Seja z = f(x,y) uma funo de duas variveis definida em D c R2, tal quee existam em D. As derivadas parciais so funes de x e y. Logo, as derivadas parciais dessas funes so chamadas de derivadas parciais de 2a ordem e so em nmero de 4. yfexfcccc

(Deriva-se duas vezes em relao a x)

(Deriva-se duas vezes em relao a y) (Deriva-se em relao a x e depois em relao a y) ( Deriva-se em relao a y e depois em relao a x ) Os dois ltimos casos so chamados de derivadas parciais de 2a ordem mistas xxfxfxfx=cc=|.|

\|cccc22yyfyfyfy=cc=||.|

\|cccc22xyfx yfxfy=c cc=|.|

\|cccc2yxfy xfyfx=c cc=||.|

\|cccc2Sefforumafunocontnua emdeterminadaregiodo planocomderivadasparciais contnuas, ento fxy=fyx. Encontre as derivadas parciais indicadas: fxx, fyy, fxy, fyx

)) ln(cos( ) , ( ) 3ln ln ) , ( ) 2) , ( ) 122 2y x y x fy x seny e y x fy x y x fx =+ + =+ =. ln ) , (. 0 ) , ( ) 5; ) , ( ) 42 233 2 3harmnica y x y x f funo a que Mostref f se harmnica dita y x f funo Umax y xffxyx xy y x y x Fyy xx+ == +c c cc= + = A equao da onda ,sendo a umaconstante,descreveomovimentode umaonda(ondadomar,ondadesom,ondaluminosa,ondadeumacorda vibrante, etc ).

22222xuatucc=cc No caso de uma funo de uma varively = f(u) temos que se u = g(x) e existem, ento Na funo de duas variveis temos: Seja z = f(x,y) uma funo com derivadas parciaiscontnuastalquex=g(t)ey=h(t).Seexistem, ento

dxduedudydxdududydxdy. =dtdyedtdxdtdydydzdtdxdxdzdtdz. . + =( )=== + = = Hsent yt xt G e y x y x f zdtdzCalculecos) 2 ln( ) , ( ), 4 / (2 2 =+ =+ = =u t yu t xe y x y x f zdudzedtdzCalcule22 3) , (3 2