frejlich, j. - Óptica e física moderna.pdf

i�OPTICA e F�ISICA MODERNA

Jaime FrejlichUniversidade Estadual de CampinasInstituto de F��sica - Laborat�orio de �OpticaCampinas-SP BRAZILAtualizado: Setembro 2006

Sum�arioI �Optica 11 Propaga�c~ao da luz 31.1 Ondas harmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Operadores Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Velocidade de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Ondas eletromagn�eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Natureza vectorial da luz 132.1 Equa�c~oes de Maxwell: rela�c~oes vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Polariza�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Vetor de Poynting e Intensidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Angulo de Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Interferencia e Coerencia 193.1 Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Coerencia e Espectro de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Difra�c~ao 314.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Formalismo cl�assico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4 Difra�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37II Relatividade 395 Relatividade Especial[?] 415.1 Cinem�atica cl�assica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Experimento de Michelson-Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3 Relatividade Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.4 Transforma�c~ao de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 F��sica Quantica: Os primeiros experimentos e o modelo atomico de Bohr 576.1 Os primeiros experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2 Estrutura Atomica: �Atomo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62iii

iv SUM�ARIO7 F��sica quantica: Part��cula ondulat�oria 657.1 Car�ater ondulat�orio do el�etron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2 A fun�c~ao de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.3 Equa�c~ao de Schr�odinger (1925) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.4 Principio de Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.5 Po�co de potencial in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.6 Princ��pio de Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788 Equa�c~ao de Schr�odinger e o novo Modelo Atomico 818.1 Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.2 Regras de sele�c~ao para as transi�c~oes atomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.3 Fun�c~oes de onda nos �atomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889 Condu�c~ao em s�olidos 939.1 S�olidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.2 Condutividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.3 El�etron no campo peri�odico de um cristal: Estado s�olido . . . . . . . . . . . 959.4 Equa�c~ao de Schr�odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.5 Conclus~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.6 Isolantes, metais e semicondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.7 Energia de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Parte I�Optica

1

Cap��tulo 1Propaga�c~ao da luz1.1 Ondas harmonicasSeja a expres~ao geral de uma onda harmonicaa(x; t) = cos(kx� !t) (1.1)�(P ) = kx� !t (1.2)onde �(P ) representa a fase associada a um ponto "P" da onda que se propaga junto comela. Para calcular a velocidade de fase dessa onda �e s�o calcular a velocidade desse ponto "P".Considerando que a derivada total da fase desse ponto deve ser zero pois a fase do ponto �einvariante temporalmente, podemos calculard�(P )dt = @�(P )@x dxdt + @�(P )@t = 0 (1.3)d�(P )dt = kdxdt � ! = 0 (1.4)De�nindo a velocidade de fase como v � dxdt (1.5)concluimos que v = !=k k = 2�=� ! = 2�=T (1.6)onde � �e o comprimento de onda e T o seu per��odo.1.1.1 Representa�c~ao complexaA onda em Eq.(1.1) pode ser escrita numa formula�c~ao complexa assima(x; t) = <fA(x; t)g (1.7)A(x; t) = A ei(kx� !t) A = jAj ei�a (1.8)onde A �e a amplitude complexa que inclui o termo de fase �a.3

4 CAP�ITULO 1. PROPAGAC� ~AO DA LUZ

Figura 1.1: Onda harmonicav = !=kk = 2�=�! = 2�=T

1.1.1.1 Onda harmonica plana em 3 dimens~oesA express~ao da onda no item anterior refere-se ao espa�co unidimensional. Em tres dimens~oesdeve-se formular assim e~k:~r � !t (1.9)onde o vetor propaga�c~ao ~k est�a indicando a dire�c~ao e sentido da onda e ~r e o vetor posi�c~ao.A fase �e � = ~k:~r � !t = kxx+ kyy + kzz � !t (1.10)d�dt = @�@x dxdt + @�@y dydt + @�@z dzdt � !t = 0 (1.11)kxvx + kyvy + kzvz � ! = 0 (1.12)~k:~v = ! ) ~v = !k ~kk (1.13)1.2 Operadores VetoriaisUtilizaremos bastante os operadores vetoriaisr � x @@x + y @@y + z @@z operador \nabla" (1.14)r� = grad� = x@�@x + y @�@y + z @�@z gradiente (1.15)r: ~A = div ~A = @Ax@x + @Ay@y + @Az@z divergencia (1.16)r� ~A = rot ~A = �� x y z@@x @@y @@zAx Ay Az �� rotacional (1.17)

1.3. VELOCIDADE DE GRUPO 51.2.0.2 Opera�c~oes freq�uentesA formula�c~ao vetorial da onda pode facilitar a execus~ao de algumas opera�c~oes como ser:@a(x; t)@t = <f@A(x; t)@t g = <f�i!A(x; t)g (1.18)@a(x; t)@x = <fikA(x; t)g (1.19)< a(x; t)b(x; t) >= 1T TZ0 a(x; t)b(x; t)dt 6� <f< A(x; t)B(x; t) >g (1.20)A �ultima desigualdade resulta do fato que o operador "m�edia temporal" �e linear mas oproduto nao o �e. Para realizar a m�edia temporal de um produto temos ent~ao que voltar �asde�ni�c~oes< ab > = < <fAg<fBg >=< jAjjBj2 [cos(2kx� 2!t+ �a + �b) + cos(�a � �b)] >= < jAjjBj2 cos(�a � �b) > (1.21)onde a(x; t) = <fA ei(kx� !t) g A = jAj ei�a (1.22)b(x; t) = <fB ei(kx� !t) g B = jBj ei�b (1.23)Em resumo podemos ent~ao escrever< a(x; t)b(x; t) >= 12<fAB�g (1.24)1.3 Velocidade de grupo1.3.1 BatimentoSejam duas ondas harmonicasde igual amplitude mas com freq�uencia e comprimento de ondalevemente diferentes assimA(x; t) = a ei[(k + �k=2)x� (! + �!=2)t] + a ei[(k � �k=2)x� (! � �!=2)t]= a[ ei(�k=2x� �!=2t) + e�i(�k=2x� �!=2t) ] ei(kx� !t)= [2a cos(�kx� �!t)] ei(kx� !t) (1.25)O primeiro fator �a direita na Eq.(1.2) representa a amplitude enquanto que o segundo repre-senta a fase da onda resultante. Ambos termos representam formalmente ondas propagantes,o que signi�ca que tanto a fase quanto a amplitude desse batimento se propagam. Suas re-spectivas velocidades calculam-se na forma usualv = !=k (1.26)vg = �!=�k (1.27)


Figura 1.2: Batimento resultante da soma de duas ondas com freq�uencias e comprimentos de ondaspouco diferentes. A velocidade de fase est�a indicada como v e a de grupo como vg

1.4. ONDAS ELETROMAGN�ETICAS 7Podemos induzir ent~ao que a velocidade da amplitude, que �e chamada de "velocidade degrupo" calcula-se assim: vg = "d!dk #! (1.28)1.3.2 PulsoVamos generalizar o resultado acima, para o caso de uma distribui�c~ao cont��nua de ondasdescrita pela integralA(x; t) = !+�!oZ!��!o A(!) ei(kx� !t) d!= ei(kx� !t) 264 !+�!oZ!��!o A(!) ei�![(dk=d!)!x� t] d�!375para �!o=! � 1 (1.29)O fator entre parenteses retos representa a amplitude desse conjunto de ondas (pulso) e,como no caso anterior, representa uma onda que se propaga com a chamada velocidade degrupo que esta formalmente indicada na exponencial dentro do termo de amplitude e valevg = (d!=dk)! (1.30)1.4 Ondas eletromagn�eticas1.4.1 Da formula�c~ao integral �a formula�c~ao diferencial das equa�c~oesdo eletromagnetismoAs leis b�asicas do eletromagnetismo na formula�c~ao integral como aparecem nos textos b�asicosde F��sica s~ao:� Lei de Gauss "0 IS ~E:d~s = q carga contida (1.31)� Lei de Gauss para campo magn�eticoIS ~B:d~s = 0 \carga" magn�etica contida (1.32)� Lei de Amp�ere IC ~B:d~l = �0(i + "0d�Edt ) (1.33)

8 CAP�ITULO 1. PROPAGAC� ~AO DA LUZ� Lei de Faraday IC ~E:d~l = �d�Bdt (1.34)junto com as leis complementares� Lei de Ohm ~j = � ~E (1.35)� Conserva�c~ao da carga el�etricaIS ~j:d~s + @@t ZV � dv = 0 (1.36)� De�ni�c~oes ~D = " ~E = "0 ~E + ~P (1.37)~B = � ~H = �0 ~H + �0 ~M (1.38)Para chegar �as Equa�c~oes de Maxwell que necessitamos para formular a equa�c~ao de onda paraa luz, podemos partir das leis de Eletromagnetismo na formula�c~ao integral

1.4. ONDAS ELETROMAGN�ETICAS 9

Figura 1.3: Teorema de Gauss1.4.1.1 Lei de GaussPelo Teorema de Gauss IS ~A:d~s = ZV r: ~A dv (1.39)aplicado �a Lei de Gauss na formula�c~ao integral em Eq.(1.31) resulta"0 IS ~E:d~s = q+"0 ZV r: ~E dv = ZV � dvresultando a formula�c~ao diferencial da Lei de Gauss:"0r: ~E = � (1.40)(1.41)onde � �e a densidade volumetrica de carga el�etrica. Similarmente pode-se chegar �a formula�c~aor: ~B = 0 (1.42)para a indu�c~ao magn�etica.


Figura 1.4: Teorema de Stokes1.4.1.2 Lei de Amp�ereAplicando o Teorema de Stokes IC ~A:d~l = ZS(r� ~A):d~s (1.43)�a formula�c~ao integral da lei de Amp�ere na Eq.(1.44)IC ~B:d~l = �0i+ �0"0@�E@t+ZS(r� ~B):d~s = �0 ZS ~j:d~s+ �0"0 @@t ZS ~E:d~s+ZS(r� ~B):d~s = ZS [�0~j + �0"0@ ~E@t ]:d~sresulta a formula�c~ao diferencial:r� ~B = �0~j + �0"0 @@t ~E (1.44)1.4.1.3 Lei de FaradaySeguindo o mesmo procedimento com a formula�c~ao integral da lei de Faraday na Eq.(1.45)IC ~E:d~l = �@�B@t+ZS(r� ~E):d~s = � @@t ZS ~B:d~s+ZS(r� ~E):d~s = � ZS @ ~B@t :d~s

1.4. ONDAS ELETROMAGN�ETICAS 11resulta a formula�c~ao diferencial r� ~E = � @@t ~B (1.45)1.4.2 Equa�c~oes de MaxwellAs equa�c~oes de Maxwell propriamente ditas s~aor� ~E = �@ ~B@t (1.46)r� ~H = ~j + @ ~D@t (1.47)r: ~B = 0 (1.48)r: ~D = � (1.49)que se complementam com as chamadas equa�c~oes materiais~D = "0 ~E + ~P = "0(1 + �) ~E (1.50)~P = "0�~E (1.51)~B = �0( ~H + ~M) (1.52)~j = � ~E (1.53)Vamos nos restringir ao caso em que� = 0 ~M = 0 (1.54)supondo tamb�em que o meio seja isotr�opico, isto �e, � e � independente da dire�c~ao de propa-ga�ca~ao. Lembrando a propriedader�r� ~A = �r2 ~A+r(r: ~A) (1.55)e aplicando-a �a Eq.(1.46) resulta r� (r� ~E) = r� (�@ ~B@t ) (1.56)�r2 ~E +r(r: ~E) = ��0 @@t (~j + @ ~D@t ) (1.57)(1.58)lembrando que r:(�0(1 + �) ~E) = � = 0 ent~ao a equa�c~ao acima se reduz �a express~ao de umaonda amortecida �0"0(1 + �)@2 ~E@t2 + �0�@ ~E@t �r2 ~E = 0 (1.59)Come�cando a partir da Eq.(1.47) uma equa�c~ao de onda formalmente identica pode ser obtidapara ~H. �0"0(1 + �)@2 ~H@t2 + �0�@ ~H@t �r2 ~H = 0 (1.60)

12 CAP�ITULO 1. PROPAGAC� ~AO DA LUZ�E interessante comparar as express~oes nas Eqs.(1.59) e (1.60) com a de uma oscila�c~aomecanica amortecida m@2x@t2 + @x@t + kx = 0 (1.61)Comparando as Eqs.(1.61) com as (1.59) e (1.60) conclu��mos as seguintes rela�c~oes:termo de in�ercia: �0"0(1 + �) ) mtermo de amortecimento: �0� ) termo de restitui�c~ao: �r2 ) k (1.62)1.4.3 Equa�c~ao da onda eletromagn�eticaPara o caso de uma onda harmonica plana en tres dimens~oes representada na formula�c~aocomplexa como em Eq.(1.9) encontramos as seguintes rela�c~oes:@@t ) �i!r2 ) �k2 (1.63)qua aplicadas �a Eq.(1.59) resulta em�k2 � �0"0(1 + �)!2 � i!�0�� ~E = 0 (1.64)que �e a chamada formula�c~ao de Helmholtz para a equa�c~ao da onda para o caso de uma ondaharmonica. Como a express~ao dentro do parentesis deve se anular para qualquer ~E, ent~aopodemos, a apartir dela, achar a express~ao para a constante da onda e para o ��ndice derefra�c~ao k2 = !2c2 �1 + �+ i �!"0 � (1.65)n2 = c2v2 = 1 + �+ i �!"0 (1.66)Das equa�c~oes acima �ca claro que o vetor de onda e o ��ndice de reafra�c~ao s~ao quantidadescomplexas que podemos, em geral, escrever assim:~k = ~� + i~� (1.67)n + i� (1.68)A express~ao da onda do compa eletrico �ca ent~ao de seguinte forma~E = ~E0 ei(~k:~r � !t) (1.69)ou seja ~E = ~E0 e�~�:~r ei(~�:~r � !t) (1.70)Se os vetores ~� e ~� s~ao paralelos, isso signi�ca que o amortecimento da amplitude ocurre aolongo da dire�c~ao de propaga�c~ao da onda e essa onda chama-se "homogenea". Caso contr�ario,�e uma onda inomog�enea.

Cap��tulo 2Natureza vectorial da luz2.1 Equa�c~oes de Maxwell: rela�c~oes vectoriaisCorrespondencias numa onda harmonica:r) i~k @@t ) �i!E as equa�c~oes de Maxwell �cam assim:"r: ~E = � = 0�r: ~H = 0r� ~E = ��@ ~H@tr� ~H = ~j + "@ ~E@t ) i~k: ~E = 0i~k: ~H = 0i~k � ~E = i!� ~Hi~k � ~H = ~j � i!� ~E2.2 Polariza�c~ao2.2.1 Polariza�c~ao lineari~k: ~E = 0i~k: ~H = 0i~k � ~E = i!� ~Hi~k � ~H = ~j � i!� ~EkE = !�HkH = �(!"� i�)E+E2(!"� i�) = !�H2+j EH j2 = j !�!"� i� j2meio n~ao condutor: j EH j = r�" = 1"vv�acuo: j EH j = s�0"0 = 37713

14 CAP�ITULO 2. NATUREZA VECTORIAL DA LUZi~k: ~E = 0i~k: ~H = 0i~k � ~E = i!� ~Hi~k � ~H = ~j � i!� ~EA luz est�a polarizada

polariza�c~ao vertical polariza�c~ao horizontal luz polarizada a 30oQual das polariza�c~oes acima passa (por esse polarizador) e qual n~ao? Por que?2.2.2 Polariza�c~ao el��pticaSuponhamos que os eixos principais de uma lamina de retardo estejam alinhados com oseixos x- e y de um sistema de coordenadas. Suponhamos tamb�em que uma luz linearmentepolarizada, com amplitude A, incide normalmente sobre a lamina, com a dire�c~ao da polar-iza�c~ao fazendo um angulo � com o eixo x. As express~oes das componentes da amplitude aolongo dos eixos s x e y na saida s~aox = xo sin(!t+ �) = xo sin!t cos�+ xo cos!t sin� (2.1)y = yo sin!t (2.2)com xo = A cos � and yo = A sin � (2.3)onde ! �e a freq�uencia da luz e � �e o atraso de fase entre ambas componentes (onda r�apida eonda lenta) na saida da lamina. Somando os quadrados das express~oes em Eq.(2.1) e (2.2)e rearranjando os termos resultax2x2o + y2y2o � sin2 �� 2 xxo yyo cos� = 0 (2.4)

2.3. VECTOR DE POYNTING 15que representa uma elipse rotada, que pode ser transformada numa elipse n~ao-rotada pormeio de uma rota�c~ao do sistema de coordenadas. Para isso usamos a matriz de trasnforma�c~ao" yx # = " cos� sin�� sin� cos� # " y0x0 # (2.5)Com as correspondentes transforma�c~oes x! x0 e y ! y0, a Eq.(2.4) transforma-se emy02b2 + x02a2 = 1 + x0y02xoyo cos 2� cos�+ (y2o � x2o) sin 2�x2oy2o sin2 � (2.6)com 1a2 = x2oy2o sin2 �y2o cos2 �+ x2o sin2 �� xoyo sin 2� cos� (2.7)1b2 = x2oy2o sin2 �y2o sin2 � + x2o cos2 � + xoyo sin 2� cos� (2.8)Fazendo zero o �ultimo termo da direita na Eq.(2.6), encontramos o angulo de rota�c~ao �necess�ario tan 2� = 2 xoyox2o � y2o cos� (2.9)para que o novo sistema de coordenadas mostre uma leipse centrada.x02a2 + y02b2 = 1 (2.10)2.3 Vector de Poynting~S = ~E � ~Hr:~S = r:( ~E � ~H)ZV r:~Sdv = I ~S:d~s) potenciar:( ~E � ~H) = ~H:r� ~E � ~E:r� ~HEqua�c~oes de Maxwellr� ~E = ��@ ~H@tr� ~H = ~j � "@ ~E@t ) ~H:r� ~E = �� ~H:@ ~H@t~E:r� ~H = ~E:~j + ~E:"@ ~E@tr:( ~E � ~H) = �(� ~H:@ ~H@t + " ~E:@ ~E@t )� ~E:~j= � @@t(12"E2 + 12�H2)� ~E:~j

16 CAP�ITULO 2. NATUREZA VECTORIAL DA LUZr:( ~E � ~H) = � @@t(12"E2 + 12�H2)� ~E:~j+ZV r:( ~E � ~H):dv + @@t ZV (12"E2 + 12�H2)dV = � ZV ~E:~jdvIS( ~E � ~H):d~s+ @@t ZV (12"E2 + 12�H2)dV = � ZV ~E:~jdvFLUXO de POTENCIA: ~S = ~E � ~H2.4 Vetor de Poynting e Intensidade~S = ~E � ~H~E = ~E0 cos(~k:~r � !t)~H = ~H0 cos(~k:~r � !t)~S = ~E � ~H = ~E0 � ~H0 cos2(~k:~r � !t)m�edia temporal:< ~S >� 1T Z T0 ~Sdt = ~E0 � ~H0 1T Z T0 cos2(~k:~r � !t)dt< ~S > = 12 ~E0 � ~H0< ~S > = 12 ~E0 � ~H0Lei de Faraday: r� ~E = ��@ ~H@t i~k � ~E = i�! ~H< ~S >= 12 ~E0 � ~H0 = 12 ~E0 � 1!�(~k � ~E0)Teorema: ~a� (~b� ~c) = (~a:~c)~b� (~a:~b)~c+~E0 � (~k � ~E0) = ( ~E0: ~E0)~k � ( ~E0:~k) ~E0+< ~S > = 12( ~E0: ~E0) ~k!�I �j< ~S >j= 12" j E0 j2j ~kk j vdensidade de energia de um campo el�etrico constante: wE = 12"E2densidade de energia de um campo magn�etico constante: wH = 12�H2

2.5. ANGULO DE BREWSTER 17I �j< ~S >j= 12"E20 j ~kk j vwE = 12"E2wH = 12�H2 ) j EH j= q�"meio n~ao condutor ) wEwH = "� E2H2 = "� �" = 1wE = wBI = (14"E20 + 14�H20) j ~kk j v2.5 Angulo de Brewster

angulo de incidencia: � re ex~ao: �0 refra�c~ao: �00�0 + �00 = �=2sin �Bsin �00 = nsin �00 = sin(�2 � �0) = sin �2 cos �0 � cos �2 sin �0 = cos �0 = cos �Bangulo de Brewster: sin �Bcos �B = tan �B = n

18 CAP�ITULO 2. NATUREZA VECTORIAL DA LUZ2.5.1 EnergiaCalcule a amplitude do campo el�etrico da onda de luz nos seguintes casos:1. Uma lampada de 1000W a 1metro2. Um laser de He-Ne (�=0.633nm) de 1mW, de forma gaussiana (tipo e�r2=r2o ) comum raio ro = 0:5mm, em r=0.3. Uma onda luminosa harmonica e plana se propagando no ar, com uma intensidade de10mW/cm2.

Cap��tulo 3Interferencia e CoerenciaA pureza espectral ou grau de monocromaticidade da luz, indica o quanto ela est�a pr�oximada condi�c~ao ideal de uma onda harmonica pura, e pode ser medido usando um espectrometro.J�a a coerencia, que est�a relacionada com o comprimento dos trens de onda que formam aradia�c~ao luminosa sob estudo, determina a capacidade de produzir franjas de interferenciae, conseq�uentemente, deve ser medida em experimentos de interferencia. Esses conceitosde pureza espectral por um lado, e coerencia por outro, aparentemente t~ao distintos, est~aoestreitamente relacionados f��sica e matematicamente. Veremos que, se conhecendo um deles,podemos calcular o outro.3.1 InterferenciaAnalisaremos a interferencia da luz, em termos matem�aticos primeiro, e depois a partir dedois arranjos experimentais cl�assicos: o experimento das fendas de Young, e o interferometrode Michelson. Este �ultimo ser�a extensivamente utilizado para estudar o efeito Doppler esobretudo para estudar a coerencia da luz.3.1.1 Formalismo matem�aticoSeja uma onda ~e(~r; t), formada pela soma das duas ondas harmonicas de freq�uencias angu-lares !1 e !2 e vetores de propaga�c~ao ~k1 e ~k2 respectivamente~e(~r; t) = ~e1(~r; t) + ~e2(~r; t)~e1(~r; t) = ~E1 cos(~k1:~r � !1t+ �1) = <f~E1(~r; t)g~e2(~r; t) = ~E2 cos(~k2:~r � !2t+ �2) = <f~E2(~r; t)gonde ~Ej(~r; t) = ~Ej ei�j(~r) e�i!t �j(~r) = ~kj:~r + �j ~Ej = ejEjj~kjj = 2�=� ! = 2�=T<f g representa a \parte real", ~r �e o vetor de posi�c~ao e ej �e o vetor unit�ario no eixo \j". Aintensidade resultante �e:I = j< ~S >j/<j ~e j2>=<j ~e1(~r; t) + ~e2(~r; t) j2>19

20 CAP�ITULO 3. INTERFERENCIA E COERENCIA

Figura 3.1: Figura de interferencia produzidapor um cristal de niobato de litio com o eixo�optico no plano da �gura, observado com luzbranca convergente, entre polarizadores cruza-dos Figura 3.2: Figura de interferencia produzidapor um cristal de niobato de litio com o eixo per-pendicular ao plano da �gura, observado com luzbranca convergente, entre polarizadores cruza-dosNo que segue convencionaremos trocar o sinal de \proporcionalidade" pelo de \igualdade",�cando ent~ao a express~ao da intensidade na formaI = <j e1(~r; t) j2 + j e2(~r; t) j2 +2~e1(~r; t):~e2(~r; t) >sendo I1 = <j e1(~r; t) j2>= 12 j E1 j2 I2 =<j e2(~r; t) j2>= 12 j E2 j2e 2 < ~e1(~r; t):~e2(~r; t) > = < ~E1: ~E2 [cos(�1 + �2 � (!1 + !2)t) + cos(�1 � �2 � (!1 � !2)t)] >onde o s��mbolo \< >" representa a m�edia temporal1.Para o caso de um detector com resposta maior que !1� !2 e muito menor que !1 + !2,o primeiro termo �a direita da igualdade n~ao ser�a detectado dando um sinal nulo, resultandoent~ao:< ~e1(~r; t):~e2(~r; t) >= 12 ~E1: ~E2 < cos(�1 � �2 � (!1 � !2)t) > (3.1)onde ~E1;2 s~ao constantes. Para o caso que !1 = !2, a express~ao da intensidade �ca

I = I1 + I2 + e1:e2 2qI1I2 cos(~k1:~r � ~k2:~r + �1 � �2) (3.2)que �e a express~ao mais conhecida para descrever a interferencia de duas ondas.

3.1. INTERFERENCIA 21

Figura 3.3: Experimento de interferencia das duas fendas de Young3.1.2 Fendas de YoungUtilizando a Eq.(3.2) para descrever a forma�c~ao de franjas de interferencia no experimentodas fendas de Young, esquematizado na Fig.3.3, podemos supor que, por raz~oes de simetria,as duas ondas tem a mesma fase nas fendas, mas ao chegar no ponto A a diferen�ca de faseentre elas corresponde �a diferen�ca de caminho D sin�, ou seja:

�1 � �2 + (~k1 � ~k2):~r = 2�D sin��o que substitu��do na Eq.(3.2) resulta emI = I1 + I2 + e1:e2 2qI1I2 cos(2�D sin�=�)dando origem a franjas brilhantes nas posi�c~oes onde sin� = N�=D e franjas escuras ondesin� = (2N + 1)�=(2D), onde N �e um n�umero inteiro. Note-se que o vetor ~r representaa posi�c~ao de observa�c~ao que pode ser arbitrariamente escolhida como sendo o centro decoordenadas sendo ent~ao ~r = 0.


Figura 3.4: Interferencia numa lamina de faces paralelas3.1.3 Interferencia numa lamina de faces paralelasA Fig.3.4 mostra esquematicamente um experimento onde a onda luminosa re etida naprimeira interface (ar-vidro) interfere com a onda re etida na segunda interface (vidro-ar).Mostre que para o caso do angulo de incidencia ser muito pequeno (�� 1), a espessura dalamina D pode ser calculada assim [?]:D = �n�22 � �21 (3.3)onde n �e o��ndice de refra�c~ao do vidro e � �e o comprimento de onda da luz (suposta coerente).O angulo �1 �e o angulo de incidencia do feixe onde pode-se ver um m��nimo de interferencia.O angulo �2 corresponde ao pr�oximo m��nimo de interferencia. Num experimento realizadoem aula, foram obtidos os seguintes dados:� a lamina utilizada foi um porta objeto de microscopio com espessura aproximada de1mm,� ilumina�c~ao com um laser de He-Ne de � = 0:6328�m,� posi�c~ao angular da lamina para incidencia normal (� = 0): 3o410 � 10,1Na verdade a onda luminosa �e uma fun�c~ao aleat�oria e ela, assim como as quantidades derivadas dela(intensidade, por exemplo) devem ser descritas pelas suas \esperan�cas matem�aticas" e n~ao pelas \m�ediastemporais" indicadas pelo s��mbolo \< >" [?]. A rela�c~ao entre \esperan�ca matem�atica" e \m�edia temporal"(mais f�acil de calcular) �e bastante complicada e assunto especializado da matem�atica dos processos aleat�orios.N�os adotaremos um crit�erio simples: se o processo (fun�c~ao temporal) aleat�orio �e estacion�ario (o que signi�caque suas propriedades estat��sticas n~ao dependem do tempo) sua esperan�ca matem�atica e sua m�edia temporals~ao equivalentes [?, ?].

3.2. COERENCIA E ESPECTRO DE POTENCIA 23� posi�c~ao angular da lamina para uma franja escura: 2o580,� posi�c~ao angular da lamina para a franja escura seguinte: 1o480,� ��ndice de refra�c~ao estimado para o vidro: 1:50� 0:005.Com os dados acima calcule a espessura da lamina e estime a precis~ao dessa espessura.Resposta: D = 1:025mm e �D=D � 3% devido b�asicamente aos erros de medida dosangulos.3.1.4 Interferometro de Michelson

Figura 3.5: Interferometro de Michelson.Neste caso interferem duas ondas, uma que se re ete no espelho E1 e percorre umadistancia 2l1 e a outra que se re ete no espelho E2 e percorre uma distancia 2l2 como indicadona Fig.3.5. Ambas provem da mesma onda inicial que �e dividida no \beam-splitter"(divisor)de 50%. Queremos saber o n�umero de franjas de interferencia que passam pelo detectorquando deslocamos o espelho E2 de uma distancia �l. O problema pode ser analisado deduas formas:Analisamos a express~ao da intensidade da luz (vide Eq.(3.2) com ~r = 0) no estado iniciale no �nal quando o espelho E2 desloca-se uma distancia �l. Veri�camos a varia�c~ao na faseocorrida entre esses dois estados e sabendo que cada 2� radianos representa uma franja,podemos calcular o que queremos, assim:n�umero de franjas: (�1 � �2)�nal � (�1 � �2)inicial2� = 2 �l�3.2 Coerencia e Espectro de PotenciaA coerencia e a pureza espectral da luz est~ao diretamente relacionadas entre elas e o car�ateraleat�orio das ondas de luz �e fundamental para se compreender estes conceitos. Veremos


Figura 3.6: Sucess~ao de pulsos emitidos por uma fonte incoerenteque as id�eias de \coerencia" e de \espectro de potencia" n~ao tem sentido em termos depulsos isolados e que se aplicam apenas �as sucess~oes de pulsos que formam ondas ditas\estacin�arias".3.2.1 Introdu�c~aoAs diferentes fontes de luz (lampadas incandescentes, lampadas de descarga de gases, arcoel�etrico, lasers, etc.) emitem trens de ondas ou \pulsos" com determinadas carater��sticasm�edias (freq�uencia, amplitude, etc.) inclu��ndo o comprimento do pulso. Os �atomos contidosna \lampada" s~ao excitados de alguma maneira e por isso algum el�etron no �atomo passa paraum n��vel energ�etico maior. A decaer ele emite um foton com a energia correspondente �a dadiferen�ca entre o n��vel excitado e o de repouso aonde o el�etron cai no �nal do processo. Entreum pulso e o seguinte tudo �ca mais ou menos igual exceto sua fase, que varia aleatoriamentedevido a estar associada aos diferentes instantes em que cada pulso �e emitido. Isto se repetecontinuadamente dando uma sucess~ao de pulsos com as caracter��sticas m�edias determinadaspelo processo de decaimento mas sem nenhuma rela�c~ao de fase entre eles como ilustrado naFig.3.6Em lampadas de gas de alta press~ao, a densidade de �atomos �e muito grande e por isso on�umero de colis~oes entre os �atomos aumenta muito. Conseq�uentemente o processo de decai-mento pode ser interrompido mais rapidamente que se ocorresse sem colis~oes. O resultados~ao pulsos mais curtos ainda que com a mesma freq�uencia (cor) m�edia, dada pela diferen�cade n��veis energ�eticos no �atomo, que n~ao muda pelas colis~oes, obviamente. O caso de radia�c~aolaser �e bastante diferente: Por causa de um mecanismo especial, o decaimento de um �atomo�ca sendo \estimulado" ou \iniciado" pelo pulso emitido pelo seu �atomo vizinho e isso fazque exista uma \sinton��a" de fase entre ambos os pulsos (o estimulante e o estimulado). Oresultado disso �e uma sucess~ao de pulsos todos em fase uns com os outros. �E como se ospulsos sucessivos estivessem \emendados" sem discontinuidade de fase como ilustrado naFig.3.7.Em algum momento essa sintonia �e interrompida e tudo recome�ca. Por causa desta sin-ton��a os lasers podem emitir pulso de cent��metros, metros ou kil�ometros enquanto que asfontes ditas \incoerentes" emitem pulsos de micrometros ou mil��metros como m�aximo. O

3.2. COERENCIA E ESPECTRO DE POTENCIA 25

Figura 3.7: Sucess~ao de pulsos sincronizados emitidos por uma fonte laser, dita coerentecomprimento dos pulsos �e uma variavel fundamental nos fenomenos de interferencia da luz.Num experimento de interferencia sempre estamos superpondo dois raios de luz provenientesda mesma fonte mas percorrendo caminhos um pouco diferentes ou superpondo dois feixesprovenientes de um mesmo feixe que foi dividido em dois por um \beam-splitter". O resul-tado �e sempre a superposi�c~ao de dois feixes um atrasado em rela�c~ao ao outro, como ilustradona Fig.3.8.Ao superpormos esses dois feixes atrasados, h�a uma regi~ao onde se super~oem apenasum pulso com ele mesmo (atrasado) (marcada como \constante" na �gura) e outra ondese superp~oem um pulso com o seu vizinho e que est�a marcada como \variavel". Como arela�c~ao enter pulsos sucessivos �e aleat�oria, aleat�oria �e tambem a rela�c~ao de fase na super-posi�c~ao nessa regi~ao. Essa varia�c~ao r�apida de fase n~ao permite visualizar a interferenciadesses feixes pois os nossos instrumentos de observa�c~ao s~ao muito mais lentos. Na regi~aomarcada como \constante" em cambio, a posi�c~ao espacial das franjas de interferencia n~aomuda pois a diferen�ca de fase entre os pulsos em quest~ao �e sempre a mesma (veri�que issoqualitativamente na �gura). As franjas de interferencia observadas s~ao apenas originadasnessas regi~oes. A medida que vamos aumentando a diferen�ca de caminho entre os dois feixesno experimento de interferencia, a percentagem de luz que contribui efetivamente �a visual-iza�c~ao das franjas dimimui e o contraste dessas franjas diminui tamb�em por conta do fundode luz que n~ao contribui �a forma�c~ao das franjas e que est�a aumentando. Quando a diferen�cade caminho �e da ordem do comprimento dos pulsos, n~ao veremos mais franjas.3.2.2 CoerenciaO termo de interferencia na Eq.(3.1) pode ser tamb�em escrito em fun�c~ao da formula�c~aocomplexa assim: < ~e1(t):~e2(t) >= <f< ~E1(t):~E�2 (t) >ge a intensidade resultante ter�a ent~ao a seguinte formula�c~ao:I = I1 + I2 + e1:e2 2 <f< E1(~r; t)E�2 (~r; t) >g


Figura 3.8: Superposi�c~ao de dois feixes (formados por pulsos) mutuamente defasados. Naregi~ao indicada por \constante" a diferen�ca de fase entre os dois pulsos que se puperp~oem �econstante sempre pois se trata sempre do mesmo pulso. Na regi~ao indicada por \variavel" adiferen�ca de fase �e sempre distinta para cada vaez, pois se trata sempre de 2 pulsos diferentes.No caso do interferometro de Michelson, as duas ondas que est~ao interferindo s~ao as mesmas,uma atrasada em rela�c~ao �a outra, de forma que a express~ao acima pode ser escritaI = I1 + I2 + e1:e2 2<f�(�)g (3.4)�(�) =< E1(t)E�2 (t+ �) > (3.5)onde �(�) �e a fun�c~ao de correla�c~ao (auto-correla�c~ao para o caso de E1(t)e E2 serema mesma onda, mesmo que com amplitudes diferentes) e � �e o atraso entre as duas ondas(� = 2�l=c). A Eq.(3.4) mostra claramente que o interfer�ometro de Michelson �e um \cor-rel�ometro", isto �e, um medidor de fun�c~ao de auto-correla�c~ao. De�nido o \grau de coerencia"da luz como (�) = �(�)�(0) �(0) = qI1I2a express~ao da intensidade �caI = I1 + I2 + e1:e2 2qI1I2<f (�)g (3.6)A fun�c~ao (�) �e complexa e peri�odica em � (de fato ela corresponde ao coseno da express~aona Eq.(3.2), e os valores m�aximos e m��nimos para a intensidade (as franjas) correspondemaos casos IM = I1 + I2 + e1:e2 2qI1I2 j (�) jIm = I1 + I2 � e1:e2 2qI1I2 j (�) jV = IM � ImIM + Im = e1:e22pI1I2 j (�) jI1 + I2 (3.7)

3.2. COERENCIA E ESPECTRO DE POTENCIA 27O parametro V �e a chamada \visibilidade" das franjas e �e claro que ela depende de j (�) jsendo: m�axima para j (�) j = 1 luz totalmente coerentezero para j (�) j = 0 luz incoerenteintermedi�aria para j (�) j < 1 luz parcialmente coerente�E interessante destacar que, ao escrever a express~ao de �(�) na Eq.(3.5), estamos implici-tamente supondo que ela n~ao depende do instante t em que o c�alculo (ou a medida) �e feito:isso signi�ca admitir o car�ater estacion�ario da E(t). Ou seja que, para de�nir sua fun�c~ao deauto-correla�c~ao, a fun�c~ao envolvida deve ser necessariamente estacion�aria.3.2.2.1 Tempo de coerencia e comprimento de coerenciaVamos calcular a express~ao de (�) para um modelo simpli�cado de luz. Seja uma luz dotipo [?] E(t) = Eo e�i!t ei�(t) 0 � �(t) � 2� (3.8)onde �(t) assume aleatoriamente e com igual probabilidade quaisquer valores dentro dointervalo [0,2�], �cando constante por um tempo �o, como ilustrado na Fig.3.9.

Figura 3.9: Gr�a�co superior: Evolu�c~ao da fase para o modelo de luz descrito na Eq.(3.8). Gr�a�coinferior: superposi�c~ao de �(t) com �(t + �) (levemente deslocada na vertical para facilitar a visu-aliza�c~ao) .

28 CAP�ITULO 3. INTERFERENCIA E COERENCIAPara calcular o grau de coerencia complexo (�) = < E(t)E�(t+ �) ><j E(t) j2> = ei!� < e�i(�(t)� �(t+ �) >< e�i(�(t)� �(t+ �) >= limt!1 1T Z T0 e�i(�(t)� �(t+ �) dtAo formular a m�edia temporal acima estamos supondo, como indicado na sec.3.1, que esta-mos tratando com uma onda estacion�aria. Para isso vamos considerar n~ao apenas um pulso,mas uma sucess~ao deles, cujo conjunto constitui a onda estacion�aria em quest~ao. Para cal-cular a integral acima podemos supor que T inclui um n�umero inteiro de intervalos �o e fazerent~ao o c�alculo< e�i(�(t)� �(t+ �) > = < 1�o Z �o��0 e�i(�(t)� �(t+ �) dt > +< 1�o Z �o�o�� e�i(�(t)� �(t+ �) dt >Considerando (vide a Fig.3.9) que no intervalo [0,�o� � ] a diferen�ca de fase �e sempre zero, eque no outro intervalo [�o� �; �o] ela �e aleat�oria (resultando numa integral nula), o resultadoser�a (�) = ei!� �( ��o ) (3.9)j (�) j = �( ��o ) (3.10)Onde \�" �e a fun�c~ao \triangulo"�(x) = 1 + x para � 1 � x � 0 (3.11)= 1� x para 0 � x � 1 (3.12)= 0 para j x j� 1 (3.13)Fica evidente que �o representa o comprimento (em termos temporais) da coerencia da luz.Para tempos maiores que ele, o termo de interferencia desaparece e a soma �e incoerente.

3.2. COERENCIA E ESPECTRO DE POTENCIA 29

Figura 3.10: Parte real do grau de coerencia complexo parao modelo de luz da Fig.3.9

A �gura mostra <f (�)g, querepresenta o termo de inter-ferencia, �cando evidente a pre-sen�ca de m�aximos e m��nimosna intensidade da luz, ou seja,mostra as franjas de interferenciacom freq�uencia angular !, cujavisibilidade vai diminuindo �a me-dida que aumenta � , at�e � = �o, apartir de onde �ca constante emzero.

Cap��tulo 4Difra�c~aoEstudaremos a difra�c~ao da luz utilizando o formalismo cl�assico para o c�alculo da difra�c~aocomo �e apresentado no textos de �Optica [?].4.1 Introdu�c~aoO primeiro registro do fenomeno da difra�c~ao apareceu num trabalho de Leonardo da Vinci(1452-1519), mas a descri�c~ao rigorosa so apareceu num livro (1665) de Grimaldi. Na �epocadominava amplamente a teor��a copuscular que n~ao pod��a explicar a difra�c~ao. O primeiroa propor uma teoria ondulatoria foi Huygens, em 1678, que aparentemente desconhecia otrabalho de Grimaldi. Em 1818 Fresnel publicou um trabalho mostrando que a difra�c~aopoderia ser explicada com a constru�c~ao de Huygens para a propaga�c~ao da luz, junto como principio de interferencia das ondas. Em 1882 Kirchho� colocou o assunto sobre basesmaatem�aticas mais s�olidas e desde ent~ao o assunto foi evoluindo permenentemente.4.2 Formalismo cl�assico4.2.1 Principio de Huygens-Fresnel4.2.2 Difra�c~ao por uma fendaAntes de nos aprofundar num formalismo matem�atico mais complexo vamos estudar adifra�c~ao com a abordagem ondulat�oria mais simples. Vamos supor uma onda luminosaplana de amplitude E0 incidindo perpendicularmente no plano da fenda. Queremos calculara amplitude das ondas que chegam ao ponto P no anteparo, vindas da fenda. Para isso vamosdecompor a fenda em pequenos segmentos de comprimento a (o da fenda) e de largura dx,su�centemente pequena para poder supor que a amplitude �e uniforme em cada segmento.Somamos todos os segmentos para dar a amplitude total. Calculemos primeiro a amplitudedEx que chega ao ponto P no anteparo, vinda do segmento na posi�c~ao x medida apartir docentro da fenda como indicado na Fig.4.2:dEx = E0adxab r sin(kr � !t+ k�) (4.1)onde � � x sin � e r� b (4.2)31

32 CAP�ITULO 4. DIFRAC� ~AOSegundo Huygens, cada ponto de uma frente deonda pode ser considerado, por sua vez, comoum centro gerador de uma onda esferica (secun-daria) centrada nele. A frente de onda principalnum tempo posterior est�a determinada pela envol-vente, num dado instante, da todas essas ondassecundarias. onda. As amplitudes e fases dessasondas secundarias teriam que ter determonadaspropriedades matem�aticas para descrever correta-mente o fenomeno e fazer com que, por exemplo,a onda se propagasse para frente e n~ao para tras.[b] Figura 4.1: Teoria de huygens para a propaga�c~ao da luzonde � �e a diferen�ca de caminho em rela�c~ao ao centro da fenda. A express~ao sim�etrica �amesma distancia x mas para acima �edEx� = E0dxb r sin(kr � !t� k�) (4.3)e a soma dos dois �cadE = dEx + dE�x = E0dxb r 2 sin(kr � !t) cos(k�) (4.4)porque sin� + sin � = 2 sin � + �2 cos �� 2 (4.5)Para calcular a contribui�c~ao da fenda toda, sobre o ponto P, integramos de 0 at�e b=2 assimE = Z x=b=2x=0 dE = 2E0b r sin(kr � !t) Z b=20 cos(kx sin �)dx (4.6)= 2E0b r sin(kr � !t) "sin(kx sin �)k sin � #b=20 = 2E0b r sin(kr � !t)sin(k(b=2) sin �)k sin � (4.7)E = E0r sin(kr � !t)sin(k(b=2) sin �)k(b=2) sin � (4.8)Para calcularmos a intensidade correspondente a essa amplitude, devemos calcular a m�ediatemporal do m�odulo quadrado dessa amplitude assimI(�) =< jEj2 >= �E0r �2 sin(k(b=2) sin �)k(b=2) sin � !2 < sin2(kr � !t) > (4.9)

4.2. FORMALISMO CL�ASSICO 33

Figura 4.2: Difra�c~ao por uma fenda de largura b e comprimento in�nito, observado num anteparoa uma distancia muito grande.sabendo que < sin2(kr � !t) >= 1=2 concluimos que (4.10)I(�) = I(0) sin(k(b=2) sin �)k(b=2) sin � !2 I(0) = 12E20r2 (4.11)Podemos escrever o resultado acima de forma simpli�cada chamando � � kb sin �, querepresenta a diferen�ca de fase dos dois raios saindo dos extremos da fenda, e substituindo naf�ormula acima I(�) = I(0) sin�=2�=2 !2 (4.12)lembrando que lim�!0 sin�=2�=2 = 1 (4.13)4.2.3 Fenda duplaPara o caso das duas fendas ilustradas na Fig.4.3 o procedimento �e similar excepto que x�e medida apartir do centro de simetria das duas fendas e a integra�c~ao deve estar de acordo

34 CAP�ITULO 4. DIFRAC� ~AO

Figura 4.3: Difra�c~ao por duas fendas de largura b e comprimento in�nito, separadas de umadistancia L e observada num anteparo a uma distancia muito grande.com este novo esquema. Partindo da Eq.(4.6)E = 2E0b r sin(kr � !t) Z x=L=2+b=2x=L=2�b=2 cos(kx sin �)dx (4.14)= 2E0b r sin(kr � !t) "sin(kx sin �)k sin � #L=2+b=2L=2�b=2 (4.15)= E0r sin(kr � !t)sin(k(L=2 + b=2) sin �)� sin(k(L=2� b=2) sin �)k(b=2) sin � (4.16)E = 2E02r sin(kr � !t)2 cos(k(L=2) sin �)sin(k(b=2) sin �)k(b=2) sin � (4.17)Com o mesmo raciocinio desenvolvido para a fenda �unica, calculamos agora a intensidadetotal como I(�) = 2I(0)2 cos2(k(L=2) sin �) sin(k(b=2) sin �k(b=2) sin � !2 (4.18)sabendo que 2 cos2 � = 1 + cos 2� que substituimos acima, resulta (4.19)I(�) = 2I(0) sin(k(b=2) sin �k(b=2) sin � !2 [1 + cos(kL sin �)] (4.20)

4.2. FORMALISMO CL�ASSICO 35I(�) = 2I(0) sin�=2�=2 !2 [1 + cos(kL sin �)] onde � � kb sin � (4.21)(4.22)Note que o termo entre parent�eses retos representa a difra�c~ao por duas fendas in�nitamente�nas (Experimento das Fendas de Young) separadas de uma distancia L enquanto que oprimeiro termo representa a difra�c~ao por uma fenda larga (largura b). Assim o resultadopode ser interpretado como sendo a difra�c~ao de duas fendas �nas, modulada pela difra�c~aoda largura real de cada uma delas.4.2.3.1 Outra formaPodemos chegar ao resultado na Eq.(4.21) de uma outra forma, escrevendo a amplitude totalno ponto P como A = a + a ei� (4.23)� � kL sin � (4.24)sendo que � �e a diferen�ca de fase entre as ondas chegando ao ponto P a partir de cada umadas duas fendas e a �e a amplitude (complexa) de cada uma das fendas. A intensidade totalser�a ent~ao j A j2= A:A� =j a j2 (1 + ei� ):(1 + e�i� ) = 2 j a j2 (1 + cos �) (4.25)Substituindo o valor de a acima pela express~ao calculada para uma unica fenda temos aexpress~ao �nal I = I(0)2 sin(k(b=2) sin �)k(b=2) sin � !2 (1 + cos kL sin �) (4.26)4.2.4 Multiplas fendas: Rede de difra�c~aoPara o caso de um numero grande de fendas, igualmente espa�cadas. podemos escrever aamplitude total resultante comoAei� = a(1 + ei� + ei2� + :::+ ei(N � 1)� = a1� eiN�1� ei� (4.27)� � 2�L sin �=� = kL sin � (4.28)onde L �e a separa�c~ao entre as fendas (periodo espacial) e � �e o angulo de observa�c~ao, comoindicados na Fig.�g-di�end2. Para calcular a intensidade, multiplicamos a express~ao acimapela sua complexa conjugadaI /j Aei� j2= A2 = a21� eiN�1� ei� 1� e�iN�1� e�i� (4.29)I / a21� cosN�1� cos � (4.30)e substituindo 1� cos� = 2 sin2(�=2) resulta (4.31)I / A2 = a2 sin2(N�=2)sin2(�=2) (4.32)


Figura 4.4: Difra�c~ao de uma rede (ua) en fun�c~ao de sin � (rad) para uma rede de N=2,3 e 20fendas iguais e igualmente espa�cadas com per��odo L=10�mSubstituindo o valor de a pela sua express~ao calculada para uma unica fendaa2 = I(0) sin(k(b=2) sin �)k(b=2) sin � !2 (4.33)

resultaI / A2 = I(0) sin(k(b=2) sin �)k(b=2) sin � !2 sin2(Nk(L=2) sin �)sin2(k(L=2) sin �) (4.34)

4.3. PROBLEMAS 374.3 Problemas4.4 Difra�c~ao De cima para baixo: a primeira �gura mostraum gr�a�co da intensidade da luz difratada(sempre em unidades arbitr�arias), por duasfendas retangulares in�nitamente �nas e sep-aradas de uma distancia a, em fun�c~ao doangulo em radianos. A segunda �gura daa mesma informa�c~ao, mas para tres fendas,tamb�em in�nitamente �nas e com o mesmoespa�camento a entre as fendas. A terceira�gura mostra a difra�c~ao de uma �unica fendade largura igual a a=2. A quarta e �ultima�gura mostra a superposi�c~ao das �guras se-gunda e terceira.� Como seria o gr�a�co mostrando adifra�c~ao de 3 fendas de largura a=2 eigualmente separadas de uma distanciaa (centro-a-centro) ? Guarde as pro-por�c~oes.� Alguma das franjas de difra�c~ao ser��amais intensa que as outras? Qual?� Algumas das franjas desaparecer��am?Quais?� Quanto vale a em termos do compri-mento de onda � da luz difratada?

Parte IIRelatividade

39

Cap��tulo 5Relatividade Especial[?]5.1 Cinem�atica cl�assicaFigura 5.1: Sistemas referenciais inerciais, sendo S o da esquerda, em repouso e S' o dadireita se afastando com velocidade V em rela�c~ao a S ao longo do eixo x.Um ponto P com coordenadas (x,y,z,t) no sistema referencial inercial S tem coordenadas(x',y',z',t') no sistema S'. As coordenadas de um evento em um sistema est~ao relacionadascom as coordenadas no outro, pelas Transforma�c~oes de Galileu:x0 = x� V t x = x0 + V ty0 = y y = y0oz0 = z z = z0t0 = t t = t0~r0 = ~r � ~V t ~r = ~r0 + ~V t (5.1)com ~r =~ix+~jy + ~kz (5.2)~r0 = ~i0x0 + ~j 0y0 + ~k0z0 (5.3)A soma de velocidades resulta serd~rdt = d~r0dt + ~V (5.4)e a acelera�c~ao �ca invariante 41

42 CAP�ITULO 5. RELATIVIDADE ESPECIAL[?]~a = d2~rdt2 = d2~r0dt02 (5.5)O enunciado da Relatividade Cl�assica �ca assim:As leis da natureza s~ao iguais em todos os sistemas de referencia inerciais5.2 Experimento de Michelson-Morley

Figura 5.2: Interferometro de Michelson: BS semiespelho, C e B espelhos �xos.Trata-se de um experimento de interferometria (cujo resultado �nal foi anunciado em1887) que se destinava a medir a velocidade da luz que na �epoca acreditava-se se propagarnum \�eter" que preencheria o espa�co todo. Seja V a velocidade (conhecida j�a na �epoca) comque a Terra se propaga no Espa�co e seja c a velocidade da luz no \�eter". Pela cinem�aticacl�assica, a velocidade resultante da luz na dire�c~ao do movimento da Terra, na dire�c~ao opostae na dire�c~ao perpendicular (Fig.5.3) seriam, respectivamente,c� V; c+ V e pc2 � V 2 (5.6)e os tempos para um feixe de luz percorrer ABA e ACA seriam respectivamentetABA = Lc� V + Lc+ V = 2L=c1� V 2=c2 (5.7)tACA = 2L=cq1� V 2=c2 6= tABA (5.8)Os c�alculos acima mostram que ambos os tempos deveriam ser diferentes mas nunca seobservou diferen�ca alguma!!

5.3. RELATIVIDADE ESPECIAL 43

Figura 5.3: Velocidade total da luz calculada na dire�c~ao do movimento da Terra (A), nadire�c~ao oposta �a do movimento da Terra (B) e na dire�c~ao perpendicular �a do movimento daTerra (C)5.2.1 Contra�c~ao de FitzgeraldFrente ao resultado surpreendente do experimento de Michelson-Morley (M-M), pensou-senuma solu�c~ao: Um objeto ao se mover numa dire�c~ao no \�eter" (ainda o �eter !!) devia sofreruma contra�c~ao (na dire�c~ao do movimento) assim:L) Lq1� V 2=c2 (5.9)pelo que o tempo tABA, no experimento de M-M, seriam agoratABA = 2(Lq1� V 2=c2 )=c1� V 2=c2 = 2L=cq1� V 2=c2 (5.10)enquanto que o outro bra�co do interferometro n~ao sofreria contra�c~ao nenhuma e continuariatendo o valor indicado em Eq.(5.8), sendo assim tABA = tACA como indicado pelo experi-mento.5.3 Relatividade EspecialA teoria de contra�c~ao de Fitzgerald n~ao se mostrou consistente e resultou ser insustent�avel.Uma formula�c~ao mais geral para explicar os resultados do experimento de M-M, foi elaboradamais tarde por Einstein, que estabeleceu os seguintes postulados:1. As equa�c~oes da F��sica s~ao as mesmas em todos os referenciais inerciais.2. A velocidade da luz �e a mesma em todos os referenciais inerciais.Uma conseq�uencia direta destes postulados foi que+o espa�co e o tempo n~ao s~ao absolutos mas relativos

44 CAP�ITULO 5. RELATIVIDADE ESPECIAL[?]

Figura 5.4: Sincroniza�c~ao de rel�ogios num mesmo referencial5.3.1 Relatividade do tempoEm decorrencia dos postulados de Einstein foi necess�ario de�nir de forma precisa a no�c~aode \tempo". Isso envolvia o problema de como se comparar tempos medidos em diferentessistemas inerciais, ou, dito de outra forma, como sincronizar r�elogios em diferentes sistemasinerciais. Como se pode sincronizar 2 rel�ogios colocados em dois pontos distantes P e Q ?Para isso vamos utilizar a ferramenta mais adequada �a m~ao: a luz, que pelos postulados deEinstein, tem a mesma velocidade en todos os sistemas inerciais. Vamos mandar um raio deluz de P para Q que vai ser re etido e re-enviado a P . O experimento est�a esquematizadona Fig.5.4. O evento 2P que �e simultaneo com 2Q ocorre no tempo calculado assimPQ = L = (t2Q � t1P )v1 = (t3P � t2Q)v2 (5.11)+t2P � t3P v2 + t1P v1v1 + v2 t2Q = t2P (5.12)No caso particular v1 = v2 temost2P = t3P + t1P2 = t2Q (5.13)Mas o que acontece agora se os pontos P e Q est~ao em referenciais inerciais diferentes,se afastando um em rela�c~ao ao outro ao longo do eixo x� x0 como indicado na Fig.5.5? NaFig.5.6 o ponto Q �xo ao referencial S' \ve" o ponto P no referencial S se afastar para aesquerda. O ponto Q envia um raio para P , no instante tQ1 (medido no rel�ogio de Q) queatinge o ponto P no instante tP2 (agora medido no rel�ogio de P ) que �e re etido de volta echega ao ponto Q no instante tQ3 (no rel�ogio de Q). O instante tQ2 se calcula a partir dostempos tQ1 e tQ3, medidos no ponto QtQ2 = tQ3 + tQ12 (5.14)

5.3. RELATIVIDADE ESPECIAL 45

Figura 5.5: Referencial S' se afastando do referencial S

Figura 5.6: Sincroniza�c~ao de rel�ogios desde o referencial S'

Figura 5.7: Sincroniza�c~ao de rel�ogios no referencial S

46 CAP�ITULO 5. RELATIVIDADE ESPECIAL[?]que por de�ni�c~ao deve ser simultaneo com o tP2 medido em P :tQ2 = tP2: (5.15)Ou seja, o evento P2 no referencial S que se move em rela�c~ao ao S' �e simultaneo com oevento Q2 medido neste �ultimo. A linha tracejada na Fig.5.6 representa os eventos, emoutros referencials em movimento em rela�c~ao ao S', que s~ao simultaneos com o evento Q2medido neste referencial.Vejamos ahora o mesmo experimento visto no referencial S em repouso que \ve" o ref-erencial S' se afastar para a direita como indicado na Fig.5.7. Neste caso, o c�alculo anteriorque conduz ao valor tQ2 continua sendo obviamente o mesmo:tQ2 = tQ3 + tQ12 (5.16)o que signi�ca que, visto de Q em movimento para a direita, P2 e Q2 s~ao simultaneos. Masvisto de P em repouso, tP2 = tQ4 6= tQ2 (5.17)ou seja, P2 �e simultaneo com Q4 e n~ao com Q2. A linha tracejada na Fig.5.7 representa oseventos simultaneos (curva isotempo) com Q2 medidos em um referencial S' em movimentoe a linha pontilhada representa os eventos simultaneos (curva isotempo) com P2, medidosnum referencial �xo S. Os isotempos em um e outro referencial s~ao diferentes.5.3.2 Conclus~oesO experimento de Michelson-Morley levou primeiro �a id�eia de que o espa�co teria que secontrair num referencial em movimento: a contra�c~ao de Fitzgerald. Essa id�eia veio depoisa ser substitu��da pelo postulado da constancia universal (em todos os referenciais inerciais)da velocidade da luz (relatividade especial) cuja conseq�uencia imediata foi:+o tempo n~ao �e absoluto mas depende do referencial em que est�a sendo medido.Essa relatividade do tempo (note-se que a no�c~ao de espa�co j�a era relativa ao sistema dereferencia, mesmo na cinem�atica cl�assica) �e o elemento b�asico da Teoria de Relatividade deEinstein.5.4 Transforma�c~ao de LorentzTrata-se de estudar a propaga�c~ao da luz vista em dois referenciais inerciais diferentes: oS=fx,y,z,tg em repouso e o S'=fx', y', z',t'g se deslocando com velocidade V para a direitaao longo do eixo x como ilustrado na Fig5.1. Supomos que inicialmente as origens dos doissistemas coincidem:

5.4. TRANSFORMAC� ~AO DE LORENTZ 47x = y = z = t = 0 (5.18)x0 = y0 = z0 = t0 = 0 (5.19)Podemos escrever as coordenadas de um evento em um sistema em fun�c~ao das coordenadasno outro sistema mediante uma transforma�c~ao linear do tipo:z0 = z (5.20)y0 = y (5.21)x0 = xk + lt (5.22)t0 = xm + nt (5.23)que para o caso de focalizarmos a origem do sistema S' (x0 = 0) teremosx0 = 0 x = V t (5.24)o que substitu��do na Eq.(5.22) resulta em0 = V tk + lt! l = �V k (5.25)que permite re-escrever as Eqs.(5.22) e (5.23)x0 = k(x� V t) (5.26)t0 = xm + nt (5.27)Supondo que estamos estudando a propaga�c~ao de uma onda esf�erica de luz originada naorigem no momento em que as origens dos dois sistemas S e S' coincidiram, teremos asequa�c~oes da frente de onda representada nos referenciais S e S', que, em fun�c~ao do postuladoda constancia das leis da F��sica e da velocidade da luz, devem ser escritas assimx2 + y2 + z2 � c2t2 = 0) x2 � c2t2 = 0 (5.28)x02 + y02 + z02 � c2t02 = 0) x02 � c2t02 = 0 (5.29)respectivamente. Substituindo as Eqs.(5.26) e (5.27) na Eq.(5.29) temosk2(x� V t)2 � c2(xm + nt)2 = 0 (5.30)+x2(k2 � c2m2)� 2xt(k2V + c2mn)� t2(c2n2 � k2V 2) = 0 (5.31)Comparando a Eq.(5.31) com a Eq.(5.28), e levando em conta que ambas devem representaro mesmo fenomeno, conclu��mos que ambas equa�c~oes devem ser identicas, e para isso deveser

48 CAP�ITULO 5. RELATIVIDADE ESPECIAL[?]k2 � c2m2 = 1 (5.32)k2V + c2mn = 0 (5.33)c2n2 � k2V 2 = c2 (5.34)Das Eqs.(5.32-5.34) resulta n = 1q1� V 2=c2 (5.35)k = 1q1� V 2=c2 (5.36)m = V=c2q1� V 2=c2 (5.37)Substituindo os valores de n, k e m no sistema de Eqs.(5.22-5.23) resultam asTransforma�c~oes de Lorentz+x0 = (x� V t) (5.38)z0 = z (5.39)y0 = y (5.40)t0 = (t� xV=c2) (5.41) x = (x0 + V t0) (5.42)z = z0 (5.43)y = y0 (5.44)t = (t0 + x0V=c2) (5.45)sendo que = 1q1� V 2=c2 (5.46)5.4.1 Diagramas x-tNo sistema de coordenadas t � x do referencial S da Fig.5.7, vamos calcular, usando aEq.(5.38), o lugar dos pontos onde x0 �e constante (equi-espa�co):x0 = (x� V t) = constante (5.47)+t = x 1V � x0 V (5.48)E da Eq.(5.41), o lugar dos pontos onde t0 �e constante (equi-tempo):t0 = (t� xV=c2) = constante (5.49)+t = xVc2 + t0 (5.50)

5.4. TRANSFORMAC� ~AO DE LORENTZ 49

Figura 5.8: Diagrama x-t

Figura 5.9: Contra�c~ao do espa�coNa Fig.5.8 aparece o sistema de coordenadas t�x com v�arias linhas equi-tempo (pontilhadas)e equi-espa�co (tracejadas), incluindo os casos especiais para x0 = 0 e t0 = 0 (linhas cont��nuaspretas), que corresponde ao sistema de coordenadas t0 � x0 visto desde o referencial S. Aslinhas paralelas ao eixo Ox0 correspondem aos eventos simultaneos vistos desde S'. As linhasparalelas ao eixo Ot0 correspondem �as posi�c~oes espacialmente invariantes em S'.5.4.2 Contra�c~ao do espa�coTrata-se da medida de um tarugo �xo no referencial S' e de como esse comprimento seria vistodesde o referencial S. Sejam 2 eventos, inicial e �nal T , que representam o comprimento Lode um tarugo colocado ao longo do eixo Ox0 como indicado na Fig.5.9, com as coordenadas = (0; 0; 0; 0)S = (0; 0; 0; 0)S0 (5.51)T = (Lo; 0; 0; 0)S0 (5.52)A ponta do tarugo medida em S, simultaneamente com , tem que estar ao longo de t = 0.A linha tracejada (iso-espa�co) que passa pelos pontos T e M representa o lugar dos pontos


Figura 5.10: Expans~ao do tempocom a mesma posi�c~ao espacial, do ponto de vista de S', isto �e, representa a distancia Lonesse referencial. Do ponto de vista de S por�em, o ponto que est�a na mesma posi�c~ao que oT �e o R (colocado na sua pr�opria linha iso-espa�co) e n ao o M . Isso quer dizer que, visto noreferencial S, o comprimento em quest~ao �e xR = L. Assim podemos calcular, utilizando asTransforma�c~oes de Lorentz e, em particular, as Eqs.(5.42) e (5.45):L = xR = (x0R + V t0R) (5.53)tR = (t0R + x0RV=c2) = 0) t0R = �x0RV=c2 (5.54)que substituida na primeira equa�c~ao �ca:L = x0R(1� V 2=c2) (5.55)mas como, no referencial S, os pontos R e T representam a mesma posi�c~ao, podemos sub-stitu��r x0R por x0T = Lo na Eq.(5.55), resultando assimL = Lo (1� V 2=c2)Isso mostra que, o comprimento Lo (no referencial S'), quando visto no referencial S, �e menore igual aL = Loq1� V 2=c2 (5.56)5.4.3 Expans~ao do tempoUm racioc��nio similar ao desenvolvido acima para o comprimento, pode ser realizado parao tempo. Na Fig.5.10 est�a indicado um intervalo de tempo entre os eventos e T medidosem S' = (0; 0; 0; 0)S0 = (0; 0; 0; 0)S (5.57)e T = (0; 0; 0; t0T )S0 (5.58)

5.4. TRANSFORMAC� ~AO DE LORENTZ 51Tra�cando a linha equi-tempo que passa por T no sistema S', cruzamos o eixo Ot noponto N . Todos os pontos sobre a linha N �T s~ao simult�aneos no sistema S' o que signi�caque ao considerar o intervalo de tempo � N em S, estarei medindo o intervalo em S' nomeu sistema S. Mas o evento que eu preciso considerar n~ao �e qualquer um simult�aneo comT em S' mas somente aquele que ocorre na mesma coordenada em S', ou seja apenas T queequivale a R e n~ao a N no sistema S. Por isso o evento que ocorre em S' num intervalo �N(medido em S) na verdade corresponde o intervalo �R que �e maior. O tempo pr�oprio emS' maior quando visto em S. N = (0; 0; 0; tN)S (5.59)que �e simultaneo com T no sistema S'. Mas os eventos T e R = (0; 0; 0; tR)S s~ao simultaneosem S, e por isso: tR = (t0T + 0V=c2) = t0T (5.60)ou escrito de forma geral chamando � ao tempo \pr�oprio" e t ao tempo visto do outroreferencial +t = � (5.61)5.4.4 Efeito DopplerNo esquema da Fig5.11 uma fonte luminosa est�a �xa em S e emite um raio na dire�c~aode S' no instante tD (evento D) que atinge o referencial S' no instante tG (evento G). Aotranscorrer um per��odo Tfonte da onda luminosa, no instante tE = tD + Tfonte (evento E),emite outro raio que atinge S' no instante tF (evento F). Nessas condi�c~oes se veri�cac(tG � tD) = L+ V tG c(tF � tE) = L+ V tF (5.62)Tfonte � tE � tD Tobs � tF � tG (5.63)+Tobs = Tfonte 11� V=c (5.64)onde Tobs representa o tempo transcorrido entre o primeiro e o segundo pulso atingirem oreferencial S' em movimento, visto desde S. Em fun�c~ao da expans~ao do tempo representadapela Eq.(5.61), o per��odo medido no pr�oprio referencial S' ser�a ent~ao � 0obs = Tobs ) � 0obs = �fonteq1� V=cq1 + V=c (5.65)O mesmo experimento se pode repetir considerando-se agora a fonte em movimento (seafastando) em S e o observador �xo em S'. Os c�alculos s~ao semelhantes


Figura 5.11: Efeito Doppler: fonte emrepouso e observador se afastando comvelocidade V

Figura 5.12: Efeito Doppler: fonte seafastando com velocidade V e obser-vador em repouso.

5.4. TRANSFORMAC� ~AO DE LORENTZ 53c(t0G � t0D) = V t0D + L0 c(t0F � t0E) = V t0E + L0 (5.66)T 0fonte � t0E � t0D T 0obs � t0F � t0G (5.67)+T 0obs = T 0fonte(1 + V=c) (5.68)+ �fonte = T 0fonte = T 0obs=(1 + V=c) (5.69)+�fonte = � 0obsq1 + V=cq1� V=c (5.70)5.4.5 Efeito Doppler TransversalEste efeito n~ao existe na teoria cl�assica mas sim na Teoria da Relatividade. Apesar den~ao haver varia�c~ao nos comprimentos neste caso, existe a transforma�c~ao do tempo pr�opriorepresentada pela Eq.(5.61). Isso signi�ca que �fonte = T 0obs (5.71)+� 0obs = �fonteq1� V 2=c2 (5.72)5.4.6 Soma de velocidadesQual �e a transforma�c~ao de velocidades na Teoria de Relatividade? Isto �e: Como se faz atransforma�c~ao? v0x ) vxv0y ) vyv0z ) vzS0 ) S (5.73)Sejam os eventos X1 = (x1; y1; z1; t1)S = (x01; y01; z01; t01)S0 (5.74)X2 = (x2; y2; z2; t2)S = (x02; y02; z02; t02)S0 (5.75)Utilizando as Transforma�c~oes de Lorentz, descritas nas Eqs.(5.38-5.45), teremosx = (x0 + V t0) (5.76)y = y0 (5.77)z = z0 (5.78)t = (t0 + V x0=c2) (5.79)


Figura 5.13: Colis~ao en-tre duas part��culas de igualmassa e igual velocidade,vista de um sostema de re-ferencia em repouso.Figura 5.14: Colis~ao descri-ta na Fig.5.13 mas agoravista de um sistema de re-ferencia S se movendo para�a esquerda com a mesma ve-locidade que a da compo-nente horizontal da veloci-dade da massa de cima na�gura anterior.

Figura 5.15: Colis~ao descri-ta na Fig.5.13 mas agoravista de um sistema de re-ferencia S' se movendo para�a direita com velocidade u =V cos� visto do referencialS.Calculando os intervalos�x = x2 � x1 �x0 = x02 � x01 etc. (5.80)�x = (x02 + V t02)� (x01 + V t01) = (�x0�t0 + V )�t0 (5.81)�y = �y0 (5.82)�z = �z0 (5.83)�t = (�t0 + V �x0c2 ) = (1 + Vc2 �x0�t0 )�t0 (5.84)onde o resultado �nal �evx = v0x + V1 + v0xV=c2 (5.85)vy = v0y (1 + v0xV=c2) (5.86)vz = v0z (1 + v0xV=c2) (5.87)v0x = vx � V1� vxV=c2 (5.88)v0y = vy (1� vxV=c2) (5.89)v0z = vz (1� vxV=c2) (5.90)5.4.7 Massa RelativistaVamos calcular a express~ao relativistica para a massa Sejam duas massas de igual valorcolidindo no plano como representado na Fig.5.13. Essa colis~ao �e agora representada nosistema referencial S na Fig.5.14, que se move �a esquerda com a mesma velocidade que ada componente horizontal da velocidade da massa vinda de cima. Neste caso �e obvio que a

5.4. TRANSFORMAC� ~AO DE LORENTZ 55quantidade de movimento linear se conserva na coordenada x. Mas, o que ocorre ao longode y?. Para isso precisamos calcular a componente de V na dire�c~ao yu tan� = V sin� (5.91)Se mudamos para um outro referencial S', illustrado na Fig.5.15, e que se move, em rela�c~ao�a S, para a direita e com velocidade u, teremos a nova representa�c~ao na Fig.5.15. Porquest~ao de simetria, o que era w no referencial S agora �e u tan� neste novo referencial S'.Podemos assim utilizar a transforma�c~ao relativistica da velocidade vy = w no referencial Spara v0y = u tan� no referencial S' utilizando a Eq.(5.89) onde a velocidade do referencialS' em rela�c~ao ao S �e u: u tan� = w = wq1� u2=c2u tan� = wq1� u2=c2 (5.92)Escreveremos ent~ao a conserva�c~ao da quantidade de movimento linear no eixo y no referencialS igualando os valores antes e depois da colis~ao respectivamente assim:mww �mV u tan� = �mww +mV u tan� (5.93)2mww = 2mVwq1� u2=c2 (5.94)mw = mVq1� u2=c2 (5.95)Considerando que V 2 = u2 + (u tan�)2 = u2 + w2(1� u2=c2) (5.96)limw!0V 2 = u2 (5.97)a Eq.(5.95) �ca m0 = muq1� u2=c2 (5.98)ou seja mu = m0p1�u2=c25.4.8 Energia RelativistaSupondo uma part��cula se movendo ao longo do eixo x com velocidade v~F = d~pdt = dmo ~vdt (5.99)energia cin�etica: dEc = ~F :d~x = d(mo v)dxdt (5.100)Ec = Z vv=0 vd( movq1� v2=c2 ) = mo Z v0 vdv(1� v2=c2)3=2 (5.101)= moc2( 1q1� v2=c2 � 1) = moc2 �moc2 (5.102)energia total: E = mo c2 (5.103)energia em repouso: Eo = moc2 (5.104)momento linear: p = mo v (5.105)

56 CAP�ITULO 5. RELATIVIDADE ESPECIAL[?]Podemos achar as seguintes rela�c~oes entre as quantidades acimap2c2 = m2o1� v2=c2v2c2 (5.106)E2o = m2oc4 (5.107)+m2o1� v2=c2v2c2 +m2oc4 1� v2=c21� v2=c2 = m2oc41� v2=c2 (5.108)+E2 = E2o + (pc)2 (5.109)

Cap��tulo 6F��sica Quantica: Os primeirosexperimentos e o modelo atomico deBohr6.1 Os primeiros experimentos6.1.1 Efeito foto-el�etrico: Einstein (1905)Figura 6.1: Efeito fotoel�etrico: A �gura da esquerda mostra o esquema simpli�cado do experimen-to. Aplica-se uma diferen�ca de potencial el�etrico V entre c�atodo e anodo, sendo aquele primeiroiluminado com luz de freq�uencia � e intensidade I. Mede-se a corrente el�etrica i que circula nocircuito, em fun�c~ao de V . A �gura no centro mostra o gr�a�co da corrente el�etrica no circuitoem fun�c~ao do potencial aplicado, para diferentes intensidades Ij da luz de freq�uencia �. Todas ascurvas mostram o mesmo potencial de \corte" V0. A �gura da direita mostra o gr�a�co do potencialde corte V0 para ilumina�c~oes com diferentes freq�uencias �, onde aparece a \freq�uencia de corte" �0Em 1905 Einsten propos o \quanta de luz" ou \f�oton" com energiaE = h�onde h �e a constante de Planck. O momento do f�oton poderia ser calculado a partir daexpress~ao acima e da rela�c~ao relativ��stica [?]E2 = E20 + (pc)2onde E �e a energia total e E0 �e a energia em repouso, associada �a massa em repouso.57

58CAP�ITULO 6. F�ISICA QUANTICA: OS PRIMEIROS EXPERIMENTOS E OMODELOATOMICO DE BOHRColocando E0 = 0 na equa�c~ao acima, porque o f�oton n~ao tem massa, �ca a express~aoE = pc E = h� ) p = h=� (6.1)Essa proposta foi originada nos experimentos de efeito fotoel�etrico, esquematicamente ilustra-dos na Fig.6.1, que mostraram que, para arrancar um el�etron de uma superf��cie, �e necess�arioque ela seja iluminada com luz de freq�uencia maior que um dado limiar �0, independente-mente da intensidade I dessa ilumina�c~ao. Os resultados podem ser resumidos assim:� A corrente i aumenta quando aumenta a intensidade da luz I� Existe um potencial reverso �V0 que corta a corrente i para um dado � e qualquer I� Existe um limiar �0 abaixo do qual n~ao h�a mais corrente i, para qualquer I.� N~ao h�a qualquer atraso entre a ilumina�c~ao da superf��cie e a circula�c~ao da corrente i:a energia n~ao se acumula para chegar ao limite necess�ario para arrancar um el�etronOs resultados acima podem ser descritos pela equa�c~aoh� = �+ V0 (6.2)fun�c~ao de trabalho da superf��cie: �energia cin�etica dos el�etrons ejetados: V06.1.2 Efeito Compton (1923)

Figura 6.2: Esquema do experimento de Compton (�gura da esquerda), onde os raios X espalhadospelo bloco de gra�te tem o mesmo comprimento de onda � que o do feixe incidente, mas tamb�emapresentam raios de um comprimento de onda menor �0. A �gura da direita mostra a representa�c~aoda colis~ao do f�oton com um el�etron livre.Para explicar a presen�ca de 2 picos (em � e em �0, sendo que �0 �e fun�c~ao de �) no feixe deraios X espalhados no angulo �, no experimento de Compton ilustrado na Fig.6.2, podemosimaginar a colis~ao de um f�oton de raios X com um el�etron ligado ao �atomo (para o casode �), e com um el�etron livre dentro do material (para o caso de �0). Neste �ultimo caso,aplicando as leis de conserva�c~ao, a come�car pela da energia:

6.1. OS PRIMEIROS EXPERIMENTOS 59h� +moc2 = h� 0 + moc2q1� v2=c2 (6.3)Pela conserva�c~ao do momento linearh� = h�0 cos�+ movq1� v2=c2 cos � (6.4)0 = h�0 sin�+ movq1� v2=c2 sin � (6.5)Das Eqs(6.3-6.5) resulta a rela�c~ao�0 � � = hmoc(1� cos �) (6.6)onde h=(moc) �e o chamado \comprimento de onda de Compton". Para o caso de um el�etronligado ao �atomo, a massa do conjunto �ca muito grande e assimhmoc ! 0 e ent~ao �0 � �! 0 (6.7)o que explica a presen�ca de luz espalhada tamb�em com o mesmo comprimento � do feixeincidente.6.1.2.1 Exerc��cioProve que, no v�acuo, um f�oton n~ao pode se desintegrar espontaneamente em outros dois.Dica: veri�que a conserva�c~ao da energia e do momento neste processo.6.1.3 Radia�c~ao do Corpo NegroTrata-se do estudo da radia�c~ao do chamado Corpo Negro, isto �e, um objeto que absorvetoda a radia�c~ao que a ele chega. O modelo pr�atico �e uma cavidade com um pequeno buracopor onde sai a radia�c~ao. As paredes da cavidade s~ao mantidas a uma temperatura constanteT . Podemos imaginar que se trata de uma cavidade ressonante unidimensional com ondaseletromagn�eticas estacion�arias, com n�os nas paredes, da formaE(x; t) = Eo sin(kx) sin(!t) (6.8)Os comprimentos de onda poss��veis nessa cavidade de comprimento a s~ao:E(x; t) = Eo sin(kx) sin(!t) (6.9)

60CAP�ITULO 6. F�ISICA QUANTICA: OS PRIMEIROS EXPERIMENTOS E OMODELOATOMICO DE BOHR

Figura 6.3: Corpo negro: cavidade com umpequeno buraco e paredes a temperatura con-stante T . Figura 6.4: Corda vibrante: Cavidade resso-nante unidimensionale o n�unero de comprimentos de onda poss��veis nessa cavidade ser�a:n�=2 = a) � = 2a=n (6.10)ou � = c� = c2an (6.11)O n�umero de ondas estacion�arias poss��veis num intervalo de freq�uencia entre � e � + d�:N(�)d� ser�a d� = c2adn (6.12)dnd� = 2ac (6.13)portanto N(�) = 22ac (6.14)onde o fator \2" �e devido ao fato que cada onda tem duas polariza�c~oes poss��veis para ocampo el�etrico (ou magn�etico).6.1.3.1 Caso 3D:Para o caso 3D, N(�) toma a forma:N(�) = 8�Vc3 �2 (6.15)sendo que V = a3 �e o volume da cavidade. Se utilizamos o Teorema de Equiparti�c~ao daEnergia (teoria cl�assica da F��sica Estat��stica) para este sistema formado por m�ultiplos estadosem equil��brio t�ermico (temperatura T ), temos que a energia cin�etica m�edia (dos osciladoresnas paredes da cavidade) por unidade de volume na cavidade e por unidade de intervalo defreq�uencia deve ser N(�) vezes kBT=2. Mas a energia total dos osciladores �e o dobro daenergia cin�etica m�edia e por isso temos que multiplicar tamb�em por 2. Assim:ST (�) = 2�N(�) kBT=2 = N(�) kBT = kBT 8��2c3 f�ormula de Rayleigh-Jeans (6.16)

6.1. OS PRIMEIROS EXPERIMENTOS 61onde kB = 1:38� 10�23J=K �e a constante de Boltzman. A radia�c~ao saindo da cavidade temuma formula�c~ao algo diferente e pode se descrita pela potencia radiada por unidade de �areana Fig.?? assim: ST (�) c4 = kBT 2��2c2 (6.17)6.1.3.2 A constante de Planck (1900)Por volta de 1900 foi medida experimentalmente a radia�c~ao do Corpo Negro e os resultadosestavam em total desacordo com a Eq.(6.16), para as altas freq�uencias de onda. Planckpropos ent~ao outra f�ormula ST (�) = 8��2c3 h�eh�=kBT � 1 (6.18)O resultado de Planck se baseou na id�eia de que a energia poderia ser calculada comosoma de valores discretos �E. Para se ajustar com a curva experimental, esse �E deveriaser �E � kBT para � pequeno�E � kBT para � grandee ele ent~ao veri�cou que poderia ser escrito assim:�E = h� h = 6:63� 10�34J=s (6.19)onde essa constante h (que vem da palavra alem~a \Hohlraum" que signi�ca recinto vazio ouoco) foi um mero recurso matem�atico sem maior signi�ca�c~ao f��sica (na �epoca!!). Veri�queque o limite da Eq.(6.18) para � ! 0, efetivamente corresponde �a Eq.(6.16).Hip�oteses de Planck As paredes da cavidade podem ser representadas por conjuntos deosciladores harmonicos com todas as freq�uencias � poss��veis.� O oscilador de freq�uencia � s�o pode ter valores discretos de energiaEn = nh� com n = 1; 2; 3::: (6.20)o que signi�ca que a energia �e quantizada.� Os osciladores n~ao irradiam continuamente mas pulando de um estado estacion�ariopara outro (E1 ! E2). Nessa transi�c~ao liberam ou absorvem energia discretamente novalor E2 � E1 = �E = (n2 � n1)h� (6.21)

62CAP�ITULO 6. F�ISICA QUANTICA: OS PRIMEIROS EXPERIMENTOS E OMODELOATOMICO DE BOHRExemplo: Oscilador harmonico cl�assico Seja o caso de uma massa m = 1Kg, semovimentando sobre uma superf��cie plana e horizontal, sem atrito, sob a a�c~ao de uma molacom constante el�astica de k = 16N=m. Vamos calcular a energia desse sistema quando amola for inicialmente esticada de 1 metro: m�x + kx = 0 (6.22)+x = xo cos(2��t+ �) � = 12�qk=m � 0:64Hz (6.23)E = 12kx2o = 8J = nh� ) n � 1:89� 1034 (6.24)A conclus~ao �obvia �e que para este sistema macrosc�opico, o n�umero de \quanta" de energia�e t~ao grande que o car�ater discreto da energia �e de dif��cil detec�c~ao.6.2 Estrutura Atomica: �Atomo de BohrEm diversos experimentos ao longo do tempo foram medidos os espectros de emis~ao e deabsor�c~ao de diferentes tipos de �atomos. O �atomo de hidrogenio foi particularmente bemestudado, e seu espectro revelou-se formado por linhas discretas, agrupadas em s�eries queforam denominadas segundo os pesquisadores envolvidos nesses trabalhos assim:� S�erie de Balmer: luz vis��vel e UV (1885)que satisfaz a seguinte equa�c~ao geral:1� = R( 122 � 1n2 ) n=3,4,5... (6.25)� S�erie de Paschen: luz IV (1905)que satisfaz a equa�c~ao 1� = R( 132 � 1n2 ) n=4,5,6... (6.26)� S�erie de Lyman 1� = R( 112 � 1n2 ) n=2,3,4,5... (6.27)� S�erie de Brackett 1� = R( 142 � 1n2 ) n=5,6,7... (6.28)Onde R = 1:097 � 107/m �e a constante de Rydberg. Todas as s�eries acima tem a mesmaf�ormula�c~ao geral 1� = R( 1m2 � 1n2 ) m < n, naturais (6.29)

6.2. ESTRUTURA ATOMICA: �ATOMO DE BOHR 63Esses resultados levaram a pensar que haveria el�etrons em �orbitas de�nidas ao redor don�ucleo, e que a emiss~ao de um f�oton de um dado � ocorreria quando um el�etron deca��sseespontaneamente para um n��vel orbital de menor energia. Da mesma forma, a absor�c~ao deum f�oton de uma dada energia poderia fazer o el�etron \ascender" a uma �orbita de energiacorrespondentemente maior.6.2.1 �Atomo de Bohr(1913)O problema com o modelo atomico de um el�etron orbitando em torno de um n�ucleo (posi-tivo) �e que os el�etrons carregados eletricamente estariam constantemente acelerados em seumovimento e, de acordo com a teoria eletromagn�etica cl�assica, deveriam perder energia sob aforma de radia�c~ao eletromagn�etica. Com isto a energia mecanica do el�etron diminuiria con-stantemente e seu movimento orbital acabaria colapsando at�e o el�etron atingir o n�ucleo. Esteproblema da estabilidade do �atomo levou �a formula�c~ao de um modelo simples da estruturaatomica, baseado em dois postulados de Niels Bohr:1. Estados estacion�ariosO el�etron orbitando est�a num estado estacion�ario onde n~ao emite radia�c~ao nenhuma.S�o emite ao passar de um estado estacion�ario para um outro. Por exemplo, ao passardo 2 para o 1, emite um f�oton cujo valor �e:E2 � E1 = h�As energias nesses n��veis podem ser calculadas das leis do eletromagnetismo. A energiatotal no n��vel \n" (no �atomo de H) ser�aEn = K + U (6.30)ou seja En = mev2=2� e24�"orn (6.31)Fc = mev2=rn = e24�"or2n (6.32)onde En, K e U s~ao as energias total, cin�etica e potencial, respectivamente, e me �e amassa do el�etron. Das equa�c~oes acima resulta queEn = � e28�"orn (6.33)Por existirem evidencias experimentais de que a radia�c~ao de um �atomo est�a formadapor linhas discretas, os raios orbitais rn teriam que assumir valores tamb�em discretos.2. Quantiza�c~ao do momento angular orbital L do el�etronBohr admitiu que L s�o poderia assumir valores discretos dados por

64CAP�ITULO 6. F�ISICA QUANTICA: OS PRIMEIROS EXPERIMENTOS E OMODELOATOMICO DE BOHR

N��veis de energia para um el�etronno �atomo

L = n h2� com n = 1; 2; 3::: (6.34)Ent~ao:L = mevnrn = n h2� (6.35)Fc = mev2nrn = ( h2� )2mer3nn2 = e24�"or2n+1rn = mee2�h2"o 1n2 (6.36)r1 = h2"omee2� � 0:5�A( estado fundamental)En = � e28�"omee2�h2"o 1n2En = � mee48"2oh2 1n2 = �13:6eV 1n2 (6.37)�E interessante notar que a quantiza�c~ao do momento angular no modelo de Bohr derivadiretamente do modelo ondulat�orio para o el�etron, como formulado por De Broglie e descritono Capt.7. De fato a �orbita de comprimento 2�r para o el�etron tem de comportar um n�umerointeiro de comprimentos de onda, pois do contr�ario a m�edia temporal de sua fun�c~ao de onda�ndaria por se anular. Assim 2�r = n� � = h=p (6.38)) 2�pr = nh) L = n�h (6.39)que �e igual �a Eq.(6.34)

Cap��tulo 7F��sica quantica: Part��cula ondulat�oriaA partir das rela�c~oes E = h� = pc (7.1)p = h�=c = h=� (7.2)que j�a eram universalmente aceitas para o f�oton, De Broglie postulou, em 1924, que apart��cula tamb�em tinha natureza ondulat�oria e seu comprimento de onda tamb�em satisfaz��aa rela�c~ao na Eq.(7.2). Vejamos os valores que resultam da aplica�c~ao destas id�eias para algunscasos reais:� El�etron com energia cin�etica de 120 eV:K = mv2=2) p = mv = p2mK (7.3)= q2� (9:11� 10�31)� 120� (1:6� 10�19) = 59:1� 10�25Kgm=s (7.4)+ (7.5)� = h=p = 6:63� 10�34=59:1� 10�25 = 1:12� 10�10m (7.6)� Bola com m=1 Kg e velocidade v=1 m/s:p = 1Kgm=s) � = 6:63� 10�34=1Kgm=s = 6:63� 10�34m (7.7)Momento de um f�oton: Qual seria a potencia de um feixe laser (� = 514:5nm)focalizado num pr�oton, capaz de levantar ele contra o campo gravitat�orio na Terra?7.1 Car�ater ondulat�orio do el�etronDois experimentos con�rmaram as id�eias de De Broglie sobre a natureza ondulat�oria daspart��culas:� O experimento de G.P.Thomson em 1927Thomson fez um experimento de difra�c~ao de alum��nio em p�o utilizando raios X e depoisoutro utilizando um feixe de el�etrons com uma energia tal que o comprimento de ondafosse igual �a dos raios X do experimento anterior. A �gura de difra�c~ao resultou identicaem ambos os casos! 65

66 CAP�ITULO 7. F�ISICA QUANTICA: PART�ICULA ONDULAT�ORIA

Figura 7.1: Experimento de Davisson-Germer, usando um cristal de Ni, com d = 0:91�A.� Experimento de Davisson-GermerFizeram um experimento de difra�c~ao em um cristal de Ni, utilizando um feixe deel�etrons. Quando a energia do feixe era de 54 eV e o cristal estava posicionado comos planos cristalinos fazendo 65o com o feixe de el�etrons, como indicado na Fig.7.1, ocomprimento de onda medido pela difra�c~ao de Bragg�medido = 2d sin 65o = 1:65� 10�10m (7.8)e o calculado pela f�ormula de De Broglie�calculado = 6:63� 10�34q2� (9:11� 10�31)� 54� (1:6� 10�19) = 1:67� 10�10m (7.9)resultaram muito pr�oximos.7.2 A fun�c~ao de ondaObservemos o caso de ondas estacion�arias numa corda presa pelos dois extremos, comoilustrado na Fig.7.2. Imaginando o mesmo caso para a luz, podemos obter resultado semel-hante, como ilustrado na Fig.7.3, formado pela soma de duas ondas de luz contra-propagantesdo tipo: E = <fEo ei(kx� !t+ ') + Eo ei(kx + !t) g (7.10)) E = Eo cos(kx� !t+ ') + Eo cos(kx+ !t) (7.11)= Emax cos(!t� '=2) (7.12)onde Emax = 2Eo cos(kx + '=2) (7.13)com as seguintes condi�c~oes limites:

7.2. A FUNC� ~AO DE ONDA 67

Figura 7.2: Modos de vibra�c~ao de umacorda presa nas extremidades. Somenteondas estacion�arias podem se instalarna corda nesse caso, e elas est~ao carac-terizadas por um conjunto discreto decomprimentos de onda � = 2L=n comn = 1; 2; 3:::: quantiza�c~aoFigura 7.3: Amplitude do campoel�etrico da luz numa cavidade resso-nante, onde, como no caso da cor-da, podem-se estabelecer ondas eletro-magn�eticas estacion�arias. O caso aquirepresentado corresponde ao modo deoscila�c~ao com a freq�uencia mais baixa.

Emax = 2Eo cos(kx+ '=2) = 0 para x = 0) '=2 = �=2 (7.14)= cos(kx+ '=2) = 0 para x = L) kL = n� (7.15)A probabilidade de detectar um f�oton em qualquer ponto da cavidade �e proporcional �aintensidade, ou seja a E2max, como ilustrado na Fig.7.4

Figura 7.4: Intensidade do campoel�etrico da luz numa cavidade resso-nante, correspondente �a Fig.7.3. Figura 7.5: Fun�c~ao de onda de umel�etron num po�co de potencial in�nito,correspondente a n=1.7.2.1 Fun�c~ao de onda de um el�etronSeja um �unico el�etron con�nado num po�co de potencial in�nito como ilustrado na Fig.7.5.Podemos generalizar as conclus~oes sobre o caso das ondas eletromagn�eticas, para o caso

68 CAP�ITULO 7. F�ISICA QUANTICA: PART�ICULA ONDULAT�ORIAdo el�etron, cuja natureza ondulat�oria permitir��a de�nir uma fun�c~ao de onda associada (x).Como no caso do f�oton, a probabilidade de se encontrar o el�etron em algum lugar entre x=0 ex=L, estaria relacionada com a densidade de probabilidade j (x)j2. Essa fun�c~ao geralmentese escreve em forma normalizada, o que signi�ca que deve satisfazer a condi�c~ao:Z x=Lx=0 j (x)j2dx = 1 (7.16)7.2.2 Estados permitidos para o el�etron con�nadoA energia total neste caso �e apenas cin�etica e se calcula em fun�c~ao do seu momento linear pE = p22m (7.17)Pelo postulado de De Broglie temos que p = h� (7.18)sendo que por se tratar de uma cavidade limitada, teremos ondas estacion�arias com valoresdiscretos para �:

N��veis de energia para um el�etroncon�nado num po�co de potencialin�nito

� = 2Ln (7.19)+p = h2Ln (7.20)+E = n2 h28mL2 = En; (7.21)n = 1; 2; 3:::Fazendo n = 1 obtemos a energia do estado fundamental do el�etron, que �e tamb�em aenergia do ponto zero E1 = h28mL2 (7.22)Conclui-se disto que a energia do el�etron no po�co n~ao pode ser nula e, portanto, o el�etronn~ao pode estar em repouso dentro do po�co.

7.3. EQUAC� ~AO DE SCHR �ODINGER (1925) 697.3 Equa�c~ao de Schr�odinger (1925)A equa�c~ao de Schr�odinger descreve a fun�c~ao de onda de uma part��cula de massa m sujeitaa for�cas originadas de uma energia potencial U(x; y; z). Ela se origina da rela�c~ao geral deconserva�c~ao de energia, das hip�oteses de De Broglie sobre o car�ater ondulat�orio da part��culae da formula�c~ao da fun�c~ao de onda, como descrito embaixo.Conserva�c~ao da energia: A formula�c~ao de Schr�odinger �e n~ao relativ��stica, raz~ao pela quala energia total E corresponde �a soma da energia cin�etica K e da energia potencial UE = K + U (7.23)K = p22m momento linear: pHip�oteses de De Broglie (vide Eqs.(7.1) e (7.2)):E = h� = �h!p = h=� = �hkonde k � 2�=� e �h � h2�Formula�c~ao da fun�c~ao de onda:(~r; t) = �(~r) ei~k:~r � i!t (~r) � �(~r) e�i~k:~r (7.24)Substituindo E = �h! e K = p2=(2m) = �h2k2=(2m) na Eq.(7.23) temos�h! = �h2k22m + U (7.25)Podemos escrever tamb�em ! = i 1 @@t (7.26)k2 = � 1r2 para r�(~r)� k (7.27)onde a condi�c~ao imposta na Eq.(7.27) signi�ca que a amplitude deve variar muito maislentamente que a fase. Substituindo agora as Eqs.(7.26) e (7.27) na Eq.(7.25) resulta: � �h22mr2 + U!(x; y; z; t) = �i�h @@t(x; y; z; t) (7.28)A Eq.(7.28) pode ser escrita tamb�em em termos da parte independente do tempo (~r) assimH = E (7.29)(7.30)

70 CAP�ITULO 7. F�ISICA QUANTICA: PART�ICULA ONDULAT�ORIAonde o operador Hamiltoniano do sistema �e:H � � �h22mr2 + U (7.31)A Eq.(7.29) tem solu�c~ao apenas para alguns valores discretos de E que s~ao os+n��veis de E quantizados ou autovalores de energiaPara que j (x)j2 continue tendo o signi�cado de \densidade de probabilidade" �e necess�ariopoder normalizar essa fun�c~ao de onda, ou seja, deve ser poss��vel fazerZ j (x)j2dx = 1 (7.32)em todo o espa�co onde (x) esta de�nida.7.3.1 Estados estacion�arios7.3.1.1 El�etron livre num po�co de potencial in�nitoFigura 7.6: Po�co de potencial in�nito com os limites �L=2 e +L=2.Vamos repetir o c�alculo da fun�c~ao de onda para um el�etron con�nado num po�co depotencial in�nito, agora utilizando o formalismo derivado da equa�c~ao de Sch�odinger, queneste caso assume a forma: � �h22m d2dx2 (x) = E (x) (7.33)com U = 0 dentro da cavidade. Uma solu�c~ao poss��vel seria = A sin kx (7.34)+� �h22m(�k2)A sin kx = EA sin kx (7.35)+E = �h2k22m (7.36)

7.3. EQUAC� ~AO DE SCHR �ODINGER (1925) 71Deve ser (x) = 0 para jxj > L=2 (7.37)e por continuidade deve ser tamb�em (�L=2) = (L=2) = 0 (7.38)+kL=2 = n� n = 1; 2; 3:::: (7.39)O valor n = 0 n~ao nos conv�em pois leva �a solu�c~ao trivial = 0 para qualquer x. Substituindoa Eq.(7.39) na Eq.(7.36) temos os n��veis de energia permitidos:En = 2�h2�2mL2 n2 = �h22m(�L)2(2n)2 (7.40)Outra solu�c~ao poss��vel (x) = B cos kx (7.41)+E = �h2k22m (7.42)com as condi�c~oes de contornocos(kL=2) = 0 ) kL=2 = (2n� 1)�=2 (7.43)+kL = (2n� 1)� (7.44)Substituindo a Eq.(7.44) na Eq.(7.42), resulta:En = �h22m(�L)2(2n� 1)2 (7.45)Solu�c~ao geral Considerando as duas solu�c~oes achadas nas 2 se�c~oes anteriores temos umasolu�c~ao geral (x) = A sin kx +B cos kx (7.46)+� �h22m d2dx2 (x) = E (x) (7.47)+E = k2�h22m (7.48)Considerando as condi�c~oes de contorno: (�L=2) = (L=2) = 0 (7.49)


Figura 7.7: Simetria das solu�c~oes para n = 1 e n = 2 : Par para B cos kx �a esquerda e ��mparpara A sin kx �a direita. +A sin(�kL=2) +B cos(�kL=2) = 0A sin(kL=2) +B cos(kL=2) = 0 ) 2B cos(kL=2) = 02A sin(kL=2) = 0 (7.50)Temos assim 2 grupos de solu�c~oes poss��veis, sendo que uma �eA = 0) kL=2 = (2n� 1)�=2) k = �L(2n� 1) (7.51)enquanto a outra �e B = 0) kL=2 = n� ) k = �L2n (7.52)Considerando os dois casos poss��veis, acima, temos a solu�c~ao geral:+k = �Lnpara qualquer n (par ou ��mpar). A energia quantizada poss��vel para o el�etron con�nado ser�aent~aoEn = �h2�22mL2n2 com n = 1; 2; 3::: (7.53)em acordo com o resultado anteriormente achado na Eq.(7.21).Simetria das solu�c~oes A solu�c~ao geral encontrada para o el�etron con�nado, na sec.7.3.1.1,tem uma parte com simetria par e outra com simetria ��mpar, como ilustrado na Fig.7.7Exemplo Seja um el�etron con�nado numa cavidade L e no estado par de energia maisbaixa. Ache a constante de normaliza�c~ao B e determine a probabilidade de que o el�etron seencontre entre �L=2 e L=4.

7.3. EQUAC� ~AO DE SCHR �ODINGER (1925) 73Figura 7.8: C�alculo gr�a�co daprobabilidade do el�etron se encon-trar entre �L=2 e L=4, para umasolu�c~ao ��mpar no n��vel de ener-gia mais baixo: ( �Area hachura-da)/ (�area total) = 0.75, igual aoc�alculo anal��tico.Pelos resultados da sec.7.41 temos que deve ser kL = (2n� 1)� (7.54)Para o n��vel de energia mais baixo (n = 1)) kL = � (7.55)+ (x) = B cos(�x=L) (7.56)Condi�c~ao de normaliza�c~ao: Z L=2�L=2 j (x)j2dx = 1 (7.57)+B2 Z L=2�L=2 cos2(�x=L)2dx = 1 (7.58)Mas Z L=2�L=2 cos2(�x=L)dx = 12 �x + L2� sin 2�xL �L=2�L=2 = L=2 (7.59)Portanto Z L=2�L=2 j (x)j2dx = B2L=2 = 1) B = q2=L (7.60)A probabilidade ent~ao ser�a calculada assimP = Z L=4�L=2 j (x)j2dx = 3=4 + 1=(2�) � 0:909 (7.61)7.3.1.2 Outro exemploVeri�car que para o problema anterior, no caso de uma solu�c~ao impar, ter��amos:� B = q2=L� P=0.75como se pode veri�car gra�camente na Fig.7.8.


Figura 7.9: Interferencia de el�etrons no experimento das Fendas de Young, mostrando adensidade de probabilidade j j2 em fun�c~ao da posi�c~ao sobre o anteparo depois das fendas: �Aesquerda, com uma s�o fenda; �a direita, com as duas fendas abertas.7.3.1.3 Superposi�c~ao e interferenciaNo experimento das Fendas de Young com el�etrons, as fun�c~oes A e B s~ao solu�c~oes difer-entes representando estados diferentes. A primeira representa a fun�c~ao de onda do el�etron(relacionada com a densidade probabilidade de o el�etron ser achado numa posi�c~ao no planode observa�c~ao) correspondente �a fenda A. Idem para B em rela�c~ao �a fenda B. A solu�c~aogeral seria a combina�c~ao linear = CA A + CB B (7.62)A intensidade (ou densidade de probabilidade) com as 2 fendas abertas seria ent~ao:IA = j Aj2 s�o a fenda A aberta (7.63)IB = j Bj2 s�o a fenda B aberta (7.64)I = j j2 = j A + Bj2 (7.65)= 12 j Aj2 + 12 j Bj2 + [ A �B + �A B] (7.66)sendo o termo entre colchetes o \termo de interferencia".7.3.1.4 TunelamentoPara calcular a fun�c~ao de onda de uma part��cula com energia total E, colidindo contrauma barreira de potencial Uo > E como indicado na Fig.7.10 utilizaremos a equa�c~ao deSchr�odinger � �h22m d2 dx2 + Uo = E (7.67)+(Uo � E) = �h22m d2 dx2 (7.68)Para Uo > E a solu�c~ao n~ao �e mais oscilat�oria, mas da forma:

7.3. EQUAC� ~AO DE SCHR �ODINGER (1925) 75

Figura 7.10: Part��cula numa barreira de po-tencial maior que a sua pr�opria energia total. Figura 7.11: Part��cula atravessando umabarreira de potencial maior que a sua pr�opriaenergia total. (x) = Ae��x +B e�x � � q2m(Uo � E)=�h2 (7.69)Ou seja, de cada lado da barreira de potencial teremos uma solu�c~ao oscilat�oria para (x), e apenas dentro da barreira a solu�c~ao ser�a amortecida. Nas fronteiras deve havercontinuidade e por isso a solu�c~ao ter�a a forma ilustrada na Fig.7.11, com um coe�ciente detransmiss~ao em intensidade, isto �e em j (x)j2, dado porT � j (L) (0) j2 � e�2�L para �L� 1 (7.70)ExercicioDemonstre que, quando n~ao se veri�ca a condi�c~ao �L � 1 indicada na Eq.(7.70), ocoe�ciente de transmiss~ao pela barreira de potencial responde �a express~aoT =j (L) (0) j2= 11 + e�L� e��L16(E=U0)(1�E=U0) (7.71)7.3.1.5 Tunelamento da luz: Re ex~ao total frustrada

Figura 7.12: Tunelamento da luz num ex-perimento de re ex~ao total frustrada (FTR):Quando a separa�c~ao d entre os dois prismasde vidro �e da ordem de, ou menor que 1=�,na Eq.(7.80), algo de luz se transmite, devido�as ondas evanescentes que se formam do ladodo ar, na re ex~ao total no primeiro prisma.

76 CAP�ITULO 7. F�ISICA QUANTICA: PART�ICULA ONDULAT�ORIAAs ondas evanescentes [?] s~ao um bom exemplo de tunelamento, desta vez da luz numainterface no fenomeno de refex~ao total. As luzes incidente, re etida e transmitida na interfaceda Fig.7.12 escrevem-se, respectivamenteEi = Eoi ei(~ki:~r � !t) (7.72)Er = Eor ei(~kr:~r � !t) (7.73)Et = Eot ei(~kt:~r � !t) (7.74)A express~ao para a luz transmitida ser�a~kt:~r = ktx sin�+ kty cos� (7.75)= ktx sin�+ ktyq1� sin2 � (7.76)= ktx sin�+ ktyq1� n2 sin2 � (7.77)onde � �e o angulo de refra�c~ao (que na Fig.7.12 corresponde ao ar) e � �e o angulo de incidenciaque neste caso corresponde ao vidro. Para o caso de � > �c onde �c �e o angulo cr��tico dere ex~ao total, teremos ~kt:~r = ktx sin�+ iktyqn2 sin2 � � 1 (7.78)+Et = Eot ei(k1x� !t) e��jyj (7.79)k1 = kt sin� = ki sin � e � = qn2 sin2 � � 1 para � > �c (7.80)Aplicando os resultados das Eqs.(7.79-7.80) ao caso da Fig.7.12, e considerando queIo = jEot j2 It = jEtj2 (7.81)calculamos o coe�ciente de transmiss~ao neste caso como sendoT = e�2�d (7.82)Exemplo de tunelamento: Uma emenda defetuosa entre dois cabos de cobre, nov�acuo, deixou um pequeno espa�camento D entre ambos. Sabendo que a fun�c~ao de trabalho(energia necess�aria para arrancar um el�etron do metal) para o cobre �e de 4.6eV, calcule ovalor m�aximo de D para que, ao se aplicar uma diferen�ca de potencial de 4V nessa emenda,99% dos el�etrons possam atravess�a-la. Para o caso presente �e necess�ario utilizar a f�ormulaexata (veri�que que est�a correta!) (D) = (0)r1 + e�D � e��D16(E=Uo)(1�E=Uo) sendo � � q2m(Uo � E)�hque relaciona as fun�c~oes de onda para o el�etron no inicio (0) e no �nal (D) da barreira,sendo que E �e a energia do el�etron e Uo �e a altura da barreira.

7.3. EQUAC� ~AO DE SCHR �ODINGER (1925) 777.3.2 Estados n~ao estacion�ariosPara o caso de uma part��cula se propagando livremente no espa�co, sua equa�c~ao de onda �eda forma (x; t) = Aei(kx� !t) (7.83)cuja velocidade de fase e de grupo s~ao respectivamenteu = !=k (7.84)ug = d!dk (7.85)Sabendo que ! = E=�h, E = p2=(2m) e p = k�h podemos escrever! = k2�h2m (7.86)Substitu��ndo a express~ao acima na Eq.(7.85) obtemosug = k�hm = p=m = v = 2u (7.87)onde v �e a velocidade da part��cula. O resultado acima signi�ca:� A fun�c~ao de onda apresenta dispers~ao, isto �e, sua velocidade varia com k, como nocaso da luz se propagando num meio material� A velocidade da part��cula n~ao �e a mesma que a velocidade de fase de sua onda associadamas a da velocidade de grupo que, neste caso, �e o dobro da velocidade de fase.� A existencia de ug 6= u signi�ca que n~ao estamos em presencia de uma onda harmonicamas de um pulso, formado por um conjunto grande de ondas harmonicas com diferentesks ao redor de um valor central.Em conclus~ao podemos dizer que uma part��cula est�a associada a um pulso e n~ao a uma ondacomo a representada em Eq.(7.83.7.3.2.1 Densidade de corrente de probabilidadeO que signi�ca ent~ao a Eq.(7.83)? Se escrevemos a probabilidade na forma usualjAj2 Z 1�1 jj2dx = jAj2 Z 1�1 dx = 1 (7.88)temos que concluir que jAj2 = 0, o que n~ao faz muito sentido. Temos ent~ao que encontraroutra formula�c~ao para este caso. Vamos escrever� � � (7.89)@�@t = �@@t + @�@t (7.90)

78 CAP�ITULO 7. F�ISICA QUANTICA: PART�ICULA ONDULAT�ORIAMas da Eq.(7.28) podemos concluir que@@t = �i�h [� �h22m@2@x2 +U ] (7.91)que substitu��da na express~ao acima resulta em@�@t = � �hi2m [�@2@x2 � @2�@x2 = � �hi2m @@x [�@@x �@�@x ] (7.92)= � @@xj (7.93)j � �hi2m @@x [�@@x �@�@x ] (7.94)A express~ao acima pode ser escrita como@�@t + @j@x = 0 (7.95)que �e a formula�c~ao unidimensional de expres~ao geral@�@t +r:~j = 0 (7.96)e que representa a conserva�c~ao da \probabilidade" onde � = � �e a densidade de proba-bilidade e \~j" �e a \densidade de corrente de probabilidade".Densidade de corrente de probabilidade para uma fun�c ao de onda monocrom�aticaPara o caso de uma onda propagante como representada na Eq.(7.83), a express~ao de j emEq.(7.94) resulta ser j = j(x; t)j2k�hm = � v (7.97)7.4 Principio de IncertezaQuanto mais curto o pulso de luz, mais policromatica (menos pura �ca sua freq�uencia) a luz�ca. Um laser emitindo em � = 850nm �e \choppado" com uma freq�uencia de 1010Hz paraformar pulsos a com prop�ositos de telecomunica�c~oes. Qual vai ser a largura espectral (��)aproximada desses pulsos?7.5 Po�co de potencial in�nitoUm el�etron num po�co (monodirecional) de potencial in�nito, de 10nm de comprimento, est�ano seu estado de energia mais baixo. Qual seria a energia do f�oton necess�ario para excit�a-loat�e o pr�oximo nivel de energia no po�co?7.6 Princ��pio de IncertezaVeremos que, em decorrencia do car�ater ondulat�orio das part��culas em geral, existe umarela�c~ao de incerteza envolvendo certas grandezas da part��cula, tais como a posi�c~ao e o mo-mento linear, ou a energia e a localiza�c~ao temporal dessa part��cula.

7.6. PRINC�IPIO DE INCERTEZA 79

Figura 7.13: Princ��pio de incerteza na difra�c~ao de um el�etron7.6.1 Incerteza no momento linearNa Fig.7.13 �e descrito um experimento de difra�c~ao de um feixe de el�etrons cujo comprimentode onda est�a dado pela Eq.(7.2): � = h=p. Ao difratar pela fenda de largura �y forma-seum feixe divergente onde a irradiancia da luz difratada �e fun�c~ao do angulo � (vide Fig.7.13)I = Imax sin�=2�=2 !2 onde � � 2�� y sin � (7.98)(7.99)Podemos considerar que toda a energia da onda est�a praticamente limitada �a regi~ao entre osdois primeiros m��nimos, isto �e entre �� < �=2 < �. Conseq�uentemente, a largura angularser�a �(sin �) � �� = ��y (7.100)Conseq�uentemente �pp � �� hp �y ) �py �y � h (7.101)A Eq.(7.101), que deriva diretamente da difra�c~ao, estabelece que existe uma rela�c~ao deincerteza entre a posi�c~ao e o momento linear ao longo do mesmo eixo, no caso o eixo y. Isto�e, n~ao podemos determinar com total precis~ao, ao mesmo tempo, a componente (vertical)do momento e a posi�c~ao (vertical) do el�etron ao longo da mesma coordenada espacial. Issovale para qualquer outra dire�c~ao. Considerando que o termo �a esquerda na Eq.(7.101) tem

80 CAP�ITULO 7. F�ISICA QUANTICA: PART�ICULA ONDULAT�ORIAdimens~ao de momento angular e que unidade desta quantidade �e �h, podemos re-escreveraquela express~ao como �py �y � �h (7.102)7.6.2 Incerteza na energiaSeja f(t) uma fun�c~ao de onda e F (�) sua Transformada de Fourier (TF) que est~ao rela-cionadas assim f(t) = Z +1�1 F (�) ei2��t d� (7.103)F (�) = Z +1�1 f(t) e�i2��t dt (7.104)onde F (�) representa uma onda harmonica de freq�uencia �. A fun�c~ao f(t) pode ser consid-erada um pulso temporal cuja largura �t pode ser calculada segundo [?]�t = j R+1�1 f(t)dtjjf(0)j (7.105)E similarmente para a largura espectral �� desse pulso�� = j R+1�1 F (�)d�jjF (0)j (7.106)Podemos mostrar facilmente [?] que �t e �� nas Eq.(7.105) e (7.106) veri�cam a rela�c~ao�t�� 1 (7.107)Substituindo �� = �(h�)=h = �(hE)=h na Eq.(7.107) obtemos a rela�c~ao�t �E � h (7.108)o que mostra que existe uma rela�c~ao de incerteza entre a energia da part��cula E e sualocaliza�c~ao temporal determinada pela dura�c~ao �t do pulso. O sinal de \aproximado" naseqs.(7.101) e (7.108) aparecem nem tanto porque essas equa�c~oes sejam aproximadas masporque as larguras das quantidades envolvidas quase nunca s~ao calculadas de acordo com ade�ni�c~ao matem�atica correspondente.Fun�c~ao de onda de um el�etron: A fun�c~ao de onda de um el�etron, se propagando livre-mente no espa�co, tem a forma de um pulso de aproximadamante 2.8nm de comprimento eum comprimento de onda � = 86:8pm. Calcule o valor medio de sua energia e a incertezadesta.

Cap��tulo 8Equa�c~ao de Schr�odinger e o novoModelo AtomicoA equa�c~ao de Schr�odinger e o advento da nova mecanica quantica levou a um novo modelopara o �atomo, bastante diferente do modelo de Bohr. Preliminarmente, para levar em contaa massa �nitaM do n�ucleo, podemos imaginar um sistema formado por um n�ucleo de massain�nita ao redor do qual orbita um el�etron cuja massa reduzida �e de� = mMm+M (8.1)onde m �e a massa do el�etron. A energia potencial U desse sistema tem origem na atra�c~aoel�etrica entre o n�ucleo e o el�etron e est�a dada pela express~aoU(x; y; z) = � Ze24�"opx2 + y2 + z2 (8.2)onde Z �e o n�umero atomico. A energia cin�etica pode ser escrita em fun�c~ao do momentolinear K = p2x + p2y + p2z2� (8.3)Substituindo as quantidades acima na Eq.(7.29), resulta a equa�c~ao� �h22�r2 + U = E (8.4)Para aproveitar a simetria esf�erica do sistema, podemos utilizar a express~ao de r2 em coor-denadas esf�ericas [?, ?]r2 = 1r2 @@r r2 @@r!+ 1r2 sin � @@� sin � @@�!+ 1r2 sin2 � @2@'2 (8.5)e tentar achar uma solu�c~ao da forma [?] (r; �; ') = R(r)�(�)�(') (8.6)81

82 CAP�ITULO 8. EQUAC� ~AO DE SCHR �ODINGER E O NOVO MODELO ATOMICO

Figura 8.1: Coordenadas esf�ericasque substitu��da na equa�c~ao de Schr�odinger resulta em tres equa�c~oes diferenciais indepen-dentes d2�d'2 = �m2l� (8.7)� 1sin � dd� sin �d�d� !+ m2l�sin2 � = `(`(+1)� (8.8)1r2 ddr r2dRdr !+ 2��h2 (E � U(r))R = `(`+ 1)Rr2 (8.9)onde m` e ` s~ao constantes que por raz~oes hist�oricas foram colocadas na forma m2 e(q`(`+ 1) )2. A Eq.(8.7), onde deve ser �(') = �(' + 2�), ' s�o tem solu�c~ao univoca-mente de�nida para o caso jm`j = 0; 1; 2::: (8.10)onde m` �e chamado de n�umero quantico magn�etico. Da mesma forma a Eq.(8.8) s�o temsolu�c~ao �nita e cont��nua para = jm`j; jm`j+ 1; jm`j+ 2; :::: (8.11)onde ` �e chamado de n�umero quantico orbital. Finalmente a Eq.(8.9) s�o tem solu�c~ao �nitae cont��nua para valores discretos da energiaEn = � �Z2e4(4�"o)22�h2 1n2 = �13:6eVn2 Z2 (8.12)para n = `+ 1; `+ 2; `+ 3; ::: (8.13)onde n �e chamado de n�umero quantico principal. Os n�umeros acima podem ser escritos deuma forma mais conveniente assimn = 1; 2; 3:::: (8.14)` = 0; 1; 2; 3; ::::n� 1 (8.15)m` = �`;�`+ 1;�`+ 2; ::::; 0; ::::`� 2; `� 1; ` (8.16)

8.1. MOMENTO ANGULAR 838.1 Momento angular8.1.1 N�umero quantico orbitalEnquanto o signi�cado de n �e claro no sentido de que determina a quantiza�c~ao da energiatotal do �atomo, �e poss��vel demonstrar [?] que l na Eq.(8.11) representa a quantiza�c~ao novalor do momento angular L, assim:L = q`(`+ 1) �h ` = 0; 1; 2; ::::(n� 1) (8.17)A Eq.(8.17) leva a resultados diferentes dos obtidos no modelo de Bohr, representados pelaEq.(6.35) L = n�honde L n~ao pode ser zero pois n 6= 0. N~ao obstante, para n = 1, temos l = 0 e nesse caso aEq.(8.17) nos leva a L = 0, em contradi�c~ao com o modelo simples de Bohr!!8.1.2 N�umero quantico magn�etico

Momento angular ~L e sua compo-nente Lz na dire�c~ao da indu�c~aomagn�etica B.

Na presen�ca de um campo magn�etico quequebre a isotropia do espa�co, a componentede ~L ao longo desse campo (vamos dizer queseja o eixo z) tamb�em est�a quantizada e es-sa quantiza�c~ao ser�a dada justamente pelon�umero quantico magn�etico m`Lz = m` �h (8.18)m` = �`;�` + 1; :::; 0; :::`� 1; `8.1.2.1 Incerteza na posi�c~ao angularEscrevendo a Eq.(7.101) em termos da coordenada \x", resulta�x�px = h (8.19)�xr r�px = ��Lz = h (8.20)especi�cando m` sabemos exatamente que �LZ = 0 eent~ao n~ao sabemos mais nada sobre a posi�c~ao de ~L.

84 CAP�ITULO 8. EQUAC� ~AO DE SCHR �ODINGER E O NOVO MODELO ATOMICO

Figura 8.2: Momento angular ~L e magn�etico orbital ~�` de um el�etron e� numa �orbita com n�umeroquantico orbital l, e o dipolo magn�etico equivalente levando em conta a �area A e corrente i equiva-lentes (esquerda). Componente do momento magn�etico orbital �l;z na dire�c~ao da indu�c~ao magn�eticaB (direita).8.1.2.2 Momento dipolar magn�etico orbitalSeja um el�etron de massam se movendo com velocidade v e raio r numa �orbita de um modeloatomico de Bohr. Isso equivale a uma correntei = eT = ev2�r (8.21)sendo que o momento do dipolo magn�etico orbital correspondente seria�` = iA = ev2�r�r2 = evr=2 (8.22)�L = evr2 1mvr = e2m = g`�B�h (8.23)com �B � e�h2m = 9:27� 10�24(Am2) e g` = 1 (8.24)onde �B �e o \magneton" de Bohr e g` �e o \fator orbital" que corrige o valor do momentomagn�etico para �orbitas que se afastem do modelo circular ideal. Podemos escrever ent~ao~�` = �g`�B�h ~L (8.25)A rela�c~ao acima �e muito geral, independente do raio, da freq�uencia e da forma da �orbita eent~ao �` = �g`�B�h L = �g`�B�h �hq`(`+ 1) = �g`�Bq`(`+ 1) (8.26)�`;z = �g`�B�h Lz = �g`�B�h m`�h = �g`�Bm` (8.27)

8.1. MOMENTO ANGULAR 85Valores de ` e m` para cada nn 1 2 3` 0 0 1 0 1 2m` 0 0 -1,0,1 0 -1,0,1 -2,-1,0,1,2No de estados 1 1 3 1 3 5para cada `nome do orbital s s p s p destados de spin 2 2 6 2 6 10No de estados 2 8 18para cada n8.1.2.3 Precess~ao do dipolo

O torque do dipolo num campo magn�etico ~B�e ~� = ~�` � ~B (8.28)e a energia potencialU = �~�`: ~B = g`�Bm`B (8.29)e a freq�uencia de precess~ao do dipolo ao redorda dire�c~ao de ~B �e~!P = g`�B�h ~B (8.30)onde ~!P �e paralelo com ~B. Das Eqs.(8.29) e(8.30) resulta�h!P = g`�BB = �U para �m` = 1 (8.31)A

Eq.(8.30) mostra que, para um dado campo magn�eticoB, !P �e uma constante que independe,em particular, do valor de m`, isto �e, do valor da energia U . Isso signi�ca que estamos empresen�ca de um oscilador (quantico) cuja energia s�o pode variar por valores discretos de�h!P. E neste caso �e exatamente o que ocorre pois o n�umero m` n~ao varia em mais deuma unidade por vez (�m` = �1), emitindo (ou absorvendo) um quanta de energia �h!P.Esta �e a fundamenta�c~ao te�orica da espectroscopia de ressonancia paramagn�etica eletronicae, extendendo o raciocinio para os pr�otons no n�ucleo dos �atomos, tamb�em da ressonanciamagn�etica nuclear.

86 CAP�ITULO 8. EQUAC� ~AO DE SCHR �ODINGER E O NOVO MODELO ATOMICO8.1.3 N�umero quantico de spinAs evidencias experimentais (experimento de Stern-Gerlach) obtidas na d�ecada de 20 dos�eculo XX, indicaram que o el�etron possu��a um momento de dipolo magn�etico intr��nseco,independente de seu movimento orbital. Poder��amos pensar num el�etron girando sobre elemesmo e por isso tendo um momento dipolar magn�etico de spin �s, devido �a existencia deum momento angular intr��nseco S e que, como no caso de L e �`, esses parametros estejamquantizados S = �hqs(s+ 1) (8.32)Sz = �hms (8.33)onde s e ms s~ao o momento quantico de spin e o momento quantico magn�etico de spin,respectivamente. Como no caso do movimento orbital podemos escrever tamb�em~�s = �gs�B�h ~S (8.34)�s;z = �gs�Bms (8.35)onde gs �e o fator \gs" de spin. Experimentalmente concluiu-se ques = 1=2 (8.36)ms = �1=2;+1=2 (8.37)gs = 2 (8.38)Tudo o que foi dito sobre a precess~ao de um dipolo magn�etico em rela�c~ao ao momento angularorbital, pode ser repetido em rela�c~ao ao momento angular de spin.Spin e momento dipolar magn�etico: O pr�oton tamb�em tem momento angular despin e por causa do seu spin, um pr�oton num campo magn�etico ~B tem, como no caso doel�etron, um movimento de precess~ao com uma freq�uencia angular caracter��stica !P que vale!pP = gs�B�h B gs = 2magneton de Bohr para o pr�oton: �pB = e�h2mpComo exemplo compare, para um mesmo campo magn�etico, as freq�uencias de precess~ao parao spin de um el�etron e de um pr�oton:!P(el�etron)!pP(pr�oton) = mPme = 1:67� 10�279:11� 10�31 � 1833 (8.39)A energia potencial para o dipolo magn�etico de um pr�oton no campo magn�etico �eU = � ~�ps: ~Bonde ~�ps �e o momento dipolar magn�etico de spin para o pr�oton. Calcule a freq�uencia daradia�c~ao absorvida ou emitida pelo pr�oton, quando ele inverte a orienta�c~ao do seu spin, paraum campo B=1Wb/m2. Este sistema, como no caso do el�etron, tamb�em �e um osciladorquantico no sentido que ele tem uma freq�uencia de oscila�c~ao �xa (!pP ) com diferentes estadosde energia quantizados.

8.1. MOMENTO ANGULAR 87Figura 8.3: Momentos angularesde spin e orbital, acoplados eprecessionando ao redor do vetormomento angular total ~J, que porsua vez precessiona ao redor doeixo \z".ExemploOs �atomos excitados de s�odio emitem duas linhas muito pr�oximas (o dupleto de s�odio)cujos comprimentos de onda s~ao 588.995nm e 589.592nm.� Calcule a diferen�ca de energia entre os n��veis de energia respons�aveis por esses duaslinhas�E = hc( 1�1 � 1�2 ) (8.40)= 6:63� 10�34 3� 108( 10:588995 � 10:589592) 106 = 3:41� 10�22 J = 2:13 meV(8.41)� Essa diferen�ca de energia ocorre porque o momento de dipolo magn�etico de spin (quevale 1 magneton de Bohr) pode estar orientado no mesmo sentido ou em sentido opos-to ao campo magn�etico interno associado ao movimento orbital do el�etron. Use oresultado do item acima para calcular a intensidade desse campo magn�etico interno�E = 3:41� 10�22J = 2�BB �B = 9:27� 10�24Am2 ) B = 18:4 Tesla (8.42)8.1.4 Intera�c~ao spin-�orbitaOmovimento orbital do el�etron e o seu spin, ambos produzemmomentos dipolares magn�eticosassociados, que podem interagir um com o outro. Se esta intera�c~ao m�utua �e mais forte quea intera�c~ao de cada um deles com o campo externo, ent~ao aquela predomina �cando ambos(spin e momento orbital) precessionando ao redor do vetor soma que �e o momento angulartotal ~J ~J = ~L+ ~S (8.43)Neste caso �e o momento total que tem sua componente Jz quantizadaJz = mj�h (8.44)onde o m�aximo valor poss��vel para mj deve ser(mj)max = l + 1=2 (8.45)

88 CAP�ITULO 8. EQUAC� ~AO DE SCHR �ODINGER E O NOVO MODELO ATOMICO8.2 Regras de sele�c~ao para as transi�c~oes atomicaQuando um atomo �e excitado, e um el�etron passa para um nivel energ�etico mais alto, ap�os umtempo caracter��stico ele decai emitindo um foton cuja energia �e a diferen�ca de energia entreambos n��veis. Essas transi�c~oes por�em n~ao ocorrem entre quaisquer n��veis mas obedecem auma regra de sele�c~ao, originada nas medidas experimentais e depois justi�cada pela teoria.Essa regra estabelece que as transi�c~oes s�o podem ocorrer quando�mj = 0;�1 e �m` = �1 (8.46)Isso signi�ca que ao ocorrer uma transi�c~ao atomica, ocorre tamb�em uma varia�c~ao no valorde �h no momento angular (ao longo do eixo z) total no �atomo. Em fun�c~ao do principio deconserva�c~ao ent~ao, o f�oton emitido no processo dever�a ter um momento angular (ao longodesse mesmo eixo z) no valor de �h, o que foi efetivamente comprovado experimentalmente.Isso signi�ca tamb�em que os f�otons resultantes s~ao, por conta do seu momento angularintr��nseco, circularmente polarizados. �E bom lembrar que na Teor��a Eletromag�etica Cl�assica,o momento angular do campo �e uma quantidade que independe do sistema de coordenadas[?] o que est�a em perfeita harmonia com o f�oton ter um momento angular pr�oprio.8.3 Fun�c~oes de onda nos �atomosLimitar-nos-emos a descrever algumas fun�c~oes de onda para um el�etron isolado num �atomo.8.3.1 �Atomo de Hidrogenio para n = 1No modelo de Bohr para o �atomo de H, a energia potencial �e eletrost�atica e representadapor U(r) = � e24�"or (8.47)Uma solu�c~ao poss��vel para a equa�c~ao de Schr�odinger com uma energia potencial dada pelaEq.(8.47) �e [?] (r) = Ae�r=ao (8.48)+pela condi�c~ao de normaliza�c~ao: ZV j (r)j2dV = 1 (8.49)+jAj2 Z 10 e�2r=ao 4�r2dr = 4�jAj2 Z 10 e�2r=ao r2dr = 1 (8.50)(8.51)A integral da equa�c~ao acima se calcula assimZ 10 e�ax xndx = �(n+ 1)an+1 (8.52)sendo que �(n+ 1) = n! para n = 0; 1; 2:::: (8.53)

8.3. FUNC� ~OES DE ONDA NOS �ATOMOS 89+ZV j (r)j2dv = A24� 2!(2=ao)3 = 1 (8.54)+A = 1q�a3o ) (r) = 1q�a3o e�r=ao (8.55)A densidade de probabilidade radial para o el�etron �e ent~aoP (r)dr = j (r)j2dv (8.56)= 1�a3o e�2r=ao 4�r2dr (8.57)+P (r) = 4a3o r2 e�2r=ao (8.58)A Eq.(8.58) est�a gra�cada na Fig.8.4, e esse resultado mostra que n~ao h�a uma �orbita cl�assica

Figura 8.4: Probabilidade radial para a �orbita de um el�etron no �atomo de Hidrogenio, paran = 1.e bem de�nida como poderia indicar a express~ao dos n��veis de energia calculados pela teoriade Bohr. Em lugar disso existe uma regi~ao de probabilidade para a nuvem de el�etrons, comuma posi�c~ao onde a probabilidade de encontrar esse el�etron �e m�aximadP (r)dr = 8a3o r e�2r=ao � 8a3o r2ao e�2r=ao = 0 (8.59)e do resultado acima vemos que a m�axima probabilidade est�a em+r = aode acordo com o indicado na Fig.8.4.

90 CAP�ITULO 8. EQUAC� ~AO DE SCHR �ODINGER E O NOVO MODELO ATOMICO�Atomos: As energias dos estados quanticos do el�etron num �atomo de hidrogenio est~aodadas por En = � m e48"20h2 1n2 m e48"20h2 = 13:6eV (8.60)onde r �e a coordenada radial e n �e o n�umero quantico principal. Sua fun�c~ao de onda paran=1 �e (r) = 1p�R3=20 e�r=R0 (8.61)Calcule:1. O comprimento de onda da radia�c~ao capaz de ionizar o �atomo de hidrogenio no seuestado fundamental (de menor energia).2. A probabilidade de que, no estado fundamental, o el�etron se encontre numa cascaesferica de radio r = R0 � 0:1R0Dica: num intervalo pequeno, podemos aproximarZ x0+�xx0��x f(x)dx � f(x0)2�x (8.62)8.3.1.1 EnergiaSubstituindo as Eqs.(8.47) e (8.48) na Eq.(8.9), lembrando que para n = 1 deve ser ` = 0 ereagrupando termos, chegamos �a express~ao �h2mao � e24�"o! 1r � �h22ma2o = E (8.63)Sabendo que E deve ser independente de r, chegamos aos seguintes resultados: �h2mao � e24�"o! = 0) ao = 4�"o�h2me2 (8.64)E = � �h22ma2o = � m e48"20h2 (8.65)onde as express~oes para ao e para E correspondem exatamente �as formula�c~oes para rn e En,no caso n = 1, no modelo de Bohr, como indicado nas Eqs.(6.36) e (6.37), respectivamente.8.3.2 �Atomo com Z 6= 1 e n = 2Para o caso de Z 6= 1, n = 2, l = 0 e m` = 0, a fun�c~ao de onda para um el�etron (�unico) num�atomo de n�umero atomico Z �e da forma 200 = A(2� Zr=ao) e�Zr2ao (8.66)

8.3. FUNC� ~OES DE ONDA NOS �ATOMOS 91Normalizando a fun�c~ao, obtemos o valor de A assimZ +10 j j2dV = 1) A = 14p2� �Zao�2 (8.67)Substituindo a Eq.(8.66) na equa�c~ao de Schr�odinger onde a energia potencial �e [?]U = � Ze24�"or (8.68)chegamos �a express~ao� �h22m "� 4Zrao + 5Z22a2o � Z3r4a3o #� Ze24�"or (2� Zrao ) = E(2� Zrao ) (8.69)Reagrupando termos escrevemos" e2Z24�"oao � 5�h2Z24ma2o # + 1r "2�h2Zmao � Ze22�"o# + �h2Z38ma3o r = E(2� Zao r) (8.70)e considerando que a energia E n~ao pode depender de r, chegamos �as seguintes rela�c~oes" e2Z24�"oao � 5�h2Z24ma2o # = 2E (8.71)"2�h2Zmao � Ze22�"o# = 0 (8.72)�h2Z38ma3o = �E Zao (8.73)Da Eq.(8.73) se obt�em a rela�c~ao E = � �h2Z28ma2o (8.74)e da Eq.(8.72) se obt�em a express~ao para ao : 1ao = me24�"o�h2 (8.75)que substitu��da na Eq.(8.74) ou (8.71) resulta em E = �e4Z2m8"2oh2 122 ; (8.76)que �e, por sua vez, identica �a formula�c~ao de Bohr para n = 2 na Eq.(6.37). Note quea express~ao de ao na Eq.(8.75) corresponde ao raio do n��vel fundamental para n = 1 nomodelo de Bohr.8.3.2.1 ProbabilidadePara calcular a fun�c~ao densidade de probabilidade P (r) neste caso (n = 2 e l = 0), procede-mos como indicado anteriormente para se chegar �a Eq.(8.58), assim:P (r) = j 14p2� �Zao�2 (2� Zr=ao) e�Zr2ao j24�r2 (8.77)) P (r) = r28a3o (2� r=ao)2 e�r=ao (8.78)

92 CAP�ITULO 8. EQUAC� ~AO DE SCHR �ODINGER E O NOVO MODELO ATOMICOFigura 8.5: Densidade deprobabilidade radial para a�orbita de um el�etron no�atomo de Hidrogenio paran = 2 e l = 0 (m` = 0).

que foi gra�cada na Fig.8.5.

Cap��tulo 9Condu�c~ao em s�olidos9.1 S�olidosNum s�olido, as distancias entre os �atomos �e su�centemente pequena como para poder alterarsigni�cativamente as for�cas internas dentro de cada �atomo e neste caso, as propriedades damol�ecula ou �atomo pode ser signi�cativamente alterada pela resen�ca de �atomos ou mol�eculasvizinhas.Nos chamados s�olidos moleculares todos os el�etrons na mol�ecula est~ao apareados e por isson~ao podem formar liga�c~oes covalentes ou de qualquer outro tipo com as mol�eculas vizinhas.A for�ca de ligacc~ao intermolecular �e fraca e �e chamada de \van der Waals", originando-seem intera�c~ao entre dipolos. Mesmo que a mol�ecula n~ao tenha momento dipolar permanente,os momentos dipolares intant�aneos s~ao su�centes para induzir dipolos na mol�ecula vizinha eassim produzir forr�cas (fracas) de ligacc~ao. Estes s�olidos s~ao facilmente deform'aveis porquea for�ca de liga�c~ao intermolecular �e fraca e n~ao �e direcional. Por n~ao ter el�etrons livres, s~aopouco condutores de calor e de eletricidade.Os chamados s�olido i�onicos como no caso do NaCl, est~ao formados por uma rede tridi-mensional de iones positivos e negativos alternados. A for�ca intermolecular �e forte e por issos~ao duros e com alto ponto de fus~ao mas s~ao maus condutores t�ermicos e el�etricos porquen~ao tem el�etrons livres.Nos s�olidos covalentes os �tomos est~ao ligados por el�etrons ompartilhados na camadaexterna (de valencia) e como essas ligacc~oes s~ao direcionais, s~ao dif��ceis de se deformar. Porn~ao ter el�etrons livres, tamb�em s~ao maus condutores t�ermicos e el�etricos.Nesta parte vamos nos concentrar nos s�olidos met�alicos onde os ions positivos est~aoestreitamente empacotados e os el�etrons externos, que est~ao mais fracamente ligados nos�atomos individuais, est~ao compartilhados pelo conjunto dos ions, circulando livremente entreeles. A ligacc~ao entre os ions positivos �e resultado da presen�ca dos el�etrons entre eles. S~ao,obviamente, bons condutores de eletricidade e de calor.9.2 CondutividadeUm �atomo de metal tem um ou mais el�etrons desapareados na camada mais externa (valencia)e quando N desses �tomos se aproximam su�centemente, o orbital de um se superp~oe e �ecompartilhado com os dos vizinhos ao mesmo tempo que se subdivide em N subn��veis ener-geticamente muito pr�ximos, para alojar (respeitando as regras de selecc~ao) os el�etrons dos N93

94 CAP�ITULO 9. CONDUC� ~AO EM S �OLIDOSFigura 9.1: Movimento de el�etrons num condutor el�etrico, sob a�c~ao de um campo el�etrico E, onde� �e a distancia m�edia entre colis~oes.�atomos prticipantes da estrutura. No desenvolvimento matem�atico que segue veremos quea largura de cada banda contendo os N subn��veis n~ao depende do n�umero de �atomos masda distancia entre eles na estrutura. Como o n�unero N pode ser muito grande (da ordemdo n�umero de Avogdro, 1023 �atomos/mol) e a largura da banda �e �xa (de uns poucos eV),�ca evidente que a estrutura de subn��veis em cada banda �e praticamente energeticamentecontinua.A Fig.9.1 representa o movimento de um el�etron sob a a�c~ao de um campo el�etrico. Esseel�etrons tem uma velocidade m�edia, com dire�c~ao aleat�oria, por estarem em equilibrio a umatemperatura T . Sob a�c~ao de uma campo el�etrico externo E, eles sofrem um aefeito de arrasteem conseq�uencia do qual adquirem uma velocidade de arraste, pequena comparada com asua velocidade m�edia (de equilibrio t�ermico), na dire�c~ao desse campo. Vamos de�nir asseguintes quantidades: acelera�c~ao entre colis~oes: a = Ee=m (9.1)velocidade m�edia dos el�etrons: �vcaminho livre m�edio entre colis~oes �velocidade de arraste vd = at = a�=�v � �vtempo entre colis~oes: tcorrente i = snevd (9.2)densidade de corrente j = i=s = nevd = nea�=�v = ne��v Eem = ne2�m�v E (9.3)condutividade: � = j=E = ne2�m�v (9.4)) � = ne� � 0 � � vd=E (9.5)onde n �e a densidade volum�etrica de el�etrons e s a �area da se�c~ao transversal. Para os casode termos el�etrons e buracos, a condutividade �e somada assim� = neqe�e + nhqh�h (9.6)

9.3. EL�ETRON NO CAMPO PERI �ODICO DE UM CRISTAL: ESTADO S �OLIDO 95

Figura 9.2: Representa�c~ao simpli�cada (mod-elo de Kronig-Penney) do potencial el�etricoperi�odico U numa rede cristalina formada por��ons �xos e el�etrons movendo-se livremente: Es-tado s�olido. Figura 9.3: Representa�c~ao do potencial exatopara uma rede cristalina9.3 El�etron no campo peri�odico de um cristal: Estados�olidoNuma estrutura cristalina onde os �atomos est~ao estreitamente \empacotados", os el�etrons nacamada mais externa de cada �atomo (el�etrons de valencia) sofrem forte intera�c~ao dos �atomosvizinhos. O presente modelo simpli�cado [?] destina-se a descrever justamente estes el�etronsmais externos. A Fig.9.2 mostra o modelo simpli�cado do potencial peri�odico num cristal,onde se move um el�etron. O potencial per�odico est�a indicado por barreiras de potencial delargura b e altura Uo separados de uma distancia a. Se lev�assemos em conta que o potencialel�etrico varia como 1=r perto do n�ucleo atomico, a forma do potencial peri�odico seria ada Fig.9.3, mas isso �e demasiado complicado para calcular e, por isso, aceita-se o modelosimpli�cado da Fig.9.29.4 Equa�c~ao de Schr�odingerVamos escrever a equa�c~ao de Schr�odinger nas duas diferentes regi~oes indicadas na Fig.9.2.Na regi~ao I temos que U0 = 0) ��h22m d2 dx2 + 0 = E (9.7)Na regi~ao II temos U0 ) ��h22m d2 dx2 + U0 = E (9.8)Vamos de�nir as seguintes quantidades: �2 � 2m�h2 E (9.9) 2 � 2m�h2 (U0 � E) (9.10)

96 CAP�ITULO 9. CONDUC� ~AO EM S �OLIDOSO sistema de equa�c~oes Eqs.(9.7) e (9.8) foi resolvido por Bloch, que propos a solu�c~ao (x) = u(x) eikx e�iEt=�h (9.11)A amplitude dessa fun�c~ao n~ao �e constante, diferentemente do caso do po�co de potencialin�nito, mas uma fun�c~ao u(x) que se sup~oe ser peri�odica com a mesma periodicidade darede. Explicitando a derivada segundad2 dx2 = d2udx2 + i2kdudx � k2u! eikx (9.12)e substituindo essa express~ao na Eqs.(9.7) e (9.8) teremos respectivamentena regi~ao I d2udx2 + i2kdudx � (k2 � �2)u = 0 (9.13)na regi~ao II d2udx2 + i2kdudx � (k2 + 2)u = 0 (9.14)As solu�c~oes das Eqs.(9.13) e (9.14) s~ao vibra�c~oes amortecidas do tipo:regi~ao I uI = e�ikx �Aei�x +B e�i�x � (9.15)regi~ao II uII = e�ikx �C e� x +D e x � (9.16)Para eliminar as constantes A, B, C, e D usamos as condi�c~oes de contorno, considerandoque e d =dx s~ao cont��nuas na interface entre I e II:1. uI(0) = uII(0)) A+B = C +D (9.17)2. duIdx ]x=0 = duIIdx ]x=0 (9.18)+A(i�� ik) +B(�i� � ik) = C(�ik � ) +D( � ik) (9.19)3. uI(a) = uII(�b) (9.20)+Ae(i�� ik)a +B e(�i� � ik)a = C e(ik + )b +D e(ik � )b (9.21)4. duIdx ]x=a = duIIdx ]x=�b (9.22)+Ai(�� k) eia(�� k) � Bi(� + k) e�ia(� + k) =�C( + ik) e(ik + )b +D( � ik) e(ik � )b (9.23)

9.5. CONCLUS ~OES 97Utilizando as 4 equa�c~oes acima podemos eliminar as 4 constantes, resultando a rela�c~ao 2 � �22� sinh( b) sin(�a) + cosh( b) cos(�a) = cos k(a+ b) (9.24)Podemos ainda fazer algumas simpli�ca�c~oes:� A barreira de potencial �e �nita U0b! �nito (9.25)� A energia da barreira �e muito maior que a energia do el�etronU0 � E ) 2 � 2m�h2 U0 ) �� (9.26)� A largura da barreira �e muito pequena b = s2m�h2 q(U0b)b! muito pequeno pois b! 0 (9.27)+sinh( b) � b (9.28)cosh( b) � 1 (9.29)� Os �atomos est~ao estreitamente \empacotados", ou sejab� a (9.30)Com as simpli�ca�c~oes indicadas, a Eq.(9.24) �ca assimm��h2U0b sin�a+ cos�a = cos ka (9.31)+P sin�a�a + cos�a = cos ka P � maU0b�h2 (9.32)A Eq.(9.32) est�a resolvida gra�camente na Fig.9.4, onde temos �a = aq2mE=(�h2) emabscissas. A energia E s�o pode ocupar as bandas \permitidas" indicadas na Fig.9.4 pelas echas, e separadas pelas bandas \proibidas".9.5 Conclus~oes� A largura das bandas permitidas vai aumentando quando aumenta � / pE.� A largura das bandas depende de P = ma�h2 U0b sendo que:1. Se U0b �e grande ) P �ca grande tamb�em, as curvas s~ao mais verticais e aslarguras das bandas permitidas �cam mais estreitas

98 CAP�ITULO 9. CONDUC� ~AO EM S �OLIDOS

Figura 9.4: Bandas discretas para a energia num campo peri�odico de um cristal: A curva azuloscilante representa a fun�c~ao 10(sin�x=�x)+cos �x onde x� � �a (proporcional a pE) e onde foiarbitrariamente adotado o valor P = 10, que �e proporcional a U0b. Ela intercepta os valores +1 e-1, sinalizndo assim a posi�c~ao das bandas permitidas para a energia, indicadas pelas echinhas nogr�a�co 2. Se U0b �e pequeno ) as bandas permitidas s~ao mais largas3. Se P ! 0) cos�a = cos ka) � = k (9.33)+E = �h2k22m (9.34)+p22m = (h=�)22m el�etron livre (9.35)4. Se P !1) sin�a�a ! 0) �a = n� (9.36)+�2 = �n�a �2 = 2mE�h2 (9.37)+E = �2�h22ma2n2 (9.38)que �e a mesma equa�c~ao que descreve o movimento de um el�etron num po�co depotencial in�nito. Isso signi�ca que temos as condi�c~oes que descrevem um �atomoisolado.

9.5. CONCLUS ~OES 99Figura 9.5: Estrutura de bandas para o cobre onde est~ao representados os primeiros 3 n��veisquanticos principais ligados a cada um dos �atomos, e o nivel mais externo (n=4) compartilhadocom as �atomos vizinhos e por isso subdividido em numerosos estados quanticos formando a bandade condu�c~ao

A Eq.(9.32) pode ser gra�cada de forma demostrar a rela�c~ao entre o parametro k (emabscissas) e a energia E (em ordenadas), co-mo aparece na �gura ao lado, que foi calcu-lada para os seguintes parametros:a = 9:77� 10�10m (9.39)U0q b = 3:9� 10�11eV m (9.40)Note a presen�ca de bandas \proibidas" nafaixa de 0.4eV e 1.6eV.estimativa da largura da banda �E:

�E = (2� 1� 1)�2 �h22ma2 � 3eV (9.41)

100 CAP�ITULO 9. CONDUC� ~AO EM S �OLIDOS9.5.1 ResumoEl�etrons fortemente ligados:U0 !1 +El�etron ligado num �unico�atomo ou ��on+Estrutura de bandas muitoestreitas com energias disc-retas da formaEn = �2�h22ma2n2

El�etron se movendo numpotencial peri�odico: Estados�olido +Bandas com larguras cres-centes com a energia dabanda.El�etron n~ao ligado: livreU0b! 0+Banda in�nitamente larga

9.6 Isolantes, metais e semicondutoresA Fig.9.6 mostra a estrutura de bandas de um isolante t��pico como o diamante, onde o�ultimo n��vel ocupado est�a cheio e muito separado (energia de \band-gap" grande) do pr�oximon��vel que o el�etron poderia ocupar. Isso torna imposs��vel movimentar um el�etron da bandaocupada, pela a�c~ao de um campo el�etrico: N~ao h�a como lhe ceder um adicional de energia(cin�etica) para moviment�a-lo. J�a o caso do condutor na Fig.9.7 �e diferente pois o �ultimon��vel ocupado est�a na verdade semi-ocupado e assim �e poss��vel que qualquer el�etron adquiraum excedente de energia cin�etica (sob a�c~ao de um campo el�etrico por exemplo) para semovimentar. A Fig.9.8 mostra a estrutura t��pica de um semicondutor como no caso doGe. Neste caso o �ultimo n��vel ocupado est�a cheio como no caso de um isolante, mas adistancia (\band-gap") at�e o pr�oximo n��vel superior dispon��vel para receber um eletron �emuito pequena: Eg = 0:7 eV e pode ser facilmente superado, inclusive sob a�c~ao da luz vis��vel.A Fig.9.9 ainda mostra o caso de um semi-metal como o Mg que deveria ser isolante mas

9.7. ENERGIA DE FERMI 101

Figura 9.6: Estrutura de ban-das de um isolante t��pico co-mo o diamante, mostrandoa banda de valencia BV, ade condu�c~ao (completamentevazia) e a banda proibida en-tre ambas.Figura 9.7: Estrutura de ban-das de um condutor t��pico co-mo o cobre onde EF = 7eV,mostrando a BC parcialmenteocupada.

Figura 9.8: Estrutura de ban-das de um semicondutor t��picocomo o Ge onde Eg = EC �EV = 0:7 eV, onde EC �e ovalor da energia na base daBC e EV �e a energia no topoda BV

Figura 9.9: Estrutura de bandas de um semimetal como o Mg onde a banda superior (3p) sesuperp~oe parcialmente �a banda inferior (3s), fazendo com que ambas �quem parcialmente ocupadas.Por isso o material apresenta um comportamento condutor apesar de ter 2 el�etrons no n��vel 3s e porisso, o n��vel estando completo, deveria apresentar um comportamento t��pico de material isolante.�e condutor, devido �a superposi�c~ao das bandas 3s e 3p, como ilustrado na �gura.9.7 Energia de FermiQueremos estudar como se distribuem os n��veis de energia dentro de uma banda parcialmenteocupada, o que caracteriza um condutor.9.7.1 Densidade de estados quanticosVamos nos limitar aos el�etrons da banda de condu�c~ao onde eles est~ao fracamente ligados epor isso podem ser considerados praticamente livres. Assim esses el�etrons livres podem serconsiderados con�nados num po�co de potencial in�nito cujas dimens~oes s~ao as do pr�opriocristal. A energia de um el�etron num po�co de potencial in�nito e largura L est�a dada pelaEq.(7.53)

102 CAP�ITULO 9. CONDUC� ~AO EM S �OLIDOSEn = h28mL2n2Para o caso tridimensional (cubo de arestas L� L� L) podemos escreverEn = h28mL2 (n2x + n2y + n2z) (9.42)n2 = n2x + n2y + n2z (9.43)Considerando que L� h=pm, a quantiza�c~ao da energia �e muito pequena (como no caso deum oscilador mola-massa macrosc�opico) e nesse caso a express~ao da energia En na Eq.(9.47)�e praticamente uma fun�c~ao cont��nua, mesmo que consideremos s�o valores inteiros para nx,ny e nz. Cada ponto (nx; ny; nz) corresponde assim a um estado de energia En. Uma cascaesf�erica de raio n �e o lugar dos pontos que representam estados de energia En e dentro daesfera limitada por essa casca esf�erica est~ao inclusos os estados de energias menores que En.O n�umero de estados com energia igual ou menor que En �e proporcional ao volume dessaesfera. Como os n�umeros quanticos devem ser positivos, os n�umeros n s�o podem ser de�nidosno octante positivo. Assim o n�umero de estados com energia igual ou menor que E = Enest�a dado por N(E) = 184�n3=3 (9.44)da Eq.(9.47): n = 2Lh p2mE (9.45)) N(E) = 8p2�L33h3 m3=2E3=2 (9.46)O n�umero de estados com energia entre E e E + dE, por unidade de volume (L3) e porunidade de energia (dE) chama-se de densidade de estados e valeZ(E) = 2 1L3 dN(E)dE = 32pE 8p2�3h3 m3=2 � 2 = 8p2�h3 m3=2pE (9.47)onde o fator \2" representa os dois estados de spin poss��veis:+1=2;�1=2. Assim cabem 2el�etrons em cada estado de energia.9.7.2 Distribui�c~ao de FermiA distribui�c~ao de energias num conjunto de part��culas de spin 1/2 como os el�etrons e suadependencia com a temperatura est�a descrita pela distribui�c~ao de Fermi-Dirac F (E) (videFig.9.12) que indica a probabilidade que o n��vel de energia E esteja ocupado por el�etronsF (E) = 11 + e(E � EF )=kBT (9.48)onde EF �e a chamada energia de Fermi.� Se o n��vel E est�a totalmente ocupado por el�etrons ent~ao F(E)=1, para T = 0.


Figura 9.10: Octante positivo do espa�co(nx; ny; nz) para o c�alculo do n�umero de esta-dos de energia Figura 9.11: Gr�a�co da Eq.(9.52)

Figura 9.12: Fun�c~ao F(E) para T = 0(curva vermelha) e para T � 0 (curvapreta)

104 CAP�ITULO 9. CONDUC� ~AO EM S �OLIDOS� Se esse n��vel estiver vaz��o, ent~ao F (E) = 0 para T = 0.� Para E = EF , F (E) = 1=2, para qualquer T > 0.Qual �e a probabilidade de que um estado 0:1eV acima da energia de Fermi esteja ocupadopara T = 800K?F (E � EF = 0:1eV ) = 11 + e0:1� 1:6� 10�191:38� 10�23800 = 0:19 (9.49)E qual a probabilidade de um estado 0:1V abaixo de EF estar ocupado, nessa mesma tem-peratura? F (E � EF = �0:1eV ) = 11 + e�0:1� 1:6� 10�191:38� 10�23800 = 0:81 (9.50)Qual �e a probabilidade de um estado 0:1V abaixo de EF n~ao estar ocupado?: ) 1� 0:81 =0:19, que �e justamente a probabilidade de existirem buracos. O buraco �e justamente umestado vazio numa faixa de energia em que a maioria dos estados est�a ocupada.Das considera�c~oes acima �ca claro que o n��vel dado pela energia de Fermi representa on��vel preenchido pelos el�etrons na banda de condu�c~ao, para T = 0.9.7.2.1 C�alculo de EFO n�umero total de estados ocupados corresponde ao n�umero total n de el�etrons livres porunidade de volume na banda de condu�c~aon = Z +10 Z(E)F (E)dE (9.51)� Z EF0 Z(E)dE (9.52)e substituindo Z(E) pela sua express~ao em Eq.(9.52) resultan = 8�p2h3 m3=2 23E3=2F (9.53)) EF = 316p2�!2=3 h2mn2=3 (9.54)Exemplo: O n�umero de el�etrons livres (por unidade de volume) no cobre �e igual aon�umero de �atomos de cobre:n = NAd=A = 6:02� 1023(at=mol)8900Kg=m30:06357Kg=mol = 8:4� 1028el�etrons=m3 (9.55)A energia de Fermi (Eq.(9.59)) para o cobre ser�a ent~aoEF = 316p2�!2=3 6:632 � 10�689:11� 10�31 (8:4� 1028)2=3 11:6� 10�19 = 7:0eV (9.56)que est�a de acordo com o valor indicado na literatura [?].

9.7. ENERGIA DE FERMI 105Exemplo: Energia de Fermi e largura de banda O s�odio �e um metal monovalentecom densidade 1.013g/cm3 e massa molar de 22.99g/mol.1. Calcule sua energia de Fermi2. Estime a largura de sua banda de condu�c~ao no estado fundamental. Lembre que oNa est�a na primeira coluna da Tabela Peri�odica dos Elementos. Se ele estivesse nasegunda coluna ele n~ao seria, em principio, um condutor por ter o n��vel atomico s2completo com dois el�etrons.Condutores A �gura ao lado representa adensidade de estados ocupadosZ(E)F (E) em fun�c~ao da energia,para T > 0K, sendo �esta energiamedida a partir da base da ban-da de condu�c~ao (BC), num metalque, como no caso do Cu, libera1 el�etron por �atomo para a BC;se em lugar de 1 fossem e el�etronspor �atomo, ele seria um isolante en~ao um condutor.Calcule aproximadamente:1. A energia de Fermi EF2. A largura da BC3. A fra�c~ao de el�etrons na BC que est~ao acima da EF nessa temperatura T > 0K. Vocepode estimar as integrais gra�camente, se auxiliando com os pequenos ret�angulos queformam o fundo da �gura.4. Qual seria a forma do gr�a�co para T=0K? Desenhe por cima da �gura.Po�co de potencial e energia de FermiConsidere um po�co de potencial in�nito onde colocamos 10 el�etrons. Lembrando a regrade exclus~ao de Pauli (em cada estado n~ao pode haver mas de um el�etron com o mesmon�umero quantico de spin), calcule:� O n��vel de Fermi� A energia total desses el�etrons9.7.3 SemicondutorChamam-se intr��nsecos os semicondutores puros e extr��nsecos aqueles dopados com algumtipo de impureza.

106 CAP�ITULO 9. CONDUC� ~AO EM S �OLIDOS9.7.3.1 Semicondutor intr��nsecoDevido ao baixo valor da energia de separa�c~ao (band gap Eg na Fig.9.8) entre a banda devalencia (BV) e banda de condu�c~ao, mesmo �a temperatura ambiente, sempre temos algunspoucos el�etrons na banda de condu�c~ao (BC) e, conseq�uentemente, o mesmo n�umero deburacos deixados para tr�as na banda de valencia (BV). Vamos calcular primeiro o n�umerode el�etrons livres na banda de condu�c~ao, isto �e, tomando como referencia zero para a energia,o valorEC do n��vel inferior da BC. Utilizando a integral na Eq.(9.56) e fazendo a aproxima�c~aoF (E) = 11 + eE � EFkBT � e�E � EFkBT para E � EF � kBT (9.57)escrevemosni = 8p2�h3 m3=2e Z +1EC qE � EC e�E � EFkBT dE (9.58)= 8p2�h3 m3=2e eEF=(kBT ) Z +1EC qE � EC e� EkBT dE (9.59)= 8p2�h3 m3=2e eEF � ECkBT Z +10 qE � EC e�E � ECkBT d(E � EC) (9.60)Sabendo que Z +10 px e�ax dx = 12ar�a (9.61)a equa�c~ao acima �cani = 8p2�h3 m3=2e eEF � ECkBT kBT2 q�kBT (9.62)= NC eEF � ECkBT NC � 4p2�3=2k3=2Bh3 m3=2e T 3=2 (9.63)Para o caso de el�etrons e T = 300K podemos calcularNC � 2:51� 1025 m�3 (9.64)ni = 2:51� 1025 e�EC � EFkBT m�3 (9.65)onde NC �e a "densidade de estados equivalente" calculada na base da BC e que foi supostaaproximadamente igual para o resto da BC. Procedendo similarmente para o n�umero deburacos no topo da BV, e sabendo que para os buracos temos que substitur F (E) por1� F (E) � eE � EFkBT ,pi = 8p2�h3 m3=2h Z EV�1 qEV � E eE � EFkBT dE (9.66)

9.7. ENERGIA DE FERMI 107= 8p2�h3 m3=2h e�EF =(kBT ) Z EV�1 qEV � E e EkBT dE (9.67)= 8p2�h3 m3=2h eEV � EFkBT Z +10 qEV � E e�EV � EkBT d(EV � E) (9.68)= NV eEV � EFkBT NV � 4p2�3=2k3=2Bh3 m3=2h T 3=2 (9.69)onde NV �e a densidade de estados no topo da BV, similarmente ao raciocinio acima para osel�etrons.Fazendo o produto das Eq.(9.68) e (9.74) achamosni = pi = pnp = 4p2�3=2k3=2Bh3 pmhme3=2T 3=2 eEV � EC2kBT (9.70)Comparando Eq.(9.75) com (9.74) ou (9.68) e supondo mh � me chegamos ao resultadoEC � EF � (EC � EV )=2 = Eg=2O que signi�ca que o n��vel de Fermi est�a aproximadamente no meio do gap.Exemplo Calcular o n�umero de el�etrons livres na BC e a condutividade, do Germaniopuro �a temperatura ambiente.� N�umero de el�etrons livres na BC:{ Vamos utilizar a Eq.(9.75) supondomh � me � 9:11� 10�31Kg (9.71){ e utilizando o valor [?] Eg = 0:66eV para T = 300K (9.72)ni � pi � 4p2�3=2k3=2Bh3 pmhme3=2T 3=2 e�0:330:0255 � 6� 1019m�3Note que num condutor met�alico n � 1028 m�3� Condutividade: Sabendo que para o Ge [?]: �e = 0:39m2s�1V �1 e �h = 0:19m2s�1V �1ent~ao: � = nie�e + pie�h � 6� 10191:6� 10�19(0:39 + 0:19) = 5:57�1m�1Para metais temos � � 107 �1m�1

108 CAP�ITULO 9. CONDUC� ~AO EM S �OLIDOS

Figura 9.13: Representa�c~ao de um semicondutor de Si tipo P, dopado com Al. Os centros aceita-dores de el�etrons (Al3+) est~ao um pouco acima do n��vel da BV (Ea � Eg) e o resultado disso �eum excesso de buracos na BV.

Figura 9.14: Representa�c~ao de um semicondutor de Si tipo N, dopado com P. Os centros doadoresde el�etrons (P 5+) est~ao um pouco abaixo do n��vel da BC (Ed � Eg) e o resultado disso �e umexcesso de el�etrons na BC.9.7.3.2 Semicondutor dopadoNum material dopado, alguns �atomos do semicondutor (p.ex. Si) na rede cristalina s~aosubstitu��dos por �atomos com menor (p.ex. Al) ou com maior (p.ex. P) n�umero de el�etronsna camada de valencia, como ilustrado nas Fig.9.13 e Fig.9.14, respectivamente. No caso daimpureza de Al3+ por exemplo, aparece o defeito (buraco) de um el�etron numa das liga�c~oese isso faz com que apare�cam buracos na BV, na mesma propor�c~ao dos �atomos de Al3+adicionados no cristal de Si. A energia para aceitar um el�etron nesse defeito �e Ea � Eg epor isso os el�etrons se movem facilmente de buraco em buraco. O resultado �e como se osburacos se deslocassem pela BV. Uma situa�c~ao similar mas inversa acontece para a impurezade P 5+ onde um dos el�etrons do P n~ao entra nas liga�c~oes com os �atomos vizinhos de Si epor isso �ca muito fracamente ligado dando lugar a el�etrons que passam facilmente �a BCcom uma energia Ed � Eg.

9.7. ENERGIA DE FERMI 109Exemplo Para o caso de Ge dopado com As na concentra�c~ao de ND = 5 � 1016cm�3 esabendo que a energia necess�aria para arrancar um el�etron do As �e de EC � Ed=12.7meV[?], calcular, para a temperatura ambiente T � 300K:� O n��vel de Fermi:Podemos utilizar a Eq.(9.70) para descrever a densidade de el�etrons livres na BCn = Nc e�EC � EFkBT (9.73)onde Nc = 2:51�1025 m�3 para el�etrons e para T=300K. Uma equa�c~ao similar pode serutilizada para descrever a densidade de doadores ionizados (N+D ), isto �e, que liberaramum el�etron N+D = ND e�EF � EdkBT (9.74)onde ND = 5� 1022 m�3 �e a densidade de defeitos (�atomos de As). Vamos supor queo n�umero de el�etrons intr��nsecos na BC �e desprez��vel comparado com os (extr��nsecos)liberados pelo doador. Nesse caso e para garantir a neutralidade el�etrica deve sern = N+D e ent~ao temos Nc e�EC � EFkBT = ND e�EF � EdkBT (9.75)EC � EF = EC � Ed2 + kBT2 ln NcND (9.76)A Eq.(9.81) mostra um resultado geral: que o n��vel de Fermi encontra-se no meio entrea BC e a energia do dopante (doador) a menos de uma corre�c~ao dada pelo �ultimotermo da direita que representa a rela�c~ao de densidade de estados entre a BC e o n��veldoador. Para o nosso caso concreto temosEC � EF = 0:01272 + 0:0255=2 ln 2:51� 10255� 1022 (9.77)EC � EF = EC � Ed2 + 0:079 = 0:086eV (9.78)o que signi�ca que o n��vel de Fermi est�a a 86meV abaixo da BC e, conseq�uentemente,por debaixo do n��vel Ed. Isso n~ao �e poss��vel pois sendo EF � ED < 0, a Eq,(9.79)resulta em N+D > ND o que �e imposs��vel. Nesse caso temos que reexaminar nossaship�oteses: j�a que os doadores poderiam estar acima do n��vel de Fermi, poderiamosent~ao supor que est~ao todos ionizados, isto �e que N+D � ND. Substitu��ndo ND = n(neutralidade el�etrica) na Eq.(9.78)n = ND = 5� 1022 = Nc e�EC � EFkBT (9.79)EC � EF = kBT ln(Nc=ND) = 0:15eV (9.80)o que coloca EF a 0.15eV abaixo da BC. Precisamos ainda veri�car a hip�otese de que osel�etrons na BC s~ao amplamente extr��nsecos com contribui�c~ao quase nula da excita�c~ao

110 CAP�ITULO 9. CONDUC� ~AO EM S �OLIDOSintr��nseca. Para isso calculamos a densidade de el�etrons (ni) gerada intrinsecamente ea comparamos com n = ND:ni = Nc e�EC � EV2kBT (9.81)n � ND (9.82)ni=n = NcND e�0:33kBT � 1:2� 10�3 (9.83)o que veri�ca nossa hipotese.� A condutividade:Sabendo que para o Ge �e �e = 0:39m2s�1V �1 [?]� = n e�e � 5� 1022 � 1:6� 10�19 � 0:39 = 3120�1m�1� A a probabilidade de que um estado na base da BC esteja ocupado, para os casos:{ o Ge dopadoF (EC)dop = 11 + e(EC � EF )=kBT = 11 + e0:15=0:0255 � 2:8� 10�3{ o Ge puroF (EC)puro = 11 + e(EC � EF )=kBT = 11 + e0:33=0:0255 � 2:4� 10�6� A probabilidade de que um doador n~ao esteja ionizadoF (Ed) = 11 + e(Ed � EF )=kBT = 11 + e(0:138)=0:0255 � 4:5� 10�3o que signi�ca que praticamente todos os �atomos de As est~ao ionizados e veri�ca nossahip�otese anterior de que n = N+D = ND.9.7.4 Contatos ohmicos e contatos reti�cantes9.7.4.1 Contato metal-semicondutorA Fig.9.15 mostra um esquema de um metal M com fun�c~ao de trabalho �M (a energianecess�aria para arrancar um el�etron desde o n��vel de Fermi) e um semicondutor tipo N, comfun�c~ao de trabalho �S, sendo que �M > �S. Ao se colocar ambos em contato el�etrico, el�etrons uem do semicondutor ao metal, deixando para atr�as uma zona (de deple�c~ao) com falta deel�etrons (e carga positiva) no semicondutor. No lado do metal, devido �a grande quantidadede el�etrons livres nele, os el�etrons que ingressam pela interface n~ao podem penetrar noseu volume e apenas se depositam na interface: n~ao h�a zona de deple�c~ao no metal. Essadistribui�c~ao de cargas cria uma barreira de potencial �V � �M��S para levar assim o uxo


Figura 9.15: Contato reti�cante metal-semicondutor tipo N: Neste caso a fun�c~ao de tra-balho do metal �M �e maior que a do semicondu-tor �S e por isso, ao se por ambos elementos emcontato el�etrico, os el�etrons uem inicialmentedo semicondutor para o metal at�e formar umabarreira de potencial que compense a diferen�cade fun�c~ao de trabalho. No equil��brio, a barreirade potencial faz com que jdi� + jdrift = 0Figura 9.16: Comportamento do contato reti-�cante da Fig.9.15 sob a�c~ao de uma tens~aoel�etrica: ao abaixar arti�cialmente o potencialda barreira (linha vermelha) e o campo l��quido,usando uma bateria, por exemplo, jdi� � jdrifte ent~ao aparece uma corrente l��quida na dire�c~aode jdi� . Se a tens~ao aplicada for invertida, abarreira aumenta e assim jdi� � jdrift sendoque nesse caso predomina uma corrente muitopequena na dire�c~ao de jdrift.de el�etrons ao equilibrio, sendo que nesse ponto a corrente de difus~ao jdi� dos el�etrons (quevem do semicondutor tipo N) e a de arraste jdrift se equilibram. Esta �ultima �e a produzida nointerior da zona da barreira de potencial, devido �a gera�c~ao t�ermica de pares el�etron-buraco,que n~ao depende do tamanho da barreira mas da temperatura e a natureza do semicondutor.Ao aplicar um potencial externo sobre o conjunto metal-semicondutor, como indicado naFig.9.16, a barreira �e modi�cada e, para valores positivos de V , jdi� aumenta muito sobrea jdrift. Para valores negativos de V , a barreira aumenta muito e por isso jdi� diminui deforma que o termo predominante �e jdrift, que �e constante e muito pequeno. Trata-se assimde um contato reti�cante. Se o semicondutor fosse do tipo \P", a barreira se formaria nainterface igualmente sem, no entanto, se formar uma zona de deple�c~ao no semicondutor. Abarreira seria muito �na e por isso facilmente tunel�avel para a passagem dos el�etrons deum lado para outro. Formar-se-��a assim um contato ohmico e n~ao reti�cante. O mesmoaconteceria para o caso da Fig.9.15 no caso em que �M fosse menor que �S. Neste caso osel�etrons uiriam do metal ao semicondutor mas, devido ao excesso de el�etrons neste �ultimo,eles n~ao formariam uma zona de deple�c~ao (carregada negativamente, neste caso). As cargas(positivas no metal e negativas no semicondutor) �cariam apenas numa regi~ao muito estreitana interface, para formar a barreira de potencial necess�aria para contrabalancear a diferen�cade fun�c~oes de trabalho de ambos materiais, mas a espessura dessa barreira seria muito �na eassim, facilmente tunel�avel pelos el�etrons. De novo teremos ent~ao um contato ohmico. Como mesmo racioc��nio veri�que que para o caso de um semicondutor tipo \P" e com �M < �S,ter��amos um contato reti�cante simetricamente invertido em rela�c~ao ao da Fig.9.16.

112 CAP�ITULO 9. CONDUC� ~AO EM S �OLIDOS9.7.4.2 Diodo reti�canteFigura 9.17: Contato reti�cante numajun�c~ao NP entre um semicondutor tipo-Nde um lado e tipo-P do outro. Neste caso�e necessariamente �P � �N e por isso sefoma uma zona de deple�c~ao e barreira depotencial como indicado, para que jdi� +jdrift = 0. Como no caso da Fig.9.15, aobaixar a barreira de potencial com aux��liode uma fonte externa, aparece uma fortecorrente direta jdi� � jjdriftj; ao invertera polaridade predomina a corrente reversajjdriftj � jdi� que �e muito pequena.Se colocamos em contato um semicondutor dopado \N" com o mesmo dopado \P", tere-mos que �P > �N e assim os el�etrons v~ao uir do tipo-N para o tipo-P criando uma zona dedeple�c~ao ( carregada positivamente no primeiro e negativamente neste �ultimo) como indicadona Fig.9.17, produzindo-se assim um contato reti�cante: Diodo reti�cante semicondutor.9.7.4.3 Fotodiodos

Figura 9.18: Fotodiodo tipo NP Figura 9.19: Fotodiodo tipo P-i-NA Fig.9.18 mostra um diodo tipo \NP" utilizado como medidor de luz: os f�otons caindo naregi~ao de deple�c~ao, na interface, produzem pares \el�etron-buraco" que, sob a�c~ao do potencialimperante nessa regi~ao se separam, produzindo uma corrente el�etrica que pode ser medida.J�a os pares \el�etron-buraco" gerados fora dessa regi~ao se recombinam facilmente e n~ao geramcorrente nenhuma. Se os materiais s~ao fortemente dopados, a barreira de potencial �e grande

9.7. ENERGIA DE FERMI 113mas a �area (de deple�c~ao) �util na interface para dete�c~ao efetiva de f�otons �e estreita. Paraaumentar a sensibilidade temos que aumentar essa �area e isso �e feito com os fotodetetores P-i-N ilustrados na Fig.9.19 onde h�a uma regi~ao de material intr��nseco entre o tipo-P e tipo-N,que �e a regi~ao �util para a dete�c~ao. Em ambos os casos, a equa�c~ao que controla a densidadede corrente gerada no fotodiodo, no escuro, �e a chamada equa�c~ao de Shockleyj = js( e eVkBT � 1) onde js / T 2 e��P � �NkBT (9.84)onde jdi� = js e eVkBT e jdrift = js (9.85)9.7.4.4 Exemplo:Para o caso de uma jun�c~ao NP, a corrente is = 5nA / js. Neste caso, vamos veri�car ocomportamento reti�cante do dispositivo, calculando as correntes i / j para a polariza�c~aodireta e inversa onde V = 0:5V e V = �0:5V respectivamente na Eq.(9.89). Assim para apolariza�c~ao direta temosi = 5� 10�9( e0:5=0:0255 � 1) = 0:6Amp�eres (9.86)e para a inversa:i = 5� 10�9( e�0:5=0:0255 � 1) = �5� 10�9Amp�eres (9.87)Ao incidir luz de irradiancia I no fotodiodo, aparece um novo termo na Eq.(9.89), dadopela gera�c~ao de pares el�etron-buraco na regi~ao \intr��nseca" e/ou na zona de deple�c~ao, �candoassim j = js( e eVkBT � 1)� jo onde jo / I (9.88)

frejlich, j. - Óptica e física moderna.pdf

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