função de transferência - exercícios

29
3. FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA 1) Considere o seguinte sistema de nível. Onde a vazão através da válvula de descarga é proporcional à raiz quadrada do nível. q C h v sendo que C v depende da abertura da válvula. O balanço material para o processo é dado para: dV dt q q q 1 2 e V Ah Considere que o estado estacionário é h q eq , 1 2 . Utilize as variáveis do tipo e a linearização do modelo da seguinte forma: fx fx df x dt x x Onde: x - valor da variável no estado estacionário. 1

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3

3. FUNES DE TransfERNCIA

1)Considere o seguinte sistema de nvel.

Onde a vazo atravs da vlvula de descarga proporcional raiz quadrada do nvel.

sendo que Cv depende da abertura da vlvula.

O balano material para o processo dado para:

e

Considere que o estado estacionrio

. Utilize as variveis do tipo

e a linearizao do modelo da seguinte forma:

Onde:

- valor da varivel no estado estacionrio.

Encontre as funes de transferncia do sistema.

RESPOSTASBalano Material

Onde:

Substituindo V e q no balano material, temos:

Linearizando o modelo da seguinte forma temos:

sendo

portanto:

Substituindo na equao de balano temos:

No estado estacionrio

temos:

Fazendo a diferena entre as duas equaes temos:

Chamando

,

temos:

Substituindo na balano de massa temos:

Aplicando Laplace temos:

2) Dadas as seguintes equaes diferenciais dos modelos, encontre:

A funo de transferncia;

A ordem do modelo;

O ganho da funo de transferncia;

As constantes de tempo do processo;

A realizao fsica.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

RESPOSTASa)

modelo de 2a ordem Ganho do modelo

Constante de tempo

Fator de amortecimento

fisicamente realizvel

n > m ( 2 > 0

b)

modelo de 2a ordem Ganho do modelo

Constante de tempo

Fator de amortecimento

fisicamente realizvel

n > m ( 2 > 0

c)

modelo de 3a ordem Ganho do modelo

fisicamente realizvel

n > m ( 3 > 0

d)

Para a primeira equao:

Para a segunda equao:

Para as duas equaes:

Substituindo G21 e G22 na equao (II):

e)

f)

3)Dadas as funes de transferncia, determine os seus zeros e plos. Determine o comportamento dinmico do sistema.

a)

b)

c)

d)

e)

RESPOSTAS

LISTAGEM DO PROGRAMA% Determinacao dos Zeros, Polos e Ganho de uma funcao de Transferencia

% a)

% 30

% G(s) = ---------------------

% 3 2

% 24s + 20s + 10s + 2

clc;

num = 30;

den = [24 20 10 2];

[z,p,k] = tf2zp(num,den);

disp('CASO a) ');

disp(' ');

printsys(num,den)

disp(' ');

disp('Zeros');

disp(' ');

disp(z);

disp('Plos');

disp(' ');

disp(p);

disp('Ganho');

disp(' ');

disp(k);

disp('Qualquer tecla para continuar !!!');

pause

% b)

% 16

% G(s) = -------------

% 2

% s + 4s + 3

clc;

num = 16;

den = [1 4 3];

[z,p,k] = tf2zp(num,den);

disp('CASO b) ');

disp(' ');

printsys(num,den)

disp(' ');

disp('Zeros');

disp(' ');

disp(z);

disp('Plos');

disp(' ');

disp(p);

disp('Ganho');

disp(' ');

disp(k);

disp('Qualquer tecla para continuar !!!');

pause

% c)

% 1

% G(s) = ------------------

% 3 2

% s + 3s + 3s + 1

clc;

num = 1;

den = [1 3 3 1];

[z,p,k] = tf2zp(num,den);

disp('CASO c) ');

disp(' ');

printsys(num,den)

disp(' ');

disp('Zeros');

disp(' ');

disp(z);

disp('Plos');

disp(' ');

disp(p);

disp('Ganho');

disp(' ');

disp(k);

disp('Qualquer tecla para continuar !!!');

pause

% d)

% 10

% G(s) = ------------------------------

% (5s+1)(2s+1)(0.5s+1)(0.1s+1)

clc;

num = 10;

den = conv([5 1],conv([2 1],conv([0.5 1],[0.1 1])));

[z,p,k] = tf2zp(num,den);

disp('CASO d) ');

disp(' ');

printsys(num,den)

disp(' ');

disp('Zeros');

disp(' ');

disp(z);

disp('Plos');

disp(' ');

disp(p);

disp('Ganho');

disp(' ');

disp(k);

disp('Qualquer tecla para continuar !!!');

pause

% e)

% 1

% G(s) = -------

% s - 1

clc;

num = 1;

den = [1 -1];

[z,p,k] = tf2zp(num,den);

disp('CASO e) ');

disp(' ');

printsys(num,den)

disp(' ');

disp('Zeros');

disp(' ');

disp(z);

disp('Plos');

disp(' ');

disp(p);

disp('Ganho');

disp(' ');

disp(k);

RESULTADOSCASO a)

num/den =

30

--------------------------

24 s^3 + 20 s^2 + 10 s + 2

Zeros

Plos

-0.2500 + 0.4330i

-0.2500 - 0.4330i

-0.3333

Ganho

1.2500

CASO b)

num/den =

16

-------------

s^2 + 4 s + 3

Zeros

Plos

-3

-1

Ganho

16

CASO c)

num/den =

1

---------------------

s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1

Zeros

Plos

-1.0000

-1.0000 + 0.0000i

-1.0000 - 0.0000i

Ganho 1

CASO d)

num/den =

10

------------------------------------------

0.5 s^4 + 6.35 s^3 + 14.25 s^2 + 7.6 s + 1

Zeros

Plos

-10.0000

-2.0000

-0.5000

-0.2000

Ganho 20

CASO e)

num/den =

1

-----

s - 1

Zeros

Plos

1

Ganho 1

4)Dadas as funes de transferncia de 1a ordem, determinar as respostas ao degrau e impulso, o ganho do processo e a constante de tempo.

a)

b)

RESPOSTAS

a)

Resposta ao Degrau

Resposta ao Impulso

b)

Resposta ao Degrau

Resposta ao Impulso

5)Dadas as funes de transferncia de 2a ordem, determinar:

A resposta ao degrau e impulso;

O ganho do processo (Kp);

Constante de tempo do processo (() ou freqncia natural de oscilao ((n);

Fator de amortecimento(();

Classificao do sistema em :- Superamortecido

- Criticamente amortecido

- sub-amortecido

No sistema Sub-amortecido, determinar:

- Tempo de subida (tr)

- Tempo de pico (tp)

- Tempo de estabilizao (ts)

- Sobre-sinal (Os)

- Razo de decaimento (Dr)

a)

b)

c)

d)

RESPOSTASa)

num/den =

0.9

----------------

16 s^2 + 2 s + 1

Numerador = [ 0.900000]

Denominador = [ 16.000000 2.000000 1.000000]

Ganho do processo (kp) = 0.900000

Constante de tempo do processo (tau) = 4.000000

Frequencia de Oscilacao (Wn) = 0.250000

Fator de Amortecimento (zeta) = 0.250000

Tempo de subida (Rise time-Tr) = 6.489246

Instante de pico (Time ot first peak-Tp) = 12.978492

Tempo de acomodacao (Settling time-Ts) = 64.000000

Sobre-sinal (Overshoot-Os) = 0.444344

Razao de decaimento (Decay-ratio-Dr) = 0.197442

Periodo de oscilacao Amortecida (P) = 25.956984

b)

num/den =

0.04167

-----------------------

s^2 + 0.2167 s + 0.2778

Numerador = [ 0.041670]

Denominador = [ 1.000000 0.216700 0.277800]

Ganho do processo (kp) = 0.150000

Constante de tempo do processo (tau) = 1.897291

Frequencia de Oscilacao (Wn) = 0.527067

Fator de Amortecimento (zeta) = 0.205571

Tempo de subida (Rise time-Tr) = 3.045298

Instante de pico (Time ot first peak-Tp) = 6.090597

Tempo de acomodacao (Settling time-Ts) = 36.917397

Sobre-sinal (Overshoot-Os) = 0.516895

Razao de decaimento (Decay-ratio-Dr) = 0.267180

Periodo de oscilacao Amortecida (P) = 12.181194

c) num/den =

0.3

------------------

100 s^2 + 20 s + 1

Numerador = [ 0.300000]

Denominador = [ 100.000000 20.000000 1.000000]

Ganho do processo (kp) = 0.300000

Constante de tempo do processo (tau) = 10.000000

Frequencia de Oscilacao (Wn) = 0.100000

Fator de Amortecimento (zeta) = 1.000000

d) num/den =

2

-------------------

49 s^2 + 16.8 s + 1

Numerador = [ 2.000000]

Denominador = [ 49.000000 16.800000 1.000000]

Ganho do processo (kp) = 2.000000

Constante de tempo do processo (tau) = 13.043275

Frequencia de Oscilacao (Wn) = 0.076668

Fator de Amortecimento (zeta) = 1.000000

LISTAGEM DO PROGRAMARESOLUO DO EXERCCIO 5.

function [num,den,t] = Main1()%% Comportamento de funcoes de transferencia de segunda ordem% Executa o item (a) do exerccio.% Comportamento de funcoes de transferencia de segunda ordem

% Executa o item (a) do exerccio 5.t = 1:1:100;

num = [0.9];

den = [16 2 1];

seord(num,den,t);disp('Digite qualquer tecla para continuar')

pause

% Executa o item (b) do exerccio 5.t = 1:1:100;

num = [0.04167];

den = [1 0.2167 0.2778];

seord(num,den,t);disp('Digite qualquer tecla para continuar')

pause

% Executa o item (c) do exerccio 5.t = 1:1:100;

num = [0.3];

den = [100 20 1];

seord(num,den,t);disp('Digite qualquer tecla para continuar')

pause

% Executa o item (d) do exerccio 5.t = 1:1:100;

num = [2];

den = [49 16.8 1];

seord(num,den,t);returnPROGRAMA PRINCIPAL SEORD

function tranf1 = seord(num,den,t)% ****************************************************

% * Estudo do comportamento dinamico do sistema *

% * de 2a ordem atraves dos parametros dinamicos. *

% * *

% ****************************************************

% *************************

% **** Inicializacao ****

% *************************

figure(1)

set(1,'Position',[350 180 430 350]);

% *******************************************************

% **** Funcao de transferencia de segunda ordem ****

% *******************************************************

snum = sprintf(' %f',num);

sden = sprintf(' %f',den);

[WW,ZZ] = damp(den);

Wn = WW(1);

zeta = ZZ(1);

amort = sqrt(1 - zeta^2);

% **** Calculo do Ganho do Processo ****

kp = dcgain(num,den);

% **** Calculo da frequencia natural de oscilacao ****

% do fator de amortecimento do processo

swn = sprintf('%f',Wn);

szeta = sprintf('%f',zeta);

% **** Calculo da Constante de Tempo do Processo ****

tau = 1/Wn;

st = sprintf('%f',tau);

figure(1);

y =step(num,den,t);

y105 = 1.05*kp*ones(size(y));

y95 = 0.95*kp*ones(size(y));

plot([y y95 y105]);grid;

title('Resposta ao Degrau');

if ( zeta < 1 )

% **** Calculo da frequencia de Oscilacao amortecida ****

Wd = Wn*amort;

% **** Calculo de Rise Time (Tr) ****

Tr = pi/(2*Wd);

% **** Calculo de Time to first peak (Tp) ****

Tp = pi/Wd;

% **** Calculo de Settling Time (Ts) ****

Ts = 4/(zeta*Wn);

% **** Calculo de Overshoot (Os) ****

Os = exp(-pi*zeta/amort);

% **** Calculo de Decay Ratio (Dr) ***

Dr = Os^2;

% **** Calculo do Periodo de Oscilacao Amortecida ****

P = 2*pi*tau/amort;

sp = sprintf('%f',P);

end

% ***** Impressao dos resultados *****

sn = sprintf('Numerador = [%s]',snum);

sd = sprintf('Denominador = [%s]',sden);

sk = sprintf('Ganho do processo (kp) = %f',kp);

sw = sprintf('Frequencia de Oscilacao (Wn) = %s',swn);

stau = sprintf('Constante de tempo do processo (tau) = %s',st);

sz = sprintf('Fator de Amortecimento (zeta) = %s',szeta);

if ( zeta < 1 )

str = sprintf('Tempo de subida (Rise time-Tr) = %f',Tr);

stp = sprintf('Instante de pico (Time ot first peak-Tp) = %f',Tp);

sts = sprintf('Tempo de acomodacao (Settling time-Ts) = %f',Ts);

sos = sprintf('Sobre-sinal (Overshoot-Os) = %f',Os);

sdr = sprintf('Razao de decaimento (Decay-ratio-Dr) = %f',Dr);

sP = sprintf('Periodo de oscilacao Amortecida (P) = %s',sp);

end

clc

printsys(num,den);

disp(' ');

disp(sn);

disp(sd);

disp(' ');

disp(sk);

disp(stau);

disp(sw);

disp(sz);

if ( zeta < 1 )

disp(' ');

disp(str);

disp(stp);

disp(sts);

disp(sos);

disp(sdr);

disp(sP);

end

return

6)Dadas as funes de transferncia, determinar a resposta ao degrau e impulso. Defina o tipo de processo.

a)

b)

c)

RESPOSTAS

a)

Resposta ao Degrau

Resposta ao Impulso

b)

Resposta ao Degrau

Resposta ao Impulso

c)

Resposta ao Degrau

Resposta ao Impulso

PAGE 21

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