fundamentos de cartografia para profissionais de...

CURSO DE FUNDAMENTOS DE CARTOGRAFIA MATEMÁTICA E GEODÉSICA

Prof. Marcos Antônio Timbó Elmiro Departamento de Cartografia Instituto de Geociências - UFMG

Prof. Marcos A. Timbó Elmiro Fundamentos de Cartografia e Matemática e Geodésica

SUMÁRIO

1 – Apresentação ................................................................................................................. 3

2 - Conceito de Cartografia ................................................................................................. 3

3 - Ciências e tecnologias de suporte .................................................................................. 3

4 - Representação cartográfica do planeta Terra................................................................. 9

4.1 - Modelo forma e dimensões da Terra .......................................................................... 9

4.2 - Datum horizontal ........................................................................................................ 11

4.3 - Datum vertical ............................................................................................................ 15

4.4 - Sistema de coordenadas geodésicas............................................................................ 16

4.5 - Sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais X, Y, Z..................................... 17

4.6 - Algumas medidas na esfera terrestre .......................................................................... 18

4.7 - Orientação terrestre (azimute e rumo) ....................................................................... 18

4.8 - Sistema de coordenadas planas cartesianas ................................................................ 20

4.9 - Sistema de projeção cartográfica ................................................................................ 22

4.10 - Sistema Topográfico Local ....................................................................................... 28

4.11 - Operações e Transformações com Pontos e Coordenadas........................................ 30

5 - Sistema Geodésico Brasileiro ........................................................................................ 31

6 - O Mapeamento Sistemático Nacional............................................................................ 34

7 - Etapas da produção de mapas topográficos ................................................................... 35

8 - Interpretação de cartas e dados topográficos ................................................................. 37

9 - Precisão cartográfica...................................................................................................... 43

10 - Questões de práticas propostas .................................................................................... 44

11 - Referências bibliográficas............................................................................................ 45

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1 - APRESENTAÇÃO

Nos dias atuais existe uma ampla conscientização de que a informação é um recurso estratégico dos mais valiosos para a condução de qualquer tipo negócio, seja de natureza pública ou privada, de abrangência global, regional ou local. Nenhum País, Estado ou Município poderá atingir seu pleno desenvolvimento se não dispuser de informações atualizadas, precisas e sinópticas sobre a natureza a quantidade e a distribuição geográfica dos seus recursos naturais e riquezas geradas pelo seu povo. A Cartografia tem um papel de relevância fundamental dentro deste contexto, porquanto os mapas são o principal meio de apresentação dos resultados de análises geográficas e representam as formas de visualização mais naturais e de interpretação mais intuitivas para a informação georeferenciada.

Atualmente a área de “Geoprocessamento e Geoinformacão” disponibiliza ferramentas muito eficientes para aplicações em diferentes disciplinas que lidam com recursos geograficamente distribuídos, tendo atraído a atenção de muitos profissionais e pesquisadores. Na prática, qualquer atividade onde a posição geográfica tenha alguma importância é uma área com potencial de aplicação de ferramentas e recursos de Geoprocessamento. As operações espaciais necessárias às diferentes análises de Geoprocessamento são muito facilitadas pela álgebra de mapas e outras operações com planos de informações cartográficas. Além disso, existe atualmente uma enorme disponibilidade de informações sob a forma de mapas, cartas e dados georeferenciados, nos modos digitais e analógicos.

Muitos profissionais que estão se iniciando nessa nova área de Geoprocessamento e Geoinformacão, têm sido atropelados pela falta de entendimento de conceitos básicos relacionados a Mapeamento e Cartografia. Assim, este material introdutório visa dar suporte a disciplinas de Cartografia com o objetivo de minimizar estas dificuldades.

2- CONCEITO DE CARTOGRAFIA

Cartografia é a Ciência e Arte que se propõe a representar através de mapas, cartas, plantas e outras formas gráficas os diversos ramos do conhecimento do homem sobre a superfície e o ambiente terrestre. É Ciência quando se utiliza do apoio científico da Astronomia, da Matemática, da Física, da Geodesia, da Estatística e de outras Ciências para alcançar exatidão satisfatória. É Arte, quando recorre às leis estéticas da simplicidade e da clareza, buscando atingir o ideal artístico da beleza

Portanto, todo documento cartográfico deve guardar um compromisso com a exatidão a qual deve ser compatível com a escala de representação ou resolução. Quando se extrai uma informação de um documento cartográfico, pode-se quantificar a incerteza em termos de posição geográfica, comprimento, direção ou área com o grau de confiança adequado. A definição também sugere que as informações apresentadas na carta devem ser claras, logicamente organizadas, de fácil leitura e de interpretação imediata.

3 - CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS DE SUPORTE

A Cartografia se apóia em várias tecnologias e ciências das quais se apresenta a seguir um breve resumo referente às mais significativas para os objetivos deste estudo.

ASTRONOMIA

A Astronomia é a mais antiga ciência de suporte à Cartografia. Foi utilizada desde tempos imemoriais para determinar a posição geográfica (latitude, longitude) e orientação

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azimutal de pontos e lugares da superfície terrestre. Os astrônomos e os observatórios astronômicos, desde eras muito remotas, determinam e divulgam as coordenadas das principais estrelas e de outros astros em relação à Esfera Celeste. Um observador na Terra, ao observar uma estrela ou astro de coordenadas celestes já conhecidas e utilizando os conceitos de trigonometria esférica, pode determinar as coordenadas geográficas de sua posição terrestre. Os antigos cartógrafos e navegadores só dispunham deste único recurso para se localizar, navegar e construir mapas (Figura 1). Nos dias atuais as medições astronômicas para determinação rotineira de posição foram praticamente substituídas por metodologias mais modernas como o sistema GPS e outros avanços.

Figura 1 – Astronomia usada como único instrumento pelos cartógrafos e navegadores antigos.

TOPOGRAFIA

Os trabalhos de Topografia são utilizados para determinar a posição tridimensional X,Y,Z ou E, N e Altitude de pontos e feições do terreno. Os métodos tradicionais de Topografia costumam atuar em pequenas extensões da superfície da Terra onde se pode desconsiderar sua curvatura. Utilizam diversos instrumentos que medem ângulos (horizontais e verticais) e distâncias, calculam as posições dos objetos terrestres com base na geometria e na trigonometria planas considerando um modelo plano da Terra local (Figura 2). Com o desenvolvimento das estações topográficas eletrônicas (chamadas Estações Totais) as técnicas de topografia alcançam atualmente alta produtividade na coleta de dados geográficos, sendo largamente utilizadas.

Figura 2 – Visão geral do método topográfico. Observa-se o ponto inicial de instalação do instrumento com posição conhecida, o ponto de referência de azimute inicial

também com posição conhecida (linha pontilhada com seta), os prismas de reflexão do laser instalados nos pontos de posição a determinar (linhas cheias sem setas).

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GEODÉSIA

A Geodésia é a ciência que trata do estudo da forma e dimensões da Terra, sendo responsável pelo estabelecimento do apoio geodésico básico para posicionamento, ou seja, uma malha de pontos geodésicos com latitude, longitude e altitude de alta precisão (Figura 3). Essa malha é necessária para dar suporte aos trabalhos que requeiram novas posições, com novas coordenadas, tais como mapeamentos cartográficos, trabalhos de engenharia, estudos de geodinâmica e atividades de navegação. A Geodésia utiliza instrumentos e métodos de alta precisão. As posições geodésicas são calculadas utilizando fórmulas matemáticas rigorosas e completas da trigonometria esférica sobre um modelo da Terra mais próximo possível do real. A Terra é considerada como um elipsóide de revolução para cálculo das latitudes e longitudes e como um modelo gravitacional complexo para cálculo das altitudes.

Figura 3 – Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC) mantida pelo IBGE para servir de infra-estrutura geodésica geral.

POSICIONAMENTO GLOBAL POR SATÉLITES

O Sistema de Posicionamento Global - GPS é um sistema de posicionamento e navegação baseado em satélites artificiais que foi projetado de forma que em qualquer lugar do mundo e a qualquer instante existam pelo menos quatro satélites GPS acima do plano do horizonte do observador. Esta situação garante a condição geométrica mínima necessária para determinação de uma posição geográfica em tempo real. Assim, qualquer usuário equipado com um receptor e processador de sinais GPS poderá determinar sua posição imediatamente. O Sistema GPS é

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constituído por 3 segmentos distintos, a saber: Segmento Espacial, Segmento de Controle e Segmento do Usuário.

O segmento espacial é composto por pelo menos 24 satélites que orbitam em volta da Terra a uma altitude aproximada de 20.000 km, distribuídos em seis planos orbitais com inclinação de 55° em relação ao plano do Equador e com um período de revolução de 12 horas siderais. A função deste segmento espacial é gerar e transmitir os sinais GPS (códigos, portadoras e mensagens de navegação) para os usuários do sistema.

O segmento de controle é responsável pela operação do Sistema GPS. Este segmento é constituído por diversas estações de monitoramento espalhadas pelo mundo que rastreiam continuamente todos os satélites visíveis no campo da antena. A função principal deste segmento é manter atualizada a mensagem de navegação que é transmitida pelos satélites para os usuários do sistema. A mensagem de navegação atualizada contém os dados fundamentais para que o receptor terrestre faça o cálculo da posição do usuário.

O segmento do usuário refere-se a tudo que se relaciona com a comunidade usuária para determinação de posição, velocidade ou tempo. São os receptores, algoritmos, programas, metodologias, técnicas de levantamentos.

O sistema GPS é capaz de fornecer posições geográficas com diversos níveis de precisões desde as mais grosseiras, em torno de 30 metros, até altas precisões, da ordem de 1 milímetro, dependendo dos instrumentos e metodologias utilizadas na coleta e processamento dos sinais. A Figura 4 ilustra o segmento espacial GPS e instrumentos usados nas medidas de campo.

Figura 4 – Ilustração do Sistema espacial GPS e dos instrumentos recptores.

FOTOGRAMETRIA

A Fotogrametria é a técnica utilizada para obtenção de medidas tridimensionais terrestres e mapeamentos planialtimétricos precisos através de coberturas fotográficas, obtidas por meio de câmaras métricas com recobrimento estereoscópico longitudinal e lateral (Figura 5). É uma técnica largamente utilizada em Cartografia para elaboração de mapas e cartas topográficas e cadastrais de áreas extensas, bem como, para produção de modelos digitais de terreno. Para

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mapeamento de grandes áreas as técnicas pontuais de Topografia e GPS tornam-se de baixa produtividade.

Figura 5 – Visão geral do método aerofotogramétrico. O avião fotografa o terreno em faixas paralelas com recobrimento longitudinal de 60% e lateral de 30%. A reconstrução do modelo tridimensional é feita pela exata geometria inversa com base nas fotos e

em pontos de controle medidos no campo. As medidas planialtimétricas são extraídas do modelo tridimensional reconstruído com exatidão cartográfica.

VARREDURA LASER

O método LIDAR (Light Detection and Ranging) tal como a fotogrametria é uma técnica para levantamento e mapeamento de recursos da Terra que permite a obtenção de posições tridimensionais precisas em curto espaço de tempo. Um sistema de LIDAR utiliza uma combinação de três diferentes tecnologias avançadas: 1) um Sistema de navegação inercial de alta precisão (Inertial Navigation System - INS) para fornecer atitude e orientação do sensor; 2) um varredor de distâncias a laser; e 3) um Sistema de Posicionamento Global por satélite (GPS) operando no modo cinemático diferencial por fase para fornecer a posição do sensor. Com a integração dos três subsistemas em um único instrumento montado no avião ou em um pequeno helicóptero, é possível adquirir rapidamente nuvens de pontos tridimensionais do terreno abaixo da trajetória de vôo. A Figura 6 ilustra os principais aspectos da base conceitual do sistema LIDAR.

Figura 6 – Visão geral do levantamento a laser. O sensor avança na direção de vôo enquanto o

varredor desloca o feixe de laser lateralmente com passo constante cobrindo o terreno nas duas dimensões com pontos espaçados. As posições geográficas dos

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pontos são obtidas com base na posição GPS do Centro Elétrico do emissor de laser, na distância, no azimute e na inclinação do feixe de laser até o chão.

SENSORIAMENTO REMOTO

O Sensoriamento Remoto é a ciência e técnica que utiliza modernos sensores, equipamentos e programas de processamento e transmissão de dados, aeronaves e/ou espaçonaves para fins de estudo do ambiente terrestre por meio do registro e da análise das interações entre a radiação eletromagnética e as substâncias componentes do planeta em suas mais diversas manifestações. O Sensoriamento Remoto veio complementar o método da fotogrametria, principalmente para atualização de mapeamentos e nas aplicações para obtenção de informações temáticas. A Figura 7 ilustra uma visão geral do Sensoriamento Remoto.

Figura 7 – Visão geral do Sensoriamento Remoto. A revolução do satélite em orbita quase-polar e a rotação da Terra permitem obter imagens de qualquer lugar da Terra com a

possibilidade de revisitas periódicas. As imagens em diferentes bandas do espectro eletromagnético são processadas e combinadas para gerar vários produtos de

mapeamento topográfico.

COMPUTAÇÃO E GEOPROCESSAMENTO

O advento e desenvolvimento da computação nas últimas décadas vieram contribuir para um grande salto tecnológico da Cartografia. Dentre as maiores contribuições da computação destacam-se os seguintes avanços: 1) desenvolvimento das ferramentas de computação gráfica; 2) algoritmos e softwares para processamento digital de imagens; 3) sistemas de gerenciamento de bancos de dados; 4) mesas digitalizadoras; 5)scanners de grande formato; 6) plotters e impressoras de alta resolução; 7) softwares e plataformas para Sistemas de Informações Geográficas - SIG.

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4 - REPRESENTAÇÃO CARTOGRÁFICA DO PLANETA TERRA

Para representar a superfície da Terra, que tem a forma de um esferóide, através de mapas, que são planos, é necessário, antes de tudo, discutir três aspectos fundamentais a seguir:

1. Entender sua forma real e definir um modelo matemático de representação para viabilizar os cálculos, transformações e representações das medidas reais;

2. Estabelecer um sistema de conversão (projeção) das medidas reais obtidas ou calculadas na superfície esférica do modelo do planeta para o plano cartográfico do mapa; e

3. Adotar uma escala de representação para os elementos e feições da Terra, no caso de usar documentos impressos, tendo em vista que não é possível a representação em verdadeira grandeza. Nos mapeamentos digitais, atualmente, a escala só é considerada no momento da impressão.

4.1 - MODELO FORMA E DIMENSÕES DA TERRA

Especulações sobre a forma da Terra, embora revestidas de roupagens místicas, remontam aos primórdios da civilização. Existem diversos relatos históricos antigos que atribuem formas bastante inusitadas para a Terra, como por exemplo, um enorme disco suportado por elefantes gigantes. Pitágoras e Sócrates (Séc V AC) já se recusavam a aceitar a idéia da Terra plana embora não pudessem provar. Aristóteles (Séc IV AC) reforçou a idéia da esfericidade da Terra argumentando o contorno circular da sombra da Terra nos eclipses da Lua; a variação do céu estrelado vista por um viajante que muda de latitude; e a diferença de horário na observação do mesmo eclipse para observatórios afastados em longitude. Ele, porém, defendia a imobilidade absoluta do planeta. Arquimedes (Séc IIV AC) afirmou que o diâmetro da Terra era superior ao da Lua e inferior ao do Sol. Eratóstenes (Séc II AC) determinou o raio da Terra através de operações geométricas e, devido a algumas coincidências, achou resultado muito próximo do verdadeiro atual.

Sabe-se atualmente que a Terra tem uma forma real bastante complexa, mas pode ser simplificada através de modelos para fins de representação cartográfica sem prejuízos significativos. As principais formas de interesse para representação cartográfica são:

SUPERFÍCIE TOPOGRÁFICA

É a forma verdadeira da Terra com suas montanhas, vales, oceanos e as inúmeras saliências e reentrâncias geográficas da superfície. É a superfície física de existência real onde são executadas as medições e observações cartográficas (Figura 8). Os instrumentos de medida operam na superfície topográfica.

Figura 8 – Superfície topográfica em relação a outras superfícies de interesse cartográfico.

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GEÓIDE

É a forma verdadeira da Terra quando são subtraídas as montanhas, as depressões e outras saliências e reentrâncias geográficas da superfície. Estes elementos são muito pequenos (máximo 8,9 km no pico do Everest) em relação ao diâmetro da Terra ( 12.740,0 km). A superfície do geóide não tem definição geométrica ou matemática, ela é definida pelo potencial da gravidade equivalente ao do nível do mar. É uma superfície aproximadamente esférica com suaves ondulações e achatada nos pólos. Seu diâmetro equatorial é aproximadamente 43 km maior que o diâmetro polar. O Geóide pode ser definido como sendo a superfície do nível médio das águas tranqüilas dos mares prolongada por baixo dos continentes e é utilizado, em cartografia, como o modelo de referência padrão para as medidas de altitudes.

ESFERA

É a forma da Terra, com definição matemática, que representa uma simplificação do Geóide, considerando que o achatamento da Terra é muito pequeno (43 km em relação a 12.740 km de diâmetro). É uma forma geométrica simplificada eventualmente utilizada em cartografia apenas em cálculos auxiliares e trabalhos aproximados. A equação do círculo máximo que define uma seção meridiana ou o Equador na esfera é dada por: X2 + Z2 = R2, onde X e Z são as coordenadas do círculo e R é o raio.

ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO

O Elipsóide de Revolução (Figura 9) é definido como sendo o sólido geométrico gerado por uma elipse que gira em torno do seu eixo menor (eixo polar). Constitui a forma com definição matemática que mais se aproxima do geóide (prolongamento do nível do mar), portanto é a forma que permite a maior precisão de representação da Terra. Os mapas e cartas topográficas, o sistema GPS e a maioria dos sistemas e processos envolvidos em cartografia e navegação, utilizam o modelo elipsóidico terrestre. Esta é a forma padrão considerada pela Geodesia para os trabalhos de precisão rigorosa.

Figura 9 – Elipsóide de revolução, modelo matemático da Terra que mais se aproxima do geóide

(modelo físico).

A elipse é uma curva definida pelo lugar geométrico dos pontos do plano onde a soma dos raios vetores que partem dos focos é uma constante de valor igual ao dobro do semi-eixo maior da elipse (r1 + r2 = 2a). A equação da elipse é dada por: X2/a2 + Y2/b2 =1, onde

Raios vetores r1, r2Semi-eixo maior a Semi-eixo menor b Coordenadas X, Y Achatamento f = (a-b)/a Excentricidade ε = [(a2 - b2 )/ a2 ] 1/2

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PLANO

É a forma mais simplificada de todas, prestando-se apenas para representação local, em extensões limitadas de acordo com a aplicação, até um raio máximo de aproximadamente de 50 km, considerando que a curvatura da Terra é muito pequena ao longo dessa extensão. Neste caso, todas as medidas feitas sobre o terreno natural são simplesmente projetadas em um plano horizontal tangente à superfície terrestre local (chamado Plano Topográfico). Muitos trabalhos de topografia e mapeamento para obras de engenharia civil, arquitetura e parcelamentos urbanos utilizam o Plano Topográfico Local como base de projeção.

4.2 - DATUM HORIZONTAL Desde os estudos gravitacionais de Sir Isaac Newton concluiu-se que o modelo

matemático mais adequado para a representação da Terra é o elipsóide de revolução. Porém, vários países e continentes adotaram elipsóides com parâmetros ligeiramente diferentes, com objetivo de que eles se ajustassem localmente melhor às suas regiões específicas e produzissem resultados locais mais precisos, visto que àquela época não havia integração global. O modelo da Terra usado pelos Estados Unidos é um elipsóide diferente do elipsóide usado pelo Brasil que, por sua vez, é diferente do elipsóide usado pela Rússia. Assim, existem vários modelos elipsoídicos terrestres locais e a adoção de um modelo terrestre global, que seria ideal, geralmente esbarra nas fronteiras políticas.

Um Datum Horizontal (Figura 10) é definido como sendo um sistema de referência

padrão adotado por um país ou por todo o planeta ao qual devem ser referenciadas as posições geográficas planimétricas (latitude e longitude ou coordenadas cartesianas derivadas da projeção cartográfica). É fundamental que os dados geográficos de um mesmo projeto de Geoprocessamento estejam referenciados a um único Datum Horizontal para evitar incompatibilidades. Um datum horizontal local ou topocêntrico é definido pela adoção de um Elipsóide de Referência que representará a figura matemática da Terra, um Ponto Geodésico Origem e um Azimute inicial para fixar o sistema de coordenadas na Terra e servir como marco geodésico inicial para propagar as medições de latitudes e longitudes. O critério básico para escolha do Ponto Geodésico Origem de um datum local é a ocorrência de máxima coincidência entre a superfície do geóide e a superfície do elipsóide de referência adotado, ou seja, o desvio da vertical e ondulação geoidal devem ser nulas.

Figura 10 – Ilustração de datuns diferentes (elipsóides diferentes amarrados em locais diferentes) os quais apresentarão diferentes coordenadas para os mesmos objetos da Terra.

Atualmente há uma tendência mundial para adoção de datums globais geocênticos que são determinados com base em medições de satélites artificiais e observações de radioastronomia de alta precisão, onde a origem dos eixos de coordenadas tridimensionais é o centro de massa da Terra e o elipsóide adotado se ajusta à figura da Terra de forma global. É importante lembrar que

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um mesmo ponto do terreno terá valores de coordenadas diferentes quando referidas a diferentes datuns.

Existe uma grande quantidade de datuns horizontais usados em diferentes partes do mundo. No Brasil lidamos, basicamente, com apenas quatro datuns, a saber: 1) Sistema de Referência Geodésico para as Américas (SIRGAS) que é o datum global geocêntrico oficial adotado por lei a partir da R.PR-IBGE-1/2005 de 25/02/2005; 2) South American Datum (SAD-69), que é o datum local topocêntrico oficial anterior ao SIRGAS e que será por este completamente substituído no prazo de 10 anos a partir da R.PR-IBGE-1/2005; 3) Córrego Alegre, que é o datum local topocêntrico anterior ao SAD-69, ao qual existem ainda vários trabalhos antigos referenciados; e 3) World Geodetic System (WGS-84), que é o datum global geocêntrico utilizado pelo Sistema GPS, cuja a tendência é ser adotado como padrão mundial.

O WGS-84 é um datum global e geocêntrico, onde o elipsoide adotado (GRS80) ajusta-se o mais possível ao geóide em todo o globo e a origem dos seus eixos coordenados é fixada no geocentro (centro de massa da Terra). No datum global, como o elipsóide é fixado à Terra no geocentro, não há Ponto Geodésico Origem na superfície da Terra nem Azimute inicial. A Tabela 1 ilustra vários elipsóides estabelecidos para a Terra desde que Newton contestou sua simples esfericidade e postulou sua forma elipsóidica.

Tabela 1 - Parâmetros de vários Elipsoides Terrestres de Revolução Seq. Autor SemiEixo a SemiEixo b f-1 = a/(a-b) Ano Método Usado 1 BOUGUER, MAUPERTIUS 6379300 6349875.2 216.80 1738 Astrogeodésico 2 Comissão de Pesos e Medidas 6375739 6356650.0 334.00 1800 Astrogeodésico 3 LAPLACE 6375739 6352804.7 278.00 1800 Astrogeodésico 4 LAPLACE 6375739 6354834.9 305.00 1802 Astronômico 5 DELAMBRE 6376523 6355860.3 308.60 1810 Astrogeodésico 6 WALBECK 6376896 6355836.2 302.80 1819 Astrogeodésico 7 SHIMIDT 6376959 6355523.8 297.50 1829 Astrogeodésico 8 EVEREST 6377276 6356074.9 300.80 1830 Astrogeodésico 9 AIRY 6377563 6356254.7 299.30 1830 Astrogeodésico 10 BESSEL 6377397 6356078.6 299.15 1841 Astrogeodésico 11 EVEREST 6376901 6356399.1 311.04 1847 Astrogeodésico 12 JAMES & CLARKE 6377936 6356513.4 297.72 1856 Astrogeodésico 13 CLARKE 6378345 6356669.1 294.26 1857 Astrogeodésico 14 SHUBERT 6378345 6356876.3 297.10 1859 Gravimétrico 15 PRATT 6378245 6356645.8 295.30 1863 Astrogeodésico 16 CLARKE 6378206 6356583.5 294.98 1866 Astrogeodésico 17 FISCHER 6378338 6356229.4 288.50 1868 Astrogeodésico 18 CLARKE 6378199 6356445.3 293.20 1878 Astrogeodésico 19 CLARKE 6378249 6356514.4 293.46 1880 Astrogeodésico 20 HELMERT 6378249 6356934.9 299.25 1884 Gravimétrico 21 BONSDORF 6378444 6357082.8 298.60 1888 Astrogeodésico 22 DARWIN 6378444 6356924.3 296.40 1889 Astronômico 23 DARWIN 6378444 6356989.4 297.30 1889 Astronômico 24 IVANOV 6378444 6356982.2 297.20 1889 Gravimétrico 25 CALLANDREAU 6378444 6356996.6 297.40 Astronômico 26 HARKNESS 6378039 6356793.0 300.20 1891 Astrogeodésico 27 HELMERT 6378039 6356657.7 298.30 1901 Gravimétrico 28 MAYFORD 6378283 6356865.0 297.80 1906 Astrogeodésico 29 HELMERT 6378200 6356818.2 298.30 1907 Astrogeodésico 30 HAYFORD 6378388 6356911.9 297.00 1909 Astrogeodésico 31 HELMERT 6378388 6356890.2 296.70 1915 Gravimétrico 32 BERROTH 6378388 6356969.6 297.80 Gravimétrico

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33 BOWIE 6378388 6356940.8 297.40 1917 Gravimétrico 34 MACCAW 6378300 6356766.2 296.20 1924 35 HEISKANEN 6378300 6356853.1 297.40 1924 Gravimétrico 36 HEISKANEN 6378397 6356920.9 297.00 1926 Astrogeodésico 37 DE SITTER 6378397 6356918.0 296.96 1927 Astronômico 38 HEISKANEN 6378397 6356920.9 297.00 1928 Gravimétrico 39 HEISKANEN 6378397 6357007.3 298.20 1929 Gravimétrico 40 KRASSOWSKI 6378245 6356884.5 298.60 1936 Astrogeodésico 41 ISOTOV 6378279 6356982.6 299.50 1938 Astrogeodésico 42 DE SITTER 6378279 6356785.2 296.75 1938 Astronômico 43 HEISKANEN 6378279 6356889.7 298.20 1938 Gravimétrico 44 SHURAVLEV 6378279 6356908.4 298.46 1940 Gravimétrico 45 KRASSOWSKI 6378245 6356863.0 298.30 1940 Astrogeodésico 46 NISKANEN 6378245 6356827.1 297.80 1945 Gravimétrico 47 SCHUTTE 6378245 6356806.2 297.51 1950 Gravimétrico 48 LEDERSTEGER 6378300 6356824.2 297.00 1951 Gravimétrico 49 JEFFREIS 6378300 6356845.2 297.29 1952 Astronômico 50 SPENCER JONES 6378300 6356845.9 297.30 1953 Astronômico 51 LIEBERMAN-TANNI 6378160 6356684.7 297.00 1955 Combinado 52 A.M.S 6378240 6356764.4 297.00 1956 Astrogeodésico 53 A.M.S 6378285 6356809.3 297.00 1956 Astrogeodésico 54 HOUGH 6378270 6356794.3 297.00 1957 Astrogeodésico 55 UOTILA 6378270 6356801.6 297.10 1957 Gravimétrico 56 O'KEEFFE 6378270 6356887.9 298.30 1958 Satélites 57 BUCHAR 6378270 6356844.8 297.70 1958 Satélites 58 LECAR, SORENSON, ECKELS 6378270 6356889.4 298.32 1958 Satélites 59 MERSON, HELE 6378270 6356873.6 298.10 1958 Satélites 60 RUSHWORTH, LOWER 6378201 6356772.5 297.65 1958 Astrogeodésico 61 MERSON, HELE 6378201 6356812.0 298.20 1959 Satélites 62 BLITZER 6378201 6356768.9 297.60 1959 Satélites 63 JACCHIA 6378201 6356818.4 298.29 1959 Satélites 64 FISCHER 6378160 6356778.3 298.30 1960 Combinado 65 COOK 6378160 6356774.0 298.24 1960 Satélites 66 KOZAI 6378160 6356778.3 298.30 1960 Satélites 67 ZHONGOLOVITCH 6378160 6356771.1 298.20 1960 Satélites 68 KING-HELE 6378160 6356771.1 298.20 1961 Satélites 69 KAULA 6378163 6356777.0 298.24 1961 Combinado 70 BUCHAR 6378163 6356766.9 298.10 1962 Satélites 71 RAPP 6378194 6356926.3 299.90 1963 Astrogeodésico 72 Sistema Geodésico de Ref-67 6378160 6356774.7 298.25 1967 Combinado 73 Sistema Geodésico de Ref-80 6378137 6356752.3 298.25722 1980 Combinado

CONVERSÃO DE DATUM HORIZONTAL

Conhecendo-se os parâmetros de transformação, é possível converter posições geográficas de um datum horizontal para outro e vice-versa, através de equações matemáticas. A maioria dos Softwares de Geoprocessamento/Cartografia incorpora ferramentas para conversão entre os datuns mais conhecidos e utilizados no mundo.

A conversão de datum é possível para coordenadas cartesianas X,Y,Z através do conhecimento dos sete parâmetros abaixo: ∆x, ∆y, ∆z componentes do vetor diferença do geocentro; α, β, γ ângulos de rotação dos três eixos; S fator de escala entre os sistemas.

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Entretanto a forma mais comum é a aplicação das equações diferenciais simplificadas de MOLODENSKI para transformações das coordenadas geográficas de um datum origem para um datum de destino. As equações são:

∆φ0” = [∆z.cosφ1 - senφ1.(cosλ1. ∆X + senλ1. ∆Y) + (a1.∆f + f1.∆a). sen(2φ1) ] / (M1.sen 1”)

∆λ0” = (∆y.cosλ1 - ∆x.senλ1) / (N1.cosφ1.sen 1”)

φ2 = φ1 + ∆φ0 ;

λ2 = λ1 + ∆λ0 ;

onde :

a1 = semi-eixo maior do elipsóide do sistema S1f1 = achatamento do elipsóide do sistema S1

φ1 = latitude geodésica do sistema S1

λ1 = longitude geodésica do sistema S1a2 = semi-eixo maior do elipsóide do sistema S2f2 = achatamento do elipsóide do sistema S2

φ2 = latitude geográfica do sistema S2

λ2 = longitude geográfica do sistema S2 ∆a = a2 - a1 ⇒ diferença dos semi-eixos maiores dos elipsóides entre os sistemas S2 e S1

∆f = f1- f2 ⇒ diferença de achatamento dos elipsóides entre os sistemas S2 e S1

N1 = a / (1- e12 . sen2 ϕ1 )1/2 = grande normal ou raio de curvatura da 1a. vertical no sistema S1

M1 = N1/ (1- e’12 . cos2 ϕ1) = raio de curvatura da seção meridiana no sistema S1

e12 = f1.(2 - f1) = 1a. excentricidade do elipsóide do sistema S1

e’12 = e1

2/ (1- e12) = 2a. excentricidade do elipsóide do sistema S1

O Decreto Lei 89.317 de 20/06/84 especificou o uso das equações diferenciais simplificadas de MOLODENSKI para as transformações de coordenadas geográficas de um datum para outro e o IBGE estabeleceu os parâmetros de transformação entre os principais Datuns horizontais utilizados no Brasil (SIRGAS; SAD-69; Córrego Alegre e WGS-84) a seguir.

De Córrego Alegre para SAD-69: a1 = 6.378.388,00 m f1 = 1/297,00 a2 = 6.378.160,00 m f2 = 1/298,25 ∆x = -138,70 m ∆y = +164,40 m ∆z = +34,40 m

De WGS-84 para SAD-69: a1 = 6.378.160,00 m f1 = 1/298,25 a2 = 6.378.137,00 m f2 = 1/298,26 ∆x = +66,87 m ∆y = -4,37 m ∆z = +38,52 m

SAD 69 para SIRGAS2000 a1 = 6.378.160 m

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f1 = 1/298,25 a2 = 6.378.137 m f2 = 1/298,257222101 ∆X = − 67,35 m ∆Y = + 3,88 m ∆Z = − 38,22 m

SIRGAS2000 para SAD 69 a1 = 6.378.137 m f1 = 1/298,257222101 a2 = 6.378.160 m f2 = 1/298,25 ∆X = + 67,35 m ∆Y = − 3,88 m ∆Z = + 38,22 m

É importante ressaltar que, salvo em uma aproximação grosseira, não tem sentido falar em posição geográfica (latitude, longitude ou coordenada plana cartesiana X e Y ou E e N) sem especificar o datum horizontal.

4.3 - DATUM VERTICAL

As altitudes são referidas ao nível médio das águas tranqüilas dos mares, ou seja, à superfície do geóide. Porém, tal como ocorre com o datum horizontal, cada país mede e adota o seu próprio nível do mar. O nível do mar sofre influência de vários fatores tais como ventos, atração do Sol e da Lua, densidade das massas continentais e dos fundos do oceano, correntes marítimas, etc. Para obter um valor estável e preciso é necessário tomar medidas da variação das marés durante um período de aproximadamente 19 anos, quando todos os fatores mais influentes passam a se repetir (Figura 11).

Assim, o Datum Vertical é um sistema padrão ao qual devem ser referenciadas as altitudes de um país ou região. Na prática é dado pela média das observações de um Marégrafo (Figura 11) que tem o registro das variações de marés por um longo período (pelo menos 19 anos). É fundamental que os dados altimétricos de um mesmo projeto estejam referenciados a um único datum Vertical para evitar incompatibilidades. Cabe ressaltar que, salvo em uma aproximação grosseira, não tem sentido falar em altitude sem especificar o datum vertical de referência.

Figura 11 – Ilustração do Datum Vertical, onde é necessário medir a variação das marés durante um longo período para obter um valor de referência estável.

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4.4 - SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS

O sistema de coordenadas geodésicas (elipsóidicas ou esféricas, também chamadas de coordenadas geográficas) é um sistema adequado para a localização inequívoca da posição dos objetos, fenômenos e acidentes geográficos na superfície terrestre. Neste sistema o modelo elipsoídico da Terra é dividido em círculos paralelos ao Equador chamados PARALELOS e em elipses que passam pelos pólos terrestres (perpendiculares aos paralelos) chamados MERIDIANOS (Figura 13). Cada ponto na Terra terá um único conjunto formado por duas coordenadas geodésicas definidas por:

Latitude Geodésica ou Geográfica (ϕ): ângulo entre a normal ao elipsóide de referência no ponto considerado e sua projeção no plano equatorial. Ou seja, é o arco de meridiano que vai do equador ao ponto considerado. A latitude é positiva a Norte (0 a +90°), negativa a Sul (0 a –90°) Longitude Geográfica ou Geodésica (λ): ângulo diedro entre os planos do meridiano de Greenwich e do meridiano que passa pelo ponto considerado. Ou seja, é o arco de paralelo que vai do meridiano de Greenwich até o ponto considerado. Positiva a Este (0 a +180°), negativa a Oeste (0 a -180°) Altitude Elipsoidal (H): distância sobre a normal ao elipsóide que se estende da superfície do elipsóide até o ponto considerado. Na prática usa-se a altitude em relação ao nível do mar que é chamada de Altitude Ortométrica (h): distância vertical que se estende do nível médio do mar (Geóide ≡ Datum Vertical) até o ponto considerado.

Figura 13 – Ilustração dos conceitos de coordenadas esféricas, geográficas ou geodésicas.

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4.5 - SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS (X, Y e Z)

Constitui-se de um sistema de três eixos cartesianos ortogonais (X,Y,Z) muito utilizado pelos satélites artificiais (GPS, GLONASS, GALILEO) para cálculo de posições, utilizando geometria tridimensional (Figura 14). As fórmulas e transformações neste sistema são de manipulação simples e direta, além de serem facilmente programáveis em softwares. Todas as coordenadas fornecidas pelo GPS são inicialmente calculadas neste sistema e posteriormente convertidas para o sistema curvilíneo de coordenadas geodésicas ou geográficas. As principais características do sistema são:

Origem dos eixos coordenados no centro de massa da Terra (Geocentro) Eixo X coincidente com o traço do meridiano de Greenwich no plano do Equador (positivo na direção da longitude 0°) Eixo Y ortogonal ao eixo X no plano do Equador (+ positivo na direção da longitude 90° E) Eixo Z coincide com o eixo de rotação da Terra (positivo na direção Norte)

Figura 14 – Ilustração do Sistema Cartesiano Tridimensional (X,Y,Z) utilizado pelos satélites

artificiais para cálculo de posições.

A transformação de coordenadas cartesianas tridimensionais x,y,z WGS84 para x,y,z SAD69 consiste apenas em aplicar 3 translações, pois assume-se que os dois sistemas são paralelos e de mesma escala. Assim, basta somar os parâmetros de transformação, Tx = 66,87 m; Ty = -4,37 m; Tz = 38,52 m, às coordenadas x,y,z WGS84 para obter as correspondentes x,y,z SAD69. Para converter SAD69 em WGS84 basta subtrair esses mesmos parâmetros das coordenadas x,y,z SAD69. Os parâmetros para transformar Córrego Alegre em SAD69 são:

Tx = -138,70 m; Ty = 164,40 m; Tz = 34,40 m;

Para transformar coordenadas x,y,z SIRGAS em coordenadas x,y,z SAD69 somam-se as 3 translações abaixo às coordenadas SIRGAS

Tx = + 67,35 m; Ty = − 3,88 m; Tz = + 38,22 m; Para converter SAD69 em SIRGAS basta subtrair esses mesmos parâmetros das coordenadas x,y,z SAD69. As coordenadas cartesianas e geodésicas podem ser transformadas entre si pelas fórmulas

X = (N+H).cosϕ.cosλ Tanλ = Y/X Y = (N+H).cosϕ.senλ Tanϕ = (Z+e2N senϕ)/(X2+Y2) Z = [(1-e2)N +H].senϕ H = X.secϕ.secλ - N = Y.secϕ.cosecλ -N

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Onde

H = altitude elipsoidal N = a / (1- e2.sen2ϕ)1/2 = raio de curvatura da seção 1a. vertical do elipsóide M = N/ (1- e’2.cos2ϕ) = raio de curvatura da seção meridiana do elipsóide e2 = f.(2 - f) = (a2 - b2)/ a2 = 1a. excentricidade do elipsóide e’2 = e2/ (1- e2) = 2a. excentricidade do elipsóide

4.6 - ALGUMAS MEDIDAS NA ESFERA TERRESTRE

Para nossa maior familiarização com as grandezas terrestres são apresentadas algumas medidas utilizando o modelo esférico terrestre (modelo simplificado) neste caso a esfera tem raio igual ao semi-eixo maior do modelo SAD69.

Comprimento de um grau de Latitude (Meridiano)

1° = 2 x 3,141592(π) x 6378160m / 360 = 111320 metros

1’ minuto = 111320m/60 = 1855 metros

1’’ segundo = 1852m/60 = 31 metros

Comprimento de um grau de Longitude (Paralelo) é variável conforme a Latitude do lugar

1° = 2 x 3,141592(π) x 6378160 x cos(Lat) / 360 = ?

no Equador o valor de 1° é o mesmo do grau de Latitude 111320 m

na Latitude de 45° = 78715 metros



Distância entre dois pontos A e B no modelo da esfera terrestre

A menor distância entre dois pontos quaisquer, na esfera (modelo simplificado), é sempre aquela percorrida sobre o círculo máximo que passa pelos dois pontos. Círculos máximos são todos aqueles que passam pelo centro da esfera. O arco de círculo máximo entre dois pontos é dado pela fórmula

cosd = (sena.senb) + (cosa.cosb.cosp) d - arco de círculo máximo entre A e B a - latitude de A b - latitude de B p - diferença de longitude entre A e B

EXEMPLO: encontrar a distância esférica e o azimute geográfico de Belo Horizonte para Fortaleza. As coordenadas são: Belo Horizonte: ϕ = -19°54’, λ =-43°54’; Fortaleza: ϕ = -3°48’, λ = -38°30’.

4.7 - ORIENTAÇÃO TERRESTRE (Azimutes e Rumos)

AZIMUTE

É a forma mais usada para indicar uma direção geográfica. O azimute é o ângulo formado entre e a direção Norte (meridiano ou azimute zero) e uma direção terrestre considerada. É

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sempre contado no sentido horário e assume valores desde 0° até 360°. O azimute entre dois pontos no modelo da esfera terrestre (modelo simplificado) é dado por

cosAz = (senb - sena.cosd )/(cosa.send) RUMO

É uma forma alternativa menos usada que o azimute para indicar uma direção geográfica. Consiste no menor ângulo que uma direção terrestre faz com a linha Norte-Sul (meridiano). O rumo pode ser contado do Norte ou do Sul (sempre a partir do que estiver angularmente mais próximo). Por isso nunca passa de 90° e vem obrigatoriamente acompanhado da identificação do quadrante (NE, NW, SE, SW) onde se encontra. Exemplos. 80°NE, 40°SE, 30°SW, 10°NW.

A conversão entre Azimutes(Az) e Rumos(R) ou vice versa pode ser feita pelas relações a seguir

Primeiro quadrante (NE) R = Az

Segundo Quadrante (SE) R = 180 - Az

Terceiro quadrante (SO) R = Az - 180

Quarto quadrante (NO) R = 360 – Az

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NORTE GEOGRÁFICO, NORTE de QUADRÍCULA e NORTE MAGNÉTICO

Em um lugar qualquer da Terra, o Norte Geográfico é definido pela direção do meridiano geográfico que aponta para o Polo Norte da Terra. O Norte Magnético é definido pela direção da agulha da bússola que aponta para o Polo Norte Magnético da Terra. O Pólo Norte Magnético descreve um lento movimento, aproximadamente circular e de período secular, em torno do Polo Norte Geográfico considerado fixo. Existe, portanto, um desvio angular entre o Norte da Bússola e o Norte Geográfico. A magnitude deste ângulo depende da localização do observador na Terra. Todas as medidas de azimutes ou rumos feitas com a bússola são magnéticas, já os azimutes obtidos nas cartas, mapas ou através de cálculos geodésicos são azimutes de quadrícula ou azimutes geográficos. O Norte de Quadrícula é a direção do eixo Y cartesiano (eixo N) do mapa o qual tem também um pequeno ângulo de desvio da transformada do meridiano geográfico. Assim, quando se trabalha com mapas e bússolas (caso típico da navegação) é necessário fazer a conversão entre esses diferentes tipos de azimutes (Magnético, Geográfico e de Quadrícula ). O ângulo de desvio entre o Norte Magnético e o Norte Geográfico é chamado Declinação Magnética e pode ser obtido através de cartas magnéticas ou através de modelos numéricos do campo magnético terrestre. O angulo entre o Norte geográfico e o Norte de quadrícula é chamado Convergência Meridiana. É importante esclarecer que o Norte Magnético sofre perturbações de várias naturezas, assim, sua direção é imprecisa e as melhores bússolas fornecem medidas com erro de, pelo menos, meio grau. Portanto, as bússolas só se prestam para orientações aproximadas. Orientações precisas devem ser tomadas em relação ao Norte Geográfico usando métodos adequados. A Figura 15 apresenta na forma de gráficos os conceitos discutidos. Os mapas e cartas trazem um diagrama com os valores numéricos dos desvios entre os três Nortes.

Figura 15 – Ilustração dos conceitos de Nortes de referência, azimutes e rumos.

4.8 - SISTEMA DE COORDENADAS PLANAS CARTESIANAS

O sistema de coordenadas elipsóidicas ou esféricas (latitude e longitude), apesar de ser muito útil para localizar pontos inequivocamente na superfície elipsóidica da Terra, não é muito prático para o trabalho com a manipulação dos elementos e medidas de feições cartográficas projetadas no plano dos mapas. Assim, foram estabelecidos os sistemas de coordenadas planas-cartesianas associados às projeções cartográficas (assunto visto com detalhes no próximo tópico). São sistemas puramente cartesianos que têm a origem dos seus eixos coordenados fixadas em certos paralelos e meridianos terrestres. As coordenadas do sistema são medidas em metros, e não em graus, como no caso das coordenadas esféricas. A coordenada X é denominada Este (E) e a coordenada Y denominada Norte (N). Este sistema simplifica bastante os cálculos de comprimentos, direções, declividades, áreas, etc. através de operações de trigonometria e

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geometria planas. Cabe, porém, observar que as coordenadas planas estão estritamente associadas ao sistema de projeção específico do mapa que modifica, em graus variáveis, as feições reais da Terra. Cada coordenada plana corresponde a uma coordenada geográfica que foi transformada pelas equações e leis matemáticas do sistema de projeção. Não tem nenhum sentido falar em coordenada plana cartesiana sem especificar o sistema de projeção que lhe deu origem.

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4.9 - SISTEMA DE PROJEÇÃO CARTOGRÁFICA

Os mapas (impressos ou digitais) são essencialmente representações planas da Terra, tendo em vista as dificuldades de construir, manipular e arquivar globos terrestres com a mesma forma da Terra. As projeções cartográficas são, então, uma necessidade absolutamente imperiosa para viabilizar o mapeamento da Terra devido à impossibilidade de transformar diretamente uma superfície esferoidal (caso da Terra) em um plano (caso do mapa) sem provocar rupturas, estiramentos, dobras e outras deformações imprevisíveis, incontroláveis e indesejáveis.

A projeção cartográfica consiste na transformação matemática executada sobre os pontos de interesse da superfície elipsóidica (curva) da Terra, de forma a representá-los sobre a superfície plana de um mapa provocando um mínimo de deformações e tendo essas deformações sob completo controle de acordo com as leis matemáticas utilizadas (Figura 16). Qualquer deformação ocorrida na feição real é completamente conhecida e pode ser recuperada a qualquer tempo. Conforme já visto, o modelo matemático teórico da Terra é um elipsóide de revolução onde os elementos a serem mapeados possuem coordenadas geodésicas esféricas (latitude e longitude) na superfície do modelo. As superfícies utilizadas para projeção do modelo elipsóidico podem ser planos, cilindros ou cones. Essas superfícies planificáveis podem ser secantes ou tangentes à superfície elipsóidica do modelo, dependendo das propriedades que se deseja conservar ou realçar na transformação dos elementos da Terra para o sistema cartográfico do mapa.

A forma projetada (plana) da Terra apresenta uma série de vantagens práticas sobre a forma elipsóidica original. Entretanto, qualquer que seja o tipo de projeção do modelo curvo sobre um plano provocará alterações nos comprimentos, nas formas, direções ou nas áreas dos elementos originais. Um sistema que conserve algum destes atributos (por exemplo, distâncias), forçosamente deformará os demais (áreas, formas e direções) e vice-versa. Deste modo, não existe um sistema de projeção ideal que não introduza qualquer tipo de deformações. Qualquer que seja o sistema escolhido será apenas a melhor forma de representação da superfície terrestre para um determinado objetivo. Entretanto, é muito importante lembrar, que as deformações são produzidas por transformações e leis matemáticas, portanto são previsíveis, controláveis, calculáveis e corrigíveis em qualquer situação. Com as facilidades computacionais atuais é muito simples recuperar os valores corretos dos elementos cartográficos que foram deformados pela projeção cartográfica.

Existem inúmeras formas de classificação das projeções cartográficas sob diversos critérios. Um critério muito comum bastante utilizado é a divisão segundo os tópicos abaixo. 1) Quanto às propriedades que conserva:

Eqüidistantes – são aquelas que não apresentam deformações lineares. Equivalentes – são aquelas que não apresentam deformações de áreas. Conformes – são aquelas que não apresentam deformações angulares – muito utilizadas em navegação e mapeamento de detalhes. Afiláticas – são aquelas que apresentam todas as deformações anteriores, mas apresentam alguma outra propriedade de interesse específico.

2) Quanto a natureza da superfície de projeção:

Planas ou Azimutais – quando a superfície de projeção é um plano. Cilíndricas – quando a superfície de projeção é um cilindro desenvolvível em um plano. Cônicas – quando a superfície de projeção é um cone desenvolvível em um plano.

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3) Quanto ao tipo de contato entre o elipsóide e a superfície de projeção:

Tangentes – quando o cone, cilindro ou plano de projeção apenas toca a superfície elipsoidal em um ponto ou linha. Secantes – quando o cone, cilindro ou plano de projeção corta a superfície elipsoidal em duas linhas. Polisuperficiais – quando o cone, cilindro ou plano toca a superfície elipsoidal em várias linhas ou pontos.

4) Quanto à posição da superfície de projeção em relação ao elipsóide terrestre: Normal – quando o eixo do cone ou cilindro é paralelo ao eixo de rotação da Terra. Transversa – quando o eixo do cone ou cilindro é perpendicular ao eixo de rotação da Terra. Oblíqua – quando o eixo do cone ou cilindro é inclinado em relação ao eixo de rotação da Terra. Apesar de obedecerem às classificações acima, as projeções cartográficas são mais

conhecidas pelos nomes das pessoas que as desenvolveram, tais como projeção de Mercator, projeção Conforme de Gauss, projeção de Robinson, etc.

Figura 16 – Ilustração dos conceitos da projeção cartográfica das posições geográficas dos objetos da Terra esférica no plano do mapa. Fonte: Fitz (2000)

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A transformação dos pontos terrestres para o plano de projeção requer o estabelecimento de sistemas de coordenadas para garantir uma correspondência em ambas as superfícies. As coordenadas dos elementos da superfície no modelo elipsóidico são expressas em termos de latitude e longitude geodésicas. As coordenadas na superfície plana de projeção são expressas em um sistema cartesiano retangular com o eixo X positivo apontando para Este e eixo Y positivo apontando para Norte. A relação entre as coordenadas elipsóidicas e as coordenadas no plano são dadas pela lei matemática da projeção que é característica de cada sistema particular de projeção (Figura 17).

Figura 17 – Ilustração da Terra com suas feições mapeadas em diferentes projeções. Observe que

os mesmos objetos ta Terra se mostram diferentes conforme a projeção utilizada na representação.

A PROJEÇÃO UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR - UTM

A projeção cartográfica adotada no Mapeamento Sistemático Brasileiro desde 1955 é o Sistema Universal Transverso de Mercator (UTM). É uma projeção bastante conhecida, difundida e utilizada em diversas aplicações no mundo inteiro. A projeção UTM é um caso particular da Projeção Transversa de Mercator (TM) onde várias características foram padronizadas por recomendação da União de Geodésia e Geofísica Internacional (UGGI) para uso no mundo inteiro em mapeamento sistemático (Figura 18). As principais características do sistema de projeção UTM são:

1) A superfície de projeção é um cilindro com eixo perpendicular ao eixo polar terrestre.

2) É uma projeção conforme, ou seja, mantém sem deformações os ângulos e a forma das pequenas áreas, porém deforma distâncias lineares e valor das áreas.

3) O cilindro de projeção é secante ao modelo do elipsóide de revolução, em dois meridianos, ao longo dos quais não ocorrem deformações lineares de escala da projeção (K=1).

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4) Os mapas na projeção UTM não possuem uma escala única e constante em relação à realidade terrestre. As regiões entre os meridianos de secância sofrem reduções de escala (K<1), enquanto as regiões fora dos meridianos de secância apresentam escalas ampliadas (K>1). Isso permite que as distorções de escala sejam distribuídas ao longo do fuso de 6° de amplitude.

5) O elipsóide terrestre é dividido em 60 fusos parciais, cada um abrangendo 6° de amplitude e numerados de 1 até 60. A contagem numérica dos fusos (1) começa no antimeridiano de Greenwich (Longitude =180°) crescendo para Leste até 60, vizinho do 1. O número de um fuso qualquer pode ser encontrado pela relação F= (183°-Longitude)/6. Assim, o fuso 1 vai de 180°W a 174°W, o Fuso 60 de 174°E a 180°E, o fuso de Belo Horizonte (Longitude = 44°W) é o de número 23, os fusos vizinhos a Greenwich (Longitude=0°) são o 30 do lado W e o 31 do lado E.

6) Todos os fusos parciais possuem as mesmas características matemáticas e projetivas. O coeficiente de redução máxima de escala UTM ocorre ao longo do meridiano central de cada fuso (MC) e tem o valor constante K0 = 0.9996, ou seja, 1 m de redução para cada 2500 m. As longitudes dos Meridianos Centrais dos fusos (MC) são múltiplas de 6° mais 3°. Podem ser encontrados pela relação MC = 6° x N + 3°, (N é um número inteiro entre 0 e ± 29). Se for dado o número do Fuso, então MC = 183°- 6 x Fuso

7) O Equador (eixo X origem) é representado por uma linha reta horizontal, o Meridiano Central (eixo Y origem) representado por uma linha reta vertical, os paralelos são transformados para curvas de concavidades voltadas para os pólos e os meridianos para curvas de concavidades voltadas para o MC.

8) As coordenadas planas UTM são designadas inequivocamente pelas letras E e N, acrescidas do Fuso e do Hemisfério (S ou N). A origem do sistema cartesiano de coordenadas é formada pelo meridiano central do fuso (eixo Y) cujo valor é E=500.000,00 metros (Falso Este), e pelo Equador (eixo X) que tem valor N=0,00 metros, para coordenadas no hemisfério Norte e N=10.000.000,00 metros (Falso Norte), para coordenadas no hemisfério sul. As constantes E=500.000 m para o MC e N=10.000.000 m para o Equador, chamadas, respectivamente, de Falso Este e Falso Norte e têm objetivo de evitar o uso de coordenadas negativas (Figura 19)

9) O Coeficiente de Deformação Linear de Escala (K) em um ponto qualquer do fuso UTM de 6° varia com o afastamento do meridiano central e é dado de forma aproximada por K=K0(1+(E-500.000)2 / (2R2)), onde E é a coordenada Este UTM do ponto e R o raio médio da curvatura da Terra no ponto considerado. As maiores ampliações ocorrem nos extremos do fuso onde K é da ordem de 1,0010, ou seja, 1 m de ampliação para cada 1000 m.

10) A Convergência Meridiana (δ) em um ponto qualquer do fuso UTM de 6° é dada aproximadamente por δ = (λ-λMC).Sen.ϕ. Onde λ e λMC são as longitudes do ponto e do MC,

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respectivamente e ϕ é a latitude do ponto. A convergência meridiana é usada para transformar azimute plano em azimute verdadeiro ou geográfico.

Figura 18 – Visão geral de alguns aspectos do Sistema UTM.

11) O sistema costuma ser, também, dividido em faixas de 8° de latitudes designadas pelas letras do alfabeto (exceto as letras I e O). A contagem das faixas começa em 80° Sul com a letra C (80°S a 72°S) e cresce para Norte até a letra X. Assim coordenadas na faixa de 16°Sul a 24°Sul dentro da zona de MC=45° são precedidas por 23K (por exemplo. UTM 23K 608600; 7802650 – SAD69 são as coordenadas do PCA-UFMG). A primeira faixa acima do Equador, 0°N a 8°N, corresponde à letra N. Este sistema é muito usado pelos equipamentos GPS de navegação.

12) A projeção UTM quando comparada a outras projeções apresenta deformações pequenas em todos os aspectos.

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Figura 19 – No alto o sistema de coordenadas planas de um Fuso UTM padrão, o qual é igual para todos os demais 60 fusos. Em baixo, o conjunto de Fusos que cobrem o Brasil.

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PROJEÇÕES TRANSVERSAS DE MERCATOR – TM

As projeções Transversas de Mercator utilizam as mesmas fórmulas matemáticas da projeção UTM, mudando apenas os parâmetros de Largura de Fuso em longitude, Meridiano Central, Coeficiente K0 da escala no MC, Falso Norte e Falso Este. Estas projeções são adequadas para mapeamentos locais e específicos que requerem deformações pequenas, onde a deformação do sistema UTM não é aceitável. Assim, podem-se reduzir as amplitudes dos fusos e as deformações de escala (K) de forma a aproximar a projeção cartográfica de uma projeção local no plano topográfico que não tem deformações. São empregadas para obras de engenharia, cadastros e mapeamentos urbanos de escalas grandes. Os sistemas mais conhecidos são: Sistema LTM – fusos de 1° de amplitude em longitude com Meridianos Centrais coincidentes com as longitudes de 30’, coeficiente de deformação no MC, K0 = 0.999995, a origem dos eixos de coordenadas do sistema no cruzamento do Equador com o Meridiano Central, acrescidos do Falso Norte de 5.000.000,00 para o Hemisfério Sul e Falso Este de 200.000,00. Sistema Gauss-Kruger – fusos de 3° de amplitude em longitude com Meridianos Centrais múltiplos de 3°, coeficiente de deformação no MC, K0 = 1.0000, a origem dos eixos de coordenadas do sistema no cruzamento do Equador com o Meridiano Central, acrescidos do Falso Norte de 5.000.000,00 para o Hemisfério Sul e Falso Este de 200.000,00 Sistema RTM (SPCS) – fusos de 2° de amplitude em longitude com Meridianos Centrais em longitudes ímpares, coeficiente de deformação no MC, K0 = 0.999995, a origem dos eixos de coordenadas do sistema no cruzamento do Equador com o Meridiano Central, acrescidos do Falso Norte de 5.000.000,00 para o Hemisfério Sul e Falso Este de 400.000,00 Sistema Gauss-Tardi – fusos de 6° de amplitude em longitude com Meridianos Centrais múltiplos de 6°, coeficiente de deformação no MC, K0 = 0.999333, a origem dos eixos de coordenadas do sistema no cruzamento do Equador com o Meridiano Central, acrescidos do Falso Norte de 5.000.000,00 para o Hemisfério Sul e Falso Este de 500.000,00

TRANSFORMAÇÃO DE PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS

Existe um número muito grande de sistemas de projeções com diferentes propriedades e características diversas para atender a diferentes propósitos. A maioria dos softwares de Geoprocessamento incorpora funções e facilidades para conversão entre as projeções mais conhecidas e utilizadas no mundo.

4.10 - SISTEMA TOPOGRÁFICO LOCAL

O plano topográfico local de projeção é largamente utilizado em trabalhos de engenharia, arquitetura, agrimensura, cadastros, obras civis, etc. Sempre que não for conveniente ou não permitido introduzir quaisquer deformações adicionais (inerentes às projeções cartográficas) nas feições do terreno, o uso do sistema local será necessário ou recomendável. A maior desvantagem de usar o plano de projeção local é a falta de georeferenciamento padronizado que, inevitavelmente, irá gerar incompatibilidades entre os trabalhos independentes.

Quando se usam instrumentos de medidas de campo como os teodolitos, as estações topográficas eletrônicas, as trenas, os medidores a laser, etc. as medições estão sendo tomadas na superfície topográfica. Se as informações se destinam a compor um sistema local, serão

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simplesmente projetadas ortogonalmente no plano topográfico local usando as fórmulas simples da geometria e da trigonometria plana. Entretanto, se vão compor um sistema cartográfico ou um SIG, precisam ser necessariamente projetadas na superfície do elipsóide segundo as normais e convertidas para a superfície da projeção cartográfica usando as fórmulas geodésicas apropriadas e leis da projeção. A convivência entre sistemas locais e sistemas cartográficos é muitas vezes necessária, portanto é conveniente dispor de conhecimentos e instrumentos para conversão entre eles. Os tópicos a seguir apresentam alguns dos principais conceitos de medições locais. O PLANO TOPOGRÁFICO é o plano horizontal tangente à superfície de nível no local do trabalho de levantamento (Figura 20). Por definição é perpendicular à linha que representa a vertical do lugar (fio de prumo). Sobre o plano topográfico são projetadas ortogonalmente todas as medidas, acidentes e feições do terreno de interesse do levantamento topográfico para fins de construção da planta. Isso faz com que os mapeamentos em diferentes locais sejam independentes e limitados a pequenas extensões. As diferenças em altimetria são mais sensíveis do que em planimetria, pois em uma extensão de 20 quilômetros o abaixamento da Terra devido à curvatura chega a atingir 30 metros, enquanto a diferença do arco elipsóidico para a linha reta horizontal é de apenas 7 cm. Por isso a altimetria deve ser sempre corrigida para distâncias maiores que 1000 metros, onde o abaixamento é cerca de 7 cm. As variações não são lineares, estão relacionadas aos quadrados das distâncias. O abaixamento total devido à curvatura da Terra e à refração atmosférica (ambos tem efeitos contrários) é dado, aproximadamente em metros, por 675 x 10-10 D2. Onde D é a distância entre os pontos em metros.

Figura 20 – Ilustração do Plano topográfico local onde são projetadas ortogonalmente todas as feições geográficas para fins de representação em planta. Fonte: Erba et al. (2003)

CÁLCULO DE COORDENADAS PLANAS LOCAIS É muito recomendável que os trabalhos topográficos tenham sua origem local em um ponto de coordenadas geodésicas ou cartográficas conhecidas (sistemas UTM, LTM, RTM, etc.) e que a referência de azimutes seja o Norte Geográfico. Isso faz com que o sistema local fique próximo do sistema cartográfico. Quando isso não for viável, é conveniente que a definição da origem dos eixos coordenados fique situada sempre abaixo e a esquerda dos limites da área de interesse do levantamento para evitar valores negativos de coordenadas. O transporte de coordenadas a partir da origem (1) para os novos pontos (2) é dado pelas fórmulas da geometria e trigonometria planas X2 = X1 + dh12 sen Az12 Y2 = Y1 + dh12 cos Az12

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Onde, X1,Y1,X2,Y2, dh12, Az12 são, respectivamente, coordenadas do ponto1, coordenadas do ponto2, distância plana horizontal do ponto 1 para o ponto 2, azimute verdadeiro do ponto 1 para o ponto 2. Considerando a correção aproximada da curvatura da Terra e da refração atmosférica, o transporte de altitude a partir da origem (1) para os novos pontos (2) é dado pela fórmula

H2 = H1 + Di Cos Z + Ai - Ao + 675 x 10-10 Di2m

Onde, H1, Di, Z, Ai e Ao são, respectivamente, altitude do ponto1, distância inclinada do ponto 1 para o ponto 2, ângulo vertical zenital do ponto 1 para o ponto 2, altura da luneta do teodolito a partir do chão no ponto 1, altura do sinal visado a partir do chão no ponto 2. A Figura 21 ilustra os conceitos fundamentais de transporte de coordenadas planas retangulares locais, distância inclinada, distância plana projetada no plano topográfico e distância vertical (diferença de nível entre pontos topográficos).

Figura 21 – Transporte de coordenadas planas retangulares locais, distância plana horizontal e

distância vertical (diferença de nível entre pontos).

4.11 – OPERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES COM PONTOS E COORDENADAS Neste tópico são relacionadas algumas das principais operações matemáticas e geodésicas com coordenadas e sistemas cartográficos. A formulação matemática geodésica rigorosa é bastante extensa e foge ao escopo deste material introdutório, portanto descrevem-se apenas os passos gerais das operações principais. Porém, para o leitor interessado a formulação matemática e geodésica completa está detalhada em várias referências do final do texto (IBGE, 1995; Rocha, 2000). Para as demonstrações práticas no curso utilizaremos o programa TrackMaker que já tem todas as ferramentas implementadas.

TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PLANAS UTM EM PLANAS LOCAIS O método rigoroso para esta operação envolve o cálculo da distância topográfica e do azimute geodésico partindo do ponto de origem das coordenadas locais para cada ponto a transformar. A linha geodésica que liga dois pontos é uma curva reversa no elipsóide. No plano de projeção UTM essa linha é uma curva de concavidade sempre voltada para o MC. Isso implica em um pequeno ângulo entre a transformada da geodésica e a corda representada pela distância UTM, chamado de Redução Angular. Se a área a transformar é pequena, a Redução Angular é praticamente desprezível, então a conversão de sistemas de coordenadas planas pode ser feita aplicando duas translações, em X e

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Y, uma rotação comum para os dois eixos e um coeficiente de escala. Escolhe-se um ponto para origem no qual se mantém o valor numérico das coordenadas UTM igual ao das coordenadas topográficas locais (não há translações), a rotação aplicada em torno deste ponto origem é de um ângulo igual à convergência meridiana e o coeficiente de escala multiplicativo é o inverso do coeficiente UTM deste ponto origem, ou seja, 1/K.

TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PLANAS LOCAIS EM PLANAS UTM No caso de conversão de coordenadas planas do sistema topográfico local para o sistema UTM, é necessário ter as coordenadas UTM do ponto topográfico escolhido para origem. O método rigoroso para esta operação envolve o cálculo da distância plana UTM e do azimute de quadrícula partindo do ponto de origem das coordenadas locais para cada ponto a transformar. Se a área a transformar é pequena, a Redução Angular torna-se desprezível, então a conversão é feita aplicando-se duas translações nos eixos X e Y correspondentes às diferenças (XUTM - XTOPOGRAFICO e YUTM - YTOPOGRAFICO), a rotação em torno da origem é igual ao ângulo da convergência meridiana e o coeficiente de escala multiplicativo é o próprio K do sistema UTM deste ponto origem.

TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS GEODÉSICAS EM PLANAS UTM

TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PLANAS UTM EM GEODÉSICAS

TRANSFORMAÇÃO DE DISTÂNCIAS GEODÉSICAS EM DISTÂNCIAS PLANAS UTM

TRANSFORMAÇÃO DE DISTÂNCIAS PLANAS UTM EM DISTÂNCIAS GEODÉSICAS

TRANSFORMAÇÃO DE AZIMUTES PLANOS UTM EM GEODÉSICOS

TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS UTM

TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODÉSICAS

TRANSFORMAÇÃO DE DATUM GEODÉSICO

CÁLCULO DA DISTÂNCIA E DO AZIMUTE GEODÉSICO ENTRE DOIS PONTOS

CÁLCULO DA DISTÂNCIA E DO AZIMUTE PLANO UTM ENTRE DOIS PONTOS

5 - SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO

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O Decreto Lei 242 de 28/02/1967 estabelece um sistema plano-altimétrico único por meio de uma malha de pontos geodésicos materializados no terreno o qual constitui o referencial padrão oficial para amarração de trabalhos cartográficos, adensamento de novas redes de pontos de coordenadas (latitude e longitude e altitude) e georeferenciamento de dados em todo o território nacional. Este referencial, chamado de Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), constitui a infra-estrutura fundamental a partir da qual todos os novos posicionamentos serão efetuados e serve para dar suporte aos trabalhos de natureza cartográfica, geodésica ou de navegação. O SGB é constituído por duas redes geodésicas fisicamente independentes (a rede Planimétrica e rede Altimétrica).

A REDE GEODÉSICA HORIZONTAL OU PLANIMÉTRICA

Essa rede é constituída por pontos com latitude e longitude de alta precisão e que formam o referencial planimétrico (Figura 22). Até 25/02/2005 o datum Datum Horizontal era o South American Datum de 1969 (SAD69). Este datum utiliza o Elipsóide Internacional de 1967, definido pela Associação Geodésica Internacional ocorrida em Lucerne, no ano de 1967, cujos parâmetros são: a = 6.378.160,00m e f = 1/298,25. O datum SAD69 foi escolhido para permitir a melhor aproximação entre o geóide e o elipsóide para a América do Sul é um datum topocêntrico que tem como Ponto Geodésico de Origem o vértice geodésico CHUÁ da cadeia de triangulação do paralelo 20° Sul, cujas coordenadas são: Lat = 19°45’41,6527”S, Lon = 48°06’04,0639”W e Ondulação Geoidal N=0,0 m. A partir de 25/02/2005, através da R.PR-IBGE-1/2005, passou a vigorar o SIRGAS como datum de referência. Os pontos da rede planimétrica são monumentados no terreno em locais elevados e de boa visibilidade, possuem a inscrição “Protegido por Lei”, a identificação do ponto e nome do órgão que implantou. Grande parte dos pontos foi implantada pelo método geodésico de Triangulação, por isso recebem também o nome de Vértices de Triangulação. Os pontos têm Latitude e Longitude de alta precisão e possuem também altitude, porém determinada por nivelamento trigonométrico (de menor precisão). Essa rede é conhecida como Rede Clássica, recentemente estão sendo incorporadas ao SGB as redes determinadas por satélites do sistema GPS como A Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC) e a Rede Nacional GPS e a Rede incra de Bases Comunitárisa (RIBAC).

Figura 22 – Ilustração da malha de pontos da rede geodésica planimétrica.

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REDE DE GEODÉSICA DE NIVELAMENTO DE PRECISÃO OU ALTIMÉTRICA

Essa rede é constituída de pontos com altitudes ortométricas (relativas ao geóide) de alta precisão, determinadas pelo método de nivelamento geométrico (não posuem latitude e longitude) e que formam o referencial altimétrico para trabalhos de natureza cartográfica e geodésica, tendo como Datum Vertical o nível médio do mar definido pelo Marégrafo da Baia de Imbituba em Santa Catarina. Os pontos estão localizados ao longo das estradas principais, estações ferroviárias, igrejas antigas, sedes de prefeituras, etc. Locais de fácil acesso e difícil destruição.

SITUAÇÃO DA MALHA FÍSICA DO SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO

A maior parte da malha física de pontos do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) foi implantada ao longo de vários anos através dos métodos geodésicos clássicos de triangulação, poligonação e trilateração, ao longo de paralelos e meridianos espaçados de 2° em 2°. A partir da implantação do Sistema GPS estes métodos clássicos foram substituídos pelo método de posicionamento GPS diferencial ou relativo que fornece precisão bem melhor e a custos mais baixos. A partir de 1991 vários Estados brasileiros e algumas concessionárias de serviços públicos começaram a implantar redes GPS independentes que formam o que se chama de Rede Nacional GPS. Atualmente o IBGE que é o órgão gestor do Sistema Geodésico Brasileiro está disponibilizando a Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC) que é uma rede ativa formada por várias estações GPS espalhadas pelo Brasil (Figura 23), coletando dados continuamente, 24 horas por dia em duas freqüências (L1 e L2). As estações estão instaladas em pontos geodésicos de altíssima precisão (integrantes da implantação e materialização do SIRGAS) e dispensará o usuário da onerosa ocupação de pontos geodésicos da malha física convencional do SGB. Bastará ao usuário dispor de apenas um receptor GPS para coletar seus dados e solicitar os dados coletados pelo IBGE na estação RBMC mais próxima para fazer o pós-processamento diferencial e obter suas posições precisas amarradas ao Sistema Geodésico Brasileiro. Atualmente os dados são disponibilizados gratuitamente, em formato RINEX, com intervalo de observação de 15 segundos na internet, site: http://www.ibge.gov.br. Para o usuário interessado em trabalhos locais de menor alcance existe a Rede Incra de Bases Comunitárias (RIBAC) que fornece dados coletado em uma só freqüência (L1) via internet, site: http://www.incra.gov.br. Existem, ainda, disponíveis diversas redes privadas de base ativas GPS das quais que o usuário poderá obter maiores informações nos sites: http://www.santiagoecintra.com.br ; http://www.sightgps.com.br http://www.trimbase.com.br ; http://www.manfra.com.br

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http://www.ibge.gov.br/

http://www.incra.gov.br/

http://www.santiagoecintra.com.br/

http://www.sightgps.com.br/

http://www.trimbase.com.br/

http://www.manfra.com.br/


Figura 23 – Ilustração da Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC), formada por estações GPS espalhadas pelo Brasil e coletando dados 24 horas por dia em L1 e L2.

6 - O MAPEAMENTO SISTEMÁTICO NACIONAL

Chamamos de mapeamento sistemático brasileiro ou Sistema Cartográfico Nacional o esquema de mapas topográficos nas escalas padronizadas de 1:25.000, 1:50.000, 1:100.000, 1:250.000, 1:500.000 e 1:1.000.000, obtidos pelo método aerofotogramétrico, segundo uma articulação sistemática padrão formando uma grande série cartográfica (Figura 24).

Os mapas sistemáticos até a escala de 1:25.000, são considerados um pré requisito para o desenvolvimento do país, e é uma tarefa considerada, por consenso geral, como uma obrigação de Governo provê-los e mantê-los atualizados para uso da comunidade em geral. No Brasil os principais órgãos executores de mapeamento sistemático são o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE e a Diretoria do Serviço Geográfico do Exercito – DSG. As escalas e a articulação das folhas oficiais do mapeamento sistemático nacional obedecem ao esquema mostrado abaixo. Escala Subdivisão Amplitude | Escala Subdivisão Amplitude | 1:1.000.000 6º X 4º | 1:100.000 30’ X 30’ 4 FOLHAS | 4 FOLHAS 1:500.000 3º X 2º | 1:50.000 15’ X 15’ 4 FOLHAS | 4 FOLHAS 1:250.000 1,5º X 1º | 1:25.000 7,5’ X 7,5’ 6 FOLHAS | 1:100.000 30’ X 30’ |

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Figura 24 – Ilustração do Sistema Cartográfico Brasileiro (SGB).

SITUAÇÃO ATUAL DA COBERTURA CARTOGRÁFICA

A atual cobertura nacional de mapas oficiais não é adequada e deixa muito a desejar em vários aspectos. Toda a extensão territorial do país já deveria ter a cobertura completa pelo menos em escala 1:100.000, atualizada de 10 em 10 anos. Considerável parte do país não tem esta cobertura e ,onde ela existe, há mapas com mais de 30 anos sem qualquer atualização. A cobertura de 1:50.000 que deveria mapear as regiões de crescimento urbano com os aspectos econômicos e sociais em expansão é muito escassa e bastante desatualizada. A cobertura de 1:25.000 que deveria mapear as regiões densamente urbanizadas e com desenvolvimento econômico e social em franca aceleração também é quase inexistente e bastante desatualizada.

7 - ETAPAS DA PRODUÇÃO DE MAPAS TOPOGRÁFICOS

Apesar do surgimento de novas tecnologias de mapeamento, os mapas topográficos ainda são maciçamente elaborados pelo Método Aerofotogramétrico, o qual consiste em utilizar um avião equipado com uma câmara métrica que toma fotografias seqüenciais parcialmente sobrepostas, em faixas paralelas, recobrindo toda a área a mapear (Figura 25). O processo pode ser resumido nas seguintes etapas.

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Figura 25 – Ilustração do Método Aerofotogramétrico.

Planejamento e execução do vôo

É a etapa que consiste em definir com antecedência vários elementos importantes para a execução do vôo, tais como a aeronave, a distância focal da câmara aérea, a altura de vôo, a superposição longitudinal e lateral das fotos, o número de fotos por faixa, o número de faixas do vôo, o total de fotos, a quantidade de filmes. Após a elaboração do plano de vôo com todo seu detalhamento segue-se a sua execução.

Trabalhos de laboratório

Essa etapa consiste na revelação dos filmes, produção das fotos em papel e diapositivos (transparências) para serem utilizadas nas fases de restituição e reambulação. Recentemente já estão disponíveis câmaras digitais que dispensam completamente essa etapa.

Levantamento dos pontos de apoio terrestre para a restituição

A orientação absoluta dos modelos estereoscópicos requer um georeferenciamento tridimensional preciso para correlacionar adequadamente o modelo fotogramétrico com o terreno. Assim, esta etapa consiste na medição em campo, através de levantamento topográfico/geodésico, das coordenadas UTM e altitudes de um conjunto de pontos que sejam bem identificáveis tanto nas fotografias como no terreno chamados pontos de controle que servirão para ajustar a escala e altitudes dos modelos com a precisão necessária.

Aerotriangulação fotogramétrica

O trabalho de campo da fase anterior representa um dos custos mais elevados do projeto fotogramétrico. Assim, a finalidade desta fase é aumentar o conjunto de pontos de controle da fase anterior, sem a necessidade de trabalho de campo, visando economia de custos. O trabalho consiste em uma metodologia para determinar as coordenadas UTM de um grande conjunto de pontos cujas coordenadas são medidas apenas nas fotografias utilizando aparelhos fotogramétricos e submetidos a ajustamentos por métodos estatísticos.

Reambulação das fotografias

Essa etapa consiste na coleta de dados e informações relativos à toponímia, hidrografia, orografia, divisões políticas e tudo mais que não pode ser obtido diretamente das fotografias. A

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equipe de campo leva um conjunto de fotografias e vai anotando nas próprias fotos as informações importantes que devem constar no mapa.

Restituição fotogramétrica

Essa etapa consiste na construção do mapa a partir dos diapositivo fotográficos montados em pares estereoscópicos, ajustados e georeferenciados tridimensiomalmente através dos pontos de controle, formando os modelos estereoscópicos. Os modelos estereoscópicos são uma réplica do terreno em escala reduzida. Em outras palavras, consiste na transformação da projeção cônica das fotografias aéreas em projeção ortogonal executada em aparelhos otico-mecânicos de precisão chamados restituidores fotogramétricos. Atualmente estão disponíveis os restituidores digitais baseados em computadores que dispensam os dispositivos otico-mecânicos, melhoram a precisão e a aumentam produtividade.

Trabalhos de edição e produção de originais cartográficos

São trabalhos destinados consertar erros e fazer acertos gerais para produzir 4 pranchas finais de filmes fotográficos (fotolitos) correspondentes às cores de impressão ciano, magenta, amarelo e preto para produzir cartas impressas coloridas. Modernamente esta etapa tem sido completamente elaborada através de computadores utilizando softwares de editoração eletrônica de forma muito mais simplificada, aprimorada e eficiente.

8 - INTERPRETAÇÃO DE CARTAS TOPOGRÁFICAS

Uma carta topográfica, seja ela impressa ou no formato digital, representa uma porção em escala e já interpretada do terreno de onde podem ser facilmente extraídas informações importantes para diferentes aplicações.

INFORMAÇÕES MARGINAIS

Nas cartas impressas as informações contidas nas margens trazem dados importantes que dizem respeito ao uso da própria carta. As principais informações marginais são: Identificação da carta, índice de nomenclatura padrão, escala numérica e escala gráfica, eqüidistância das curvas de níveis, datum horizontal e datum vertical, índice de folhas adjacentes, meridiano central do fuso UTM, declinação magnética, variação anual da declinação magnética e convergência meridiana do centro da folha.

Legenda e Quadro de Convenções Cartográficas é um conjunto de símbolos padronizados utilizados para representar diferentes elementos do terreno. Os símbolos e convenções realçam elementos importantes do terreno e auxiliam bastante na leitura e interpretação da carta.

ESCALA Em cartografia a escala é a relação existente entre a representação gráfica de um objeto na carta (d) e sua dimensão real no terreno (D). E = d/D. A escala em cartografia é sempre dada na forma de uma fração, por exemplo: 1:25000.

Escala Gráfica

É uma régua impressa no rodapé e na mesma escala da carta que garante a facilidade de obter medidas sem uso de régua de plástico ou escalímetro. A escala gráfica continua valendo mesmo quando ocorre redução ou ampliação da planta original ou até mesmo deformação do papel.

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REPRESENTAÇÃO DO RELEVO

Nas cartas e mapas topográficos o relevo é representado através de curvas de níveis e pontos cotados (Figura 26) com suas altitudes referidas ao nível médio do mar (datum vertical)

Ponto Cotado - é a projeção ortogonal de um ponto do terreno no plano da carta com a indicação da sua altitude. São usados em pontos notáveis do terreno tais como topos de morros, fundos de vales, gargantas e pontos geodésicos. Curvas de Nível – são isolinhas de altitude, ou seja, linhas que representam todos os pontos do terreno de mesma altitude. As Curvas de níveis constituem a forma mais utilizada para representação do relevo nas cartas, mapas e plantas topográficas. Eqüidistância Vertical - é a separação vertical entre curvas de níveis consecutivas. A eqüidistância vertical está associada a escala da carta, por exemplo: Esc:1:250.000 Eq:100 m; Esc:1:100.000 Eq:50 m; Esc:1:50.000 Eq:20 m; Esc:1:25.000 Eq:10 m; Esc:1:2.000 Eq:1 m. Curvas Mestras - são as curvas de níveis mais grossas e numeradas com o valor da altitude que ocorrem a cada 5 curvas. A quinta curva é sempre uma curva mestra nas cartas e mapas topográficos.

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Figura 26 – Ilustração dos conceitos de pontos cotados, curvas de níveis e eqüidistância vertical.

Características Básicas das Curvas de Níveis (Figura 27)

1) Quanto maior a inclinação do terreno mais próximas umas das outras estarão as curvas de níveis e quanto menor a inclinação do terreno mais afastadas ficam as curvas

2) O espaçamento entre as curvas é constante nas encostas de inclinação uniforme

3) As curvas de níveis são perpendiculares à linha de maior declividade do terreno. A linha de maior declive é o caminho do escoamento das águas.

4) As curvas de níveis nunca se cruzam nem se juntam com suas vizinhas, exceto em superfícies verticais que são muito raras na natureza.

5) As curvas de níveis sempre se fecham, dentro ou fora das bordas da carta ou da planta.

6) As curvas de níveis formam um bico “V” apontando para a descida da encosta nas cristas e cumeadas (divisores de água), formam um bico “V” apontando para a subida da encosta nos vales, córregos e ravinas (recolhedores de águas) e um M nas confluências de dois rios .

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Figura 27 – Ilustração das Curvas de Níveis em planta e perfil, curvas mestras, divisores de

águas, recolhedores de águas e eqüidistância vertical.

O conhecimento dessas características básicas das curvas de níveis é muito importante, não só para o processo de construí-las nos mapas, mas também, para interpretar e identificar feições geográficas e morfológicas do terreno, tais como as formas do relevo, delimitação de bacias hidrográficas, determinação do escoamento superficial, etc.

COMO OBTER INFORMAÇÕES NAS CARTAS E MAPAS TOPOGRÁFICOS

Conhecendo os conceitos matemáticos básicos de Cartografia e os fundamentos de leitura e interpretação de cartas e mapas topográficos fica muito fácil obter informações para uso em geoprocessamento, conforme mostramos nos passos a seguir.

Obtendo Altitudes Se o ponto do qual se deseja obter altitude é um ponto cotado, basta ler o seu valor. Se o ponto coincide com uma curva de nível mestra, basta ler a cota registrada na curva mestra

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Se o ponto coincide com uma curva de nível intermediária, basta deduzir a cota dessa curva, descobrindo a eqüidistância das curvas e identificando a curva mestra mais próxima. Se o ponto fica entre duas curvas de níveis, faz-se uma interpolação por regra de três simples.

Obtendo Coordenadas UTM Para achar a coordenada E, deve-se identificar o valor da linha vertical da quadrícula UTM imediatamente a esquerda do ponto (P. exemplo 650 km = 650.000m). Medir com escalímetro a distância entre esta linha e o ponto (P. exemplo 350m). Somar os dois valores (E = 650.350m) Para achar a coordenada N deve-se identificar o valor da linha horizontal da quadrícula UTM imediatamente abaixo do ponto (P. exemplo 7844 km = 7844.000m). Medir com escala a distância entre esta linha e o ponto (P. exemplo 650m). Somar os dois valores (N = 7844.650m) A leitura de coordenadas está sujeita a erros (erro gráfico e PEC) que serão abordados em tópicos posteriores

Obtendo Comprimentos de Feições e Distâncias Medir a extensão da feição de interesse em milímetros ou centímetros (P. exemplo: 2,8 cm). Multiplicar o valor obtido pelo denominador da escala da carta (P. exemplo: 2,8cm x 25000). Converter o resultado para metros (70000 cm = 700 m). Pode se também medir a feição de interesse com um compasso, régua ou fita e transportar a medida para a Escala Gráfica da carta obtendo a distância diretamente sem necessidade de cálculos. Outra forma bastante prática de obter a distância sem ter que medir a feição diretamente é extraindo as duas coordenadas UTM dos extremos e calculando pela fórmula do triângulo retângulo:: Dist = [(E2-E1)2 + (N2-N1) 2] 1/2

Neste caso podem-se medir comprimentos de linhas que se estendem por várias folhas sem necessidade de montar ou justapor os vários mapas, desde que estejam no mesmo Fuso.

Por exemplo: Ponto1: E1=740350, N1=7844520; Ponto2: E2=720240 N2=7833250.

Distância = [(740350-720240) 2 + (7844520-7833250) 2] 1/2 = 23052,66 m

Obtendo Direções (Azimutes)

Os azimutes obtidos nos mapas podem ser: Geográficos se referidos ao meridiano geográfico (Norte Geográfico) Magnéticos se referidos a agulha da bússola (Norte Magnético) De Quadrícula se referidos às linhas verticais da Quadrícula do UTM (Norte da Quadrícula) O diagrama de declinação magnética e convergência meridiana existente na margem inferior da carta topográfica fornece a relação angular entre os três Nortes. O ângulo entre o Norte Geográfico e o Norte Magnético chama-se declinação magnética (δ). O Norte magnético descreve um movimento secular em torno do Norte Geográfico, portanto o ângulo de declinação magnética só é válido para a data de elaboração da carta. Como o diagrama de declinação traz também a variação anual da declinação magnética, é possível calcular o seu valor atualizado para qualquer época. O ângulo entre o Norte Geográfico e o Norte da Quadrícula chama-se convergência meridiana (C). Na carta topográfica o único Norte que está fisicamente representado é o de Quadricula pelas linhas verticais da grade UTM. Assim, o azimute de Quadrícula de uma direção pode ser diretamente determinado em relação ao Norte da Quadrícula. De posse dos valores fornecidos no diagrama de convergência meridiana e declinação magnética chega-se facilmente aos outros azimutes (Geográfico e Magnético).

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O azimute da Quadrícula pode ser medido diretamente com um transferidor ou pode ser calculado pela fórmula:: Az = ArcTg [(E2-E1)/( N2-N1)] observando qual o quadrante NE; NW; SE; SW onde se encontra. Por exemplo. Medindo com transferidor o Azimute da Igreja Matriz para Fazenda Zebu achou-se 240°30’. O diagrama de declinação e convergência existente na margem inferior da carta fornece -25’ para a Convergência Meridiana. Assim o Azimute Geográfico será de 240°30’ - 25’ = 240°05’. O mesmo diagrama mostra, para o ano de 1980, um ângulo de declinação magnética de 18°25’W e uma variação anual de 6’W. Assim, para o ano 2006 a declinação será 18°25’ + 26x6’ (2°36’) = 22° 01’W. O Azimute Magnético da Igreja Matriz para Fazenda Zebu será então 240°05’ + 22°01’ = 262°06’. Esta seria a direção apontada pela bússola da Igreja Matriz para a Fazenda Zebú. Aplicando a fórmula para cálculo do azimute do exemplo numérico anterior (Ponto1 e Ponto2) temos: Az = ArcTg [(740350-720240)/(7844520-7833250)] = ArcTg [20.110/11.270] = 60°44’. Como se trata do quadrante NE o azimute é o próprio ângulo obtido. Este é o Azimute de Quadrícula. Considerando os dados de convergência meridiana e declinação magnética anteriores teremos. Azimute Geográfico = 60°44’ - 25’ = 60°19’; Azimute Magnético = 60°19’ + 22°01’= 82°20’

Identificando vales, córregos, ravinas e recolhedores de águas; Identificando divisores de águas; Identificando as linhas de máximo declive das encostas; Delimitando bacias hidrográficas

A identificação destes elementos depende de uma minuciosa análise do comportamento das curvas de níveis, do quadro de símbolos e convenções cartográficas e do inter-relacionamento das feições geográficas do mapa.

Obtendo Declividades

A declividade D é função da eqüidistância (Eq) das curvas de níveis (que pode ser lida ou interpolada) e do afastamento entre elas (Ec) (que pode ser medido no mapa). Existem três formas básicas de expressar a declividade.

Tangente da Declividade: Tg(D) = Eq/Ec = Desnível/DistânciaPlana

Ângulo de Declividade: D=ArcTg[Desnível/DistânciaPlana]

Declividade Percentual: D%=[Desnível/DistânciaPlana]x100

Exemplo: na carta de escala 1:25.000 (Eq=10m) se duas curvas consecutivas estão afastadas de 2mm (Ec=2x25000 mm=50 m) então:

Tg(D) = Eq/Ec = Desnível/DistânciaPlana =10/50=0.2

D=ArcTg[Desnível/DistânciaPlana] = ArcTg[10/50] = 11.3 graus

D%=[Desnível/DistânciaPlana]x100 = [10/50]x100 =20%

Traçando Caminhos de Declividade Constante

Basta traçar segmentos de comprimento constante C=100.000(Escala(Eq/D%)) dado em milímetros entre curvas de níveis consecutivas e resultará um caminho contínuo de mesma declividade. Tem aplicações em estudos de transportes, arruamentos, saneamento, irrigação, etc.

Exemplo: qual o valor do segmento C para um caminho de declividade constante de 8%

C=100.000(1/25.000(10/8)) = 5 mm

Obtendo Perfis Topográficos

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Os perfis são feitos através da construção de um gráfico bidimensional das distâncias horizontais no eixo X contra as altitudes no eixo Y. As distâncias são plotadas na mesma escala da planta e as altitudes plotadas com escala 5 a 10 vezes maior. Tem aplicações em estudos de transportes, arruamentos, comunicações, agricultura, etc.

Obtendo Áreas em Cartas e Plantas Topográficas

As áreas podem ser obtidas graficamente pela divisão do contorno da feição em figuras geométricas simples como triângulos, trapézios e retângulos. Entretanto, quando se dispõe das coordenadas planas obtidas por receptores GPS, por métodos topográficos ou extraídas da carta, o método mais preciso é do cálculo analítico pela fórmula de Gauss, dada a seguir. Para melhor entendimento toma-se a lista das coordenadas dos pontos na ordem seqüencial do polígono, repete-se o primeiro ponto no final da lista e faz-se a multiplicação cruzada das ordenadas e abscissas

Y1 Y2 Y3 ...... Yn Y1X1 X2 X3 ...... Xn X1

Resultando na fórmula A=1/2.[(Y1X2 + Y2X3 + Y3X4 +...+ YnX1) - (X1Y2 + X2Y3 + X3Y4 +...+ XnY1)]

Exercício: Calcule a área de um desmatamento cujas coordenadas planas dos vértices medidas com GPS são: V1: E= 600175, N=7690850; V2: E= 603000, N=7691000; V3: E= 603425, N=7687700; V4: E= 600750, N=7687100; V5: E= 600000, N=7688875;

Área = 10.777.187,50 m2 ou 1.077,71875 hectares

Obs. Softwares de Geoprocessamento e Cartografia digital já possuem várias ferramentas para obter de forma simples e rápida todas estas informações abordadas. O assunto pode ser explorado utilizando programas existentes, alguns disponibilizados gratuitamente na internet.

9 - PRECISÃO CARTOGRÁFICA

As medidas planimétricas extraídas de uma carta ou planta impressa em papel estão sujeitas a, pelo menos, dois tipos de imprecisões bem caracterizadas. O Erro gráfico - geralmente aceito como sendo 0.2 mm, correspondente ao limite da acuidade visual humana - e o Padrão de Exatidão Cartográfica (PEC) – que é o Indicador de dispersão relativo a 90% de probabilidade que define a exatidão de trabalhos cartográficos. O Decreto Lei 89.817, de 20/07/1984 dá a seguinte classificação para cartas impressas segundo o PEC. CLASSE /PEC

A B C

PEC Planimétrico 0,5 mm 0,8 mm 1 mm Erro padrão 0,3 mm 0,5 mm 0,6 mm PEC Altimétrico ½ eqüidistância 3/5 eqüidistância 3/4 eqüidistância Erro padrão 1/3 eqüidistância 2/5 eqüidistância ½ eqüidistância O Art. 10 do Decreto Lei 89.817, de 20/07/1984 estabelece que “É obrigatória a indicação da classe no rodapé da folha, ficando o produtor responsável pela fidelidade da classificação.”

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Todas as cartas topográficas do mapeamento sistemático brasileiro executadas pelo método aerofotogramétrico são classificadas no padrão “A”. Assim qualquer coordenada obtida estará sujeita a uma composição de incertezas de 0.2mm na sua identificação e 0,5 mm na sua posição geográfica. Em uma carta topográfica de escala 1:100.000, por exemplo, as incertezas seriam 20 m e 50 m respectivamente. Já as medidas altimétricas estão sujeitas ao PEC altmétrico que é de meia eqüidistância das curvas de níveis o que em uma carta de escala 1:100.000 (Eq = 50 m) daria uma incerteza de 25 m.

10 - QUESTÕES PRÁTICAS PROPOSTAS Exercícios com carta impressa e com o software TrackMaker e a carta georeferenciada no fundo 1. Desenhar na carta topográfica os limites de uma Unidade de Conservação (UC) cujas

coordenadas UTM 23K, Datum SAD-69 dos vértices são: V1: E= 600175, N=7690850 V2: E= 603000, N=7691000 V3: E= 603425, N=7687700 V4: E= 600750, N=7687100 V5: E= 599900, N=7688875

2. Medir o perímetro (soma dos lados) da UC com um escalímetro ou régua graduada e fórmulas analíticas.

3. Acrescentar a partir do vértice V5 da UC, uma trilha levantada no campo com azimutes de bússola (magnético) e distâncias de trena, conforme a caderneta abaixo (lembre-se de utilizar a declinação atualizada e a convergência meridiana):

Azimute (graus) 60° 90° 120° Distância (metros) 700m 500m 600m

4. Achar as coordenadas UTM e coordenadas Geográficas da entrada (cruzamento da divisa da UC com a estrada, próximo ao Córrego da Onça) e da sede da UC (Faz São José).

5. Achar a distância em linha reta entre a sede e a entrada da UC, utilizando a escala e calculando por coordenadas UTM com fórmulas, comparar os resultados.

6. Achar o azimute entre a sede e a entrada da UC, utilizando o transferidor e calculando por coordenadas UTM com fórmulas, comparar os resultados .

7. Encontrar as altitudes dos vértices da divisa da UC 8. Marcar com um símbolo adequado uma espécie vegetal encontrada na UC, nas coordenadas

UTM: E=601452.55 e N=7689908.46, obtidas com equipamento GPS 9. Calcular a área total da UC pelo método de coordenadas e pela divisão em figuras

geométricas simples. 10. Identificar o ponto mais alto e o ponto mais baixo dentro da UC. 11. Identificar áreas de relevo pouco acidentado dentro da UC. 12. Identificar áreas de relevo muito acidentado dentro da UC. 13. Identificar encostas de declividades entre 5% e 15% e maiores que 45%. 14. Identificar dentro da UC: rios, córregos, lagos, vales, colinas, edificações, estradas de

rodagem, estradas de ferro e trilhas. 15. Identificar diferentes tipos de cobertura vegetal dentro e fora da UC. 16. Identificar um divisor de águas e um recolhedor de águas bem caracterizados. 17. Demarcar o divisor de águas entre o Córrego da Onça e o Córrego Paiol Velho. 18. Traçar o perfil topográfico do divisor de águas entre o Córrego da Onça e Córrego Paiol

Velho. 19. Traçar a linha de máximo declive a partir do ponto de coordenadas UTM E=603000;

N=7687000.

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11 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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