formulario eletromagnetismo - 20 pag

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  • Formulrio de Eletromagnetismo I

    v. 0.0.0

    ETE 212

    2010

  • 1Sumrio

    1 Eletrosttica 5

    1.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2 Campo Eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.3 Densidade de Fluxo Eltrico . . . . . . . . . . . . 6

    1.4 Fluxo Eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.5 Teorema da Divergncia . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.6 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.7 Pontencial Eltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.8 Densidade de Corrente . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.9 Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.10 Resistncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.11 Lei de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.12 Condies de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.13 Equao de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.14 Equao de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.15 Capacitncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.16 Energia Potencial Eletrosttica . . . . . . . . . . 9

    2 Magnetosttica 9

    2.1 Analogia entre campo eletrosttico e magnetos-

    ttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.2 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2.3 Campo Magntico Resultante . . . . . . . . . . . 10

    2.4 Lei Circuital de Ampre . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.5 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.6 Densidade de Fluxo Magntico . . . . . . . . . . 12

    2.7 Fluxo Magntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

  • 22.8 Equaes de Maxwell para Campos Estticos . . 12

    2.9 Fora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.10 Momento de Diplo . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.11 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.12 Condies de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.13 Indutncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.14 Indutncia Mtua . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.15 Energia Magnetosttica . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.16 Circuitos Magnticos . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    3 Campos Dinmicos 15

    3.1 Equao da Continuidade da Corrente . . . . . . 15

    3.2 Variao da Densidade de Carga com o Tempo . 15

    3.3 Tempo de Relaxao . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    3.4 Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    3.5 Densidade de Corrente de Disperso (Desloca-

    mento) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    3.6 Equaes de Maxwell Gerais . . . . . . . . . . . . 17

    3.7 Representaes de Campo Harmnico . . . . . . 17

    3.8 Equaes de Maxwell na Forma Fasorial Diferencial 18

    3.9 Relaes Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . 18

    3.10 Equaes Fundamentais do Eletromagnetismo . . 19

    4 Ondas Planas 19

    4.1 Equaes de Onda de Helmholtz . . . . . . . . . 19

    4.2 Relao entre Ondas Propagantes, em Fasores . . 20

    4.3 Constantes e Impedncia Intrnseca . . . . . . . . 20

    4.3.1 Caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    4.3.2 Dieltricos com baixas perdas (

    1) . 21

  • 34.3.3 Bons condutores (

    1) . . . . . . . . . 224.4 Velocidade de Propagao . . . . . . . . . . . . . 22

    4.5 Comprimento de Onda . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4.6 Permissividade Complexa . . . . . . . . . . . . . 22

    4.7 Condutividade Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4.8 Tangente de Perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    4.9 Efeito Pelicular (em bons condutores) . . . . . . 23

    4.10 Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    4.11 Vetor de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    4.12 Potncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4.13 Incidncia de Um Meio para Outro . . . . . . . . 24

    4.13.1 Caractersticas da Incidncia Normal . . . 24

    4.13.2 Caractersticas da Incidncia Oblqua . . 25

    5 Linhas de Transmisso 26

    5.1 Parmetros Distribudos . . . . . . . . . . . . . . 26

    5.2 Equaes Gerais de Linha de Transmisso (Equa-

    es Telegrcas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    5.3 Equaes de Onda Harmnicas no Tempo . . . . 27

    5.4 Constantes de Propagao, Atenuao e de Fase 28

    5.5 Impedncia Caracterstica . . . . . . . . . . . . . 28

    5.6 Potncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    5.7 Coeciente de Reexo . . . . . . . . . . . . . . . 29

    5.8 Taxa de Onda Estacionria de Tenso . . . . . . 29

    5.9 Impedncia de Entrada . . . . . . . . . . . . . . 29

    A Denies Gerais 30

    B Constantes 33

  • 4C Converses 33

    D Propriedades de Alguns Materiais 34

    E Produo 36

    F Licensa 36

    G Onde Adquirir Este Material 38

    Referncias 39

  • 51 Eletrosttica

    1.1 Lei de Coulomb

    ~F12 =Q1Q2

    4piR212~a12 (1)

    1.2 Campo Eltrico

    ~E1 =~F12Q2(2)

    ~E =Q

    4piR2~aR (3)

    De distribuio contnua de cargas:

    ~E =

    dQ

    4piR2~aR (4)

    De uma carga pontual na origem:

    ~E =Q

    4pir2~ar (5)

    De uma linha innita em z carregada com L:~E =

    L2pi

    ~a (6)

    De uma lmina innita carregada com S :~E =

    S2~aN (7)

  • 61.3 Densidade de Fluxo Eltrico

    ~D = ~E (8)

    1.4 Fluxo Eltrico

    Que atravessa uma superfcie:

    =

    ~D d~S (9)

    Que atravessa uma superfcie fechada:

    =

    ~D d~S (10)

    1.5 Teorema da Divergncia

    ~D d~S =

    ~Ddv (11)

    1.6 Lei de Gauss

    Forma integral:

    ~D d~S = Qenv = resultante (12)

    ~D d~S =

    vdv (13)

    Forma diferencial: ~D = v (14)

  • 71.7 Pontencial Eltrico

    Diferena de pontencial eltrico:

    Vba = b

    a

    ~E d~L = Vb Va (15)

    Pontencial com referncia no innito:

    V =

    dQ

    4pir(16)

    Campo eltrico a partir de funo potencial:

    ~E = V (17)

    1.8 Densidade de Corrente

    ~J = ~E (18)

    1.9 Corrente

    I =

    ~J d~S (19)

    1.10 Resistncia

    R = ~E d~L

    ~E d~S (20)

  • 81.11 Lei de Joule

    P =

    ~E ~Jdv (21)

    1.12 Condies de Fronteira

    Entre par de dieltricos:

    ~ET1 = ~ET2 (22)

    ~a21 ( ~D1 ~D2) = s (23)

    Entre par de dieltricos, se s = 0:

    ~ET1 = ~ET2 (24)~DN1 = ~DN2 (25)

    Entre condutor e dieltrico:

    ~ET = 0 (26)~DN = s (27)

    1.13 Equao de Poisson

    2V = v(28)

  • 91.14 Equao de Laplace

    2V = 0 (29)

    1.15 Capacitncia

    Denio geral:

    C =dQ

    dV(30)

    Para capacitor de placas paralelas, desprezando-se efeitosde borda:

    C =S

    d(31)

    1.16 Energia Potencial Eletrosttica

    WE =12

    ~D ~Edv = 12

    E2dv =12CV 2 (32)

    2 Magnetosttica

    2.1 Analogia entre campo eletrosttico e mag-

    netosttico

    Vide tabela 1.

  • 10

    Tabela 1: Analogia entre campo eletrosttico e magnetosttico.

    Campos eltricos Campos magnticos

    ~E(V/m) ~H(A/m)~D(C/m2) ~B(Wb/m2)(C) (Wb)(F/m) (H/m)~D = ~E ~B = ~H ~D = v ~B = 0 ~E = 0 ~H = ~J =

    ~D d~S = ~B d~S~F = Q~E(N) ~F = Q~u ~B(N)WE = 12

    ~D ~Edv(J) WM = 12

    ~B ~Hdv(J)

    2.2 Lei de Biot-Savart

    d ~H2 =Id~L1 ~a12

    4piR212(33)

    2.3 Campo Magntico Resultante

    Em termos de elementos diferenciais:

    ~H =

    Id~L~aR4piR2(34)

    Em termos de densidades de corrente supercial:

    ~H = ~KdS ~aR

    4piR2(35)

  • 11

    Em termos de densidades de corrente volumtrica:

    ~H = ~Jdv ~aR

    4piR2(36)

    Devido a linha innita de corrente:~H =

    I~a2pi(37)

    Devido a um solenide:~H =

    NI

    h~az (38)

    Devido a uma lmina innita de corrente:~H =

    12~K ~aN (39)

    2.4 Lei Circuital de Ampre

    Forma integral:

    ~H d~L = Ienv (40)

    Forma diferencial: ~H = ~J (41)

    2.5 Teorema de Stokes

    ~H d~L =

    ( ~H) d~S (42)

  • 12

    2.6 Densidade de Fluxo Magntico

    ~B = ~H (43)

    2.7 Fluxo Magntico

    Que atravessa uma superfcie:

    =

    ~B d~S (44)

    Que atravessa uma superfcie fechada:

    ~B d~S = 0 (45)

    2.8 Equaes de Maxwell para Campos Est-

    ticos

    Forma integral:

    ~D d~S = Qenv

    ~B d~S = 0

    ~E d~L = 0

    ~H d~L = Ienv

  • 13

    Forma diferencial:

    ~D = v ~B = 0 ~E = 0 ~H = ~J

    2.9 Fora

    Fora de Lorentz:

    ~F = q( ~E + ~u ~B) (46)

    Fora de Campo Magntico sobre Linha de Corrente:

    ~F12 =

    I2d~L2 ~B1 (47)

    2.10 Momento de Diplo

    ~m = NIS~aN (48)

    2.11 Torque

    ~ = ~m ~B (49)

  • 14

    2.12 Condies de Fronteira

    ~BN1 = ~BN2 (50)

    ~a21 ( ~H1 ~H2) = ~K (51)

    2.13 Indutncia

    Denio geral:

    L =

    I= N

    totI(52)

    Para uma bobina com ncleo:

    L =N2pia2

    h(53)

    Para um cabo coaxial:L

    h=

    2pilnb

    a(54)

    2.14 Indutncia Mtua

    M12 =12I1

    =N2I1

    ~B1 d~S2 (55)

    2.15 Energia Magnetosttica

    WM =12

    ~B ~Hdv = 12LI2

  • 15

    2.16 Circuitos Magnticos

    Analogia entre circuitos eltricos e magnticos: vide ta-bela 2

    Tabela 2: Analogia entre circuitos eltricos e magnticos.

    Circuitos eltricos Circuitos magnticos

    Fora eletromotriz (V) V Vm Fora magnetomotriz (Aesp)

    Corrente (A) I Fluxo magntico (Wb)

    Resistncia () R < Relutncia (Aesp/Wb)Condutividade (S/m) Permeabilidade (H/m)

    Lei de Ohm V = RI Vm =

  • 16

    3.3 Tempo de Relaxao

    =

    (58)

    3.4 Lei de Faraday

    Forma geral:

    Vfem = t(59)

    Para circuito de uma nica espir