fundamentos de introdução - resistência dos materiais 2
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA
ESCOLA POLITÉCNICA
PROGRAMA DE MOBILIZAÇÃO DA INDÚSTRIA NACIONAL DE PETRÓLEO E GÁS
NATURAL– PROMINP
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENGENHARIA NAVAL E OFFSHORE – CENO
FUNDAMENTOS PARA INTRODUÇÃO À ENGENHARIA NAVAL
PROFESSOR – ALEXANDRE DE MACÊDO WAHRHAFTIG
NOTAS DE AULA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Salvador/BA
SUMÁRIO
1. Introdução ........................................................................................................................... 3
2. Divisão dos sistemas estruturais ......................................................................................... 3
3. Esforços solicitantes ........................................................................................................... 5
3.1. Convenção de sinais ................................................................................................... 6
3.2. Diagramas ................................................................................................................... 7
3.3. Exercícios: .................................................................................................................. 8
4. Tensões e deformações ....................................................................................................... 9
5. Analise de tensões ............................................................................................................ 13
5.1. Estado plano de tensões ............................................................................................ 13
5.2. Diagrama circular de Mohr....................................................................................... 14
5.3. Concentração de tensões ........................................................................................... 15
6. Exercícios propostos ......................................................................................................... 20
6.1. Reações de apoio ...................................................................................................... 20
6.2. Esforços Solicitantes ................................................................................................ 21
6.3. Esforço Axial ............................................................................................................ 22
6.4. Esforço Cortante ....................................................................................................... 24
6.5. Análise de tensões .................................................................................................... 24
6.6. Torção ....................................................................................................................... 25
6.7. Flexão ....................................................................................................................... 26
6.8. Exercícios Diversos .................................................................................................. 28
Referências bibliográficas ........................................................................................................ 31
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
1. Introdução
O Objetivo principal do estudo da Resistência dos Materiais é proporcionar ao engenheiro
os meios para analisar e projetar máquinas e estruturas. Tanto a análise quanto o projeto
envolvem a determinação das tensões e deformações produzidas sobre os elementos
estruturais e, para tanto, vale-se dos princípios da Mecânica Clássica. Ao estudar corpos em
equilíbrio pertence ao capítulo da Mecânica dos Corpos Rígidos e ao estabelecer um conjunto
de formulações para as deformações sofridas por um corpo, penetra no campo da Mecânica
dos Sólidos Deformáveis.
Resumidamente, podem ser citadas as motivações para o desenvolvimento da Resistência
dos Materiais:
1) O desenvolvimento industrial moderno se baseia nos princípios e nas leis da ciência
pura,
2) teoria e experimentação formaram a base do progresso da ciência,
3) necessidade de dotar-se o engenheiro de uma formação teórica profunda,
4) o método da observação empírica mostrava-se lento quando comparado ao princípio
científico,
5) necessidade de eliminar-se soluções empíricas,
6) o aumento do custo e do tamanho das estruturas exigiu construções suficientemente
fortes e projetadas para a maior economia possível de material,
7) o período da Segunda Guerra Mundial marca o aparecimento de novas tecnologias e
materiais,
8) o estudo da Resistências dos Materiais cria a Teoria Matemática da Elasticidade.
2. Divisão dos sistemas estruturais
Segundo o aparelho de apoio e as solicitações, os sistemas estruturais podem ser classificados
em:
Hipostáticos: São sistemas nos quais os número de equações de equilíbrio da Estática é maior
que o número de incógnitas, ou reações, a serem determinadas. Esses sistemas só
permanecem em equilíbrio sob condições particulares e qualquer alteração nessas condições
põe o sistema em movimento.
B
P
AL
Figura 1 – Viga biapoiada com dois apoios móveis.
Isostáticos: São sistemas cujas reações podem ser calculadas pelas condições de equilíbrio da
Estática, ou seja, o número de equações é igual ao número de incógnitas a serem
determinadas.
LA
P
B
Figura 2 – Viga biapoiada com um apoios móvel e outro fixo.
A
P
L
P
q
A
a
b
Figura 3 – Vigas e quadros engastados.
Hiperestáticos: São sistemas para os quais as equações de equilíbrio da Estática são
insuficientes para determinar as reações, ou seja, o número de equações é menor que o
número de incógnitas a serem determinadas. Esses sistemas são divididos segundo o grau de
indeterminação que possuem
Hiperestático de grau 1:
A B
t
Figura 4 – Viga biengastada com variação
térmica.
Hiperestático de grau 1:
LA B
P2P1
Figura 5 – Viga com dois apoios fixos.
Hiperestático de grau 2:
L
A
B
P1 P2
Figura 6 – Viga engastada e com apoio fixo.
Hiperestático de grau 3:
P2P1
B
A
L
Figura 7 – Viga biengastada.
A Resistência dos Materiais estuda os sistemas isostáticos e os hiperestáticos de grau 1, para
os quais fornece a equação que permite determinar as reações de apoio.
3. Esforços solicitantes
Os esforços solicitantes podem ser classificados em função dos efeitos que produzem em
relação a uma seção transversal de uma barra. Esses efeitos são a translação e a rotação, que
são os movimentos que podem apresentar uma determinada seção. As forças são as
responsáveis pelos movimentos de translação, enquanto que os momentos são os responsáveis
pelos movimentos de rotação.
Portanto, um sistema de forças qualquer, que satisfaça às equações universais da Estática,
atuando sobre um corpo rígido, provocará nele o aparecimento de esforços que, analisados
segundo seu eixo e uma seção que lhe é perpendicular, podem ser definidos como esforços
simples e classificados como:
Esforço Normal: É o somatório de todas as forças que atuam de um lado ou do outro lado
da seção considerada, projetas de forma perpendicular a ela. O esforço normal tende a
comprimir ou tracionar a seção, logo, o efeito que produz é relativo ao movimento de
translação na direção do eixo.
Esforço Cortante: Para a determinação do esforço cortante é preciso realizar o somatório
de todas as forças que atuam de uma lado ou do outro lado da seção considerada, projetadas
de forma paralela à seção. O esforço cortante age no sentido de cisalhar ou cortar a peça.
Portanto, o efeito que produz é relativo ao movimento de translação na direção transversal ao
eixo.
Momento Fletor: O momento fletor é o agente que tende a fletir ou encurvar o eixo da
barra, ou melhor, tende a afastar a seção do ângulo de 90º que possui com o eixo. Para sua
determinação é preciso somar os momentos produzidos por todas as forças que atuam por um
lado ou pelo outro lado da seção considerada
Momento Torsor: O efeito produzido pelo momento torsor é o de fazer a seção girar no
seu próprio plano, ou melhor, ou pontos matérias que pertencem à seção transversal realizam
um deslocamento em torno do eixo da barra. Para a determinação do momento de torção é
preciso somar os momentos produzidos por todas as forças que atuam por um lado ou pelo ou
lado da seção considerada, em relação ao eixo perpendicular a seu plano.
Assim que, Esforço Solicitante é o agente que tende a produzir uma deformação. Essas
deformações são:
1) Alongamento,
2) encurtamento,
3) corte (distorção),
Efeitos de Translação
4) flexão (giro),
5) torção (giro), Efeitos de Rotação
Uma observação importante que deve ser feita refere-se ao fato de que para determinação
dos esforços solicitantes deve-se tomar um lado ou outro da seção que se está considerando,
nunca os dois lados ao mesmo tempo.
Devido a isso, faz-se necessário introduzir uma convenção de sinais que permita obter o
mesmo resultado independentemente do lado observado.
3.1. Convenção de sinais
Esforço Normal:
Seção considerada
N N`Eixo
+
Tração
-
EixoN`N
Seção considerada
Compressão
Figura 8 – Convenção de sinais – Esforço Normal.
Esforço Cortante:
+
Eixo
V`
V
Seção considerada
Sentido horário
-Seção considerada
V
V`
Eixo
Sentido anti-horário
Figura 9 – Convenção de sinais – Esforço Cortante.
Momento Fletor:
+
EixoM`M
Seção considerada
Traciona as fibras inferiores
Seção considerada
M M`Eixo
-
Traciona as fibras superiores
Figura 10 – Convenção de sinais – Momento Fletor.
Momento Torsor:
+
EixoT`T
Seção considerada
n n
Coincide com a normal externa
-
nnT T`Eixo
Seção considerada
Contrária à normal externa
Figura 11 – Convenção de sinais – Esforço Torsor.
3.2. Diagramas
Uma vez que já se conhece a convenção de sinais, é possível traçar os diagramas dos esforços
solicitantes, possibilitando perceber a maneira como variam ao longo de qualquer sistema
estrutural.
Diagrama do Esforço Normal (DEN)
A
B
C60 kgf
30 kgf
+
DEN (kgf)
60
6090
90
22 kN7 kN
20 kN 5 kN
20 20
27 27
5 5+
DEN (kN)
Figura 12 – Diagrama do Esforço Normal.
Diagrama do Esforço Cortante (DEC) e do Momento Fletor (DMF)
Figura 13 – Diagrama do Momento Fletor.
Diagrama do Esforço Torsor:
20 kNm 7 kNm 22 kNm 5 kNm
DET (kNm)
+20 20
55
2227
Figura 14 – Diagrama do Esforço Torsor.
3.3. Exercícios:
Determinar os esforços solicitantes nas seções indicadas.
2 m
4 kN
A
0,5
m1 m
1 m
B C
5 kN
Estrutura 1 -
Estrutura 2 -
Estrutura 3 –
4,5 kN
60°5 m
A
B
4. Tensões e deformações
Esforço normal:
As tensões devidas ao esforço normal são de natureza axial do tipo:
N
A , (1)
com N sendo o esforço normal atuante e A a área da seção transversal.
Figura 15 – Tensão normal.
As deformações, por sua vez são calculadas pela Lei de Hooke:
NL
EA , (2)
onde N é o esforço normal atuante, L é o comprimento da barra, E é o módulo de elasticidade
do material e A a área da seção transversal.
Figura 16 – Deformação axial.
A expressão (2) se presta ao cálculo de sistemas indeterminados, para os quais faz-se
necessário a utilização de uma equação de compatibilidade para resolvê-lo.
Como N
A e
L
, a expressão anterior toma a forma de
E , (3)
Ex.: A barra rígida ABC é suspensa por três cabos idênticos, como indicado. Determinar a
tração em cada cabo, causada pela carga P aplicada na extremidade.
Figura 17 – Sistema estaticamente indeterminado.
Esforço cortante:
As tensões devidas ao esforço cortante são de natureza tangencial ou cisalhante, do tipo:
V
A , (4)
com V sendo o esforço normal cortante e A a área da seção transversal. A expressão anterior
pode ser usada para o cálculo de ligações parafusadas, coladas, rebitadas.
Figura 18 – Corte simples.
Figura 19 – Corte duplo.
Para o caso flexão simples, esforço cortante e momento fletor as tensões devem ser
calculadas pela expressão geral
VQ
bI , (5)
onde V é o esforço cortante na seção considerada, Q é o momento estático ou de primeira
ordem, b é base cisalhada e I o momento de inércia da seção em relação ao baricentro.
Figura 20 –Cisalhamento na flexão.
Para o trecho de comportamento linear, há proporcionalidades entre tensões e
deformações:
G , (6)
onde G é o módulo de elasticidade transversal e é distorção ou deformação angular
produzida pelo esforço cortante.
Momento Fletor:
As tensões produzidas pelo momento fletor são de natureza axial, podendo ser calculas
pela expressão
My
I , (7)
na qual M é o momento fletor atuante na seção considerada, y é a posição em que se deseja
calcular a tensão, na seção transversal, em relação ao seu baricentro.
Figura 21 – Tensões na flexão.
Os encurtamento ou alongamentos das fibras longitudinais podem ser calculadas pela lei
de Hooke. As flechas e rotações sofridas pelo eixo e pela seção transversal, podem ser obtidas
pela expressão aproximada da linha elástica, onde as condições de contorno fornecerão as
constantes de integração de cada caso. O estudo das deformações em vigas compõem estudo a
parte.
2
2
d y M(x)
EIdx (8)
Momento Torsor:
As tensões produzidas pelo momento torsor são de natureza tangencial. São por
T
J
, (9)
onde T é o Torque ou momento torsor, é distância polar considerada, na seção transversal e
J é o momento de inércia polar.
Figura 22 – Tensões na torção.
A expressão abaixo está restrita à seção circular, pois as demais seções sofrem
empenamento.
TL
GJ , (10)
onde é o ângulo girado, T o esforço torsor, G o módulo de elasticidade transversal e J o
momento de inércia polar.
Figura 23 – Giro de uma seção circular na torção.
Figura 24 – Seção sem empenamento (a); Seção
com empenamento (b).
É importante recordar que tensão envolve o conceito diferencial, na forma
dF
dA ou ainda
A 0
Flim
A
(11)
representado que a tensão é calculada em relação a um ponto específico.
5. Analise de tensões
Os esforços solicitantes podem atuar simultaneamente em um dado sistema. Nessa caso a
superposição dos efeitos produzidos por cada esforço conduz a um Estado de Tensões que não
pode ser calculado pela expressões simples mencionadas anteriormente, havendo a
necessidade do desenvolvimento de ferramentas apropriadas.
5.1. Estado plano de tensões
Tome-se o elemento em estado plano de tensões presente na superfície de um elemento
estrutural:
xyx
y
yx
Figura 25 –Estado plano de tensões.
O equilíbrio do elemento em estado plano leva às seguintes expressões para o cálculo
das tensões em planos oblíquos que formam um ângulo :
2 2
x y xycos ( ) sen ( ) sen(2 )
, (12)
x y
xysen(2 ) cos(2 )
2
, (13)
Para o cálculo das máximas tensões é preciso derivar as expressões anteriores em
relação a e igualar a zero, o que leva a
2
x y x y 2
max xymin 2 2
, (14)
2
x y 2
max xymin 2
, (15)
As tensões axiais máximas e mínimas são chamadas de tensões principais e as de
cisalhamento de extremas.
Uma alternativa ao cálculo das tensões principais e extremas de cisalhamento é por meio
do emprego do diagrama circular de Mohr.
5.2. Diagrama circular de Mohr
X
Y
(0,0)
A B C D E
y
yx
xy
x
O
Figura 26 – Diagrama circular de Mohr.
Onde a tensão máxima é dada pelo segmento OE e a tensão mínima pelo segmento AO.
As tensões de cisalhamento extremas são obtidas pelo segmento AC ou CE. Ressalta-se que o
diagrama deve ser traçado em escala. Os ângulos do diagrama valem o dobro do ângulo para o
estado plano de tensões correspondente.
Exercício: Dado o estado plano de tensões extraído da superfície de um elemento estrutural,
calcular as tensões principais e extremas e os planos principais
5.3. Concentração de tensões
Princípio de Saint-Venant
(Adhemar Barré de Saint-Venant, matemático e engenheiro Francês, 1797-1886)
Fenômeno presente em furos
Concentração de tensões
Em furos circulares
Em frisos
Coeficientes de concentração de tensões para barras chatas sob carregamento axial, M.M.
Froncht, “Estudos fotoelásticos de concentração de tensões”, Mecanical Engineering, 1936.
Exemplo:
Aço com y = 250 MPa.
Calcular a força P que inicia o escoamento da peça.
Calcular a máxima força P que pode ser aplicada.
Dados: y 250MPa y 0.25kN
mm2
D 40mm r 8mm t 2mm
Solução:
d D 2r d 24mm A d t
D
d1.667
r
d0.333
k 1.58
No início da plastificação:
med
y
k Pe med A Pe 7.595kN
med 158.228MPa med 0.158kN
mm2
Com a peça completamente plastificada (força máxima)
med y Pmax A y Pmax 12kN
Modelando a chapa pelo Método dos Elementos Finitos:
Tensão média
Concentração de tensões
6. Exercícios propostos
6.1. Reações de apoio
6.1.1. Caule as reações de apoio das estruturas a seguir
6.2. Esforços Solicitantes
6.2.1. Determine os esforços solicitantes nas seções indicadas
6.3. Esforço Axial
6.3.1. Uma barra supostamente rígida está suspensa por dois cabos que a mantém em posição
horizontal sob a ação da força conhecida P. Determinar a posição desta carga, sabendo-se que
a barra deverá permanecer na horizontal.
6.3.2. Determine a intensidade da força P para que a tensão normal seja a mesma em ambas
as barras cilíndricas.
6.3.3. Determinar as dimensões da seção transversal de uma viga de madeira BC e da barra
de aço AB da estrutura ABC, carregada em B, sendo a tensão admissível para a madeira
tomada igual a 11 kgf/cm² e para o aço igual a 700 kgf/cm². A carga é de 3000 kgf.
6.3.4. Calcular o esforço na barra A
6.3.5. Um tubo de aço (σE = 28 kgf/mm²) deve suportar uma carga de compressão de 125 tf
com coeficiente de segurança contra o escoamento de 1,8. Sabendo que a espessura da parede
do tubo é 1/8 de diâmetro, calcular o diâmetro externo mínimo.
6.3.6. Três primas de mesmo material (E = 300.000 kgf/cm²; ν = 0,2) com iguais alturas e
seções transversais estão sujeitas a cargas axiais conforme se indica nas figuras ABC.
Determine o valor da carga P que produz um encurtamento de 0,5 mm na aresta vertical do
prisma.
6.3.7. Uma barra composta de suas porções cilíndricas AB e BC é engastada em ambas as
extremidades. A porção AB é de aço( GPaE 200 ; C /107,11 6 ) e a porção BC é de
latão( GPaE 105 ; C /109,20 6 ). Sabendo-se que a barra está inicialmente sem
tensão, determinar as tensões normais induzidas nas porções AB e BC, por uma temperatura
de 50º C.
6.4. Esforço Cortante
6.4.1. Dimensionar o pino para suportar a tensão originada pelo esforço cortante aplicado,
sendo 2/800 cmkgfAdm .
6.4.2. Considere o garfo agindo sobre um parafuso com 2/800 cmkgfAdm . Dimensione o
parafuso para o esforço abaixo.
6.4.3. Dimensionar os rebites da junta excêntrica, sabendo que os centros do rebites devem
ser iguais( MPaAdm 105 ).
6.5. Análise de tensões
6.5.1. Para o elemento esquematizado, pede-se:
a) As tensões em planos cujas direções formam um ângulo de 20º
b) Tensões e planos principais
c) Tensões de cisalhamento extremas e planos onde elas ocorrem
6.5.2. Um membro tracionado é composto de dois pedaços de material que são colados ao
longo da linha m-n. A tensão de cisalhamento permissível na junta colada é
2/70 cmkgfAdm e a tensão de tração permissível é 2/140 cmkgfAdm . Qual deve ser o
valor do ângulo θ, a fim de que a barra suporte o máximo de carga P? Determinar também a
carga permissível P, se a área da seção reta da barra for 210cm .
6.6. Torção
6.6.1. Determinar o máximo momento que pode ser resistido por um eixo circular vazado,
tendo um diâmetro interno de 25 mm e um diâmetro externo de 50 mm, sem exceder a tensão
normal de 70 MPa de tração ou a tensão tangencial de 75 MPa.
6.6.2. Determinar o diâmetro necessário, d, para um eixo que transmite 200 CV a 120 rpm, se
a tensão admissível em cisalhamento é τAdm = 2,10 kgf/mm².
6.7. Flexão
6.7.1. Determinar a máxima tensão na viga.
6.7.2. Uma barra de aço e uma de alumínio são unidas firmemente, para formar a viga
composta mostrada. O módulo de elasticidade para o alumínio é de GPa70 e para o aço
GPa200 . Sabendo-se que a viga é curvada em torno de um eixo horizontal por um momento
mNM 1500 , determinar a máxima tensão no alumínio e no aço.
Dados:
GPaE 701 (alumínio)
GPaE 2002 (aço)
mNM 1500
6.7.3. Qual o máximo valor de P compatível com segurança da viga? Dados:
2/150 cmkgfAdm e 2/8 cmkgfAdm .
6.7.4. Uma viga de madeira de seção reta circular é apoiada em A e B e suporta uma carga
uniforme ao longo do balanço. Determinar o diâmetro d se 2/85 cmkgfAdm . Desprezar o
peso da viga. ma 00,1 e mmb 0,2 .
6.7.5. Calcular as tensões máximas
6.7.6. Para o perfil “I” abaixo, pede-se;
Determinar o módulo da tensão de cisalhamento vertical nos pontos A, B, C e D.
b) Calcular a tensão de cisalhamento vertical média
c) Determinar o módulo da tensão de cisalhamento horizontal no ponto B.
6.7.7. Uma viga com uma seção cantoneira está carregada com um momento fletor de
mkN 20 aplicado num plano yx. Determine: (a) a tensão de flexão no ponto A; (b) a
orientação do eixo neutro, mostre a localização num esboço.
6.7.8. Para a coluna curta baixa, determine as máximas tensões e posição da linha neutra.
6.7.9. Determine as tensões, em MPa, nas arestas da coluna curta da Fig. 3 e determine a
posição da linha neutra (LN). Faça um esboço indicando essa posição. Considere P1 = 20 kN
e P2 = 100 kN.
6.8. Exercícios Diversos
6.8.1. Dada a estrutura abaixo, calcule a máxima força P que pode ser aplicada para que na
barra DF não sejam superadas as seguintes tensões: adm = 50 MPa e adm = 200 MPa.
6.8.2. A viga ABCD possui seção transversal indicada. Determine as máximas tensões que
atuam na seção, considerando q = 2 tf/m e P = 2 tf. Resultados em kgf/cm2.
Viga.
Seção em centímetro.
6.8.3. Uma peça circular com o segmento esquerdo de aço maciço e o direito de alumínio
vazado é carregada como mostrado na figura. As tensões admissíveis tangencial e normal são:
250 MPa e 120 MPa para o aço e100 MPa e 80 MPa para o alumínio.
6.8.4. Para as vigas abaixo, determine o deslocamento máximo para a linha elástica.
6.8.5. Dada a estrutura abaixo, calcule: o Diagrama do corpo livre, as reações nos apoios, os
esforços solicitantes nas seções , e considerando P1 = 5 kN, P2 = 15 kN, P3 = 10 kN,
q1 = 2 kN/m, q2 = 12 kN/m e q3 = 4 kN/m. (Dimensões em metro).
6.8.6. Uma placa de sinalização retangular feita de aço (aço = 78 kN/m3) de 2 m x 0,5 m,
como indicado na Fig. 1, possui espessura de 10 mm e é fixada firmemente a uma barra
vertical de seção transversal tubular, mostrada na Fig. 3. Considere a placa como corpo rígido
e a coluna como sólido deformável. Calcule as máximas tensões, normais de tração e
compressão e de cisalhamento, que se produzem na barra vertical, sabendo que é feita
também de aço e que há uma pressão lateral (devida ao vento) sobre a placa de 1500 N/m2.
Desconsidere a pressão sobre a barra vertical.
Vista Superior
Seção transversal da barra vertical – Corte a-b. Estrutura – Vista Frontal.
Referências bibliográficas
Básica e Sugerida
Mecânica dos Materiais, James M. Gere, Thomson, São Paulo, 2001.
Mecânica dos Sólidos, Timoshenko & Gere, Livros Técnicos e Científicos, 1994 , Rio de
Janeiro.
Curso de Análise Estrutural, Vol. 1 : Estruturas Isostáticas ,José Carlos Sussekind , Editora
Globo.
Mecânica dos Materiais, Riley, Sturges & Morris, Livros Técnicos e Científicos, Rio de
Janeiro, 2003.
Resistência de Materiales, Feodosiev, Ed. MIR, Moscou.
Resistência dos Materiais, Beer & Johnson, Ed . McGraw Hill, S.P.
Resistência dos Materiais (2.v), Timoshenko, Livros técnicos e Científicos.
Problemas de Resistência dos Materiais, Miroliubov, ed. MIR, Moscou.
Mecânica dos Materiais, Roy R. Craig, Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 2000.