Física ICinemática 1D (material de apoio a aula)

Profs.: Camilla Codeço e Marcello Barbosa Coordenação: Malena Hor-Meyll e Thereza Paiva

1

Objetivo da aula

• Como obter a função horária da posição a partir da função horária da velocidade? • Caso particular: movimento com velocidade constante • Como obter a função horária da velocidade a partir da função horária da

aceleração?

• Caso particular: movimento com aceleração constante

Discutir sobres as funções horárias

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IntroduçãoNa aula anterior discutimos o conceito de velocidade instantânea:

𝑣(𝑡0) = lim∆𝑡→0

𝑥(𝑡0  +   ∆ 𝑡) − 𝑥(𝑡0)∆ 𝑡

  ≡ ( 𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡 )𝑡=𝑡0 Conceitos a serem formalizados no curso de cálculo!

3

IntroduçãoNa aula anterior discutimos o conceito de velocidade instantânea:

Conceitos a serem formalizados no curso de cálculo!

𝑥(𝑡) 𝑣(𝑡0) =  𝑣0𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡𝑡=𝑡0 função

horária da posição.

𝑥(𝑡):  

𝑣(𝑡0) = lim∆𝑡→0

𝑥(𝑡0  +   ∆ 𝑡) − 𝑥(𝑡0)∆ 𝑡

  ≡ ( 𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡 )𝑡=𝑡0

Velocidade no instante 𝑡0

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IntroduçãoNa aula anterior discutimos o conceito de velocidade instantânea:

Conceitos a serem formalizados no curso de cálculo!

𝑥(𝑡) 𝑣(𝑡0) =  𝑣0𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡𝑡=𝑡0

função horária

da posição.

𝑥(𝑡):  

𝑣(𝑡0) = lim∆𝑡→0

𝑥(𝑡0  +   ∆ 𝑡) − 𝑥(𝑡0)∆ 𝑡

  ≡ ( 𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡 )𝑡=𝑡0

Velocidade no instante 𝑡0

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𝑥(𝑡) 𝑣(𝑡)𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡função horária

da velocidade.𝑣(𝑡):  

IntroduçãoNa aula anterior discutimos o conceito de velocidade instantânea:

Conceitos a serem formalizados no curso de cálculo!

𝑥(𝑡) 𝑣(𝑡)

𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡

função horária

da posição.

𝑥(𝑡):  

𝑣(𝑡0) = lim∆𝑡→0

𝑥(𝑡0  +   ∆ 𝑡) − 𝑥(𝑡0)∆ 𝑡

  ≡ ( 𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡 )𝑡=𝑡0

função horáriada velocidade.

𝑣(𝑡):  

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IntroduçãoNa aula anterior discutimos o conceito de velocidade instantânea:

Conceitos a serem formalizados no curso de cálculo!

𝑥(𝑡) 𝑣(𝑡)

𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡

? função

horária da posição.

𝑥(𝑡):  

𝑣(𝑡0) = lim∆𝑡→0

𝑥(𝑡0  +   ∆ 𝑡) − 𝑥(𝑡0)∆ 𝑡

  ≡ ( 𝑑𝑥(𝑡)𝑑𝑡 )𝑡=𝑡0

função horáriada velocidade.

𝑣(𝑡):  

Como obter essa relação?7

IntuiçãoConsiderando pequeno:∆ 𝑡

𝑣(𝑡0) ≈𝑥(𝑡0  +   ∆ 𝑡) − 𝑥(𝑡0)

∆ 𝑡 

deve ser pequeno de modoa não observarmos mudanças

no valor da velocidade

∆ 𝑡

8

IntuiçãoConsiderando pequeno:∆ 𝑡

𝑥(𝑡0 + ∆ 𝑡)  − 𝑥(𝑡0 ) ≈ 𝑣(𝑡0) ∆ 𝑡 

𝑣(𝑡0) ≈𝑥(𝑡0  +   ∆ 𝑡) − 𝑥(𝑡0)

∆ 𝑡 

deve ser pequeno de modoa não observarmos mudanças

no valor da velocidade

∆ 𝑡

9

IntuiçãoConsiderando pequeno:∆ 𝑡

𝑥(𝑡0 + ∆ 𝑡)  − 𝑥(𝑡0 ) ≈ 𝑣(𝑡0) ∆ 𝑡 

𝑣(𝑡0) ≈𝑥(𝑡0  +   ∆ 𝑡) − 𝑥(𝑡0)

∆ 𝑡 

∆  𝑥 ≈ 𝑣(𝑡0) ∆ 𝑡 

Observação: o conhecimento de determina apenas o deslocamento ,

para conhecermos precisamos conhecer !

 𝑣(𝑡0)    ∆ 𝑥 𝑥(𝑡0 +   ∆ 𝑡)  𝑥(𝑡0)

deve ser pequeno de modoa não observarmos mudanças

no valor da velocidade

∆ 𝑡

10

Intuição

Mais precisamente: vamos considerar que conhecemos o e queremos obter o 𝑣(𝑡) 𝑥(𝑡)

Como proceder quando o intervalo de tempo não for pequeno?

tempo

𝑣(𝑡)

𝑡1 𝑡2 𝑡𝑁𝑡𝑁−10 𝑡3 ... 11

Intuição

Mais precisamente: vamos considerar que conhecemos o e queremos obter o 𝑣(𝑡) 𝑥(𝑡)

Como proceder quando o intervalo de tempo não for pequeno?

Sabemos proceder para pequeno!∆ 𝑡 

𝑥(𝑡0 + ∆ 𝑡)  − 𝑥(𝑡0 ) ≈ 𝑣(𝑡0) ∆ 𝑡 

Ideia: Dividir o intervalo de tempo em N intervalos de modo que cada intervalo seja pequeno!

12tempo

𝑣(𝑡)

𝑡1 𝑡2 𝑡𝑁𝑡𝑁−10 𝑡3 ...

Intuição

Mais precisamente: vamos considerar que conhecemos o e queremos obter o 𝑣(𝑡) 𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡0 + ∆ 𝑡)  − 𝑥(𝑡0 ) ≈ 𝑣(𝑡0) ∆ 𝑡 

tempo𝑡1 𝑡2 𝑡𝑁𝑡𝑁−10 𝑡3 ...

Como proceder quando o intervalo de tempo não for pequeno?

13

𝑣(𝑡)

Intuição

Mais precisamente: vamos considerar que conhecemos o e queremos obter o 𝑣(𝑡) 𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡0 + ∆ 𝑡)  − 𝑥(𝑡0 ) ≈ 𝑣(𝑡0) ∆ 𝑡 

tempo𝑡1 𝑡2 𝑡𝑁𝑡𝑁−10 𝑡3 ...

𝑥(𝑡1)  − 𝑥(0) ≈ 𝑣(0) ∆ 𝑡1   𝑥(𝑡1) ≈ 𝑥(0) + 𝑣(0) ∆ 𝑡1  

Como proceder quando o intervalo de tempo não for pequeno?

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𝑣(𝑡)

∆ 𝑡1 =  𝑡1  − 0

Intuição

Mais precisamente: vamos considerar que conhecemos o e queremos obter o 𝑣(𝑡) 𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡0 + ∆ 𝑡)  − 𝑥(𝑡0 ) ≈ 𝑣(𝑡0) ∆ 𝑡 

tempo𝑡1 𝑡2 𝑡𝑁𝑡𝑁−10 𝑡3 ...

𝑥(𝑡1)  − 𝑥(0) ≈ 𝑣(0) ∆ 𝑡1   𝑥(𝑡1) ≈ 𝑥(0) + 𝑣(0) ∆ 𝑡1  

𝑥(𝑡2)  − 𝑥(𝑡1) ≈ 𝑣(𝑡1) ∆ 𝑡2 

Como proceder quando o intervalo de tempo não for pequeno?

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𝑣(𝑡)

Intuição

Mais precisamente: vamos considerar que conhecemos o e queremos obter o 𝑣(𝑡) 𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡0 + ∆ 𝑡)  − 𝑥(𝑡0 ) ≈ 𝑣(𝑡0) ∆ 𝑡 

tempo𝑡1 𝑡2 𝑡𝑁𝑡𝑁−10 𝑡3 ...

𝑥(𝑡1)  − 𝑥(0) ≈ 𝑣(0) ∆ 𝑡1   𝑥(𝑡1) ≈ 𝑥(0) + 𝑣(0) ∆ 𝑡1  

𝑥(𝑡2) ≈ 𝑥(0) + 𝑣(0) ∆ 𝑡1 +  𝑣(𝑡1) ∆ 𝑡2 𝑥(𝑡2)  − 𝑥(𝑡1) ≈ 𝑣(𝑡1) ∆ 𝑡2 

Como proceder quando o intervalo de tempo não for pequeno?

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𝑣(𝑡)

Intuição

Mais precisamente: vamos considerar que conhecemos o e queremos obter o 𝑣(𝑡) 𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡0 + ∆ 𝑡)  − 𝑥(𝑡0 ) ≈ 𝑣(𝑡0) ∆ 𝑡 

tempo𝑡1 𝑡2 𝑡𝑁𝑡𝑁−10 𝑡3 ... ...

𝑥(𝑡1)  − 𝑥(0) ≈ 𝑣(0) ∆ 𝑡1   𝑥(𝑡1) ≈ 𝑥(0) + 𝑣(0) ∆ 𝑡1  

𝑥(𝑡2) ≈ 𝑥(0) + 𝑣(0) ∆ 𝑡1 +  𝑣(𝑡1) ∆ 𝑡2 𝑥(𝑡2)  − 𝑥(𝑡1) ≈ 𝑣(𝑡1) ∆ 𝑡2 

𝑥(𝑡3)  − 𝑥(𝑡2 ) ≈ 𝑣(𝑡2) ∆ 𝑡3  𝑥(𝑡3) ≈ 𝑥(0) + 𝑣(0) ∆ 𝑡1 +  𝑣(𝑡1) ∆ 𝑡2 + 𝑣(𝑡2) ∆ 𝑡3

Como proceder quando o intervalo de tempo não for pequeno?

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𝑣(𝑡)

Intuição

...

𝑥(𝑡𝑁) − 𝑥(0) ≈  𝑁−1

∑𝑛=0

𝑣(𝑡𝑛) ∆ 𝑡𝑛+1

𝑥(𝑡1) ≈ 𝑥(0) + 𝑣(0) ∆ 𝑡1  

𝑥(𝑡2) ≈ 𝑥(0) + 𝑣(0) ∆ 𝑡1 +  𝑣(𝑡1) ∆ 𝑡2 

𝑥(𝑡3) ≈ 𝑥(0) + 𝑣(0) ∆ 𝑡1 +  𝑣(𝑡1) ∆ 𝑡2 + 𝑣(𝑡2) ∆ 𝑡3

𝑥(𝑡1)  − 𝑥(0) ≈ 𝑣(0) ∆ 𝑡1  

𝑥(𝑡2)  − 𝑥(𝑡1) ≈ 𝑣(𝑡1) ∆ 𝑡2 

𝑥(𝑡3)  − 𝑥(𝑡2 ) ≈ 𝑣(𝑡2) ∆ 𝑡3 

Como proceder quando o intervalo de tempo não for pequeno?

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𝑥(𝑡𝑁) − 𝑥(0) ≈  𝑁−1

∑𝑛=0

𝑣(𝑡𝑛) ∆ 𝑡𝑛+1

Interpretação geométrica

tempo𝑡1 𝑡2 𝑡𝑁𝑡𝑁−10 𝑡3 ...19

𝑣(𝑡)

𝑥(𝑡𝑁) − 𝑥(0) ≈  𝑁−1

∑𝑛=0

𝑣(𝑡𝑛) ∆ 𝑡𝑛+1

Interpretação geométrica

tempo𝑡1 𝑡2 𝑡𝑁𝑡𝑁−10 𝑡3 ...

Numericamente igual a área compreendida embaixo da curva 𝑣(𝑡)

𝑥(𝑡𝑁) − 𝑥(0) =   lim∆𝑡→0

𝑁−1

∑𝑛=0

𝑣(𝑡𝑛) ∆ 𝑡𝑛+1 ≡  𝑡

∫0

𝑣(𝑡′ )𝑑𝑡′

Conceito a ser formalizado No curso de cálculo!

20

𝑣(𝑡)

Exercício: obtenha a função horária da posição a partir do gráfico abaixo, sabendo que no instante inicial do movimento a

posição inicial era Que tipo de movimento esse gráfico representa?𝑣(𝑡) 𝑥 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜

𝑥0 .

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜

𝑣(𝑡)

𝑉

0

21

Interpretação geométrica

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜

𝑎(𝑡)

22

𝑣(𝑡)  − 𝑣(0) =  𝑡

∫0

𝑎(𝑡′ )𝑑𝑡′

𝑡Façam os cálculos!

Interpretação geométrica

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜

A área sob a curva num gráfico é numericamente igual ao

𝑎(𝑡) 𝑥 𝑡∆ 𝑣

Podemos obter a função horária da velocidade a partir do gráfico !𝑎(𝑡) 𝑥 𝑡

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𝑣(𝑡)  − 𝑣(0) =  𝑡

∫0

𝑎(𝑡′ )𝑑𝑡′

𝑎(𝑡)

𝑡

Exemplo: movimento de queda livre (movimento com aceleração constante)

Movimento onde um corpo é abandonado do repouso de uma certa altura

→𝑎 = 𝑔 

24

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜

𝑎(𝑡)

Movimento onde um corpo é abandonado do repouso de uma certa altura

→𝑎 = 𝑔 

−𝑔

25

Exemplo: movimento de queda livre (movimento com aceleração constante)

0

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜

𝑎(𝑡)

Movimento onde um corpo é abandonado do repouso de uma certa altura

→𝑎 = 𝑔 

−𝑔

𝑡

∆ 𝑣 = − 𝑔𝑡

𝑣(𝑡)  − 𝑣(0) = − 𝑔𝑡

𝑣(𝑡) = − 𝑔𝑡

26

Exemplo: movimento de queda livre (movimento com aceleração constante)

0

Exercício: obtenha a função horária da posição para o movimento de queda livre sabendo que o corpo foi abandonado de uma altura h.

𝑣(𝑡)

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜𝑣(𝑡) = − 𝑔𝑡

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28

Fim da aula!Volte ao slide “Objetivos da aula” e avalie se você compreendeu os conceitos. Por

exemplo, pense se você é capaz de falar sobre eles ou explicá-los para uma outra pessoa.

Pense em perguntas sobre esses conceitos e as tragam para a aula.

Não entendeu algo ou tudo? Calma! Assista o vídeo novamente, leia o livro texto e traga suas dúvidas para a aula.

Pesquise sobre a interpretação geométrica da derivada e traga seus resultados para a aula!