Função de Proporcionalidade

Direta

Recorda…

Dadas duas grandezas x e y, diz-se que y é diretamente proporcional a x:

se x 0 e y 0 e o quociente entre dois quaisquer valores correspondentes for constante.

Esse número chama-se constante de proporcionalidade.

se x = 0 também y = 0.

Exemplo:

x 0 1 2 3 4

y 0 3 6 9 12

y

x

3= 3

1

6= 3

2

9= 3

3

12= 3

4

x e y são diretamente proporcionais e a constante de proporcionalidade é 3.

Recorda…

Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, os pontos do gráfico encontram-se sobre uma reta que passa pela origem do referencial.

É uma função?

Sim, porque a cada valor de x corresponde um único valor de y.

Função de proporcionalidade direta

y= 3

x

y= k

xem que k é a constante de proporcionalidade

y

= k y = k xx

expressão algébrica de uma função de proporcionalidade direta

x 0 1 2 3 4

y 0 3 6 9 12

Função de proporcionalidade direta

Toda a função f que se pode representar por

y = k x, com k ≠ 0

ou, com o mesmo significado

f(x) = k x, com k ≠ 0

traduz uma situação de proporcionalidade direta em que:

k é a constante de proporcionalidade; k é a imagem de 1 por meio de f: f (1) = k.

O seu gráfico é um conjunto de pontos situados sobre uma reta que passa pela origem do referencial.

Função de proporcionalidade direta

Exemplo:

A função definida por y = 2x é uma função de proporcionalidade direta.

A constante de proporcionalidade é 2.

Função afim

Função afim

Exemplos: y = 2x + 1 y = - x + 5 y = - 0,5 x

Chama-se função afim a toda a função definida por uma expressão algébrica do tipo f(x) = a x + b. A a chama-se coeficiente e a b termo independente. O gráfico de uma função afim é uma reta não vertical que interseta o eixo dos y’s no ponto (0,b).

Função afim

Casos particulares da função afim:

Função linear (b = 0)

Expressão analítica f(x) = a x , com a ≠ 0.

O gráfico é uma reta não vertical que passa pela origem.

a = f(1)

Função constante (a = 0)

Expressão analítica f(x) = b.

O gráfico é uma reta horizontal.

Função afim

Função constante

Expressão analítica y = b.

Exemplo:

y = 2

x y

-2 2

0 2

1 2

3 2

Função afim

Função constante

Expressão analítica y = b.

O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abcissas, ou seja, uma reta horizontal. 4y

1y

2y

Conforme o valor de a, a função pode ser crescente (a>0), decrescente (a<0) ou constante (a=0)

O gráfico de uma função f(x) = ax+b é constituido por pontos que estão sobre uma reta, de equação y = ax + b, que interseta o eixo das ordenadas no ponto (0,b). A a chama-se declive da reta e a b a ordenada na origem.

a = 2 a = - 2 a = 0

Declive e inclinação da reta

Conclusão:

Quanto maior for o valor absoluto de a, mais inclinada está a reta (mais

perto está da posição vertical).

Considera a reta de equação y = 2x + 3.

O declive desta reta é 2.

Isto significa que sempre que x aumenta

uma unidade, o y aumenta duas unidades.

+1

+1

+2

+2

Considera a reta de equação y = - 3x + 6.

O declive desta reta é - 3. isto significa

que sempre que x aumenta uma unidade,

o y diminui três unidades.

Conclusão:

Sempre que x aumenta uma unidade, o declive indica quantas

unidades o y aumenta (quando a > 0) ou diminui (quando a < 0).

+1

+1

+1

- 3

- 3

- 3

Como determinar o declive de uma reta não vertical?

Se a reta passa pela origem do referencial e pelo ponto ,

então o declive é dado por:

, com .

Se a reta não passa pela origem mas contém os pontos e

, então o declive é dado por:

, com

Exemplo

r

s

2

1

-1

3

Equação da reta r:

Como passa na origem, é do tipo .

Como contém o ponto (2,1) temos que .

Logo,

r:

Equação da reta s:

Como não passa na origem, é do tipo .

Como contém os pontos (2,1) 3 (-1,3) temos que .

Assim, s: .

Para determinar o valor de basta substituir e pelas coordenadas de um ponto da reta:

Logo,

s:

Relação entre declive e paralelismo das retas

Considerem-se as três funções seguintes:

y = 2x ; y = 2x + 3 ; y = 2x − 2

Para representar as retas é necessário conhecer dois pontos. Para tal é útil

trabalhar com tabelas para ajudar a determinar os pontos necessários.

Os gráficos destas três funções são

retas paralelas (têm a mesma

inclinação relativamente ao eixo

horizontal) – o declive das três retas

é igual a 2 porque a = 2 .

O que varia nestes gráficos é o

ponto de interseção de cada reta

com o eixo vertical.

Duas retas são paralelas se e só se tiverem o mesmo declive