Funções de Várias Variáveis

Versão 1

Compilado pelo professor Antônio de Assis Alves JúniorPublicado no blog Qual é o Problema?

qualeoproblema.com/lista-de-exercicios/funcoes-de-varias-variaveis

Questões Abertas

Questão 1: Produção em uma Fábrica (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 417, exerc. 31).Usando x operários especializados e y operários não especializados, uma fábrica é capaz deproduzir Q(x, y) = 10x2 y unidades por dia. No momento, a fábrica opera com 20 operáriosespecializados e 40 operários não especializados.

a) Quantas unidades estão sendo produzidas por dia?

b) Qual será a variação na produção diária se a fábrica puder contar com mais 1 operárioespecializado?

c) Qual será a variação da produção diária se a fábrica puder contar com mais 1 operárionão especializado?

d) Qual será a variação da produção diária se a fábrica puder contar com mais 1 operárioespecializado e mais 1 operário não especializado?

Questão 2: Vendas de Tintas (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 417, exerc. 33). Uma lojade tintas vende duas marcas de tinta látex. Os dados de vendas mostram que se as latas daprimeira marca forem vendidas por x1 reais e as latas da segunda por x2 reais, a demandada primeira marca será D1(x1, x2) = 200−10x1+20x2 latas por mês e a demanda da segundamarca será D2(x1, x2) = 100+5x1 −10x2 latas por mês.

a) Expresse a receita total da loja com a venda de tinta látex em função dos preços x1 ex2.

b) Calcule a receita total da loja com a venda das duas marcas de tinta látex se as latas daprimeira marca forem vendidas por R$ 6,00 e as latas da segunda por R$ 5,00.

Questão 3: Produção em uma Fazenda (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 417-418,exerc. 35). A Fazenda Boa Esperança calcula que se 100x homens-horas de trabalho foremusados em y hectares de terra, o número de sacos de trigo produzidos será f (x, y) = Axa yb ,onde A, a e b são constantes positivas. Suponha que a fazenda decida multiplicar por doisos fatores de produção x e y . Determine de que forma esta decisão afeta a produção de trigonos seguintes casos:

a) a +b > 1

b) a +b < 1

c) a +b = 1

Questão 4: Vendas de Máquinas (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 418, exerc. 37). Umfabricante com direitos exclusivos para produzir uma nova máquina industrial sofisticadapretende vender um número limitado dessas máquinas a firmas nacionais e estrangeiras.O preço que o fabricante espera receber pelas máquinas depende do número de máqui-nas produzidas. O fabricante calcula que, se fornecer x máquinas ao mercado interno e y

máquinas ao mercado externo, as máquinas serão vendidas por 60− x

5+ y

20mil reais por

unidade no mercado interno e pelo equivalente a 50− x

10+ y

20mil reais no mercado externo.

Expresse a receita do fabricante, R, em função de x e y .

Questão 5: Área Superficial do Corpo Humano (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 418,exerc. 39). Os pediatras e médicos em geral às vezes usam uma expressão empírica querelaciona a área superficial S (em m2) de uma pessoa ao peso W (em kg) e altura H (em cm):S(W, H) = 0,0072W 0,425H 0,725.

a) Calcule o valor de S(15,83;87,11).

b) Se Marcos pesa 18,37 kg e tem uma área superficial de 0,648 m2, quanto mede de al-tura?

c) Suponha que, em algum instante da vida, Jane pese duas vezes mais e tenha uma alturatrês vezes maior que no dia em que nasceu. Qual foi a variação correspondente da áreasuperficial do corpo?

Questão 6: Curva de Produção Constante (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 418,exerc. 41). Usando x operários especializados e y operários não especializados, um fabri-cante é capaz de produzir Q(x, y) = 3x +2y unidades por dia. No momento, a mão de obrada fábrica consiste em 10 operários especializados e 20 operários não especializados.

a) Calcule a produção diária da fábrica.

b) Escreva uma equação que relacione o número de operários especializados ao númerode operários não especializados supondo que a produção se mantenha constante nosníveis atuais.

c) Plote a isoquanta (curva de produção constante) correspondente à produção atual.

d) Qual deve ser a variação do número de operários não especializados para que a produ-ção se mantenha inalterada se mais dois operários especializados forem contratados?

Questão 7: Consumo Diário de Energia (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 420, exerc. 49).Suponha que uma pessoa com I anos de idade tenha p quilogramas de peso e a centímetrosde altura. Nesse caso, de acordo com as equações de Harris-Benedict, o consumo basaldiário de energia, em quilocalorias, será dado por Bh(p, a, I ) = 66,47+13,75p+5,00a−6,77Ino caso de um homem e por Bm(p, a, I ) = 655,10+ 9,60p + 1,85a − 4,68I no caso de umamulher.

a) Determine o consumo basal de energia de um homem de 22 anos de idade com 90 kgde peso e 1,90 m de altura.

b) Determine o consumo basal de energia de uma mulher de 27 anos de idade com 61 kgde peso e 1,70 m de altura.

c) Um homem mantém um peso de 85 kg e uma altura de 1,93 m durante toda a vidaadulta. Em que idade seu consumo basal de energia é de 2.018 quilocalorias?

d) Uma mulher mantém um peso de 67 kg e uma altura de 1,73 m durante toda a vidaadulta. Em que idade seu consumo basal de energia é de 1.504 quilocalorias?

Questão 8: Amortização de uma Dívida (HOFFMANN; BRADLEY, 2013, p. 420,exerc. 51). Um empréstimo de A reais deve ser amortizado durante n anos a uma taxa anual rde juros capitalizados mensalmente. Seja i = r

12 a taxa mensal de juros equivalente. Nesse

caso, o valor das prestações mensais é M reais, onde M(A,n, i ) = Ai

1− (1+ i )−12n.

a) Alice comprou um apartamento por R$ 250.000,00 financiados em 15 anos a juros fixosde 5,2% ao ano. Qual é o valor das prestações mensais? Qual é o valor total dos jurosque a moça vai pagar?

b) Jorge também comprou um apartamento por R$ 250.000,00, mas o financiamento foiem 30 anos a juros fixos de 5,6% ao ano. Qual é o valor das prestações mensais? Qual éo valor total dos juros que o rapaz vai pagar?

Questão 9: Lucro com Materiais Esportivos (LARSON, 2011, p. 469, exerc. 43). Umfabricante de materiais esportivos produz bolas de futebol oficiais em duas fábricas. Oscustos de produção de x1 unidades no Local 1 e de x2 unidades no local 2 são dados res-pectivamente por C1(x1) = 0,02x1

2 + 4x1 + 500 e C2(x2) = 0,05x22 + 4x2 + 275. Se o pro-

duto for vendido a R$ 50,00 por unidade, então a função de lucro do produto é dada porL(x1, x2) = 50(x1 +x2)−C1(x1)−C2(x2). Determine:

a) L(250,150)

b) L(300,200)

Questão 10: Custo do Aluguel de um Carro (HUGHES-HALLET et al., 2012, p. 318,exerc. 1-2). O custo C do aluguel de um carro de uma companhia que cobra R$ 40,00 pordia e 15 centavos por milha, de modo que C = f (d ,m) = 40d +0,15m, em que d é o númerode dias e m o número de milhas percorridas.

a) Faça uma tabela de valores para C usando d = 1,2,3,4 e m = 100,200,300,400. Suatabela deve conter 16 valores.

b) Explique o significado de f (3,m) em termos do custo do aluguel do carro. Faça o grá-fico desta função, com C em função de m.

c) Explique o significado de f (d ,100) em termos do custo do aluguel do carro. Faça ográfico desta função, com C em função de d .

Respostas das Questões Abertas

Questão 1.

a) 160.000 unidades

b) A produção aumentará em 16.400 unidades.

c) A produção aumentará em 4.000 unidades.

d) A produção aumentará em 20.810 unidades.

Questão 2.

a) R(x1, x2) = 200x1 −10x12 +25x1x2 +100x2 −10x2

2

b) R$ 1,840,00

Questão 3.

a) A produção mais do que dobra.

b) A produção aumenta, mas não dobra.

c) A produção dobra.

Questão 4. R(x, y) = 60x − x2

5+ x y

10+50y + y2

20

Questão 5.

a) S(15,83;87,11) ≈ 0,5938

b) H ≈ 90,05 cm

c) Aproximadamente 198%

Questão 6.

a) 70 unidades

b) y =−3

2x +35

c)

x

y

(0,35)

(10,20)

(703 ,0

)

d) Três operários não especializados devem ser dispensados.

Questão 7.

a) 2.105,03 quilocalorias

b) 1.428,84 quilocalorias

c) Aproximadamente 26,9 anos

d) Aproximadamente 24,4 anos

Questão 8.

a) Valor da prestação mensal de R$ 2.003,13Valor total dos juros de R$ 110.563,40

b) Valor da prestação mensal de R$ 1.435,20Valor total dos juros de R$ 266.672,00

Questão 9.

a) R$ 15.250,00

b) R$ 18.425,00

Questão 10.

a)

C d = 1 d = 2 d = 3 d = 4m = 100 55 95 135 175m = 200 70 110 150 190m = 300 85 125 165 205m = 400 100 140 180 220

b) Custo de aluguel do carro por 3 dias em função do número de milhas percorridas.

m

C

(100,135)(200,150)

(300,165)(400,180)

c) Custo do aluguel do carro por 100 milhas percorridas em função do número de dias.

d

C

(1,55)

(2,95)

(3,135)

(4,175)

Referências

HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 10. ed. Riode Janeiro: LTC, 2013. ISBN 978-85-216-1752-5.

HUGHES-HALLET, D. et al. Cálculo Aplicado. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. ISBN978-85-216-2051-8.

LARSON, R. Cálculo Aplicado - tradução da 8ª edição norte-americana. São Paulo: CengageLearning, 2011. ISBN 978-85-221-0734-6.