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Fundao Getulio Vargas (FGV-RJ) - Graduao

Microeconomia II 1 semestre de 2007

Prof. Paulo C. Coimbra

4 Lista de Exerccios

1. Um avio foi seqestrado no caminho entre Miami e Londres. O seqestrador apresentou ao piloto as seguintes opes: ou ele seguia viagem ou desviava para Cuba. Caso o piloto resolvesse seguir viagem o seqestrador declarou que explodiria o avio, caso desviasse para Cuba o piloto seria detido l por alguns dias. Monte a forma extensiva deste jogo de forma que haja dois equilbrios de Nash, com apenas um deles perfeito em subjogos (descreva os equilbrios)

2. Desenhe a forma extensiva dos jogos abaixo. Converta-as para a forma normal.

a) Charlie Brown decide se corre e chuta a bola ou fica no lugar. Se ele correr, Lucy

decide se vai tirar a bola do lugar (fazendo Charlie cair) ou deixar ele chutar. As preferncias so as seguintes (em ordem decrescente): Para Charlie Brown: correr e chutar, ficar, correr e cair. Para Lucy: Charlie Brown corre e cai, fica, corre e chuta. Atribua payoffs coerentes com essas preferncias.

b) Considere o seguinte jogo da verdade: Participam dois jogadores, 1 e 2, e um juiz. O juiz tem uma moeda viciada que d cara 80% das vezes em que jogada (Esse vis conhecido por ambos os jogadores). O juiz joga a moeda, e o resultado observado apenas pela jogadora 1. A jogadora 1 faz uma declarao ao jogador 2 a respeito do resultado da moeda; a ela permitido dizer apenas cara ou coroa. O jogador 2, tendo ouvido a declarao de 1 mas no tendo visto o resultado da moeda, tenta adivinhar se esse resultado foi cara ou coroa. O jogo ento termina. Os payoffs so os seguintes: o jogador 2 ganha $1 se acertar o lado da moeda sorteado, e $0 caso contrrio. J a jogadora 1 ganha $2 se o palpite de 2 for cara, e $0 se for coroa, independente do resultado verdadeiro. Alm disso, a jogadora 1 ganha $1 (a mais) se o que ela disser corresponder ao resultado da moeda, ou $0 (a mais) se ela mentir. Encontre tambm o(s) equilbrio(s) de Nash do jogo.

c) Joo e Maria precisam telefonar. Existem dois orelhes, um situado a direita deles e um a esquerda, igualmente distantes. Ambos decidem simultaneamente para qual orelho iro. No caso de escolherem o mesmo lado, resolve-se quem telefona atravs de um jogo de par ou mpar (o vencedor telefona e o perdedor dever ir para o outro orelho). Atribua payoffs coerentes com as seguintes preferncias (para ambos): telefonar sem disputar, telefonar vencendo o par ou mpar, andar para o outro orelho.

d) O nibus est lotado. Amanda e Bianca esto sentadas no lado do corredor. Vaga um lugar na janela, onde mais fresco. Amanda e Bianca preferem a janela e tem que decidir simultaneamente se correm para pegar o lugar vago ou permanecem onde esto. Se ambas correrem, chegaro janela ao mesmo tempo e, ento, tero que decidir no par ou mpar quem ocupar o assento (quem ganhar senta; quem perder ter que ficar de p). Atribua payoffs coerentes com as seguintes preferncias (para ambas): sentar janela sem disputar, sentar janela vencendo o par ou mpar, no sair do lugar e ficar em p.

3. Analise se cada uma das rvores abaixo vlida para representar um jogo. Caso positivo, encontre a forma normal correspondente, o(s) equilbrio(s) de Nash e o(s) equilbrio(s) perfeito(s) em subjogos. Caso negativo, justifique.

(i ) (ii)

4. (Binmore, Fun and Games, p.62-3) No jogo da Cadeia de Lojas abaixo, encontre: E e M g (-1,-1) ne a (0,6) (3,3)

As aes disponveis so: entra (e) ou no entra (ne) para a Entrante (E) e acomoda (a) ou guerra de preos (g) para a monopolista (M)

a) Sua forma normal, seus equilbrios de Nash, e seus equilbrios perfeitos em subjogos. O monopolista ameaa a entrante com uma guerra de preos se ela no respeitar seu aviso de ficar fora da indstria. Por que ela no deve considerar essa ameaa crvel? O que deve ocorrer se ambos os jogadores agirem racionalmente?

2

1

a

b

c

d

e

c

d

(2,1)

(0,3)

(1,1)

(4,1)

(5,5)

)

1

a

b 2

1

e

d c

F

G (6,0)

) (0,6)

)

(5,3)

)

(0,1)

)

(2,4)

)

b) Como as coisas mudariam se ele, antes do jogo, pudesse provar entrante que

assumiu um compromisso irrecorrvel de guerrear, caso ela entre? Escreva um novo jogo que represente o jogo acima precedido por uma deciso preliminar de M, escolhendo entre tomar ou no esse compromisso; encontre um equilbrio perfeito em subjogos para este novo jogo.

c) Suponha que o monopolista possa decidir, antes do jogo, realizar um investimento irreversvel, aumentando a sua capacidade produtiva. Isso vai envolver um gasto e o nico uso possvel da capacidade extra ocorre se houver uma guerra de preos com a entrante. Nesse caso o monopolista ganha $4 (incluindo o gasto com investimento) ao invs de $-1, uma vez que a capacidade extra permitir a ele inundar o mercado a um custo menor. Os payoffs de E no mudam. Desenhe a nova rvore de jogo e determine seu equilbrio perfeito em subjogos. Algum que no conhece Teoria dos Jogos poderia dizer que irracional fazer um investimento para instalar uma capacidade que se sabe que nunca ser usada. Como voc responderia a essa afirmao? 5. Considere o seguinte jogo: Amanda no vai Bianca nq (100,50) q (-10,100) (-100,0) Amanda comprou ingressos para ir a um show com Bianca. Esta est com os ingressos. No dia do show, Amanda considera a hiptese de fazer um programa alternativo, e, neste caso pedira para Bianca revender os ingressos. Contudo, Luiza quer ir ao show com Amanda.

As aes disponveis so: vai ao show (s) e no vai ao show (ns) para Amanda (A) e queima os ingressos (q) e no queima os ingressos (e portanto revende) (nq) para Luiza (L).

Encontre:

a) A forma normal que o representa, o(s) equilbrio(s) de Nash, e o(s) equilbrio(s) perfeitos em subjogos.

b) Bianca ameaa queimar os ingresso caso Amanda no v ao show. Por que Amanda no deve considerar essa ameaa crvel? O que deve ocorrer se ambas as jogadoras agirem racionalmente? c)Como as coisas mudariam se Bianca, antes do jogo, pudesse provar a Amanda que assumiu um compromisso irrecorrvel de queimar os ingressos, caso ela no v ao show? Escreva um novo jogo que represente o jogo acima precedido por uma deciso preliminar de Bianca, escolhendo entre tomar ou no esse compromisso e encontre um equilbrio perfeito em subjogos para este novo jogo.

vai

6. Considere o dilema de um pai ao decidir se perdoa ou castiga seu filho quando este no estuda. As aes disponveis so: estuda (e) e no estuda (ne) para o filho (F) e castiga (c) e perdoa (p) para o pai (P). Analise a seguinte variao, na qual a situao se repete quando o filho no estuda e o pai castiga: F P F P (-2,0) (3,4) (4,2) (2,4) (3,2) Observe que, a cada vez que o filho castigado, P perde uma unidade de payoff. a) Encontre os equilbrios de Nash em estratgias puras. b) Encontre a soluo por induo retroativa. Quais as condies que garantem sua

existncia nesse jogo? c) Encontre o(s) equilbrio(s) perfeito(s) em subjogos. Por que fcil ach-lo(s)?

7. (Desequilbrio de Foras) Coca-cola e Pepsi, isolada e simultaneamente, analisam o lanamento de uma embalagem com novo design para seus refrigerantes. O projeto, muito caro, ter retorno apenas se uma delas implement-lo, pois esta captar grande parte do mercado da outra com a novidade. Os payoffs (lucros auferidos) so dados pela tabela abaixo, onde as aes disponveis para cada empresa so NL (no lana) e L (lana) a embalagem. Coca-cola

NL L

Pepsi NL

1, 2 0, 6

L 4, 0 -2,-2

a) Ache todos os equilbrios de Nash (estratgias puras e mistas). b) Calcule a probabilidade de uma invaso de novas latas ocorrer no mercado, ou seja, um resultado (L,L) ocorrer, quando o equilbrio simtrico jogado. Comente a seguinte afirmao: Uma invaso de latas nunca poderia ter ocorrido, por que os diretores de cada empresa, sendo racionais, nunca estariam dispostos a pagar seu preo. c) Suponha agora que a Coca-cola tenha um espio trabalhando na Pepsi (o qual informaria sobre as decises tomadas), e que a Pepsi desconfie dissso. Represente o jogo acima neste novo contexto. Como mudaria o resultado do jogo?

c c

c

p p e

ne ne

e

8.O dilema dos Refns:

Todos os anos ocorre o chamado trote universitrio. Um pequeno grupo organizado, em torno de 15 pessoas, conhecidos como veteranos, prope a outro grupo, de cerca de 100 alunos, os calouros, que se submetam a uma srie de brincadeiras humilhantes. Caso eles no concordem, so punidos atravs de novas, e ainda mais cruis, humilhaes. (A) Represente este jogo na forma extensiva em cada um dos contextos (a) e (b) abaixo.

Para simplificar sua exposio, imagine apenas um veterano e dois calouros. Utilize os seguintes payoffs: Para o veterano: punir (2), humilhar (1), perdoar (0), ser humilhado (-1) e no fazer o trote (-2); Para os calouros: no ter trote (1), humilhar (1), reagir sem punio (0), ser humilhado (-1) e ser punido (-2). Considere que o veterano humilhado apenas quando todos os calouros se rebelam.

a) Os veteranos propem ou no determinada brincadeira humilhante aos

calouros. Caso positivo, os calouros decidem simultaneamente se reagem ou aceitam a humilhao. Caso ocorra reao de apenas um dos calouros, o veterano chamado a agir novamente, decidindo se pune (com mais humilhao) ou perdoa o rebelde. Neste caso, o calouro no pode mais rea

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