Universidade Federal do Paraná Engenharia Mecânica Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Guilherme Augusto Pianezzer Gabarito Terceira Prova

Questões

Questão 1. Sabendo que para uma força constante, o trabalho é dado por

Onde é a distância que o objeto se deslocou sob a ação desta força. Explique, detalhadamente, porque

∫

Permite obter o trabalho de uma força variável ao longo do eixo x.

Por definição,

∫

∑

Logo, como a integral pode ser reescrita como o somatório de infinitos termos, observa-se que para ,

e portanto é válido como trabalho assim como é válido para o caso de uma força constante. (Já

que o intervalo é constante.)

Questão 2. Use uma integral para encontrar a área da região entre a função √ , o eixo-x e as retas

verticais a

Deve-se utilizar a seguinte integral para calcular a área da região:

∫ √

Uma das maneiras de resolver esta integral é fazer uma substituição trigonométrica, chamando:

Assim, a integral se torna:

∫

Como

, então

∫

[

]

Quando e quando .

Logo,

Questão 3. Calcule a integral abaixo e diga se ela é uma integral convergente ou divergente.

∫

Temos que:

∫

∫

Já que ao utilizarmos a integral definida, não existirá substituída no ponto (É indeterminado!).

Para a integração, chama-se

Logo,

∫

∫

[ ]

[ ]

Logo, a integral é divergente.

Questão 4. A taxa estimada de produção de certo poço anos após a produção ter começado é dada por

Milhares de barris por ano. Encontre uma expressão que descreva a produção total de petróleo a final do ano

Sendo a produção total de petróleo ao final do ano . Então,

∫

∫

Pelo método de integração por partes, ∫ ∫

Sendo e sendo , . Então,

∫

Como (Pois a produção começava em ).

Questão 5. Graças ao papel cada vez mais relevante do carvão como uma fonte de energia viável, a produção

de carvão tem crescido a uma taxa de

Bilhões de toneladas métricas por ano anos após (que corresponde a . Não fosse pela crise de

energia, a taxa de produção de carvão após 1980 poderia ser de apenas

Bilhões de toneladas métricas por ano. Determine quanto carvão excedente foi produzido entre 1980 e o final do

século.

O carvão excedente será dado por

∫

Portanto,

∫

[

]

Questão 6. Tanto para o cálculo da carga térmica solar quanto para o estudo da iluminação natural do Museu

Oscar Niemeyer, precisa-se conhecer a área da superfície envidraçada da fachada lateral. Tem-se conhecimento

das dimensões principais da fachada e de que as curvas limitantes são parábolas do 2º grau. Encontre a área do

“olho”.

Sendo a parábola superior e a parábola inferior, pode-se considerar que a área do

“olho” será dada por:

∫ [ ]

Para encontrar a parábola , sabe-se que, para um certo sistema de coordenadas:

Sendo . Como então Como , temos:

Logo, . Com isso, e

Portanto,

De maneira análoga, chega-se que

Para obter a área:

∫ [

]

∫ [

]

[

]

(

)