificuldades são provenientes do fato da a esfera ou o elipsóide de revolução não

serem superfícies desenvolvíveis, ou seja, não há como abrir sua superfície

transformando-a em um plano, isto é, um mapa ou carta. Por isso, ao longo do tempo

foram desenvolvidos diversos sistemas de projeção capazes de permitir a

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transformação, ainda que aproximada, da superfície terrestre. A maioria das projeções

cartográficas são referidas a um plano, cone ou cilindro.

A projeção utilizada no Brasil para representação cartográfica é Projeção

Universal Transversa de Mercator (UTM), que foi originada a partir da projeção

conforme de Gauss.

A figura 2.3 mostra o esquema da projeção UTM.

FIGURA 2.3 – ESQUEMA DA PROJEÇÃO UTM

2.3 ASTRONOMIA DE POSIÇÃO

A astronomia de posição, também conhecida como astronomia de

campo, ou esférica tem por finalidade a determinação da posição geográfica de pontos

e azimutes de orientação na superfície terrestre. Esta posição geográfica é composta

pelas coordenadas latitude e longitude. É uma das ciências mais antigas, cujo objeto de

estudo é a natureza, o movimento e distribuição dos corpos celestes, bem como, a

constituição do universo em seu conjunto.

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As atividades relacionadas à Astronomia de campo desempenharam um

importante papel na resolução de problemas científicos e práticos da Geodésia e

Topografia, como por exemplo:

Determinações astronômicas da latitude e longitude nos pontos das

triangulações geodésicas;

Determinações astronômicas da latitude e longitude de pontos da superfície

terrestre, os quais serviram como pontos de apoio em levantamentos

topográficos;

Determinação do Norte Verdadeiro ou Geográfico nos levantamentos

topográficos;

Determinação das coordenadas geográficas de navios em mar, e de aviões

no ar.

Muitos problemas da Astronomia de Campo são solucionados via

resolução do triângulo esférico, também conhecido como triângulo astronômico, de

posição ou paralático (ZAKATOV, 1981). Este triângulo é formado por três pontos da

esfera celeste: Pólo, Zênite e o Astro, ligados por arcos de círculos máximos. A figura

2.4 mostra o esquema de um triângulo de posição.

FIGURA 2.4 – TRIÂNGULO DE POSIÇÃO

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2.4 SENSORIAMENTO REMOTO

É a ciência e arte de adquirir informações a respeito de um objeto, área

ou fenômeno a partir de medidas feitas por sensores, sem que haja contato com este

objeto, área ou o fenômeno em estudo. Sensores são equipamentos capazes de coletar

energia eletromagnética proveniente do objeto, converte-la em sinal passível de ser

registrado e apresenta-lo em forma adequada à extração da informação. Qualquer

veículo, terrestre, aéreo ou orbital capaz de suportar qualquer tipo de sensor em

condição de operação é denominado de Plataforma de Aquisição.

As plataformas de aquisição terrestres, ou simplesmente plataformas

terrestres, são aquelas que se deslocam na superfície do terreno. Quando o sensor é

transportado a bordo de uma aeronave, a plataforma é denomina de plataforma aérea.

E finalmente, quando o sensor é transportado a bordo de satélites ou transportadores

espaciais em órbita em torno da Terra, diz-se que a plataforma utilizada é uma

plataforma espacial. A figura 2.5 mostra, respectivamente, uma plataforma terrestre,

aérea e espacial.

FIGURA 2.5 – EXEMPLO DE PLATAFORMAS DE AQUISIÇÃO

Plataforma Terrestre

Plataforma Aérea

Plataforma Espacial: Satélite Landsat

As imagens provenientes destes sensores podem ser utilizadas em

Sistemas de Informações Geográficas (SIG) e na produção de mapas.

2.5 CARACTERÍSTICAS DA GEODÉSIA E DAS CIÊNCIAS AFINS

O quadro 2.1 apresenta algumas das características da Geodésia e das

ciências afins.

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QUADRO 2.1 – CARACTERÍSTICAS DA GEODÉSIA E DAS CIÊNCIAS

AFINS

CIÊNCIA CARACTERÍSTICAS

Topografia

Aplicada a áreas restritas

Desconsidera os efeitos da curvatura Terrestre

Determina o posicionamento de pontos

Representa superfícies

Sistema de referência local

Modelo matemático: Plano

Geodésia

Aplicada a áreas extensas

Determina coordenadas de pontos com alta precisão

Considera os efeitos da curvatura terrestre e da

refração atmosférica

Modelo matemático: Elipsóide de revolução

Sistema de referência nacional, continental e global

Astronomia de Posição

Considera os efeitos da curvatura terrestre

Modelo matemático: Esfera

Determinação de coordenadas por meio de

observações de astros

Fotogrametria

Considera os efeitos da curvatura terrestre

Aplicada a áreas extensas

Superfície de referência: o mesmo dos pontos de

apoio

Sensoriamento Remoto

Aplicada a áreas extensas: possibilita a cobertura

global da Terra

Considera os efeitos da curvatura terrestre

Considera o efeito de rotação da Terra

Permite a produção de mapas

Cartografia

Considera os efeitos da curvatura terrestre

Representa superfícies através de Sistemas de

Projeção

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2.6 ERROS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO DEVIDO À CURVATURA

TERRESTRE E À REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA

2.6.1 Erro Planimétrico

A superfície de referência utilizada na Geodésia é o elipsóide de

revolução, pois possibilita o tratamento matemático e se aproxima muito do Geóide,

que é a forma da Terra. Deste modo, os problemas relativos à esfericidade da Terra

proveniente de sua curvatura, são considerados nas atividades geodésicas, ao passo

que na Topografia, essa consideração não é levada a contento, pois a sua superfície de

referência é reduzida ao plano topográfico local. Esta aproximação torna o campo de

atuação da Topografia restrito à pequenas porções da superfície terrestre, onde é de

suma importância a definição da extensão máxima de sua atuação. Para definir esta

extensão considere-se a figura 2.6.

FIGURA 2.6 – CURVATURA TERRESTRE: ERRO PLANIMÉTRICO

Nesta figura estão implícitas as seguintes grandezas:

R: raio da Terra;

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: ângulo central, que faz separação entre os pontos a e b da esfera;

A e B: dois pontos situados na superfície física da Terra;

a e b: projeções ortogonais dos pontos A e B na calota esférica, segundo os

raios terrestres OA e OB;

b´: é a projeção do ponto B no plano topográfico;

b”: ponto concebido no plano topográfico, com a condição de que o arco ab

seja igual à tangente ab”.

Com o intuito de determinar a extensão máxima do campo de atuação da

Topografia, determina-se primeiramente as equações do arco ab e da tangente ab”, os

quais são expressos, respectivamente, por:

tg.R´ab´D , (2.1)

)rad(.RabD . (2.2)

A subtração da equação (2.1) pela equação (2.2) resulta no erro de

distância entre as projeções D e D´, ou seja:

)- tg.(RDab´ab"bb . (2.3)

Pela série de Taylor, tem-se a seguinte equação quando o ângulo central

( ) for pequeno:

3 tg

3

. (2.4)

Substituindo a equação (2.4) na equação (2.3), tem-se:

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3RD

3

, (2.5)

obtendo-se:

3

.RD

3

, (2.6)

mas, como

.RD , (2.7)

que substituindo na equação (2.6), resulta, finalmente, em:

2

3

R.3

DD . (2.8)

A tabela 2.1 apresenta os valores dos erros planimétricos para os ângulos

central de 5‟, 10‟, 15‟, 20‟, 25‟, 30‟, 35‟, 40‟ e 0º43‟10,32” (que corresponde a uma

distância de 80km), onde são utilizadas as equações (2.1), (2.2) 2 (2.3). O raio da Terra

aqui considerado é de 6.370km.

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TABELA 2.1 – ERRO PLANIMÉTRICO

Ângulo

Central ( )

(º „ “)

Distância

Horizontal (D´)

(m)

Distância

Esférica (D)

(m)

Erro Planimétrico

Absoluto

(m) Relativo

0º05´00” 9.264,796 9.264,789 0,007 1 : 1.323.000

0º10´00” 18.529,631 18.529,579 0,052 1 : 355.000

0º15‟00” 27.794,545 27.794,368 0,177 1 : 157.000

0º20‟00” 37.059,576 37.059,158 0,418 1 : 88.000

0º25‟00” 46.324,764 46.323,947 0,817 1 : 56.000

0º30‟00” 55.590,148 55.588,737 1,411 1 : 39.000

0º35‟00” 64.855,767 64.853,526 2,241 1 : 28.000

0º40‟00” 74.121,661 74.118,316 3,345 1 : 22.000

0º43‟10,32” 80.000,000 79.995,794 4,206 1 : 19.000

Da tabela 2.1 pode-se inferir que quando se deseja obter precisões

relativas acima de, aproximadamente, 1:1.000.000, pode-se considerar dentro de um

raio de 10km a superfície terrestre como sendo plana. Este raio de ação corrobora com

a extensão máxima das poligonais da classe IIIP, normatizada pela NBR 13133/1994

para o “adensamento do apoio topográfico para projetos básicos, executivos, como

executado, e obras de engenharia”.

Por outro lado, um raio máximo de ação de 80km como preconizado pela

NBR 13133/1994 para levantamentos topográficos resulta em um erro relativo de,

aproximadamente, 1:19.000, valor este acima do que aquele especificado pelo Instituto

Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE (PR, nº22, de 21-07-83), no que diz

respeito aos levantamentos geodésicos para fins topográficos, o qual é de 1:5000.

2.6.2 Erro Altimétrico

Para avaliar o erro de esfericidade presente nos levantamentos

topográficos devido ao efeito da curvatura terrestre, considere a figura 2.7.

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FIGURA 2.7 – CURVATURA TERRESTRE: ERRO DE ESFERICIDADE

Nesta figura estão presentes os seguintes elementos:

bB: altura do ponto B com relação à esfera;

bb´= h: representa o erro de esfericidade, cujo valor pode ser obtido do

triângulo retângulo OAb´;

b1B=h: altura do ponto B com relação ao plano topográfico de referência, o qual

é tangente à esfera pelo ponto A=a;

as demais grandezas são definidas conforme a figura 2.6.

Da figura 2.7, solucionado o triângulo retângulo OAb´, tem-se que:

222 )AO(´)Ab(´)Ob( , (2.9)

que substituindo pelas grandezas presentes neste triângulo, fica:

222 R´D)hR( , (2.10)

Page 21: Geodésia - Apostila

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21

e finalmente,

2222 R´Dhh.R.2R . (2.11)

Como o valor de 2h pode ser negligenciado pelo fato do mesmo ser

muito pequeno em comparação com o valor do raio da Terra, tem-se que:

R.2

´Dh

2

. (2.12)

Considerando-se o raio da Terra igual a 6370km, e substituindo-o na

equação (2.12), o erro de esfericidade fica definido como:

2112 ´D.10.7849´D.90000000784,0h , (2.13)

em que D´ é dado em metros (m).

A tabela 2.2 apresenta alguns valores de erros altimétricos.

TABELA 2.2 – ERRO ALTIMÉTRICO

Distância

(m)

Erro de

Esfericidade

(m)

Tolerância – NBR13133

Niv. Classe IN

(12mm.K0,5

)

Tolerância – IBGE

P/ Fins Topográficos

PR, nº 22; (6mm.K0,5

)

100 0,0008 0,0037 0,0019

200 0,0031 0,0054 0,0027

300 0,0071 0,0066 0,0033

500 0,0196 0,0085 0,0042

750 0,0442 0,0104 0,0052

1000 0,0785 0,0120 0,0060

Observa-se pelos valores constantes na tabela 2.2 que o erro de

esfericidade é proporcional à distância. Acima de 300m o erro de esfericidade é maior

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22

do que a tolerância preconizada pela NBR13133/1994 para o nivelamento geométrico

classe IN, enquanto que pela PR nº 22 do IBGE isto ocorre acima de 200m. Por isso, é

sempre recomendável que as distâncias niveladas em Topografia não sejam superiores

a 80m.

Devido à magnitude destes erros na representação altimétrica, não se

pode substituir a esfera terrestre por um plano tangente como é feito na representação

planimétrica, e cuidados adicionais devem ser tomados quando se almeja precisão nos

nivelamentos geométricos, como, por exemplo, instalar o nível a igual distância das

estações a serem niveladas.

2.6.3 Refração Atmosférica

Em todas as atividades topográficas e ciências afins, como por exemplo,

a Geodésia e Astronomia de Posição, o fenômeno de refração encontra-se presente,

como bem colocado por GEMAEL (1987): “refração...autêntico calcanhar de Aquiles

das Ciências Geodésicas”.

Nas visadas de um ponto a outro a refração atmosférica, também

chamada de refração terrestre em decorrência do ponto visado ser terrestre, “levanta” o

alvo, ou de outra maneira, pode-se dizer que ela “levanta” o ponto visado. Isto ocorre

porque o plano topográfico definido pelo ponto A é uma linha curva (e não uma linha

reta), de forma que a curvatura AS é dirigida para o centro de massa da Terra,

conforme pode ser visto na figura 2.8.

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23

FIGURA 2.8 – REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA

Uma outra forma de ilustrar este problema é mostrado na figura 2.9.

FIGURA 2.9 – REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA NO NIVELAMENTO

GEOMÉTRICO

Devido ao efeito da Refração Atmosférica, no nivelamento geométrico,

por exemplo, a leitura de mira será maior do que a do Plano de Referência Horizontal,

gerando no operador a percepção de que o ponto ou o alvo (mira, nesta caso) foi

levantado.

Na presença da refração atmosférica, o erro de esfericidade ( h ) devido

à curvatura terrestre é menor, ficando definido pela seguinte equação:

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24

h).k1(´h , (2.14)

onde:

h : erro de esfericidade devido à curvatura terrestre (equação 2.13);

'h : erro de esfericidade e refração;

k: coeficiente de refração.

O coeficiente de refração varia em função das condições meteorológicas, de

forma que no Brasil cada região possui seu próprio coeficiente de refração, como

mostra a tabela 2.3; nesta tabela também são mostrados alguns coeficientes adotados

em alguns países da Europa.

TABELA 2.3 – COEFICIENTES DE REFRAÇÃO

Localidade Coeficiente (k)

Brasil

Rio de Janeiro 0,17

Ponta Grossa 0,07

Litoral do Nordeste 0,11

Resende 0,13

Juiz de Fora 0,15

Países

Europeus

França 0,1678

Alemanha 0,1306

Rússia 0,1237

Inglaterra 0,1587

Fonte: JORDAN (1981) e GEMAEL (1987)

Não obstante a estes valores, no Brasil assim como na Alemanha a

Diretoria do Serviço Geográfico adotou o valor médio de k = 0,13. Deste modo, com

este valor a equação (2.14) é reduzida para:

h.87,0´h . (2.15)

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25

Aplicando este valor para o erro de esfericidade correspondente à distância

de 500m, tem-se:

0,01710,0196 . 87,0´h m,

valor este muito superior às tolerâncias preconizadas pela NBR13133/1994 e a PR, nº

22 do IBGE, que são de 0,0085m e 0,0042m, respectivamente.

2.7 FORMAS DA TERRA

2.7.1 Histórico

Desde os tempos mais remotos de nossa civilização, o problema

concernente ao estudo da forma da Terra, ocupou a mente dos grandes cientistas e

renomados pensadores. Primeiramente deve-se considerar que a conclusão de que a

forma da Terra era uma esfera e, posteriormente, um elipsóide de revolução não foi

imediata.

As primeiras especulações a respeito da forma da Terra surgiram com

pensadores gregos, especificamente por contemporâneos a Thales de Miletus, por volta

de 625 a 547 a.C. A idéia da forma da Terra concebida pelo próprio Thales de Miletus

era a de um corpo no formato de um disco, o qual flutuava no oceano, enquanto,

Anaximander de Miletus (611 a 545 a.C), teve uma idéia totalmente diferente. Sua

concepção era a de uma Terra cilíndrica, com seus eixos orientados na direção leste-

oeste. De Anaximander também foi a primeira proposição de uma esfera celeste

(VANICEK e KAKIWSKY, 1996).

Contudo, o primeiro pensador que chegou a conclusão de uma Terra esférica

foi o filósofo e matemático grego Pitágoras (580 a 500 a.C), idéia esta que prevaleceu

por mais de dois milênios. Pitágoras, pouco antes de sua conclusão, se recusava a

aceitar a idéia simplificada de uma Terra plana. Sócrates tinha as mesmas concepções,

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26

com a diferença de que não conseguia prova-las. Com a idéia da esfericidade da Terra

amplamente aceita em redor do mundo, Dicaerchus (morto em 285 a.C.) introduziu a

teoria de coordenadas esféricas.

O astrônomo e matemático Erastótenes (276 a 194 a.C.) introduziu a noção

de obliqüidade do eixo de rotação da Terra. No entanto, a realização mais interessante

do ponto de vista geodésico, estaria ainda por vir. Erastótenes mediu a diferença de

latitude entre Alexandria e Siena, a partir do qual determinou o tamanho da Terra,

considerada esférica até então. A precisão alcançada nesta medição é considerada

elevada para sua época, o que faz com seus resultados sejam discutidos no contexto

dos resultados modernos das dimensões da Terra dentro do escopo da Geodésia. A

consecução desta célebre realização de Erastótenes seguiu as seguintes etapas

(OLIVEIRA, 1998):

a) Constatou-se que no dia de solstício de verão, o Sol iluminava o fundo de um

poço em siena,;

b) Constatou-se que ao mesmo tempo, em Alexandria projetava uma sombra de

7º12‟ que corresponde a 1/50 de um círculo, conforme pode ser visto pela

figura 2.10;

FIGURA 2.10 – EXPERIÊNCIA DE ERATÓSTENES

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27

Baseado nestas afirmações, Eratóstenes considerou ainda que:

No dia de solstício de verão, o Sol do meio dia se colocava diretamente sobre a

linha da zona do trópico de verão (trópico de câncer), concluindo que Siena

estava inclinada nesta linha;

A distância linear entre Alexandria e Siena era de aproximadamente 500

milhas;

Siena e Alexandria pertenciam ao mesmo meridiano;

Com estas considerações a circunferência da Terra foi calculada da

seguinte forma: 50x500=25000 milhas, valor este que difere apenas 0,40% do valor

aceito hoje pela União Internacional de Geodésia e Geofísica (UIGG). Com este

trabalho Eratóstenes não apenas ficou famoso, como também, ocupou posições de

prestígio em Alexandria, sendo considerado o fundador da Geodésia (VANICEK e

KAKIWSKY, 1996).

Após isto, no primeiro século da presente era, os gregos e os árabes

também realizaram determinações das dimensões da Terra. Mas a Idade Média foi um

período tenebroso, não só para a Geodésia, como também, para as outras ciências.

Neste período os dados referentes à esfericidade da Terra e suas dimensões foram

praticamente esquecidos, e nenhuma descoberta significativa neste campo da ciência

foi registrado. Mas no final do século XV com as grandes viagens marítimas,

conduzidas por Colombo, Vasco da Gama, Magellan, entre outros, as ciências

geodésicas tomaram novo impulso, onde se iniciou novas pesquisas para a

determinação da forma e das dimensões da Terra. Com isto, o século XVI foi marcado

pela expansão do conhecimento geográfico, impulsionado pelo surgimento de uma

nova atividade: a produção de mapas, ou Cartografia, que foi definida como a arte de

representar o produto final da Geodésia (VANICEK e KAKIWSKY, 1996;

ZAKATOV, 1981).

Neste mesmo período iniciou-se também a utilização da do método da

triangulação nos levantamentos geodésicos, que foi um importante fator do

desenvolvimento das medições de graus, que eram as medições conduzidas sobre a

superfície terrestre com objetivo de determinar o raio da Terra. Com isto surgiu a

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28

possibilidade de medir grandes distâncias sobre a superfície terrestre. Ainda no século

XVII considerava-se a Terra como sendo uma esfera; então, todas as atividades de

determinar as dimensões da Terra eram reduzidas a determinação de seu raio. Deste

modo, em 1670 o francês Picard realizou a primeira medição moderna do tamanho da

Terra, em que chegou ao valor de 6275km para o seu raio, representando assim, a

primeira melhoria em relação ao valor encontrado por Erastótenes em 19 séculos.

Posteriormente, Isaac Newton (1642-1727) lançou as bases da lei da

gravitação universal, onde demonstrou que a Terra tem o formato de um Elipsóide

achatado no sentido dos pólos, o que foi confirmado através de expedições francesas

no Peru (1735-1742), onde mediu-se um arco que atravessa o equador, e uma outra na

Lapônia (1736-1737) onde foram conduzidas medições de grau próximos a latitude de

66º. Uma vez comprovada a teoria de Newton a respeito da figura da Terra como um

Elipsóide, começou uma nova etapa nas pesquisas de determinação de tal figura, onde

fundou-se dois métodos: geométrico e o físico.

A partir de então, estes dois métodos foram utilizados de maneira

independente para determinar a forma e as dimensões do planeta. O método

geométrico era baseado nos resultados derivados das medições dos elementos

geométricos da superfície terrestre, como por exemplo: distâncias, ângulos e direções.

O método físico era baseado na determinação da aceleração da força da gravidade

sobre a superfície terrestre. Apesar de terem sido utilizados de forma independente,

estes dois métodos propiciaram uma conclusão unívoca: a figura da Terra é muito

próxima ao Elipsóide de revolução, mas não coincide com o mesmo. Deste modo, na

segunda metade do século XIX, o físico Listing propôs o nome de Geóide para a figura

da Terra.

2.7.2 Formas da Terra Presentes nas Atividades de Mensuração

Nas atividades de mensuração, rotineiramente, considera-se as seguintes

formas da Terra:

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29

Terra Plana: geralmente empregada para os levantamentos de pequenas áreas da

superfície terrestre. Exemplo: Soluções de Topografia;

Terra Esférica: forma empregada para representar a superfície da Terra quando

á área é extensa. Exemplo: Soluções para mapas de reconhecimento da

superfície terrestre;

Terra Elipsóidica: forma adotada para representar as áreas de tamanho médio,

ou grande. Exemplo: Soluções de Cartografia;

Terra Geoidal: forma da Terra considerada como verdadeira. Exemplo:

Soluções de Geodésia Física.

2.7.2.1 Terra Plana

Como já mencionado anteriormente, a forma da Terra adotada na

Topografia é o plano, onde são determinados o contorno e as dimensões da

superfície terrestre sem considerar os efeitos de sua curvatura. Mais detalhes

podem ser vistos na seção 2.1.1 (Finalidade da Topografia).

2.7.2.2 Terra Esférica

A conceituação envolvida na Astronomia de Posição baseia-se na

hipótese da Terra e do Universo serem representados pela forma esférica. Deste

modo, a Terra e o Universo são considerados esferas concêntricas.

Em Geodésia, quando se necessita realizar cálculos aproximados ou

quando as distâncias entre os diversos pontos são relativamente pequenas, também

considera-se a Terra como uma esfera, devido à facilidade dos cálculos utilizando

esta forma.

Na Cartografia, no estudo de Projeções Cartográficas, utiliza-se o

conceito de esfera-modelo. Este conceito baseia-se numa esfera imaginária

desenhada na escala da projeção, e que serve como construção auxiliar para

obtenção das projeções geométricas (Figura 2.11). Deste modo, quando se

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30

considera a Terra como sendo esférica, o erro obtido é muito pequeno em virtude

das escalas de projeção.

FIGURA 2.11 – PROJEÇÕES GEOMÉTRICAS

Na figura 2.11, tem-se três projeções geométricas, que são: Planas (ou

Azimutais), Cônicas e Cilíndricas, que são superfícies desenvolvíveis que melhor

se adaptam à esfera. Um outro exemplo bastante simples de representação da Terra

esférica é o globo terrestre, que constitui uma representação tridimensional da

superfície terrestre, livre de deformações. A figura 2.12 apresenta a ilustração de

um globo terrestre.

FIGURA 2.12 – GLOBO TERRESTRE

O raio da esfera terrestre está relaciona-se diretamente com a escala

utilizada. Deste modo, quando a escala é maior que 1:500.000, o raio da Terra pode

ser calculado por:

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31

22 sen.e1

bR , (2.16)

onde:

b: é o semi-eixo menor do elipsóide;

e2: é a excentricidade;

: é a latitude geodésica.

E, quando a escala é menor do que 1:500.000, o raio da Terra pode ser

calculado por:

2

baR , (2.17)

onde a e b, são, respectivamente, os semi-eixos maior e menor do elipsóide.

2.7.2.3 Elipsóide de Revolução

É a superfície de referência adotada na Geodésia como o modelo

geométrico para os cálculos geodésicos. Esta adoção se deve ao fato de que o

elipsóide revolução se aproxima muito da forma real da Terra, que é o Geóide, e

possibilita todo um tratamento matemático.

O elipsóide de revolução ou biaxial é proveniente da rotação de uma

elipse meridiana em torno de seu eixo menor, o que torna tal elipsóide achatado. Se

tal rotação fosse em torno de seu eixo maior ter-se-ia um elipsóide alongado. De

qualquer forma, em Geodésia é utilizado o elipsóide de revolução ou biaxial. A

figura 2.13 mostra uma elipse meridiana.

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32

FIGURA 2.13 – ELIPSE MERIDIANA

A elipse meridiana pode ser definida de diversas formas. Em Geodésia,

ela é definida pela sua dimensão e forma. A dimensão pelo seu semi-eixo maior (a)

e a forma pelo achatamento (f). O achatamento (f) é definido por:

a

baf . (2.18)

O que ocorre na Geodésia é que as medições são realizadas na superfície

física da Terra, mas os cálculos são efetuados na superfície do elipsóide (modelo

teórico), conseqüentemente, os resultados são reduzidos a esta superfície.

Praticamente, a Geodésia do século XIX se concentrou na pesquisa dos

parâmetros do melhor elipsóide, por meio de levantamentos geodésicos associados

à determinações astronômicas, e à medidas gravimétricas (GEMAEL, 1987;

ZAKATOV, 1981). Com o surgimento das Técnicas Espaciais de Posicionamento,

esta pesquisa ganhou mais um aliado que são os satélites artificiais, os quais

propiciaram maior rapidez e precisão na determinação dos parâmetros definidores

da figura da Terra.

Deste modo, em diversos países foram definidos vários elipsóides que

representavam a realidade regional e do momento na qual eram concebidos. No

entanto, com o passar dos anos, as técnicas e a instrumentação de mensuração

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33

geodésica evoluíram, possibilitando a determinação de parâmetros mais precisos

para o elipsóide de revolução. Esta dinâmica resultava na substituição dos antigos

elipsóides pelos novos. A tabela 2.3 mostra os parâmetros definidores de alguns

elipsóides de revolução.

TABELA 2.3 – ELIPSÓIDES DE REVOLUÇÃO

Elipsóide Ano de

Definição

Parâmetros

Semi-eixo maior (m) Achatamento

Bessel 1841 6.377.397,000 1:299,15

Clarke 1866 6.378.206,000 1:295,00

Clarke 1880 6378.249,000 1:293,50

Hayford 1910 6378.388,000 1:297,00

krasovsky 1936 6.378.210,000 1:298,60

krasovsky 1940 6.378.245,000 1:298,30

SGR-67 1967 6.378.160,000 1:298,25

GRS80 1980 6.378.137,000 1:298,257222101

O elispóide SGR-67 corresponde à figura geométrica para a Terra do

antigo Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), que era o Datum Sul-Americano de

1969 (South American Datum of 1969 – SAD69). Enquanto o elipsóide GRS80

representa a figura geométrica para a Terra do atual SGB, que é o Sistema de

Referência Geocêntrico para as Américas (SIRGAS), em sua realização do ano

2000, ou seja: SIRGAS2000.

2.7.2.4 Geóide

É uma superfície de nível, obtida pelo prolongamento do nível médio dos

mares, não perturbados (sem influência de marés e correntes), através dos

continentes. Esta superfície é uma superfície equipotencial, pois todos os pontos

desta superfície, possuem o mesmo potencial gravitacional (W), definido pela

seguinte equação:

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34

QVW , (2.19)

em que:

W: é o potencial gravífico ou da gravidade;

V: é o potencial de atração ou newtoniano;

Q: é o potencial centrífugo ou de rotação.

As superfícies equipotenciais do campo da gravidade, cujo potencial

gravífico é constante (W=Cte), são denominadas de geopes. Deste modo, os geopes

devido à não homogênea distribuição de massas, são superfícies suavemente

irregulares, e perpendiculares em todos os seus pontos, às linhas de força do

campo. Estas linhas de força do campo gravífico são denominadas de verticais,

que são curvas reversas (GEMAEL, 1999), conforme pode ser visto pela figura

2.14.

FIGURA 2.14 SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS DO CAMPO DA

GRAVIDADE DA TERRA

Deste modo, o Geóide constitui uma determinada superfície

equipotencial do campo da gravidade, ou seja, é o geope que mais se aproxima do

nível médio dos mares (VANICEK e KAKIWSKY, 1996). Devido ao seu

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35

prolongamento ao longo dos continentes e ilhas (regiões que representam 25% da

superfície terrestre), o Geóide encontra-se no interior da crosta. A figura 2.15

mostra o modelo geoidal TUM-2S, determinado a partir de 24 meses de

observações gravimétricas dos satélites da missão CHAMP-GPS.

FIGURA 2.15 – GEÓIDE GRAVIMÉTRICO

Observações geodésicas recentes mostraram que o Geóide pode se

ajustar num elipsóide de revolução geocêntrico (quando o centro do elipsóide

coincide com o centro de massa da Terra), com uma proximidade de até algumas

dezenas de metros. Neste ajustamento (Geóide-Elipsóide) o eixo menor do

elipsóide coincide com o eixo polar de inércia da Terra. Quando estas condições

são plenamente satisfeitas, o elipsóide é chamado de “normal body of the Earth –

corpo normal da Terra”, ou por alguns pesquisadores de “mean Earth ellipsoid –

elipsóide médio da Terra”, ou ainda de elipsóide geocêntrico de referência

(VANICEK e KAKIWSKY, 1996), o qual pode ser visto na figura 2.16.

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FIGURA 2.16 – ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO COMO UM CORPO NORMAL DA

TERRA

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37

3 SISTEMAS DE COORDENADAS E DE REFERÊNCIA

Numa primeira análise, em se tratando de Sistemas de Coordenadas para

utilização em mensurações, bastaria definir um sistema de coordenadas cartesianas

plano retangular (X, Y) que o problema estaria resolvido, uma vez que as operações

topográficas são realizadas considerando-se um plano horizontal de referência. Em se

tratando de levantamento topográfico onde as alturas (componente z ou cota) relativas

dos pontos do terreno são requeridas, acrescentar-se-ia no sistema de coordenadas esta

informação, em que este sistema ficaria definido por: (X, Y, Z) ou (X, Y, Cota), como

pode ser visto pela figura 3.1.

FIGURA 3.1 – SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

TRIDIMENSIONAIS

Na figura 3.1 o plano topográfico é tangente a esfera pelo ponto A. Deste

modo, têm-se os seguintes elementos:

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38

- Xa, Ya e Za: Coordenadas do ponto A;

- Xb, Yb e Zb: Coordenadas do ponto B;

- AO: Vertical do Ponto A;

- Bb´:Vertical do ponto B. De forma rigorosa a vertical do ponto B é a linha reta

OB; mas devido à não consideração da curvatura terrestre em face do plano

topográfico, a vertical do ponto B é definida pela linha reta Bb´, perpendicular a

este plano e paralela à vertical do ponto A.

No entanto, com a evolução das técnicas e instrumentação de

mensuração, especialmente, com o advento do Sistema de Posicionamento Global

(GPS), a possibilidade de se obter nos levantamentos topográficos precisões do âmbito

da Geodésia, é uma realidade palpável. E com isto, o profissional que lida com

Topografia precisa ampliar seu leque de conhecimento das disciplinas de

Geotecnologias que regem as atividades de representação da superfície terrestre.

Entre estas disciplinas, encontra-se a de “Sistemas de Coordenadas”, pois

com esta evolução, um sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z)

arbitrário, nem sempre refletirá a realidade envolvida no levantamento, quer seja

quanto à sua finalidade, técnica empregada e/ou instrumentação utilizada. Um outro

motivo para o conhecimento de Sistemas de Coordenadas, é quanto à utilização do

Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), sistema na qual muitas das atividades de

posicionamento devem estar referenciadas, algumas delas por determinação da lei,

como por exemplo:

Georreferenciamento de Imóveis Rurais;

Rede de Referência Cadastral Municipal; e

Cadastro Técnico Municipal;

No contexto das atividades de posicionamento, os sistemas de

coordenadas mais utilizados são:

1. Sistema de Coordenadas Astronômicas ou Geográficas;

2. Sistema de Referência Terrestre Convencional;

3. Sistema de Coordenadas Geodésicas;

4. Sistema Geodésico Local

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39

5. Sistema de Coordenadas Planas Retangulares;

6. Sistemas de Coordenadas Topográficas Locais.

3.1 SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS

As latitudes ( a) e longitudes ( a) astronômicas dos pontos da superfície

física da Terra, bem como, os azimutes (Aa) de orientação são determinados por

observações em corpos celestes, especificamente, o Sol e as estrelas, via procedimento

de Astronomia de Posição, onde considera-se a Terra como uma esfera de raio

arbitrário, denominada de esfera celeste. A figura 3.2 mostra as coordenadas latitude

( a) e longitude ( a) na esfera celeste

FIGURA 3.2 – COORDENADAS ASTRONÔMICAS

Na figura 3.2 a linha reta OA representa a vertical do ponto A. A

latitude astronômica ( a) do ponto A é o ângulo formado entre a sua vertical (OA) e

a sua projeção no plano equatorial. Varia de 0º a 90º para o norte ou para o sul, sendo

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40

positivo no hemisfério norte, e negativo no hemisfério sul. A longitude astronômica

( a) é o ângulo diedro formado entre o meridiano astronômico médio de Greenwich e

o meridiano astronômico do ponto A. Este ângulo varia de 0º a 180º para oeste ou

leste.

3.1.1 Altitude Ortométrica

Altitude ortométrica é a distância contada, ao longo da vertical, de um

ponto qualquer da superfície física da Terra até o Geóide. Esta altitude possui

significação física, pois tem valor igual a zero (H=0,0m) no nível médio dos mares e,

a água corre desde um ponto de altitude ortométrica maior para um de valor menor.

Isto torna a altitude ortométrica útil para aplicações de engenharia, arquitetura e

agronomia.A figura 3.3 ilustra o conceito de altitude ortométrica.

FIGURA 3.3 – ALTITUDE ORTOMÉTRICA

Nível Médio dos Mares

P

HGeóide

Vertical de P

Wo

Wp

Na figura 3.3 as grandezas Wo e WP, representam o geopotencial no

Geóide e no ponto P, respectivamente. A diferença entre eles chama-se Número

Geopotencial de um ponto P da superfície física da Terra, que corresponde ao trabalho

da gravidade para transportar a unidade de massa entre as duas superfícies

equipotenciais, ou seja, entre a superfície do geóide e do ponto P (GEMAEL, 1999).

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41

3.2 SISTEMA DE REFERÊNCIA TERRESTRE CONVENCIONAL

Um sistema de coordenadas cartesianas geocêntricas é, por definição,

aquele cuja origem coincide com o centro de massa da Terra (Geocentro) e cujos eixos

(X, Y, Z) são solidários com ela (VANICEK e STEEVES, 1996). O sistema de

coordenadas cartesianas geocêntricas mais comum em Geodésia é o CTRS. Este

sistema de referência é o mais utilizado pelos sistemas espaciais de posicionamento

(COSTA, 1999, p. 11).

Um CTRS é definido como (COSTA, 1999, p. 11; NIMA, 2000, p. 2-1):

É geocêntrico, com o centro de massa sendo definido para toda a Terra, incluindo

oceanos e atmosfera;

Sua escala é aquela definida pelo arcabouço “frame” terrestre local, dentro do

conceito da teoria relativística da gravitação;

Sua orientação foi inicialmente dada pelo Bureau International de I´Heure (BIH)

para a época 1984,0;

A evolução temporal de sua orientação não deve permitir rotação global residual

com relação à crosta terrestre.

A figura 3.4 mostra o CTRS.

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42

FIGURA 3.4 – REPRESENTAÇÃO DO CTRS

Z

Y

X

Centro de Massa da Terra

Plano Equatorial Médio

Eixo de Rotação Médio da Terra

Plano Meridiano Médio de Greenwich

G

CIO

Na figura 3.4, a origem e os eixos são definidos como (NIMA, 2000, p.

2-2):

Origem no centro de massa da Terra (G), definido fisicamente;

Eixo Z é o eixo de rotação médio da Terra, que coincide com o Conventional

International Origin (CIO) e é positivo no sentido norte; o eixo de rotação médio é

determinado pelas estações de observação do International Earth Rotation Service

(IERS) desde 1988 em que o pólo norte fica designado como Conventional

Terrestrial Pole (CTP);

O plano XZ é escolhido de tal forma que seja paralelo ao plano meridiano médio

de Greenwich;

O plano XY corresponde ao plano equatorial médio;

Os eixos X, Y e Z são ortogonais entre si e formam um sistema destrógiro.

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43

3.3 SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS

A superfície utilizada para representar as coordenadas geodésicas é

aquela que mais se aproxima do Geóide, ou seja, o elipsóide revolução,

geometricamente representado pelos seus parâmetros: semi-eixo maior (a) e

achatamento (f). As coordenadas referidas ao elipsóide de revolução são: latitude

geodésica ( ), longitude geodésica ( ) e altitude elipsoidal ou geométrica (h). Estas

coordenadas podem ser vistas na figura 3.5.

FIGURA 3.5 – COORDENADAS GEODÉSICAS

Na figura 3.5 a linha reta PI é normal ao elipsóide de revolução,

conduzida a partir do ponto P. Deste modo, as coordenadas geodésicas mostradas nesta

figura, são definidas como:

Latitude geodésica ( ) de um ponto P qualquer é o ângulo formado pela

normal do ponto P com sua projeção equatorial. Também é considerada como

sendo a latitude elipsóidica de P´, projeção normal (ou projeção de HELMERT)

de P sobre o elipsóide (GEMAEL, 1987). A latitude geodésica varia de 0º a

90º, sendo positiva no pólo norte, onde é representado por =+90º ou =90ºN.

No pólo sul ela é negativa, onde é representada por =-90º ou =90ºS.

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Longitude geodésica ( ): de um ponto P qualquer é o ângulo formado pela

elipse meridiana que contém Greenwich e a elipse meridiana que contém o

ponto P, medido sobre o equador. Também definido como o ângulo diedro

formado pelos meridianos geodésicos de Greenwich, o qual é a origem ( =0º),

e o meridiano do ponto P. Cresce no sentido leste, variando de 0º 360º, ou

positivamente no sentido leste variando de 0º a 180ºE, e negativamente no

sentido oeste variando de 0º a 180ºW.

Altitude elipsoidal ou geométrica (h) é a distância do ponto P, na superfície

física da Terra, até o elipsóide (P´), contada ao longo da normal.

Deste modo, um ponto P da superfície física da Terra tem a sua posição

definida sem ambigüidade pela tríade geodésica ( , , h). A figura 3.6 mostra as

coordenadas geodésicas de um ponto genérico Pi, juntamente com suas coordenadas

cartesianas tridimensionais.

FIGURA 3.6 – COORDENADAS CARTESIANAS E GEODÉSICAS

Z

Y

X

O

iY

iX

iZ

i

i

ih

iP

iP´

I

G

Pn

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45

3.4 SISTEMA GEODÉSICO LOCAL

Ao lado do CTRS é de significação o SGL ou sistema de coordenadas

cartesianas elipsóidicas topocêntricas, porque as medidas geodésicas terrestres, como a

distância entre dois pontos, o ângulo zenital elipsóidico e o azimute geodésico,

ilustrados pela figura 3.7, a ele estão ligados pela direção da normal do ponto P0.

FIGURA 3.7– REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA GEODÉSICO LOCAL

Z

Y

X

O

h

Z*

Y*

X*

01Ag

01

01d

oP

1P

Na figura 3.7 , e h representam, respectivamente, a latitude

geodésica, a longitude geodésica e a altitude elipsoidal do ponto P0.

São propriedades do SGL (COSTA, 1999, p. 15; MORAES, 2001,

p.152):

Sistema cartesiano levógiro com origem no topocentro (P0);

Não está associado com as características físicas da Terra; adota-se o elipsóide de

revolução, para a representação das coordenadas geodésicas;

G

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46

Eixo Z* está contido no plano meridiano elipsóidico e tem sentido para o zênite

elipsóidico;

Eixo X* está contido no plano meridiano elipsóidico e tem sentido positivo para o

norte geodésico;

Eixo Y* coincide com a direção leste-oeste elipsóidica e tem sentido positivo para

o leste;

O plano X*Y* forma o horizonte elipsóidico topocêntrico que é perpendicular à

normal do ponto P0;

O azimute geodésico Ag da posição P1 em relação a posição de P0 é definido como

o ângulo entre o plano meridiano elipsóidico de P0 e o plano formado pelo eixo Z*

e o ponto P1;

O ângulo zenital elipsóidico é o ângulo entre a normal elipsóidica no ponto P0 e

o segmento de reta que liga o ponto P0 ao ponto P1; situa-se no intervalo

0 .

3.5 SISTEMA DE COORDENADAS PLANAS RETANGULARES

Como observou-se anteriormente, a forma da Terra não é plana, e a

depender da finalidade ou da ciência ela pode ser representada por uma esfera,

elipsóide ou mesmo por sua forma real que é o Geóide. No entanto, quando se retrata

de representação da superfície, esta é feita em mapas, que são planos. A partir de então

as dificuldades começam a surgir, pois nem a esfera e nem o elipsóide são superfícies

desenvolvíveis, ou seja, não se pode planifica-las sem que haja deformações. Deste

modo, quando se deseja representar a superfície terrestre em forma de cartas ou mapas,

deve-se fazer uso dos sistemas de projeção, os quais permitem – de forma aproximada

– a transformação da superfície terrestre.

A maioria das projeções cartográficas são referidas a um plano, cone ou

cilindro, conforme ilustra a figura 3.8.

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47

FIGURA 3.8 – PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS

A partir da utilização dos sistemas de projeção são obtidas as

coordenadas planas da superfície terrestre. Para que isto ocorra é necessário o

estabelecimento de uma relação pontual e unívoca entre a superfície de referência,

esfera ou elipsóide, e a superfície do desenho, a qual é plana. De forma geral, o que se

trata nesta relação é a estimação das coordenadas planas (N, E) a partir das

coordenadas ( , ) de um ponto qualquer situado na superfície de referência, que pode

ser a esfera ou o elipsóide. A terceira coordenada se refere a elevação do ponto, que

geralmente é a altitude ortométrica (H).

A projeção utilizada para representação cartográfica no Brasil é a

projeção Universal Transversa de Mercator (UTM), originada a partir da projeção

conforme de Gauss. Esta projeção consiste num cilindro transverso ao eixo de rotação

da Terra. A tangência do cilindro com a esfera se dá ao longo do meridiano central do

fuso (figura 3.9).

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FIGURA 3.9 – PROJEÇÃO CONFORME DE GAUSS

Como visto pela figura 3.9, tem-se nesta projeção um conjunto de

quadrículas, denominado de canevas, onde as retas verticais representam os

meridianos e as retas horizontais representam tanto o equador como os paralelos. Esta

projeção pode ser utilizada tanto para a Terra esférica como para elipsóidica. No caso

da Terra esférica, os paralelos e meridianos são circunferências, e no caso da Terra

elipsóidica, os paralelos são circunferências e os meridianos são elipses. Umas das

grandes vantagens desta projeção e a representação de grandes áreas da superfície

terrestre sobre um plano com poucas deformações.

3.5.1 Projeção UTM

A projeção UTM, originada a partir da projeção conforme de Gauss, é

um sistema de coordenadas retangulares útil às atividades de mensuração, pois permite

a representação de extensas áreas da superfície terrestre, efetuando significativo

controle de distorções provenientes dos efeitos da curvatura terrestre. Além disto, a

projeção UTM é amplamente utilizada para fins de mapeamento, pesquisa científica,

planejamento e execução de obras de engenharia, dentre outras. Esta projeção pode ser

vista na figura 3.10.

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FIGURA 3.10 – PROJEÇÃO UTM

Observa-se pela figura 3.10 que a Projeção UTM é uma projeção

cilíndrica conforme, pois possui um cilindro secante à superfície de referência,

orientado de forma quer o eixo do cilindro esteja no plano do equador. O cilindro

secante possui um diâmetro menor do que o diâmetro da superfície de referência,

criando assim, duas linhas de intersecção entre o cilindro e a superfície de referência.

A área de projeção compreende apenas uma parcela da superfície de referência. Essa

área é denominada de Fuso ou Zona. Cada fuso é representado pelo número do Fuso

ou pela longitude do seu meridiano central. A figura 3.11 ilustra a área de projeção.

FIGURA 3.11 – ÁREA DE PROJEÇÃO

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No meridiano central o fator de redução de escala é: Ko= 0,9996. Nas

linhas de secância a deformação é nula, ou seja: K= 1,0000. Entre as linhas de secância

a escala é menor que a verdadeira, tem-se então: K<1, e na área exterior às linhas de

secância a escala é maior que a verdadeira: K>1. Estas diferenças de escalas existem

devido ao aumento do espaçamento entre os meridianos à medida que eles se afastam

do meridiano central. No entanto, para manter a proporcionalidade da projeção

conforme, a escala na direção norte-sul também é distorcida, fazendo com que haja

uma escala diferente para cada ponto situado sobre o mesmo lado do meridiano.

As demais especificações da projeção UTM são:

a) Projeção conforme de Gauss: cilíndrica, transversa e secante em dois pontos

(figura 3.10);

b) Amplitude dos fusos de 6º;

c) Longitude de origem: a longitude do meridiano central do fuso;

d) Latitude de origem: Equador com 0º;

e) Falso Norte (translação norte): 10.000.000 m para o hemisfério sul;

f) Falso Este (translação este): 500.000 m;

g) Paralelos e meridianos interceptam-se em ângulos retos na projeção

h) As zonas são numeradas de 1 a 60, a partir do antimeridiano de Greenwich, no

sentido crescente para leste (figura 3.12);

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FIGURA 3.12 – O MUNDO DIVIDIDO EM FUSOS DE 6º

i) Limites de abrangência do sistema entre as latitudes: 84º N e 80º S;

j) Os meridianos são representados por linhas côncavas em relação ao meridiano

central e os paralelos são representados pro linhas côncavas em relação ao pólo

mais próximo, exceto a linha do equador e a linha de meridiano central de cada

fuso que são representadas por linhas retas na projeção, como pode ser

observado pela figura 3.13.

FIGURA 3.13- REPRESENTAÇÃO DOS PARALELOS E MERIDIANOS NA

PROJEÇÃO UTM

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Na projeção UTM as coordenadas relativas aos eixos das ordenadas e das

abscissas são representados pelas letras N e E, respectivamente. No eixo N, as

ordenadas são positivas ao norte e negativas ao sul; enquanto que no eixo E, são

positivas a leste, e negativas a oeste. É por isso, que no hemisfério sul se acrescenta as

constantes 10.000.000m no eixo das ordenadas e 500.000m no eixo das abscissas, a

fim de se evitar valores negativos. A figura 3.14 mostra o esquema do sistema de

coordenadas retangulares da projeção UTM.

FIGURA 3.14 – SISTEMA DE COORDENADAS UTM: HEMISFÉRIO SUL

3.6 SISTEMAS DE COORDENADAS TOPOGRÁFICAS LOCAIS

O Sistema Topográfico Local (STL) é utilizado na estruturação da Rede

de Referência Cadastral Municipal (cujo procedimento é descrito na NBR 14166)

sendo sua implantação e manutenção atribuição e responsabilidade da administração

municipal através de um órgão gestor. Em Topografia utiliza-se o Sistema de

Coordenadas Topográfico Local, definido pela NBR 14166 – Rede de Referência

Cadastral Municipal, por: “Sistema de representação, em planta, das posições relativas

de pontos de um levantamento topográfico com origem em um ponto de coordenadas

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geodésicas conhecidas, onde todos os ângulos e distâncias de sua determinação são

representados em verdadeira grandeza sobre o plano tangente à superfície de

referência (elipsóide de referência) do sistema geodésico adotado, na origem do

sistema, no pressuposto de que haja, na área de abrangência do sistema, a coincidência

da superfície de referência, com a do plano tangente, sem que os erros decorrentes da

abstração da curvatura terrestre ultrapassem os erros inerentes às operações

topográficas de determinação dos pontos do levantamento.” A figura 3.15 ilustra o

Sistema Topográfico Local.

FIGURA 3.15 - SISTEMA TOPOGRÁFICO LOCAL

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54

Deste modo, o sistema de coordenadas plano-retangulares possui as

seguintes características:

Sua origem coincide com o Sistema Topográfico Local (STL), sendo esta

um ponto de coordenadas geodésicas conhecidas;

Os eixos X e Y estão no plano do horizonte local, tangente ao elipsóide de

referência;

O eixo Y coincide com a meridiana (linha norte-sul) geográfica, sendo

orientado positivamente para o norte geográfico; e

O eixo X coincide com a linha leste-oeste orientado positivamente para

leste.

Os pontos medidos no terreno são definidos por coordenadas cartesianas

plano-retangulares ( xi ,yi ). A origem do Sistema Topográfico Local deve estar

posicionada de modo que nenhuma coordenada plano-retangular, isenta do seu termo

constante, tenha valor superior a 50 km, conforme visto na figura 3.16.

FIGURA 3.16 – DISTÂNCIA MÁXIMA DO STL À ORIGEM

Com o objetivo de se evitar valores negativos para estas coordenadas,

são adicionadas as constantes 150.000 m a Xi e 250.000 m a Yi, com isso todas as

abscissas iniciarão com o algarismo 1 e as ordenadas com o algarismo 2.

O fator de elevação (c) eleva O plano do horizonte local à altitude

ortométrica média, da área de abrangência do sistema, aplicando-se às coordenadas

plano-retangulares de todos os pontos levantados geodésica e topograficamente

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55

representados no STL, o fator de elevação (c) , que eleva este plano ao nível médio do

terreno da área de abrangência do sistema caracterizando o Sistema Topográfico

Local.

O fator de elevação (c) poder ser calculado pela seguinte equação:

m

tm

R

hRc , (01)

onde:

c: o fator de elevação;

ht: a altitude média do terreno em metros;

Rm: o raio médio terrestre é expresso por:

N.MRm , (02)

em que:

M é o raio de curvatura da seção meridiana, definido como:

2/322

2

)sene1(

)e1(aM , (03)

e N é o raio de curvatura da seção 1º vertical, dado por:

2/122 )sene1(

aN . (04)

A área de abrangência do sistema deve ser reduzida para desníveis

superiores a 150 m. As coordenadas plano-retangulares (X, Y) dos marcos geodésicos

de apoio imediato no STL são obtidas a partir de suas coordenadas geodésicas (.1, ë1)

e das coordenadas da origem do sistema (.0 ,ë0 ), através da solução do problema

inverso do transporte de coordenadas geodésicas onde calcula-se a distância e o

azimute entre eles ( d01 , A01). Neste sistema as distâncias calculadas não precisam

ser ajustadas pelo fator de escala (do sistema UTM), a elas devem ser aplicadas as

correções devidas aos erros instrumentais, variações atmosféricas e redução das

distâncias inclinadas. As correções angulares não são utilizadas, facilitando o uso das

coordenadas (SILVA et al., 2003).

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56

3.7 SISTEMAS DE REFERÊNCIA

Os sistemas de referência são utilizados para descrever as posições de

objetos, atividade esta que também é um dos objetivos da Geodésia. Quando é

necessário identificar a posição de uma determinada informação na superfície da Terra

são utilizados os Sistemas de Referência Terrestres ou Geodésicos, os quais por sua

vez, devem ter sua definição e realização de forma apropriada, precisa e consistente

(BOCK, 1996; IBGE, 2006). Estes associados a uma superfície que mais se aproxima

da forma da Terra, e sobre a qual são desenvolvidos todos os cálculos das suas

coordenadas. As coordenadas podem ser apresentadas em diversas formas: em uma

superfície esférica recebem a denominação de coordenadas geodésicas e em uma

superfície plana recebem a denominação da projeção às quais estão associadas, como,

por exemplo, as coordenadas planas UTM.

Define-se por Sistema Geodésico Brasileiro – SGB – o conjunto de

pontos geodésicos implantados na porção da superfície terrestre delimitada pelas

fronteiras do país. Em outras palavras é o sistema ao qual estão referidas todas as

informações espaciais no Brasil. A definição, implantação, e manutenção do Sistema

Geodésico Brasileiro (SGB) é de responsabilidade do IBGE, assim como o

estabelecimento das especificações e normas gerais para levantamentos geodésicos,

segundo o disposto no Cap. VIII do Decreto–Lei n.° 243, de 28 de fevereiro de 1967.

3.7.1 Sistemas de Referência Clássicos

Historicamente, antes das técnicas espaciais de posicionamento, os

referenciais geodésicos, conhecidos pela denominação de “datum astro-geodésico

horizontal” – DGH, eram obtidos através das seguintes etapas:

1. Escolha de um sólido geométrico (elipsóide de revolução), cujos parâmetros

definidores são o achatamento (f) e semi-eixo maior (a). Este sólido por sua

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57

vez, representava de uma maneira aproximada as dimensões da Terra, no qual

serão desenvolvidos os cálculos geodésicos.

2. Definição do posicionamento e orientação do referencial, feita através de 6

parâmetros topocêntricos: as coordenadas do ponto origem (2), a orientação (1-

azimute inicial), a separação geóide-elipsóide (ondulação geoidal) e as

componentes do desvio da vertical [meridiana e primeiro vertical] (VANICEK

e KRAKIWSKY, 1986). Estas informações têm por objetivo, assegurar uma

boa adaptação entre a superfície do elipsóide ao geóide na região onde o

referencial será desenvolvido. Sendo assim, o centro do elipsóide não está

localizada no geocêntrico (centro da Terra).

3. A realização (ou materialização) do referencial é feita através do cálculo de

coordenadas dos pontos a partir de observações geodésicas de distâncias,

ângulos e azimutes, ou seja, observações de origem terrestre. Os itens 1 e 2

abordam os aspectos definidores do sistema, enquanto o item 3 aborda o

aspecto prático na sua obtenção. Deste modo, as coordenadas geodésicas estão

sempre associadas a um determinado referencial, mas não o definem. O

conjunto de pontos ou estações terrestres formam as chamadas redes

geodésicas, as quais vêm a representar a superfície física da Terra na forma

pontual [CASTAÑEDA, 1986]. O posicionamento 3D de um ponto

estabelecido por métodos e procedimentos da Geodésia Clássica (triangulação,

poligonação e trilateração) é incompleta, na medida em que as redes verticais e

horizontais caminham separadamente. No caso de redes horizontais, algumas de

suas estações não possuem altitudes, ou as altitudes são determinadas por

procedimentos menos precisos. Um exemplo de DGH em uso no Brasil é o

SAD69. O procedimento clássico de definição da situação espacial de um

elipsóide de referência corresponde à antiga técnica de posicionamento

astronômico, na qual arbitra-se que a normal ao elipsóide e a vertical no ponto

origem são coincidentes, bem como as superfícies geóide e elipsóide, induzindo

assim, a coincidência das coordenadas geodésicas e astronômicas. O mesmo

pode ser dito para os azimutes geodésico e astronômico ( 0 e A0). Nestas

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58

condições caracteriza-se a situação espacial do datum da seguinte forma: φ0 =

Φ0 ; λ0 = Λ0 ; h0 = H0

3.7.2 Sistemas de Referência Modernos

Os Sistemas de Referência Terrestres, concebidos na era da Geodésia

Espacial, possuem características diferentes dos referenciais (ex: DGH) relatados

anteriormente, mas a sua essência é a mesma no sentido de possuir uma parte

definidora, e atrelada a ela, uma materialização. As etapas necessárias na obtenção

destes sistemas terrestres são:

(1) Adoção de uma plataforma de referência que venha a representar a

forma e dimensões da Terra em caráter global. Estas plataformas de

referência, os chamados Sistemas Geodésicos de Referência – SGR,

conforme abordado anteriormente, estão fundamentados em um CTS

(espaço abstrato), sendo portanto geocêntricos. Eles são derivados de

extensas observações do campo gravitacional terrestre a partir de

observações a satélites, fornecendo assim, o fundamento preciso para

a organização de toda informação pertinente à Terra [NIMA,1997].

Eles são definidos por modelos, parâmetros e constantes (ex: um

sistema de coordenadas cartesianas geocêntrico – CTS e constantes

do GRS80) [DGFI, 1998a]. De tempos em tempos é adotado um

novo SGR pela International Union of Geodesy and Geophysics -

IUGG, sendo este baseado nas últimas informações coletadas sobre o

campo gravitacional terrestre. Atualmente o SGR adotado pela

IUGG é o GRS80 [TORGE, 1996]. Além das constantes geométricas

definidoras, os SGR modernos passam a ser definidos também por

constantes físicas. Considerando a Terra um corpo com rotação e

massa, a melhor aproximação física é definida através de quatro

parâmetros, sendo eles: raio equatorial (o equivalente ao semi-eixo

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59

maior do elipsóide de referência), constante gravitacional

geocêntrica GM (com ou sem atmosfera), o harmônico zonal de

segunda ordem do potencial gravitacional da Terra (J2), ou o

achatamento terrestre (f) e a velocidade de rotação da Terra (ω).

Estas constantes estão implicitamente relacionadas às órbitas dos

satélites, que por sua vez são usadas para definir as coordenadas de

pontos na superfície da Terra.

(2) A materialização de um sistema de referência terrestre

geocêntrico é dada da mesma forma que um DGH, ou seja, através

das redes geodésicas. Entretanto, os métodos e procedimentos

utilizados no estabelecimento de coordenadas são as técnicas

espaciais de posicionamento, como por exemplo o VLBI (Very Long

Baseline Interferometry), SLR (Satelite Laser Range) e o GPS. Estas

técnicas possuem duas vantagens perante as outras terrestres. A

primeira consiste no posicionamento 3D de uma estação geodésica, e

a segunda é a alta precisão fornecida às coordenadas, surgindo como

conseqüência uma quarta componente, associada à época de

obtenção das coordenadas. Sendo assim, as coordenadas das estações

que compõem a materialização de um sistema de referência terrestre

geocêntrico, possuem quatro componentes, três de definição espacial

e uma de definição temporal, eventualmente, as velocidades vem a

descrever as variações dos valores das coordenadas com o tempo.

Um exemplo prático de sistema de referência terrestre geocêntrico é

o IERS Terrrestrial Reference System (ITRS), o qual é realizado

anualmente através do IERS Terrestrial Reference Frame (ITRF),

uma rede de estações fiduciais implantadas por todo mundo, nas

quais estão instalados sistemas de medidas SLR, LLR, VLBI e GPS.

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60

3.7.3 Materialização de um Sistema de Referência

O processo de estimativa das coordenadas dos pontos físicos com

respeito a definição de um determinado referencial é acompanhado pelo cálculo de

uma rede que relaciona os pontos levantados. O resultado, estabelecido através de um

ajustamento de observações, é um conjunto de valores de coordenadas para as estações

que constituem a materialização do SGR.

Usualmente, é comum adotar uma única denominação para definição e

materialização do sistema, como é o caso do SAD69 ou SIRGAS 2000. Deste modo,

vários ajustamentos de redes geodésicas podem ser realizadas em um mesmo

referencial definido com diferentes injunções, ou os mesmos dados podem ser

ajustados com respeito a várias definições.

3.8 SISTEMAS DE REFERÊNCIA GEODÉSICOS ADOTADOS NO BRASIL

3.8.1 Córrego Alegre

A Rede Planimétrica do SGB foi submetida a vários ajustes, em função

das necessidades que eram envolvidas, principalmente no que diz respeito à definição

de Sistemas Geodésicos. Anterior a era dos computadores, estes ajustes eram feitos

com calculadoras mecânicas ou até mesmo fazendo uso da tábua de logaritmos. Um

dos ajustamentos de importância realizados nesta época foi o que definiu o Sistema

Geodésico de Referência Córrego Alegre. Neste ajuste foi adotado o método das

equações de condições (método dos correlatos). A escolha do vértice Córrego Alegre

para ponto datum, bem como, do elipsóide internacional de Hayford para superfície

matemática de referência, foram baseadas em determinações astronômicas realizadas

na implantação da cadeia de triangulação em Santa Catarina. Verificou-se, na ocasião,

que os desvios da vertical na região tinham uma tendência para o leste, ou seja,

constatando uma maior concentração de massas a oeste e deficiência das mesmas a

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61

leste, concluindo que o ponto datum a ser escolhido ficaria melhor situado na região

do planalto. O posicionamento e orientação no ponto datum, vértice Córrego Alegre,

foram efetuados astronomicamente.

Foram adotados os seguintes parâmetros na definição deste Sistema:

Superfície de referência : Elipsóide Internacional de Hayford 1924. semi-eixo

maior : 6378388 metros. achatamento : 1/297

Ponto Datum : Vértice Córrego Alegre. Coordenadas:

o = - 19° 50′ 14″.91;

o λ = -48° 57′ 41″.98; e

o h = 683.81 metros.

Orientação elipsóide-geóide no ponto datum : ξ=η=0 (componentes do desvio

da vertical); N=0 metros (ondulação geoidal).

Com a finalidade de conhecer melhor o geóide na região do ponto datum,

foram determinadas 2113 estações gravimétricas em uma área circular em torno do

ponto datum. Estas observações tinham por objetivo o melhor conhecimento do geóide

na região e estudos na adoção de um novo ponto datum, considerando-se arbitrária a

escolha anteriormente feita (forçada a condição de tangência entre elipsóide e geóide).

Como resultado destas pesquisas, foi escolhido um novo ponto datum, o vértice Chuá,

localizado na mesma cadeia do anterior e através de um novo ajustamento foi definido

um novo sistema de referência, denominado Astro Datum Chuá.

3.8.2 Astro Datum Chuá

O sistema Astro Datum Chuá, com ponto origem no vértice Chuá e

elipsóide de referência Hayford, foi um sistema estabelecido segundo a técnica de

posicionamento astronômico com o propósito de ser um ensaio ou referência para a

definição do SAD69. Ele desenvolveria o papel de um sistema razoável a ser utilizado

unicamente na uniformização dos dados disponíveis na época (o IBGE tinha recém

concluído um ajustamento da rede planimétrica referido a este sistema). Isso não

representaria ainda o sistema “ótimo” para a América do Sul, faltando ainda a boa

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62

adaptação geóide-elipsóide para que as observações geodésicas terrestres pudessem ser

reduzidas à superfície do elipsóide. Sendo assim, na condição de um sistema

provisório, as componentes do desvio da vertical foram ignoradas, ou seja, foi

assumida a coincidência entre geóide e elipsóide, no ajustamento das coordenadas em

Astro Datum Chuá.

3.8.3 SAD69

O SAD69 é um sistema geodésico regional de concepção clássica. A sua

utilização pelos países Sul-americanos foi recomendada em 1969 através da aprovação

do relatório final do Grupo de Trabalho sobre o Datum Sul-americano, pelo Comitê de

Geodésia reunido na XI Reunião Panamericana de Consulta sobre Cartografia,

recomendação não seguida pela totalidade dos países do continente. Apenas em 1979

ele foi oficialmente adotado como sistema de referência para trabalhos geodésicos e

cartográficos desenvolvidos em território brasileiro.

O Projeto do Datum Sul Americano foi dividido em duas partes:

(1) Estabelecimento de um sistema geodésico tal que o respectivo elipsóide

apresentasse “boa adaptação” regional ao geóide

(2) Ajustamento de uma rede planimétrica de âmbito continental referenciada ao sistema

definido.

A triangulação foi a metodologia observacional predominante no estabelecimento

das novas redes. Uma rede de trilateração HIRAN fez a ligação entre as redes geodésicas da

Venezuela e Brasil. Outra melhoria a ser implementada diz respeito à forma do elipsóide de

referência. Na época, a UGGI recomendou a utilização do GRS67, conduzindo, assim, à

adoção desta figura no projeto SAD69, ao invés do Hayford. Escolhido o elipsóide de

referência, era necessário fixar os parâmetros para o seu posicionamento espacial. No

caso do SAD69 este posicionamento deu-se em termos de parâmetros topocêntricos no

ponto origem Chuá: as componentes do desvio da vertical (ξ,η) e a ondulação geoidal

(N), cujos valores foram determinados de forma a otimizar a adaptação elipsóide-

geóide no continente. A definição do sistema foi complementada através do

Page 63: Geodésia - Apostila

Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira

63

fornecimento das coordenadas geodésicas do ponto origem e do azimute geodésico da

direção inicial Chuá-Uberaba. Em conseqüência das limitações impostas pelos meios

computacionais da época, a rede brasileira foi dividida em 10 áreas de ajuste, que

foram processadas em blocos separados. Os seguintes parâmetros foram adotados na

definição deste Sistema:

Superfície de referência : Elipsóide Internacional de 1967 (UGGI67):

i. semi-eixo maior : 6378160 metros.

ii. achatamento : 1/298.25

Ponto datum : Vértice Chuá, Coordenadas geodésicas:

i. latitude 19° 45′ 41″.6527 S;

ii. longitude 48° 06′ 04″.0639 W;

iii. Azimute (Chuá – Uberaba) 271° 30′ 04″.05;

iv. . Altitude ortométrica : 763.28;

Orientação elipsóide-geóide no ponto datum : ξ=0.31 η=-3.52 N=0 m

3.8.4 WGS84

O advento dos satélites artificiais, há mais de 35 anos, possibilitou o

desenvolvimento prático dos sistemas de referência geocêntricos, como por exemplo o

WGS84 e o ITRFyy em suas mais diversas realizações e densificações. O WGS84 é a

quarta versão de sistema de referência geodésico global estabelecido pelo U.S.

Department of Defense (DoD) desde 1960 com o objetivo de fornecer o

posicionamento e navegação em qualquer parte do mundo, através de informações

espaciais [MALYS & SLATER, 1994]. Ele é o sistema de referência das efemérides

operacionais do sistema GPS.

Na época de sua criação o sistema fornecia precisão métrica em função

da limitação fornecida pela técnica observacional utilizada, o Doppler. Por esta razão,

uma série de refinamentos foram feitos ao WGS84 nos últimos anos com o objetivo de

melhorar a precisão de sua versão original [NIMA, 1997]. A rede terrestre de

Page 64: Geodésia - Apostila

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64

referência do WGS84 foi originalmente estabelecida em 1987, contando somente com

coordenadas de estações obtidas através de observações Doppler (posicionamento

isolado) e efemérides precisas.

O primeiro refinamento foi obtido através de uma nova materialização do

sistema, desta vez com 32 estações (10 estações DoD correspondentes à rede de

referência WGS84 original (GPS) e mais 22 estações pertencentes a rede IGS)

[SWIFT,1994]. Esta solução recebeu a denominação de WGS84 (G730) (época de

referência 1994,0) e foi utilizada nas órbitas operacionais dos satélites GPS de 29

junho de 1994 à 29 de janeiro de 1997. A letra G significa que neste refinamento foi

utilizada a técnica GPS e „730‟ se refere a semana GPS desta solução. O segundo

refinamento foi um trabalho que envolveu três instituições: NIMA, NASA Goddard

Space Flight Center (GSFC) e Ohio State University. O resultado foi o

desenvolvimento de um novo modelo global do campo gravitacional terrestre, o

EGM96. Uma nova materialização da rede terrestre de referência WGS84, recebeu a

denominação WGS84 (G873), referida a semana GPS 873 (época de referência

1997,0). Esta versão foi implementada no segmento de controle operacional em 29 de

janeiro de 1997, sendo utilizada até o presente momento.

Na TABELA 3.1 pode ser visto em linhas gerais as diferenças entre as

versões do WGS84.

TABELA 3.1 – DIFERENÇAS ENTRE AS VERSÕES DO WGS84

Os parâmetros do WGS84 são:

Page 65: Geodésia - Apostila

Geodésia Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira

65

O Modelo Gravitacional da Terra - Earth Gravitational Model – do

WGS84 (EGM96) pode ser visto na figura 3.17.

FIGURA 3.17 - MODELO GRAVITACIONAL DA TERRA – EGM96

3.8.5 SIRGAS2000

A PR nº 1/2005 estabeleceu como novo sistema de referência geodésico

para o SGB e para o Sistema Cartográfico Nacional (SCN) o Sistema de Referência

Geocêntrico para as Américas (SIRGAS), em sua realização do ano de 2000

(SIRGAS2000). Para o SGB, o SIRGAS2000 poderá ser utilizado em concomitância

com o sistema SAD 69. Para o Sistema Cartográfico Nacional (SCN), o SIRGAS2000

também poderá ser utilizado em concomitância com os sistemas SAD 69 e Córrego

Alegre, conforme os parâmetros definidos na PR nº 1/2005. A coexistência entre estes

sistemas tem por finalidade oferecer à sociedade um período de transição antes da

adoção do SIRGAS2000 em caráter exclusivo. Neste período de transição, não

Page 66: Geodésia - Apostila

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66

superior a dez anos, os usuários deverão adequar e ajustar suas bases de dados,

métodos e procedimentos ao novo sistema, ou seja. Ao SIRGAS2000.

3.8.5.1 Caracterização do SIRGAS2000

Sistema Geodésico de Referência: Sistema de Referência Terrestre

Internacional - ITRS (International Terrestrial Reference System);

Origem: Centro de massa da Terra;

Orientação:

o Pólos e meridiano de referência consistentes em ±0,005” com

as direções definidas pelo BIH (Bureau International de

l´Heure), em 1984,0.

Figura geométrica para a Terra:

o Elipsóide do Sistema Geodésico de Referência de 1980

(Geodetic Reference System 1980 – GRS80);

o Semi-eixo maior a = 6.378.137 m;

o Achatamento f = 1/298,257222101.

Estações de Referência:

o As 21 estações da rede continental SIRGAS2000, estabelecidas no

Brasil constituem a estrutura de referência a partir da qual o

sistema SIRGAS2000 é materializado em território nacional.

Está incluída nestas tabelas a estação SMAR, pertencente à

Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo do Sistema GPS

(RBMC), cujas coordenadas foram determinadas pelo IBGE

posteriormente à campanha GPS SIRGAS2000.

Época de Referência das coordenadas: 2000,4

Materialização:

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67

o Estabelecida por intermédio de todas as estações que

compõem a Rede Geodésica Brasileira, implantadas a partir

das estações de referência.

As figuras 3.18 e 3.19 mostram, respectivamente, as 184 estações

ocupadas durante a campanha GPS SIRGAS 2000, e as estações SIRGAS 2000 e IGS

(International GPS Service).

FIGURA 3.18 – ESTAÇÕES GPS SIRGAS 2000

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68

FIGURA 3.19 – ESTAÇÕES GPS SIRGAS 2000 E IGS

3.8.5.2 Parâmetros de Transformação entre os Sistemas de Referência

Na transformação de coordenadas entre Sistemas de Referências distintos

deve-se utilizar os parâmetros de transformação oficiais homologados pelo IBGE, o

quais são:

SAD69 para Córrego Alegre

a1= 6.378.160m

f1= 1/298,25

a2= 6.378.388m

f2= 1/297

X=+138,70m

Y=-164,40m

Z=-34,40m

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69

Córrego Alegre para SAD69

a1= 6.378.388m

f1= 1/297

a2= 6.378.160m

f2= 1/298,25

X=-138,70m

Y=+164,40m

Z=+34,40m

WGS84 para SAD69

a1= 6.378.137m

f1= 1/298,257223563

a2= 6.378.160m

f2= 1/298,25

X=+66,87m

Page 70: Geodésia - Apostila

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70

Y=-4,37m

Z=+38,52m

Onde:

3.8.6 Rede Altimétrica Brasileira

A Rede Altimétrica Brasileira é composta de um conjunto de estações

materializadas no terreno, denominadas de Referências de Nível (RN) e identificados

por uma coordenada, que é a altitude determinada a partir de um ponto origem ou

datum vertical, que está localizado no município de Imbituba Santa Catariana.

A altitude utilizada no Brasil é altitude Ortométrica, como já definida na

seção 3.1.1. A figura 3.19 mostra a Rede de Referência de Nível Nacional (RRNN), o

qual é de responsabilidade do IBGE.

FIGURA 3.19 – REDE DE REFERÊNCIA DE NÍVEL NACIONAL

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71

4 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE

O estudo do elipsóide de revolução é de suma importância na Geodésia,

pois o mesmo foi eleito como modelo geométrico para os cálculos geodésicos.

Vamos iniciar com o elipsóide triaxial ou escaleno, conforme figura 4.1.

FIGURA 4.1 – ELIPSÓIDE TRIAXIAL OU ESCALENO

Z

X

Y

a

b

c 0

O elipsóide triaxial ou escaleno possui os três eixos (a, b e c) desiguais,

satisfazendo a seguinte condição:

b < c < a . (4.1)

A equação do elipsóide triaxial é:

1C

Z

b

Y

a

X2

2

2

2

2

2

. (4.2)

Na equação 4.2 fazendo a = c tem-se o elipsóide amplamente utilizado na

Geodésia, que é o elipsóide biaxial ou de revolução.

Page 72: Geodésia - Apostila

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72

4.1 ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO

O elipsóide de revolução ou biaxial é a forma geométrica gerada pela

rotação de uma semi-elipse, também conhecida como elipse meridiana, em torno de

um de seus eixos (eixo de revolução). Se este for o eixo menor tem-se um elipsóide

achatado, no caso contrário o elipsóide será alongado, o qual é de interesse para a

Geodésia. Deste modo, seja a elipse meridiana de semi-eixos a e b da figura 4.2.

FIGURA 4.2 – ELIPSE MERIDIANA

semi-eixo maior (a)sem

i-ei x

o m

enor

(b)

A rotação desta elipse em torno de seu semi-eixo menor (b) gera o

sólido, denominado de Elipsóide de Revolução.

A elipse meridiana é definida pela seguinte equação:

1b

Z

a

X2

2

2

2

. (4.3)

Após a rotação da elipse em torno de seu semi-eixo menor (b) tem-se o

elipsóide definido por:

1b

Z

a

YX2

2

2

22

, (4.4)

ilustrado na figura 4.3.

Page 73: Geodésia - Apostila

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73

FIGURA 4.3 – ELIPSÓIDE REVOLUÇÃO

Z

X

Y

a

b

0

no elipsóide triaxial os três eixos são distintos, conforme mostra a

equação (4.1) e (4.2), enquanto no elipsóide de revolução tem-se apenas dois eixos

distintos (equação (4.4)).

As seções produzidas por planos perpendiculares ao eixo de revolução

são circulares, os quais são os paralelos e o equador. As seções produzidas por planos

que contém aquele eixo (de revolução) são elípticas, os quais são os meridianos.

4.1.1 Parâmetros do Elipsóide de Revolução

Geralmente, um elipsóide de revolução é definido de forma adequada por

meio de dois parâmetros: os seus semi-eixos a e b. No entanto, em Geodésia é

tradicional considerar como parâmetros o semi-eixo maior (a) e o achatamento (f), o

qual é definido por:

a

baf . (4.5)

Page 74: Geodésia - Apostila

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74

Outros parâmetros importantes são a primeira e a segunda

excentricidade, que são estudadas a partir da elipse, pelo fato de as elipses meridianas

do elipsóide de revolução serem iguais.

A excentricidade (e) traduz a divergência da elipse em relação à

circunferência, e é expressa por meio da razão entre a semi-distância focal (c) e o

semi-eixo maior da elipse. Deste modo, a semi-distância focal ( ) é expresso por:

ae , (4.6)

o qual pode variar de 0 a 1, sendo 0 para a circunferência. Deste modo, o elipsóide

utilizado em Geodésia um valor de excentricidade muito pequeno, ou seja, se

aproxima de 0.

Para os cálculos geodésicos, normalmente, é utilizado o quadrado da

excentricidade, denominado de 1a excentricidade, definida por:

2

2

2

222

a

b1

a

bae , (4.7)

e a 2a excentricidade pode ser calculada por:

2

222

b

bae . (4.8)

4.1.2 Grande Normal e Pequena Normal

Para a consecução de cálculos utilizando as coordenadas cartesianas

geocêntricas tridimensionais, é necessário o entendimento dos conceitos relativos à

Grande Norma (N) e Pequena Normal. Para isto, considere-se a figura 4.4.

Page 75: Geodésia - Apostila

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75

FIGURA 4.4 – GRANDE NORMAL E PEQUENA NORMAL

Z

X

Y

a

b

0

H

M

D

N

N‟

O segmento de reta MH é perpendicular ou normal ao elipsóide pelo

ponto M, como observado pela figura 4.4. Deste modo, a Grande Normal (N)

corresponde ao segmento MH, ou seja, MH=N, o qual é calculado pela seguinte

equação:

5,022 sene1

aN , (4.9)

onde:

a: semi-eixo maior do elipsóide;

e2: 1

a excentricidade; e

: latitude.

Pela equação (4.9) e pelo desenho 4.4, observa-se que se a latitude for

igual a 0º, que corresponde a um ponto no equador, o comprimento de N será igual ao

comprimento do semi-eixo maior do elipsóide.

A Pequena Normal (N‟) corresponde ao segmento de reta MD, ou seja,

MD=N‟, o qual é definido pela seguinte equação:

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76

5,022

2

sene1

e1a'N . (4.10)

Comparando-se as equações (4.10) e (4.9), o valor de N‟ é dado por:

)e1(N'N 2 . (4.11)

Observando-se as equações (4.9) e (4.10) verifica-se que os valores da

Grande Normal e da Pequena Normal estão diretamente relacionados com a latitude.

4.1.3 Curvatura de Seções Normais do Elipsóide de Revolução

Perpendicular à superfície do elipsóide é possível se traçar um conjunto

inumerável de planos. Estes planos, perpendiculares ao plano tangente da superfície do

elipsóide em um ponto qualquer, são denominados de planos normais. Deste modo, as

curvas formadas pela intersecção dos planos normais, por um ponto qualquer, com a

superfície do elipsóide são chamadas de seções normais. Para ilustrar considere a

figura 4.5.

FIGURA 4.5 – SEÇOES NORMAIS AO ELIPSÓIDE

Z

X

Y

0

H

M

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77

Na figura 4.5, MH é uma reta normal ao elipsóide. Passando um plano

pela reta MH obtêm-se o que se denomina de seção normal.

No entanto, se o plano for o plano ZX, esta seção será denominada de

seção meridiana do elipsóide, com raio de curvatura (M) mínimo. Se considerar uma

seção normal formada por um plano perpendicular à seção meridiana, este será

denominado de seção do primeiro vertical, com raio de curvatura (N) máximo,

conforme mostra a figura 4.6.

FIGURA 4.6 – SEÇÃO MERIDIANA E PRIMEIRO VERTICAL

Z

X

Y

a

b

M Seção Primeiro Vertical

Seção Merid

ia na

O raio de curvatura da seção meridiana pode ser calculado por:

2/322

2

sene1

e1aM . (4.12)

O raio de curvatura da seção primeiro vertical, coincide numericamente

com o valor da Grande Normal, e pode ser calculado por:

5,022 sene1

aN . (4.13)

Page 78: Geodésia - Apostila

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78

4.1.4 Raio Médio de Curvatura

O raio médio de curvatura (R0) é igual à média geométrica dos raios

principais (M e N), assim:

MNR 0 . (4.14)

Substituindo os valores de M e N, equações (4.12) e (4.13),

respectivamente, na equação (4.14), o valor de R0, é dado por:

220sene1

bR . (4.15)

4.1.5 Raio de um Paralelo

No elipsóide de revolução os paralelos são circunferências, cujo raio

decresce com o aumento da latitude, desde um valor máximo no equador (r = a) até se

anular nos pólos, como mostra a figura 4.7.

FIGURA 4.7 – RAIO DE UM PARALELO

Z

X

Y

0

rr

O raio de um paralelo é dado pela seguinte equação:

)( cos .Nr . (4.16)

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79

ou

22 sene1

cos.ar . (4.17)

4.1.6 Latitudes Geocêntrica e Reduzida

Denomina-se latitude geocêntrica ( ) de um ponto M do elipsóide o

ângulo que o raio vetor (OM) desse ponto forma com sua projeção sobre o plano do

equador, como pode ser observado na figura 4.8.

FIGURA 4.8 – LATITUDE GEOCÊNTRICA

Q‟ Q

X

Z

O

M

M‟E

A latitude geocêntrica pode ser calculada por:

)(tg )e1()(tg 2 . (4.18)

Para o entendimento da latitude reduzida considere a figura 4.9.

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80

FIGURA 4.9 – LATITUDE REDUZIDA

Q‟ Q

X

Z

O

M

M‟

P

P‟

Na figura 4.9 estão representados a elipse meridiana do ponto M e os

círculos principais dessa elipse, o circunscrito de raio r = a e o inscrito de raio r = b.

Prolongou-se a ordenada de M até M‟, ponto que ligado ao centro O do elipsóide. O

ângulo formado pela reta OM‟ e sua projeção no plano equatorial recebe o nome de

latitude reduzida, que é definido matematicamente por:

)(tg)f1()(tg)e1(tg 2/12 . (4.19)

4.1.7 Área do Quadrilátero Elipsóidico

Denomina-se quadrilátero elipsóidico a porção da superfície do elipsóide

compreendida entre dois paralelos e dois meridianos. Sejam 1 e 2 as latitudes dos

dois paralelos e a diferença de longitude entre os dois meridianos, conforme pode

ser observado na figura 4.10.

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81

FIGURA 4.10 – ÁREA DO QUADRILÁTERO ELIPSÓIDICO

Z

X

Y

0

Nestas condições a área do quadrilátero é calculado por:

....cos.5sen'.Ccos.3sen'.Bcos.sen'.Ab2T mmm

2 (4.20)

em que:

108642 e256

63e

128

35e

16

5e

8

3e

2

11'A ; (4.21)

10842 e256

45e

192

35e

16

3e

6

1'B ; (4.22)

10864 e512

45e

64

5e

16

1e

80

3'C ; (4.23)

2

12m ; e (4.24)

2

12 . (4.25)

1

2

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82

4.2 SEÇÕES NORMAIS RECÍPROCAMENTE INVERSAS

Considere a figura 4.11.

FIGURA 4.11 – DOIS PONTOS SITUADOS EM PARALELOS E MERIDIANOS

DISTINTOS

Z

X

Y

0

EQUADOR

A

B

nb

na

Na figura 4.11, pode ser visto que os pontos A e B estão localizados em

meridianos e paralelos diferentes, e Ana e Bnb, são respectivamente a normal do ponto

A e do ponto B. Agora considere a seguinte situação de campo: instalou-se um

teodolito no ponto A, de modo que seu eixo vertical coincida com a normal Ana. No

momento de realizar a pontaria para o ponto B, o plano de visada do teodolito

coincidirá com o plano definido pelos pontos A, na e B. O corte deste plano com a

superfície do elipsóide gerará uma curva AaB. Quando o teodolito estiver no ponto B e

visar o ponto A, o plano de visada do teodolito cortará a superfície do elipsóide dando

origem a curva BbA, que não coincidirá com a curva AaB, como pode ser observado

pela figura 4.12.

Page 83: Geodésia - Apostila

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83

FIGURA 4.12 – SEÇÕES NORMAIS RECÍPROCAS

Z

X

Y

0

EQUADOR

A

B

nb

na

a

b

Como pode ser observado pela figura 4.12 as curvas AaB e BbA não se

coincidem, e são denominadas de seções normais reciprocamente inversas. Deste

modo, entre dois pontos A e B sobre a superfície do elipsóide passam duas seções

normais: AaB denominada de seção normal direta para o ponto A e seção norma

inversa para o ponto B; e BbA, que é a seção normal direta para o ponto B inversa para

o ponto A.

O ângulo formado por duas seções normais recíprocas ( ) é:

2N

A.sen 2s.sen -2A sen.cos

1" senN4

s.e" 2

2

22

. (4.26)

Numa triangulação ordinária onde os lados não ultrapassam 40km a

equação (4.26) pode ser escrita como:

2A sen.cos10.s.855" 282 , (4.27)

onde:

s: comprimento da linha geodésica de A para B;

A: azimute de A para B;

N: grande normal; e

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84

e2: primeira excentricidade.

4.3 LINHA GEODÉSICA

Na Geodésia Geométrica, os pontos situados sobre a superfície elipsoidal

se unem através de linhas reversas, denominadas de linhas geodésicas, que

representam a menor distância entre dois pontos sobre o elipsóide, excetuando-se

apenas os casos de dois pontos sobre o mesmo meridiano ou sobre o equador quando

então a linha geodésica é plana, correspondendo, respectivamente, e a um arco elíptico

e circular. A linha geodésica (s), ou simplesmente geodésica pode ser vista na figura

4.13.

FIGURA 4.13 – LINHA GEODÉSICA

Z

X

Y

0

EQUADOR

A

B

nb

na

a

b

s

Observa-se pela figura 4.13 que a menor distância entre os pontos A e B

não é nenhuma das duas seções normais, e sim a linha geodésica (s).

A altitude do ponto visado afeta o ângulo azimutal da linha geodésica

AB, sendo necessário, então, a correção deste efeito por meio da seguinte equação:

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85

B

22

H.2N

A.sen 2s.sen -2A sen.cos

1" sen.N2

e" . (4.28)

onde:

HB: é a altitude do ponto B.

Uma outra correção é com relação à transformação do azimute da seção

normal no azimute da correspondente linha geodésica, pois como vimos anteriormente,

no procedimento de campo o plano de visada é o da seção normal e não o da linha

geodésica.

Excetuando o case de azimute próximo de 90º ou de 270º e os casos de

linha geodésica plana, esta linha divide o ângulo das seções normais recíprocas na

razão 1:2, estando mais próxima da seção normal direta, conforme ilustra a figura

4.14.

FIGURA 4.14 – AZIMUTE DA LINHA GEODÉSICA

A

a

bs

B

A‟

A

N

Como pode ser verificado na figura 4.14, a linha geodésica divide o

ângulo de duas seções normais recíprocas na relação 1:2. Deste modo, chamando esta

correção de tem-se:

2N

A.sen 2 sen.sA2sen.cos

1" sen.N12

s.eA'A

3

"" 2

2

22

, (4.29)

3

3

2

Page 86: Geodésia - Apostila

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86

onde:

A‟: azimute da seção normal recíproca;

A: azimute da linha geodésica AB

4.3.1 Diferença de Comprimento entre a Linha Geodésica e a Seção Normal

A diferença entre o comprimento da seção normal ( ) relativa a dois

pontos e o comprimento da correspondente linha geodésica (s), pode ser calculado pela

seguinte equação:

4

2445

N.360

A2sen.cos.e.ss . (4.30)

Page 87: Geodésia - Apostila

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87

5 TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS E DE SISTEMAS DE

REFERÊNCIA

5.1 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

5.1.1 Relação entre as Coordenadas Astronômicas e Geodésicas

Para o relacionamento das coordenadas astronômicas e geodésicas

considere a figura 5.1, relativa a um Observador O de coordenadas geodésicas ( , ) e

astronômicas ( a, a) onde se tem explicito o desvio da vertical (i).

FIGURA 5.1 – DESVIO DA VERTICAL

Z

N

OHs Hn

i

Pn

Ps

i

Observa-se na figura 5.1 as quantidades e , que correspondem,

respectivamente aos arcos ZA e NA, os quais são denominados de componente

meridiana ( ) e componente 1º vertical ( ), conhecidos por componentes do desvio

da vertical. O ângulo (i) formado entre a vertical (geóide) e a normal (elipsóide),

denomina-se desvio da vertical. A partir destas equações é possível transformar

coordenadas astronômicas em geodésicas e vice-versa, pela seguinte relação:

a , (5.1)

)cos().( a , (5.2)

A

Page 88: Geodésia - Apostila

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88

)(gcot).AA( a . (5.3)

em que:

a, a: Latitude e longitude astronômica;

, : Latitude e longitude geodésica;

Aa, A: Azimute astronômico e geodésico;

Das equações (5.2) e (5.3) deriva-se a tão conhecida Equação de

Laplace, por meio da qual pode-se transformar um azimute astronômico em

geodésico. Esta equação é definida por:

sen).(AA aa . (5.4)

Os vértices da triangulação brasileira nos quais foram efetuadas

determinações astronômicas de azimute e de longitude são denominadas de pontos de

Laplace.

Uma outra quantidade passível de transformação é altitude Ortométrica a

partir da altitude Geométrica ou Elipsoidal. Para isto, considere a figura 5.2, em que se

têm as três superfícies: superfície do terreno, superfície do elipsóide e do geóide.

FIGURA 5.2 – RELAÇÃO ENTRE AS TRÊS SUPERFÍCIES

i

Nesta figura (5.2) tem-se que a distância entre o geóide e o ponto do

terreno considerado, medida ao longo da vertical é a Altitude Ortométrica (H), que

possui significação física, portanto de grande valor para a engenharia. A distância

entre o elipsóide e o ponto do terreno considerado, medido ao longo da normal, é

Page 89: Geodésia - Apostila

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89

Altitude Geométrica ou Elipsóidica (h),obtida pelas técnicas espaciais de

posicionamento, como por exemplo GPS, e não possuí significação física, não

podendo, portanto, ser utilizada em obras de e projetos de engenharia.

No entanto, o relacionamento entre estas duas altitudes se dá pela altura

geoidal ou ondulação geoidal (N)1, definida pela seguinte equação:

NhH . (5.5)

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística- IBGE, através da Coordenação

de Geodésia- CGED, e a Escola Politécnica da Universidade de São Paulo- EPUSP,

geraram um Modelo de Ondulação Geoidal com uma resolução de 10' de arco e

desenvolveram o Sistema de Interpolação de Ondulação Geoidal - MAPGEO2004.

Através desse sistema, os usuários podem obter a ondulação geoidal (N) em um ponto,

e/ou conjunto de pontos, referida aos sistemas SIRGAS2000 e SAD69.

Estes modelos encontram-se na página do IBGE para download,

especificamente no endereço:

ftp://geoftp.ibge.gov.br/programa/Sistema_Interpolacao_Ondulacao_Geoidal/mapgeo2

004.2_setup.exe

As figuras 5.3 e 5.4 mostram, respectivamente, o modelo geoidal SIRGAS2000

e SAD69.

1 Não confundir a Ondulação Geoidal (N) com a Grande Normal (N).

Page 90: Geodésia - Apostila

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90

FIGURA 5.3 – MODELO GEOIDAL

SIRGAS2000

FIGURA 5.4 – MODELO

GEOIDAL SAD69

5.1.2 Relação entre as Coordenadas Cartesianas e Geodésicas

Para esta relação considere a figura 5.5, que mostra as coordenadas

geodésicas e cartesianas de um ponto P.

FIGURA 5.5 –COORDENADAS GEODÉSICAS E CARTESIANAS

Z

Y

X

Meridiano Médio deGreenwich

Equador

P‟

Normal de P

P

h

Yp

Xp

Zp

Merdianode P

Deste modo, a relação entre as coordenadas geodésicas e cartesianas e

dada por:

P

P

Page 91: Geodésia - Apostila

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91

).sen(.h)e1(NZ

);sen().cos().hN(Y

);cos().cos().hN(X

2

(5.6)

onde:

N: Grande normal;

h: Altitude Elipsoidal; e

e2: Primeira Excentricidade.

5.1.2.1 Conversão de Coordenadas Cartesianas em Geodésicas

O problema da conversão de coordenadas cartesianas em geodésicas

pode ser solucionado por duas maneiras: iteração e direta.

5.1.2.1.1 Solução Iterativa

Para a solução iterativa são utilizadas as seguintes equações:

22 YXp ; (5.7)

N)cos(

ph ; (5.8)

1

2

hN

N.e1.

p

Zarctan ; (5.9)

X

Yarctan . (5.10)

Neste conjunto de equações somente a longitude – equação (5.10) – pode

ser calculada diretamente. Nas equações (5.8) e (5.9), os valores de latitude e altitude

elipsoidal aparecem com quantidades para a solução do problema; mas na verdade são

incógnitas. Para a solução deste problema são efetuadas iterações, cuja solução se dá

por meio das seguintes etapas:

1. Cálculo de p, através da equação (5.7);

Page 92: Geodésia - Apostila

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92

2. Cálculo da latitude aproximada 0, pela fórmula: 12

0 e1.p

Z;

3. Cálculo da grande normal aproximada N0: )sen(e1

aN

0

20 ;

4. Cálculo da altitude geométrica aproximada: 0

0

0 N)cos(

ph ;

5. Cálculo da latitude novamente, através da equação (5.9), utilizando N0 e h0;

6. Cálculo da altitude novamente, através da equação (5.8), utilizando N0 e 0.

7. Verificar se = 0, e h = h0, caso positivo cálculo concluído, senão, retornar ao

passo 3.

5.1.2.1.2 Solução Direta

A seqüência de equações do problema pela solução direta é:

.b.p

a.Zarctan

;N)cos(

ph

;X

Yarctan

;cos.a.ep

sen.b.'eZarctan

32

32

(5.11)

onde:

b: Semi-eixo menor;

a: Semi-eixo maior;

5.1.3 Relação entre as Coordenadas Geodésicas e da Projeção UTM

Para a transformação de coordenadas geodésicas em UTM e vice-versa,

são necessárias as utilizações dos seguintes coeficientes:

0K.S)I( ; (5.12)

Page 93: Geodésia - Apostila

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93

;10.K.2

"1sen.cos.sen.N)II( 8

0

2

(5.13)

;10.K).cos.'e.4cos.'e.9tg5.(24

cos.sen.N".1sen)III( 16

0

4422234

(5.14)

;10.K".1sen.cos.N)IV( 4

0 (5.15)

;10.K).cos.'etg1.(6

cos.N".1sen)V( 12

0

22233

(5.16)

;10.K

1).cos.'e1.(

"1sen.N.2

tg)VII( 12

2

0

22

2 (5.17)

;10.K

1.

).sen.cos.'e.9cos.'e.3sen.'e.6cos.'e.6tg.35.("1sen.N.24

tg)VIII(

24

4

0

2244422222

2

;10.K

1.

"1sen.N

sec)IX( 6

0

(5.19)

;10.K

1).cos.'etg.21(

"1sen.N.6

sec)X( 18

0

222

3 (5.20)

;10.sen)XII( 4 (5.21)

;10).cos.'e.2cos.'e.31.(3

cos.sen".1sen)XIII( 124222

22

(5.22)

;10.K

1.

"1sen.N

tg)XV( 6

0

(5.23)

;10.K

1).cos.'e.2cos.'etg1(

"1sen.N.3

tg)XVI( 18

3

0

44222

3 (5.24)

;10.K

1.

N.2

cos.'e1)XVIII( 12

2

0

2

22

(5.25)

;10.K

1.

N.24

cos.'e.4cos.'e.9cos.'e.61)XIX( 24

4

0

4

664422

(5.26)

;10.K).sen.'e.330cos.'e.270tgtg.5861.(720

cos.sen.N".1sen(A'6) 24

0

22224256

;10.K).sen.'e.58cos.'e.14tgtg.185.(120

cos.N".1sen)5'B( 20

0

2224255

(5.28)

Page 94: Geodésia - Apostila

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94

;10).tg2.(15

cos.sen".1sen)5'C( 202

44

(5.29)

;10.K

1.

).sen.tg.'e.45sen.'e.162cos.'e.107tg.45tg.9061.("1sen.N.720

tg)6'D(

36

6

0

222222242

6

;10.K

1).sen.'e.8cos.'e.6tg.24tg.285.(

"1sen.N.120

sec)5'E( 30

5

0

222242

5 (5.31)

;10.K

1).tg.3tg.52.(

"1sen.N.15

tg)5'F( 30

5

0

42

5 (5.32)

,".0001,0p (5.33)

onde:

: Latitude do ponto;

N: Grande Normal;

S: Arco do meridiano contado a partir do equador sobre o meridiano central;

K0: Coeficiente de redução de escala no meridiano central que é igual a 0,9996;

e‟2: Segunda excentricidade;

: Diferença de longitude em relação ao meridiano central ( - 0).

A partir destes coeficientes pode-se proceder à transformação de

coordenadas geodésicas em UTM e vice-versa.

5.1.3.1 Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTM

As equações utilizadas para esta transformação são as seguintes:

;m000.000.10p).6'A(p).III(p).II()I(N 642 e (5.34)

.m000.500p).5'B(p).V(p).IV(E 53 (5.35)

A equação (5.35) é válida tanto para o hemisfério sul quanto para o

norte, enquanto a equação (5.34) só é válida para o hemisfério sul. Para a o hemisfério

norte o valor da coordenada N, pode ser calculado por:

642 p).6'A(p).III(p).II()I(N . (5.36)

Page 95: Geodésia - Apostila

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95

5.1.3.2 Transformação de Coordenadas UTM em Geodésicas

Para esta tarefa são válidas as seguintes fórmulas:

;q).6'D(q).VIII(q).VII( 642

1 (5.37)

,q).5'E(q).X(q).IX( 53

MC (5.38)

em que:

1: Latitude do pé da perpendicular do ponto ao meridiano central; e

)m000.500E.(000001,0q .

5.1.3.3 Convergência Meridiana

Os ângulos medidos no elipsóide de revolução são referenciados ao

Norte Geográfico (NG), sendo, portanto, representados na projeção UTM por uma

linha curva, côncava em relação ao meridiano central. No entanto, as quadrículas

UTM formam um sistema de coordenadas retangular, com a direção Y (NQ) na

direção Norte-Sul. As duas linhas formam, então, um ângulo variável para cada ponto,

denominado de Convergência Meridiana (c), que pode ser vista na figura 5.6.

FIGURA 5.6 – CONVERGÊNCIA MERIDIANA

EQUADOR

c c

NQ NQ

NG NG

M.C

.

O cálculo da convergência meridiana (c) em função das coordenadas

geodésicas, e UTM é dado, respectivamente, por:

Page 96: Geodésia - Apostila

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96

53 p).5'C(p).XIII(p).XII(c , (5.39)

53 q).5'F(q).XVI(q).XV(c . (5.40)

No hemisfério sul, a convergência meridiana é positiva para pontos

localizados à oeste de meridiano central, e negativa quando estiverem situados à leste.

A convergência meridiana pode também ser calculada de forma aproximada por:

sen.c , (5.41)

onde:

: Diferença de longitude entre o ponto dado e a longitude do meridiano central;

: Latitude do ponto.

5.1.3.4 Redução à Corda ou Redução Angular

Uma linha unindo dois pontos na superfície esférica é representada no

plano da projeção com sendo uma linha curva, ou seja, um arco. Entretanto, em se

tratando de trabalhos topográficos a curvatura desta linha é muito pequena, podendo

então ser desconsiderado em muitos casos. Deste modo, aceita-se a corda que une os

dois pontos como a referência para calcular a distância e o azimute entre eles. O

ângulo formado pela corda e pela tangente à curva é chamado de ângulo de redução à

corda ou ângulo de redução angular ( ), que pode ser vista na figura 5.7.

Page 97: Geodésia - Apostila

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97

FIGURA 5.7 – REDUÇÃO À CORDA

A

B

A

B

A

B

A

B

EQUADOR

ME

RID

IAN

O C

EN

TR

AL

A

B

C

A partir das coordenadas planas da projeção UTM de dois vértices A e B,

conforme figura 5.7, pode-se obter o valor de , ou seja:

)e.2e.2).(NN).(XVIII.(10.8755,6 BAAB

8"

A ; (5.42)

)e.2e.2).(NN).(XVIII.(10.8755,6 ABBA

8"

A , (5.43)

em que:

m000.500Ee AA ; e

m000.500Ee BB .

As equações (5.42) e (5.43) fornecem o valor da redução angular em

módulo. Deste modo, para o conhecimento do sinal de é necessário verificar a

situação de cada vértice como mostra a figura 5.7. a título de exemplificação o valor

máximo de , para uma linha de 10 km é de aproximadamente 0º00‟07”.

5.1.3.5 Fator de Escala

O fator de escala é um fator pontual, pois varia em função da localização

do ponto na superfície plana, podendo ser calculado a partir das coordenadas

Page 98: Geodésia - Apostila

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98

geodésicas ou a partir das coordenadas UTM. Pelas coordenadas UTM o fator de

escala é obtido por:

)q.00003,0q).XVIII(1.(KK 42

0 , (5.44)

em que:

9996,0K 0 .

O fator de escala pode também ser calculado pela seguinte equação:

2

0

2

0R.2

'E1.KK , (5.45)

onde:

E‟ = E – 500.000m;

N.MR 0 .

Para se obter a distância plana entre dois pontos, ou seja, na projeção

UTM, deve-se corrigir a distância medida na superfície topográfica, com relação aos

fatores meteorológicos e erros instrumentais, em seguida reduzi-la ao elipsóide de

referência e, finalmente, reduzi-la à superfície plana. O fator de escala é utilizado na

redução da superfície de referência à superfície plana.

Neste caso, inicialmente calcula-se o fator de escala dos extremos do

alinhamento, utilizando-se o valor médio entre eles. Deste modo, para um alinhamento

AB, tem-se:

2

KKK BA

M . (5.46)

A distância plana fica então definida por:

.elipMUTM s.Ks . (5.47)

É importante mencionar que a equação (5.46) é válida somente para

distâncias menores do que 15km.

As deformações na projeção UTM aumentam à medida que se afasta do

meridiano central. Com o objetivo de evitar grandes deformações nas bordas dos

fusos, adota-se um fator de escala K0 = 0,9996, para os pontos localizados sobre o

meridiano central. A partir do meridiano central o fator de escala cresce para oeste e

Page 99: Geodésia - Apostila

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99

para leste até atingir o valor de K = 1,0000, nas proximidades de E = 320.000,000m e

E = 680.000,000m, continuando a crescer até o valor de K = 1,0010, nas bordas dos

fusos, no equador.

5.1.3.6 Ângulos da Projeção UTM

Quando se utiliza a projeção UTM são válidas as seguintes grandezas

angulares:

Azimute plano ou azimute de quadrícula;

Azimute geodésico projetado;

Azimute geodésico;

Convergência meridiana; e

Redução à corda.

O azimute plano ou de quadrícula na projeção UTM é ângulo entre o Norte da

Quadrícula UTM e a linha reta que une dois pontos (A e B) quaisquer. Este azimute é

obtido, calculando inicialmente o rumo do alinhamento AB, pela seguinte equação:

N

Earctg

NN

EEarctagRumo

AB

ABUTM , (5.48)

logo em seguida verifica-se o sinal de E e N, identificando conseqüentemente, o

quadrante onde o rumo se encontra, transformando assim para azimute, conforme

tabela 5.1.

TABELA 5.1 – TRANSFORMAÇÃO DE RUMO EM AZIMUTE

SINAL QUADRANTE

RELAÇÃO

RUMO/AZIMUTE E N

+ + 1º RumoAz

+ - 2º Rumoº180Az

- - 3º Rumoº180Az

- + 4º Rumoº360Az

Page 100: Geodésia - Apostila

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100

O azimute geodésico projetado, ou azimute da projeção é o ângulo

formado entre o Norte da Quadrícula e a tangente ao arco representativo da distância

projetada entre os dois pontos. Este azimute é calculado pela seguinte equação:

UTMojeçãoPr .Az.Az . (5.49)

Finalmente o azimute geodésico é o ângulo, na projeção UTM, formado

entre o meridiano que passa pelo ponto inicial e a tangente arco representativo da

distância projetada entre os dois pontos considerados, dado por:

c.Az.Az UTMGeodésico . (5.50)

Estes ângulos podem ser vistos na figura 5.8.

FIGURA 5.8 – ÂNGULOS DA PROJEÇÃO UTM

A

B

NQNG

c

Az. UTM

Az. Projeção

Az. Geodésico

5.1.4 Relação entre as Coordenadas Geodésicas e as Topográficas Locais

A NBR14166 – Rede de Referência Cadastral Municipal – dirimi sobre

os procedimentos para conversão de coordenadas geodésicas em topográficas locais.

As equações utilizadas são as seguintes:

;x000.150X pP (5.51)

pp y000.250Y ; (5.52)

;c".1 arc.N.cos.x pp1p (5.53)

A

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101

;c.x.C.Ex)..(E)(Dx.C.B

1y 4

p

2

p1

2

1

2

p1p (5.54)

0p" ; (5.55)

0p" ; (5.56)

;)".(10.9173,31" 212

1 (5.57)

;)".(10.9173,31" 212

1 (5.58)

;"1 arc.M

1B

0

(5.59)

"1 arc.N.M.2

tgC

00

0 ; (5.60)

)sene-2.(1

1" arc.cos.sen.e.3D

0

22

00

2

; (5.61)

2

0

0

N.6

tg.31E ; (5.62)

0

t0

R

hRc ; e (5.63)

2ee , (5.64)

em que:

M0: Raio de curvatura da seção meridiana do elipsóide de referência em P0,

origem do sistema;

N0: Raio de curvatura da seção normal ao plano meridiano, ou grande normal,

do elipsóide de referência em P0;

Np: Raio de curvatura da seção normal ao plano meridiano do elipsóide de

referência em P1;

c: fator de elevação;

a e b: semi-eixo maior e menor do elipsóide de referência;

e2: Primeira excentricidade do elipsóide de referência;

ht: Altitude ortométrica média do terreno ou altitude do plano topográfico local.

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102

5.1.4.1 Convergência Meridiana no Sistema Topográfico Local

A convergência meridiana em um dado ponto (P) pode ser calculada, a

partir das coordenadas geodésicas, com a seguinte equação:

3

mp )"(F2

sec.sen". , (5.65)

onde:

3600).(" 0p ; (5.66)

0p ; (5.67)

12

1" sen.cos.senF

2

mm , (5.68)

sendo:

p: Convergência meridiana do ponto considerado;

0: Latitude da origem do sistema;

p: Latitude do ponto geodésico de apoio imediato considerado;

0: Longitude da origem do sistema;

p: Longitude do ponto geodésico de apoio imediato considerado;

m: Latitude média entre o ponto geodésico de apoio imediato considerado (P) e a

origem do sistema (0).

5.2 TRANSFORMAÇÃO ENTRE SISTEMAS DE REFERÊNCIAS

5.2.1 Modelo Matemático

A rigor o modelo matemático de transformação entre sistemas de referências é

da transformação de similaridade no espaço tridimensional, conhecido como

transformação isogonal, conforme ou de Helmert. Este modelo matemático contém

sete parâmetros e expressa o relacionamento entre dois referenciais por meio de três

translações, três rotações e um fator de escala.

Page 103: Geodésia - Apostila

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103

O relacionamento entre dois referenciais cartesianos tridimensionais, no

qual o vetor posição de um ponto genérico Pi no referencial cartesiano (X, Y, Z) é

dado por Ri e o vetor posição do mesmo ponto no referencial cartesiano (x, y, z) é

dado por ri, pode ser visto na figura 5.9.

FIGURA 5.9 – TRANSFORMAÇÃO NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL

Y

X

Z

y

z

x

Z

Y

X

i

i

i

y i x i

z i

P

i

O 1

O 2

R

r i

r 0 y

z

x

i

Na figura 5.9 as translações são representadas por ( X, Y, Z), a partir das

quais é definido o vetor r0 e as rotações são representadas por ( x, y, z), que podem

ser expressas adequadamente por matrizes de rotação; o parâmetro ( ) é utilizado para

expressar o fator de escala da transformação.

O modelo matemático da transformação de similaridade no espaço

tridimensional é definido, para qualquer ponto genérico Pi, pela seguinte equação:

i0i r.R.rR , (5.69)

onde:

1

1

1

R

xy

xz

yz

. (5.70)

Na equação (5.70) as rotações x, y e z são dadas em radianos.

X

Y

Z

Page 104: Geodésia - Apostila

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104

Para aplicação da transformação de similaridade no espaço

tridimensional é necessário transformar as coordenadas geodésicas ( , , h) em suas

correspondentes coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z) pela equação (5.6).

Após sucessivas manipulações algébricas o modelo matemático de

transformação de similaridade no espaço tridimensional, entre sistemas de referências,

na forma matricial fica definido por:

i

i

i

xy

xz

yz

i

i

i

z

y

x

1

1

1

1

Z

Y

X

Z

Y

X

, (5.71)

onde representa uma diferença de escala, representada pela seguinte equação:

1 . (5.72)

5.2.2 Transformações entre Sistemas de Referência no Brasil

As rotações e o fator de escala no processo de transformação entre

sistemas de referência no Brasil são desconsideradas, e o problema fica reduzido

apenas à correção da translação entre os sistemas. Deste modo, a equação (5.71) fica

reduzida à:

i

i

i

i

i

i

z

y

x

Z

Y

X

Z

Y

X

. (5.73)

Deste modo, a transformação de coordenadas de SAD69 para WGS84, é

dada por:

69SAD84WGSZ

Y

X

m

52,38

37,4

87,66

Z

Y

X

, (5.74)

O caso contrário, ou seja, de WGS84 para SAD69 fica assim definido:

84WGS69SADZ

Y

X

m

52,38

37,4-

87,66

Z

Y

X

. (5.75)

Page 105: Geodésia - Apostila

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105

A transformação de SIRGAS2000 para SAD69, pode ser efetuada por:

69SAD2000SIRGASZ

Y

X

m

22,38

88,3-

35,67

Z

Y

X

, (5.76)

e de SAD69 para SIRGAS2000 é:

2000SIRGAS69SADZ

Y

X

m

22,38

88,3

35,67

Z

Y

X

. (5.77)

SAD69 para Córrego Alegre:

Alegre Córrego69SADZ

Y

X

m

40,34

40,164

70,138

Z

Y

X

, (5.78)

e de Córrego Alegre para SAD69:

SAD69Alegre CórregoZ

Y

X

m

40,34

40,164

70,138

Z

Y

X

. (5.79)

Pelas equações (5.74) e (5.76), pode-se observar que as diferenças

existentes entre o WGS84 e SIRGAS2000 são pequenas. Na realidade, estes dois

sistemas, que são geocêntricos, concordam entre si ao nível do centímetro. A principal

diferença entre estes dois sistemas e os sistemas SAD69 e Córrego Alegre, e que os

dois primeiros são sistemas geocêntricos, enquanto os dois últimos não o são.

Precauções adicionais deve-se tomar com relação a receptores GPS que

trazem uma relação de sistemas geodésicos, inclusive SAD69 e Córrego Alegre, pois

os parâmetros de transformação utilizados pelo fabricante do receptor não são os

oficiais do IBGE. Por isso, é recomendável utilizar o receptor GPS em WGS84 e logo

em seguia transformar as coordenadas obtidas para SAD69 ou Córrego Alegre.

Após a transformação entre sistemas de referências a partir das

coordenadas cartesianas, as mesmas devem ser transformadas novamente em

geodésicas, mas agora no novo sistema de referência, através das equações (5.11).

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106

5.2.3 Equações Simplificadas de Molodenski

Uma outra possibilidade de transformação de sistemas de referência é a

partir das próprias coordenadas geodésicas, utilizando para isto as equações

diferenciais simplificadas de Molodenski. Para isto, é necessário dispor dos parâmetros

de transformação ( X, Y, Z). Estas equações são definidas por:

180.cos.Zsen.sen.Ycos.sen.X).2sen().a.ff.a(

M

111111111

1

180.cos.Ysen.X.

cos.N

111

11

, (5.81)

111111

2

11 sen.Zsen.cos.Ycos.cos.Xa.sen).a.ff.a(N , (5.82)

12 ; (5.83)

12 , (5.84)

onde:

a1: Semi-eixo maior do elipsóide no sistema S1;

f1: Achatamento do elipsóide no sistema S1;

1: Latitude Geodésica no sistema S1;

1: Longitude Geodésica no sistema S1;

a2: Semi-eixo maior do elipsóide no sistema S2;

f2: Achatamento do elipsóide no sistema S2;

2: Latitude Geodésica no sistema S2;

2: Longitude Geodésica no sistema S2;

N: Diferença de ondulação geoidal (S2 – S1);

X, Y, Z: Parâmetros de translação do S1 com respeito ao S2;

12 aaa ; e

12 fff .

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107

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