fusco, péricles b. estruturas de concreto - solicitações tangenciais
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Péricles Brasiliense Fusco
ESTRUTURAS DE CONCRETO SOLICITAÇÕES TAUCENCIAIS
Esforços Solicítantes
Forças Cortantes
Torção
Tensões em Regime Elástico
Seções Abertas e Seções Fechadas
Analogias de Treliça
Oimensionamento em Regime de Ruptura
Peças de Concreto Armado
Peças de Concreto Protendido
Lajes com e sem Armadura de Cisalhamento
Ptiritlcs Brasillcnsç Fusco
E n p n l i e i r o Ciwit • Escola Politécnica da Universidade de São Paulo - ÊPUSP - 1 9 5 2
Engenhei ro N a v a ! - EPUSP - 1 9 6 0
Doutor e m E n g e n h a r i a - EPUSP - 1 9 6 8
Livjre-Do cento - EPUSP - 1 9 7 5
Professor t i tu lar - EPUSP - 1 9 8 0
Coordenador das áreas "Sistemas Estruturais de Concreto" e "Análise Exper imental de Estruturas" do Departamento de Engenharia e Estruturas e Fundações da EPUSP
Fundador e D i re to r do Labora tá rio de Estruturas e Mater ia is Estruturais da EPUSP
Or ientou 19 dissertações de mestrado c 17 do doutorado.
Pro je t is ta de e s t r u t u r a s cie c o n c r e t o , tendo participado do projeto de grandes obras rea lçadas no País durante os últ imos 2 5 anos, nas áreas de edifícios altos, indústrias pesadas, pontes e usinas.
ESTRUTURAS UE CONCRETO SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS
Estruturas de concreto: solicitações tangenciais
©COPYRIGHT EDITORA PINI LTDA.
Todos os direitos do reprodução ou tradução reservados pote Editora Pini Lida,
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP> (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Fusco, Péricles Brag iliensí? Estruturas de concreto : solicitações
tangenciais / Péricles Brasiliense Fusco,
ISBN 979-85-7266-208-6
1, Cisalhamento 2. Engenharia de estruturas 3, Estruturas de concreto armado I, Título,
08-06331 CDD-624,1334
índice para catáloga sistemático: 1. Estruturas de concreto armado : Solicitações
tangenciais : Engenharia estrutural 624 ,1834
Coordenação de Manuais Técnicos; Josiani Souza Projeto Gráfico e Capa; Luciano Rocha Díagramação: Maurício Luiz Aires Revisão: Andréa Marques Camargo
Editora Píni Lida, Rua Anhaia, 964 - CEP 01130-900 - São Paulo - SP - Brasil Fone: (011) 2173-2300 - Fax: {011) 2173-2427 www.piniweb.com - manuals@plni,com.br 1» edição 1a tiragem; 2.000 exemplares, set/2GG8
Esta obra cuida do dimensionamento de peças de concre-to estrutural submetidas a solicitações tangenciais: forças cortantes e momento de torção.
Nelas, as solicitações tangenciais são resistidas por diago-nais comprimidas de concreto e por armaduras transversa-is tracionadas, e, no caso da torção, também por armadu-ras longitudinais tracionadas, As diagonais comprimidas de concreto usualmente devem atravessar regiões fissur-adas por solicitações de flexão, çue diminuem de forma aleatória a resistência do concreto à compressão. É por essa razão que acidentes estruturais, envolvendo o co-lapso de estruturas, quase sempre decorrem da ação de solicitações tangenciais. Por esse motivo, a possibilidade de ocorrência de estados limites últimos de solicitações tangenciais somente deve existir depois da ocorrência de estados limites últimos de solicitações normais, devidos a escoamentos de armaduras (racionadas, os quais podem provocar físsuração Suficientemente intensa para servir de advertência da proximidade de possíveis situações de eminência de colapso.
A resistência adequada aos esforços tangenciais depende essencialmente de um correto detalhamento das armadu-ras das peças estruturais. Este livro aborda a determinação das quantidades de armaduras necessárias para essa re-sistência, mas o seu adequado detalhamento não é aqui discutido em minúcias, O estudo pormenorizado do deta-lhamento das armaduras já foi, por nós, elaborado no livro Técnica de Armar, também publicado pela Editora Pini,
Como já dizia Aristóteles em seu livro 'A Política", o entendimento completo das coisas somente é obtido pela compreensão do funcionamento da menor <íe suas partes. Essa é a idéia central que deve orientar quem lida com as estruturas das sociedades humanas, em todos os seus sentidos.
P É R I C L E S B R A S t L I E N S E F U S C O P r o f e s s o r T i t u l a r d a E s c o l a P o l i t é c n i c a d a U n i v e r s i d a d e d e S ã o P a u l o
São Paulo 30/5/2008
1" PARTE - C O N C E I T O S B Á S I C O S S O B R E C I S A L H A M E N T O
CAPÍTULO 1
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO EM REGIME ELÁSTICO 12
1.1 Condições de equilíbrio na flexão simples 12
1.2 Cisalhamento nas vigas de seção constante 14
1.3 Direção e sentido das tensões de cisalhamento 19
1.4 Cisalhamento em barras de seção variável 26
1.5 Tensões principais 29
1.6 Natureza simplificada da teoria 31
CAPÍTULO 2
FORÇAS CORTANTES REDUZIDAS 34
2.1 A resultante das tensões de cisalhamento 34
2.2 O conceito cie força cortante reduzida 39
2.3 Cisalhamento na flexão composta 42
24 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto armado... „„„„„„.47
2.5 Cisalhamento nas peças usuais de concreto armado 51
2.6 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto pretendido 54
2.7 Vigas protendides com cabos inclinados. 57
CAPÍTULO 3
ANÁLISE ESTRUTUAL - DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOUCITANTES -EXEMPLOS 64
3.1 Critérios de classificação das ações ....64
3.2 Combinações de cálculo e critérios de segurança 68
3.3 Exemplo n° 1: Viga isostótíca de seçío constante em edifício de oficinas;
FlexSo simples devida a ações permanentes e ações variáveis de mesma
natureza, combinação última fundamental e combinação de serviço .71
3.4 Exemplo n° 2: Viga isostãtica de seçfio constante em edifício de oficinas;
Flexão simples devida a ações permanentes do grande voriabilidade c
duas ações variáveis de naturezas diferentes; Duas combinações últimas
fundamentais e duas combinações de serviço 74
3,5 Exemplo nü 3; Viga isostática de seçáo constante; Flexão simples devida a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis com
carregamento alternado , 77
3,6 Exemplo n°4: Viga isostãtica de seção constante; Flexão simples devida
a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis móveis 80 3.7 Exemplo n°5: Viga Isostãtica de concreto armado de seção variável; Flexão
simples c composta; Combinação principal e combinação secundária 85
3.8 Exemplo nu6: Viga Ivperestãtica de seção constante; Flexão simples devida
a ações permanentes e ações variáveis com carregamento alternado; Combinação principal e combinação secundária 9C
CAPÍTULO 4 VIGAS DE CONCRETO ARMADO 96
4.1 Modelo resistente de treliça 96
4.2 Transição do comportamento de viga para o de treliça 99
4.3 Modos de ruptura 102
4.4 Estados limites últimos de solicitações tangenciais 106
4.5 Principio funda mental de segurança em relação às solicitações tangenciais 108
4.6 Funcionamento de estribos perpendiculares ao eixo da peça .. 108
4.7 Funcionamento de estribos inclinados 112
4.8 Funcionamento de barras dobradas 113
CAPÍTULO 5
ANALOGIAS DE TRELIÇA 116
5.1 Analogia da treliça clássica 116
5.2 Treliça clássica com armadura vertical 120
5.3 Treliça clássica com armadura transversal inclinada 127
5.4 Analogia generalizada da treliça 133
5.5 Tensões na armadura transversal 135
5.6 Tensões nas bielas diagonais 138
5.7 Tensões na armadura longitudinal de flexão 139
CAPITULO 6
PEÇAS DE CONCRETO ARMADO COM ARMADURA DE CISALHAMENTO 142
6.1 Tensões na armadura transversal 142
6. 2 Redução da força cortante por inclinação do banzo comprimido, 144
6.3 Tensões nas bielas diagonais 146
6.4 Eficiência dos estribos inclinados 150
6.5 Influencia da taxa de armadura transversal sobre a compressão das bielas 151
6.6 Intervalo de variação da inclinação das bielas 153
6.7 Flexão local das barras da armadura longitudinal de flexão 15®
6.8 Cisalhamento junto a cargas concentradas 161
6.S Cisalhamento nas abas salientes,,....,, 16?
CAPÍTULO 7 PEÇAS SEM ARMADURA DE CISALHAMENTO 170
7.1 Ruptura de peças sem armadura de cisalhamento ..170
7.2 Mecanismos resistentes ao cisalhamento 174
7.3 Investigação experimental sobre a resistência na flexão simples.,, 180
7.4 Outra s i nvestigações experimentais 191
7.5 Dispensa da armadura de cisalhamento,,... 194
7.6 Cisalhamento na flexo-tração .199
7.7 Cisalhamento na flexo-compressão 202
CAPÍTULO 8
PEÇAS DE CONCRETO PROTENDIDO 206
8.1 Interação dos cabos de pretensão com o concreto das peças estruturais 206
8.2 Fissuração das vigas de concreto protendido 210
8.3 Modos do ruptura e estudos limites últimos 214
8.4 Influencia da força normal longitudinal sobre o cisalhamento, 215
8.5 Redução da armadura transversal em função da força normal 222
8.6 Vigas com cabos Inclinados ........ 226
CAPÍTULO 9 REGRAS DE D1MENSIQNAMENTO . . 230
9.1 Lajes sem armadura de cisalhamento 230 9.2 Peças com armadura de cisalhamento . 232
» PARTE - C I S A L H A M E N T O N A T O R Ç Ã O
CAPÍTULO 10
TORÇÃO DE SEÇÕES ABERTAS DE PAREDE DELGADA 246
10.1 Garras de seção circular 246
10.2 Analogia da membrana .„... . . . 249
10.3 Torção uniforme de seções retangulares delgadas 251
10.4 Torção uniforme de seções trapezoidais delgadas ,..,, 256
10.5 Seções abertas de parede delgada 256 10.6 Centro de cisalhamento de seções duplamente simétricas 260 10.7 Centro de cisalhamento de seções com uma única simetria 261
10.8 Exemplo importante 263
10.9 Centro de cisalhamento do seções abertas de forma qualquer 265
CAPÍTULO 11
TORÇÃO DE SEÇÕES FECHADAS DE PAREDE DELGADA 268
11.1 Tensões .. 268
11.2 Rigidez 272
11.3 Analogia da membrana 274
11.4 Centro de cisalhamento das barras de seção fechada.... 276
11.5 Exemplo 282
11.6 Seções parcialmente fechadas 287
11.7 Exemplo de seção parcialmente fechada 289
11.8 Seções multicelulares 290
11.9 Exemplo de seção multicelulsr., 293
CAPÍTULO 12
TORÇÃO EM PEÇAS DE CONCRETO ESTRUTURAL . 298
12.1 Torção em peças de concreto armado 298
12.2 Analogia da treliça espacial .,,.301
12.30 modelo de treliça espacial - .....303
12.4 Rigidez à torção 309
12.5 Torção de peças de concreto protendido 312
CAPÍTULO 13 TORÇÃO EM REGIME DE RUPTURA ,,,..314
13.1 Torção pura - 314
13.2 Tensões nas bielas diagonais .....317
13.3 Tensões na armadura transversal 320
13,4Tensões na armadura longitudinal 322
13.5 Torção composta .....324
13.6 Flexo-torção 326
Ia PA R T E CONCEITOS BÁSICOS SOBRE CISALHAMENTO
CAPÍTULO 1 TENSÕES DE CISALHAMENTO EM REGIME ELÁSTICO
1.1 Condições de equilíbrio na flexão simples
Considere-se uma barra submetida a cargas transversais de intensidade p variável ao longo de seu comprimento. Nela existem momentos fletores M e forças cortantes V Fig. (1.1 -a).
O equilíbrio de um elemento de viga, de comprimento infínitesima! dx, Fig. (1.1-b), deve obedecer às seguintes condições:
lU± = v dx (1.1-1)
dx (1.1-2) ESTRUTURAS W COUCRETO
donde dlM dV
dx dx (1.1-3)
t t t t
M V
M + dM
V + dV
dx Condições tio equilíbrio
Figura (J, J-b)
Note-se que essas equações foram escritas com as convenções clássicas de sinais da Resistência dos Materiais, ou seja, os momentos fletores sâo posi-tivos quando produzem tração nas fibras inferiores, as forças cortantes são positivas quando, em duas seções adjacentes, formam um binário horário, e as cargas são positivas quando atuam de cima para baixo.
A equação (1.1-1) exprime a condição de equilíbrio de momentos e a equação (1.1-2) a condição de equilíbrio de forças transversais ao eixo da barra.
Observe-se que não se cogitou do equilíbrio de forças axiais, pois como não existe força normal, em qualquer seção transversal, há sempre a condição
já dA = 0 (1.1-4)
em que A é a área da seção transversal da barra. Note-se, também, que não foi feita qualquer restrição quanto à forma da seção transversal, não impor-tando se a seção transversal da barra varia ao longo de seu comprimento, pois o equilíbrio de tensões normais se dá dentro de cada seção transversal, como mostra a expressão (1 .1-4).
De fato, como é mostrado na Fig. (1 .1 -c), sendo r a resultante das tensões de compressão e Rj(} das de tração que atuam em uma mesma seção trans-versal, cada uma delas de um dos lados da linha neutra, tem-se
Rc0 +
e, analogamente, na seção de abscissa x+dx ,
(R CQ+d R co ) + (R to +dR (Q.) = 0
estando sempre assegurado o equilíbrio de forças paralelas ao eixo da barra.
crc+ dac
i > -, dx
Rco Rco ^ d^o C
6 L —
Rlo+dRt*)
N
dx
Condições ele equilíbrio Figura {). 1-cj
1.2 Cisalhamento nas vigas de seção constante
Considere-se agora não mais o elemento completo de viga, mas apenas tre-chos definidos por seções longitudinais de ordenada y, Fig. (1.2-a).
Nesse caso, o equilíbrio de cada um dos trechos parciais do elemento de comprimento dx somente subsistirá com a presença de tensões tangenciais nas faces de corte longitudinal do elemento.
Vigas da Soçáo Constante Figuro (1,2-o)
Tomando-se em valor absoluto as resultantes das tensões normais, o equilíbrio longitudinal de cada seção transversal completa, considerada isoladamente, im-põe necessariamente as condições
Subdividindo o elemento pela seção longitudinal de ordenaday, em face das expressões acima, a força dVy pode ser determinada considerando-se indife-rentemente o equilíbrio do trecho superior ou o do trecho inferior resultante dessa subdivisão.
Desse modo, pode-se escrever a condição de equilíbrio como
«/k, = <//?,
onde Í!R{ a d | aihi Ay
sendo Ar a área da parte da seção transversal delimitada pela seção longitu-dinal considerada, resultando
(IV =cí f <TíIA
* \
Desse modo, admitindo que seja constante a tensão de cisalhamento ao lon-go da seção longitudinal de corte, Fig, (1.2-b), tem-se
dV =xbcíx X
logo
I d i =
b dx - jatíA (12-1)
Cisalhamento no piitno longitudinal de corte Figura (12-b)
A validade da equação (1,2-1) exige que, no plano longitudinal, a tensão x possa ser admitida como constante ao longo da largura b, mas não se faz qualquer restrição quanto à eventual variação de x ao longo de dx pois, se
ela existir, sua resultante será um irrfinitésimo de ordem superior, sendo, por-tanto, desprezável.
A possibilidade de admitir a tensão t como constante ao longo da largura h depende da forma da seção transversal.
De fato, em virtude do equilíbrio, são iguais entre si os módulos das compo-nentes de cisalhamento T e r„„ que agem perpendicularmente à aresta comum dos dois planos ortogonais, Fig, (1,2-b),
Desse modo, para que xyx seja constante ao longo de b no plano longitudi-nal, t^ deverá ser constante ao longo de b no plano da seção transversal.
As seções transversais para as quais esta hipótese é plausível, são analisa-das adiante.
De qualquer maneira, aceitando-se que i seja constante ao longo de b e que não haja força normal na seção transversal, de [1,2-1], considerando o caso de flexão normal, resulta
1 d cM I d (M t = —y-dA = — - —-5,
bdx j I ' bdx{ I y)
onde / é o momento de inércia da seção transversal e
Sy = | ydA
o momento estático, em relação à linha neutra, da qualquer uma das duas áreas Ay correspondentes á parte da seção transversal situada de um dos la-dos do plano longitudinal de corte, pois como a linha neutra é baricêntrica na flexão simples, são iguais os módulos dos momentos estáticos dessas duas áreas parciais. Deste modo, tem-se
/
l
s y d ( SY
f dx 1 / (1.2-2)
No caso em que as seções transversais tenham Sy / / constante ao longo do eixo da barra, resulta
(1,2-3) hl
Em uma dada seção transversal, Ve / são constantes, variando as tensões r proporcionalmente a Sy/h. INIos trechos em que a largura b for constante, a variação da tensão será proporcional a Sy . Na Fig. (1,2-c) são mostradas as variações de tensões de cisalhamento em uma seção retangular e na alma de uma seção duplo T.
Note-se que por meio dessa teoria não é possível determinar as tensões de cisalhamento paralelas à força cortante nas abas da seção duplo T.
Ao longo da alma da seção duplo T pode-se admitir a tensão de cisalhamento T constante ao longo de b, mas isso não é possível ao longo das abas. Ao longo dos trechos AB e CD das mesas da seção duploT, a condição de contor-no imposta pelas bordas livres torna nula as tensões perpendiculares a essa borda. Todavia, nos trechos BC de ligação das mesas com a alma, a tensão de cisalhamento é obrigatoriamente não nula, para garantir o equilíbrio longitudi-nal das próprias mesas sob a ação de momentos fletores que variam ao longo do eixo da barra. Não há, portanto, motivo para que a tensão de cisalhamento
paralela à força cortante seja constante ao longo de fibras EF e da espessura das abas, Todavia, como essa tensão de cisalhamento ao longo da espessura das abas parte de zero em uma borda e também deve ser nula na outra borda, admite-se que ela possa ser considerada nula ao longo de toda a espessura da aba.
De modo geral, nas seções transversais usuais, a máxima tensão de cisalha-mento ocorre na fibra que contém o seu centro de gravidade, pois é aí que usualmente a função Sy/b assume seu valor máximo. Como exceção impor-tante, tem-se a seção triangular, cujo máximo da função Sy/b ocorre à meia altura da seção.
Chamando de r„ a tensão de cisalhamento na fibra da linha neutra, onde y = 0, tem-se
JL ~ v ~ V (1-2-4>
sendo
Z~SÜ (1.2-5)
Em resumo, as expressões (1.2-3) e (1.2-4) permitem o cálculo do módulo da tensão de cisalhamento nas seções transversais em que é possível admitir x constante ao longo da largura h da fibra considerada.
1.3 Direção e sentido das tensões de cisalhamento
Quaisquer que sejam os esforços que atuam em uma peça estrutural, na periferia de uma seção plana perpendicular à superfície externa da peça, a tensão de cisalhamento será obrigatoriamente tangente a seu contorno. De fato, admitindo-se que na superfície lateral da peça sejam nulas todas as tensões, também será nula a componente de cisalhamento perpendicular ao contorno da seção transversal, Fig. (1.3-a). Então, na seção transversal, a componente de cisalhamento perpendicular ao contorno também será obri-gatoriamente nula, fazendo que na seção transversal possa subsistir apenas a componente de cisalhamento tangente ao contorno.
mm 1 9
Cisalhamento na periferia da saçãa transversal
Figura fI.3-«)
Na maior parte dos casos, essa condição de contorno permite a determinação da direção das tensões de cisalhamento devidas às forças cortantes,
Na Fig, (1.3-b) está mostrada a distribuição das tensões de cisalhamento em diferentes seções transversais submetidas a forças cortantes paralelas ao eixo Y.
Nas seções transversais formadas por elementos delgados, Fig, (1.3-b; I - III - V), as tensões de cisalhamento têm a direção da linha média do perfil, A pequena espessura dos elementos também justifica a hipótese de que T seja constante ao longo da espessura b, medida sempre na perpendicular à linha média do elemento,
No cruzamento dos elementos delgados que compõem a seção transversal, essa teoria elementar não permite uma análise rigorosa do andamento das tensões de cisalhamento, embora permita o entendimento qualitativo adian-te apresentado.
Nas seções retangulares, Fig. (1.3-b; II), a mesma hipótese simplificadora an-terior pode ser aceita, desde que a largura b não seja significativamente maior que a altura da seção.
Figura (1,3 b)
Mas seções circulares, Fig. (1,3-b; IV), as tensões x náo podem ser constantes ao longo da largura b, pois elas necessariamente terão direções diferentes nas duas extremidades de b, No entanto, admitindo que a componente para-lela a Y seja constante, a expressão (1.2-3} pode ser empregada para o cálculo dessa componente.
Sempre que em uma seção x não for constante ao longo de b, a expressão (1.2-3} fornecerá um simples valor médio aproximado.
Observe-se que para o cálculo das tensões de cisalhamento existe apenas uma equação de equilíbrio, podendo, então, existir somente uma incóg-nita, Desse modo, com um único corte longitudinal, a seção transversal deverá ficar dividida em duas partes inteiramente separadas.
Note-se que essa condição não ocorre na seção celular da Fig. {1.3-b; V),
No caso da seção celular simétrica, com o carregamento contido no plano longitudinal de simetria, o cisalhamento no eixo de simetria, por simetria, é necessariamente nulo. Isso permite tratar a seção celular como se ela fosse aberta no eixo de simetria.
No caso da seção não ser simétrica, o problema é hiperestátíco e, em princí-pio, isso acarreta o aparecimento de esforços de torção combinados com os de força cortante.
Note-se, finalmente, que o sentido das tensões de cisalhamento não é deter-minado pela expressão (1.2-3). Para determinar esse sentido, deve-se consi-derar o andamento do diagrama de momentos fletores, conforme é mostrado no exemplo da Fig. (1.3-c).
Sontkfo tios tonsíos tio çi&alhamanto figuro (?,3-c)
Um exemplo mais complexo está mostrado na Fig, {1,3-d}. Observe-se que nesse caso há uma inversão do sentido das tensões de cisalhamento ao longo das abas salientes, Nos pontos B, que delimitam os trechos AB que têm seus centros de gravidade G1 na mesma altura que o centro de gravidade G da se-ção completa, a tensão de cisalhamento é obrigatoriamente nula, por ser nulo o momento estático Sy a eles correspondentes.
Figura fl.S-d)
É importante assinalar que em seções delgadas, como o duplo T ou a seção celular, Fig. {1,3-b ; III - V), de fato existem tensões de cisalhamento paralelas à força cortante perpendicularmente à linha média dos elementos delgados.
Nesses elementos, as tensões perpendiculares à linha média das abas são sempre de pequena intensidade, pois elas partem de zero em uma borda e chegam a zero na outra borda, como conseqüência de serem nulas as ten-sões na superfície externa da barra, como se mostra na Fig.(1.3-e), Por esse motivo, essas tensões são sempre desprezadas, considerando-se apenas as componentes paralelas à linha média do perfil.
Tgnsôos porpendtcularos è tinha média do perfil Figura (1.3-o)
A fim de analisar o andamento das tensões de cisalhamento na região de cru-zamento de elementos delgados, considere-se o trecho de ligação da alma de um perfil T com a mesa de tração. Na Fig. (1.3-f) estão mostradas as tensões de cisalhamento que atuam ao longo dos diferentes planos longitudinais res-ponsáveis pela ligação da alma à mesa.
As tensões xx, que atuam na alma provocam a distorção, Fig. (1.3-g).
Ao longo do trecho de cruzamento da alma do perfil com a sua mesa de tra-ção ou de compressão, essa distorção tende a zero, pois, no cruzamento da alma com as faces externas da mesa, a tensão t i : é obrigatoriamente nular
em virtude de ser nula a tensão na própria superfície livre, Fig. (1.3-g),
Desse modo, a tensão de cisalhamento x„: vai- se anulando ao longo do cru-zamento da alma com a mesa de compressão, como mostrado na Fig. (1.3-h). Verifica-se então que as tensões t ; í atuantes no plano longitudinal de corte da alma são equilibradas pelas tensões t,, que agem nos dois planos longi-tudinais de corte das abas da mesa.
Note-se que a composição vetorial das tensões zx. e tvv mostradas na Fig. (1,3-h) faz com que o fluxo de tensões da alma sofra uma rotação ao ser trans-ferido para as abas da mesa, como mostrado nas figuras anteriores. A análise desse fluxo de tensões mostra a importância do arredondamento dos cantos reintrantes das estruturas metálicas e das correspondentes mísulas das estru-turas de concreto,
Md 25
Figura f! ,3-g)
t 1 £
t 122
"^xz
Figura (1,3-ty
1.4 Cisalhamento em barras de seção variável
Para a determinação das tensões de cisalhamento nas seções transversais das barras de seção variável, em lugar da equação (1,2-3} deve ser emprega-da a expressão geral (1,2-2), pois nesse caso Syjl varia em função de x ,
Como em geral a tensão de cisalhamento é máxima na fibra que contém o centro de gravidade da seção, no caso de barras de seção variável, usualmen-te são estudadas apenas as tensões x9 nessa fibra. Desse modo, de (1.2-2) tem-se
T b A / — f — 0 0 I dx[l ,
logo
Como usualmente o braço de alavanca z é proporcional à altura h variável da seção, admite-se que seja
donde
ou seja
Z=Qt
_V_ A / j / f O V__M_ I dh CA~z + C ttc[h) z C, fr dx
I (y_M_dh^
h dx j baz (1.4-1)
V,
Viges do altura variável Figura ít^-oj
Considerando barras com variação suave da seção transversal, Fig, (1.4-a), tem-se
— =—L + — - 3 tany, + tan = tan (V, + lan^ dx dx dx
logo
1 („ M. Desse modo, tudo se passa como se continuasse válida a expressão (1.2-4), atu-ando porém na seção transversal uma força cortante reduzida Vntl dada por
(1.4-2)
(1.4-3)
sendo então
t 0 = ^ L (1.4-4)
IMa passagem das expressões (1.4-1) para (1.4-2), foi acrescentado o duplo sinal porque nelas há várias convenções de sinais que precisam ser compatibilizadas.
Para a escolha do sinal a ser empregado nas expressões anteriores, podem ser feitos os seguintes raciocínios, Fig. (1.4-b).
Influência do variação da seção Figura (J.4-Ò)
Quando a barra tem braço de alavanca z - constante, a força AH deve equi-librar a componente AR correspondente à variação do momento fletor no trecho de comprimento Ax.
No caso de vigas com z variável, mesmo que no trecho Avatue um mo-mento fletor constante M , sendo , será Rtl * Rc2, surgindo assim uma componente AH{, embora V = dMjdx = 0 .
Combinando-se os dois raciocínios anteriores, conclui-se que quando |/kf| e h crescem no mesmo sentido, a força AH decorrente da existência da força cortante fica reduzida pela parcela AHt devida à variação da seção transver* sal, Fig. (1.4-b).
Dessas observações decorre a regra pela qual, na expressão {1.4-3) que de-termina o valor da força cortante reduzida Vrft!, é tomado o sinal menos {-) quando \M\ e h crescem no mesmo sentido, e o sinal mais {+) quando cres-cem em sentidos opostos.
1.5 Tensões principais
Nas peças estruturais, as superfícies externas em geral são superfícies isentas de tensões. Desse modo, os estados múltiplos de tensões que apresentam maior interesse são estados triplos com um plano de tensão nula, pois em geral os pontos mais solicitados situam-se junto à periferia das seções trans-versais. Nesse caso, basta estudar as tensões que agem nos planos perpendi-culares ao plano de tensão nula.
Conhecidas as tensões nas faces de referência de um elemento da barra, Fig. (1.5-a), as tensões principais e as direções dos planos principais podem ser determinadas pelas expressões seguintes, em que a é a inclinação da ten-são principal menor em relação ao eixo na direção ao qual atua a tensão designada por a v . Nessa figura também é mostrada a determinação das ten-sões e das direções principais por meio do círculo de Mohr, no caso particular corrente em que <rh. = 0.
tan a a^-cr, CJ, - Cl
tá h
Na verificação da segurança das estruturas de concreto, de modo geral, são impostas limitações às máximas tensões de tração e às máximas tensões de compressão. Para evitar ambigüidades, essas tensões são consideradas em valor absoluto, indicando-se a maior tensão de tração por a J ( e a maior ten-são de compressão por <s„ .
Os valores característicos dessas tensões serão indicados por vn e <sjfk, e os valores de cálculo por Gjd e a„(í, respectivamente.
Estados múltiplas da tvnsóas Figura (!.5-i>)
Na Fig. (1,5-b) estão indicadas as tensões principais ao longo da altura da seção transversal de uma viga de seção retangular, de material elástico, sub-metida à flexão simples.
Nesse caso, na linha neutra existe um estado de cisalhamento simples, com a inclinação çt = 4S da tensão principal de compressão nlf em relação ao eixo longitudinal da peça.
Além disso, na linha neutra, A, = T5, e também O^ = TFL.
TENSÕES PfllNCIPfllS TENSAS PRINCIPAIS
Distribuição dos tansàos principais Figuro (f,5b)
Guando a peça também for submetida a forças normais de compressão, as tensões principais no centro de gravidade da seção ficarão alteradas, conforme foi mostrado na Fig. (1.5-a), Observe-se que com isso haverá uma redução da tensão principal e a tensão principal terá uma inclinação et <45 .
1.6 Natureza simplificada da teoria
E importante salientar que as equações aqui deduzidas para a determinação das tensões de cisalhamento decorrem de uma teoria aproximada, cujos re-sultados são influenciados pelas hipóteses simplificadoras adotadas,
Essas teorias não podem, portanto, ser aplicadas sem tais ressalvas.
Como exemplo das limitações dessa teoria, existe o paradoxo de que a distri-buição das tensões de cisalhamento foi obtida a partir da hipótese adotada na
teoria de flexão, de que seja mantida a forma plana da seção transversal da barra, e o seu resultado diz que a seção transversal deixa de ser plana.
De fato, na expressão (1.2-1) para o cálculo das tensões de cisalhamento in-troduziu-se a expressão da tensão normal decorrente da teoria de flexão, que adota a hipótese da manutenção da seção plana, corno está explicitado na equação (1.2-2).
Analisando a distribuição de tensões de cisalhamento t = VSÍbl calculadas ao longo da altura de uma seção transversal retangular, Fig. (1.6-a}, verifica-se que em virtude das distorções y-\jG seguirem necessariamente um andamento análogo ao dessas tensões, haverá uma distorção máxima no centro de gravi-dade da seção e distorções nulas em suas extremidades.
r -VS v - i ~bj G AX q>=IA<p.
\ T0 / /
" ri i i i i 1
n, ' • -X. i tp = IAíJ}j
/ f /
/
ii i X
fp = 1 Aifh,
Do/ormsçáo da scçáo transversa) dovida ò íorçn cortanto Figura (t.6-o)
Desse modo, tendo em vista a compatibilizaçào das distorções ao longo da altura da seção transversal, essa seção, originalmente plana, sob a influência da força cortante, necessariamente deixa de ser plana.
CAPÍTULO 2 Forças cortantes reduzidas
2.1 A resultante das tensões de cisalhamento
Ma flexão simples, a tensão de cisalhamento nas vigas de seção constante é dada pela expressão
ys X = JF
em que V é a força cortante, I é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra, b é largura da fibra por meio do qual calcula-se a tensão e S é o momento estático, calculado sempre em relação à linha neutra, da parte da seção situada de um dos lados da fibra na qual é calculada a tensão t,
Mote-se que não importa qual dos dois lados da seção é considerado para o cálculo do momento estático S, pois para ambos é obtido o mesmo valor absoluto, uma vez que é nulo o momento estático da totalidade da seção transversal em relação a um eixo baricêntrico,
Quando a largura b for variável ao longo da altura da seção, a tensão calcula-da pela expressão anterior corresponderá ao valor médio da componente de cisalhamento atuante paralelamente à força cortante.
Considere-se agora a demonstração de que a resultante das tensões de cisalha-mento calculadas pela expressão anterior é igual à força cortante aplicada.
Note-se que o resultado não é óbvio, pois as tensões de cisalhamento foram calculadas a partir da variação das tensões normais atuantes na seção trans-versal, e não a partir de hipóteses formuladas diretamente a partir da própria força cortante.
Em principio, Ffg. (2.1-a), a resultante das tensões t paralelas a V vale
(2.1-1)
em que o momento estático S(y) é função da ordenada y que define a fibra por meio da qual se calcula i ,
fíosvftanto das lonsúos do cisalhamento Figura (5. J-o)
C5THUTUnAS DC CONCRETO
Integrando a expressão anterior por partes, obtém-se
ou seja
\s(y)dy~-)yds(y) yi >1
uma vez que são nulos os momentos estáticos S ) e correspon-dentes à totalidade da seção transversal em relação à linha neutra, temos como resultado
>•• (2,1-2)
Por outro lado, sendo r uma variável muda de integração, o momento estáti-co vale
S(y)= jbz-dz
ou seja
V >1 $ (y ) = - Jfe • d" + J/>Z • dz
A segunda integral da expressão anterior representa o momento estático da parte da seção que fica de um lado do eixo baricêntrico Gx, sendo
portanto um valor constante, possível de se escrever a expressão anterior sob a forma
A expressão do diferencial dS(y) a ser introduzido na integral da equação (2,1-2), que é definida por
pode então ser escrita sob a forma
íty
>
-jbz-dz + Sq dv
Desse modo, sendo Su um valor constante, tem-se
dS(y) = -[bzl-dy = -bydy
Substituindo (2.1-3] em (2.1-2), obtém-se
(2.1-3)
\s(y)dy = -\y(-by)dy
resultando, finalmente,
\S(y)dy=]byldy = I (2.1-4)
Essa expressão, substituída em (2.1-1), prova que
(2.1-5)
Mo caso de vigas de seção variável, de acordo com (1.2-2), as tensões de ci-salhamento são dadas por
, « 4 vsv d
I dx
( c
t
e sua resultante, pelo que já foi visto, vale
\x(y)bdy = V+ fM J-f ^ \dy
Como M e I são valores globais da seção transversal genérica, tem-se
A Vj V
dy
Por outro lado, de
'r d f c-
f - ^ 4> = M ' J dx 7
integrando-se por partes, conforme (2.1-4), obtém-se
\S?<*y = [ s M - S ( y 2 ) y \ y - d S y = I
ou seja, resulta
1 dA ! J y - M l . I
* d x \ I s O
concluindo-se que em qualquer caso
R(t)mV
2.2 O conceito de força cortante reduzida
O conceito de força cortante reduzida foi introduzido pela primeira vez por meio das expressões (1.4-2) e (1.4-3), pelas quais, no centro de gravidade das seções transversais das vigas de altura variável, atuam as tensões t0 dadas por
1 í,v M . \
Surge, então, a idéia de uma força cortante fictícia, expressa por
r, M
chamada de força cortante reduzida. Por simplicidade de notação, sempre que for conveniente, a força cortante reduzida será indicada por Vr.
O conceito de força cortante reduzida fica mais claro quando a peça estrutural é estudada à luz de um modelo de treliça e não mais como viga de alma cheia. Nesse caso, a red ução da força cortante corresponde à parcela de cisalha mento que é transmitida petos banzos de flexão da peça, e a viga não mais transmite toda a força cortante apenas por sua alma, Fig. {2.2-a) e Fig. [2.2-b),
M ' T
S c t g V y t
V g V s
M + AM
Força corta/lio rttduiida - (Vr<V) Ftgura (2,2-o)
Força cortante redunda -(Vr<Vf Figuro (2.2-bf
Em virtude da inclinação dos banzos da peça, as forças Rt e Rt, resultan-tes das tensões normais que agem nos planos das seções transversais, são acompanhadas pelas componentes transversais /?. tan\|/r e R, tan v|/f, que são paralelas à força cortante V.
Desse modo, Fig. (2.2-a), quando M e h crescem no mesmo sentido, a re-sultante /?(T) das tensões de cisalhamento na alma deve equilibrar apenas a força
Vr -V-Rc tan v|/£. - Rt tany,
Nesse caso,sendo
Z
obtém-se
Vt-V - — (tan + taiH|>,) z
Fazendo-se, então,
tan v|/c + tan _ tani|/, + tan\j/2 ^ tanvp
z h h
resulta
., ,, M » f - —tany
h (2.2-1)
que é a mesma expressão (1.4-3) já obtida anteriormente com o modelo de viga de alma cheia.
De forma análoga, Fig. (2,2-b), quando M e h crescem em sentidos contrários, tem-se
Vr - R tan - Rf tan yf = V
ou seja
Vr-V + Rr tan + R, tan
resultando assim
r r w M V = V -t-—tan 4/ A (2.2-2)
Verifica-se, portanto, que o conceito de força cortante reduzida é bem ade-quado às vigas de altura variável, quando nas seções transversais pode-se admitir a existência de um banzo comprimido e um banzo tracionado reunidos pela alma, com direções quase paralelas às faces superior e inferior da peça, fazendo-se de conta que a força cortante seja resistida apenas pela alma.
2.3 Cisalhamento na flexão composta
Nesse estudo, é considerado apenas o caso usual em que se pode admitir uma força normal constante, sendo desprezada a influência sobre o cisalha-mento de eventuais variações de N ao longo da peça.
Nas barras de seção constante, em regime elástico, não se alteram os resul-tados obtidos anteriormente, pois a presença de tensões normais, devidas a forças normais iguais em duas seções adjacentes, não altera o equilíbrio de forças longitudinais. De modo geral, as máximas tensões de cisalhamento continuam existindo na fibra que contém o centro de gravidade da seção transversal, embora por ela não mais passe a linha neutra, em virtude da exis-tência de uma força normal não nula.
Nas barras de seção variável, Fig. (2.3-a), as tensões tangenciais são dadas pela expressão geral (1.2-1), ou seja
T = I i - íadA b dx }
donde
hdx \ , r a ) •
obtendo-se, no centro de gravidade da seção, o valor
C/stffiammto na ftoxào composta Figura 12.3-a)
Por essa expressão, é nula a influência de uma força normal constante em barras em que \ j A é constante ao longo do eixo da barra. Isso acontece es-sencialmente nas barras em que a seção transversal é simétrica em relação à linha neutra da flexão simples, Fig. (2.3-b), pois, nesses casos, a simetria dos banzos da peça anula a possível influência da força normal sobre a resultante das tensões de cisalhamento.
Mo caso geral, deve-se admitir que o banzo comprimido e o tracionado te-nham inclinações diferentes em relação ao eixo da barra. Nessa situação, é necessário raciocinar como se a força normal fosse decomposta em duas parcelas, kt.N e k,N, resistidas respectivamente pelo banzo comprimido e pelo banzo tracionado, Fig. (2.3-c).
Seçíto çgm Aa j A constante Figuro (2.3-b)
Viga com banzos do inclitmçõos difcrânios Figura 12.3-cí
O equilíbrio de forças axiais impõe a condição
kc+k,= 1
e para que não se altere o momento fletor M relativo ao centro de gravida-de da seção, deve-se ter
k,e(.=k,e,
donde
ou seja
logo
k, e,
L = L e, e,
K _ e< k(. + k, e,+et.
Desse modo, sendo o braço de alavanca z dos esforços internos (na flexão composta) dado por
z = et, +t>,
têm-se
z [2.3-2}
- (2.3-3}
Conforme é mostrado na Fig. (2.3-d), a força cortante reduzida vale então
^ ( tan - M . ^ —+k.N
\ z J t a n %
(2.3-4)
com N > 0 de tração.
Força CürtunlO roduridú na ftcxüQ composto Figuro (2.3-d)
2.4 Forças cortantes reduzidas em peças de concreto armado
Preliminarmente, observe que para a determinação das tensões normais que agem na seção transversal das peças fletidas, a consideração de que o mo-mento de flexão seja referido ao centro de gravidade da seção é apenas uma convenção que facilita os cálculos no caso de peças de material elástico line-ar. Nada impede, porém, que o momento dos esforços internos seja referido a qualquer outro ponto da seção transversal da peça.
Nas peças de concreto armado, a possibilidade de fissuração do concreto tra-cionado e a pseudoplastificação do concreto comprimido eliminam qualquer vantagem que poderia existir na consideração do momento de flexão referido ao centro de gravidade da seção geométrica da peça.
Desse modo, sempre que o cisalhamento for verificado com a hipótese de que na peça haja um banzo tracionado e um banzo comprimido, será admitida a fissuração do banzo tracionado e, ao invés do momento fletor M e da for-ça normal N serem aplicados no centro de gravidade da seção, os esforços serão referidos ao centro de gravidade da armadura de tração, Fig. (2.4-a}. Nesse caso, em lugar de M, aplica-se o momento , dado por
Ma = M - N • ys ( 2 . 4 - 1 )
considerando-se como positiva a força normal N de tração e negativa a de compressão.
Cissthamentú nus poças com um bamo tracionado o outro comprimido Figura f2.4 o)
Note-se que a consideração dos esforços solicitantes referidos ao centro de gravidade da armadura de tração não altera as resultantes /?, e R, das ten-sões normais na seção transversal, porquanto de acordo com as expressões [2.3-2) e [2.3-3), sendo
têm-se
= v,
er+e, =s
R N'e> M-N-ya Af,
T T
„ M N-ee M-N-y( N(er+ys) M R, - — + — +————-—2- + N
Considerando a expressão geral (2.3-4), pela qual
tan y -M . .. —+k,N
K z tan
verifica-se que o momento referido ao centro de gravidade da armadura de tração corresponde à decomposição com os valores
kc= 0 e *,m\
obtendo-se para a força cortante reduzida a expressão
M M = V - tan tan - N lan
(2.4-2)
Finalmente, admitindo-se as simplificações
tani|/,. tany 2 ~ d
e
obtém-se a expressão geral da força cortante reduzida na flexão composta
Observe que em lugar da força normal ter sido transportada para o centro de gravidade da armadura de tração, isso é, para o ponto de aplicação da resul-tante das tensões de tração, ela poderia ter sido transportada para qualquer outro ponto da seção e, em particular, para o ponto de aplicação da resultante das tensões de compressão.
De fato, Fig. (2.4-b), para que na equação geral (2,3-4) não se altere o valor do momento fletor, na expressão
de acordo com {2.3-2) e {2.3-3), devem ser introduzidos os valores
(2.4-3)
> (M \ -kt,N turnj^- — \ - k : N tanvfí,
) \ s )
e . =£zl±=>L
(2.4-4)
cstuutuhas pc ggNCFiETo mm 4 9
Raduçèo dos momentos fletorcs ao banzo comprimido Figuro {2,4-b)
Tomando-se as primeiras definições de kc e kt contidas no par de expressões (2.4-4), resulta
t a n y t -M z — yt
N \ -
tan
ou seja
Vm, = V - — ( t a n y (1 + t a n y , ) + — — ( t a n + t a n i [ f , ) - N t a n
resultando então
ym, = V _ (tan y , + tan y J - N tan vj/,
que é a mesma expressão (2.4-2) correspondente ao transporte de N ao cen-tro de gravidade da armadura de tração, pois
M - N • yx = Ms
De forma análoga, empregando-se as segundas definições de kc e k, conti-das no par de expressões (2,4-4), tem-se
j tany, - M y ' , \ — + — N tari . z z )
isto é
= r ( t a n + M
c
resultando
que corresponde ao transporte de N para a posição da resultante das tensões normais no banzo comprimido.
2.5 Cisalhamento nas peças usuais de concreto armado
No caso das peças de concreto armado em que a variação da seção corres-ponde apenas a uma inclinação do banzo comprimido, Fig, (2.5-a), para a aplicação das expressões do item anterior, têm-se
e
resultando de (2.4-3) a expressão simplificada
, jr JV/ ti (2.5-1)
na qual o duplo sinal decorre dos sentidos de variação de d e de M (.
Mas peças submetidas à flexão simples será sempre M} = M .
R B F / 2
ÚV-^-lfl^ F/2
Vigas com inclinação do banzo comprimido Figura (2,S-aj
A expressão anterior também pode ser posta sob a forma
(2,5-2)
admitindo sempre que /gy > o, que a força normal é positiva [A' >0) quan-do de tração, e que h e \m\ crescem no mesmo sentido. Essa expressão é válida quando existe inclinação apenas do banzo comprimido, Caso con-trário, deve ser empregada a expressão geral (2,4-2).
Mote-se que quando não há simetria na inclinação dos dois banzos, como por exemplo quando apenas o banzo comprimido é inclinado, surge a dificuldade suplementar de se entender o que seja o eixo da peça, Fig. (2,5-b), Todavia, conforme é mostrado nesta figura, qualquer que seja o eixo adotado, a redu-ção a ser feita na força cortante é praticamente a mesma.
Figura (25 b)
Finalmente, observa-se que a determinação separada das tensões normais devidas à flexão e das tensões tangenciais devidas â força cortante é uma simplificação grosseira do problema, É dessa simplificação que surge a idéia de que nas vigas de seção constante possam ser imaginados dois banzos paralelos ao eixo longitudinal da peça. Na Fig. (2.5-c) estão mostradas as tra-jetórias das tensões, em regime elástico, determinadas por métodos precisos e pela teoria usual de flexão.
ÍSTnUTUnAS OC CQNCFICTO
Trujatórias cia esforços Figuro (2.5-c)
Verifica-se, portanto, que mesmo nas vigas de altura constante existe de fato uma certa inclinação da trajetória das tensões nos apoios, ou seja, existe efe-tivamente uma certa inclinação do que poder-se-ia entender como o banzo comprimido da peça. Nos apoios, essa inclinação pode afetar sensivelmente a determinação das armaduras de cisalhamento das peças de concreto arma-do, como se a viga de fato tivesse um banzo comprimido inclinado.
2.6 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto protendido
O estudo do cisalhamento na flexão composta das peças de concreto pro-tendido é feito correntemente da mesma maneira que nas peças de concreto armado clássico, Entretanto, para isso, há a necessidade de um claro enten-dimento do que seja flexão composta no concreto protendido, uma vez que o próprio processo de protensão introduz tensões axiais nas seções transver-sais da peça.
Ma Fig. {2.6-a} estão mostradas as diferentes forças axiais que agem nas seções transversais das peças pertencentes a estruturas isostáticas de concreto pro-tendido, submetidas a ações diretas que provocam apenas flexão simples,
Observe-se que a resultante Rc das tensões de compressão no concreto será sempre igual à resultante Rt das tensões de tração nas armaduras, qualquer que seja a fase considerada de carregamento.
Com as mesmas hipóteses, na Fig. {2.6 b) estão mostradas as resultantes de ten-sões que agem nas seções transversais das vigas pretendidas hiperestáticas.
A idéia de que a pretensão corresponde a uma flexão composta é válida ape-nas para a seção transversal da qual é excluída a própria armadura de preten-são. Quando se considera a totalidade da seção transversal da peça, formada pelo concreto e pelas armaduras passivas e de protensão, os esforços soli-citantes não dependem da protensão, exceto nas estruturas hiperestáticas, onde podem surgir os chamados esforços hiperestáticos de protensão, de-correntes da inibição de deslocamentos provocados pela própria protensão.
Assim, tanto nas peças de concreto protendido, quanto nas peças de qualquer outro material, somente haverá flexão composta se realmente houver força normal externa atuante, a qual somente poderá existir como decorrência de ações aplicadas à estrutura e de esforços hiperestáticos de protensão.
Observe-se que, de início, no ato da protensão, admitindo que não seja mo-bilizada parcela alguma do peso próprio, os esforços internos são auto-equi-librados e não dependem das ações diretas g e q, que ainda não atuam na estrutura. Nesse estágio, as resultantes de tensões Rrl e /?„ são iguais em módulo e, nas estruturas isostáticas, elas atuam segundo a mesma linha de ação, pois Rcl e R„ devem formar um binário de momento nulo, Nas estrutu-ras hiperestáticas, no estado inicial de protensão, Rrj e Rü devem estar afas-tadas entre si a uma distância zt tal que elas formem um binárío de momento igual ao valor M M mobilizado no próprio ato da protensão.
Carregando-se a estrutura progressivamente, ao se atingir o estado limite úl-timo de solicitações normais, a resultante das tensões na armadura de pro-tensão estará praticamente limitada ao valor de escoamento À/Ifyj!. Nessa situação, o funcionamento do concreto protendido é exatamente o mesmo que o do concreto armado comum, devendo o binário formado pelas resul-tantes Rt,(l e Rltl equilibrar o momento externo M[f,ltj)ll das ações diretas, somando-se a ação direta Mi>m, , quando ela existir
ESTRUTURAS GE CONCRETO I -
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(b>. E S T A D O L I M I T E ÚLTIMO
ffexéo simples do estruturas pretendidas hiporestáticas Figuro f2,6-b)
Desse modo, a força P de protensão não deve ser interpretada como uma força normal para efeito de determinação das forças cortantes reduzidas, também não deve ser considerada como uma força normal para o dimen-sionamento à flexão da seção transversal. Uma força normal somente pode ser criada por ações diretas, inclusive por efeitos hiperestáticos da própria protensão, que também são efeitos diretos.
Nessas condições, nas peças de concreto protendido submetidas à flexão com-posta, a força cortante reduzida continua sendo dada pelas expressões (2.4-1) até (2.5-2), nas quais agora
M = M + M p M l ) (2.6-1)
(2.6-2)
Na verdade, nas peças de concreto protendido, para cálculo da força cortante reduzida, ainda deve ser considerada a influência de eventuais cabos de pro-tensão inclinados, conforme é analisado a seguir
2.7 Vigas protendidas com cabos inclinados
Nas vigas pretendidas com cabos inclinados, a força cortante a ser resistida sofre ainda urna outra redução, devida à inclinação da força de protensão, Fig. (2.7-a)
ÍSTNUTUNAS OC CQNCFICTO
ftgura (2.7-{>l
Mo caso geral, a força cortante reduzida Vmt pode ser escrita
V^V-AV^-AV,,
onde V é a força cortante efetiva, é a redução devida à seção transversal variável, e AVp è a redução correspondente à existência de cabos inclinados de protensão.
Mo caso de vigas protendídas com cabos curvos, considerando a ação de o concreto sobre o cabo, Fig. (2.7-b), como o cabo é perfeitamente flexível, o trecho considerado de cabo está em equilíbrio sob a ação das forças Pt e P que atuam nas extremidades desse trecho, e da pressão transversal Pt exer-cida entre o cabo e o concreto. Desprezando-se o atrito, as forças Pt e P são iguais em módulo, pois são forças análogas às que são transmitidas ao longo de um cabo flexível enrolado sem atrito em torno de um tambor. No caso real, em que existe atrito, sempre será P< Pt.
Considerando a ação do cabo sobre o concreto, Fig. £2.7-c), em virtude do cabo ser flexível, a ação conjunta da força de protensão P aplicada na seção inicial de um dado trecho e das forças transversais P, atuantes ao longo desse trecho
Açüo tio concroto sobro OS Cubos Curvos Figuro (2.7-b)
é esteticamente equivalente à ação de uma força de módulo P aplicada, com a inclinação a do cabo, na seção da outra extremidade do trecho considerado,
Figura (2.7- C)
Desse modo, a redução Àí^da força cortante devida à presença de cabos curvos vale
e no caso usual em que os cabos podem ser admitidos com forma parabólica de equação
y = cx2
cuja inclinação em relação ao eixo da viga é dada por
dy „ tan a = — = 2o:
dx
sendo
sin a = tan a = 2cx
resulta uma variação linear de AFJt ao longo do trecho curvo da cabo, como se mostra na Fig. (2.7-c).
IMa presença de vários cabos curvos, Fig. (2.7-d), a redução AVp é obtida por superposição das reduções correspondentes a cada um dos cabos conside-rados isoladamente.
Figura (2.7-d)
Para efeito de dimensíonamento, é preciso considerar que o desconto áVfI de-vido à força de protensão pode inverter o sentido da força cortante reduzida.
Por essa razão, no projeto é preciso considerar tanto a situação de solicita-ções máximas quanto a de solicitações mínimas, Nos casos usuais, são consi-deradas as forças médias Pm lmftj e Pm f.Q , respectivamente, como mostrado na Fig. (2.7-e),
SOLICITAÇÕES M A X M A S : V ( Í T Q ) ( J
SOLICTTFTÇÕEÂ MÍNIMAS : V
(USUALMENTE U M ÚNICO
ri.
£J
r d,
I
1 V, ÍTlO* [o +
m s V
min gl,<f
q)d p,t«»
AV
F O R Ç A S
p,t»o
F O R Ç A S
C O R T A N T
C O R T A N T
S E R Á CONSIDERADO VALOR P B P M )
E S
E S
M A X I M A S
M Í N I M A S
Forças cortantes reduzidas do cálculo Figura (2.7-0)
CAPÍTULO 3 Análise estrutural - Determinação dos esforços solicitantes - exemplos
3.1 Critérios de classificação das ações
De modo geral, as ações que atuam nas estruturas podem ser classificadas de acordo com diferentes critérios, como os indicados na Tabela (3,1-a),
Tabela (3.1-a)
C R I T É R I O S D E C L A S S I F I C A Ç Ã O T I P O S D E A Ç Õ E S
Variação no Tempo Ações Permanentes Ações Variáveis Ações Extraordinárias
Variação no Espaço Ações Fixas Ações Livres (Móveis ou Removíveis)
Natureza Mecânica Ações Estáticas (Acelerações Desprezíveis) Ações Dinâmicas (Acelerações Significativas}
Para o projeto, também se consideram como permanentes as ações cujas va-riações sejam desprezíveis em relação ao seu valor médio. As ações variáveis são consideradas conforme os critérios indicados na Tabela (3,1-b).
A variabilidade das ações permanentes é considerada em relação a um con-junto de construções de mesma natureza.
A variabilidade das ações variáveis é considerada em relação ao tempo de utilização da construção.
CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO DAS AÇÕES VARIÁVEIS TIPOS DE AÇÕES VARIÁVEIS
Tempo de Permanência Ações de Longa Duração Ações de Curta Duração
Freqüência de Atuação Ações Repetidas Ações Não Repetidas
Em face da multiplicidade de condições de carregamento que podem ocorrer durante a vida útil das construções, torna-se necessário convencionar quais as situações de carregamento a considerar na verificação da segurança das estruturas, da seguinte maneira:
a) Situações permanentes
Entendem-se como permanentes, as situações de carregamento correspon-dentes à utilização normal da construção, As situações permanentes englo-bam as ações permanentes e as ações variáveis usuais, tendo duração da mesma ordem de grandeza que o período de referência admitido para a vida útil da construção.
b} Situações temporárias
Entendem-se como temporárias, as situações cuja duração é muito menor que o período de referência da vida útil da construção. A situação temporária é considerada como transitória quando nela ocorrem ações variáveis especiais, como é a situação de construção. A ação temporária será extraordinária quan-do ocorrerem cargas extraordinárias que até podem levar a estrutura à ruína.
Ma elaboração do cálculo estrutural, para as ações, são adotados determinados valores considerados como representativos (F ) para o caso considerado. Esses valores representativos podem ser determinados com os seguintes critérios:
I) Ações permanentes
Em princípio, as ações permanentes podem ser consideradas com dois va-lores diferentes: um valor característico superior correspondente ao quantil de 95% da distribuição de valores associados à população de estrutu-ras semelhantes, e um valor característico inferior, G k M f correspondente ao quantil de 5% dessa distribuição.
Usualmente esses dois valores característicos são substituídos por valo-res representativos nominais, fixados de modo convencional da seguin-te maneira:
1- Peso próprio das estruturas
Em virtude de a pequena variabilidade do peso próprio, adota-se um único valor nominal Gk, calculado a partir dos desenhos de projeto e dos pesos espe-cíficos médios dos materiais.
2- Peso dos elementos não estruturais
Em princípio, são adotados dois valores nominais, um máximo e um mínimo, levando-se em conta todas as variações que possam ser razoavelmente pre-vistas. Usualmente o valor mínimo é considerado igual a zero.
3- Empuxos de terra
Adota-se o valor máximo para o empuxo ativo e o valor mínimo para o em-puxo passivo.
4- Forças de protensão
Os efeitos da protensão são determinados a partir de dois valores caracterís-ticos da força de protensão, um valor máximo Ph e um valor mínimo Pkml(i
ou, em muitos casos, a partir de um valor médio Pm.
5- Outras ações
As deformações impostas pelo método construtivo, por recalques de apoio, por diferenças de temperatura e pela retração, bem como as forças decorren-tes de um nível d'água praticamente constante são representados por valores nominais únicos.
II) Ações variáveis
Para as ações variáveis são considerados os seguintes valores representativos:
1- Valor característico {Ffc}
É o valor básico de referência estabelecido pelos regulamentos normalizadores.
2- Valor de combinação }
É o valor de uma ação secundária que acompanha uma outra ação variável considerada como principal, na verificação da segurança em relação a esta-dos limites últimos.
3- Valor freqüente (y,/^ )
E o valor significativo para a consideração da ocorrência repetida da ação, ou ações de média duração, na verificação da segurança em relação a estados I irrites de serviço.
4- Valor de longa duração ( y ^ )
É o valor da ação variável quase permanente, que pode atuar durante perío-dos de tempo suficientemente longos para que sejam considerados os efeitos da permanência ao longo do tempo, na verificação da segurança em relação a estados limites de serviço.
Os valores usuais dos fatores de combinação (4^) e dos fatores de utili-zação ( >}'!© V;) especificados por normas brasileiras são os indicados na Tabela (3.1-c)."
•na 67
Tabela (3.1-c) Fatores de combinação e de utilização
AÇÕES EM ESTRUTURAS CORRENTES Vi
Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3
Pressão dinâmica do vento 0,5 0,2 0
CARGAS ACIDENTAIS EM EDIFÍCIOS ¥0 Vi
Locais em que não há predominância de equipamentos fixos, nem de elevadas concentrações de pessoas
0,4 0,3 0,2
Locais onde há predominância de pesos de equipamentos fixos, ou de elevadas concentrações de pessoas 0,7 0,6 0,4
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6
CARGAS MÓVEIS E SEUS EFEITOS DINÂMICOS Vo
Pontes de pedestres 0,4 0,3 0,2
Pontes rodoviárias 0,6 0,4 0,2
Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas) 0,6 0,6 0,4
3,2 Combinações de cálculo e critérios de segurança
A- Estados limites últimos
m
Combinações últimas normais F<T = C!FCIII + 7, »
II - Combinações últimas especiais ou de construção
rrj
' I >-2
III - Combinações últimas especiais
jtJ ri
M
B- Estados limites de serviço tti tt
I - Combinações de longa duração FÍKM. = £FGKK + 2 í-i /.i
MT tl II - Combinações freqüentes F<IFRF = Y FA I + + X ^ A
M /«I
C- Coeficientes de ponderação
Tabela (3.2-a) Ações permanentes de pequena variabilidade
C o m b i n a ç õ e s y K p a r a e fe i tos ( * } C o m b i n a ç õ e s D e s f a v o r á v e i s Favoráve is
Normais te - 1 , 3 r . * 1 ,0
Especiais ou de Construção yK = i .a y, = 1,0
Excepcionais y , = ™ ys = 1,0
(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos yM ou y a
Tabela (3.2-b) Ações permanentes de grande variabilidade
Combinações y para efeitos (*} Combinações Desfavoráveis Favoráveis
Normais yK - 1,4 y, - 0,9
Especiais ou de Construção V, - 1,3 y, - o-s
Excepcionais yK = 1,2 y* = 0,9
(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos y ou ya
Tabela (3.2-ç) Ações permanentes indiretas
Combinações yK para efeitos (*) Combinações Desfavoráveis Favoráveis
Normais yK = 1,2 y« = 0
Especiais ou de Construção y« - 1,2 = 0
Excepcionais = 0 Y* = 0
[*) podem ser usados indiferentemente os símbolos Y ou Yo
Tabela (3.2-d) Ações variáveis
Combinações Ações variáveis em geral incluindo as cargas móveis D
Efeitos da temperatura
Normais 7, = 1.4 Yc= 1.2
Especiais ou cie Construção 7 , = 1.2 y, = i-o
Excepcionais T,, = 1.0
(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos ou
3.3 EXEMPLO N°1:
- Viga isostática de seção constante em edifício de oficinas; - Flexão simples devida a ações permanentes e ações variáveis de mesma natureza; - Combinação última fundamental e combinação de serviço.
Q=100k N | q = 20 k N ,' m
. _ _ _ L l g »10 k NI m aJí A S O —•
L =0,0 m
Figura (3.3-s)
UNIDADES [kN, m) 1 kN s 0,1 tf
ANÁLISE
ESTRUTURAL
ESFORÇOS VALORES CORRESPONDENTES A
ANÁLISE
ESTRUTURAL
ESFORÇOS 9 q Q TOTAIS
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Ações características: gk , qik 10 20 100 -
ANÁLISE
ESTRUTURAL Reações de apoio: R a = Rm
40 80 50 170 ANÁLISE
ESTRUTURAL
Forças cortantes características
Ku 40 80 50 •
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Forças cortantes características
K--, 0 0 50 -
ANÁLISE
ESTRUTURAL
Momentos fletores característicos MCk 80 160 200 -
E.L. ÚLTIMO
7, "T, =1.4
Forças cortantes de cálculo 56 112 70 238
E.L. ÚLTIMO
7, "T, =1.4
Forças cortantes de cálculo 0 0 70 70
E.L. ÚLTIMO
7, "T, =1.4
Momentos fletores de cálculo MCit 112 224 280 616
E, L. de SERVIÇO
^ =0,7
Forças cortantes de serviço
Ku 40 80 50 -
E, L. de SERVIÇO
^ =0,7
Forças cortantes de serviço
• 56 35 •
E, L. de SERVIÇO
^ =0,7
Forças cortantes de serviço
v Y A&r - - - 131
E, L. de SERVIÇO
^ =0,7
Forças cortantes de serviço
0 0 50 -
E, L. de SERVIÇO
^ =0,7
Forças cortantes de serviço
0 0 35 •
E, L. de SERVIÇO
^ =0,7
Forças cortantes de serviço
V - - - 35
E, L. de SERVIÇO
^ =0,7
Momentos fletores de serviço
80 160 200 -
E, L. de SERVIÇO
^ =0,7
Momentos fletores de serviço - 112 140 -
E, L. de SERVIÇO
^ =0,7
Momentos fletores de serviço
» * * 332
g k - 1 0 k N M i
q k = 2 0 k N / m
< ^ = 1 0 0 k N fm
E s t a d o L i m i t e Ú l t i m o M c J
50
100
1S0
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
k N . m
g k = 1 0 k N / m
q k = 2 0 k N / m
Q ^ 1 0 0 k N / m
E s t a d o L i m i t e Ú l t i m o V, t
E s t a d o L i m i t e d e U t i l i z a ç ã o V.
Figura (13-b)
3.4 EXEMPLO NQ2;
- Viga isostática de seção constante em edifício de oficinas; - Flexão simples devida a ações permanentes de grande variabilidade e a duas ações variáveis de naturezas diferentes; - Duas combinações últimas fundamentais e duas combinações de serviço.
Q - 1 0 0 kN
C
L = 8,0 m
q = 20 k N / m g = 1 G k N / m
B
Fig tiro (3.4-aj
Esse exercício é análogo ao anterior, tendo porém cargas variáveis de naturezas dife-rentes. Nesse caso serão feitos: F1 -q ; F2=Q; yK = yv = 1,4; 4'n<1 = =Hf
[i = 0,K ; y, =0,7; V3=0,6,
UNIDADES (kN, m] 1 k N = 0 , 1 tf
ESFORÇOS VA LORISC 0 R l ^ PO NDENTEÍTA
B G TOTAIS
Ações características: * fc 10 20 100 -
ANÁLISE Reações de apoio:
= 40 80 50 170
ESTRUTURAL
Forças cortantes 40 80 50 -
características 0 0 50 -
Momentos fletores característicos 80 160 200 -
Wm 56 112 70 -
E. L ÚLTIMOS
0,8x1 AVm • 89,6 56 •
E. L ÚLTIMOS 0 0 70 -
YV = M Forças cortantes do cálculo
M K U ^ j , 0 0 56 *
Y„ = 1-4
Forças cortantes do cálculo
1- Combinação VAllrciH„b 56 112 56 224
f , , =0,8 1» Combinação 0 • 56 66
Combinação 56 39,6 70 215,6
2" Combinação y 0 0 70 70
CSTUUTUHAS PC CONCRETO
y, «1,4
Momentos fletores de cálculo
1 4 M „ 112 224 280 -y, «1,4
Momentos fletores de cálculo
0,8x1,4 JTFW - 179,2 224 •
y, «1,4
Momentos fletores de cálculo Ia Combinação A Í £ U I I W
112 224 224 560
y, «1,4
Momentos fletores de cálculo
2° Combinação 112 179,2 280 571,2
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Forças cortantes de serviço
Ku 40 80 5 0 -
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Forças cortantes de serviço
- 5 6 35 •
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Forças cortantes de serviço
• 48 30 -
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Forças cortantes de serviço
0 0 50 -
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Forças cortantes de serviço
0 0 35 -
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Forças cortantes de serviço
- 0 30 -
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Combinação - V A K 0 + ( ^ , + ^ 1 = 4 0 + 4 8 + 3 0 118 E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Combinação V ^ ^ , w = VCiljQ+ ( V ^ + V ^ - O + O + M 3 0
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7 Combinação VAk,c+ V ^ + y , VAkQÍ=40+56+30 126
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
V Combinação VewlnKltoBl,= V w + y, VC,W1 + y , Vc<kQJ=0+0+30 30
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
2" Combinação VWeqüBn i9= VAkiG+ V|/;VWQ1+ y, VA40Í=40+48+35 123
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
2° Combinação Vc.if„q0,m,= Vc.h|ti+¥íVc,h(ül+ y, Vc,Of=0+0+35 35
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Momentos fletores de serviço
80 160 200 -
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Momentos fletores de serviço
- 112 140 -
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Momentos fletores de serviço
- 9 6 120 -
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
Combinação M C b W duroçlD= MC k G+y 2 (M c w ,+ MCkQI}=8Q+96+120 296
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
1" Combinação M ^ ^ = MCka+ y, M a ü l + MCk0J=80+112 + 120 312
E. L. de SERVIÇO
¥ , - 0 , 7
2° Combinação Mfik|ü+ y 2 + y , MCkM=80+96 + 140 316
3,5 EXEMPLO N°3: Viga isostática de seção constante; Flexão simples devida a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis com carrega-mento alternado.
q =10 k N / m
g = 20 kN / m cnrnnn dl atribuídas uniformo monta
R
o= 3,0 m LH0,O M
Figura (3,5-0}
UNIDADES (kN, m } 1 kN = 0,1 tf
ANÁLISE ESTRUTURAL
E S F O R Ç O S VALORES CORRESPONDENTES A
ANÁLISE ESTRUTURAL
E S F O R Ç O S
G <ÍA>! 9íC Min, Máx,
ANÁLISE ESTRUTURAL
Ações características 10 20 20 - -
ANÁLISE ESTRUTURAL
Forças cortantes características
V Hiiüil.k -30 -60 - -30 -90 ANÁLISE ESTRUTURAL
Forças cortantes características
V T Éklíi.k 37,5 15 60 37,5 112,5
ANÁLISE ESTRUTURAL
Forças cortantes características
v -22,5 15 -60 -7,5 -82,5
ANÁLISE ESTRUTURAL
Momentos fletores característicos
MBfc 45 90 0 45 135
ANÁLISE ESTRUTURAL
Reações de apoio Rnk 67,5 75 60 67,5 202,5
ANÁLISE ESTRUTURAL
Reações de apoio
RUk 22,5 -15 60 7,5 82,5
V s=0 9
1 4 V -42 - 8 4 - -
V s=0 9
W U -27 • • -
V s=0 9 1.4VedlllJl 52,5 21 84 » V s=0 9
33,75 • * •
V s=0 9
1,4VCk -31,5 21 -84 -
V s=0 9
0,9 VCk •20,25 - • •
V(l (111 Comb,)
S, - l,4í„, +1,45
v -42 .84 - -42 -126 V(l (111 Comb,)
S, - l,4í„, +1,45
v BdM 52,5 21 84 52,5 157,5
V(l (111 Comb,)
S, - l,4í„, +1,45 -31,5 21 -84 -10,5 -115,5
V, (2" Comb.)
«3J
S„~Q)9SA*I,4S,L
V Ratq.d
-27 -84 - -27 -111 V, (2" Comb.)
«3J
S„~Q)9SA*I,4S,L
v 33,75 21 84 33,75 138,75
V, (2" Comb.)
«3J
S„~Q)9SA*I,4S,L Vc<t -20,25 21 -84 0,75 -104,25
M,
1,41^ 63 126 - -
M,
0,9 MSt 40,5 • • •
M, 1a Comb. Mh<1 63 126 63 189 M, 2a Comb. mh<1 40,5 126 40,5 166,5
Est. Lim. Serv.
=0,7
Comb, Freq,
V DlIIUE N',I -30 -42 -30 -72 Est. Lim. Serv.
=0,7
Comb, Freq,
v 0,dlr„iK 37,5 10,5 42 37P5 90
Est. Lim. Serv.
=0,7
Comb, Freq,
V C, a*r -22,5 10,5 -42 •22,5 -64,5
Est. Lim. Serv.
=0,7
Comb, Freq, 45 63 - 45 108
3,6 EXEMPLO N°4;
Viga isostática de seção constante; Flexão simples devida a ações permanen-tes de grande variabilidade e ações variáveis móveis.
peso próprio: g = 10 kN/m carga móvel distribuída: q — 20 kN/m carga móvel concentrada: Q = 100 kN
A & c D E
I a u 2.4 m L • 5,0 m A
.1 =2,'! rti
I ' I I
lHj = 0 , 5 |
Figura {3.6-0}
UNIDADES (kN, m}
VALORES CORRESPONDENTES A
ESFORÇOS q + Q Máximos
g > 0 < 0 > 0 < 0
Reações de apoio 64 265,2 -37,2 329,2 ( + 26,8)
forças cortantes v A<|ir„k
0 • -100 -
< tr V
13 k -12 - -124 •
< tr V C tiBd ,k
-24 - •148
v Crtlf„ii
40 187,2 -37,2 cc
UJ LU
V 20 127,2 42,2 cc
UJ LU
0 77,2 -77,2 t/i • Momentos fletores M
A k 0 0 0
Z IVL -7,2 - -134,4 <
- 2 8 . 8 - -297,6
31,2 270 -230,4
51,2 360 -177,6
c -4 c o z f]
ESTA
DOS
LIM
ITES
DE
SE
RVIÇ
O
ESTA
DOS
LIM
ITES
ÚLT
IMO
S
Forças cortantes
y, =0,5
Momentos fletores
g 2
^ a.
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II i
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Ia Combinação Forças cortantes yK = 14 rv = l4
Momentos fletores
£ Ti
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£ 5 £ > H
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U N H A S O E I N F L U Ê N C I A
Figura (3.6-bJ
v ^ i S i l í S Z , zo + S 2 í í â | È i Z ( i *o,7fl« roo - + nu
M • 2 0 * 1,5! KK)« hN.fr
L J S S LI (V E )
Me+- 20 + 2,0 * 100- * «O KW.m
Me_». I ^ - ^ n Z O - 1,2* 100-• 177,6 kN.m
LINHAS DE INFLUÊNCIA
Figura (3.6-cj
V ( k N )
Figure ($.€-d}
3,7 EXEMPLO N°5;
- Viga isostática de concreto armado de seção variável; - Flexão simples e flexão composta; - Combinação principal e combinação secundária
g = 10 kN/m q = 20 KN m (distribuída) Q = 100 kN (concentrada)
Figure (3.7-a)
UNIDADES (kN, m )
ESFORÇOS VALORES CORRESPONDENTES A ESFORÇOS 9 q 0 H = + 30 H=-30
Forças cortantes ivAJ 0 0 100 - -
Forças cortantes | V J 12 24 100 - -Forças cortantes
1 V C „ .q> 1 24 48 100 - -
Momentos fletores MH ^"rtls, min. 0 0 0 0 0
Momentos fletores MH M BhjiiVin 7,2 14,4 0 6 Momentos fletores MH
Ci.iíiín. 28,8 57,6 0 6
I V J 0 0 0 0 0 0
2,6 5,1 0 4,3 -4,3
7,2 14,4 0 1,5 -1,5
(g + q ) Q
\ 1 ^ 1- i .1 i T
Figura ($, 7-h}
1a Combinação:
<* J Vn, = \A v * — f t a n y +lt4
2 > . <J->, .1111 n tati y
- P . . = 1,4x100=140 kN
-V^ =], 4(12-2,6)+ ],4[(24 + l00)-5,l] = 179,6 kN
~VCRJI = 1,4 {24 - 7,2)+1,4 [(48 +100 )-14,4] = 210,6 kN
( m \ ( y u +1,4 • tan y
- V . , =1,4x100 = 140 kN
-yB t j = 0,9 (l 2 - 2, ó)+1,4 [(20 +100)- 5, l] = 174,9 kN
- V C f j = 0,9 (24 " 7,2)+1,4[(48 +100) -14 ,4] = 202,1 kN
b} Flexo-Traçáo:
(g + q) Q
i . . i Í ; t i r t N _ Ms/z
Vr
1
V
1 1V /Z v y ttí 1
Figure (3,7-cí
V = 1 4 ' r j
í fof \ Kr. tan v
* d , + 1,4 I V
£ M , .Hjüf.iniii tan v
-^,=1,4x100 = 140 kN
-K,r,i - U4(12 - 2,6)+1,4 [(24 +100)- (5,1 + 2,1)] -176,7 kN
-VO J = 1,4 (24 - 7,2 )+ 1,4 [(48 +100)- (14,4 +1,5)] = 208,5 kN
2a Combinação:
^ = 0 , 9 ^ - ^ f u i n v xqk ,min tan ip
-VArJ = 1,4x100 = 140 kN
Brj = 0,9 (12 - 2,6)+1,4[(24 +100)- (5,1 + 2,1)] = 172,0 kN
-F t w = 0,9(24-7,2)+1,4[(48+I00)-(I4,4+1,5)] = 200,1 kN
c) Flexo-Compressão; (i^. ; y,=0) {admitindo-se a força normal como obrigatoriamente aplicada)
(9 + q) a
H N
Ms/z
V,
M tgy ¥
Ms/z 18 T** -V i ÍT
Figura (3.7-</}
r Combinação:
V =14 + 1,4 tan y
- ^ , = 1 , 4 x 1 0 0 = 140 kJSI
" V - U4 (12 - 2,6) +1,4 [(24 + 1 0 0 ) - (5,1 - 2,1)] - 1 «2,6 kN
-Pó.* «1,4(24-7,2)+ l,4[(48 + lÜ0)-(t4,4-l,5)]-212,7 kN
= o, M itnt tan x}/ +1,4
Y M f
-K^-1.4x100 «140 k N
-V^j = 0,9(12 - 2,6)+1,4 [(24 + i 00)- (5,1 - 2,1)] = 177,8 kN
- ^ = 0,9(24-7,2)+],4[(48 + 100)-(l4,4-l,5)] = 204,3 kN
3.8 EXEMPLO N°6:
- Viga hiperestática de seção constante; - Flexão simples devida a ações permanentes e ações variáveis com carre-gamento alternado; - Combinação principal e combinação secundária.
mm 90
c a r g a p e r m a n e n t e g = 20 kN/m
c a r g a a c i d e n t a l q = 40 kN/m
A B C I
A T
L , a 7 ,0m I L 2 = 8,0 m
T
Figuro (3.8-n)
j Z X T 1 T 3
M =53,08
\ A I
10 KN/m MB=16,33 /1
A B
M -48,00* 0 p2= 10 kN /m
M ^24,00 A
-A B
CARREGAMENTOS DE REFERÊNCIA
MOMENTOS EM kN.m
Figura (3,8-bJ
Esforços solicitantes característicos: (Convenções clássicas de sinais)
Carga permanente: gí =20 kN/m
MAgi =2 (-53,08+ 24,00) = -58,2 kN,m
Mbka = 2(-lót33-48f00) =-128,7 kN.m (5TRUTUHAS QC CONCRETO
2 0 í Z + S V - 1 2 V = 6 0 m
_ 2 0 , 8 1 2 8 , 7 k 1li.tllr.uk 2 H '
_K . ^ - 1 ^ = 63,9 kN 2 8
/ f ^ = 6 0 kN
flgjM = H0+96,1 = 176,1 kN
RCitJ. =63,9 kN
b) Carga variável no 1o tramo; qu = 40 kN/m
MAqk = 4(-53,08)=-212,3 kN.m
MQfik =4(-l6,33)=65,3 kN.m
4 0 > 7 + 2 l 2 , 3 - 6 5 , 3 k N
An* J 7
40x7 212,3-65,3 Bcs<|,ok ••) y *
= kN
= ~ = k N
RA a k= 161 kN
RB(írt = 1 1 9 + 8 ' 2 = 1 2 7 ' 2 k N
RCq, = -3,2 kN
c) Carga variável no 2o tramo: qlk - 40 kN/m
MAtik =4(+24,00) =96,0 kN.m
=4( -48,00) = -192 kN.m
-96 -192 VjIIÀ = — i - =-41,1 kH
= 96+192
40x8 192 1 £ l j l l k I
40x8 192 ~VCll , = = 136 kN CM 2 8
RMJs— 41,1 kN
Riu,.t =41,1 + 184 = 225,1 kN
/?c^=136 kN
ANÁU
SE
ESTR
UTUR
AL ESFORÇOS
UNIDADES: fd\l, m VALORES CORRESPONDENTES A
ANÁU
SE
ESTR
UTUR
AL ESFORÇOS
UNIDADES: fd\l, m g «»i min. máx. AN
ÁUSE
ES
TRUT
URAL
Ações características: g,, q ) t , qJk 20 40 40 - -
ANÁU
SE
ESTR
UTUR
AL
Forças cortantes características
V 60 161 -41,1 - -ANÁU
SE
ESTR
UTUR
AL
Forças cortantes características V -80 -119 -41,1 - -
V 96,1 8,2 184 - -
-S3,9 8,2 -136 - -
Momentos ftetores -58,2 -212,3 96 - -
característicos M* -128,7 -65,3 -192 • -
Reações de apoio características
R* 60 161 -41,1 18,9 221 Reações de apoio características R0k 176,1 127,2 225,1 176,1 528,4 Reações de apoio características
RC* 63,9 -8,2 136 55,7 199,9 M V W 84 225,4 -57,5 -
0,9 VM 54 - - •
Parcelas das 1 4 V -112 •166,6 -57,5 •
forças -72 - - •
cortantes de M V B d M 134,5 11,5 257,6 •
calculo ^ v B d l r t 86,5 - • •
1,4 VCk -89,5 11,5 -190,4 -
Vct -57,5 - • •
V^ 84 225,4 -57,5 26,5 309,4
1a Combinação V B tisn ,(( -112 •166,6 -57,5 -112 •336,1 8,-1,48^+1,48* B dir.,d 134,5 11,5 257,6 134,5 403,6
Vw -89,5 11,5 -190,4 •78 •279,9 54 225,4 -57,5 •3,5 279,4
2a Combinação v Eí Uüih.d -72 -166,6 -57,5 -72 296,1 S,(=0,9Sot+1,4S* v v!! (ÜF,r[l 86,5 11,5 257,6 86,5 355,6
V VC<I -57,5 11,5 -190,4 46 247,9
Parcelas dos 1,4 MAk -81,5 -297,2 134,4 • -
Momentos -52,4 - - • -
Fletores de Cálculo
1,4 Mnk -180,2 -91,4 -268,8 - -Fletores de Cálculo 0,9 Mnk -115p8 - - - -
1" Combinação -81,5 -297,2 134,4 52,9 -378,7 S,(=1,4S8t+1,4S* MBEt -180,2 -91,4 -268,8 -180,2 -540,2
2y Combinação M Ad -52,4 -297,2 134,4 82 -349,6 8,-0.88,,+1,4S* M 0[| -115,8 -91,4 -268,8 -115,8 -476,0
Figura Í3.8-CÍ
2 * PARTE CISALHAMENTO NO CONCRETO ESTRUTURAL
CAPÍTULO 4 Vigas de concreto armado
4.1 Modelo resistente de treliça1
Nas vigas de concreto armado submetidas à flexão simples, as armaduras devem obedecer simultaneamente aos requisitos decorrentes de momen-tos fletores e de forças-cortantes, Existem, assim, dois modelos simultâ-neos de comportamento da peça, o comportamento de viga e o compor-tamento de treliça.
Os tipos básicos de armaduras empregadas nas vigas simplesmente apoia-das estão mostrados na Fig. (4.1 »a}.
4 - ESTRIBOS
Tipos básicos do armaduras de vigas Figura (4.hd)
As barras corridas absorvem os esforços de tração devidos à flexão, esten-dendo-se de ponta a ponta da viga.
Os cavaletes são barras dobradas. Quando elas existem, os seus trechos in-clinados formam parte da armadura transversal resistente aos esforços de tração decorrentes do cisalhamento, e seus trechos longitudinais fazem parte da armadura de flexão,
'fUSCO, fl H, F j f f i r t a r a i ( fo Cmicre ím SiWlWft f f íoJ TtmgcrKtoli. S t o Pvutai Etcota Pamtsak* th> USfí tS3t/t9M.
Os estribos constituem-se na principal armadura transversal resistente aos esforços de tração decorrentes do cisalhamento, e para sua ancoragem no banzo comprimido da viga são empregados os porta-estribos.
Admitindo que a viga mostrada na figura anterior seja submetida a uma carga transversal suficientemente elevada para que chegue às proximidades do es-tado limite último de solicitações normais, ela sofrerá uma intensa fissuração, como a que é mostrada na Fig. (4.1-b).
ftssuraçéo do vigas simplesmente apoiadas nas proximidades do ostado timito último do soficituçõos normais
Figure (4, !-b)
Mo estado fissurado, a viga de concreto armado tem um funcionamento que lembra o das treliças. As bielas diagonais delimitadas pelas fissuras formam as diagonais comprimidas e as armaduras transversais formam os tirantes que ligam os banzos da treliça.
IMa Fig. (4.1-c), está esquematizada a treliça resistente de uma viga no caso de armadura transversal formada apenas por estribos perpendiculares ao eixo da peça.
E S T R U T U R A S OS C O N C R E T O I
A Figura (4,1-d) mostra a fissuração real de vigas contínuas submetidas a car-gas concentradas, nas proximidades do estado limite último de solicitações normais. Junto a cargas concentradas, a fissuração tem uma distribuição em forma de Seque a partir da face onde se aplicam as cargas.
Fissurnçüo do vigiís continuas sujoitiis a cargas concentradas Figura (4. Ud)
Técnica (to armar (página 232) - Figura 9. I a
Na Figura (4.1-e) é mostrado o modelo geral de comportamento admitido para as vigas de concreto armado,
Nesse modelo, que è sugerido pela fissuração mostrada na Fig, (4,1-d}, dis-tinguem-se as regiões de introdução de forças concentradas, caracterizadas pela distribuição de esforços transversais em forma de leque, das zonas de cargas distribuídas ou nulas, caracterizadas pela transmissão dos esforços transversais em zonas formadas por faixas oblíquas, em um comportamento análogo ao das treligas. Essas zonas são claramente delimitadas pelo tipo de fissuração que nelas se instala quando as intensidades das forças cortantes ultrapassam determinados limites.
Na mesma figura é mostrada a inclinação do banzo comprimido da peça, de acordo com o modelo resistente de viga de alma cheia.
Modelo rasistúnta globo) do vigíts dó concrútü armado Figura (4, 1-e}
Técnica de armar (página 279} - Figura 9.1-b
4.2 Transição do comportamento de viga para o de treliça
O comportamento de treliça nâo existe nas vigas fletidas desde o início de seu carregamento.
Mo começo do carregamento, o comportamento das vigas de concreto arma-do é muito semelhante ao das vigas de alma cheia feitas de material homogê-neo resistente à tração,
Mas vigas de concreto armado não protendido, pelo fato de a armadura de cisalhamento ser obrigatória, a fim de se evitar a ruptura frágil da peça, não há grande interesse no estudo dos mecanismos resistentes ao cisalhamento antes que ocorra a fissuração por flexão. Antes disso ocorrer, estando a viga fletida ainda no estádio I, a sua resistência ao cisalhamento decorre dos mes-mos mecanismos resistentes que funcionam nas peças sem armadura trans-versal e também nas peças de concreto protendido antes da ocorrência do estado limite de descompressão, que é praticamente equivalente à passagem do estádio I para o estádio II.
A resistência da peça ao cisalhamento, antes que ocorra a fissuração por fle-xão, é decorrente dos mesmos mecanismos resistentes alternativos que são analisados no capítulo 7, ao ser estudado o cisalhamento nas lajes.
mm 9 9
Somente à medida que o carregamento aumenta, ocorre uma mudança de com-portamento, passando-se do comportamento de viga para o de treliça, como mostrado nas Fígs. (4,2-a) e (4.2-bl2
Por esse motivo, ao ser estudado o cisalhamento nas vigas de concreto ar-mado comum, interessa essencialmente o comportamento de treliça, pois é ele que explicará a resistência ao cisalhamento das peças nas proximidades dos estados limites últimos de solicitações normais. Desse modo, os com-portamentos resistentes alternativos ao de treliça têm interesse apenas para esclarecer a influência da presença de forças normais de compressão na re-sistência ao cisalhamento das vigas de concreto armado, porquanto as forças normais de compressão têm a capacidade de adiar o início do processo de fissuração da viga.
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Passagem do comportamento de viga para o de treliço Figura (4.2-al
Ma verificação da segurança das vigas submetidas a forças cortantes, essa mudança de comportamento deve ser considerada na limitação das tensões de compressão das bielas diagonais de concreto, pois antes de se chegar às proximidades do estado limite último decorrente dessa compressão, a inte-gridade das bielas diagonais já ficou bastante comprometida pelas fissuras de flexão, Fig. (4.2-b),
I ESTRUTURAS on COfiCRPTO ' SOMWSffi H C. SíHw ftuí-j on ílflálnforsetlCorKNil TBeains. ÍÍMícrifoTÍ UtitverftY of Qonm/irtt, StrvtíttmlRósotrch dflJWiMo,Yi RvflOft 70, I97r. ttstxM. C£B tntwrwtíoftãt ÇatiritviM Slrotíiiríil CaiKtetç, Í973.
A fixação dos limites a serem respeitados pela compressão diagonal do con-creto leva em conta o verdadeiro panorama de fissuração das vigas fletidas, quando elas se aproximam do estado limite último de ruptura ou de alon-gamento plástico excessivo decorrente dos momentos fletores que atuam simultaneamente com as forças-cortantes.
E importante salientar, conforme se observa na Fig. (4.2-b), que a intensa fis-suração da alma da viga reduz significativamente a resistência à compressão das bielas diagonais, Essa redução será analisada posteriormente, ao serem discutidos os valores limites das tensões de cisalhamento.
Figura (4.2-b)
Mo entanto, é preciso salientar que a fissuração da alma das vigas não deve acarretar a ruptura das bielas diagonais antes que ocorra o estado limite últi-mo de solicitações normais, pois toda ruína estrutural decorrente da ruptura do concreto comprimido é de natureza frágil, isso é, não avisada.
Todavia, note-se que o comportamento de treliça das vigas fletidas de con-creto armado é admitido apenas como uma simplificação do comportamento real. Ma realidade, além do comportamento de treliça, existem outros fenô-menos que contribuem para a resistência às forças cortantes, os quais so-mente podem ser explicitados por meio de modelos resistentes alternativos ao de treliça.
Mas vigas de concreto protendido existe um processo análogo de transição do comportamento de viga para o comportamento de treliça. A diferença essencial entre as vigas protendidas e as vigas armadas é que, nas peças protendidas, o comportamento de treliça, que somente começa a aparecer após o estado limite de formação de fissuras, é retardado pela protensão.
4.3 Modos de ruptura
Os modos de ruptura descrevem as diferentes formas como pode ocorrer a ruptura física da peça estrutural. Como em geral é impraticável a quantifi-cação das variáveis estruturais nesses estados de ruptura, para o projeto, é preciso definir a segurança tendo em vista estados limites últimos que devem ocorrer necessariamente antes que sobrevenha qualquer um desses reais estados de ruína. Esses estados limites últimos de solicitações tangenciais serão posteriormente definidos.
Os modos de ruptura das vigas de concreto armado submetidas a forças cor-tantes podem ser classificados da seguinte maneira,
A - Ruptura na ausência de armaduras transversais eficazes
j
J rnnzLii
L
RUPTURA DAS PEÇAS SEM ARMADURA TRANSVERSAL
RUPTURA DAS PEÇAS COM ESPAÇAMENTO EXCESSIVO DAS BARRAS OA ARMADURA TRANSVERSAL
Modo do ruptura do ausência do armaduras transversais eficazes Figura (4,3-8)
Nos três casos mostrados na Fig. (4.3-a), a ausência de uma armadura trans-versal eficaz, que intercepte a possível superfície de fratura, faz que a re-sistência da peça dependa da resistência à tração do concreto e de outros fenômenos resistentes associados à estrutura interna da peça,
A ausência de uma armadura transversal é permitida apenas em vigas de di-mensões muito pequenas e nas peças estruturais de superfície, como lajes e cascas. Nestes casos, a segurança depende apenas da manutenção dos outros comportamentos resistentes que não o de treliça.
Esse modo de ruptura, devido à falta de uma armadura transversal eficaz, quando é decorrente de espaçamentos excessivos das barras transversais, corresponde a arranjos defeituosos das armaduras. Note-se que, nesse caso, a segurança em relação à ruptura frágil, não avisada, não pode ser consegui-da com o aumento da seção transversal das barras das armaduras. A única maneira de garantir a segurança em relação a esse modo de ruptura é res-peitar os afastamentos máximos permitidos para que as barras da armadura transversal possam efetivamente entrar em carga.
mmm 103
B - Modos de ruptura na presença de armaduras transversais eficazes
J " T T 7
i | I i i ; - i ; I; L RUPTURA È W l ! : ! 1 ! ! ! : \A FORÇA CORTANTE-COMPRESSÃO g c l - i _L - - i - - i — J — i — L - |
— i - -L 1 ^
RUPTURA FORÇA CORTANTE " TRAÇAO
RUPTURA FORÇA CORTANTE - FLEXÃO
RUPTURA POR FLEXÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÃO
Modos do ruptura no prosonça do armaduras transversais eficazes Figuro (4,3-b)
Os modos de ruptura acima assinalados podem ocorrer mesmo com a mo-bilização da resistência de armaduras transversais eficazes. Esses modos são devidos a armaduras com resistência insuficiente ou por ruptura do concreto.
A ruptura força cortante-comoressão corresponde à ruptura por compres-são das bielas diagonais de concreto. A segurança em relação a esse modo de ruptura é garantida pela limitação do valor convencional da tensão tan* gencial atuante.
A ruptura forca cortante-tração sobrevém quando é vencida a resistência da armadura transversal, ocorrendo sua ruptura por tração. A segurança em re-lação a esse modo de ruptura é garantida pelo emprego de uma quantidade suficiente de armadura transversal.
A ruptura força cortante-flexão decorre da interação da força cortante com o momento fletor, nas proximidades de cargas concentradas elevadas. Ele pode sobrevír se as fissuras diagonais de cisalhamento cortarem uma parte
da região que formaria o banzo comprimido da peça fletida. Todavia, a inves-tigação experimental mostra, como se relata no Item 6.8, que o cisalhamento local no banzo comprimido devido à carga concentrada produz um estado múltiplo de tensões, com enérgico acréscimo das tensões locais de compres-são, que podem chegar a dobrar as tensões teoricamente atuantes, como está mostrado nas Figs. (6.8-f) e (6.8-g). Esse estado múltiplo de tensões pode provocara ruptura força cortante-flexão,
A ruptura por flexão da armadura longitudinal pode ocorrer quando as bielas diagonais de concreto, que se apoiam no banzo tracionado sobre as barras da armadura longitudinal, provocam tensões de flexão muito elevadas nessas armaduras, em virtude de espaçamentos excessivos dos estribos ou até mes-mo de ancoragem deficiente dos estribos quando eles estão indevidamente ancorados no banzo tracionado da viga.
C - Modos de ruptura por deficiência das ancoragens
Modas dá ruptura por daficiânciá das ancoragens Figura (/1,3-ct
O funcionamento solidário do aço com o concreto mobiliza tensões na inter-face dos dois materiais.
Ao longo da armadura longitudinal de tração, nos trechos retos em que há variações bruscas do momento fletor e também nas ancoragens de extre-midade, as barras de aço da armadura tendem a escorregar em relação ao concreto que as envolve, com o aparecimento de tensões longitudinais de ci-
salhamento na interface dos dois materiais3, Essas tensões podem provocar o fendiihamento longitudinal do concreto, com o desligamento significativo dos materiais. Isso pode implicar o desaparecimento do concreto armado como material composto, de funcionamento solidário do aço com o concreto.
Esse modo de ruptura é particularmente perigoso nas ancoragens de extre-midade em que um detalhamento defeituoso da extremidade da armadura longitudinal pode facilitar o escorregamento dessa armadura.
4.4 Estados limites últimos de solicitações tangenciais
Para a verificação da segurança das peças submetidas a forças cortantes, con-sideram-se estados limites últimos, reais ou convencionais, a partir dos quais é dada como esgotada a resistência da peça.
A - Lajes sem armadura transversal
Mas lajes sem armadura transversal, considera-se que o risco de ruptura de-corra da presença das tensões diagonais de tração. Messe caso, será admitida a existência de um estado limite último convencional quando o valor de cál-culo xw da tensão de cisalhamento, calculada convencionalmente, atingir um certo valor , previamente especificado.
A condição de segurança VStj £ VHttl é então estabelecida em função da força cortante solicitante de cálculo VSil e da força cortante resistente de cálculo, que no caso é indicada por y M ,
B - Peças com armadura transversal
Mas peças armadas transversalmente, admite-se que todas as armaduras se-jam corretamente detalhadas, considerando-se, para a verificação da segu-rança, os seguintes estados limites últimos:
; ESTRUTURAS Oli CONCRETO 'WSCQ ftí! ntniet ttoemwrat wfnrfpjra» <ftr torwelv. 54t>Pi"riu.- Cd. Pinl, IMS,'ISO!
[ - Estado limite último força cortante compressão
A existência convencional desse estada limite último será admitida quando o valor de cálculo T1wí da tensão convencional de cisalhamento superar um certo valor resistente x H d i , convencionalmente adotado.
A condição de segurança VSd < y ti2 é então estabelecida em função da força cortante solicitante de cálculo VSlí e da força cortante resistente de cálculo, que é indicada por VHiJ2.
II - Estado limite último força cortante-tração
Esse estado limite último ocorre convencionalmente quando na armadu-ra transversal as tensões de tração atingem o valor de sua resistência de cálculo à tração Ele é, portanto, anterior ao aparecimento da ruptura força-cortante tração, na qual existe a ruptura real da armadura transversal. A condição de segurança em relação a esse estado limite é garantida, em cada trecho de comprimento da viga, pela efetiva existência de armadu-ra de cisalhamento com seção transversal MSWirf que possa suportar, com tensões não superiores à sua resistência de cálculo f os corresponden-tes esforços de cálculo decorrentes das forças cortantes.
A condição de segurança VS(I £ VRdi é então estabelecida em função da força cortante solicitante de cálculo VStl e da força cortante resistente de cálculo, que no caso é indicada por VRd), e que vale yKd) - Vlwd + Veú, onde K*<i ® 0 v®l° r de cálculo da parcela resistente ao cisalhamento em função da armadura transversal de acordo com o modelo de funcionamento de treliça, e V[tf é o valor de cálculo da parcela resistente devida aos meca-nismos alternativos de resistência ao cisalhamento. Essa condição de segurança é de fato escrita sob a forma simplificada = VSK + Vt, por razões que serão justificadas posteriormente.
III - Estados limites últimos de escorregamento das ancoragens e de perda de aderência
Os estados limites últimos ocorrem convencionalmente quando, nos locais
em que há possibilidade de escorregamento, as armaduras tracionadas não tenham ancoragens eficientes'1,
A condição de segurança é estabelecida em função do comprimento de an-coragem ih necessário, em função do diâmetro 4> da barra, do valor de cál-culo de sua resistência à tração frtj, e do valor de cálculo fMda resistência de aderência do tipo de barra empregada. A condição básica de segurança é então
expressa por th " s . E s s a condição de segurança pode ainda ser modificada 4 há
em função da presença de ganchos de extremidade e de tensões transver-sais de compressão ao longo do comprimento de ancoragem.
4.5 Princípio fundamental de segurança em relação às solicitações tangenciais
Tendo em vista a multiplicidade de modos de ruptura decorrentes das for-ças-cortantes e considerando que muitos desses modos podem acarretar o colapso não avisado das estruturas, no dimensionamento das peças de con-creto estrutural, sempre deverão ser tomadas todas as cautelas necessárias a fim de que as solicitações tangenciais náo sejam condicionantes da ruína e, portanto, não diminuam a resistência das peças calculadas em função das solicitações normais,
Desse modo, adota-se como princípio fundamental de segurança que as peças de concreto estrutural possuam dimensões e armaduras tais que, na eventualidade de efetivamente sobrevir a ruína, por ato de força maior ou por ação humana, ela decorra dos efeitos das solicitações normais, pois, nessas condições, a ruína quase sempre poderá ser de natureza avisada, sem que haja risco de perda de vidas humanas.
4.6 Funcionamento de estribos perpendiculares ao eixo da peça
O funcionamento dos estribos perpendiculares ao eixo da peça na formação da treliça resistente a forças cortantes está ilustrado na Fig, (4.6-a).
No detalhe (!) dessa figura está mostrado como o estribo compõe a estrutura da treliça. Observe-se que a biela diagonal se apõía efetivamente sobre a armadura
ESTRUTURAS on CONCRETO 'FUSCO, RR eu. ctl.
longitudinal de flexão, servindo o estribo de elemento de rigidez para concentrar essa zona de apoio. Para essa finalidade, do lado do banzo comprimido também há a necessidade de uma ancoragem eficiente do estribo e, para isso, é importan-te a existência de porta-estribos que dêem sustentação a essa fixação.
Mo detalhe (II) está mostrado como se dá o equilíbrio de tensões em nós da treliça situados no banzo tracionado, que permite a variação das tensões de tração na armadura longitudinal de tração.
Mo detalhe {ill) é mostrado que as bielas diagonais de concreto tèm um fun-cionamento tridimensional e que sua ligação ao banzo tracionado da peça se faz, em parte, pelo apoio direto no cruzamento do estribo com a armadura de flexão e, em parte, por aderência ao trecho terminal dos ramos verticais dos estribos. O detalhe (IV) mostra a necessidade de o estribo ter um ramo hori-zontal do lado do banzo tracionado da peça, a fim de evitar o fendilhamento longitudinal da zona tracionada por flexão, que pode ocorrer em virtude da inclinação transversal das bielas diagonais.
Funcionamento dos as tribos porpentiiçutures ao eixo da poça Figura (4.6-0)
Ma Fig, {4.6-b) estão mostrados os arranjos básicos dos estribos das vigas.
Em principio, o ramo horizontal dos estribos no banzo comprimido das peças não seria indispensável, embora seja recomendável. Admite-se, assim, que os estribos abertos, desprovidos do ramo horizontal do lado do banzo com-primido, possam ser tão eficientes quanto os estribos fechados, com ramos horizontais nos dois banzos da viga. Todavia, os esforços secundários que sempre existem nas estruturas recomendam que sempre haja uma armadura de fechamento dos estribos, mesmo do lado do banzo comprimido.
Quando são empregados estribos abertos, é importante observar que o lado fechado é sempre colocado no fundo da forma da viga, quer esse lado vá ser tracionado ou comprimido. Se o lado aberto do estribo ficar do lado traciona-do da peça, o emprego de armadura de fechamento do estribo será rigorosa-mente obrigatório,
Quando se empregam estribos múltiplos, os ramos horizontais devem so-brepor-se parcialmente para evitar o fendilhamento longitudinal da alma da viga. Para o emprego de estribos múltiplos devem ser considerados os pro-blemas de colocação da armadura longitudinal da peça, e de dobramento dos ramos de fechamento dos estribos que já estejam colocados na forma.
Armadura suplementar de fechamento/
Porta-estribos
- 1
i • a
Estribo aberto Estribo fechado^ Estribos duplos
Arranjos básicas dos ostribos Figura (4.6-b)
Como aparece na Fig, (4.6-c], os ganchos de extremidade e as dobras em ângulos retos terão sua eficiência tão boa quanto permitirem a compacidade dos elementos finos do concreto e o eventual contato metálico dos estribos com as barras longitudinais que funcionam como porta-estribos,
Ancoréggm dos estribos nas iiobrns do extremidade Figura Í4.6-C)
Tendo em vista a ação dos estribos na formação da treliça resistente, a Fig. (4,6-d) mostra como se dá a variação das tensões normais nas barras da armadura lon-gitudinal que não estão colocadas nos cantos da seção transversal da peça.
Funcionamento tridimensional dos ostribos verticais Figura (4.6-d)
4.7 Funcionamento de estribos inclinados
Em princípio, os estribos que formam a treliça resistente a forças cortantes podem ser inclinados em relação ao eixo longitudinal da peça, Fig, (4.7-a), cujo ângulo a de inclinação deve ficar restrito ao intervalo 45" < a < 90 t ga-rantindo-se que sua colocação seja feita na direção geral dos esforços diago-nais de tração.
Figura (4.7-a)
É preciso observar que o funcionamento de estribos inclinados mobiliza es-forços no concreto da camada de cobrimento das armaduras. São esses es-forços que permitem a obtenção de acréscimos Aa, da tensão na armadura longitudinal de flexão, uma vez que, com estribos inclinados, o equilíbrio do nó da treliça não se dá apenas por aderência da biela diagonal à armadura longitudinal, como acontece com os estribos verticais»
Embora os estribos inclinados apresentem vantagens teóricas em relação aos estribos verticais, a dependência de seu funcionamento em relação à integridade do concreto da camada de cobrimento e a consideração de di-ficuldades construtivas de seu emprego, fazem com que sua utilização seja pouco recomendável.
A verificação experimental do funcionamento dos estribos inclinados, anali-sada no item 6.4, mostra que a eficiência do emprego de estribos inclinados não é a prevista teoricamente.
4.8 Funcionamento de barras dobradas
O emprego de barras dobradas como armadura transversal resistente a for-ças cortantes já foi mostrado de modo genérico no item (4,1), Durante muito tempo, os chamados cavaletes foram considerados como as armaduras mais adequadas à resistência aos esforços diagonais de tração decorrentes das for-ças cortantes. Essa falsa impressão de segurança com o uso de cavaletes de-corria das antigas regras da técnica de armar as estruturas de concreto. Hoje em dia, os cavaletes estão praticamente proscritos, em virtude das possíveis conseqüências da excessiva concentração de tensões nas bielas diagonais e da tendência ao fendilhamento do concreto no plano dos cavaletes.
Além disso, no uso do cavalete perde-se a eficiência do funcionamento da armadura, fato que limita ainda mais o uso desse tipo de armadura, por causa das efetivas condições de equilíbrio dos nós da treliça quando se faz o seu emprego.
Figure (4.3-a)
De acordo com o que é mostrado na Fig. (4.8-a), o equilíbrio de forças longi-tudinais fornece a seguinte condição
a, | A, cos a + cr í(/)ls i v • sin 0 • cos 9 = <srAt + M , ,
ÍSTUUTUnAS BC CQNCF1CTO
e do equilíbrio de forças transversais resulta
CT,|4 sina = 0ílOôwAjf*sin0'sm9
Da segunda condição, tem-se
. sina a - =arl/J,
/ > A v s m í)
que substituída na primeira fornece
a, | A, cos a + ty„ A, • sin a • cot = al2 A, + à/íx,
resultando
M , +
< , „ = - — — <4.8-1) sina (cot + cot
Mo caso de barras dobradas de grande diâmetro, a tendência à fissura-ção do concreto da biela diagonal é muito intensa na dobra. Além disso, como a distância entre as fissuras que delimitam o nó é pequena, torna-se pouco significativa a parcela ARa da força mobilizada pela armadura longitudinal passante, ficando o equilíbrio do nó por conta do cavalete.
Rara os valores usuais de a e (í, tem-se o denominador sin a (cot +cot £0)> i,
Desse modo, como a tensão <7,, do ramo horizontal do cavalete não pode ultrapassar a resistência de escoamento fsy, conclui-se que o ramo incli-nado do cavalete, onde atua a tensâocr,,, não consegue chegar ao escoa-
mento. Isso fica evidente quando se despreza A/f(l e se admite o escoa-mento da armadura longitudinal de tração, uma vez que nesse caso
o I I. IIUK sina (cot i'a+cot
(4.8-2)
No caso particular usual em que a = 45 e 45 , tem-se
a - Al, - 0 7/ rl.nux ~ (4.8-3)
Essa expressão mostra porque os regulamentos normalizadores impõem res-trições ao emprego de cavaletes como armaduras resistentes a esforços de-vidos a forças-cortantes.
CAPÍTULO 5 Analogias de treliça
5.1 Analogia da treliça clássica
A determinação das armaduras necessárias para garantir a resistência a forças cortantes foi originalmente feita por meio de uma analogia de treliça usualmente designada por analogia clássica ou por analogia da treliça de Mõrsch1,
A analogia de Mõrsch é sugerida pelo panorama de fissuração das vigas fleti-das, sendo baseada nas duas hipóteses seguintes, Fig, (5.1-a)
1a - A treliça tem banzos paralelos,
2a - As bielas diagonais de compressão têm a inclinação de 45* em relação ao eixo longitudinal da peça.
Hipóteses da analogia da treliça clássica Fig, (5.í-of
'f.nt ftemWwpttn a ffflVlíto pvzqwfwfor tH/ÍT PíTI t&Q2 Plfítikúu o t* GitiçAo rfe ,t|j,t rjljr.j, ÜÍTf Efaonboloftbaa, qoo coimoIhícnj dottnitivamonte o comício itiuMfta como mittcilot OMtrütural.
A armadura transversal é caracterizada por sua Inclinação a em relação ao eixo longitudinal da peça, Fig, (5.1-b), devendo estar restrita ao intervalo
45" < a ^ 90"
A chamada armadura vertical é na verdade uma armadura perpendicular ao eixo longitudinal da peça. A armadura inclinada deve ter inclinação de mes-mo sentido que a tensão principal de tração calculada ao nível do centro de gravidade da seção transversal da viga suposta não fissurada,
Figuro (5.1-b)
Observe que em um esquema de treliça, os esforços de flexão não são exata-mente iguais aos previstos para uma viga de alma cheia, Fig. (5.1-c).
Nas vigas de alma cheia, a resultante Rn das tensões no banzo comprimido e a resultante Ru das tensões na armadura de tração, que agem em uma dada seção transversal da víga, são ambas proporcionais ao momento fletor que atua nessa mesma seção.
Em uma treliça, os esforços solicitantes têm valores constantes entre os dois nós adjacentes que definem cada barra. Desse modo, como se observa na Fig. (5.1-c), em uma dada seção de abscissa x , a resultante RU S é determina-
da pelo momento fletor A/v+A(. que age na seção de abscissa „v + Av , afastada da seção anterior da distância Ax = z , obtendo-se assim
R = -—££ál t v
TransíJiçào do diagrama do esforços na armadura dc tração Figura 15. t-c)
Para a determinação da resultante RWIJ(, tudo se passa como se houvesse uma translaçâo a, do diagrama de momentos fletores no sentido do aumento da intensidade de R„ .
Para o banzo comprimido, a interação entre a força cortante e o momento fletor produz um efeito oposto àquele observado no banzo tracionado. De fato, considerando o equilíbrio de momentos na seção de abscissa x+Ax, Fig. {5.1-c), tem-se
» -Msl
Nessas condições, a translaçâo a, a ser dada è resultante tem o sentido que diminui os esforços no banzo comprimido. A diminuição é justificável pelo fato de que a resultante RíAl nas bielas diagonais auxilia os esforços no banzo comprimido, uma vez que o equilíbrio de forças longitudinais impõe a condição
resultando
+ (5.1-1)
IMote que, sendo
f> — 2
R M..
cr.jr+AY
cstuutuhas PC ggNCFiETo
a diferença de esforços longitudinais entre duas seções afastadas de Ar = 2 é igual á força cortante, pois
-V (5.1-2)
De maneira análoga, das expressões (5.1-1) e (5.1-2} resulta
R„Ai cos 45 = V [5.1-3}
ou seja, a força transmitida pelas bielas diagonais em um comprimento Ax = z tem componentes longitudinal e transversal iguais à força cortante V .
5.2 Treliça clássica c o m armadura vertical
Tomando-se uma viga submetida a uma carga transversal p uniformemente distribuída ao longo do comprimento Lx-z, Fig. (5.2-a), a condição de equi-líbrio global das forças transversais è peça fornece a condição
AC-t- pz = 0 (5.2-1)
X L
Equilíbrio transversal global Figura (5.2-s)
Considere agora o equilíbrio de cada uma das partes em que fica dividido o elemento anterior por meio de uma fissura inclinada de 45° em relação ao eixo da viga,
Na Fig. (5.2-b) está mostrado o caso em que o carregamento externo é consi-derado como carregamento direto. No carregamento direto, a carga externa tende a comprimir os planos horizontais da viga.
força no armadura transversa! - Carga direta Figuro (5.2-b)
No caso, de carga direta, o equilíbrio da parte superior fornece a condição
R„ mV-pz
e o equilíbrio da parte inferior conduz a
R„ =V + AV
Em virtude da condição (5.2-1) de equilíbrio global, tem-se
A V - - ps
resultando, para ambas as partes, a mesma condição
(5.2-2)
O carregamento indireto, com tensões de tração nos planos horizontais, está mostrado na Fig. (5,2-c).
Força na armadura transversal - Carga indireta figure (5.2-c)
Com a carga indireta, as condições de equilíbrio transversal das duas partes separadas pela fissura diagonal tornam-se respectivamente
R„=V
Rtl = V + AF + pz
Em virtude da condição (5.2-1) de equilíbrio global, para ambas as partes, obtém-se a condição única
R » = V (5.2-3)
Como simplificação, a favor da segurança, a resultante R„ das tensões de tração na armadura transversal situada em um trecho de comprimento = ^
poderá ser sempre considerada com o valor da máxima força cortante atuan-te nesse trecho, tanto para carga direta quanto para carga indireta, ou seja,
( 5 , 2 - 4 )
Essa condição permite, então, que seja feito o dimensionamento da armadura transversal
De fato, sendo A„ Axml a área da seção transversal dessa armadura existente ao longo do comprimento Av = : , a tensão de tração nessa armadura vale
AV-- V CT W = = —
4 f. Atuí P»KZ (5.2-5)
onde a taxa plt, de armadura transversal, nesse caso, é definida por
Lembrando que em regime elástico a tensão de cisalhamento t0 no centro de gravidade da seção é dada por
V
a tensão na armadura transversal, de acordo com a analogia clássica da treli-ça, vale
em que o índice IV! ( Mõrsch) foi acrescentado para salientar que se trata da analogia clássica da treliça.
Se a armadura for dimensionada por essa analogia clássica, na situação de cálculo será obtido o valor
(5.2-7)
onde/™,/ é o valor de cálculo da resistência ao escoamento do aço da armadu-ra transversal.
Sendo s, o espaçamento longitudinal dos estribos, e Am, a área da seção transversal de cada um deles, considerados todos os seus ramos perpem diculares ao eixo da peça, tem-se
Desse modo, conhecida a taxa pH, de armadura, quando é especificada a área Atw de cada estribo, determina-se o seu espaçamento , ou vice-versa,
Na Fig. (5,2-d) está indicada a maneira pela qual a armadura transversal entra em tração sob a ação de compressão das bielas diagonais.
O equilíbrio de forças transversais impõe a condição
R„ -R e M - cos45 = K
da qual pode ser obtida a tensão de compressão diagonal, dada por
(5,2-8)
V-Jl
em que b é a largura da biela comprimida, resultando
= 2T(>
(5.2-9)
onde
Tretiço com armadura vertical Figura (5,2- d)
tmBJÈa&MJBtEasMttntjr,
é uma tensão de referência, que fisicamente corresponde à tensão de cisalha-mento atuante no centro de gravidade de uma viga de material homogêneo em regime elástico.
Influência do armadura transversal sobre a translaçâo (1/ Figura (5.2-e)
Tendo em vista que a treliça resistente é formada por bielas diagonais múltiplas, condicionadas pela presença de uma armadura transversal formada por barras de espaçamento s, relativamente pequeno, pode-se determinar a translação a, a ser dada ao diagrama de forças /? ,, como está ilustrado na Fig, (5.2-e).
IMessa figura, a armadura transversa! foi colocada na posição menos eficiente em relação ao equilíbrio de momentos, Com isso, a força dada pelo equi-líbrio de momentos em relação à seção de abscissa x + &x, com àx -z, vale
= 2 2
donde
M +Vz-V~ + V$-R 2 1
•it.X
ou seja
K, =
M. + VI - + 2 2
Assim, a força RyIf na seção de abscissa x é determinada pelo momento fletor que age na seção de abscissa ,v+at , sendo
2 s. o, = - + —
2 2 (5.2-10)
5.3 Treliça clássica com armadura transversal inclinada
Considerando a treliça resistente com armadura transversal inclinada, Fig, (5.3-a), admite-se novamente que ao longo de uma fissura inclinada a 45", que
abrange um comprimento longitudinal Ax~ z, a resultante RIIM dastensõesna armadura transversal de inclinação a deve ter uma componente perpendicular ao eixo da peça igual à força cortante V.
Para dimensionamento da armadura transversal, devem ser consideradas to-das as barras de aço que atravessam a fissura inclinada a 45e, as quais corres-pondem ao comprimento longitudinal z(l + cota) da viga.
PA
T z ( I + cotg Oi.)
VT~
V Trotiço com armadura inclinada
Figura (5.3-9)
Do equilíbrio de forças perpendiculares ao eixo da peça, tem-se
Rtla sina = V
donde
V
sina (5.3-1)
A tensão na armadura transversal é dada por
v,,.* = A ,fií. A(oz(l+«Hu)
e sendo o número de estribos dado por 2 (1 +cota )jsf, resulta
z(l + eota) sina- v i A w
onde Am, é a área da seção transversal de cada estribo, considerados todos os seus ramos de inclinação a , e Í'( é o espaçamento dos estribos, medido paralelamente ao eixo da viga.
Definindo a taxa Pm* de armadura transversal pela expressão geral seguinte
A..., P»« = b j r s m a (5.3-2)
obtém -se _ «.a —
resultando T
!L
_ (1 + cot a ) sma pj>wst uma
phíl (sina + cos a)sin a
Definindo-se o valor
X - (sin a + eos a)sin a (5 3 3)
resulta finalmente
«V* = 3 ( 5 , 3 - 4 )
onde o índice M (Mõrsch) indica novamente o fato de se tratar da analogia clás-sica da treliça.
Mote que nos casos particulares de et = 90° e a - 45°, obtém-se o valor k = [.
A expressão anterior permite o dimensionamento da armadura no caso geral em que a tem um valor qualquer, admitido entre 45° e 90°. Por ela, na condi-ção de cálculo, obtém-se
Pi.-« = — (5.3-5)
A determinação das tensões de compressão nas bielas diagonais, inclinadas de 45a, pode ser feita a partir do equilíbrio de forças transversais, expresso por
R,,m sina = Rí i} sin 45
e da condição
resultando
Rftn sin a = V
2
donde, conforme está mostrado na Fig. (5.3-a),
ou ainda
cs .. = ~ M í 1 + cota (5.3-6)
que para a = 45 vale
(5.3-7)
Para determinar a translaçâo as a ser dada ao diagrama de esforços de tração R., da armadura longitudinal, considere-se a armadura transversal colocada na posição de menor eficiência para o equilíbrio de momentos na seção de abscissa .v+Av,com A * F i g . {5.3-b}.
Na seção de abscissa x, a força na armadura longitudinal vale
sina
ou seja
R
Mx + Vz- V [2(1+ cot a ) - a- l s m a sina1 v y | J 2
logo
R. Mx + V z-z (l + cota )+
2
z ( 1 + c o t g ou)
R u 111**- sen a,
z ( U c o t g * s t
2
z ( l + COtg o c ) - 9 t s e n oo
n = z : c o t g
i ( 1 + c o t g o t )
Influência da armadura transversa! sobre a transteçáo íl, Figura (5-3-b)
resultando
m,+V
Desse modo, a força Rifx na seção de abscissa x é determinada pelo mo-mento fletor que age na seção de abscissa x+üf, sendo
i 2 \ / 2 (5,3-8)
5.4 Analogia generalizada da treliça
IMo estudo da analogia clássica da treliça, admitiu-se a existência de bielas diagonais comprimidas sempre com inclinação de 45° em relação ao eixo longitudinal da peça.
As pesquisas experimentais não confirmam, porém, essa hipótese.
Assim, por exemplo, os resultados experimentais mostrados nas figuras (4,2-a) e (4,2-b) indicam que a inclinação das bielas delineadas pelas fissuras pode sofrer alteração à medida que o carregamento aumenta.
Esses resultados sugerem que a hipótese adotada na analogia clássica pode não ser verdadeira.
Tendo em vista uma análise mais precisa da resistência das vigas de concreto es-trutural sob a ação de forças cortantes, considera-se agora uma analogia de treli-ça em que as bielas diagonais podem ter uma inclinação 0 variável, Fig. (5.5-a),
Traliça com diagonais do inclinação 0 Figura {5.4 o/
Para a formulação dessa analogia, são admitidas as seguintes hipóteses:
1a- A treliça é de banzos paralelos, que não estão solicitados por forças trans-versais concentradas. O concreto tem resistência à compressão fcc e a viga não é superarmada.
2a- As bielas diagonais comprimidas têm inclinação 0 em relação ao eixo longitudinal da peça e estão submetidas a um estado de compressão simples, com tensões cr . Ignora-se a fissuração da peça, admitindo que a resistência à compressão das bielas seja igual a = v/„. , sendo v um coeficiente de integridade do concreto fissurado,
3a- A armadura transversal é composta por estribos de inclinação a em re-lação ao eixo longitudinal da peça. 0 espaçamento tanto longitudinal quanto transversal dos ramos dos estribos é suficientemente pequeno para que eles tenham efeito equivalente ao de uma resistência à tração do concreto na di-reção a de sua inclinação.
Definindo-se a taxa geométrica Pwde armadura transversal da forma habitual, pela expressão
bws, ama
onde Am. é a área da seção transversal de um estribo, considerados todos seus ramos resistentes de inclinação a, s, é o espaçamento dos estribos, medido paralelamente ao eixo da peça, tudo se passa como se nos planos perpendiculares à direção dos estribos houvesse uma resistência à tração dada por P Htl J HJ' i
Note-se que o valor corresponde à projeção da área da seção transversal s i n a
de um estribo no plano horizontal, cuja normal é perpendicular ao eixo da peça.
= ESTRUTURAS Oi CONCRETO
1 3 4
5.5 Tensões na armadura transversal
Analogamente ao que foi feito na analogia da treliça clássica, dada uma viga com armadura perpendicular a seu eixo, considere-se uma fissura com incli-nação desde o banzo tracionado até o banzo comprimido, Fig. (5.5-a),
M
+ ax3 2 eotg e
ÜX = i cotgQ Rcc cc
i
X e i .
V+ÜV V \
M M+iM
T 1 • T • < •. V -j*
• - i í r
: | Rtt »v • 1 " • ' l > , u . • j . ¥ , u X •• SP;,: • W * "f k
w
' r ; - i • .••/•:
V+AV y
/ M+AM
St st ax® ícotge [oc » 90*] r •H
Bielas com inclinação 0 o armadura com inclinação O. = n/2 Figuro (5.5-nf
A esta fissura de inclinação 0 corresponde um comprimento de viga At dado por
Ar = z • cot 0
Qualquer que seja a inclinação a da armadura de cisalhamento, o equilíbrio de forças transversais exige que essa armadura, que cruza a fissura oblíqua, mobilize uma força Rn que tenha uma componente de intensidade igual a V na direção perpendicular ao eixo da peça.
Na Fig, (5.5-a} é mostrado o caso em que a armadura transversal é perpendi-cular ao eixo da peça, sendo então
R = V
Mo caso geral, com bielas inclinadas de uma ângulo 0 qualquer e com arma-dura transversal com inclinação a qualquer, a determinação das tensões na armadura transversal decorre do equilíbrio de forças perpendiculares ao eixo da peça, como se mostra na Fig. {5.5-b}.
Caiuliçôos da aquillbria Figura (5.5-b)
zícotge +cotg a J.sene
ox = z cotg e
l (co(g q +• cotqoç)
Sendo Am a área da seção transversal de cada estribo, considerados todos seus ramos de inclinação a, e s, o seu espaçamento, a área total de armadura transversal ao longo da fissura de inclinação 0 vale
z (cot 0 + cot a )
Desse modo, a tensão na armadura transversal que é dada por
~ K^jAt
com
V/sina.
_ ^/sina tem o valor " z (cot 0+cot a )
ou seja y . x
z (cot 0 + cot a ) Am, sina
Definindo novamente a taxa de armadura transversal pela expressão
V , sina
tem-se
V-s, (j = : z (cot 0 + cot a)bvs,pMM sin2 a
ou seja =
bwz (cotO + cota)p (m sin: a
Nas condições, sendo
V
resulta r (T = ^ tl M
P«, (cotB+cota)sin* a ( g & ^
Em função da tensão oWtt na armadura transversal, a força cortante pode ser calculada pela expressão
^ - ^ z - t V a P ^ (cote + qota)sin3« & 2 )
No caso particular em que a armadura transversal é perpendicular ao eixo da peça, obtêm-se as expressões
-
£ V c o t B (5.5-3)
(5.5-4)
5.6 Tensões nas bielas diagonais
Considerando o equilíbrio dos esforços internos perpendiculares ao eixo da viga ao longo do trecho de comprimento z(cot0 + cota), verifica-se que de-vem ser iguais à força cortante as duas componentes
V = RAi sinO = Rllg sina
Desse modo, conforme mostrado na Fig. (5,5-b), tem-se
= bwz • (cot 0 -i- cot a )sin 0
daí resultando
V - bwz • (cot 0+cot a)sin : 0 ( 5 6 1 )
Além disso, comparando as expressões de V em função de olla e de cr , por meio das equações (5.5-2) e (5.6-1), resulta
^.«Pn.siir a = cT(.0siirO ^ Q 2 )
No caso particular da armadura transversal perpendicular ao eixo da peça, obtêm-se as expressões
V = i\tz • cr(fl cot 9 sin2 <X
e
5.7 Tensões na armadura longitudinal de flexão
De acordo com a Fig. í5.5-b), considerando o momento fletor na seção de abscissa x+àx em função dos esforços solicitantes atuantes na seção de abscissa x, com bielas inclinadas do ângulo 0 e armadura transversal inclina-da do ângulo a, tem-se
(5.6-3)
(5.6-4)
onde
&x- zcotO
Por outro lado, considerando as tensões nas armaduras e calculando o mo-mento de suas resultantes em relação ao eixo do banzo comprimido na seção de abscissa x + Av r resulta
= • - + K,a | (cot 8+cot et )sin a
Igualando as duas expressões anteriores, obtém-se
V 2 / M l + V -z cot 9 = /fs -2 + ~(cot0 + cí)ta)sína sina 2
resultando
M. V , n s RsI!í = — - + — (cot 0 - CÜt (1) 2 2 (5.7*1)
A expressão anterior também pode ser escrita sob a forma
M, +K- j (cot6 -cota) (5.7-2)
No caso particular da armadura transversal perpendicular ao eixo da peça, tem-se
K, = ; M, + Í^-cotí) 2 (5.7-3)
Isso mostra que a resultante das tensões de tração na armadura longitudinal em uma seção de abscissa x é proporcional ao momento fletor atuante em uma seção afastada de a,, que de acordo com as expressões {5.7-2) e (5.7-3) valem:
a) no caso geral, com 0*45" e a * 9 0 : a, = -(cotg6-cotg a ) (5.7-4) 2
b) treliça generalizada com 0* 45° e a = 90": a, =— (eot# 0) (5.7-5) 2
c) treliça generalizada com Q = arcígl e a = 90°: a,=z (5.7-6)
? d) treliça clássica com 0 = 45° e a = 90 : a , = - (5.7-7)
C A P Í T U L O 6 PEÇAS DE CONCRETO ARMADO COM ARMADURA DE CISALHAMENTO
6.1 Tensões na armadura transversal
Conforme foi discutido no item 4,2, nas peças de concreto armado não pro* tendido, a segurança a solicitações tangenciais é analisada com as peças fis-suradas à flexão.
Desse modo, as tensões na armadura transversal das peças de concreto ar-mado podem ser determinadas a partir de modelos de comportamento de treliça, Esses modelos em geral não consideram de forma especial a existên-cia de cargas concentradas.
Nas analogias de treliça, supõe-se que o concreto apresente uma fissura-ção suficientemente intensa para que a peça possa ser assimilada a esse tipo de estrutura.
Na analogia clássica, supõe-se que a treliça resistente tenha banzos paralelos e diagonais comprimidas inclinadas a 45" em relação ao eixo longitudinal da peça, Esse modelo simplificado de cálculo ignora a existência de esquemas resistentes alternativos aos de treliça, e também ignora os efeitos decorrentes do possível não paralelismo dos banzos da peça e os de inclinações das bie-las diagonais diferentes de 45".
A determinação experimental das tensões atuantes na armadura transversal de vigas submetidas a forças cortantes mostra que os resultados experimen-tais não são exatamente os previstos pela analogia da treliça clássica. Os valo-res reais são sistematicamente inferiores aos previstos pela analogia da treliça clássica e as diferenças não podem ser Justificadas por simples adaptações das hipóteses referentes à geometria da treliça.
Na Fig. (6.1-a) estão mostrados os resultados dos clássicos ensaios de Leo-nhardt referentes às tensões medidas nas armaduras transversais de vigas
que diferiam entre si táo somente pela largura das almas1. Os valores apre-sentados representam a média das tensões medidas nos oito estribos indica-dos nessa figura.
Pelo fato das tensões efetivamente atuantes na armadura transversal serem sistematicamente menores que os valores previstos pela analogia clássica da treliça, as armaduras realmente necessárias são menores que os valores indicados por essa analogia.
Observe-se que o afastamento dos valores reais das tensões medidas em relação aos valores previstos pela analogia clássica é tão maior quanto maior for a espessura da alma da viga,
No entanto, como apresenta a Figura (6.1 -b), esses ensaios mostraram que, mesmo em vigas com alma muito fina, ainda subsiste uma sistemática dife-rença significativa de tensões.
Todavia, por simplicidade, no dimensionamento corrente da armadura transversal de vigas submetidas a forças cortantes, emprega-se a generalização da analogia da treliça, considerando, por meio de regras práticas, as diferenças existentes entre as tensões reais e os valores teóricos previstos.
Figuro (6, í-of
'IEONHARO IF, WAt, THSfí, fl, (Svilriigv tar Befrintiluny iler Sc/wbpretitome Jm Stahtbetonhau. Beton-1mií Sle/ilbalimlaa. Corlin, (Í61/1 Md.
Vigas <íc olmo muito fina Figura (6,1-b)
6.2 Redução da força cortante por inclinação do banzo comprimido
Dentre os fenômenos que mais contribuem para que existam diferenças sis» temáticas entre as tensões medidas e as tensões previstas pela analogia clás-sica deve ser considerada a inclinação da resultante dos esforços no banzo comprimido da peça, mesmo quando ela tem seção geométrica constante ao longo de seu comprimento, Fig. (6.2-a),
F » 2 V R c » v
Rc ,
— — r
[ —
i h • z
L • 12 h
influência da incfinaçío do banzo comprimido Figura (6.2-a)
Observe-se que com a esbeltez usual das vigas fletidas as resultantes das tensões de flexâo no banzo comprimido sáo muito maiores que as forças cortantes atuantes. Verifica-se, então, que em virtude da inclinação do banzo comprimido há uma significativa redução da força cortante, que passa a atuar com o valor reduzido dado por
Vr = V - Rc tan \\>
Mo exemplo da figura acima, admitindo que sejam L = 12h e y = arctan obtém-sef
ti
h/2
Lj 2
resultando a força cortante reduzida V,. = V - Rc. tany, donde
Vf = V - 6 F / I 2 =
Resultados dessa natureza podem facilmente justificar as divergências entre as tensões efetivamente medidas e as tensões calculadas pela analogia clás-sica, Todavia, a inclinação do banzo comprimido não é constante ao longo de todo meio tramo da viga,
Ma Flg.(6.2-b) está mostrado o andamento geral da resultante das tensões de compressão ao longo da viga. Observe-se que as tensões na face superior do chamado banzo comprimido apresentam um trecho de tração junto ao apoio, em virtude da forte curvatura do fluxo de tensões aí existente, como demonstrado experimentalmente nos ensaios relatados no item (6.8).
Verifica-se, desse modo, que a treliça resistente pode ser realmente conside-rada com seu banzo comprimido inclinado, com inclinação variável desde o apoio até as seções de momentos fletores máximos. No entanto, tendo em vista urna redução das armaduras transversais, a favor da segurança, as incli-
nações a serem admitidas para o banzo comprimido, longe dos apoios, serão sempre de valores pequenos.
TENSÕES HA FACE SUPERIOR OA MÇSA, _ÇJE_ COMPRESSÃO
• *
W
Inclinação tio benzo comprimido o tensões na mesa de compressão Figura fÚ.S-Òf
6.3 Tensões nas bielas diagonais
As investigações experimentais referentes às tensões nas bielas diagonais também mostram divergências em relação aos valores previstos pela analo-gia clássica da treliça,
IMa Figura (6.3-a) estão mostradas, nas proximidades da ruptura, as inclinações das fissuras diagonais decorrentes das forças cortantes. As fissuras oblíquas não têm exatamente as direções das bielas, pois existe uma tr ansmissão de tensões de compressão por meio da interface das fissuras, ou seja, as bielas podem ter inclinações menores que as correspondentes fissuras.
De qualquer modo, a inclinação das fissuras é da mesma ordem de grandeza que a inclinação das bielas por elas delineadas. Desse modo, pode-se admitir que as inclinações das bielas acompanhem as inclinações das fissuras diago-
nais» A Fig, (6,3-a) mostra, em diversas vigas, que essas inclinações diferem entre si em função da espessura da alma,
et - 1 e = 26 À A
l J ruptura : fiflxflo
ET
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30
35
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rupturo1 cfsaihamenlo
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[ Z 13
ruptura 1 clsalhamenta
E T - 4 / A p - 4 S ' X
- H i o 30
l/ruptura = cisolhamento
35
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V T
1 - — * —
bf 3
11 _L bf * 6
ENSAIOS DE LEONHARDT/WALTHER
tní/uifícla da largura da alma sobra a faclinaçéo das biotas dia-gonais com carregamentos próximos da ruptura da poço
Figura (6.3-íi)
Da análise de resultados experimentais dessa natureza, chega-se à con-clusão de que, em função da espessura da alma, as bielas em média têm inclinações ü dentro das seguintes faixas:
vigas T com alma espessa: 30°£0 £
vigas Tcom alma fina: 38'£ÜS45Í>
mm 147
Conclui-se, portanto, que a inclinação 0 = 45°, admitida pela analogia clás-sica da treliça, é um limite superior atingido apenas por vigas de alma mui-to fina, Mas vigas com alma relativamente espessa, podem existir bielas com menores inclinações, que afetam significativamente as tensões <j[0
que atuam no concreto, e que por isso agem com valores maiores que os previstos pela analogia clássica. Em compensação, como se mostra na Fig. (6.3-b), a menor inclinação das bielas leva à necessidade de uma menor quantidade de armadura transversal.
Influência chi inciinaqiio dos bic/os diagonais no tonsão tfc compressão Figura (6.3-b)
Considerando o exemplo particular da figura acima, em que se tem uma viga de seção retangular, com armadura transversal composta apenas por estribos per-pendiculares ao eixo longitudinal da peça, obtêm-se os seguintes resultados:
a} pela analogia clássica, com 450 ,
<yc4f — = 2 - — = 2x0
b, Z b - z
Vs/l „ V
b} pela analogia generalizada, com 0 <
v
a = sinQ = W _ 2*., b„.z cos0 b,jz si ri 20 sin 20
de onde decorrem os seguintes valores:
para 0 = 45°, <ri0 = 2t0
para 0 = 3Ko, o(i() = 2s]tq (6.3-1)
para 0 = 30°, aH! = 2,3T0
As tensões acima calculadas mostram que a inclinação das bielas condiciona a tensão de compressão diagonal. Ma verdade, o comportamento de treliça somente ocorre após o início da fissuração diagonal da alma da viga, como está mostrado na Fig. (6.3-c). Observe-se que somente as vigas com alma muito fina, com b„ - h f l b , mobilizam o esquema resistente de treliça desde o inicio do carregamento.
SEÇÃO DE MEDIDA
ENSAIOS DE LEONHARDT/WALTHER
Tensões afetivamente atuantes etó a ocorrência cia fissuração Figura Í6.3-C)
6.4 Eficiência dos estribos inclinados
Os resultados experimentais mostrados no item anterior mostraram que, em vi-gas armadas com estribos perpendiculares ao eixo da peça, as tensões efetivas nas bielas diagonais variam
V de 2,0Th) a 2,3Tüi para bielas inclinadas entre 0 = 45°e 0 = 30°, sendo x„ = —.
kl De acordo com a expressão (5.3-7), com o emprego de armadura transversal inclinada de a = 45', a compressão em bielas diagonais inclinadas a 45°, vale T0, enquanto que, de acordo com (5.2-9), com armadura perpendicular ao eixo da peça vale 2th, ,
A Fig. (6.4-a) mostra que, com vigas de alma fina, as previsões teóricas são válidas quando se empregam armaduras perpendiculares ao eixo da peça, mas não com armaduras inclinadas.
Os resultados mostrados indicam que, mesmo com vigas de alma fina, no caso de emprego de estribos inclinados, a tensão de compressão nas bie-las cresce com valores praticamente 50% acima da previsão teórica, Esse resultado pode ser explicado pelo fato de que, para aumentar o número de estribos envolvidos na composição da treliça resistente, compensando assim a menor eficiência desses estribos, há a necessidade de que haja uma menor inclinação das bielas.
1 5 0
15 T
15
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(cm )
« 5 0 f* •I
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tt*PONTOS DE M£atM
ESTRIBOS VERTICAIS ^12 CADA 8 cm VTl ESTRIBOS INCLINADOS CADA 11,2 cm {06 = 45M VTÈ
I i CTC(| í MPo ] (VAUORES MÉDIOS)
PTURA 2 3 2 0 kN
4 0 0 8 0 0 1 2 0 0 1 6 0 0 2 0 0 0 2 4 0 0 ( k Nt
ENSAIOS DE LEQN H ARDT/ WALTHEft
1
Eficiência dos estribos inclinados Figuro (6.4-a)
6,5 influência da taxa de armadura transversal sobre a compressão das bielas
Para a f i x a ç ã o d o s v a l o r e s c o n v e n c i o n a i s d e r e s i s t ê n c i a d a s v i g a s n o e s t a d o l i m i t e ú l t i m o f o r ç a c o r t a n t e c o m p r e s s ã o , s ã o n e c e s s á r i a s v e r i f i c a ç õ e s e x p e r i -m e n t a i s d a s t e n s õ e s d e c o m p r e s s ã o d a s b i e l a s d i a g o n a i s .
O crescimento das tensões diagonais previsto com o valor 2T0j no caso do emprego de estribos perpendiculares ao eixo da peça mostrou-se um guia adequado, desde que não se empreguem taxas efetivas Pu de armadura transversal abusivamente menores que a taxa P. r correspondente à analo-gia clássica da treliça.
Ma Figura (6.5-a) está mostrada a variação da compressão diagonal em função do grau de armadura transversal, definido pela relação
no caso de estribos perpendiculares ao eixo da peça.
Observe-se que para valores muito baixos de rj, a tensão diagonal a(9 é muito superior à previsão teórica de valor a^ = 2>3T0 S U<Jp4, , mostrada em (6.3-1), Es-tes valores anormalmente altos da compressão diagonal decorrem do excessivo abatimento da resultante „, necessário ao equilíbrio da força cortante ^,
Influência da taxe de armadura transverso! sobre a tensão do compressão diagonal no concreto Figure (6.5-a)
= ESTRUTURAS DE COUCRETO 152
Todavia, para os valores de '1 efetivamente empregados na prática, as ten-sões <5 R 0 permanecem próximas de 2 , 2 T 0 , até para cargas com intensidade de cálculo, conforme mostram as curvas correspondentes a t| = 1,10. Note-se também o aumento das tensões nas proximidades da ruptura, decorrente do abatimento considerável que então acontece.
6.6 Intervalo de variação da inclinação das bielas
Para a determinação do possível intervalo de variação da inclinação das bielas de concreto, considere-se a fissuração diagonal de uma viga.
A fissuração fica caracterizada pela inclinação das bielas e pela deformação específica que define a abertura média das fissuras, Fig. (6.6-a). O estado de deformações causado pela fissuração pode ser assimilado ao que ocorre com uma deformação plástica em um estado plano de tensões. Nessa figura, mos-tra-se um elemento retangular de altura unitária, situado em uma posição ideal na alma de uma viga fissurada,
Fissuração da o/ma (to viga Figura (6,6-0)
A menos de movimentos de corpo rígido, a diagonal AB desloca-se paralela-mente a si mesma, tomando a posição A'B', A compatibilidade de deforma-ções está ilustrada na Fig, (6.6-b),
d
cotg 0
Compatibilidade de deformações Figura {6.6-bf
Desse modo, as relações entre deformações longitudinais ev, deformações transversais e, e deformações de fissuração sr ficam estabelecidas pela com-patibilidade de deslocamentos, mostrada na Fig. (6.6-c), resultando:
a) deformação específica dos estribos verticais
c, = £r cosO-cos8
ou seja
E , = E . cos3 0 (6.6-1)
b) deformação específica da armadura longitudinal
e, cotgO = e, cüs8<sin()
logo
e. = c . s i n " 0 (6.6-2)
Rotaçàcs entro os cio/armações Figura tf.Ô-c)
Das equações anteriores decorrem as relações
er = e cot"1 0
at - e, tan2 0
ou seja
ER = Ê, +efl = E, (l + tair
e
Er = E, +Z f = E4 (l + COl: 0 )
As duas expressões permitem estimar o intervalo de variação da inclinação 0 das bielas diagonais, para que subsista a possibilidade de escoamento simul-tâneo dos estribos e da armadura longitudinal de flexão.
(6.6-3)
(6.6-4)
De fato, admitindo que ambas as armaduras sejam feitas de aço com a mes-ma deformação e v de escoamento, obtêm-se as seguintes condições para a fissuração diagonal:
a} fissuração diagonal no início do escoamento dos estribos verticais
z r =e , (l + ta i r í ) ) (6.6-5)
b) fissuração diagonal no início do escoamento da armadura longitudinal
:P =ty (l +cQt3 O) (6.6-6)
Essas duas condições estão ilustradas na Fig. {6.6-d)
10 9 8 7 6 5 4 3
1 0
SrAy INICIO DÊ ESCOAMENTO DA AHMílIXItfA
LONGITUCHNAL \f
H 1-£0
£
40
INÍCIO OE ESCOAMENTO DOS ESTRIBOS
60 « 2 u 5
60
/rtfervíí/fl da variação da O Figure (6.6-tíi
Verifica-se que a limitação de natureza prática £,/c,, £5 condiciona a inclina-ção das bielas ao intervalo
areia— <Q<arctg2 2 [6.6-7}
Para as situações extremas acima indicadas e para a analogia clássica resul tam os seguintes valores:
Inclinação da biela tg 0 - Vá tg G = i tg G = 2
armadura longitudinal z j z v 1 1 4
estribos iz v 4 1 1
fissuração &r / e v 5 2 5
6.7 Flexão local das barras da armadura longitudinal de flexão
As Investigações experimentais sobre vigas fletidas de concreto armado an-teriormente apresentadas buscaram comparar as tensões decorrentes do modelo teórico de treliça com os valores efetivamente atuantes nas peças ensaiadas, admitindo que as barras longitudinais da armadura de flexão esti-vessem efetivamente submetidas a estados de tração simples.
Tendo em vista ampliar o entendimento a respeito da interação entre as for-ças cortantes e os momentos fletores no funcionamento das armaduras das vigas submetidas à flexão simples, foi realizada uma investigação* a esse res-peito, cujos resultados experimentais já foram apresentados anteriormente,e que aqui são reapresentados, e agora analisados, neste e nos próximos itens deste capítulo.
Na Fig. (6.7-a) estão apresentados resultados referentes aos valores médios das tensões atuantes nas barras da armadura de flexão em diferentes seções transversais da viga.
Note-se que mesmo nos estágios Intermediários de carregamento, com cerca de 50% do carregamento último, as tensões em diferentes seções transver-sais não são proporcionais aos momentos fletores atuantes nessas seções, como é o previsto pelo modelo resistente de treliça, Fig, (5.1-c).
Observe-se que as máximas tensões náo ocorrem apenas na seção de má-ximo momento fletor, A decalagem do diagrama da resultante de tensões na armadura de flexão é da ordem de <//2, como previsto pela analogia da treliça clássica. Junto aos apoios de extremidade, a armadura de flexão deve resistir a uma força de tração não nula, que é prevista pelo comportamento de treliça e também pelo comportamento de viga, pela inclinação do banzo comprimi-do junto a esses apoios.
É importante observar que as barras da armadura longitudinal foram instru-rnentadas em ambas as faces, a superior e a inferior. As tensões mostradas nessa figura correspondem à média dos valores obtidos e representam a re-sultante das tensões atuantes,
Na Fig, (6.7-b) são mostrados os resultados das tensões medidas em cada uma das faces das barras da armadura longitudinal. Os resultados mostram
'ViÁSÍCl ftfl,' InvOSliyiTÇêo rVffflfrtffa jigtt iT (/wTTfrftf tta AlttW !W lultwatórtft cfa EtffHtWir* IM FüÇilifl,T(fc tiv fnffwifartú Ctvtl dti uNÍCAMf', rosuHitftta frjor(m} /t,rrta tia Tctatís <fQ\/twMtwtUo "Cfaalframeota th
VJ0.M ítü cftfíífüío ilaútiit rtw/sr^wiA- tto FEfWANÒE&.G.Ii. MittmMiá ptla Autor ttâ £f*tí$H 1992.
que essas barras estão submetidas à flexão local devida ao efetivo apoio das bielas diagonais sobre a armadura de flexão da viga. Embora esse apoio das bielas sobre as barras da armadura de flexão não seja salientado na discussão do comportamento de treliça, essa é uma hipótese implícita no funcionamen-to desse modelo, pois a alternativa seria a ancoragem das bielas diagonais por aderência ao trecho terminal dos estribos transversais, condição essa pouco verossímil.
ÜÍ^OSilSUSoaSUSilS 4511ÍÍSLL-2S. -li-lá J r - f - r b ; isiias-
L7 L5L3 L, Lj3 0 20,7rnm L4 L6LSL1p tt1' ' tíin
Eiclansfimetros
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200
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6 0 0
0
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(MPa}
2F s 140 kNI '
[ (MPa)
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r J L . :i£F=lflQkNU H W [ (MPa) ÊS
. T ü , |2F a 20Q kNL t
(MPa)
T H
3 0 20,7irmn
12F - 230 kNl"
(MPa) V - * - .4 _ , _ . . if. CA50-A i a 60 MPa
Tensões oo tongo da armadura longitudinal do ftoxào Figura {Ç.7-a)
vuscam of/.ctt. ESTUUTUAAS QC CONCRETO
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20 40 60 80 100120 O 20 40 60 00 100120 O 20 4Q 60 60 100120
Flaxào local das barras do armadura longitudinal da iisxéo Figura (6,7'b)
Observe-se que nas seções L7 e 18, situadas em posições simétricas, as tensões medidas indicam uma flexão do tipo que existe na flexo-tração das vigas contínuas nas proximidades dos apoios intermediários, pois a tensão na face superior da barra é maior que na face inferior.
Analogamente, nas seções L11 e L12, também simetricamente dispostas na imediata vizinhança dos respectivos apoios externos, as tensões medidas in-dicam que as barras se comportam como engastadas sob a compressão devi-
da às reações de apoio, com tensões quase nulas nas faces inferiores dessas barras em virtude da presença simultânea da tração axtal,
Mas seções L9 e L10, o comportamento inverte-se, com as maiores tensões agindo na face inferior das barras, em um comportamento de viga submetida a fiexo-tração, apoiada nos estribos transversais.
Observe-se também que a flexão local das barras longitudinais é maior do lado esquerdo da viga, em que o espaçamento dos estribos é de 15 cm, que do lado direito, em que o espaçamento dos estribos é apenas de 7,5 cm.
Os resultados acima mostrados indicam que as bielas diagonais comprimi-das apóiam-se efetivamente sobre as barras da armadura longitudinal de flexão. As tensões nessas barras dependem do apoio dado pelos estribos, mostrando que não se devem empregar espaçamentos muito grandes dos estribos transversais.
Desse modo, como as bielas também se apõiam sobre o ramo horizontal transversal dos estribos, em vigas de alma espessa é obrigatório o empre-go de estribos múltiplos, como se indica na Fig. (4.6-b), Analogamente, os porta-estribos para a ancoragem dos estribos do lado em que eles são aber-tos, Fig, (4.6-c), fazem parte dos elementos que garantem o mecanismo re-sistente de treliça.
6.8 Cisalhamento junto a cargas concentradas
Ma Fig. (6.8-a} são mostrados os valores das tensões em estribos transversais nos trechos de força cortante constante de uma viga submetida a cargas con-centradas3. Esses estribos foram feitos com aço teoricamente classificado como CA-6G, Todas as vigas ensaiadas nessa investigação foram feitas com a altura total de 30 centímetros.
Os valores apresentados correspondem às tensões medidas à meia altura dos estribos.
As tensões nos estribos TI e T2, colocados nas seções onde se aplicam as cargas concentradas, mostram que eles quase não participam da resistên-cia a forças cortantes. De maneira análoga, os estribos T3 e T4, vizinhos aos estribos anteriores, e os estribos T13 e T14 colocados junto aos apoios de
'fuscane. tv.tít. C-gTIÍUTUnAS Dt CONCRETO
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De modo geral, os resultados experimentais mostram que os esforços transversais na região de aplicação de cargas concentradas têm uma dis-tribuição que permite a idealização do mecanismo resistente mostrado na Fig. (6,8-b).
idoaiaaçio do mecanismo rosis tonto no ioquo do fissuração Figura ($ B b)
Como indicado adiante, o trecho superior do estribo colocado debaixo da car-ga externa pode estar comprimido e o trecho inferior tracionado. A mudan-ça de tensões ao longo desse estribo particular, de compressão para tração, decorre da ação das forças aplicadas pelo apoio das bielas diagonais sobre a armadura de flexão, a qual por flexão local traciona o estribo a partir de sua extremidade inferior.
Observe-se que com esse mecanismo resistente, a antiga regra de armar que especificava o emprego de cavaletes a partir da posição da carga concentrada é ineficiente, devendo ser abandonada, por trazer o risco de fendilhamento da biela diagonal em seu plano médio, Fig. (6,8-c), Essa ineficiência dos cavale-tes é conseqüência da não existência de uma biela vertical que ligaria a carga aplicada ao fundo da viga.
mm 163
Figura (6,8-c}
Exemplo sistemático desse tipo de da no, com o fendílhamento que pode levar à ruptura não avisada da biela, foi identificado, por meio de ultra-som nas vigas de fundação da estrutura de um grande estádio esportivo em São Paulo, tendo sido necessária a consolidação das bielas por meio de protensão transversal
A Fig. (6,8-d) mostra a distribuição de tensões ao longo dos estribos colo-cados debaixo da carga concentrada e nos estribos vizinhos a essa posição, Foram medidas as tensões no trecho superior (S), à meia altura e no trecho inferior (I) dos estribos.
Figura (6.8-df
Nos estribos T1 e 12, as tensões medidas nos trechos superiores T1S e T2S, de início, sâo negativas {compressão}, e com o aumento da carga passam a ser positivas (tração). As tensões Tll medidas no trecho inferior do estribo TI também de inicio são negativas (compressão), e com o aumento da carga passam a ser positivas (tração]. As tensões T2! medidas no trecho inferior do estribo T2 oscilam entre compressão e tração com valores baixos.
As tensões medidas nos três trechos dos estribos T3 e T4 são todas de tração, mas diferentes entre si, e muito menores que o previsto pela analogia clássica da treliça.
A Fig. (6.8-e) resume o andamento das tensões nesses estribos, ao longo de seus comprimentos e em função do aumento da força cortante.
A) Distribuição das tensões ao longo dos estribos
,V= 110 kKI 1 F - V
Tô T1
X F = V
V = 110 kN,
T2 T4
B) Variação 900
da tensão qq à meia altura em função da força 600 cortante
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V/ kN)
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30 °
1 * T2 -Vl KM) 2 3 4 0 60 80 1001!
900
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700
600
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300
200
100
30 ° cri 4c eo 80 1001;
Tonsôús sob carregamento máximo o variação de tònsúos com a Carregamento Figuro (6,8-0!
Na Fig. (6.8-f) estão apresentados os valores das deformações específicas ao longo do banzo comprimido, nas proximidades da seção de aplicação da car-ga concentrada.
De acordo com o carregamento aplicado, mostrado na Fig. (6,8-d), na re-gião à esquerda da carga, o momento fletor é constante, e à direita tende a zero linearmente.
CO C2jL 'C4'C6 C8' C"Í0 1 t— 1— |—( — i— -r -1 — 1 T i-
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Tonsões no bamo comprimido Figura (6.8-f!
Observe, Fig. [6.B-f], que as deformações crescem de cO para c2 e atingem o máximo em c4. A deformação c6 é praticamente igual a cO,
A partir de um certo carregamento, c8 e c10 diminuem com o aumento da força cortante, e c10 chega a se tornar de tração, em decorrência do desvio do fluxo de tensões de compressão como mostrado nessa figura.
As deformações cQr c2 e c4 mostram como se dá uma possível ruptura força cortante flexão. A deformação c2 é quase 50% maior que cG, e c4 é o dobro de cO.
A Fig, (6.8-g) mostra como o cisalhamento local devido à carga concentrada pode provocar um grande aumento das tensões locais no banzo comprimido entre a posição da carga e o apoio mais próximo.
Figura (6,8 gj
6.9 Cisalhamento nas abas salientes
Conforme foi analisado anteriormente, a formação dos binários resistentes a solicitações de flexão é feita pela ligação do banzo comprimido ao banzo tracio-nado da peça pela alma da viga, Fig. (6.9-a).
Ciselhgmonto cias abas sol íamos Figura fS.9-ú)
O cisalhamento da alma da peça pode ser analisado com o comportamento de viga ou com o comportamento de treliça, As tensões de compressão nas bielas diagonais de concreto guardam uma relação com as tensões tangen-ciais calculadas com o comportamento de viga no centro de gravidade da seção transversal, conforme foi analisado no capítulo 5.
O cisalhamento das abas salientes foi analisado no capítulo 1, conforme é mostrado nas Fig» de {1.3-f) a (1.3-h).
De acordo com a expressão 0.2-3), o módulo da tensão de cisalhamento em um ponto qualquer da seção transversal é dado por t = VS jhl,
Desse modo, a força longitudinal de cisalhamento por unidade de compri-mento da seção de corte é dada por
ç V = Th= V —
f (6.9-1)
Considerando que o momento estático referente à seção longitudinal de corte A-A, Fig. (6.9-a), é proporcional à própria espessura da seção de corte, tanto à direita quanto à esquerda da alma da viga, e que esse momento estático é facilmente relacionado ao momento estático referente à seção de corte B-B(
que freqüentemente é admitido como praticamente igual ao momento estático
referentes à seção C-C, têm-se como condições de segurança as seguintes re-lações referente à compressão diagonal do concreto e à armadura transversal, Fig. (6.9-b).
^ f .esquenta ^f .direita ^alma çg 9-2)
logo S/tange ^ V„ = V , — — — < V , Jlangí' alma ç alma
òw
A - A ^ thm^ "s,/tange MI- ^
(6.9-3)
(6.9-4) $
onde ..-"—X- é a relação entre o momento estático referente à aba saliente e o S i»
momento estático referente ao cálculo da tensão tangencial no centro de gravi-dade da seção total da viga,
* — n f , esquerda J T .oirena
ma
t
ha
T .oirena
ma
fíoiitçáo entre os esforços na mesa o nn atmo figura (6.9-b)
CAPÍTULO 7 PEÇAS SEM ARMADURA DE CISALHAMENTO
7.1 Ruptura de peças sem armadura de cisalhamento
E princípio fundamental de segurança do concreto estrutural que a segurança em relação a um eventual colapso não dependa da resistência à tração do concreto, a fim de que seja eliminado o risco de colapso não avisado.
A fissuração, que é a ruptura por tração do concreto, jamais deve ser a causa de colapso de uma estrutura.
Por essa razão, procura-se fazer com que os possíveis estados limites últimos de solicitações tangenciais somente possam ocorrer com carregamentos superiores àqueles que provocariam estados limites últimos de solicitações normais. Dessa maneira, procura-se eliminar o risco de colapso não avisado, decorrente das tensões de tração provocadas pelos estados múltiplos de ten-sões gerados pela presença do cisalhamento.
Para essa garantia, nas peças estruturais lineares as armaduras trans-versais são sempre obrigatórias. Nas vigas usuais, mesmo que as forças cortantes sejam pouco significativas, exige-se pelo menos um mínimo de armadura transversal.
Nas peças não fissuradas, o cisalhamento é resis tido pelo próprio concreto, enquanto as tensões principais de tração dos estados múltiplos de tensões existentes na alma da peça não provocam a ruptura do concreto por tração, Fig, (7,1-a).
n n Ruças níto físsu rodas
Figura (7.1-o)
Como aparente exceção a esse princípio geral de segurança, dispensa-se a armadura transversal nas vigas de pequeno porte e nas estruturas laminares sujeitas a cargas perpendiculares à sua superfície média, desde que as ten-sões de cisalhamento sejam inferiores a certos limites.
Por clareza, no caso de lajes, prefere-se o termo armadura de cisalhamento, ao invés de armadura transversal, pois nessas peças estruturais existem duas armadur as de flexão, que freqüentemente são chamadas de armadura longitu-dinal e armadura transversal, respectivamente.
Em vigas de pequeno porte, simplesmente apoiadas, com altura relativa-mente grande em comparação com o vão, a dispensa da armadura de cisalhamento pode ser admitida quando as cargas externas podem ser transmitidas diretamente aos apoios, pelo chamado arqueamento dos es-forços, independentemente da eventual fissuração da alma, como mostra-do na Fig. (7.1-b),
p ?
Transmissão dirota c/as cargas paru os apoios Figuro (7, hbj
Em todos os outros casos de vigas, a esbeltez da alma torna incerto o controle de sua fissuração por parte da armadura longitudinal de flexão, exigindo-se que as peças disponham de armadura transversal adequada á resistência aos esforços devidos a forças cortantes.
Essa exigência decorre da ruptura que acontece praticamente no ato do apa-recimento da primeira fissura devida à força cortante, Fig, (7.1-c). Essa pri-meira fissura, que é oblíqua, e não perpendicular ao eixo da peça como as fissuras de flexão, é chamada de fissura crítica.
Nas lajes e nas faixas de laje sem armadura de cisalhamento, Fig. (7-1-c) a fissura-ção por flexão pode ocorrer sem que a integridade da peça fique inviabilizada, pois essa fissuração é sempre menos concentrada que nas vigas. Como indicado nessa figura, a ruptura da peça somente ocorre quando surge a fissura crítica, que é a primeira fissura inclinada, característica da ruptura por força cortante.
aSLSWft OIAOWAL QUE SURGE NO ATO DA RUPTURA (FISSURA CRÍTICA )
ò t . l ,5d [
aflb ação Jot eleito» d> 2- ordaro qu+ turgãm apdf a ruplmo diagonal
Segundo ensaios do Leonherdl' Ruptura de faixas do lajes sem armadura do cisalhamento
Figura (7. t-c)
'LCQWtAWT, F, Slwvr m emeroto tlnicturvi, m SUFM ANO TOfíStOU CFB-fítil-M 1V1 ifínformatlon n" /16. Pura. t'JJJ.
Note, no exemplo da figura acima, que até a carga aplicada atingir 90% da carga de ruptura, a fissuração da peça decorrente da flexão não é influen-ciada pela presença da força-cortante, pois as fissuras continuam mantendo sua configuração perpendicular ao eixo longitudinal da peça.
Observe que até esse estágio de carregamento, com F = 0,9 Fu , os esforços R iuf na armadura de tração acompanham o andamento teórico decorrente do diagrama de momentos fletores, indicando que até esse carregamento sub-siste o comportamento de viga, a despeito da intensa fissuração da peça, Isso também mostra que a fissuração por flexão não destról a resistência da peça a forças cortantes. As cargas aplicadas podem ser transmitidas até os apoios, mesmo com a peça fissurada à flexão.
Todavia, quando o carregamento se aproxima do valor último Fu , o compor-tamento de viga fica claramente alterado e, no ato da ruptura, fica completa-mente destruído.
Quando se chega ao nível de carregamento em que a fissura crítica já pode se formar, o aumento do carregamento somente é possível se o mecanismo re-sistente de treliça puder se instalar, Para isso, há a necessidade da existência de armaduras transversais adequadas.
O tipo de investigação apresentada na Fig, (7.1-c) mostra que no dimensio-namento à flexão de lajes sem armadura de cisalhamento, o diagrama de esforços de tração na armadura de flexão sofre uma translaçâo a, = 1,5<cl em relação ao resultado teórico decorrente da teoria de flexão. De modo análogo, junto aos apoios, na situação de cálculo, deve-se prever a necessidade de ancoragem de uma força de intensidade
Na Fig. (7.1-d) mostra-se que, embora a fissuração por flexão não destrua a resistência a forças cortantes, a ruptura por força cortante localiza-se prefe-rencialmente nas regiões em que há concomitância das máximas forças cor-tantes e dos máximos momentos fletores.
Esses ensaios mostram que, em trechos de força-cortante praticamente cons-tante, a ruptura pode ocorrer tanto na região de momentos positivos quanto na de momentos negativos.
Para efeito de projeto, cabe a mesma transtação a, = 1,5-d do diagrama de M/z, tanto dos valores correspondentes aos momentos positivos quanto aos negativos.
Segundo ensaios de Leonhardt o Wafthar* Ruptura de faixas de lajes continuas sem armadura do cisafhamonto
Figura (7.1 -d)
7.2 Mecanismos resistentes ao cisalhamento
A segurança em relação a estados limites últimos de forças cortantes em pe-ças de concreto armado sem armadura de cisalhamento é garantida por dife-rentes mecanismos resistentes.
Nos trechos das peças em que as forças cortantes não são muito elevadas, elas se comportam como se estivessem submetidas á flexão pura, Fig. (7.1-a), com banzos praticamente paralelos ao eixo da peça.
As possíveis fissuras nesses trechos são perpendiculares ao eixo da peça e se iniciam a partir da extremidade do banzo tracionado, Fig, (7.1-b). Por analogia com o que se discute com as vigas submetidas à flexão com-
; ESTRUTURAS OTi CONCRETO 'lEQNHAPDi; F, h WAiWSft, n, BrtlrAçeiur Bvtnndhmy derSehiibprúlUBme mi Siatitbtfonbfíu fívtm} timi StBhttwtontt/Nf. Soffín Cótteftiox tl/IÍC 1;
iamtWS: sw <963; */St íss* U»HttttW»
posta, esses trechos constítuem-se no que foi definido como zona C das peças pretendidas,
A resistência ao cisalhamento de peças fissuradas por flexão pode ser jus-tificada por meio de dois modelos diferentes do funcionamento da região de concreto situada entre duas fissuras adjacentes, Fig. (7.2-a), Em um deles admite-se a cooperação máxima e no outro a cooperação mínima do concre-to entre fissuras.
No modelo de cooperação máxima do concreto entre fissuras, admite-se que a transmissão da força cortante ao longo do elemento possa ser feita por meio de três diferentes mecanismos resistentes alternativos, cada um deles transmi-tindo uma parcela da força cortante total:
VI parcela transmitida pelo banzo comprimido da peça;
V2 parcela transmitida através da fissura de flexão, em virtude do en-grenamento existente entre os grãos do agregado graúdo, e retrans-mitida adiante por tensões de tração na alma da peça;
V3 parcela transmitida através da fissura de flexão por melo da arma-dura de flexão, que se comporta como um pino de ligação entre as duas faces da fissura, sendo retransmitida adiante por tração no tre-cho da alma entre duas fissuras adjacentes.
COOPERAÇÃO MÁXIMA OA ZONA F I S S U R A D A
COOPERAÇÃO MÍNIMA OA ZONA H S S U R A O A
• 4
v TU,
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PARCELAS DE TRANSMISSÃO DA FORÇA CORTANTE
V, BANZO COMPRIMIDO Vi ENGRENAMENTODOS AGREGADOS Vj EFEITO DE P1NOA ARMADURA
CONSOLOS ENGASTADOS NO BANZO COMPRIMIDO
Resistência ao cisalhamento dos poços fissuradas por ftoxio
Figura (7.2-a)
O modelo de cooperação mínima do concreto entre fissuras, Fig. (7.2-a), que foi admitido desde os primórdios do concreto armado, admite que a força cortante seja transmitida inteiramente pelo banzo comprimido da peça, e que os trechos da alma entre duas fissuras adjacentes tenham o comportamen-to de consolos engastados no banzo comprimido, os quais, por flexão local transversal, permitem a variação da força de tração na armadura de flexão ao longo do comprimento desses trechos.
Esse modelo admite que o mecanismo de viga subsista até a ruptura da peça, após a formação da fissura crítica. A resistência à força cortante seria assegu-rada pela inclinação da resultante das tensões no banzo comprimido da peça, cuja componente transversal equilibra a força cortante.
O modelo de cooperação máxima do concreto, Fig. (7,2-a), admite que o me-canismo de funcionamento da peça fletida se altere, a partir do mecanismo de viga, até se organizar um comportamento global análogo ao mecanismo de treliça, no qual as tensões diagonais de tração permitem a resistência da peça, como se mostra na Fig, (7.2-b),
Figura /7.2-b)
Para a alteração do mecanismo resistente ao cisalhamento, colaboram as fis-suras, cujas superfícies são bastante irregulares, fazendo com que ao longo delas exista a transmissão de forças em virtude do engrenamento dos grãos do agregado graúdo. Esse engrenamento permite que haja transmissão de forças oblíquas através das fissuras, Figs. (7.2-a) e (7.2-b},
De maneira análoga, a maior rigidez do aço em relação ao concreto faz com que as barras da armadura longitudinal funcionem como pinos de ligação que solidarizam os dois trechos da peça separados pelas fissuras, ampliando a região de concreto colaborante na transmissão da força cortante por tensões oblíquas de tração.
É importante assinalar que as bielas diagonais de concreto apóiam-se efetiva-mente sobre a armadura longitudinal da peça fletida, como foi demonstrado experimentalmente em investigações já relatadas anteriormente3.
Observe na Fig. (7.2-b), que nas peças pouco fissuradas à flexão, enquanto o concreto é suficientemente resistente para transmitir as tensões de tração devidas às forças cortantes, os eventuais estribos transversais existentes podem estar até comprimidos, ao invés de tracionados. Essa possibilidade foi comprovada experimentalmente, como mostrado no item 6.8,
Ao se aumentar o cisalhamento, as tensões diagonais de tração chegam à ruptura do concreto e, como conseqüência da direção dessas tensões, as fissuras deixam de ser perpendiculares ao eixo da peça, surgindo assim a fissura crítica, com a qual sobrevém a ruptura final da peça.
Considerando ainda o efeito de pino, é importante assinalar que sua contri-buição à resistência da peça depende da qualidade do concreto da região de envolvimento das barras de aço da armadura longitudinal, pois a eficácia des-se efeito fica dependente do concreto da camada de cobrimento da armadura longitudinal, Fig. (7.2-c) e Fig. (7.2-d);
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Direções das forças internas devidas fio o!oito do pino • Momentos nogatives Figuro t7.2-d)
Tendo em vista os mecanismos resistentes alternativos a forças cortantes, nas lajes sem armadura de cisalhamento o andamento geral do fluxo de tensões de compressão desde as cargas aplicadas até os apoios pode ser idealizado como se mostra na Figura (7.2-e),
De modo geral, as máximas forças cortantes ocorrem junto aos apoios das peças estruturais, em zonas onde preferencialmente ocorrem as ancoragens das armaduras de flexão,
Nas lajes, para o equilíbrio dos nós dos apoios, recomenda-se que uma par-cela da armadura de flexão do meio do vão seja estendida até os apoios e aí ancorada. Nos apoios simples, exige-se que essa parcela seja de 50% e, nos apoios contínuos, de apenas 30% pois aí as armaduras em geral não estão mais tracionadas.
Tendo em vista as dimensões reais das peças estruturais e de seus apoios, as máximas forças cortantes efetivas VS[)1 não têm os valores teóricos atuantes nos eixos dos apoios. Os valores máximos efetivos atuam em seções afastadas de uma certa distância desses eixos. Essas distâncias definem as posições a partir das quais as cargas externas efetivamente contribuem para as tensões diagonais de tração que podem produzir a ruptura das peças estruturais, Fig. (7,2-f). Por outro lado, esse alívio do cisalhamento junto aos apoios é compensado na de-terminação da armadura de flexão por uma decalagem de 1,5 d no diagrama de momentos fletores solicitantes.
Ancoragem »A,=constanta
a,< 2d a, < 2d '-4
d2 -*-! d
í í 2d
= constante
Ancoragem ! eficiente ÜFd
B -' ad
í IPF,
Apoio de extremidade Apoio intermediário
Cálculo de Vlda e {cargas lineares paralelas ao apoio}
fíasistôncia das lajes sem armadura do cisalhamento Figura (7.2-f)
7,3 Investigação experimental sobre a resistência na flexão simples
As inúmeras pesquisas experimentais realizadas por 19 diferentes grupos de in-vestigadores ao longo da segunda metade do século XX mostraram que a resis-tência VHin a forças cortantes, de peças sem armadura de cisalhamento, depen-de da resistência do concreto, da taxa de armadura longitudinal de flexão e da espessura da peça, Essa resistência pode ser expressa por
(7,3-1)
onde bw é a largura da alma , <J é a altura útil da peça e Tif<n é a tensão con-vencional resistente para peças sem armadura transversal,
A análise da influência da armadura longitudinal na resistência ao cisalhamen-to está apresentada na Fig. {7.3-a)*,
Essa influência é decorrente da dupla capacidade de a armadura longitudinal controlar a abertura das fissuras de flexão, garantindo a transferência de es-forços diagonais por meio do engrenamento dos agregados graúdos ao lon-go da espessura da peça, como mostrado na Fíg. (7.2-b), e de proporcionar o efeito de pino que permite a transferência de esforços diagonais através das fissuras, os quais tendem a se ancorar na própria armadura de flexão, como mostrado nas Figs. (7.2-c) e (7.2-d),
*HÊOMAN, o; í OSlifttG, A "Qfítrg/t vf cúnçritfv str\KUtrvs wth rvyard totiitiM ftrcvs -in Sh&iir mitl laíinDn. CEB Burtat/n tTIoftimatmn n" )2& Pitun I9JS.
Para isolar a influência da taxa p, =Asfbwd na resistência ao cisalhamento, os resultados apresentados na Fig. (7.3-a) foram ajustados em função da altura útil da peça e da resistência do concreto, estudando-se a influência da taxa p,, por meio da variável
yt = ' h-Jíl
onde x„.w1 é igual ao valor experimental xi (j , fazendo-se
k = 1,6-íV > I para c/^0,6 metros
RESULTADO* íJWSTaüOS tu PUUÇAO REFLÍLO isiSÉNSÍv£l il WLRI.lçlo OA TAXA p , ÜFL PARÂMETRO KIL.Í ÍI'! OE ARMAÜURA LONSITUCIRM.
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0,01 0,02 0,03
PEÇAS SEM ARMADURA DE CISALHAMENTO
RESULTADOS EUPUNCNTMS Q£ ISO VIOAft E FAIXA! CE LAJES stm ARMADURA DE CIÍ»LMA«ENTQ , MM CARGAS AFASTADAÍ CHIS apoios Id>:'.hi), ensaiadas mor i« oifeheutes grupos oe
PMQUISAMRES, Nü Ptflfees HE ISflB o tSTfl PAPQS SEGUMKI HEDMAH E L.03BEKQ
A
Anàtisa tia infíuôncia da armadura do ftex&o Figura (7.3-a)
Os resultados obtidos mostram que valores de p, acima de 2% não aumen-tam significativamente a resistência ao cisalhamento,
A influência média da taxa p, sobre a resistência ao cisalhamento é expres-sa pela regressão linear yl m = 0,090(1 + 5 2p,), cujos resultados experimentais apresentam um coeficiente de variação 6t =0,15.
Admitindo que os resultados experimentais decorram de um processo aleató-rio não estacionário na média, mas estacionário no coeficiente de variação, a função correspondente ao quantil de 5% da variável y\ pode ser expressa por
+ ( 7 . 3 - 2 ) if j J
Deste modo, para uma dada taxa p,, com 95% de probabilidade, a sua influ-ência sobre a resistência ao cisalhamento pode ser expressa, de modo sim-plificado, por a = 1+5Cp,, não se tomando para p, valores superiores a 2%.
Para isolar a influência da altura útil da peça na resistência ao cisalhamento, os resultados apresentados na Figura (7.3-b) foram ajustados em função da taxa p, da armadura de flexão, por meio do coeficiente oc = I + 50p, e da re-sistência /„, do concreto, estudando-se a influência por meio da variável y2
determinada experimentalmente, obtendo-se
> : [ l+50p,]v77
onde xliwl é feito igual ao valor experimental xVH , sendo p, £ 2%,
A importância da altura útil da peça na resistência ao cisalhamento é decor-rente de sua influência no controle da abertura das fissuras de flexão. Esse controle, que é essencialmente realizado pela armadura de flexão, perde sua eficiência à medida que aumenta a espessura da peça, porquanto a armadura
cie flexão fica cada vez mais distante dos trechos altos da seção transversal da peça. Por essa razão, a resistência específica ao cisalhamento decresce à medida que aumenta a altura útil da peça, como mostrado na Fig. (7.3-b),
RESULTADOS AJUSTAM» Em FLBipão 00
FEÇAS_ SEM ARMADURA DE _ CISALHAMENTO ffilSIUACO? EXPERIMENTAIS DE ÜSS VfflAS í hAixAü UE LA«S SEM AKMAOURA CE CISALHAMENTO , OA MESMA WATUftÉZA {EM PARTE üA() AS MESMAS VIOAS) CUt AS PÈÇAS CW3UEMGAS HA F)S,(?.3'0> M W 1 9E6UHDO weoMJH t LOSttRS -
figura (7,3-bf
Os resultados experimentais obtidos mostram que a influência da altura útil da peça deixa de ser significativa a partir de um máximo de 0,6 metros,
A influência média da altura útil d sobre a resistência específica ao cisalha-mento é determinada pela regressão linear
y2i» =0,090(1,7 5-1,2 s<y)
Os resultados experimentais apresentam um coeficiente de variação íi, = 0,1 6,
Admítíndo-se novamente a existência de um processo aleatório não estacío-nário na média, mas estacíonário no coeficiente de variação, a função corres-pondente ao quantil de 5% da variável y2 é dado pela expressão
7 ^ 0 , 7 5 - 1 , 2 5 J ) . ( 7 . 3 - 3 ) 1,3 o
Para explicitar a influência da altura útil, ao invés do coeficiente (l,75-l,25t/) pode-se adotar a expressão simplificada
k = 1,6-tf d em metros
que está a favor da segurança, particularmente para as lajes menos espessas.
Para isolar a influência do tipo de carregamento na resistência às forças cor-tantes em peças sem armadura de cisalhamento é estudada em função da variável y i t mostrada na Fig, (7.3-c), na qual foram considerados carrega-mentos em linha paralelamente ao apoio.
Pi«0; o;-: K = (l,6-d)S 1 (d tm rnttroí)
'sm õ
6 » 32%
ENSAIOS REALIÍAMS POR » oircRCNrES GRUPOS Oi PESQUISADORES no PERÍODO Df. l&SÍ A 1971
y,m = 0l09e)
3 •
PEÇAS SEM ARMADURA PE CISALHAMENTO
RESULTMMS EXPERIMENTAIS DC «73 VISAS f FAIXAS DE LAJES 3£M AHMACMRA K CISALHAMENTO, SIMPLESMENTE APOIADAS OU CONTÍNUAS, SUBMETIDAS A CARGAS CONCENTRADAS RESULTADOS AJUSTADOS CM rjMtíO OA ALTURA I1A PEÇA E DA TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL D£ AÇOR!» COM OS RESULTADOS MS FKSLMA3 FIB (7!3-bt PADOS SEBUNDO HEOMAN t LOSMM,
Influência do afastamento das cargas cm rotação no apoio Figura (7.3-cJ
; estruturas oli concreto
Neste caso, os resultados apresentados foram ajustados em relação à taxa de armadura longitudinal e à altura da peça, d, por meio dos coeficientes a = l + 50p, e K = 1 , 6 - Í / com suas respectivas restrições a < 2 e K>l,estu-dando-se a Influência da distância relativa a/d do carregamento ao apoio, por meio da variável y} definida por
sendo t ,, o valor experimental tv
No caso de cargas atuando em linha paralelamente ao apoio, Fig, (7,3-c), os resultados experimentais mostram claramente duas coisas:
a) Para cargas diretas em linha suficientemente afastadas dos apoios, a re-sistência das lajes não é mais Influenciada por um eventual arqueamento dos esforços, A resistência depende apenas do engrenamento dos agre-gados, do efeito de pino da armadura de flexão e da própria resistência à tração do concreto.
Considerando apenas o caso de cargas afastadas dos apoios (í?>3J), Fig. (7.3-c), a resistência média da laje ao cisalhamento é um valor constante, de-pendente apenas de sua espessura e da resistência do concreto à tração, ex-pressa por um número proporcional a •JJ . Nesse caso, a regressão média constante5 vale yJm =0,096, independentemente da relação a/d>3.
Os resultados experimentais apresentam um coeficiente de variação = 0,1 7,
Admitindo-se a existência de um processo aleatório estacionário, o quantil característico de yi vale
(7.3-4)
'HtDMAN, fl; ÍQSRIWüi A "Ottign t>f coriccfí jlruslnm wilh runarrfHifhwir forcai", in Snearmid ?o'tton. ÇEB Bu/talm dltiformctian n° ííi. Pru in ISK,
daí decorrendo o valor da resistência
resultando, finalmente,
xm =0,070x(l + 50pl)(l,6-rf)1/ 7 (7.3-5)
b) Para cargas diretas em linha próximas dos apoios, a transmissão por meio do arqueamento dos esforços é significativa até a distância limite a = 3d, A regra prática indicada na Fig. (7.2-f), aplicada como se a carga estivesse afastada do apoio, fornece valores a favor da segurança.
Como já foi visto anteriormente, para cargas diretas aplicadas nas proximida-des dos apoios da viga, há uma redução da força cortante efetiva, pois uma parte da carga é equilibrada diretamente por bielas inclinadas que partem da carga e se dirigem diretamente ao apoio. Esse fenômeno particular pode ser interpretado como um aumento fictício da resistência ao cisalhamento junto a apoios diretos, conforme se mostra na Fig. (7.3-c),
No caso de cargas em linhas próximas aos apoios (íj<3í/), a resistência fictícia ao cisalhamento cresce bastante à medida que as cargas se aproximam desses apoios. Nesse caso, Fig. (7.3-c), a variável apresenta sobre a variável a/d a
regressão média = 0,1 32^—j,com um coeficientede variação diu/l{ = 0,32.
Nessas condições, o quantil de 5% do processo aleatório não estacionário na média, mas estacionário no coeficiente de variação, pode ser tomado
como y})j =0,063 \ a J
f 3J Para cargas próximas aos apoios, obtém-se yJI; =0,063 — , ou seja, sendo yti =0,070, resulta \a j
{ 3<A V a )
C S T U L I T U H A S oc C O N C R E T O :
Assim, ao invés de se admitir um aumento fictício da resistência ao cisalha-mento nas proximidades dos apoios diretos, com o valor
(7.3-6)
que pode ser expresso por
jx[o,070( i+50p l ) ( i ,6 -È / ) 1 /y ; (7.3-7)
toma-se um valor reduzido das forças cortantes solicitantes. A favor da segu-rança, considera-se o fenômeno real de redução das forças cortantes efetivas, por meio da regra prática mostrada na Fig. (7.2-f)
admitindo que a resistência ao cisalhamento seja a mesma que para cargas afas-tadas do apoio.
c) Para cargas diretas uniformemente distribuídas, Fig. (7.3-d), a resistência ao cisalhamento das lajes também é analisada pelo comportamento da vari-ável , já definida anteriormente por
tomando-se agora, como variável independente, o valor (Lf 2c/), onde l é o comprimento do vão da peça.
(7.3-8)
(1,6-í/ )(l -fSOp,
Por analogia com o caso de cargas atuando em linha paralelamente ao apoio, o comprimento LI2 do meio tramo é assimilado à distância relativa a/d da carga ao apoio, estudando-se
a variável em função de ~ = d d
Mo caso de cargas distribuídas, a influência da relação = -'' ~ sobre a resis-
tência das lajes se faz sentir até valores bastante grandes. Como está mostra-
do na Fig. (7.3-d), a regressão média da variável yi é dada por&
•V&MfAAt O; ÍOSSWQ. A. o/t tH. C 5 T H U T U n A S DC CgNCFlCTO
1-3 diL
e o quantil de 5% desse processo aleatório vale
yn =0,099 — (7.3-9) 1 - 3 d/L
decorrente de um coeficiente de variação fi)iWW -0,22,
A favor da segurança, considerando lajes de pequena espessura relativa, isto é, d< £/20, obtêm-se, respectivamente,
0,18
y n =0,1 I £7.3-10)
Neste caso, resulta
Tml=0,\\x(\,6-d)(\+50pi)JZ £7.3-11)
Comparando as expressões (7.3-11) e (7.3-5) tem-se , 0,11/0,07 = 1,57 , ou seja, verifica-se que com carregamentos uniformemente distribuídos a resis-tência a forças cortantes é cerca de 50% maior que com carregamentos em linha aplicados longe dos apoios.
Esse aumento pode ser justificado pelo fato de que, com cargas diretas em linha, mesmo afastadas do apoio, a resistência ao cisalhamento depende em grande parte da resistência do concreto à tração, porquanto o carregamento praticamente define a posição de formação da fissura crítica que produzirá a ruptura. Com carregamentos distribuídos, a parcela resistente transmitida pelo banzo comprimido da peça pode se manifestar, garantindo o aumento de resistência verificado experimentalmente.
Mo caso de lajes com grande espessura relativa, podem ser consideradas as ex-pressões gerais
f
1-3 d/L e
(7.3-12)
7.4 Outras investigações experimentais
A análise mais atual dos resultados experimentais obtidos ao longo de todo o século XX, feitas pelos mais diferentes pesquisadores que investigaram a resistência de vigas de seção retangular sem armadura de cisalhamento, foi apresentada por Reagan7, a qual está resumida na Fig, [7.4-a). Nessa figura, o valor vH apresentado corresponde à tensão última resistente obtida experi-mentalmente, isto é.
Para a definição da condição de segurança, considera-se o valor da força cor* tante resistente
na qual o valor de xKl é tomado convencionalmente, por regulamentos nor-malizadores, como o valor experimental de correspondente a uma suficien-temente baixa probabilidade de não ser atingido nos casos reais.
De acordo com o Código Modelo CEB-FIP 90, na flexão simples, a resistência a forças cortantes de peças sem armadura de cisalhamento, até para concre-tos C5Ü, é dada por
(7,4-2)
(7.4-3)
'HEAGAN, r "Utt/rtotw ifrntt Stttot Mtttiplt*' kr Smidi"*! Contrata vol, í - fíb CTB-FtP bullclln rt* 1. S tLu lg i r t , I S Í f t
E S T R U T U R A S PC CGNÇFIETQ
onde
^ - I + VZÕÜTÍZ 52 [d em mm) (7.4-4)
De acordo com a análise feita pela fib® sobre os resultados apresentados por Reagan, seria possivel a adoção de um valor 0,16 para o coeficiente da ex-pressão (7.4-3), resultando
que já corresponderia, como se observa na Figura (7.4-a), ao valor caracte-rístico v(j i da função experimental característica vtl.
Como TfllJ é calculado também em função do valor característico /íJt da re-sistência do concreto, esse valor característico 0,16 estaria nas mesmas con-dições de segurança que os coeficientes das estimativas feitas por Hedman e Losberg, O valor 0,12 proposto por Reagan seria obtido, portanto, conside-rando-se ainda um coeficiente de mineração 1,33.
Mote que o coeficiente 0,16 da expressão (7.4-5) é intencionalmente maior que o coeficiente 0,12 estabelecido peto Código Modelo MC904, sendo assim mais coerente com os resultados adiante discutidos.
Observe, também, que o valor da tensão tangencíal resistente, dada por
é um valor último, embora esteja definido em função da resistência caracterís-tica f\.k. Essa tensão pode então ser expressa sob a forma
(7.4-5)
-0,16 (l + V20O/í/)^IÜOp l/ [. i (7.4-6)
v„ bj
tlh CíQ-Flf ou. cri, • Volume 1, iwJtf, ISO. 'CSB FtP MmM Cotle 1390. Cf Cl Bii/totin <tftntonmili<m n°S 13/114. ftcdivtxHl BooKi C/t rMi
0 , 2 0
0 . 1 6
0.12
0,08
0.04
1 7
«r
• * \ <
* •
' • "v p *
í ' 1
Vu
^ VlODpfc
íf TÍBB bí EüialKitii SdiHmiKl Nilnon
1 r fç (MPa)
20 49 00
0,20
0.16
0,1?
o.os
0,04
0 , 2 0
0.16
0.12
O.OS
0,04
! *
*
' > • * \
V * = L Íí.
t t - IS • * * . X* ' tf ÍU
* \ 7
Vu
1 1 PI»)
1 20 40 00
0,20
0,16
f f • . <
0,20
0,16 • * , » « .
0,12 Vu
0,12 Vu
4 Vioop fc
0.06
Ç-VIWpÍE
1 1 J(rairi)
0.04
.Vd t 1 ..1 2U íío 00 20 40 M
Resistência a forças cortantes de peças som armadura de cisalhamento Ensaios realizados do 1974 a 1998, segundo Reagan, om fit - Ridletin 2 -Struclurat Concreto.
Figura (7.4-a)
Os parâmetros 4 e lOÜp • / \ empregados por Reagan são da mesma natu-reza que os utilizados por Hedman e Losberg, uma vez que tanto a raiz qua-drada quanto a raiz cúbica da resistência à compressão do concreto podem ser relacionadas à sua resistência à tração, e que a influência da espessura, dada por % -1 + 4wÃíd < 2 é da mesma natureza que o coeficiente k = 1 , 6 - d
empregado pelos pesquisadores anteriores.
"rtftLGANOyí. A C 5 T H U T U n A S DC C O N C R E T O
7.5 Dispensa da armadura de cisalhamento
a} Resultados clássicos
Mas construções usuais, dentro de certos limites, a dispensa da armadura de cisalhamento das lajes está consagrada desde os primórdios do con-creto armado.
Para uma apreciação crítica dos critérios empregados nessa dispensa pelos diferentes regulamentos normalizadores, cabe relembrar que Mõrsch10 já ha-via comprovado experimentalmente que " existe uma segurança de 3 a 3,5 sem dispositivos de segurança especiais contra o cisalhamentoP), desde que o valor máximo da tensão de T0 seja, junto aos apoios, de até 4 kgf/cm1" .
Empregando-se a notação atual e o sistema SI de unidades (1MPa = 10 kgf/cm*), a tensão admissível proposta por Mõrsch toma a forma
Esse vator admissível correspondia aos concretos usuais empregados na época, que teriam uma resistência média da ordem de apenas / m :(t = 13MPA, uma vez que eram feitos com a resistência média de 16 MPa , medida em corpos-de-pro-va cúbicos. Com as práticas construtivas da época, esses concretos poderiam ter, quanto muito, resistências características da ordem de 10 a 11 MPa .
Para concretos com f.kãií = I ]MPa, a resistência admissível prescrita por Mõrs-ch corresponderia, portanto, a um valor último da ordem de
V T, , =_i_ = o àMPa
bwz (7.5-1)
•f- _ >f lRtf\ ~ I / ^ H Í H f
' MÚftSCfi C, Qút Eíi&tbct&ntNw -- Troduçfa? noflMmhalfl! fiMv/ft y PtÀcUca dai Hormifèn Armntío, 6 GtV, OarçüJQttã, tí/4Á
imí O ffftfo à tio flfóprfa Müf&cfr.
ou seja, aproximadamente
* « . - 0 , 1 4 [7.5-2}
Ao longo dos anos, valores dessa natureza foram consagrados por diversos códigos normalizadores nacionais.
Assim, a Norma Americana ACI(77)" admitia a dispensa da armadura de cisa-lhamento das lajes até o valor limite de xmJ correspondente a
=0,85x1,17^/5;-M (enn MPa)
condição esta que pode ser escrita sob a forma
^ , - ^ 4 - 0 , 1 4 5 ^ / 7 (7.5-3) bj
De modo semelhante, o Código Dinamarquês DS 41V2, com yt =1,4, forne-ceria o limite
t*. =0,7,4, S0t7ft32V^ =0,16^4 (7.5-4)
Uma orientação desta mesma natureza prevaleceu por muito tempo em dife-rentes regulamentos, inclusive nas diversas versões da norma brasileira NB-1, desde a NB-1/40 até a NB-1/60.
b) Resultados modernos
Os valores globais admitidos pelos antigos regulamentos normalizadores
"Ameriw CBíJtrdfé IrtttituHt. Sitm/art) JJff-7?. Sl<imltirtll>S41l')973 inghtse IS76f,
C 5 T H U T U n A S DC c g N C F l C T O
para a dispensa da armadura de cisalhamento nào discriminavam a influência da taxa da armadura de flexão nem da espessura da peça.
Os resultados de Hedman e Losberg13, analisados no item 7.3, levam a se aceitar a dispensa de armadura de cisalhamento, dada pela condição.
fl</i = T Hli\ K^Ku (7,5-5)
admitindo, para cargas em linha paralelas aos apoios, o valor
- 0 , 0 7 0 x ( l + 5 0 P . X U ^ O V Z I ( 7 - 5 - 6 )
A Tabela (7,5-a) apresenta os valores de 0,070x(l + 50p,)(Uõ-í/) para valores usuais da taxa de armadura p, (%} e da altura útil </ da peça.
CARGAS PARALELAS AOS APOIOS - VALORES DE
d metros
0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,60
1 + 50 p| 0,070(1 + 50p|} 1,5-d
1,50 1,45 1,40 1,35 1,30 1,00
VALORES DE 0,070(1 + 50p,)(1,e -d)
0,25 1,125 0,0738 0,12 0,11 0,11 0,11 0,10 0,08
0,50 1,250 0,0375 0,13 0,13 0,12 0,12 0,11 0,09
0,75 1,375 0,09S8 0,15 0,14 0,14 0,13 0,13 0,10
1,00 1,500 0,1050 0,16 0,15 0,15 0,14 0,14 0,11
1,50 1,750 0,1225 0,18 0,18 0,17 0,17 0,16 0,12
2,00 2,000 0,1400 0,21 0,20 0,20 0,19 0,18 0,14
Tabela (7.5-a)- Investigação do Hedman o Losborg
I d ^ ^ V ESTRUTURAS 04: CONCRETO 'Wnftrnnvloflwr.w, £<!. 1 9 6
Para cargas uniformemente distribuídas, essas pesquisas admitem o valor
^, ,=1,5x0,07(1 + 5 0 p . X U - í / ) / / ^ (7.5-7)
A Tabela (7.5-b) apresenta os valores de xRtf] - 1,5x0,07(1 + 50p,)(l,6-para valores usuais da taxa de armadura p, (%) e da altura útii d da peça.
CARGAS UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDAS - VALORES DE t
x f i ( í l= 1,5x0,07(1 + 5 0 ^ ) 0 , 6 - ^
d metros
x f i ( í l= 1,5x0,07(1 + 5 0 ^ ) 0 , 6 - ^ %k 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,60
p,(%) 1 +50 p | 0,070(1 + 50 p,) 1,6-d
1,50 1,45 1,40 1,35 1,30 1,00
VALORES DE
1,5X 0,070(1+50 p,)i 1,6-d)
0,25 1,125 0,0788 0,18 0,17 0,17 0,17 0,15 0,12
0.50 1,250 0,0875 0,20 0,20 0,18 0,13 0,17 0,14
0,75 1,375 0,0968 0,23 0,21 0,21 0,20 0,20 0,15
1,00 1,500 0,1050 0,24 0,23 0,23 0,21 0,21 0,17
1,50 1,750 0,1225 0,27 0,27 0,26 0,26 0,24 0,18
2,00 2,000 0,1400 0,32 0,30 0,30 0,29 0,27 0,21
Tabela (7,5-b) - Investigação tto Hodman o Losborg
Por outro lado, os resultados de Reagan1" levam a se aceitar a dispensa de armadura de cisalhamento com a condição
= ^ v$<t
Í S T I l U T U n A S DC CQNCFICTO wmm 197
admitindo, para todos os tipos de cargas, o valor
=0,l6[(lW200/</)^100pl/ri] (7.5-8)
Note-se que Reagan não discriminou os tipos de cargas empregadas nos en-saios realizados pelos diferentes pesquisadores. Por essa razão, o valor carac-terístico por ele calculado certamente decorreu dos ensaios realizados com cargas em linha paralelas aos apoios, por ser esta a condição que leva a me-nores resultados.
CARGAS DE TODOS OS TIPOS - VALORES DE
d metros
0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,60
p t í%) Ç - 1 (mm) p t í%) < / p i ( * ) Ç - 1 f V200/í / í 2 (mm)
2,4 i m* 2,155 2,000 1,894 1,817 1,577
VALORES DE Ç - Ü J í ^ p , ( % ) )
0,25 0,6303 0,24 0,22 0,20 0.19 0,18 0,16
0,50 0,7939 0,31 0,27 0,25 0.24 0,23 0,20
0,75 0,9086 0,35 0,31 0,29 0.28 0,26 0,23
1,00 1,0000 0,39 0,35 0,32 0,30 0,29 0,25
1,50 1,1446 0,44 0,39 0,36 0,35 0,33 0,29
2,00 1,2596 0,49 0,43 0,40 0,38 0,37 0,32
= o, i Ó [ ( I + V 2 Õ Õ 7 ^ 7 ) o o P l / r f ]
Tabota (7.5-c) - Invostigoçáo cio fíoagan
Comparando os resultados de Reagan com os resultados de Hedman e Losberg referentes a cargas em linha paralelas aos apoios, verifica-se que eles são prati-camente os mesmos, pois os coeficientes da expressão de Reagan, Tabela (7.5-c), são praticamente o dobro dos coeficientes T í r f l d a ex -
pressão de Hedman e Losberg, Tabela (7.5-a), e a relação tende exatamente para esse valor, como se mostra na Tabela (7.5-d).
Conclui-se, portanto, que os resultados da pesquisa de Hedman e Losberg po-dem ser adotados para a definição dos valores limites de zXiJI para a dispensa da armadura de cisalhamento.
RELAÇÕES ENTRE f f c e fc
fck <MPa> J Z 7 ÍL •ITjiíL i í l J J Ü 15 3,87 2,46 1,57 0,64
20 4,47 2,71 1,65 0,61
25 5,00 2,92 1,71 0,58
30 5,48 3,10 1,76 0,57
40 6,32 3,42 1,85 0,54
50 7,07 3,68 1,92 0,52
Taboto (7.5-d)
7.6 Cisalhamento na flexo-tração
Nas peças sem armadura de cisalhamento, a presença de uma força normal de tração não altera significativamente sua resistência a forças cortantes. Isso também ocorre no caso de flexo-traçio com pequena excentricidade, não existindo, portanto, um banzo comprimido.
Os modos de ruptura devidos a forças cortantes nas peças de concreto arma-do são os mesmos, quer se trate de flexão simples ou flexo-tração. Quando as armaduras longitudinais estão devidamente ancoradas, a ruptura ocorre depois do aparecimento da fissura crítica inclinada, Fig. (7,6-a).
E3TWJTURAS Ot CONCRETO
Ruptura por cise/íwmonlo na Hoxo-tração Figuro (7.6-aj
Nas peças submetidas à flexo-tração, o aparecimento da fissura crítica in-clinada pode ocorrer por aumento da força cortante, ou pelo escoamento da armadura longitudinal de tração. Nesse último caso, a ruptura por força-cortante ocorre simultaneamente com o estado limite último de solicitações normais, pois, no caso de flexo tração com pequena excentricidade, o início do escoamento da armadura de flexão praticamente acarreta a ocorrência do estado limite último.
No projeto de vigas submetidas simultaneamente à flexo-tração com peque-na excentricidade e a forças cortantes significativas, no dimensíonamento das armaduras de flexão não se deve considerar a redistribuição de momentos fletores por eventuais acomodações plásticas, pois isso pode provocara rup-tura prematura por cisalhamento,
A resistência ao cisalhamento de peças submetidas à flexo-tração com pequena excentricidade é devida aos mesmos mecanismos de engrena-mento dos agregados e do efeito de pino da armadura longitudinal que funcionam nas peças submetidas à flexão simples, Fig, (7.6-b).
A presença da força normal de tração com pequena excentricidade provoca fissuras que cortam toda a seção transversal da peça, destruindo apenas o efeito de arqueamento gerai dos esforços longitudinais, que é pouco signi*
fíosistánciu oo cisalhamento na ftoxO-troçâo com pcquana oxcontricidadú Figuro (7,6-b)
fícativo nas lajes delgadas. Por essa razão, nesse dimensionamento não se devem considerar os coeficientes de aumento de resistência em função da espessura da peça, mesmo quando elas são muito delgadas.
A comprovação experimental da pequena sensibilidade da resistência ao cisa-lhamento em relação às forças normais de tração está mostrada na Fig. (7.6-c),
M MPa]
1,5
1,0 -o,ei
0,5 -
® i l 7
h s 15,2 cm li = 30,5 cm d = 27,2 cm
1 3 f t t ; 3 2 MPa p = pl = 1,46 %
TRAÇÃO bh
1,0 Z,0 3.0 {MPa) PEÇAS SEM ARMADURA DE ÇtSALHAMENTO
ENSAIOS DE VIGAS SEN AHMADURA DC ClSALHAMEHTO , SEOUNtlO REGAM
Ensaios do resistência no cisalhamento na fioxotraçúo Figura (7,6-c)
í 5 T H U T U R A S GC C O N C R E T O í;
De acordo com Regan, alguns ensaios realizados com corpos-de-prova com fissuras iniciais artificialmente produzidas, sem engrenamento dos agrega-dos, apresentaram resultados totalmente diferentes dos obtidos com corpos-de-prova usuais. A ruptura ocorreu com forças cortantes muito baixas, com fendiihamento longitudinal do concreto, provocado pelas armaduras queten* taram resistir como cabos aos esforços transversais. Esses ensaios demons-tram a importância do engrenamento dos agregados nas transmissão dos esforços de cisalhamento ao longo do comprimentos das vigas.
Observe na Fig. (7.6-c) que mesmo com tensões normais (vV/M)= 3,0 MPa, valor maior que o da resistência à tração do concreto empregado nos ensaios, a resistência ao cisalhamento é significativa e praticamente igual à que se es-pera no caso de fiexão simples. Nesse caso, a resistência ao cisalhamento na flexão simples estava estimada em 1,30 MPa, valor obtido na flexo-tração com tensões de tração de até cerca de 1,0 MPa. Esses resultados também demonstram a importância do engrenamento dos agregados na resistência às forças cortantes.
7.7 Cisalhamento na flexo-compressão
Nas peças sem armadura de cisalhamento, as tensões normais de compres-são, aumentam a resistência a forças cortantes.
Esse aumento de resistência decorre da proteção que as tensões normais de compressão dão ao banzo tracionado da peça, retardando o aparecimento de fissuras de flexão na região de maiores forças cortantes, em que na ruptura acabará aparecendo a fissura crítica.
Em princípio, em um trecho de força-cortante constante, a resistência Vu na flexo-compressão é maior que a resistência V0 de uma peça idêntica, solici-tada de maneira equivalente, mas à flexão simples, Fig. (7,7-a).
O aumento dessa resistência é dado pela parcela A V de força cortante corres-pondente ao carregamento que anula a tensão de pré-compressão devida ao momento M0iJi+ aplicado pela força normal externa de compressão N das cargas permanentes e pela força de protensão nas peças pretendidas.
X h
I
N ,
A R = A V T
po pito nuclear superior E I X O D A V I G A
, A V
Vü
^ f c a n t M. sx
M Su
M Sd, mo*
Ação c/os esforços do compressão Figure (7.7-s)
Após a descompressão(M9í ? = AV*ci) da borda que será tracionada pelo momento fletor devido às ações externas, a resistência suplementar dispo-nível de cisalhamento é igual à resistência que ela teria se fosse submetida à flexão simples.
Desse modo, tem-se
+ ( 7 . 7 - 1 )
onde
ou seja a
A/ii jr v utl K = V u o + ( 7 - 7 - 2 )
ISTrUTURAS PC CQNCFII-TO
Na Fig. (7.7-b) estão apresentados os resultados de Hedman e Losberg15, obtidos em ensaios realizados com corpos-de-prova corno o mostrado na Fig. {7,7-a).
Nesses exemplos, o momento fletor último, no ato da ruptura da seção mais solicitada, vale = MSn , que é dado por
M S u = V i r a (7.7-3)
Na expressão anterior, sendo MSu = MSt/l como Mn < MSd , a parcela Ai da força-cortante resistida por efeito das tensões de compressão vale
AI '' = V - V = V lm — v H r VQ — r „ M
(7.7-4) Stl
logo
1 — M n
M = V. Mtl
SJ
ou seja
y.-V.o (7.7-5)
sendo:
MSd - valor de cálculo do máximo momento fletor no trecho onde se deter-mina a resistência ao cisalhamento, sendo calculado exclusivamente com as ações externas F e por eventuais esforços hiperestáticos de protensão, não se considerando momentos isostáticos de pretensão. Nas vigas, toma-se em geral o máximo momento fletor no semitramo considerado.
Mü - momento fletor que produz a descompressão da seção onde atua MSti, ou seja, Mu é o valor do momento solicitante Ms<1 que, no trecho considerado, anula a tensão de compressão determinada com o valor de
I liSTHUTUnAS W COfíCRETO "Htt/nrini f? iwbvfg, o/i, crt.
cálculo da força normal NK que atua simultaneamente com a força cortante considerada e, no caso de peças pretendidas, também se considera a força normal devida à protensão e o momento isostático de protensáo. Para ambas as forças normais considera-se a condição de efeitos favoráveis, obtidas com Y,=0,9 6 V, =1,0.
símbolo R < h M J BUfiANfE 0 CNSAIO
0 120 * 1» N • ClWIlOrH • BO " 90
N • ClWIlOrH
4- 120 - ISO N/y r ÇaiMionl»
ENSAIOS CE HEOMAN C LÜÍHÍ.HÍS
Influôncia <fa força-normat tio compressão na rcsislância oa cisalhamento Figura 17.7-bf
t S T W J T U R A S OE C O N C R E T O — — 205
C A P Í T U L O 8
PEÇAS DE CONCRETO PROTENDIDO
8.1 Interação dos cabos de protensão com o concreto das peças estruturais
O funcionamento resistente das peças protendidas submetidas à flexão, con-sideradas como vigas de alma cheia, foi analisado no item (2.6).
A Fig. (2.6-a), reproduzida na Fig, (8.1-a), mostra os esforços atuantes na seção transversal das vigas fletidas protendidas isostáticas, desde o estado inicial de protensão até o estado limite último de solicitações normais.
r a r
/ R I r
cL 1 i
R u t r ~
4 ^M-0 -M
r
L -i \
r M 5 + q
(a). PFtQTENSAO
^e íp+g-f-q}
i T ^ (b). ESTÁDIO X
Nr<
I
cd —
Jr
t R l n * " e u 1
Í C ) , ESTÁDIO I I
I
M
I R t d Rcd> {d) ESTADO L IMITE U L T I M O
Mecanismo rosistenta de vige cm peças protendidas isostáticas Figura (S.t-a)
O funcionamento básico das vigas fissuradas de concreto armado e das vigas de concreto protendido, de acordo com o mecanismo resistente de treliça, está mostrado na Fig. (8.1-b).
Nas vigas de concreto armado não protendido, ao longo do meio tramo, ocorre o aumento das tensões na armadura passiva de tração, em virtude do aumento do momento fletor, Esse aumento de tensões, que é feito por meio da ancora-gem das bielas diagonais de transmissão das forças cortantes, é assegurado pela aderência das bielas às barras da armadura longitudinal de tração.
viga de concreto armado I 0 \ P <* 1
t t - ^ ^ — —jíL. \ v-
T J
tensões na armadura de tração
•"i— _ r -
viga de concreto protendido i 1
1
t • f l
tensões de tração no cabo de protensao
. J - • - - - - H Ni
tensões de compressão no concreto
Mgcgftftmos rssistenlss do trgiiça em vigas fissuradas por iíoxão Fiquru (S.l-b)
Í S T I l U T U n A S DC CQNCFICTO
Mas vigas de concreto protendido, se a viga estiver submetida à flexão pura, antes da fissuração do banzo de tração os cabos retos de protensão ficarão em um estado de tração axíal constante e o concreto do seu entorno ficará em um estado de compressão também constante, pois não haveria fissuras no concreto.
No caso usual de flexão acompanhada de forças cortantes, o momento fletor varia ao longo do comprimento da peça, e no mecanismo de funcionamento das vigas protendidas, a resultante das tensões de compressão no concreto tende a se afastar da borda de tração, como está mostrado na Fig. (8.1 -a), havendo uma diminuição das tensões normais de pré-compressão no banzo de tração,
No mecanismo resistente de treliça, ao longo do banzo tracionado, os cabos de protensão dentro das bainhas não garantem a aderência necessária ao equilíbrio longitudinal das bielas diagonais de transmissão das forças cor-tantes, Esse equilíbrio é garantido pelo encontro das bielas diagonais com o campo longitudinal de compressão do concreto criado pela protensão, como mostrado na Fig. (8.1-b), havendo assim sucessivas diminuições das tensões de compressão criadas pela protensão,
Na Fig. (8.1-c), como já analisado anteriormente, vemos o comportamento dos cabos curvos dentro do concreto e o fluxo de tensões de compressão criado no concreto.
forças sobre o cabo
Funcionamento dos cabos curvos Figura (8.1-c)
Na consideração da pretensão total decorrente da existência de vários cabos próximos uns dos outros, é importante salientar que a protensâo de um novo cabo pouco altera a força de pretensão dos cabos paralelos jé estirados.
Ap
p cabo C1
P p P 0 Ac cabo C2 0
Insensibilidade d protensõo do cabos viiinhos figura (8.1-d}
De modo aproximado, Fig, (8,1-d], considerando o cabo C,, já estirado e an-corado sob ação de tensões ajt 5 1500 MPa, quando se realiza o estiramento do cabo C2, a nova força de compressão produz no concreto um novo en-curtamento específico
e j l 12 ^ 4 A E.
onde At é a área da seção comprimida e Ec é o módulo de elasticidade do concreto.
Esse mesmo encurtamento específico, que também ocorre no cabo C,, pro-duz nesse cabo uma queda de tensão dada por
5 E..
onde Er é o módulo de elasticidade do aço de protensâo. Admitindo-se re-lações EjEf s 10 e ct2 = 5 MPa, a queda de protensâo Aüfl é apenas de 3% do valor da protensâo inicial do cabo C1 . De qualquer modo, antes do final da operação de protensâo, a força atuante em cada cabo pode ser reajustada por reprotensão.
C 3 T H U T U H A S PC C O N C R E T O
8.2 Fissuração das vigas de concreto protendido
As vigas protendidas podem ter protensão completa ou protensão parcial.
A protensão completa, correspondente ao grau de protensão 100%, é aquela em que, em condições de serviço, na seção transversal mais solicitada à fle-xão, não será ultrapassado o estado limite de descompressão.
O grau de protensão é definido pela relação entre a força de protensão aplica-da e a força de protensão necessária para a protensão completa.
Observe que o grau de protensão é uma grandeza convencional, pois o seu valor depende do carregamento de projeto admitido.
Embora o grau de protensão possa ser definido de modo diferente, como por exemplo pela parcela do momento fletor último resistida pela armadura de protensão, a definição convencional, relacionada ao estado limite de des-compressão parece ser a mais adequada às finalidades de consideração de diferentes intensidades da força de protensão.
Mas peças protendidas, a influência da protensão sobre os efeitos das forças cortantes se faz sentir de várias maneiras.
Além de forças cortantes decorrentes esforços hiperestáticos de protensão, que podem surgir nas estruturas hiperestáticas, e da influência da presença de eventuais cabos inclinados, as próprias tensões de compressão aplica-das pelos cabos longitudinais de protensão também devem ser considera-das explicitamente.
De modo geral, nas vigas protendidas podem ser distinguidas três diferentes regiões da peça, em função do panorama de fissuração que se observa nas proximidades do estado limite último de solicitações normais.1 Essas zonas de fissuração ficam bem delineadas nas vigas de alma fina, como se mostra na Fig. (8.2-a).
'í fONHAflO l rT SIIn twKrvfa jlructvrvs'*. iYi torston, CíS Biitsnn dlnlaimatlan n" ííí. Piin* rUfS.
Viges do olmo fine - Pfoiensáo complete {tQQ%), Zonas de fissuraçSo das viges protendides Figura (8,2-3)
Note, nessa figura, que a relação = Pwfpt,M, entre a taxa efetiva P* de arma-dura transversal e a taxa teórica correspondente à analogia clássica da treliça, é diferente em cada um dos semitramos da viga, podendo ser distin-guidas as seguintes zonas de fissuração.
ZONA C
É a zona em que se desenvolve plenamente o mecanismo resistente de treliça.
As fissuras diagonais, chamadas de fissuras de cisalhamento, abrem-se a par-tir de fissuras de flexão. Pertencem à zona C os trechos da peça em que os momentos fletores são de intensidade relativamente elevada,
A fissuração mostrada na figura acima decorre de solicitações próximas das que causaram a ruína da peça. Nessas condições, é evidente que mesmo vi-gas como esta, com protensâo completa, quando as solicitações forem muito mais intensas que as de serviço, na peça haverá um banzo comprimido e um banzo tracionado, sujeito a uma fissuração intensa,
O panorama de fissuração da zona C das vigas protendidas é bastante pa-recido com o panorama de fissuração das peças de concreto armado não
Í S T I l U T U n A S PC C O N C R E T O
protendido, submetidas à flexão simples. No entanto, nas peças protendidas, bem como nas peças não protendidas mas, submetidas à flexo-compressão, as tensões adicionais de compressão longitudinal aplicadas ao concreto retar-dam o início da fissuração em relação às peças não submetidas a essa com-pressão suplementar. Esse retardamento do início da fissuração permite uma redução da quantidade necessária de armadura transversal, em relação à que seria necessária se não houvesse protensão longitudinal do concreto.
Em princípio, a zona C é delimitada pelas seções transversais em que nas condições de cálculo, as máximas tensões de tração no banzo de tração são iguais à resistência do concreto à tração. Por simplicidade, essas tensões po-dem ser calculadas no estádio Ia, admitindo para o concreto a sua resistência
ffJr.tup ~ 1'3/,'fJit.
ZONA B
A zona B é o trecho de transição entre um trecho não fissurado e um trecho bastante fissurado onde já se estabeleceu o mecanismo resistente de treliça, Observe-se, na Fig. (8.2-a), a diferença de fissuranção existente entre a zona B do lado esquerdo da viga, com v) = 0,96, e a do lado direito, com q = 0,54.
Na zona B, as fissuras diagonais decorrentes da ação conjunta das forças cor-tantes e dos momento fletores aparecem diretamente na alma da viga, sem que tenha ocorrido a fissuração do banzo tracionado, Admíte-se que essa fissuração ocorra quando a tensão principal de tração <?,, calculada no centro de gravidade da seção, em regime elástico com a peça não fissurada, atinge aproximadamente a resistência do concreto à tração simples.
As fissuras oblíquas, que correspondem aproximadamente à direção da ten-são principal de compressão a„, estão usualmente inclinadas entre 30" e 40" em relação ao eixo longitudinal da viga.
A menor inclinação das bielas diagonais comprimidas trazem um alívio nas tensões das armaduras transversais e um aumento das tensões de compres-são no concreto, A segurança da peça, na região, depende essencialmente da limitação das tensões principais de compressão no concreto.
ZONA A
É a zona em que nâo aparece nenhuma fissuração. Essa zona é encontrada nas vizinhanças dos apoios de extremidade das vigas simplesmente apoia-das e, nas vigas contínuas, nas regiões próximas aos pontos de momento fletor nulo.
Freqüentemente não se faz distinção entre as zonas A e B, englobando-as em um só trecho, indicado por zona AB, Fig, (8.2-a).
Na Fig, (8.2-b), está mostrada a fissuração de uma viga idêntica à anterior, exceto quanto ao estiramento dado à armadura de protensâo2, No caso agora considerado o grau de protensâo é muito baixo, de apenas 10%.
Vigas do alma fina - protensâo parcial muito baixa 110%). Zonas tiú fissurôç&o das vigas parcialmente protandidas
Figura (8,2-bl
Observe que o comportamento das duas vigas consideradas, quanto à fis-suração, é qualitativamente o mesmo, havendo apenas diferença na ex-tensão das zonas A, B e C, em função do grau de protensâo e da relação
-
Note, finalmente, que as cargas últimas não diferem significativamente entre si. Para a viga com 100% de protensâo, a carga última foi de 1,935 kN e, para a viga com apenas 10% de protensâo foi de 1.735 kN. Na primeira, a ruptura foi por flexão, devida a tensões normais, e na segunda houve ruptura força cortante flexão, do lado em que havia apenas p, = Ü,54ph. w ,
'leONHAflOT, F.- trp, tis, Í S T I l U T U n A S PC C O N C R E T O
8.3 Modos de ruptura e estados limites últimos
Analisando o comportamento de vigas de concreto protendido até a ruptura sob a ação de forças cortantes, verifica-se que não há diferenças essenciais entre elas e as vigas de concreto armado clássico quanto aos modos de rup-tura e, conseqüentemente, quanto aos estados limites últimos ao serem con-siderados no método de verificação da segurança.
IMa Fíg. (8.3-a) estão mostrados os dois modos básicos de ruptura de vigas protendidas de alma fina na presença de forças cortantes; ruptura força cor-tante tração e ruptura força cortante compressão3.
RUPTURA " FORÇA C O R T A N T E - TRAÇÃO "
kl H ^ V J . L . L L \ ' 1 J .
J '
i â L U t ^ J RUPTURA " F O R Ç A CORTANTE COMPRESSÃO"
Modos básicos th ruptura tlc vigas protendidas de alma fino Figura (8.3-a)
Note que o real risco de ocorrência da ruptura força cortante-traçáo somente existe na zona C.
I E S T R U T U R A S O-li C O K C R E T O
Figuro (8.3-h)
"Mnnuirí efc c t r t o / í í í f l o r f !rc<Khnn!-tort<an." C F S Bufaltn ífMomrtl/en Por i * 1973
Na zona AB, Fig. (8,3-b), a fissuração da atma é pouco desenvolvida. Nessa zona, o risco real é de ruptura força cortante compressão.
No caso de vigas protendidas de alma nâo excessivamente finas, quando na peça atuarem cargas concentradas muito intensas, surge também o risco de ruptura força cortante flexão. Esse é o modo de ruptura mostrado na Fig. (8.2-b), cujo grau de protensâo é de apenas 10%.
Analogamente ao que acontece com as vigas de concreto armado, também com as vigas protendidas esse modo de ruptura é causado pelo aumento das tensões de compressão no banzo comprimido junto a cargas concentradas, conforme foi analisado no item 6.8.
Em face da analogia de comportamento das vigas protendidas com o das vigas de concreto armado clássico sujeitas à flexo-compressão, nos métodos de di-mensionamento é dado um tratamento unificado a esses dois problemas.
8.4 Influência da força normal longitudinal sobre o cisalhamento
Como se mostra no item (8.2), à medida que aumenta a força de protensâo, expande-se a zona AB, na qual a eventual fissuração aparece diretamente na alma da viga.
Quando se dá a expansão da zona AB pelo aumento das tensões longitudi-nais de compressão, ocorrem alterações na distribuição dos esforços inter-nos da peça, Fig. (8,4-a).
ÍSTUUTUnAS PC CGNÇFIETQ
Figuro (8.4-tt)
Junto aos apoios de extremidade das vigas, o aumento da força de protensão permite que o equilíbrio desses nós se faça com bielas diagonais menos in-clinadas, Em igualdade das reações de apoio Rtl, com o aumento das forças de protensão, podem existir bielas com menor inclinação, em virtude da pre-sença das maiores forças longitudinais de ancoragem dos cabos de proten-são. Dessa maneira, podem ser equilibradas forças Ret> que possuem maiores componentes longitudinais RT.
IMa zona C, que na condição de cálculo é admitida com intensa fissuração do banzo tracionado, a armadura transversal pode ser determinada de manei-ra equivalente à do concreto armado não protendido, por meio da analogia
generalizada da treliça, mas considerando também a presença dos esforços longitudinais de compressão, que aumentam a parcela Vc correspondente aos mecanismos resistentes alternativos.
Na zona C, Fig. (8.4-a), o mecanismo resistente de treliça é plenamente operante.
Ao longo de um trecho àx da viga, com um comprimento igual ao braço de alavanca z dos esforços internos de flexão, a armadura transversal transmi-te , do banzo tracionado para o banzo comprimido, uma parte da força Vml
, que é indicada por Vítv. Na situação de cálculo, essa força tem intensidade indicada apenas por Vsw, evitando-se o índice </ pelas razões adiante dis-cutidas. Essa parcela da força cortante deve complementar a que não con-segue ser transmitida pelos mecanismos resistentes alternativos, os quais transmitem a outra parcela Vt, de VKl,, de maneira que se obtenha a força cortante resistente total, que é indicada nas peças com armadura transver-sal por VK<t}
devendo ser
+ K (B.4-1)
V < V vS'i-y*d 3 (8.4-2)
Observe que na equação (8.4-1) os diferentes termos são considerados com seus valores de cálculo. Todavia a NBR 6118 não emprega o índice d nos símbolos V„, e VV . Essa omissão do índice d é justificável, porque a parcela Vt, correspondente aos mecanismos resistentes alternativos não é determina-da inicialmente com um valor característico que depois é ponderado para se chegar ao valor de cálculo, A determinação de já é feita diretamente com seus valores de cálculo, pois ela é resultante de diferentes efeitos resistentes que não podem ser individualizados,
Na Fig. (8.4-a) foi explicitada a força Ve] correspondente à inclinação do banzo comprimido, embora não se conheça o valor que deveria ser a ela atribuído, porque F também depende do engrenamento dos agregados e do efeito de pino da armadura longitudinal de flexão.
«•3THUTURAS Ot CONCRETO
Mo concreto protendido os esforços longitudinais de compressão permitem que se possa considerar um aumento da parcela Vc e, conseqüentemente, uma redução da parcela Vsw, em relação aos valores que se adotam no concreto armado nâo protendido em flexão simples,
Todavia, é preciso alertar-se para o perigo de uma excessiva compressão da alma da viga, em decorrência da protensâo, particularmente nas vigas de alma muito fina,
Ma Fig, (8.4-bJ mostra-se que, na zona B, onde existem fissuras que aparecem diretamente na alma da viga, as tensões efetivas de compressão diagonal são significativamente maiores que os valores teóricos calculados no centro de gravidade da peça não fissurada. Este fato deve ser considerado na fixação dos valores de K a serem adotados no dimensionamento das estruturas.
Tensões diagonais de compressão Figura {8.4-bj
Ma avaliação da possível influência da força de protensâo sobre a redução da quantidade de armadura de cisalhamento, durante algum tempo pensou-se em relacionar o aumento da parcela Vc da força cortante resistida pelos mecanis-mos alternativos diretamente ao aumento da intensidade da força normal Ntf
de compressão, fosse uma força normal externa ou uma força de protensâo.
Essa idéia foi seguida pelas Recomendações Internacionais CEB-FIP/1970'1 e as regras dai decorrentes foram incorporadas à Norma Brasileira NB1/78S. no item dedicado às peças de concreto armado sujeitas à flexo-compressão.
Os raciocínios que conduzira m a tais regras decorriam da análise das tensões nos estribos de vigas que diferiam entre si tão somente pelo grau de compressão.
Na Fig. (8.4-c) estão mostrados resultados de investigações dessa natureza13. Observe-se que à medida que aumenta a intensidade das cargas aplicadas, vão desaparecendo as diferenças entre as tensões nos estribos em função dos diferentes graus de protensão aplicados.
Figura (3,4-cj
'CÍ8-F1P- " Wíwri,Hí/MÍMftíU InlenittieiMtol pour le Ç/itciiíet rsurtmmtilíi Ouvrut>6* U" BHOn" tSTnUTUHAS Ot CONCRETO iiiihtm tfifífomwtlen rt* 82, ftjrw, Í97Í. 'A8NF Protelou üxogoçíq t.h ohrtti tjti contrato êrma^j- N 'LEQMÍAttai F„ KQCK, fí. .fíOSTÀSY, F, S - Setmt/wm/che iimiSusiinlmloitirA^em. Üt'tiHshtr Au$ietuit* h" Si/UHtKHtm, Htk SA W. Smttò ÍWm íertin, 1973.
Figura (8.4-d}
Ma Fig. {8.4-d) estão apresentados os resultados de pesquisas dessa natureza, em que as vigas foram levadas até o estado final de ruptura.
Observe que as vigas IP-1 e IP-3 são as mesmas mostradas nas Figs. (8.2-a) e (8.2-b). Essas vigas são praticamente iguais em tudo, exceto no grau do estiramento inicia! da armadura de protensâo. A viga IP-3 é praticamente uma peça de concreto armado não protendido,
Na Fig, (8.4-d) são mostradas as tensões medidas em um estribo situado em posições homólogas nas três vigas que só diferiam pelo grau de protensâo, Esse estribo está situado na zona C das vigas, do lado com a menor taxa de armadura transversal, correspondente a 11 = 0,54
Esses resultados mostram que somente existem diferenças apreciáveis entre as tensões medidas na armadura transversal, em função do grau de proten-sâo, enquanto a fissuração ainda é muito diferente de uma viga para outra.
Assim, na viga com grau de protensâo 100%, (VIGA IP-1), tanto para a carga convencional de serviço (F=930 kN) , quanto para a correspondente carga convencional de cálculo (F=1390 kN), são razoavelmente reduzidas as ten-sões medidas no estribo considerado. Nessa viga, o maior grau de protensâo garante, para essas cargas convencionais, a permanência da contribuição do engrenamento dos agregados e do efeito de pino da armadura longitudinal de flexão na resistência a forças cortantes,
Todavia, considerando os reais carregamentos últimos das três vigas ensaia-das, Figura (8.4-d), constata-se que as cargas últimas das três vigas são prati-camente iguais entre si. Apenas a viga IP-3, (P = 10%), que é praticamente uma viga de concreto armado comum, mas armada à flexão com aço para proten-sâo, rompeu-se por efeito da força cortante, com uma carga 5% inferior ao previsto para a ruptura por flexão
Conclui-se, portanto, que a influência do grau de protensâo sobre as ten-sões na armadura transversal, ao se chegar à ruptura por flexão, é muito menor do que faz supor a análise de resultados afastados da situação última de ruína efetiva.
Desse modo, pela Fig. (8.4-c), se o dimensionamento da armadura transversal fosse feito a partir dos resultados experimentais correspondentes a carrega-mentos afastados da carga última de ruina efetiva, haveria a falsa conclusão de que seria possível praticar uma redução da armadura transversal à medida
•Irow/AHIJT, f. in Sllttf iVr tilittm tlrvetuftf, M CCB Ba/trtm iflntoimatíon n® 116. P m » 197$,
C S T U U T U H A S CC C O N C R E T O
que se aumenta o grau de protensâo. Com Isso, estaria sendo criada a pos-sibilidade de se chegar à ruptura força cortante flexão, que é não avisada, por decorrer da ruptura prematura por compressão do banzo comprimido da peça, vtolando-se assim o princípio fundamental de segurança das estruturas de concreto.
A relativa insensibilidade das tensões na armadura transversal da zona C em função do grau de protensâo, na efetiva situação de ruína por flexão, é ex-plicável pela análise das resultantes das tensões normais de compressão que atuam nas seções transversais das peças protendidas quando se evolui até o estado limite último, como se analisou no item (2.6),
Na Fig, (2.6-a) ou (8.1-a), no estado limite último de solicitações normais em peças protendidas em que não haja forças normais hiperestáticas de preten-são, a resultante Ri d das tensões normais no banzo comprimido da peça não depende da existência de uma eventual protensâo. Desse modo, o grau de protensâo nâo pode afetar a parcela de desconto Vci devida à inclinação da resultante das tensões no banzo comprimido, não podendo, portanto, afetar a parcela Vm. a ser transmitida pela armadura transversal.
Conclui-se, desse modo, que a redução da armadura transversal em função da protensâo nâo esté relacionada diretamente à resultante das tensões nor-mais de compressão na seção transversal da peça.
8.5 Redução da armadura transversal em função da força normal
Conforme foi analisado no item (8.4), a protensâo permite que haja um au-mento do desconto Vt. da força cortante que deve ser transmitida pela arma-dura transversal. Nas peças protendidas, pode ser empregada uma armadura transversal menor do que seria necessária se não houvesse protensâo.
Todavia, na zona C, esse aumento da parcela Vr não decorre de uma maior inclinação da resultante das tensões no banzo comprimido, decorrendo do conjunto de efeitos dos mecanismos resistentes alternativos.
As investigações realizadas mostram que a influência da protensâo longitu-dinal se faz sentir pelo aumento da colaboração do concreto na resistência ès forças cortantes. Essa maior colaboração da protensâo decorre de sua
capacidade de retardar o aparecimento da fissuração no banzo tracionado por flexão.
Desse modo, a influência da protensão pode ser medida pela relação entre o momento fletor de formação de fissuras e o momento solicitante último da seção transversal.
Por simplicidade, substitui-se o estado limite de formação de fissuras pelo estado limite de descompressão. A influência da protensão é, então, con-siderada em função da relação M0/MSli entre o momento fletor de descom-pressão da seção transversal e o momento fletor solicitante último nela atu-ante, tomando-se essa relação como uma medida relativa do possível grau de fissuração da peça8.
Com isso, a diferença das armaduras transversais das peças protendidas em relação às peças de concreto armado comum não é muito grande nas zonas C, onde a fissuração no estado limite último de solicitações normais também é muito intensa, como mostrado nas Figs. do item (8.2).
<Jp ( M P A )
2000 r 1
1000
1500
500
-í | M H (-2 5 10 15 20 25
6 PV S E G U N D O T H Ü R L I M A M M
Características usuais fias armaduras do concreto estrutura! figura (8.5-a)
• T>IWtlMAfilM O. r/r "Shiriir Slrimn/r oI HtUnfárevtl ímf Prtf WitMti Corttwtv U m ' Cffl Bulal/n litnfarrmHhm ri" I1& Farim IS7&
Í 3 T R U T U R A S PC C O N C R E T O
Tonsóos nos estribos refatio na dos às tensões na horda tf acionada do concreto Figura fS-5-bJ
Isso ocorre porque, quando se atinge realmente o estado limite último de solicitações normais, a fissuração das vigas protendidas não é muito dife-rente do que ocorre com as vigas de concreto armado comum. Segundo Thurlimann, Fig. (8,5-a), essa circunstância decorre do fato de que, com os materiais empregados, a tensão a,, na armadura de protensâo, no estado limite de descompressão, freqüentemente é de tal intensidade que o acrés-cimo ACJ , necessário para se atingir o escoamento fpyl é da mesma ordem de grandeza que a resistência de escoamento fty das armaduras passivas de alta resistência.
A Fig, (3.5-b) mostra a relação entre a tendência à fissuração da borda tracio-nada de uma viga, avaliada pelas tensões normais de tração calculadas no estádio I, e as tensões de tração medidas nos correspondentes estribos de uma viga pretendida.
Conforme também está mostrado no capítulo 7 para as lajes sem armadura de cisalhamento, o efeito benéfico da compressão longitudinal do concreto decorre do retardamento no aparecimento da fissuração no banzo tracíona-do. Enquanto essas fissuras nâo existem, os mecanismos resistentes alter-
nativos garantem a segurança da peça. Somente após a fissuração do banzo tracionado é que começa a se manifestar o mecanismo resistente de treliça, com a mobilização de esforços significativos na armadura transversal.
A Fig, (8.5-b) confirma que as tensões de tração nos estribos somente apa-recem significativamente após a descompressão da seção transversal cor-respondente, Observe, nessa figura, que a redução das tensões nos estribos situados nas proximidades da carga externa aplicada, decorre do efeito loca-lizado do cisalhamento junto a cargas concentradas, como foi analisado no capítulo 6.
Considere-se agora uma viga pretendida submetida a um carregamento ex-terno que na situação de cálculo produz momentos fletores solicitantes MStí
variáveis ao longo do comprimento da peça, cujo valor máximo é expresso por MBwm, Fig. (8.5-c).
Seja M0 o momento fletor devido a eventuais forças normais externas e ao efeito ísostático de protensão. Esse momento produz compressão na bor-da da seção que vai ser tracionada pelos momentos fletores MSx por causa das cargas externas.
Mo exemplo da Fig. (8.5-c) esse momento M é constante ao longo de todo o comprimento da viga, Essa situação é a mesma que foi conside-rada no caso de lajes sem armadura transversal, conforme foi mostrado na Fig. (7.7-a).
Enquanto for MSx á M0, não haverá tensões normais de tração na borda da viga. Na seção em que M&x - JW„i , o concreto estará submetido à tensão normal longitudinal nula. Essa seção estará no estado de descompressão, e nas seções onde MSx 2 Ma haverá tensões normais de tração.
Mos trechos de comprimento a entre os apoios de extremidade e as cargas externas concentradas F, a força cortante Vx é constante e igual a F,
Í3TRUTURAS QC CONCRETO
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V ep N,
ponto nuclear superior
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EIXO DA VIGA
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Efoita da protensâo Figura (8,5-c)
Mo caso mostrado na Fig. (3,5-c), o momento fletor M0x de descompressão da seção genérica de abscissa x é constante e igual ao momento Mlt de descom-pressão da seção em que atuam os máximos momentos fletores decorrentes das cargas transversais que produzem forças cortantes.
8.6 Vigas com cabos inclinados
Mas vigas protendidas com cabos inclinados, há três diferentes efeitos da pro-tensâo a considerar em relação à ação de forças cortantes.
O primeiro deles é o efeito de compressão longitudinal do concreto, que retar-da ou mesmo elimina a fissuração do banzo tracionado da peça, aumentando assim a colaboração dos esquemas alternativos resistentes ao cisalhamento, como foi estudado nesse capítulo.
O segundo efeito é a redução das forças cortantes, como analisado no capítulo 2.
O terceiro efeito corresponde ao aparecimento de tensões suplementares de tração no concreto em virtude da tendência à retificação dos trechos curvos dos cabos protendidos.
Figura (9, S-a)
ÍSTnUTUnAS OC CQNCFICTO
Além disso, existem condições construtivas que devem ser obrigatoriamente respeitadas para que os cabos inclinados de protensâo produzam realmente os efeitos que deles se esperam, sem que surjam outras conseqüências que levem a peça à ruína prematura.
Nesse sentido, o aspecto mais importante a ser considerado é o equilíbrio dos nós de apoio de extremidade das vigas. Conforme está mostrado na Fig. (8,6-a), deve haver uma suficiente armadura longitudinal de tração até o apoio, onde deve estar adequadamente ancorada, para que possa ser garantido o equilíbrio da biela diagonal que transmite a reação de apoio.
O equilíbrio do nó sobre o apoio exige que uma parte da armadura do banzo tracionado seja prolongada até o apoio e aí eficientemente ancorada. Essa ar-madura que vai até o apoio pode ser formada apenas por cabos de protensâo, ou apenas por armadura passiva.
Quando a armadura de equilíbrio do apoio for constituída apenas por cabos de protensâo, ainda assim sempre será necessária uma armadura passiva complementar para o controle da fissuração.
Quando a armadura longitudinal de tração for insuficiente para garantir o equilí-brio do nó de extremidade, a segurança da peça pode ficar seriamente compro-metida, Na Fig. (8.6-a) está mostrado o caso extremo em que na extremidade da face inferior do banzo tracionado praticamente não há armadura longitu-dinal. Nesse caso, o nó de extremidade da treliça vai se localizar no ponto de encontro da vertical da reação de apoio com o eixo dos cabos Inclinados.
Note que nesse caso, mesmo com forças cortantes reduzidas VH, muito bai-xas, a força RTÍI pode ser muito alta, com sério risco de ruptura da biela dia-gonal comprimida.
Além disso, a ausência de armadura longitudinal significativa que garanta o equilíbrio do nó traz consigo o sério risco de ruptura catastrófica da viga, por efeito das tensões de tração devidas à flexão localizada da região do apoio, ou por ações horizontais devidas a estados de coação decorrentes da retração do concreto ou a quedas de temperatura, ou por cargas externas horizontais que devam ser equilibradas por reações do apoio.
C A P Í T U L O 9
REGRAS DE DIMENSIONAMENTO
9.1 Lajes sem armadura de cisalhamento
A resistência a forças cortantes de lajes sem armadura de cisalhamento, ao longo das peças fora das zonas de ancoragem das armaduras de flexão, é determinada pela condição
v <v * SJ a " Rú I
onde é o valor de cálculo da força cortante solicitante e FflJl é o valor de cálculo da força cortante resistente determinada em função dos mecanismos resistentes alternativos do concreto armado, sendo dado por
V — T h ci f Rill fí ti} w
De acordo com as investigações experimentais de Hedman e Losberg, ana-lisados no item (7.3), têm-se os seguintes valores:
a) Cargas diretas em linha paralelas ao apoio, afastadas dele
t J W l - 0 , 0 7 0 . * o J 7 T sendo
com
k =l,6-í/£l,0
d = altura útil da peça, em metros
= CSTRUTgnAS on COfíCRfTO 230
e
onde
é a taxa da armadura longitudinal de flexão no trecho considerado,
b) Cargas distribuídas
com os mesmos significados de k e a,
c) Cargas diretas em linha paralelas ao apoio, próximas dele
A favor da segurança, admite-se o fenômeno de redução das forças cortantes efetivas, por meio da regra prática mostrada na Fig, [7,2-f}
V =—V ~ . 'StÁxf
adotando os mesmos valores de resistência correspondentes a cargas afastadas dos apoios.
d} Ancoragem e decalagem da armadura de flexão em função do cisalhamen-to, Fig, (9.1-a).
a = l + 5 0 p ,
p - — í - < 2 % bd
I5TrUTUnAS PC CQNCFII-TO
Figura (9.1-a)
9.2 Peças com armadura de cisalhamento
Tendo em vista os inconvenientes Intrínsecos do emprego de estribos incli-nados e de barras dobradas na armadura passiva, é recomendável que as armaduras de cisalhamento das peças de concreto armado não protendido sejam constituídas apenas por estribos perpendiculares ao eixo longitudinal da peça. No caso de vigas protendidas, o emprego de cabos curvos é prática freqüentemente empregada.
I - Analogia da treliça clássica,
a) Verificação da resistência do concreto à compressão, MBR 6118 • bielas in-clinadas a 45".
Nesse caso, admite-se que a segurança em relação ao estado limite último força cortante compressão seja dada pela condição
onde VXtt é o valor de cálculo da força cortante solicitante, e VH(I2 ê o valor de cálculo da força cortante resistente determinada em função das tensões de compressão nas bielas diagonais, dado por
sendo
onde
a y l = 250
com f . em MPa
f — / ' i . Jui ~ ..
Lembrando que para estribos perpendiculares ao eixo da peça, ct =2 — , y ' K z
e admitindo resulta v niz2,2-—-<2>2THll
Fazendo y( =1,4, a Tabela (9.2-a) apresenta alguns valores de i/id2 corres-pondentes a valores usuais de fti
TABELA (9.2-a) VALORES DE xRd2 CORRESPONDENTES A y, =1,4
fã {MPa) 20 25 30 35 40 50
xRd2 (MPa) 3,5 4,3 5,1 5,8 6,5 7,7
u* {MPa)
7,8 9,5 11,2 12,8 14,3 17,0
CSTUUTUHAS PC GGNCFIETO
b} Verificação da resistência à tração da armadura de cisalhamento . NBR6118 - bielas inclinadas a 45 .
Considerando que além do mecanismo de treliça também existem mecanis-mos resistentes alternativos, conforme exposto no item 4,4, admite-se que a segurança em relação ao estado limite último força cortante tração seja dada pela condição
sendo
V <, V
V = V + V ' HJÍ tf ILP ~ ' c
onde VíW é a parcela resistida pela armadura de cisalhamento que compõe a treliça resistente e Vc é a parcela correspondente aos mecanismos resistentes alternativos. O valor da parcela de força cortante resistida pela armadura é, portanto, apenas de Vtw = VSií - Vr.
A parcela Vt resistida pelos mecanismos alternativos pode ser admitida com os seguintes valores:
1) Vt =0 em peças tracionadas com a linha neutra fora da seção transversal;
2) Vc = Vi0 em peças submetidas à flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção transversal, sendo
onde a resistência de cálculo do concreto à tração fcltl ê dada por
r __ fi-)k.\nf
J r " = y,
em função do valor inferior da resistência característica do concreto à tração, que é dado por
fetkM — ^ffitm
= ' E S T R U T U R A S DE C O K C R F T O 234
sendo a resistência média do concreto á traçáo ftm estimada por
/ f , „ = < U / c f
resultando o valor
Ko = 0, 6 X x 0 , 3 J f X b j = ^ X y ; f X ^ r , T,
que corresponde a uma redução
y,
F da tensão tangencial solicitante de cálculo, expressa por { = ™
A Tabela (9.2-b) apresenta alguns valores de xr(l correspondentes a y = 1,4
TABELA (9.2-b) VALORES DE te0 CORRESPONDENTES A y(. = 1.4
20 25 30 35 40 50
T,D {MPa) 0 0,66 0,77 0,S7 0,96 1,05 1,22
(*)t,„ já são valores de cálculo
3) K = Ko \ Mt.
á 2F,0 em peças submetidas á flexo-compressão, sendo 'Si/,nu* j
A/0 o momento fletor que anula as tensões normais de compressão na bor-
CSTUUTUHAS PC GGNCFIETO
da que é tracionada pelo momento MSíl mií, provocadas pelas diferentes for-ças normais que agem concomitantemente com a força cortante VSd, sendo calculadas com yf =1,0 e 7^=0*9.
No cálculo dessa tensão de compressão a(. não devem ser considerados os momentos fletores das forças normais externas aplicadas, decorrentes de diferentes origens, nem os momentos fletores devidos às ações diretas ou hiperestáticas de protensão, considerando-se apenas os momentos fletores isostáticos de protensão, Fig. (9.2-a),
exi
i J / i f
exi r - ' "
P P . P P . i
P P .
Tf = tO
Yp-0,9
I I I I M • i
'P
Tensões da compressão CT(. o considerar para o cálculo do Figura (9.2-e)
O valor A/fjAmall é o do maior momento fletor de cálculo que atua no semitra-mo considerado, decorrente das ações diretas e de momentos hiperestáticos de protensão.
A parcela Vf lt resistida pela armadura perpendicular ao eixo da peça (a = 00°), admitindo-se bielas diagonais inclinadas a 0 = 45° em relação a esse eixo, é dada por
v,.,= ^I^uv/lw Para (a = 90') onde:
£ = Ü,9f/ representa um comprimento A,v Igual ao braço de alavanca dos es-forços de flexão, sendo {d) a altura útil da peça; (A) O espaçamento entre os estribos, medido ao longo do eixo da peça; (Aw ) é a área da seção transver-sal de um estribo, considerados todos os seus ramos perpendiculares ao eixo da peça1; ( / w ) é o valor de cálculo da resistência de escoamento do aço da armadura de cisalhamento.
No caso de emprego de armaduras transversais inclinadas, com o ângulo (a * 90 ), tem-se, de acordo com o item (5.3),
s / Am.ffw (sin a+cos a ) com (a * 90°).
II • Analogia generalizada da treliça.
M É T O D O RÜORÍIO DE CALCULO
u b f - J
• * •
1
•—
( a l m a e s p e s s a )
v a l o r e s e l e v a d o s
30°í e «36°
( o l m o f i n o )
~ = valor «a baixos
Modelos do funcionamento do analogia generalizada da treliça Figura 19.2-b)
'thtonaqutéprttorfvnt o símbolo A •>" tímtwtn A{ potíitimit o primeiro frxfíeo devo tu referir CSTUIJTUHAS DC CQNCRCTQ spmprc (to rnntoriet o os restante? As cO* K/rçòpj de seu pnwrvt/o.
Verificação da resistência do concreto. NBR 6118 - bielas inclinadas entre 45 e 30°. *
Admite-se que a segurança em relação ao estado limite último força cortante compressão seja dada pela condição
V <, V Y $<i -1 v Kit:
onde VStt é o valor de cálculo da força cortante solicitante e VNil2 é o valor de cálculo da força cortante resistente em função das tensões de compressão nas bielas diagonais, que é dada por
sendo, neste caso,
onde
Ai = 0 *5 4
' a
vl ftd S Í
"2 0
' C O t
a , j =
f f \
1—"M com f. em MPa 250 )
f
J " V,
A Tabela (9.2-c) apresenta alguns valores de T ^ correspondentes a valores usuais de , admitindo 30° £ 0 <45° e ^ = 1,4,
TABELA (9.2-c) VALORES DE t^, CORRESPONDENTES A y, =1,4
L (MPa) 20 25 30 35 40 50
0 = 30" 3,05 3,73 4,4 4,99 5,57 6,63
0 = 34C) 3,29 4,02 4,7 5,38 6,00 7,16
0 = 38" 3,44 4,21 4,9 5,63 6,29 7,48
0 - 42Y 3,53 4,32 5,1 5,77 6,45 7,67
0 = 45Ü 3,55 4,34 5,1 5,81 6,48 7,71
Verificação da resistência da armadura de cisalhamento, NBR S118 - bielas inclinadas 30° £ 0 £45° .
Nesse caso, admite-se que a segurança em relação ao estado limite último força cortante tração seja dada pela condição
V <,V . r $tl — * UJJ
sendo
^Rdí - K lê+ K
onde Vxw é a parcela resistida pela armadura de cisalhamento que compõe a treliça resistente e Vt é a parcela correspondente aos mecanismos resistentes alternativos, O valor da parcela de força cortante resistida pela armadura êt
portanto, apenas de Vm - VSil-Vt .
A parcela V. resistida pelos mecanismos alternativos é dada pelos seguintes valores:
1) Vc =0 em peças tracionadas com a linha neutra fora da seção transversal;
K ~ K\ ern peças submetidas à flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção transversal, sendo
K, = Kc = OAL, - M c i u a n d o vs<* * Ko <
Í3TRUTURAS PC CONCRETO
caso em que a força cortante pode ser resistida, toda ela, pelos mecanismos resistentes alternativos, e
K, =0 quando VSc/ - VRdJ
permitindo-se a interpolação linear para valores intermediários de VSt,,
O valor V<, = 0 é adotado quando se admite que toda a resistência do concreto seja esgotada pelo mecanismo resistente de treliça, não cabendo atribuir ao concreto uma outra colaboração com os mecanismos resistentes alternati-vos.
No caso de se adotar í , =V,n, as restrições são as mesmas que as especifi-cadas para o emprego da treliça clássica, considerando-se a resistência de cálculo do concreto è tração fcfd, dada por
f frllM
em função do valor inferior da resistência característica do concreto à tração, cujo valor é dado por
ft tkMí = ^ 7 Ji-tm
sendo a resistência média do concreto à tração, estimado por
resultando assim o valor
Kc = 0 . 6 x H x 0 . 3 f f xbj = x f f *hj T,. Vf
que corresponde a uma redução
V
da tensão tangencial solicitante expressa por — b. d
A Tabela (9.2-d) apresenta os mesmos valores de xf0 referentes à treliça clás-sica, contidos na Tabela (9.2-b), correspondente a y( = 1,4
TABELA (9.2-d) VALORES DE r,„ CORRESPONDENTES A T< = L4
./;, (MPa) 20 25 30 35 40 50
TE0 (MPa) 0,66 0,77 0,87 0,95 1,05 1,22
3} K ~ K\ V
< 2V,t em peças submetidas à flexo-compressão, sendo
Mn o momento fletor que anula a tensão normal de compressão, na borda tracionada pelo momento MSl/mxl provocada pelas diferentes forças normais que agem concomitantemente com a força cortante VStl e calculada com Y / - 1 . 0 e yp = 0,9.
No cálculo dessa tensão de compressão tí( não devem ser considerados os momentos fletores das forças normais externas aplicadas decorrentes de diferentes origens, nem os momentos fletores devidos às ações diretas ou hiperestáticos de protensâo, considerando-se apenas os momentos fletores isostáticos de protensâo, Fig. (9.2-c).
í 5THUTUHAS OC CONCRETO :
Tcnsóos do campressáa f j . o considerar poro o cálculo do Mc
Figuro (9.2-c)
O valor MSlJ nax é o do maior momento fletor de cálculo que atua no semitra-mo considerado, decorrente das ações diretas e de momentos hiperestáticos de protensão.
A parcela VfW resistida pela armadura perpendicular ao eixo da peça (cc = 90°), admitindo-se bielas diagonais com inclinação de 30° <, 0 £45° em relação a esse eixo, é dada por
com (a -90°) onde: LV
V ^
(zzQ,9d) representa um comprimento i r igual ao braço de alavanca dos esforços de flexão, sendo {d) a altura útil da peça; (s) ê o espaçamento entre os estribos, medido ao longo do eixo da peça; (4» ) ® a área da seção trans-versal de um estribo, considerados todos os seus ramos perpendiculares ao eixo da peça; ( / l W ) é o valor de cálculo da resistência de escoamento do aço da armadura de cisalhamento.
No caso de emprego de armaduras transversais inclinadas com o ângulo a?s45 , admitindo-se bielas diagonais inclinadas a (30° £ 0 £45°) em rela-ção a esse eixo , de acordo com o item (5.3), tem-se
F = - A ^ f ^ (cot go. + cot gÕ)sin a com (a * 90*
III - Decalagem do diagrama de forças no banzo tracionado
Conforme foi analisado anteriormente, nos itens 5.2, 5.3 e 5.4, em virtude da fissuração oblíqua da alma das vigas submetidas a forças cortantes, a for-ça na armadura de tração em uma seção de abscissa ,v é proporcional ao momento solicitante em uma seção vizinha situada na abscissa .Y + ÍJ, , sendo conforme as indicações abaixo:
a = 45 ' 2 2
segundo (5,2-10) 0 = 45
a *45"
a, = —(1 - c o t a ) + : - t
2y / 2 segundo (5.3-7) 0 = 45
a = 45' segundo {5,4-4} 0 = 45"
Esse fato aumenta a intensidade dos momentos solicitantes de cálculo Mv Stt
a considerar no dimensionamento em relação às solicitações normais. Essa alteração pode ser levada em conta por meio da decalagem do diagrama de momentos fletores solicitantes conforme os valores acima indicados.
A Figura (9,2-d) mostra o cálculo das forças na armadura no banzo tracionado, no caso geral de Ôí 45 e a * 45 .
C 5 T H U T U n A S DC CgNCFlCTO
A Fig. (9.2-e) indica as duas formas com que se pode fazer a decalagem do diagrama de forças da armadura do banzo tracionado.
M Y
4X • z cotg 9 Z c o t g ot
A L" (cotg 9 * cotg ot)
K + iX
11 eotQ a • cotg úc, ) ' $ t l sBn ct 2 J
' M U Ot1
" r t .
ztcotga + cotg ot)-a t
A L 3 z { c o t g a t c o t g c x . )
ifcotq e t-cotg oc
Cálculo das torças na armadura no banzo tracionado. Caso gerai Figura {9,2-d}
Docaiagam do diagrama dtt brças na armadura do banzo tracionado Figura W.2-o)
I 5 T H U T U H A S CC CQNCFIETO
y PARTE C I S A L H A M E N T O N A T O R Ç Ã O
C A P Í T U L O 1 0
TORÇÃO DE SEÇÕES ABERTAS DE PAREDE DELGADA
10.1 Barras de seção circular
Analogamente ao que ocorre com as peças de concreto armado submetidas a forças cortantes, também no caso de solicitações de torção há a necessidade de conhecimento do comportamento das peças não fissuradas, em regime elástico, bem como o das peças fissuradas, funcionando com esquemas re-sistentes assimiláveis a modelos de treliça.
No estudo da torção devem ser considerados dois casos distintos: o da tor> ção uniforme, também dita torção circular, e o da torção com empenamento.
Na torção uniforme, o fluxo das tensões de cisalhamento que agem nas se-ções transversais formam circuitos fechados. Na torção com empenamento, isso não acontece.
Em regime elástico, a torção uniforme é dita torção de SainfVenant.
Para o estudo da torção uniforme, considere-se inicialmente, por simplici-dade, uma barra de seção transversal circular submetida ã torção pura, Fig. (10.1-a),
Torção puro da seçõo circular Figura (10.1-a)
Admita-se que a barra tenha comportamento elástico e que as seções trans-versais sejam indeformáveis em seu próprios planos. Desse modo, em virtu-de da simetria de revolução do sistema, as seções transversais mantêm sua forma circular, embora haja uma rotação relativa entre seções adjacentes.
Na deformação que ocorre por torção, no caso da seção circular, a distorção ocorre em planos perpendiculares ao raio que une os pontos considerados ao centro da seção.
Sendo muito pequeno o ângulo de distorção y, pode-se escrever
ydx = ic/B
logo
Sendo elástico o material, tem-se
x, = yG = Gr—f- (10.1-1) c/x
onde G é o módulo de deformação transversal.
Por outro lado, o momento de torção T pode ser obtido pela expressão
T = [ y -dA-G— f r • rd& dr = G—i dx\ dx *
ou seja
G — n — (10.1-2) dx /,.,
onde ífi é o momento polar de inércia da seção transversal da barra,
Comparando as expressões (7.1-1) e (7.1-2), obtém-se a tensão x, de torção pela expressão
T , = j - r (10.1-3)
e da equação (7.1-2) decorre o valor da rotação relativa entre duas seções afastadas de dx , dada por
^ = (10,1-4) dx G/..
que permite o cálculo dos deslocamentos angulares da barra,
Para o cálculo do momento de torção T admitiu-se que a tensão de cisalha-mento sempre tivesse a direção da perpendicular ao raio r que une o ponto considerado ao centro de gravidade da seção transversal. Isto é verdadeiro apenas no caso particular da seção transversal circular, em virtude da simetria de revolução então existente, Fig. (10.1-a).
10.2 Analogia da membrana
Quando se submete à torção uma barra de seção transversal não circular, a lei de distribuição das tensões de cisalhamento não tem a mesma simplicidade que no caso da seção circular.
O estudo da torção uniforme de barras de seção nâo circular pode ser feito por meio da analogia de Prandtl, usualmente chamada de analogia da membrana, que decorre da analogia formal existente entre as equações diferenciais que regem, respectivamente, a deformação por torção das barras e o equilíbrio de membranas flexíveis submetidas a pressão transversal*.
Para aplicação dessa analogia, considera-se uma membrana sem rigidez à fle-xão, formada por uma película de um líquido viscoso como uma bolha de sa-bão, fixada a um contorno rígido, com o mesmo formato que o da seção trans-versal da barra submetida à torção, Fig. (10.2-a),
A membrana flexível é submetida a uma pressão transversal uniforme de in-tensidade p, daí surgindo uma tração uniforme n por unidade de comprimen-to, igual à tensão superficial do líquido empregado.
4-
i f s K
•V X ^ 1
t \ , / ti
' , ) r i
ÍÍTTHTTTík >
Analogia do membrana figura (WJ-of
'fifAOAI.A, Trwvrf af fíow vnl irtKlint útiOHt/t, WtirNt f. Ctiiüuh J f MatOrtífHÍH. Htw Wwí . Í Í J f f .
Admitindo que seja satisfeita a condição numérica
— = (10.2-1) n dx
prova-se que existe a seguinte analogia entre os elementos da membrana deformada e os esforços tangenciais na seção submetida è torção:
1a- A tangente a uma curva de nível em um ponto da membrana tem a mesma direção que a tensão de cisalhamento no ponto homólogo da seção transver-sal;
2a- A declividade máxima da membrana em um ponto da membrana é nume-ricamente igual ao módulo da tensão de cisalhamento no ponto homólogo da seção transversal;
3a- O dobro do volume compreendido entre a superfície da membrana e o plano de seu contorno é numericamente igual ao momento de torção que solicita a seção.
Além de permitir a determinação experimental das tensões de torção, a ana-logia da membrana também pode ser usada para a obtenção de resultados qualitativos sobre a distribuição das tensões de cisalhamento em seções transversais de forma qualquer.
Assim, por exemplo, considerando a seção transversal retangular da Fig. (10.2-a), conclui-se que as tensões de torção t, serão máximas nos pontos A, pontos médios dos lados maiores da borda da seção.
Analogamente, nos pontos C, vértices da borda da seção, são nulas as tensões de cisalhamento pois, nos cantos salientes, a superfície da membrana tangencia o plano da base de seu contorno.
Na tabela seguinte2, estão apresentados alguns valores dos coeficientes a e (A que permitem a determinação das tensões tangenciais nos pontos médios A e B dos lados das seções transversais retangulares, Fig. (10.2-a), por meio das expressões
ESTRUTURAS DE CONCRETO 'T/MQSHCNKO, 5. "PvfifMnçút íAtj Mnminif" AoLtvrú Tiemea: fíio <fa Janeiro, t$CT-
atrh (b<h) (10.2-2)
(10.2-3)
h/b 1,0 1,5 2,0 4,0 8,0 00
a 0,208 0.231 0,246 0,282 0,307 0,333
1,000 0,859 0,795 0,745 0,742 0,742
Observe que a tensão máxima tA pode ser calculada de modo aproximado pela expressão
10.3 Torção uniforme de seções retangulares delgadas
No caso particular de seções abertas de parede delgada, a analogia da mem-brana permite a determinação analítica das tensões de cisalhamento.
Considerando seções retangulares delgadas, Fig. (10.3-a), nas regiões afas-tadas dos lados menores do retângulo, a superfície da membrana pode ser admitida como cilíndrica. Isso permite estudar o equilíbrio da membrana considerando-se apenas uma faixa de largura unitária, perpendicular ao lado maior da seção.
Pelo fato da membrana ser flexível, é nulo o momento fletor em todos os seus pontos. Assim, à distância z da borda, tem-se
Sôçôas retangulares delgadas Figura (10,3-e)
ph » 2 M. - — z - p í ícosa- w= 0
2 2
Admitindo flechas pequenas, tem-se cosot = I, daí resultando w n{ 2 2 J
A flecha máxima \vmn ocorre na linha média da seção, onde z = h/2, valendo
í 1 0 - 3 " 1 *
Em qualquer ponto da seção transversal, a declividade máxima da membrana ocorre no plano perpendicular à linha média do perfil, valendo
íhv _ p i h (10.3-2)
Essa declividade máxima varia linearmente ao longo da espessura da seção. Na linha média do perfil ela é nula e, nas bordas, ela é máxima, valendo
(hA
d-
íhv It :mhj 2
- ± £ Í L n 2
De acordo com a analogia da membrana, a tensão de cisalhamento T, em um ponto qualquer da seção transversal submetida à torção é dada pela de-clividade máxima da membrana no ponto homólogo correspondente, des-de que seja respeitada a condição expressa pela equação (10.2-1), ou seja, desde que
n dx (10.3-3)
Deste modo, sendo
de (10.3-2} e (10.3-3) resulta, Fig. (10.3-b),
As tensões de cisalhamento t, têm portanto distribuição antimétrica ao longo da espessura h da seção, Fig. (10.3-b), podendo ser consideradas como para-lelas ao lado maior do retângulo,por ser esta a direção das curvas de nível da membrana ao longo dos lados maiores da seção.
—1
h J _
í h J _
í
T t
Distribuição antimétrica do tonsôos Figura (JQ.3-b)
As máximas tensões de cisalhamento ocorrem nas bordas dos lados maiores da seção, valendo
dx (10.3-5)
Pelo fato do momento de torção aplicado à seção ser numericamente igual ao dobro do volume delimitado pela membrana e pelo plano da base, tem-se a expressão
T = 2Lh'—\\\ 3 "
da qual, introduzindo (10.3-1), obtém-se
r - i u ü t 3 8/i
e, substituindo (10.3-3), resulta
T = G f/0 Ltí
dx 3
Deste modo, tem-se
cdB_ T
dx ~ Lh*/3 (10.3-6)
que substituída em (10.3-5) fornece
(10.3-7)
A expressão (10.3-6) fornece o valor da rigidez à torção da barra, definida por
T =GU,' efQ/dx 3
podendo, então, definir-se o momento de inércia à torção /, , por meio da expressão
Neste caso particular, da seção retangular delgada, tem-se
Observe-se que não há analogia entre a expressão (10.3-10) e aquela que forne-ce as tensões normais na flexão, No caso presente, a expressão (10,3-10) não
{10.3-9}
podendo, deste modo, escrever-se
(10.3-10)
fornece a distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da espessura da peça. Ela simplesmente fornece o valor da tensão máxima.
10.4 Torção uniforme de seções trapezoidais delgadas
O caso da seção trapezoidal delgada, Fig. (10.4-a), pode ser resolvido de modo análogo ao da seção retangular, No caso, a espessura genérica h da seção pode ser expressa por
h = k +kzA (10.4-1)
Seções irapwaidais delgadas Figura (JO.&af
De acordo com a analogia da membrana, o momento de torção resistido pela faixa elementar de largura tíy vale
dT = 2 M v |vvy nm
Desse modo, respeitando-se a condição (10.2-1), expressa por — = 2G—, e sendo a flecha " ílx
ph^ í/0 máxima dada por (10.3-1) , com iv,mt = £ — , obtém-se dT = G -dy, daí
"" 8íí dx 3
resultando
Assim, com a definição de momento de inércia a torção, dada por (10.3-8), pela qual
dQ/dx
obtém-se
I = \2
I i = L ( h ^ h 2 ) ( % * h \ ) (10.4-2)
resultando, em cada seção de abscissa y
T z = — h
ítirtiix»^' / it
(10.4-3)
onde a espessura genérica h é expressa por (10.4-1),
10.5 Seções abertas de parede delgada
As expressões deduzidas no caso da torção uniforme da seção retangular del-gada também podem ser aplicadas, de modo aproximado, a outros formatos de seções transversais delgadas, Fig. (10.5-a).
Sdfdes abertos (to parado delgada Figura (10,5-0/
As seções transversais mostradas na figura são assimiláveis a uma compo-sição de retângulos cujos comprimentos são determinados pelo desenvolvi-mento da linha média do perfil em cada um dos trechos considerados,
Para a aplicação da analogia da membrana, a seção total é decomposta em diversos retângulos de comprimentos L, e espessuras hr Desprezando-se a influência dos lados menores em cada um dos retângulos, a declividade da membrana dentro de cada retângulo, de acordo com (10.3-2), é dada por
sendo
M _ PÍ f± dz ti l 2
— = 2G— e w, I , / , I !HIK ( j , n dx
Deste modo, conforme (10.3-4), para cada um dos retânguios em que ficou decomposta a seção, tem-se
" dz, dx togo
Tí/,HUX ^ 'h (10.5-1)
De acordo com a analogia da membrana, o momento de torção que solicita a seção formada por m retânguios é dado por
r - 2 S U ^ - ^ Ç t
ou seja
dx y, Lfí L 3 i-i
daí resultando para o momento de inércia à torção a expressão
e para a tensão máxima de cisalhamento em cada um dos retânguios o valor
W - f * C10'5"3» V
Quando na seção houver trechos formados por trapézios delgados, para es-ses elementos, em lugar da parcela L, hf/3, deve tomar-se, de acordo com (10.4-2), a expressão
(10.5-4)
10.6 Centro de cisalhamento de seções duplamente simétricas
Conforme foi visto no capítulo 1, nas seções compostas por elementos delga-dos, as tensões de cisalhamento devidas às forças cortantes têm a direção da linha média do perfil,
Na Fig. (10.6-a) estão Indicadas as tensões de cisalhamento decorrentes de forças cortantes aplicadas segundo as direções dos eixos de simetria de uma seção transversal duplamente simétrica.
| y
l _ _ i* > , - r ^ T ^ v
C Z —.D-, > f - X i
M l j j J > "
tVy
Tensões devidas a forças cor tontos am seção duplamanto simétrica Figura flO.S-a)
Quando se aplica à força cortante Vy paralela à alma da viga, as tensões t i ;
que atuam nas mesas são auto-equilíbradas. A força cortante Vy é equilibrada apenas pelas tensões Tm que agem na alma,
De forma análoga, a força cortante é equilibrada apenas pelas tensões que agem nas mesas. As tensões Tu que agiriam na alma seriam auto-equi-libradas. No caso em questão, essas tensões são nulas em virtude da alma estar situada sobre o eixo de simetria.
Entende-se por centro de cisalhamento da seção transversal o ponto de pas-sagem das forças cortantes que agem sobre a seção.
Desse modo, quando há dupla simetria, o centro de cisalhamento coincide com o próprio centro de gravidade da seção.
Quando em uma seção, a resultante do carregamento externo passa pelo cen-tro de cisalhamento, não existem esforços de torção, como é o caso mostrado na Fig. (10.6-a), Observe que a não existência de torção decorre do fato da resultante do carregamento passar pelo centro de cisalhamento. Como será visto adiante, o fato da resultante passar pelo centro de gravidade da seção não é condição suficiente para que não haja torção. Essa idéia não decorre das hi-póteses básicas gerais da Resistência dos Materiais, que define o eixo da barra como o lugar geométrico dos centros de gravidade das seções transversais.
Quando se lida com problemas de torção, o eixo da barra é o lugar geométri-co dos centros de cisalhamento de suas seções transversais.
10.7 Centro de cisalhamento de seções com uma única simetria
Considere-se agora a seção indicada na Fig.n0.7-a}, simétrica apenas em re-lação ao eixo z. Trata-se de uma seção H funcionando com duas almas de dimensões diferentes.
CISALHAMENTO SEM TOftCÍJO CISALHAMENTO COM TOflÇBO
Svçfto H com cftms aímus difarontos Fitftm (10.7-a)
Aplicando-se um carregamento externo paralelo ao eixo y da seção, há uma força cortante Vy que deve ser equilibrada pelas tensões tangenciais que agem nas duas almas da seção, de larguras bw1 e b^ respectivamente, sendo des-prezível a colaboração da mesa que as une,
Para que essa seção transversal esteja isenta de torção, ela não deve sofrer rotações, isto é, devem ser iguais os deslocamentos transversais das duas almas. Considerando-se apenas os deslocamentos devidos à flexão, para que as duas almas tenham os mesmos deslocamentos paralelos ao eixo y, elas devem resistir a quinhões de carga V, e V2, respectivamente proporcionais aos seus próprios momentos de inércia à flexão l1f e \2/, ou seja,
2 L . 2 L tu ' l i
sendo
A resultante das forças V e V? passa pelo ponto C, determinado pela igual-dade de momentos estáticos estabelecida por
Vx cí, = V2a2
ou seja
í,at = ha2
O ponto C de passagem da resultante das tensões de cisalhamento não coinci-de, em principio, com o centro de gravidade G da seção considerada. Messas condições, se o plano de flexão, isto é, se o plano do carregamento externo contém o centro gravidade G, não passando pelo ponto C, na seção atua um binário formado por duas forças paralelas: a força externa Vy passando por G, e a força interna equilibrante V]+V2 = Vy passando por C.
Desse modo, para que não haja torção, o plano de carregamento deve conter o ponto C, chamado de centro de cisalhamento ou centro de torção da seção transversal.
Quando o plano de carregamento passa pelo centro de gravidade G, e esse não coincide com o centro de cisalhamento C, na seção atua um momento de torção dado por
T = Vy-e1
10.8 Exemplo importante
Como outro exemplo de determinação do centro de cisalhamento de uma seção com uma única simetria, considere-se o caso importante do perfil C mostrado na Fig. (10.8-a).
Exemplo importante Figuro (10.8-aj
Trata-se agora de uma seção com uma única alma, possuindo mesas de tra-ção e compressão paralelas ao eixo de simetria.
Em virtude da simetria existente, o centro de cisalhamento está localizado sobre o eixo Gz. Resta, portanto, determinar a linha de ação da resultante das tensões de cisalhamento decorrentes da aplicação de uma força cortante Vy
paralela à alma, admítindo-se que a torção seja nula.
A máxima tensão de cisalhamento nas mesas vale
VS y :
V -J L . b h / ± J J ! ± hfl. 1 2 21.
logo
H t = H : = bh, Vj?d_
4/.
sendo desprezíveis as tensões x(k que atuam nas mesas, A força cortante Vv é resistida apenas pelas tensões que atuam na alma, sendo então V, = Vy.
Nessas condições, para que a resultante das tensões de cisalhamento passe pelo ponto C, deve ser nula a soma dos momentos das forças H,, H2 e Vt em relação a esse ponto, ou seja, tem-se
Vleí"Hld = 0
donde
vx v
y
resultando
b2dl
— (10.8-1) Ai. f
10.9 Centro de cisalhamento de seções abertas de forma qualquer
Embora o centro de cisalhamento possa ser determinado em caráter geral por meio de outras propriedades geométricas da seção que não as consideradas pela Resistência dos Materiais elementar3, os raciocínios aqui formulados são suficientes para o estudo aproximado das seções usuais que maior interesse apresentam para as estruturas de concreto,
De modo geral, o centro de cisalhamento pode ser entendido como o ponto de passagem da resultante das tensões de cisalhamento, quando na seção age apenas força cortante, sem que simultaneamente exista torção.
Admitindo-se então uma certa distribuição de tensões correspondentes à ação isolada de uma força- cortante, pode ser determinada a linha de ação de sua resultante, Apücando-se o raciocínio em duas direções diferentes, deter-mina-se o centro de cisalhamento.
Na Fig. (10.9-a) está ilustrado esse raciocínio.
Soçócs abertas do elementos dstgodos Figura (10,9-ai
O duplo T simétrico, figura I, por ter dois eixos de simetria, apresenta os pon-tos C e G coincidentes, No caso da figura II, em que há apenas um eixo de simetria, os pontos C e G são distintos e se localizam sobre o eixo de simetria. Nas seções das figuras III e IV, o centro de cisalhamento está localizado no ponto de encontro das linhas médias das duas abas que compõem o seção, Isso é facilmente estabelecido, considerando-se a aplicação sucessiva de for-ças cortantes paralelas a cada uma das abas.
'WjISSOV fií. Pn/Wf íimyuvr fff" YOilvsrniuçt>t íTruií . O, S M I R N 0 F F Í Eyrgü ío - PWIu S9S2, C=5Tf iUTUnAS PC C O N C R E T O
Em principio, quando uma barra é submetida a cargas transversais, nela po-dem existir forças cortantes e momentos de torção.
Quando o plano de carregamento contiver o centro de cisalhamento, não ha-verá torção. As seções transversais sofrerão deslocamentos, mas não haverá rotação em seus próprios planos
Nos casos mais elementares, da seção circular e da seção retangular delgada, a teoria da torção uniforme admite as hipóteses de que a seção transversal da peça seja indeformável em seu próprio plano e que, além disso, a seção plana permaneça plana.
No caso de seções delgadas de forma qualquer, a teoria da flexo-torção de Vlassov abandona a hipótese da manutenção da forma plana da seção transversal, mantendo apenas a hipótese da indeformabilidade da seção em seu próprio plano. Nesse caso, admite-se que a torção provoque o empe-namento da seção transversal. A origem desse empenamento está ilustrada na Fig. {10.9-b).
Ftexo-torçSo do barras do parede delgada Figura iW,9-b)
Nessa figura, a barra de seção duplo T está solicitada por uma força concen-trada F em uma das extremidades da mesa inferior da seção.
A ação dessa força F é estaticamente equivalente aos quatro carregamentos parciais indicados. Três dos carregamentos parciais reproduzem o efeito da força normal N e dos momentos fletores M yeM í a que está submetida a barra em questão.
Note-se que a equivalência dos carregamentos parciais ao carregamento ori-ginal somente existe quando se acrescenta o quarto carregamento parcial que, embora estaticamente nulo, evidentemente produz a flexão local das mesas do perfil, em sentidos contrários, o que faz com que a seção transver-sal deixe de ser plana.
Em peças estruturais de grande porte das construções de concreto, os esforços associados aos empenamentos podem ser significativos. Todavia, nesses casos, como por exemplo nas caixas de elevadores dos edifícios muito altos, a teoria das barras de parede delgada também pode nâo ser suficientemente precisa.
Nesses casos, em face da atual facilidade de processamento das estruturas por meio do método de elementos finitos'3, não se justifica o emprego de teo-rias aproximadas que admitam a indeformabilidade da seção em seu próprio plano. Nesses casos, é preferível, e mais prudente, considerar o elemento estrutural como sendo composto por um conjunto de cascas, e processa-lo por métodos computacionais.
Nos casos em que se pode considerar a existência tanto de torção uniforme quanto de flexo-torção, o momento externo solicitante pode ser desdobrado em duas parcelas, cada uma correspondendo a uma das formas de torção, ou então, uma dessas formas pode ser desprezada quando se admite uma capacidade adequada de acomodação plástica da estrutura, e que o meca-nismo desprezado não tenha rigidez superior ao mecanismo considerado como o resistente.
De acordo com a NBR 6118 (item 17.5-2), os valores de rigidez devem ser calculados considerando-se os efeitos da fissuração, podendo ser adotados 0,15 da rigidez elástica no caso da torção uniforme e 0,50 no caso da flexo-torção, para a qual se pode admitir a validade do método simplista admitido pela norma brasileira, que é analisado no capítulo 13 dessa publicação.
•SAP ioog NommArt CSTUUTUnAS DC CONCRETO
CAPÍTULO 11 SEÇÕES FECHADAS DE PAREDE DELGADA
11.1 Tensões
No estudo da torção de seções fechadas de parede delgada, admitem-se as hipóteses de que as tensões de cisalhamento sejam uniformes ao longo da espessura dos elementos delgados, e que essas tensões tenham a direção da tangente à linha média do perfil, Fig. {11.1-a}.
Com essas hipóteses, as tensões de cisalhamento de torção podem ser deter-minadas diretamente a partir da condição de equilíbrio à rotação.
Seções fechadas de parede delgada Fig, nt.ho)
O problema é, portanto, tratado isostaticamente. Todavia, isso somente é pos-sível quando não há a superposição de tensões devidas a forças cortantes,
que não podem ser determinadas independentemente das tensões de torção, como acontece nas seções que não têm um eixo de simetria na direção da força cortante aplicada.
Por simplicidade, quando não houver possibilidade de confusão, a tensão de cisalhamento devida à torção poderá ser indicada simplesmente por x, omi-tindo-se o índice representativo da torção.
Considerando o equilíbrio longitudinal de um elemento de parede de lados A.v e dx, obtém-se
ou seja, a força unitária de cisalhamento I> = T/J é constante ao longo do perí-metro da seção, A resultante dessas forças de cisalhamento é nula, pois elas formam um polígono fechado.
Igualando o momento das tensões de cisalhamento ao momento de torção aplicado à seção, tem-se
Vi dx = xJh dx
logo, em qualquer ponto da seção, tem-se
~ t j / f j = xfi = v = c o n s t a n t e (11.1-1)
onde o pólo 0 de redução dos momentos é um ponto qualquer do interior da seção transversal Sendo constante o valor de v = xh, obtém-se
T = vá rafo = 2 vA
sendo A a área da figura plana delimitada pela linha média do perfil Nessas condições, resulta a chamada fórmula de Bredt:
Essa expressão é válida desde que seja verdadeira a hipótese de distribui-ção uniforme das tensões ao longo da espessura da parede. Essa validade existe desde que o raio de curvatura interno da parede seja maior que a própria espessura da parede. Caso contrário, existe uma concentração de tensões que não pode ser ignorada, sendo a tensão máxima efetiva então existente dada por
s
onde, Fig. (11.1 -b),
CoriesntfBçóo da tonsiss Figura flí.í-b!
Nas seções celulares, é importante considerar o fluxo de tensões na passa-gem do cisalhamento da alma para a mesa da seção transversal,
Analogamente ao que foi visto na ligação alma-mesa das vigas submetidas a forças cortantes, também na torção a mudança de direção desse fluxo se faz com a colaboração do cisalhamento em diferentes planos longitudinais, Fig, (11.1-c) e Fig. (11.1 -d).
Ao longo do prolongamento da alma na espessura hf da mesa, a distorção yt. diminui até se anular na face superior da viga, Fig. (11.1-c). Nesse trecho, a ligação da mesa à alma da viga passa a depender das tensões xrs que atu-am nos planos verticais de corte da mesa, Fig. (11.1-d),
V xz
_ v _
Cisalhamento no trecho do l/gaçâo alma-mesa Figure ft í, 1'C)
lxz
Desvio do fhixo do tensões Figura (11.1-d)
11,2 Rigidez
Para o cálculo da rigidez à torção, iguala-se o trabalho realizado pelo momen-to de torção aplicado à energia de deformação acumulada na peça,
rf é/0 O trabalho realizado pela aplicação estática do momento T vale dU —-—, sendo c/0 a rotação relativa de duas seções afastadas de dx .
A energia de deformação de um segmento dx de barra, em função das ten-sões de cisalhamento vale
onde
logo
t
T = -2 Ah
dU = dxj> x2hds
2 G = dx-
8A2G 7 h
Igualando as duas expressões de energia, resulta
Td§ , Tl r ds
ou seja,
= d x l S õ H
e sendo Tj2A = th = constante, resulta
dO
dx
A rigidez da peça também pode ser expressa pela equação 01-2-1}, da qual
sendo
íIQ _ T
dx ~ Cl,
4A2
h
( 1 1 . 2 - 3 )
( 1 1 . 2 - 4 )
11,3 Analogia da membrana
Os resultados obtidos anteriormente também poderiam ter sido obtidos por meio da analogia da membrana, como é mostrado a seguir, Fig. (11.3-a).
Nas seções fechadas de parede delgada, admite-se que o contorno interno correspondente à seção seja fechado por uma placa rígida sem peso, que é obrigada a se deslocar paralelamente a si mesma, e que a membrana flexível fique situada entre o contorno interno CD e o contorno externo AB.
Analogia da membrana Figuro ( 7 7 . 3 - 0 /
Sendo pequena a espessura h da parede em relação às dimensões da seção transversal, admite-se como desprezível a curvatura da membrana e a sua declividade será então dada por w/h.
Essa é a mesma hipótese feita anteriormente, de que a tensão de cisalhamen-to seja constante ao longo da espessura da parede. Desse modo, tem-se
ou seja, o deslocamento w da membrana mede a própria força unitária v de cisalhamento.
Calculando o dobro do volume delimitado pela membrana, tem-se
T = 2Aw = 2Ahxí
que é a mesma expressão (11.1 -2), já obtida anteriormente, na qual A é a área da figura plana delimitada pela linha média do perfil.
Por outro lado, considerando o equilíbrio de forças perpendiculares à seção, tem-se
t, =
logo
T (113-1)
T' ~ 2Ah
Fazendo
vt1 sm a = taii a =
h
obtém-se
h
cstuutuhas pc ggncfieto
resultando
/ Í ' h
Empregando a hipótese básica da analogia da membrana, expressa por (10.2-1),
— = 2(7 —
e sendo
resulta finalmente
1 r , = — — 0 Tí/.V dx 2 AGJ (11.3-2)
que é a mesma expressão (11.2-2) já obtida anteriormente,
11.4 Centro de cisalhamento das barras de seçáo fechada
Nas barras prismáticas de parede delgada com seção transversal fechada, as ten-sões de cisalhamento devidas a forças cortantes são calculadas admitido-se as mesmas hipóteses das seções abertas, mas o problema agora é hiper está tico.
Considerando o equilíbrio longitudinal de um elemento de viga, Fig. (11.4-a), sendo .Rf a resultante das tensões normais no trecho de seção transversal de-finido pelo elemento considerado, tem-se
( t A - t A )dx = dR]
Cisaihamonto tiavido a forças cortantes Figuro (1 i.rt-n)
ou seja, repetindo o raciocínio feito no estudo das seções abertas, resulta
, , dRt VyS. í VS x h - xnhu = —= ± -7Í
dx /. /.. ( 1 1 . 4 - 1 )
Sendo fechada a seção transversal, para se isolar em elemento da barra são necessários dois cortes longitudinais. Existem assim duas incógnitas, t e x„ na equação de equilíbrio longitudinal (11.4-1), tratando-se, portanto, de um problema hiperestático.
Quando se sabe, a priori, que existe uma fibra longitudinal com tensão de cisalhamento nula, o problema fica simplificado. Escolhe-se essa fibra para um dos cortes longitudinais, restando apenas uma incógnita na equa-ção (11.4-1).
Com isso, a seção fechada passa a ser tratada como se fosse aberta, Esse é o caso quando a seção transversal possuir um eixo de simetria paralelo a direção da força cortante, pois no eixo de simetria é nula a tensão de cisalha-mento, Fig. {11.4-b).
Cisaihoma/itc do soçúcs fechadas simétricas Figura (11,4 b)
Quando a seção transversal não possuir eixo de simetria paralelo à força cor-tante, o problema deverá ser resolvido pelo emprego da equação (11.4-1}, escrevendo-se
x h = - í — - ± -í—t- +1 nh„ I.
(11.4-2)
sendo, então necessário determinara incógnita suplementar^.
Para essa determinação, corta-se arbitrariamente a seção em uma fibra longi-tudinal, Fig. (11.4-c), onde atua uma tensão incógnita xn, ou seja, onde atua a força de cisalhamento incógnita vb = xch0.
Com o corte arbitrário assim feito, determína-se a parcela de cisalhamento
V..S. ^ VS í. L
(11.4-3)
que difere do valor verdadeiro v = xh, pelo valor da tensão v0, atuante efetiva-mente na seção em que se praticou o corte arbitrário.
Desse modo, o cisalhamento unitário verdadeiro, expresso por
v = v, + v0 (11.4-4)
I k ©
CORTE, tfieiTUABÍO
u
H
©
LU TTTT
r m T T T TTTl í ! I T , *• * • H * * j
t
(£)• Knitantt 1 f 4 4 4 4 4
L (£)• Knitantt 1
f 4 4 4 4 4 —
M I M Mil M II1
« - V "o
v * th
unam dpffww trt Toigat gwiantw
solução com um
corte arbitra rio
V s V
I S
T
piiof a% f«m «tiani» w myfifftto dft torcõú - to
diferença v ro «ti» etoigf QtbUfJHO
üívo op<KiM urt morar-lo de torção t>
V - V , ' V 0
Cisottmmonto dc seçdáS /eí flútes nflo simétricas Figuro (11,4+c)
corresponde ao cisalhamento que existiria se a seção fosse efetivamente cortada onde se praticou o corte arbitrário, mais uma parcela constante v0 ao longo de todo o perímetro da seção, ou seja, tudo se passa como se a seção íntegra estivesse sujeita ao cisalhamento calculado por v,, mais o cisalhamen-to vü correspondente a um momento de torção Tü
Isso significa que as forças unitárias de cisalhamento calculadas com o corte arbitrário, correspondem às forças cortantes realmente aplicadas, mais um momento de torção (-T l, pois v, = v - v 0 .
Nessas condições, quando na seção atuarem simultaneamente v, e vot isto é, quando for obtida a solução real, será nulo o momento de torção atuante, Quando Isso ocorrer, será mínimo o trabalho de deformação devido às ten-sões tangenciais, pois só restará o trabalho de deformação decorrente do cisalhamento devido às forças cortantes,
Desse modo, sendo
ü = ^ _ h ± 1 = ± r 2 h á s
T 2 2 GJ
deverá ser
2 G t dx0
e como h é independente de tfl, pode-se escrever
õU 1 r õ(xh) , A , = 0 (11.4-5)
ÕXq G j ÕI,
Por outro lado, derivando-se a expressão (11.4-2) em relação a t„, resulta
ÕTa
e a expressão (11,4-5) assume a forma
j ) xh^ds = 0
ou seja
§tds = 0 (11.4-6)
— = H S T R U T U R A S W C O K C R E T O 280
Dessa forma, sendo
h h
tem-se a condição
ou seja, resulta finalmente
= (11.4-7)
Para o emprego dessa condição, é preciso respeitar os sinais da derivada d(T/í)/r?z0 contida na equação (11.4-5), Para isso, considerando que T0/r(1 é um valor constante, a função th será crescente quando v, e v0 tiverem o mes-mo sentido. Desse modo, adota-se arbitrariamente um sentido de circuítaçáo para v0 , admitindo que seja v0 > 0 . As forças unitárias v, serão então con-sideradas positivas quando tiverem o mesmo sentido que v0, e negativas em caso contrário. Na Fig. (11.5-b) do item seguinte está mostrado um exemplo de aplicação dessa regra.
De posse do valor da força unitária v0, ficarão conhecidas as tensões de ci-salhamento decorrentes das forças cortantes. Uma vez conhecidas as forças unitárias de cisalhamento, v=v, +v0, poderá ser determinado o centro de ci-salhamento da seção. Para isso, basta impor a condição de que seja nulo o momento das forças v em relação ao ponto C procurado, como mostrado mais adiante na Figura (11.5-c),
11.5 Exemplo
Como exemplo, considere a seção indicada na Fig. (11.5-a)
Dimens&íis s&çõa transverso Esforço óptica do I
£ o
8 OJ
S-3 0 c m
25 cm Ll . _
c r
õ—v,
i _ T" 300 cm 101
72,7 cm
»2
25 cm
_4
127,3 çm
3
Exemplo Figura f 11.5-a)
Cortando-se arbitrariamente a seção transversal ao longo da espessura que contém o ponto P0 situado sobre o eixo G?, Fig.(11.5-a), obtêm-se as forças unitárias v& e v , , Fig. (11,5-b).
0* Mit V (JfMirtffl tXfyJtXif adulada pwa ^
Seção com um corte arbitrário Figura (! t,$-b)
Em virtude da simetria em relação ao eixo y, sabe-se que o centro de cisalha mento C está situado sobre esse eixo. Para a determinação de sua posição imagína-se a seção submetida a uma força cortante V? arbitrária.
As forças de cisalhamento na seção com o corte arbitrário valem:
v , . = 2 5 x 7 2 , 7 x 1 5 0 — = 272,625^. I I y r
v,, = v.. + 30x150x75-^- = 610,125— 1.3 1,1 i i
VKi = VU
= 0
v u = - 2 5 x 1 2 7 , 3 x 1 5 0 - ^ -477.375-*-
= - 1 0 x 150 x 75 = -589.875 -yi
VI.T = VM
IMessas condições, sendo:
272.625 V. 12 J h 25 S
— X- = 396.397 2 / .
f>
Cl-, = j—tfc = — 2 j h 30
272.625 x 300+ j (610,125- 272,625 )x 300 V V — = 4,976,250—
= Jy às = a,
477.375 K J x 1273 ^ ü 25 L
as = \^Lds = ~ 477.375* 300 + ^(589.875-477.375 )x 300
resulta
<£ x,ds cj> ^ ds = ^ a, = -:1!3.233.000 -
De maneira análoga, tem-se
<£>— = - L 200 x 2+—300 + — 300 = 56 * h 25 30 10
logo, de acordo com a expressão {9.4-7}, resulta
<£t ,ds 13 233 000 V V Vn = = - ^ = 236.304
^ * 56 / , / ,
Obtém-se assim o resultado final r = t, + t0 ou, o que é equivalente, v = v, + v„ :
v0=vl>0 + v5 = 236,304^ ji
v, = v I i ( + v o b 5 0 8 . 9 2 9 ^ A'
Vj = V|_i + = 846.429 ty
Vj = v,j + vD = 508.929íi 'y
v4=vliJ+v„ =236.304-^ 'y
Vj = v I J+v0 =-241.071^-
V = Vi,6 + v0 = -353,57 ly-
,v
V7 = vl7 + v0 =-241.071^-
A Fig, (11,5-c) apresenta o diagrama final de forças de cisalhamento v , bem como a posição do centro de cisalhamento, calculada como adiante se indica,
Uma vez conhecidas as tensões de cisalhamento devidas à ação exclusiva de uma força cortante V;P é possível determinar a posição do centro de cisalha-mento, que marca a posição por onde deveria passar a linha de ação de V,.
De fato, não havendo momento de torção aplicado, deve ser nulo o momento das forças de cisalhamento em relação ao ponto C da Fig. (11,5-c).
cstuutuhas PC ggNCFiETo
Forças roais do cisathamcnto Figura {1 t.S-c)
Com essa condição, tem-se
^ X] 50 + y2-dc + y3 X150 -VA x150 - Vs (200- Í / c , y Vt X150 = 0
onde
L = 315,1x106 cm4
135 7 V V, = 508.929— = 0,1 10- V. 2 1.
V = 300 x 508.929+ 300 (846.429 -508.929) l i - = o, 699-K
V} = Vy
64,3 V. v, = ^ x 2 4 1 , 0 7 1 = 0,024 V. 2 /.,
— = 0,301 y, h
Desse modo, resulta
0, LI 0x2x150 + 0 , 6 9 9 - d c - 0 , 0 2 4 x 2 x 1 5 0 - 0 , 3 0 1 ( 2 0 0 - < / c ) = 0
ou seja
í/t. = 34,4 cm ,
11.6 Seções parcialmente fechadas
No estudo da torção de seções parcialmente fechadas, Fig. (11.6-a), admite-se que ffô tenha
dx um valor único para toda a seção considerada. O momento de torção T terá uma parcela Ta resistida pelos trechos abertos e uma parcela 7), resistida pelo trecho fechado, sendo T = Ttl + Th ,
Vf = 300 x 24 L07l + - j x 300(353.571-241.071)
I. ISO cm ' zoo cm 150 cm I ! T 1
Soçócs parcialmente fechadas Figuro (ft,6-a!
cstuutuhas pc ggNCFiETo
De acordo com os resultados já obtidos, equações (10.3-8) e (10.5-2), a par-cela T vale o
r ~ríBi
onde o correspondente momento de inércia à torção é dado por
s. I !r Z - i -> M
De forma análoga, a parcela Tb é dada pelas expressões (11.2-3) e (11.2-4), sendo
r - r c i d i dx
I • ds * h
Nessas condições, tem-se
T = C f (/,„ + /„)
logo
t/0 T
daí resultando
(11.6-1)
e
(11.6-2)
De modo geral, a parcela T resistida pela parte aberta da seção é desprezível, podendo fazer-se T = Th, uma vez que Ila é usualmente muito menor que ílh
11.7 Exemplo de seção parcialmente fechada
A título de exemplo, considere-se a seção mostrada na Fig. {11.6-a}. Neste caso, têm-se
e
20
com
/ , = / , „ + / , , , = 2 8 8 , 8 x IO6 c m
logo
T„ = 0,00277 T
Admitindo que na seção atue um momento de torção
T - 4 0 0 k N - m = 4x l0 4 kN-cm
tem-se:
-trecho aberto
x „ _ = f M 1 Ü 2 7 7 x 4 , > < m 4 x20 = 0.003 kN/cnr = 0,03 MPa IK<1 " 0.8x10
e
-trecho fechado
T. 0.99723x4xL04 t, aüS - — = = 0 j 6 6 kN/cnr = 1,66 MPa
w 2 Ah, 2x200x300x20
11.8 Seções multicelulares
Mas seções multicelulares, a distribuição das tensões de cisalhamento de-vidas à torção é estaticamente indeterminada. Não se conhece de antemão o sentido das tensões de cisalhamento nos septos intermediários, Fig, (11.8-a). Sabe-se, apenas, que o equilíbrio longitudinal impõe, em cada nó, a condição
(11.8-1)
Condições dç equilíbrio Figura (1 r.S-a)
A aplicação da analogia da membrana é feita, nesse caso, com uma placa rígida em cada um dos vazamentos existentes na seção. Durante os deslo-camentos das membranas, as placas rígidas são mantidas paralelamente ao plano da seção, Fig, (11.8-b).
1 • 1 1 1 0 t ©
: i i i i
<D
1 i i i i
- i -L .i
PLACA FtiOOA -MEMBRANA
K m '
PLACAS RÍGIDAS MEMBRANA-- " ' 4
/ I • ^ / W 1 V 1 I
AplícsçSo do analogia t/t> membrana Figuro (!J.3-b)
Lembrando que os deslocamentos w; de cada membrana são as próprias for-ças unitárias v, de cisalhamento, resulta
T = 2(riivl + Â2v2 + /ÍjVj) (11.8-2)
onde A,tA: e/fj são as áreas delimitadas pela linha média do perfil de cada uma das células existentes na seção.
A expressão anterior também pode ser obtida pela consideração de cada uma das células isoladamente, às quais se aplica sucessivamente a fórmula de Bre-dt, equação (11.1-2), resultando
onde 7j , T? e T3 são as parcelas do momento de torção resistidas por cada uma das três células, respectivamente.
De modo geral, o número de incógnitas v, é igual ao número de células, ou seja, o grau de indeterminação hiperestática é igual ao número de septos In-termediários.
No exemplo da Fig, (11,8-b), há três incógnitas, v1f v2 e vy dispondo-se apenas de uma equação de equilíbrio, dadas pela expressão (11.8-2).
Neste caso, há duas incógnitas hiperestáticas, que são determinadas impondo-se
a condição de igualdade de — em todas as células, ou seja: dx
T = 7] + r., 4- 7, = 2 A, v, 4- 2A:\\ 4- 2A,v3
e (11,8-3)
cíQ Para o cálculo da rotação relativa específica — c a d a célula é considerada
rfx isoladamente» sendo, de acordo com (11.2-2),
rd0
v, dx 1 2 Afifyxtds (11.8-3)
CO
Observe-se que para o cálculo das expressões (11.8-3), nos septos interme-diários, são consideradas as verdadeiras forças de cisalhamento que aí atu-am, Fig. (11.8-c), que são as resultantes das duas forças de cisalhamento que agem nas células adjacentes.
*
l 1 V V ' v V
©
— *
d V »« I
Fórçus rouis do cisulhanientó Figura (tt.S-c)
11.9 Exemplo de seção multicelular
Seçáo muitica/ufar Figura (! 1.$-a)
Admita que na seção dessa figura atue o momento de torçãoT = 4000 kN-m. No caso, têm-se:
4 =/fj = 200x300 = IO4 cm2
A, =200x400 = Hx| O4 cnr
A condição de equilíbrio (10.3-1) fornece
7 = 2(A]vl + A2v2 + A3vj ) = (l 2v, +1 <5V2 +12 v} )• I O4
A rotação das diferentes céíulas é expressa por meio das condições (11.8-3), resultando, de acordo com o que está mostrado na Fig. (11,8-c) do item anterior
™(300 + 200 + 300)+ ^ 200 h h dx h 2 AGm
í|> tdS : 2 AG
j = <£Ttfr = {dx)2 2AiGl 2A2G
— (400 + 400) h
i+-v, -v.
200 + v, -v.
200
V dx = Sxds = —— — (300 + 200 + 300)+ ——— 200 2 AFIL 2A3G[hK > h J
Impondo a igualdade de rotação, condições (11,8-3), tem-se:
^dx) {
dQ*
. dx,
e sendo h constante em todas as células, resulta
— [800 • v, + 200 (v, - v2 ) ] = — [ 8 0 0 • v3 + 200 (v2 - v, )+ 200(v, - v>)] A, J,
ou seja
- 2 v 3 ) = ^ ( l 2 v 1 - 2 v l - 2vj )
Por outro lado, em virtude da simetria do sistema, tem-se v, = v3, reduzindo-se o número de incógnitas e, simultaneamente, o de equações, daí decorrendo que a expressão anterior reduz-se a
2,167'V, -1,833* v2 = 0
ou seja
v. = 0 , 8 4 6 - ^ 2,167 "
Considerando então o equilíbrio de momentos, obtém-se
T = (24-v, +16-v3)l04
donde, para
T = 4000 kN • m=4x IO5 kN-cm
resultam
v, =0,93 kN/cm c
v, = 1,10 kN/cm
que para a espessura h - 20 cm correspondem respectivamente a
x = x, =0,47 MPa
T , = 0,55 MPa
atuando nos septos transversais a tensão
t - = 0,ÜH MPa
como se mostra na Fíg. {11.9-b}.
T - = 0,0K MPa
0,47 0.47 1 ~1 -1
0,47 ílll •f!í ' i 1 T i O,OS \ r II., o.oa
Ull 0.47
0,17 0,33 0,-4 7
Tensões finais <lc cisalhamento (MPa) Figuro (11.9-bj
CAPÍTULO 12 TORÇÃO EM PEÇAS DE CONCRETO ESTRUTURAL
12.1 Torção em peças de concreto armado
A torção de peças estruturais foi investigada experimentalmente desde os primórdios do concreto armado, como ilustram os exemplos da Fig. {12,1-a)r
que mostram a fissuração de peças de concreto armado e de peças de con-creto simples1.
Ensaios do Mürsch Figura (12. ha}
Como está ilustrado pela Fig, {10.1 -a), a torção provoca uma fissuração de-corrente de um estado de cisalhamento simples, no qual a tensão principal
: E S T R U T U R A S M C Ü K C R I i T O •MOflSCH f.
de tração CT, tem módulo igual a , estando inclinada a 45® em relação ao eixo da peça, Fig. (12.1-b).
Em princípio, a fissuração ocorrerá quando a tensão principal de tração, que tem módulo igual à tensão de cisalhamento tr devida à torção, for igual à resis-tência f a do concreto à tração, ou seja, a condição de fissuração é dada por
t , = X (12.1-D
De acordo com a expressão 110.2-2), no caso de seções retangulares cheias, de comprimento L e de seção transversal de comprimento b e espessura as má-ximas tensões tangenciais r, valem
^ = - 7 1 7 (b<h} (12,1-2)
lembrando que essa expressão não fornece o diagrama de tensões ao longo da espessura da peça, mas tão somente o valor máximo no meio do lado maior da seção. A tensão no meio do lado menor é dada por = JUT(1, sendo
h/b 1,0 1,5 2,0 4,0 8,0 00
a 0,208 0,231 0,246 0,282 0,307 0,333
1,000 0,859 0,795 0,745 0,742 0,742
IMo caso de seções abertas compostas por elemento retangulares, as expres-sões (10.5-2) e (10.5-3) mostram que no meio de cada um desses elementos atua a correspondente tensão máxima t , d a d a por
i.nux./ , " I
onde /;. é a espessura do elemento considerado, e /, é o momento de inércia à torção da seção, determinado aproximadamente por
"' l Ir f M
É importante assinalar que essas duas últimas expressões somente podem ser consideradas válidas desde que se possa admitir a seção transversal da peça como Indeformável em seu próprio plano.
Nas estruturas de concreto com seções abertas, sem diafragmas nem enrijecedo-res eficientes» a restrição dificilmente poderá ser obedecida. Além disso, como a fissuração acarreta uma significativa perda de rigidez do concreto» na concepção de estruturas de concreto deve ser evitada a consideração da segurança contan-do com a rigidez è torção de peças de seções abertas.
12.2 Analogia da treliça espacial
Tendo em vista o que já foi estudado em relação ao cisalhamento devido a forças cortantes, no caso de peças de seção celular submetidas à torção, é possível idealizar o seu comportamento assimilando-as a treliças espaciais, Na Fig. (12.2-a) mostram-se os estados de tensões que levam à concepção da treliça espacial.
Nas peças fissuradas, com fissuras inclinadas a 45° em relação a seu eixo longitudinal, os esforços resistentes são compostos por campos diagonais de compressão e por faixas tracionadas tanto longitudinais quanto transversais. Desse modo, as armaduras das peças torcidas podem ser formadas por estri-bos e barras longitudinais ou por barras helícoidais, Fig. (12.2-b). Todavia, di-ficuldades construtivas, particularmente de precisão no dobramento das bar-ras de aço, e a possibilidade de inversão do sentido da torção, praticamente eliminam o emprego de armaduras helícoidais.
Figura (12.2-a)
Figura (12.2-b)
Nas Figs, (12.2-c) e (12.2-d), é mostrada a idealização das treliças espaciais resis tentes á torção.
Na Fig. [12.2-c) é vista a treliça formada por diagonais comprimidas de con creto, etirantes de aço dispostos transversal e longitudinalmente
Na Fig. (12.2-d) aparece a treliça com armadura helicoidal.
Figura (12.2-c)
Figura (12.2-dj
Observe que para o funcionamento efetivo do comportamento de treliça es-pacial é indispensável que se possa admitir como indeformável a seção trans-versal da peça. Para isso é necessário que nas seções transversais de intro-dução dos momentos de torção haja um diafragma rígido de concreto, tanto nas extremidades da peça, quanto em seções intermediárias de introdução de esforços concentrados.
1 2 . 3 O modelo de treliça espacial
O modelo de treliça espacial, que é intuitivo na torção de peças com seção transversal celular, também pode ser admitido em peças de seção cheia, como se demonstra experimentalmente3, uma vez que, nas peças, a efetiva seção resistente de concreto é formada apenas por uma camada periférica, Figs. (12.3-a) e {12.3-b}.
}C£B - "Manuel de Cotcu!" Effori Trsnchant-Torsion. 1973. ÍSTUUTUnAS PC CONCRETO
Os resultados dos ensaios mostrados Figs. (12.3-a) e (12.3-b)4 demonstram que, na torção de peças de seção cheia, a parte resistente é constituída ape-nas por uma camada periférica de espessura efetiva
As investigações realizadas mostraram que a espessura efetiva h(. pode ser determinada pela expressão
(12.3-1)
onde A é a área total delimitada pela linha média do perfil e « é o comprimento desse perímetro.
Esses resultados também mostram que a armadura longitudinal deve ser dis-tribuída de modo equilibrado ao longo do perímetro da seção resistente, a fim de que todas as barras suportem iguais quinhões dos esforços longitudinais.
A distribuição equilibrada da armadura longitudinal pode ser feita de modo uniforme ao longo do perímetro da seção, ou então de modo concentrado, colocando em cada posição uma parcela da armadura total proporcional ao comprimento do trecho periférico que essa parcela deve equilibrar na extre-midade da peça, como mostrado nas Figs. (12.3-a e 12.3-b).
<fib CEB-Fffí Slrticlural Concreta - Vot. 2. Fig. 4.4-33. Lousoimo. 1999.
dimensões em centímetros
50
sL =16 <|)12 50
A st = <j> 16 cada 11
50
A s L = 1 6 * 1 2 5 0
Ast cada 11
8
50
A s L = 16 012 50
A t = 4*16 cada 11
AsL= 16*12 50
Ag t = *16 cada 11
• • *
« *
momentos de torção f kN m )
ruptura Tu = 129
Viga TI
ruptura Tu = 129
Viga T2
ruptura Tu = 115
Viga T3
ruptura Tu = 114
Viga T4
Ensaios ttò Lamport o Thuríimonn - CEB-FtP vot,2. Figura ft2.3~a)
í 5 T H U T U n A S P t CQNÇFIGTO
dimensões em centímetros momentos de torção { kN m )
32,4
A
^ s L = 1 2 ^ 6 3 2 4
s t = <t>6 cada 10
#•—f • i"
• • •
k - 3 2 ' 4 - 4
V = 1 2 ^ 6 3 2 4
Ast cada 10
* È • •
A s | _ ^ 2 4 4 ) 6 32,4 Agt = 4)6 cada 5
j. 32 ,4 , • • * • > • •
32,4 ^
A s L = 2 4 4 6 32,4
A cada5 st
« • • » * * *
8 +
8 • •
*
• * • •
ruptura Ty = 21
fissuração Tr = 13
ruptura Tu = 21
fissuração Tr = 12
ruptura Tu - 31
fissuração T, = 11
ruptura TtJ = 34
fissuração Tr = 12
Ensaios do Loonhardt o Schotting - CEB-FtP vol.2 Figura (12.3-b)
Os ensaios de Lampert e Thurlimann mostram claramente que a distribui-ção uniforme da armadura longitudinal assegura a máxima resistência da peça. Esses ensaios mostram que uma distribuição não uniforme causa o início precoce do escoamento de parte da armadura longitudinal
A Fig. (12.3-c) mostra como se dá o equilíbrio de forças que agem sobre os nós intermediários da treliça espacial. Nessa figura, as bielas diagonais estão indicadas com a inclinação (> = 45c em relação ao eixo da peça, mas os racio-
cínios são os mesmos com outras inclinações, que podem ser consideradas no Intervalo 30°<G<45°.
Equilíbrio tridimensional dos nós da trotiça Figura {12.3-c)
Observe-se que, em cada nó, as forças de compressão diagonais /í(.45 em faces adjacentes da treliça equilibram-se mutuamente na direção longitudinal e, na direção transversal, são equilibradas pelos esforços de tração Rf, nos estribos transversais.
O equilíbrio de forças exige a colaboração das barras longitudinais de canto, que servem de elemento de ligação que permite que as forças diagonais do concreto sejam equilibradas pelas forças transversais dos estribos, como in-dicado na Fig. (12,3-d).
Funcionamento deis barras do conto Figura (12.3-d)
As barras de canto estão, portanto, solicitadas à flexão local e, por isso, de-vem ter diâmetro compatível com essa função. No entanto, observe-se que as barras de canto não participam do equilíbrio de forças longitudinais dos nós intermediários da treliça.
De maneira análoga, nenhuma das barras longitudinais participam do equilí-brio local dos nós intermediários da treliça, como se mostra na Fig, (12.3-e),
Equilíbrio das borras longitudinais Figura (123-0)
Desse modo, as barras longitudinais, inclusive as barras de canto, participam apenas do equilíbrio longitudinal dos nós situados nas extremidades dos tre-chos de torção constante, onde ocorre a introdução dos esforços de torção, como são as extremidades da treliça. Os esforços nas barras longitudinais serão, portanto, constantes ao longo dos trechos em que os momentos de torção também forem constantes. Nas seções intermediárias em que sejam introduzidos esforços externos de torção, devem ser colocados diafragmas rígidos, a fim de evitar a flexão local da seção transversal das vigas vazadas.
12.4 Rigidez à torção
O comportamento típico de rotação das peças estruturais de concreto quan-do submetidas à torção está mostrado na Fig. (12.4-a).
Tmax
. \ f
I T (rriomenio de torção) peça não fissurada
peça fissurada *
t ruptura
Ty , escoamento da armadura
Tr | - l (estádio II) fissuração do concreto (estádio !)
do " dx
rotação relativa
i
Comportamento típico das peças submetidos ò torção Figuro (12.4-a)
Com a fissuração, a rigidez à torção diminui sensivelmente, tendendo a zero após o inicio do escoamento de suas armaduras.
Essa perda de rigidez após o início de escoamento da armadura faz com que sejam consideradas duas situações, a de torção de equilíbrio e a torção de compatibilidade, Fig. (12.4-b),
De modo geral, na concepção de estruturas de concreto, o emprego de sistemas estruturais cuja Integridade dependa da resistência e da rigidez de peças sub-metidas à torção, essas peças resistentes submetidas à torção são usualmente concebidas com seções celulares, particularmente nas estruturas protendidas.
Figura (12.4-0)
Quando a torção não for indispensável para a manutenção do equilíbrio, tem-se uma solicitação de torção de compatibilidade, em que a torção tende a desaparecer com a deformação das peças torcidas. Nesse caso, a torção poderá ser desprezada, se os elementos estruturais ligados às peças torcidas tiverem capacidade de acomodação plástica compatível com as rotações que serão sofridas pelas peças submetidas à torção.
Quando a torção for indispensável para o equilíbrio da estrutura, tem-se uma solicitação de torção de equilíbrio.
Na Fig. (12.4-c), apresentam-se dois ensaios cujos resultados mostram situa-ções de torção de compatibilidade em que, com o aumento do carregamento externo, ocorre a redistribuíção dos esforços solicitantes, em função da rela-ção entre a rigidez de flexão e a rigidez de torção das peças estruturais.
Observe que com o início da fissuração por torção, na estrutura em que a peça torcida CD tem a menor rigidez em relação à rigidez à flexão da viga AB, que suporta a carga externa, o aumento da carga não produz aumento sensível de torção. Trata-se de uma situação de torção de compatibilidade. Todavia, quan-
cstuutuhas PC ggNCFiETo
do ocorre o escoamento da armadura de flexão na seção em que se aplica a carga externa, a viga AB perde a capacidade de resistir a momentos fletores ainda maiores, e a situação de torção passa a ser de torção de equilíbrio, e o momento de torção volta à tendência de crescer.
O mesmo já não ocorre com a outra estrutura, pois aí a viga fletida é menos rígida, e aumento do momento de torção mostra que a torção continua sendo de equilíbrio.
Em casos análogos aos mostrados na Fig. (12.4-c), os trechos CB e BD sub-metidos à torção, quando tiverem comprimento menor ou igual ao dobro de sua altura [2h), devem ter a armadura mínima de torção e a força cortante atuante deve respeitar a condição Vm £
12.5 Torção de peças de concreto protendido
Em relação à resistência à torção, as peças de concreto protendido diferem das peças de concreto armado quanto às armaduras longitudinais de torção,
Na Fig, (12,5-a) está mostrada5 a comparação do comportamento de duas vi-gas equivalentes submetidas à torção, uma armada e outra protendida, com armaduras longitudinais com Igual resistência de início de escoamento.
Figure (12, $-,•>)
: estruturas otí cofcÇRrTo "Sepimto Ltmpu/t fí • CíU BULI FWi1 Ü W Q i T A M rim At S?,
Analisando esses resultados, verifica-se que as peças de concreto protendido podem ser tratadas como peças de concreto armado comum, submetidas à flexão simples. A ação de uma força normal somente pode ser considerada, de acordo com as regras do item 13.5, se houver uma força normal externa de natureza permanente, ou uma força normal hiperestática de protensâo.
CAPÍTULO 13 TORÇÃO EM REGIME DE RUPTURA
13.1 Torção pura
Com peças estruturais de seção geométrica convexa, admite-se o modelo resistente de treliça espacial com uma seção transversal vazada equivalente, A seção resistente equivalente de peças com seções transversais convexas cheias, ou vazadas com paredes de espessura efetiva h.f, è definida pela es-pessura hv da parede equivalente, sendo he á h.f, conforme mostrado na Fig, [13.1-a}» sendo:
(13.1-1)
h > 2c, (13.1-2)
onde A é a área total da seção cheia, u e o perímetro da seção convexa e C| é a distância entre o eixo da barra longitudinal de canto e a face lateral do elemento estrutural.
Seções convaxas cheios ou vaiados Figuro (13,1-9)
Com a seção resistente equivalente, admite-se o modelo de treliça generaliza-da, com bielas inclinadas de 30° a 45c em relação ao eixo da peça,
Com peças estruturais de seção geométrica aberta, composta por retângu-ios de lados a. e bf, com a( £6,, admíte-se o modelo resistente elástico de retânguios isolados, estudado no capítulo 10, distribuindo-se o momento de torção total de cálculo TSd pelos retânguios componentes em função da rigi-dez elástica de cada um deles, sendo
T 1 StU = T A (13.1-3)
Para que a peça submetida à ação isolada de um momento de torção TSil seja considerada segura, devem ser verificadas as seguintes condições:
T&j < TR(t i = resistência limite em função da compressão das diagonais de concreto;
TAi < TRíti - resistência limite em função da tração nos estribos perpendiculares ao eixo da peça;
T&l < Tj!(IA - resistência limite em função da tração nas barras longitudinais paralelas ao eixo da peça.
Na torção de equilíbrio, em que a torção é indispensável ao equilíbrio da es-trutura, as taxas mínimas de armadura transversal e de armadura longitudinal devem respeitar os limites mínimos de
Armadura longitudinal s a madura transversa! (Fig, (13.1-1})
13.2 Tensões nas bielas diagonais
De acordo com o que foi visto no capítulo 11, nas peças com seção transver-sal fechada de parede delgada, as tensões tangenciais t, na seção trans-versal devidas ao momento de torção T têm a direção da linha média do perfil, sendo dadas pela fórmula de Bredt, expressa por
(13.2-1)
onde v = T, é o valor constante da força de cisalhamento por unidade de comprimento ao longo da linha média do perfil, /?, é a espessura da parede resistente à torção, e 4,, por simplicidade no caso de estruturas de concreto, é considerada como a área total delimitada pela linha média da espessura resistente h, da seção transversal.
Na verificação da segurança em relação ã ruptura das bielas diagonais por compressão, é preciso lembrar que a resistência de cálculo ffíl=f(.Jyi. não considera o efeito deletério das cargas permanentes, que na flexão é considerado admitindo-se <t,(, ií511 = 0,85 flit. Nas vigas submetidas à torção, além desse efeito das cargas de longa duração, é preciso considerar que dificilmente as peças estarão solicitadas exclusivamente à torção, havendo normalmente a presença simultânea de momentos fletores e de forças cor-tantes. Por esses motivos, nos regulamentos normalizadores admitem-se valores reduzidos para a resistência à compressão do concreto.
Assim, a NBR 6118, na torção pura, admite para o concreto a resistência
c r < 1 M , = 0 , 5 0 a ( 1 3 . 2 - 2 )
onde
a , : = l - . / ; , / 2 5 0 ( 1 3 , 2 - 3 )
com 4, = fíif fyr em MPa.
De acordo com a fórmula de Bredt, na situação de cálculo, deve-se ter
Lt 2 A h .
T = í C T V - , , ~ 1 HJ2
e, de acordo com o que se mostra na Fig. (13.2-a),
T = 0tl(l4jÃt,í?sin45'COs45
donde
O...J =2T, (13.2-4)
ou seja
rif.lim S ^ - S t ^ (13.2-5)
isto é o /
^ = - ^ = 0,25 (13.2-6)
resultando
r . f l - 2 ^ (13.2-7)
Tcnsõos diagonais do comprassüo O = 4 5 c Figura f13.2-a)
No caso de bielas inclinadas do ângulo 0 em relação ao eixo da peça, Fig. (13.2-b), tem-se
= CT,.,^ (ocose)sin8
donde
2t, =
sin 26
ou seja
tun (13.2-8)
isto é
T, (13.2-9)
resultando
(13.2-10)
i 4
i i
/ ! T Tt
/ / '
/ t t
/ /
> /
/ /
V V Ç . í /
/ j - p y y .F VI V V/
> x c V 0C w0 1 ? / / / t
f t t 9
a cosO /
/ t t \ /
a t
/ /
Tensões diagonais do compressão 30° £(>£45° Figure (13,2-W
13.3 Tensões na armadura transversal
No caso de bielas inclinadas a 45", o equilíbrio dos nós intermediários da tre-liça espacial fornece a condição
sendo
(13.3-1)
"si ^stJswil
onde Aa é a área da seção transversal de 1 ramo do estribo, cujo afastamento entre eles é a distância s, resultando
Sl J tWti _ V
2 A
ou seja
2AJ: (13.3-2)
Tansóas na armadura trunsvonsu! Figura ft3,3*s)
No caso de bielas inclinadas pelo ângulo 0, a condição (13.3-1) transforma-se em
iiu - (h^s •sinÔ-)criCt-sin 0
com
2t , 0 , 0 sin 20
resultando
A . = ^ H / w cotg9
4,, = . , „ • ~-V (13.3-3)
Desse modo, a segurança em relação ao escoamento da armadura transver-sal é dada por
fs<i - I&n
sendo
T = ' Mi para G = 45( (13.3-4)
T = 1 Mi cot gQ no caso geral (13,3-5)
13.4 Tensões na armadura longitudinal
No caso de bielas inclinadas a 45°, Fig. (13,4-a), o equilíbrio de cada nó de extremidade é dado pela condição
ARciSco$45° = àRsl
da qual se obtém
N Ü V i
logo, conforme (13.2-4), sendo
Ah
resulta
tf = _ „ ,f 2A.
( 1 3 . 4 - 1 )
ou seja, na situação de cálculo tem-se
r 2 A - 4 T<t = AtpM ll
( 1 3 . 4 - 2 )
Tcnsõos no armadura longitudinal Figuro f173.4-3/
É importante observar que a armadura longitudinal deve ter uma distribuição equilibrada, Fig, (13.4-b), para que todas as suas barras tenham a mesma ten-são solicitante de tração.
Figura (13.4-b)
A condição de segurança TSd £ THitA pode então ser expressa pela equação
r < r - A / 1 Sii 1 RdA ^ n s i J s\ú (13.4-3)
onde Axl é a área total da seção transversal das barras da armadura longitudinal.
13.5 Torção composta
De acordo com a NBR 6118, para o dimensionamento são válidas as se-guintes regras para considerar a combinação da torção com outros esfor-ços solicltantes.
A r m a d u r a l o n g i t u d i n a l no b a n z o t r a c i o n a d o p o r f l e x ã o ,
Na zona tracionada pela flexão, a armadura longitudinal de torção deve ser acrescentada à armadura necessária para solicitações normais, consideran-do-se em cada seção os esforços que agem concomítantemente.
A r m a d u r a l o n g i t u d i n a l no b a n z o c o m p r i m i d o p o r f l e x ã o
Na zona comprimida pela flexão, a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em função dos esforços de compressão que atuam na espessura ht, e no comprimento Au correspondente à barra ou feixe de barras consideradas,
Tensões no banzo comprimido por flexão.
Nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas, que reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, parti-cularmente em vigas de seção celular, o valor de cálculo da tensão principal de compressão não deve superar o valor 0,85/^.
Essa tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de ten-sões, a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de fle-xão e da tensão tangencial de torção calculada por
^ = TJIAX
T e n s õ e s d e v i d a s à a ç ã o c o n c o m i t a n t e d e t o r ç ã o e f o r ç a - c o r t a n t e .
A inclinação das bielas da treliça plana resistente à força cortante, e a das bie-las da treliça espacial resistente à torção devem ser as mesmas.
T e n s õ e s d e c o m p r e s s ã o n a s b i e l a s d i a g o n a i s
A resistência à compressão diagonal do concreto deve ser satisfeita atenden-do à expressão
V T
V T r fui 'HUI
onde VSd e TSd são os esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção.
A r m a d u r a t r a n s v e r s a l d e t r a ç ã o
A armadura transversal pode ser determinada pela soma das armaduras cal-culadas separadamente para VSd e TS(l.
13.6 Flexo-torção
No caso de seções delgadas de forma qualquer, conforme foi analisado no item 10.9, admite-se que a torção provoque o empenamento da seção trans-versal.
A origem desse empenamento está ilustrada na Fig. (10,9-b).
Nos casos em que se pode considerar a existência simultânea tanto de tor-ção uniforme quanto de flexo-torção, o momento externo solicitante pode ser desdobrado em duas parcelas, cada uma correspondendo a uma das formas de torção, ou então, uma dessas formas pode ser desprezada quando se ad-mite uma capacidade adequada de acomodação plástica da estrutura, e que o mecanismo desprezado não tenha rigidez superior ao mecanismo conside-rado como o resistente.
A consideração de deformação por empenamento da seção transversal depen-de da rigidez à flexo-torçáo. Na falta de cálculo mais preciso, quando o perfil possuir paredes opostas paralelas ou aproximadamente paralelas que possam resistirá flexão em sentidos opostos, de acordo com a NBR 6118 {item 17.5-2) ela pode ser calculada pela expressão seguinte, referida à , Rg, (13.6-a):
T kml=— medido em [kN •mlrad),
sendo
onde
T = momento externo que provoca torção, suposto aplicado no meio do vão,
z - distância entre os eixos das paredes 1 e 2.
(} =
ü = rotação da seção, provocada pela flexão diferenciada das paredes 1 e 2.
t;, = flecha provocada pela flexão da parede 1 sob a atuação da força .F = T/z calculada com metade da rigidez elástica da parede.
eu = flecha provocada pela flexão da parede 2 sob a atuação da força F = T!z de sentido oposto à que se aplica à parede 1, calculada com metade da rigidez elástica da parede.
e b2 - larguras colaborantes na flexão das paredes 1 e 2, respectivamente, determinadas de acordo com os critérios usuais para a consideração das abas s allentes de peças fletidas.
De acordo com a NBR 6118, os valores de rigidez devem ser calculados con-siderando os efeitos da fissuração, podendo ser adotados 0,15 da rigidez elás-tica no caso da torção uniforme e 0,50 no caso da flexo-torção.
A resistência à flexo-torção do elemento estrutural pode ser calculada a partir da resistência à flexão das paredes opostas pela seguinte expressão
T =A F -s
sendo
^^t/.min = (j'üil ~ Jjnill
onde
Fkt, é a força transversal que esgota a resistência da parede isolada, sem o efeito de torção e FSlt é a parcela da força transversal total aplicada ao ele-mento estrutural, que cabe à parede isolada, sem o efeito da torção.
O valor AFfií,iniill é o menor entre as duas paredes consideradas.
Em toda sua generalidade, as construções feitas pelo homem são realizadas com diferentes elementos que precisam ser ligados entre si. A arte de construir estruturas adquiriu sua configuração atual com a invenção do rebite e do parafuso, que permitiu a união de partes metálicas, libertando com isso a criatividade dos construtores. O emprego dessas ligações exigiu o entendimento da distribuição de tensões de cisalhamento nas peças submetidas à flexão. Esse conhecimento somente surgiu em 1854, quando Jourawski apresentou seu clássico trabalho á Academia Russa cie Ciências.
Com o surgimento do concreto armado e posteriormente do concreto protendido, para garantir a segurança das estruturas foi necessário um pleno entendimento dos efeitos das solicitações tangenciais, forças cortantes e momentos de torção. Posteriormente, esse conhecimento precisou ser estendido a peças em regime de ruptura, para que fosse possível aplicar o método probabilista de segurança estrutural.
A criatividade dos construtores foi novamente desafiada pelos problemas de ligação das diferentes partes que compõem as estruturas. As construções agora exigem ligações de elementos tio mesmo material, aço e aço, concreto e concreto, e em todos os casos da construção civil, de materiais diferentes, aço e concreto. A solução tle todos esses problemas é obtida pelo entendimento dos efeitos das solicitações tangenciais.
Este livro aborda os principais aspectos cfesse tema em toda sua extensão, desde o regime elástico de materiais homogêneos, até os estados limites últimos de materiais heterogêneos.
08.1769-ECST