função exponencial - 2016 nível...

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Função Exponencial - 2016

Nível Básico

1. (Imed 2016) Em relação à função real definida por xg(x) 2 1, é correto afirmar que

g(g(0)) corresponde a:

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 2. (Uel 2015) A mitose é uma divisão celular, na qual uma célula duplica o seu conteúdo, dividindo-se em duas, ditas células-filhas. Cada uma destas células-filhas se divide, dando origem a outras duas, totalizando quatro células-filhas e, assim, o processo continua se repetindo sucessivamente. Assinale a alternativa que corresponde, corretamente, à função que representa o processo da mitose.

a) f : , dada por 2f(x) x

b) f : , dada por xf(x) 2

c) f : * , dada por xf(x) 2

d) f : , dada por xf(x) 2

e) f : , dada por f(x) 2x

3. (Pucrs 2015) Uma aplicação financeira tem seu rendimento, que depende do tempo, dado

pela função f, definida por tf(t) a , a 0, e a 1. Dessa forma, 1 2f(t t ) é igual a

a) 1 2t t

b) 1 2at at

c) 1 2t ta a

d) 1 2t ta

e) 1 2t ta a


4. (Fatec 2015) Leia a notícia.

“O número de deslocamentos de pessoas entre cidades paulistas dobrou em uma década,

enquanto o crescimento populacional foi de 1% ao ano. A pesquisa obtida pelo Estado

considera viagens feitas por maiores de 15 anos na macrometrópole paulista – 173

municípios entre a Baixada Santista e o Vale do Paraíba, passando por São Paulo, Campinas e São José dos Campos.”

(Tiago Dantas. Estado de São Paulo, 27.02.2013. Adaptado) A notícia revela um fenômeno social chamado migração pendular, que ocorre quando pessoas se deslocam entre diferentes cidades diariamente para trabalhar ou estudar. Suponha que, nos próximos anos, o número de deslocamentos de pessoas entre cidades paulistas continue dobrando a cada década e que o crescimento populacional continue

aumentando à taxa de 1% ao ano.

Com base nessas suposições, podemos afirmar corretamente que a) o crescimento dos deslocamentos será linear, enquanto que o crescimento populacional

será exponencial. b) o crescimento dos deslocamentos será logarítmico, enquanto que o crescimento

populacional será linear. c) o crescimento dos deslocamentos será exponencial, enquanto que o crescimento

populacional será linear. d) tanto o crescimento dos deslocamentos quanto o crescimento populacional serão

exponenciais. e) tanto o crescimento dos deslocamentos quanto o crescimento populacional serão lineares. 5. (Upe 2015) Os biólogos observaram que, em condições ideais, o número de bactérias Q(t)

em uma cultura cresce exponencialmente com o tempo t, de acordo com a lei kt0Q(t) Q e ,

sendo k 0 uma constante que depende da natureza das bactérias; o número irracional e

vale aproximadamente 2,718 e 0Q é a quantidade inicial de bactérias.

Se uma cultura tem inicialmente 6.000 bactérias e, 20 minutos depois, aumentou para

12.000, quantas bactérias estarão presentes depois de 1 hora?

a) 41,8 10

b) 42,4 10

c) 43,0 10

d) 43,6 10

e) 44,8 10

6. (Enem PPL 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial

da classe seja de R$ 1.800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado

ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de

serviço (t), em anos, é ts(t) 1.800 (1,03) .

De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de tempo de serviço será, em reais, a) 7.416,00. b) 3.819,24. c) 3.709,62. d) 3.708,00. e) 1909,62.


7. (Acafe 2014) O crescimento exponencial é característico de certos fenômenos naturais.

Uma função exponencial pode ser enunciada pela lei kt0N(t) N a , onde 0N é o número

inicial, N é o número no instante t, e k é a taxa de crescimento ou decrescimento do

fenômeno em estudo. Analise as proposições abaixo e classifique-as em V - verdadeiras ou F - falsas.

( ) Para que a função N(t) represente um “decaimento” é necessário que k seja um número

negativo. ( ) A lei que representa o crescimento do número de pessoas infectadas pelo vírus da gripe

em uma grande cidade é dada por 0,8tN(t) 600 2 , com t em horas. Então, após

6h25min a cidade está com 19200 pessoas infectadas.

( ) A população de certa região do país é dada pela função 0,25t0P(t) P 2 , onde t é o

tempo em anos. Então, após 4 anos, a população dessa região está reduzida à metade da população inicial.

A sequência correta, de cima para baixo, é: a) F - V - F b) V - V - V c) V - F - V d) V - F – F e) F – F – V 8. (Uepa 2014) Os dados estatísticos sobre violência no trânsito nos mostram que é a segunda

maior causa de mortes no Brasil, sendo que 98% dos acidentes de trânsito são causados por erro ou negligência humana e a principal falha cometida pelos brasileiros nas ruas e estradas é usar o celular ao volante. Considere que em 2012 foram registrados 60.000 mortes decorrentes de acidentes de trânsito e destes, 40% das vítimas estavam em motos.

Texto Adaptado: Revista Veja, 19/08/2013.

A função t0N(t) N (1,2) fornece o número de vítimas que estavam de moto a partir de 2012,

sendo t o número de anos e 0N o número de vítimas que estavam em moto em 2012. Nessas

condições, o número previsto de vítimas em moto para 2015 será de: a) 41.472. b) 51.840. c) 62.208. d) 82.944. e) 103.680.

Nível Médio 9. (Ulbra 2016) Em um experimento de laboratório, 400 indivíduos de uma espécie animal

foram submetidos a testes de radiação, para verificar o tempo de sobrevivência da espécie. Verificou-se que o modelo matemático que determinava o número de indivíduos sobreviventes,

em função do tempo era t(t)N C A , com o tempo t dado em dias e A e C dependiam do

tipo de radiação. Três dias após o início do experimento, havia 50 indivíduos.

Quantos indivíduos vivos existiam no quarto dia após o início do experimento? a) 40 b) 30 c) 25 d) 20 e) 10


TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: Observe a figura a seguir e responda à(s) questão(ões).

10. (Uel 2016) Leia o texto a seguir. Câncer é essencialmente caracterizado pelo crescimento desordenado de células que invadem órgãos e tecidos, sendo considerado atualmente um sério problema de saúde pública mundial. Sabe-se que as células tumorais competem entre si por recursos vitais e oxigênio. Um modelo de crescimento tumoral é descrito pela função

rt

0

KN(t) ,

K1 1 (2, 7)

N

que determina, a cada instante t, a população de células cancerígenas; sendo que r é a

constante de crescimento intrínseca dessas células, 0N é a população inicial de células

tumorais; K é a maior quantidade de células que um tumor maligno pode atingir com os nutrientes disponíveis.

(Adaptado de: RODRIGUES, D. S. Modelagem Matemática em Câncer: dinâmica angiogênica

e quimioterapia antineoplásica. Dissertação de Mestrado. Universidade Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, 2011. p.13.)

A partir dessas informações, atribua V (verdadeiro) ou F (falso) às afirmativas a seguir.

( ) Se t 0, então 0N(t) N .

( ) K pode assumir valores negativos.

( ) 0N é sempre maior que K.

( ) Se 0N K, então N(t) K.

( ) Quando t cresce ilimitadamente, rt(2,7) se aproxima de 0 (zero) e N(t) é

aproximadamente K. Assinale a alternativa que contém, de cima para baixo, a sequência correta. a) V, V, F, F, F. b) V, F, V, F, F. c) V, F, F, V, V. d) F, V, V, F, V. e) F, F, V, V, F.


11. (Uel 2016) A meia-vida de um elemento radioativo é o tempo necessário para que sua

atividade seja reduzida à metade da atividade inicial, ou seja, o elemento radioativo perde metade de sua massa a cada período de tempo. A braquiterapia é uma das modalidades de tratamento da radioterapia contra o câncer, e um dos elementos radioativos utilizados é o 103Pd, cuja meia-vida é de 17 dias.

Considerando a massa inicial de 16 g de 103Pd, assinale a alternativa que apresenta,

corretamente, a massa desse elemento radioativo decorridos 136 dias.

a) 1

g16

b) 1

g4

c) 1

g2

d) 2 g

e) 8 g

12. (Cefet MG 2015) Considere a definição para as funções matemáticas denominadas de seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente:

x xe esenh(x)

2

e

x xe ecosh(x) ,

2

x

Dentre as afirmações abaixo:

I. 8[senh(x) cosh(x)] senh(8x) cosh(8x), para todo x ;

II. A equação cosh(x) 0 possui uma única solução real;

III. 2 2[cosh(x)] [senh(x)] 1;

é (são) verdadeira (s) apenas: a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III. 13. (Fatec 2015) Sejam a e b algarismos. Existem exatamente N números naturais de cinco

algarismos, da forma 1a79b, que são divisíveis por 15.

Tendo isso em vista, o valor de N é Lembre-se de que um número natural é divisível por:

- 3, quando a soma dos seus algarismos for divisível por 3;

- 5, quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.

a) 15. b) 12. c) 9. d) 6. e) 2.


14. (Imed 2015) Em um experimento no laboratório de pesquisa, observou-se que o número

de bactérias de uma determinada cultura, sob certas condições, evolui conforme a função t 1B(t) 10 3 , em que B(t) expressa a quantidade de bactérias e t representa o tempo em

horas. Para atingir uma cultura de 810 bactérias, após o início do experimento, o tempo

decorrido, em horas, corresponde a: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

15. (Mackenzie 2015) Sejam f : e g : funções definidas por x x2 2

f(x)2

e

x x2 2g(x) .

2

Então, podemos afirmar que

a) f é crescente e g é decrescente.

b) f e g se interceptam em x 0.

c) f(0) g(0).

d) 2 2[f(x)] [g(x)] 1.

e) f(x) 0 e g(x) 0, x .

16. (Mackenzie 2014) Seja f : uma função tal que f x y f x f y para

quaisquer x e y . Se f 1 8, o valor de 4

f3

é

a) 16

b) 1

3

c) 1

4

d) 3 e) 4

17. (Ufrgs 2014) A função f , definida por xf(x) 4 2, intercepta o eixo das abscissas em

a) 2.

b) 1.

c) 1

.2

d) 0.

e) 1

.2


18. (Insper 2014) A partir do momento em que é ativado, um vírus de computador atua da

seguinte forma: - ao longo do primeiro minuto, ele destrói 40% da memória do computador infectado; - ao longo do segundo minuto, ele destrói 40% do que havia restado da memória após o

primeiro minuto; - e assim sucessivamente: a cada minuto, ele destrói 40% do que havia restado da memória no

minuto anterior. Dessa forma, um dia após sua ativação, esse vírus terá destruído aproximadamente a) 50% da memória do computador infectado. b) 60% da memória do computador infectado. c) 80% da memória do computador infectado. d) 90% da memória do computador infectado. e) 100% da memória do computador infectado. 19. (Pucrs 2014) O decrescimento da quantidade de massa de uma substância radioativa

pode ser apresentado pela função exponencial real dada por tf(t) a . Então, pode-se afirmar

que a) a 0 b) a 0 c) 0 a 1 d) a 1 e) a

20. (Unifor 2014) Em um dia num campus universitário, quando há A alunos presentes, 20%

desses alunos souberam de uma notícia sobre um escândalo político local. Após t horas f(t)

alunos já sabiam do escândalo, onde Akt

Af(t) ,

1 Be

k e B são constantes positivas. Se

50% dos alunos sabiam do escândalo após 1 hora, quanto tempo levou para que 80% dos alunos soubessem desse escândalo? a) 2 horas b) 3 horas c) 4 horas d) 5 horas e) 6 horas 21. (Uepb 2014) Biólogos e Matemáticos acompanharam em laboratório o crescimento de uma

cultura de bactérias e concluíram que esta população crescia com o tempo t 0, ao dia,

conforme a lei t0P(t) P 5 ,λ onde P0, é a população inicial da cultura (t = 0) e λ é uma

constante real positiva. Se, após dois dias, o número inicial de bactérias duplica, então, após seis dias, esse número é: a) 10P0 b) 6P0 c) 3P0 d) 8P0 e) 4P0


22. (Ufpr 2014) Uma pizza a 185°C foi retirada de um forno quente. Entretanto, somente

quando a temperatura atingir 65°C será possível segurar um de seus pedaços com as mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura T da pizza, em graus Celsius, possa ser

descrita em função do tempo t, em minutos, pela expressão 0,8 tT 160 2 25. Qual o

tempo necessário para que se possa segurar um pedaço dessa pizza com as mãos nuas, sem se queimar? a) 0,25 minutos. b) 0,68 minutos. c) 2,5 minutos. d) 6,63 minutos. e) 10,0 minutos. 23. (Ufsm 2014) As matas ciliares desempenham importante papel na manutenção das

nascentes e estabilidade dos solos nas áreas marginais. Com o desenvolvimento do agronegócio e o crescimento das cidades, as matas ciliares vêm sendo destruídas. Um dos métodos usados para a sua recuperação é o plantio de mudas.

O gráfico mostra o número de mudas tN(t) ba (o a 1 e b 0) a serem plantadas no

tempo t (em anos), numa determinada região.

De acordo com os dados, o número de mudas a serem plantadas, quando t 2 anos, é igual a

a) 2.137. b) 2.150. c) 2.250. d) 2.437. e) 2.500.


Nível Difícil

24. (Ufrgs 2016) Considere a função f definida por xf(x) 1 5 0,7 e representada em um

sistema de coordenadas cartesianas.

Entre os gráficos abaixo, o que pode representar a função f é

a)

b)

c)

d)

e)

25. (Pucrj 2015) Seja x xf(x) 4 6 2 8.

a) Calcule f(0).

b) Encontre todos os valores reais de x para os quais f(x) 168.

c) Encontre todos os valores reais de x para os quais f(x) 0.


Gabarito: Resposta da questão 1: [E]

x

0

g(0) 2

g(x) 2 1

g(0) 2 1 g(0) 2

g(g(0)) 2 1 g(g(0)) 2 1 5

Resposta da questão 2:

[C]

Sendo f(x) o número de células após x divisões, com x {1, 2, 3, 4, } e

f(x) {2, 4, 6, 8, }, só pode ser, dentre as funções apresentadas, a da alternativa [C].

Resposta da questão 3: [E]

É imediato que 1 2 1 2t t t t1 2f(t t ) a a a .


[D]

O número de deslocamentos de pessoas, n(t), é dado por

t

100n(t) n 2 , com t em anos. Por

outro lado, o crescimento populacional, p(t), após t anos, é igual a t0p(t) p (1,01) . Assim,

tanto o crescimento dos deslocamentos quanto o crescimento populacional serão exponenciais. Resposta da questão 5:

[E] Tem-se que

k 20 20k12000 6000 e e 2.

Logo, para t 1h 60 minutos, vem

k 60 20k 3 4Q(60) 6000 e 6000 (e ) 6000 8 4,8 10 .


[E] Fazendo os cálculos:

t

2

s(t) 1.800 (1,03)

s(2) 1.800 (1,03)

s(2) 1909,62



[E]

Questão anulada no gabarito oficial.

[I] Incorreta. Se 0 a 1 e k 0 a função N será decrescente.

[II] Incorreta. Para 77

t 6 h 25min h,12

temos

77

0,812

77N 600 2 21059.

12

[III] Correta. De fato, sendo 0P a população inicial, vem que

0,25 4 00

PP(4) P 2 .

2

Resposta da questão 8: [A]

Tem-se que 0N 0,4 60000 24000.

O número previsto de vítimas, nos acidentes com motos, para 2015 é dado por

3N(3) 24000 (1,2) 41.472.

Resposta da questão 9: [C]

t

0

3 3

4

N(t) C A

N(0) C A 400 C 400

1 1N(3) 400 A 50 A A

8 2

1N(4) 400 N(4) 252



[C]

Se t 0, então

r 0

0

0

0

KN(0)

K1 1 (2,7)

N

K

K1 1

N

N .

Se K é o número máximo de células que um tumor maligno pode atingir, então K 0.

Para t suficientemente grande, temos rt

rt

1(2,7) 0.

(2,7)

Em consequência, vem

0

KN(t) K.

K1 1 0

N

Desde que 0N é a população inicial de células tumorais, e K é o número máximo de células

que um tumor pode atingir, tem-se 0N K.

Se 0N K, então

rt

KN(t) K.

K1 1 (2,7)

K

Resposta da questão 11: [A]

Seja m: a função dada por

t

170m(t) m 2 ,

em que m(t) é a massa, em gramas, do

elemento 103Pd após t dias. Logo, se 0m(0) m 16 g, então

136

4 8 4171

m(136) 16 2 2 2 2 g.16



[E] [I] Verdadeira. Com efeito, temos

8

8x x x x 8x 8x 8x 8x

x 8 8x

8x 8x

[senh(x) cosh(x)] senh(8x) cosh(8x)

e e e e e e e e

2 2 2 2

(e ) e

e e .

[II] Falsa. Temos

x x

x x

e ecosh(x) 0 0

2

e e 0.

Observando que xe e xe são números reais positivos para todo real x, podemos concluir

que a equação cosh(x) 0 não possui solução real.

[III] Verdadeira. De fato, temos

2 2

x x x x2 2

2x 2x 2x 2x

e e e e[cosh(x)] [senh(x)]

2 2

e 2 e e 2 e

4 4

4

4

1.

Resposta da questão 13: [D]

Tem-se que a soma dos algarismos de 1a79b é a b 17. Logo, como a b 17 é um

múltiplo positivo de 3, e b só pode ser zero ou 5, temos: (i) se b 0, então a {1, 4, 7}; (ii) se

b 5, então a {2, 5, 8}. Em consequência, vem N 6.


[E]

Se B(t) 810, então podemos escrever:

t 1 t 1B(t) 810 10 3 3 81

Por dedução, o expoente de 3 cujo resultado da potência resultam em 81 é 4, pois 43 81.

Assim, tem-se que t 1 4, logo t 5 horas.



[D] Tem-se que

2 2x x x x

2 2

2x 2x 2x 2x

2 2 2 2[f(x)] [g(x)]

2 2

2 2 2 2 2 2

4 4

1.

Observe que f é uma função par, f(0) 1, g(0) 0 e 3

g( 1) .4


[A]

Se f(x y) f(x) f(y) para quaisquer x e y , então xf(x) a (a 0). Assim,

f(1) 8 implica em a 8 e, portanto,

443

4f 8 2 16.

3

Resposta da questão 17: [C] Fazendo f(x) = 0, temos:

x

x

2x 1

4 2 0

4 2

2 2

2x 1

1x

2

Portanto, a função f intercepta o eixo x no ponto de abscissa 1

x .2

Resposta da questão 18: [E]

Seja M: a função cuja lei é t0M(t) M (0,6) , em que M(t) é a memória que resta no

computador t minutos após o início da infecção.

Após um dia, ou seja, 1440 minutos, da ativação do vírus, a memória íntegra será igual a

1440

0M(1440) M 0,6 0.

Portanto, após um dia, aproximadamente 100% da memória do computador terá sido

destruída.



[C]

A função tf(t) a é definida para valores positivos de a, sendo a diferente de 1. Temos dois

casos a considerar: (primeiro caso) A função é decrescente para 0 < a < 1 . (segundo caso) A função é crescente para a > 1. Portanto, a alternativa correta é a [C]. Resposta da questão 20:

[A]

Queremos calcular t de modo que f(t) 0,8 A.

Sabendo que f(0) 0,2 A, temos

Ak 0

A0,2 A 1 B 5 B 4.

1 Be

Além disso, como f(1) 0,5 A, vem

Ak Ak 1

Ak 1

A0,5 A 1 4e 2 e 4 .

1 4e

Portanto, segue que

Ak t

t

t 2

4 Af(t) 0,8 A A

5 1 4 (e )

4 16 4 5

4 4

t 2.


[D]

t0

0

20 0

2

60

32

0

30

0

P(t) P 5

P(2) 2 P

P 5 2 P

5 2

Logo,

P(6) P 5

P(6) P 5

P(6) P 2

P(6) 8 P

λ

λ

λ

λ

λ



[C]

0,8 t

0,8 t

0,8 t

0,8t

0,8t 2

T 160 2 25

65 160 2 25

40 160 2

2 1 4

2 2

0,8 t 2

t 2,5 minutos

Resposta da questão 23: [C] Considerando os pontos (1, 1500) e (3, 3375) do gráfico temos o seguinte sistema:

1

3

1500 b a ( I )

3375 b a ( II )

Fazendo (II) dividido por (I), temos:

2a 2,25 a 1,5 e b 1000

Logo, t 2N(t) 1000 1,5 N(2) 1000 (1,5) 2250.

Resposta da questão 24: [A] Desenhando os gráficos de acordo com os seus coeficientes, temos:

Portanto, a alternativa [A] é a correta.



a) 0 0f(0) 4 6 2 8 3

b) x x x x x 2 x4 6 2 8 168 4 6 2 160 0 (2 ) 6 2 160 0

Resolvendo a equação temos: x x2 16 x 4 ou 2 10 (não convém)

Portanto, x 4

c) x 2 xf(x) (2 ) 6 2 8

Fazendo o estudo do sinal de f(x) em x2 , temos:

x2 2 4 1 x 2

Portanto, x /1 x 2.

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