g.a.i

1Geometria Analítica e Álgebra Linear I

Geometria analítica e álgebra linear I

Ementa: Revisão, matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares. Vetores Retas no espaço Planos no espaço Cônicas e Quádricas

MATRIZES

Definição: Qualquer tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Ex: Exxel.

Uma matriz do tipo m x n (m por n) é uma tabela de m linhas por n colunas.Portanto, m representa linhas e n representa colunas

Exemplo: matriz 2x3 2 linhas por 3 colunas que terá 6 elementos (m.n) 2 . 3 = 6

A simbologia envolvida na representação de uma matriz é a seguinte:

Portanto, toda matriz, que é uma tabela, estará fechada por colchetes ou parêntesis. Neste casos temos a seguinte disposição na tabela acima descrita:

a11 = 1ª linha e 1ª colunaa21 = 2ª linha e 1ª coluna

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

A =

O nome da matriz é designado por uma letra maiúscula.

Colchetes ou parêntesis limitam a tabela.


portanto:

aij = elemento da matriz que ocupa a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Fixe: sempre o 1º índice representa a linha e o segundo índice representa a coluna.

Exemplo:

Temos portanto que:a11 = 2a13 = 0a21 = -3a22 = √2

portanto qualquer elemento pode ser localizado e simbolizado nesta tabela:

ex: a23 = 4

Num outro exemplo:

O tipo desta matriz é 3 x 3 (3 linhas por 3 colunas). Especificamente neste caso, o número de linhas é igual ao número de colunas, portanto, trata-se de uma matriz quadrada.

Ex: b22 = 0b13 = -8b31 = 5

2 1 0-3 √2 4

A = Matriz do tipo 2 x 3, ou seja, 2 linhas e 3 colunas

1/2 4 -80 0 05 2 2

B =


Se considerarmos outro exemplo, na forma inversa:a) Escreva a matriz A = (aij) 3 x 2 tal que aij = 2i+j

a11 a12

a21 a22

a31 a32

Neste caso a matriz foi calculada conforme a fórmula descrita.

b) Escreva a matriz B = (aij) quadrada 3 x 3 tal que aij = 3i+5j

Seja:

Desmembrando:

a11 = 3.1 + 5.1 = 3 + 5 = 8 a21 = 3.2 + 5.1 = 6 + 5 = 11 a31 = 3.3 + 5.1 = 9+5 = 14a12 = 3.1 + 5.2 = 3 +10 = 13 a22 = 3.2 + 5.2 = 6 + 10 = 16 a32 = 3.3 + 5.2 = 9+10 = 19a13 = 3.1 + 5.3 = 3 +15 = 18 a23 = 3.2 + 5.3 = 6 + 15 = 21 a33 = 3.3 + 5.3 = 9+15 = 24

portanto, a matriz B:

A = A = 3 45 67 8

A =

a2.1+1 a2.1+2

a2.2+1 a2.2+2

a2.3+1 a2.3+2

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

5 13 1811 16 2114 19 24


TIPOS DE MATRIZES Seja A uma matriz do tipo m x n, temos as seguintes situações:

i) A matriz A é uma matriz linha se possui uma única linha, isto é, m = 1

Exemplos:A = [1 2 3 4 5]

B = (-3 -2 0)

C = (1)

ii) A matriz A é uma matriz coluna se possui uma única coluna, isto é, n = 1Obs: Qualquer matriz que tenha uma só coluna é chamada de vetor, segundo alguns autores.

Exemplos:

000

Observe no exemplo da matriz A, onde todos os elementos são nulos. Neste caso a matriz é chamada de matriz nula.

iii) A matriz A é uma matriz nula, se todos os seus elementos são nulos, isto é, aij = 0, ou ij, onde é representado como quantificados universal ( = para todo e qualquer que seja). Logo, aij = 0 qualquer que seja sua posição.Obs: na simbologia, podemos encontrar o sinal que significa existe (quantificador universal).

Exemplos de matrizes nulas:

0 0 0 00 0 0 0

0 00 0

A = -2√3B = C = [1]

A= Matriz nula

B= Matriz nula e quadrada


C = [0 0 0] Matriz nula e linear

Obs: o número 0 é o símbolo da matriz nula, isto é, genericamente, representamos uma matriz nula por 0.

iv) A matriz A é uma matriz quadrada se o número de linhas de A coincide com o número de colunas de A, isto é, m = n, neste caso, chamamos de ordem a quantidade de linhas e colunas, como por exemplo:

0 3 61 4 72 5 8

A é uma matriz quadrada de ordem 3. O número m ou n de uma matriz quadrada será chamado de ordem da matriz.

Exemplos:

1 23 4

1 0 00 1 00 0 1

Observação importante:

Toda matriz quadrada tem duas diagonais: A diagonal principal e a diagonal secundária

A =

A = matriz quadrada de ordem 2

B = matriz quadrada de ordem 3

C = matriz quadrada de ordem 4

1 2 3 4-4 -3 -2 -10 1 2 33 2 4 1


v) Os elementos aij que compõem a diagonal principal da matriz A são tais que i=j, ou seja, a11, a22,a33,a44 (i = j) estes serão os elementos da diagonal principal.

Exemplo:

1 2 33 2 14 3 1

Portanto os elementos da diagonal principal da matriz A:a11

a22 Os elementos que compõem a matriz principal são tais que i = ja33

Com a divisão feita pela diagonal principal na matriz A, observa-se que os elementos que ficaram acima da diagonal principal são i < j:

a12

a13 Os elementos que compõem a matriz principal são tais que i < ja23

Os elementos que ficaram abaixo da diagonal principal da matriz A são i > j:

a21

a31 Os elementos que compõem a matriz principal são tais que i > ja32

vi) Os elementos que compõem a diagonal secundária na matriz A são tais que i+j = m+1, ou seja, a adição de seus valores corresponde à ordem + 1.Só será elemento da diagonal secundária se a soma da linha, mais a soma da coluna é igual a ordem + 1.Vejamos alguns exemplos:

A =

A diagonal principal faz uma divisão, onde os elementos que ficam acima da diagonal são i < j e os que ficam abaixo são i > j


2 35 4

Logo, temos como elementos da diagonal secundária:

a12 = 1+2=3a21 = 2+1 = 3

1 3 57 9 13 5 7

Os elementos da diagonal secundária são:

a13 = 1+3=4a22 = 2+2 = 4a31 = 3+1 = 4

vi) A matriz A é uma matriz triangular superior, se é quadrada e todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, 0 i > j, portanto a ij = 0, i > j.

Exemplos:

1 2 30 1 40 0 5

A =

Diagonal principal

Diagonal secundária

Matriz Quadrada de ordem 2

ou seja, o número da ordem (2) +1

B =

Diagonal secundária

Diagonal principal

Matriz Quadrada de ordem 3

ou seja, o número da ordem (3) +1

A =

Logo,

a21 = i > j 2 > 1a31 = i > j 3 > 1a32 = i > j 3 > 2

Diagonal principal


vii) A matriz A é uma matriz triangular inferior se é quadrada e se todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, aij = 0, i < j.

Exemplos:

1 04 2

1 0 02 1 03 2 1

viii) A matriz A é uma matriz identidade se é diagonal (ou seja, também é quadrada) e se todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, isto é, aij=0, i j, e aij = 1, i = j, portanto, todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a 0.

1 00 1

B =

Logo,

a21 = i > j 2 > 1a31 = i > j 3 > 1a32 = i > j 3 > 2a41= i > j 4 > 1a42 = i > j 4 > 2a43 = i > j 4 > 3

A =

Diagonal principal

Logo,

a12 = i < j 1 < 2

B =

Diagonal principal

Logo,

a12 = i < j 1 < 2a23 = i < j 2 < 3

A =

Diagonal principal

Logo,a11 = 1a12 = 0a21 = 0a22 = 1

1 2 3 40 1 2 30 0 1 20 0 0 1


O símbolo que indica uma matriz identidade de ordem “n” é In.

Por exemplo: I2 é uma matriz identidade de ordem 2

Exemplos:

1 00 1

ix) A matriz A é uma matriz simétrica se é quadrada e se todos os elementos que ocupam posições simétricas em relação à diagonal principal são iguais, isto é, aij = aij

1 0 80 1 -28 -2 1

A matriz B é uma matriz simétrica porque seus elementos ocupam posição simétrica em relação à diagonal principal, conforme vimos na demonstração acima.

x) A matriz oposta da matriz A, indicada como –A é a matriz obtida de A pela troca dos sinais de todos os seus elementos, isto é, -A = (-aij)

I2 = 1 0 00 1 00 0 1

I3=

A =

Diagonal principal

Ou seja,

a12 = a21

a31 = a13 SIMÉTRICASa32 = a23

B =

Logo,

a12= a21

a13 = a31

a23 = a32

a14=a41

a24 =a42

a34 = a43

1 2 5 ½2 3 4 05 0 -1 9½ 0 9 7


Exemplo:

1 3 -80 -4 2

Percebemos que todos os sinais da matriz oposta (-A) estão trocados em relação à sua oposta A.

xi) A matriz transposta de A, indicada como At, ou AT, é a matriz obtida de A pela troca de linhas por colunas.

Exemplos:

3 12 04 5

0 1 21 3 -12 -1 4

Note que BT é igual à B porque B é uma matriz simétrica

São 2 as propriedades de matrizes transpostas:a) A Matriz transposta da transposta, volta a ser a matriz inicial.

Exemplo:

3 2 11 2 34 3 2

Conforme o exemplo, percebemos que a transposta da transposta volta a ser a matriz inicial A (AT)T = A

A= -A=A matriz oposta

A= A matriz transposta AT=

B = A matriz transposta

A = (AT)T =

-1 -3 80 4 -2

3 2 41 0 5

BT = 0 1 21 3 -12 -1 4

3 2 11 2 34 3 2

3 1 42 2 31 3 2

AT =


b) A Matriz simétrica transposta é exatamente a matriz inicial

1 3 53 1 45 4 2

Portanto, A é simétrica A = AT

OPERAÇÕES COM MATRIZES

I) ADIÇÃO DE MATRIZES A soma de duas matrizes do mesmo tipo A=(aij)m x n e B=(bij) m x n, indicada A+B, é uma matriz também do tipo m x n cujos elementos são a soma dos elementos correspondentes (que ocupam a mesma posição), isto é, A+B = (a ij + bij).

Exemplo:1 2-3 0

Outro exemplo:

3 2 11 2 34 3 2

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES:

I) Propriedade AssociativaA + (B+C) = (A+B)+C

ii) Propriedade ComutativaA + B = B + A

iii) Elemento NeutroA + 0 = A

iv) Existência do Elemento OpostoA + (-A) = 0

A = A matriz transposta

A = A+B = + =

A = A+B = + =

MATRIZ OPOSTA

AT = 1 3 53 1 45 4 2

B = 3 4-5 -1

4 6-8 -1

7 7 78 10 12

25 16 14

4 5 67 8 9

21 13 12

B =


MULTIPLICAÇÃO DE UM ESCALAR POR UMA MATRIZ

O produto de uma escalar (uma constante real) que chamaremos de , logo, R por uma matriz A do tipo m x n formada por elementos a ij: A=(aij)mxn indicado .A, é uma matriz definida por .A=(aij)mxn. Todo elemento da matriz produto é conseguido multiplicando seus elementos da Matriz A por .

Exemplo: Se 2 1 8 Então 6 3 24

-4 0 3 -12 0 9

Porém essa constante não precisa ser inteira. Pode ser feita por qualquer número real R, logo,

1 ½ 4

-2 0 3/2

Outro exemplo:

2 1 8 O RESULTADO É A PRÓPRIA MATRIZ A

-4 0 3

Propriedades da multiplicação de um escalar por uma matriz

i) Propriedade associativa.

Exemplo: .(β.A) = (.β).A

Neste caso fazemos a conta 2 a 2 como especificado acima Propriedade associativa. Repare porém que e β são números e A é uma matriz. Na essência são multiplicações diferentes, uma multiplica números e outra multiplica matriz. Portanto, quando se multiplica números por números, o resultado é um número e quando se multiplica número por matriz, o resultado é uma matriz.

.β = números

.A = matriz β.A = matriz

½ . A =

A = 3.A =

1. A =


ii) Propriedade distributiva (à esquerda)

Exemplo: .(A.B) = .A + .B Propriedade distributiva à esquerda, ou seja, multiplica-se o número pela matriz, eliminando-se os parêntesis. Repare que o número está à esquerda no enunciado.

Obs: o produto de pode ser conseguido pelo exemplo acima: .A + .B, ou pode-se primeiro conseguir o resultado de A+B e depois multiplicar-se por .

iii) Propriedade distributiva (à direita)

Exemplo: (+β).A = .A + β.A Propriedade distributiva à direita. Neste caso, temos uma soma de números que multiplica uma matriz.

Exemplo 2) 2 1 8

-4 0 3

iv) Existência do Elemento Neutro.

Exemplo: 1.A = A Sempre que uma matriz for multiplicada por 1, o resultado sempre será a própria matriz.

Multiplicação de Matrizes

O produto de duas matrizes A=(aij) mxp e B formada por Bij B(ij)pxn, indicado A.B = (Cij), ou seja, A.B (abij) = (cij), é uma matriz do tipo mxn em que cada elemento cij é obtido pela soma dos produtos ordenados da i-ésima linha de A, pela j-ésima coluna de B, ou seja, uma linha de A, por uma coluna de B.

Note que mxp de A=(aij)mxp, onde “p” corresponde ao B=(bij)pxn, ou seja, o número de colunas de A, tem de ser igual ao número de linhas de B. só existe o produto de duas matrizes sob uma condição: (Amxp . Bpxn), ou seja, se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.

Amxp . Bpxn

(2+3) .

=


Se existir o produto de duas matrizes, já podemos prever qual será a matriz produto, pois terá o mesmo número de linhas da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B.

Amxp . Bpxn

Tipo da matriz produto é mxn

Exemplo: obtenha A.B e B.A se:

a) 1 2 0 3 -1

3 -1 -2 1 4

5 7

1º passo: verificar se são compatíveis, logo, A2x3 . B3x2, portanto, o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, podemos prever também que esta será uma matriz do tipo 2x2:

A2x3 . B3x2

2º passo: Da matriz A, usaremos somente as linhas na multiplicação por B, onde serão usadas somente as colunas de B.

Macete: Olhe sempre a posição da matriz produto C. Se C21 = 2º linha de A e 1º coluna de B.

A = B =

=

TIPO DE MATRIZ RESULTANTE (2X2)


PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

i) Em geral, A.B ≠ B.A Não vale aqui a propriedade comutativa. (Comutar é trocar a ordem).

ii) Vale a propriedade associativa se os tipos forem compatíveis, ou seja:

A.(B.C) = (A.B).C Propriedade associativa. Melhor dizendo, a multiplicação só irá acontecer se A e B e C, ou o produto delas for compatível para se efetuar a multiplicação.

iii) Se os tipos forem compatíveis vale a propriedade distributiva, ou seja,

A . (B+C) = A.B + A.C Neste caso é propriedade distributiva à esquerda.

iv) Se os tipos forem compatíveis vale a propriedade distributiva à direita, ou seja,

(A+B).C = A.C + B.C Neste caso é propriedade Distributiva à direita.

v) Propriedade do elemento neutro, onde Amxn . In = A, ou seja, uma matriz A do tipo mxn, quando multiplicada pela matriz identidade, o produto é a própria matriz A. neste caso escrevemos In, porque só existe o produto, quando o número de linhas de A é igual ao número de colunas da matriz B. (Elemento neutro à direita).

vi) Se pegarmos a matriz identidade vezes a matriz Amxn = A, ou seja Im . Amxn = A

Exemplo: 3 2

1 4 logo, A3x2 . I2

-1 -2

Como sabemos que a multiplicação de uma matriz A por uma matriz identidade compatível, teremos como resultado a própria matriz, o resultado será A3x2.

Fazendo-se a multiplicação, temos:

A =

1 00 1


A matriz identidade é o sujeito neutro na multiplicação de matrizes.

Se, ao contrário, fizermos I . A3x2 = A, ou seja, conforme o enunciado da propriedade v, teremos o elemento neutro à direita.

No caso, I . A3x2 = A, I tem de ser I3x3, para que possa haver produto, logo:

vii) Como se relaciona o produto pela transposta (A.B)T

importante: veja e perceba que (A.B)T não é AT . BT

a transposta do produto, é o produto comutado, ou seja: (A.B)T = BT . AT

Exemplo:

Se temos duas matrizes A2x2 e B2x2, sabemos que há produto e vamos gerar uma nova matriz do tipo C2x2, vejamos, seja:

3 2A = 1 4

-1 2

In =

3 21 4-1 2

= A =

3 2A = 1 4

-1 2

1 0 0I = 0 1 0

0 0 1

3 2 = A = 1 4

-1 2

MATRIZ PRODUTO = A

1 3-1 0

A = -2 4-3 1

B =

-11 72 -4A.B =

-11 27 -4(A.B)T = LOGO,


Note que a transposta de A.B é conseguida trocando-se a coluna 1ª pela linha 1ª e a 2ª coluna pela 2ª linha. Se fizéssemos a transposta de A e a transposta de B, teríamos:

Porém, se multiplicarmos AT . BT, teremos:

Porém, se fizermos BT . AT, termos:

Conforme a propriedade: a transposta do produto é o produto comutado.

BT . AT = (A.B)T

Outro exemplo: (A.B)T sendo:

1 -13 0AT =

-2 -34 1BT =

1 -13 0

AT =

-2 -34 1

BT =

= -6 -4-6 3 NÃO É O RESULTADO ESPERADO

-2 -34 1

BT =

1 -13 0

AT =

= -11 27 -4 É O RESULTADO ESPERADO

5 23 1

A = 1 23 4

B =


Seja:

Se fizermos AT.BT terermos:

Isso prova que o resultado de AT.BT não está correto, porém, se fizermos BT.AT, temos:

Como manda a regra: BT . AT = (A.B)T

11 186 10A.B =

11 618 10(A.B)T = LOGO,

5 32 1

AT =

1 32 4

BT =

= 11 274 10 NÃO É O RESULTADO ESPERADO

1 32 4

BT =

5 32 1

AT =

= 11 618 10 É O RESULTADO ESPERADO


DISPOSITIVO PRÁTICO

Existe um dispositivo prático para a multiplicação de matrizes. Coloca-se a Matriz A à esquerda embaixo e a matriz B à direita encima. A matriz produto vai se encaixar entre A e B. olhando-se, temos a visão das colunas e linhas que vão ser multiplicadas.

Exemplo:

Se temos uma matriz A2x3 . B3x2 com os valores abaixo, sabemos que há produto e vamos gerar uma terceira matriz do tipo 2x2:

Se, ao contrário, fizermos B3x2 . A2x3, também termos produto e vamos gerar uma matriz 3x3:

Temos:

c11 = 3.1 + (-1).3 = 0 c21 = 1.1 + 4.3 = 13 c31 = 5.1 +(-7) .3 = 16c12 = 3.2 + (-1).(-1) = 7 c22 = 1.2 + 4.(-1) = -2 c32 = 5.2 +(-7) .(-1) = 17c13 = 3.0 + (-1).(-2) = 2 c23 = 1.0 + 4.(-2) = -8 c33 = 5.0 +(-7) .(-2) = 14

Note que o resultado de A . B é diferente do resultado de B . A, portanto aqui comprovamos que não vale a propriedade comutativa.

3 -11 45 -7

B =

A = 1 2 03 -1 -2

= 5 7-2 7

1 2 03 -1 -2A =

3 -11 45 -7

B = 0 7 2

13 -2 -816 17 14

C =


DETERMINANTES

Determinante é o número real R que se associa a toda matriz quadrada, e somente na matriz quadrada. Por definição ele é a soma dos produtos dos elementos da 1º linha pelos seus respectivos cofatores.

Na nossa revisão vamos somente rever as regras para a obtenção dos determinantes de matrizes quadradas de ordens 1, 2 e 3.

1º Regra:

Quando a matriz é quadrada de ordem 1

n = 1: O determinante de uma matriz quadrada de ordem 1 é igual ao único elemento dessa matriz.

Exemplo: Se A=2, então det A=2

b) Se A=-7 então det A=-7

2º Regra:

Se tivermos uma matriz quadrada de ordem 2 n=2

O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é igual a diferença entre os produtos dos elementos das diagonais principal e secundária. (somente para matriz quadrada de ordem 2)

Exemplos:

a) Se 1 4

1 6

Então det A = 1.6 = 6 (Produto da diagonal principal)

1.4 = 4 (produto da diagonal secundária), logo

Det A = 6-4 = 2

A=


b) 2 -3 Repare nas barras simples e não colchetes que limitam a

1 4 matriz, o que significa determinantes.

Det B = 8 – (-3) = det = 11

c)

Det = 4.(-2) – 3.1 Det = -8 – 3 = -11

d)

Det = 1.6 – 1.6 Det = 0

Se duas linhas, ou duas colunas são iguais, o determinante será sempre 0 (nulo). Vale apenas para determinantes de ordem 2.

e)

Det = -3.1-4.2 = -11 Det = 2.4-1.(-3) = 11

Neste caso, se trocarmos duas linhas ou 2 colunas de posição, o determinante fica multiplicado por -1

4 13 -2

1 61 6

2 -31 4

-3 24 1


3º Regra:

Se tivermos uma matriz quadrada de ordem 3 n=3

Definição e fórmula:

O determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 é calculado usando-se a regra de Sarrus: Repita as duas primeiras colunas à direita do determinante. Aparecerão duas diagonais completas paralelas à diagonal principal. Leve os produtos dos elementos dessas três diagonais para uma soma, mantendo-se os sinais.Aparecerão também duas diagonais completas paralelas à diagonal secundária. Leve os produtos dos elementos dessas três diagonais para a mesma soma, trocando-se os sinais. O resultado das somas é o determinante procurado.

Exemplos:

a)

temos então:Diagonal principal Diagonal secundária2.1.5 = 10 1.1.3 = 3(-1).(-2).1 = 2 1.(-2).1 = -23.4.1 = 12 5.4.(-1) = -20

Portanto o determinante:10+2+12-3-(-2)-(-20) Det = 45

a)

temos então:Diagonal principal Diagonal secundária(-3).4.2 = -24 3.4.(-1) =-12(-2).5.3 = -30 7.5.(-3) = -105(-1).1.7 = -7 2.1.2 = 4

Portanto o determinante:-24+(-30)+(-7)-(-12)-(-105)-4 Det = 52

2 -1 3 2 -14 1 -2 4 11 1 5 1 1

-3 -2 -1 -3 -21 4 5 1 43 7 2 3 7


SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARESSistemas de equações lineares são sistemas de m equações com n incógnitas. É um conjunto de m equações lineares com incógnitas designadas x1, x2, x3...xn ou (x, y, z...) do tipo:

a11 x1 + a12 x2 + .....+a1n.xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ....+a2nxn = b2

Exemplo a:

x + y = 2 x – y = 0

x+ y + 73x – 4y+2-x + 2y - 1

onde a = números (coeficientes)xn = variáveis (incógnitas)

Podemos escrever matricialmente:

a11 a21 .....a1n x1 b1 a21 a22......a2n x2 b2

=

am1 am2......am3 xn bn

A multiplicação ocorre como na multiplicação de matrizes. Todo sistema consegue-se associar a matrizes.

Pode-se usar o método da adição ou da substituição que é o método universal resolve qualquer sistema

pode-se usar a regra de Cramer ou redução de sistemas por escalonamento.

..........

..........

..........

..........

..........

Matriz dos coeficientes Matriz das incógnitas

Matriz dos Termos independentes


Conforme ilustrado acima, a matriz formada pelos coeficientes das ordenadas, vai se chamar matriz dos coeficientes. A matriz formada pelas incógnitas, Matriz das Incógnitas e o resultado será a Matriz dos termos independentes.

Exemplo a)

x + y = 2 Sistema de 2 equações e 2 incógnitasx – y = 0

Representando em forma de matriz:

1 1 x 2 =

1 -1 y 0

Outra matriz importante, é a matriz ampliada Matriz dos coeficientes

1 1 2

1 -1 0

Matriz Matriz dos Dos termos independentesCoeficientes

Exemplo b 3 equações e 3 incógnitas:

b) x – y – 2z = 22x-2y+ z = 44x+3y +z = 15

Em forma de matriz:

1 -1 -2 x 22 -2 1 y = 44 3 1 z 15

Matriz ampliada:

1 -1 -2 22 -2 1 44 3 1 15


Exemplo c número de equações, não necessariamente igual ao número de incógnitas.

c) x + y + z + t = 42x + 3y – 7z = -2

Temos 2 equações e 4 incógnitas

Matricialmente:

x1 1 1 1 y = 42 3 -7 0 z -2

t

Matriz Ampliada:

1 1 1 1 42 3 -7 0 -2

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA

A solução de um sistema é determinado por valores que resolvem todas as equações do sistema.

Seja: x + y = 2x – y = 0

Neste caso, como existem 2 incógnitas a resposta será composta por um par ordenado:S = {(x, y)}

Se tivermos uma equação cujo resultado seja a solução para 3 incógnitas, o conjunto solução será de três soluções triplas ordenadasS = {(x,y,z)}

Obs: coloca-se as incógnitas na coluna na ordem em que aparecem.


No caos de um sistema com 4 incógnitas, o conjunto solução será de quádruplas ordenadas:S = {(x,y,z,t)}

Uma solução de um sistema é uma n-upla ordenada, do tipo (x1, x2, x3....xn) que resolve todas as equações do sistema.

Quanto ao número de soluções, o sistema é classificado como:

i) O sistema é classificado como possível (compatível) e determinado (SPD) quando tem uma única solução.

ii) O sistema é classificado como possível (compatível) e indeterminado (SPI) quando tem infinitas soluções.

Obs: o sistema ou tem somente uma solução, ou infinitas. Nunca acontecerá de um sistema que tenha 2, 3 ou 15 soluções. A solução é uma, ou infinitasUm par ordenado é uma solução com 2 algarismos, uma tripla ordenada, ou uma quádrupla ordenada, também são apenas uma solução com 3 ou 4 algarismos respectivamente.

iii) O sistema vai ser chamado de impossível (incompatível) quando não tem solução.

Ex: x + y = 2x – y = 3

Neste caso, temos um sistema sem solução.


MÉTODOS PARA A SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES:

1º Método: Adição

A idéia é somar termo a termo, os elementos de 2 equações (somente poderemos utilizar o método da adição com 2 equações), com o objetivo de fazer uma incógnita desaparecer.Uma equação é uma igualdade, logo:

=

= = Se somarmos termo a termo, vamos ter uma terceira equação diferente, mas com a igualdade mantida.A justificativa é simples: ao somarmos os membros de 2 equações, obteremos uma terceira equação, cuja igualdade se mantém válida.O método da adição funciona bem até com 2 equações e duas incógnitas. Acima disso já não se torna possível utilizá-la.

Ex a) x + y = 2x – y = 02x = 2 x = 2/2 x = 1

Com o resultado de x em mãos, trocamos em qualquer das equações para se determinar o valor de y:Logo, x + y = 2 1+y = 2 y = 2-1 y = 1

Mas, atenção, o exercício só termina com a apresentação do conjunto solução, que neste caso é:

S = {(1,1)}

O conjunto solução, trata-se de um par ordenado que é representado na sequência de valor de x e valor de y respectivamente: S = {(x,y)}

Ex. b) 2x +3y = 55x +2y = -4

Neste caso, consideremos:

+


FATO: Uma equação não se altera se multiplicarmos seus membros por uma mesma constante. Neste caso, torna-se útil a multiplicação para fazer com que uma das incógnitas desapareça.

Ex: b) 2x + 3y = 5 x(5)*

5x +2y = -4 x(-2)

Logo,

10x + 15y = 25-10x -4y = 8 + 11y =33 y = 33/11 y = 3

Agora, substituindo-se em uma das equações:

5x + 2y = -4 5x + 2(3) = -4 5x + 6 = -4 5x = -4-6 5x = -10 x = -10/5 x = -2

Portanto, S = {(-2,3)}

Podemos verificar se o resultado das incógnitas está ou não correto, substituindo os 2 valores nas equações, para comprovar a igualdade.Desta maneira:

Na primeira equação, sendo x = -2 e y = 32x + 3y = 52.(-2) + 3.3 = 5-4 + 9 = 55 = 5

Na segunda equação:5x +2y = -45.(-2) + 2.3 = -4-10 + 6 = -4-4 = -4

*os números para a multiplicação não têm regras tentativa bom senso


2º Método: Substituição

Isola-se uma das incógnitas em uma das equações e substitui-se essa incógnita nas outras equações, diminuindo-se assim o número de equações e o número de incógnitas. O processo prossegue até a situação ideal de uma equação com uma incógnita (de preferência com índice 1).

Ex: 2x + 3y = 5 2x = 5 – 3y x = (5-3y)/25x + 2y = -4

Logo,Substitui-se na segunda equação, o valor encontrado de x:

5x + 2y = -4 5(5-3y) + 2y = -4 25 – 15y + 2y = -4 m.m.c 2 2

25 – 15y + 4y = -8 -11y = -8 – 25 -11y = -33 y = -33/-112 2

y = 3

Substituindo-se agora, na primeira equação:Seja:x = (5-3y)/2 x = (5 -3.3)/2 x = (5 – 9)/2 = x = -4/2 x = -2

portanto, o conjunto solução:

S = {(-2,3)}

Podemos verificar se o resultado das incógnitas está ou não correto aqui também:Na primeira equação, sendo x = -2 e y = 32x + 3y = 52.(-2) + 3.3 = 5-4 + 9 = 55 = 5

Na segunda equação:5x +2y = -45.(-2) + 2.3 = -4-10 + 6 = -4-4 = -4Exemplo b)

É sempre interessante isolara a equação onde o coeficiente de x = 1, sempre que possível, como neste caso.


x – y – 2z = 2 x = 2 + y + 2z2x – 2y + z = 4.4x + 3y + z = 15

Agora, trocamos o valor de x nas duas outras equações:

2x – 2y + z = 4. 2(2+y+2z)-2y+z = 44x + 3y + z = 15 4(2+y+2z) + 3y + z = 15

4 + 2y + 4z – 2y + z = 4 5z = 4-48 + 4y + 8z + 3y + z = 15 7y + 9z = 15 – 8

5z = 0 z = 0/5 z = 07y + 9z = 7

Portanto, se z = 0, temos que:7y + 9z = 7 7y + 9.0 = 7 7y = 7 y = 7/7 y = 1

Portanto substituindo em x:Seja y = 1 e 2 = 0

x = 2 + y + 2z x = 2+1+2.0 x = 3

temos portanto, o conjunto solução:

S = {(3,1,0)}

Verificando:

x – y – 2z = 2 3 – 1 – 2.0 = 22 – 0 = 22 = 2


3º Método: Método de Cramer

A regra de Cramer só pode ser utilizada se duas condições estiverem satisfeitas:

i) O número de equações tem de ser igual ao número de incógnitasii) O sistema tem de ser possível e determinado (SPD)

Um sistema é possível e determinado, se, e somente se, , o determinante da matriz dos coeficientes não for nulo.

0 SPD O sistema é possível e determinado

= 0 SPI O sistema é possível e indeterminado ouSI O sistema é impossível

O x da solução será obtido por:

x = x/

Com o x sendo o determinante da matriz obtida à partir da matriz dos coeficientes pela troca da coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes, de igual modo, a mesma regra vale para y/ e z/

Ex:a) 2x + 3y = 5 temos 2 equações e 2 incógnitas5x + 2y = -4

= 2 3 det = 2.2-5.3 det = -1 0 SPD (1 só solução)5 2

Uma vez definido o determinante de , verificamos que temos um sistema possível e determinado, ou seja, haverá apenas uma solução para o sistema. Portanto, vamos determinar agora os valores de x e de y:

x = 5 3 det x = 10-(-12) det x = 22

Coluna de x Coluna de y


-4 2

Logo, seja:x = x/ x = 22/-11 x = -2

y = 2 5 det y = -8-25 det x = -335 -4

Logo, seja:y = y/ x = -33/-11 y = 3

Portanto, o conjunto solução:S = {(-2,3)}

Exemplo b)

x – y – 2z = 2 2x – 2y + z = 4. 4x + 3y + z = 15

Primeiro, vamos achar o determinante de , para sabermos se podemos ou não resolver por Cramer:

1 -1 -2 1 -12 -2 1 2 -24 3 1 4 3

Det = 1.(-2).1 + (-1).1.4+(-2).2.3 – 4.(-2).(-2)-3.1.1 – 1.2.(-1) Det = -35 0, logo, SPD, sistema possível e determinado, portanto, teremos apenas uma solução para o sistema e poderemos resolvê-lo por Cramer.

Vamos agora achar os determinantes de x, y e z, substituindo respectivamente os valores de x, y e z pelos termos independentes em cada operação como segue:

Temos 3 equações e 3 incógnitas


2 -1 -2 2 -14 -2 1 4 -2

15 3 1 15 3

Det x = -105

Portanto, temos que: x = x/ x = -105/-35 x = 3

1 2 -2 1 22 4 1 2 44 15 1 4 15

Det y = -35

Portanto, temos que: y = y/ y = -35/-35 y =13

1 -1 2 1 -12 -2 4 2 -24 3 15 4 3

Det x = 0

Portanto, temos que: z = z/ z = 0/-35 z =0

Portanto, o conjunto solução:

S = {(3,1,0)}

4º Método: Gauss-Jordan

x =

y =

z =


O método baseia-se em 3 propriedades de equações e de sistemas:

i) A ordem das equações num sistema é irrelevante, ou seja, podemos permutar 2 equações sem alterar o sistema.

ii) Uma equação não se altera se a multiplicarmos por uma constante

iii) Somando-se ambos os membros de 2 equações, obtemos uma outra equação que permanece válida.

O objetivo é colocar 0 (zero) em lugares convenientes nos coeficientes. Isso somente é possível se o sistema for possível e determinado SPD.

Para não trabalharmos com as incógnitas, em vez do sistema, trabalharemos com a chamada Matriz Ampliada. No intuito de simplificarmos o sistema, Gauss-Jordan tem o objetivo de transformar a matriz dos coeficientes na Matriz Identidade. Para isso, ajeitamos coluna por coluna. Em cada coluna, inicialmente colocamos o 1 no elemento da diagonal principal, e depois, os outros elementos da coluna, no caso o 0.

Ex. a) x + y = 2

x – y = 0

1 1 (-1) Objetivo é transformar a matriz numa identidade, tra1 -1 balhando coluna por coluna

Representa-se assim:

1 1 2 1 1 21 -1 0 L2 L2 -1. 11 0 -2 -2

Pega a linha 1, multiplica-se por -1, soma com a linha 2 e substitui na linha 2

Se operar um número com seu inverso o resultado é 1:

3/1 . 1/3 = 1

1 1 2 1 1 2 L1 L1-1L1


0 -2 -2 -1/2.L2 0 1 1

1 0 1 x = 10 1 1 y = 1

S = {(1,1)}

Exemplo b)

x – y – 2z = 2 2x – 2y + z = 44x + 3y + z = 15

O primeiro passo é montar a matriz ampliada:

Começamos pela 1ª coluna e verificamos o que é necessário se mudar para que se torne uma matriz identidade:

1 -1 -2 22 -2 1 44 3 1 15

1 -1 -2 20 7 9 70 0 5 0

Matriz Identidade de ordem 2(I2)

1 -1 -2 20 0 5 00 7 9 7

L2 L2 – 2L1

L3 L3 – 4L1

L3

1 -1 -2 20 1 9/7 10 0 5 0

1/7.L2

L1 L1+1.L2


1 -1 -2 20 1 9/7 10 0 5 0

1 0 -5/7 30 1 9/7 10 0 5 0

1 0 -5/7 30 1 9/7 10 0 1 0

Portanto:x = 3y = 1z = 0

Podemos também aqui fazer a verificação dos resultados:

x – y – 2z = 2 3 – 1 – 2.0 = 2 2 = 2

2x – 2y + z = 4 2.3 – 2.1 + 0 = 4 6-2 = 4 4=4

4x + 3y + z = 15 4.3 + 3.1 + 0 = 15 12 + 3 = 15 15 = 15

SISTEMAS POSSÍVEIS E INDETERMINADOS:

1 0 -5/7 30 1 9/7 10 0 5 0

1 0 -5/7 30 1 9/7 10 0 1 01/5.L3

1 0 0 30 1 0 10 0 1 0

L1 L1+5/7.L3L2 L2-9/7.l3


Os sistemas possíveis e indeterminados são aqueles cujas soluções são infinitas. Quando o número de equações é menor que o número de incógnitas, geralmente o sistema é indeterminado.

Ex: a) x + y = 23x + 3y = 6

Vamos resolver primeiro por Gauss-Jordan

1 1 23 3 6

Se tentarmos resolver, temos:

x + y = 2 x = 2-yoy = 0 infinitas soluções possíveis

Portanto, y = e x = 2-S={(2-, ), R}

Se fizermos pelo método da substituição, temos:

x + y = 2 x = 2-y3x + 3y = 6

3x + 3y = 6 3(2-y)+3y = 6 6 – 3y + 3y = 6 0y = 6-6 0y = 0, logo

y = e x = 2-

S={(2-, ), R}

Exemplo b)

x + y – z = 4

1 1 20 0 0

x + y = 20y = 0


3x-2y+2z = 7-2x+3y-3z=-3

Por Gauss-Jordan

1 1 -1 4 1 1 -1 43 -2 2 7 L2 L2 -3 L1 0 -5 5 -5-2 3 -3 -3 L3 L3 2 L1 0 5 -5 5

1 1 -1 4 L1

L1 1/5 L2

1 0 0 3

0 -5 5 -5 0 -5 5 -50 5 -5 5 0 5 -5 5

1 0 0 3 1 0 0 30 -5 5 -5 1/5L2 0 1 -1 10 5 -5 5 0 5 -5 5

1 0 0 3 1 0 0 30 1 -1 1 0 1 -1 10 5 -5 5 L3 L3 -5 L2 0 0 0 0

x = 3y – z = 10z = 0 z =

y = 1 + z y = 1 + x = 3

portanto, S = {(3, 1+, ), R}

Pelo método da substituição:


x + y – z = 4 x = 4 – y + z3x-2y+2z = 7-2x+3y-3z=-3

3(4 – y + z )-2y+2z = 7 12-3y+3z-2y+2z = 7 -2(4 – y + z )+3y-3z=-3 -8+2y-2z+3y-3z = -3

-5y+5z = 7-12 -5y+5z = -5 x(-1)

5y-5z = -3+8 5y-5z = 5

5y-5z = 5 5y = 5+5z y = (5+5z)/5, logo5y-5z = 5

5(5+5z)/5-5z = 5 5(5+5z)-25z =25 25+25z-25z=25 25z-25z = 25 – 25 0z = 0, logo z =

Substituindo em y:y = (5+5z)/5 y = (5+5.)/5 y = 1+

Substituindo em x:

x = 4 – y + z x = 4-(1+z)+z x = 4-1-z+z x = 3

logo: S = {(3, 1+,), R}

SISTEMAS IMPOSSÍVEIS

São sistemas cujas soluções são impossíveis, pois trazem seqüências matemáticas absurdas:

Exemplo a)

x + y = 22x – 2y = 5

Vamos resolver por Gauss-Jordan

1 1 2 1 1 2-2 -2 5 L2 L2 2 L1 0 0 9


x + y = 20y = 9 não existe número que sendo multiplicado por 0 resulte em 9

Logo, S =

Exemplo b)

x + 7y + 6z = -7 x = -7-7y-6z2x – 3y – 5z = 47x – 2y – 9z = 6

Por Substituição:

2x – 3y – 5z = 4 2(-7-7y-6z ) – 3y – 5z = 4 7x – 2y – 9z = 6 7(-7-7y-6z ) – 2y – 9z = 6

-14 – 14y -12z -3y -5z = 4 -17y – 17z = 4 + 14-49-49y-42z-2y-9z = 6 -51y - -51z = 6 + 49

-17y – 17z = 18 x(-1) 17y + 17z = -18 y = (-18-17z)/17-51y - -51z = 55 -51y - -51z = 55

-51(-18-17z)/17 -51z = 55 -51(-18-17z)-867z = 935 17 17

918 + 867z – 867z = 935 0z = 935-918 0z = 17

Portanto: S =

SISTEMAS HOMOGÊNEOS

Um sistema é homogêneo, se todos os coeficientes independentes são nulos.


Ex. a)x + y = 02x+5y = 0

Ex.b)x + y = 03x+3y = 0

Ex. c)x + y + z = 02x + 3y + 4z = 03x + 4y + 5z = 0

O sistema homogêneo nunca é impossível, pois pelo menos a chamada solução trivial (0,0,....0) ele possui.Neste caso, se o número de equações for igual ao número de incógnitas, temos:

0 SPD (Sistema Possível e Determinado)

= 0 SPI (Sistema Possível e Indeterminado)

Exemplo a) x + y = 02x+5y = 0

= 1 1 det. = 1.5 – 2.1 det. = 3 0, logo, SPD2 5

Portanto, se o sistema é possível e determinado só tem uma solução, que será a solução trivial:

S = {(0,0)}

b) x + y = 03x+3y = 0


= 1 1 det. = 1.3-1.3 det. = 0 SPI3 3

Portanto, seja o determinante do = 0, não podemos resolver por Cramer, logo, pelo método da substituição, temos que:

x + y = 0 x = -y3x+3y = 0

Portanto:3(-y)+3y = 0-3y+3y = 00y = 0 Sistema possível e indeterminado, uma vez que existem infinitos

números que multiplicados por 0 resultam em 0.

Logo, y = x = -

S = {(-,),R}

Exemplo c) x + y + z = 02x+3y+4z = 03x+4y+5z = 0

1 1 1 1 1Det. = 2 3 4 2 3 3 4 5 3 4

Det = 15+12+8-9-16-10 det. = 0 Logo, Sistema possível e indeterminado, portanto pelo método da substituição temos:

x + y + z = 0 x = -y-z2x+3y+4z = 03x+4y+5z = 0

2x+3y+4z = 0 2(-y-z)+3y+4z = 0 3x+4y+5z = 0 3(-y-z)+4y+5z = 0


-2y – 2z + 3y + 4z = 0 y + 2z = 0 y = -2z-3y – 3z + 4y + 5z = 0 y + 2z = 0

Logo, substituindo:

y + 2z = 0 -2z + 2z = 0 0z=0, logo z =

y =-2z y = -2

x = -y-z x = -2- = x = -3

portanto: S = {(-3, -2, ), R}

SEGMENTOS ORIENTADOS


Segmento Orientado (s.o) é determinado por um par de pontos ordenados, o primeiro chamado de origem e o segundo de extremidade. Assim AB designará um segmento orientado de origem A e de extremidade B, sendo geometricamente representado por uma flecha de A a B

A B

Observações:

i) Se A e B coincidem, então o segmento orientado obtido é chamado de segmento orientado nulo, representado por um ponto (um par) de pontos coincidentes.

AB

ii) O segmento orientado oposto de AB é o segmento orientado BA

A B

iii) Fixada uma unidade, podemos medir um segmento orientado AB, obtendo seu comprimento que será indicado como AB.

iv) Dois segmentos orientados AB e CD têm a mesma direção se as retas determinadas por esses pontos AB e CD são paralelas.

v) Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes, indicado AB ~CD, se têm o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.

AB

AB

BA

AB

BAA

D

C

B

BA

C D

Os s.o.AB e CD têm a mesma direção e o mesmo sentido

Os s.o.AB e CD têm a mesma direção e sentidos contrários


AB ~CD

VETORUm vetor determinado por um segmento orientado AB é um conjunto de infinitos segmentos orientados eqüipolentes a AB, ou seja, o conjunto dos infinitos segmentos orientados que têm o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB. Indicaremos por AB ou u (alguma letra para dissociar do segmento orientado AB).

Observações:

i) O comprimento de qualquer s.o. que compõe o vetor u é chamado de módulo do vetor e indicado por |u|. Um vetor cujo módulo é igual a 1 é chamado de vetor unitário.

ii) Um vetor nulo indicado por 0, é o vetor determinado pelo segmento orientado nulo. Obviamente o módulo do vetor nulo é zero: |0| = 0.

iii) Um vetor u determinado pelo segmento orientado AB, tem o oposto indicado por –u que é determinado pelo s.o. BA

iv) Dois vetores u e v são paralelos ou colineares indicado u // v, se têm a mesma direção (só direção, não estamos falando de módulo e nem de sentido).

ABA B

CDC D

u

-u


v) Três vetores u, v e w, são chamados coplanares se representantes desses vetores puderem ser colocados num mesmo plano.

OPERAÇÕES COM VETORES

i) Adição de VetoresA soma de dois vetores u e v, indicada u+v, representados por AB e BC respectivamente é o vetor AC.

Propriedades da adição de vetores:

u

vu v

u // v u // v

vu

w

uv

u + v

A

B

C


i) Associativa: u + (v + w) = (u+v)+w

Exemplos:

ii) Comutativa: A ordem das parcelas não altera a somau + v = v + u

iii) Existência do Fator nulo ( 0) ou elemento neutro 0 tal que u + 0 = u

iv) Vetor oposto ( -u) tal que u + (-u) = 0

OBSERVAÇÕES SOBRE A ADIÇÃO DE VETORES:

i) Se u e v são vetores representados por segmentos orientados AB e AC (origem comum), então poderemos utilizar a regra do paralelogramo:

Fecha-se o paralelogramo ABCD e o vetor soma u + v será a diagonal do paralelogramo cuja origem é a origem comum de u e v.

vu

w(u + v) + w

u + v

v

w

A B

C D

u + (v + w) BA

uu + w (CA)

u

vu + v

u

v + u

u

-u

Elemento Oposto

C D


ii) A diferença entre dois vetores u e v, indicada por u – v, é a soma de u com o oposto de v, ou seja, soma-se o primeiro com o oposto do segundo.u – v = u + (- v)

2. Multiplicação de escalar por vetorO produto de um escalar R por um vetor u, indicado . u, é um vetor com as seguintes características:- módulo: ||.|u|- direção: a mesma do vetor original (importante)- sentido: o mesmo de u se > 0 e contrária a u se < 0

Observações:i) Módulo será sempre um número positivoii) Multiplicando o vetor por qualquer valor 0, a direção nunca mudaiii) Quando se multiplica um vetor por um positivo, o sentido continua o mesmo,

mas quando se multiplica por um negativo, muda-se o sentido.

Propriedades da multiplicação de um escalar por um vetor:

u

v

A B

u + v

2.u

-2 u

1.uu

u

O mesmo vetor

3.u -2.u

1/2.u


i) Associativa: . (β . u) = ( . β ) . uNote que e β são números e u é um vetor

ii) Distributiva à esquerda: . (u + v) = . u + . v

iii) Distributiva à direita: ( + β).u = . u + β . u

iv) Existência do elemento neutro: i . u = u (multiplicação por elemento neutro).

Exemplo: Os vetores AB e AC determinam um retângulo. Se M e N, são respectivamente os pontos médios de CD e AB, respectivamente, responda:

a) AB + AC = AD

b) CA + BA =DB + BA = DA

c) CD – DB = AB – BD = AD

d) AN + BD = NB + BD = ND

A B

C M

N

A B

C M

N

D

A B

C M

N

D Sabemos que os vetores não tem posição fixa no espaço, logo, visualmente percebemos que DB = CA, portanto, pela regra da adição de vetores (origem com extremidade) fica conveniente usar DB em vez de CA.

A B

C M

N

D

-DB

Da mesma forma, visualmente percebemos que AB = CD, portanto, pela regra da adição de vetores (origem com extremidade) fica conveniente usar AB em vez de CD.

C M DDa mesma forma, visualmente percebemos que AN = NB, portanto, pela regra da adição de vetores (origem com extremidade) fica conveniente usar NB em vez de AN.


ou d) AN + BD =AN + NM = AM

e) MC + MB = MC + CN = MN

f) BM – 1/2 DC = BM + (–1/2 DC) = BM + MD = BD

ÂNGULOS DE VETORES

O ângulo de dois vetores OA e OB é o ângulo das semi-retas OA e OB, e o entre 0° e 180° 0° 180°

Observações:

i) Se = 180°, então a direção é a mesma e os sentidos são contrários.

A BN

A B

C M

N

DDa mesma forma, visualmente percebemos que BD = NM, portanto, pela regra da adição de vetores (origem com extremidade) fica conveniente usar NM em vez de BD.

A B

C M

N

Da mesma forma, visualmente percebemos que CN = MB, portanto, pela regra da adição de vetores (origem com extremidade) fica conveniente usar CN em vez de MB.

A B

C M

N

D

D

v

u

B

O

A


ii) Se = 0°, então u e v têm a mesma direção e o mesmo sentido.

iii) Se for 90°, então os vetores são ortogonais, ou seja, se = 90°, u e v são ortogonais, indicado por uv.

iv) Os ângulos de u e v e de u e –v são suplementares (Somam 180°)

Obs: Se os ângulos fossem replementares somariam 360°

VETORES NO R2

y

u180°v

u v

v. u

v-v

u


b (a,b)

a x

Sejam v1 e v2 vetores não nulos e não paralelos no plano. Dois vetores nessas condições formam o que chamamos de base. Isto significa que qualquer vetor v do R2

é Combinação Linear de v1 e v2, ou seja, existem escalares a1 e a2 tal que v seja o resultado da soma dessas multiplicações:

v = a1.v1 + a2.v2

Também dizemos que v1 e v2 geram o vetor v.

Nesta linha de pensamento: quaisquer 2 vetores formam uma base (não nulas e não paralelas).

v2

v1

Podemos pegar um vetor qualquer e forçar a partir do vetor v a entrar na regra do paralelogramo. Para somar v1 e v2 fechamos o paralelogramo. Multiplique por um escalar para conseguir fechar o vetor. No caso abaixo: v = a1.v1 + a2.v2

a2.v2

v2 v

v1 a1.v1

Outro exemplo:

a2.v2

v v2

a1.v1 v1

Neste caso, pegamos a extremidade de v e fechamos um paralelogramo nas direções de v1 e v2. Neste caso, v1 teve de ser multiplicado por um escalar negativo.

Vamos fazer a escolha da base mais conveniente (das infinitas que existem).

1ª Escolha:Qual seria o ângulo mais conveniente para se colocar entre os vetores?90 Vetores ortogonais


Exemplo:

v2

na mesma direção de v1

-a1.v1

o v1

v -a2.v2

na mesma direção de v2

v = a1.v1 + a2.v2

2ª Escolha:O módulo desses vetores que vão compor a base. Existem infinitas bases ortogonais.

O módulo que mais facilita é o módulo unitário (módulo 1) Vetores unitários.

Quando os vetores são ortogonais e unitários são chamados de ortonormais. Existem

infinitas bases ortonormais.

Portanto, qual o lugar que vamos fixar essas bases num sistema de coordenadas? Na origem.

3ª Escolha:Origem no ponto o (origem do sistema cartesiano), com sentidos coincidindo com os sentidos positivo do eixo ox e oy.

1 j i 1 Essa dupla de vetores geram todos os vetores do plano.

A base formada por esses dois vetores que são ortogonais, unitários e com origem no ponto o {i, j} é chamada de canônica.

Exemplo:Obtenha o vetor v = 3i + 2j


2j (3,2) v

J i 3i

é a extremidade do vetor cuja origem é sempre o ponto o.

Note que, (3, 2) é a extremidade do vetor v de origem o.Passaremos então a representa rum vetor por um par ordenado (x,y), convencionando-se que x e y são os coeficientes da combinação linear e que são as coordenadas da extremidade do vetor cuja origem é o ponto o.É a chamada expressão analítica do vetor. Que dizer que:

v = xi + yj = (x,y) extremidade do vetor.

OPERAÇÕES COM VETORES NO R2

ADIÇÃO DE VETORES:Se tivermos um vetor u = (x1,y1) e v = (x2,y2), então u + v = (x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2 , y1+y2) (pares ordenados)

MUTIPLICAÇÃO DE UM ESCALAR POR VETOR:Se |R e u = (x,y), então .u = .(x,y) = (x , y), ou seja, se temos um escalar alfa que pertence ao conjunto dos números Reais e um vetor u, cujas coordenadas são x e y, então alfa.u = alfa.(x,y) que pela propriedade distributiva = (.x, .y).

Exemplo a) Obtenha u + v se u = (1,3) e v = (5,2) y

u + v = (1,3) + (5,2) = (6,5) 5 u + v

3 u

v 1 5 6 x

Se v = (5,2), obtenha o vetor -2v.

y


2 v

-10 -5 -1 5 x-2v

-4

Obs: As propriedades da adição de vetores e da multiplicação de escalar por vetor continuam válidas para vetores do |R2. (Guardar as propriedades na memória pois são importantes).

ADIÇÃOi) Propriedade associativa u + (v + w) = (u + v) + w

ii) Propriedade Comutativa: A ordem dos vetores não altera a parcela: u + v = v + u

iii) Existência do fator nulo: 0 = (0,0), tal que u + 0 = u (elemento neutro)

iv) Vetor oposto: ou seja, se existe u, existe também –u, tal que u + (-u) = 0

MULTIPLICAÇÃO:i) Associativa: .( . u) = ( . ) . u

ii) Distributiva à esquerda: . (u + v) = .u + .v

iii) Distributiva à direita: ( . ) . u = .u + .u

iv) Existência do elemento neutro: 1u = u (elemento neutro)

Exemplo: Escreva o vetor w = (-3,4) como combinação linear (queremos obter escalares a e b) dos vetores u = (1,3) e v = (5,2), ilustrando o processo com detalhes.

Queremos obter escalares a e b tais, que:


w = a.u + b.v (-3,4) = a(1,3) + b(5,2) (-3,4) = (a, 3a) + (5b,2b) (-3,4) = (a+5b , 3a + 2b) a + 5b = -3 x(-3)

3a + 2b = 4

-3a – 15b = 93a + 2b = 4 -13b = 13 b = 13/-13 b = -1

substituindo em uma das equações, achamos o valor de a:a + 5b = -3

a – 5 = -3 a = -3 + 5 a = 2 w = 2u - v

y

6

w 4

2u2 v u

-5 -3 -v -1 1 2 5 x-2


VETORES DE R2 DEFINIDOS PELAS COORDENADAS DA ORIGEM E DA EXTREMIDADE.

Se o vetor tiver origem fora do ponto o.

Sejam A(x1, y1) e B (x2, y2) a origem e a extremidade do vetor AB: yy2 B

AO somando AO com AB = OBy1 A OB

y2-y1

o x x1 x2-x1 x2

vetor posição do vetor dado ABSe somarmos:

AO + AB = OB (Como queremos AB, vamos isolá-lo) AB = OB – AO AB = (x2,y2) – (x1,y1) AB = B – A, logoSempre que se quiser calcular um vetor AB é só fazer B – A

Exemplo a) Obtenha o vetor posição de AB se A = (1,4) e B = (6,6)

y 6 B

5 4 A

3 2 1

0 1 2 3 4 5 6 x

Vetor posição de AB

Logo, AB = B-A = (6,6) – (1,4) = (5,2)


b) Obtenha o vetor posição de MN se M = (1,2) e N = (-4,6)

yN 6

5 4 3 2 M 1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x

MN = N – M vetor posição de MN=(-4,6) – (1,2)= (-5,4)

OBSERVAÇÕES:i) Ponto Médio de um segmento.

y YB B

yM M yA A

xA xB x

logo, AM = MB M – A = B – M (Como queremos calcular as coordenadas de M vamos isolá-lo) M + M = A + B 2M = A + B M = A + B

2


ii) Condição de paralelismo de 2 vetores (IMPORTANTE):

Como sabemos se 2 vetores são paralelos? Dois vetores são paralelos quando possuem a mesma direção.

Se u = (x1, y1) e v = (x2, y2) são paralelos ou colineares (u // v) então um é múltiplo do outro. Conseguimos sair de um e ir para outro multiplicando por uma constante conveniente:

u = .v (x1, y1) = .(x2, y2) (x1, y1) = (x2, y2) x1 = x2

y1 = y2

x1 = y1 = x2 y2

logo, x1 = y1 x2 y2

Exemplo a) Os vetores u = (2, -1) e v = (-6,3) são paralelos?

y 6 De fato 5 2/-6 = -1/3 ou

v 4 3 2 = -1 = 2.3 = 6 2 -6 3 = -6.1 = 6 1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x -1 u


Exemplo b) Obtenha x de modo que u = (x,3) e v = (4,2) sejam paralelas.

Y de fato: 6 x/4 = 3/2 x= 4.3 x=6 5 2 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6 x

iii) MóduloO módulo de um vetor u de coordenadas (x, y) é:

|u| = x2 + y2

Y y

0 x x

PitágorasEntenda que: As coordenadas de um vetor representam sua extremidade, pois seu ponto de origem é o ponto O.

Exemplo a: Calcule o módulo do vetor: u = (-5, 12)

|u| = (-5)2 + 122 25 + 144 169 13


Logo, o comprimento do vetor é 13

Y 12 10 8 6 4 2

-5 x

Idem para u = (-3, 1)|u| = (-3)2 + 12 9 + 1 10

Y 1

-3 x

c) Obtenha o vetor u de coordenadas iguais tal que:|u| = 4

Graficamente: y

y = x função afim bissetriz dos quadrantes ímpares x


|u| = 4 x2+y2 = 4 x2 + x2 = 4 2 x2 = 4 y = x y = x como y = x, substitui-se y por x

2x2 = 16 x2 = 8 x = 8

u = (-8, -8) ou (8, 8) Sabemos que 8 = 4.2 22

d) Obtenha o módulo de um vetor AB se A(4,3) e B(5,1)1º passo: Achar o vetor posição, logo,

AB = B –A (5,1) – (4,3) = (1, -2), logo,

|AB|= 12 + (-2)2 1 + 4 5

Y 6 5 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6 x -2 Vetor posição

o módulo 5 = 2,2360679

iv) Versor Todo vetor não nulo tem um versor associado à ele.

Seja u um vetor não nulo. O versor de u é um vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo sentido de u. Obviamente todo vetor não nulo tem versor.

y 1

1 x Versor de u

Para tirar da raíz, eleva tudo ao quadrado


O versor de u é obtido por:

1 . u repare que módulo de u aqui está representando um número e não um vetor.

|u|

Exemplo a) ache o versor do vetor:

u = (3,4)

Y 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6 x -2

1º Passo: Calcular o módulo de u:|u| = 32 + 42 9 + 16 25 5, logo,

1 . u 1 . (3, 4) 3 , 4 |u| 5 5 5 ,

Verificação:3 , 4 = o módulo tem de ser 1, logo5 5

3 2 4 2 9 + 16 = 25 = 1 = 15 + 5 = 25 25 25

b) obtenha um vetor que tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor v = (3, 1) e módulo 4.


Graficamente:

Y 4 3 2 u 1

0 1 2 3 4 5 6 x -2

1º passo: achar o módulo de v:|v| = 32 + 12 9+1 10 fica difícil multiplicar o módulo 4 por algo por se tratar de um número irracional.

2º passo: vamos calcular então o versor de |v|, que por ser unitário é mais fácil de se calcular, logo, Versor de |v| = 1 . u 1 . (3, 1) 3 , 1 |u| 10 10 10

Temos então que o versor procurado é 4. 3 , 1 12 , 4 10 10 10 10

1. Entenda que a questão quer que se ache um vetor que tem a mesma direção e o mesmo sentido de v que tem módulo igual a 10. O problema ainda informa-lhe que o vetor procurado tem módulo 4, ou seja, o módulo de v.4.2. Uma vez achado o módulo de v que é um número irracional ( o que poderia não ser e o problema estaria completo com a multiplicação deste por 4, busca-se outro caminho para achar o vetor procurado.3. A opção então é procurar o versor de v, que é um vetor unitário com a mesma direção e o mesmo sentido de v, portanto submúltiplo do vetor procurado.4. Uma vez achado o versor de v, vamos multiplicá-lo então por 4 para achar o vetor procurado.

Observações importantes:


v) Força Resultante:

Sejam F1 e F2 duas forças de 5 kgf e 3kgf respectivamente atuando em um ponto de uma barra, obtenha e força resultante R: (R = F1 + F2).

Vejamos graficamente. Se nos é dado que o ângulo de inclinação das forças resultantes F1 e F2 são de 30 e 45 respectivamente conforme nos mostra o gráfico:

y RF2y F1y

F2x F1x x

Se acharmos as extremidades (coordenadas) temos como somar os vetores.Para encontrarmos as extremidades, vamos usar Pitágoras. Temos no gráfico 2 triângulos retângulos, onde sabemos que:

Vemos que F1x é o cateto adjacente de F1.

Sabemos também que :Sen = b b = a . sen (b = hipotenusa . seno do ângulo)

a

Cos = c c = a . cos (c = hipotenusa . coseno do ângulo) a

Pela tabela pré-definida temos que:

30 45 60Sen ½ 2/2 3/2Cos 3/2 2/2 ½

Pela definição temos: Para F1

F2

F1Cuidado com o sinal. O componente em x aqui é

hipotenusa

Cateto Oposto é o cateto que o “ângulo olha”

Cateto adjacenteÉ o que ajuda a formar o ângulo

c

b

a

F1 = 5.3 , 52 2

Θ


F1x c = a . cos c=5.cos 30 c = 5 . 3(cateto adjacente) 2

F1y b = a . sen b=5.sen 30 b = 5 . ½(cateto oposto)

Para F2:

F2x c = a . cos -3.cos 45 -3 . 2 2

F2y b = a . sen 3.sen 45 3. 2 2

Logo,

R = F1 + F2 = 53 , 5 + -32 , 32 5.3 - 32 , 5+32 2 2 2 2 2 2

Se fosse nos pedido a intensidade desta força = módulo da resultante (olhe o desenho)

|R| = (2,208)2 + (4,621)2 = 5,1214

Se fosse nos pedido a direção da força Θ

tg Θ = 4,621 Θ = 64,4606 (na calculadora: Θ= tan-1)2,208

VETORES NO R3

F2 = -32 , 32 2 2

(2,208 , 4,621)

cotas z


Partindo do ponto:i) vai até o “chão”, do chão até o eixo xii) vai até o “chão”, do chão vai até o eixo yiii) do ponto à cota.

Observações:i) Três vetores, v1, v2 e v3, não coplanares formam uma base, ou seja, qualquer vetor v do R3 se escreve com combinação linear dos vetores desta base.

v = a1 . v1 + a2 . v2 + a3 . v3

ii) das infinitas bases, a mais conveniente é a base canônica {i, j, k}, formado por vetores unitários dois a dois ortogonais com origem no ponto O.

z

k

j y x

iii) em relação à essa base canônica, um vetor terá expressão analítica v = (x, y, z), na qual (x, y, z) são as coordenadas da extremidade do vetor v cuja origem é o ponto O.

A

B

0

D

C

1 y ordenadas

3

x abscissas

Pontos:

A (1, 2, 3)

B (0, 2, 3)

C (0, 0, 3)

D (1, 0, 3)

v3

v2 v1

i


iv) A adição de vetores e a multiplicação de uma escalar por um vetor no R3, é definida de maneira similar do R2.Ex. a) Obtenha: u + v se:u = (1, 3, 4) e v = (2, 1, 3)

u + v = (3, 4, 7)

Faltou o desenho na aula (sujeito à verificação)

v) A condição de paralelismo de 2 vetores do R3 é semelhante à vista no R2:

u //v x1 = y1 = z1

x2 = y2 = z2

v) o módulo dos vetores no R3 u = (x, y, z) é dado por:

|u| = x2 + y2 + z2

z u

yx

vii) O versor de um vetor u é dado por:

1 .|u|

PRODUTO ESCALAR

A

B

0

D

C

2 y ordenadas

4

x abscissas

31

3

hip= x2+y2+z2

hip= x2+y2

y

u


Num produto escalar entre dois vetores, o resultado será um número no R2. O produto escalar de 2 vetores u = (x1,y1) e v = (x2,y2), indicado u . v ou <u . v> é um escalar obtido por:

u . v = x1.x2 + y1.y2

No R3, o produto escalar de 2 vetores u e v de coordenadas u = (x1,y1,z1) e v = (x2,y2,z2) é definido de maneira semelhante:

u . v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2

Exemplos:a) Obtenha o produto escalar de u . v, se u = (2,3) e v = (5,2):seja u . v = 2.5 + 3.2 = 10 + 6 u . v = 16

b) Idem para u = (1,-8) e v = (2,4)seja u . v = 1.2 + (-8).4 2 – 32 u . v = -30

c) Idem para u = (1,6) e v = (-12,2)seja u . v = 1.(-12)+6.2 -12 + 12 u . v = 0

d) Obtenha o produto escalar de u e v se u = (1,3,-2) e v = (3, -4, 1)seja u . v = 1.3 + 3.(-4) + (-2).1 = 3 – 12 – 2 u . v = -11

e) idem para u = (2,4,0) e v = (0,0,5)seja u . v = 2.0 + 4.0 + 0.5 u . v = 0

x

y

.

Sempre que o produto escalar de 2 vetores for igual a 0, serão 2 vetores ortogonais (ângulo de 90°)


PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR

i) Comutativa: O produto escalar de u . v = v . u

ii) Propriedade Distributiva à esquerda: u . (v + w) = u . v + u . w

iii) Propriedade Distributiva à direita: (u + v) . w = u . w + v . w

iv) Propriedade Associativa: . (u . v) = ( . u) . v

Exemplo prático:Seja: = 2

u = (2,3)v = (4,5)

. (u . v) = 2.(2.4 + 3.5) 2.(8+15) 2.(23) = 46( . u) . v = [2.(2,3)].(4,5) (4,6).(4,5) 4.4 + 6.5 16 + 30 = 46

x y

z

v

u2

4

5

Vetores ortogonais: ângulo de 90°

Vetor . vetor = número

Número . número Número . vetor


v) O produto escalar de um vetor por ele mesmo é sempre 0, e só é 0 quando o vetor for nulo:u . u 0 e u . u = 0 u = 0

u = (x, y) u . u = x2+y2 0

vi) Se calcularmos a raiz quadrada do produto escalar de um vetor por ele mesmo, o resultado é o módulo do vetor:

√ u . u = |u|

vii) O cosseno do ângulo de 2 vetores é produto escalar desses 2 vetores, dividido pelo módulo desses 2 vetores:

u . v |u|.|v|

Exemplo a) Determine o ângulo dos vetores u = (4,2) e v = (1,6)Seja cos = u . v onde u . v = 4.1 + 2.6 u.v = 16

|u|.|v||u| = √42 + 22 √ 16 + 4 |u| = √20|v| = √12 + 62 √1 + 36 |v| = √37Logo: cos = u . v 16 16

|u|.|v| √20.√37 √740 2√185

8 = 53,97° √185

b) u = (1,1,4) e v = (-1,2,2)Seja cos = u . v onde u . v = 1.(-1)+1.2+4.2 u.v = 9

|u|.|v||u| = √12 + 12 +42 √ 1+1+16 |u| = √18|v| = √(-1)2 22+ 22 √1 + 4 + 4 |v| = √9 = |v| = 3Logo: cos = u . v 9 3 = 45° ou /4

|u|.|v| √18.3 √18

Cos = 0° 180°

v

u

x

y

u

v

= 53,97°


viii) Se u e v são ortogonais (u v), então = 90°, logo, cos 90° = 0, e portanto essa é a conclusão, se u . v = 0, os vetores são ortogonais. Essa é a condição de ortogonalidade de dois vetores.

Exemplo: determine x de modo que os vetores u = (-2,3 ) e v = (x, -4) sejam:a) ParalelosPela condição de paralelismo temos que x1/x2 = y1/y2, logo, seja:-2/x = 3/-4 3x = -2.-4 3x = 8 x = 8/3, logo para que u e v sejam paralelos, temos u = (-2,3) e v = (8/3,-4)Graficamente:

b) ortogonais.Pela condição de ortogonalidade u v = u.v = 0, logo, seja:-2.x + 3.(-4) = 0 -2x – 12 = 0 - 2x = 12 x = 12/-2 x = -6Portanto, u v = u = (-

x

y

v

u // v

u

x

y

uv


ix) Projeção ortogonal de um vetor na direção de outro.Sejam u e v vetores não nulos e o ângulo entre eles, vamos decompor o vetor v como v = v1 + v2, em que v1 é um vetor paralelo à u : (v1//u) e v2 é um vetor ortogonal à u: (v2u).

O vetor v1 é chamado projeção ortogonal do vetor v na direção do vetor u e é simbolizado por:

v1 = proj v u

u

v

.

vv2

.

u

v

v1v1 u

u = v1 + v2

v2

.

u = v2 u

Projeção ortogonal lembra “sombra”


O vetor v1 terá sempre a mesma direção do vetor u (v1 // u), portanto um é múltiplo do outro.

Como o vetor v1 é paralelo ao vetor u podemos escrevê-lo como múltiplo de u:

v1 // u v1 = k.u

Porém, o vetor v2 tem que ser ortogonal ao vetor u:

v2u v2 . u = 0

Sabemos também que:

v = v1 + v2 v2 = v – v1

Portanto, temos 3 equaçõesv1 // u v1 = k.uv2u v2.u = 0v = v1 + v2 v2 = v – v1

logo (v – k.u).u = 0 v . u – k . u . u = 0

-k . u . u = -v . u x(-1) k . u = u . v k = u . v u . u de modo que:

v1 = proj v = u . v . u u u . u

Exemplos:a) Determine a projeção ortogonal do vetor v = (2,4) na direção do vetor u = (4,3).Seja proj v = v . u . u

u u . utemos que: v . u = 2.4 + 4.3 = 8 + 12 v . u = 20u . u = 4.4 + 3.3 = 16 + 9 u . u = 25

vv2

.

u

v

v1v1 u

v2

.

v2 = v – k.u

escalar


Seja proj v = v . u . u 20 . (4,3) 80, 60 16, 12u u . u 25 25 25 5 5

Graficamente:

b) dados os vetores v = (1, 3, -5) e u = (4, -2, 8), determine v 1 e v2 de modo que v1 // u, v2 u e v = v1 + v2

Seja v1 o vetor projeção ortogonal de v sobre u, temos que:v1 = proj v = v . u . u

u u . utemos que: v . u = 1.4 + 3.(-2)+ (-5).8 = 4 - 6 - 40 v . u = -42u . u = 4.4 + (-2).(-2) + 8.8 = 16 + 4 + 64 u . u = 84

x

y


Seja proj v = v . u . u -42 . (4,-2, 8) -1 . (4,-2, 8) u u . u 84 2

-4 , 2,-8 v1 = (-2, 1, -4) 2 2 2

Seja v = v1 + v2 v1 + v2 = v v2 = v – v1 logo:v2 = (1, 3, -5) – (-2, 1,-4) v2 = (3, 2, -1)

Portanto, seja v1 // u x1/x2 = y1/y2 = z1/z2

4/-2 = -2/1 = 8/-4 -2 = -2 = -2

Seja v2 u v2 . u = 0(3, 2, -1) . (4, -2, 8) = 3.4 + 2.(-2) + (-1).8 12 – 4 -8 = 0

PRODUTO VETORIALO produto vetorial existe somente no R3.O produto vetorial de 2 vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), nessa ordem e em relação à base canônica {i, j, k}, indicado u ^ v ou u x v é um vetor definido por:

i j Kx1 y1 z1

x2 y2 z2

Exemplo:a) Obtenha u ^ v se u = (2, 1, 3) e v = (-1, -4, 1)

i j K i j2 1 3 2 1-1 -4 1 -1 -4

1i - 3j – 8k + k + 12i – 2j 13i – 5j -7k u ^ v = (13, -5, -7)

u ^ v = determinante

Não vale a propriedade comutativa: a ordem não pode ser mudada

u ^ v =


b) Faça o produto vetorial de u = (5, 4, -6) e v = (-1, -3, 0)

i j K i j5 4 -6 5 4-1 -3 0 -1 -3

0i + 6j – 15k + 4k – 18i + 0j -18i + 6j -11k u ^ v = (-18, 6, -11)

c) Faça o produto vetorial de u = (1, 3, -1) e v = (2, 4, -5)

i j K i j1 3 -1 1 32 4 -5 2 4

-15i – 2j +4k – 6k + 4i + 5j -11i + 3j -2k u ^ v = (-11, 3, -2)

CARACTERÍSTICAS DO PRODUTO VETORIAL

Direção: o vetor produto vetorial de u ^ v é simultaneamente ortogonal aos vetores u e v. Basta verificar que o produto escalar desses vetores é igual à 0:

u . (u ^ v) = 0 e v . (u ^ v) = 0

Exemplo prático: Utilizando o exemplo c anterior, onde u = (1, 3, -1), v = (2, 4, -5) e o vetor produto vetorial u ^ v = (-11, 3, -2), verifique a ortogonalidade do vetor u ^ v, com os vetores u e v.Seja pela condição de ortogonalidade u . (u ^ v) = 0, temos que:(1, 3, -1) . (-11, 3, -2) = 1.(-11)+3.3 + (-1).(-2) -11 + 9 + 2 = 0

Do mesmo modo: v . (u ^ v) = 0, temos:

u ^ v =

u ^ v =

v

u ^ vEsquema

u

.


(2, 4, -5) . (-11, 3, -2) = 2.(-11) + 4.3 + (-5.(-2) -22 + 12 + 10 = 0

Sentido: O vetor é ortogonal, porém o que define o sentido (para cima, ou para baixo) é a regra da mão esquerda. Se posicionarmos os dedos médio e indicador da mão esquerda no sentido dos vetores u e v, respectivamente, o polegar indicará o sentido do vetor produto vetorial u ^ v (mão aberta de frente para o rosto).

Módulo: O módulo do vetor u ^ v é dado por |u ^ v| = √x2+y2+z2

Exemplo: Obtenha | u ^ v |, se u = (3, 2,1) e v = (2, 4, 2):

i j K i j3 2 1 3 22 4 2 2 4

4i + 2j + 12k – 4k – 4i – 6j 0i - 4j + 8k u ^ v = (0,-4,8)

Logo: |u ^ v| = √02+(-4)2+82 √ 16 + 64 √80 4√5

Seno de : Da mesma forma que podemos achar o cosseno do ângulo pelo produto escalar: cos = u . v , da mesma forma podemos definir o ângulo pelo produto vetorial. |u|.|v| O Sen é definido pelo módulo do produto vetorial dividido pelo módulo dos vetores: Sen = |u ^ v|, ou seja, |u ^ v| = |u|.|v|.sen .

|u|.|v|Portanto, podemos obter o ângulo de dois vetores (no R3, uma vez que o produto vetorial só existe nele) de duas formas: produto escalar e produto vetorial.

Exemplo: Obtenha o ângulo dos vetores do exercício a anterior, onde u = (3,2,1) e v = (2,4,2) e o vetor produto vetorial encontrado u ^ v = (0,-4,8), de 2 formas: Utilizando o produto escalar e o produto vetorial.Pelo produto escalar temos que cos = u . v

|u|.|v|Logo, seja u.v = (3, 2, 1).(2, 4, 2) = 3.2 + 2.4+1.2 6 + 8 + 2 = 16|u| = √32+22+12 = √9+4+1 |u| = √14|v| = √22+42+22 = √4 + 16 + 4 |v| = √24 |v| = 2√6

u ^ v =


portanto:cos = u . v cos = 16 = 29,20° |u|.|v| √14 . 2√6

Pelo produto vetorial, temos que sen = |u ^ v| |u|.|v|

Logo, seja |u ^ v| = 4√5 (já resolvido no exercício a anterior), temos:sen = |u ^ v| sen = 4√5 = 29,20° |u|.|v| √14 . 2√6

Na calculadora:Se temos o ângulo e queremos o cosseno: cosSe temos o cosseno e queremos o ângulo: cos-1

Se temos o ângulo e queremos o seno: sinSe temos o seno e queremos o ângulo: sin-1

RELAÇÃO ENTRE O MÓDULO E A ÁREA DE POLÍGONOS:

Seja |u ^ v| = |u|.|v|.sen :O módulo do vetor produto vetorial u ^ v é numericamente igual à área do paralelogramo construído sobre 2 vetores.

Graficamente, podemos visualizar pelo paralelogramo construído sobre os vetores u e v,:

Considere o paralelogramo construído sobre os vetores u e v:

v

u

b

h

Se é o ângulo de 2 vetores:

sen = h h = |v|.sen |v|


A área desse paralelogramo é:A = b.h onde b (base) é o módulo de u

Portanto, reiterando:

Seja |u ^ v| = |u|.|v|.sen :O módulo do vetor produto vetorial u ^ v é numericamente igual à área do paralelogramo construído sobre 2 vetores.

Exemplo a) Determine a área do paralelogramo definido pelos vetores u = (3, -4, 1) e v=(1, -2, 3)Seja a área do paralelogramo: A = b.h, onde a base é o módulo do vetor u

b) Determine a área do triângulo de vértices A(4, 9, 1), B(-2, 6, 3) e C(6, 3 ,-2)

x y

z

u

vh

b

Esquema:Seja u ^ v:

i j k i j3 -4 1 3 41 -2 3 1 -2

-12i +j – 6k + 4k -2i -9j

-10i -8j -2k u ^ v = (-10,-8,-2)Logo |u ^ v|:

√(-102)+(-82)+ (-22) = √ 100+64+4 =

√ 168 |u ^ v|: 2√42

Portanto, a área do paralelogramo

é 2√42

x y

z

Esquema:

Seja o vetor u representado pelo segmento orientado AB, onde:

AB = B – A (-2,6,3) – (4,9,1) = AB=(-6,-3,2)

Seja o vetor v representado pelo segmento


Logo, seja portanto u=(-6,-3,2) e v= (2, -6, -3), logo temos que o vetor produto vetorial:

i j k i J-6 3 -2 -6 32 -6 -3 2 -6

-9i – 4j + 36k – 6k -12i -18j -21i -22j+30k u ^ v = (-21, 22, 30)

Logo, seja o módulo do vetor produto vetorial |u ^ v| é numericamente igual à área do paralelogramo, temos que 1/2|u ^ v| será a área do triângulo:

A = b.h 2Portanto, o módulo do vetor produto vetorial:|u ^ v| = √(-21)2 + (22)2 +302 √441+484+900 √1825 |u ^ v| = 5√73 Portanto, a área do triângulo é 5√73

2

RETAS NO R3

Uma reta no R3 fica perfeitamente determinada conhecendo-se um ponto e algo que lhe dê a direção (como no caso visto no ensino médio com as retas no R2), no caso a direção da reta será dada por um vetor diretor.

uB

Seja o vetor u representado pelo segmento orientado AB, onde:

AB = B – A (-2,6,3) – (4,9,1) = AB=(-6,-3,2)

Seja o vetor v representado pelo segmento

u ^ v =


Seja r uma reta que passa por um ponto conhecido, chamado A(x0, y0, z0) cuja direção é definida por um vetor diretor v = (a, b, c)

Exemplos:a) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto A(3, -1, 4) e tem a direção do vetor v = (2,1,5)r: P = A + t. v r: (x,y,z) = (3,-1,4) + t(2,1,5), t R

b) Cite 2 pontos da reta do item a:Consideramos 2 valores quaisquer para t:Se t = 1 x = 3 + 1.2 x = 3 + 2 x = 5

y = -1 + 1.1 y = -1+1 y = 0 z = 4 + 1.5 z = 4 + 5 z = 9

Logo, temos P(5,0,9) r

Se t = 2 x = 3 + 2.2 x = 3 + 4 x = 7 y = -1 + 2.1 y = -1+2 y = 1 z = 4 + 2.5 z = 4 +10 z = 14

Logo, temos P(7,1,14) r

c) Que ponto da reta r do item a tem abscissa 9?Seja os dados do item a:A(3, -1, 4) e v = (2, 1, 5), cuja equação vetorial da reta r: (x,y,z) = (3,-1,4)+t(2,1,5), tR, temos que, se o ponto tem abscissa 9, então x = 9, logo, pela equação vetorial:r: (x,y,z) = (3,-1,4)+t(2,1,5) (9,y,z) = (3,-1,4)+t(2,1,5)

(9,y,z) = (3+2t, -1+t, 4+5t) 9 = 3 + 2t 3+2t = 9 2t = 9-3 2t = 6 t = 6/2 t = 3 logo: y = -1+t y = -1 + 3 y = 2

x y

z

v

Esquema:

A P

Um ponto P(x, y, z) da reta r é tal que o vetor AP é paralelo ao vetor v.

AP // v, logo AP é múltiplo de v

AP = t . v, onde t R

P – A = t . v

P = A + t . v, onde t R

Equação vetorial da reta


z = 4 + 5t z = 4 + 5.3 z = 4 + 15 z = 19

Logo, o ponto procurado é P(9,2,19) r

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA

As equações paramétricas de uma reta r são obtidas à partir da equação vetorial pelo desenvolvimento natural da equação, chegando-se às equações

x = x0 + atr: y = y0 + bt, t R

z = z0 + ct

Exemplos:a) Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(1,3,-2) e tem a direção do vetor v = (2, 4, 1).

x = 1 + 2tr: y = 3 + 4t, t R Equações paramétricas da reta

z = -2 + t

Equação vetorial da reta:

r: P = A + t.v, t Rr: (x,y,z) = (1,3,-2) + t(2,4,1), t R r: (x,y,z) = (1+2t, 3+4t, -2+t)

b) Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(3,4,0) e tem a direção do vetor v = (-1,0,2)

x = 3 - tr : y = 4, t R

z = 2t


c) Que ponto da reta r do item b tem cota -8?

Seja z = -8, pelas equações paramétricas achadas:

x = 3 - tr : y = 4, t R

z = 2t -8 = 2t 2t = -8 t = -8/2 t = -4, logo:

x = 3 – t x = 3 – (-4) x = 3+4 x = 7y = 4

portanto o ponto procurado: P(7,4,-8) r

d) Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(1,3,-5) e pelo ponto B(-1,4,1).Para determinar uma reta precisamos de um ponto e de um vetor diretor. Na verdade temos dois pontos da reta, mas não temos um vetor diretor definido, logo, vamos utilizar o segmento orientado formado pelos pontos A e B, para determinarmos um vetor diretor, logo, seja v = AB = B-A, temos que v = (-2,1,6), logo:

x = 1 -2 tr : y = 3 + t, t R

z = -5 + 6t

EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA

Para obtermos as chamadas equações simétricas da reta, eliminamos das equações, o parâmetro t, da seguinte forma: (isola-se o t)

x = x0 + at t = x – x0 a

y = y0 + bt t = y – y0 b

z = z0 + ct t = z – z0


c

Como t é um único elemento nas 3 equações:

x – x0 = y – y0 = z – z0 a b c

Exemplos:a) Escrevas as equações vetorial, paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, -2, 4) e tem a direção dada pelo vetor v = (2, 1, -3)

Equação vetorial:r: P = A + t.v, t R r: (x,y,z) = (3,-2,4) + t(2,1,-3), tR

Equações Paramétricas:x = 3 + 2t

r: y = -2 + t, t Rz = 4 – 3t

Equações Simétricas:x – 3 = y + 2 = z-4 2 -3

b) Escreva as equações simétricas da reta que passa pelos pontos A(0,3,-1) e B(4,1,2).

Seja AB = B – A AB = (4,1,2)-(0,3,-1) AB = (4,-2,3)Logo, as equações simétricas:x – 4 = y – 1 = z – 2 4 -2 3

Coordenadas do vetor

Coordenadas do vetor


c) Que ponto da reta do item a tem cota -5

Seja a equação simétrica do item a:x – 3 = y + 2 = z-4 se z = -5 temos: 2 -3

x−32

= y + 2 = −5−4−3 x−3

2 = y + 2 =

−9−3 x−3

2 = y + 2 = 3 logo:

Se y + 2 = 3 y = 3 – 2 y = 1

Se x−32

= 3 x – 3 = 2.3 x – 3 = 6 x = 6 + 3 x = 9

Logo, o ponto procurado é P(9,1,-5)

PLANOS COORDENADOS:

Os planos coordenados são os planos que contém os eixos coordenados:Os planos coordenados são 3 e estão intimamente ligados com os eixos coordenados:x: abscissasy: ordenadas

x y

z

A

B

Esquema:

AB


z: cotas

Casos Especiais:

i) Uma das coordenadas do vetor direto é nula. A conseqüência geométrica é que a reta nestas condições será paralela à um dos planos coordenados

Exemplo:Sejam A(1,5,2) e v = (2, 3,0 ) um ponto e um vetor respectivamente de uma reta r:

x y

z

Plano coordenado x0z ou y = 0

Plano coordenado y0z ou x = 0

Plano coordenado x0y ou z = 0

x y

z

Esquema:


O plano está paralelo ao eixo x0y, logo:Na equação vetorial:r: P = A + t.v , t R r: (x, y, z) = (1, 5, 2) + t(2,3,0)

r: (x, y, z) = (1+2t. 5 + 3t, 2), t RPortanto a equação vetorial não se afeta quando uma das coordenadas do vetor é igual à 0.

Nas equações paramétricas:x = 1 + 2t

r: y = 5 + 3t, t Rz = 2

Portanto, as equações paramétricas não se afetam quando uma das coordenadas do vetor é igual à 0

As equações simétricas, porém são afetadas quando uma das coordenadas do vetor é igual à 0

Nas equações simétricas:

r : x−12

= y−53

= z−20

, logo:

z=2

ii) Duas coordenadas do vetor diretor são nulas. Neste caso a reta será paralela a um dos eixos coordenados

2 1

r

35

2

v

A


Exemplo: Sejam A(1,5,2) e v = (0,0,3), um ponto e um vetor respectivamente de uma reta r:

A reta está paralela ao eixo z, logo:Na equação vetorial:r: P = A + t.v , t R r: (x, y, z) = (1, 5, 2) + t(0,0,3)

r: (x, y, z) = (1, 5, 2+3t), t RPortanto a equação vetorial não se afeta quando duas das coordenadas do vetor são iguais à 0.

Nas equações paramétricas:x = 1

r: y = 5 z = 2 + 3t, t R

Portanto, as equações paramétricas não se afetam quando duas das coordenadas do vetor são iguais à 0

As equações simétricas, porém são afetadas quando duas das coordenadas do vetor são iguais à 0

Nas equações simétricas:

r : x = 1 y = 5

Observações:Algumas aplicações de vetores de estendem às retas por meio de seus vetores diretores:

x y

z

3

vr

A

Em qualquer ponto desta reta x sempre será 1 e y sempre será 5.


i) Ângulo de retas:Se é o ângulo das retas r1 e r2 com respectivos vetores diretores v1 e v2, então será também o ângulo desses vetores, ou seja:

Cos = v 1 . v 2

|v1|.∨v 2∨¿¿

Esquema

Exemplo:a) Determine o ângulo entre as retas:

x = 3 + t

r: y = t s: x+2−2 y – 3 = z

z = -1-2t

Sejam os vetores diretores de r e s respectivamente u = (1, 1,-2) e v = (-2,1,1), temos:

Cos = u . v

|u|.∨v∨¿¿ onde:

u.v = (1,1,-2).(-2,1,1) = 1.(-2)+1.1+(-2).1 -2+1-2 u . v = -3

|u| =√12+¿12+¿−22

¿¿ √1+¿1+¿4¿¿ √6|v| = √−22+¿ 12 +¿1

2

¿¿ √4+1+1 √6

cos = −3√6.√ 6

cos = −36

−12

= 120°

b) Determine o ângulo das retas AB e CD se A(2,1,0), B(2,-1,2), C(3,4,-2) e D(5,4,0):Sejamos vetores diretores:

x y

z

v2

r1

r2

v1


AB = B – A = (2,-1,2) - (2,1,0) = AB = (0,-2,2)CD = D – C = (5,4,0) – (3,4,-2) = CD = (2,0,2)

Logo, seja: cosθ=AB.CD

|AB|.∨CD∨¿¿

AB . CD = (0,-2,2) . (2,0,2) 0.2+(-2).0 + 2.2 4|AB| = √02+¿−22+¿2

2

¿¿ √4+4 |AB| = √8

|CD| = √22+¿ 02+¿ 22

¿¿ √4+4 |CD| = √8

Logo: cosθ=4

√8.√ 8∨¿¿

48

cos = 12

= 60°

ii) Retas Paralelas

Esquema

Duas retas r1 e r2 são paralelas se, e só se, seus respectivos vetores diretores v1=(a1,b1,c1) e v2=(a2,b2,c2) são paralelos, ou seja:

r1 // r2 v1 // v2 a1a2

= b1b2

= c1c2

Exemplo a) Verifique que as retas AB e CD são paralelas se A(-3,4,2), B(5,-2,4), C(-1,2,-3) e D(-5,5,-4).

x y

z

v1

r1

r2

v2


Sejam os vetores diretores das retas:AB = B – A = (5,-2,4) – (-3,4,2) AB = (8,-6,2)CD = D – C = (-5,5,-4) – (-1,2,3) CD = (-4,3,-1)

Logo, pela condição de paralelismo:a1a2

= b1b2

= c1c2

temos:

8−4 =

−63

= 2−1 -2 = -2 = -2 são paralelas as retas AB e CD:

AB // CD AB // CD

b) Escreva a equação da reta r que passa pelo ponto A(-3,1,4) e que é paralela à reta

s: x+14

= y2

= z-5

Se r é paralela à s, o vetor diretor de r é múltiplo do vetor diretor de s, e também dá direção à r, logo seja o vetor diretor da reta s: v = (4,2,1), temos:

Equação vetorial de r:

r: P = A + t.v r: (x, y, z) = (-3,1,4) + t(4,2,1), t Rr: (x, y, z) = (-3+4t, 1+2t, 4+t, t R

Equações Paramétricas de r:

x = -3 + 4tr: y = 1 + 2t , t R

z = 4 + t

Equações simétricas de r:

r: x+34

= y−12

= z-4


iii) Retas OrtogonaisDuas retas r1 e r2 com respectivos vetores diretores v1 e v2, são ortogonais se, e só se, os vetores v1 e v2 são ortogonais, ou seja:

r1 r2 v1 v2 v1 . v2 = 0

Esquema

Exemplos: a) Verifique que as retas:

x = 3 + 8t

r: y = 3 s: x3

= y+15

= z−34

z = -1 - 6t

sejam ortogonais.

Pela condição de ortogonalidade para que duas retas sejam ortogonais, obrigatoriamente os seus vetores diretores serão ortogonais, logo sejam os vetores diretores de r e s respectivamente v1 = (8,0,-6) e v2 = (3,5,4), temos que v1 v2 v1.v2 = 0, logo:

(8,0,-6) . (3,5,4) = 8.3+0.5+(-6).4 24 – 24 = 0

os vetores v1 e v2 são ortogonais e conseqüentemente as retas r e s também o são.

v1 v2 r s

x y

z

v2

r1

r2

v1

.

.


b) Calcule “m” para que as retas:x = -1 + 2t

r: x = y+3m =

z−2 s: y = 3 – t

z = 5t

sejam ortogonais.

Pela condição de ortogonalidade de duas retas, obrigatoriamente os seus vetores diretores têm de ser ortogonais. Sejam os vetores diretores de r e s respectivamente u=(1,m,-2) e v=(2,-1,5), temos que u v u . v = 0, portanto, seja:u . v = (1,m,-2) . (2,-1,5) = 0 1.2+(-m) + (-2).5 = 0 2 – m – 10 = 0 -m-8 = 0 -m = 8 x(-1) m = -8

iv) Reta ortogonal à duas retas dadas.Sejam r1 e r2 retas com vetores diretores v1 e v2, respectivamente. Uma reta r que é simultaneamente ortogonal às retas r1 e r2 terá um vetor também simultaneamente ortogonal aos vetores v1 e v2. Sabemos que um vetor simultaneamente ortogonal à outros dois vetores é o vetor produto vetorial neste caso, v1 ^ v2.

Esquema

x y

z

v2

r1

r2

v1.v1 ^ v2


Exemplo: Escreva as equações simétricas da reta “s” que passa pelo ponto A(3,4,-1) e é ortogonal às retas:

r1: (x, y, z) = (0,0,1) + t(2,3,-4), t R

x = 5r2: y = t, t R

z = 1 – t

Seja a reta “s” simultaneamente ortogonal às retas r1 e r2, o vetor diretor de s será um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores diretores de r1 e r2. Logo temos que o vetor diretor de s é o vetor produto vetorial v1 ^ v2

respectivamente vetores diretores de r1 e r2, logo, sejam v1 = (2,3,-4) e v2 = (0,1,-1), temos:

i j K i j2 3 -4 2 30 1 -1 0 1

v1 ^ v2 =-3i -0j +2k -0k +4i +2j i +2j +2k v1 ^ v2 =(1,2,2)

Portanto, seja o vetor diretor de “s” v1 ^ v2 =(1,2,2), e o ponto dado A(3,4,-1) as equações paramétricas da reta s serão:

x = 3 + ts: y = 4 + 2t

z = 1 + 2t

As equações simétricas de s:

s: : x−31

= y−42

= z+12

v1 ^ v2 =


PLANOS NO R3

Um plano no espaço R3 fica perfeitamente determinado, conhecendo-se um ponto e dois vetores diretores (vetores não paralelos).

Esquema

Em que condições um ponto P pertence à esse plano?Os vetores v1 e v2 geram todos os vetores deste plano.

AP = t1.v1 + t2.v2 Existem escalares que multiplicando v1 e v2 nos levam a AP

Portanto, sabemos que:

AP = P – A = t1.v1 + t2.v2 logo, a Equação vetorial do Plano:

P = A + t1 . v1 + t2 . v2

x y

z

v2

v1

v2

v1

Plano

A

v1 = (a1,b1,c1)

v2 = (a2,b2,c2)

P(x,y,z)

Se P , então o vetor AP é combinação linear dos vetores v1 e v2, isto é, existem escalares t1 e t2

(chamados de parâmetros), tais que: A = (x0,y0,z0)


Exemplo a) Escreva a equação do plano que passa pelo ponto A(1,3,-2) e tem a direção dada pelos vetores v1 = (2,1,0) e v2 = (-5,4,1).

Seja a equação vetorial do plano:

P = A + t1.v1 + t2.v2 : (x, y, z) = (1,3,-2) + t1(2,1,0) + t2(-5,4,1), t1 e t2 R x, y ,x) = (1+2t1-5t2, 3+t1+4t2, -2+t2)

b) Cite 3 pontos além de A que pertencem ao plano .Damos valores quaisquer à t1 e t2 para determinar qualquer ponto de Se t1 = 2 e t2 = 4, temos: : (x, y, z) = (1,3,-2) + t1(2,1,0) + t2(-5,4,1), t1 e t2 R : (x, y, z) = (1,3,-2) + 2(2,1,0) + 4(-5,4,1) : (x, y, z) = (1,3,-2) + (4,2,0) + (-20,16, 4) : (x, y, z) = (-15,21,2),

Se t1 = 0 e t2 = 1, temos: : (x, y, z) = (1,3,-2) + t1(2,1,0) + t2(-5,4,1), t1 e t2 R : (x, y, z) = (1,3,-2) + 0(2,1,0) + 1(-5,4,1) : (x, y, z) = (1,3,-2) + (0,0,0) + (-5,4,1) : (x, y, z) = (-4,7,-1),

Se t1 = -1 e t2 = 0, temos: : (x, y, z) = (1,3,-2) + t1(2,1,0) + t2(-5,4,1), t1 e t2 R : (x, y, z) = (1,3,-2) + -1(2,1,0) + 0(-5,4,1) : (x, y, z) = (1,3,-2) + (-2,-1,0) + (0,0,0) : (x, y, z) = (-1,2,-2),

c) Obtenha a equação do plano que contém os pontos A(1,-2,0), B(3,-1,-2) e C(-5,-4,-1)Tendo 3 pontos do plano, podemos determinar os 2 vetores diretores necessários, logo:Seja AB = B-A (3,-1,-2)- (1,-2,0) AB = (2,1,-2)AC = C – A (-5,-4,-1)- (1,-2,0) AC = (-6,-2,-1)

Portanto, P = A + t1.v1 + t2.v2 : (x, y, z) = (1,-2,0) + t1(2,1,-2) + t2(-6,-2,-1), t1 e t2 R


Se desenvolvermos a equação vetorial de um plano , obteremos, as chamadas equações paramétricas do plano:

x = x0 + a1.t1+a2.t2

: y = y0 + a1.t1+a2.t2, t1 e t2 Rz = z0 + a1.t1+a2.t2

Exemplo a) Obtenha as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A(3,-1,2) e tem como vetores diretores v1 = (-1,-1,2) e v2 = (1,2,-3)Seja:

x = 3 -t1+t2

: y = -1 -t1+2t2, t1 e t2 Rz = 2 + 2t1-3t2

b) Qual a cota do ponto B(8,7,z) do plano do exemplo a ?Seja:

x = 3 -t1+t2

: y = -1 -t1+2t2, t1 e t2 Rz = 2 + 2t1-3t2

8 = 3 -t1+t2 8-3 = -t1+t2 -t1+t2 = 5 logo, temos o sistema: 7 = -1 -t1+2t2 7 + 1 = -t1+2t2 -t1+2t2 = 8

z = 2 + 2t1-3t2

-t1+t2 = 5 x(-1) t1-t2 = -5 -t1+2t2 = 8 -t1+2t2 = 8 +

t2 = 3 logo

t1-t2 = -5 t1 – 3 = -5 t1 = -5 + 3 t1 = -2

Concluindo, seja:z = 2 + 2t1-3t2 z = 2 + 2.(-2) – 3.(3) z = 2 – 4 – 9 z = -11

Portanto, o ponto procurado é B(8,7,-11)


Se nas equações paramétricas do plano, eliminarmos os parâmetros t1 e t2, obteremos uma equação do tipo ax + by + cz + d = 0, chamada de equação geral do plano.

Exemplo: Ache a equação geral do plano do exemplo a anteriorSendo:

x = 3 -t1+t2 t2 = x – 3 + t1

: y = -1 -t1+2t2, t1 e t2 Rz = 2 + 2t1-3t2

y = -1 – t1 + 2 (x – 3 + t1) y = -1 – t1 + 2x – 6 + 2t1

z = 2 + 2t1 – 3(x – 3 + t1) z = 2 + 2t1 – 3x + 9 – 3t1

y = -7 + 2x + t1

z = 11 – 3x – t1 +y + z = 4 - x

: x + y + z – 4 = 0 Equação geral do plano

Qualquer equação do tipo ax + by + cz + d = 0 é uma equação geral do plano

Uma outra maneira de se obter a equação geral de um plano é:

x – x0 y – y0 z – z0

a1 b1 c1 =0a2 b2 c2

Exemplo a) Exemplo anteriorO ponto A (3,-1,2) e v1 = (-1,-1,2) e v2 = (1,2,-3)

x – 3 y +1 z – 2 x - 3 y + 1-1 -1 2 -1 -1 =01 2 -3 1 2


Temos: 3(x – 3) + 2(y + 1) – 2(z-2) + 1(z-2) – 4(x-3) – 3 (y+1) = 0 -1(x-3) – 1(y + 1) – 1(z-2) = 0 -x + 3 – y – 1 – z + 2 = 0 -x –y – z + 4 Equação geral do plano

Observações:i) Vetor normal à um plano

Se v1 e v2 são vetores diretores de um plano , então n = v1 ^ v2 é um vetor normal à

Se ax + by + cz + d = 0 for a equação geral de um plano , então n = (a,b,c) é um vetor normal a

Exemplos:a) Obtenha um vetor normal ao plano de equações paramétricas:

x = 2 + t1 + t2

: y = -3 + 2t1 t1 e t2 Rz = 5t1 – t2

Sejam os vetores diretores do plano: v1 = (1,2,5) e v2 = (1,0,-1), um vetor normal ao plano é o vetor produto vetorial v1 ^ v2, logo, seja um ponto do plano A(2,-3,0)

x – 2 y +3 z x - 2 y + 31 2 5 1 2 =01 0 -1 1 0

-2(x-2) + 5(y+3) – 2z + y+3 = 0 -2x + 4 + 5y + 15 – 2z + y + 3 – 0 -2x +6y – 2z + 22 = 0, logo temos que n = (-2,6,-2).

Pelo vetor produto vetorial:

.v1

v2n

A

Pela equação geral do plano


i j k i j-1 -1 2 -1 -11 2 -3 1 2

-2i + 6j – 2k, logo, o vetor normal n = (-2,6,-2)

Percebemos que os coeficientes de x, y e z dão um vetor normal ao plano, o que significa que a equação geral do plano nos fornece diretamente o vetor normal ao plano .

b) ache um vetor normal ao plano: = x + 3y – z + 10 = 0

Diretamente da equação geral do plano, temos que n = (1,3,-1)

ii) Paralelismo e perpendicularismo de planos

Para que os planos sejam paralelos, os vetores n1 e n2, também precisam ser paralelos:

1 // 2 n1 // n2

1

2

n1

n2

1

n1

n2


Para que os planos sejam perpendiculares, os vetores n1 e n2 obrigatoriamente terão de ser perpendiculares:

1 2 n1 n2

Exemplos:a) Determine m de modo que 1: -x + my + 3z + 10 = 0

e

x = 2 - t1 +2t2

2: y = t1 + t2 t1 e t2 Rz = t2

sejam paralelos.

Pela condição de paralelismo para que dois planos sejam paralelos, seus vetores normais necessariamente terão de ser paralelos, logo, sejam os vetores normais de 1 e 2, respectivamente n1 = (-1, m, 3) e de n2 o vetor produto vetorial dos vetores do plano 2, onde: u = (-1,1,0) e v = (2,1, 1), logo

i j k i j-1 1 0 -1 12 1 1 2 1

i + j – 3k, logo, o vetor normal n2 = (1,1,-3)

Logo, sabemos que para que dois vetores sejam paralelos:

n1 // n2 = x1x2

= y1y2

= z1z2

portanto:

n1 // n2 = −11

= m1

= 3−3 m = -1

2

1


b) verifique se 1 e 2 são perpendiculares se:1 = 3x + y – 4z + 2 = 02 = 2x + 6y + 3z = 0

Diretamente das equações gerais dos planos, temos que respectivamente n1 = (3,1,-4) e n2 = (2,6,3), logo pela condição de perpendicularismo de dois planos, seus vetores normais, necessariamente serão ortogonais (ou perpendiculares), logo:

n1n2 n1 . n2 = 0, logo, seja

(3,1,-4) . (2,6,3) = 3.2 + 1.6 + (-4) . 3 6 + 6 – 12 = 0

Portanto, 1 e 2 são perpendiculares 1 2


ÍNDICE REMISCIVO

Matrizes 1Tipos de matrizes 4Operações com matrizes 11Determinantes 20Sistemas de Equações Lineares 23Solução de um sistema 25Métodos para solução de sistemas 27Sistemas possíveis e determinados (Cramer) 31Sistemas possíveis e indeterminados 37Sistemas impossíveis 39Sistemas homogêneos 41Segmentos Orientados 44Vetores 45Operações com vetores 46Ângulo de vetores 50Vetores no R2 52Operações com vetores no R2 54Vetores no R2 definidos pelas coordenadas da origem e extremidade 57Ponto médio de um segmento 58Condição de Paralelismo 59Módulo 60Versor 62Força Resultante 65Vetores no R3 67Produto vetorial 76Características do Produto Vetorial 77Relação entre módulo e área de polígonos 79Retas no R3 82Equações paramétricas da reta 83Equações simétricas da reta 85Planos coordenados 87Casos Especiais 87Planos no R3 96

g.a.i

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