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GABARITO COMENTADO MATEMÁTICA SIMULADO EDUCON ENEM 2012 Questão 46 . D Divide o círculo em 6 partes iguais Custo = C/6. Questão 47 . D R + 2R = 1m 5R = 100 cm R = 20 cm = 3.(200).100 = 60000cm 3 M = 60000.(0,9) = 54000g = 54 kg Questão 48 C Teorema de Pitágoras no triângulo AED: AD 2 = 9 + 16 AD = 5 AB é a altura relativa à hipotenusa: AB.ED = AE.AD 5.AB = 3.4 AB = 2,4 m Questão 49 A 0,333... = 3 9 ; 2 -1 = 1 2 ; 1 2 16 16 4 = = 9 9 3 ; 0,5 2 = 1 4 ; A expressão fica: 1 1 14 1 2 . 1 1 23 3 3 4 4 1 1 1 4 2 4 1 3 Questão 50 A A metade de 4 10 é: 10 2 10 20 19 2 4 2 2 2 2 2 . Questão 51. C x = 3200000 = 32 . 10 5 y = 0,00002 = 2 . 10 -5 x . y = 32 . 10 5 . 2 . 10 -5 = 64 . 10 0 = 64 Questão 52 E (a + b) 2 - (a - b) 2 = a 2 + 2a.b + b 2 a 2 + 2.a.b b 2 = 4.a.b

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GABARITO COMENTADO MATEMÁTICA – SIMULADO EDUCON ENEM 2012

Questão 46. D

Divide o círculo em 6 partes iguais Custo = C/6.

Questão 47. D

R + 2R = 1m

5R = 100 cm

R = 20 cm

= 3.(200).100 = 60000cm3

M = 60000.(0,9) = 54000g = 54 kg

Questão 48 C Teorema de Pitágoras no triângulo AED: AD

2 = 9 + 16 AD = 5

AB é a altura relativa à hipotenusa: AB.ED = AE.AD 5.AB = 3.4 AB = 2,4 m

Questão 49 A

0,333... = 3

9; 2

-1 =

1

2;

1

216 16 4= =

9 9 3; 0,5

2=

1

4;

A expressão fica: 1 1

1 4 1 2.

1 12 3 3 3

4 41 1 1

4 2 4

1

3

Questão 50 A

A metade de 410

é:

10210 20

1924 2

22 2 2

.

Questão 51. C

x = 3200000 = 32 . 105

y = 0,00002 = 2 . 10-5

x . y = 32 . 10

5 . 2 . 10

-5 = 64 . 10

0 = 64

Questão 52 E (a + b)

2 - (a - b)

2 = a

2 + 2a.b + b

2 – a

2 + 2.a.b –b

2 = 4.a.b

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Questão 53. D 84 km/h..............5 h/d............12 dias 105 km/h...........3 h/d.............X velocidade e dias são inversamente proporcionais horas por dia e dias são inversamente proporcionais 12/X = 105/84 * 3/5 105 : 5 = 21: 7 = 3 84 : 3 = 28 : 7 = 4 12/X = 3/4 12/X = 3/4 12 * 4 = 48 X = 48/3 -> 16

Questão 54 B x + 2 + y + x = x+2 + x+3 + x+ 4 y = x + 7

a+ x+3 + b = x + b + x + 4a = 2x + 4 –x -3 a = x+1

x+2 + a + 16 = x+2 + x+ 3 + x+ 4a = 3x + 9 –x – 18 a = 2x – 9

Logo: 2x -9 = x+ 1 x = 10.

O valor de y é: y = x + 7 = 10 + 7 y = 17.

Questão 55 C

1,05 . 1,04 . 1,1 = 1,2012 -> 20,12%

Questão 56 D

y = a . (x – 0) . (x – 6) p/x = 3 -> y = 9 9 = a . 3 . (-3) ∴ a = -1

y = -1 . (x2 – 6x) y = -x

2 + 6x ∴ a = -1 ; b = 6 ; c = 0

Questão 57 D

V(0) = 720 V(12) = 0 -> V(0) = a . 62 + b = 720 V(12) = a . 12

2 + b = 0*

*144ª = -720 a = -5 -> V(t) = -5t2 + 720 V(10) = -5 . 10

2 + 720 = 220

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Questão 58 B

x

x

x

y

3x + y = 180 -> y = 180 – 3x * A = x . y A = x . (180 – 3x) A = 180x – 3x

2

x = −180

2(−3) = 30 * y = 180 – 3 . 30 ∴ y = 90

Questão 59 A

mx2

– 4x – 2 = 0 m < 0 ∆ ≤ 0 m < 0 (-4)2 – 4 . m(-2) ≤ 0 *

* 16 + 8m ≤ 0 8m ≤ -16 m ≤ -2

Questão 60 E

f ( f(2) ) f(2) = -3 f(-3) = 1 Logo: = f(-3) = 1

Questão 61 B

30º 01’ 59” 0º 2’ 20” 30º 3’ 79” 30 . 60 . 60 + 3. 60 + 19 = 108.199” -> 30º 4’ 19” segundos perímetro 30 . 60 . 60 2𝜋 . 6375

108199 x

360 . 60 . 60 . x = 2𝜋 . 6375 . 108199 -> x ≈ 3342

Questão 62 A

5x = 140 -> x = 28 3x + y = 180 -> y = 96

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Questão 63 E Homens Mulheres total

maiores 0,60x 0,25x 0,85x

menores 0,12x 0,03x 0,15x

total 0,72x 0,28x X

Logo: 0,03𝑥

0,15𝑥 = 0,20 = 20%

Questão 64 B

80% das mulheres não jogam xadrez; logo, 20% das mulheres jogam xadrez; se 20% dos homens jogam xadrez, então 20% de todo o grupo jogam xadrez. Como foi dito que 14 pessoas jogam xadrez, então: 20% → 14 100% → x portanto x = 70

Questão 65 D Com os dados do problema podemos construir a figura abaixo, onde D é o ponto procurado e h a altura do prédio:

Consideramos o ∆ DBC; pelo teorema do ângulo externo: 60º = 30º + ∝ portanto ∝ = 30º e o ∆ DBC é

isósceles, logo 𝐷𝐵 + 𝐵𝐶 .

O ∆ BAC é retângulo; então: cos 60º = 𝐴𝐵

𝐵𝐶 ∴

1

2 =

𝐴𝐵

𝐵𝐶 ∴ 𝐵𝐶 = 2𝐴𝐵 = 2 X 90 = 180

Então 𝐷𝐵 = 180 e 𝐷𝐴 = 𝐷𝐵 + 𝐴𝐵 = 180 + 90 = 270

Questão 66 B Construamos a figura onde: A B

0,7x x

O = 25km

X Y

Ax: trecho em descida (de A para B) XY : trecho plano YB: trecho em subida

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Pelos dados do problema e pela figura, sendo BY > XÁ, o ciclista demora mais tempo para ir de A para B do que para ir de B para A.

Tempo para ir de A para B: 𝑡𝐴𝐵

Tempo de ir de B para A: 𝑡𝐵𝐴

Então 𝑡𝐴𝐵= 𝑡𝐵𝐴 + 48(min) ou 𝑡𝐴𝐵 = 𝑡𝐵𝐴 + 4

5 (h) (I)

Com as velocidades dadas podemos fazer:

𝑡𝐴𝐵 = 0,7𝑥

30 +

𝑋𝑌

25 +

𝑥

15 e 𝑡𝐵𝐴 =

𝑥

30 +

𝑋𝑌

25 +

0,7𝑥

15

Substituindo esses valores na equação (I)

0,7𝑥

30 +

𝑋𝑌

25 +

𝑥

15 =

𝑥

30 +

𝑋𝑌

25 +

0,7𝑥

15 +

4

5 ∴ 0,7x + 2x = x + 1,4x + 24 ∴ 0,3x = 24 ∴ x = 80

Então: Ax = 56 km, YB = 80 e XY = 156 – (56 + 80) = 20

Questão 67 C

Chamando de E a expressão a ser simplificada:

E = 2 3 + 2 12 – 2 75 ; fatorando 12 e 75 em fatores primos temos:

E = 2 3 + 2 22𝑋 3 – 2 3 𝑋 52 ou E = 2 3 + 4 3 – 10 3 = - 4 3

Questão 68 C

A expressão a2 + b

2 + 2ab – 4c

2 pode ser reescrita como uma diferença de quadrados ou seja:

a2 + b

2 + 2ab – 4c

2 = (a + b)

2 – 4c

2 = (𝑎 + 𝑏 + 2𝑐) (a + b – 2c) = 35

5 7

Questão 69 E O Bufê oferece 7 opções das quais 3 (alface, cebola e tomate) sempre devem constar das saladas. Como a salada deve conter 5 componentes, restam 2, que serão escolhidos entre os 4 componentes restantes: agrião, pepino, beterraba e cenoura. Trata-se de um problema de combinação:

𝐶4,2 = 4!

2!2! =

4 𝑋 3 𝑋 2

2 𝑋 2 = 6 ∴ há 6 opções de saladas.

Questão 70 B Se à vista o produto custa R$ 700,00 e esse valor contém um desconto de 30% sobre o preço de tabela,

então o preço de tabela é: 700,00

1−0,3 = 1.000,00

Como na compra com cartão há um acréscimo de 10% sobre o preço de tabela, então esse valor será: 1.000,00 X 1,1 = 1.100,00

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Questão 71 A Consideremos que a cartolina quadrada tem lado medindo 2ª ; pelo enunciado podemos construir a figura:

MD é a linha de dobra onde M é o ponto médio de 𝐵𝐶 Após a dobra o ponto C ocupará a posição C’ Polígono P resultante: BMDA Chamemos de 𝑆𝑝 = área do polígono P

𝑆𝑄 = área do quadrado ABCD

𝑆𝑇 = área do triangulo MC’D

Então 𝑆𝑝 = 𝑆𝑄 – 𝑆𝑇 = 4ª2 – a

2 = 3ª

2

Chamemos agora de 𝑆𝐵 a área branca visível da cartolina após a dobra; pela figura temos:

𝑆𝐵 = 𝑆𝑝 – 𝑆𝑇 = 3ª

2 – a

2 = 2ª

2 Logo

𝑆𝐵

𝑆𝑇 = 2ª

2 = 2 ≅ 66,66% - melhor aproximação: 67%

2 3

Questão 72 E Seja x o número de moedas de 50 centavos existentes no cofre; logo, teremos nesse cofre (60 – x) moedas de 10 centavos. A quantia T existente no cofre será: T= 0,5x + (60 – x). 0,1 , em reais Foi dado que 24,00 < T < 26,00 Então 24 < 0,5x = (60 – x). 0,1 < 26 ou 24 < 0,5x + 6 – 0,1x < 26 ou 18 < 0,4x < 20 ∴ 45 < x < 50

Logo, x poderá valer: 46, 47, 48 ou 49. Há, portanto, 4 soluções.

Questão 73. B Idade de Rafael , R = 20 Idade de Patrícia, P = 18 Seja R2 a idade de Rafael daqui a X anos, R2 = R + X = 20 + X Seja P2 a idade de Patrícia daqui a X anos, P2 = P + X = 18 + X Em quantos anos X que P2 = 0,92*R2, ou seja, em quantos anos X em que (18+X) = 0,92*(20+X) 18 + X = 0,92*20 + 0,92 *X 18 + X = 18,4 + 0,92*X X – 0,92*X = 18,4 – 18 0,08*X = 0,4 X = 0,4/0,08 X = 5 Daqui a 5 anos, a idade de Patrícia é 92% da idade de Rafael.

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Questão 74 B

A soma das raízes é: x’ + x” = -p

4

O produto das raízes é: x’.x”= 1

4

A soma dos inversos das raízes é:

'

''

1

.

"

' ' "

-p1 x 45 5 5 p = 5

1x x x x4

x

Questão 75 D

b + 60o = 120

o b = 60

o

x + b +60o = 180

o x + 120

o = 180

o x = 60

o

f = m + 100 ou m = f – 100

f= r/2 ou r = 2f

2000m + 200f+25r = 700 000

Logo: 2000(f-100) + 200f + 25.2f = 700 000

2000f – 200 000 + 200f + 50 f = 700 000

2250f = 900 000

f = 400

Como m = f – 100 m = R$ 300,00

Questão 76 C f = m + 100 ou m = f – 100

f= r/2 ou r = 2f

2000m + 200f+25r = 700 000

Logo: 2000(f-100) + 200f + 25.2f = 700 000

2000f – 200 000 + 200f + 50 f = 700 000

2250f = 900 000

f = 400

Como m = f – 100 m = R$ 300,00

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Questão 77 D Usa semelhança de triângulos. x/10 = 1,8/0,5 0,5x = 18 x = 36m Questão 78 D

Questão 79 D

AC = 2a 2a = 100 a = 50 m

BD = 2b 2b = 60 m b – 30 m

a2 = b

2 + c

2 50

2 = 30

2 + c

2 c

2 = 1 600 c = 40 m

A distância entre os focos vale: 2c = 2. 40 = 80 m.

Questão 80 B Para o jogo final ficam dois participantes. Para um determinado participante ganhar um dos prêmios é 50%.

Questão 81 E Duas faces hexagonais: 2.6 = 12 arestas

Seis faces retangulares: 6,4 = 24 arestas.

Para que a mesma aresta não seja contada duplamente temos: A = 12 + 24 36

= = 18 arestas2 2

.

Questão 82 C M(t) = 32 x 0,835t sendo t em dias, para t=1 (um dia) temos: M(1)= 32 x 0,835 x 1 M(1)= 26.72g ao final de um dia a massa dessa substância será 26,72g. Então a massa desintegrada é: massa desintegrada = massa inicial - massa final massa desintegrada = 32 - 26,72 massa desintegrada= 5,28g Portanto ocorreu uma desintegração de 5,28 g da massa dessa substância, após 1 dia

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Questão 83 B Consideramos o sistema de juros compostos.

M = C.(1 + i) para cada mês

1590 = 1 500(1 + i) 1590 = 1500 + 1500i 1500i = 90 i = 90

0,061500

.

1590.1,06 = 1 685,40

1685,40.1,06 =1 786,52

1,786,52.1,06 = 1 893, 51

1 893,51.1,06 = 2 007, 24

2 007,34 .1,06 = 2 127,78

Questão 84 A

tg = 0,05 1 5

=y 100

y = 20 m

Teorema de Pitágoras: x2 = 1

2 + 20

2 x

2 = 401 x = 401 = 20,02 m.

Questão 85 C

h = x 3

2

281

100 1

2

Sk

Sk =

9

10

H- h 9=

H 1010H -10h = 9H 10h = Hh =

H 1 L 3= .

10 10 2=

3L

20

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Questão 86 C

PG (x, 1200, y, 2500) y2 = 1200.2500 y = 1000 3

A razão dessa PG é: q = 1000 3 5 3

=1200 6

.

Portanto no ano de 1800 a população mundial era aproximadamente:

X = 1200 7200 1440 1440 3

= = = = 480 3 830 mi35 3 5 3 3

6

Questão 87 A

Questão 88 A PA (1500; 2 200, 2 900; ...)

No vigésimo dia: a20 = a1 + 19.700 = 1500 + 13 300 = 14 800 m = 14,8 km.

A soma dos 20 dias é dada por:

S20 =

1 20a + a .20= 1500 + 14800 .10 = 163 000 m

2

A média diária é: 163 000

X = = 8150 m ou 8,15 km20

Questão 89 B A esfera em I não cabe totalmente na caixa porque seu diâmetro é maior que a altura da caixa, o mesmo ocorrendo com o cubo, que possui aresta maior que a altura da caixa. O cilindro em II cabe inteiramente na caixa, basta colocá-lo deitado e paralelo ao lado 4 dm da caixa.

Questão 90 D Considere X o número de faces do dado de cima que está em contato com o dado de baixo. Se somarmos as noves faces visíveis com este X temos 32 + X. Como cada par da face tem soma 7, a soma dessas 10 faces tem soma 35, pois temos cinco pares de soma 7 cada. Assim, X + 32 = 35, ou seja, X = 3. A face superior do dado tem um número Y tal que X + Y = 7. Portanto Y = 4.