FUNDAMENTOS DA LÓGICA, UMA ABORDAGEMINFORMAL.

1 - INTRODUÇÃO.

A Lógica é uma Ciência que tem como finalidade a verificaçãosobre a existência, ou não, de uma relação entre as afirmaçõesque compõem um dado grupo pela qual uma delas em particularserá verdadeira sempre que todas as outras o forem.

Há uma diferenciação entre as afirmações envolvidas: uma delasparticularmente, a conclusão, tem sua veracidade dependente, ounão, da veracidade das demais. Cada uma das demais é umapremissa. Ao conjunto formado por premissas e conclusão dá-seo nome argumento.

Quando ocorre a mencionada relação designa-se o conjunto porargumento correto. Trata-se de uma relação de causa e efeito,segundo esta última a veracidade das premissas assegura averacidade da conclusão. Quando a relação de causa e efeito nãoestá presente tem-se um argumento incorreto. Dois outrosnomes para argumento incorreto são falácia e sofisma.

Um argumento consiste na exteriorização de uma explicação pormeio da qual um certo sujeito pretende convencer a alguém sobrea decorrência, ou não, de um dado fato expresso pela conclusãocomo conseqüência inevitável dos demais fatos expressos pelaspremissas. Aquela explicação antes de sua exteriorização através doargumento, enquanto em escopo estritamente pessoal, em âmbitointerno ao sujeito, é designada por inferência ou raciocínio.Aquele que a detém preocupa-se em convencer a si mesmo.

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Para esclarecimento dos significados de “argumento”, “premissa”e “conclusão”, consideraremos dois exemplos. Um deles sobreargumento correto, o outro sobre argumento incorreto. Ambosrelativos à seguinte situação: uma certa escola situa-se noedifício Donatelli, em sua sobreloja, no bairro Ouro Preto, emBelo Horizonte. Internamente ao prédio, diante da portaria, há aúnica escadaria pela qual pode-se chegar à sobreloja.

É correto o seguinte argumento:

-Jorge, há duas horas atrás, encontrava-se fora do EdifícioDonatelli.-No momento Jorge se encontra no interior da escola, nasobreloja do edifício.-Há uma única escadaria pela qual pode-se chegar à sobreloja.Logo: hoje, em algum momento ao longo das últimas duas horas, Jorgepassou pela escadaria subindo-a.

A afirmação “hoje, em algum momento ao longo das últimas duashoras, Jorge passou pela escadaria subindo-a” será, sem dúvida,verdadeira caso as outras três afirmações o sejam.

A veracidade simultânea das três premissas, e somente delas,assegura a veracidade da conclusão. É clara a presença darelação de causa e efeito: os fatos expressos pelas premissascompõem a causa do efeito expresso pela conclusão.

É incorreto o seguinte argumento.

-Jorge, há duas horas atrás, encontrava-se fora do EdifícioDonatelli.-No momento Jorge se encontra no interior da escola, nasobreloja do edifício.

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-Há uma única escadaria pela qual pode-se chegar à sobreloja.Logo: hoje, em algum momento ao longo das últimas duas horas, Jorgepassou pela escadaria descendo-a.

A afirmação “hoje, em algum momento ao longo das últimas duashoras, Jorge passou pela escadaria descendo-a” não exprime umfato que seja o efeito da causa expressa pelas premissas. Aqui arelação de causa e efeito não está presente.

Ainda que a última afirmação no argumento anterior sejaverdadeira, certamente tal veracidade não ocorreria como umefeito da causa expressa pelas premissas. Desta forma aquelaafirmação jamais consistiria em uma conclusão sustentável pelaspremissas correspondentes.

Os dois exemplos considerados são simples na medida em que nãosão necessários grandes esforços para a percepção tanto dacorreção de um quanto da não correção do outro. A avaliação decada um deles não exige mais que uma inspeção rápida dasafirmações envolvidas. Entretanto tais exemplos são constituídospor premissas singelas, em pequena quantidade, e por conclusõestambém singelas.

Numa situação genérica, na qual não esteja presente a restriçãoà afirmações simples e em pequena quantidade, a avaliação sobrea correção ou não do argumento envolvido pode ser bastante maiscomplexa. Tal complexidade exigiria para seu esclarecimento aabordagem do argumento através de algum método desenvolvidoexatamente para atender a este fim.

Tendo à vista a finalidade da Lógica apresentada no primeiroparágrafo desta seção, podemos concluir que qualquer métodoempregado terá necessariamente que encerrar característicasque o permitam responder à seguinte questão.

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Em que condições uma afirmação num argumento genéricodecorre como conseqüência das demais afirmações envolvidas?

De outro modo: quando nos deparamos com um argumentogenérico, como poderemos nos certificar de que ele é correto, ounão?

Esta questão leva a uma outra.

Quais seriam as características encerradas por um métodonecessárias para que ele se aplique à verificação da correção, ounão, de um argumento?

De outro modo: como poderíamos elaborar métodos, aplicáveis aum argumento qualquer, que nos permitiriam verificar se ele é, ounão, correto?

As respostas a estas perguntas exigem necessariamente oconhecimento de fundamentos da Lógica que serão parcialmentevistos neste texto. Aqui nos ocuparemos da Lógica Clássica,seguramente a mais utilizada atualmente e a única exigida emconcursos nacionais voltados a não especialistas.

Para atingir à finalidade pretendida por ela própria, a Lógicaestabelece regras sólidas e rigorosas com base nas quais sãoconstruídos os métodos. Em última análise: qualquer método temcomo finalidade a demonstração da correção, ou não, de algumargumento segundo caminhos consistentes com as imposiçõesprovenientes daquelas regras.

Veremos que, no âmbito da Lógica Clássica, a consideração depoucas regras, facilmente compreensíveis, permite a criação demétodos aplicáveis à determinação sobre a correção, ou não, deuma ampla gama de argumentos.

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A Lógica Clássica inclui como parte de si mesma a LógicaQuantificacional, esta última por sua vez inclui como alicerce aLógica Proposicional. Veremos que a diferença marcante entreelas reside na presença ou não de quantificações nas afirmaçõesconsideradas.

O significado de “quantificações” será devidamente esclarecido aseu tempo, mais adiante.

No que diz respeito à sua aplicação, a Lógica é utilizada paraorientar tanto a concepção em escopo interno, que visa aoconvencimento próprio, quanto a apresentação em escopoexterno, que visa ao convencimento de algum outro indivíduo,sobre a decorrência, ou não, de certo fato relevante comoconseqüência dos demais fatos envolvidos.

Situações diversas que solicitam o emprego da Lógica estãoinvariavelmente presentes nas rotinas diárias de todos nós. Namedida em que estamos continuamente envolvidos emcircunstâncias que nos impõem a necessidade de convencer aalguém, ou a nós mesmos, sobre a correção, ou não, deargumentos, é inevitável a utilização da Lógica.

Um professor precisa convencer a seus alunos, os alunosprecisam convencer a si mesmos sobre a correção, ou não, daquiloque o professor expõe. Um psicólogo precisa convencer a seusclientes, os clientes precisam convencer a si mesmos sobre acorreção, ou não, da orientação oferecida. Um gerente deveconvencer ao seu cliente sobre a adequação de um certoinvestimento, o cliente deve se convencer da adequação, ou não,daquele investimento.

Um leitor deve dispor de instrumentos que o permitam verificara correção, ou não, dos diversos argumentos presentes emqualquer jornal, revista ou livro pelo qual se interesse.

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Um estudante deve convencer aos professores que avaliarão suamonografia, dissertação ou tese. Por sua vez os professoresaprovarão o trabalho caso se dêem por convencidos sobre acorreção dos argumentos empregados.

Um inocente acusado injustamente terá que demonstrar a nãocorreção dos argumentos que sustentam a acusação. Um eleitoratento deverá diferenciar os diversos argumentos, apresentadospor vários políticos, classificando-os em corretos e incorretos,para então decidir sobre seu voto.

A exposição desenvolvida ao longo deste texto é voltada a umtratamento da Lógica sob o ponto de vista de sua aplicação como“instrumento cotidiano”.

Ocorre que, via de regra, tais aplicações cotidianas, tanto emesfera pessoal quanto profissional, não exigem a sofisticaçãotécnica realizável somente através do emprego de formulaçõesabsolutamente rigorosas sobre conceitos por demais abstratos.

As necessidades cotidianas podem ser supridas meramente peloemprego de poucas formulações, aquelas dotadas da mínimaformalidade necessária, a respeito de poucos conceitos simplescujos teores abstratos, quando bem esclarecidos, não implicamem dificuldades relevantes para o sua compreensão.

A informalidade, na medida necessária às aplicações pretendidas,é portanto uma das características marcantes deste texto.

Sob tal perspectiva torna-se natural a designação da fração daLógica apresentada aqui por Lógica Instrumental. Relação análogahá entre o Português Instrumental e o Português Culto: o últimocom todos os rigores e conceitos que o caracterizam enquantoque o primeiro, sendo um extrato do outro, contém apenas onecessário para o emprego em nosso dia a dia.

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Nosso objetivo consiste em nos aprofundarmos na Lógica ClássicaQuantificacional o suficiente para dispormos dos conhecimentos,e da associada agilidade em sua aplicação, necessários àresolução de questões típicas em concursos. A exigência usualnestes últimos é sempre concordante com as mencionadasnecessidades cotidianas, em nível pessoal ou profissional.

Iniciaremos nosso estudo pela abordagem da LógicaProposicional, que é a mais simples e a que consiste no alicercedaquela a que pretendemos chegar. Posteriormente, com base noque terá sido exposto até aquela altura, ocorrerá a abordagem daLógica Quantificacional.

2 - LÓGICA PROPOSICIONAL CLÁSSICA. 2.1 - Proposições e seus Valores.

Neste texto designaremos por proposição, qualquer sentençadeclarativa. Ou seja, uma sentença que encerre conteúdo quepossamos afirmar ou negar, que possamos qualificar comoverdadeiro ou falso.

Supostamente, quando necessário, tais sentenças estarão sempreenvolvidas em contexto que não deixe dúvidas sobre suaveracidade, ou não.

Um exemplo de sentença cuja veracidade depende do contexto éo seguinte:

Hoje, aqui e agora chove.

A qualificação desta sentença como verdadeira ou falsadependerá do instante e do local em que ela própria forconsiderada. Sob certas circunstâncias ela será verdadeira, soboutras será falsa.

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Já as sentenças seguintes são independentes do contexto:

Bill Gates não é um homem rico.

O torneio Pan-Americano de atletismo, em 2007, ocorreu noBrasil.

As duas são respectivamente falsa e verdadeira sob quaisquercircunstâncias, independentemente do instante e do local em quesão consideradas.

Sentenças imperativas e interrogativas não consistem emproposições na medida em que não são declarativas. Exemplos:

Durma bem.

Que dia é hoje?

Cada uma destas jamais poderá ser classificada como verdadeiraou falsa., tais qualificações não se aplicam a elas.

Sob o ponto de vista da Lógica cada proposição pode assumirsomente um entre os dois seguintes valores:

- verdadeiro, V

- falso, F. Estes valores se referem á veracidade ou não da proposição enão à mensagem que ela traz em si mesma.

A qualquer proposição pode ser associada o valor V ou valor Findependentemente de qual seja o domínio do conhecimento a quepertence o conteúdo encerrado por ela.

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São três os princípios da Lógica Clássica:

i ) Princípio da identidade: toda proposição é igual a si mesma e anenhuma outra. Tal fato mostra-se relevante em situações emque proposições escritas de maneiras desfavoráveis podem serreescritas de maneiras favoráveis.

As maneiras desfavoráveis dificultam tanto a compreensão dasproposições envolvidas quanto o relacionamento entre elas,tornando inconveniente a análise dos argumentos que asencerram.

Via de regra há mais de uma maneira de exprimir cada uma dasproposições envolvidas, cada maneira absolutamente equivalentea todas as outras conforme o princípio em questão. Toma-seentão as formas que facilitem tanto a compreensão quanto osrelacionamentos de modo a tornar conveniente, e portantofavorável, a análise dos argumentos.

Cada uma das diferentes expressões de uma dada proposição éuma proposição equivalente a ela própria. Todas as proposiçõesequivalentes a uma outra são também equivalentes entre si.

Enfim o Princípio da Identidade legitima a substituição deexpressões inconvenientes por outras convenientes de maneiratornar favorável uma situação antes desfavorável. Váriosexemplos destas situações serão inevitavelmente vistos ao longodeste texto, a partir da seção 2.3.

ii) Princípio da não contradição: nenhuma proposição pode assumirao mesmo tempo os valores V e F. A atribuição de um dos valoresinibe completamente a atribuição do outro.

iii) Princípio do terceiro excluído: há somente dois valores V e F,não sendo admitido em hipótese alguma qualquer outro valor.

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2.2 - Proposições Compostas.

Há proposições que podem ser formadas a partir de outras. Oprocesso de formação envolve a existência de ações sobrealgumas proposições, ou relacionamentos específicos entre elas,que resultem em novas proposições.

As proposições resultantes são designadas por proposiçõescompostas. As proposições empregadas na formação dascompostas são as proposições componentes. São quatro osrelacionamentos e uma única ação na Lógica Proposicional:

a) Negação: ação do operador “ não ”.

b1) Disjunção: relacionamento pelo operador “ ou ”.

b2) Conjunção: relacionamento pelo operador “ e ”.

c1) Implicação: relacionamento pelo operador “ se ... então... ”.

c2) Bi-implicação: relacionamento pelo operador “ ... se e somentese ... ”.

A negação é uma operação sobre uma única proposição, já asoperações disjunção, conjunção, implicação e bi-implicação atuamsobre duas proposições.

Cada operador determina uma maneira própria pela qual o valorlógico da proposição composta depende dos valores lógicos dasproposições componentes.

Todos os operadores são funções de valores justamente devido àdependência que estabelecem entre os valores das proposições resultantes e os correspondentes valores das proposições com-ponentes.

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a) A ação da negação leva a uma nova proposição cujo valor lógico é oposto ao valor lógico da proposição original:

Chove hoje.

Não chove hoje.

Portanto, caso uma proposição seja verdadeira, sua negação seráfalsa e vice-versa. A Teoria dos Conjuntos provê sustentaçãoteórica simples para tais fatos: toma-se um dado conjunto Pcontido propriamente num outro conjunto U: P é subconjunto deU e P é distinto de U, sendo o último o conjunto universo.

Considerando como conjunto universo o conjunto dos sereshumanos, tanto o conjunto dos homens quanto o conjunto dasmulheres são subconjuntos propriamente contidos no primeiro.Cada um dos últimos está contido no conjunto dos seres humanose é distinto dele.

Associa-se o conjunto P à proposição P de modo que a proposiçãoserá verdadeira sempre se esteja dentro de P ou a proposiçãoserá falsa sempre que não se esteja dentro de P. Mais a respeitoserá visto na seção 2.3.

b) Tanto a disjunção quanto a conjunção relacionam entre si duasproposições. As relações impostas por elas às proposições sobreas quais atuam são as seguintes:

- alternatividade, quanto à operação disjunção

- simultaneidade, quanto à operação conjunção

Cada uma das proposições que sofrem disjunção é um disjuntivo.Cada uma das proposições que sofrem conjunção é um conjuntivo.

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Tais operações não impõem, ou manifestam, qualquer relação decausa e efeito entre as duas proposições envolvidas. Uma vezmais a Teoria dos Conjuntos provê interpretação simples para osfatos envolvidos conforme o exposto nos itens b1 e b2seguintes.

Nos dois casos serão considerados dois conjuntos P e Q,distintos um do outro e ambos contidos propriamente em U,respectivamente associados às proposições P e Q.

b1) A disjunção leva a formação de uma proposição cujaveracidade não exige que os disjuntivos sejam ambos verdadeirosao mesmo tempo:

A cerveja está quente ou os petiscos têm gosto ruim. (proposição composta por disjunção)

A cerveja está quente. (disjuntivo)

Os petiscos têm gosto ruim. (disjuntivo)

Basta que um dos disjuntivos seja verdadeiro para que aproposição composta por disjunção também o seja.

Cada um dos disjuntivos é uma alternativa para o outro, mesmoque um deles seja falso a proposição composta pode ainda serverdadeira caso o outro disjuntivo seja verdadeiro. A proposição composta por disjunção será falsa somente quandoambos os disjuntivos o forem.

A disjunção entre proposições P e Q arbitrárias é associável àunião entre os conjuntos P e Q.

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Estar alternativamente dentro de um, ou outro, dos conjuntossignifica estar dentro da união entre eles, neste caso a disjunçãoé verdadeira. Para não estar dentro da união é necessário estarsimultaneamente fora de ambos os conjuntos, neste caso adisjunção é falsa.

A união entre o conjunto dos torcedores do Atlético mineiro e oconjunto dos torcedores do Corinthians paulista resulta noconjunto dos torcedores alvinegros. Estar no conjunto dosatleticanos, ou no conjunto dos corintianos, é estar no conjuntodos alvinegros. Não estar no conjunto dos alvinegros é não estarno conjunto dos atleticanos e não estar no conjunto doscorintianos. Mais a respeito será visto na seção 2.3.

b2) A conjunção leva a formação de uma proposição cujaveracidade exige que os conjuntivos sejam verdadeiros ao mesmotempo:

A temperatura está elevada e sinto-me bem hoje. (proposição composta por conjunção)

A temperatura está elevada. (conjuntivo)

Sinto-me bem hoje. (conjuntivo)

Aqui não há alternativa, ambos os conjuntivos têm que sersimultaneamente verdadeiros para que a proposição composta porconjunção o seja.

Para que uma proposição composta por conjunção seja falsa bastaque um dos conjuntivos o seja.

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A conjunção entre proposições P e Q arbitrárias é associável àinterseção entre os conjuntos P e Q.

Estar simultaneamente dentro de um e outro dos conjuntossignifica estar dentro da interseção entre eles, neste caso aconjunção é verdadeira. Para não estar dentro da interseção énecessário estar alternativamente fora de um, ou outro, dosconjuntos, neste caso a conjunção é falsa.

Qualquer elemento que esteja no conjunto dos automóveis e noconjunto dos objetos raros, estará no conjunto dos automóveisraros. O último resulta da interseção entre os dois primeiros. Umelemento que esteja fora do conjunto dos automóveis, ou fora doconjunto dos objetos raros, certamente estará fora do conjuntodos automóveis raros. Mais a respeito será visto na seção 2.3.

c) Tanto a implicação quanto a bi-implicação, quando verdadeiras,impõem, ou manifestam, relações de “causa e efeito” entre asproposições originais:

- em uma implicação verdadeira: - ora a veracidade de uma das proposições envolvidas é suficiente para causar, como efeito, a veracidade da outra - ora a não veracidade desta outra é suficiente para causar, como efeito, a não veracidade da primeira - na bi-implicação verdadeira: - ora a veracidade de qualquer uma das duas proposições envolvidas é suficiente para causar, como efeito, a veracidade da outra

- ora a não veracidade de qualquer uma das duas proposições é

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suficiente para causar, como efeito, a não veracidade da outra

Tais características destas proposições expõem um certocaráter encerrado por elas. Ao longo de todo este texto odesignaremos por “caráter analítico”.

Salvo improvável engano, trata-se de uma designação utilizadaexclusivamente neste texto. O autor desconhece textos sobreLógica em que tal nomeação seja utilizada. Tal caráter é aquele pelo qual, segundo a Teoria de Conjuntos, a“parte implica o todo” ou “o não todo implica a não parte”

Em outras palavras: estar dentro de um certo subconjunto P,contido no conjunto Q, é indubitavelmente estar também em Q:“ser integrante da parte implica em ser integrante do todo”.

Caso não se esteja dentro de Q, certamente não se estarátambém em P: “ser não integrante do todo implica em ser nãointegrante da parte”.

Portanto estar em P é causa que trás como efeito estar em Q enão estar em Q é causa que trás como efeito não estar em P.

As relações equivalentes, no domínio da lógica, envolvendo asimplicações e bi-implicações são tais que as proposições serãoverdadeiras sempre que o caráter analítico esteja presente, ouserão falsas quando o mesmo caráter estiver ausente. Conformeesclarecem os itens c1 e c2 seguintes.

c1) Em qualquer proposição composta por implicação, a proposiçãologo após o se é o antecedente já a proposição logo após o entãoé o conseqüente.

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O nome proposição condicional é freqüentemente utilizado paradesignar uma proposição composta por implicação.

Numa proposição condicional verdadeira tanto a veracidade doantecedente é condição suficiente para a veracidade doconseqüente quanto a não veracidade do conseqüente é condiçãosuficiente para a não veracidade do antecedente.

Se Jorge pratica natação então Cláudia joga tênis. (proposição condicional)

Jorge pratica natação. (antecedente)

Cláudia joga tênis. (conseqüente)

Uma vez que as duas proposições componentes se encontramrelacionadas uma a outra através de uma proposição condicionalverdadeira, necessariamente a veracidade de “Jorge praticafutebol” garante a veracidade de “Cláudia joga tênis”, ou a nãoveracidade de “Cláudia joga tênis” garante a não veracidade de“Jorge pratica futebol”.

É conveniente salientar que em tal relacionamento a veracidadedo conseqüente não é condição suficiente para a veracidade doantecedente, e a não veracidade do antecedente não é condiçãosuficiente para a não veracidade do conseqüente.

A única situação em que a implicação é falsa é aquela em que oantecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso.

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A proposição condicional envolvendo proposições componentes P eQ arbitrárias é associável à situação em que o conjunto P estápropriamente contido no conjunto Q: P é subconjunto de Q e P édistinto de Q. Neste caso há um conjunto complementar de Pcom relação a Q.

O caráter analítico se encontra claramente presente: estaralternativamente em P, ou em seu complementar, significanecessariamente estar em Q. Não estar em Q significanecessariamente não estar simultaneamente em P e em seucomplementar. Nestas situações a implicação correspondente, envolvendo asproposições P e Q, será verdadeira.

As outras situações imagináveis são: estar alternativamente emP, ou em seu complementar, e não estar em Q, ou então estar emQ e não estar em P ou em seu complementar. Nestes casos ocaráter analítico está ausente e a implicação correspondenteserá falsa.

O conjunto dos mineiros, formado pelos nascidos em MinasGerais, está propriamente contido no conjunto dos brasileiros. Ocomplementar do conjunto dos mineiros com relação ao conjuntodos brasileiros é o conjunto dos não mineiros. Este último reúneos nascidos em todos os demais estados.

Um elemento pertinente ao conjunto dos mineiros, ou ao conjuntodos não mineiros, certamente também pertencerá ao conjuntodos brasileiros. Qualquer elemento que não pertença ao conjuntodos brasileiros certamente não pertencerá tanto ao conjunto dosmineiros quanto ao conjunto dos não-mineiros.

Não é possível que um elemento esteja no conjunto dos mineiros,ou no conjunto dos não mineiros e não esteja no conjunto dosbrasileiros. Não há como um elemento não estar no conjunto dos

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brasileiros e estar no conjunto dos mineiros ou no conjunto dosnão mineiros. Mais a respeito será visto na seção 2.3.

c2) A bi-implicação verdadeira envolve ao mesmo tempo aimplicação nos dois sentidos possíveis: a veracidade de cada umadas proposições é condição suficiente para garantir a veracidadeda outra.

O nome proposição bi-condicional é freqüentemente empregadopara designar uma proposição composta por bi-implicação.

Isaac é filho de Cláudia se e somente se Cláudia é casada comHenrique.

(proposição bi-condicional)

Uma vez que as duas proposições componentes se encontramrelacionadas uma a outra através de uma proposição bi-condicional verdadeira, necessariamente a veracidade de “Isaacé filho de Cláudia” garante a veracidade de “Cláudia é casada comHenrique”, ou a não veracidade de “Cláudia é casada comHenrique” garante a não veracidade de “Isaac é filho de Cláudia”.

Ao mesmo tempo a veracidade de “Cláudia é casada comHenrique” garante a veracidade de “Isaac é filho de Cláudia”, oua não veracidade de “Isaac é filho de Cláudia” garante a nãoveracidade de “Cláudia é casada com Henrique”.

Um bi-implicação é falsa em cada uma das outras duas situaçõespossíveis em que uma das proposições componentes é falsa eoutra verdadeira.

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A proposição bi-condicional envolvendo proposições componentesP e Q arbitrárias é associável à situação em que o conjunto Pestá não propriamente contido no conjunto Q: P é subconjuntode Q e P é idêntico a Q. Neste caso não há um conjuntocomplementar de P com relação a Q.

O caráter analítico se encontra claramente presente: estar em Psignifica necessariamente estar em Q. Não estar em Q significanecessariamente não estar em P. Nestas situações a bi-implicação correspondente, envolvendo as proposições P e Q,será verdadeira.

As outras situações imagináveis são: estar em P e não estar emQ ou estar em Q e não estar em P. Neste caso o caráter analíticonão está presente e a bi-implicação correspondente será falsa. Todo conjunto está contido em si mesmo, portanto o conjuntodos brasileiros está contido nele próprio.

O conjunto dos brasileiros consiste na união entre o conjunto dosmineiros e o conjunto dos não mineiros.

Então qualquer elemento do conjunto dos brasileiros é tambémelemento do conjunto união entre mineiros e não mineiros. Todoelemento deste último é também elemento daquele primeiro.

Não há como um elemento estar no conjunto dos brasileiros e nãoestar no conjunto união entre o conjunto dos mineiros e oconjunto dos não mineiros, assim como não é possível estar nesteconjunto união e não estar naquele. Mais a respeito será visto naseção 2.3.

A proposição bi-condicional corresponde necessariamente à con-junção entre duas proposições compostas por implicação.

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Se Isaac é filho de Cláudia então Cláudia é casada comHenrique.

(conjuntivo)

e

Se Cláudia é casada com Henrique então Isaac é filho de Cláudia.(conjuntivo)

Neste ponto tem fim a exposição sobre proposições compostasnesta seção.

É importante salientar que a ação e os relacionamentos vistosaqui são os únicos existentes na Lógica Proposicional Clássica.

Há proposições compostas que podem ser formadas a partir deoutras proposições compostas de diversas maneiras distintasentre si, mas sempre com o emprego de um, ou mais, dos cincooperadores aqui considerados e nenhum outro.

2.3 -Valores das Proposições Compostas.

De acordo com a seção anterior, a ação de um operador impõeuma relação específica entre os valores da proposição formada eos valores das proposições formadoras. Tais relações sãoimprescindíveis aos métodos para determinação da existência, ounão, da relação de causa e efeito entre as proposições quecompõem um dado argumento, como veremos mais tarde.

As tabelas verdades são empregadas para exibir de maneiraclara e objetiva as mencionadas relações. Cada tabela esclarecequal será o valor da proposição composta para cada um dosvalores das proposições originais.

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As tabelas verdades de proposições equivalentes entre si sãoidênticas entre si.

A seguir designaremos, em cada caso, as proposições originaispor P ou Q. Cada tabela apresentada será acompanhada de umasíntese. As sínteses serão úteis posteriormente ao lidarmos commétodos para a verificação da validade de argumentos.

A - Tabela verdade para o operador negação:

A proposição composta “não P” será:

- verdadeira sempre que P for falsa

- falsa sempre que P for verdadeira.

As figuras seguintes ilustram a interpretação à luz da Teoria deconjuntos. Estar no conjunto P significa proposição P verdadeira,figura da esquerda. Estar fora do conjunto P significa proposiçãoP falsa, figura da direita.

As duas figuras consistem em diagramas de Venn-Euler,empregados com freqüência, neste e em outros textos, para o

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Proposição P Proposição Não PV FF V

esclarecimento de fatos relevantes pertinentes à Teoria dosConjuntos.

É importante salientar que, no escopo da Lógica Clássica, duasnegações sucessivas de uma proposição resultam exatamente naproposição original.

De fato a negação de uma proposição, não P, corresponde a estarno complementar de P relativamente a U. Logo a dupla negaçãoconsiderada, não (não P), corresponde a estar no complementardo complementar de P, que é o próprio.

Pode-se portanto escrever: não (não P) = P [ A ]

Esta igualdade consiste em nosso primeiro exemplo de empregodo Princípio da Identidade.

De acordo com a igualdade A, existem duas maneiras,absolutamente correspondentes entre si, pelas quais pode-serepresentar uma proposição arbitrária.

B1 - Tabela verdade para o operador disjunção:

Proposição P Proposição Q Proposição P ou Q V V VV F VF V VF F F

Uma vez que existe a alternativa, a proposição composta “P ouQ” será:

- verdadeira sempre que P ou Q forem verdadeiras. Nestes casos ocorrem as afirmações da disjunção.

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- falsa somente quando P e Q forem falsas. Neste caso ocorre a negação da disjunção.

A interpretação conforme a Teoria de Conjuntos é ilustrada pe-los diagramas seguintes.

O diagrama anterior representa o conjunto formado pela união entre os conjuntos P e Q. Os diagramas seguintes representam as quatro situações presentes na tabela B1.

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Estar alternativamente em P ou em Q implica em estar na união entre P e Q. Figuras na página anterior e figura nesta página à direita.

Estar simultaneamente fora de P e de Q implica em não estar na união entre P e Q. Figura nesta página à esquerda.

Caso os conjunto P e Q sejam disjuntos, a disjunção correspon-dente seria associada ao operador “ou exclusivo”.

De acordo com este último operador, as duas proposições componentes P e Q não podem ser simultaneamente verdadeiras. B2 - Tabela verdade para o operador conjunção:

Proposição P Proposição Q Proposição P e Q V V VV F FF V FF F F

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Uma vez que não existe alternativa, a proposição composta “P e Q” será:

- verdadeira somente quando P e Q o forem. Neste caso ocorre a afirmação da conjunção.

- falsa sempre que P ou Q forem falsas. Nestes casos ocorrem as negações da conjunção.

De acordo com a Teoria dos Conjuntos a interpretação é a ilus- trada pelos diagramas seguintes.

O diagrama anterior representa o conjunto formado pela inter-seção entre os conjuntos P e Q.

É claro que a interseção entre dois conjuntos será não vazia somente se os mesmos forem não disjuntos.

Os diagramas seguintes representam as quatro situações presentes na tabela B2.

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Estar simultaneamente em P e em Q implica em estar na interse-ção entre P e Q. Figura no topo à direita.

Não estar alternativamente em P ou em Q implica em não estar na interseção entre P e Q. Figuras no topo à esquerda e na base.

B3 – Teorema de Augustos de Morgan.

Neste ponto é conveniente a introdução do Teorema de Augustusde Morgan que, com base na Teoria de Conjuntos, estabelece o seguinte: a negação de uma disjunção é uma conjunção e a nega-ção de uma conjunção é uma disjunção.

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Pode-se escrever:

- não (P ou Q) = (não P) e (não Q) [ B3A ] - não (P e Q) = (não P) ou (não Q) [ B3B ]

Cada uma das igualdades, B3A e B3B, consiste em mais umexemplo de aplicação do Princípio da Identidade. As proposiçõesem cada lado do sinal de igualdade são absolutamentecorrespondentes entre si.

As igualdades B3A e B3B são expressões das sínteses, relativas a negações, logo após as tabelas B1 e B2 respectivamente.

Tais sínteses e expressões podem ser compreendidas com base na Teoria de Conjuntos.

À negação da disjunção corresponde a situação: não estar na união entre os conjuntos P e Q. Para tanto é necessário não estar simultaneamente em P e Q.

À negação da conjunção corresponde a situação: não estar na interseção entre os conjuntos P e Q. Para tanto basta não estar alternativamente em P ou em Q.

C1 - Tabela verdade para o operador implicação:

Proposição P Proposição Q Proposição Se P então Q

V V VV F FF V VF F V

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Vale a seguinte síntese, a proposição composta “se P então Q”será:

- falsa somente quando P for verdadeira e Q for falsa. Neste caso ocorre a negação da implicação.

- verdadeira sempre que P for falsa ou Q verdadeira. Nestes casos ocorrem as afirmações da implicação.

A atribuição de significado a esta tabela verdade é feita, umavez mais, com o emprego de alguns elementos fundamentais daTeoria dos Conjuntos, conforme os diagramas seguintes.

Uma vez que P está propriamente contido em Q:

- estar alternativamente em P ou em seu complementar implicaem estar em Q, “ a parte implica o todo”. Figuras nesta página àesquerda e à direita respectivamente

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– não estar em Q implica em não estar simultaneamente em P eem Q, “ o não todo implica a não parte”. Figura na página anterior.

Nestas situações o caráter analítico está presente.

A situação em que o caráter analítico não está presente, estarem P e não estar em Q, não pode ser representada.

Em acordo com as sínteses logo após a tabela C1, pode-seescrever:

- implicação verdadeira: Se P então Q = (não P) ou Q [C1A]

- implicação falsa: Não (se P então Q) = P e (não Q) [C1B]

As igualdades C1A e C1B consistem em dois novos exemplos deaplicação do Princípio da Identidade.

Observe-se que:

- o antecedente P sempre representa uma dada parte de um certo todo, pois está associado ao subconjunto P contido em Q

- o conseqüente Q sempre representa um todo que envolve duas partes, pois está associado ao superconjunto Q que contém propriamente P e o complementar de P.

Tudo em conformidade com os três diagramas da página anterior.

29 29

C2 - Tabela verdade para o operador bi-implicação:

Proposição P Proposição Q Proposição P sse Q

V V VV F FF V FF F V

Em síntese, a proposição composta “P se e somente se Q” será:

- verdadeira sempre que: P e Q forem verdadeiras ou P e Q forem falsas. Nestes casos ocorrem as afirmações da bi-implicação

- falsa sempre que: P for verdadeira e Q for falsa ou P for falsa e Q for verdadeira. Nestes casos ocorrem as negações da bi-implicação.

Analogamente ao caso da tabela sobre a implicação, a atribuiçãode significado a esta tabela verdade é feita com base em algunselementos da Teoria de Conjuntos, conforme os diagramasabaixo.

Uma vez que P é idêntico a Q: - estar em P implica em estar emQ. Figura à esquerda – não estar em Q implica em não estarsimultaneamente em P . Figura à direita.

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As situações em que o caráter analítico não está presente são: -estar em P e não estar em Q – não estar em P e estar em Q. Taissituações não podem ser representadas.

Em acordo com as sínteses logo após a tabela C2A, pode-se escrever:

- bi-implicação verdadeira: P se e somente se Q = (P e Q) ou (não P e não Q) [C2A]

- bi-implicação falsa: Não ( P se e somente se Q) = (não P e Q) ou (P e não Q) [C2B]

As igualdades C2A e C2B consistem, mais uma vez, em exemplos de aplicação do Princípio da Identidade.

Observe-se que:

- a proposição P sempre representa uma dada parte de um certo todo, pois está associado ao subconjunto P idêntico a Q . Neste caso a parte é igual ao todo

- o conseqüente Q sempre representa um certo todo pois está associado ao conjunto Q idêntico a P. Neste caso o todo é igual à parte

Tudo em conformidade com os dois diagramas na página anterior.

C3 – Versões equivalentes à implicação e à bi-implicação.

Pode-se inferir, sem grande dificuldade, o exposto no textoseguinte, em itálico.

Quando duas proposições compostas arbitrárias A e B,expressas cada uma em termos de duas proposições

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componentes P e Q, são equivalentes entre si ocorrem osseguintes fatos:

i ) a cada par de valores lógicos de P e Q, nas tabelas verdades de A e de B, correspondem valores lógicos de A e B iguais entre si. Em outras palavras: “as tabelas verdades de A e de B são iguais entre si”, conforme menção no início desta seção, no seu terceiro parágrafo

ii ) as sínteses das tabelas verdades de A e de B, expressas em termos de P e Q, são proposições idênticas entre si. Tanto as proposições que exprimem as afirmações são idênticas entre si quanto as que exprimem as negações são idênticas entre si

iii) as justificativas para as tabelas verdade, tanto de A quanto de B, são feitas com base nos mesmos diagramas. Estes últimos envolvem as representações de P e Q com base na Teoria de Conjuntos.

Os fatos i, ii e iii serão utilizados nas duas seções posteriores para a apresentação de duas novas proposições equivalentes à implicação e a bi-implicação respectivamente.

C3.1 – Versão equivalente à implicação: a contrapositiva.

É importante salientar a existência da seguinte proposição condi-cional:

se (não Q) então (não P)

Ela está relacionada à implicação se P então Q.

Cada uma delas consiste na contrapositiva da outra.

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A contrapositiva de uma implicação é uma segunda implicação quetem como antecedente a negação do conseqüente da primeira etem como conseqüente a negação do antecedente da primeira.

A tabela verdade para a contrapositiva sob foco é a seguinte:

C3A - Tabela verdade para o operador implicação em sua versão contrapositiva:

Proposição P Proposição Q Proposição Se (ñ Q) então (ñ P )

V V VV F FF V VF F V

Vale aqui a seguinte síntese, a contrapositiva “se (não Q) então(não P)” será:

- falsa somente quando Q for falsa e P verdadeira. Neste caso ocorre a negação da contrapositiva.

- verdadeira sempre que Q for verdadeira ou P for falsa. Nestes casos ocorrem as afirmações da contrapositiva.

Pela comparação da tabela C1 e sua síntese com a tabela C3A esua síntese, concluímos que as tabelas, tanto quanto as sínteses,são idênticas entre si.

Portanto são válidos os fatos i e ii no que diz respeito àimplicação e sua contrapositiva.

Também o fato iii é válido quando se considera a implicação e suacontrapositiva, conforme a exposição nos próximos parágrafos.

33 33

A atribuição de significado à tabela verdade C3A é feita com oemprego dos mesmos diagramas utilizados para a realização deesclarecimentos sobre a tabela C1.

Uma vez que o complementar de Q está propriamente contido nocomplementar de P:

- estar alternativamente no complementar de Q, ou no próprioQ, implica em estar no complementar de P, “ a parte implica otodo”. Figuras na pagina anterior e nesta página à direitarespectivamente

– não estar no complementar de P implica em não estarsimultaneamente no complementar de Q e em Q, “ o não todoimplica a não parte”. Figura nesta página à esquerda.Nestas situações o caráter analítico está presente.

34 34

A situação em que o caráter analítico não está presente, estar nocomplementar de Q e não estar no complementar de P, não podeser representada.

De acordo com as sínteses logo após a tabela C3A, pode-seescrever:

- contrapositiva verdadeira: Se (não Q) então (não P) = Q ou (não P) [C3A1]

- contrapositiva falsa: Não (se (não Q) então (não P)) = (não Q) e P [C3A2]

As igualdades C3A1 e C3A2 consistem em mais dois exemplos deaplicação do Princípio da Identidade. Estas igualdades sãorespectivamente iguais às igualdades C1A e C1B relacionadas àimplicação se P então Q.

Observe-se que:

- o antecedente (não Q) sempre representa uma dada parte de um certo todo, pois está associado ao subconjunto complementar de Q contido no complementar de P

- o conseqüente (não P) sempre representa um todo que envolve duas partes, pois está associado ao superconjunto complementar de P que contém propriamente Q e o complementar de Q.

Neste ponto concluímos a exposição sobre a validade do fato iii.

Desta forma, válidos i, ii e iii, conclui-se que uma implicação ésempre equivalente à sua contrapositiva. Portanto, de acordo como Princípio da Identidade, vale a igualdade:

35 35

Se P então Q = se (não Q) então (não P) [C3A]

A implicação e sua contrapositiva, quando verdadeiras, não sãomais que duas maneiras distintas de exprimir exatamente omesmo fato: a presença, ou não, da relação de causa e efeitoentre duas proposições quando a veracidade de somente umadelas consiste em causa para a veracidade da outra. C3.2 – Versão equivalente à bi-implicação.

A seguinte proposição bi-condicional:

(não Q) se e somente se (não P)

está relacionada à bi-implicação P se e somente se Q. A relaçãoentre elas é análoga à que existe entre uma implicação e suacontrapositiva.

Cada uma das bi-implicações tem como antecedente a negação doconseqüente da outra e tem como conseqüente a negação doantecedente da outra.

Entretanto aqui “não se diz” que cada uma delas consiste nacontrapositiva da outra.

Neste texto designaremos esta nova bi-implicação por: “versãoequivalente” daquela considerada inicialmente. Designação queexprime exatamente a relação entre eles como ficará claro maisadiante.

A tabela verdade para a bi-implicação sob foco é a seguinte:

C3B - Tabela verdade para o operador bi-implicação em sua versão equivalente :

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Proposição P Proposição Q Proposição (não Q) sse (não P)

V V VV F FF V FF F V

Em síntese, a proposição composta “(não Q) se e somente se(não P)” será:

- verdadeira sempre que: P e Q forem falsas ou P e Q forem verdadeiras. Nestes casos ocorrem as afirmações da bi-implicação.

- falsa sempre que: Q for falsa e P for verdadeira ou Q for verdadeiraa e P for falsa. Nestes casos ocorrem as negações da bi-implicação.

Pela comparação da tabela C2 e sua síntese com a tabela C3B esua síntese, concluímos que as tabelas, tanto quanto as sínteses,são idênticas entre si.

Portanto são válidos os fatos i e ii no que diz respeito à bi-implicação e sua versão equivalente.

Também o fato iii é válido quando se considera a implicação e suaversão equivalente, conforme a exposição nos próximosparágrafos.

A atribuição de significado a esta tabela verdade é feita com oemprego dos mesmos diagramas utilizados para a realização deesclarecimentos sobre a tabela C2.

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Uma vez que o complementar de Q é idêntico ao complementarde P: - estar no complementar P implica em estar nocomplementar de Q. Figura à direita na página anterior – nãoestar no complementar de P implica em não estarsimultaneamente no complementar de Q. Figura à direita napágina anterior.

As situações em que o caráter analítico não está presente são: -estar no complementar de Q e não estar no complementar de P –não estar no complementar de Q e estar no complementar de P.Tais situações não podem ser representadas.

De acordo com as sínteses logo após a tabela C3B, pode-seescrever:

- versão equivalente verdadeira: (não Q) se e somente se (não P) = (não Q e não P) ou (P e Q)

[C3B1]

- versão equivalente falsa: Não((não P) se e somente se (não Q))=(não Q e P)ou(Q e não P)

[C3B2]

As igualdades C3B1 e C3B2 consistem, mais uma vez, em exemplos de aplicação do Princípio da Identidade.

38 38

Observe-se que:

- a proposição Q sempre representa um certo todo, pois está associado ao subconjunto Q idêntico a P

- o conseqüente P sempre representa um certo todo pois está associado ao conjunto P idêntico a Q.

Neste ponto concluímos a exposição sobre a validade do fato iii.

Desta forma, válidos i, ii e iii, conclui-se que uma bi-implicação ésempre equivalente à sua versão equivalente. Portanto, de acordocom o Princípio da Identidade, vale a igualdade:

P se e somente se Q = (não Q) se e somente se (não P) [C3B]

Enfim, uma bi-implicação e sua versão equivalente, quandoverdadeiras, não são mais que duas maneiras distintas deexprimir exatamente o mesmo fato: a presença, ou não, darelação de causa e efeito entre duas proposições quando averacidade de cada uma delas pode consistir em causa para averacidade da outra.

3 - Métodos para Verificação da Validade, ou não, de Argumentos: Primeiros Princípios.

Dois métodos que têm como finalidade a verificação da correçãoou não de argumentos serão parcialmente considerados nestaseção. Veremos alguns exemplos simples com a finalidade deilustrar em que consistem as essências de cada um deles.

Para a compreensão da exposição seguinte será necessário oconceito de proposição elementar: qualquer proposição que nãoseja composta, não havendo portanto outras que a componham,será designada neste texto por proposição elementar. Uma

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proposição elementar jamais incluirá como parte de si qualquerum dos operadores que consideramos até o momento.

Fundamentos comuns aos dois métodos são os seguintes:

I) Qualquer proposição composta pode ser expressa como umacombinação de proposições elementares pelo emprego dosoperadores implicação, negação, bi-implicação, disjunção ouconjunção e somente deles.

II) A relação de causa e feito estará necessariamente presentesempre que todas as situações que tornem verdadeiras aspremissas também tornem verdadeira a conclusão. Para que talrelação não esteja presente, basta que haja uma única situaçãoem que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa.

III) A relação entre o valor de uma proposição composta e osvalores das proposições elementares que a compõem dependesomente da forma pela qual as elementares estão relacionadasentre si através dos cinco operadores. Exemplo 1: Vamos considerar a situação seguinte:

Premissas:1 – Se João é médico e Jorge é cientista da computação então Cláudia é veterinária.2 – João é médico.3 – Cláudia não é veterinária.

Conclusão:Jorge não é cientista da computação.

Queremos então saber se a proposição “Jorge não é cientista dacomputação” é uma conseqüência do conjunto formado pelas trêspremissas apresentadas.

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Para tanto deveremos ser capazes de desenvolver algum métodoque justifique a decorrência, ou a não decorrência, da conclusãocomo conseqüência das premissas.

É o que faremos ao longo das próximas seções através de doisprocessos bem definidos, cada um associado a um método.

Há sequências de ações comuns aos dois processos:

S1 - reescrita do argumento com base nas proposiçõeselementares: consiste no emprego do fundamento I com afinalidade de exprimir todas as proposições no argumento emtermos das proposições elementares existentes

S2 – determina ção dos valores lógicos das proposiçõeselementares via decomposição: consiste no emprego dofundamento III numa análise pela qual as premissas verdadeirassão decompostas em suas componentes, estas últimas por sua vezdecompostas nas componentes delas, e assim sucessivamente atéque somente as proposições elementares, indecomponíveis,estejam presentes.

A sequência S1, baseada no fundamento I, dá-se através dos doisseguintes passos:

- identificação das proposições elementares presentes

- expressão das premissas e da conclusão com o emprego das proposições elementares.

Com relação ao nosso grupo de proposições, as elementares são:

A – João é médico.

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B – Jorge é cientista da computação.

C – Cláudia é veterinária.

Podemos então reescrever as premissas e a conclusão:

Premissas:1 – Se (A e B) então C2 – A 3 – não CConclusão:Não B

A partir deste ponto os métodos são distintos entre si, emboraambos envolvam a determinação dos valores lógicos dasproposições elementares via decomposição: sequência S2.

É portanto necessário escolhermos um deles antes deprosseguirmos. O primeiro a ser considerado será o método dostablôs, depois, o método da dedução natural.

3.1 - O Método dos Tablôs. Neste método admitimos a priori, como hipótese de trabalho, anão existência da relação de causa e efeito entre as proposiçõesconsideradas, para então desenvolvermos uma análise que poderános levar a concluir que esta hipótese é falsa. Se de fatoconcluirmos pela falsidade da hipótese então necessariamente arelação de causa e efeito estará presente.

A expressão da inexistência da relação é feita com o emprego dofundamento II.

De acordo com o último, se existir pelo menos uma situação emque as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a relação

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de causa e efeito não existirá. Para iniciar o processoexpressaremos tal fato da seguinte forma:

V Se (A e B) então C V A V não C F não B

A partir de agora tem início a sequencia S2: tentaremosdecompor as proposições compostas acima até chegarmos a umasituação em que existam somente proposições elementarespresentes.

Para tanto empregaremos o fundamento III, através dereferências contínuas aos comentários sobre as tabelasverdades, vistos anteriormente, segundo o seguinte processo.

i ) Da veracidade da proposição não C concluímos que C é falsa: F C

ii ) Da falsidade da proposição não B concluímos que B éverdadeira:

V B

Adicionamos estas proposições elementares ao tablô:

V Se (A e B) então C V A √ V não C √ F não B F C V B

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As duas proposições compostas que levaram às proposiçõeselementares adicionadas foram marcadas e não podem mais serutilizadas.

iii) Da veracidade da proposição Se (A e B) então C concluímos,conforme comentário anterior sobre sua tabela verdade, que oantecedente é falso ou o conseqüente é verdadeiro:

Adicionamos estas proposições ao tablô:

√ V Se (A e B) então C V A √ V não C √ F não B F C V B F (A e B) V C xA proposição condicional empregada foi marcada e não pode maisser usada. Neste caso devido à alternativa, (A e B) falsa ou Cverdadeira, ocorre uma bifurcação no tablô.

Surgem então dois ramos. Um deles, o da direita, inclui umacontradição a respeito da proposição elementar C: uma afirmaçãoV C e uma afirmação F C. Isto significa que C teria que serverdadeira e falsa ao mesmo tempo, tal fato não pode ocorrerpois violaria o Princípio da Não Contradição.

Por ter levado a uma contradição, este ramo é fechado. Fecharum ramo significa indicar, pelo x, a ocorrência de umacontradição em um ramo já plenamente desenvolvido.O outro ramo ainda não está expresso em termos dasproposições elementares, temos então que continuar seudesenvolvimento até chegarmos a elas.

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iv) A proposição F (A e B) é enfim utilizada. Da tabela verdade daconjunção, de acordo com o comentário anterior associado,concluímos que A é falsa ou B é falsa levando a uma novabifurcação no tablô:

√ V Se (A e B) então C V A √ V não C √ F não B F C V B

√ F (A e B) V C x F A F B x x Em cada um dos novos ramos há uma contradição. No da direitaocorre V B e F B, no da esquerda ocorre V A e F A. desta formatodos os ramos são finalmente fechados.

Concluímos então que a hipótese inicial, inexistência da relaçãode causa e efeito, é falsa. Portanto a relação está presente. Oargumento é correto. Se houvesse ao menos um ramo plenamentedesenvolvido que não levasse a contradição, o argumento seriaincorreto.

3.2 - A Dedução Natural.

Neste método admitimos a priori a veracidade das premissas eaplicamos a sequência S2, novamente com o emprego do

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fundamento III, que nos permita derivar a conclusão. Asequência S1 foi realizada no item anterior relativo ao métododos tablôs.

O fundamento II está presente na medida em que é o único asustentar seguinte a idéia básica subjacente ao método: caso arelação exista, necessariamente a veracidade das premissaslevará à veracidade da conclusão.

1 - Se (A e B) então C P 2 - A P 3 - não C P

As premissas são enumeradas e designadas, em cada linha, pela letra P. Desejamos obter a partir dela a conclusão de que B é falsa:

não B

Caso de fato consigamos a almejada obtenção, necessariamenteteremos a relação de causa e efeito.

Um processo possível seria o seguinte.i) Conforme a linha 1 e a síntese da tabela verdade da implicação,verificamos que, sendo a implicação verdadeira, temos A e Bfalsa ou C verdadeira. Entretanto na linha 3 temos C falsa. Portanto concluímos que A e B é falsa. 1 - Se (A e B) então C P 2 - A P 3 - não C P 4 – não (A e B) 1,3 Todas as linhas que descrevem o processo devem conterproposições verdadeiras, por isto incluímos não (A e B), umaproposição verdadeira, no lugar de A e B, uma proposição falsa.

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ii) A falsidade da conjunção na linha 4 nos leva a concluir, combase na tabela verdade da conjunção e sua síntese, que A é falsaou B é falsa. Entretanto a linha 2 mostra que A é verdadeira.Podemos então concluir que B é falsa, encerrando a dedução.

1 -Se (A e B) então C P 2 - A P 3 - não C P 4 – não (A e B) 1,3 5 - não B 2,4

Ora se foi possível derivar a conclusão a partir das premissas então o argumento é correto, pois a relação de causa e efeitoestá presente. Caso não fosse possível a derivação o argumento seria incorreto.

3.3 - Comentários sobre os Métodos.

Os dois métodos foram vistos de forma bastante superficial,cada um deles contém instrumentos não considerados até aqui.Alguns destes instrumentos, mas não todos, na medida de nossasnecessidades, poderão ser vistos mais adiante. Ambos têm ampla gama de aplicação na Lógica Proposicional,sendo aptos à verificação da existência, ou não, da relação decausa e efeito relativamente a uma ampla gama de grupos deproposições. Eles também são úteis na Lógica Quantificacional.

3.4 – Encerramento da Seção.

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Neste ponto finalizamos nossa rápida incursão inicial pela LógicaProposicional Clássica. Iniciaremos a seguir nova incursão sobre aLógica Quantificacional à luz do que vimos sobre a primeira.

4 - LÓGICA QUANTIFICACIONAL CLÁSSICA.

4.1 - Proposições Categóricas.

Há na Lógica Clássica proposições cujas expressões exigem oemprego de operadores ausentes na Lógica Proposicional. Umgrupo particularmente importante de tais proposições é o dasproposições categóricas. Estas últimas são partes da teoria dosilogismo de Aristóteles. A teoria do silogismo foi, até meados doséculo passado, a principal constituinte da Lógica Clássica.

Uma proposição categórica sempre corresponderá a uma dasformas seguintes:

Todo P é Q (universal afirmativa) Nenhum P é Q (universal negativa) Algum P é Q (particular afirmativa)

Algum P não é Q (particular negativa)

Há diversas maneiras de expressar cada uma destas proposiçõescategóricas em português:

- Universais afirmativas:

- Todo administrador passou pela faculdade.

- Todos os brasileiros são sul-americanos.

- Somente graduados podem fazer o teste Anpad. - Universais negativas:

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- Nenhum mestrando tem menos de três anos de idade.

- Todos os norte-americanos não são africanos. - Economistas não fazem o teste anpad.

- Particular afirmativa:

- Alguns administradores fizeram o teste Anpad em fevereiro.

- Há um jogador de futebol mineiro na seleção brasileira.

- Existem latinos que são mexicanos.

- Particular negativa:

- Alguns contadores não fizeram preparatório para o teste Anpad.

- Existem brasileiros que não gostam de futebol.

- Há automóveis raros que não circulam nas ruas.

4.2 – Os Quantificadores Universal e Existencial: Rudimentosdo Cálculo de Predicados.

As proposições categóricas são proposições cujas expressõesexigem quantificações. Uma quantificação consiste em umareferência, a todos, ou a somente alguns, dos elementos de umdado conjunto:

- quantificação universal: sempre se refere a todos os elementosde um conjunto. Determina a inclusão, ou exclusão, num outroconjunto, de todos os elementos do conjunto a que se refere.

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A frase “Todo homem é um mamífero”, inclui todos os elementospertinentes ao conjunto “homens” no conjunto “mamíferos”.

A frase “Qualquer número natural não é um número irracional”,exclui todos os elementos pertinentes ao conjunto “númerosnaturais” do conjunto “números irracionais”.

- quantificação existencial: sempre se refere a uma parte doselementos do conjunto. Determina a inclusão, ou exclusão, numoutro conjunto de ao menos um dos elementos do conjunto a quese refere.

A frase “Alguns brasileiros são ricos”, inclui pelo menos umelemento pertinente ao conjunto “brasileiros” no conjunto“ricos”.

A frase “Há latino-americanos que não são mexicanos”, excluipelo menos um elemento pertinente ao conjunto “latino-americanos” do conjunto “mexicanos”.

Pertencer a um dado conjunto necessariamente implica aoelemento ter as propriedades específicas que distinguem aqueleconjunto dos demais.

Os conjuntos determinam predicados dos elementos. Ospredicados são justamente estabelecidos pelas mencionadaspropriedades específicas. Cada elemento é um sujeito que detêmo predicado associado.

Daqui em diante as palavras “sujeito” e “ente” serãoindistintamente empregadas exatamente com o mesmosignificado.

A consideração de predicados é imprescindível à Lógica Clássica.

50 50

É necessário que haja uma maneira precisa e adequada deexprimi-los para que a Lógica seja aplicável.

Com relação a este aspecto há uma analogia possível entre aLógica e a Álgebra. Ambas empregam, cada uma à sua maneira,uma simbologia adequada à satisfação de suas finalidades.

A Álgebra supõe a expressão correta e precisa de números eoperadores através de símbolos adequados bem conhecidos:

- todo número deve ser escrito com o emprego dos algarismos indu-arábicos, 0 a 9, em notação posicional

- cada uma das quatro operações básicas deve ser representada por um operador : operador “ + ” para soma, operador “ - ” para subtração, operador “ . ” para multiplicação, operador “ / ” para divisão

- outros símbolos são empregados para determinar onde acontecem o início e o fim de uma certa operação complexa expressa por meio de operações básicas. Tais símbolos são os delimitadores: “{ }”, “[ ]”, “( )”

- um número cujo valor seja definido e desconhecido é representado por uma constante como: a, b, c, ... etc. Um número cujo valor seja indefinido é representado por uma variável como: x, y, z, ... etc.

A Lógica também exige o emprego de um conjunto de símbolosadequados às finalidades dela própria. Ela também envolveoperadores, constantes, variáveis e delimitadores.

Uma variável representa um elemento desconhecido de umconjunto. Sabe-se que ele existe, mas não se sabe qual entre os

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muitos existentes é aquele que se considera. Um quantificadorrepresenta a quantificação presente em uma certa proposição.

Um quantificador sempre se refere a uma variável, esta últimarepresenta o sujeito a que se refere o predicado.

Se A representa uma propriedade e x representa uma variávelpodemos exprimir “x tem a propriedade A” da seguinte forma:

Ax

Uma vez que qualquer propriedade consiste num predicado, aletra A representa um predicado.

Há situações que envolvem relações entre propriedades devariáveis, estas relações também são consideradas predicados.

Por exemplo uma certa pessoa x pode ser mais alta que outrapessoa y. Podemos representar isto por:

Bxy

Onde B exprime a seguinte relação binária: “o indivíduorepresentado pela variável logo após o B é mais alto que oindivíduo representado pela outra variável”.

Na lógica quantificacional predicados são representados porletras maiúsculas do alfabeto como A, B, C, ... e as variáveis porletras minúsculas como x, y, z, ... .Os quantificadores são representados pelos símbolos:

- , quantificador universal.

- , quantificador existencial.

52 52

Também os operadores negação, disjunção, conjunção, implicação e bi-implicação têm representações simbólicas:

- , negação

- , disjunção

- , conjunção

- , implicação ou condicional

- , bi-implicação ou bi-condicional.

Estes símbolos, apresentados para os operadores da LógicaProposicional somente a esta altura, no escopo da LógicaQuantificacional, são válidos também no escopo daquela lógica.

O emprego destes símbolos nos permite representar asproposições categóricas das seguintes formas:

Todo P é Q: x(PxQx) (universal afirmativa) Nenhum P é Q: x(PxQx) (universal negativa) Algum P é Q: x(PxQx) (particular afirmativa) Algum P não é Q: x(PxQx) (particular negativa)

Vejamos alguns exemplos sobre como exprimir proposiçõescategóricas com o emprego de quantificadores e variáveis.

Universal Afirmativa.

Todo torcedor do América é feliz

ou, de outro modo.

53 53

Os americanos são todos felizes.

Representando por A a propriedade “x é torcedor do América” epor F a propriedade “x é feliz”, a expressão das frases seria:

x(AxFx)

“Todos os entes que são torcedores do América são, ao mesmotempo, felizes”

Universal Negativa.

Todos os índios não são civilizados.

ou, de outro modo.

Os índios não têm civilidade.

Representando por I a propriedade “x é índio” e por C apropriedade “x é civilizado”, a expressão correspondente seria:

x(IxCx)

“Todos os entes que são índios são, ao mesmo tempo, nãocivilizados”

Particular Afirmativa.

Alguns gatos são pardos

ou, de outra forma.

54 54

Algum gato é pardo.

Se representarmos por G a propriedade “x é gato” e por P apropriedade “x é pardo”, poderemos escrever qualquer uma dasfrases acima da seguinte forma:

x(GxPx)

“Existe ao menos um ente que, ao mesmo tempo, é um gato e épardo.”

Particular Negativa.

Alguns mamíferos não são humanos

ou, de outro modo.

Há mamíferos não humanos.

Se representarmos por M a propriedade “x é mamífero” e por Ha propriedade “x é humano”, poderemos escrever uma ou outradas frases anteriores:

x(MxHx)

“Existe ao menos um ente que, ao mesmo tempo, é um mamífero enão é humano.”

É conveniente salientar que, embora tenhamos apresentadosomente duas formas de cada uma das frases escritas emPortuguês em cada um dos exemplos, podem haver outras formasde escrevê-las. Todas as formas, é claro, teriam somente arepresentação, segundo a simbologia da Lógica, apresentada emcada exemplo.

55 55

As proposições categóricas não são as únicas cuja representaçãosimbólica envolve quantificadores e variáveis. Há muitas outrasproposições cujas expressões simbólicas os exigem.

4.3 – Um pouco mais sobre Cálculo de Predicados.

A determinação precisa dos predicados, sua expressão demaneira não ambígua e não equívoca, é condição imprescindívelpara a aplicação da Lógica à determinação da correção, ou não, deargumentos.

É necessário que as frases escritas em algum idioma, no nossocaso o português, sejam escritas em uma outra linguagem quepermita as suas expressões precisas.

Existe um alfabeto criado com esta finalidade, o alfabeto doCQC. A abreviatura CQC se refere a cálculo quantificacionalclássico. O alfabeto do CQC é constituído pelos seguintescaracteres:

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

( )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9As letras maiúsculas são as constantes de predicado, já vimosque cada uma delas pode representar tanto uma propriedade dealgum ente quanto uma relação entre propriedades de entes.

As letras minúsculas do alfabeto do CQC são dedicadas àrepresentação dos próprios entes: variáveis ou constantesindividuais.

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As variáveis são representadas pelas letras u, v, w x, y e z. Avariável x vem sendo empregada ao longo das últimas páginas. Asconstates individuais correspondem às constantes da Álgebra.São elas as primeiras vinte letras minúsculas, desde a até t.

Com o emprego de uma constante individual e uma constante depredicado podemos, por exemplo, reescrever a proposição:

O presidente Lula é nordestino.

Uma possível reescrita é:

Na

O ente “O presidente Lula” foi representado pela constante individual a. O predicado “x é nordestino” foi representado por N.

A seguinte expressão válida no CQC:

FcmIjpPode ser a expressão da proposição composta:

Se Cláudia é filha de Maria então Jorge é irmão de Paula.

As constantes individuais c, m, j e p consistem respectivamentenas representações de Cláudia, Maria, Jorge e Paula. A constante de predicado F exprime a relação “o indivíduoassociado a variável logo após o F é filho do indivíduo associado aoutra variável”. A constante de predicado I exprime a relação “o indivíduoassociado a variável logo após o I é irmão do indivíduo associadoa outra variável”.

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4.3.1 - Fórmulas Atômicas, Moleculares e Gerais.

No escopo do CQC são definidas as fórmulas. Alguns exemplossão Ac, FcmIjp, Na, Bxy.

Fórmulas atômicas são aquelas que não podem ser expressas emtermos de outras que as constituem, são indivisíveis,correspondem às proposições elementares.

Uma fórmula atômica consiste sempre numa constante depredicado acompanhada, ou não, pelas constantes individuais ouvariáveis a que se referem.

São exemplos de fórmulas atômicas:

Ac, Bxy, Dcmn, E, Hc.

Quando estão envolvidas n constantes individuais, ou variáveis,tem-se uma fórmula atômica n-ária: binária, ou ternária, ouquaternária, etc ... . São unárias as fórmulas Ac e Hc, é binária afórmula Bxy, é ternária a fórmula Dcmn.

Há fórmulas atômicas que não dizem respeito a qualquerconstante individual ou variável, são as fórmulas zero-árias. Afórmula E no exemplo anterior é um destas.

Fórmulas zero-árias exprimem proposições que não atribuem algoa alguém como

Chove aqui e agora.

Uma fórmula zero-ária é representada por uma única constantede predicado.

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Fórmulas moleculares são aquelas que, além de não envolveremquantificadores, podem ser expressas em termos de outras, suasfórmulas atômicas constituintes.

Correspondem às proposições compostas, são portanto formadasa partir de proposições atômicas com o emprego dos operadoresnegação, conjunção, disjunção, implicação e bi-implicação. Algunsexemplos são:

Pa, RabHc, BmCn, CD

A fórmula Pa é expressa pela ação do operador negação sobre afórmula atômica Pa.

A fórmula RabHc é expressa pela ação do operador implicaçãoque estabelece uma relação de causa e efeito entre asproposições atômicas Rab e Hc.

A análise das outras duas fórmulas, à maneira das primeiras, levafacilmente à conclusão de que também as últimas sãomoleculares.

Fórmulas gerais são aquelas que envolvem os quantificadoresuniversal ou existencial como prefixos de fórmulas, molecularesou atômicas, nas quais ocorrem a variável quantificada.

Eis alguns casos:

xLx, xBxy, xy(PxQy)

4.3.2 – Expressões das Afirmações e Negações de AlgumasFórmulas Notáveis no Escopo do Cálculo QuantificacionalClássico.

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A compreensão e a expressão das afirmações e negações defórmulas que representam disjunções, conjunções, implicações,bi-implicações e proposições categóricas são imprescindíveis paraque as finalidades da Lógica sejam cumpridas.

I.A) A afirmação de uma disjunção pode ser expressa daseguinte forma:

PQ

De acordo com a síntese sobre a tabela verdade B1, associada à disjunção: para que uma disjunção seja verdadeira, basta que um dos disjuntivos o seja.

Tal fato manifesta a presença da relação de alternatividadeassociada à disjunção.

Retomando a disjunção já vista no item b1, na seção 2.1:

A cerveja está quente ou os petiscos têm gosto ruim. (disjunção)

A cerveja está quente. (disjuntivo)

Os petiscos têm gosto ruim. (disjuntivo)

Poderíamos então representá-la por PQ desde que:

P represente “A cerveja está quente”.

Q represente “Os petiscos têm gosto ruim”.

I.B) A negação de uma disjunção, em conformidade com aigualdade B3a, pode ser expressa da seguinte forma:

60 60

(PQ) = PQ

De acordo com a síntese sobre a tabela verdade B1: umadisjunção será falsa sempre que os dois disjuntivos sejam falsos.

Tal fato manifesta a relação de simultaneidade associada ànegação da disjunção, a negação de uma disjunção é umaconjunção.

A negação da disjunção considerada no item I.A, é a seguinte conjunção:

A cerveja não está quente e os petiscos não têm gosto ruim.(conjunção)

A cerveja não está quente. (conjuntivo)

Os petiscos não têm gosto ruim. (conjuntivo)

Poderíamos então representar tal negação por PQ, onde:

P representa “A cerveja está quente”.

Q representa “Os petiscos têm gosto ruim”. II.A) A afirmação de uma conjunção pode ser expressa daseguinte forma:

PQ

De acordo com a síntese sobre a tabela verdade B2, associada àconjunção: uma conjunção será verdadeira sempre que ambos osconjuntivos o forem.

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Este fato manifesta a presença da relação de simultaneidadeassociada à conjunção.

Retomando a conjunção já vista no item b2, na seção 2.1:

A temperatura está elevada e sinto-me bem hoje. (conjunção)

A temperatura está elevada. (conjuntivo)

Sinto-me bem hoje. (conjuntivo)

Poderíamos então representá-la por PQ desde que:

P represente “A temperatura está elevada”.

Q represente “Sinto-me bem hoje”.

II.B) A negação de uma conjunção, em conformidade com aigualdade B3b, pode ser expressa da seguinte forma:

(PQ) = PQ

Conforme a síntese sobre a tabela verdade B2: para que umaconjunção será falsa basta que um dos conjuntivos o seja.

Este fato manifesta a relação de alternatividade associada ànegação da conjunção, a negação de uma conjunção é umadisjunção.

A negação da conjunção considerada no item II.A, é a seguinte disjunção:

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A temperatura não está elevada ou não me sinto bem hoje. (disjunção)

A temperatura não está elevada. (disjuntivo)

Não me sinto bem hoje. (disjuntivo)

Poderíamos então representar tal negação por PQ, onde:

P representa “A temperatura está elevada”.

Q representa “Sinto-me bem hoje”.

III.A) A afirmação de uma implicação, em conformidade com aigualdade C1A1, pode ser expressa da seguinte forma:

PQ = PQ

A síntese da tabela verdade C1 esclarece que uma implicaçãoserá verdadeira quando, alternativamente, o antecedente forfalso ou o consequente for verdadeiro.

Deste modo a afirmação de uma implicação é uma disjunção.Retomando a implicação já vista no item c1, na seção 2.1:

Se Jorge pratica natação então Cláudia joga tênis. (proposição condicional)

Jorge pratica natação. (antecedente)

Cláudia joga tênis.

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(conseqüente)

Poderíamos reescrevê-la como a seguinte disjunção:

Jorge não pratica natação ou Cláudia joga tênis.(disjunção)

Poderíamos ainda representá-la por PQ desde que:

P represente “Jorge pratica natação”.

Q represente “Cláudia joga tênis”.

III.B) A negação de uma implicação, em conformidade com aigualdade C1A2, pode ser expressa da seguinte forma:

(PQ) = PQ

A síntese da tabela verdade C1A esclarece que uma implicaçãoserá falsa quando, simultaneamente, o antecedente forverdadeiro e o consequente for falso.

Deste modo a negação de uma implicação é uma conjunção.

A negação da bi-implicação considerada no item III.A, é a seguinte conjunção:

Jorge pratica natação e Cláudia não joga tênis. (conjunção)

Poderíamos ainda representá-la por PQ onde:

P representa “Jorge pratica natação”.

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Q representa “Cláudia joga tênis”.

IV.A) A afirmação de uma bi-implicação, em conformidade com aigualdade C2A1, pode ser expressa da seguinte forma:

PQ = (PQ)(PQ)

Segundo a tabela verdade C2A, uma bi-implicação é verdadeiraquando suas proposições componentes têm valores lógicos iguais.

Sendo assim a afirmação de uma bi-implicação é uma disjunção.

Retomando a bi-implicação já vista no item c2, na seção 2.1:

Isaac é filho de Cláudia se e somente se Cláudia é casada comHenrique.

(proposição bi-condicional)

Poderíamos reescrevê-la como a seguinte disjunção:

Isaac é filho de Cláudia e Claúdia é casada com Henrique

ou

Isaac não é filho de Cláudia e Cláudia é não casada com Henrique.(disjunção)

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Poderíamos ainda representá-la por (PQ)(PQ) desde que:

P represente “Isaac é filho de Cláudia”.

Q represente “Cláudia é casada com Henrique”.

IV.B) A negação de uma bi-implicação, em conformidade com aigualdade C2A2, pode ser expressa da seguinte forma:

(PQ) = (PQ)(PQ)

Segundo a tabela verdade C2A, uma bi-implicação é falsa quandosuas proposições componentes têm valores lógicos diferentes.

Sendo assim a negação de uma bi-implicação é uma disjunção.

A negação da bi-implicação considerada no item IV.A, é a seguinte disjunção:

Isaac é filho de Cláudia e Cláudia não é casada com Henrique

ou

Isaac não é filho de Cláudia e Cláudia é casada com Henrique.

Poderíamos ainda representá-la por (PQ)(PQ) onde:

P representa “Isaac é filho de Cláudia”.

Q representa “Cláudia é casada com Henrique”.

V.A) A afirmação de uma proposição categórica universalafirmativa, conforme a exposição na seção 4.2, pode ser expres-sa da seguinte forma:

66 66

x(PxQx)

V.B) A negação de uma proposição categórica universal afirmativapode ser expressa da seguinte forma:

x(PxQx) = x(PxQx)

A negação de “Todos os entes são alguma coisa” é “Existe ao me-nos um ente que não é a coisa”.

A negação da proposição:

Todo administrador passou pela faculdade.

É a seguinte proposição:

Existe ao menos um administrador que não passou pela faculdade.

VI.A) A afirmação de uma proposição categórica universalnegativa, conforme a exposição na seção 4.2, pode ser expressada seguinte forma:

x(PxQx)

VI.B) A negação de uma proposição categórica universal negativapode ser expressa da seguinte forma:

x(PxQx) = x(PxQx)

A negação de “Todos os entes não são alguma coisa” é “Existe ao menos um ente que é a coisa”.

A negação da proposição:

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Os norte-americanos não são africanos.

É a seguinte proposição:

Há ao menos um norte-americano que é africano.

VII.A) A afirmação de uma proposição categórica particularafirmativa, conforme a exposição na seção 4.2, pode ser expres-as da seguinte forma:

x(PxQx)

VII.B) A negação de uma proposição categórica particularafirmativa pode ser expressa da seguinte forma:

x(PxQx) = x(PxQx)

A negação de “Existe ao menos um ente que é alguma coisa” é “Todos os entes não são a coisa”

A negação da proposição:

Alguns administradores fizeram o teste Anpad em fevereiro.

É a seguinte proposição:

Todos os administradores não fizeram o teste em fevereiro.

VIII.A) A afirmação de uma proposição categórica particularnegativa, conforme a exposição na seção 4.2, pode ser expressada seguinte forma:

x(PxQx)

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VIII.B) A negação de uma proposição categórica particularnegativa pode ser expressa da seguinte forma:

x(PxQx) = x(PxQx)

A negação de “Existe ao menos um ente que não é alguma coisa” é“Todos os entes são a coisa”

A negação da proposição:

Há automóveis raros que não circulam nas ruas.

É a seguinte proposição:

Todos os automóveis raros circulam nas ruas.

4.3.3 – Encerramento da Seção.

A esta altura terminamos nossa abordagem a respeito dosprincípios da Lógica Quantificacional clássica. A profundidade aque atingimos é perfeitamente adequada ao emprego daquela àresolução de questões típicas em concursos nacionais voltados anão especialistas, conforme a finalidade pretendida pelo EspaçoPaidéia.

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