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  • 8/20/2019 Fundamentos de Cálculo Numéricos para Engenheiros.pdf

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    Fundamentos de Cálculo

    Numérico para Engenheiros

    Régis S. De Quadros

    Álvaro L. De Bortoli

    Porto Alegre, dezembro de 2009.

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    ”O entendimento da essência pode estimular a imagina瘠ao”

    ´ Alvaro De Bortoli 

    FBN 361.985; Direitos autorais: Prof. Quadros e Prof. De Bortoli

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    SUMÁRIO

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   II

    1 INTRODUÇ ÃO   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9

    1.1 Fontes de erro   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.1.1 Propagação de erros nas operações aritméticas . . . . . . . . . . 15

    1.2 Caracteŕısticas de um algoritmo numérico de boa qualidade   17

    1.3 Aritmética de ponto flutuante e sua representação   . . . . 18

    1.4 Exercı́cios   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2 LOCALIZAÇ ÃO DE ZEROS DE FUNÇ ÕES   . . . . . . . . .   20

    2.1 Regras para determinação das raı́zes de funções   . . . . . . 20

    2.1.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.2 Processos Iterativos   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.2.1 Métodos da bissecção e da posição falsa . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.2.2 Métodos de Newton-Raphson, Newton Víete e das secantes . . . 31

    2.2.3 Método da iteração linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.2.4 Método de Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.3 Aplicações   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    2.3.1 Cálculo dos juros de um financiamento . . . . . . . . . . . . . . 46

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    2.3.2 Estiramento de cabos suspensos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    2.4 Exerćıcios   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    3 SOLUÇ ÃO DE SISTEMAS LINEARES E NÃO LINEARES 54

    3.1 Métodos diretos para sistemas lineares  . . . . . . . . . . . . 55

    3.1.1 Método de Eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    3.1.1.1 Inversão de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    3.1.2 Fatoração LU    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3.2 Métodos Iterativos para Sistemas Lineares   . . . . . . . . . 65

    3.2.1 Método de Jacobi: Método dos deslocamentos simultâneos . . . 66

    3.2.2 Método de Gauss-Seidel: Método dos deslocamentos sucessivos . 68

    3.2.3 Método das sobre/sub-relaxações sucessivas - SOR/SUR . . . . 69

    3.2.4 Convergência de métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    3.3 Sistema mal condicionado e condicionamento . . . . . . . . 75

    3.4 Exerćıcios   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    3.5 Introdução à solução de sistemas não-Lineares   . . . . . . . 82

    3.5.1 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    3.5.2 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    3.5.3 Método das aproximações sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . 86

    3.6 Aplicações   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    3.6.1 Tensões em um circuito elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

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    3.6.2 Estequiometria de uma reação qúımica . . . . . . . . . . . . . . 89

    3.6.3 Pressão para aterrar corpos de prova . . . . . . . . . . . . . . . 91

    3.7 Exercı́cios   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    4 AUTOVALORES E AUTOVETORES   . . . . . . . . . . . . .   95

    4.1 Obtenção de autovalores/autovetores via determinantes   . 96

    4.2 Método da potência  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    4.3 Método de Jacobi   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    4.4 Aplicações: sistema massa-mola   . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    4.5 Exercı́cios   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    5 AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLAÇ ÃO   . . . . . . . . .   106

    5.1 Método dos mı́nimos quadrados para domı́nio discreto   . . 106

    5.1.1 Ajuste por um polinômio de grau p   . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    5.1.2 Ajuste por função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5.1.3 Ajuste por uma função potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    5.2 Método dos mı́nimos quadrados para domı́nio cont́ınuo   . 111

    5.3 Aproximação trigonométrica   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    5.3.1 Aproximação trigonométrica para doḿınio discreto: . . . . . . . 113

    5.3.2 Escolha de melhor função de a juste . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    5.4 Interpolação   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

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    5.4.1 Interpolação polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    5.4.2 Polinômios ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    5.4.3 Interpolação por spline cúbico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    5.5 Aplicações   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    5.5.1 Tensão-deformação de aço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    5.6 Exerćıcios   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    6 DERIVAÇ ÃO E INTEGRAÇ ÃO NUMÉRICA   . . . . . . .   137

    6.1 Derivação numérica   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    6.1.1 Exerćıcios sobre derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    6.2 Integração numérica   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    6.2.1 Fórmula dos trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

    6.2.2 Fórmula de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

    6.2.3 Quadratura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    6.2.4 Integração de funções mal condicionadas . . . . . . . . . . . . . 152

    6.2.5 Exerćıcios sobre integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

    6.3 Aplicações: Avaliação da capacidade de armazenamento   . 154

    7 SOLUÇ ÃO NUMÉRICA DE EQUAÇ ÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   156

    7.1 Introdução   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    7.2 Métodos de passo simples para solução de um PVI   . . . . 157

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    7.2.1 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    7.2.2 Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

    7.2.3 Caracteŕısticas dos métodos de passo simples . . . . . . . . . . . 167

    7.3 Métodos de passo múltiplo   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

    7.3.1 Métodos da famı́lia Adams e de predição correção . . . . . . . . 168

    7.4 Sistemas de equações diferenciais ordinárias   . . . . . . . . 170

    7.4.1 Equações diferenciais ordinárias de ordem superior . . . . . . . 171

    7.5 Estabilidade na obtenção da solução numérica   . . . . . . . 174

    7.5.1 Regĩao de estabilidade de alguns métodos . . . . . . . . . . . . . 174

    7.6 Aplicações   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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