gabarito comentado matemÁtica simulado educon enem...
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GABARITO COMENTADO MATEMÁTICA – SIMULADO EDUCON ENEM 2012
Questão 46. D
Divide o círculo em 6 partes iguais Custo = C/6.
Questão 47. D
R + 2R = 1m
5R = 100 cm
R = 20 cm
= 3.(200).100 = 60000cm3
M = 60000.(0,9) = 54000g = 54 kg
Questão 48 C Teorema de Pitágoras no triângulo AED: AD
2 = 9 + 16 AD = 5
AB é a altura relativa à hipotenusa: AB.ED = AE.AD 5.AB = 3.4 AB = 2,4 m
Questão 49 A
0,333... = 3
9; 2
-1 =
1
2;
1
216 16 4= =
9 9 3; 0,5
2=
1
4;
A expressão fica: 1 1
1 4 1 2.
1 12 3 3 3
4 41 1 1
4 2 4
1
3
Questão 50 A
A metade de 410
é:
10210 20
1924 2
22 2 2
.
Questão 51. C
x = 3200000 = 32 . 105
y = 0,00002 = 2 . 10-5
x . y = 32 . 10
5 . 2 . 10
-5 = 64 . 10
0 = 64
Questão 52 E (a + b)
2 - (a - b)
2 = a
2 + 2a.b + b
2 – a
2 + 2.a.b –b
2 = 4.a.b
Questão 53. D 84 km/h..............5 h/d............12 dias 105 km/h...........3 h/d.............X velocidade e dias são inversamente proporcionais horas por dia e dias são inversamente proporcionais 12/X = 105/84 * 3/5 105 : 5 = 21: 7 = 3 84 : 3 = 28 : 7 = 4 12/X = 3/4 12/X = 3/4 12 * 4 = 48 X = 48/3 -> 16
Questão 54 B x + 2 + y + x = x+2 + x+3 + x+ 4 y = x + 7
a+ x+3 + b = x + b + x + 4a = 2x + 4 –x -3 a = x+1
x+2 + a + 16 = x+2 + x+ 3 + x+ 4a = 3x + 9 –x – 18 a = 2x – 9
Logo: 2x -9 = x+ 1 x = 10.
O valor de y é: y = x + 7 = 10 + 7 y = 17.
Questão 55 C
1,05 . 1,04 . 1,1 = 1,2012 -> 20,12%
Questão 56 D
y = a . (x – 0) . (x – 6) p/x = 3 -> y = 9 9 = a . 3 . (-3) ∴ a = -1
y = -1 . (x2 – 6x) y = -x
2 + 6x ∴ a = -1 ; b = 6 ; c = 0
Questão 57 D
V(0) = 720 V(12) = 0 -> V(0) = a . 62 + b = 720 V(12) = a . 12
2 + b = 0*
*144ª = -720 a = -5 -> V(t) = -5t2 + 720 V(10) = -5 . 10
2 + 720 = 220
Questão 58 B
x
x
x
y
3x + y = 180 -> y = 180 – 3x * A = x . y A = x . (180 – 3x) A = 180x – 3x
2
x = −180
2(−3) = 30 * y = 180 – 3 . 30 ∴ y = 90
Questão 59 A
mx2
– 4x – 2 = 0 m < 0 ∆ ≤ 0 m < 0 (-4)2 – 4 . m(-2) ≤ 0 *
* 16 + 8m ≤ 0 8m ≤ -16 m ≤ -2
Questão 60 E
f ( f(2) ) f(2) = -3 f(-3) = 1 Logo: = f(-3) = 1
Questão 61 B
30º 01’ 59” 0º 2’ 20” 30º 3’ 79” 30 . 60 . 60 + 3. 60 + 19 = 108.199” -> 30º 4’ 19” segundos perímetro 30 . 60 . 60 2𝜋 . 6375
108199 x
360 . 60 . 60 . x = 2𝜋 . 6375 . 108199 -> x ≈ 3342
Questão 62 A
5x = 140 -> x = 28 3x + y = 180 -> y = 96
Questão 63 E Homens Mulheres total
maiores 0,60x 0,25x 0,85x
menores 0,12x 0,03x 0,15x
total 0,72x 0,28x X
Logo: 0,03𝑥
0,15𝑥 = 0,20 = 20%
Questão 64 B
80% das mulheres não jogam xadrez; logo, 20% das mulheres jogam xadrez; se 20% dos homens jogam xadrez, então 20% de todo o grupo jogam xadrez. Como foi dito que 14 pessoas jogam xadrez, então: 20% → 14 100% → x portanto x = 70
Questão 65 D Com os dados do problema podemos construir a figura abaixo, onde D é o ponto procurado e h a altura do prédio:
Consideramos o ∆ DBC; pelo teorema do ângulo externo: 60º = 30º + ∝ portanto ∝ = 30º e o ∆ DBC é
isósceles, logo 𝐷𝐵 + 𝐵𝐶 .
O ∆ BAC é retângulo; então: cos 60º = 𝐴𝐵
𝐵𝐶 ∴
1
2 =
𝐴𝐵
𝐵𝐶 ∴ 𝐵𝐶 = 2𝐴𝐵 = 2 X 90 = 180
Então 𝐷𝐵 = 180 e 𝐷𝐴 = 𝐷𝐵 + 𝐴𝐵 = 180 + 90 = 270
Questão 66 B Construamos a figura onde: A B
0,7x x
O = 25km
X Y
Ax: trecho em descida (de A para B) XY : trecho plano YB: trecho em subida
Pelos dados do problema e pela figura, sendo BY > XÁ, o ciclista demora mais tempo para ir de A para B do que para ir de B para A.
Tempo para ir de A para B: 𝑡𝐴𝐵
Tempo de ir de B para A: 𝑡𝐵𝐴
Então 𝑡𝐴𝐵= 𝑡𝐵𝐴 + 48(min) ou 𝑡𝐴𝐵 = 𝑡𝐵𝐴 + 4
5 (h) (I)
Com as velocidades dadas podemos fazer:
𝑡𝐴𝐵 = 0,7𝑥
30 +
𝑋𝑌
25 +
𝑥
15 e 𝑡𝐵𝐴 =
𝑥
30 +
𝑋𝑌
25 +
0,7𝑥
15
Substituindo esses valores na equação (I)
0,7𝑥
30 +
𝑋𝑌
25 +
𝑥
15 =
𝑥
30 +
𝑋𝑌
25 +
0,7𝑥
15 +
4
5 ∴ 0,7x + 2x = x + 1,4x + 24 ∴ 0,3x = 24 ∴ x = 80
Então: Ax = 56 km, YB = 80 e XY = 156 – (56 + 80) = 20
Questão 67 C
Chamando de E a expressão a ser simplificada:
E = 2 3 + 2 12 – 2 75 ; fatorando 12 e 75 em fatores primos temos:
E = 2 3 + 2 22𝑋 3 – 2 3 𝑋 52 ou E = 2 3 + 4 3 – 10 3 = - 4 3
Questão 68 C
A expressão a2 + b
2 + 2ab – 4c
2 pode ser reescrita como uma diferença de quadrados ou seja:
a2 + b
2 + 2ab – 4c
2 = (a + b)
2 – 4c
2 = (𝑎 + 𝑏 + 2𝑐) (a + b – 2c) = 35
5 7
Questão 69 E O Bufê oferece 7 opções das quais 3 (alface, cebola e tomate) sempre devem constar das saladas. Como a salada deve conter 5 componentes, restam 2, que serão escolhidos entre os 4 componentes restantes: agrião, pepino, beterraba e cenoura. Trata-se de um problema de combinação:
𝐶4,2 = 4!
2!2! =
4 𝑋 3 𝑋 2
2 𝑋 2 = 6 ∴ há 6 opções de saladas.
Questão 70 B Se à vista o produto custa R$ 700,00 e esse valor contém um desconto de 30% sobre o preço de tabela,
então o preço de tabela é: 700,00
1−0,3 = 1.000,00
Como na compra com cartão há um acréscimo de 10% sobre o preço de tabela, então esse valor será: 1.000,00 X 1,1 = 1.100,00
Questão 71 A Consideremos que a cartolina quadrada tem lado medindo 2ª ; pelo enunciado podemos construir a figura:
MD é a linha de dobra onde M é o ponto médio de 𝐵𝐶 Após a dobra o ponto C ocupará a posição C’ Polígono P resultante: BMDA Chamemos de 𝑆𝑝 = área do polígono P
𝑆𝑄 = área do quadrado ABCD
𝑆𝑇 = área do triangulo MC’D
Então 𝑆𝑝 = 𝑆𝑄 – 𝑆𝑇 = 4ª2 – a
2 = 3ª
2
Chamemos agora de 𝑆𝐵 a área branca visível da cartolina após a dobra; pela figura temos:
𝑆𝐵 = 𝑆𝑝 – 𝑆𝑇 = 3ª
2 – a
2 = 2ª
2 Logo
𝑆𝐵
𝑆𝑇 = 2ª
2 = 2 ≅ 66,66% - melhor aproximação: 67%
3ª
2 3
Questão 72 E Seja x o número de moedas de 50 centavos existentes no cofre; logo, teremos nesse cofre (60 – x) moedas de 10 centavos. A quantia T existente no cofre será: T= 0,5x + (60 – x). 0,1 , em reais Foi dado que 24,00 < T < 26,00 Então 24 < 0,5x = (60 – x). 0,1 < 26 ou 24 < 0,5x + 6 – 0,1x < 26 ou 18 < 0,4x < 20 ∴ 45 < x < 50
Logo, x poderá valer: 46, 47, 48 ou 49. Há, portanto, 4 soluções.
Questão 73. B Idade de Rafael , R = 20 Idade de Patrícia, P = 18 Seja R2 a idade de Rafael daqui a X anos, R2 = R + X = 20 + X Seja P2 a idade de Patrícia daqui a X anos, P2 = P + X = 18 + X Em quantos anos X que P2 = 0,92*R2, ou seja, em quantos anos X em que (18+X) = 0,92*(20+X) 18 + X = 0,92*20 + 0,92 *X 18 + X = 18,4 + 0,92*X X – 0,92*X = 18,4 – 18 0,08*X = 0,4 X = 0,4/0,08 X = 5 Daqui a 5 anos, a idade de Patrícia é 92% da idade de Rafael.
Questão 74 B
A soma das raízes é: x’ + x” = -p
4
O produto das raízes é: x’.x”= 1
4
A soma dos inversos das raízes é:
'
''
1
.
"
' ' "
-p1 x 45 5 5 p = 5
1x x x x4
x
Questão 75 D
b + 60o = 120
o b = 60
o
x + b +60o = 180
o x + 120
o = 180
o x = 60
o
f = m + 100 ou m = f – 100
f= r/2 ou r = 2f
2000m + 200f+25r = 700 000
Logo: 2000(f-100) + 200f + 25.2f = 700 000
2000f – 200 000 + 200f + 50 f = 700 000
2250f = 900 000
f = 400
Como m = f – 100 m = R$ 300,00
Questão 76 C f = m + 100 ou m = f – 100
f= r/2 ou r = 2f
2000m + 200f+25r = 700 000
Logo: 2000(f-100) + 200f + 25.2f = 700 000
2000f – 200 000 + 200f + 50 f = 700 000
2250f = 900 000
f = 400
Como m = f – 100 m = R$ 300,00
Questão 77 D Usa semelhança de triângulos. x/10 = 1,8/0,5 0,5x = 18 x = 36m Questão 78 D
Questão 79 D
AC = 2a 2a = 100 a = 50 m
BD = 2b 2b = 60 m b – 30 m
a2 = b
2 + c
2 50
2 = 30
2 + c
2 c
2 = 1 600 c = 40 m
A distância entre os focos vale: 2c = 2. 40 = 80 m.
Questão 80 B Para o jogo final ficam dois participantes. Para um determinado participante ganhar um dos prêmios é 50%.
Questão 81 E Duas faces hexagonais: 2.6 = 12 arestas
Seis faces retangulares: 6,4 = 24 arestas.
Para que a mesma aresta não seja contada duplamente temos: A = 12 + 24 36
= = 18 arestas2 2
.
Questão 82 C M(t) = 32 x 0,835t sendo t em dias, para t=1 (um dia) temos: M(1)= 32 x 0,835 x 1 M(1)= 26.72g ao final de um dia a massa dessa substância será 26,72g. Então a massa desintegrada é: massa desintegrada = massa inicial - massa final massa desintegrada = 32 - 26,72 massa desintegrada= 5,28g Portanto ocorreu uma desintegração de 5,28 g da massa dessa substância, após 1 dia
Questão 83 B Consideramos o sistema de juros compostos.
M = C.(1 + i) para cada mês
1590 = 1 500(1 + i) 1590 = 1500 + 1500i 1500i = 90 i = 90
0,061500
.
1590.1,06 = 1 685,40
1685,40.1,06 =1 786,52
1,786,52.1,06 = 1 893, 51
1 893,51.1,06 = 2 007, 24
2 007,34 .1,06 = 2 127,78
Questão 84 A
tg = 0,05 1 5
=y 100
y = 20 m
Teorema de Pitágoras: x2 = 1
2 + 20
2 x
2 = 401 x = 401 = 20,02 m.
Questão 85 C
h = x 3
2
281
100 1
2
Sk
Sk =
9
10
H- h 9=
H 1010H -10h = 9H 10h = Hh =
H 1 L 3= .
10 10 2=
3L
20
Questão 86 C
PG (x, 1200, y, 2500) y2 = 1200.2500 y = 1000 3
A razão dessa PG é: q = 1000 3 5 3
=1200 6
.
Portanto no ano de 1800 a população mundial era aproximadamente:
X = 1200 7200 1440 1440 3
= = = = 480 3 830 mi35 3 5 3 3
6
Questão 87 A
Questão 88 A PA (1500; 2 200, 2 900; ...)
No vigésimo dia: a20 = a1 + 19.700 = 1500 + 13 300 = 14 800 m = 14,8 km.
A soma dos 20 dias é dada por:
S20 =
1 20a + a .20= 1500 + 14800 .10 = 163 000 m
2
A média diária é: 163 000
X = = 8150 m ou 8,15 km20
Questão 89 B A esfera em I não cabe totalmente na caixa porque seu diâmetro é maior que a altura da caixa, o mesmo ocorrendo com o cubo, que possui aresta maior que a altura da caixa. O cilindro em II cabe inteiramente na caixa, basta colocá-lo deitado e paralelo ao lado 4 dm da caixa.
Questão 90 D Considere X o número de faces do dado de cima que está em contato com o dado de baixo. Se somarmos as noves faces visíveis com este X temos 32 + X. Como cada par da face tem soma 7, a soma dessas 10 faces tem soma 35, pois temos cinco pares de soma 7 cada. Assim, X + 32 = 35, ou seja, X = 3. A face superior do dado tem um número Y tal que X + Y = 7. Portanto Y = 4.