Universidade Federal do Paraná Engenharia Industrial Madeireira Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Guilherme Augusto Pianezzer Gabarito Terceira Prova

Questões Questão 1. A secretaria da Universidade Kellog estima que o número total de estudantes matriculados na

divisão de Educação Continuada crescerá à taxa de

( ) ( )

Estudantes/ano daqui a anos.

Se o número atual de matrículas é de 1.000, encontre uma expressão que forneça o número total de matrículas

daqui a anos.

Conhece-se a taxa de variação do número total de estudantes ao longo do tempo e pede-se para que encontre o

número total de estudantes. Se uma função é a taxa de variação de outra (Derivada), então a segunda é a integral

da primeira de maneira que:

( ) ∫ ( )

Onde ( ) é o número total de matrículas. Como sabe-se ( ):

( ) ∫ ( )

( ) ∫( )

Que é uma integral que se resolve por mudança de variável. Por exemplo, chamando , segue que

. De maneira que a integral pode ser reescrita como:

( )

∫

Como

∫

Chegamos que

( )

( )

Essa forma para a solução de ( ) ainda representa infinitas soluções, representado pela constante (Quando

conhecemos uma taxa de variação e desejamos encontrar a função que descreve a grandeza que varia percebemos

que são infinitas as funções que tem a taxa de variação dada.) Para restringir essa solução e sairmos da solução

geral para uma solução específica, utiliza-se alguma informação original conhecida sobre a função. No caso,

( )

(O número atual de matrículas é 1000.) Ao substituir na expressão encontrada para ( ) e simplificar os termos,

obtemos:

( )

√

Que fornece o número total de matrículas daqui a anos.

Qual será o número de matrículas daqui a 10 anos?

( )

Questão 2. Com o intuito de refrear o crescimento populacional em uma ilha do Sudeste Asiático, o governo

local decidiu lançar uma campanha publicitária. Sem tal controle, o governo esperaria que a taxa de crescimento

populacional fosse

De milhares de pessoas/ano daqui a anos, pelos próximos cinco anos. Entretanto, se a campanha publicitária for

implementada com sucesso, o governo espera que isso resulte em uma taxa de crescimento populacional

De milhares de pessoas/ano daqui a anos, pelos próxims cinco anos. Assumindo que a campanha seja levada a

efeito, quantas pessoas a menos haverá nesse país daqui a cinco anos do que haveria se nenhum controle

populacional tivesse sido imposto?

Sendo ( ) a taxa de crescimento populacional sem a campanha publicitária (Em milhares de pessoas/ano), ( )

a taxa de crescimento populacional com a campanha publicitária (Em milhares de pessoas/ano), ( ) o número de

pessoas esperado sem a campanha publicitária(Em milhares de pessoas) e ( ) o número de pessoas esperado

com a campanha publicitária, sabe-se que existe uma relação entre ( ) ( ) e entre ( ) e ( ) dadas por

( ) ( )

( ) ( )

Ou

( ) ∫ ( )

( ) ∫ ( )

A pergunta de quantas pessoas a menos haverá no país daqui a anos pode ser expressa pela relação

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Como sabe-se informações sobre as taxas de variações, pode-se encontrar a solução através das formas integrais do

problema, de modo que:

( ) ∫ ( ) ∫ ( )

( ) ∫( ( ) ( ))

( ) ∫( ( ))

Logo,

( ) ∫( )

Integrando, obtem-se: (Por mudança de variáveis e pelas regras de integração)

( )

Nesse caso, a constante não precisa ser determinada, pois devemos saber

( ) ( )

Que nos leva a um total de aproximadamente 28 milhares de pessoas a menos obtidas com a aplicação das medidas

de controle populacional.

Questão 3. Use a regra de derivação para um produto de duas funções

( ) ( )

Para mostrar o método de integração por partes.

Pela regra de derivada para o produto de duas funções:

[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )

Ao integramos ambos os lados da equação chega-se em:

( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

Que é o método de integração por partes. Normalmente reescrito como:

∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

Calcule

∫

Resolvendo pelo método de integração por partes, identifica-se

( ) ( )

Sendo assim,

( )

( )

Logo, (Omitindo a constante)

∫

∫

Assim,

∫

Questão 4. Escreva uma integral em relação a e outra em relação a que permita calcular a área da região

sombreada:

Para escrever em relação a , divide-se a área sombreada em infinitos retângulos dispostos de maneira que para

cada retângulo:

√

( √ )

Como cada um desses retângulos infinitesimais têm área conhecida, para obter a área de toda a região, basta somar

os infinitos retângulos. A operação que soma todos os retângulos é a Integral de Riemman, que no caso irá somar

todos os retângulo presente no intervalo de até Logo, em relação a a integral será área será

∫ ( √

)

Para escrever em relação a procede-se da mesma maneira. Entrentanto, ao tentar encontrar as dimensões dos

retângulos, percebe-se que eles não seguem um padrão único: Seguem dois padrões. Por conta disso faz-se

necessário separar a região em duas outras: Uma indo de até e outra que vai de até

Para cada umas das regiões, obtém-se:

De

( )

( )

( )

Assim, a integral que define a área da região em relação a é dada por uma soma de integrais da seguinte maneira:

∫ ( )

∫ ( )

Questão 5. Escreva uma integral que permita achar o volume do sólido gerado pela revolução da área

sombreada em torno da reta e outra em torno da reta .

Para encontrar a integral que representa este sólido, deve-se lembrar de dividir este sólido em infinitos discos e

utilizar a relação:

Para determinar a área de cada disco infinitesimal (Conhecendo o raio de cada um e sua altura).

Para o primeiro caso, em que o sólido é gerado rotacionando a área sombreada em torno da reta , tem-se que

observar, inicialmente, que o sólido final terá uma parte vazada. Logo, encontra-se as seguintes dimensões:

(

)

(

)

∫

∫ (

)

Para o segundo caso, tem-se um caso similar:

( )

∫ ( )

∫