fundamentos teóricos da computação - ufam

EDUARDO F R E I R E NAKAMURA

I n s / t u t o d e C o m p u t a ç ã o U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d o A m a z o n a s

n a k a m u r a @ i c o m p . u f a m . e d u . b r

Conceitos Preliminares

Eduardo Freire Nakamura ([email protected]) Fundamentos de Teoria da Computação

1

1Este material baseia-se no capítulo 1 do livro: Vieira, N.J. Introdução aos Fundamentos da Computação: Linguagens e Máquinas, Pioneira Thomson Learning (atualmente, CENGAGE), 2006.

OB J E T I VO

R EV I SAR O S CONCE I TO S D E LÓG I CA FORMAL

Fundamentos de Teoria da Computação Eduardo Freire Nakamura ([email protected])

2

Lógica formal

Lógica Formal


3

�  Fornece bases para o método de pensar organizado;

�  Expressa métodos de raciocínio sob a forma de argumentos.

�  Tem duas aplicações diretas em Ciência da Computação 1.  Programação Lógica 2.  Prova se programas estão corretos ou não

�  É análoga à lógica de circuitos de um computador

Lógica Formal


4

�  Exemplos de uLlização em computação: ¡  Inteligência ArLficial; ¡  Circuitos Lógicos; ¡  Banco de Dados; ¡  Sistemas Computacionais (hardware e soWware) ¡  Sistemas Distribuídos; ¡  Teoria de autômatos e computabilidade; ¡  Teoria de linguagens;

Proposições


5

�  Uma proposição é uma sentença declaraLva, ou uma afirmação, que admite apenas um dos dois valores lógicos verdadeiro ou falso, nunca ambos

�  Proposições????? ¡  Manaus é a capital do Amazonas ¡  1 + 1 = 2 ¡  Como você está? ¡  9 < 6 ¡  Estudem regularmente ¡  Londres é na Dinamarca ¡  MatemáLca Discreta é fácil

Proposições


6

�  PROPOSIÇÕES ATÔMICAS não podem ser sub-‐divididas em proposições mais simples ¡  Ex: O servidor de arquivos está desligado

�  PROPOSIÇÕES COMPOSTAS são combinações de proposições atômicas via conecLvos lógicos ¡  Ex: A rede local está mal configurada ou o servidor de arquivos está

desligado ¡  O valor verdade é completamente determinado pelos valores-‐verdade das

subproposições junto com a forma que estão conectadas

Proposições


7

�  PROPOSIÇÕES ATÔMICAS são representadas por meio de variáveis proposicionais ¡  Variáveis proposicionais: (P, Q, R, S, . . .) ¡  Constantes proposicionais: (V, F) → (T, F)

�  Nas PROPOSIÇÕES COMPOSTAS, as variáveis proposicionais são combinadas através de pelo menos um operador ou conecLvo lógico

¡  Operadores lógicos são uLlizados para combinar proposições e formar novas proposições

ConecLvos Lógicos


8

�  Terminologia

¡  Negação: ¬ ¡  Conjunção (e): ∧ ¡  Disjunção (ou): ∨ ¡  Condicional: → ¡  Bicondicional: ↔ ¡  QuanLficação Universal: ∀ ¡  QuanLficação Existencial: ∃

ConecLvos Lógicos


9

�  Tabela da Verdade

�  Negação

Negação P ¬P

V F

F V

ConecLvos Lógicos


10


�  Conjunção

Conjunção P Q P∧Q

V V V

V F F

F V F

F F F

ConecLvos Lógicos


11


�  Disjunção

Disjunção P Q P∨Q

V V V

V F V

F V V

F F F

ConecLvos Lógicos


12


�  Condicional

Condicional P Q P→Q

V V V

V F F

F V V

F F V

ConecLvos Lógicos


13


�  Bicondicional

Bicondicional P Q P↔Q

V V V

V F F

F V F

F F V

QuanLficação


14

�  QuanLficação Universal ¡  ∀x P(x) ¡  P(x) é um predicado ¡  P(x) é verdadeiro para todo x

do universo

�  Exemplo ¡  Todo número natural par ao

quadrado é par

�  QuanLficação Existencial ¡  ∃x P(x) ¡  P(x) é um predicado ¡  P(x) é verdadeiro para algum x

do universo

�  Exemplo ¡  Existe um número natural que

ao quadro é igual a ele mesmo

AfirmaLva Válida (Tautologia)


15

�  Verdadeira para todos os valores verdades de suas sub afirmaLvas

�  Exemplos ¡  P∨¬P ¡  P → P ¡  P ∨ (P → Q) ¡  P(a) →∃x P(x)

¡  ∀x P(x) ↔ ¬∃x ¬P(x)

Contradição


16

�  Falsa para todos os valores-‐verdade de suas subafirmaLvas

�  Exemplos ¡  P∧¬P ¡  P ↔ ¬P ¡  (P ∧ (P → Q)) ∧ ¬Q

¡  P(a) ∧ ¬∃x P(x) ¡  ∀x P(x) ∧ ∃x ¬P(x)

Equivalência Lógica


17

�  Duas proposições P e Q são logicamente equivalentes (P ≡ Q), se ambas possuem tabelas-‐verdade idênLcas

�  Exemplos ¡  P∨Q ≡ Q∨P ¡  P ∨ (Q ∧ R) ≡ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) ¡  ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q ¡  P → Q ≡ ¬P ∨ Q ¡  P ↔ Q ≡ (P → Q) ∧ (Q → P) ¡  ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)

Regras de equivalência


18

Fórmula Lei P∨P ≡ P P∧P ≡ P Idempotência

(P∨Q)∨R ≡ P∨(Q∨R) (P∧Q)∧R ≡ P∧(Q∧R) AssociaLva

P∨Q ≡ Q∨P P∧Q ≡ Q∧P ComutaLva

(P∧Q)∨R ≡ (P∨R)∧(Q∨R) (P∨Q)∧R ≡ (P∧R)∨(Q∧R) DistribuLva

P∨F ≡ P P∨V ≡ V

P∧V ≡ P P∧F ≡ F IdenLdade

Regras de equivalência


19

Fórmula Lei P∨¬P ≡ V ¬V ≡ F

P∧¬P ≡ F ¬F ≡ V Complemento

¬¬P ≡ P Involução ¬(P∧Q) ≡ ¬P∨¬Q ¬(P∨Q) ≡ ¬P∧¬Q DeMorgan

P→Q ≡ ¬P∨Q Condicional

Regras de equivalência (resumo)


20

Fórmula Lei P∨P ≡ P P∧P ≡ P Idempotência

(P∨Q)∨R ≡ P∨(Q∨R) (P∧Q)∧R ≡ P∧(Q∧R) AssociaLva

P∨Q ≡ Q∨P P∧Q ≡ Q∧P ComutaLva

(P∧Q)∨R ≡ (P∨R)∧(Q∨R) (P∨Q)∧R ≡ (P∧R)∨(Q∧R) DistribuLva

P∨F ≡ P P∨V ≡ V

P∧V ≡ P P∧F ≡ F IdenLdade

P∨¬P ≡ V ¬V ≡ F

P∧¬P ≡ F ¬F ≡ V Complemento

¬¬P ≡ P Involução

¬(P∧Q) ≡ ¬P∨¬Q ¬(P∨Q) ≡ ¬P∧¬Q DeMorgan

P→Q ≡ ¬P∨Q Condicional

Consequência Lógica (Implicação Lógica)


21

�  P ⇒ Q, se Q é verdade sempre que P é verdade

�  Exemplos ¡  {P → Q, P} ⇒ Q ¡  {P → Q, ¬Q} ⇒ ¬P ¡  {P → Q, ¬P → Q} ⇒ Q ¡  {P → Q, Q → R} ⇒ P → R ¡  {P(a)} ⇒ ∃x P(x) ¡  {P(a), ∀x (P(x) → Q(x))} ⇒ Q(a)

Exemplos de regras de inferência


22

Modus ponens

P

P→Q

Q

FTC é fácil SE FTC é fácil, ENTÃO serei aprovado

serei aprovado



23

Modus ponens

P

P→Q

Q

Modus tollens

¬Q

P→Q

¬P

NÃO fui aprovado SE estudei, ENTÃO fui aprovado

NÃO estudei



24

Modus ponens

P

P→Q

Q

Modus tollens

¬Q

P→Q

¬P

Conjunção

P

Q

P∧Q

estudei fui aprovado

estudei E fui aprovado



25

Modus ponens

P

P→Q

Q

Modus tollens

¬Q

P→Q

¬P

Conjunção

P

Q

P∧Q

Adição

P

P∨Q

estudei estudei OU dormi



26

Modus ponens

P

P→Q

Q

Modus tollens

¬Q

P→Q

¬P

Conjunção

P

Q

P∧Q

Adição

P

P∨Q

Silogismo hipotéLco

P→Q

Q→R

P→R

SE estudar, ENTÃO FTC é fácil SE FTC é fácil, ENTÃO serei aprovado SE estudar, ENTÃO serei aprovado



27

Modus ponens

P

P→Q

Q

Modus tollens

¬Q

P→Q

¬P

Conjunção

P

Q

P∧Q

Adição

P

P∨Q


P↔Q

Q↔R

P↔R


P→Q

Q→R

P→R

estudo SE, E SOMENTE SE, quero passar quero passar SE, E SOMENTE SE, aprendo

estudo SE, E SOMENTE SE, aprendo



28

Modus ponens

P

P→Q

Q

Modus tollens

¬Q

P→Q

¬P

Conjunção

P

Q

P∧Q

Adição

P

P∨Q

Silogismo disjunLvo

P∨Q

¬Q

P


P↔Q

Q↔R

P↔R


P→Q

Q→R

P→R

estudei OU dormi NÃO dormi

estudei



29

Modus ponens

P

P→Q

Q

Modus tollens

¬Q

P→Q

¬P

Conjunção

P

Q

P∧Q

Adição

P

P∨Q

Silogismo disjunLvo

P∨Q

¬Q

P


P↔Q

Q↔R

P↔R


P→Q

Q→R

P→R

Exemplo


30

�  Você está saindo para a UFAM de manhã e percebe que não está usando os óculos. Ao tentar descobrir onde estão os óculos você começa a pensar sobre os seguintes fatos que são verdadeiros 1.  Se os meus óculos estão na mesa da cozinha então eu os vi no café da

manhã; 2.  Eu estava lendo o jornal na sala de estar ou eu estava lendo o jornal na

cozinha; 3.  Se eu estava lendo o jornal na sala de estar então meus óculos estão na mesa

do café; 4.  Eu não vi meus óculos no café da manhã; 5.  Se eu estava lendo um livro na cama então meus óculos estão no criado-‐

mudo; 6.  Se eu estava lendo o jornal na cozinha então meus óculos estão na mesa da

cozinha;

Exemplo


31

�  Você está saindo para a UFAM de manhã e percebe que não está usando os óculos. Ao tentar descobrir onde estão os óculos você começa a pensar sobre os seguintes fatos que são verdadeiros 1.   Se os meus óculos estão na mesa da cozinha então eu os vi no café da

manhã; P→Q 2.  Eu estava lendo o jornal na sala de estar ou eu estava lendo o jornal na

cozinha; 3.  Se eu estava lendo o jornal na sala de estar então meus óculos estão na mesa



cozinha;

Exemplo


32



cozinha; R∨S 3.  Se eu estava lendo o jornal na sala de estar então meus óculos estão na mesa



cozinha;

Exemplo


33



cozinha; R∨S 3.   Se eu estava lendo o jornal na sala de estar então meus óculos estão na mesa

do café; R→T 4.  Eu não vi meus óculos no café da manhã; 5.  Se eu estava lendo um livro na cama então meus óculos estão no criado-‐


cozinha;

Exemplo


34




do café; R→T 4.  Eu não vi meus óculos no café da manhã; ¬Q 5.  Se eu estava lendo um livro na cama então meus óculos estão no criado-‐


cozinha;

Exemplo


35




do café; R→T 4.  Eu não vi meus óculos no café da manhã; ¬Q 5.   Se eu estava lendo um livro na cama então meus óculos estão no criado-‐

mudo; U→X 6.  Se eu estava lendo o jornal na cozinha então meus óculos estão na mesa da

cozinha;

Exemplo


36

Fatos transformados em proposições 1. P→Q 2. R∨S 3. R→T 4. ¬Q 5. U→X 6. S→P

Variável Argumento P meus óculos estão na mesa da cozinha

Q eu os vi no café da manhã

R estava lendo o jornal na sala de estar

S eu estava lendo o jornal na cozinha

T meus óculos estão na mesa do café

U eu estava lendo um livro na cama

X meus óculos estão no criado-‐mudo

Exemplo


37


1. P→Q

4. ¬Q

Exemplo


38


1. P→Q

4. ¬Q

7. ¬P Modus tollens

Exemplo


39


1. P→Q

4. ¬Q


6. S→P

7. ¬P

Exemplo


40


1. P→Q

4. ¬Q


6. S→P

7. ¬P

8. ¬S Modus tollens

Exemplo


41


1. P→Q

4. ¬Q


6. S→P

7. ¬P


2. R∨S

8. ¬S

Exemplo


42

Fatos transformados em proposições 1. P→Q 2. R∨S 3. RàT 4. ¬Q 5. U→X 6. S→P

1. P→Q

4. ¬Q


6. S→P

7. ¬P


2. R∨S

8. ¬S

9. R Silogismo disjun@vo

9. R→T

8. R

Exemplo


43


1. P→Q

4. ¬Q


6. S→P

7. ¬P


2. R∨S

8. ¬S


9. R→T

8. R 10. T Modus Ponens

Exemplo


44


1. P→Q

4. ¬Q


6. S→P

7. ¬P


2. R∨S

8. ¬S


9. R→T

8. R 10. T Modus Ponens

Exemplo


45


Variável Argumento P meus óculos estão na mesa da cozinha

Q eu os vi no café da manhã

R estava lendo o jornal na sala de estar

S eu estava lendo o jornal na cozinha

T meus óculos estão na mesa do café

U eu estava lendo um livro na cama

X meus óculos estão no criado-‐mudo

OB J E T I VO

R EV I SAR A S P R INC I PA I S T É CN I CA S D E P ROVA D E T EOREMAS


46

Prova de teoremas

Prova de teoremas


47

�  Argumentação induLva ¡  Parte de dados da experiência para concluir que uma dada proposição,

provavelmente, é verdadeira ¡  Exemplo: se em várias situações, sempre que P é verdade, Q também é,

formula-‐se a conjectura P→Q

�  Argumentação induLva é uma prova?

Argumentação induLva


48

Considere o seguinte exemplo:

Seja o polinômio p(x) = x2 + x + 41, então ∀x ∈ N, p(x) é primo?

Verificando a conjectura observamos….

Parece verdade… Podemos assumir válida a conjectura?

Não, p(40) = 1681 não é um número primo, 1681 = 41*41!

x 0 1 2 3 … 20 … 39

p(x) 41 43 47 53 … 461 … 1601 Todos primos!

Outro caso…


49

Em 1769, Euler conjecturou que a4 + b4 + c4 = d4 não Lnha solução no conjunto dos números

inteiros posiLvos

http

://e

n.w

ikip

edia

.org

/wik

i/Le

onha

rd_E

uler

http

://w

ww

.log2

4.co

m/l

og/p

ix06

/060

410-

Elki

es3.

jpg

218 anos depois, em 1987, Noam Elkies provou que a conjectura era falsa, pois

95.8004 + 217.5194 + 414.5604 = 422.4814

Mais um…


50

�  Conjectura: 313(x3+y3) = z3 não tem solução no conjunto dos inteiros posiLvos ¡  Falso, mas o menor contra-‐exemplo tem mais de 1000 dígitos ¡  O computador mais “poderoso” não seria capaz de obter essa solução

usando uma estratégia exausLva

O úlLmo teorema de Fermat


51

�  Pierre de Fermat (1601/1607 – 1665) ¡  Advogado e, nas horas vagas, matemáLco ¡  Contribuições

÷  Cálculo infinitesimal

÷  Teoria dos números

÷  Gemoetria analíLca

÷  Probabilidade

÷  ÓLca

¡  Já como advogado …

http

://e

n.w

ikip

edia

.org

/wik

i/Pi

erre

_de_

Ferm

at



52

�  Em 1637, ele escreveu o “úlLmo teorema de Fermat”, como uma nota parLcular nas margens da obra ArithmeLca, escrita pelo matemáLco grego Diophantus 300 anos A.C.

“É impossível separar um cubo em dois cubos, ou uma quarta potência em duas quartas potências, ou em geral, qualquer potência maior que dois, em duas potências da mesma ordem. Eu descobri uma prova maravilhosa para este problema,

mas não cabe nesta margem”

�  Fermat morreu em 1665 sem revelar a sua maravilhosa prova!

Não existem inteiros posiLvos a, b, c e n, com n > 2 que saLsfaçam an = bn + cn



53

�  Andrew Wiles provou o teorema em 1995* ¡  Trabalho de sete anos de pesquisa ¡  ArLgo de 108 páginas ¡  Introdução, cinco capítulos, mais apêndice

http

://e

n.w

ikip

edia

.org

/wik

i/W

iles'_

proo

f_of

_Fer

mat

's_La

st_T

heor

em

*http://en.wikipedia.org/wiki/Wiles'_proof_of_Fermat's_Last_Theorem

Fermat's Last Theorem: The story of a riddle that confounded the world's greatest minds for 358 years Simon Singh

Um caso em aberto…


54

�  Conjectura de Goldbach (1690–1764) ¡  07/06/1742 carta para Euler

¡  “Todo inteiro par maior que 2 é a soma de dois primos”

¡  Verificada até 4x1018 (04/04/2012)*

¡  Para valores entre 4x1018 e ∞ ?

*www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html

Imagem: h�p://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach's_conjecture

Por quê?


55

�  Por que esses problemas são importantes? ¡  Achar soluções para tais equações é importante na área de curvas elípLcas ¡  Curvas elípLcas são importantes no estudo de fatoração de inteiros

“grandes” ¡  Fatorar inteiros “grandes” é importante no estudo de sistemas

criptográficos ¡  Criptografia é a base de todos os sistemas seguros de comunicação

atualmente!

Prova de teoremas


56

�  Argumentação induLva ¡  Apenas para conjecturar

�  Argumentação deduLva ¡  Garante que se todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão

também o será; ¡  Exemplo: demonstrar P→Q (de conjectura, torna-‐se teorema); ¡  Duas opções

1.  Provar o teorema

2.  Encontrar um contra-‐exemplo

Prova de teoremas


57

�  Contra-‐exemplo ¡  Apenas um é sufiente para provar a falsidade ¡  Se um contra-‐exemplo não for encontrado, não há garanLas de que a

conjectura é verdadeira

�  Encontre um contra-‐exemplo para a conjectura ¡  Para todo inteiro posiLvo n, n! ≤ n2 ¡  Todo inteiro menor que 10 é maior do que 5

O que fazer quando não é possível encontrar um contra-‐exemplo?

Solução: Buscar uma prova

O que é uma prova?


58

�  Em Ciência, a verdade surge da experimentação

�  Na Lei, a verdade é avaliada por um julgamento e decidida por um juíz ou um júri

�  Em MatemáLca temos a prova ¡  Argumentação que mostra, de maneira indiscu�vel, que uma afirmação é

verdadeira ¡  As provas matemáLcas são estruturadas cuidadosamente e escritas em

uma forma esLlizada

Exemplo


59

�  Hipótese

�  Todos números ímpares maiores que 1 são primos

�  MatemáLco

�  3 é primo, 5 é primo, 7 é primo, mas 9 = 3*3, não é primo. Portanto, a hipótese é falsa!

Exemplo


60

�  Hipótese


�  Físico experimental

�  3 é primo, 5 é primo, 7 é primo, mas 9 não é primo, 11 é primo, 13 é primo. Portanto, 9 deve ser um erro experimental, e assim, a hipótese é verdadeira!

Exemplo


61

�  Hipótese


�  Advogado

�  Senhores e senhoras do júri: não há dúvida que números ímpares são primos. A evidência é clara: 3 é primo, 5 é primo, 7 é primo, 9 é primo, 11 é primo, e assim por diante!

Obje/vo: Provar que P→Q


�  Abordagem ¡  Mostrar que P→Q para

todos os elementos do domínio individualmente

¡  O domínio deve ser um conjunto finito

Prova:

Sim, pois: ¡  12 = 1 ≤ 10 + 5(1) = 15 ¡  22 = 4 ≤ 10 + 5(2) = 20 ¡  32 = 9 ≤ 10 + 5(3) = 25 ¡  42 = 16 ≤ 10 + 5(4) = 30 ¡  52 = 25 ≤ 10 + 5(5) = 35

62

Técnicas de prova: demonstração exausLva

Para qualquer inteiro posi@vo menor ou igual a 5, o quadrado do inteiro é menor ou igual à soma de 10 mais 5 vezes o inteiro?

Demonstração



�  Abordagem ¡  Mostrar que P→Q para

todos os elementos do domínio individualmente

¡  O domínio deve ser um conjunto finito

�  Exemplo A

Prova:

Não, pois 72 = 49 é maior que 10 + 5(7) = 45!

Há outros contra-‐exemplos?

É preciso mostrar mais de um?

63

Técnicas de prova: falsidade por contra-‐exemplo

Para qualquer inteiro posi@vo, o quadrado do inteiro é menor ou igual à soma de 10 mais 5 vezes o inteiro?

Demonstração



�  Abordagem P→Q ¡  Supor P (hipótese) ¡  Derivar Q (tese)

�  Exemplo A

Prova:

P (hipótese): x e y são inteiros pares

Q (tese): xy é um inteiro par

Sejam os inteiros pares x = 2m e y = 2n, onde m,n ∈ Z. Portanto, xy = (2m)(2n) = 2(2mn). Como 2mn é um inteiro, xy é um inteiro par.

64

Técnicas de prova: direta

Prove que o produto de dois inteiros pares é par.

Demonstração



�  Abordagem P→Q ¡  Supor P (hipótese) ¡  Derivar Q (tese)

�  Exemplo B

Prova:

P (hipótese): x = 6k, k ∈ Z

Q (tese): 2x = 4m, m ∈ Z

Seja x = 6k, tal que k ∈ Z. Portanto, 2x = 2(6k) = 4(3k). Como 3k é inteiro, 2x é um inteiro divisível por 4.

65

Técnicas de prova: direta

Se um inteiro é divisível por 6, então duas vezes esse inteiro é divisível por 4.

Demonstração



�  Abordagem ¬Q→¬P ¡  Supor ¬Q (hipótese) ¡  Derivar ¬P (tese)

�  Exemplo A

Prova:

¬Q (hipótese): x é par

¬P (tese): x2 é par

Seja x = 2k, tal que k ∈ Z. Portanto, x2 = (2k)2 = 2(2k2) . Como k2 é um inteiro, x2 é um inteiro par. Logo, se o quadrado de um inteiro é ímpar, então o inteiro tem que ser ímpar.

66

Técnicas de prova: pela contraposiLva

Se o quadrado de um inteiro é ímpar, então o inteiro tem que ser ímpar.

Demonstração



�  Abordagem ¬Q→¬P ¡  Supor ¬Q (hipótese) ¡  Derivar ¬P (tese)

�  Exemplo B

Prova:

¬Q (hipótese): a ou b divisíveis por k

¬P (tese): ab divisível por k

Caso 1. Sejam a = mk e b, tais que m, k, b ∈ Z. Assim, ab = k(bm). Como bm é inteiro, ab é um inteiro divisível por k.

Caso 2. Sejam b = nk e a, tais que a, n, k ∈ Z. Assim, ab = k(an). Como mb é inteiro, ab é um inteiro divisível por k.

67

Técnicas de prova: pela contraposiLva

Se o produto de dois inteiros a e b não é divisível por um inteiro k, então os dois inteiros a e b não são divisíveis por k.

Demonstração



�  Abordagem ¡  Supor P∧¬Q (hipótese) ¡  Derivar F, contradição (tese)

�  Exemplo A

Prova:

Hipótese: x+x = x , x ≠ 0

Tese: F, uma contradição

Seja x um inteiro. Por hipótese, x + x = x, ou seja, x = x – x e, portanto, x = 0. Mas por hipótese, x ≠ 0, uma contradição.

68

Técnicas de prova: por contradição

Se um inteiro somado a ele mesmo é igual a ele mesmo, então esse número é 0.

Demonstração



�  Abordagem ¡  Supor P∧¬Q (hipótese) ¡  Derivar F, contradição (tese)

�  Exemplo B

Prova:

Hipótese: a, b ímpares, ab par

Tese: F, uma contradição

Sejam a = 2m+1 e b = 2n+1, tais que m, n ∈ Z. Portanto, ab = (2m+1)(2n+1) = 2(2mn + m + n) + 1. Como, m e n são inteiros, ab é um inteiro ímpar. Mas por hipótese, ab é par, uma contradição.

69

Técnicas de prova: por contradição

O produto de dois inteiros ímpares não é par.

Demonstração

Exercício


70

Prove as seguintes proposições 1.  Se n é um inteiro par, 4 ≤ n ≤ 12, então n é uma soma de dois números

primos 2.  A soma de um inteiro par com um inteiro ímpar é ímpar. 3.  O produto de dois inteiros ímpares é ímpar. 4.  O produto de dois inteiros consecuLvos é par. 5.  Se a e b são números reais, tais que 0 < a < b, então a2 < b2.

OB J E T I VO

R EV I SAR O S CONCE I TO S BÁ S I CO S D E CON JUNTOS


71

Conjuntos

Conjuntos


72

�  Conjunto é uma abstração matemáLca que visa capturar o conceito de coleção ¡  Lista não ordenada de

elementos ou membros ¡  {1, 2} = {2, 1}

�  Notação ¡  a ∈ A: a pertence ao conjunto A ¡  a ∉ A: a não pertence ao

conjunto A

�  Exemplos ¡  {PAA, FTC, AED, IHC, ICC} ¡  {7, PAA, {1}, {FTC, 3, 4}}

Tipos de conjuntos e conjuntos importantes


73

�  Conjunto vazio: ∅

�  Conjunto unitário

�  Conjunto finito e infinito

�  N: números naturais

�  Z: números inteiros

�  R: números reais

�  Q: números racionais

�  Notações ¡  { x | P(x) }

÷  Exemplo: { k | k = 2n+1 e n ∈ N }

¡  { x ∈ A|P(x) }

÷  Exemplo: { k ∈ R | 0 ≤ k ≤ 1 }

Relações básicas entre conjuntos


74

Subconjunto: A ⊆ B se, e somente se, ∀x (x ∈ A → x ∈ B) Subconjunto próprio: A ⊂ B se, e somente se, A ⊆ B e A≠B

•  ∅ ⊆ A •  ∅ ⊂ A se A ≠ ∅ •  ∅ ⊄ ∅

•  N ⊂ Z •  N ⊆ Z+ •  R ⊄ N

Operações sobre conjuntos


75

h�p://nameson

node

s.org/ns/m

ath/2009/im

ages/set-‐ope

raLo

ns.png

União

A ∪ B = { x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) }

Interseção

A ∩ B = { x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) }

Diferença

A \ B = { x | (x ∈ A) ∧ (x ∉ B) }

Definição Exemplos


Dois conjuntos A e B são disjuntos se, e somente se, A ∩ B = ∅

�  {1,2,3} e {5,4,9}

�  ∅ e N

�  A\B e B\A

�  N e Z−

76

Conuntos disjuntos

A B

Algumas idenLdades


77

�  IdenLdades sobre conjuntos

¡  A ∩ B = B ∩ A

¡  A ∪ B = B ∪ A

¡  A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

¡  A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

¡  (A = B) ↔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)

Interseção de n conjuntos

União de n conjuntos

União e interseção generalizadas


78

Aii=1

n

∪ = A1∪A2∪"∪An

Aii=1

n

∩ = A1∩A2∩"∩An

ParLção


79

Par/ção de um conjunto

Uma parLção de A é um conjunto de subconjuntos de A dado por {B1, B2, …, Bn} tal que •  Bi ≠ ∅, para 1 ≤ i ≤ n; •  Bi∩ Bj = ∅, para 1 ≤ i < j ≤ n; •  ∪1≤i≤n Bi = A

Definição Exemplo


Conjunto potência de A, denotado por P (A) é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A

P (A) = { X | X ⊆ A}

Que conjunto é P ({1,2,3}) ?

{ ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} }

Se |A| denota o tamanho de A, qual é o valor de |P (A)|?

|P (A)| = 2|A|

80

Conjunto potência

Definição Exemplos


�  Produto cartesiano entre dois conjuntos A e B, denotado por A×B é formado pelo conjunto de pares ordenados (a,b) tais que a ∈ A e b ∈ B, ou seja,

�  ∅ × {1,2} = ∅

�  {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

�  |A × B| = |A|.|B|, se A e B finitos

�  An = A × A × ... × A (n vezes)

81

Produto cartesiano

A×B = { (a,b) | a ∈ A ∧ b ∈ B }

OB J E T I VO

R EV ER O S CONCE I TO S D E R E LAÇÃO E FUNÇÃO


82

Relação e função

Definição informal Exemplos


�  O que significa relacionar dois objetos? ¡  Comparar dois objetos segundo

uma regra definida ¡  Relação é uma comparação

entre dois “objetos”

�  MatemáLca ¡  “Menor do que” ¡  “Maior do que” ¡  “É paralelo à” ¡  “É um subconjunto de”

83

O que é uma relação?

Definição formal Exemplo


�  Relação binária: R ⊆ A × B

¡  Domínio: A ¡  Contradomínio: B ¡  Imagem: { y | (x,y) ∈ R para algum x }

�  Notação

�  Relação binária: < ⊆ N × N

¡  Domínio: N ¡  Contradomínio: N ¡  Imagem: N – {0}

{ y | (x,y) ∈ R para x menor que y }

84

O que é uma relação?

Relação de n argumentos sobre A1, A2, …, An

Subconjunto de A1 × A2 × … × An

(x,y) ∈ R ou x R y

Tipos de relações binárias


85

A B A B

A B A B

um-‐para-‐um

muitos-‐para-‐um

muitos-‐para-‐muitos

um-‐para-‐muitos

Propriedades de uma relação


86

Quais as propriedades das relações abaixo?

�  > sobre N

Reflexiva, Simétrica, TransiLva?

�  ≥ sobre N


�  ⊆ sobre P (N)


�  = sobre N


Inversa de R R-‐1 = { (y,x) | (x,y)} ∈ R }

Propriedades de uma relação binária R ⊆ A × A

-  Reflexiva: ∀x ∈ A, xRx -  Simétrica: ∀x,y ∈ A, (xRy à yRx)

-  TransiLva: ∀x,y,z ∈ A, (xRy ∧ yRz) à xRz

Reflexiva, Simétrica, TransiLva




-  (x,y) ∈ f é o mesmo que f(x) = y

-  f é indefinida para x, se não existe y tal que f(x) = y

-  Função total definida ∀x no domínio

-  Função f: A1 ×…× An→ B de n argumentos

Definição Exemplo


87

Função

Função parcial Uma função f: A→B é uma relação f ⊆ A×B, tal que

se (x,y) ∈ f e (x,z) ∈ f, então y = z

Função Total Parcial

+ : N × N → N

* : N × N → N

÷ : N × N → N

÷ : N × Z+ → N

✗

✗

✗

✗

Definição Exemplo


88

Funções compostas

Composição de duas funções g e f

g ! f = g f (x)( )

f : Z→N, !tal!que!f (x) = x +1

g :N→ Z, !tal!que!g(x) = 2− x

g ! f : Z→ Z, !tal!queg ! f( )(x) = g x +1( ) = 2− x +1( ) =1− x

f ! g :N→N, !tal!quef ! g( )(x) = f 2− x( ) = 2− x +1

Tipos de funções


89

Tipos de funções Uma função total f : A à B pode ser

1.  Injetora

∀x,y ∈ A, [ x ≠ y → f(x) ≠ f(y) ] Exemplo: f : N à N, tal que f(x) = x + 1

2.  Sobrejetora

∀y ∈ B, ∃x ∈ A, f(x) = y , ou seja, B é a imagem de f Exemplo: f : R → R+ ∪ {0}, tal que f(x) = x2

3.  Bijetora f é injetora e sobrejetora Exemplo: f : R → R, tal que f(x) = x3

OB J E T I VO

D E F I N I R E A PR ENDER A R E CONHEC ER CON JUNTOS ENUMERÁVE I S E NÃO ENUMERÁVE I S


90

Conjuntos enumeráveis

Conjunto enumerável


91

�  Tamanho de um conjunto finito A

¡  Representado por |A| ¡  Corresponde ao número de elementos em A

�  Dados A = {1,2,3,4,5} e B = {a,b,c,d,e,f,g,h}

¡  Quem é maior A ou B? ¡  |A| = 5, |B| = 8

�  E se A e B são infinitos? Como compara-‐los?

¡  Quem é maior N ou Z? ¡  Quem é maior Z ou R?

http://www.kaninekisses.com/sitebuilder/images/great_dane_and_chihuahua-325x245.png



92

-  Se card(A) = n, tal que n ∈ N, ou ainda, card(A) = |A|, então A é finito

-  A é infinito se existe X ⊂ A, tal que card(X) = card(A)

Cardinalidade

Dois conjuntos A e B, possuem mesma cardinalidade, card(A) = card(B), se existe uma função bijetora de A para B

Conjunto enumerável e conjunto contável

-  Um conjunto A é dito enumerável, se card(A) = card(N)

-  Um conjunto A é dito contável, se A é finito ou enumerável



93

A é enumerável se existe uma bijeção f : N → A, ou uma bijeção f : A → N

Cardinalidade







94

Se A é enumerável, então seus elementos podem ser colocados em sequência

Cardinalidade





Um exemplo


95

Z− à −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12 … −∞

N à 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … ∞

Z+ ∪ {0} à 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … ∞


A é enumerável se existe uma bijeção f : N → A, ou uma bijeção f : A → N

Um exemplo


96

Z− à −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12 … −∞

N à 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … ∞

Z+ ∪ {0} à 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … ∞

-  N ⊂ Z, na verdade, Z = N ∪ Z− , então quem é maior? -  Existe uma função bijetora de Z para N? -  Qual sequência é possível formar?

??

Z− à −1 −2 -‐3 −4 -‐5 −6 −7 ...

N à 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ...

Z+ ∪ {0} à 0 1 2 3 4 5 6 ...

Um exemplo


97

-  N ⊂ Z, na verdade, Z = N ∪ Z− , então quem é maior? -  Existe uma função bijetora de Z para N? -  Qual sequência é possível formar?

Z colocado em uma sequência possível

N à 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ...

Z à 0 −1 1 −2 2 −3 3 −4 4 −5 5 −6 6 −7 ...

Um exemplo


98


Um exemplo


99

f :N→ Z, !tal!que,

f (x) =

x2, se!x !é!par

−x +12, se!x !é!ímpar

#

$%%

&%%

N à 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ...

Z à 0 −1 1 −2 2 −3 3 −4 4 −5 5 −6 6 −7 ...


Mais um exemplo


100

�  O racionais posiLvos Q+ é enumerável? ¡  Q+ = { a/b | a ∈ N+ ∧ b ∈ N+ } ¡  Considere a função

f : Q+ → N, bijetora, que mapeia a/b em um natural

f(a,b) b

1 2 3 4 5 …

a

1 0 1 3 6 10 …

2 2 4 7 11 …

3 5 8 12 …

4 9 13 …

5 14 … N

… …

Mais um exemplo


101



f(a,b) b

1 2 3 4 5 …

a

1 0 1 3 6 10 …

2 2 4 7 11 …

3 5 8 12 …

4 9 13 …

5 14 … N

… …

N à 0

Q+ à 1/1

Mais um exemplo


102



f(a,b) b

1 2 3 4 5 …

a

1 0 1 3 6 10 …

2 2 4 7 11 …

3 5 8 12 …

4 9 13 …

5 14 … N

… …

N à 0 1

Q+ à 1/1 1/2

Mais um exemplo


103



f(a,b) b

1 2 3 4 5 …

a

1 0 1 3 6 10 …

2 2 4 7 11 …

3 5 8 12 …

4 9 13 …

5 14 … N

… …

N à 0 1 2

Q+ à 1/1 1/2 2/1

Mais um exemplo


104



f(a,b) b

1 2 3 4 5 …

a

1 0 1 3 6 10 …

2 2 4 7 11 …

3 5 8 12 …

4 9 13 …

5 14 … N

… …

N à 0 1 2 3

Q+ à 1/1 1/2 2/1 1/3

Mais um exemplo


105



f(a,b) b

1 2 3 4 5 …

a

1 0 1 3 6 10 …

2 2 4 7 11 …

3 5 8 12 …

4 9 13 …

5 14 … N

… …

N à 0 1 2 3 4

Q+ à 1/1 1/2 2/1 1/3 2/2

Mais um exemplo


106



f(a,b) b

1 2 3 4 5 …

a

1 0 1 3 6 10 …

2 2 4 7 11 …

3 5 8 12 …

4 9 13 …

5 14 … N

… …

N à 0 1 2 3 4 5

Q+ à 1/1 1/2 2/1 1/3 2/2 3/1

Mais um exemplo


107



f(a,b) b

1 2 3 4 5 …

a

1 0 1 3 6 10 …

2 2 4 7 11 …

3 5 8 12 …

4 9 13 …

5 14 … N

… …

N à 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ...

Q+ à 1/1 1/2 2/1 1/3 2/2 3/1 1/4 2/3 3/2 4/1 1/5 2/4 3/3 4/2 ...

f (a b) =a+ b−1( ) a+ b− 2( )

2+ a−1( )

Teorema facilitador Propriedades


As seguintes afirmações são equivalentes

¡  A é contável ¡  Existe uma função injetora de A

para N ¡  A = ∅ ou existe uma função

sobrejetora de N para A

�  Se A é contável, então X ⊆ A é contável

�  Se A e B são contáveis, então A×B é contável

�  Se A e B são contáveis, então A∪B é contável

*Demonstre estas propriedades como exercício.

108

Mais sobre conjuntos contáveis

E os números reais?


109

�  O conjunto dos números reais é contável?

¡  Não, não é possível enumerar todos os números reais

�  A prova, por contradição, foi proposta por Cantor em 1891 (Diagonal de Cantor)

h�p://en

.wikiped

ia.org/w

iki/G

eorg_C

antor

Diagonal de Cantor


110

1.  Suponha que R é contável

2.  Considere o conjunto R’ = { x ∈ R | 0 < x < 1 }

3.  Note que R’ ⊆ R, portanto, se R é contável, então R’ é contável

4.  Existe uma bijeção f : R’ → N que representa todos elementos de R’ como uma lista

N R’

0 r0 = 0 , d00 d01 d02 d03 …

1 r1 = 0 , d10 d11 d12 d13 …

2 r2 = 0 , d20 d21 d22 d23 …

3 r3 = 0 , d30 d31 d32 d33 …

… …

Diagonal de Cantor


111

4.  Existe uma bijeção f : R’ → N que representa todos elementos de R’ como uma lista

N R’

0 r0 = 0 , d00 d01 d02 d03 …

1 r1 = 0 , d10 d11 d12 d13 …

2 r2 = 0 , d20 d21 d22 d23 …

3 r3 = 0 , d30 d31 d32 d33 …

… …

dij ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Por exemplo, se

r0 = 0 , 1 0 2 4 9 2…

então d00 = 1, d01 = 0, d02 = 2, d03 = 4, …

Diagonal de Cantor


112

5.  Agora é preciso construir um número que não esteja listado abaixo

N R’

0 r0 = 0 , d00 d01 d02 d03 …

1 r1 = 0 , d10 d11 d12 d13 …

2 r2 = 0 , d20 d21 d22 d23 …

3 r3 = 0 , d30 d31 d32 d33 …

… …

Considere o número a = 0,a0a1a2a3... tal que

ai = 9 – dii

Diagonal de Cantor


113


N R’

0 r0 = 0 , d00 d01 d02 d03 …

1 r1 = 0 , d10 d11 d12 d13 …

2 r2 = 0 , d20 d21 d22 d23 …

3 r3 = 0 , d30 d31 d32 d33 …

… …

a = 0 , a0 a1 a2 a3 …


ai = 9 – dii

Diagonal de Cantor


114


N R’

0 r0 = 0 , d00 d01 d02 d03 …

1 r1 = 0 , d10 d11 d12 d13 …

2 r2 = 0 , d20 d21 d22 d23 …

3 r3 = 0 , d30 d31 d32 d33 …

… …

≠ a = 0 , a0 a1 a2 a3 …

(d00 ≠ a0) → (a ≠ r0)


ai = 9 – dii

Diagonal de Cantor


115


N R’

0 r0 = 0 , d00 d01 d02 d03 …

1 r1 = 0 , d10 d11 d12 d13 …

2 r2 = 0 , d20 d21 d22 d23 …

3 r3 = 0 , d30 d31 d32 d33 …

… …

≠ ≠ a = 0 , a0 a1 a2 a3 …

(d11 ≠ a1) → (a ≠ r1)


ai = 9 – dii

Diagonal de Cantor


116


N R’

0 r0 = 0 , d00 d01 d02 d03 …

1 r1 = 0 , d10 d11 d12 d13 …

2 r2 = 0 , d20 d21 d22 d23 …

3 r3 = 0 , d30 d31 d32 d33 …

… …

≠ ≠ ≠ a = 0 , a0 a1 a2 a3 …

(d22 ≠ a2) → (a ≠ r2)


ai = 9 – dii

Diagonal de Cantor


117


N R’

0 r0 = 0 , d00 d01 d02 d03 …

1 r1 = 0 , d10 d11 d12 d13 …

2 r2 = 0 , d20 d21 d22 d23 …

3 r3 = 0 , d30 d31 d32 d33 …

… …

≠ ≠ ≠ ≠ a = 0 , a0 a1 a2 a3 …

(d33 ≠ a3) → (a ≠ r3)


ai = 9 – dii

Diagonal de Cantor


118


N R’

0 r0 = 0 , d00 d01 d02 d03 …

1 r1 = 0 , d10 d11 d12 d13 …

2 r2 = 0 , d20 d21 d22 d23 …

3 r3 = 0 , d30 d31 d32 d33 …

… …

≠ ≠ ≠ ≠ …

a = 0 , a0 a1 a2 a3 …

∀i ∈ N, (dii ≠ ai) → (a ≠ ri)


ai = 9 – dii

Diagonal de Cantor


119

6.  Assim, a ∈ R’ não está mapeado na bijeção f : R’ → N, uma contradição. Portanto, R’ não é contável. N R’

0 r0 = 0 , d00 d01 d02 d03 …

1 r1 = 0 , d10 d11 d12 d13 …

2 r2 = 0 , d20 d21 d22 d23 …

3 r3 = 0 , d30 d31 d32 d33 …

… …

≠ ≠ ≠ ≠ …

a = 0 , a0 a1 a2 a3 …

∀i ∈ N, (dii ≠ ai) → (a ≠ ri)

Logo, a ∈ R’, mas não está na lista com, supostamente, todos os

elementos de R’, uma contradição !?


ai = 9 – dii

Diagonal de Cantor


120

7.  Como, R’ ⊆ R não é contável, R também não é contável.

N R’

0 r0 = 0 , d00 d01 d02 d03 …

1 r1 = 0 , d10 d11 d12 d13 …

2 r2 = 0 , d20 d21 d22 d23 …

3 r3 = 0 , d30 d31 d32 d33 …

… …

≠ ≠ ≠ ≠ …

a = 0 , a0 a1 a2 a3 …

∀i ∈ N, (dii ≠ ai) → (a ≠ ri)

Logo, a ∈ R’, mas não está na lista com, supostamente, todos os

elementos de R’, uma contradição !?


ai = 9 – dii

Outro exemplo


121

�  Considere o conjunto F de todas as funções totais f : N → N

�  F é finito? ¡  Infinito! ¡  Prove como exercício

�  F é enumerável? ¡  Não! ¡  É incontável

Prova por contradição usando a diagonal de Cantor

Outro exemplo


122

1.  Suponha que F é contável

2.  Existe uma bijeção g : F → N que ordena os elementos de F como uma lista

g N

0 1 2 3 …

F

f0 f0(0) f0(1) f0(2) f0(3) …

f1 f1(0) f1(1) f1(2) f1(3) …

f2 f2(0) f2(1) f2(2) f2(3) …

f3 f3(0) f3(1) f3(2) f3(3) … …

…

…

…

…

Outro exemplo


123

3.  É preciso encontrar uma função total h : N→N, tal que h ∈ F mas não está na lista abaixo

g N

0 1 2 3 …

F

f0 f0(0) f0(1) f0(2) f0(3) …

f1 f1(0) f1(1) f1(2) f1(3) …

f2 f2(0) f2(1) f2(2) f2(3) …

f3 f3(0) f3(1) f3(2) f3(3) … …

…

…

…

…

Outro exemplo


124


g N

0 1 2 3 …

F

f0 f0(0) f0(1) f0(2) f0(3) …

f1 f1(0) f1(1) f1(2) f1(3) …

f2 f2(0) f2(1) f2(2) f2(3) …

f3 f3(0) f3(1) f3(2) f3(3) … …

…

…

…

…

h h(0) h(1) h(2) h(3) …

Considere h : N→N, tal que

h(i) = fi(i) + 1

Outro exemplo


125


g N

0 1 2 3 …

F

f0 f0(0) f0(1) f0(2) f0(3) …

f1 f1(0) f1(1) f1(2) f1(3) …

f2 f2(0) f2(1) f2(2) f2(3) …

f3 f3(0) f3(1) f3(2) f3(3) … …

…

…

…

…

≠ h h(0) h(1) h(2) h(3) …

( h(0) ≠ f0(0) ) → ( h ≠ f0 )


h(i) = fi(i) + 1

Outro exemplo


126


g N

0 1 2 3 …

F

f0 f0(0) f0(1) f0(2) f0(3) …

f1 f1(0) f1(1) f1(2) f1(3) …

f2 f2(0) f2(1) f2(2) f2(3) …

f3 f3(0) f3(1) f3(2) f3(3) … …

…

…

…

…

≠ ≠ h h(0) h(1) h(2) h(3) …

( h(1) ≠ f1(1) ) → ( h ≠ f1 )


h(i) = fi(i) + 1

Outro exemplo


127


g N

0 1 2 3 …

F

f0 f0(0) f0(1) f0(2) f0(3) …

f1 f1(0) f1(1) f1(2) f1(3) …

f2 f2(0) f2(1) f2(2) f2(3) …

f3 f3(0) f3(1) f3(2) f3(3) … …

…

…

…

…

≠ ≠ ≠ h h(0) h(1) h(2) h(3) …

( h(2) ≠ f2(2) ) → ( h ≠ f2 )


h(i) = fi(i) + 1

Outro exemplo


128


g N

0 1 2 3 …

F

f0 f0(0) f0(1) f0(2) f0(3) …

f1 f1(0) f1(1) f1(2) f1(3) …

f2 f2(0) f2(1) f2(2) f2(3) …

f3 f3(0) f3(1) f3(2) f3(3) … …

…

…

…

…

≠ ≠ ≠ ≠ h h(0) h(1) h(2) h(3) …

( h(3) ≠ f3(3) ) → ( h ≠ f3 )


h(i) = fi(i) + 1

Outro exemplo


129


g N

0 1 2 3 …

F

f0 f0(0) f0(1) f0(2) f0(3) …

f1 f1(0) f1(1) f1(2) f1(3) …

f2 f2(0) f2(1) f2(2) f2(3) …

f3 f3(0) f3(1) f3(2) f3(3) … …

…

…

…

…

≠ ≠ ≠ ≠ …

h h(0) h(1) h(2) h(3) …

∀i ∈ N, ( h ≠ fi )


h(i) = fi(i) + 1

Outro exemplo


130

4.  Logo, h ∈ F, mas não está mapeada por g : F → N, uma contradição. Portanto, F não é contável.

g N

0 1 2 3 …

F

f0 f0(0) f0(1) f0(2) f0(3) …

f1 f1(0) f1(1) f1(2) f1(3) …

f2 f2(0) f2(1) f2(2) f2(3) …

f3 f3(0) f3(1) f3(2) f3(3) … …

…

…

…

…

≠ ≠ ≠ ≠ …

h h(0) h(1) h(2) h(3) …


h(i) = fi(i) + 1

∀i ∈ N, ( h ≠ fi )

Logo, h ∈ F, mas não está na lista com, supostamente, todos os

elementos de F, uma contradição !?

Exercício de fixação


131

�  Mostre que os conjuntos abaixo são enumeráveis (encontre uma bijeção sobre os naturais) 1.  Z+ = {1, 2, 3, 4, …} 2.  N \ {1, 2, 3} 3.  Naturais Pares 4.  Naturais Ímpares 5.  Inteiros Pares

�  Mostre que os conjuntos abaixo não são enumeráveis 1.  P (N) 2.  O conjunto B de todas as sequências infinitas de 0’s ou 1’s

OB J E T I VO

A PR ENDER A D E F I N I R CON JUNTOS R E CURS I VAMENTE

A PR ENDER A P ROVAR P ROPR I EDADE S SOBRE O S I N T E I ROS U SANDO I NDUÇÃO MATEMÁT I CA


132

Recursividade e Indução MatemáLca

Definição


133

O que é uma definição recursiva?

Definição Recursiva do Conjunto A

a)  Base: especificação de B ⊂ A

b)  Passo Recursivo: como obter elementos de A a parLr de outros elementos de A

c)  Fechamento: só pertencem a A, os elementos obLdos através dos passos (a) ou (b).

Definição


134






Definição


É possível definir recursivamente qualquer conjunto enumerável!

135






Definição Exemplo 01: Números naturais


136






Definição Exemplo 01: Números naturais


Definição

a)  0 ∈ N

b)  Se n ∈ N, então n + 1 ∈ N

c)  Só pertencem a N, os números gerados usando (a) ou (b).

137






Definição Exemplo 02: Fatorial


Definição – fat : N → N

a)  fat(0) = 1

b)  ∀n ∈ N, fat(n+1) = n * fat(n−1)

c)  implícito

138






Definição Exemplo 03: Exponencial an


Definição – an : N → N

a)  a0 = 1

b)  ∀n ∈ N, an+1 = a × an

c)  implícito

139






Definição Exemplo 04: Ling. Proposicional


Definição – Ling. proposicional (LP)

a)  Toda a variável lógica está na LP

b)  Se P e Q, estão na LP, então também estão na LP:

¡  ¬P ¡  P∧Q ¡  P∨Q ¡  P→Q ¡  P↔Q

c)  implícito

140






Indução matemáLca


141

h�p://meangreenmath.files.wordpress.com/2013/08/dominoes.jpg

Nono axioma de Giuseppe Peano


�  Se K é um conjunto tal que 1.  0 (zero) está pertence a K 2.  Para todo natural k

÷  Se k está conLdo em K,

÷  Então o sucessor de k está em K

�  Então K contém todos os números naturais

142

Princípio da indução

h�p://en

.wikiped

ia.org/w

iki/G

iusepp

e_Pe

ano

Reformulando...


�  Se P é um predicado tal que

1.  P(0) é verdade 2.  ∀k ∈ N, P(k) → P(k+1)

�  Então, P(n) é verdadeiro para todo n ∈ N

143


h�p://en

.wikiped

ia.org/w

iki/G

iusepp

e_Pe

ano

Reformulando...


�  Se P é um predicado tal que

1.  P(0) é verdade 2.  ∀k ∈ N, P(k) → P(k+1)

�  Então, P(n) é verdadeiro para todo n ∈ N

144


É possível provar propriedades para conjuntos enumeráveis usando

indução matemáLca!

Definição Estrutura de demonstração


Princípio da indução faca Se

①  P(0)* ②  ∀n, P(n) → P(n+1)

Então ü  ∀n, P(n)

1.  Provar P(0) (caso base)

2.  Seja n ≥ 0 abitrário

3.  Suponha P(n) (hipótese de indução)

4.  Provar P(n+1)

5.  Concluir ∀n, P(n)

Os passos (2) a (4) são chamados de passo induLvo

145

Princípio da indução fraca

*Primeiro elemento do conjunto, não necessariamente 0 (zero)

Exemplo 01


146


Prove que para todo n ∈ Z+, temos que a soma 1 + 3 + 5 +…+ (2n–1) = n2.

1.  Caso base n = 1 ¡  1 = 12 (divisível por 3)

2.  Passo induLvo ¡  Hipótese:

S(n) = 1+3+5+…+(2n – 1) = n2

¡  Tese:

S(n+1) = 1+3+5+…+(2n–1)+[2(n+1) – 1] = (n+1)2

S(n+1) = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-‐1) + [2(n+1) – 1]

S(n) + [2(n+1) – 1]

n2 + [2(n+1) – 1]

n2 + [2n + 2 – 1]

n2 + 2n + 1

(n + 1)2 Por definição

S(n) = 1 + 3 + 5 +…+ (2n – 1)

Exemplo 01


147





S(n) = 1+3+5+…+(2n – 1) = n2

¡  Tese:

S(n+1) = 1+3+5+…+(2n–1)+[2(n+1) – 1] = (n+1)2

S(n+1) = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-‐1) + [2(n+1) – 1]

= S(n) + [2(n+1) – 1]

n2 + [2(n+1) – 1]

n2 + [2n + 2 – 1]

n2 + 2n + 1

(n + 1)2 Por hipótese de indução

S(n) = n2

Exemplo 01


148





S(n) = 1+3+5+…+(2n – 1) = n2

¡  Tese:

S(n+1) = 1+3+5+…+(2n–1)+[2(n+1) – 1] = (n+1)2

S(n+1) = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-‐1) + [2(n+1) – 1]

= S(n) + [2(n+1) – 1]

= n2 + [2(n+1) – 1]

n2 + [2n + 2 – 1]

n2 + 2n + 1

(n + 1)2

Exemplo 01


149





S(n) = 1+3+5+…+(2n – 1) = n2

¡  Tese:

S(n+1) = 1+3+5+…+(2n–1)+[2(n+1) – 1] = (n+1)2

S(n+1) = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-‐1) + [2(n+1) – 1]

= S(n) + [2(n+1) – 1]

= n2 + [2(n+1) – 1]

= n2 + [2n + 2 – 1]

n2 + 2n + 1

(n + 1)2

Exemplo 01


150





S(n) = 1+3+5+…+(2n – 1) = n2

¡  Tese:

S(n+1) = 1+3+5+…+(2n–1)+[2(n+1) – 1] = (n+1)2

S(n+1) = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-‐1) + [2(n+1) – 1]

= S(n) + [2(n+1) – 1]

= n2 + [2(n+1) – 1]

= n2 + [2n + 2 – 1]

= n2 + 2n + 1

(n + 1)2

Exemplo 01


Logo, para todo n ∈ Z+, temos que 1 + 3 + 5 +…+ (2n–1) = n2.

151





S(n) = 1+3+5+…+(2n – 1) = n2

¡  Tese:

S(n+1) = 1+3+5+…+(2n–1)+[2(n+1) – 1] = (n+1)2

S(n+1) = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-‐1) + [2(n+1) – 1]

= S(n) + [2(n+1) – 1]

= n2 + [2(n+1) – 1]

= n2 + [2n + 2 – 1]

= n2 + 2n + 1

= (n + 1)2

Exemplo 02


Logo, para todo n ∈ Z+, o número 22n – 1 é divisível por 3

152


Prove que para todo n ∈ Z+, o número 22n – 1 é divisível por 3.

1.  Caso base n = 1 ¡  22(1) – 1 = 4 – 1 = 3 (divisível por 3)

2.  Passo induLvo

¡  Hipótese: 22n – 1 = 3m, para m,n ∈ Z+ ¡  Tese: 22(n+1) – 1 = 3k

22(n+1) – 1 = 22n+2 – 1

22n (22) – 1

22n (4) – 1

(3m+1)(4) – 1

3m(4) + 4 – 1

3(4m) + 3

3(4m + 1)

Exemplo 02



153




2.  Passo induLvo


22(n+1) – 1 = 22n+2 – 1

22n (22) – 1

22n (4) – 1

(3m+1)(4) – 1

3m(4) + 4 – 1

3(4m) + 3

3(4m + 1)

Exemplo 02



154




2.  Passo induLvo


22(n+1) – 1 = 22n+2 – 1

= 22n (22) – 1

22n (4) – 1

(3m+1)(4) – 1

3m(4) + 4 – 1

3(4m) + 3

3(4m + 1)

Exemplo 02



155




2.  Passo induLvo


22(n+1) – 1 = 22n+2 – 1

= 22n (22) – 1

22n (4) – 1

(3m+1)(4) – 1

3m(4) + 4 – 1

3(4m) + 3

3(4m + 1)

Exemplo 02



156




2.  Passo induLvo


22(n+1) – 1 = 22n+2 – 1

= 22n (22) – 1

22n (4) – 1

22n (3 + 1) – 1

3(22n) + 22n – 1

3(22n) + 3m

3(22n + m)

Exemplo 02



157




2.  Passo induLvo


22(n+1) – 1 = 22n+2 – 1

= 22n (22) – 1

22n (4) – 1

22n (3 + 1) – 1

3(22n) + 22n – 1

3(22n) + 3m

3(22n + m)

Por hipótese de indução:

22n – 1 = 3m

Exemplo 02



158




2.  Passo induLvo


22(n+1) – 1 = 22n+2 – 1

= 22n (22) – 1

22n (4) – 1

22n (3 + 1) – 1

3(22n) + 22n – 1

3(22n) + 3m

3(22n + m)

Exemplo 02



159




2.  Passo induLvo


22(n+1) – 1 = 22n+2 – 1

= 22n (22) – 1

22n (4) – 1

22n (3 + 1) – 1

3(22n) + 22n – 1

3(22n) + 3m

3(22n + m)

k = (22n + m) ∈ Z+

Exemplo 02


Logo, para todo n ∈ Z+, o número 22n – 1 é divisível por 3.

160




2.  Passo induLvo


22(n+1) – 1 = 22n+2 – 1

= 22n (22) – 1

22n (4) – 1

22n (3 + 1) – 1

3(22n) + 22n – 1

3(22n) + 3m

3(22n + m)

Definição Estrutura de demonstração


Princípio da indução faca Se ①  [P(0) ∧ P(1) ∧...∧ P(k)] → P(k+1)*

Então ü  ∀n, P(n)

1.  Seja n ≥ 0 abitrário

2.  Suponha ∀k < n, P(k) (hipótese de indução)

3.  Provar P(k+1)

4.  Concluir ∀n, P(n)

161

Princípio da indução forte

*Primeiro elemento do conjunto, não necessariamente 0 (zero)

Exemplo 01


Caso 1: (k+1) é primo

Neste caso (k+1) = (k+1)(1), produto de dois primos.

162


Prove que todo n > 1 ∈ Z+ pode ser escrito como o produto de números primos.

1.  Caso base n = 2 ¡  2 = 2(1) (produto de dois primos)

2.  Passo induLvo

¡  Hipótese: todo 2 ≤ r ≤ k , pode ser escrito como o produto de primos

¡  Tese: (k + 1) pode ser escrito como o produto de primos

Exemplo 01


Caso 2: (k+1) não é primo

Se (k+1) não é primo, então (k+1) é composto, ou seja,

(k+1) = ab, tal que 2 ≤ a ≤ b ≤ k.

Por hipótese, todo 2 ≤ r ≤ k , é o produto de primos.

Logo, a e b podem ser escrito como produtos de números primos.

Portanto, (k+1) também pode!

163


Prove que todo n > 1 ∈ Z+ pode ser escrito como o produto de números primos.

1.  Caso base n = 2 ¡  2 = 2(1) (produto de dois primos)

2.  Passo induLvo

¡  Hipótese: todo 2 ≤ r ≤ k , pode ser escrito como o produto de primos

¡  Tese: (k + 1) pode ser escrito como o produto de primos

Exemplo 02


Por hipótese, temos que ¡  (k – 3) pode ser escrito como a

soma de 4’s e 5’s ¡  Afinal, 12 ≤ (k – 3) ≤ k.

Note que (k + 1) = (k – 3) + 4.

Portanto, (k + 1) também pode ser escrito como a soma de 4’s e 5’s.

164


Prove que todo n ≥ 12 ∈ Z+ pode ser obLdo somando-‐se 4’s e 5’s.

1.  Caso base n = 12, 13, 14, 15 ¡  12 = 4 + 4 + 4 13 = 4 + 4 + 5 ¡  14 = 4 + 5 + 5 15 = 5 + 5 + 5

2.  Passo induLvo ¡  Hipótese: todo 12 ≤ r ≤ k é a soma de

4’s e 5’s, onde k ≥ 15 ¡  Tese: (k + 1) é a soma de 4’s e 5’s

Exercícios de fixação


165

1.  Prove que para todo n ∈ Z+ temos que .

2.  Prove que que 11n − 6 é divisível por 5 qualquer n ∈ Z+.

3.  Prove que todo n ≥ 8 ∈ Z+ pode ser obLdo somando-‐se 3’s e 5’s.

4.  A função de Fibonacci é dada por .

Prove que .

2ii=0

n

∑ = 2n+1 −1

F(n) =0, !se!n = 01, !se!n =1

F(n−1)+F(n− 2), !se!n ≥ 2

#

$%

&%

F(n) = 151+ 52

!

"#

$

%&

n

−1− 52

!

"#

$

%&

n(

)

**

+

,

--

fundamentos teóricos da computação - ufam

Education