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UEL – CTU Departamento de Estruturas 6TRU003 Mecânica das Estruturas II Prof. Roberto Buchaim

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GABARITO / 6 TRU 003: Mecânica das Estruturas II T1000 e T2000 3a. Prova 17/11/2006

( ) (2 Pontos) 1a. Questão: Seja a treliça da figura, composta de barras de mesma rigidez axial EA , e sujeita à carga vertical Q posicionada no nó central inferior. Use o teorema de

Clapeyron e a energia de deformação para obter o deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga.

Solução: a- Forças normais nas barras: aplicando Ritter, e sendo a força cortante na primeira metade do vão igual a 2/QV = e o momento no centro do vão igual a 2/QaM = , obtém-se:

QQV

N65

6024 −=×

−=−=,sinα

e QQa

QahM

N64

32

75021 ==×

==,

Por outro lado, o equilíbrio do nó central inferior obriga a ter-se QN =3 , pois as duas barras

horizontais não conseguem equilibrar a carga vertical. Ver a figura seguinte.

Com isto, pode-se calcular a energia de deformação acumulada na treliça (ver a Tabela):

EAaQ

EA

lNU jj

N

25

1

2

827

21

21

== ∑

Q a a

h=3a/4

α

4 3 5

1 2

Q/2 Q/2

Q

N2=N1 N1

N3=Q

Dados: mma 3104×=

NQ 310200×= 2310200 mmNE /×=

2750 mmA =

º,,arctan 8736750 ==α


2

Tabela j Nº. de repetições:

r jN jl

jj lrN 2

21, 2 Q

64

a

aQaQ 22

7264

3632

=

3 1 Q a

43

aQaQ 22

7254

43

=

54, 2 Q

65

− a45

aQ2

72125

aQaQlrN jj

225

1

2

827

72243

==∑

O trabalho realizado pela carga Q é estocado na treliça em forma de energia de deformação, sem

perda por calor ou por energia cinética (vibração). Logo, aplicando Clapeyron determina-se o deslocamento vertical da carga atuante:

EAaQ

Q v

2

827

21

21

=δ , ou seja, mmEAQa

v 1875010200

10410200827

827

3

33

=××

×××==δ

( ) (3 Pontos) 2a. Questão: Considere o pilar auto-equilibrado da figura, sujeito a duas forças

verticais 1F , de mesma linha de ação e ambas com excentricidades iguais a 10l . No que segue,

use o Teorema de Castigliano e considere unicamente a energia de deformação por flexão da barra maior DE (as duas barras menores, AD e BE, têm ∞→EI ).

Solução:

F1

F1

B

A

C

l/2

l/2

l/10

l/10

E

D

x

Assim sendo, pede-se calcular:

a- Qual a diminuição ABδ da distância vertical original

dos pontos A e B? b- Qual o deslocamento horizontal do ponto C do pilar?

Dados: mml 3106×= , 212104055 NmmEI pilar ×= ,)( ,

NF 61000921 ,=


3

a- Notando que foi aplicado na estrutura um par de forças, o teorema de Castigliano dá o deslocamento relativo entre ambas (se fosse pedido apenas, p. ex., o deslocamento vertical da força em A, teria quer ser aplicada nesse ponto apenas uma força fictícia, e não duas).

Sendo ∫= dxEIM

U2

21

e pelo teorema de Castigliano 1F

UAB ∂

∂=δ , tem-se:

∫∫∫∫ ∂∂

=∂∂

=∂∂

∂∂

=∂

∂=

llll

AB dxFM

MEI

dxFM

MEI

dxFM

MM

EIdx

FM

EI 0 1100 1

2

0 1

2 12

21

21

21

[δ

Como 1010 1

1 lFM

ectelF

xM =∂∂

== ,)( , resulta EIlF

dxlF

EIdx

FM

MEI

ll

AB 10010011 3

1

0

21

0 1

==∂∂

= ∫∫δ .

mmAB 40104055100

1010610009212

33

=××××

=,

)(,δ

Esta é a medida da aproximação entre si das duas forças. Cada qual se desloca verticalmente

mm20 .

Note-se que é em geral preferível derivar primeiro e integrar depois, e não o contrário!

F1

F1

B

A

C

l/2

l/2

l/10

l/10

E

D

x

M=F1l/10


4

b- A determinação do deslocamento horizontal em C é feita através de uma força horizontal 2F

fictícia aplicada nesse ponto. Essa força terá de ser retirada da estrutura, pois não faz parte do sistema de forças aplicadas. O diagrama de momento fletor está dado na figura seguinte. Note-se que para a integral a ser feita, interessa neste diagrama apenas a função )(xM , a não ser que se

use a Tabela de Kurt-Beyer, quando interessarão os pontos de máximos.

O teorema de Castigliano agora se escreve:

022 →

∂∂

=F

hC FU

δ .

Como se mostrou no item anterior, a derivada da energia de deformação em relação à força 2F

resulta na integral do produto 2F

MM

∂∂

× . Observando que em M se deve anular a força 2F , e

que na derivada 22

xFM =

∂∂

não aparece 2F (e por isso nela não há força a anular), tem-se,

considerando a simetria do diagrama de momento fletor:

EIlFl

EIlF

dxxlF

EIdx

FM

MEIF

U l l

FhC 8022

110210

212

3121

2

0

2

0

1

2022

===∂∂

×=

∂∂

= ∫ ∫→

])([/ /

δ

Comparando com o resultado anterior, vê-se que este deslocamento é 25180100 ,/ = vezes

maior. Logo, mmhC 50=δ .

F1

F1

B

A

C

l/2

l/2

l/10

l/10

E

D

x

F2

F2/2

F2/2

M=F1l/10+F2l/4

M(x)=F1l/10+F2x/2


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( ) (2,5 Pontos) 3a. Questão: Seja a viga contínua da figura, uma vez hiperestática, sujeita a

momentos 0M aplicados nos apoios extremos.

a- Use o teorema de Menabrea para obter a reação X do apoio interno B. Considere apenas

a energia de deformação por flexão. b- Desenhar o diagrama de momento fletor.

Dados: mlkNmM 101000 == , .

Solução: Conforme o teorema de Menabrea (aplicável a estruturas hiperestáticas), a energia de deformação

),( XMUU 0= , função do carregamento, passa por um mínimo para a variável X , pois o

deslocamento vertical do apoio B é zero, ou seja:

0==∂∂

vBXU

δ

Dada a função )(xM , cf. se lê no desenho acima, obtém-se como na questão anterior, e já

observando a simetria:

dxXM

MEI

l

∫ ∂∂

=0

10 , ou

kNl

MX

dxxX

xdxMsejaoudxxx

XMlll

3010100

33

02

022

0

0

2

00

00

−=−=−=

=+=×+ ∫∫∫ ,,)(

O sinal negativo indica que a reação em C é dirigida para cima, ao contrário do pressuposto. Note que a rigidez EI não aparece na equação de X . b- O diagrama de momento fletor é poligonal, pois em cada vão a força cortante é constante. Em A

tem-se a reação kNX

152

−= . Logo, em B o momento fletor vale:

kNmlX

MlM 50101510020 −=×−=+=)( , tração na fibra superior.

l

M0 M0

l

X xx

A B C

X/2 X/2 M(x)=M0+Xx/2 para x�l


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( ) (2,5 Pontos) 4a. Questão: Na viga isostática e contínua da figura seguinte, aplica-se na

rótula E um par de momentos EM . Sendo constante a rigidez à flexão da viga, pede-se:

a- Determinar o deslocamento vertical vDδ no ponto D causado pelo par de momentos. Use o

PTV e a tabela de Kurt-Beyer. Nesta tabela 50,=α é a posição relativa do vértice do

triangulo. b- Retira-se agora o par de momentos e aplica-se em D uma força vertical Q . Nesta

condição, obter a rotação relativa Eϕ na rótula E, usando o teorema de Betti-Maxwell.

Dados: 47253 1014410106 mmImmNEmml ×==×= ,/,

NQNmmM E36 1064010320 ×=×= ,

Solução:

a- Para obter o deslocamento vertical em D, vDδ , produzido pelo par de momentos EM , aplicado

em E, considera-se a mesma viga sujeita a uma força virtual unitária em D. Tem-se, assim, dois sistemas, o real e o virtual, cujos respectivos momentos fletores estão dados na figura seguinte.

100

X xx

A

B

C

X/2 X/2 M(x)=M0+Xx/2 para x�l

-50

100

Q

A B E D

C

Eϕ

ME

A B D C

l/2 l/2 l/2 l/2

vDδ

E


7

Aplicando o PTV, tem-se o trabalho virtual realizado pela força virtual unitária (do segundo sistema)

ao longo do deslocamento real vDδ (do primeiro sistema) dado por:

∫∫ ∫ =××+=×ll l

lvD dxMM

EIdx

EIM

dxMEIM

00

2 101 δ

Tabela KB: 84

250161 2lMl

MlEI EEvD =××+= )(),(δ , ou

mmEI

lM EvD 10

10144108

106103208 75

2362

=××××××

== )(δ

b- Nos dois sistemas de forças das figuras iniciais desta questão, um deles pode ser considerado virtual, e o outro real. A força Q do segundo sistema realiza um trabalho virtual ao longo do

deslocamento vDδ do primeiro, enquanto o par de momentos EM do primeiro sistema realiza um

trabalho virtual ao longo da rotação relativa Eϕ do segundo, e estes trabalhos são iguais entre si

(teorema de Betti-Maxwell). Logo:

EEvD MQ ϕδ = , donde mradradMQ

vDE

E 2010201010320

10640 36

3

=×=×××

== −δϕ

É mais fácil compreender o teorema de Betti-Maxwell através do PTV, como segue ( 1M é o

momento fletor do primeiro sistema, produzido pelo par EM , 2M é o momento fletor do segundo

sistema, produzido por Q ):

(a) O sistema 1 é real, enquanto o sistema 2 é virtual: iEEe dxMEIM

M τϕτ === ∫ 21 .

(b) O sistema 2 é real, enquanto o sistema 1 é virtual: ivDe dxMEIM

Q τδτ === ∫ 12 .

Como a estrutura é elástica linear, as duas integrais iτ que representam os trabalhos internos

são iguais. Portanto, EEvD MQ ϕδ = . Note-se que o PTV foi aplicado 2 vezes.

A B D C E

EMMEM2 1

1/2 1/2

l/2 l/2

Momentos reais M

Momentos virtuais M

l/4

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