fundamentos de física 3: eletromagnetismo - 4ª ediçãotgrappoport/aulas/halliday3637.pdf · c o...

CORRENTES ALTERNADAS 36

QUllndu ImUl linha d., Il"<lIIsmis.wlo deenertlia de alf,l ft'IlSÜO preci.m de repams, *

IIlIIa empresa;/e ��Jllíhlicos 11(10

I'o;/e ,l"imp(esmenle }Jamr-leujilllóuflílmemo, pois do col1lrâriu uma

cidmle podaia jimr ,I'/'III fll:. A.,I'sim sendo.o.r repartls lêlll de .I'/'rj(.'ifo,r com as lillliasderl"ictlll/ellle "quenles ". O hOllle/lf/1t/

fá(Of:/"Ilfia colo('ou, mW!rw{meltle. U/lI(},rpa('m/o,- e!llle m linhas de 500 kW.

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pOI,'l1âal des/(ls Iinhns de IHlIlsmi.uiio élão nlru? SwpreemklJlC'IIII!tl/I', <I ("0/'1<'11I1'(10 longo das lin!tas. embum felal, IUIU ti

mui/o gran;!e, Nilo de\'eria ,II'·!O:'

36·1 Por Que Estudar Corrente Alternada?

A maioria das casas e repartições são providas de fiaçãoelétrica que conduz corrente alternada (ca), isto é, ��rente cujo valor v.'lria senoidalmente com o tempo, trocandode sentido (mais comumente) 120 vezes por segundo. Àprimeira vista, pode parecer um procedimento estranho.

*0 método de reSlaumção de hnhas de aha vultagem, llloslr<ldo na fo(ugrafla deabel1ura deste l'upítulo, f\lj patenteadu pur SÇOt1 H. Yenzer e ..,lá autorizado aser 11'[1<,1,) exclusivamente pela companhia Ha.'erfield Corp<Jfuliun nf Miami.rlorida. Quando um reslauradOl' de linhll' se aproximll de uma dei.." u <:alllp<)elétrico au redor da linllll. t"<lll'om que 'eu corpo fique aproximadamente "um om<'Mnn potencial d.. linha. �� igualar �� duh �� ele estende um ��

�� condulor ôrtoi a linha. Para não ser e1etroculado. ele tem <.!e eslar isolado dequalquer coisa (igada eletricamente à terra. Para que scu corpo IIque num únÍ\:opolencial- igual ao da linha em que c'itâ trabalhando _ ele usa mupa. capu7. elu",,", nlll<.!u[.we.'i.lOdos elelriL'amellle ligados à linha através do baslão.

Vimos que a velocidade esçalar de deriva dos elétrons decondução num fio condUlor é cerca de 4 X 10-5 m/s. Se.agora. invertermos seus sentidos a cada intervalo de 1/120do segundo. estes elétrons poderiam mover-se apenas 3 X10- 7 m, na metade de um ciclo. Com esta t<lxa, um elétrontípico mover-se-ia passando por não mais do que aproxi-madamente dez átomos da rede cristalina do cobre antesque fosse forçado a inverter o sentido do movimento.Como. então. o elétron poderia vir a alcançar qualquer partedo fio?Embora o fato possa ser embaraçoso. não implica preo-

cupação. Os elétrons de condução não têm que "alcançarqualquer parte do fio", Quando dizemos que a corrente quepercorre um fio é igual a um ampere. significa que os por-tadores de carga atravessam qualquer plano ortogonal aofio na taxa de um coulomb por segundo. A velocidade es-calar com que os portadores atravessam esse plano não enlfa

292 ELETROMAGNETISMO

R

Lc I'

(36-1 )

(36-2)

� = w"" sen wt

i = Isen(wI- cP)

Na Seção 35-6, vimos que, quando uma fem alternada dadapo,

36·2 Plano de Estudos para este Capítulo

Flg, 36-2 Um circuito de malha simples contendo um resislor. um C<l-pacilOr e um indutor. Um gerador, represento:ldo por uma Iinh.t ondula-da envolvidn por uma circunferência. cria umll fem alternada que e'(J-belece umll currente alterrllldu.

é aplicada a um circuito, como aquele da Fig. 36-2, umacorrente alternada dada por

é estabelecida no circuito.* Exatamente como nos circui-tos de corrente contínua, a corrente alternada i, no circuitoda Fig. 36-2, num dado instante, tem o mesmo valor emtodas as partes do circuito (de malha única). Além �� afreqüência angular W da corrente na Eq. 36-2 é necessaria-mente a mesma freqüência,angular do gerador que apare-ce na Eq. 36-1.As características básicas da fem alternada fornecida

pelo gerador são sua amplitude (fij", e sua freqüência angu-lar w. As características básicas do circuito da Fig. 36-2são a resistência R, a capacitância C e a indutância L Ascaracterísticas básicas da corrente ahernada dada pelaEq. 36-2 são sua amplitude I e sua constante de fase cP.Nosso objetivo neste capítulo pode ser resumido comosegue:8

diretamente neste cálculo; um ampêre pode correspondera muitos portadores de carga se movendo lentamente ou apoucos se movendo rapidamente. Além disso, o sinal queobriga os elétrons a inverterem seus sentidos de movimen-to - que resulta da [em alternada fornecida pelo gerador� propaga-se ao longo do fio a uma velocidade escalarpróxima à da luz. Todos os elétrons, independentemente deonde estejam localizados, recebem este sinal que os obrigaà mudança de sentido praticamente no meSmo instante.Finalmente, notamos que em muitos dispositivos, tais comolâmpadas ou torradeiras elétricas, não interessa o sentidodo movimento dos elétrons e sim que estejam em movimen-to e desse modo transferindo energia ao dispositivo.Uma das principais vantagens da corrente alternada é a

seguinte: à medida que a corrente se alterna, o campomagnético que circunda o condutor também.5e alIerna. Talfato toma possível a utilização da lei da indução de Fara-day, que, entre outras coisas, nos pennite aumentar ou di-minuir, à vontade, o valor de uma diferença de potencialalternada, usando um dispositivo chamado de transforma-dor, como veremos no final deste capítulo. Além disso, acorrente alternada é mais adequada para o uso em máqui-nas rotativa<;, tais como geradores e motores, do que a cor·rente contínua (cc). Por exemplo, girando-se uma bobinanum campo magnético externo, como na Fig. 36-1 , a feminduzida na bobina é alternada. Extrair uma diferença depotencial alternada de uma bobina e, a seguir, transfonná-la numa diferença de potencial de intensidade e polaridadeconstantes para que possa suprir um sistema de distribui-ção de energia de corrente contínua, tem sido um desafiopara a engenharia.As fems alternadas e as correntes alternadas geradas por

elas são fundamentais, não apenas para os sistemas de ge-ração e distribuição de energia, mas também para o rádio,a televisão, a comunicação através de satélites, para oscomputadores e para um grande número de situações quecaracterizam nosso estilo moderno de vida.

E,Cova metálica

--{-\---

,\]-'-'-71:-\ ��;:;;a;;;;-,: ; :'-_"",r\'• • •

DADOS

Para o gerador: f, .. e w

Para o circuito: R. C e L

DETERMINAR

-iFig. 36-1 O princípio �� de um gerador de corrente alternada con-siste na rotação de uma bobina num campo magnético eXlerno. Na prá-tica, a fem induzida alternada numa bobina de muiws espiras pode sercoletada por meio de anéis deslizantes, associados ao eixo em rolação,cada um Ii,gado a um dos terminais de enrolamento e eletricamente pormeio de uma escova melálica (conlra a qual ele desliza) ao reslO do cir-cuito elélrico.

Em vez de determinarmo.<; I e cP resolvendo a equação di-ferenciai relativa ao circuito da Fig. 36-2, usaremos ummétodo geométrico: o método dosfasares.

"Neste capflulo. a, letra, ��çomu a letra i. representam valore' ��tâneo, de �� variáveis nu tempoc �� letra' ��I. repre'en-Iam as amplitudes ��


36·3 Três Circuitos Simples Usando a definição de resistência também podemos escre-ve,

Vamo... !'iimplificar o problema sugerido pela Fig. 36-2,considerando inicialmente três circuitos simples. cada umcontendo o gerador de corrente alternada e somente umoutro elemento R, C ou L Começamos com R.

Um Circuito Resistivo

A Fig. 36-3a mostra um circuito contendo um elementoresistivo e o gerador de corrente com a fem alternada daEq. 36-1. De acordo com a lei das malhas. temos:

(36-4)

Comparando este resultado com a Eq. 36-2, vemos que,neste caso de uma carga puramente resistiva, a constantede fase vale rP = 0". Da Eq. 36-4, vemos também que, aamplitude de voltagem e a amplitude de corrente estão re-lacionadas por

(36-5)

Vn = <t;", scn wt.

Usando a Eq. 36-1. obtemos

Como a amplitude VR da diferença de potencial (ou volta-gem) através do resistor é igual à amplitude 'f,,,, da fem al-ternada, podemos escrever a equação anterior como

Um Circuito Capacitivo

Embonl tenhamos obtido esta relação para o circuito da Fig.36·3a, ela f.e aplica a /Jm res;slordistinlo em qualquercir-cuito de corrente alterllada, não importando quão comple-xo seja.A comparaçâo das Eqs. 36-3 e 36-4 mostra que as gran-

dezas variáveis no tempo VR e �� estâo em fase, significan-do que seus máximos correspondentes ocorrem ao mesmotempo. Na Fig. 36-3b. os gráficos de tlN(!) e iN(f) ilustrameste fato.A Fig. 36-3c mostra um método geométrico útil de ana-

lisarmos a mesma situação, o método dos fasores. Osfasores são, em essência, vetores girantes. Os dois fasoresgiram no sentido �� em torno da origem, comfreqüência angular úJ. O comprimento de um fasor é pro-porcional à amplitude da grandeza alternada envolvida. istoé, a VII' ou a IR' A projeção de um fasor sobre o eixo verti-cal é proporcional ao valor instantâneo dessa grandezaalternada, isto é, a VR Ou a iR' para um dado valor instantâ-neo do ângulo de fase M. Na Fig. 36-3c. os fasores estãoao longo da mesma linha indicando que as grandezas VII' eiR estão em fase. Acompanhe a rotação dos fasores nestafigura e convença-se de que ela descreve completa e cor-re·lamente as Eqs. 36-3 e 36-4.

A Fig. 36-40 mostra Utn circuito contendo um capacitar eo gerador com a fem alternada da Eq. 36-1. De acordo com<l lei das malhas, a diferença de potenciaJ através do capa-citar é

(36-3)

,V

(I»

(a)

VH = VR sen 6)1.

2.1r 6Jt,,,,, ,L- Inswntcs -----lrepresentados em (e)

onde Vc é a amplitude da voltagem através do capacitar.Da definição de capacitância podemos também escrever

qr = C've = CVe �� w/.

(36-6)

(36-7)

Contudo, não estamos interessados na carga e sim na cor-rente. Assim sendo, derivando a Eq. 36-7. obtemos

Fig. 36·3 (l') Um resislof está ligado 11 um gerador de corrente al!crml-da. (b) A �� e a diferença de potencial através do resistor estão em�� Ir) Vm diagnJJ1);J de f1JSOres mOS1f!j Dme.»no falO que (h).

. d9te = d..f = wCV,- cos wt.t . (36-8)

Com esfas duas modificações, a Eq. 36-8 passa a serescrita


(11) ic =(�� seo (wt+900)l Xc= Ic sen (wt + 90°). (36-10>

A comparação das Eqs. 36-10 e 36-2 mostra que, neste casode carga puramente capacitiva, a constante de fase vale1J = - 90°. Da Eq. 36-10, vemos também que, a amplitu-de de voltagem e a amplirude de corrente estão relaciona-das por

��rep....sc>mado, em k)

(bl(36-11)

"'(<l

Fig.36-4 (a) Um capacilof está ligado a um gerador de correllle aller-nada. (h) A diferença de potencial a1ravés do capacitlJf está atmsada em90" em relação à correllle. (e) Um diagrama de fasores mostra a mesmasituação.

Vamos, agora, com duas modificações, reescrever a Eq.36-8. Inicialmente. por razões de simetria de notação, in-troduzimos a grandeza Xc. chamada de reatânciacapacitil'a do capacitor, definida como

Embora tenhamos obtido esta relação para o circuito da Fig.36-4a, ela se aplica a um capacitor distinto em qualquercircuito de corrente alternada, não importando quão com-plexo seja.A comparação das Eqs. �� e 36·10. ou a inspeção da

Fig. 36-4b. mostra que as grandezas uI' e i(·estão defasadasem 900, ou seja, em um quarto de ciclo. Além disso. ve·mos que ir· está avançada em relação a v(> ou seja, acom-panhando-se as variações temporais da corrente ic e da di-ferença de potencial Vc no circuito da Fig. 36-4a. percebe-mos que o máximo de ic ocorre um quarto de ciclo antesdo máximo de vc.Esta relação entre ic e til' é mostmda com igual clareza

no diagrama de fasores da Fig. 36-4c. À medida que osfasores representativos destas duas grandezas giram nosentido anti-horário, vemos que o fasor Te está realmenteadiantado em relação ao (asor V('> e por um ângulo de 90".Isto é, o fasor lccoincide com o eixo vertical um quarto deciclo antes que o fasar Vr coincida. Convença-se de que odiagrama de fasores da Fig. 36-4c tem consistência com asEqs. 36-6 e 36-10.

(36-9) Um Circuito Indutivo

onde VI. é a amplitude da voltagem através 1.10 indutor. Dadefinição de indutãncia podemos também escrever

A Fig. 36-5a mostra um circuito contendo um elementoindutivo e o gerador com a fem alternada da Eq. 36-1. Deacordo com a lei das malhas, podemos escrever

seu valor depende não apenas da capacitânda, mas tambémda freqüência angular w na qual o capadtor está funcionan-do. De acordo com a definição da constante de tempocapacitiva (T = RC), vemos que a unidade SI de capaci-tância pode ser expressa em segund%hm. A aplicaçãodeste resultado na Eq. 36-9 mostra que a unidade SI de Xcé o ohm, a mesma unidade da resistência.A segunda modificação da Eq. �� é obtida da identi·

dade trigonométrica,

cos tut = sell (wt + 90°).

Podemos verificar facilmente esta identidade, expandindoseu lado direito de acordo com a fórmula para sen (IX + {3)listada no Apêndice G.

diLV, � L-.. di

Combinando-se estas duas equações temos

di,. VL-=-senwt.di L

(36-12)

(36-13)

(36-141

L


Aqui também, com duas modi ficações, vamos reescre-ver esta equação. Inicialmente, por questões de simetria denotação. introduzimos a grandeza Xr• denominada dereatância indutiva e definida como

(o)(36-16)

��represenlaJu, em cc)

(h)

ROlaçãodos��

��

Ela depende da freqüência angular w de operação. É fácilverificar que a unidade SI de XI. é o ohm. a mesma unidadede Xce de R.A segunda modificação da Eq. 36-15 é obtida da identi-

dade trigonométrica,

- (OS wt = scn(wt - 94:t),

Podemos verificar esta identidade, expandindo seu ladodireito de acordo com a fórmula para sen (a - (3) dada noApêndiceG.Com estas duas modificações, a Eg. 36-15 passa a ser

escrita

Por comparação com a Eq. 36-2 vemos que, neste caso decarga puramente indutiva, a constante de fase vale cP == +90". Da Eq. 36-17. vemos também que, a amplitude decorrente e a amplitude de voltagem estão relacionadas por

VI, ------ vL1»/

ir - h

Fig. 36·5 (a) Um indUlor está ligado a um gerador de corrente alterna-da. (b) A diferença de potencial a1ravés do indutor está adiantada em90" em relação à correnle. (c) Um diagrama de fasores mostra a mesma��

�� sen (wt-9()0)

= lI. sen (wl - 90°). 136-17)

(36-18)

Contudo, estamos interessados na corrente e não na suaderivada temporal. Assim sendo, integrando a Eq. 36-14,obtemos

ir. = JdiL = i,Jsen wt dt= - �� cos wt, (36-15)

Embora tenhamos obtido a Eq. 36-18 para o circuito espe-cífico da Fig. 36-5a. ela se aplica a um indutor distinto emqualquer circuito de corrente alternada. não importandoquão complex.o seja.A comparação das Eqs. 36·12 e 36-17, ou a inspeção da

Fig. �� mostra que as grandezas iL e UL estão defasadasem 90°. Neste caso, entretanto, i/. está atrasada em relaçãoa VL. Isto é, acompanhando-se as variações temporais dacorrente iL e da diferença de potencial VI. no circuito da Fig.36-5«, verificamos que o máximo de iL ocorre um quartode ciclo depois do máx:imo de li".

Tabela 36-1Relações de Fase e de Amplitude para Correntes e Voltagens Alternadas

Elemento de Fase Ânxulo Refarifo "n/reCircuito Símbulo Impedãfld,(' da Corrente de Fase 4> Amplirudes

Resistor R R Em �� com vH O" VH == IRCapacitor C X,. Avançada 90" .'>Obre l!,' -90" Vc = IX"Indutor L X, Atrasada 90" sobre tiL +90" VJ = IX"

"Como veremos. impedânda é om termo geral que abrange li re,istência e 11 reatãncia.


36-4 O Circuito em Série RLC

Estamos agora em condições de resolver o problema pro-posto pela Fig. 36-2, em que a fem alternada aplicada é

o diagrama de fasores da Fig. 36-5c também contém estainformação. À medida que os fasores giram na figura, ve-mos que o fasor h está realmente atrasado em relação aorasar Vu e por um ângulo de 90°. Convença-se de que odiagrama de fasores da Fig. 36-5(" representa as Eqs. 36-12e36-17.A Tabela 36-1 resume as relações entre a corrente i e a

voltagem v para cada um dos três tipos de elementos decircuito.

'f, = '#'", sen wl (fem aplicada)

e a corrente alternada resultante é

(36-19)

i = 1sen (wr - 4» (corrente alternada) 06-20)

EXEMPLO 36·1 Na Fig. 36·4a seja C = 15,0 j.tF,f = 60.0 H:z e '(f:.,= V,=J6,OV.

a. Determine a reatiiflcia capacitiva Xc

Nossa tarefa, lembremos, é determinar a amplitude de cor-rente 1 e a constante de fase 4>. Inicialmente aplicamos alei das malhas ao circuito da Fig. �� obtendo-se

Solução Da Eq. 36-9. temos (36-21 )

b. Delennine li amplitude de correllle J, nesle circuito.

b. Detennine a llmplitude de corrente /, no circuito.

a. Determine a reatância indutiva XL.

Solução Da Eq. 36- I6

Esta relação envolvendo quatro grandezas variáveis no tem-po é válida a todo instante.Consideremos agora Odiagrama de rasores da Fig. 36-

6a. Ele mostra, num instante arbitrário, a corrente alterna-da ainda desconhecida. Seu valor máximo I, sua fase (wl- 4» e seu valor instantâneo i estão lodos indicados. Lem-bremos que, embora as diferenças de potencial através doselementos do circuito na Fig. 36-2 estejam loLlas variandono tempo com fases diferentes, a corrente i é comum a to-dos os elementos; num circuito em série, existe uma únicacorrente.De acordo com a.. relações de fase resumidas na Tabela

36-1, podemos desenhar a Fig. 36-6b, em que mostramostambém os três fasores representando as voltagens atravésdos três elementos do circuito R, C e L no instante consi-derado (o instante em que a fase é wt - </J). Como vimos,a corrente está em fase com �� avançada de 90" sobre vceatrasada de 90° sobre VL'

Note que a soma algébrica das projeções dos fasares V""Vc e VI. sobre o eixo vertical é exatamente o lado direifo daEq. 36-21. Esta soma de projeções deve ser igual ao ladoesquerdo desta equação; isto é, ela deve ser igual a �� aprojeção do fasor %m'Nas operações vetoriais, a soma (algébrica) das proje-

ções de um conjunto de vetores sobre um dado eixo é igualà projeção sobre este eixo da soma (vetorial) desses veto-res. Segue que o fasor 'f.", é igual à soma (vetorial) dos fa-sores VR, Vc e Vr, conforme é mostrado na Fig. 36-6(', Afigura também mostra o ângulo de fase 4>, a diferença defase entre a corrente e a fem aplicada que aparece na Eq.36-2 (e na Eq. 36-20).Na Fig. 36-6c. notamos que o fasor diferença VI. - Vcé

perpendicular a VR. Notamos também que

(Resposta)

(Resposta)

I• "(,"w"l"(6"O".O"HõC,:;)7(1"5'.O"'X'I"""-"F")= 177 fi.

Vc 36.0Vlc = _. � --;- O.203A.Xc 177 fi

I 1��{ úJC 211fC

Embora uma reatiincia não seja uma resistência, a reatiincia capacitivadesempenha para um capacitoro mesmo papel que o da resistência paraum resislOr. Note também que. dobrando-se a freqüência. li realânciacapacítíva cai para a metade de seu valor e li amplitude de correntedobra. Para capacilOres. quanto maior a freqüência. menor areatância.

Note que uma reatância capadtiva, embora seja medida em ohms, nãoé uma resistência e sim uma grande:zu definida pela Eq. 36-9.

XL = úJL = 'hrjL =: (217')(60.0 Hzl (230 X 10- 3 H)

= 86.7 n. (Resposta)

Solução Da Eq. 36-11 (veja lambém a Tabela 36-1 l, lemos

EXEMPLOJ6-2 Na Fig. 36-5u, seja L = 230 mH.f= 60,0 Hze 'f,,,, =V, = 36,0 V.

Solução Da Eq. 36-1 R,

Nole que dobrando-se a freqüência. a reatância indutiva dobra e a am-plitude de corrente é reduzida 11 metade. Para indutores, quanto maior afreqüência. maior a reatância.

VI. 36.0 V/L = - = -- = OAl5A

XL 86.7 n (Resposta)De acordo com as relações de amplitude mostradas na Ta-bela 36-1. a expressão acima pode ser escrita como


Esta relação é a metade da solução do problema propostona Seção 36-2. Ela nos dá a amplitude I da corrente da Eq.36-2 em termos de �� w, R, C e L.A Eq. 36-25 é essencialmente a equação das curvas de

ressonância da Fig. 35·6. A inspeção da Eq. 36-25 mostraque o valor máximo de I ocorre quando

1-"'wL ouwC

I��-.rrc (rcssonflllçíll).

(b)

Esta é precisamente a condição de ressonância que discu-timos em conexão com a Fig. 35-6. O valor de I na resso-nância é, como vemos da Eq. 36-25, exatamene 'l:.,/R. Esteresultado concorda com a Fig. 35-6, em que verificamosque o máximo de ressonância aumenta quando a resistên·cia do circuito diminui.

A Constante de Fase

Falta encontrarmos uma expressão equivalente para a cons·tante de fase cP da Eq. 36·2. Da Eq. 36-6c e da Tabela 36-I, podemos escrever

(,)tan tP =

Fig. 36·6 (a) Um fasor representando a corrente allernada no circuitoRLCda Fig. 36-2. A amplitude /, o valor instantâneo i e li fase (w! - i/J)são mostrados. (b) O fasor de (a) e os fasores representando as diferen-ças de potencial alternada alravés do resistor. do capacitor e do indulOf.Note suas diferenças de fase em relação à corrente alternada. (c) Osfõlsores de (h) com um fasor representando 11 fem alternada.

ou

��R (36-26)

que nos permite concluir que

o denominador na Eq. 36-22 é chamado de impedân-cia Z do circuito para a freqüência considerada: isto é,

Substituimlo-se Xc e XL por suas expressões dadas pelasEqs. 36-9 e 36-16. podemos escrever a Eg. 36-22 maisexplicitamente como

Podemos, então, escrever a Eg. 36-22 como

��I=Z'

(36-22)

(36-24)

Resolvemos, assim, a segunda metade do nosso problema;�� cPem termos de w, R, C e L. Note que '€'", nãoestá envolvida neste caso.Desenhamos a Fig. 36-6(' arbitrariamente com XL > Xc;

isto é, supondo que o circuito da Fig. 36-2 seja mais indutivodo que capacitivo. O estudo da Eq. 36-22 mostra que -quanto à amplitude da corrente� não importa se XL > XcOu XL < Xc, porque a grandeza (Xr - Xd está elevada aoquadrado. Contudo, quando usamos a Eq. 36-26 para cal-cular a fase da corrente em relação à fem aplicada, �� setorna importante.

Dois Casos Limites

Num caso limite, podemos fazer R = XL = Onas Eqs. ��22 e 36-26. o que nos dá I = '€',,/Xc e tan <p = -00. A ��

pretação física destes resultados dá conta de que o circuitoé puramente capacitivo, como na Fig. �� a constantede fase <pé _90°, como na Fig. 36-4b, c.� Num segundo caso limite, podemos fazer R = Xc = Onas Eqs. 36-22 e 36-26, obtendo-se I = '#'"jXL e tan cP =- +00. Isto corresponde a um circuito puramente indutivo. comona Fig. �� com a constante de fase cP de +90", comona Fig. 36-5b.c.


Notamos que a corrente descrita pelas Eqs. 36-20, 36-22 e 36-25 é a corrente do estado estacionário que se esta-belece algum tempo depois da aplicação da fem alternada.Assim que a fem é aplicada a um circuito, surge uma cor·rente traflsiente cuja duração depende das constantes detempo TI. = UR e Te =: RC. Esta corrente transiente podeser bastante substancial e pode, por exemplo, até destruirum motor quando ele for ligado, se não a considerarmos,apropriadamente. na elaboração do projeto do circuito.

EXEMPLO 36·3 Na Fig. 36-2, considere R "'" 160 n, C = 15,0 p..F,L = 230 mH,f = 60,0 Hz e 't,,, = 36,0 V.

a. Determine a impedãncia Z du circuito.

Solução Nos Exemplos 36-1 e 36-2 vimos que neste circuito a reatânciacapacitiva X,. do capacitoré 177 n e a reatância indutiva XL do indutoré 86.7 n. Assim sendo, usando a Eg, 36-23, a impedância do circuito é

Fig. 36-7 O fluxo de energia no circuito RLC u;) Fig, 36-2. A energiaé fornecida pelo gerador G. Durante cada metade do ciclo. o capllcitorC e o indUlor L recebem energia e repassam-na integralmente à outrametade. Parte desfa energia oscila entre o capaCif{)r e {) indulor.Energia flui do gerlldor paTa o resistor R, onde aparece na fonm.ltérmica.

A taxa instantânea em que a energia é transformada noresistor pode ser escrita, com a ajuda das Eqs. 28-21 e 36-2, como

c. Determine a constante de fase 4> na Eq. 36-2 (ou na Eq. 36·20).

Contudo, nosso principal interesse está na taxa médiaem que a energia é transferida para o resistor; ela é ob-tida por meio do cálculo do valor médio da Eq. 36-27sobre um período. A Fig. 36-8b mostra que o valor médiode sen'9 num ciclo completo. onde (Jé qualquer variávelangular. vale exatamente 112. (Note na Fig. 36-8b queas partes sombreadas acima da linha horizontal denotadapelo valor 112 completam exatamente os espaços vaziosabaixo desta linha.) Segue que o valor médio da Eq. 36-27é

Z = F+ (X, - Xr )!� Jii60 fl)' + ��= 184ft.

b. Determine 11 amplitude da corrente /.

Solução Da Eg. 36-24.

�� 36,OV��

Z 18411

Solução Da Eg. 36-26. temos

(Resposta)

(Resposta)

p = �� = [I sen (wt - rb>l'R= PR �� (WI - if».

P,,;;<i = ;/2R = (//..f2) 2R.

(36-27)

(36-28)

86.7{}-]7701600

-0.564.

Portanto.

(Resposta)

Note que esta constante de fase negativa é consistente com a Tabela 36-I porque Xc > X, (a carga é capacitiva).

�� Potência em Circuitos de CorrenteAlternada

No circuito RLC da Fig. 36-2. a fonte de energia é o gera·dor de corrente alternada. Da energia que ele fornece, par·te é armazenada no campo elétrico do capacitar. parte éannazenada no campo magnético do indutor e parte é dis·sipada como energia térmica no resistor. No eslado eslaci·onário. a energia média armazenada no capacitor e noindutor pennanece constante. A tmnsferência líquida deenergia ocorre, então. do gerador para o resistor, comomostra a Fig. 36-7, onde é transfonnada da fonna eletro-magnética para a fonna térmica.

senO+1 ��

'\ / \O��

!-I ��

(")

Ih!

Fig. 36·8 (a) Um gráfico de sen f} conlra 8. Seu valor médio num ciclocompleto é igual a zero. (h) Um gráfico de sen: 8 contra 8. Seu valormédio num ciclo complelo é igual a 112.


A grandeza I Ih é denominada de valor médio qua-drático da corrente i e escrevemos, no lugar da Eq. ��28,

A notação rms (iniciais de �� é apropria-da, como veremos a seguir. De acordo com a definição devalor médio quadrático da corrente, inicialmente quadra-mos a corrente instantânea I, obtendo Psen"(wt � t/J). Aseguir, calculamos seu valor médio, obtendo-se P/2 (vejaa Fig. 36-8b). Finalmente, extraímos a ruiz quadrada, ��

sultando I1.../2, que denotamos por Im,,'AEq. 36-29 se parece muito com a Eq. 28-21 (P = PR);

concluímos que, usando-se os valores médios quadráticospara as grandezas alternadas. a taxa média de dissipaçãode energia será. para circuitos de corrente alternada. a mes-ma que para circuitos de corrente contínua com uma femconstante.Os instrumentos para correntes alternadas, tais como

amperímetros e voltíl'netros, são usualmente calibrados paralerem Im",. Vm" e �� Assim. se ligarmos um voltímetro paracorrente alternada a uma tomada elétrica doméstica e eleindicar 120 V. este será um valor médio quadrático. O va-lor máximo da diferença de potencial na tomada é de fiX (120 V) ou 170 V. A única razão para o uso de valoresmédios quadráticos em circuitos de corrente alternada é ofato de que nos permite aplícar as relações famíliares depotência dos circuitos de corrente contínua (Seção 28-7).As relações entre valores máximos e valores médios

quadráticos para as três variáveis de interesse são

(3&-33)��

��

Cmrs/ullil' de Fotor d" PoléllcillElt'JIIl'lI/fJ /mpeilâlJ6a FOS1' Po/hu10 Médiade Circuito Z f cos 1J P,,,.,,

R R Zem I /i""J"".C X, -'Xl" Zero ZeroL X, +'XJ" Zem Zeru

A Eq. 36-32 passa, então. a ser escrita.

onde cos 4J é chamado de fator de potência. Como cos <P= cos( -0/). a Eq. 36·33 independe de a constante de faset/J ser positiva ou negativa.Para que a taxa de energia fornecida a um resistor. num

circuito RLC. seja máxima. devemos manter o fator depotência cos t/J tão próximo da unidade quanto possível. Istoequivale a manter a constante de �� <p tão próxima de zeroquanto possível. Se. por exemplo. o circuito for altamenteindutivo. poderemos torná-lo menos indutivo adicionandouma capacitância ao circuito; desse modo, reduzindo-se aconstante de fase e aumentando-se o fator de potência naEq. 36-33. As empresas distribuidoras de energia elétrica.colocam capacitores por todo o sistema de transmissão paraconseguir tal objetivo.A Tabela 36-2 exemplifica o uso da Eq. 36-33 em três

casos especiais em que o único elemento do circuito pre-sente é um resistor (como na Fig. 36-3a), um capacitar(como na Fig. 36-4a) ou um indutor(como na Fig. 36-5a).

Tabela 36-2PotêlK'ia Média Transmitida por um G('rador em Três CasosEspeciais

(36-29)

CJi' ��CO"n. = "IÍ2' (36-30)

II"".. =: ..J2'

Como o fator de proporcionalidade (l I fi). da Eg. 36-30.é o mesmo para as três grandezas, podemos escrever as Eqs.36-24 e 36-22 como

EXEMPLO 36-4 Considere novamente (l drcuilo da Fig. 36·2 e use osmesmos dados do Exemplo 36-3. ou seja, R "" 160n. C '" 15.0 p.1'. L"" 230 rnH.f = 60.0 HL e 't., = 36.0 V.

e. realmente, esta é a forma mais comumente usada.Podemos modificara Eg. 36-29. numa fonna equivalente

útil. combinando-a com a relação Inm = 'fb"",/z. Obtemos

x I"c(36-31)

a. Delermine o valor médio quadrátit·u da fem. f·,m,·

Solução

'€,,,,, = '("I li = 36.0 V ,.,fi"" 25.46 V "-' 25.5 V. (Resposta)

b. Delermine o valor médio quudnítit·o da corrente. ,",,,_

Solução No Exemplll 36,3. vimus que I = 0.1% A. Temos. então.

(36-32) r;;.- . ',,,,,,,,,,',,"2 =O,196AI-J2=O.138óA"-'O.139A. (Resposta)

Solução No Exemplo 36-3 encontramos para 11 COnSlllllle de rase tP ovalor - 29.4°. Segue que.

Entretanto. da Fig. 36-6(' e da Tabela 36-1, vemos que R/Zé exatamente o co-seno do ângulo de fase t/J:

VR IR Rcos4J=-=-=-�� IZ Z

c. Determine o fator de potência. cos (p.

(atm de �� = cos(- 29.4") = 0.871 (Respo,tu)


d. Determine a taxa média P""d dissipada no resislOr.

Solução 0,1 &1' 36-29, ��

tência próx'imo da unidade. Da Eq. 36-33, a energia é for-necida na taxa média de

P",'d= �� = (0.13861\)2(160 O)

= 3.07W.

De uutro modo. a Eq. 36-33 nm dá

Pméd = '[,1 = (7,35 X 105 V) (500 A) = 368 MW.

(Resposta) A linha tem uma resistência por quilômetro de aproxima-damente 0.220 !1/km e, �� uma resistência total deaproximadamente 220n para uma extensão de 1.000 km.Nesta resistência, a energia é dissipada na taxa de

conforme esperávamos. Note lfue. para obtermus aconcordância ��

resultados com três algarismos significativos, �� as correntes e ��

�� com qullfro algarismos �� preclluçôestomadlls no arredondamentode valores não eliminll () falo de que as Eqs.36-29 e 36-33 são equivalentes.

= (25.46 V)(O.l386 A) (0.871)

= 3.07 W, (Resposta)P""rl = J2R = (500 A)2(220 D) = 55.0 MW

que é cerca de 15% da taxa de fornecimento.Imagine o que aconteceria se dobrássemos a corrente e

reduzíssemos a voltagem à metade. A energia seria supri-da pela usina na mesma taxa anterior de 368 MW, masagora a energia seria dissipada na taxa de

36-6 O Transformador

Exigências para a Transmissão de Energia

Para circuitos de corrente alternada, a taxa média de dissi-pação de energia numa carga resistiva é dada pela Eq. 36-33:*

que é quase 60% da taxa de forneômemo. Conseqüente-mente. a regra geral de transmissão de energia é: transmi-tir na mais alta voltagem possível e na corrente mais baixapossível.

o Transformador Ideal

*Nesla seção. seguindo a convenção, ahamJonumns o subscrito nll5qoe identifi-ca o valor médio quadrático de uma gramkw. Na prálica. oS engenheiros e oscienlistas admitem que aS correntes e aS vo1tagen, variávei, no tempo sejamdescrita, pelo;r.; ,eus valores médios quadrático;r.;, que são os valore, lidos pelosinstrumentos,

Isto significa que. para uma dada exigência de potência,temos uma faixa de escolhas. desde uma corrente relati va-mente elevada I e uma diferença de potencial relativamen-te baixa Vou exatameme o inverso, desde que o produtoIV seja o exigido.Em sistemas de distribuição de energia elétrica é dese-

jável por questões de segurança e de eficiência nos proje-tos de equipamento, lidarmos com voltagens relativamen-te baixas tanto na extremidade geradora (a u!';ina de ener-gia elétrica) como na extremidade receptora (a casa ou afábrica). Ninguémjamais projetaria uma torradeira elétri-ca ou um trenzinho de criança para operar, digamos, a lakV. Por outro lado, na transmissão de energia elétrica ��de a usina geradora até o consumidor, deseja-se ter a cor-rente mais baixa possível (e, assim, a maior diferença depotencial possível), para reduzir ao mínimo as perdas PR(muitas vezes chamadas de perdas ôhmicas) na linha detransmissão.Por exemplo, uma linha de 735 kV é usada para trans-

mitir energia elétrica desde a Usina Hidrelétrica La Gran-de 2 em Quebec, até Montreal, a 1.000 km de distância.Suponhamos que a corrente seja de 500 A e o fator de po-

Fig. 36·9 Um transformador ideal. mostrando duas bobinas enrolada,num núdeo de ferro. num circuito �� básico.

(36-351

R

s

��

<1>,

� = �� sen wt.

Primário

Esta regra conduz a uma incompatibilidade entre a exigên-cia de transmissão eficiente em alta voltagem e a necessi-dade de produção e consumo em baixa voltagem, por se-gurança. Precisamos de um dispositivo com o qual possa-mos aumentar (para transmissão) e diminuir (para uso) aditerença de potencial num circuito mantendo o produtocorrente X voltagem, essencialmente constante. O trans.formador da Fig. 36-9 constitui tal dispositivo. Ele nãoapresenta partes móveis, opera de acordo com a lei da in-dução de Faraday e não possui um correspondente simplesde corrente contínua.O transformador ideal na Fig. 36-9 consiste em duas

bobinas. com números diferentes de espiras, enroladas emtorno de um núcleo de ferro. (As bobinas estão isoladas donúcleo.)O enrolamento primário, com �� espiras, está ligadoa um gerador de corrente alternada cuja fem Cf; é dada por

(36-34)�� IV.


*N" �� -'3, �� os efeiws magnéticos resulwntes das correntes indu·zidas. Aqui. �� efeitu magnético da l'urrente induzida no enrolamentosecundário. além de nãu·despreúvel. é �� na operaçilo do transformador.

(36-37)

(36-38)(tramfortna<;âode resi.slências).

(transforma<;ilode çorrentcs).

Casamento de Impedâncias

I � I (N,), P N,

que nos diz que, do ponto de vista do circuito primário, aresistência equivalente da carga não é R, mas sim

que é a relação de transformação para correntes.Finalmente, sabendo que I, = V,/R e usando as Eqs. 36-

36 e 36-37, obtemos

Como a Eq. 36-36 é válida quer o circuito secundário daFig. 36-9 esteja fechado ou não, temos

Contudo. a voltagem VI' do primário não pode mudar emresposta a essa fem em oposição, porque tem de ser ��pre igual à fem suprida pelo gerador; o fechamento da chaveS não pode mudar este fato. (4) Para manter v,,, o geradorproduz agora uma corrente alternada '" no circuito primá-rio, de intensidade e constante de fase exatamente iguaisàs necessárias para cancelar a fem em oposição, gerada noenrolamento primário por I,.Em vez de analisarmos detalhadamente a situação com-

plicada mencionada acima. é mais conveniente verificar-mos o que ocorre globalmente. mediante a aplicação doprincípio da conservação da energia. Para um transfonna-dor ideal com uma carga resistiva, o fator de potência naEq. 36-33 é igual à unidade. Fazendo 't, igual a V" na Eq.36-33. encontramos que a taxa em que o gerador transfereenergia à bobina primária na Fig. 36-9 é igual a 11'v",Analogamente, a taxa em que a energia é transferida dabobina primária para a bobina secundária é igual a ,y,.Usando o princípio da conservação da energia. encontra-mos que

A Eg. 36-38 sugere ainda uma outra função para o trans-formador, Sabemos que. para haver transferência máximade energia de um dispositivo de fem para uma carga resis-tiva, a resistência do dispositivo e a resistência da cargadevem ser iguais. A mesma relação é válida para circuitosde corrente alternada, exceto que a impedância (em vezda resistência) do gerador deve ser igual à da carga. Fre-qüentemente, como acontece ao ligarmos um alto-falantea um amplificador, esta condição fica longe de ser obtida,sendo o amplificador de alta impedância e o alto-falante,de baixa impedância. Podemos tomar iguais as impedânciasdestes dois dispositivos, �� por me;io de um

(36-36)(transformaçâ<)de voltagem).

ou

o enrolamento secundário, com N, espiras, ligado a umacarga resistiva R, é um circuito aberto enquanto a chave Sestiver desligada (o que supomos, por enquanto). Não há.portanto, corrente na bobina secundária. Supomos. alémdisso. para este transformador ideal, que as resistências dosenrolamentos primário e secundário, bem como as perdaspor histerese no núcleo de ferro, sejam desprezíveis. Trans-formadores de alta capacidade, bem projetados, podem terperdas de energia de apenas I%, de modo que nossas su-posições não são absurdas.Para as condições acima. o enrolamento primário é uma

indutância pura e o circuito primário é semelhante àqueleda Fig. 36-5a. Assim sendo, a corrente primária (muitopequena), também chamada de corrente de magnetização'",ag, está atra<;ada em 900 em relação à diferença de poten-cial primária VI'; o fator de potência (= cos f/J na Eq. 36-33) é nulo e, portanto, nenhuma potência é transferida dogerador para o transfonnador.Entretanto. a pequena corrente primária alternada Imag in-

duz um fluxo magnético alternado 4lB no núcleo de ferro eeste fluxo atravessa as espiras de enrolamento secundário. Deacordo com a lei da indução de Faraday, a fem induzida porespira '&",,, é a mesma nos enrolamentos primário e secundá·rio. Também. a voltagem em cada circuito é igual à fem ��

duzida no circuito. Assim sendo, sUJXlndo que os símbolosrepresentem valores médios quadráticos, podemos escrever

No caso de N, > N,,, o transfonnador é chamado de tran.\'-formador elevador porque conduz a voltagem �� a umavoltagem maior v,. No caso de N,< NI" ele é chamado detransformador abaixador.Nas considerações anteriores, o circuito do secundário

estava aberto. Portanto, nenhuma potência era transmitidaatravés do transformador. Vamos agora fechar a chave Sna Fig. 36-9. para que o enrolamento secundário fique li-gado à carga resistiva R. Num caso mais geral, a carga tam-bém conteria elementos indutivos e capacilivos. mas va-mos nos restringir a este caso especial.Diversos fatos acontecem quando fechamos a chave S.

(1) Uma corrente alternada I, aparece no circuito secundá-rio, com uma correspondente taxa de dissipação de ener-gia l/R (= V/R) na carga resistiva. (2) Esta corrente induzseu próprio fluxo magnético alternado no núcleo de ferro eeste fluxo induz (de acordo com as leis de Faraday e deLenz) uma fem em oposição no enrolamento primário.* (3)


transfonnador com uma adequada razão entre os númerosde espiras N/N,.

,78xlO3 W120V

650A. (Resposta I

c. Qual é a cargi! resistiv(l eljuivalente no circuito secundário"!EXEMPJ.O 36·5 Um transformador num poste de rede elétrica opera-"<lO 11" = 85 kV no enrolllmento primário e torneçe energill elétrica parlllIS casas da vizinhMl,:U sob V, = 120 Y. sendo �� voltagens dadas emvalores médios quadráticos. Suponha um transformador ideal. uma car-ga resistiva e um fator de potência igual à unidade,

Solução Neste caso. temos

R,= V,= 120V =O.1846n"'0.180.I, 650 A

(Respostll)

a. Qual é a razão entre os números de espiras, N,IN,. deste trnnsforma-dor de redução? d Qual é a cargi! resistiva equivaleme nu circuito primário'!

Solução Da Eq. 36-36, ternos Solução Neste ci!su. temus

N" = V" = 8.5 X 103 V = 70.83 _ 71.N, V, 120V (Resposta)

R = Vp = ��"Ip 9.176A

= 9260-9300. (Resposta)

b. A laxa médill de consumo de energia nas casas servidas poreste trans-formlldor, num dado intervalo de tempo. é 78 kW. Quais sãoos valoresmédios quadráticos das correntes nos enrolamentos primlirio c secun-dário do transformlldo(!

Solução Da Eq. 36-33 (com cos q, = I), temos

Podemos verificar este resultado com a ajuda da Elj. 36-38. ljue escre-vcmos como

R" = (N,,/NYR, = (70.83)2(0.1846 J1l= 926íl .... 9300.

p..1=-=, V,

78X �� =9.176A=9,2A8.5 x �� V

(Resposta)Os doLs resultados concordllm plenllmente.

RESUMO

Amplitude de Corrente e FaseO proolema básico numll an;ílise de corrente alternada (ca) é determi-nar expressões para a amplitude de corrente I e o ângulo de fase q, em

elementos no circuito série RLC da Fig. 36-2. A lei das malhus permitea construl,:ão do fasor associado à fem de cin:uito. �� mostra a Fig.36-6c. A unálise desta figura nos d:í

quando uma fem dadll por'(; = 't,., sen wt é aplicada li um drcuito tlllcomo o circuito série RLC da Fig. 36·2. Na Eq. 36-2, a constanle derase .p é o ângulo pelo qual a corrente eslá avançada ou atrasada em re·lação à fem aplicada.

Elementos de um Circuito ��

A diferença de potencial alternada atrnvés de um resistor tem amplitu-de V" = IR; a corrente está em fase com a diferença de potencial. Paraum capuâlor, Vc = IX" em que Xc = IlwC é a reatãncia capaciliva:neste caso. a corrente está õ.lvançada em 90" sobre a diferença de poten-cial. Para um illdutor, VI_= 'XL' em que Xi = (I)L é a reatãncia indull·va; neste caso, a corrente está atrasada em 9(f sobre a diferença de po-tencial. Estes resultados cstão resumidos na Tabelll 36-1.

(36-26)

(36-:!3)

l/WC)2(36-22, 36-25)

(imped5neiu)

(coJlstank de fase),

(amplituJe da ��

x - X�� /. r.

R

DefInindo a impedância Z do circuito como

,

podemos escrever a &i- 36-22 como I "" '{,/2.

06-2)i = Isen(f.Ut - 4J)

Fasore.\·Fw-ores sào vetores girantes que constituem uma poderosa ferramentamatemática na represental,:âo de correntes e voltagens Illternadas (e deoutras grandelas relacionadas com fases\. Representamos o valor má-ximo (amplitude) de qualquer grandeza alternada por uma sela que girano sentido anti-horiírio, com uma freqüência angular w. em torno daorigem. A projeção desta seta sobre o eixo vertical dá o valor instantâ-neo da grandeza associada. As correntes e as voltagens dos elementosR, L e C estào representadas por fa.'>Ores nas Figs. 36-3, 36-4 e 36-5: estestrês ca>os devem ser csfudlldos cuidadosamente,

ReuonânciaA Eq. 36-25 é u equ:lção d:ls <"lIlW/,\' de l"eHwulnt'ia da Fig. 35-6. Opico dOI amplitude de corrente ocorre quando Xc = Xi (<I nmdiçào deressonância). Ele tem o valor 'f,/R; o ângulo de fase <P é zero na I"('S,SO·

nâncii!.

PotênciaNo drCllito série RLC da Fig. 36-2, a potência média P""," do gerador éliberada para o resistor, onde aparece cumo energia ténnicu:

Circuito Série RLCO diagrama'de fawres da Fig. 36-6b, desenhado com a ajuda da Tabela36-1. mostra a relação da diferença de fase com a corrente para os três (potência méllia). (36-29. ��


onde R é a resistência no circuito secundário.

e a rt:sistência cfetiva do l'irl'uito, corno vislll pelo gt:rador. é

Aqui. os índices n/H (inidllis de mOl-Ini'i/ll-.ll/lllIre) indicllm os valo-res médios qUlldráticos das grandezas; os qU<lis estão relacionados <lOSvalores máximos das respectivas grandezas por meio dc relações comoI",,, "" 11-j2 e 't."", = 'f,.J,fi' .Os voltímetros e os amperímelros paracorrenle alternada têm suas escalas ajustadas para lerem valores mé-dios quadráticos. O termo cos tP acima é chamado de ralor de potên-cia.

TransformadoresUm frlmsformador (SUposto "ideal"; veja a Fig, 36--9) é constilllído porU111 núcleo de ferro em volta do qUill enrolamos uma bobina primáriacom N,. espiras e uma bobina secundária com N, espiras. Quando a bo-bina primária está ligada por meio de um gerador de corrente alternada,as vollagens no primário e no secundário estão relacionadas por

v, = Vp(N,/Nfl

As com:ntes esüio relacionadas por

Req::: (Np/N,)2R

(Irnnsf'lrm<H;iíode voltagem).

��

dt: l·OITentes).

(trnn.' f,mil �� lde resistêndas).

(36"36)

(36-311)

QUESTIONÁRIO

.. No circuito da Fig, 36-2, por ...ue é certo supor quc (lI) a �� al-ternada da Eq. 36-2 tem a mesma freqüência :mgular wda fem alterna-da da Eq. 36-1 e (b) o ângulo de fase tP na Eq. 36-2 n1lo varia COll1 otempo? O que acoOleceria caso uma da, afirmativas (vcrdadeiras) fossefalsa?

2. De que mudo um fasor difere de um vetor? Sabemos, por e){emplo,que fems, diferença.s de potendal e corrente, não são grandeias velori-ais. De que modo, então, podemos juslificar comtruções tais como a daFig.36-ó'!

3, Alguma parte da discussão da Seção 36-3 seria invalidada no caw dodiagrama de fasores giror no senlido horário, em vez de no anti-horárioque se supôs? Explique.

4. Suponha que, num circuito série RLC, a freqüênl:ia da voltagem llpli-cada varie continuameOle de um valor muito baixo nté um valor muitnalto. Dt: que modo a constnnte de fase varia"

5. Parece ser intuitivamente razoável quc a relllância �� (= IIwC) devll variar inversamente com a freqüência angular. enqu,lnto areatiíncia indutiva ("" wLl deva variar diretamente com estn grande-la'!

6. Durante a Segunda Guerra Mundial. num grande lahmatório de pes-quisas nos Estados Unido.s, um gerador de corrt:nte allernada estavnlocalizado a cerca de 1,.5 km do prédio do laboratório ao qunl supria.Um técnico aumentou a velocidade escalar do gerador para compensaro que chamou de "pcrda de freqüêncill ao longo da linha de tnlllsmis-são". que ligava o gerador ao prédio do InborClt6rio. Comente este pro-cedimento.

7. Discuta com .suas pr()prias palavras o que signifka dizer que umacorrente altcrnada está "avançada"' ou "l\trasada" em relação à rem al-ternad;\.

8. Suponha. como enunciado na Seção 36-4, que um dado circuilo seja"mais indutivo que capacitivo"', iS\(l é, que XI. > Xc. (alisto significa,para uma freqüência angular fi){a, que L é relativamente "grande" e C érelativamente pequeno ou que I.e C são ambos relalivamente "grandes'''.'Ib) Para vnlores riws de L e C. significa que w é relativamente "gran-de" ou relativamente "pequeno"'?

9. Como se poderia concluir. num circuito série RLC. St: a freqüênciade lima fem aplicada está acima ou abaixo da fre<Jüência de rcssonàn-cia?

UI. O que está errado na afinnação: "Sendo X, > X,. entiio devemos terL> !/C"?

u. As leis de Kirchho1T (a lei das malhas e a lei dos nós). que u,amospara cirt:uilOS de corrente contínua devem ser modificadas quando apli-cadas a cirnlitos de corrente allcmad;l"

12. As Icis das malhas e dos nós podem ser aplicadas em drl'uilosde corrente altcmada com malhns mólliplas da mesma maneira quesão aplicadas em circuitos de l:orrente contínua com malhas mólli-plus?

13, No Exemplo 36-4. qual seria o efeitu sobre P""". sc aUJllenlásst:mos(11) R. (b) C e (e) U Como <b na Eq. 3h-.11 variaria nestes trê, casos'!

14, Os engcnheiros da, usinas elétricas gostam de lt'r um fator de po-tência baiw ou alto ou niio fal qualquer diferença para eles? Entre quevalores pode vllriaro fator de potêJK'ia") O que determina o fator de po-tência é ullln característica do gerndor da linh:\ de transmissão. do cir-cuito ao qual a linha de transmissão t:stá lignda ou de alguma combina-ção des,es elementos'!

15, A potência inslantànt:a de uma fontc de corrente altern:\dn pode sernegativa') O fator de potência pode ,er negativo" Sendo assim. expli-que o signifkado destes valores ncgmivos,

16. Num circuito série RLC. a fem est;í adi.mlada em rda,'iio à corrt:ntepara uma determinada freqüência de opcn\ção. Diminui-se ligeiramen-te 11 freqüência. A impediincia total do circuito aumentará. diminuirá oupermanecerá inalteradu'!

17, Conhecendu-se o fatordc potênda ('" Ç()S <j, na Eq. 36-33) para umdadu drcuito RLC. pode-se dilcr se a fem alternada aplinldn cstá adi-antada oUlllrasllda em relação à corrente',' Em caso positivu. cumo'! Emcaso negativo. por que não?

18, Qual é o intervalo permitido de valores pam a constnnte de fase tPna El), 36-2") F. o intcrvalo do f;ltur de potência na Eq. 36-J]'!

19, Por que é convcniente a uliliLnl,'iio du nOlll\'iio rim pam correntes cvoltllgens alternadas"

20. Desejamos reduzir nossa contn de energi:\ elétrica. É cunvenienteque haja um falor de potência alto ou baixo ou tal fato não faz diferença:dgumu") Se fnl., existe alguma providência que possamos adotar a esserespeito"

2:1, Na Eg. 36-33, q, é o ângulo de fase entre '!(t) e i(l) ou entre I"", ei"",'l Explique.

22, O transformador de uma campainha é projetado para um valor mé-dio qU;ldrático de entrada no primário, igual a 120 V t: um valor médio


quadrático de saída no secundÓrio. igunl 06 V. O quc ol.:Qnlel.:erin se n"ligaçõe" do primário e do "Cl:und<Írio fossem acidentnlmente trocndusnn instalação? Teríamos que esper1lr alguém tocar li campainha parapercebermos o enguno'l Discuta,

23. Recebemos um transformadur fechado nUlllu('aixu de nwdeira cumseus terminais primário e ,eculldáriu disponíveis em duas faces opostas

da caixa. COlllO poderíamos determinur a wzão enlre us números deespiras sem abrir a caixa'!

24. No transformador da Fig_ 36-9. I.:um o secundüriu em ('in:uiln ó1beI10.qual é ndiferença de fase entre (a) a fcm uplicada e a corrente no primário.(b) li fem aplil.:adn e u campo mllgnético ou núdcu do trnnsform;ldur e (c)11 currente no primário e o campo magnéticu no nlideo do tnmstórlllador'1

EXERCíCIOS E PROBLEMAS

Seção 36-3 Três Circuifos Simples

lE. Suponha que a Eq. 36-1 descreva a fcm efctiv:l dispollível nll snídade um gerador de 60 Hz, Qual é a Ircqüência angular w corresponden-le? Como a companhia de energia elétrica �� e"s1l freqilênciu?

2E. Um capacilorde 1.50 I-l-F e,tá ligndo. corno na Fig. 36-4<1. a um ge-rudor de corrente alternada com '8", = 30.0 V. Qual será a ,lmplitude dacorrente alternada resultante se � Ireqüêncill da fem for (a) 1.00 Ulz e(b) 8.00 kHz?

3E. Um indmor de 50.0 mH estó ligado. como nn Fig. 3ó-5(1, a um ge-rador de corrente allernada com 'l., = 30.0 V. Qual serJ n amplitude dacorrente alternada resultante se a freqilênciu da fem for (a) I/}{) kHz e(b) 8,00 kHz?

4E. Um resi"lOrde 50 n eslá ligado, como nn Fig. 36-311. a um geradorde corrente alternada com '$, .. = 30.0 V, Qual seni a amplitude d:1 cor-rente allernada resultante se a freqüência da fem for {n) 1.00 kHz e (h)8,00 kHz?

5E. Um índutorde 45,0 mH tem uma reiltfincia de 1.3(J kH. (a) Qual é asua freqüência de operação? (b) Qual é a cnpacitâncin de um capacitorcom a mesma reatância nessa freqliência') (c) Dobrando-se o valor des-la freqüência quais serão os novos valores das reatãncias do iodutor cdo capacitor'?

6E. Um capncitor de 1.50 I-l-F tem uma reatâncín capncitiva de 12,0 fi.(a) Qual deve ser sua freqüência de operação'l (bl Qual será a reatânciacapncitiva se a freqüência for dobrada?

7E. (a) Em que freqüêncin um indmor de 6,0 mH e um capacitor de 10p.F teriam a mesma reatância? (b) Qual seria u valor desta realâneia'!(c) Mostre que essa freqüência seria igual à freqüência natural das IlScí-lações LC livres.

8P. A saída de um gerador de ca é dnda porE = 'f,,,sen wt, com '1/,,, =25.0Ve w = 377 radls. Ele está ligadon um indutorde 12.7 H. (a) Qualé o valor máximo da correllle? (b) No insrallle em que a correnle é má-xima. Qual é () valor da fem do gerador? (c) Quando a fem do gerudoré� 12,5 V e estlÍ crescendu em módulo. qual é o valor da elmente? (d)Para as condições do item (c) o ger:ldor e"tá fornecendo energia ou re·cebendo energia do indutur?

9P. O gerador de ca do Prohlema fi est:í ligado ti um ctlplll.:itor de 4.15I-l-f. (a) Qual é o valor máximo dn corrente? (b) No illstnnte em que ticorrente é máxima. quul é o valor da fem do geradn() (e) Quando a fcmdo gerador é - 12.5 V e está crescendo em módulo. qual é Il valor dacorrente? (d) Para ns condições do item (0:), Il gerador está forneeendoenergia ou recebendo energiil do c'lpacitor?

10P. A "aída de um gerador de cn é dada por f-. ='\',sen (w r � 1TI4).onde '{,., = 30.0 V c w = 350 ra&", A corrente � dada por i (t) = I sen(wt � 31T14), onde I = 620 mA. (a) Quando. após I = O. a fem do ger<l-dor atinge pela primeim vez um máximo'? (h) Quando. após I = O. a,:orrenle atioge pela primeira vez um máximo? (c) O circuitu contém

apenas nm elemento além do gerador. Ele é um capucitor. UI11 indutorou um re"islor? Justillque sua resposta. (d) Qual é o v'llor da capacitãn-ciu, da indulânciu ou dll re"istência. ('onforme sej:l o caw'!

IIP. A saída de um gerador de C:I é dada port: =f '" sen (w I - 1T14 I.onde '{:m == 30.0 V e w = 350 r<ldls. A corrente é dada por i(t) = I sen(wl + 1TI4l. onde I = 620 mA. (ai Quando. ;lpÓS I == 0, a fcm do geraduratinge pela primeira vez un1111áxinlO'! (b) Quundo. após t = O. acorren-te alinge pela primeira vez um lll.:iximo? (c) O ('ir<:uifo contém um úni·CII elemento além do gerador. Este elemento é um capacitOf, um indutoruu um re"istor? Justifique sua resposta, (d) Qual é o v:llor da capacitânci,l,da indulânciu ou da resistência. conforme seja () I.:a,o"

12P. Um gerador trifásico G produz energin elétrica que é transmitidnpor meio de três fios I.:Ul110 mustra a Fig. 36-10. Os potenciais dcstesfios (relativos n um nível de referêncinl.:mnum) são V, = A sen {wll. V,= A sen (w r - 120") e V, = A sen (WI - 240°). Alguns lipos de equipa-mentos �� pesudus (por exemplo. motores) têm trê" terminais esuo projetados para serem ligados diretamente a estes três fios. Pam usarum dispositivo mais convencional com dois terminai" (por el'emplo. umalilmpnda). ligam-se quaisquer dois dos três rios. Mostre que. a diferen-ça de potencial entre esses �� (aI oscila �� com fre-qüência angular we Ib) tem lllllU amplitude de A.,j3.

Fig. 36-10 Prohlema 12.

Seção 36-4 O Circuito em Série RLC

13E. (a) Calcule novamente todas lls grandezas pedidas 11(1 Exemplo 36-3. supoodo que o capacilor lenha sidu retirado e lOdos �� outros pllrfl·metros tenham sido mantidos, (b) Desenhe em escala uln diagrama defasore" semelhllnte ao indicado na fig, 3ó-ó,. para �� nova situaçiio,

14E. (a) Calcule nOV;lmente todas as grandezas pedidas no Exemplo .16-.1, supondu que o indutor tenha sido retirado e todos os olllms pariime·Iros tenham sido mantidos. íh> Desenhe em e.Rala um Jiugrama defa...ores semelhante ao indicado na Fig. 3ó-6,. para esta nova situação.

ISE. (ai Calcule nov,lmentc toda" as grandezas pedidas no Exemplo .1fí-3 para C = 70.0 J1.F. os ou./ros parâmetros sendo mantidos in:llterados.lh) Dcs..:nhe em esç,lIa Ulll diagrama de fasore" semelh'lnte ao da Fig.36-6{" P:lf;1 esta nuva situação e compare os dois diagramns.

16E. COllsiderc as curvas de resson[jnciu da Fig. 35,6. (a) Mostre quep'lra freqüências acim(l das de ressonância. o circuito é predominante-mente indulivo e para freqüências abaixo das de re"sonilncia. é predo·minantemente capacitivo. (h) Corno o circuito se clJmportll n<l ressonân"cia? (e) Desenhe UllI diagramll de f(l,>ores como (] da Fig. 36-6('1X1ra uma

c I

frcqüênda maior do que a de �� para a freqüênda de resso-nância e para uma freqüência menor do que a de rcssonâm.:ia.

17P. Verifique matematicamente que a seguinte construção geométriC11fornece corretamente tanto a impedância Z quanto a constante de fasetjJ. De acordo com a Fig. 36-11, (i) desenhe uma sell1 de módulo Xc nadireçào +r; (ii) desenhe uma segunda seta de módulo XL na direção -y; (iii) desenhe uma terceira seta de módulo R na direção + x. O módu-lo da "resultante" �� setas é Z e o ângulo (medido no sentido horá-rio a partir da direçikl positiva do eixo x) desta resullante é tjJ.

íXc: R

�............•-.

1 •� z-x,·,,Fig.36-11 Problema 17.

18P. A amplitude du voltagem �� de um indutor num circuito RLCpode ser maior do que a amplitude da (em do gerador? Considere umcircuitoRLCcom'f..,== 10V,R-= 10n,L= I.OHeC== LOI-tEDe-termine a amplitude da voltagem �� do indutor na ressonância.

19P. Uma bobina de indutância SS mH e de resistência desconhecida eum capacitor de 0,94 I-tf são ligados em série u uma fem alternada defreqüência 930 Hz. Sabendo-se que a constante de fase entre a volta-gem aplicada e a l.-'Orrente é de 75°. qual é a resistência da bobÍlw?

20P. Quando a fem do gerador no Exempln 36-3 atinge seu valor máxi-mo. qual é a voltagem através (a) do gerador. (bj do resistor, (c) do ca-pacitor e (d) do indutor? (e) Somando estes resultados com seus respec-tivo); );inais, verifique que a lei d;ls malhas é satisfeita.

21P. Num cin.:uitoRLCcomooda Fig, 36-2, R == 5,00U, C == 20.!) ��L = I.!Xl H e '$,,,, == 30.0 V. (a) Para que freqüência angular w" a corren-te terá ,'\eU valor máximo, como nas �� de ressonância da Fig. 35-6?(b) Qual é este vall'r máximo'! (e) Quais são as freqüi'ncias angularesw, e w, parll as quais a amplitude da corrente é igual à metade desse valormáximo'l (d) Qual é a meia-largura fracionllll == (w, - w!)/w,,1 dll curV<:lde ressonância')

22P. P<:Ira um certo circuito RLC a fem máxima do gerador é de 125 Ve a corrente máxima é de 3.20 A, Sahendo-se que a corrente está avan-çada de O,9R2 rad em relação à fem do gerador. quais são (<:I) a impe-dãndu e (bl li resistência do circuito? (c) O circuito é preJominantemelllecapacitivo ou indutivo?

2.1P. Num circuito RLCoperando na freqüência de 60,0 Hz. li voltagemmáxima através do indutoré 2.00 vezes a voltagem máxima através dore,istor e 2,00 vezes a voltagem máxima atrJvés do capacitor. (a) Qualé o ângulo de fuse '!ue registra o atmso da corrente em rehlção à tem dogerador'l (b) Sahcndo-se que a fem máxima do gerador é de 30.0 V, qualdeve �� a resistência do ór('uito para obtermos uma �� máxima300 mA �

24P. O circuito do Exemplo 36-3 não está em ressonância. (a) Como sepode verificar isto'! (b) Que capacitor deve ser ligado em paralelo como eapacitor do circuito para produzir ressonância'" (c) Qual será, então.a amplitude da corrente?

25P. Um circuito série R" L" C j possui freqüência de ressonância iguala de um segundo circuito série R" L_" C!_ Ligamos as duas comhinaç(H:s


em série. Mostre que este novo circuito tem li mesma freqüência de res-sOllância dos circuitos separados.

26P. Um voltímetro de ca de elevada impcdãncia é Iigudo sucessiva-mente a um indutor. a um capacitnr e a um resistor. que e,tão ligadosem série com uma fem alternada de 100 V (rms); ele registra a mesmaleilura em volt, em cada caso. Qual é o valor desta leitura'!

27P. Mostre que a meia-largura fracionaI de uma curva de ressonância(veja o Problema 21) é duda por

dw == � [3C R.U1(, 'IT

cm que w" é a freqüêncitl ungular na ressonância e il.w é a largura dacurva de rcssomlncia na metade da amplitude rmíximu. Note que il.wfw"diminui com R, como mostra a Fig. 35-6. Use esta fórmula para confe-rir a resposta do Problema 21 d,

28P*. O gerador de ca na Fig. 36-12 forntte 120 V (rms) tI 60,0 Hz.Com a chave aherta. como no diagrama, a corrente e.<-;t;i avançada de 20,0"sobre a rem do gerador. Corn u chave na posição I, a correllle está atra-sada de IO,On sobre a fem do ger'ldor. Quando a chave está na posição 211 corrente é de 2,00 A (rms)_ Determine os vtllores de R. L e C.

. �� IC

1Is----l,

R

Fig:. 36·12 Problema 2S.

Seção 36·5 Potência em Circuitos de Corrente Alternada

29E. Qual é {) valor máximo de uma voltagem, num �� de ca, cujovulor médio quadrático é de 100 V?

30E. Que corrente contínua produzirá, num certo resistor. um;r quanti-dade de c;rlor igual à produzida por uma corrente alternada, cujo valormáximo é de 2,60 A'"

311':. Calcular a taxa média de dissipa"ão de energia nos circuitos dosExercícios 3, 4.13 c 14.

32E. Mostrc que a taxa média de energia fornecida uo circuito da Fig.36-2 pode também >er escrita como

Mostre que esta expressão �� resultados corretos para um circuitopuramellle resistivu. para um circuito RLC ressunante, para um circuitopuramente capacitivo e para um circuito puramente indutivo.

33E. Um motor elétri<:o ligado a uma saída de ca de 120 V-60,0 Hzproduz trdbalho mecânico na taxa de 0, I00 hp (I hp == 746 Wl. Saben-do que ele usa uma corrente de 0.650 A (nns), qual é o valor de sua re-si,têneia efetiva, sob o aspecto da potência transferid<l? Esta resistênciaseria igual à de seu enrolamento quando medido por um ohmímetro, como motur de saída ��

34E. Um condicionador de ar, ligado a uma linha de ca de 120 V, écquivulentc a u,ma resistência de 12J) fi e umu Te<ltância indutivH de J.30


fi em série. (a) Calcular a impedânda do eondieionauor til: ar. (b) De:-termine a tal'a média em que a energia é fornecida ao sistema.

35E. Um motor elétrico tem uma resistência efetiva ue 32.0 n e umareatãncia indutiva ue 45.0 O {IUanUO trabalhando sob carga. A voltagematravés da fonte alternada é dc 420 V (rms). Calcular o valor médioquadrático da corrente.

36P. Mostre matematicamente. em vcz ue graficamente como na Fig.36-8b, que o valor médio de �� I - t/J) sobre um número illleiro deciclos é igual a 1/2.

37P. Para um circuito RLC mostre que num ciclo completo com perío-do T(a) a energia armalenada no capacilOr não varia; (h) a energia ar-malenada no indutor não varia; (e) a energia fornecida pelo gerudor é(TI2l't:,,/ cos t/J; (d) o energia dissipada no resistor é (TI?) Rf (c � Mos-tre que os energia" obtidas nos itens (t') e (d) sào iguais.

38P. Num circuitoRLC. R = 16,00, C = 31,2 JLF. L = 9.20 mH e f. =l,,,sen wlcom 1,.,= 45,0 V e w = 3.lK)0 rad/s. No instante I = 0.442 msdetermine (a) a tal'a em que a energia está sendo fornecida pelo gera-dor. (b) a taxa em que a energia está sendo armalenaua no eapacilor. te)a taxa em que 11 energia está sendo armazenada no indutor e (d) a taxaem que a energia está sendo dissipado /lO re5istor. (e) Qual é o significa-do de um resultado negativo pam qualquer dos itens (a). (b) e (;)'., (OMostre que a soma dus resultados das partes (b). (c) e (d) é igual ao re-sultado da pane (a).

39P. Na Fig. 36-13 mostre que a taxa média (;Um que a energia é dissi-pada na resistênt:ia R é máxima quando R == 1", onde ,- é a resistênciainterna do gerador de ca, Até o momento. tínhamos considerado tacita-mellle que I" = O.

R

Fig. 36-13 Problemas 39 e 48,

4OP. A Fig. 36-14 mostra um gerador de ea ligado a ullla "caixa preta"através de dois terminais. A l'aixa eolllém um circuito RLC possivel-mente até mesmo um circuito com muitas malhas, cujos elementos eligações não conhecemos. Meuiçôes externas à (;aixa reyelam que

';f(t) = 05,0 V) sen w1

i(l) = (1,20A) sen (wl + 42.0°),

(a) Qual é o fator de potência') (b) A corrente está avançada ou atrasadaem relação à fem'! (e) O cireuito na caixa é predominantemente indUlivoou eapaeitivo'! (d) O circuito na caixa está em ressonãncia? (e) Devehaver um capacitor na eaixa'! Um indutor'? Um resistor? (t) Com que

i (I)

Fig, 36·14 Prohlema 40.

taxa média o 'gerador libera energia para a eaixa" (g) Por que não seprecisa saher o valor de w pam responder a eslns perguntas'?

41P, Num circuito RLC como o da Fig. 36-2, .,uponh'Il.jUe R == 5.(K) H,L = 60,0 mH.f = 60,0 Hz e 't,,, = 30,0 V, Para que valores do C(lpat'Í-táncia a taxa média de dissipação de energia no resistor seria UI/ummhimo e (h) um mínimo" (c) Quais são os Yalore, destas tuxas máxi-ma e mínima'? Quai, são (d) os [mgulos de fase eorrespondentes e (e) osfatores de potência correspondentes"

42P, Um dimllJl'r típi(;{l usado para regulnr a intensidade d<.l luz numleatro eonsiste num indu10r varhível L (cuja inuuti'lllcia ç .ljustrivel entrezero e Lm,;) lig<.ldo em série com a lãmpada FI. eomo mostra a Fig, ��

15. O gerador opera a 120 V (rms)-6ü,O Hl; a lampada esta ussinaladapor "120 V -1000W", (a) Qual é o valor de L",,, para que a taxa de dis-sipação de energia na lâmpada possa ser vari<.lda por um fator igual a 5')Suponhu que u re.,istência da lúmpada seja independente de sua tempe·ratura. (h) Poder·se-ia usar um resi5tor variável (ajust:ível entre zero eR"".,) em vez de um indutor') Sendo assim, qual deveria ser o valor deR,,,,," Por que isto não é feito')

I<'ig. 36-15 Problema 42,

43P. Na Fig. 36-16. R == 15,011. C = 4.70 /-LF e L == 25.0 mH, O gera-uor fornece uma voltagem senoidal de 75,0 V (rms) e freqüênciaf ==550 Hz. (a) Calcular o valor médio quadrátiw da wrrente. (b) Determi-ne os valores médios quadrútÍl'lls das voltagens V"" V", V,,/, V,,,/. V,,,t (c)QU<.II é a lal'a média de dissipação de energia em cada um dos três ele-mentos do circui10':'

Fig. 36·16 Prohlema 43.

�� 36·6 O Transformador

44E. Um gerador forneee 100 V ao enrolamento primário. com 50 espi-ras. de um transformador. Sabendo-se que () enmlamento secundáriopossui 500 espims, qU<.I1 é a vo!tugem no secundário"?

45E. Um transfonnador possui 500 espiras 00 primário e 10 espiras nuset:undário. (a) Sabendo-se que 11" é 120 V (rms), qual é [) valor de V,.supondo o cireuito aberlo. (b) Ligando-se o secund:írio a uma carga [C-sbtiva de 15 O. quais serão as correntes no primúrio e no secundário':'

46E. A Fig, 36-17 mostra 11m "uutotransfonnlldor". Ele é formado poruma única bobina (eom um núcleo de ferro). Três "deriva<,:fJes" são es-tabelecidas. Entre as deriva<,:iies TI e T! el'istem 200 espiras e entre as<1erivll<,:fJe, T! e T) existem 800 espiras. Duas derivações quaisquer p0-dem ser consideradas os "terminais do primário" e duas derivaçõesquais-quer podem ser eonsiderndas os "terminais do set'undlÍrio", Escreva to-das as �� pelus quais a voltagem primária pnde ser transformadanuma voltagem secundária.

47P. Um gerador de ca fOl'l1e(;e energia para uma carga resi,tiva numafábricll longínqua através de uma linha de trnl1smissào com dois cabos,


Fig. 36-17 Exercício 46.

Na fábrica. um transformador que reduz tensão diminui <I voltagem (rms)d<llinha de transmissão do valor V, para um valor menor. seguro e con-veniente para ser usado na fábrica. A resistência da linha de Inmsmis-

sào vale IL!O íl/cabo e a potência do gerador é 250 kW. Calcu!<lr a que-da de voltagem ao longo da linha de transmissão e a taxa em que a ener-gia é dissipada na linha como energia térmica quando ÚI) \f, == 80 kY.(Il) V, == 8.0 kV e (e) V, == 0.80 kV. Comente II aeeitabiJidade de c;ld;lescolha.

48P. Na Fig. 36-13. suponho que a caixa retangular da esquerda repre-sente o saída de um amplificador de áudio (alia impediincia) com,. =1.000 11. Suponha que R = 10 J! represeme a bobina de um alto-tillante(baixa impedância). Sabemos que a tnmsferência máxima de energia paraulna e<lrga R ocorre qU<lndo R = r, mas isto não é verd;tdeiro neste caso.Entretantu. um transformador pode ser usado para "transformar" resb·têndas. fazendo com que se compurtem cletric;lmente como se fossemmaiores ou meoores do que realmente sào. Pmjete as bobinas primáriile secundária de um tmnsformadurQue deve ser introdulido entre o "am-plificador" e o ·'alto·falante", na Fig. 36-13. pam que haja o "casamentod"s impedilncias". Qual deve ser a raziio entre os nlllneTOS de espiras'!

PROBLEMAS ADICIONAIS

49. Um geradordeca de'€,,, = 220 V operando a 400 Hz origina oscila-çües num circuitu série RLC que tem os seguintes valores R = 220n. L= 150 mH e C =o 24,0 p.F. Determine (a) a reatâneia capaeitiva X,. (b)a impedância Z e (c) a amplitude da corrente 1. Um segundo capacitorcom capacitância igual ao do circuito original é, entâo. ligado em sérieaos demais componentes. Verifique.'iC os valores das grandezas (d) X,--,(e) Z e (f) I aumentam. diminuem ou pcnnanecem os mesmos.

50. A freqüência de ressonância de um circuito RLC vale 6.00 kHz. Nafreqüência de 8-l10 kHz, o circuito tem uma impedância de 1.00 UI euma cnnsllHlte de fa.'>e de 45°. Quais são os valores de (a) R. Ib) Le (c)C deste circuito?

51. Ofatorde qualidade de um circuito série RLC é

Mostre que. a meia-Iargurll fraeion..1(veja o Problem.. 21 ) da L'urV::1 deressonância do circuito é dada por

52. Mostre que. num circuito série RLC, a voltagem <ltravés do l:apaci-tor é máxima quando o gerador de l:a que origina as oscilal,'ôcs opera nafreqüência angular

onde w" é a freqüência de ressonância do drcuilo.

As EQUAÇÕESDEMAXWELL 37

o di.lposi/il'l! IJIO,I/rodo /lO {I!lo dafO/0t:I"((fio é 11I1/ IIWK/lé/I'OII, li !,III"/e

IJrilldfllll do rodar '1"1' foi de,ll'lIl'ofJ'idopl'las Forças Afimlll.l· dunll/re a Set:1llldaGuerru Mundial, Emhora fI(wt'('a ser unUl

,\'imple,1 cOlIsll"II{'110 di' /!/('W/, foi limagrande {'(Jllqllis/a fecllo/ligi("(I. Dt'fllfO. li

l/1agl1é/I"lJII (e o radllr q/ll! dI' fomoupOHíl'l'i) snll'ou ri III/::/(r/(')'I"{I dl/f(l!lle u

Bil/alllll d" Grií-Breranllll e.PO.\'lt'l"iol"fllellfe, 1U'l"lIIifill ljl!e (1.1 Forças

Aliadaj" derroTassel/1 os Iw:iS/lIS quando (},I

aliados illl"IIdil'lll/ll1 t'-umplI. O radarrequer Ul/la po/ência mui/o /<I"(//ule, lIluiToIIwior do que afomecidll I,dw .fim/e.\ df!{'/ler!!,itl di,\pOIlil'l'ÍI 110 iníâo da SegUI/da

Guerra Muni/ill/. No ell/all/O, 1'.1/1'disposifÍl'o .>impll'.\ di' meUlf foi �� d,.

frans/imnol" li luli.rll lW/hlcill de /lIis fáme.\"IUI ti/Ia potência IIl'c{',\'s/ll"Ía ptrro o radal",

De que modo ��{JOSSíl'('F

37-1 A Unificação das Coisas

No primeiro capítulo deste volume, quando iniciamos oestudo de eletromagnetismo, asseguramos que, numa cer-ta etapa, reuniríamos tudo o que tivéssemos aprendido numúnico conjunto de equações. denominado de equações deMaxwell. Chegou, pois, o momento. Começaremos, então,apresentando um conjunto provisório dessas equações e,após estudá-las. concluiremos - por meio de argumentosde simetria - que falta um tenno muito importante numadelas. A seguir. mostraremos este termo e, finalmente,apresentaremos o conjunto completo das equações de Max-welJ.Todas as equações da física que, como essas. servem para

experiências correlatas numa vasta área e pam prever no-vos resultados. têm uma certa beleza em si mesmas e po-dem ser admiradas, pelos que as entendem, de um pontode vista estético. Isto vale para as leis do movimento de

Newton, para as leis da termodinãmica, para a teoria darelatividade e para as teorias da física quântica.Com reterências às equaç(les de Maxwell, o físico alemão

Ludwig Boltzmann (citando um verso de Goethe) escreveu;"Foi um Deus quem escreveu essas linhas...?" Em época maisrecente, J.R. Pierce, num capítulo de um livro intitulado "AsMaravilhosas Equações de Maxwell". escreveu: "Qualquerum que sinta inclinação por algo além do estritamente práti-co. deve tentar compreender as equações de Maxwell, sim-plesmente pamo bem de sua alma." As finalidades das equa-ções de Maxwell sào notáveis. A orientação da agulha de umabússola, o desvio da hJZ ao entrar na água e o sinal de partidade um carro ao ligar-se a chave de ignição, são fatos explica-dos por estas equações. Os princípios fundamentais Je todosos dispositivos eletromagnéticos e óticos. como motores elé-tricos, telescópios, cíclotrons. óculos, tmnsmissores e recep-tores de televisão, telefones. eletroímãs. aparelhos de radar efomos de microondas, estâo contidos nestas equações.


James Clerk Maxwell. que nasceu no mesmo ano em queFaraday descobriu a lei da indução. morreu com a idade de48 anos. em 1879, ano de nascimento de Einstein. (Lem-bre-se de que Newton nasceu no ano em que Galileu. seuilustre predecessor, morreu.) Maxwelllevou grande partede sua vida. curta. mas. altamente produtiva. estabelecen-do uma base teórica para as descobe.tas experimentais deFaraday. Éjusto dizer que. mediante um exame minuciosodas equações de Maxwell. Einstein foi levado à teoria darelatividade. Grande admirador de Maxwell. Einstein, certavez. escreveu sobre ele: "Imagine o que ele sentiu quandoverificou que as equações diferenciais por ele formuladasprovavam que os campos eletromagnéticos se propagam naforma de ondas polarizadas e com a velocidade escalar daI ,..uz.

37·2 As Equações de Maxwell:Uma Lista Provisória

Quando estudamos mecânica clássica e termodinâmica.nosso objetivo foi identificar o menor e mais compactoconjunto de equações ou leis que definisse o assunto empauta da forma mais completa possível. Na mecânica. issofoi conseguido com as três leis do movimento de Newtone as leis de força associadas, tal como a lei da gravitaçãode Newton. Na termodinâmica isso foi conseguido com astrês leis descritas nos Caps. 19. 20 e 22.Chegou o momento de reunirmos as equações funda-

mentais do eletromagnetismo. Na Tabela 37-1, mostramosum conjunto provisório de tais equações. selecionadas dediversas seções deste livro. Examinando esta pequena lis-ta. você provavelmente dirá que já estudou muito mais doque quatro equações nos 14 capítulos anteriores! Certamen-te é verdade. mas muitas destas equações - por exemplo.a expressão da intensidade do camtx> elétrico em tx>ntos doeixo de um dipolo elétrico - aplicam-se a situações especi-ais e não são básicas. no sentido de que são obtidas de equa-ções mais fundamentais. Você ainda poderá alegar: '"O quedizer sobre a lei de Coulomb e sobre a lei de Biot e Savart?Certamente elas foram tratadas como equações fundamentais."Entretanto, conforme dissemos anteriormente, estas leis sãofundamentais apena" paracargas em repouso ou em movimen-to muito vagaroso. Generalizamos estas leis na Tabela 37-1com a Eq.1 (para a lei de Coulomb) e a Eq.lV (para a lei deBiot e Savart). As equações I e IV valem para situaçõe" quevariem rapidamente no tempo, assim como para situaçõesestáticas ou aproximadamente estáticas.

O termo'que falta. ao qmtl já nos referimos. mostrará nãoser apenas uma correção insignificante. mas. ao contnírio.completará a descrição do eletromagnetismo e. além dis-so. estabelecerá a ótica como parte integrante do eletromag-�� Em particular. ele �� pennitirá provar - comofaremos no primeiro capítulo do próximo volume - que avelocidade escalar da luz no vácuo, c. está relacionada agrandezas puramente elétricas e magnétkas por

t''=..J1(a'VelÓCi'da-de esialarda"iuz) �� J)

Esse termo também nos levará ao conceito de espectro ele-tromagnético que está relacionado com a descoberta dasondas de rádio.Já vimos - em várias situações - como a simetria

permeia a física e como leva, freqüentemente. a uma me-lhor compreensão ou a novas descobertas. Por exemplo. seo corpo A atrai o corpo B com uma força F. então. talvez ocorpo B atraia o corpo A com uma força - F (o que real-mente ocorre). Outro exemplo, se existe um elétron nega-tivo. talvez exista um elétron positivo (realmente existe).Vamos examinar a Tabela 37-1, deste ponto de vista.

lnicialmente. notamos que, quando fazemos apenas consi-derações sobre simetria (sem proceder a cálculos quantita-tivos). podemos ignorar as constantes Eu e f..Lu. Estas cons-tantes resultam do sistema de unidades escolhido e nãodesempenham qualquer papel em argumentos de simetria.Levando em conta esta observação. vemos que os lados

esquerdos das equações na Tabela 37-1 são completamen-te simétricos aos pares. As Eqs. I e 11 são integrais de su-perfície de E e B. respectivamente, sobre superfícies fecha-das. As Eqs. III e IV são integrais de linha de E e B. res-pectivamente, em torno de curvas fechadas. (Note que. setivéssemos usado a lei de Coulomb em vez da Eg. I e a leide Biot e Savart em vez da Eq. IV. estas simetrias não teri-am sido reveladas.)Entretanto. os lados direitos destas equações não apre-

sentam nenhuma simetria. Podemos identificar dois tiposde assimetrias. que serão discutidas separadamente.

A Primeira Assimetria

Esta assimetria diz respeito ao fato notório de que, emboraexistam centros isolados de carga (prótons e elétrons. porexemplo), não parece que existam centros isolados de mag-netismo ('"monopólos magnéticos") na natureza. É assim

Tabela 37-1As Equaçlks Básicas do Eletromagnetismo: Uma Lista Provisória

Número Nome EqulIriio Referêllâa

I Lei de Gauss da eletriddade 1E'dA = qlEo. Eq.25-&11 Lei de Gauss do magnetismo 1i B·dA = O Eq.34-13111 Lei d'l indução. de Faraday 1E·ds == -l/V/ih Eq.32-21IV Lei de Ampêre 1B·ris = p./ E4· 31 - 16

que interpretamos o fato de aparecer um q no lado direitoda Eg. J, mas nenhuma grandeza magnética corresponden-te aparecer no lado direito da Eq. 11. Do mesmo modo, otermo Moi (= /.4) dq/dt) aparece no lado direito da Eg. IV,mas não aparece um termo semelhante a esse (uma ��te de monopólos magnéticos) no lado direito da Eq. m.Esta "simetria que falta" - aliada com predições deta-

lhadas de certas teorias preliminares da natureza das partí-culas elementares e forças - têm motivado os físicos aprocurar o monopólo magnético com grande afinco e demuitas maneiras; nenhum foi ainda encontrado.

A Segunda Assimetria

Esta assimetria destaca-se de maneira acentuada. No ladodireito da lei da induçâo de Faraday (Eg. 1lI) encontramoso termo -dcPaldt. e interpretamos, imprecisamente, esta leidizendo:

AS EQUAÇÕES DE MAXWELL 311

E• -• -�� · -_.· • • -

• -

�• · • E · -, �• -. • -

�� · -_.__.• -, • -R · ---· -.�•.._., • -• -. •

(.) (b)

Fig. 37·1 (11) Um L'ampo elétrico uniforme E. que está oricmado paradentro da páginu c estü aumentando em módulo, preenche uma regiãocilíndrica do espaço. Os campos magnéticos induzidos por este campoelétrico vuriúvel silo rnostrudos em quatro pontos sohre um drculo deraiu arbitriirio r. (b) Este campo eléTrico variável poderi<J ser produzidopor om capacitor de placas paralelas circulares qoc está scndo carrega-do, mostrado aqui em perfil.

Esta figura sugere um outro exemplo de simetria da natu-reza: um campo magnético variável induz um campo elé-trico (lei de Faraday); vemos agora que um campo elétricovari:.ível induz um campo magnético.Para descrever. quantitativamente, este novo resultado

vamos nos orientar pela lei de Faraday,

que afirma que um campo elétrico (lado esquerdo) é pro-duzido por um campo magnético variável (lado direito). Aequação simétrica correspondente, poderia ser escrita

�� um campo magnético (d cPaldt), pro-duz-se um campo elétrico (fE-ds).

Discutimos este efeito na Seção 32-2, onde mostramos que,aproximando-se um ímã de uma espira condutora fechada,induzimos um campo elétrico e, conseqüentemente, umacorrente na espira.De acordo com o princípio de simetria, podemos suspei-

tar que seja verdadeira a seguinte relação simétrica:

Variando-se um campo elétrico (dipE/dl), produz-seum campo magnético (}B·ds).

A experiência prova que esta conclusão, obtida por umargumento de simetria, está correta. Ela nos fornece o im-portante termo que "falta" na Eq. IV da Tabela 37-1, comoveremos na próxima seção.

;:, E'ds:::; _ dcIlnj dt

(lei da induçilo.de Farad<lY).

(irKolTeto).

(37-2)

(]7·3)

37-3 Campos Magnéticos Induzidos

Vamos discutir aqui, detalhadamente, a evidência existen-te para a suposição da seçâo anterior; ou seja, "um campoelétrico variável induz um campo magnético". Embora nosguiemos apenas por considerações de simetria, tambémconsidemremos a verificação experimental.A Fig. 37-la mostra um campo elétrico uniforme E que

preenche uma região cilíndrica do espaço. Este campo podeser produzido por um capacitar de placas paralelas circu-lares. como indicado na Fig. 37-1b. Vamos supor que Eesteja crescendo a uma taxa constante dE/dt, o que signifi-ca que a carga deve ser fornecida às placas do capacitarnuma taxa constante; para isto, tem de haver uma correnteconstante i chegando à placa positiva e corrente igual sain-do da placa negativa.A experiência mostra que este campo elétrico variável

produz um campo magnético dentro e fora da região cilín-drica. A Fig. 37-1 a mostra B em quatro pontos escolhidos.

Esta equação é certamente simétrica da Eg. 37-2. mas exis-tem duas coisas erradas com ela. O primeiro erro é que aexperiência indica que o sinal correto desta equação deveser positivo e não negativo. Isto também é uma espécie desimetria, de qualquer forma, exigida pela natureza.O segundo erro da Eg. 37-3 é apenas fonual, com base na

análise dimensional. No sistema internacional. a Eq. 37-3 nãoestá dimensionalmente correta; para tomá-la correta, é neces-sário introduzinnos um termo /4.1€t1 no lado direito da equa-ção. Assim sendo, a forma correta simétrica da Eq. 37-2. aqual podemos chamar de lei da indução. de Maxwell, é

(37-4)

Note que na Eg. 37-2 a palavra "indução" se refere ao cam-po elétrico induzido; na Eg. 37-4 se refere ao campo mag-nético induzido.


onde i é a corrente que atravessa a curva amperiana ao lon-go da qual a integral de linha é calculada. Reconhecemos.agora. que a Eg. 37-5 está incompleta.Assim sendo, existem pelo menos dois modos de se pro-

duzir um campo magnético: por meio de um campo elétri-co variável (Eq. 37-4) e por meio de uma corrente (Eq. 37-5). No caso geral, devemos prever as duas possibilidades.

A Fig. 37-2, em que comparamos a Fig. 37- Ia com a Fig.32-14b, mostra estas simetrias eletromagnéticas mais cla-ramente. A Fig. 37·2a mostra um campo magnético pro-duzido por um campo elétrico variável; a Fig. 37-2b mos-tra o inverso. Em cada figura o fluxo apropriado. <PEou <1>/1.está crescendo. Contudo. a experiência exige que as linhasde B, na Fig. 37-la. tenham sentido horário. enquanto queas linhas de E, na Fig. 37-2b, devem ter sentido anti-horá-rio. Por esta razão, as Eqs. 37-2 e 37-4 têm sinais contrá-nos.Na Seção 31-2. vimos que um campo magnético tam-

bém pode ser produzido por uma corrente num fio. Des-crevemos. quantitativamente, este fato pela lei de Ampe-re,

EXEMPLO 37·) Um capacitor de placas l:in;ulares paralelas está sen-do carregado como na Fig. 37-1 b.

(37-6)

d4>��

dI��

Combinando as Eqs. 37-4 e 37-5, obtemos a lei em suaforma completa:

Maxwell é o responsável por esta importante generaliza-ção da lei de Ampere. Trata-se de uma confribuição cen-tral e vital. como já observamos anteriormente.No Capo 31, supôs-se que não existiam campos elétri-

cos variáveis e. conseqüentemente, o termo d$/,/dt na Eg.37-6 era nulo. Na discussão que conduziu à Eg. 37-3. su-pôs-se que não existiam correntes de condução no espaçoocupado pelo campo elétrico. Logo, o termo contendo i naEq. 37-6 era nulo. Entende-se. agora, que cada uma dessassituações é um caso especial.A Eq. 37-6 deduzida a partir de argumentos de simetria

tem sido confirmada pela experiência. Veremos no Capo 38que esta concordância é completa e impressionante.

(37-5)(lei de Ampel'e��fB'ds = /Loi

a. Deduza uma expres,ão para o campo magnético induzido em pontosinternos llO capacitor, ou seja. para r:S N.

,Solução Não existe corrente entre as placas, de modo que, com i = OnaEq. 37-6, obtemos

07-7)

Para uma curva amperiana de raio arbitráJ-io r :s R. o lado esquerdo daEq. 37-7 é (8) (21rrj. O fluxo 1>renvolvido por esw espira é (EI ��

Assim. podemos escrever a Eq_ 37-7 como

I"' d dE(B)(211'T) = �� dt �� = ��

E.- Resolvendu para 8. encontramos

�� . , _ ;.-

��É!' /8

(Resposta)

Vemos que 8 = O no centro do capacitor. onde r = 0, e quc B crescelinearmente com I" desde o centro até a periferia do l:apal:itur.

b. Cakule B para r = N = 55,0 mm e ilEldt = 1.50 x 10" VIm' s.

Solução Da expres>ão deduzida acima. temos

Ih'

Fig. 37·2 (a) O mesmo esquema da Fig. 37-1(/; um l:ampo elétrico va-riável induz um l;ampo magnético. (b) O mesmo esquema da Fig. 32-14b; um campo magnético variável induz um campo elétrico. Em cadacaso, os campos indicados pelas cruzes estão aumentando em módulo.Note que os campos induzidos nestes dois CllSúS llpontam em senlidosopo,tos.

B = H·)(i1T X 10- 7 T'm/A)

X (8.85 x ��

x (55.0 x �� ml(l.50 x 1012 V/m's)

= 4.59 x IO-'T = 459nT.

Verifique o cancelilmento das unidudes.

(Resposta)

AS EQUAÇÕES DE MAXWELL 313

c. Deduza lima expressão para o campo magnético induzido em pomosexternos ao clIpucilor. oll seja. para r � R.

Solução P:lra pontos com r � R, o campo elétrico E é igual a lero. demodo que 11 Eq. 37-7 nos dá

Para calcular a corrente de condução. lembremos que Eno intervalo entre as placas do capacitar da Fig. 37-1b édado pela Eq. 27-4,

37-4 Corrente de Deslocamento

Note que as duas expressões obtidas para B conduzem ao mesmo resul-tado para r = R, como esperávamos. Além disto, para r = R, o valor deB calcul;Hl0 no item (b) é máximo.

O cllmpo magnético induzido calculndo em (b) é tão pequeno quedificilmente pode ser medido com uma aparelhagem comum. ble re-sultado contrasta fortemente com o campo elétrico induzido (lei de Fu-raday) que pode ser medido fal:ihnente. Esta diferença experimental éem parte devidu ao falO de que umu [em induzida pode ser faci/mentemultiplicuda usando-se uma bohina com muitas espiras. Não existe téc-nica tão simples quanlo esta para campos magnéticos induzidos. Emexperiência, envolvendo oscilações de freqüências bastante elevadas.dE/di pode ser muito gnmde, resultando em campos magnéticos indu-zidos de valores significativamente maiores. Em lodo caso, e"periênci.as .tnálogas à situação descrita �� exemplo já furam realiladas e osrespectivos campos magnélicos induzidos foram detectados.

A corrente de deslocamento. definida pela Eq. 37-8, é

(37-101(çoncnte de çonduç1io)dfo:

i=EnA-dI

de modo que podemos escrever para a corrente de condu-ção

dE 1 dq 1.��

dt EoA di ��

onde q é a carga da placa positiva do capacitor e A é a áreada placa. Derivando, obtemos

ou

(Resposta)�� R),�� dE

��2r dI

Resolvendo para B, encontramos

As Eqs. 37-10 e 37-11 mostram que a corrente de condu-ção nos fios de ligação do capacitor das Figs. 37-\ e 37-3 ea corrente de deslocamento no intervalo entre a.. placas têmexatamente o mesmo valor. (Contudo, como sugere a Fig.37-3a. a corrente de deslocamento está espalhada por todaa área entre as placas,)

(cont'tltc de deskX'untt'lllo).

------=----........-I,

(37-11)

B

iH

(b)

•

•I

B

dEid == EoA-

dI

��

Examinando-se atentamente o lado direito da Eq. 37-6,notamos que o termo �� tem dimensões de corren-te. Embora nenhum movimento de cargas esteja envolvi-do, há vantagens em dar a esse termo o nome de correntede deslocamento* e representá-lo pelo símbolo ;,1- Isto é,

Desse modo, podemos dizer que um campo magnético podeser criado, seja por uma corrente de condução i, seja poruma corrente de deslocamento i,1 e podemos reescrever aElj. 37-6 como

Generalizando a definição de corrente deste modo, po-demos conservar a noção de continuidade de corrente, con-ceito estabelecido para as correntes de condução constan·tes na Seção 28-2. Na Fig. 37-lb. por exemplo, uma cor-rente de condução i chega à placa positiva e sai da placanegativa. A corrente de condução não é contínua atravésdo intervalo entre as placas do capacitor. porque nenhumacarga é realmente transportada através desse intervalo.Contudo, como se provará a seguir. a corrente de desloca-mento (" naquele intervalo (Fig. 37-3a), é exatamente iguala ;, mantendo a noção da continuidade da corrente.

*A palavra d",,1r){,lIm.."/o (oi introduzida por motivos hbllÍricus,

Fig. 37·3 ((/) A corrente de deslocamento i" entre as pl'lCas de um capa-citorsendo carregado por uma çorrente i. (bJ A regra da m,1o direita d:io sentido do campu magnétko produzido por i e por i",


Assim que o capacitor fica plenamente cUlTegado, atin-gindo uma diferença de potencial de valor igual ao da femaplicada, a corrente nos fios de Iigação cai a zero. O cam-po elétrico entre as placas assume, então, um valor cons-tante, de modo que dEldr = O, o que significa que a cor-rente de deslocamento também cai a zero.A corrente de deslocamento i", dada pela Eq. 37-1 L tem

um sentido além de uma intensidade. O sentido da corren-te de condução i é o mesmo do vetor densidade de correntede condução J. Analogamente, o sentido da corrente de des-locamento id é o mesmo do vetor densidade de corrente dedeslocamento J"que� como vemos daEq. 37-1 I-é exa-tamente €n(dEldt). A regra da mão direita aplicada ao vetorJd dá o sentido do campo magnético associado (Fig. 37-3b),exatamente como é feito para o vetor densidade de corren-te de condução J.

EXEMPl.O 37·2 Qual é a corrente de desluG..lmento para a situaçiíodo Exemplo 37-1?

Solução Da E\.j_ 37-R. a definição da corrente de deslocamenlo.

Maglletis,i,. publicado em 1873, seis anos antes de suamorte. Esse tratado é de difícil leitura e. na verdade, nãoapresenta as equações sob a forma em que o fazemos. Foiüliver Heaviside (1850-1925), físico inglês, quem muitocontribuiu para o esclarecimento da teoria <.Ie Maxwellapresentando-a, na década de 1970. sob a forma das qua-tro equações conhecidas hoje em dia.Sugerimos na Seção 37-2 que as equações de MaxweJl

(como elas aparecem na Tabela 37-2) desempenham parao eletromagnetismo o mesmo papel que as leis do movi-mento de Newton para a mecânica. Existe. entretanto, umadiferença importante. Einstein apresentou sua teoria espe-cial da relatividade em 1905. aproximadamente 200 anosdepois do aparecimento das leis de Newton e cen:a de 40anos após as equações de Maxwell. Em conseqüência. asleis de Newton tiveram de ser drasticamente modificadasnos casos em que velocidades relativas se aproximam davelocidade da luz. Contudo. nenhuma mudança foi neces-sária nas equações de Maxwell; elas são totalmente con-sistentes com a teoria especial da relatividade. De fato. ateoria de Einstein originou-se de seu perspicaz e meticulo-so julgamento das equações eletromagnéticas de JamesClerk Maxwell.

37-5 Equações de Maxwell:A Lista Completa

A Eq. 37-6 completa nossa apresentação das equações bá-sicas do eletromagnetismo, denominadas equações deMaxwell. Mostramos estas equações na Tabela 37-2, quecompleta a lista provisória da Tabela 37-1, introduzindonessa, o termo que faltava na Eq. IV. Estas equações nãosão especulações puramente teóricas. mas foram desenvol-vidas para explicar certas experiências cruciais.Maxwell descreveu sua teoria eletromagnética num lon-

go tratado denominado Treati.H' 011 Electricity tlnd

Embora esta l:onente seja relativalllente grande. produz UIll campomagnéticu de �� 459 nT (veja o Exemplo 37-1h) nas bordas ducapadtor_ Por que este cumpo magnético é tão pequeno? Uma correntede condução de 126 mA pcrconendo um fio fino prodllliria um campomagnético muito maior na superfície do fio, facilmente detectado pelaagulha de uma bússola.Esta diferença nâo se deve simplesmente ao fato de que uma das cor-

rentes é de conduç50 e a oUlra. de desloc<lmento. Sob as mesmas condi-çõcs, us dois tipos de corrente Sl.10 igualmente elicazes na produção de Ulllcumpo mngnético. Neste caso. a diferença decorre do f,lto de {Iue a <:or·rente de condução está confinada num tio tino Illas a l:orrente de desloca-mento está espalhada sobre uma área igual à área das placas do capacitor.Assim, o capacitor se comporta como se fosse um "fio largo" de raio 55.0mm, tmnsportando uma corrente (de deslocamento) de 126mA. Seu mai-or efeito magnético. que ocone na ourda do capacítor, é certamente muitomenor do que o campo magnético obtido na superfície de um fio fino.

d<fJF d dEid = Eo --- = fo-[(E)(7rR2)) = ��

dl dt t

= (8.85 x 10- 12 C2/N· m2)(7r) (55.0 x 1O-3 m )2

x (1.50 X 1012V/m's)

= 0.126 A = 126 mA. (Resposta)

o MagnétronAs equações de Maxwell governam o funcionamento domagnétron. a parte principal do radar WW 11 das ForçasAliadas. O magnétron mostrado na fotografia de aberturadeste capítulo consiste em um catodo central. um anodocom oito câmaras circulares. uma "bobina de saída" numadas câmaras e um grande ímã permanente. Tudo, exceto oímã, é mostrado na Fig. 37-40.Um filamento aquecedor no interior <.lo catodo faz com

que este libere elétrons. Um campo elétrico entre o catodoe o anodo compele os elétrons na direção do ano<.lo. mas ocampo magnético constante B produzit:o pelo ímã perma-nente e os campos magnéticos variáveis, B/I}. produzidosnas câmaras, compelem os elétrons ao agrupamento emquatro "raios de roda" que giram rapidamente em torno docatodo.As extremi<.lades destes "raios" se <.Ieslocam ao longo da

parede interna do anodo onde depositam elétrons, I.x:asio-nando pulsos de corrente de deslocamento ao redor dascâmaras. em sentidos alternados. O sentido da corrente dedeslocamento numa câmara está sujeito ao lado em que oselétrons são depositados (Fig. 37-4h.c), da mesma formaque o sentido da {.'orrente de deslocamento na Fig. 37-3sujeita-se ao lado do capacitor em que a corrente depositaelétrons. De acordo com a Eq.IV da Tabela 37-2, são estespulsos de corrente de deslocamento. ao redor das câmaras,que produzem os campos magnéticos variáveis BRi.Os campos magnéticos variáveis BN/ atuam como um

sistema de realimentação, porque ajudam a formar os "rai-os de roda" que os produzem. De acordo com a Eq. 111 daTabela 37-2. esses campos também induzem pulsos de cam-po elétrico nas câmaras. Os pulsos de campo elétrico na

AS EQUAÇÕES DE MAXWEL.L 315

Tabela 37-2EquaçlH;'S de Maxwell"

Número Nome EqllaFlo DeSCrt'I'"

I

"11IIV

Lei de Gauss da eletricidadeLci de Gauss do magnetismoLei de Faraday

Lei de Ampere-Maxwell

PE-dA == qlE;,PB'dA = {}PE'ds == -d$t!dl

Carga e campo elétricoO C1UUrO magnélicoUm campo clétrko produzido porum campo magnético vari:ivelUm ,'ampo magnélico produz.idopor ullll'ampo elétrico vari<Ívelou por urna correnle ou ��

Cap_ :!5Cap.3.:1Cap.3::!

Cap" �� I e 37

"Válidas someme na ausência de materiais �� e de dieJélricos.

câmara que contém a bobina de saída geram nela pulsosde corrente que são enviados ao longo de fios para a ante-na do radar, onde um feixe de microondas é emitido.Para identificar rapidameme as aeronaves nazistas e lan-

çar a força defensiva, os ingleses precisavam de um radarcom uma potência muito grande, muito maior do que afornecida por uma fonte de potência convencional. Contu-

do, com a ajuda de um magnétron, eles puderam usar umafonte convencional para produ:lir o campo elétrico entre ocatodo e o anodo. Enquanto se moviam para o anodo. oselétrons ganhavam energia dessa fonte e, através das eta-pas �� acima, suas energias eram convet1idas e con-centradas em pulsos. Tudo isto fOI possível por causa da.sequações de Maxwell.

18

("

Bobina de ,aída

\;

".' .,1,", ,.' ,

CalOO0,J

./

��j"Raio do> roda"d,' dé.11:"ns

.��

(h) (I')

Fig. 37-4 (li) As panes eonstituimes de um magnétrol1, (/J, c) Dois estágios em que us correntes de deslocamento na câmara eomcndo iI bobina desaída criam o campo magnético RM- Estes campos. que vlIriilITI numa taxa comparável afreqiiêwlll.\' til' râdio (por isso a l1ol<lçilo RF. iniciai> deI"lIdio(requencie.l). geram pubos de cllrreme na 1J;lbina de saída.


RESUMO

A Extensão de Maxwel! da Lei de AmpereNa Tabela 37-1, �� equaçcles básicas do eldromagnelismodo modo como formn apre>entad11s nos capítulos anleriores. Analisandoa simetria destas equações, vimos que. para fazer a lei de Ampere simé-tric.1 com u lei de Faraday, devemos escrevê-Ia como

f d"',B· ds = J,tot<) di + IJ.1Ji(lei de Ampere-MaxwdB, 07-6)

A Eq. 37-6. enti'io, se escreve

fB' ds = /io{i" + i) (lei de Arnpát' -Muxwell). <J7-'))

o novo termo da direita afirma que um ("limpo elhrko \'Clricíl'c1 (dcfJ/dl) gera 11m campu magl/éTica (p 8 ·ds). Ele é o correspondenle simétri-co da lei de Faraday: um ('(/1/1/,0 mugI/bico l'arüÍl,e/ (dcIJ,/dtl gera um("1/111'0 elétrico (pE-ds).

Corrente de Desloçament(JDefinimCTh 11 corrente de deslocamento devida a Llm campo elélrico Vil-riável como

Deste modo podemos manter a noçao de eontinuidnde dil corrente (cor-reme de condução + corrente de deslocamcnlo). A corrente de desloc,l"mento envolve tllll campo elélrico vari:ivel e !li/o um deslocamento decargas_

�� de Moxwel1As equ11ções de Maxwell. moslradas na Tahela .H-l. resumem todo (lelelromngnetismo e constituem >eu fundmnento.

QUESTIONÁRIO

1. Com ,uas pr6prias �� explique por que a lei da indução de Fu-n1day (veja a Tabela 37-1; pode ser interpretuda dizendo-se: "um cam-po m<tgnético variável gera um campo e1élrico".

2. Quando um fluxo uniforme cf!, através de um anel circular eslá dimi·nuindo com () lempo. o campo mugnético induzido (visto ao longo dosentido de El. está no sentido horário ou unli-horário'J

3. Por que é lao fácil mostrar que "um c,lmpo magnético variável pro-duz um campoelélrico", mas é fão difícil mostrarJe um modo simplesque "um campo elétrico variável produz um campo magnético"?

4. N<t Fig. 37-ll'. considere um círculo com raio r> R. Como se podeinduzir um campo magnético em torno deste círculo, como mostm o�� 37-1? Afinal de �� não há campo elétrico no local destecirculo e. assim, dE/dI == O.

S. Na Fig. 37-la. E está entrando na tigura e seu m6dulo está crescen-do. DetelTIline o sentido de 8 no caso em que. (u) E está entrando nafigura e seu mlÍdulo está diminuindo. (b) 1<: e,tá saindo da figura e ��

módulo está aumentando. (c; E está saindo da tigunl e seu módulo estádiminuindo e (d) E permanece constante.

6. Na Fig. 35-lc é necessária uma corrente dedeslocmnento puru man-ter a continuidade da corrente no capacitor. Como é possível a ��cia de tal corrente. se nào há cargas no capacitor?

7. Na, Figs. 37-1 (I e 37-1 h. qual é o �� da corrente de deslocamen-lO i,,? Nestas mesm,lS figuras. podemos enCOntrar .dguma regra rel<Kio-nando os sentidos de (a) 8 e E c (b) de B c dE"',?

8. Que vantagens cxistem em chamar-se o termo é"d'lJ, !</l, na Eq, IVda Tahela 37-2. de corrente de deslocamento'/

9. Podemos medir �� corrente de deslocatnenlo usando Ulll ampe)'!·metro'! Explique.

10. Explique por que os efeitos magnéticos das correl1!es de conduçàoem fios sao facilmente detectados, cnqu<tnto que os efeito,; magnéti-cos das correntes de deslocamcl1!o em capacitores são tão difícei, dedeteclar')

11. Na Tahelu 37-2. exislem {rês espécies cj(;: ilparellle falta de simetria�� c'luações de Maxwell. (a) As I;mmdezas �� IJ-"aparecem cm IeIV mns niioem II e 111. (h) Exi,te um sina! negmivoem 111 ma, nenhum�� negativo em IV. (c:) Faltam �� "termos ]X'Ilos �� em" eJIl. Quais destes itens representam uma verdadeira falia de ,imetria'J Seos monopólos magnéticos fossem descobertos. como reescreveríamo,;�� equaçiks pari! �� (SII!:f',\It1o: Seji! fl a �� do pôlomagnético.)

EXERCíCIOS E PROBLEMAS

Seção 37·2 As Equações de Mal{well: Uma Usta Provisória

lE. Verifique o valor numérico da velocidade escalar da luz usando nEq. 37-1 e mostre que a equação está dimensíonalmente correIa. (Vejao Apêndice B.'

��

2E. (a) �� que "Mo I to == 377 fi. (Esta grandeza é chamada de"impedância do vácuo",) (b) Mostre que a freqüência angular corres-pondeOle a 60 Hz é igual a 377 nldls. (c) Compare os itens (a) e (b). Voáacha que esta coincidência tenha intluído na escolha de 60 Hz para osgeradores de ca'! Lemhre-se de que, na Europ.1. é usado 50 H7..

Seção 37·3 Campos Magnéticos Induzidos

3E. Para a situação do Exemplo 37-1. onde () campo magnético induzi-do se reduz oi metade de seu valor máximo?

4P. Suponha que um c<tpacitor de placas paralelas circlllares tenhaum raio R de 30 mm e que a separaçi1C1 entre a, pl'lcas seja de 5.0mm. Uma diferença de potencinl senuidal l'Cllll um v.dor máximode 150 V e uma freqüência de 60 Hz é uplicada en1re as placus.Determine 8",(R). o valor máximo do campo magnético induzidopara r = R.

AS EOUAÇÕES DE MAXWELL 317

SP. Para as condições do Problema 4, faça um gráfico de 8",(r) pllra ointervalo O < r < lO em,

Seção 374 Correnle de Deslocamento

modo indicado na Fig. 37-6. Calcular a correnle de deslocamemo queulravessa uma área de 1,6 rn" ortogomll à direçiio do campo, durante cudaum dos intervalos de tempo (a). (b) e (c). indkados no gráfico. (Ignoreo comportamento nas extremidades dos intervulos.)

6E. Prove que a corrente de deslocamento num capacitor de placas pa-rdlelas pode ser escrita como

dVid '"' C-odI

7E. Dispõe-se de um capacilOrde placas paralelas de 1,0 JLF. Como seriapossível obter uma corrente de deslocamento (ins!antânea) de 1,0 A noespaço entre as placas?

8E. Para a situação do Exemplo 37-1, mostre que a densid<lde dI! cor-reme de des{()ctlmento J". para r ",; R. é dada por

ºz0 6

Fig. 37-6 Problema 12,

13P. Um capacitorde placas paralelas quadradas, de 1,0mde ludo, comoo da Fig. 37-7, está sendo carregado por uma corrente de 2,0 A que che-ga a uma das placas e sai da outra. (a) Qual é a corrente de deslocamen-to na região entre as placas? (b) Qual é o valor de dE/d! nesta região?(c) Qual é a corrente de deslocamento através da trajetória quadradatracejada elltre as placas'! (d) Qual é o valor de <j R·ds ao longo destatrajetória'!

11.0 In

J'11'li

Vi."a lateralFig, 37-5 Exercício 9.

9E. A Fig. 37-5 mostra as placas P J e P, de um capllcitor de placas pa-ralelas circulares de raio R. Elas são ligadas, conforme ,e vê, a fios re-tilfneos longos que transponam uma corrente de condução constante i.

lOP. No Exemplo 37-1 mostre que as expressões deduzidas para B(r)

podem ser escritas como

Note que eslas expressões têm a mesma forma que as deduzidas 110 Cap,31. exceto que a corrente de condução i foi substituída pela corrente dedeslocamento i.c

Ar' A! e A, são círculos hipotéticos de rJios iguais a r, dois deles fora docapacitor e um entre as placas. Mostre que o módulo do campo magné-tico na circunferência de cada um desles círculos é dado por

Fig. 37-7 Problema l.t

14P. Em 1929. M. R. Van Cauwenberghe conseguiu medir diretamen-te, pela primeira vez, a corrente de ��i., entre as placas deum capacitor de placas pllralelas. submetido a umu diferença de poten-cial alternada, como está sugerido na Fig. 37-1. Ele usou placas circula-res cujo raio efetivo era de 40 cm e cuja capacitância era de 100 pF. Adiferença de potencial aplicada tinha um valor máximo V", de 174 kVna freqüência de 50 Hz. (a) Qual foi a corrente de deslocamento máxi-ma obtida entre as placas? (b) Por que foi escolhida uma diferença depotencial tão elevada') (A delicadeza destas medidas é tal que elas sóforam realizadas diretamenle muis de 60 anot-i depois de Maxwell terenunciado o conceito de corrente de deslocamento')

ISP. O capacitor na Fig. 37-8 consistindo em duas placas drwlares deraio R = 18,0 cm está ligado a uma fonte de fem 'f, = 'tom ,en M. onde 7::".== 220 Ve W == 130 rad/s. O valor máximo da corrente de deslocameoto éiJ = 7,60 /JÁ. Despreze a distorção do campo elétrieo nas bordas das pla-cas. (a) Qual é (l valor máximo da <:urrente n (b) Qual é o vulor máximo

(para r::::;: R).

(paraT 2: R)

B(r) == 14JidT��

B(T)

,

ItP. EnquanlO um capacitor de placas paralela, circulares, de diâmetro20 em, está sendo carregado, a densidade de corrente de deslocamentoatravés da região entre as �� é uniforme e tem módulo igual a20 Afm'. (a) Calcular () módulo B do campo magnético numa di,tiinciar = 50 mm do eixo de simetria da região. (b) Calcular dE/df nesta re-gião.

12P. Um campo elélrico uniforme cai a zero a pllnir de uma intensida-de inicial de 6.0 x lO" N/C num intervalo de tempo igual a 15 IJoS. do

",'---'f, "'f,,,, senWI

Fig. 37·8 Problema 15.


de l"-tl/dl, onde $" é o tluxo elétricl) na região entre as �� (e) Quala sepnração dentre n, placns'/ (d) Delermine o valor máximo do módulode 8 ellfre as P!<K<IS a um" disfãncia r == 11,0 on do ccntm.

Seçãlj 37·5 I<:quações de Maxwell; A Lista Completa

16E. Qual dus �� de MuxwetJ na Tabeln 37-2 está mais intima-mente relacionada com c.td,t uma d;ts seguint<;:s experiências: ([lI Todacarga colocada num condutor isolado ,!t'sloca-sc totalmenle para 'i suasupcrtkie externu. (h) Ao varinr_,e (I corrente numa hobina. verifica-seo aparecimento de uma correllle nun)ll segunda bobina situada nas pro-ximidades da primeira. (c) Dois fio:' par,tldos transplJn<lndo correntes\\1: ��

17P. Uma prop"il'llílde dc ,mIIWOII.fistéll/"Ía de liluI.I das eqlwçiie.l' deMllxwl'!I(Eqs. 111 e IV da Tahela 37-2). A Fig. 37-9 mostra dois percur-sos fechados /lhe"-J e IX'de/) que !"H)SSllem um lado conmm ']f'. (a) Pode-se aplicar 'fi E·ds = -d(fJ,ldl (Eq, II I) 11 cada uma das trajet6rias feeh:l-das separadamente. Mostre qUe, u purtir destes resultados, a Eq. 111 éIlIIlOIIl/lliclIlIICl1le salisfeita para o percurso fechado composto abn/;i/l.lh, Repita o item (a) p:lnt a Eq. IV.

"

d

Fig. 37-9 Problcmu 17.

18P. Uma propriedade de l/llIIJ('omisthlcÍlI de t!1/(/.I' d/ls eljl!(lçiies deMlwrdl (Eqs, I e 11 da Tubda 37-2). Dois paralelepípedos adjaccntespm1ilhalll uma tace cumum /lhetl, como moslra il Fig. 37-10. (a) Pode-

Se aplic<lr �� q/f:" t&]. I) a cada um<l destas duas superfícies fe-chadas separadamente. Mostre que. a partir de'!e, resultados, a bl. I �1I1/ImulI1icl/!//l'lIIl'sJlisfeik1 pJrJ a ',uperfíóe fechJda �� (h) R('-pila o item (;1) pura a Eq. 11.

"•

d

�� 37.10 Problema IR.

19P. As �� de Móixwell como mostr,ldas na Tubelu 37-2 vóilemSomente na llusência de m.lferiais dielétricos. Como seri<lm escritas es-ta, eqlluçôes se esta restriçiio fo.sse eliminada')

2Op*. Uma longa b<lrra cilíndrica condutora. de raio R. eslá centrada UlJ�� doeixoxcolTIolllOslra a Fig. 37-11. A b.1ml possui umcoJ1e muilotino em x = b. Uma cnrrente de conduçào i, aumentando no tempo e dadapor i == ()' I, percone a ban'a d<l e,querda pnra udireita; a é uma (onslantede proporcionalidade (positiva). No instante I == () não existe ('W":CU nas facesdo corte prlÍximas de x = h. (a) Determine u módulo da �� nessasfaces em função do lempo. (h) �� a El). I da Tahcla 37-2 para delcrrninarE no interv.t1o emrc as fuces em função do tempo. (cl Eshoce <I, linhas deB pam r < R, onde ré a di,stiinl'ia ao eixo.l. (d) Use a Eg. IV du Tabelu37-2 pura determinar B(r) no intervalo entre us façes par" I" oS R. (e) Com-pare a resposla do ítem (d) �� 8(1') na barra para,- :S R.

•[-'--,

�� 37·11 Problema 20.

PROBLEMAS ADICIONAIS

21. Um fio de prata tem rcsistividadc 11 = 1,62 X 10 'n· In e seçãotmn!iversal dc áren 5,00 mm', A conente no fio eslá variando na taxa de2,()(K} Ais quando a correlllc é 100 A. (u) Qual é tl eumpo elétrico no lioquando a corrente que () percorre é de 100 A? (b) QlIul é li corrente dedeslocamento no fio neste instantc'! (I:) Qual é ,I ralão cntre u campomagnético criado pela corrente de deslocamento e o campo mngnétíço\:t\....u<;'> �� ç<;,>ro;.l'I\e- '.lo \,\I\\a �� f dt.\ ��

v: o eapadtor. cnt;1o, descarrega ulmvés do material entre as placllS. Qualé o cwnpo magnético entre as placas durante esta descarga'./

23. tJtn cllpadlOrdc placas �� preend)idu com um materiul de cons-lante dielétrica If está carregllndo. Mostre quc, cntluanto o capncitor estásendo cam::gudo. a densidade de correntc de desloclltnento no dielétrico é

22. Um cap:lcilor de pl<lc.ts paralelas de área A e separar,.10 d está preen-l'hidocotn um material de cOllstanle de pennissívidade €;,econdutívidade'r. Ocapadtorestá inicialmente carregado sob uma diferem,:a de potcncial onde D = KE""E.

dO�� = dt'

fundamentos de física 3: eletromagnetismo - 4ª ediçãotgrappoport/aulas/halliday3637.pdf · c o...

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