fu log 2016

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  • 1

    MATERIAL PARA O 1 BIMESTRE -

    MATEMTICA

    2 ANO DO ENSINO MDIO

    DOCENTE: IVE PINA

    FUNO EXPONENCIAL E LOGARITMICA

    FUNO EXPONENCIAL Toda relao de dependncia, em que uma incgnita depende do valor da outra, denominada funo. A funo denominada como exponencial possui essa relao de dependncia e sua principal caracterstica que a parte varivel representada por x se encontra no expoente. Observe: y = 2 x

    y = 3 x + 4 y = 0,5 x

    y = 4 x

    A lei de formao de uma funo exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notao: f: IRIR+

    * tal que f(x) = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1. Neste tipo de funo como podemos observar em f(x) = ax, a base a um valor real constante, isto , um nmero real. Note que temos algumas restries, visto que temos e a 1 e a > 0. Se a = 1 teramos uma funo constante e no exponencial, pois 1 elevado a qualquer x real sempre resultaria em 1. Neste caso f(x) = 1x equivaleria a f(x) = 1 que uma funo constante. E para a = 0, por que tal restrio?

    Ao estudarmos a potenciao vimos que 00 indeterminado, ento seria indeterminado quando . No caso de a < 0 no devemos nos esquecer de que no existe a raiz real de um radicando negativo e ndice par, portanto se tivermos, por exemplo, a = -3 e x = o

    valor de no ser um nmero real, pois teremos:

    E como sabemos . Uma funo exponencial utilizada na representao de situaes em que a taxa de variao considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substncias qumicas, desenvolvimento de bactrias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situaes. As funes exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessrio, as regras envolvendo potenciao. Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funes exponenciais.

    http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoConstante.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/Potenciacao.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/Radiciacao.aspxhttp://www.matematicadidatica.com.br/Radiciacao.aspx

  • 2

    Exemplos:

    1) Nas proximidades da superfcie terrestre, a presso atmosfrica P, em atmosfera (atm), dada em funo da altitude h, em quilmetros, aproximadamente por P(h) = 0,9h. Se, no topo de uma montanha, a presso 0,729 atm, conclui-se que a altitude desse topo : A) 6 km

    B) 5,2km

    C) 5 km

    D) 4 km

    E) 3 km

    P(h) = 0,729 e P(h) = 0,9h 0,9h = 0,729 0,9h = 0,93

    h = 3 R: E

    2) (U. Amazonas) em pesquisa realizada, constatou-se que a populao (P) de determinada bactria cresce segundo a expresso P(t) = 25. 2t, em que t representa o tempo em horas. Para atingir uma populao de 400 bactrias, ser necessrio um tempo de: A) 4 horas B) 3 horas C) 2 horas e 30 minutos

    D) 2 horas E) 1 hora

    P(t) = 400 e P(t) = 25 . 2t 25 . 2t = 400

    2t =

    2t = 16 2t = 24 t = 4 R: A

    3) (Unit-SE) Uma determinada mquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos aps a sua compra, dado por v(t) = v0 * 2

    0,2t, em que v0 uma constante real. Se, aps 10 anos, a mquina estiver valendo R$ 12000,00, determine o valor que ela foi comprada. v(10) = 12 000 e v(10) = v0 * 2

    0,2*10

    12 000 = v0 * 2 2

    12 000 = v0 * 12 000 : = v0 v0 = 12 000 * 4 v0 = 48 000 R: A mquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.

    4) (Uneb-BA) A expresso P(t) = K . 20,05t fornece o nmero P de milhares de habitantes de uma cidade em funo do tempo t em anos. Se em 1990, essa cidade tinha 300.000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, espera-se que ele tenha no ano 2000? A) 352 000 B) 401 000

    C) 423 000 D) 439 000

    E) 441 000

    1990 => t = 0 1991 => t = 1 1992 => t = 2 ... 2000 => t = 10

  • 3

    Em 1990: P(0) = 300 000 e P(0) = K . 20,05 . 0 300 000 = K . 20

    300 000 = K . 1 K = 300 000

    Em 2000: P(10) = 300 000. 20,05.10 = 300 000 . 20,5 = 300 000 .

    = 300 000. = 300 000 . 1,41 = 423 000 Resposta: C

    5) Uma maionese mal conservada causou mal-estar nos frequentadores de um clube. Uma investigao revelou a presena da bactria salmonela, que se multiplica segundo a lei:

    n(t) = 200 . 2at Em que n(t) o nmero de bactrias encontradas na amostra de maionese t horas aps o inicio do almoo e a uma constante real. a) Determine o nmero de bactrias no instante em que foi servido o almoo?

    No instante em que foi servido o almoo, t = 0. n(0) = 200. 2.0 = 200. 20 = 200 . 1 = 200 bactrias.

    b) Sabendo que aps 3 horas do incio do almoo, o nmero de bactrias era de 800, determine o valor da constante a. n(3) = 800 e n(3) = 200. 2.3 200. 2.3 = 800

    23 =

    23 = 4 23 = 2 3a = 2

    a =

    c) Determine o nmero de bactrias aps 12 horas da realizao do almoo

    n(12) = 200.

    bactrias

    6) O preo p, em unidades monetrias, de uma ao de uma empresa siderrgica, comercializada em bolsa de valores, oscilou de 1990 a 2010 de acordo com a lei:

    P(t) = 3,20 .

    Em que t o tempo, em anos, contado a partir de 1990. a) Qual era o valor da ao em 1994? E em 1999?

    1990 => t = 0 1991 => t = 1 1994 => t = 4 1999 => t = 9

    Em 1994 => P(4) = 3,20 .

    = 3,20 .

    = 3,20 . 2 = 3,20 . 1 = 3,20

    Em 1999 => P(9) = 3,20 .

    = 3,20 .

    = 3,20 . 2 = 3,20 . 4 = 12,80

    b) Em que ano a ao passou a valer oito vezes o valor de 1990?

    Em 1990 => P(0) = 3,20 .

    = 3,20 .

    8 vezes o valor de 1990 => 8 . 3,20.

    = 2. 3,20.

    = 3,20.

    = 3,20.

    3,20 .

    = 3,20.

    t = 15 anos

  • 4

    FUNO LOGARTMICA Toda funo definida pela lei de formao f(x) = logax, com a 1 e a > 0 denominada funo logartmica de base a. Nesse tipo de funo o domnio representado pelo conjunto dos nmeros reais maiores que zero e o contradomnio, o conjunto dos reais. Exemplos de funes logartmicas: f(x) = log2x f(x) = log3x f(x) = log1/2x f(x) = log10x

    f(x) = log1/3x f(x) = log4x f(x) = log2(x 1) f(x) = log0,5x

    Funo logartmica de base a toda funo , definida

    por com e . Podemos observar neste tipo de funo que a varivel independente x um logaritmando, por isto a denominamos funo logartmica. Observe que a base a um valor real constante, no uma varivel, mas sim um nmero real.

    A funo logartmica de inversa da funo exponencial de e vice-versa, pois:

    Note que na definio ns temos algumas restries, sendo elas:

    A base do logaritmo deve ser maior do que zero e diferente de 1 (0 < a 1); O valor de x est determinado no conjunto dos nmeros reais positivos, sem incluir o zero. Portanto, o logaritmando x deve ser: x > 0.

    As funes logartmicas envolvem em sua resoluo, propriedades destinadas ao estudo dos logaritmos. Portanto, o seu desenvolvimento depende do conhecimento prvio dessas propriedades. Exemplos:

    1) Vamos resolver a equao 3x = 5. 3x = 5 log 3x = log 5 x.log3 = log 5

    x =

    2) (Fuvest-SP) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, um

    nmero que varia de I = 0 at I = 8,9 para o maior terremoto conhecido. I dado pela frmula:

    I =

    Na qual E a energia liberada no terremoto em KWH e E0 = 7 . 10-3 KWH. Qual a energia liberada em um terremoto de intensidade 8 na escala Richter?

    I =

    e I = 8

    = 8

    = 8

    http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoExponencial.aspx

  • 5

    log

    =

    log

    = 12

    1012 =

    E = 7 . 10-3 . 1012 = 7 . 10-3 + 12 = 7. 109 KWH

    3) Dentro de t dcadas, contadas a partir de hoje, o valor em reais de um imvel ser dado por v = 80 000 . 0,9t. a) Qual o valor atual deste imvel?

    t = 0 => v = 80 000 . 0,90 = 80 000 . 1 = 80 000

    b) Qual a perda de valor deste imvel durante a primeira dcada? t = 1 => v = 80 000 . 0,9 = 80 000 . 0,9 = 72 000 Perda: 80 000 72 000 = 8 000

    c) Qual o tempo mnimo necessrio, em anos, para que o valor do imvel, seja de R$ 60 000,00? (Use as aproximaes: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) v = 60 000 e v = 80 000 . 0,9t. 80 000 . 0,9t = 60 000

    0,9t =

    0,9t =

    log 0,9t = log

    t. log

    = log 3 log 4

    t. (log 3 - log 10) = log 3 log 2 t. (2.log3 log 10) = log 3 2.log2 t. (2. 0,48 1) = 0,48 2.0,30 t. (0,96 1) = 0,48 0,60 t. (-0,04) = -0,12

    t =

    dcadas

    R: 30 anos.

    4) A expresso seguinte relaciona o valor v, em reais, que um objeto de arte ter t anos aps sua aquisio: v(t) = 500.2kt (k uma constante positiva) a) Sabendo que o valor do objeto, aps 3 anos de sua aquisio, de R$

    2000,00, determine o valor de k. t = 3 e v(3) = 2000 2000 = 500.2k.3

    = 23k

    4 = 23k 2 = 23k 3k = 2

    k =

    b) Por qual valor esse objeto de arte foi adquirido?

    t = 0 => v(0) = 500 .

    = 500 . 20 = 500 reais

    c) Qual o nmero inteiro de anos necessrios para que o valor do objeto seja de R$ 5 000,00? (Use a aproximao: log 2 = 0,30)

  • 6

    v(t) = 5000 e v(t) = 500.

    500.

    = 5000

    =

    = 10

    2t . 0,10 = 1 t. 0,2 = 1

    t =

    anos

    5) A populao de certa espcie de mamfero em uma regio da Amaznia cresce

    segundo a lei n(t) = 5 000 . e0,02t em que n(t) o nmero de elementos estimados da espcie no ano t (t = 0, 1, 2, 3, ...), contado a partir de hoje (t= 0). Determine o nmero inteiro mnimo de anos necessrios para que a populao atinja: (use as aproximaes ln 2= 0,69 e