função modular: análise de livros didáticos segundo a...

4
-- Estudante do Curso de Licenciatura em Matemática; e-mail: andrea_prg@ hotmail.com Professor da Universidade Bandeirante de São Paulo; e-mail: silalevicente@ gmail.com 2 FUNÇÃO MODULAR: ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS SEGUNDO A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA Andrea Priscila Luiz dos Santos 1 , Silmara Alexandra da Silva Vicente 2 Área do Conhecimento: Ciências Humanas. Palavras-chaves: Registros de Representação Semiótica; Livros Didáticos; Função modular. INTRODUÇÃO Duval (2003), pesquisador da área de Educação Matemática aponta a importância de se analisar o papel das diversas representações quando se considera um objeto matemático. Um grande problema que ocorre na aprendizagem de conceitos matemáticos decorre do fato de que não é possível acessá-los por meio de um instrumento ou mesmo pela percepção. Desta forma, para se explorar um objeto matemático, é necessária a utilização de um sistema semiótico ou registro de representação como, por exemplo, os registros algébricos, numéricos e gráficos. Este pesquisador ainda expõe que, no ensino de Matemática, não há preocupação na exploração das diversas representações de um conceito e que, principalmente nos níveis mais avançados do ensino, há um “enclausuramento” de registro. Este fato pode desencadear diversas dificuldades para os estudantes, dentre elas a identificação de um objeto matemático com uma única representação ou a conclusão inadequada de que duas representações do mesmo ente matemático representam objetos distintos. Exemplificando: o conteúdo de um gráfico de uma função não é o mesmo que o de sua expressão algébrica, apesar de denotarem o mesmo objeto matemático. “Sempre que um sistema semiótico é alterado, o conteúdo da representação muda, enquanto o objeto denotado permanece o mesmo. Mas como objetos matemáticos não podem ser identificados com alguma de suas representações, vários estudantes não podem discriminar o conteúdo da representação e o objeto representado...” (DUVAL, 2000, p.59). Tal problemática aponta a necessidade de uma abordagem de ensino que estabeleça uma coordenação consciente da variedade de representações de um conceito matemático. Esse autor mostra que há dois tipos de operação possíveis entre os registros: o tratamento e a conversão. Enquanto o tratamento é a operação realizada no interior de um mesmo registro semiótico, a conversão envolve uma transformação entre representações provenientes de registros distintos. É o caso, por exemplo, de construir um gráfico a partir de uma função dada na sua representação algébrica. É na atividade de conversão que se exige um maior esforço cognitivo, principalmente quando a transformação não é congruente, ou seja, quando a passagem de uma representação para outra não se faz de maneira direta. OBJETIVOS O objetivo do projeto consistiu em realizar um estudo de dois livros didáticos, indicados no Parâmetro Curricular Nacional – PCN, especificamente com relação ao conteúdo de função modular, com foco na teoria dos registros de representação semiótica de Duval (2000, 2003, 2006), evidenciando as representações mais presentes e as conversões mais requeridas. METODOLOGIA A metodologia de pesquisa consistiu no cumprimento das seguintes etapas: a) Primeiramente, foi realizado um estudo das pesquisas que embasaram o tema desenvolvido nesse trabalho, com isso foi realizada uma revisão bibliográfica; b) Foi necessário o estudo do conteúdo de função modular; c) Análise do conteúdo de função modular de duas

Upload: vandat

Post on 08-Nov-2018

216 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Função Modular: análise de livros didáticos segundo a ...hqsaearp/Disciplinas/AnaliseLivros/... · semelhante o conteúdo e os exercícios de função modular. O livro do Dante

-�-

Estudante do Curso de Licenciatura em Matemática; e-mail: [email protected]

Professor da Universidade Bandeirante de São Paulo; e-mail: [email protected]

Função Modular: análise de livros didáticos segundo a teoria dos registros de representação seMiótica

Andrea Priscila Luiz dos Santos1,

Silmara Alexandra da Silva Vicente2

área do conhecimento: Ciências Humanas.

palavras-chaves: Registros de Representação Semiótica; Livros Didáticos; Função modular.

introdução

Duval (2003), pesquisador da área de Educação Matemática aponta a importância de se analisar o papel das diversas representações quando se considera um objeto matemático. Um grande problema que ocorre na aprendizagem de conceitos matemáticos decorre do fato de que não é possível acessá-los por meio de um instrumento ou mesmo pela percepção. Desta forma, para se explorar um objeto matemático, é necessária a utilização de um sistema semiótico ou registro de representação como, por exemplo, os registros algébricos, numéricos e gráficos.

Este pesquisador ainda expõe que, no ensino de Matemática, não há preocupação na exploração das diversas representações de um conceito e que, principalmente nos níveis mais avançados do ensino, há um “enclausuramento” de registro.

Este fato pode desencadear diversas dificuldades para os estudantes, dentre elas a identificação de um objeto matemático com uma única representação ou a conclusão inadequada de que duas representações do mesmo ente matemático representam objetos distintos. Exemplificando: o conteúdo de um gráfico de uma função não é o mesmo que o de sua expressão algébrica, apesar de denotarem o mesmo objeto matemático.

“Sempre que um sistema semiótico é alterado, o conteúdo da representação muda, enquanto o objeto denotado permanece o mesmo. Mas como objetos matemáticos não podem ser identificados com alguma de suas representações, vários estudantes não podem discriminar o conteúdo da representação e o objeto representado...” (DUVAL, 2000, p.59).

Tal problemática aponta a necessidade de uma abordagem de ensino que estabeleça uma coordenação consciente da variedade de representações de um conceito

matemático. Esse autor mostra que há dois tipos de operação possíveis entre os registros: o tratamento e a conversão. Enquanto o tratamento é a operação realizada no interior de um mesmo registro semiótico, a conversão envolve uma transformação entre representações provenientes de registros distintos. É o caso, por exemplo, de construir um gráfico a partir de uma função dada na sua representação algébrica. É na atividade de conversão que se exige um maior esforço cognitivo, principalmente quando a transformação não é congruente, ou seja, quando a passagem de uma representação para outra não se faz de maneira direta.

oBJetivos

O objetivo do projeto consistiu em realizar um estudo de dois livros didáticos, indicados no Parâmetro Curricular Nacional – PCN, especificamente com relação ao conteúdo de função modular, com foco na teoria dos registros de representação semiótica de Duval (2000, 2003, 2006), evidenciando as representações mais presentes e as conversões mais requeridas.

Metodologia

A metodologia de pesquisa consistiu no cumprimento das seguintes etapas:

a) Primeiramente, foi realizado um estudo das pesquisas que embasaram o tema desenvolvido nesse trabalho, com isso foi realizada uma revisão bibliográfica;

b) Foi necessário o estudo do conteúdo de função modular;

c) Análise do conteúdo de função modular de duas

Page 2: Função Modular: análise de livros didáticos segundo a ...hqsaearp/Disciplinas/AnaliseLivros/... · semelhante o conteúdo e os exercícios de função modular. O livro do Dante

-2-

obras da primeira série do ensino médio (obras indicadas e bem avaliadas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais), com foco na teoria dos registros de representação semiótica;

d) Foi elaborada uma proposta de abordagem de função modular, evidenciando os objetivos, as representações e conversões presentes;

e) Para finalização, foi elaborado o relatório final do projeto.

resultados e discussão

análise dos livros didáticos

Faremos a análise de cada livro que serão identificados como livro 1 e livro 2, com o objetivo de apontar os pontos comuns, a maneira como é feita abordagem do conteúdo e seu desenvolvimento quanto às transformações de um registro a outro.

livro 1 – smole (2006)

Parte teórica

A autora inicia o capítulo definindo o que é módulo de um número real para depois exemplificar a função modular, com os seguintes problemas:

O primeiro problema é identificar o valor real das intenções de votos de um candidato em porcentagem no decorrer do tempo em meses, através de um gráfico e em uma reta numérica.

Esse é um tipo de exemplo que trata de uma informação rotineira em época de eleição que presenciamos em noticiários, jornais e revistas. Contudo, muitas vezes o cidadão não sabe interpretar os dados ali obtidos nos gráficos e/ou tabelas.

O segundo problema é calcular os diâmetros de moléculas que têm como unidade de medida o nanômetro (nm), através do auxílio de um microscópio eletrônico que fornece o valor médio do objeto de estudo, neste caso representado somente na reta numérica.

Ambos apresentam na reta o ponto médio num intervalo de dois pontos percentuais de erro tanto para mais quanto para menos. O desenvolvimento de qualquer conhecimento quando abrange representações diferentes torna o aprendizado mais rico e prazeroso facilitando uma apropriação maior do conteúdo trabalhado.

O conteúdo prossegue com registro na língua natural com a definição e um sistema de escrita simbólico especial. Os exemplos numéricos e algébricos são destacados para apresentar as propriedades do módulo na reta numérica. Numa comparação de números opostos, a autora aproveita para introduzir o conceito de inequação com símbolos de maior-igual, menor-igual mostrando

o intervalo de soluções de forma geral. Com todas estas informações, a autora volta aos dois problemas iniciais e mostra a resolução algébrica através da inequação que traz o intervalo de resolução do mesmo, ou seja, mais uma mudança de registro para resolução do problema.

Nos exercícios resolvidos, dos quatro, somente o último apresenta uma mudança de registro, do algébrico para a reta real, ou seja, uma conversão congruente onde há uma simples codificação em encontrar o intervalo em que a solução se encontra e destacar corretamente na reta real.

Vamos acompanhar a resolução do exercício 2 sem mudança de registro:

O enunciado pede para resolver a equação

0352 2 =−− xx

análise dos exercícios propostos

Os exercícios propostos de módulo de um número têm um nível bom de dificuldade, propõe questões mais fáceis com linguagem numérica e gradativamente desenvolve a linguagem algébrica trabalhando sentenças em verdadeiro ou falso, expressões, equações e inequações modulares com representações na reta real. Há um total de nove exercícios para analisar seus registros de representações semióticas:

exercício enunciado resolução (tratamento)

resolução (conversão)

�. Sistema de escrita numérica Numérico Não há conversão

2. Sistema de escrita algébrico numérico

Algébrico-numérico Não há conversão

3. Sistema de escrita simbólico Simbólico Não há conversão

4. Sistema de escrita algébrico Algébrico Não há conversão

5. Sistema de escrita algébrico numérico

Algébrico-numérico Não há conversão

6. Sistema de escrita símbolo algébrico Reta real Há conversão

congruente

7. Sistema de escrita símbolo algébrico

Algébrico numérico Não há conversão

8. Sistema de escrita algébrico numérico

Algébrico numérico

Não há conversão

9. Sistema de escrita algébrico numérico

Algébrico numérico

Não há conversão

Page 3: Função Modular: análise de livros didáticos segundo a ...hqsaearp/Disciplinas/AnaliseLivros/... · semelhante o conteúdo e os exercícios de função modular. O livro do Dante

-3-

Podemos observar que destes exercícios propostos somente o sexto exercício tem mudança de registro, ou seja, uma conversão congruente. Pelo fato de mudar a representação algébrica para a reta real é considerado congruente, pois sua codificação é simples.

Esta conversão congruente deixa de ter uma codificação simples na abordagem da função modular, até mesmo porque existe certa complexidade ao se aprofundar no assunto.

Depois de ter a definição de módulo e o que é uma função, é possível descrever a função modular, que abrange vários conhecimentos como: inequação, bissetriz, simetria e ângulo relacionados aos quadrantes do gráfico. Suas respostas apresentam o domínio e a imagem das respectivas funções.

livro 2 – dante(2006)

Módulo de um número real

Parte teórica

O autor inicia também o capítulo com o módulo de um número real, exemplos na língua natural, numéricos, algébricos e geométricos com estudos de sinais a partir da raiz (ou zero da função) para identificar a solução, que na reta real indica a distância de um número ao zero.

O módulo de um número qualquer é sempre positivo ou zero, são quatro exemplos diferentes para abordar o maior número de casos possíveis. No entanto o registro mais trabalhado até o momento é o sistema de escrita algébrico-numérico.

Exemplo:

O autor propõe dois exercícios e tem a preocupação de apresentar, em seguida, cinco propriedades envolvendo

módulo, porém sem demonstrações. Utiliza a linguagem algébrica e numérica e mais três exercícios propostos nos quais não há mudanças de registro, permanece no mesmo tratamento.

A partir desse desenvolvimento, o autor apresenta uma mudança de registro utilizando a reta real para determinar a distância entre dois pontos através do módulo, fazendo correspondência entre os pontos da reta e os números reais. Da introdução de módulo temos no total sete exercícios propostos sendo que somente os dois últimos teriam uma mudança de registro, mas o sexto exercício é o único que trabalho com a reta real como dados para resolução do problema, uma conversão congruente de codificação simples.

conclusÕes

Essa pesquisa de Iniciação Científica mostrou que a teoria de Duval, que trata dos registros de representações semióticas, é importante e contribui para favorecer uma melhor aprendizagem. Nesse trabalho esta teoria foi utilizada na análise de dois livros didáticos que atualmente são empregados nas aulas do ensino médio.

Atualmente, o conteúdo de função modular tem sido trabalhado apenas no Ensino Superior nos cursos da área de exatas. Entretanto, não se justifica o caráter opcional com o qual esse conteúdo é tratado no Ensino Médio chegando a ser considerado é dispensável, pois o conceito é básico e fundamental devendo ser bem desenvolvido, com a exploração de exemplos e exercícios em sala de aulas. Esse conceito é utilizado em Cálculo Diferencial e Integral I, Física, entre outros.

Em geral, os dois livros trabalham de forma semelhante o conteúdo e os exercícios de função modular. O livro do Dante (2005) apresenta mais conteúdo e propriedades desse tipo de funçã. Esperava-se que esse livro trouxesse informações mais resumidas por se tratar de volume único. Ao se comparar esse livro com outros livros didáticos de volume único é notória a diferença, pois em alguns esse conteúdo não é apresentado, e nesse livro o autor propõe praticamente o mesmo número de exemplos, exercícios resolvidos e exercícios propostos, tornando o assunto bem explorado.

O livro didático da Smole (2005) apresenta um capítulo inteiro de função modular e propõe somente cinco exercícios que desenvolvem registros de conversão, quando todos os exercícios poderiam ser desenvolvidos com mais de dois registros, principalmente tabelas e gráficos. O livro didático da Smole (2005) não é volume único e ainda assim não explora os exercícios trabalhando as conversões de registros de representação semiótica.

Page 4: Função Modular: análise de livros didáticos segundo a ...hqsaearp/Disciplinas/AnaliseLivros/... · semelhante o conteúdo e os exercícios de função modular. O livro do Dante

-4-

reFerÊncias BiBliográFicas

DANTE, L.R. Matemática. Ática, 2006.

DUVAL, R. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática. In: MACHADO, S.D.A. Aprendizagem em Matemática: Registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, 2003. p. ��-33.

SMOLE, K.C.S.; KIYKAWA, R. DINIZ, M.I.S.V. Matemática - Ensino Médio -

Saraiva, 2006.