ftcm - mecânica dos fluidos teoria capítulo 2 - prof. dr ... · mais preciosos para medi-la...

FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

1

1

DEFINIÇÕES E PRINCÍPIOS PARA

FAZER MEDIÇÕES COM COLUNAS

MANOMÉTRICAS

No mundo contemporâneo, torna-se cada vez

mais necessária a medição e controle de

determinados parâmetros dos processos, com a

finalidade de atender aos mais variados tipos de

especificações técnicas, por este motivo a

PRESSÃO pode ser considerada como uma das

mais importantes grandezas físicas que atua nestes

referidos processos.

Por definição, Pressão é igual à relação entre

a Força uniformemente distribuída sobre a unidade

de área e atuando sobre ela; e um dos métodos

mais preciosos para medi-la consiste em equilibrar

a coluna de líquido, cujo peso específico é

conhecido, com a pressão aplicada. Para instrumentos com Coluna de Líquido, o

princípio da medição consiste no fato de que ao se

aplicar a lei D p= D h.. .g, a pressão "p" para ser

medida deve ser comparada com a altura "h" da

coluna de líquido.

Figura 1 – Variação da altura.

Os Instrumentos que empregam tal princípio

são denominados "Manômetros de Coluna" e a

precisão da medição, com auxílio de tais instrumentos,

pode chegar até 0,3%.

Para se fazer medições com maior precisão é

necessário que sejam considerados vários fatores, tais

como: a - Temperatura: realizar cálculos de correção

se a temperatura de medição diferir da temperatura de

referência, pois a variação de temperatura provoca

mudanças na densidade do líquido manométrico.

b - Aceleração da gravidade deve ser

considerada no local da medição com o seu valor de

referência.

c - Impurezas contidas no líquido

manométrico também provocam mudanças na

densidade, conseqüentemente causando erros de

leitura.

d - A influência da Tensão Superficial e sua

mudança causada por efeitos externos, assim como a

compressibilidade do líquido manométrico deve ser

considerada. A tensão superficial dos líquidos é

apresentada pela forma que apresentam nas paredes do

recipiente. Em tubos de diâmetro pequeno a forma da

superfície total do líquido será curvada, sendo que,

para os líquidos que tiverem baixa tensão superficial, a

superfície terá a forma convexa em relação ao ar. Com a finalidade de minimizar qualquer

efeito de distorção no aumento da capilaridade em

tubos de diâmetros pequenos estes devem

possuir diâmetros constantes. As unidades de pressão mais usadas na

prática são:

a - Milímetros ou polegadas de

mercúrio ( mmHg ou "Hg )

b - Milímetros ou polegadas de coluna

d'água ( mmH2O ou "H2O )

c - Bar ou milibar ( bar ou mbar )

d - Libra (força) por polegada quadrada

(PSI ) A IOPE fornece escalas com as unidades de

pressão acima citadas e em diversos tamanhos

para atender a vários campos de leitura. Tais

escalas podem ser construídas de materiais tais

como: alumínio, aço inox, etc.., de acordo com a

aplicação do instrumento.

Flanges

Figura 2 – Flanges e tubos.

Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

2

2

Viscosidade

INTRODUÇÃO:

Ao promover o movimento de uma esfera em

um fluido ideal de viscosidade em regime

estacionário, as linhas de corrente formam um

desenho perfeitamente simétrico em torno da mesma.

Haverá uma força de arrastamento viscoso.

Jean Louis Poiseuille (1799 – 1869) foi um físico

francês que realizou experimentos

relacionados à viscosidade de fluidos.

Em homenagem a seus trabalhos,

denomina-se a unidade de viscosidade

como Poise.

A Lei de George Stokes da viscosidade

estabeleceu a ciência de hidrodinâmica.

Realizou trabalho sobre esferas e várias

relações de fluxo que variam de mecânicas de onda a

resistência viscosa. Estudou o movimento de fluidos

incompressíveis, a fricção de fluidos em movimento, e

o equilíbrio e movimento de sólidos elásticos. Seus

trabalhos na transmissão de ondas acústicas por

materiais viscosos é de interesse na Física.

Investigando a teoria de onda de luz, nomeou

e explicou o fenômeno de fluorescência, e teorizou

uma explicação de linhas de Fraunhofer no espectro

solar. Ele sugeriu que estes fossem causados através

de átomos nas capas exteriores do Sol que absorve

certos comprimentos de onda. Porém quando

Kirchhoff publicou depois esta explicação aboliram-se

quaisquer descobertas anteriores.

A seguir analisaremos a força dada pela Lei

de Stokes em fluidos viscosos.

TEORIA

A viscosidade dos líquidos vem do atrito interno, isto

é, das forças de coesão entre moléculas relativamente

juntas. Desta maneira, enquanto que a viscosidade dos

gases cresce com o aumento da temperatura, nos

líquidos ocorre o oposto. Com o aumento da

temperatura, aumenta a energia cinética média das

moléculas, diminui (em média) o intervalo de tempo

que as moléculas passam umas junto das outras,

menos efetivas se tornam as forças intermoleculares e

menor a viscosidade.

Para entender a natureza da viscosidade nos

líquidos, suponhamos duas placas sólidas planas, uma

sobre a outra, com um fluído contínuo entre elas.

Aplicando uma força constante a uma das placas, a

experiência mostra que ela é acelerada até atingir uma

velocidade constante (chamada velocidade terminal).

Se a intensidade da força aplicada for duplicada, por

exemplo, a velocidade terminal também duplica. A

velocidade terminal é proporcional à força aplicada.

Pensando que o líquido entre as placas se separa em

lâminas paralelas, o efeito da força aplicada é o de

produzir diferenças de velocidade entre lâminas

adjacentes. A lâmina adjacente à placa móvel se

move junto com ela e a lâmina adjacente à placa

imóvel permanece também imóvel. O atrito

entre lâminas adjacentes causa dissipação de

energia mecânica e é o que causa a viscosidade

no líquido.

É um fato experimental que o módulo F da

força aplicada, necessária para manter o

movimento da placa com velocidade de módulo

v constante, é diretamente proporcional à área A

da placa e ao módulo da velocidade e

inversamente proporcional à distância L entre as

placas. Assim, podemos escrever:

v

dvF A

dL

definindo o chamado coeficiente de viscosidade

do fluido, que depende do fluido e da

temperatura. No SI, a unidade correspondente é

pascal x s e no sistema cgs, o poise, de modo

que 1 Pa x s = 10 poise. A tabela abaixo mostra

alguns coeficientes de viscosidade.

Coeficientes de Viscosidade

Líquidos (poise) Gases (10-4

poise)

Glicerina (20 oC)

8,3 Ar (0 oC) 1,71

Água (0 oC) 0,0179 Ar (20

oC) 1,81

Água (100 oC) 0,0028 Ar (100

oC) 2,18

Éter (20 oC) 0,0124

Água (100 oC)

1,32

Mercúrio (20 oC)

0,0154 CO2 (15 oC) 1,45

Os coeficientes de viscosidade dos óleos

lubrificantes automotivos são normalmente

expressos em SAE. Um óleo cuja viscosidade

SAE é 10 a 55 oC, por exemplo, possui

viscosidade entre 1,6 e 2,2 poise.

Ao definirmos o coeficiente de

viscosidade escolhemos o caso em que o fluido,

por efeito do movimento de uma das placas,

separava-se em camadas muito estreitas, com a

camada em contato com cada placa tendo a

velocidade desta placa e as camadas

intermediárias tendo velocidades que variam

linearmente de uma placa para a outra. Tal

escoamento é chamado laminar ou lamelar.


3

3

O cociente = F/A é chamado tensão de

cisalhamento. De modo geral:

dvA

dL

mostrando a variação da velocidade das camadas de

fluido com a distância à placa parada. Esta expressão

representa a chamada lei de Newton para a

viscosidade e o fluido para o qual ela é verdadeira é

chamado fluido newtoniano. Entretanto, existem

fluidos como os que são suspensões de partículas que

não seguem esta lei. Por exemplo, o sangue, uma

suspensão de partículas com formas características,

como discos, no caso das células vermelhas. As

partículas têm orientações aleatórias em pequenas

velocidades, mas tendem a se orientar a velocidades

mais altas, aumentando o fluxo, com a velocidade

crescendo mais rapidamente do que a força.

Equação de Poiseuille

A equação que governa o movimento de um fluido

dentro de um tubo é conhecida como equação de

Poiseuille. Ela leva em consideração a viscosidade,

embora ela realmente só é válida para escoamento

não-turbulento (escoamento laminar). O sangue

fluindo através dos canais sangüíneo não é exatamente

um escoamento laminar. Mas aplicando a equação de

Poiseuille para essa situação é uma aproximação

razoável em primeira ordem, e leva a implicações

interessantes.

A equação de Pouiseuille para a taxa de escoamento

(volume por unidade de área), Q, é dada por:

4

8

R pQ

L

onde P1-P2 é a diferença de pressão entre os extremos

do tubo, L é o comprimento do tubo, r é o raio do

tubo, e h é o coeficiente de viscosidade.

Para o sangue, o coeficiente de viscosidade é de cerca

de 4 x 10-3

Pa s.

A coisa mais importante a ser observada é

que a taxa de escoamento é fortemente dependente no

raio do tubo: r4. Logo, um decréscimo relativamente

pequeno no raio do tubo significa uma drástica

diminuição na taxa de escoamento. Diminuindo o raio

por um fator 2, diminui o escoamento por um fator 16!

Isto é uma boa razão para nos preocuparmos com os

níveis de colesterol no sangue, ou qualquer obstrução

das artérias. Uma pequena mudança no raio das

artérias pode significar um enorme esforço para o

coração conseguir bombear a mesma quantidade de

sangue pelo corpo.

Sob todas as circunstâncias em que se pode checar

experimentalmente, a velocidade de um fluido real

diminui para zero próximo da superfície de um objeto

sólido. Uma pequena camada de fluido próximo às

paredes de um tubo possui velocidade zero. A

velocidade do fluido aumenta com a distância às

paredes do tubo. Se a viscosidade de um fluido for

pequena, ou o tubo possuir um grande diâmetro,

uma grande região central irá fluir com

velocidade uniforme. Para um fluido de alta

viscosidade a transição acontece ao longo de

uma grande distância e em um tubo de pequeno

diâmetro a velocidade pode variar através do

tubo.

Cálculo da Viscosidade em uma

esfera:

A esfera caindo com velocidade

constante, termos a = 0.

A segunda Lei de Newton fica:

vF ma P E F

E

Fv

P

A força viscosa é dada por:

rvF 6

mgrvgm f 6

ee

e

e VmV

m

fff

f

f

f VmV

m

3

3

4RVe

Substituindo na equação (1) teremos:

gRrvgR ef

33

3

46

3

4

gRrvgR ef

33

3

23

3

2

092 3 rvgRef

092 3 RvgRef

v

gRfe

2

9

2


4

4

R: Raio da esfera.

v: Velocidade terminal.

Sistemas de Unidades:

M.Kg.S: 1 [ Pa ] = 1 [ N / m2 ] onde : 1 [ N ]

= [ 1 Kg * m / s2 ]

C. G. S.: 1 [ ba ] = 1 [ din / cm2 ]

M.Kgf.S.: 1 [ Kgf / m2 ]

Outras unidades:

1 atmosfera normal ( 1 atN ) = 760 mm de Hg =

1,033 Kgf / cm2 = 1 atmosfera física.

1 atmosfera técnica ( 1 atT ) = 736 mm de Hg =

1,0 Kgf / cm2 = 0,968 atN = 10 m.c.a.

1 Kpa = 1000 Pa e 1 Mpa = 1000000 Pa

1 ” = 2,54 cm 1 ’ = 1 pé = 12 ”

1 jarda = 1 jd = 3 pé = 3 ’

1 jd = 91,44 cm

1 pé = 30,48 cm

1 libra = 1 lb = 0,45359 Kg

1 litro = 1l = 10-3

m3

C. G. S. : 1 [ poise ] = [ g / cm * s ]

Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 5

5

5

Exemplos de Viscosidade - these may help you get a feel for the cP

Hydrogen @20°C 0.008 6 cP Benzyl ether @ 20°C 5.33 cP

Ammonia @ 20°C 0.009 82 cP Glycol @ 20°C 19.9 cP

Water vapor @100°C 0.125 5 Soya bean oil @ 20°C 69.3 cP

Air @ 18°C 0.018 2 cP Olive oil @ 20°C 84.0 cP

Argon @ 20°C 0.022 17 cP Light machine oil @ 20°C 102 cP

Air @ 229°C 0.026 38 cP Heavy machine oil @ 20°C 233 cP

Neon @ 20°C 0.031 11 cP Caster oil @ 20°C 986 cP

Liquid air @ -192.3°C 0.173 cP Glycerin @ 20°C 1,490 cP

Ether @ 20°C 0.233 cP Pancake syrup @ 20°C 2,500 cP

Water @ 99°C 0.2848 cP Honey @ 20°C 10,000 cP

Chloroform@ 20°C 0.58 cP Chocolate syrup @ 20°C 25,000 cP

Methyl alcohol@ 20°C 0.597 cP Ketchup @ 20°C 50,000 cP

Benzene @ 20°C 0.652 cP Peanut butter @ 20°C 250,000 cP

Water @ 20°C 1.002 cP Tar or pitch @ 20°C 30,000,000,0

00 cP

Ethyl alcohol @ 20°C 1.2 cP Soda Glass @ 575°C 1,000,000,00

0,000,000 cP

Mercury @ 20°C 1.554 cP

http://www.physics.uq.edu.au/pitchdrop/pitchdrop.shtml


6

6

Perfil de velocidades

Tubo de Pitot e Medidor de Prandtl

Perfil de velocidades – Medidor de Prandtl

Introdução e Teoria:

Ludwig Prandtl (1875-1953) As contribuições de Ludwig Prandtl à mecânica dos

fluidos incluem seu desenvolvimento da teoria para descrever

o fenômeno de turbulência, e de seus estudos experimentais e

teóricos da dinâmica de gases. Prandtl estudou mecânica e

contribuiu à mecânica de meios contínuos durante toda a

maioria de sua carreira.

Entretanto, sua descoberta da camada do limite é

considerada como uma das descobertas mais importantes da

mecânica dos fluidos e atribuiu a Prandtl o título do pai da

mecânica dos fluidos moderna.

O tubo de Pitot-Prandtl é utilizado para medir a

velocidade do fluido em um escoamento. Em particular, pode

ser utilizado para medir a velocidade de um avião em relação

ao ar.

Outro fenômeno interessante é a condensação causada

pela singularidade de Prandtl-Glauert que pode ser vista no

vôo nivelado constante geralmente em baixas alturas, estando

o ar em condições de umidade. Quando um avião se submete a

certo tipo de manobra, pode causar pressões muito baixas na

superfície superior das asas. As temperaturas correspondentes

serão baixas, de forma que o vapor de água se condensa no

lado superior da asa. Uma característica da condensação é que

haverá muito mais condensação no lado superior da asa do que

no lado mais baixo, e que está associado geralmente com

voltas de elevadas acelerações g.

Pode-se escrever, na transformação adiabática:

PV k PV nRT

nRT nRTV P k

P P

1

T cP

Para o ar, = 1.4, assim: 10,28

. Assim, a

temperatura do ar aumentará e diminuirá conforme a pressão

aumenta e diminui. As regiões da alta pressão corresponderão

necessariamente às regiões da alta temperatura e as regiões da

pressão baixa corresponderão às regiões da temperatura baixa.

O fenômeno causa uma aparência como vista na

figura 1:

Figura 1 - Foto de uma nuvem da condensação de Prandtl-Glauert em um avião com velocidade próxima à do som no ar.

A equação de Bernoulli:

2

2

221

21

2

121

1 gyvpgyvp

Chamando de 2

212

1vppp

f

f

phgv

22

A figura mostra a seção reta de um duto cilindro,

com a posição dos pontos nos quais se deve medir a

velocidade, conforme a norma americana PIC 11-1946.

Figura 2 – Seção reta do duto do laboratório

conforme a norma americana PIC 11-1946.

37.5 mm

32.6 mm

27.6 mm

21.4 mm

12.3 mm

0

Figura 3 –Estrutura interna do tubo de Pitot

instalado no laboratório:

Gaveta de

Amianto

Metal: Latão

Pitot: Inox

Gaveta de Amianto: Alumínio

C oring: 1/8

Parafusos: Ø 3/8

Porca: 2,5"

A pressão na abertura 1 é estática, p, e em 2 é:

2

2

1vp


7

7

A altura manométrica h3 é proporcional à diferença

entre elas, ou seja: à pressão dinâmica 2

2

1v . Assim:

Lei de Poiseuille

Natureza da distribuição de tensão de cisalhamento (pg. 150

livro R. V. Guiles).

p1A p2A

v

ro r

vc

r0 r dr

L

Uma vez que o fluxo é constante, a soma das forças

sobre o corpo livre é zero:

L

rpprLrprp

202 212

2

2

1

L

rpp

dr

dv

2

21

1 2

2c

v R

v r

p p rdvdv dr

dr L

1 2 2 2

4c

p pv v R r

L

2221

4rR

L

ppvv c

Ou

f

f

phgv

22

Taxa: Seja o volume de fluido dV que atravessa seus

extremos no tempo dt dado por:

rdrdtrRL

ppdV

2

4

2221

dArvQdArvdt

dV )()(

4

8

pRQ

L

Perfil de velocidades


8

8

Vazão em Vertedores

Introdução

A forma básica mais comum de medida de descarga

em um canal aberto é a utilização de um vertedor.

Basicamente, um vertedor é um dispositivo colocado num

canal que força o escoamento através de uma abertura

projetada para medir a descarga. É uma obstrução em um

canal aberto sobre o qual escoa um líquido. A descarga sobre

o vertedor é função da geometria e da carga sobre o vertedor.

Vertedores especializados têm sido projetados para

fins específicos; dois tipos são considerados fundamentais: o

de crista larga e o de crista delgada.

Um vertedor projetado de forma apropriada exibirá

um escoamento subcrítico na corrente a montante da estrutura

e o escamento convergirá e acelerará até uma condição crítica

próxima ao topo ou à crista do vertedor. Como resultado,

poderá ser feita uma correlação entre a descarga e uma

corrente de profundidade a montante do vertedor. O transbordo

da corrente a jusante é denominado lâmina, a qual

normalmente é descarregada livremente na atmosfera.

Há uma série de fatores que afetam o desempenho de

um vertedor; os mais significativos entre eles são os padrões

do escoamento tridimensional, os efeitos da turbulência a

resistência do atrito, a tensão superficial e a quantidade de

ventilação abaixo da lâmina. As derivações simplificadas

apresentadas nesse relatório se baseiam na equação de

Bernoulli; outros efeitos podem ser levados em conta por meio

da modificação da descarga ideal com um coeficiente de

descarga Cq; a descarga real é a descarga ideal multiplicada

pelo coeficiente de descarga.

Teoria:

Vertedor de crista larga

Um vertedor de crista larga é mostrado na figura 1.

Figura 1 - Vertedor com crista larga.

2

2cv

g

LE

Y ye

h

(1) (2)

Ele tem elevação suficiente acima do fundo para

bloquear o escoamento e é suficientemente longo para que as

linhas de corrente no transbordo se tornem paralelas,

resultando em uma distribuição hidrostática de pressões. Pode-

se aplicar a equação de Bernoulli: 2 2

1 21 1 2 2

2 2

v vp gh p gh

Ou 2 2

1 1 2 21 2

2 2

p v p vh h

g g

Com = g para os pontos (1) e (2) da figura.

Assim:

2

22

cc c c

vh Y h y v g Y y

g

Para um vertedor cuja largura normal ao

escoamento é b, a descarga ideal é:

2c c c cQ by v by g Y y

Vertedor de crista delgada

Um vertedor de crista delgada é uma placa vertical

colocada na direção normal ao escoamento contendo uma

crista de borda delgada, de forma que a lâmina vertente se

comporte como um jato livre.

A figura 2 mostra um vertedor retangular com uma

crista horizontal que se estende por toda a largura do

canal.

Figura 2 - Vertedor de crista delgada.

Y= H Lâmina

crista

v2 (2)

v1 h

(1) (1) (2)

(a) Escoamento ideal (b) Escoamento real

As contrações laterais não estão presentes por

causa da existência de paredes laterais.

Pode-se definir uma situação idealizada (Figura 2

– (a)), na qual o escoamento no plano vertical não se

contrai a medida que passa sobre a crista, de forma que as

linhas de corrente sejam paralelas e a pressão atmosférica

esteja presente na linha vertente e exista um escoamento

uniforme no ponto (1), com energia cinética desprezível

(v10). A equação de Bernoulli é aplicada ao longo de

uma linha de corrente representativa e resolvida para a

velocidade v2, a velocidade local na lâmina vertente será:

2 2v g

Se b é a largura da crista normal ao escoamento a

descarga ideal é dada por:

2

0 0

2

Y Y

Q b v d b g d

3 222

3

bQ gY

Os experimentos têm mostrado que a magnitude

do expoente é aproximadamente correta; porém deve ser

aplicado um coeficiente de descarga Cq para que seja


9

9

previsto com acurácia para o escoamento real, mostrado na

figura 2 (b):

3 222

3qQ C gbY

A carga H=Y sobre o vertedor é definida como a

distância vertical entre a crista do vertedor e a superfície do

líquido a sua montante de tal forma que se evite a curvatura da

superfície livre do líquido.

A equação básica para a descarga do vertedor é

definida como a integração de:

VldhVdA

Aqui V é a velocidade a uma altura h (vertical) da

superfície livre e L=b é a largura do vertedor.

Vertedor Retangular:

23

2 LHgCQ r

L

Vertedor Triangular

25

22

15

8HtggCQ t

Vertedor de Parede espessa

323

2gHLCQ e

Sistema de Unidades:

M.Kg.S. = [ Pa ] = [ 1 N * m - 2

] Q = [ L * s - 1

] = [

dm 3

* s - 1

]

Viscosidade: [kg][m]-1[s]

-1 (MKS) [poise] (CGS)

Equações de Navier Stokes

As equações de Navier Stokes são equações

diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. São

equações a derivadas parciais que permitem determinar os

campos de velocidade e de pressão.

A equação é uma equação diferencial parcial não-linear da

segunda ordem,como segue:

2

tv v v p v g

Onde:

v

: é um vetor que representa a velocidade de um

elemento infinitesimal da massa em um ponto no espaço

3-D;

p é a pressão escalar no mesmo ponto;

: é a densidade maciça no ponto e é constante

suposta durante todo o meio;

µ: é a viscosidade do meio;

g

: é a aceleração da gravidade

A equação de N-S refere-se ao movimento de

uma única partícula minúscula do campo fluido, não o

movimento total do líquido.

Entretanto, pode ser usada para calcular o fluxo

de gases e de líquidos incompressíveis de objetos da forma

arbitrária.

É usada na dinâmica dos fluidos e na engenharia

como um modelo padrão para o estudo da turbulência, o

comportamento da camada do limite, a formação de ondas

de choque, e o transporte maciço. Entre outras coisas, é

usado para calcular o teste padrão do fluxo de ar nas asas

de um avião. Foi estudada e aplicada por muitas décadas.

.

Um problema sobre as equações de Navier-Stokes, que

nunca foi solucionado desde 1900, faz parte da lista dos

Prêmios Clay e a sua resolução vale US$1000000.

Hidráulica Aplicada à tubulações

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fluido

Entende-se por conduto forçado àquele no qual o

fluido escoa à plena seção e sob pressão. Muitas vezes os

condutos de seção circular são chamados de tubos ou

tubulações. Um conduto é dito uniforme quando a sua

seção transversal não varia com o seu comprimento. Se a

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fluido


10

10

velocidade do fluido em qualquer seção do conduto não variar

com o tempo, o regime de escoamento é dito permanente.

A densidade dos líquidos, ao contrário do que se passa

com os gases, varia muito pouco quando se varia a sua pressão

ou temperatura. A título de exemplo, considerando que a água

tem compressibilidade igual a 5.10-5

cm2 / Kgf, isto significa

que em condições normais seria necessário um incremento de

pressão de 20 Kgf /cm2 para que um litro de água se reduza de

1 cm3, ou seja, para que sua densidade aumente um milésimo.

Por isto, do ponto de vista prático, a densidade da água e de

qualquer líquido é independente da temperatura e da pressão.

Diante dessa reduzidíssima variação da densidade, nos

escoamentos de líquidos em regime permanente considera-se

que os mesmos se comportam como incompressíveis. Neste

contexto se incluem querosene, gasolina, álcool, óleo diesel,

água, vinho, vinhoto, leite, e muitos outros, aos quais se

aplicam os conceitos aqui comentados.

É conveniente ressaltar que um escoamento se classifica

também como turbulento ou laminar. No escoamento laminar

há um caminhamento disciplinado das partículas fluidas,

seguindo trajetórias regulares, sendo que as trajetórias de duas

partículas vizinhas não se cruzam. Já no escoamento turbulento

a velocidade num dado ponto varia constantemente em

grandeza e direção, com trajetórias irregulares, e podendo uma

mesma partícula ora localizar-se próxima do eixo do tubo, ora

próxima da parede do tubo.

O critério para determinar se o escoamento é turbulento ou

laminar, é a utilização do número de Reynolds:

4e

QR

D

onde:

Re = Número de Reynolds (admensional)

Q = vazão (m3 / s)

π = 3,1416...

D = diâmetro (m)

ν = viscosidade cinemática do líquido (m2 / s)

Nas condições normais de escoamento o número de Reynolds

é interpretado conforme segue:

Re > 4000, então o escoamento é turbulento.

Re < 2000, então o escoamento é laminar.

Entre estes dois valores há a zona de transição, onde não se

pode determinar com precisão os elementos do

dimensionamento.

Em geral, o regime de escoamento na condução de

líquidos no interior de tubulações é turbulento, exceto em

situações especiais, tais como escoamento a baixíssimas

vazões, como ocorre em gotejadores de irrigação, onde o

escoamento é laminar.

Sempre que um líquido escoa no interior de um tubo

de um ponto para outro, haverá uma certa perda de energia,

denominada perda de pressão ou perda de carga. Esta perda de

energia é devido ao atrito com as paredes do tubo e devido à

viscosidade do líquido em escoamento. Quanto maior for a

rugosidade da parede da tubulação, isto é, a altura das

asperezas, maior será a turbulência do escoamento e, logo,

maior será a perda de carga.

Já há cerca de dois séculos estudos e pesquisas vem

sendo realizados, procurando estabelecer leis que possam reger

as perdas de carga em condutos. Várias fórmulas

empíricas foram estabelecidas no passado e algumas

empregadas até com alguma confiança em diversas

aplicações de engenharia, como as fórmulas de Hazen-

Williams, de Manning e de Flamant. Mas, trabalhos de

diversos investigadores tem mostrado que, em sua

totalidade, são mais ou menos incorretas. A incorreção

dessas fórmulas é tanto maior quanto mais amplo é o

domínio de aplicação pretendido por seus autores.

Atualmente a expressão mais precisa e usada

universalmente para análise de escoamento em tubos, que

foi proposta em 1845, é a conhecida equação de Darcy-

Weisbach: 2

2 5

8f

fLQh

gD

onde:

hf = perda de carga ao longo do comprimento do tubo

(mca)

f = fator de atrito (adimensional)

L = comprimento do tubo (m)

Q = vazão (m3 / s)

D = diâmetro interno do tubo (m)

g = aceleração da gravidade local (m / s2)

π = 3,1416...

Mas somente em 1939, quase 100 anos depois, é

que se estabeleceu definitivamente o fator de atrito f,

através da equação de Colebrook-White:

10

1 2,512 0,27log

e

k

Df R f

onde:

f = fator de atrito (adimensional)

k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m)


Re = número de Reynolds (adimensional)

Obviamente, trata-se de uma equação implícita, isto é, a

variável f aparece nos dois membros da equação, de forma

não ser possível explicitá-la. Mas isto não sugere que seja

impossível resolver equações implícitas. Os métodos

numéricos, embora aproximativos, são capazes de resolver

equações implícitas com a precisão que se desejar. São

métodos basicamente computacionais pois incorrem em

operações matemáticas repetidas. Encontram, contudo,

muita utilidade em hidráulica.

É o caso dos métodos iterativos, nos quais

ordena-se adequadamente a equação, e arbitra-se um valor

inicial qualquer para a variável procurada que está no seu

segundo membro. Com o valor inicial já arbitrado,

calcula-se um novo valor para esta mesma variável

procurada, mas para a que está no primeiro membro. Se a

diferença entre o valor inicial e o novo valor calculado

estiver fora da precisão desejada, repete-se esta operação,

porém colocando como valor inicial o novo valor

calculado. Se a diferença aumentar diz-se que os valores

estão divergindo, e se diminuir diz-se que os valores estão

convergindo para a solução. O número de repetições, isto

é, o número de iterações poderá ser pequeno ou não,

dependendo do método a ser utilizado, e se sucederá até

que a diferença seja suficientemente pequena ou

compatível com a precisão desejada.


11

11

Um esquema básico de cálculo, passo-a-passo, seria

algo do tipo:

1- Arbitra-se um valor inicial qualquer para a variável

do segundo membro.

2- Calcula-se novo valor para a mesma variável que

está no primeiro membro.

3- Compara-se a diferença entre o valor calculado e o

valor inicial com a tolerância estabelecida.

4- Se maior, o novo valor passa a ser o valor inicial, e

volta-se para o passso (2). Se menor passa-se para o passo (5).

5- O corrente valor da variável é o valor procurado.

Métodos iterativos como o de Newton são muito

potentes e convergem muito rapidamente, podendo alcançar

resultados altamente precisos com três ou quatro iterações.

Na prática, em termos específicos, a análise do

escoamento em tubos basicamente envolve três gradezas a se

calcular:

o diâmetro

a vazão (ou velocidade)

a perda de carga

Estas são em síntese, as três variáveis principais

envolvidas no cálculo hidráulico, pois as demais (material do

tubo, tipo de líquido, temperatura, etc), são básicas. Por

qualquer método que viermos a empregar, para se determinar

qualquer uma dessas três variáveis, as duas demais deverão ser

conhecidas.

Em que pese a técnica iterativa associada à precisão das

equações dar um pouco de velocidade ao cálculo, contudo

permanece o mesmo sendo realizado manualmente, o que não

deixa de ser cansativo, enfadonho e sujeito a erros. Com o uso

de programas para computadores digitais, tal como o HidroTec

Calculador, a resolução torna-se simples, fácil, automática,

rápida e sem erros.

Equações explícitas para o fator de atrito de

Darcy-Weisbach

Quando um líquido escoa de um ponto para outro no

interior de um tubo, gerará sempre uma perda de energia,

denominada perda de pressão ou perda de carga. Esta perda de

energia é devido ao atrito com as paredes do tubo e devida à

viscosidade do líquido em escoamento. Portanto quanto maior

for a rugosidade da parede da tubulação e mais viscoso for o

líquido, maior será a perda de carga.

Com o intuito de estabelecer leis que possam reger as

perdas de carga em condutos, já há cerca de dois séculos

estudos e pesquisas vem sendo realizados. Atualmente a

expressão mais precisa e utilizada universalmente para análise

de escoamento em tubos, e que foi proposta em 1845, é a

conhecida equação de Darcy-Weisbach: 2

2f

L Vh f

D g

onde:

hf = perda de carga ao longo do comprimento do tubo (mca)

f = fator de atrito de Darcy-Weisbach (adimensional)

L = comprimento do tubo (m)

V = velocidade do líquido no interior do tubo (m / s)


g = aceleração da gravidade local (m / s2)

Mas não se encontrou logo uma maneira segura

para determinação do fator de atrito. Somente em 1939,

quase 100 anos depois, é que se estabeleceu

definitivamente uma lei para fator de atrito f, através da

equação de Colebrook-White:

10

1 2,512

3,7log

e

k

Df R f

em que:

k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m)

Re = número de Reynolds (adimensional)

A equação de Colebrook-White tem sido

considerada como a mais precisa lei de resistência ao

escoamento e vem sendo utilizada como padrão

referencial. Mas, apesar disto, e de todo o

fundamentalismo e embasamento teórico agregado à

mesma, tem uma particularidade a alguns pouco

conveniente: é implícita em relação ao fator de atrito, ou

seja, a grandeza f está presente nos dois membros da

equação, sem possibilidade de ser explicitada em relação

às demais grandezas. Sua resolução requer um processo

iterativo.

Isto resultou em motivos para que muitos

pesquisadores, de quase toda parte do mundo, se

empenhassem em encontrar equações explícitas, que

pudessem ser utilizadas como alternativas à equação de

Colebrook-White. Algumas mais compactas e simples,

mais fáceis de serem memorizadas, contudo com grandes

desvios; outras, menos compactas e complexas, mais

difíceis de serem memorizadas, porém com desvios

menores; outras tantas combinando simplicidade e

precisão, com erros até bem reduzidos, em relação ao fator

de atrito calculado com a equação de Colebrook-White.

No presente trabalho seleciona e apresenta a

seguir um pequeno conjunto destas equações explícitas,

considerando apenas aquelas que pesquisadores, conforme

bibliografia consultada, avaliaram e concluíram terem os

menores erros em relação à equação de Colebrook-White:

1- Sousa-Cunha-Marques, 1999 (erro = 0,123%):

0,8710 10

1 5,16 5,092

3,7 3,7log log

e e

k k

D R D Rf

2- Haaland, 1983 (erro = 0,220%): 1,11

10

1 6,91,8

3,7log

e

k

D Rf

3- Barr, 1972 (erro = 0,375%):

0,89210

1 5,152

3,7log

e

k

D Rf

4- Swamee-Jain, 1976 (erro = 0,386%):

http://paginas.terra.com.br/servicos/hidrotec/




12

12

0,910

1 5,742

3,7log

e

k

D Rf

5- Churchill, 1973 (erro = 0,393%): 0,9

10

1 72

3,7log

e

k

D Rf

Um exame superficial mostra que, por mais simples

ou compactas que possam ser estas equações explícitas, as

mesmas requerem também algum esforço computacional com

operações matemáticas de potenciação, radiciação,

logaritmicas, etc. Contudo, tendo em vista as elevadas

velocidades dos processadores dos computadores atuais,

praticamente será imperceptível a diferença no esforço

computacional do cálculo feito com uma equação implícita e

com uma equação explícita. Então, se o esforço é o mesmo, a

conclusão óbvia é que parece ser mais razoável e lógico usar-

se logo a equação de Colebrook-White, dado à sua precisão.

Hipertensão Arterial

A HAS (Hipertensão Arterial Sistêmica) é uma das

doenças com maior prevalência no mundo moderno e é

caracterizada pelo aumento da pressão arterial, medida com

esfigmomanômetro ("aparelho de pressão"), tendo como

causas a hereditariedade, a obesidade, o sedentarismo, o

etilismo, o stress e outras (veja causas de Hipertensão, mais

abaixo).

: A pressão sanguínea é medida com o esfigmomanômetro,

que consiste de uma coluna de mercúrio com uma das

extremidades ligada a uma bolsa, que pode ser inflada através

de uma pequena bomba de borracha, como indica a Figura 32

(A). A bolsa é enrolada em volta do braço, a um nível

aproximadamente igual ao do coração, a fim de assegurar que

as pressões medidas mais próximas às da aorta. A pressão do

ar contido na bolsa é aumentada até que o fluxo de sangue

através das artérias do braço seja bloqueado.

A seguir, o ar é gradualmente eliminado da bolsa ao

mesmo tempo em que se usa um estetoscópio para detectar a

volta das pulsações ao braço. O primeiro som ocorre quando a

pressão do ar contido na bolsa se igualar à pressão sistólica,

isto é, a máxima pressão sanguínea. Nesse instante, o sangue

que está à pressão sistólica consegue fluir pela (os sons

ouvidos através do estetoscópio são produzidos pelo fluxo

sanguíneo na artéria e são chamados sons Korotkoff). Assim, a

altura da coluna de mercúrio lida corresponde à pressão

manométrica sistólica. À medida que o ar é eliminado, a

intensidade do som ouvido através do esteie aumenta. A

pressão correspondente ao último som audível é a pressão

diastólica, isto é, a pressão sanguínea, quando o sangue a baixa

pressão consegue fluir pela artéria não oclusa.

Hipertensão Arterial é uma situação na qual a

pressão arterial está elevada.

A pressão arterial é a pressão exercida pelo sangue

contra a superfície interna das artérias. A força original

vem do batimento cardíaco. A pressão arterial varia a cada

instante, seguindo um comportamento cíclico. São vários

os ciclos que se superpõe, mas o mais evidente é o

determinado pelos batimentos cardíacos.

Chama-se ciclo cardíaco o conjunto de acontecimentos

desde uma batimento cardíaco até o próximo batimento.

No momento em que o coração ejeta seu

conteúdo na Aorta a energia é a máxima, gerando força

máxima e consequentemente pressão máxima. Esta fase

no ciclo cardíaco chama-se Sístole, sendo que a pressão

neste instante é chamada de Pressão Arterial Sistólica.

Imediatamente antes do próximo batimento cardíaco a

energia é mínima, com a menor força exercida sobre as

artérias em todo o ciclo, gerando portanto a menor pressão

arterial do ciclo cardíaco. Esta fase é chamada de

Diástole, sendo que a pressão neste instante é chamada de

Pressão Arterial Diastólica.

Quando se fala em dois valores de pressão

arterial (140 por 90, por exemplo), estamos dizendo que

neste momento os ciclos cardíacos estão gerando uma

pressão arterial que oscila entre 140 e 90 unidades de

medida, 140 no pico da Sístole e 90 no final da Diástole.

Esta situação aumenta o risco de problemas

cardiovasculares futuros, como Infarto agudo do

miocárdio e Derrame Cerebral, por exemplo.

A pressão normal seria aquela onde o risco destes

problemas seria o mínimo.

Na verdade não existe um nível "seguro". A

possibilidade de problemas é log-linear, ou seja cresce de

maneira contínua em uma escala logarítmica.

O valor normal é um tanto arbitrário, definido

pelos especialistas no assunto, para fins práticos e

operacionais. É semelhante a definição de maioridade,

onde para fins práticos se considera 18 anos de idade e não

18 anos e um mês ou 17 anos e 11 meses, por exemplo,

embora o amadurecimento seja possivelmente o mesmo.

Para a maior parte das pessoas o valor de 140/90 mmHg é

relacionado a baixo risco de problemas futuros, sendo

considerado o "normal".

Como é verificada a Pressão Arterial

Para verificar a pressão arterial, o profissional envolve um

dos braços do paciente com o esfigmomanômetro, que

nada mais é do que uma cinta larga com um pneumático

interno acoplado a uma bomba de insuflação manual e um

medidor desta pressão. Ao insuflar a bomba, o pneumático


13

13

se enche de ar e causa uma pressão no braço do paciente,

pressão esta monitorada no medidor. Um estetoscópio é

colocado sobre a artéria braquial (que passa na face interna

medial do cotovelo). Estando o manguito bem insuflado, a

artéria estará colabada pela pressão exercida e não passará

sangue na artéria braquial. Não haverá ruído algum ao

estetoscópio. Libera-se, então, a saida do ar pela bomba, bem

devagar e observando-se a queda da pressão no medidor.

Quando a artéria deixa de estar totalmente colabada um

pequeno fluxo de sangue inicia sua passagem pela artéria

provocando em ruído de esguicho (fluxo turbilionar). Neste

momento anota-se a pressão máxima (sistólica). O ruído

persistirá até que o sangue passe livremente pela artéria, sem

nenhum tipo de garroteamento (fluxo laminar). Verifica-se no

medidor este momento e teremos a pressão mínima (pressão

diastólica). Em geral, medimos a pressão em milímetros de

mercúrio (mmHg), sendo normal uma pressão diastólica

(mínima) entre 60 e 80 mmHg (6 a 8 cmHg) e pressão sistólica

entre 110 e 140 mmHg (11 a 14 cmHg) (cmHg = centímetros

de mercúrio).

Sintomatologia

A "pressão alta" é considerada uma doença silenciosa,

pois pode não produzir nenhum sintoma no paciente. Alguns

podem queixar-se de dor ou pressão na nuca e cefaléia, mas

não é necessário nenhum sintoma. Esta falta de sintomas pode

fazer com que o paciente esqueça de tomar seu remédio ou até

mesmo questione sua necessidade. Isto faz com que as

complicações ocorram em grande número.

Complicações da HAS

O aumento contínuo da pressão arterial faz com que ocorram

danos as artérias de diversas partes do organismo vivo. A

Hipertensão Arterial é um fator de risco para Aterosclerose.

Como conseqüência desta, podem acontecer tanto o Acidente

Vascular Cerebral - AVC, como o Infarto agudo do miocárdio

- IAM). Como qualquer artéria do corpo pode ser obstruída

pela aterosclerose, virtualmente todos os orgão podem sofrer

alterações decorrentes da hipertensão.

Causas de Hipertensão Arterial

Na grande maioria dos casos a Hipertensão Arterial é

considerada essencial, isto é, ela é uma doença por si mesma.

No entanto, devem ser descartadas outras doenças que causam

a hipertensão arterial apenas como um sinal, pois pode então

ser tratada a causa básica melhorando naturalmente a

hipertensão. Dentre estas causas existe a hipertensão

nefrogênica, onde um rim com algum problema em sua

irrigação sanguínea produz substâncias visando aumentar a

pressão e receber mais sangue. Nestes casos tratando este rim a

pressão normaliza. Outro caso é o do feocromocitoma, um

tumor que produz substâncias vasoconstrictoras que aumentam

a pressão arterial, produzem taquicardia, cefaléia e sudorese. A

retirada deste tumor melhora a pressão..

Tratamento

Casos iniciais e leves respondem bem à dieta pobre

em sal de cozinha (NaCl) emagrecimento e prática de esportes.

Outros casos necessitarão de medicamentos. São várias as

classes de medicamentos possíveis de ser usadas, isoladas ou

associadas. Entre outras temos os diuréticos, os bloqueadores

adrenérgicos, os bloqueadores de canais de cálcio, os

inibidores de enzima conversora de angiotensina II e os

bloqueadore do receptor da angiotensina II.

Diuréticos são medicamentos que estimulam a

produção de urina como as tiazidas. Casos mais graves

necessitam de medicamentos inibidores da ECA (IECA)),

como o captopril e enalapril. É interessante notar que o

captopril é uma substância que foi isolada primariamente

do veneno da cobra jararaca

Bibliografia:

(Mecânica dos Fluidos, Potter M. C., Wiggert D.

C., Cap. 2, pp. 36-37, Editora Thomson).


14

14

Bombas e Turbinas

A equação de Bernoulli, quando há uma máquina

entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento do fluido se dá de

(1) para (2) pode ser reescrita da forma, considerando que há

uma perda de carga Hp12 (Energia perdida por unidade de

peso):

h

h2 (2)

H2( p2, 2v

,h2)

M

H1( p1, 1v

,h1)

h1 (1)

121 2M pH H H H

Se HM > 0 Bomba

otP

TotP

Potência da Bomba e rendimento:

Tot

ot B B

ot

PP QH

P

Se HM < 0 turbina

otP

TotP

Potência da Turbina e rendimento:

Tot

ot B T

ot

PP QH

P

Equação da energia para fluido real

Nesse item será retirada a hipótese de fluido ideal;

logo, serão considerados os atritos internos no escoamento

do fluido. São mantidas as hipóteses de regime

permanente, fluido incompressível, propriedades

uniformes na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta

última significa que não existe uma troca de calor

provocada propositalmente; no entanto, ao se considerar

os atritos no escoamento do fluido, deve-se imaginar que

haverá uma perda de calor do fluido para o ambiente

causada pêlos próprios atritos. Como será visto a seguir, a

construção da equação da energia pode ser realizada sem

se falar, explicitamente, dessa perda de calor.

Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o fluido

fosse perfeito. H1 = H2

Se, no entanto, houver atritos no transporte do

fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação da

energia, de forma que H1 > H2.

Querendo restabelecer a igualdade, será necessário

somar no segundo membro a energia dissipada no

transporte.

121 2 pH H H

12pH : energia perdida entre (l) e (2) por unidade de

peso do fluido.

Como 12 1 2pH H H e como H1 E H2 são chamados

cargas totais, 12pH é denominado 'perda de carga'.

Se for considerada também a presença de uma máquina

entre (l) e (2), a equação da energia ficará:

121 2M pH H H H

12

2 2

1 1 2 21 2

2 2M p

v p v pz H z H

g g

Da Equação deve-se notar que, no escoamento de um

fluido real entre duas seções onde não existe máquina, a energia

é sempre decrescente no sentido do escoamento, isto é, a carga

total a montante é sempre maior que a de jusante, desde que não

haja máquina entre as duas. A potência dissipada pêlos atritos é facilmente calculável

raciocinando da mesma maneira que para o cálculo da potência

do fluido. A potência dissipada ou perdida por atrito poderá ser

calculada por:

12diss pN QH


15

15

Exemplos:

Exemplo 1 - Na instalação da figura, verificar se a

máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar a sua

potência, sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se que a

pressão indicada por um manômetro instalado na seção (2) é

0,16 MPa, a vazão é l0 L/s, a área da seção dos tubos é l0 cm2

e a perda de carga entre as seções (l) e (4) é 2 m.

Não é dado o sentido do escoamento,

2

4 310H O N m ; g = 10 m/s2.

Solução:

Deve ser notado, inicialmente, que a seção (4) é o nível

do reservatório inferior sem incluir a parte interna do tubo,

já que nesta não se conhece a pressão.

Sabe-se que o escoamento acontecerá no sentido das

cargas decrescentes, num trecho onde não existe máquina. Para

verificar o sentido, serão calculadas as cargas nas seções (l) e

(2).

2

1 11 1 0 0 24 24

2

v pH z m

g

2

2 22 2

2

v pH z

g

3

2 4

10 1010

10 10

Qv m s

A

2

2 22 2

2

v pH z

g

2 6

2 4

10 0,16 104 25

2 10 10H m

Como H2> H1, conclui-se que o escoamento terá o

sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, sendo a

máquina, portanto, uma bomba.

Aplicando-se a equação da energia entre as seções (4) e

(1), que compreendem a bomba.

Lembrar que a equação deve ser escrita no sentido do

escoamento.

144 1B pH H H H

2

4 44 4

2

v pH z

g

1 24H m

4 0H 14

2pH

141 4 24 0 2 26B pH H H H

4 310 10 10 263470 3,47

0,75B

Bot

B

QHP W kW

Exemplo 2 - Considere que não há perda de carga

(Hp12=0) na figura abaixo: (1) (2)

20 m

5 m

Considere o reservatório grande fornecendo água

para o tanque a 12L/s. Verifique se a máquina instalada é

bomba ou turbina e determine sua potência, se o seu

rendimento é de 85%. Supor fluido ideal. Dados: Atubos =

10 cm2; g = 10m/s

2; a=10

4N/m

3.

Exemplo 3 - Dados:

232pH m ;

010.8pH m ; 75%B

2

3 20A cm ; 2

2 1A cm ; 32

310kg

H O m ; 3

410 N

m

Determinar:

(a) A vazão (L/s).

(b) A área da seção 1 em cm2.

(c) A potência fornecida pela bomba ao fluído.

(0)

M


16

16

Máquinas de Fluxo (Do Livro Franco e Brunetti, Mecânica dos Fluidos,

Ed. Pearson)

As máquinas de fluxo são dispositivos mecânicos que

tanto extraem energia de um fluido (turbina) quanto adicionam

energia ao fluido (bomba). Estas transferências de energia são

propiciadas pelas interações dinâmicas entre o dispositivo e o

fluido. Enquanto o projeto e a construção destes dispositivos

envolvem muita experiência anterior, os seus princípios

operacionais básicos são muito simples. A interação dinâmica

entre um fluido e um sólido normalmente ocorre através do

escoamento e das forças detectadas na interface fluido sólido.

Por exemplo, nós realizamos um trabalho com nossos

músculos quando mexemos uma colher numa xícara de chá. O

movimento da colher através do chá causa uma diferença de

pressão entre a parte da frente e a de trás da colher. Note que

esta diferença de pressão produz uma força sobre a colher que

é vencida por nossos músculos. Esta força atuando numa certa

trajetória requer uma determinada quantidade de trabalho.

Deste modo nós realizamos um trabalho sobre o

fluido, ou seja, nós aumentamos a energia contida no chá.

De modo inverso, o efeito dinâmico do vento

soprando sobre a vela de um barco cria uma diferença de

pressão na vela. Assim, a força do vento na vela propulsiona o

veleiro e o conjunto vela e barco se comporta como uma

máquina que extrai energia do ar.

As máquinas de fluxo operam segundo os princípios

descritos acima. Ao invés de uma colher ou uma vela, um

grupo de pás, aerofólios, canecas, canais de fluxo e passagens

são colocados em torno de um eixo. Note que a energia é

fornecida ao fluido nas bombas (por exemplo, o movimento

das pás da máquina induz um aumento de energia do fluido) e

que a energia é extraída do fluido nas turbinas (por exemplo, o

escoamento transfere energia as pás da máquina).

As máquinas de fluxo podem operar com gases (como

o ventilador de um ar condicionado ou uma turbina a gás) ou

com líquidos (como a bomba d'água de um automóvel ou a

turbina de uma usina hidrelétrica). Mesmo que os princípios

básicos de operação das máquinas que trabalham com gases e

das que trabalham com líquidos sejam os mesmos, podem

existir diferenças importantes na dinâmica dos escoamentos

nestas máquinas. Por exemplo, a cavitação pode ser muito

importante no projeto de dispositivos que envolvem

escoamentos de líquidos e os efeitos da compressibilidade

podem ser importantes no projeto de equipamentos que

envolvem escoamentos com número de Mach significativos.

Muitas máquinas de fluxo apresentam algum tipo de

carcaça ou cobertura que envolve as pás rotativas (rotor). Este

tipo de arranjo forma uma passagem interna por onde o fluido

escoa (veja a Figura A). Outras máquinas, como o moinho de

vento ou o ventilador de teto, não apresentam carcaça.

Algumas máquinas de fluxo também apresentam pás

estacionárias, ou direcionadoras, além das pás móveis do rotor.

Estas pás estacionárias podem ser utilizadas tanto para acelerar

o fluido (operam como bocais) quanto para desacelerar o

escoamento (operam como difusores).

Figura A - Máquina de fluxo com escoamento

(a) radial e (b) axial.

A análise da operação de um ventilador

doméstico (bomba) e de um moinho de vento (turbina)

podem fornecer informações sobre a transferência de

energia nas máquinas de fluxo.

Mesmo que os escoamentos reais nestes

dispositivos sejam muito complexos (i.e. tridimensionais e

transitórios), os fenômenos essenciais podem ser

analisados com um modelo simples de escoamento e com

os triângulos de velocidade. Considere o rotor de um

ventilador (veja a Figura B) que apresenta velocidade

angular constante, . Note que o rotor mantém esta

rotação porque está acoplado a um motor elétrico. Nós

denominamos a velocidade da pá por U = r, onde r é a

distância radial medida a partir do eixo do ventilador. A

velocidade absoluta do fluido (que é vista por um

observador estacionário) é denominada V e a velocidade

relativa (que é vista por um observador solidário às pás) é

denominada W. A velocidade real do fluido (absoluta) é

igual a soma vetorial da velocidade relativa com a

velocidade das pás. Deste modo V WU

A Figura B (b) mostra um esquema simplificado das

velocidades do escoamento que "entra" e que "sai" do

ventilador a uma distância r do eixo do rotor. A superfície

sombreada legendada como a b c d é uma parte da

superfície cilíndrica mostrada na Fig. B (a). Nós vamos

admitir, para simplificar o problema, que o escoamento é

"suave" ao longo da pá, ou seja, a velocidade relativa

do escoamento é paralela a superfície da pá da borda

inicial até a borda final da pá (pontos 1 e 2). Por enquanto,

nós vamos considerar que o fluido entra e sai do

ventilador a mesma distância do eixo de rotação, logo U1 =

U2 = r. Nas máquinas de fluxo reais, os escoamentos de

entrada e saída não são necessariamente tangentes às pás e

as linhas de fluxo podem apresentar raios diferentes.


17

17

A bomba Centrífuga

A bomba centrífuga é uma das máquinas de fluxo

radial mais comuns. Este tipo de bomba apresenta dois

componentes principais: um rotor montado num eixo e uma

carcaça (voluta) que envolve o rotor. O rotor contém uma série

de pás (geralmente curvas) arranjadas de um modo regular em

torno do eixo. A Figura C mostra um esboço das partes

principais de um bomba centrífuga. Conforme o rotor gira, o

fluido é succionado através da seção de alimentação da bomba

e escoa radialmente para fora da bomba. A energia é

adicionada ao fluido pelas pás móveis e tanto a pressão quanto

a velocidade absoluta são aumentadas ao longo do escoamento

no rotor. No tipo mais simples de bomba centrífuga, o fluido é

descarregado diretamente na carcaça. O formato da carcaça

(voluta) é projetado para reduzir a velocidade do escoamento

que é descarregado do rotor.

Note que esta diminuição da energia cinética é

convertida, em parte, num aumento de pressão. O formato da

carcaça (em formato de voluta) é tal que a seção transversal do

canal formado pelo rotor e a carcaça aumenta na direção da

seção descarga. Observe que isto é feito para que a velocidade

do escoamento neste canal seja aproximadamente constante.

Normalmente, as grandes bombas centrífugas, apresentam um

projeto diferente no qual pás direcionadoras de escoamento

envolvem o rotor. Estas pás fixas desaceleram o fluido

conforme ele é direcionado para dentro da carcaça. Este tipo de

bomba centrífuga é conhecida como bomba difusora – Bomba

d’água para limpador de pára-brisa).

Os rotores podem ser classificados em dois tipos

básicos: os abertos e os fechados. A Figura C (a) mostra um

rotor do tipo aberto onde as pás estão arranjadas numa placa

traseira e estão expostas para o lado da carcaça. A Figura D (b)

mostra um rotor fechado. Nesta configuração as pás estão

confinadas entre duas placas.

Os rotores também podem ser classificados como de

simples ou dupla sucção. Para os rotores de sucção simples, o

fluido entra no rotor por um dos lados da bomba. Já nos rotores

de dupla sucção, o rotor é alimentado, ao longo do eixo, pelos

dois lados da bomba. A montagem em dupla sucção diminui a

forca axial sobre o eixo e também reduz as velocidades de

entrada no rotor (desde que a área da seção transversal de

alimentação seja maior).

As bombas podem apresentar um único ou múltiplos

estágios. Para uma bomba de único estágio, somente um rotor

é montado no eixo, enquanto vários rotores são montados no

mesmo eixo nas bombas multi-estagiadas. Os estágios operam

em série, isto é, a descarga do primeiro estágio escoa para o

olho do segundo e assim por diante. A vazão é a mesma

através dos estágios, mas cada estágio fornece um aumento de

pressão. Normalmente, as bombas de multi-estagiadas são

utilizadas nas aplicações onde a pressão na seção de descarga

da bomba é alta.

A variedade de bombas centrífugas comercialmente

disponíveis é imensa mas os princípios básicos de

funcionamento de todas elas são os mesmos. O trabalho é

realizado no fluido pelas pás móveis (que induzem um

aumento significativo da velocidade do escoamento no rotor).

Esta energia cinética é convertida num aumento de

pressão conforme o fluido escoa do rotor para a seção de

descarga da bomba.

Figura B - Modelo de escoamento num

ventilador: (a) geometria da pá do ventilador; (b)

velocidades nas seções de entrada e de saída do rotor.

Figura C - Esquema de uma bomba centrífuga.

Figura D – Esquema de rotores.


18

18

Turbinas

Como foi discutido, as turbinas são dispositivos que

extraem energia de um escoamento. A geometria das turbinas é

tal que o fluido exerce um torque sobre um rotor na direção de

sua rotação. A potência de eixo gerada é disponibilizada para o

uso em geradores elétricos e em outros dispositivos.

Apresentaremos vários tópicos ligados,

principalmente, a operação de turbinas hidráulicas (aquelas

que operam com água) para depois estender a discussão para

as turbinas a gás e a vapor (nas quais a massa específica do

fluido de trabalho pode variar muito da seção de alimentação

para a seção de descarga da turbina).

Figura E – (a) Esquema de uma turbina Pelton, (b)

fotografia da roda de uma turbina Pelton (Cortesia da Voith

Hydro).

(b)

Ainda que existam numerosos projetos de turbinas

hidráulicas, a maioria destas turbinas podem ser classificadas

em dois tipos básicos - as turbinas de ação (impulso) e as

turbinas de reação. (A reação está relacionada com a queda

pressão estática que ocorre através do rotor e com a queda

da pressão estática através do estágio da turbina.

Quanto maior a queda de pressão através do rotor, maior o

grau de reação da turbina). A queda de pressão através do rotor

é zero nas turbinas de ação e toda a queda de pressão no

estágio ocorre num bocal fixo. A turbina do tipo Pelton, veja a

Fig. E, é um exemplo clássico de uma turbina de ação. Nestas

máquinas, a carga total do fluido que entra (a soma da carga de

pressão, de velocidade e de elevação) é convertida em uma

grande carga de velocidade na saída do bocal de

alimentação (ou bocais se for utilizada uma configuração

de múltiplos bocais). Tanto a queda de pressão nas

canecas (pás) quanto a variação na velocidade relativa do

escoamento (isto é, a velocidade do fluido em relação as

canecas) são desprezíveis. Note que o espaço em torno do

rotor não é completamente preenchido com o fluido.

É o impulso dos jatos individuais, que empurram

as canecas, que produz o torque.

Já nas turbinas de reação, o rotor está envolvido

por uma carcaça (ou voluta) e o espaço entre estes dois

componentes está completamente preenchido com o fluido

de trabalho. Nas turbinas de reação nós detectamos tanto

uma queda de pressão quanto uma variação da velocidade

relativa no escoamento através do rotor. Uma turbina de

reação com alimentação radial possui as pás fixas de

alimentação que funcionam como bocais e direcionadores

do escoamento de alimentação. Assim, parte da queda de

pressão ocorre nos bocais fixos e parte no rotor. Sob

muitos aspectos, a operação de uma turbina de reação é

similar a de uma bomba com escoamento invertido (ainda

que este tipo de simplificação possa levar a muitos

enganos).

A operação das turbinas de ação e de reação

podem ser analisadas com a os princípios do momento da

quantidade de movimento. Genericamente, as turbinas de

ação são dispositivos de carga alta e vazão baixa,

enquanto turbinas de reação são dispositivos de

carga baixa e vazão alta.

Turbinas de Ação

Ainda que existam vários tipos de projetos de

turbina, talvez, o mais fácil de entender seja a roda de

Pelton. Lester Pelton (1829-1908), um engenheiro de

minas americano durante a época da mineração de ouro na

Califórnia, foi o criador de muitas das características ainda

utilizadas neste tipo de turbina. Estas turbinas são mais

eficientes quando operadas sob uma grande carga (como

aquela fornecida por um lago localizado muito acima da

seção de alimentação do bocal da turbina).


19

19

Escoamento em canal aberto

Existem muitos modos de classificar o escoamento

em condutos (em desenvolvimento, plenamente desenvolvido,

laminar, turbulento etc.). A existência de uma superfície livre

nos escoamentos em canal aberto permite que existam outras

classificações de escoamento. Note que agora o fluido escolhe"

a posição da superfície livre e a configuração do escoamento

(porque ele não preenche totalmente o tubo ou conduto).

Assim, nós detectamos novos fenômenos nos

escoamentos em canais abertos. Nós apresentaremos a seguir

algumas das possíveis classificações destes escoamentos.

O modo com que a profundidade do escoamento, y, varia com

o tempo, t, e com a distância ao longo do canal, x, podem ser

utilizado para classificar o escoamento. Por exemplo, o

escoamento é transitório quando a profundidade numa dada

posição do canal varia ao longo do tempo. Alguns

escoamentos transitórios podem ser encarados como

escoamentos em regime por cima de um rio é um escoamento

transitório para um observador posicionado na margem do rio

mas é um escoamento em regime permanente para um

observador que se desloca ao longo da margem com

velocidade igual a da frente de onda da pororoca. Existem

escoamentos que são transitórios para qualquer observador. Os

escoamentos nas ondas geradas pelo vento num lago se

enquadram nesta categoria.

Um escoamento em canal aberto é classificado como

uniforme (EU) se a profundidade do escoamento não varia ao

longo do canal (dy/dx = 0). De modo contrário, o escoamento é

não uniforme, ou variado, se a profundidade varia com a

distância ao longo do canal (dy/dx0).

Escoamentos não uniformes são classificados como

escoamentos com variação rápida (EVR) se a profundidade do

escoamento varia consideravelmente numa distância

relativamente pequena (dy/dx ~ 1). Escoamentos com variação

gradual (EVG) são aqueles em que a profundidade do

escoamento varia pouco ao longo do canal (dy/dx << 1). A Fig.

10.1 mostra alguns exemplos destes tipos de escoamento. É

oportuno observar que a importância relativa dos vários tipos

de forças (pressão, peso, atrito e inércia) são diferentes em

cada um destes tipos de escoamento.

Os escoamentos em canal aberto, dependendo das

várias condições envolvidas, podem ser laminares, de transição

ou turbulentos. O tipo de escoamento no canal é função do

número de Reynolds:

he

V RR

onde V é a velocidade média do escoamento e Rh é o

raio hidráulico do canal. Uma regra geral é: o escoamento no

canal aberto é laminar se Re < 500, turbulento se Re > 12500 e

de transição se 500 < Re < 12500. Os valores que definem os

limites dos regimes são aproximados e é necessário um

conhecimento preciso da geometria do canal para estabelecer

valores limite mais precisos. É incomum encontrarmos

escoamentos em canal aberto laminares porque a maioria

destes escoamentos envolve água (que apresenta uma

viscosidade bem reduzida) e apresentam comprimentos

característicos relativamente grandes. Por exemplo, um

escoamento de água a 20 ºC (= 1,00 10�6 m2/s) com

velocidade média V = 0,3 m/s num rio que apresenta raio

hidráulico Rh = 3,1 m apresenta Re = VRh /= 9,3 105 (o

escoamento é turbulento). Entretanto, o escoamento numa

lâmina de água sobre uma estrada com velocidade média

V = 0,08 m/s e Rh = 6 mm (nestes casos o raio hidráulico é

aproximadamente igual a profundidade do escoamento,

veja a Sec. 10.4) apresenta Re = 480 (o escoamento é

laminar).

Todos os escoamentos em canal aberto

considerados neste livro são homogêneos, ou seja, o fluido

apresenta propriedades uniformes no campo de

escoamento. Em algumas ocasiões, os escoamentos

estratificados são importantes. Nestas ocasiões nós

encontramos duas ou mais camadas de fluidos que

apresentam massas específicas diferentes escoando no

canal. Uma camada de óleo sobre a água é um bom

exemplo deste tipo de escoamento.

Os escoamentos em canal aberto sempre

apresentam uma superfície livre. Esta superfície pode ser

alterada de uma configuração não perturbada

(relativamente plana) e formar ondas que se deslocam

através da superfície com uma velocidade que depende do

seu tamanho (peso, comprimento) e das propriedades do

canal (profundidade, velocidade do escoamento etc.). As

características de um escoamento em canal aberto

dependem muito de como o fluido se movimenta e como

uma onda típica se desloca em relação ao fluido. O

parâmetro adimensional que descreve este comportamento

é o número de Froude, Fr = V/(gl)1/2, onde l é um

comprimento característico do escoamento.

Figura F – Classificação dos escoamentos em

canal aberto.

ftcm - mecânica dos fluidos teoria capítulo 2 - prof. dr ... · mais preciosos para medi-la...

Documents