Uma demonstracao elementar da identidade:

cotz =1

z+k=1

2z

z2 k2pi2

Israel Meireles Chrisostomo

10 de Janeiro, 2015

1 Introducao

Nesse pequeno artigo apresento a minha demonstracao para a identidade dev-

ida a Euler:cotz =1

z+

k=1

2z

z2 k2pi2 .A demonstracao utiliza de uma formulaimportante para a derivada de um produto de funcoes.A ideia para esta demon-tracao me veio logo apos resolver um problema do livro Calculo do Serge Lang,quando estava lendo o artigo More on the infinite: Products and partial frac-tions, onde se encontra algumas demonstracoes envolvendo limites de series eprodutos infinitos.

1

2 Demonstracao

Considere um produto de duas funcoes f1(z)f2(z), pela derivada do produto,obtemos:

d

dzf1(z)f2(z) = f

1(z)f2(z) + f1(z)f

2(z)

Vamos usar esse produto como base de inducao.Por hipotese de inducao,considere que a formula acima (em sua forma generica) e verdadeira para umdado inteiro n, i.e.:

d

dz(f1(z)f2(z)f3(z)....fn1(z)fn(z)) = f 1(z)f2(z)...fn(z) + f1(z)f

2(z)...fn(z) +

....+ f1(z)f2(z)...fn1(z)f n(z)

Denominando f1(z)f2(z)f3(z)....fn1(z)fn(z) = g(z),pela igualdade acima,teremos que:

g(z) = f 1(z)f2(z)...fn(z) + f1(z)f2(z)...fn(z) + ....+ f1(z)f2(z)...fn1(z)f

n(z)

Pela regra da derivada do produto, ao se multiplicar uma funcao, digamos,fn+1(z) pelo produto f1(z)f2(z)f3(z)....fn1(z)fn(z) e depois derivar usando ahipotese de inducao, obtemos:

d

dz(f1(z)f2(z)f3(z)....fn1(z)fn(z)fn+1(z)) =

d

dz(g(z)fn+1(z)) =

g(z)fn+1(z) + g(z)f n+1(z) =

[f 1(z)f2(z)...fn(z) + f1(z)f2(z)...fn(z) + ....+ f1(z)f2(z)...fn1(z)f

n(z)] fn+1(z)+

f1(z)f2(z)f3(z)....fn1(z)fn(z)f n+1(z) =

2

f 1(z)f2(z)...fn(z)fn+1(z)+f1(z)f2(z)...fn(z)fn+1(z)+....+f1(z)f2(z)...fn1(z)f

n(z)fn+1(z)+

f1(z)f2(z)f3(z)....fn1(z)fn(z)f n+1(z)

De onde conclumos a prova por inducao em n de que sempre vale a igualdade:

d

dz(f1(z)f2(z)f3(z)....fn1(z)fn(z)) = f 1(z)f2(z)...fn(z) + f1(z)f

2(z)...fn(z) +

....+ f1(z)f2(z)...fn1(z)f n(z).....Igualdade i

Mas observe que pela igualdade f1(z)f2(z)f3(z)....fn1(z)fn(z) = g(z), naoe difcil ver, ao se multiplicar e dividir cada termo do lado direito pela funcaoque esta sendo derivada em cada produto, que podemos reescrever cada umdesses termos como:

f 1(z)f2(z)...fn(z) =f 1(z)f1(z)f2(z)...fn(z)

f1(z)=f 1(z)g(z)f1(z)

....Igualdade ii

f1(z)f2(z)...fn(z) =

f1(z)f2(z)f2(z)...fn(z)

f2(z)=f 2(z)g(z)f2(z)

....Igualdade iii

....

f1(z)f2(z)....fk(z)....fn(z) =

f1(z)(z)f2(z)....fk(z)fk(z)....fn(z)

fk(z)=f k(z)g(z)fk(z)

....Igualdade iv

...

f1(z)f2(z)...fn1(z)f n(z) =f1(z)f2(z)...fn1(z)f n(z)fn(z)

fn(z)=f n(z)g(z)fn(z)

.....Igualdade v

Comparando as igualdades ii, iii, iv, v com a Igualdade i , e facil ver que:

d

dz(f1(z)f2(z)f3(z)....fn1(z)fn(z)) =

f 1(z)g(z)f1(z)

+f 2(z)g(z)f2(z)

+ ....+f n(z)g(z)fn(z)

d

dzg(z) = g(z)

(f 1(z)f1(z)

+f 2(z)f2(z)

+ ....+f n(z)fn(z)

)

Onde g(z) e o produto das funcoes indicadas a direita.Substituindo n porn+1, obteremos:

d

dzg(z) = g(z)

(f 1(z)f1(z)

+f 2(z)f2(z)

+ ....+f n+1(z)fn+1(z)

)...Igualdade vi

3

Fazendo g(z) = z

nk=1

(1 z

2

k2pi2

), igualmente, fazendo f1(z) = z e fk+1(z) =

1 z2

k2pi2para k 1.Observando que podemos dizer que f 1(z) = 1 e f k+1(z) =

2zk2pi2

, e substituindo na Igualdade vi , vem:

d

dz

(z

nk=1

(1 z

2

k2pi2

))= z

nk=1

(1 z

2

k2pi2

)(1

z+

nk=1

2zk2pi21 z2k2pi2

)d

dz

(z

nk=1

(1 z

2

k2pi2

))= z

nk=1

(1 z

2

k2pi2

)(1

z+

nk=1

2z

z2 k2pi2)

Tomando o limite de n tendendo ao infinito, obteremos:

d

dz

(z

k=1

(1 z

2

k2pi2

))= z

k=1

(1 z

2

k2pi2

)(1

z+

k=1

2z

z2 k2pi2)

Usando que z

k=1

(1 z

2

k2pi2

)= senz no lado esquerdo, teremos:

d

dz(senz) = z

k=1

(1 z

2

k2pi2

)(1

z+

k=1

2z

z2 k2pi2) cosz = z

k=1

(1 z

2

k2pi2

)(1

z+

k=1

2z

z2 k2pi2)

Dividindo ambos os lados por z

k=1

(1 z

2

k2pi2

), vem:

cosz

zk=1

(1 z2k2pi2

) = 1z

+

k=1

2z

z2 k2pi2

Usando que z

k=1

(1 z

2

k2pi2

)= senz no lado esquerdo, obtemos:

cosz

senz=

1

z+

k=1

2z

z2 k2pi2 cotz =1

z+

k=1

2z

z2 k2pi2

C.Q.D.

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