formulações não-lineares de elementos finitos para análise

241
MESTRADO EM CONSTRUÇÃO METÁLICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ESCOLA DE UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ALEXANDRE DA SILVA GALVÂO DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Orientadores: Ricardo Azoubel da Mota Silveira Convênio USIMINAS/UFOP/FUNDAÇÃO Ouro Preto, março de 2000 Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 1: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

MESTRADO EM CONSTRUÇÃO METÁLICA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

ESCOLA DE

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO

ALEXANDRE DA SILVA GALVÂO

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Orientadores: Ricardo Azoubel da Mota Silveira

Convênio USIMINAS/UFOP/FUNDAÇÃO Ouro Preto, março de 2000

Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - ESCOLA DE MINASDEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

PROGRAMA DE PÓS – GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análisede Sistemas Estruturais Metálicos Reticulados Planos

AUTOR: ALEXANDRE DA SILVA GALVÃO

ORIENTADOR: Prof. Dr. Ricardo Azoubel da Mota Silveira

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação do Departamento de EngenhariaCivil da Escola de Minas da UniversidadeFederal de Ouro Preto, como parte integrantedos requisitos para obtenção do título deMestre em Engenharia Civil, área deconcentração: Construções Metálicas.

Ouro Preto, março de 2000.

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III

“...A ciência é a potência do homem, e, o amor, a sua força;o homem só se torna homem pela inteligência, mas só é homempelo coração.

Saber, amar e poder; eis a vida completa.”

Henri-Frédéric Amiel (1821-1891)

A minha família.

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IV

MEUS AGRADECIMENTOS

“Dê-me uma alavanca e um ponto de apoio,e eu faço mover o mundo.”

Arquimedes (287AC-217AC)

• Aos meus pais e ao meu irmão, por serem o meu mundo.

• Ao meu professor e orientador Ricardo Azoubel da Mota Silveira, por ter

sido a alavanca e o apoio dessa nossa empreitada.

• À Escola de Minas, por ser parte da minha vida.

• Aos meus colegas, pelo prazer da convivência nesses dois anos.

• À CAPES e à USIMINAS, pela ajuda financeira.

Page 7: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

V

RESUMO

Este trabalho tem como principais objetivos o estudo e a implementação computacional

de formulações geometricamente não-lineares para elementos finitos reticulados planos

encontradas na literatura recente. Essas formulações, além de permitir a determinação da matriz

de rigidez e do vetor de forças internas de forma direta, podem ser acopladas com relativa

facilidade a várias estratégias de solução não-linear.

Procurando fornecer diferentes opções de modelagem de problemas de instabilidade

usando esses elementos finitos reticulados planos, foram implementadas as seguintes

formulações geometricamente não-lineares: (i) formulações definidas por Alves (1993b) e

Torkamani et al. (1997), implementadas aqui com procedimentos distintos de se avaliar o vetor

de forças internas: forma total e forma incremental; (ii) formulações propostas por Yang e Kuo

(1994), que se basearam em modelos linearizado, linearizado-simplificado e com termos de

ordem elevada; foram ainda introduzidas por esses autores duas abordagens diferentes,

implementadas neste trabalho, de obtenção do vetor de forças internas: deslocamentos naturais

incrementais e rigidez externa; e (iii) formulações em referencial Lagrangiano total, propostas

por Pacoste e Eriksson (1997), baseadas em diferentes relações cinemáticas e definições de

deformações; cinco formulações foram sugeridas por esses pesquisadores, onde todas foram

testadas no presente trabalho.

Essas formulações foram adaptadas à metodologia de solução não-linear que usa o

método de Newton-Raphson (Silveira, 1995), acoplado às diferentes estratégias de incremento

de carga e de iteração que permitem a ultrapassagem de pontos críticos (bifurcação e limite) que

possam existir ao longo da trajetória de equilíbrio.

A avaliação da eficiência computacional dessas formulações é feita no final do trabalho

através da análise de problemas estruturais fortemente não-lineares encontrados na literatura.

• Alves, R.V. (1993b). Formulação para Análise Não-Linear Geométrica em Referencial Lagrangiano

Atualizado. 3o Seminário de Doutorado, COPPE/UFRJ.• Pacoste, C. e Eriksson, A. (1997). Beam elements in instability problems. Comput. Methods Appl.Mech. Engrg., No 144, p. 163-197.• Silveira, R.A.M. (1995). Análise de Elementos Estruturais Esbeltos com Restrições Unilaterais deContato. Tese de Doutorado. PUC-RJ, Rio de Janeiro, RJ.• Torkamani, M.A.M., Sonmez, M. e Cao, J. (1997). Second-Order Elastic Plane-Frame Analysis UsingFinite-Element Method. Journal of Structural Engineering, Vol 12, No 9, p. 1225-1235.• Yang, Y.B. e Kuo, S.B. (1994). Theory & Analysis of Nonlinear Framed Structures, Prentice Hall.

Page 8: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

VI

ABSTRACT

The main objectives of this work are the computational implementation and study of

geometrically non-linear formulations for two dimensional frame elements. In the formulations

here studied, the stiffness matrix and the internal forces vector can be obtained directly, and

they can be easily coupled to different non-linear solution strategies.

In order to give different options for the solutions of instability problems these two

dimensional frame elements, the following geometrically non-linear formulations were

implemented: (i) Alves (1993b) e Torkamani et al. (1997) formulations, where two different

procedures to obtain the internal forces vector (total and incremental approaches) were tested;

(ii) Yang and Kuo (1994) formulations, where a simplified, a linear-simplified and a higher

order planar frame element were used; these authors introduced two methodologies to obtain the

internal load vector: natural deformation and external stiffness approaches; (iii) Pacoste and

Eriksson (1997) formulations, where a total reference frame (total Lagrangian formulation) was

adopted, and different kinematic assumptions and strain definitions were used; five different

formulations were presented and tested in the present work.

These formulations were coupled to the non-linear solution methodology implemented

initially by Silveira (1995), which solves the resulting non-linear equations and obtains the non-

linear equilibrium paths through the Newton-Raphson method together with path following

techniques, such as the arc-length schemes proposed by Crisfield and orthogonal residual

procedures derived by Krenk.

The performance and capacity of these formulations are illustrated by means of several

numerical examples.

• Alves, R.V. (1993b). Formulação para Análise Não-Linear Geométrica em Referencial Lagrangiano

Atualizado. 3o Seminário de Doutorado, COPPE/UFRJ.• Pacoste, C. and Eriksson, A. (1997). Beam elements in instability problems. Comput. Methods Appl.Mech. Engrg., No 144, p. 163-197.• Silveira, R.A.M. (1995). Análise de Elementos Estruturais Esbeltos com Restrições Unilaterais deContato. Tese de Doutorado. PUC-RJ, Rio de Janeiro, RJ.• Torkamani, M.A.M., Sonmez, M. and Cao, J. (1997). Second-Order Elastic Plane-Frame AnalysisUsing Finite-Element Method. Journal of Structural Engineering, Vol 12, No 9, p. 1225-1235.• Yang, Y.B. and Kuo, S.B. (1994). Theory & Analysis of Nonlinear Framed Structures, Prentice Hall.

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SUMÁRIO

Resumo#$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$!

Abstract$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ !"

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Capítulo 1#&#INTRODUÇÃO

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Capítulo 2#&#ASPECTOS IMPORTANTES DE UMA SOLUÇÃO NÃO-LINEAR

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Page 10: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Capítulo 3 – FORMULAÇÕES NÃO-LINEARES DE ELEMENTOS FINITOS:ALVES (1993b) e TORKAMANI et al. (1997)

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Capítulo 4 – FORMULAÇÕES NÃO-LINEARES DE ELEMENTOS FINITOS:YANG e KUO(1994)

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Capítulo 5 – FORMULAÇÕES NÃO-LINEARES DE ELEMENTOS FINITOS:PACOSTE e ERIKSSON (1997)

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Page 11: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Capítulo 6#&#PROGRAMA COMPUTACIONAL

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Capítulo 7 &#EXEMPLOS NUMÉRICOS

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Page 12: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Capítulo 8#&#CONCLUSÕES E SUGESTÕES

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$'P=

Page 13: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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LISTA DE FIGURAS

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Capítulo 2

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Capítulo 3

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Capítulo 4

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Capítulo 6

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Page 14: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Capítulo 7

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Page 15: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 16: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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LISTA DE TABELAS

Sm[OFQ

Capítulo 7

6QbIUQ#E$'#&#.IRZJL#MQR#^LHJZUQWgIR $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$??

6QbIUQ#E$3#&#.IRZJL#MQR#^LHJZUQWgIR $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$'AA

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Page 17: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 18: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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LISTA DE SÍMBOLOS

Capítulo 2

λ SQHTJIKHL#MI#GQH[Q#HIRNLFRm`IU#NIUL#IRGQULFQJIFKL#MI#Fr$

ζ 6LUIHTFGOQ#QL#HIRVMZL#HInZIHOMQ#FL#NHLGIRRL#MI#GLF`IH[rFGOQ$

ζ' <QKLH#MI#GLF`IH[rFGOQ#bQRIQML#IJ#HIUQWgIR#MI#^LHWQ$

ζ3 <QKLH#MI#GLF`IH[rFGOQ#bQRIQML#IJ#HIUQWgIR#MI#MIRULGQJIFKLR$

δλ (LHHIWXL#ML#NQHTJIKHL#MI#GQH[Q#Q`QUOQML#QL#ULF[L#ML#GOGUL#OKIHQKO`L$

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∆λ_j@'c#I#∆λj "FGHIJIFKL#ML#NQHTJIKHL#MI#GQH[Q#Q`QUOQML#FQ#OKIHQWXL#QFKIHOLH#_j@'c#I

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∆λA "FGHIJIFKL#OFOGOQU#ML#NQHTJIKHL#MI#GQH[Q$

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FQ#OKIHQWXL#GLHHIFKI#j$

ξj <QKLH#MI#IRGQUQ#ZKOUOYQML#FL#NHLGIRRL#MI#OKIHQWXL#Q#HIRVMZL#LHKL[LFQU$

Fi !IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR$

Fr !IKLH#MI#HI^IHrFGOQ$

g !IKLH#MI#^LHWQR#HIROMZQOR$

gw !IKLH# MQR# ^LHWQR# HIROMZQOR# GLHHIRNLFMIFKI# QLR# MIRULGQJIFKLR# MQ

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I DQKHOY#OMIFKOMQMI$

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NQRRL#MI#GQH[Q#QFKIHOLH$

Page 19: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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K DQKHOY#MI#HO[OMIY#HINHIRIFKQKO`Q#ML#RORKIJQ#IRKHZKZHQU$

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K yUKOJQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#NHLGIRRQMQ$

K#z#∆K (LF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#NHLGZHQMQ#FL#NQRRL#MI#GQH[Q#GLHHIFKI$

u !IKLH#MI#MIRULGQJIFKLR#FLMQOR$

∆u !IKLH#MI#MIRULGQJIFKLR#FLMQOR#OFGHIJIFKQOR$

∆u_j@'c#I#∆u#j !IKLH# MI# MIRULGQJIFKLR# FLMQOR# OFGHIJIFKQOR# Q`QUOQML# FQ# OKIHQWXL

QFKIHOLH#_j@'c#I#FQ#OKIHQWXL#GLHHIFKI#j$

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δu !IKLH#MI#MIRULGQJIFKLR#HIROMZQOR$

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δu_j@'c#I#δuj !IKLH# MI# MIRULGQJIFKLR# HIROMZQOR# OFGHIJIFKQOR# Q`QUOQML# FQ# OKIHQWXL

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δur SQHGIUQ#MI#δu HI^IHIFKI#{R#^LHWQR#MI#HI^IHrFGOQ#Fr$

δu6 !IKLH#MLR#MIRULGQJIFKLR#KQF[IFGOQOR$

jwuδ !IKLH#MLR#MIRULGQJIFKLR#OKIHQKO`LR$

Capítulo 3

Π# -FIH[OQ#NLKIFGOQU#KLKQU$

ψ .LKQWXL#MI#GLHNL#HV[OML#_KLKQU#LZ#OFGHIJIFKQUc$

∆θ .LKQWXL#OFGHIJIFKQU#MI#ZJ#NLFKL#nZQUnZIH#ML#IUIJIFKL$

∆Π# "FGHIJIFKL#MQ#IFIH[OQ#NLKIFGOQU#KLKQU$

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∆ηff SQHGIUQ#MI#∆εff#nZI#GLFKoJ#LR#KIHJLR#nZQMHmKOGLR$Kε ,I^LHJQWXL#QfOQU#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#K$

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A| DQKHOY#MI#GLJNQKObOUOMQMI#GOFIJmKOGQ$

Page 20: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Fr !IKLH#MI#^LHWQR#MI#HI^IHrFGOQ$

g !IKLH#MI#^LHWQR#HIROMZQOR$

H DQKHOY# nZI# GLFKoJ# QR# ^ZFWgIR# MI# OFKIHNLUQWXL# nZI# HIUQGOLFQJ# LR

MIRULGQJIFKLR# OFGHIJIFKQOR# ∆d# GLJ# LR# MIRULGQJIFKLR# FLMQOR

OFGHIJIFKQOR#∆u$

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D DLJIFKL#^UIKLH#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#K$

D'#I#D3 DLJIFKLR#FLMQOR#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#K$

S <LHWQ#QfOQU#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#K$AR DQKHOY# MI# HLKQWXL# ML# IUIJIFKL# [IFoHOGL# uIva# FQ# GLF^O[ZHQWXL# OFOGOQU

OFMI^LHJQMQ#K#q#A$

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ULGQU#QKZQUOYQML#FQ#xUKOJQ#OKIHQWXL#NHLGIRRQMQa#K$KR DQKHOY# MI# HLKQWXL# ML# IUIJIFKL# GQUGZUQMQ# FQ# xUKOJQ# GLF^O[ZHQWXL# MI

InZOUVbHOL#GLJNZKQMQa#K$

Page 21: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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∆u !IKLH#MI#MIRULGQJIFKLR#FLMQOR#OFGHIJIFKQOR$

∆un !IKLH#MI#MIRULGQJIFKLR#FQKZHQOR#OFGHIJIFKQOR$

Z∆ "FGHIJIFKL# MI# MIRULGQJIFKL# QfOQU# MI# ZJ# NLFKL# MORKQFKI# }# MQ# UOFhQ

FIZKHQ#MQ#RIWXL#KHQFR`IHRQU$

∆># "FGHIJIFKL#MQ#IFIH[OQ#OFKIHFQ#MI#MI^LHJQWXL$

∆!# "FGHIJIFKL#MQ#IFIH[OQ#NLKIFGOQU#MQR#^LHWQR#IfKIHFQR$

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Capítulo 4

ψ .LKQWXL#OFGHIJIFKQU#MI#GLHNL#HV[OML$

∆θ .LKQWXL#OFGHIJIFKQU#MI#ZJ#NLFKL#nZQUnZIH#ML#IUIJIFKL$

∆Π# "FGHIJIFKL#MQ#IFIH[OQ#NLKIFGOQU#KLKQU$∆Kτf}# "FGHIJIFKL#MI#KIFRXL#GORQUhQFKI$

∆εff "FGHIJIFKL#MI#MI^LHJQWXL#QfOQU$

∆εf} "FGHIJIFKL#MI#MI^LHJQWXL#GORQUhQFKI$

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∆ηff SQHGIUQ#MI#∆εff#nZI#GLFKoJ#LR#KIHJLR#nZQMHmKOGLR$

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Page 22: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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∆KFi "FGHIJIFKL#ML#`IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR$KFi# !IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR#GQUGZUQMQR#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#K$

Fr !IKLH#MI#^LHWQR#MI#HI^IHrFGOQ$

g !IKLH#MI#^LHWQR#HIROMZQOR$

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K'#I#K3 DQKHOYIR#MI#HO[OMIY#FXL@UOFIQH#MI#NHOJIOHQ#LHMIJ#I#RI[ZFMQ#LHMIJ$

KHI# DQKHOY#MI#HO[OMIY#IfKIHFQ$K8 (LJNHOJIFKL#ML#IUIJIFKL#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#K$Kz∆K8 (LJNHOJIFKL#ML#IUIJIFKL#FQ#GLF^O[ZHQWXL#GLHHIFKI#Kz∆K$KD DLJIFKL#^UIKLH#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#K$

D'#I#D3 DLJIFKLR#FLMQOR#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#K$KS <LHWQ#QfOQU#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#K$K~ -R^LHWL#GLHKQFKI#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#K$

Ra DQKHOY# MI# HLKQWXL# IFKHI# L# RORKIJQ# [ULbQU# MI# HI^IHrFGOQR# I# L# RORKIJQ

ULGQU#QKZQUOYQML#FQ#xUKOJQ#OKIHQWXL#NHLGIRRQMQa#K$KR DQKHOY# MI# HLKQWXL# ML# IUIJIFKL# GQUGZUQMQ# FQ# xUKOJQ# GLF^O[ZHQWXL# MI

InZOUVbHOL#GLJNZKQMQa#K$Uf}+ SQHGIUQ#UOFIQH#MI#∆Kτf}$

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InZOUVbHOL#K$

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Page 23: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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>8# SQHGIUQ#MI#∆>#nZI#Mm#LHO[IJ#{#JQKHOY#MI#HO[OMIY#UOFIQH#KL$

∆u !IKLH#MI#MIRULGQJIFKLR#FLMQOR#OFGHIJIFKQOR$

∆un !IKLH#MI#MIRULGQJIFKLR#FQKZHQOR#OFGHIJIFKQOR$

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∆Z#I#∆` ,IRULGQJIFKLR# OFGHIJIFKQOR# MI# ZJ# NLFKL# nZQUnZIH# ML# IUIJIFKLa# FQ

MOHIWXL#MLR#IOfLR#f#I#}#HIRNIGKO`QJIFKI$

Z∆ "FGHIJIFKL# MI# MIRULGQJIFKL# QfOQU# MI# ZJ# NLFKL# MORKQFKI# }# MQ# UOFhQ

FIZKHQ#MQ#RIWXL#KHQFR`IHRQU$

∆!# "FGHIJIFKL#MQ#IFIH[OQ#NLKIFGOQU#MQR#^LHWQR#IfKIHFQR$

Capítulo 5

θH .LKQWXL#MI#GLHNL#HV[OML$

θF .LKQWXL#FQKZHQU$

θ .LKQWXL#MI#ZJ#NLFKL#nZQUnZIH#ML#IUIJIFKL$

θ'#I#θ3 .LKQWgIR#FLMQOR$

Π# -FIH[OQ#NLKIFGOQU#KLKQU$

εff ,I^LHJQWXL#QfOQU$

εf} ,I^LHJQWXL#GORQUhQFKI$

γ# ,I^LHJQWXL#GORQUhQFKIi#γ#q#3$#εf}$

a#_fc# !IKLH#ZFOKmHOL#LHKL[LFQU#Q#_+c$

/ ;HIQ#MQ#RIWXL#KHQFR`IHRQU#ML#IUIJIFKL$

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Page 24: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 25: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 26: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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O desenvolvimento de novos materiais e técnicas construtivas, bem como os

recursos computacionais disponíveis hoje, têm levado ao emprego de elementos

estruturais cada vez mais esbeltos. A medida que se aumenta a esbeltez de um dado

elemento estrutural, este torna-se cada vez mais susceptível a sofrer grandes deflexões

laterais, que tendem a ocorrer antes da ruptura física. Para se projetar esse tipo de

estrutura deve-se usar o chamado critério de estabilidade. O estudo da não-linearidade

geométrica desses elementos estruturais torna-se, portanto, cada vez mais importante,

possibilitando em certos casos o aparecimento de múltiplas configurações de equilíbrio

(estáveis e instáveis), e a existência de pontos críticos (pontos limites e pontos de

bifurcação) ao longo do caminho não-linear de equilíbrio onde a estrutura pode exibir

saltos dinâmicos.

Portanto, o conhecimento do comportamento não-linear de elementos estruturais

esbeltos, tais como colunas, arcos, anéis, placas e cascas, é de fundamental importância

na solução de problemas de estabilidade/instabilidade local e/ou global de sistemas

estruturais complexos, pois na maioria das aplicações de engenharia esses sistemas são

formadas a partir da união desses elementos.

A análise da estabilidade de sistemas estruturais esbeltos através do Método dos

Elementos Finitos (MEF) envolve invariavelmente a solução de um sistema de equações

algébricas não-lineares. Como relatado no artigo de Riks (1979) e também destacado

em Silveira (1995), existem basicamente duas classes de solução desse sistema de

equações:

Page 27: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

2

1. Adaptação computacional do método de perturbação desenvolvido por Koiter

(1970). Durante muitos anos o método de Koiter foi considerado inadequado ao

contexto de elementos finitos, entretanto, trabalhos recentes como os

desenvolvidos por Salerno e Lanzo (1997) e Wu e Wang (1997) provam o

contrário, renovando o interesse dos pesquisadores por esse método;

2. Métodos que procuram resolver as equações não-lineares passo a passo. Incluídos

nessa segunda classe estão os métodos puramente incrementais, as técnicas

baseadas em relações de rigidez secante e os esquemas que combinam

procedimentos incrementais e iterativos, que são atualmente considerados os mais

eficientes e que serão utilizado no presente trabalho.

Recentemente, muitos pesquisadores têm desenvolvido formulações

geometricamente não-lineares para elementos finitos (Alves 1993a-b; Crisfield, 1991;

Yang e Kuo, 1994; Pacoste e Eriksson, 1997; Torkamani et al., 1997; Neuenhofen e

Fillippou, 1997 e 1998), que têm sido adequadamente empregadas na modelagem de

vários sistemas estruturais esbeltos. Essas formulações permitem a determinação da

matriz de rigidez e do vetor de forças internas de forma direta e podem ser acopladas

com relativa facilidade às várias estratégias de solução não-linear.

Essas considerações motivaram a adoção desse tema para a presente dissertação

de mestrado.

Page 28: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

3

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O presente trabalho é parte integrante das seguintes linhas de pesquisa do

Mestrado em Construção Metálica (Deciv/EM/UFOP):

• Análise Numérica e Computacional em Engenharia: tem como objetivo a

aplicação de métodos numéricos, como o método dos elementos finitos (MEF) e/ou o

método dos elementos de contorno (MEC), na determinação de respostas de sistemas de

engenharia;

• Instabilidade das Estruturas: objetiva o estudo do equilíbrio e estabilidade de

elementos estruturais esbeltos (colunas, arcos, anéis, placas e cascas) submetidos a

carregamentos diversos.

O principal objetivo deste trabalho é o estudo e implementação computacional de

formulações geometricamente não-lineares, para elementos finitos reticulados planos.

Essas formulações serão integradas à metodologia de solução numérica implementada

por Silveira (1995) e expandida por Rocha (2000), que implementou com sucesso

algumas estratégias de solução não-linear encontradas recentemente na literatura.

A seguir, na Seção (1.3), é feita uma revisão bibliográfica onde atenção especial é

dada aos trabalhos que tratam diretamente de formulações geometricamente não-

lineares.

No Capítulo 2 é feita uma explanação geral sobre a metodologia de solução não-

linear adotada, apresentando de maneira resumida as estratégias de incremento de carga

e iterações usadas no presente trabalho.

Os Capítulos 3, 4 e 5 pretendem apresentar de forma detalhada o desenvolvimento

teórico das formulações de elementos finitos não-lineares, que é o principal objeto de

estudo desta dissertação. Na descrição dessas formulações merecem destaque as

relações deformação-deslocamento, as deduções das equações de equilíbrio, o tipo de

elemento finito e as funções de interpolação utilizadas e, finalmente, a obtenção dos

vetores de forças internas e das matrizes de rigidez.

O Capítulo 6 apresenta de forma resumida os procedimentos adotados na

implementação computacional das formulações apresentadas nos Capítulos 3, 4 e 5,

onde atenção especial é dada à montagem da matriz de rigidez e do vetor de forças

internas.

Page 29: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

4

As formulações apresentadas nos Capítulos 3, 4 e 5 são analisadas no Capítulo 7,

que apresenta exemplos de problemas estruturais encontrados na literatura. A Seção

(7.2) fornece cinco exemplos clássicos que, por serem mais simples, têm soluções

analíticas (exatas) encontradas na literatura. Em função da confiabilidade dessas

análises, seus resultados têm o objetivo de avaliar a qualidade dos resultados produzidos

pelas diferentes formulações. Com o intuito de validar as observações feitas na Seção

(7.2), são abordados na Seção (7.3) cinco problemas estruturais de estabilidade elástica

fortemente não-lineares, cujas soluções, obtidas numericamente por diversos

pesquisadores, são encontradas na literatura.

Finalmente, no Capítulo 8, são apresentadas as conclusões sobre o emprego das

diversas formulações analisadas nos exemplos do Capítulo 7. São fornecidas também

algumas sugestões para o desenvolvimento de trabalhos futuros.

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Nas últimas décadas as técnicas de análise de estruturas geometricamente não-

lineares têm tido grande interesse por parte dos pesquisadores. Particular atenção tem

sido direcionada ao desenvolvimento de formulações de elementos finitos reticulados

planos que, além de possibilitar uma análise rápida e eficaz de muitos sistemas

estruturais reais, possibilita o emprego direto de estratégias de solução não-lineares que,

posteriormente, podem ser adaptadas para outros tipos de elementos.

Na década de 60 foram introduzidas várias formulações geometricamente não-

lineares de elementos finitos para análise de pórticos planos, com solução direta e

incremental. Entre elas pode-se destacar as formulações em referencial Lagrangiano

total (RLT) desenvolvidas por Mallet e Marçal (1968) e Jennings (1968), que incluíram

as matrizes de ordem elevada 4! == e no cálculo da matriz de rigidez do elemento.

Martin (1965), que desenvolveu uma formulação em referencial Lagrangiano atualizado

(RLA), incluiu no cálculo da matriz de rigidez do elemento a matriz geométrica >= ,

porém desprezou a contribuição de 4! == e . Ebner (1972) realizou um estudo

Page 30: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

5

comparativo entre as formulações de Argyris (1964), Martin (1965), Jennings (1968),

Mallet e Marçal (1968) e Powell (1969).

Epstein e Murray (1976) desenvolveram uma formulação para elementos de

pórticos planos análoga à formulação para elementos de casca, para grandes

deformações, apresentada por Budiansky (1968).

Recentemente, formulações em referenciais Lagrangianos (RLT e RLA) foram

apresentadas por vários pesquisadores, dos quais pode-se citar: Wen et al. (1983);

Chajes et al. (1987); Goto et al. (1987); Wong e Loi (1990); Alves (1993a-b) e

Torkamani et al. (1997). Yang e Kuo (1994) sugeriram uma forma incremental de se

calcular o vetor de forças internas com duas abordagens diferentes para os

deslocamentos nodais: deslocamentos naturais incrementais e rigidez externa. Pacoste e

Eriksson (1995 e 1997) introduziram formulações em RLT baseadas em relações

deformação-deslocamento denominadas ‘relações melhoradas’, com a não-linearidade

expressa por funções trigonométricas.

Singh e Singh (1992) propuseram um modelo com matriz de rigidez e vetor de

forças internas modificáveis de acordo com a natureza das forças axiais.

Um procedimento geral para a obtenção de matrizes de rigidez simétricas foi

proposto por Moran et al. (1998). Neuenhofer e Filippou (1998) propuseram uma

formulação baseada no método da flexibilidade.

Crisfield (1991) afirmou em seu livro que o termo corrotacional tem sido

utilizado na literatura em diferentes contextos, sendo portanto, como afirmam ainda

Pacoste e Eriksson (1997), uma denominação inconsistente. A idéia central desse tipo

de formulação é o cálculo da matriz rigidez e do vetor de forças internas no campo dos

deslocamentos naturais (ou locais), que são os deslocamentos referidos a um sistema de

coordenadas que é atualizado a cada passo de carga, acompanhando a rotação sofrida

pelo elemento. Das formulações com abordagem corrotacional publicadas recentemente

pode-se destacar a formulação em RLA proposta por Crisfield (1991) e as formulações

desenvolvidas em RLT por Pacoste e Eriksson (1997) e Xu e Mirmiran (1997).

Ao contrário da teoria de vigas de Bernoulli, na teoria de vigas de Timoshenko os

efeitos devidos às deformações cisalhantes na seção transversal não são desprezados no

cálculo da rigidez da estrutura. Formulações baseadas na teoria de vigas de Timoshenko

Page 31: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

6

foram propostas por Iwakuma (1990), Lee et al. (1994), Petrolito (1995) e Pacoste e

Eriksson (1997).

Os sistemas estruturais formados por barras curvas podem ser analisados com as

formulações de elementos finitos de vigas retas. Porém, com o intuito de melhorar a

eficiência dessas análises foram desenvolvidas formulações de elementos finitos curvos.

Entre os trabalhos recentes, merecem destaque as formulações de elementos curvos

propostas por Marquist e Wang (1989), Kim e Kim (1998), e Raveendranath et al.

(1999); e as formulações de elementos parabólicos propostas por Litewka e Rakowski

(1997 e 1998).

Paralelamente aos elementos para análises bidimensionais, têm-se desenvolvido o

estudo de elementos finitos para análise geometricamente não-linear de pórticos

tridimensionais. Sabe-se de antemão que uma formulação não-linear tridimensional não

é uma simples extensão de uma formulação bidimensional porque as rotações finitas

tridimensionais não são quantidades vetoriais. Recentemente, vários pesquisadores têm

publicado formulações não-lineares para análise estática de pórticos tridimensionais.

Entre eles pode-se destacar Yang e Kuo (1994), que propôs formulações para elementos

tridimensionais retos e curvos; Choi e Lim (1995), com uma formulação de elemento

curvo; al.et coviIbrahimbeg ′ (1996); Ammar et al. (1996), com formulações para

elementos de vigas esbeltas e não-esbeltas; Matsununga (1996), com uma formulação

para pilares não-esbeltos; Pacoste e Eriksson (1997), que propuseram formulações com

abordagem total e corrotacional; Rhim e Lee (1998), que desenvolveram uma

formulação dando um tratamento vetorial à geometria do problema; e Li (1998), que

elaborou uma formulação aplicando a teoria de rotações finitas.

Tem-se produzido também um grande número de formulações geometricamente

não-lineares incluindo análise elasto-plástica de sistemas estruturais reticulados. Essas

formulações têm como principal característica a adotação do critério de escoamento

plástico na determinação das tensões. Nessa linha de pesquisa pode-se destacar os

seguintes trabalhos já publicados: Hsiao et al. (1988), Lee (1988), Meek e Loganathan

(1990), Chang-New Chen (1996), Park e Lee (1996), Ovunc e Ren (1996), Saje et al.

(1997), Saje et al. (1998), Waszczyszyn e Michalska (1998).

Page 32: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

7

Nos últimos 20 anos, os avanços tecnológicos e as exigências do mercado de

engenharia, que introduziram maior complexidade e eficiência aos cálculos estruturais,

levaram os pesquisadores a procurarem metodologias de solução que ao mesmo tempo

produzissem resultados precisos e fossem de rápido processamento. Juntamente com as

pesquisas relativas ao desenvolvimento de formulações não-lineares, muitos trabalhos

têm sido produzidos com a finalidade de se determinar a melhor estratégia de solução

não-linear. Os métodos que têm mostrado maior eficiência são os que combinam

procedimentos incrementais e iterativos. Como trabalhos pioneiros podem ser citados os

desenvolvidos por: Argyris (1964), com a aplicação de um método incremental para

solução não-linear; Mallet e Marçal (1968), que utilizaram iterações do tipo Newton

para contornarem os possíveis erros nas aproximações incrementais; Zienkiewicz

(1971), que apresentou uma modificação no método de Newton-Raphson, fazendo com

que a matriz de rigidez só fosse atualizada a cada passo de carga.

Diversos trabalhos têm sido publicados apresentando diferentes estratégias de

controle automático do processo incremental, bem como diferentes estratégias de

iteração. Utilizando um ‘parâmetro de rigidez corrente’ como indicador do grau de não-

linearidade do sistema, Bergan et al. (1978) e Bergan (1980) suprimiram as iterações de

equilíbrio nas zonas críticas da trajetória, até os pontos limites serem atravessados; os

trabalhos de Bergan et al. (1978) e Heijer e Rheinbold (1981) forneceram diferentes

estratégias de incremento de carga.

Batoz e Dhatt (1979) apresentaram uma técnica na qual o ciclo iterativo é

realizado não à carga constante, mas a deslocamento constante, o que permite se obter

os pontos limites de carga mas não os de deslocamento; Riks (1979) apresentou um

método, baseado no parâmetro comprimento de arco ∆l, capaz de calcular pontos limites

de carga e de deslocamento com a introdução de um parâmetro que controla o progresso

dos cálculos ao longo do caminho de equilíbrio; Meek e Tan (1984) apresentaram um

resumo das principais técnicas para se ultrapassar os pontos limites, das quais a técnica

do comprimento de arco foi reconhecida como uma das mais eficientes. Contribuíram

com essa técnica: Riks (1972 e 1979), Ramm (1981), Schweizerhof e Wriggers (1986) e

Crisfield (1981, 1991 e 1997).

Yang e Kuo (1994) introduziram estratégias de incremento de carga e iteração

baseadas em relações de restrição para as quais é definido um parâmetro generalizado,

Page 33: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

8

Krenk (1993 e 1995) elaborou uma nova estratégia de iteração, introduzindo duas

condição de ortogonalidade: a primeira entre o vetor de cargas residuais e o incremento

de deslocamento e a outra entre o incremento de forças internas e o vetor de

deslocamentos iterativos.

Crisfield (1997) introduziu procedimentos numéricos que permitem avaliar com

precisão os pontos críticos existentes, e obter as trajetórias de equilíbrio secundárias.

Silveira et al. (1999a-b) forneceram uma metodologia geral de solução de

sistemas de equações algébricas não-lineares que, num contexto computacional pode ser

resumida em duas partes: (i) a partir de uma dada configuração de equilíbrio da

estrutura é calculada uma solução incremental inicial; (ii) em seguida, essa solução é

corrigida com iterações do tipo Newton até ser atingida a nova configuração de

equilíbrio. Nesses dois trabalhos diversas estratégias de iteração e incremento de carga

foram testadas. Utilizando a mesma metodologia, Rocha (2000), em sua Dissertação de

Mestrado, vem realizando um estudo comparativo de diversas estratégias de iteração e

incremento de carga através da análise de vários exemplos numéricos de sistemas

estruturais.

Page 34: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

2SOLUÇÃO NÃO-LINEAR

2.1 – INTRODUÇÃO

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Page 35: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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2.2 - SOLUÇÃO NÃO-LINEAR

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Page 36: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 37: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 38: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 39: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 40: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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2.3. – REFERENCIAIS LAGRANGIANOS

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Page 41: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 42: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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2.4 – ESTRATÉGIAS DE INCREMENTO DE CARGA

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Page 43: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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2.4.1 – Incremento do Comprimento de Arco

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Page 44: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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2.4.2 – Incremento Baseado no Parâmetro GSP

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Page 45: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 46: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

3'

2.5 – ESTRATÉGIAS DE ITERAÇÃO

/# MIKIHJOFQWXL# ML# NQHTJIKHL# MI# GQH[Q# OKIHQKO`La# δλ# o# ^ZFWXL# MI# ZJQ# MQMQ

IRKHQKo[OQ#MI#OKIHQWXLa#LZ#InZQWXL#MI#HIRKHOWXL#OJNLRKQ#QL#NHLbUIJQa#nZI#KIJ#Q#^ZFWXL

MI# LKOJOYQH# Q# GLF`IH[rFGOQ# ML# NHLGIRRL# OKIHQKO`L$# /# RI[ZOH# RXL# QNHIRIFKQMQR# MZQR

IRKHQKo[OQR#bQRKQFKI#I^OGOIFKIR#nZI#RIHXL#ZKOUOYQMQR#FLR#IfIJNULR#ML#(QNVKZUL#E$

2.5.1 – Comprimento de Arco Cilíndrico

(HOR^OIUM# _'?P'c# I# .QJJ# _'?P'# I# '?P3c# NHLNZRIHQJa# nZIa# Q# GQMQ# OKIHQWXLa# Q

RI[ZOFKI#InZQWXL#MI#HIRKHOWXL#RIpQ#RQKOR^IOKQi

36 U∆=∆∆ uu ##################################################################################################_3$3'c

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InZQWXL#nZQMHmKOGQ#IJ#δλa#LZ#RIpQi

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rg1 uuuu δδλ+δ+∆=∆ −'

jc'j_ ########################################################################_3$3=Qc

Page 47: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

33

rg2 uuuu δδλ+δ+∆=∆ −3

jc'j_ #######################################################################_3$3=bc

QnZIUQ#nZI#JQOR#RI#QNHLfOJQ#MQ#RLUZWXL#OFGHIJIFKQU#MQ#OKIHQWXL#QFKIHOLHa#∆u(k-1)$#-RRQ

IRGLUhQ#MI`I#NHI`IFOH#ZJ#NLRRV`IU# HIKLHFLa#L#nZI#^QHOQ#Q#RLUZWXL#HI[HIMOH#QL# ULF[L#ML

GQJOFhL#pm#GQUGZUQML$#>J#NHLGIMOJIFKL#ZKOUOYQMLa#GLFRORKI#IJ#RI#QGhQH#L#JIFLH#TF[ZUL

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ML#NQHTJIKHL#MI#GQH[Q#^LH#JZOKL#[HQFMIa#LZ#RI#Q#IRKHZKZHQ#IfObOH#JxUKONULR#GQJOFhLR#MI

InZOUVbHOL#IJ#KLHFL#MI#ZJ#NLFKL#_DIIj#I#6QFa#'?P=c$

2.5.2 – Iteração usando Deslocamento Generalizado

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rr

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δδ−=δλ 6K

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Page 48: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

3:

2.5.3 – Iteração usando Resíduo Ortogonal

>JQ#LZKHQ#IRKHQKo[OQ#MI#GLHHIWXL#ML#NQHTJIKHL#MI#GQH[Q#MZHQFKI#L#GOGUL#OKIHQKO`L

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GLFMOWXL# MI# LHKL[LFQUOMQMI# ML# `IKLH# HIRVMZL# MQ# OKIHQWXL# GLHHIFKI# IJ# HIUQWXL# QL

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LbKIFWXL# MLR# MIRULGQJIFKL# I# NQHTJIKHL# MI# GQH[Q# FQ# GLF^O[ZHQWXL# K##K ∆+ a# LZ# RIpQi

uK##K ∆+ #I# rFλ∆+ K##K $#/#RLUZWXL#OFGHIJIFKQU#NHIMOKQ#o#LbKOMQ#QRRZJOFML#L#OFGHIJIFKL#MI

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IRKHZKZHQ#NLMIJ#RIH#MIKIHJOFQMQRi# c_ AK uuFi ∆+ $#(LJL#L#NHLbUIJQ#o#FXL@UOFIQHa#IRRQR

^LHWQR# FXL# IRKQHXL# IJ# InZOUVbHOL# GLJ# QR# RLUOGOKQWgIR# IfKIHFQRi# rFc_ AK λ∆+λ $# )

InZOUVbHOL#ML#RORKIJQ#IRKHZKZHQU#o#IFKXL#IRKQbIUIGOML#NLH#ZJQ#RIn�rFGOQ#MI#OKIHQWgIR$#/

IRKHQKo[OQ#MI#OKIHQWXL#Q#RIH#QNHIRIFKQMQ#RI#NHILGZNQHm#NHOJIOHL#IJ#QpZRKQH#L#OFGHIJIFKL

MI#GQH[Q# rFAλ∆ a#NQHQa#IJ#RI[ZOMQa#GQUGZUQH#L#`IKLH#HIRVMZL#g#nZI#RIHm#ZRQML#FL#GmUGZUL

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)bRIH`I#nZIa#FL# GLJIWL#MQ# OKIHQWXL# ja# L# `IKLH# MLR# MIRULGQJIFKLR# OFGHIJIFKQORc'j_ −∆u # o# GLFhIGOMLa# MI# ^LHJQ# nZI# QR# ^LHWQR# OFKIHFQR# ML# RORKIJQ# c_ c'j_K −∆+ uuFi

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Page 49: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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MIRULGQJIFKLR#OFGHIJIFKQOR#QGLFKIGI#RI#Q#RI[ZOFKI#GLFMOWXL#^LH#`IHO^OGQMQi

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Page 50: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

3B

,IRRQ#^LHJQa#L#`IKLH#MQR#^LHWQR#HIROMZQORa#QNkR#L#QpZRKI#FL#NQHTJIKHL#MI#GQH[Qa#o

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NQHQ#NHLbUIJQR#IRKHZKZHQOR#GLJ#`mHOQR#MOJIFRgIR#NLMI@RI#IRKQbIUIGIH#MO`IHRQR#^LHJQR#MI

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Page 51: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 52: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

3E

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`IKLH#MQR#^LHWQR#OFKIHFQR#OFGHIJIFKQU# gw #I#L#FL`L#MIRULGQJIFKL#OKIHQKO`L# uδ $

2.6 – CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA

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Page 53: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 54: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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MIRULGQJIFKL# FXL@UOFIQHIR# ZRQMQR# FQR# MZQR# ^LHJZUQWgIRa# nZI# bQROGQJIFKI# RXL

HINHIRIFKQMQR# NIUL# KIFRLH# MI# 2HIIF@8Q[HQF[I# NQHQ# QR# MI^LHJQWgIR# QfOQORa# GLJ# Q

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HINHIRIFKQWXL#NIUQR# ^ZFWgIR#MI# OFKIHNLUQWXL#IJNHI[QMQR#MI# ZJ#IRKQMLR# MI# KIFRgIR# MI

JIJbHQFQ# ZFO^LHJI# LZ# FZUQ# RI[ZOFML# Q# RZ[IRKXL# ^IOKQ# NLH# (HOR^OIUM# _'??'c# MI

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Page 55: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 56: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 57: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 66: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 67: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 68: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 69: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 70: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 71: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 72: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 73: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 74: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 75: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 76: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 77: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 78: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 79: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 80: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 81: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 82: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 83: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 84: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 85: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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RORKIJQ#IRKHZKZHQU#IJ#IRKZML$#,L#NHOFGVNOL#MQ#IFIH[OQ#NLKIFGOQU#KLKQU#IRKQGOLFmHOQ#KIJ@RI

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GLJL#L#`IKLH#MI#^LHWQR#MIRInZOUObHQMQRa#GLJ#ROFQU#FI[QKO`La#LZ#RIpQi

Page 86: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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uLHMIJ#IUI`QMQva# IRRIR# MI`IJ# RIH# OFGUZVMLR# FQ# ^QRI# GLHHIKO`Q# MQ# RLUZWXL# OFGHIJIFKQU@

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^LHJZUQWgIRa#NLMI@RI#GLFROMIHQH#Q#JQKHOY#MI#HO[OMIY#MQ#RI[ZOFKI#^LHJQi

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L+L+4,-,7FHSO,NF,TSOUIV,PWHFOWIV

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/# NHOJIOHQ# JQFIOHQ# Q# RIH# QbLHMQMQ# GLFRORKI# IJ# RI# GQUGZUQH# QR# ^LHWQR# OFKIHFQR

QKHQ`oR# MLR# deslocamentos naturais incrementaisa# Q# RI[ZFMQ# ^LHJQ# bQRIOQ@RI# FQ

MI^OFOWXL#MI#ZJQ# umatriz de rigidez externava# I#nZI#RI[ZFML#dQF[#I#eZL# _'??=ca# o#L

NHLGIMOJIFKL# JQOR# RORKIJmKOGL# MI# RI# LbKIH# L# `IKLH# MI# ^LHWQR# OFKIHFQRa# NLOR# NLMI# RIH

ZKOUOYQML#NQHQ#LZKHLR#KONLR#MI#IUIJIFKLR$

-RRQR#MZQR#QbLHMQ[IFR#NQHQ#L#GmUGZUL#MQR#^LHWQR#OFKIHFQR#OFKHLMZYOMQR#NQHQ#QR#KHrR

^LHJZUQWgIR# QFKIHOLHIRa# [IHQJ# RIOR# IRnZIJQR# MO^IHIFKIR$# *L# NHIRIFKI# KHQbQUhLa# Q

QbLHMQ[IJ# MQ# umatriz de rigidez externav# Rk# ^LO# OFKHLMZYOMQ# NQHQ# L# JLMIUL

ulinearizadov$# /RROJa# RLJIFKI# nZQKHLa# MIRRIR# RIOR# NLRRV`IOR# IRnZIJQRa# RIHXL

GLFROMIHQMLR#FIRKI#KHQbQUhL$

Page 87: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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L+L+4+!,-,'FVJSXIYFWHSV,WIHMOIPV,PWXOFYFWHIPV

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GLFROMIHQ@RI#`mUOMQ#Q#HIUQWXLi

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simplificadav#MQMQ#NLHi

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[ ]63' #########A##################A######A###### φδφ=∆ WM ######################################################_=$='c

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Page 88: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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ψ−θ∆=φ '' ##################################################################################################_=$=:bc

ψ−θ∆=φ 33 #################################################################################################_=$=:Gc

>KOUOYQFML#Q#HIUQWXL#_=$:?c#pZFKQJIFKI#GLJ#_=$:Pc#GhI[Q@RIa#NLHKQFKLa#QL#`IKLH#MI

^LHWQR#FLMQOR#QbRLH`OMQR#NIUQ#IRKHZKZHQ#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#Kz∆Ka#MIKIHJOFQML

FL#RORKIJQ#ULGQU#NQHQ#L#IUIJIFKL#[IFoHOGL$

)#`IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR#MI`I#RIH#KHQFR^LHJQML#NQHQ#L#RORKIJQ#[ULbQU#QKHQ`oR#MQ

JQKHOY#%Ia#nZI#o#Q#JQKHOY#MI#HLKQWXL#IFKHI#L#RORKIJQ#[ULbQU#MI#HI^IHrFGOQR#I#L#RORKIJQ

ULGQU#QKZQUOYQML#FQ#xUKOJQ#OKIHQWXL#NHLGIRRQMQ$#)#`IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR#ML#RORKIJQ#oa

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L+L+4+4,-,?IHOPQ,NF,OPRPNFQ,FaHFOWI

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MIRGHOKQR#NIUL#`IKLHi

Page 89: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Ψ

Ψ

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JQKHOY# MI# HO[OMIY# IUmRKOGQa# NLOR# { },b,MG OF8 ##�# = $# SLHoJ# Q# JQKHOY# #τG FXL# NQRRQ# FL

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θ

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Page 90: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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( ) #K MGG< OFP ∆−=∆ #######################################################################################_=$=Pc

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LbKOML# RLJQFML@RI# LR# IR^LHWLR# OFKIHFLR# QbRLH`OMLR# NLH# GQMQ# IUIJIFKLa# MI`OMQJIFKI

KHQFR^LHJQMLR#NQHQ#L#RORKIJQ#[ULbQU#MI#HI^IHrFGOQ#QKHQ`oR#MQ#RI[ZOFKI#HIUQWXLi

∑=

∆+∆+ =J

'I

KK6[U#

KK # PIP <%< #################################################################################_=$=?c

SLMI@RI#Q^OHJQH#nZI#Q#QbLHMQ[IJ#GLJ#Q#OFKHLMZWXL#MQ#umatriz de rigidez externav

KIFMI#Q#NHLMZYOH#`QULHIR#NQHQ#QR# ^LHWQR# OFKIHFQR# KQFKL#JQOR#NHkfOJLR#MQnZIUIR#LbKOMLR

ZRQFML#‘deslocamentos naturais incrementaisv#nZQFKL#JIFLHIR#^LHIJ#LR#MIRULGQJIFKLR$

>JQ#JQFIOHQ#MI#RI#`ORZQUOYQH#IRKQ#Q^OHJQWXL#o#HIIRGHI`IH#Q#-nZQWXL#_=$=Pc#MQ#RI[ZOFKI

^LHJQi

[ ]OFP MMG< ∆−∆=K� ####################################################################################_=$BAc

LbRIH`QFML#QR#NHLNHOIMQMIR#MQ#JQKHOY#Ga#NLMI@RI#HIQHHQFpQH#_=$BAc#GLJL#RI[ZIi

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A#####

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Page 91: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

\\

)bRIH`I# nZI# L# `IKLH# MI# MIRULGQJIFKLR# JLRKHQML# QGOJQa# NQHQ# NInZIFQR# HLKQWgIRa# o

QNHLfOJQMQJIFKI#O[ZQU#QL#`IKLH# FM∆ a#GZpQR#GLJNLFIFKIR#RXL#MQMQR#IJ#_=$=3c$

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/#<O[ZHQ#=$'#QNHIRIFKQ#ZJ#HIRZJL#MQR#^LHJZUQWgIR#MIRIF`LU`OMQR#FIRKI#GQNVKZULpZFKQJIFKI#GLJ#RVJbLULR#NIULR#nZQOR#RIHXL#MIRO[FQMQR#FQ#RIn�rFGOQ#MIRKI#KHQbQUhL$

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@#!IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQRa##GLJ#IfGIWXL#MI,]30a##GQUGZUQML#QKHQ`oR#MLRi##deslocamentos naturais incrementaisi

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∆+

∆+∆=ε∆

33

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3'

MfZM

∆∆+∆∆+

∆+∆=ε∆Mf`M

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3'

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M}ZM

3'

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@#DQKHOY#MI#HO[OMIYi

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�#� �GG,G 8 +=

]30

@#<LHJZUQWXL#linearizadai∫ ∆∆+=∆Π τR

OO8 MR#Z#<##@>#>#

@#DQKHOY#MI#HO[OMIYi�#� �GG,G 8 +=

@#!IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQRi###matriz de rigidez externai

( ) #K MGG< OFP ∆−=∆

PPP <<< KKKK ######### ∆∆+ +=

]/#

@#<LHJZUQWXL linearizada-simplificadai

∫ ∆∆+=∆Π −τR

OO8R MR#Z#<##@>#>#

@#DQKHOY#MI#HO[OMIYi�#� �GG,G 8 +=

]9#

@#<LHJZUQWXL#GLJ ordem elevadai

@#DQKHOY#MI#HO[OMIYi

∫ ∆∆+++=∆Π τR

OO3'8 MR#Z#<##@>>>#>#

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3'

3� MMGMGGGG !8 ∆∆+∆++=

.IOIXHFOcVHPXIV,RFOIPVA

<O[ZHQ#=$3#&#.IRZJL#MQR#^LHJZUQWgIRi#dQF[#I#eZL#_'??=c$

Page 92: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

5FORMULAÇÕES NÃO-LINEARESDE ELEMENTOS FINITOS:PACOSTE e ERIKSSON (1997)

5.1 – INTRODUÇÃO

*IRKI#GQNVKZUL#RIHXL#QNHIRIFKQMQR#QR# ^LHJZUQWgIR#MI#IUIJIFKLR# ^OFOKLR#NHLNLRKQR

HIGIFKIJIFKI# NLH# SQGLRKI# I# -HOjRRLF# _'??Ec$# -RRQR# ^LHJZUQWgIRa# MO^IHIFKIJIFKI

MQnZIUQR# QNHIRIFKQMQR# FLR# GQNVKZULR# QFKIHOLHIRa# RXL# MIRIF`LU`OMQR# IJ# referencial

Lagrangiano total _.86ca# GLJ# MZQR# QbLHMQ[IFR# MO^IHIFKIR# NQHQ# LR# MIRULGQJIFKLRi# Q

QbLHMQ[IJ#KLKQU#NHLNHOQJIFKI#MOKQa#IJ#nZI#LR#MIRULGQJIFKLR#FLMQOR#RXL#HI^IHOMLR#Q#ZJ

RORKIJQ# MI# GLLHMIFQMQR# ULGQOR# ^OfL�# I# Q# QbLHMQ[IJ# GLHHLKQGOLFQUa# LFMI# Q# JQKHOY# MI

HO[OMIY#I#L#`IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR#RXL#GQUGZUQMLR#FL#GQJNL#MLR#MIRULGQJIFKLR#FQKZHQOR

KLKQORa#ORKL#oa#LR#MIRULGQJIFKLR#RXL#HI^IHOMLR#Q#ZJ#RORKIJQ#MI#IOfLR#nZI#o#GLFKOFZQJIFKI

QKZQUOYQML#{#JIMOMQ#nZI#L#IUIJIFKL#[OHQ$

/# +IWXL# _B$3c# NHIKIFMI# IfNLH# QR# MO^IHIFKIR# HIUQWgIR# MI^LHJQWXL@MIRULGQJIFKL

GLFROMIHQMQR# FQR# ^LHJZUQWgIR# NHLNLRKQRa# JLRKHQFMLa#JQOR# ZJQ# `IY# Q# NQHKOGONQWXL# ML

KIFRLH#MI#2HIIF@8Q[HQF[I#I#OFKHLMZYOFML#QR#GhQJQMQR#HIUQWgIR#uJIUhLHQMQRv#RZ[IHOMQR

NLH#SQGLRKI#I#-HOjRRLF#_'??Ec$

/#+IWXL#_B$:c#^LHFIGIa#MI#ZJ#JLML#[IHQUa#L#^ZFGOLFQU#MI#IFIH[OQ#ML#RORKIJQ#IJ

IRKZML$

<OFQUJIFKIa# FQ# +IWXL# _B$=ca# RXL# QNHIRIFKQMQR# MIKQUhQMQJIFKI# QR# GOFGL

^LHJZUQWgIR# MI# IUIJIFKLR# ^OFOKLR# GLJ# QR# GLFROMIHQWgIR# MQR# MO^IHIFKIR# ^ZFWgIR# MI

OFKIHNLUQWXL#I#MI^OFOWgIR#MQR#JQKHOYIR#MI#HO[OMIY#I#MLR#`IKLHIR#MI#^LHWQR#OFKIHFQR$

Page 93: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

\P

5.2 – RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO

/R# GOFGL# ^LHJZUQWgIR# MI# IUIJIFKLR# ^OFOKLR# OFKHLMZYOMQR# NLH# SQGLRKI# I# -HOjRRLF

_'??Ec# ^LHQJ# bQRIQMQR# IJ# MO^IHIFKIR# HIUQWgIR# MI^LHJQWXL@MIRULGQJIFKL$# /R# MZQR

^LHJZUQWgIR# GLJ#QbLHMQ[IJ# uGLHHLKQGOLFQUva# QRROJ#GLJL# KLMQR# QR#LZKHQR# ^LHJZUQWgIR

MI# IUIJIFKLR# ^OFOKLR# QNHIRIFKQMQR# FLR#(QNVKZULR# :# I# =# ZKOUOYQJ# HIUQWgIR# ML# KIFRLH# MI

2HIIF@8Q[HQF[Ia#GLJ#Q#QGIOKQWXL#MQ#hONkKIRI#MQ#KILHOQ#MI#`O[QR#MI#4IHFLZUUO$#/R#LZKHQR

KHrR# ^LHJZUQWgIRa#GZpQ#QbLHMQ[IJ#^LO#MIFLJOFQMQ# uKLKQUva# ^LHQJ#bQRIQMQR#IJ#HIUQWgIR

uJIUhLHQMQRva#GLJ#Q#OFKHLMZWXL#MQ#FXL@UOFIQHOMQMI#QKHQ`oR#MI#^ZFWgIR#KHO[LFLJoKHOGQR$

>JQ#LbRIH`QWXL#OJNLHKQFKI#o#nZI#KLMQR#QR#^LHJZUQWgIR#QNHIRIFKQMQR#IJ#SQGLRKI

I#-HOjRRLF#_'??Eca#QL#GLFKHmHOL#MQnZIUQR#MLR#GQNVKZULR#QFKIHOLHIRa#ZKOUOYQJ#L#referencial

Lagrangiano total# _.86c$# SLHKQFKLa# QR# HIUQWgIR# QNHIRIFKQMQR# FIRKI# GQNVKZUL# RXL

HI^IHIFKIR#Q#MIRULGQJIFKLR#I#MI^LHJQWgIR#uKLKQORv#I#FXL#uOFGHIJIFKQORv$

5.2.1 – Relações baseadas no Tensor de Green-Lagrange

/R#^LHJZUQWgIR#MI#IUIJIFKLR#^OFOKLR# OFKHLMZYOMQR#NLH#SQGLRKI#I#-HOjRRLF# _'??Ec

nZI#RI#bQRIQHQJ#FZJQ#QbLHMQ[IJ#uGLHHLKQGOLFQUva#GLFROMIHQJ#QR#HIUQWgIR#MI^LHJQWXL@

MIRULGQJIFKL#ML#KIFRLH#MI#2HIIF@8Q[HQF[Ia#QGIOKQFML@RI#QMOGOLFQUJIFKI#Q#hONkKIRI#MQ

KILHOQ# MI# `O[QR# MI# 4IHFLZUUO$# ,IRRQ# ^LHJQa# RXL# QNHIRIFKQMQR# Q# RI[ZOH# QR# HIUQWgIR

GLFROMIHQMQR$

5.2.1.1 – Relações de segunda ordem

-RKQR# HIUQWgIR# RXL# [IHQMQR# NIUL# KIFRLH# MI# 2HIIF@8Q[HQF[I# OFGLJNUIKLa# NLOR

MIRNHIYQ@RI#L#KIHJL# ( ) 3#MfsZM MQ#HIUQWXL#GLHHIRNLFMIFKI#{R#MI^LHJQWgIR#QfOQOR$#C#QOFMQ

HIQUOYQMQ#ZJQ#ZFO^LHJOYQWXL#MQR#MI^LHJQWgIR#QfOQORa#RIJIUhQFKI#{#RZ[IHOMQ#NLH#/U`IR

_'??:bca#NQHQ#GLFKLHFQH#LR#I^IOKLR#MI#uJIJbHQFI#ULGjOF[va#LZ#RIpQi

Page 94: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

\?

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8

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3

ff Mf#MfM`

3'

MfZM##

8'## #########################################################################_B$'Qc

(LFROMIHQFML@RI#QNIFQR#Q#NQHGIUQ#UOFIQH#MQR#MI^LHJQWgIR#KHQFR`IHRQOR#I#Q#hONkKIRI#MI

4IHFLZUUOa#GLF^LHJI#JLRKHQML#FQ#-nZQWXL#_=$?Qc#ML#GQNVKZUL#QFKIHOLHa#GhI[Q@RI#Qi

AI#3#3# f}f} ==ε=γ ########################################################################################_B$'bc

/#GZH`QKZHQ#j#MQ#`O[Q#o#QNHLfOJQMQ#NIUQ#HIUQWXLi

##MfMj θ=

##################################################################################################################################_B$'Gc

LFMI#^LO#QRRZJOML#MfM`#=θ $#/R#HIUQWgIR#GLFRKOKZKO`QR#GLHHIRNLFMIFKIR#RXL#MQMQR#NLHi

-"jD##################-/S ff =ε= #########################################################################_B$3c

5.2.1.2 – Relações lineares

(QRL#QR#NQHGIUQR#FXL#UOFIQHIR#MQR#HIUQWgIR#QFKIHOLHIR#RIpQJ#MIRNHIYQMQRa#NLMI@RIIRGHI`IHi

MfZM##ff =ε ##########################################################################################################_B$:Qc

A#=γ #################################################################################################################_B$:bc

##MfMj θ= ############################################################################################################_B$:Gc

/R#HIUQWgIR#GLFRKOKZKO`QR#Q#RIHIJ#GLFROMIHQMQR#QnZO#RXL#QR#JIRJQR#MI#_B$3c$

Page 95: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

EA

5.2.2 – Relações melhoradas

(LJ#L# LbpIKO`L# MI# LbKIH# ZJ# IUIJIFKL# MI# `O[Q# FXL@UOFIQHa# GQNQY# MI# HINHIRIFKQH

GLHHIKQJIFKI# LR# KIHJLR# MI# IFIH[OQ# MI# LHMIJ# IUI`QMQa# RIHXL# OFKHLMZYOMQR# QR# HIUQWgIR

MI^LHJQWXL@MIRULGQJIFKL#uJIUhLHQMQRv$

/# GLF^O[ZHQWXL# GLHHIFKI# MI^LHJQMQ# MLR# IOfLR# MQ# `O[Qa# GLF^LHJI# Q# <O[ZHQ# B$'a

NLMI#RIH#MIRGHOKQ#NLH#ZJQ#GZH`Q#HI[ZUQH#MI^OFOMQ#NIUL#`IKLH#NLROWXLi

j ir #`_fc#Z_fc�#�f##_fc ++= ###################################################################################_B$=c

}a#`

θ(f)

rax

a(f)

_+c

b(f)

fa#Z

r(f)

_+c

f

8

j

i

Z_fc`_fc

<O[ZHQ#B$'#&#.IUQWgIR#[ILJoKHOGQR$

LFMI#GQMQ#NLFKL#ML#IOfL#MQ#`O[Q#o#QRRLGOQML#Q#ZJQ#RIWXL#KHQFR`IHRQU#_+c�#L#TF[ZUL#θ_fc

MI^OFI#Q#HLKQWXL#MQ#RIWXL#KHQFR`IHRQU#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI^LHJQMQ$

Page 96: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

E'

)# `IKLH# KQF[IFKI# QL# IOfL# MQ# `O[Q# MI^LHJQMQa# FL# NLFKL# MQ# RIWXL# _+ca# NLMI# RIH

MIRGHOKL#NIUQR#MI^LHJQWgIR#εffa#γ#I#j#MQ#RI[ZOFKI#^LHJQi

b ar ##�##'�# fffa γ+ε+= ##########################################################################################_B$Bc

LFMI#L#`IKLH#ZFOKmHOL#LHKL[LFQU#Q#_+c#o#MQML#NLHi

j ia #c_RIF#cLR_G#cf_ θ+θ= ####################################################################################_B$\c

I#L#`IKLH#ZFOKmHOL#NQHQUIUL#Q#_+c#o#MQML#NLHi

jos ib #c_G#cRIF_#cf_ θ+θ−= ################################################################################_B$Ec

,IHO`QFML@RI#_B$=c#IJ#HIUQWXL#Q#fa# OJNLFML#Q#O[ZQUMQMI#_B$Bc#I#GLFROMIHQFML#QR

HIUQWgIR#_B$\c#I#_B$Eca#GhI[Q@RI#Qi

cRIF_#MfM`##cGLR_#

MfMZ#'##ff θ

+=ε ###############################################################_B$PQc

##cRIF_#MfMZ#'#@cGLR_#

MfM` θ

=γ ##################################################################_B$Pbc

##MfMj θ= ############################################################################################################_B$PGc

/R#HIUQWgIR#GLFRKOKZKO`QR#GLHHIRNLFMIFKIR#RXL#MQMQR#NLHi

j#-"D#######################2/#~###################-/S ff =γ=ε= ################################_B$?c

LFMI#LR#`QULHIR#MI# HO[OMIY# InZO`QUIFKIR# -"#I#2/##a/- #FXL# RXL#FIGIRRQHOQJIFKI# O[ZQOR

QLR#KHQMOGOLFQOR#-/a#2/#I#-"$

)bRIH`I# nZI# LR# `IKLHIR# r,x# I#a# KLHFQJ@RI# GL@UOFIQHIR# RI# Q# hONkKIRI# MQ# KILHOQ# MI

`O[QR#MI#4IHFLZUUO#o#QRRZJOMQ$#/RROJ#_B$Bc#NLMI#RIH#HIIRGHOKQ#MQ#RI[ZOFKI#^LHJQi

Page 97: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

E3

ar x, #�##'�# ffε+= ################################################################################################_B$'Ac

.IQUOYQFML#QMOGOLFQUJIFKI#ZJQ#ZFO^LHJOYQWXL#MQR#MI^LHJQWgIR#QfOQORa#NQHQ#GLFKLHFQH

LR#I^IOKL#MI#uJIJbHQFI#ULGjOF[va#LbKoJ@RI#QR#IfNHIRRgIRi

θ

θ+=ε

8

Aff Mf##

cGLR_'##cGLR_@#

MfMZ#'###

8'# #####################################################_B$''Qc

##c_#KQF#MfMZ#'##

MfM`#############A# θ

+=

⇔=γ #######################################################_B$''bc

MfMj θ= ############################################################################################################_B$''Gc

/R#HIUQWgIR#GLFRKOKZKO`QR#GLHHIRNLFMIFKIR#RXL#MQMQR#NLHi

j#"-D##########I#########/-S ff =ε= ####################################################################_B$'3c

)bRIH`Q@RI# nZI# QR# HIUQWgIR# bQRIQMQR# FL# KIFRLH# MI# 2HIIF@8Q[HQF[I# NLMIJ# RIH

LbKOMQR#GLJL#GQRLR#NQHKOGZUQHIR#MQR#HINHIRIFKQMQR#IJ#_B$''c$#/RROJa#ZKOUOYQFML@RI#ZJQ

QNHLfOJQWXL#MI#RI[ZFMQ#LHMIJ#NQHQ#Q#^ZFWXL#KHO[LFLJoKHOGQ# cLR_G θ a#LZ#RIpQi

θ≈θθ≈θ cIF_R######I######3'@'cLR_G 3 ##################################################################_B$':c

GLFRI[ZI@RI# HIUQWgIR# InZO`QUIFKIR# {R# MQMQR# IJ# _B$'c$# SLH# LZKHL# UQMLa# RI# ^LH# ZKOUOYQMQ

ZJQ#QNHLfOJQWXL#MI#NHOJIOHQ#LHMIJ#NQHQ#L#GLR_θc#LZ#RIpQi

θ≈θ≈θ cIF_R######I#####'cLR_G #############################################################################_B$'=c

GhI[Q@RI#FQR#HIUQWgIR#InZO`QUIFKIR#{R#^LHFIGOMQR#IJ#_B$:c$

Page 98: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

E:

)bRIH`QFML# IRRI# ^QKLa# SQGLRKI# I# -HOjRRLF# _'??Ec# GLFGUZVHQJ# nZI# LR# `QULHIR# MI

HO[OMIY# InZO`QUIFKIR# -"#I#2/##a/- # FL# GQRL# MI# NInZIFQR# MI^LHJQWgIRa# NLMIHOQJ# RIH

GLFROMIHQMQR#O[ZQOR#QLR#KHQMOGOLFQOR#-/a#2/#I#-"$

5.3 – FUNCIONAL DE ENERGIA

)#^ZFGOLFQU#MI#IFIH[OQ#o#MI^OFOML#GLJL#FQ#-nZQWXL#_:$'Bca#LZ#RIpQi

#!####>## +=Π #####################################################################################################_B$'Bc

RIFML# nZI# Q# IFIH[OQ# MI# MI^LHJQWXL# ># o# MI^OFOMQ# FL# referencial Lagrangiano total

_.86c#GLJLi

∫ ∫ε

τ=!LU A

OpOp M!LU#c�M#_#>Op

####################################################################################_B$'\c

"FKI[HQFML#FQ#mHIQ#MQ#RIWXL#KHQFR`IHRQU#I#GLFROMIHQFML@RI#QR#HIUQWgIR#GLFRKOKZKO`QR

_B$?c#GLJ# -"-"#I2/#2/##-/a/- === a#NLMI@RI#HIIRGHI`IH#_B$'\c#MQ#RI[ZOFKI#^LHJQi

[ ]∫ +γ+ε=8

A

333ff Mf##j#-"##2/##-/###

3'#> #############################################################_B$'Ec

SQHQ# LR# GQRLR# IJ# nZI# RI# GLFROMIHQ# Q# hONkKIRI# MI# 4IHFLZUUO# RXL# ZKOUOYQMQR# QR

HIUQWgIR#_B$''c#I#Q#IFIH[OQ#MI#MI^LHJQWXL#NLMI#RIH#IfNHIRRQ#ROJNUIRJIFKI#NLHi

[ ]∫ +ε=8

A

33ff Mf##j#-"##-/###

3'#> ###########################################################################_B$'Pc

/#IFIH[OQ#NLKIFGOQU#MQR#^LHWQR#IfKIHFQR#!a#o#MI^OFOMQ#GLJLi

Page 99: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

E=

#MR#Z#<#@##!R

OO∫= #################################################################################################_B$'?c

5.4 – FORMULAÇÃO DO ELEMENTO FINITO

-J# SQGLRKI# I# -HOjRRLF# _'??Ec# NLMIJ# RIH# IFGLFKHQMQR# QR# GOFGL# MO^IHIFKIR

^LHJZUQWgIR#MI#IUIJIFKLR#^OFOKLR#FXL@UOFIQHIR#QNHIRIFKQMQR#Q#RI[ZOH$

/R# KHrR# NHOJIOHQR# ^LHJZUQWgIR# Q# RIHIJ# QFQUORQMQR# RXL# MIFLJOFQMQR# MI# uKLKQUva

NLORa# LR# KIHJLR# MI# IFIH[OQ# RXL# IfNHIRRLR# IJ# ^ZFWXL# MLR# MIRULGQJIFKLR# KLKQOR$# )

NHOJIOHL# IUIJIFKL# ^OFOKL# MIRRI# [HZNL# o# bQRIQML# FQ# KILHOQ# MI# `O[QR# MI# 6OJLRhIFjLa

QRROJa# FXL# MIRNHIYQ# QR# MI^LHJQWgIR# KHQFR`IHRQOR# MQR# RIWgIR# MI`OML# {R# KIFRgIR

GORQUhQFKIR$# )R# LZKHLR# MLOR# JLMIULR# GLFROMIHQJ# Q# hONkKIRI# MQ# KILHOQ# MI# `O[QR# MI

4IHFLZUUOa#MIRNHIYQFML#NLHKQFKL#LR#I^IOKLR#GORQUhQFKIR$

/R# MZQR# ^LHJZUQWgIR# MI# IUIJIFKLR# ^OFOKLR# HIRKQFKIR# RXL# MIFLJOFQMQR

uGLHHLKQGOLFQUv# I# LR# MIRULGQJIFKLR# KLKQOR# RXL# IfNHIRRLR# IJ# GLLHMIFQMQR# ULGQORa

GLLHMIFQMQR# IRKQR# nZI# RXL# GLFRKQFKIJIFKI# QKZQUOYQMQRa# [OHQFML# I# KHQFRUQMQFML# GLJ# L

IUIJIFKL$#SQHQ#IRRIR#IUIJIFKLR#^OFOKLR#KQJboJ#o#QGIOKQ#Q#hONkKIRI#MI#4IHFLZUUO$

5.4.1 – Formulação total: Timoshenko

SQHQ# IRKQ# ^LHJZUQWXL# ^LHQJ# ZKOUOYQMQR# QR# HIUQWgIR# MI^LHJQWXL@MIRULGQJIFKL

uJIUhLHQMQRva# HINHIRIFKQMQR# NIUQR# -nZQWgIR# _B$Pca# RIJ# QNHLfOJQWgIR# NQHQ# QR# ^ZFWgIR

KHO[LFLJoKHOGQR$#-J#GLJNIFRQWXL#^LHQJ#QMLKQMQR#^ZFWgIR#MI#OFKIHNLUQWXL#UOFIQHIR#NQHQ

QNHLfOJQH#LR#MIRULGQJIFKLR#Z#I#`i

33'' Z9Z9Z += ###########################################################################################_B$3AQc

33'' `9`9` += ############################################################################################_B$3Abc

I#Q#GZH`QKZHQ#j#^LO#QNHLfOJQMQ#NLHi

Page 100: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

EB

33

'' #

f#M9#M#

MfM9

Mf#Mj θ+θ=θ= ##########################################################################_B$3AGc

RIFML# θ# _fca# MI^OFOML# GLJL# L# `QULH# JoMOL 3sc##_## 3' θ+θ=θ �# 9'# I# 93# RXL# ^ZFWgIR# MI

OFKIHNLUQWXL#MQMQR#NLHi

9f8' '= − #####I######9

f83 = ##############################################################################_B$3'c

(LJ#QR#QNHLfOJQWgIR#_B$3Ac#I#QR#HIUQWgIR#_B$?ca#NLMI@RI#OFKI[HQH#FZJIHOGQJIFKI#Q

-nZQWXL# _B$'Ec# ZKOUOYQFML@RIa# NLH# IfIJNULa# Q# nZQMHQKZHQ# MI#2QZRR# GLJ# ZJ# NLFKL# MI

OFKI[HQWXL#GhI[Q@RI#NQHQ#ZJ#IUIJIFKL#[IFoHOGLi

[ ]##j#-"##2/###-/##38#> 333

ff +γ+ε= ###################################################################_B$33c

/R#GLJNLFIFKIR#^OO#ML#`IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR# Kz∆KFi#QbRLH`OMQR#NIUL#IUIJIFKLa#I

QR# GLJNLFIFKIR# jOp# MQ#JQKHOY# MI# HO[OMIY# IUIJIFKQH# Kz∆KK# RXL# MIKIHJOFQMLR# FL# RORKIJQ

ULGQU#MOHIKQJIFKI#MQR#InZQWgIRi

##Z>^OO

#O ∂∂

= #########################################################################################################_B$3:c

pO

3

Op Z#Z>#j∂∂

∂= ###################################################################################################_B$3=c

)bRIH`I#nZI#FL#GmUGZUL#MQR#GLJNLFIFKIR#^OO#LR#I^IOKLR#MI#HLKQWXL#MI#GLHNL#HV[OML

^LHQJ#MIRNHIYQMLR$

)#`IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR#FQ#RZQ#^LHJQ#[ULbQU#o#LbKOMLa#RLJQFML@RI#LR#IR^LHWLR

OFKIHFLR# QbRLH`OMLR# NLH# GQMQ# IUIJIFKLa# MI`OMQJIFKI# KHQFR^LHJQMLR# NQHQ# L# RORKIJQ

[ULbQU#MI#HI^IHrFGOQ#GLJL#RI[ZIi

Page 101: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

E\

∑=

∆+∆+ =J

'I

KK6A[U#

KK # ii FRF ###############################################################################_B$3Bc

LFMI#AR#o#Q#JQKHOY#MI#HLKQWXL#ML#IUIJIFKL#[IFoHOGL#uIva#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL

OFOGOQU#OFMI^LHJQMQ#KqA$

5m#Q#JQKHOY#MI#HO[OMIY#ML#RORKIJQ#FQ#RZQ#^LHJQ#[ULbQU#o#MQMQ#NLHi

∑=

=J

'I

A6A[U ## RKRK ###############################################################################################_B$3\c

5.4.2 – Formulação total: Bernoulli

SQHQ# IRKI# GQRLa# SQGLRKI# I# -HOjRRLF# _'??Eca# GLJ# L# LbpIKO`L# MI# UI`QH# IJ

GLFROMIHQWXL#LR#MIRULGQJIFKLR#MI#GLHNL#HV[OMLa#OFKHLMZYOHQJ#LR#RI[ZOFKIR#uparâmetros

generalizadosvi

−+

−='3

'3' ZZ8

``QHGKQF##^ ##############################################################################_B$3EQc

3##^ 3'

3θ−θ= #################################################################################################_B$3Ebc

'3'

: ^##@##3

##^ θ+θ= ##########################################################################################_B$3EGc

8ZZ#^ '3

=−= ##################################################################################################_B$3EMc

-RRIR#NQHTJIKHLR#RXL#ZKOUOYQMLR#NQHQ#MI^OFOH# MfsMZ #I# MfsM` a#LZ#RIpQi

=^#MfMZ = ##########################################################################################################_B$3PQc

#c^##KQF_c^##'#_##MfM`

'=+= ###################################################################################_B$3Pbc

Page 102: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

EE

I#GLF^LHJI#Q#<O[ZHQ#B$3#KIJ@RIi

##### FH θ+θ=θ ###################################################################################################_B$3?c

LFMI#Q#HLKQWXL#MI#GLHNL#HV[OMLaθH#a#I#Q#HLKQWXL#FQKZHQUa#θFa#RXL#OFKIHNLUQMQR#NLHi

#^## 'H =θ ###########################################################################################################_B$:AQc

:3

3

3F ^#8\f

8\f#@#'###^#

83f#@#'###

++

=θ ############################################################_B$:Abc

}a#`

θ(f) = θH + θF_fc

r,x

a(x)

_+c

fa#Z

_+c

f

8

Z_fc

`_fc

Z'

Z3

`3

`'

S'

~'

D'

S3

~3

D3

<O[ZHQ#B$3#&#.IUQWgIR#[ILJoKHOGQRi#KLKQU$

SQHQ# Q# MI^OFOWXL# MQ# IFIH[OQ# MI# MI^LHJQWXL# RXL# GLFROMIHQMLR# MLOR# GQRLRa# nZI

GLFRInZIFKIJIFKIa# [IHQJ# MZQR# ^LHJZUQWgIR# MI# IUIJIFKLR# ^OFOKLR# MO^IHIFKIR$# *L

Page 103: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

EP

NHOJIOHL# GQRL# RXL# QRRZJOMQR# NQHQ# QR# ^ZFWgIR# KHO[LFLJoKHOGQR# QR# QNHLfOJQWgIR# MI

NHOJIOHQ# LHMIJ# _B$'=c�# FL# RI[ZFML# GQRL# RXL# ZKOUOYQMQR# QR# QNHLfOJQWgIR# MI# RI[ZFMQ

LHMIJ#_B$':c$

5.4.2.1 – Aproximações de primeira ordem

<QYIFML@RI# QR# QNHLfOJQWgIR# MI# NHOJIOHQ# LHMIJ# _B$'=ca# GLJ# HIUQWXL# [ILJoKHOGQ

_B$3?ca#GhI[Q@RI#Qi

cGLR_#@#c_IFR##c_IFR#####I######c_IFR#@#cGLR_##cGLR_ HFHHFH θθθ=θθθθ=θ ####################_B$:'c

(LJ#QR# HIUQWgIR# _B$3Pca# _B$3?c# I# _B$:Aca# I# QR# HIUQWgIR# MI^LHJQWXL@MIRULGQJIFKL

_B$''ca# HIIRGHI`I@RI# Q# IfNHIRRXL# MQ# IFIH[OQ# OFKIHFQ# MQMQ# IJ# _B$'Pca# IJ# ^ZFWXL# MLR

NQHTJIKHLR#[IFIHQUOYQMLRa#MQ#RI[ZOFKI#^LHJQi

[ ]{ }#^RIF##@#^#KQF#c^##_'##c^#GLR#@#^##'#_#3-/8c^#a^#a^#a#̂_#> 3

''=3

'==:3' +++=

333 c#^#:##^#_8-"#3## :3 ++ #########################################################################################_B$:3c

5.4.2.2 – Aproximações de segunda ordem

(LJ# QR# QNHLfOJQWgIR# MI# RI[ZFMQ# LHMIJ# _B$':c# I# GLJ# Q# HIUQWXL# [ILJoKHOGQ

_B$3?ca#GhI[Q@RIi

#c_IFR#@#cGLR_3

@'##cGLR_ HFH

3F θθθ

θ=θ

cGLR_#@#c_IFR3

@'##c_IFR HFH

3F θθθ

θ=θ ###############################################################_B$::c

Page 104: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

E?

,Q# JIRJQ# ^LHJQ# NLMI@RI# HIIRGHI`IH# Q# IfNHIRRXL# MQ# IFIH[OQ# OFKIHFQ# MQMQ# IJ

_B$'Pca#IJ#^ZFWXL#MLR#NQHTJIKHLR#[IFIHQUOYQMLRa#MQ#RI[ZOFKI#^LHJQi

3

'

33

==:3' #c_^#GLR#'A^##@##

\^##@'##@#^##'

3-/8c^#a^#a^#a^#_#> :3

+=

######### ( )33

3

'

33

'= :3:3 ^#:##^#

8-"3##c_^RIF##

'A^##@##

\^##@'##@#c#KQF_^c^##_'

3-/8## −+

++ ##########_B$:=c

5.4.2.3 – Vetor de forças internas e matriz de rigidez

SQHQ# ZJ# IUIJIFKL# [IFoHOGL# KIJ@RI# nZI# L# `IKLH# MI# ^LHWQR# ugeneralizadasva

��^[# O=Fg a#I#Q#JQKHOY#MI#HO[OMIYa# ��j[# Op=Kg a#KrJa#FL#RORKIJQ#ULGQUa#RZQR#GLJNLFIFKIR

MQMQR#NLHi

##^#>#^[O

O ∂∂= �###########O#q#'a3a:a=########################################################################_B$:BQc

#^##^#>#j[pO

3

Op ∂∂∂= �######Oa#p#q#'a3a:a=###################################################################_B$:Bbc

)bKoJ@RIa#IFKXLa#L#`IKLH#MI#^LHWQR#FLMQOR#I#Q#JQKHOY#MI#HO[OMIY#IUIJIFKQH#GLJ#\

[HQZR#MI#UObIHMQMIa#QKHQ`oR#MQR#RI[ZOFKIR#HIUQWgIRi

Fg AF fi6KK ##=∆+ ###########################################################################################_B$:\Qc

f3f1ff A AAKg AK :'6KK ^[#^[#### ++=∆+ ####################################################_B$:\bc

LFMI#RI#IRGHI`Ii

Page 105: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

PA

###Z#^##p

O∂∂=fA �###############^O#q#^'a#^3a#^:a#^=#####I####Zp#q#Z'a#`'a#θ'a#Z3a#`3a#θ3############_B$:EQc

###Z##Z#

#̂#pO

'3

∂∂∂=f1A �#######ZO#q#Z'a#`'a#θ'a#Z3a#`3a#θ3#############################################_B$:Ebc

###Z##Z#

^##

pO

:3

∂∂∂

=f3A �########ZO#q#Z'a#`'a#θ'a#Z3a#`3a#θ3#############################################_B$:Ebc

DQOR#ZJQ#`IY#L#`IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR#o#LbKOML#RLJQFML@RI#LR#IR^LHWLR#OFKIHFLR

QbRLH`OMLR# NLH# GQMQ# IUIJIFKLa# MI`OMQJIFKI# KHQFR^LHJQMLR# NQHQ# L# RORKIJQ# [ULbQU# MI

HI^IHrFGOQa#LZ#RIpQi

∑=

∆+∆+ =J

'I

KK6A[U#

KK # ii FRF ###############################################################################_B$:Pc

,Q#JIRJQ#^LHJQa#UI`QFML@RI#IJ#GLFKQ#Q#GLFKHObZOWXL#MI#KLMLR#LR#IUIJIFKLR

^OFOKLR#IRGHI`I@RI#NQHQ#Q#JQKHOY#MI#HO[OMIY#[ULbQUi

∑=

=J

'I

A6A[U ### RKRK ######################################################################################_B$:?c

5.4.3 – Formulação corrotacional – Bernoulli

(HOR^OIUM# _'??'c# LbRIH`Q# IJ# RIZ# UO`HL# nZI# L# KIHJL# uGLHHLKQGOLFQUv# KIJ# ROML

ZKOUOYQML#FQ#UOKIHQKZHQ#IJ#GLFKIfKLR#MO^IHIFKIRa#RIFML#NLHKQFKLa#GLJL#Q^OHJQJ#QOFMQ#LR

NHkNHOLR#SQGLRKI#I#-HOjRRLF# _'??Eca#ZJQ#MIFLJOFQWXL# OFGLFRORKIFKI$#SQHQ#LR#JLMIULR

uGLHHLKQGOLFQORv#Q#RIHIJ#MORGZKOMLR#FL#NHIRIFKI#KHQbQUhLa#Q# OMoOQ#GIFKHQU#o#RI#GQUGZUQH#Q

JQKHOY# MI# HO[OMIY# I# L# `IKLH# MI# ^LHWQR# OFKIHFQR# FL# GQJNL# MLR# MIRULGQJIFKLR# FQKZHQOR

KLKQORa#OFKHLMZYOFML#ZJ#RORKIJQ#MI#GLLHMIFQMQR#ULGQOR#nZI#o#QKZQUOYQML#Q#GQMQ#NQRRL#MI

GQH[Q$# SQGLRKI# I# -HOjRRLF# _'??Ec# Q^OHJQJ# nZI# QR# MZQR# QbLHMQ[IFRa# uKLKQUv# I

Page 106: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

P'

uGLHHLKQGOLFQUva# MQ# JQFIOHQ# GLJL# RXL# QNHIRIFKQMQRa# Rk# RXL# MO^IHIFKIR# FQ# ^LHJQ# MI

Q[HZNQH#I#OFKIHNHIKQH#LR#KIHJLR#MI#ZJQ#JIRJQ#^kHJZUQ$

)R# MIRULGQJIFKLR# KLKQOR# NLMIJ# RIH# IfNHIRRLR# IJ# GLLHMIFQMQR# ULGQOR# MI# QGLHML

GLJi

�#cZ_Z#�### pO#F=nu ###############################################################################################_B$=Ac

LFMI#L#`IKLH#MI#MIRULGQJIFKLR#FQKZHQOR#KLKQORa#GLF^LHJI#NLMI@RI#`IH#FQ#<O[ZHQ#B$:a#KIJ

KHrR#GLJNLFIFKIRa# 6#F3F'F3 #�####Z#�#### θθ=nu a#nZI#NLMIJ#RIH#GQUGZUQMLR#NIUQ#HIUQWgIRi

H3F3H'F'AKK

F3 #@###############@#############8@##8###Z θθ=θθθ=θ= ∆+ ###############################_B$='c

*IRRQR#HIUQWgIRa#A8#o#L#GLJNHOJIFKL#IUIJIFKQH#OFOGOQU#MQML#NLHi

3'3

3'3

A c}_}cf_f##8# −+−= a######################################################################_B$=3c

Kz∆K8#o#GLJNHOJIFKL#IUIJIFKQHa#FQ#GLF^O[ZHQWXL#MI#InZOUVbHOL#GLHHIFKIa#MQML#NLHi

3''33

3''33

KK c`@}`_}cZ@fZ_f##8# −++−+=∆+ ######################################_B$=:c

I#Q#HLKQWXL#MI#GLHNL#HV[OMLa#θH#o#GQUGZUQMQ#QKHQ`oR#MQ#RI[ZOFKI#HIUQWXLi

##c`@`}@#_}c}@#_}##cZ@Zf@#c_ff@#_f

cZ@c_Z}@#_}#@#c`@c_`f@#_fQHGKQF####'3'3'3'3'3'3

'3'3'3'3H

++++

=θ #####_B$==c

Page 107: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

P3

}a#`

fa#Z

fA

}A}Kz∆K

fKz∆K

Z'

`'D'

S'

D3 S3

`3

Z3

8A

θH

D'

θ'

θF'

θ3#q#θH#z#θF3

8Kz∆K

<O[ZHQ#B$:#&#.IUQWgIR#[ILJoKHOGQRi#GLHHLKQGOLFQU$

SQHQ# Q# MI^OFOWXL# MQ# IFIH[OQ# MI# MI^LHJQWXL# IJ# GLLHMIFQMQR# ULGQORa# RXL

GLFROMIHQMLR#MLOR#GQRLR#nZIa#GLFRInZIFKIJIFKIa#[IHQJ#MZQR#^LHJZUQWgIR#MI#IUIJIFKLR

^OFOKLR$#*L#NHOJIOHL#GQRL#RXL#QRRZJOMQR#QR#HIUQWgIR#UOFIQHIR#_B$:c#I#FL#RI[ZFML#GQRL#RXL

ZKOUOYQMQR#QR#HIUQWgIR#MI#RI[ZFMQ#LHMIJ#_B$'c$#(LJL#^LO#LbRIH`QML#FQ#+IWXL#_B$3ca#IRRQR

HIUQWgIR# InZO`QUIJ# {R# ZKOUOYQMQR# FQR# ^LHJZUQWgIR# GLJ#QbLHMQ[IJ# KLKQUa# NQHQ# QR# nZQOR

^LHQJ# ^IOKQR# QNHLfOJQWgIR# MI# NHOJIOHQ# I# RI[ZFMQ# LHMIJ# NQHQ# QR# ^ZFWgIR

KHO[LFLJoKHOGQR$

*LR#MLOR#GQRLR#RXL#ZRQMQR#QR#QNHLfOJQWgIRi

3F3F Z9Z = ###################################################################################################_B$=BQc

3F='F:F 99 θ+θ=θ #####################################################################################_B$=Bbc

Page 108: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

P:

LFMI#93#o#Q#^ZFWXL#UOFIQHi

9f83 = ###########################################################################################################_B$=\Qc

I#9:#I#9=#RXL#QR#^ZFWgIR#nZQMHmKOGQRi

++−=

+−−= #

8f:##

8f3##'

='9######I######

8f:##

8f3##'

='9 3

3

=3

3

: ######################_B$=\bc

5.4.3.1 – Relações lineares

+ZbRKOKZOFML@RI# QR# HIUQWgIR# UOFIQHIR# _B$:c# FQ#-nZQWXL# _B$'Pca# ZRQFML# ^ZFWgIR# MI

OFKIHNLUQWXL# _B$=\ca# LbKoJ@RI# Q# RI[ZOFKI# IfNHIRRXL# NQHQ# Q# IFIH[OQ# OFKIHFQ# MQR

MI^LHJQWgIRi

( )#####8-"3#Z#

38-/##># 3

F3F3F'3F'

3F3 θ+θθ+θ+= ####################################################_B$=Ec

5.4.3.2 – Relações de segunda ordem

+ZbRKOKZOFML@RI#QR#HIUQWgIR#MI#RI[ZFMQ#LHMIJ#_B$'c#FQ#-nZQWXL#_B$'Pca#ZRQFML@RI

QR#^ZFWgIR#MI#OFKIHNLUQWXL#_B$=\ca#LbKoJ@RI#Q#RI[ZOFKI#IfNHIRRXL#NQHQ#Q#IFIH[OQ#OFKIHFQ

MI#MI^LHJQWXLi

####3'##

'B8##Z#

38-/##>#

33F3F3F'

3F'F3

θ+θθ−θ+=

######### ( )#####8-"3### 3

3F3F#'F3'F θ+θθ+θ+ ################################################################_B$=Pc

Page 109: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

P=

5.4.3.3 – Vetor de forças internas e matriz de rigidez

)#`IKLH#MI#^LHWQR#OFKIHFQR#I#Q#JQKHOY#MI#HO[OMIY#NLMIJ#RIH#LbKOMLR#IJ#GLLHMIFQMQR

[ULbQOR#NQHQ#L#IUIJIFKLa#QNUOGQFML@RI#RZGIRRO`QR#MO^IHIFGOQWgIRa#MI#QGLHML#GLJi

##########Z#Z#

##Z##>##

O

FO

FO

KK

∂∂

∂∂=∆+

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Z##Z

33a3'''O

#########F3aF'aF3FO

θθ=θθ=

########################_B$=?Qc

∂∂∂

∂∂+

∂∂∂∂

∂∂∂=∆+ #

Z##Z#Z###

Z##>####

Z##Z#Z##Z#

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#FOUj

Fp#FO

Fp#FO

3KK K ############################_B$=?bc

nZI#NLMI#RIH#HILH[QFOYQML#FQ#RI[ZOFKI#^LHJQi

########## 6KKnci F AF =∆+ #####################################################################################_B$BAQc

G:3G3'G'G6G

KK #D##D###S####### AAAAKAK n +++=∆+ #########################################_B$BAbc

LFMI#Fn#I#Kn#RXL#MI^OFOMLR#GLJLi

[ ] #########>#####

##>#####

Z##>####D####D####S###

6

3F'F3F

63'

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∂θ∂

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'a3a:#O#######�##

Z#Z##>####j####

Fp#FO

3

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=

∂∂∂==nK #############################################_B$B'bc

I#QR#JQKHOYIR#MI#KHQFR^LHJQWXL#Aca#Ac1a Ac2#I#Ac#MI^OFOMQR#GLJLi

#############\'a3a:a=aBa#p#################'a3a:#O

#######�##Z##Z#

######p

OF#

==

∂∂

=cA #################################################_B$B3Qc

Page 110: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

PB

######\'a3a:a=aBa#p\'a3a:a=aBa#O

########�##Z##Z##

Z######

p#O#

F33

==

∂∂∂

=c1A ##############################################_B$B3bc

######\'a3a:a=aBa#p\'a3a:a=aBa#O

########�#Z##Z##

##@###Z##Z##

######p#O#

H3

p#O#

'F#3

==

∂∂θ∂=

∂∂θ∂=c2A ####################_B$B3Gc

######\'a3a:a=aBa#p\'a3a:a=aBa#O

########�#Z##Z##

##@###Z##Z##

######p#O#

H3

p#O#

3F#3

==

∂∂θ∂=

∂∂θ∂=c3A ####################_B$B3Gc

8I`QFML@RI#IJ#GLFKQ#Q#GLFKHObZOWXL#MI#KLMLR#LR#IUIJIFKLR#^OFOKLRa#KIJ@RIi

∑=

∆+∆+ =J

'I

KK[U#

KKii FF ######################################################################################_B$B:Qc

∑=

∆+∆+ =J

'I

KK[U

KK KK #######################################################################################_B$B:bc

)bRIH`I#nZI#K#I#Fi#pm#^LHQJ#LbKOMLR#FL#RORKIJQ#MI#HI^IHrFGOQR#[ULbQU#IJ#_B$BAc$

+I[ZOFML#Q#RZ[IRKXL#MI#SQGLRKI#I#-HOjRRLF#_'??Eca#ZKOUOYLZ@RI#NHLGIMOJIFKLR#ML

RL^KtQHI#D/S8-#!# _`#:$A#.-8-/+-#<LH#lOFMLtRc#NQHQ# RI#GQUGZUQH#LR#`IKLHIR# I# QR

JQKHOYIR# MIRIF`LU`OMLR# FL# NHIRIFKI# GQNVKZULa# [IHQFML# MOHIKQJIFKI# LR# HIRZUKQMLR# IJ

UOF[ZQ[IJ#<).6./*$#-RRIR#NHLGIMOJIFKLR#RXL#QNHIRIFKQMQR#FL#/NrFMOGI#($

5.5 – RESUMO

/# <O[ZHQ# B$=# QNHIRIFKQ# QR# NHOFGONQOR# GQHQGKIHVRKOGQR# MI# GQMQ# ZJQ# MQR# ^LHJZUQWgIR

MIRIF`LU`OMQR# FIRKI# GQNVKZUL# pZFKQJIFKI# GLJ# RVJbLULR# NIULR# nZQOR# IRKQR# RIHXL

MIRO[FQMQR#FQ#RIn�rFGOQ#ML#NHIRIFKI#KHQbQUhL$

Page 111: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

P\

PTT

@#.IUQWgIR#JIUhLHQMQR#@#6ILHOQ#MI#6OJLRhIFjLi

/bLHMQ[IJ#total - 4IHFLZUUO.IUQWgIR#QNHLfOJQMQRi

PT1

PT2

##MfMj##I##c�RIF_#

MfMZ#'#@cGLR_#

MfM`#c�RIF_#

MfM`##cGLR_#

MfMZ#'##ff

θ=θ

=γθ

+=ε

@#<ZFWgIR#MI#OFKIHNLUQWXL#UOFIQHIR#NQHQ#Za#`#I#θi

@#.IUQWgIR#GLJ#QNHLfOJQWgIR#MI#'Q#LHMIJi

@#(mUGZUL#FL#GQJNL#MLR#NQHTJIKHLR#[IFIHQUOYQMLRi

@#.IUQWgIR#GLJ#QNHLfOJQWgIR#MI#3Q#LHMIJi

@#(mUGZUL#FL#GQJNL#MLR#NQHTJIKHLR#[IFIHQUOYQMLRi

cGLR_#@#c_IFR##c_IFR#####I#####c_IFR#@#cGLR_##cGLR_ HFHHFH θθθ=θθθθ=θ

##I####c_IFR#@#cGLR_3

@'##cGLR_ HFH

3F θθθ

θ=θ cGLR_#@#c_IFR

3@'##c_IFR HFH

3F θθθ

θ=θ

/bLHMQ[IJ#corrotacional: PC1

PC2

@#.IUQWgIR#UOFIQHIRi

@#(mUGZUL#FL#GQJNL#MLR#deslocamentos naturais totaisi

#I#MfZM##ff =ε ##

MfMj θ=

@#.IUQWgIR#MI#RI[ZFMQ#LHMIJi

@#(mUGZUL#FL#GQJNL#MLR#deslocamentos naturais totaisi

##I##Mf#MfM`

3'

MfZM##

8'##8

A

3

ff ∫

+=ε

##MfMj θ=

( )33F3F'F

3'F

33F3F3F'

3F'F3 ###

8-"3######

3'##

'B8##Z#

38-/##># θ+θθ+θ+

θ+θθ−θ+=

( )#####8-"3#Z#

38-/##># 3

F3F3F'3F'

3F3 θ+θθ+θ+=

#########>#####

##>#####

Z##>###

6

3F'F3F

θ∂

∂θ∂

∂∂∂=nF

########Z#Z##>##

Fp#FO

3

∂∂∂=nK

########### 6KKnci F AF =∆+

##S####### G'G6G

�KK AAKAK n +=+

G:3G3' #D##D# AA ++

/bLHMQ[IJ#total - 6OJLRhIFjL.IUQWgIR#JIUhLHQMQRi

##�Z>^OO

#O ∂∂

= #Z#Z>#jpO

3

Op ∂∂∂=

@#"FKI[HQWXL#FZJoHOGQ#@#'#NLFKL#MI#OFKI[HQWXLi[ ]##j#-"##2/###-/##38#> 333

ff +γ+ε=

[ ]{ }#^RIF##@#^#KQF#c^##_'##c^#GLR#@##̂#'#_#3-/8#> 3

''=3

'= +++= 333 c#^#:##^#_8-"#3##

:3++

3

'

33

'=

3

'

33

= #c_^RIF##'A^##@##

\^##@'##@#c#KQF_^c^##_'

3-/8###c_^#GLR#

'A^##@##

\^##@'##@#^##'

3-/8#> :3:3

++

+=

( )33:3 ^#:##^#

8-"3# −+

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O ∂∂= ##

^##^#>#j[pO

3

Op ∂∂∂=

Fg AF fi6KK ##=∆+

f3f1ff A AAKg AK :'6KK ^[#^[#### ++=∆+

\aBa=a:a3a'paO =

=a:a3a'paO =

=a:a3a'paO =

{ } { } #^O#jO# #OKK###�#Op

KK == ∆+∆+iFK

<O[ZHQ#B$=#&#.IRZJL#MQR#^LHJZUQWgIRi#SQGLRKI#I#-HOjRRLF#_'??Ec$

Page 112: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

6PROGRAMA COMPUTACIONAL

6.1 – INTRODUÇÃO

Este capítulo traz os procedimentos computacionais utilizados na implementação

das formulações de elementos finitos não-lineares mostradas nos Capítulos 3, 4 e 5.

Foi utilizado como base o programa computacional desenvolvido, em linguagem

FORTRAN, por Silveira (1995) como parte integrante de sua Tese de Doutorado. Esse

programa é capaz de efetuar análises linear e não-linear (geométrica) de sistemas

reticulados planos com restrições unilaterais de contato. No caso de se optar por solução

não-linear, são dadas ao usuário opções de estratégias de solução não-linear (incremento

de carga e de iteração) e impressão de resultados (arquivos de pós-processamento). No

presente trabalho foram implementadas várias opções de formulações geometricamente

não-lineares.

A Figura 6.1 apresenta o esquema geral do programa computacional

desenvolvido.

FIM

SAÍDA de RESULTADOS (Pós-processador)

SOLUÇÃO LINEAR (Subrotina SOLL)

ANÁLISE do PROBLEMA (Subrotina SOLUC)

ENTRADA de DADOSINÍCIO

SOLUÇÃO NÃO-LINEAR (Subrotina SOLNL)

Figura 6.1 – Programa computacional.

Page 113: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

88

A Seção (6.2) apresenta um algoritmo do programa principal. As subrotinas

gerenciadas por ele são apresentadas nas seções seguintes.

6.2 – PROGRAMA PRINCIPAL

A Figura 6.2 apresenta o fluxograma do programa principal que é responsável

pelo gerenciamento de chamada das diversas subrotinas implementadas.

LEITURA de DADOS-1

MONTAGEM da MATRIZ de RIGIDEZ LINEAR KL

CÁLCULO dos DESLOCAMENTOS NODAIS u

ARQUIVOS de SAÍDA

Solução linear Solução não-linear

LEITURA de DADOS-2

MONTAGEM da MATRIZ de RIGIDEZ K

(Subrotina MATRIG)

CÁLCULO de ∆λ e ∆u(Subrotina SCALUP)

0 0

PROCESSO ITERATIVO(Subrotina ITER)

CÁLCULO DE PARÂMETROS do PRÓXIMO INCREMENTO

(Subrotina NEXINC)

Proc

esso

incr

emen

tal i

tera

tivo

MONTAGEM do VETOR de CARGAS de REFERÊNCIA Fr

MONTAGEM do VETOR de FORÇAS EXTERNAS F

A

Figura 6.2 – Programa principal.

O primeiro procedimento a ser realizado pelo programa principal é a leitura do

primeiro arquivo de dados de entrada. Esses dados definem a geometria do modelo

Page 114: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

89

estrutural com o número de pontos nodais, de elementos e condições de contorno; as

propriedades físicas dos materiais que compõem a estrutura; e o carregamento externo

atuante.

Caso se deseje realizar uma análise linear, os passos seguintes são a montagem do

vetor de forças externas F e da matriz de rigidez linear KL, e o cálculo dos

deslocamentos nodais através de KL u = F.

Caso a análise não-linear seja a escolhida, o passo seguinte é a leitura dos dados

de entrada complementares, onde estão as informações necessárias a esse tipo de

análise, como, por exemplo, a formulação não-linear a ser empregada, a estratégia de

solução, o valor inicial do parâmetro de carga, o número de incrementos, o critério de

convergência, o número máximo de iterações por incremento, e outros parâmetros

relativos à estratégia de solução escolhida. A Figura 6.3 apresenta um exemplo desse

arquivo de dados.

2 0 0 0 ...Alves,Tork,Yang,Pacos0.5 3000 1 0 0 3 ...faci,ninc,iauto,iacc,ires,tinc0 0 0 0 0 0 0 0 1 ...ilc,idis,iarc,itec,imdo,imfo,irpc,ikrenk,iyang0 0 0 0 1 0 ...incl,incd,inca,incw,incgd,incwy 1.e-4 2 21 0 1 ...betok,iterty,nitmax,nlsmx,cconv0 0 3 0 100 ...iwrt,iwrit,ktest,kplot,kwinc1 1 5 5 1 0 ...kmvie,kview,kmvde,kvdef,Impr,rel 0 0. 0. 0 ...ides,facmx,facmn,iswch0. 0. 0. 0. 0. ...dldes,dldmx,dldmn,fmx,fmn

Figura 6.3 – Arquivo de dados: solução não-linear.

Observe que, na primeira linha, a variável diferente de zero indica a formulação

não-linear a ser utilizada na análise. Assim, se a variável 0Alves ≠ , uma das

formulações propostas por Alves (1993b) é empregada na análise; se 0orkT ≠ , é

utilizada uma das formulações de Torkamani et al. (1997); 0angY ≠ , Yang e Kuo

(1994); e 0Pacos ≠ , Pacoste e Eriksson (1997). No exemplo em questão, a variável

Page 115: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

90

2Alves = , indica a utilização da formulação proposta por Alves (1993b), que calcula as

forças internas através dos deslocamentos naturais incrementais.

Após a leitura dos dados é chamada a subrotina LOADF para montagem do vetor

de cargas de referência Fr. Entra-se então no processo incremental-iterativo de solução,

que é resumido a seguir:

• chama a subrotina MATRIG para montar a matriz de rigidez K, de acordo com a

formulação escolhida, e obtém-se os deslocamentos nodais tangenciais Tuδ ;

• calcula em SCALUP a solução predita, 00 u e ∆λ∆ , de acordo com a estratégia de

incremento de carga escolhida;

• corrige a solução predita pelo processo iterativo através da subrotina ITER;

• em NEXINC são atualizados todos os parâmetros necessários ao próximo

incremento de carga;

• se o número de passos de carga é menor do que o desejado recomeça-se o

processo.

Os resultados são então apresentados em arquivos de saída. O arquivo gerado com

extensão (.dat) pode ser lido, por exemplo, pelo software GRAPHER (1992/1993), que

possibilita a impressão das diversas curvas necessárias à visualização da análise; o

arquivo neutro DEPOS pode ser utilizado no pós-processador gráfico, implementado em

linguagem FORTRAN por Silveira (1995), para a visualização das configurações

deformadas do sistema estrutural analisado; o arquivo de saída RELAT.S contém

informações sobre as ocorrências do processo de solução.

A seguir são apresentadas algumas subrotinas de maneira mais detalhada.

Page 116: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

91

6.2.1 – Subrotina MATRIG

Esta subrotina é responsável pela montagem da matriz de rigidez global do

sistema estrutural, de acordo com a formulação de elementos finitos não-linear

escolhida para a análise. Para cada elemento do modelo estrutural são executados os

seguintes procedimentos:

1) Para a Formulação PTT:

• calcula a matriz de rotação inicial 0R do elemento;

• obtém através de 0R os deslocamentos nodais (totais) em coordenadas locais;

• calcula as componentes da matriz de rigidez elementar;

• transforma, através de 0R, a matriz de rigidez para o sistema global;

Para as Formulações PT1 e PT2:

• calcula a matriz de rotação 0R do elemento;

• obtém através de 0R, os deslocamentos nodais (totais) em coordenadas locais;

• calcula os parâmetros generalizados f1, f2, f3 e f4;

• calcula as dezesseis componentes da matriz de rigidez generalizada Kg ;

• calcula as matrizes de transformação e , f3f1f AA A e a suas transpostas;

• calcula as forças generalizadas fg1 e fg3;

• calcula a matriz de rigidez elementar no sistema local através da relação:

T3

T1

T fg fg f2f1ff AA AKg AK ++= ;

• transforma, através de 0R, a matriz de rigidez elementar para o sistema global.

Para as Formulações PC1 e PC2:

• calcula as três componentes do vetor de deslocamentos naturais (totais) nu ;

• calcula as nove componentes da matriz nK ;

• calcula as matrizes de transformação e , c3c1c AA A e a suas transpostas;

• calcula os esforços 21 M e M P, ;

Page 117: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

92

• calcula a matriz de rigidez, diretamente no sistema global de referências, através

da relação 321 21T M M P ccccc AAAAKAK n +++= .

Para as Formulações AFT, AFI, TFT, TFI, YGN, YGE, YSN e YHN:

• calcula a matriz de rotação (configuração de equilíbrio anterior), tR, do

elemento;

• obtém, através de tR, os deslocamentos nodais (incrementais) em coordenadas

locais;

• calcula as componentes da matriz de rigidez do elemento;

• transforma, através de tR, a matriz de rigidez elementar para o sistema global.

2) Armazena a matriz de rigidez elementar obtida na matriz de rigidez global do

sistema estrutural.

6.2.2 – Subrotina ITER

Esta subrotina é responsável pelo processo iterativo baseado na técnica de

Newton-Raphson (padrão ou modificado) para encontrar um novo ponto de equilíbrio

para a estrutura. Os passos mais importantes desta rotina são descritos a seguir:

1) Para as formulações que calculam as forças internas de forma total: AFI, TFI,

YGN, YGE, YSN e YHN:

• calcula as coordenadas atualizadas dos nós;

• calcula o vetor de forças internas iF na subrotina VETFI com as coordenadas

nodais atualizadas e com os deslocamentos nodais incrementais.

Page 118: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

93

Para as formulações que calculam as forças internas de forma total: AFT, TFT,

PTT, PT1, PT2, PC1, PC2:

• calcula o vetor de forças internas iF na subrotina VETFI com as coordenadas

nodais iniciais e com os deslocamentos nodais totais.

2) Para o método de Newton-Raphson modificado passe para o próximo passo;

Para o método de Newton-Raphson padrão deve-se calcular a matriz de rigidez a

cada iteração, assim:

• para as Formulações em RLT (Pacoste e Eriksson, 1997) calcula-se a matriz de

rigidez K na subrotina MATRIG com os deslocamentos nodais totais; para as

formulações em RLA (todas as outras implementadas) calcula-se a matriz de

rigidez K na subrotina MATRIG com os deslocamentos nodais incrementais;

3) Calcula o vetor de forças desequilibradas: )( )1k()1k()1k(rid FFgF −−− λ−−=−= ;

4) Calcula o fator de convergência rF

g

)1k(

)1k(

1 −

λ∆=ζ ;

5) Resolve o sistema: dg FuK =δ ;

6) Para o método de Newton-Raphson padrão resolve-se o sistema: rr FuK =δ ; para

o método de Newton-Raphson modificado faz-se Tr uu δ=δ , onde Tuδ é o vetor

de deslocamentos nodais tangente;

7) Calcula δλ , de acordo com a estratégia de iteração escolhida, e corrige-se as

variáveis incrementais kλ∆ e ku∆ , e totais λ e u ;

Page 119: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

94

8) Calcula o fator de convergência k2

u

u

δ=ζ ;

9) Se o critério de convergência escolhido pelo usuário do programa (carga: ζ≤ζ1 ;

deslocamento: ζ≤ζ 2 ; ou carga e deslocamento: ζ≤ζζ 21 e ) for atendido

retorna ao programa principal; senão volta ao passo 1.

6.2.3 – Subrotina VETFI

Esta subrotina tem a função de calcular o vetor de forças internas globais do

sistema estrutural. Para cada elemento do modelo estrutural são efetuados os seguintes

procedimentos:

1) Para a Formulação PTT:

• calcula a matriz de rotação inicial 0R do elemento;

• obtém, através de 0R, os deslocamentos nodais (totais) em coordenadas locais;

• monta o vetor de forças internas calculando suas componentes

• transforma, através de 0R, o vetor de forças internas para o sistema global.

Para as Formulações PT1 e PT2:

• calcula a matriz de rotação inicial, 0R, do elemento;

• obtém, através de 0R os deslocamentos nodais (totais) em coordenadas locais;

• calcula os parâmetros generalizados f1, f2, f3 e f4;

• calcula as quatro componentes do vetor de forças generalizadas Fg ;

• calcula as matrizes de transformação f A e a sua transposta Tf A ;

• calcula o vetor de forças internas através da relação FgAF fi T= ;

• transforma, através de 0R, o vetor de forças internas para o sistema global.

Page 120: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

95

Para as Formulações PC1 e PC2:

• calcula as três componentes do vetor de deslocamentos naturais totais un;

• calcula as três componentes do vetor Fn;

• calcula as matrizes de transformação c A e a sua transposta Tc A ;

• calcula o vetor de forças internas, diretamente no sistema global de referências,

através da relação ni FAF c T= .

Para as Formulações de Alves (1993b) e Torkamani et al. (1997), com o cálculo

das forças internas de forma total:

• calcula a matriz de rotação inicial 0R do elemento;

• obtém, através de 0R, os deslocamentos nodais (totais) em coordenadas locais;

• monta a matriz de compatibilidade cinemática A*;

• calcula os deslocamentos naturais totais;

• calcula as componentes do vetor de forças internas;

• transforma, através de 0R, o vetor de forças internas para o sistema global.

Para as Formulações de Alves (1993b), Torkamani et al. (1997), Yang e Kuo

(1994), com o cálculo das forças internas de forma incremental:

• calcula a matriz de rotação (configuração de equilíbrio anterior), tR, do

elemento;

• calcula a matriz de rotação atualizada (a cada iteração), Ra, do elemento;

• obtém através de tR os deslocamentos nodais (incrementais) em coordenadas

locais;

• calcula os deslocamentos naturais incrementais;

• calcula as componentes do vetor de forças internas (incrementais);

• soma as forças internas incrementais com as forças internas obtidas até o passo

de carga anterior, ou seja, obtém-se iii FFF tttt ∆∆+ += ;

• 1transforma, através da matriz de rotação atualizada, Ra, o vetor de forças

internas para o sistema global.

Page 121: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

96

2) Armazena o vetor elementar de forças internas obtido no vetor de forças internas

do sistema estrutural.

1Observação: Nos procedimentos, mostrados acima, para a obtenção da matriz de

rigidez e do vetor de forças internas, foram utilizadas as três diferentes matrizes de

rotação definidas a seguir:

(i) 0R: matriz de rotação entre o sistema global de referências e o sistema local inicial

(estrutura indeformada). Utilizada quando a matriz de rigidez ou o vetor de forças

internas são calculados em RLT;

(ii) tR: matriz de rotação entre o sistema global de referências e o sistema local,

atualizado na configuração de equilíbrio t. Transforma os deslocamentos nodais para o

referencial local de referências, possibilitando a obtenção da matriz de rigidez e do vetor

de forças internas, quando calculados em RLA;

(iii) Ra: matriz de rotação entre o sistema global de referências e o sistema local

atualizado na última iteração. Utilizada para transformar o vetor de forças internas,

calculado da forma incremental proposta por Yang e Kuo (1994), ao sistema global de

referências.

Page 122: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

97

6.2.4 – Subrotina NEXINC

Esta subrotina tem o objetivo de calcular e atualizar os parâmetros utilizados no

próximo passo de carga. A seguir são descritas as tarefas realizadas por esta subrotina.

1) Caso o último passo de carga não tenha convergido, ou seja, o número de

iterações tenha sido maior que o número máximo de iterações estipulado,

executam-se procedimentos para reduzir os acréscimos do parâmetro de carga e

reinicializa-se então o processo da última configuração de equilíbrio encontrada;

caso o ponto de equilíbrio tenha sido encontrado com sucesso o processamento

continua no passo seguinte.

2) São impressos os parâmetros necessários ao traçado de gráficos no arquivo de

saída com extensão (.dat); no arquivo neutro DEPOS são impressas as variáveis

necessárias ao traçado das deformadas no programa de pós-processamento;

3) São calculados na subrotina LOADPI os esforços internos resultantes que serão

utilizados no cálculo da matriz de rigidez e do vetor de forças internas;

4) Atualiza todas as variáveis necessárias à continuidade do processo incremental;

5) Calcula, dependendo da estratégia escolhida para aplicar o novo passo de carga, o

comprimento de arco, o incremento do deslocamento selecionado, o deslocamento

generalizado, etc.;

6) Retorna ao programa principal.

Page 123: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

7EXEMPLOS NUMÉRICOS

7.1 – INTRODUÇÃO

Através da análise de problemas estruturais encontrados na literatura, pretende-se

verificar neste capítulo a eficiência das formulações de elementos finitos não-lineares

estudadas neste trabalho, juntamente com as respectivas implementações

computacionais realizadas.

Um resumo dessas formulações não-lineares é apresentado nas Tabelas 7.1 e 7.2

onde são destacadas as abreviaturas usadas ao longo do capítulo para identificar cada

uma delas. Nas mesmas tabelas são apresentadas também algumas características

importantes de cada formulação.

Na Seção (7.2) serão abordados problemas estruturais clássicos com soluções

analíticas (exatas) encontradas na literatura. Em função da confiabilidade dessas

análises, seus resultados terão o objetivo de avaliar a qualidade dos resultados

produzidos pelas diferentes formulações.

Com o intuito de ratificar as observações feitas na Seção (7.2) e analisar a

eficiência computacional dos diversos modelos, serão abordados, na Seção (7.3),

problemas estruturais de estabilidade elástica fortemente não-lineares, cujas soluções,

obtidas numericamente por diversos pesquisadores, são encontradas na literatura.

Page 124: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

99

Tabela 7.1 – Resumo das formulações.

TRABALHOS FORM. CARACTERÍSTICAS

AFT - As forças internas são obtidas com osdeslocamentos naturais totais, isto é,medidos em relação à configuraçãoinicial indeformada (referencialLagrangiano total – RLT).

Alves (1993b)

- Tensor de Green completo;

- Função de interpolação linear para u e

cúbica para v;

- Matriz de rigidez obtida no RLA;

- Uniformização das deformações devido ao

efeito de membrana (‘membrane locking

effect’).

AFI - As forças internas são obtidas com osdeslocamentos naturais incrementais,isto é, medidos em relação à últimaconfiguração de equilíbrio (referencialLagrangiano atualizado – RLA).

TFT - As forças internas são obtidas com osdeslocamentos naturais totais, (RLT).

Torkamani et al. (1997)

- Tensor de Green simplificado;

- Função de interpolação linear para u e

cúbica para v;

- Desprezado os efeitos dos momentos

iniciais no estado inicial de tensões;

- Matriz de rigidez obtida no RLA.

TFI - As forças internas são obtidas com osdeslocamentos naturais incrementais,(RLA).

YSN - Equação de equilíbrio linearizada;- Tensor de Green simplificado.

YGN - Equação de equilíbrio linearizada..

YGE - Equação de equilíbrio linearizada;- Forças internas obtidas usando a matriz

de rigidez externa.

Yang e Kuo (1994)

- Tensor de Green (deformações axiais e

cisalhantes);

- Função de interpolação linear para u e

cúbica para v;

- Matriz de rigidez e vetor de forças

internas, obtidos no RLA;

- Com exceção de YGE, todas as

formulações têm as forças internas obtidas

com deslocamentos naturais incrementais.

YHN - Equação de equilíbrio não-linearizada,obtendo assim uma matriz de rigidezcom ‘ordem elevada’.

Page 125: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

100

Tabela 7.2 – Resumo das formulações.

TRABALHOS FORM. CARACTERÍSTICAS

PTT - Formulação total;- Relações tensão–deformação

melhoradas (funções trigonométricas);- Teoria de Timoshenko;- Integração numérica do funcional de

energia;- Funções de interpolação lineares para

u, v e θ.

PT1 - Formulação total;- Expressões em função dos ‘parâmetros

generalizados’;- Expansão de primeira ordem das

funções trigonométricas.

PT2 - Formulação total;- Expressões em função dos ‘parâmetros

generalizados’;- Expansão de segunda ordem das

funções trigonométricas.

PC1 - Abordagem corrotacional;- Teoria de Bernoulli;- Relações deformação-deslocamento

lineares.

Pacoste e Eriksson (1997)

- Diferentes Relações tensão–deformação;

- Todos os modelos, com exceção de PTT,

fazem a uniformização das deformações

devido ao efeito de membrana (‘membrane

locking effect’);

- Matriz de rigidez e vetor de forças internas

obtidos no RLT.

PC2 - Abordagem corrotacional;- Teoria de Bernoulli;- Relações deformação-deslocamento de

segunda ordem.

Page 126: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

101

7.2 – EXEMPLOS CLÁSSICOS

Esta seção tem o objetivo de validar as formulações de elementos finitos não-

lineares estudadas e implementadas neste trabalho. Para esse propósito serão abordados

exemplos clássicos de problemas de equilíbrio e estabilidade estrutural que possuem

resultados analíticos e numéricos encontrados na literatura.

A viga em balanço mostrada na Figura 7.1a, que possui solução analítica

apresentada em Timoshenko e Gere (1982), e a coluna em balanço da Figura 7.1b, com

solução analítica apresentada em Southwel (1941), serão analisadas usando-se todas as

formulações implementados com o intuito de destacar as suas principais características

e diferenças.

O exemplo que consiste de um arco senoidal abatido com carga uniformemente

distribuída (Figura 7.1c) terá o objetivo de comparar as duas formas de se obter o vetor

de forças internas propostas por Yang e Kuo (1994), ‘deslocamentos naturais

incrementais’ e ‘rigidez externa’.

As formulações propostas por Alves (1993b) e Torkamani et al. (1997) que, como

pode ser visto no Capítulo 3 e na Tabela 7.1a, possuem várias similaridades, serão

analisadas e comparadas no exemplo ilustrado na Figura 7.1d, que consiste de um arco

circular sob pressão radial. Uma solução analítica para esse sistema estrutural foi

apresentada por Kerr e Soifer (1969).

O último exemplo desta seção consiste de um pórtico, Figuras 7.1e e 7.1f, que

será analisado para diferentes condições de apoio e alturas de topo, com as formulações

de elemento finitos que se mostraram mais representativas nos exemplos anteriores.

Page 127: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

102

P

uw u/L , w/L

PL^2

/EI u/L v/ L

Galvão

(a)

P, w

u

u/L

PL^2

/EI

Galvão

(b)

P

w

w/Z0

P/h

Galvão

(c)

w

P

w/h

PhR

^2/E

I

Ponto debifurcação Ponto de

bifurcação

(d)

P

w

w

P

(e)

P

w

w

P

Ponto de bifurcação

Ponto de bifurcação

(f)

Figura 7.1 - Exemplos clássicos.

Page 128: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

103

7.2.1 - Viga Engastada-Livre

O primeiro exemplo a ser abordado trata-se de uma viga engastada-livre

submetida a uma carga concentrada P, conforme ilustrado na Figura 7.2. As

propriedades físicas e geométricas necessárias à análise podem ser vistas nessa mesma

figura.

P

uw

E = 10 G = E/2 A = 10 I = 10 7 -2 -5

L = 1.0

Figura 7.2 - Viga engastada-livre.

Resultados analíticos desse problema são apresentados por Mattiassons (1981) e

Timoshenko e Gere (1982) e são freqüentemente usados para validar modelos

numéricos (Alves, 1993a; Yang e Kuo, 1994).

O objetivo deste exemplo é verificar e comparar a capacidade das formulações

não-lineares, implementadas neste trabalho, em resolver problemas estruturais com

grandes deslocamentos e rotações.

Neste exemplo foram analisadas todas as formulações citadas com as seguintes

modelagens numéricas: 2, 3, 4 e 5 elementos finitos.

A trajetória de equilíbrio desse sistema estrutural, conforme ilustra a Figura 7.3,

não apresenta pontos críticos (pontos limites e bifurcação), podendo, portanto, ser

obtida adotando-se um esquema de solução simples que consiste na aplicação do

método de Newton-Raphson modificado, com incremento constante para o parâmetro

inicial de carga, ∆λ0, e iteração a carga constante.

Como o objetivo deste exemplo é comparar os resultados obtidos com a solução

analítica dada na Tabela 7.3, será adotado para o parâmetro de carga o

valor: 025.001 =λ∆ . Foi ainda adotada uma tolerância ζ = 10-3.

Page 129: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

104

O erro percentual médio apresentado na Tabela 7.4a e 7.4b foi avaliado fazendo-

se a média aritmética dos erros percentuais obtidos em relação às configurações

fornecidas pela Tabela 7.3.

Tabela 7.3- Solução analítica: viga engastada-livre.

PL2 /EI w/L u/L

0 0 0

0.25 0.083 0.004

0.50 0.162 0.016

0.75 0.235 0.034

1 0.302 0.056

2 0.494 0.160

3 0.603 0.255

4 0.670 0.329

5 0.714 0.388

6 0.744 0.434

7 0.767 0.472

8 0.785 0.504

9 0.799 0.531

10 0.811 0.555

Page 130: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

105

Tabela 7.4a – Erro percentual médio de u/L.

Formul. Número de Elementos

2 3 4 5

AFT 10.77 6.64 3.90 2.97

AFI 1.96 1.08 0.82 0.68

TFT 19.03 6.49 2.53 1.35

TFI 2.10 1.19 0.94 0.80

YSN 2.17 1.06 0.81 0.67

YGN 2.06 0.99 0.72 0.57

YGE 3.81 2.85 2.43 2.22

YHN 1.95 0.97 0.71 0.57

PTT 7.77 3.23 1.56 0.93

PT1 2.22 0.94 0.70 0.61

PT2 0.72 0.53 0.50 0.48

PC1 2.22 0.94 0.70 0.61

PC2 0.72 0.53 0.50 0.48

Solução analítica: Timoshenko e Gere (1982)

Observando-se a Tabela 7.4a, onde estão definidos os erros percentuais para os

deslocamentos, da extremidade livre da viga, na direção do eixo axial, pode-se concluir:

• as formulações AFI e TFI obtiveram resultados melhores que as AFT e TFT, que

apresentaram erros consideráveis para os modelos mais simples;

• ao se melhorar o modelo estrutural, aumentando-se o número de elementos, os

resultados de TFT melhoraram de maneira mais sensível do que os de AFT;

• os quatro tipos de elementos apresentados por Yang e Kuo (1994) obtiveram

resultados praticamente idênticos, com ligeira vantagem para os modelos YGN e YHN;

• os modelos PT2 e PC2 apresentaram ótimos resultados mesmo para um modelo

estrutural mais simples, com 2 elementos; entretanto, resultados semelhantes só foram

obtidos com PTT, PT1 e PC1 aumentando-se o número de elementos.

Page 131: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

106

Tabela 7.4b – Erro percentual médio de w/L.

Formul. Número de Elementos

2 3 4 5

AFT 3.61 2.90 1.63 1.29

AFI 2.39 1.17 0.77 0.60

TFT 8.24 2.70 0.61 0.17

TFI 2.50 1.26 0.85 0.67

YSN 2.57 1.31 1.31 0.72

YGN 2.43 1.21 0.81 0.64

YGE 2.69 1.47 1.07 0.90

YHN 2.42 1.20 0.81 0.64

PTT 2.20 1.01 0.70 0.58

PT1 2.81 1.39 0.94 0.74

PT2 0.20 0.37 0.40 0.42

PC1 2.81 1.39 0.94 0.74

PC2 0.20 0.37 0.40 0.42

Solução analítica: Timoshenko e Gere (1982)

Da Tabela 7.4b, onde estão indicados os erros percentuais para os deslocamentos

transversais w, na extremidade da viga, pode-se destacar:

• mais uma vez nota-se uma maior sensibilidade da formulação TFT em relação à

discretização estrutural;

• mais uma vez, observa-se que para modelos estruturais mais simples, os

resultados obtidos com as formulações AFI e TFI foram melhores que as obtidas por

AFT e TFT; porém, com o aumento do número de elementos nota-se uma melhor

performance da formulação TFT em relação a TFI;

Page 132: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

107

• Os resultados produzidos por PT2 e PC2 para o deslocamento w foram muito

precisos para o modelo com 2 elementos finitos, porém, apresentaram uma pequena

perda de eficiência com o refinamento da malha.

Pode-se ainda destacar as seguintes observações de caráter geral:

• as formulações de elementos finitos que obtêm o vetor de forças internas com os

deslocamentos ‘naturais incrementais’, ou seja, AFI, TFI, YSN ,YGN e YHN,

produziram resultados semelhantes;

• com YGE, que obtém o vetor de forças internas com deslocamentos incrementais,

porém não o fazendo com os deslocamentos ‘naturais incrementais’ e sim corrigindo os

efeitos de corpo rígido com a introdução da ‘matriz de rigidez externa’, chegou-se a

resultados ligeiramente inferiores àqueles fornecidos pelas formulações citadas no

parágrafo anterior. O modelo YGE merecerá uma análise especial no exemplo da Seção

(7.2.3);

• os melhores resultados deste exemplo foram os obtidos com as formulações PT2 e

PC2, introduzidas por Pacoste e Eriksson (1997) e que se baseiam em relações

cinemáticas com aproximações de segunda ordem para as funções trigonométricas. Os

resultados apresentaram erros médios menores que 1% mesmo para o modelo estrutural

mais simples, com 2 elementos finitos. As trajetórias de equilíbrio obtidas por PT2 estão

representadas na Figura 7.3;

• as formulações PTT, PT1 e PC1 não produziram resultados tão bons quanto PT2 e

PC2, mas evidenciaram melhoras significativas com o refinamento da malha;

• foi verificada ainda uma semelhança dos resultados para PT1 e PC1, assim como

para PT2 e PC2. Isso coincide com as observações encontradas em Pacoste e Eriksson

(1997).

Page 133: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

108

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0u/L , w/L

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

PL^2

/EI

Timoshenko e Gere (1982)

Presente - PT2 (2 elem)

Galvão

u/L w/L

Figura 7.3 – Trajetória de equilíbrio: PT2 (2 elem.).

Page 134: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

109

7.2.2 - Coluna Engastada-Livre

Este exemplo, conforme ilustra a Figura 7.4, consiste de uma coluna engastada-

livre submetida a uma carga vertical P aplicada no seu topo associada a uma pequena

imperfeição do tipo momento, introduzida com o objetivo de evitar as dificuldades

numéricas associadas ao ponto de bifurcação.

Como os resultados a serem apresentados estão adimensionalizados, não há

necessidade de especificar as propriedades físicas e geométricas da estrutura, porém é

necessário indicar que, para a formulação PTT, desenvolvida a partir da teoria de

Timoshenko, considerou-se um módulo de elasticidade transversal G = E/2.

Para avaliar a qualidade dos resultados obtidos, será utilizada a solução analítica

apresentada por Southwel (1941).

Alexandre

P, w

u

L

0,001 PL

Figura 7.4 - Coluna engastada-livre.

Com este exemplo, pretende-se verificar a eficiência das formulações estudadas

na análise de problemas estruturais que, além de envolverem grandes rotações,

apresentam na sua trajetória de equilíbrio uma região de grandes deslocamentos e carga

Page 135: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

110

praticamente constante, seguida ainda por um ponto limite de deslocamento, como

ilustrado na Figura 7.5.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8u/L

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0PL

^2/E

I

Analítico - Southwel (1941)

Galvão

Presente: PTT (5 elem.)

Figura 7.5 – Trajetória de equilíbrio: PTT ( 5 elem).

Como no exemplo anterior, foram analisadas todas as formulações estudadas

usando-se na modelagem do sistema: 2, 3, 5 e 10 elementos finitos.

O procedimento de solução não-linear adotado foi o método Newton-Raphson

modificado junto com a estratégia de iteração proposta por Yang e Kuo (1994), controle

dos deslocamentos generalizados, com incremento automático do parâmetro de carga

∆λ0 baseado no parâmetro de rigidez generalizado, GSP. Foi utilizado um incremento

inicial do parâmetro de carga 201 EI/PL 0.17 =λ∆ e uma tolerância ζ = 10-4.

A Tabela 7.5a fornece os valores encontrados para a carga crítica

adimensionalizada, PcrL2/EI, com o seu respectivo erro percentual. Adotou-se o critério

de avaliar como valor crítico, a carga que corresponde o menor valor de GSP pois,

como foi definido em Yang e Kuo (1994), o valor nulo de GSP indica um ponto onde a

reta tangente à curva carga–deslocamento torna-se paralela ao eixo dos deslocamentos.

Page 136: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

111

A Tabela 7.5b apresenta os valores de u/L no ponto limite de deslocamento com os

respectivos erros percentuais.

Tabela 7.5a – Carga crítica: Valores de Pcr L2/ EI.

Formul. Número de Elementos

2 3 5 10

Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%

AFT 2.465 0.089 2.466 0.061 2.467 0.028 2.467 0.012

AFI 2.468 0.020 2.468 0.036 2.468 0.024 2.469 0.081

TFT 2.474 0.255 2.474 0.288 2.479 0.482 2.469 0.049

TFI 2.470 0.097 2.469 0.049 2.468 0.036 2.468 0.036

YSN 2.470 0.097 2.469 0.049 2.468 0.040 2.469 0.061

YGN 2.470 0.081 2.468 0.036 2.468 0.020 2.468 0.020

YGE 2.470 0.081 2.468 0.032 2.468 0.024 2.468 0.020

YHN 2.470 0.081 2.468 0.032 2.468 0.024 2.468 0.020

PTT 2.745 11.243 2.584 4.742 2.508 1.658 2.477 0.401

PT1 2.597 5.261 2.525 2.326 2.488 0.843 2.473 0.227

PT2 2.469 0.070 2.468 0.028 2.468 0.020 2.468 0.016

PC1 2.597 5.261 2.525 2.326 2.488 0.843 2.473 0.227

PC2 2.469 0.070 2.468 0.028 2.468 0.020 2.468 0.016

Solução analítica : Pcr L2/EI = π2/4 ≈ 2.467 (Southwel, 1941).

Pode-se destacar da Tabela 7.5a as seguintes observações:

• As formulações PTT, PT1 e PC1 apresentaram erros relativamente grandes da

carga crítica para os modelos estruturais mais simples, e melhoraram esses resultados

com o aumento da discretização;

• As demais formulações forneceram bons resultados para todos os modelos de

elementos finitos;

• ficou evidente mais uma vez a identidade dos resultados produzidos por PT1 e

PC1, bem como para os obtidos por PT2 e PC2.

Page 137: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

112

Tabela 7.5b – Ponto limite de deslocamento : Valores de u/L.

Formul. Número de Elementos

2 3 5 10

Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%

AFT ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------

AFI 0.846 5.224 0.821 2.114 0.811 0.871 0.807 0.373

TFT ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- -------

TFI 0.845 5.099 0.821 2.114 0.811 0.871 0.807 0.373

YSN 0.846 5.224 0.821 2.114 0.811 0.871 0.807 0.373

YGN 0.846 5.224 0.821 2.114 0.811 0.871 0.807 0.373

YGE 0.846 5.224 0.821 2.114 0.811 0.871 0.808 0.497

YHN 0.846 5.224 0.821 2.114 0.811 0.871 0.807 0.373

PTT 0.833 3.607 0.817 1.617 0.810 0.746 0.807 0.373

PT1 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------

PT2 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------

PC1 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------

PC2 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------

Solução analítica : ucr/L = 0.804 ( Southwel, 1941).

Da Tabela 7.5b as seguintes observações podem ser destacadas:

• com exceção de PTT, todas as formulações que obtêm o vetor de forças internas

através dos deslocamentos totais, ou seja, AFT, TFT, PT1, PC1, PT2 e PC2,

apresentaram problemas de convergência, mostrando-se incapazes de atingir o ponto

limite de deslocamento;

• a formulação PTT, apesar de ter apresentado os piores resultados para a carga

crítica, apresentou os melhores resultados para o ponto limite de deslocamento;

• a formulação TFT mostrou grandes erros na obtenção da trajetória de equilíbrio

pós-crítica para os modelos mais simples, como mostra a Figura 7.6;

Page 138: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

113

• como no exemplo anterior, pode-se observar a semelhança dos resultados

produzidos pelas formulações que obtêm o vetor de forças internas a partir dos

deslocamentos naturais incrementais.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0u/L

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

PL

^2/E

I

2 elem. 3 elem. 5 elem.

10 elem.

Presente - TFT

Analítico - Southwell (1941)

Figura 7.6 – Trajetórias pós-crítica: TFT.

Page 139: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

114

7.2.3 – Arco Birrotulado sob Carregamento Distribuído

O problema a ser tratado nesta seção consiste de uma arco senoidal birrotulado

submetido a uma carga vertical P uniformemente distribuída. As propriedades físicas e

geométricas desse sistema estrutural estão apresentadas na Figura 7.7.

O objetivo deste exemplo é analisar e comparar as duas formas de se obter o vetor

de forças internas propostas por Yang e Kuo (1994): a) através dos deslocamentos

naturais - YGN -; b) usando a matriz de rigidez externa – YGE-.

h = 20

h

Z0 = 20

P

w

E = 210000 G = E/2

L = 1000

Figura 7.7 – Arco birrotulado sob carga distribuída.

As Tabelas 7.6a e 7.6b apresentam, para os modelos estruturais com 3, 4, 5 e 8

elementos, os valores da carga nos dois pontos limites de carga, bem como o erro

percentual em relação à solução numérica obtida por Bergan (1980).

A solução não-linear foi obtida usando-se a estratégia de iteração comprimento de

arco cilíndrico, com o método Newton-Raphson modificado; o incremento automático

do comprimento de arco foi adotado como controlador do valor inicial do parâmetro de

carga, ∆λ0. Adotou-se para o primeiro incremento: -301 10 0.5 x=λ∆ . Para controlar a

convergência foi adotada uma tolerância ζ = 10-3.

Page 140: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

115

A Figura 7.8 fornece as trajetórias de equilíbrio para as duas formulações em

estudo. Observe que, à medida que os deslocamentos crescem, o caminho de equilíbrio

encontrado através da formulação YGE se afasta da solução esperada.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

P / h

Bergan (1980)

Presente - YGN

Presente - YGE

Galvão

w/Z0

Figura 7.8 – Trajetórias de equilíbrio: YGN e YGE (8 elem).

Page 141: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

116

Tabela 7.6a – Valor de P/h no 1o ponto limite.

Formul. Número de Elementos

3 4 5 8

Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%

YGN 0.334 4.2 0.340 2.5 0.342 1.9 0.345 0.8

YGE 0.339 2.8 0.345 1.1 0.348 0.2 0.351 0.6

Valor de referência: 1Pcr = 0.349 (Bergan, 1980)

Tabela 7.6b – Valor de P/h no 2o ponto limite.

Formul. Número de Elementos

3 4 5 8

Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%

YGN 0.075 2.5 0.077 0.1 0.078 1.4 0.079 2.7

YGE 0.059 23.3 0.061 20.7 0.062 19.4 0.064 16.8

Valor de referência: 2Pcr = 0.077 (Bergan, 1980)

As Tabelas 7.6a e 7.6b confirmam que há um erro significativo para a formulação

YGE na obtenção do segundo ponto limite. Este erro pode ser explicado pelas

aproximações que se fizeram necessárias na definição da matriz de rigidez externa.

Estas aproximações forneceram, entretanto, erros desprezíveis quando os deslocamentos

incrementais foram suficientemente pequenos. Faz-se portanto necessário um estudo a

respeito da variação dos resultados ao se utilizar diferentes valores para estes

deslocamentos incrementais, através de uma variação do valor médio dos incrementos

de carga.

Page 142: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

117

A Tabela 7.7 e a Figura 7.9, obtidas para o modelo com 8 elementos, evidenciam

que ao se diminuir o valor médio do incremento de carga, os valores obtidos por YGE

se aproximam dos fornecidos pela formulação YGN.

Tabela 7.7 – Variação de 01λ∆ : YGE (8 elem.).

01∆λ∆λ∆λ∆λ Valor médio do

incremento de P/hValor de P/h

1o Ponto limiteValor de P/h

2o Ponto limite

5 x 10-3 0.0139 0.351 0.064

2 x 10-3 0.00547 0.348 0.073

1 x 10-3 0.00278 0.347 0.076

5 x 10-4 0.0013938 0.346 0.077

5 x 10-5 0.000139697 0.345 0.079

YGN ( 8 elem. - 01λ∆ =5 x 10-3) 0.345 0.079

1.35 1.40 1.45 1.50 1.55w/Z

0.064

0.068

0.072

0.076

0.080

0.084

0.088

P / h

Segundo Ponto limite

(1)

(2)(3)(4)(5)

(6)(7)

0

(1) YGE: ∆λ = 0.005(2) YGE: ∆λ = 0.002

(3) YGE: ∆λ = 0.001

(4) YGE: ∆λ = 0.0005(5) YGE: ∆λ = 0.00005(6) Bergan (1980)(7) YGN: ∆λ = 0.005

0101

01

01

01

01

Figura 7.9 - Trajetória de equilíbrio: proximidades do 2o ponto limite.

Page 143: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

118

A diminuição do valor médio do incremento de carga foi conseguida com a

redução do valor de 01λ∆ . Outras estratégias, entretanto, podem ser empregadas.

Utilizando-se, por exemplo, solução não-linear proposta por Yang e Kuo (1994), com

controle de incremento de carga baseado no parâmetro GSP e estratégia de iteração

denominada controle dos deslocamentos generalizados, com 01λ∆ = 5x10-3, chegou-se

aos resultados apresentados na Tabela 7.8 e na Figura 7.10.

Tabela 7.8 - Valores limites de P/h: YGE (8 elem. – GSP).

01∆λ∆λ∆λ∆λ Valor médio do

incremento de P/hValor de P/h

1o Ponto limiteValor de P/h

2o Ponto limite

5 x 10-3 0.000075 0.345 0.079

YGN ( 8 elem - -310 x 501 =λ∆ ) 0.345 0.079

1.35 1.40 1.45 1.50 1.55w/Z

0.076

0.078

0.080

0.082

0.084

0.086

0.088

P / h

Segundo Ponto limite

Galvão

Bergan (1980)

Presente - YGN

Presente - YGE

Galvão

0

Figura 7.10 - Trajetória de equilíbrio: proximidades do 2o ponto limite.

Page 144: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

119

7.2.4 – Arco Biengastado sob Pressão Radial

Um arco circular biengastado é submetido a uma pressão radial uniforme

conforme mostrado na Figura 7.11. Nesta mesma figura estão representados os

parâmetros geométricos que definem o arco bem como o seu o módulo de elasticidade.

Resultados analíticos para esse problema foram apresentados por Kerr e Soifer

(1969), sendo usados, desde então, para validar formulações numéricas (Antonini, 1987;

Alves, 1993b).

P

m0 = 1x10 tf cm -6

R

b h Seção transversal:

w

γ

γ = 0.1 radR = 100 cmh = 0.1 cmb = 1.0 cmE = 2100 tf/cm

Figura 7.11 – Arco biengastado sob pressão radial.

Trata-se de uma estrutura que apresenta um caminho de equilíbrio

acentuadamente não-linear com perda de estabilidade por ponto limite associada a um

modo de deformação simétrico. Entretanto, sob a ação de pequenas perturbações

assimétricas, pode ser identificado, ao longo do caminho não-linear de equilíbrio, um

ponto de bifurcação associado a um modo de deformação anti-simétrico. Na presente

Page 145: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

120

análise estas pequenas perturbações são introduzidas por um momento inicial, m0, como

mostrado na figura.7.11.

Alves (1993b) mostrou que o acréscimo de pequenas imperfeições aleatórias às

coordenadas nodais é uma estratégia numérica bastante eficiente para detectar pontos de

bifurcação ao longo da trajetória não-linear de equilíbrio. Na realidade, este

procedimento é justificado tanto em termos da Teoria Geral da Estabilidade Elástica

(Koiter, 1970; Thompson & Hunt, 1973) como através da Teoria da Catástrofe (Thom,

1975; Poston & Stewart, 1978).

Ambas as teorias mostram que imperfeições aleatórias infinitesimais, apesar de

destruírem os pontos de bifurcação, geram um caminho de equilíbrio que inicialmente

praticamente coincide com o caminho fundamental de equilíbrio da estrutura perfeita e

que ao atingir a vizinhança do primeiro ponto de bifurcação, onde a trajetória

fundamental se torna instável, passa a seguir a trajetória pós-crítica de equilíbrio.

Também, sendo a distribuição de imperfeições aleatória, esta "contém", em uma

representação modal equivalente, todos os modos críticos, o que permite detectar

caminhos que emergem tanto de pontos de bifurcação isolados quanto de pontos de

bifurcação múltiplos.

Este exemplo é utilizado aqui com objetivo de analisar as formulações não-

lineares propostas por Alves (1993b): AFT e AFI, e por Torkamani et al. (1997): TFT e

TFI. Essas formulações têm processos semelhantes de obtenção da matriz de rigidez e

do vetor de forças internas, sendo que Torkamani et al. (1997) propôs um modelo mais

simples, como mostrado resumidamente na Tabela 7.1 (veja também Capítulo 3).

Para a realização da análise, primeiramente considerou-se o arco perfeitamente

simétrico. A estrutura foi então representada por 4 modelos diferentes considerando-se

apenas metade do arco, ou seja: 3, 4, 8 e 10 elementos. Para tornar esses modelos

compatíveis, foram introduzidas restrições à rotação e ao deslocamento tangencial do

ponto que coincide com o eixo de simetria.

Em seguida, foram considerados outros 4 modelos estruturais do arco completo,

ou seja, com 6, 8, 16 e 20 elementos respectivamente. Nesses modelos uma carga inicial

tipo momento, m0, foi introduzida.

A solução não-linear seguiu a estratégia de iteração proposta por Crisfield (1991),

comprimento de arco cilíndrico, junto ao método de Newton-Raphson modificado, com

Page 146: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

121

incremento automático do comprimento de arco controlando o carregamento. No caso

da estrutura simétrica (metade do arco), foi utilizado um incremento inicial do

parâmetro de carga, -601 10 =λ∆ , e para o caso da estrutura completa, -70

1 10 =λ∆ . Foi

adotada uma tolerância ζ = 10-3.

As Figuras 7.12 e 7.13 ilustram as trajetórias de equilíbrio da estrutura perfeita e

com imperfeições iniciais. Foram considerados 10 e 20 elementos, respectivamente, na

modelagem desses sistemas estruturais.

0 1 2 3 4 5 6 7 8w/h

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

2.8

PhR

^2/E

I

Analítico - Kerr e Soifer (1969)

Presente - AFT

Presente - TFT

Galvão

Modelo Perfeito: 10 elem.Modelo Imperfeito: 20 elem.

Figura 7.12 – Trajetórias de equilíbrio: AFT e TFT.

-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06θ

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

PhR

^2/E

I

Primeiro pontode bifurcação

Segundo pontode bifurcação

Galvão

Figura 7.13 – Trajetórias de equilíbrio: AFT (10 – 20 elem.).

Page 147: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

122

Observe que até o primeiro ponto de bifurcação, o comportamento da estrutura é

próximo daquele do modelo perfeito; no regime pós-crítico, as deformações

assimétricas tornam-se bastante pronunciadas, e a partir do segundo ponto de bifurcação

o comportamento do arco volta a se aproximar daquele do modelo perfeito.

Para as 4 formulações em estudo as soluções obtidas nos dois pontos limites de

carga para a estrutura simétrica, bem como o erro percentual em relação ao valor

analítico, estão representadas nas Tabelas 7.9a e 7.9b.

Tabela 7.9a – Valor de PhR2/EI no 1o ponto limite.

Formul. Número de Elementos: metade do arco

3 4 8 10

Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%

AFT 2.288 0.88 2.272 0.18 2.269 0.04 2.260 0.35

AFI 2.352 3.70 2.313 1.98 2.280 0.53 2.267 0.04

TFT 2.310 1.85 2.284 0.71 2.271 0.13 2.261 0.31

TFI 2.352 3.70 2.313 1.98 2.280 0.53 2.268 0.00

Solução analítica: 1PlimhR2/EI = 2.268 (Kerr e Soifer, 1969)

Page 148: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

123

Tabela 7.9b – Valor de PhR2/EI no 2o ponto limite.

Formul. Número de Elementos: metade do arco

3 4 8 10

Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%

AFT 0.474 1.46 0.479 0.42 0.481 0.00 0.482 0.21

AFI 0.312 35.14 0.392 18.50 0.460 4.37 0.469 2.50

TFT 0.652 35.55 0.520 8.11 0.484 0.62 0.483 0.42

TFI 0.312 35.14 0.392 18.50 0.460 4.37 0.469 2.49

Solução analítica: 2PlimhR2/EI = 0.481 (Kerr e Soifer, 1969)

As seguintes observações podem ser destacadas das Tabelas 7.9a e 7.9b:

• os erros tornam-se mais evidentes a medida que os deslocamentos crescem;

• os resultados apresentados pelas formulações em análise que adotam o

procedimento de cálculo do vetor de forças internas através dos deslocamentos naturais

incrementais, isto é, AFI e TFI, mostraram comportamentos semelhantes;

• como esperado, AFT apresentou resultados melhores que TFT;

• para este problema em particular, as formulações AFI e TFI apresentaram erros

maiores do que AFT e TFT.

As Tabelas 7.10a e 7.10b contêm as soluções obtidas e o erro percentual em

relação ao valor analítico nos dois pontos de bifurcação.

Page 149: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

124

Tabela 7.10a– Valor de PhR2/EI no 1o ponto de bifurcação

Formul. Número de Elementos Para o Arco Completo

6 8 16 20

Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%

AFT 1.919 0.47 1.911 0.05 1.907 0.16 1.907 0.16

AFI 1.931 1.10 1.919 0.47 1.910 0.00 1.909 0.05

TFT 1.923 0.68 1.913 0.16 1.908 0.10 1.908 0.10

TFI 1.932 1.15 1.919 0.47 1.911 0.05 1.910 0.00

Solução analítica: 1PbifhR2/EI = 1.910 (Kerr e Soifer, 1969)

Tabela 7.10b– Valor de PhR2/EI no 2o ponto de bifurcação.

Formul. Número de Elementos Para o Arco Completo.

6 8 16 20

Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%

AFT --- --- --- --- 0.515 0.39 0.515 0.39

AFI 0.337 34.31 0.408 20.47 0.485 5.46 0.498 2.92

TFT --- --- --- --- 0.515 0.39 0.515 0.39

TFI 0.337 34.31 0.408 20.47 0.485 5.46 0.498 2.92

Solução analítica: 2PbifhR2/EI = 0.513 (Kerr e Soifer, 1969)

Analisando as Tabelas 7.10a e 7.10b, pode-se acrescentar às observações

destacadas anteriormente que, para os modelos mais simples, AFT e TFT tiveram

problemas de convergência, não atingindo o segundo ponto de bifurcação.

A Figura 7.14 superpõe as trajetórias de equilíbrio das formulações AFT e AFI,

para o par de modelos estruturais 8-16 elementos (perfeito e imperfeito), ilustrando

assim as diferenças encontradas entre as duas diferentes formas de cálculo do vetor de

forças internas. Observe que a divergência entre as duas soluções é maior após a

passagem do segundo ponto crítico (bifurcação), quando os deslocamentos são mais

pronunciados.

Page 150: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

125

0 1 2 3 4 5 6 7 8w/h

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

PhR

^2/E

I

Galvão

Analítico - Kerr e Soifer (1969)

Presente - AFT

Presente - AFI

Perfeito: 8 elem.Imperfeito: 16 elem.

Figura 7.14 – Trajetórias de equilíbrio: AFT e AFI (8 –16 elem.).

Algumas considerações gerais podem ser levantadas a partir dos resultados

encontrados:

• este exemplo mostrou a existência de diferenças nos resultados obtidos por

formulações baseadas nas mesmas relações constitutivas e cinemáticas mas que se

utilizam de processos diferentes no cálculo do vetor de forças internas;

• a forma ‘incremental’ de obtenção do vetor de forças internas, mostra-se mais

eficiente no traçado de trajetórias que apresentam uma não-linearidade muito

forte. Esta observação ficará mais evidente nos exemplos da Seção (7.3).

entretanto, no presente exemplo, os resultados obtidos pelas formulações AFT e

TFT apresentaram erros menores que os apresentados por AFI e TFI;

• observa-se ainda no presente exemplo que AFT, que foi baseada em uma relação

deformação-deslocamento mais completa, apresentou resultados ligeiramente

superiores a TFT. Entretanto, não houve diferenças relevantes entre os resultados

apresentados por AFI e TFI.

Essas formulações de elementos finitos voltarão a ser tratadas no Exemplo (7.3.4).

Page 151: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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7.2.5 – Pórtico de Williams

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Page 152: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 153: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 154: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 155: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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QUKZHQ#nZI#[IHQ#ZJ#GLJNLHKQJIFKL#NkR@GHVKOGL#FL#UOJOKI#IFKHI#OFRKm`IU#I#IRKm`IUa#LZ#RIpQa

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SQHQ# Q# Q# LbKIFWXL# MLR# HIRZUKQMLR# JLRKHQMLR# Q# RI[ZOH# ^LO# ZRQML# L# JoKLML# MI

Newton-Raphson modificado# GLJ#Q# IRKHQKo[OQ#MI# OKIHQWXL#controle dos deslocamentos

generalizados#I#OFGHIJIFKL#MI#GQH[Q#bQRIQMQ#FL#NQHTJIKHL#GSP$#)#NQHTJIKHL#MI#GQH[Q

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S63# GLFROMIHQFML# JLMIULR# IRKHZKZHQOR# ^LHJQMLRa# HIRNIGKO`QJIFKIa# NLH# =a# \# I# P

Page 156: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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_bc#\#IUIJIFKLR#^OFOKLR$

Page 157: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

':3

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3?\$3

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3?E$\

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HIRZUKQMLR# RXL# LbKOMLR# ZRQFML@RI# Q# ^LHJZUQWXL# S63a# GLJ# L# GQJOFhL# NkR# GHVKOGL

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GQHQGKIHOYQFML# ZJQ# IfGIRRO`Q# HO[OMIYa# FIGIRROKQFML# NLHKQFKL# MI# JLMIULR# IRKHZKZHQOR

JQOR#HI^OFQMLR#NQHQ#LbKIFWXL#MI#HIRZUKQMLR#QGIOKm`IOR$#-RKQ#LbRIH`QWXL#IRKm#OUZRKHQMQ#FQ

<O[ZHQ#E$3'$

Page 158: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

'::

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SHIRIFKI#S66#_3A#IUIJIFKLRc###-HHL#q#'$\:#�

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IUIJIFKLR# ^OFOKLR# GLF^LHJI# OFMOGQ# Q# 6QbIUQ# E$''$#/R# ^LHJZUQWgIR# OJNUIJIFKQMQR# NLH

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Page 159: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

':=

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Modelo No elem. Bifurc. máx

PE-PTT P ==:$P

PE-PC1 P ==3$\

PE-PC2 P =3A$E

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S63a#NQHQ#LR#JLMIULR#IRKHZKZHQOR#^LHJQMLR#NLHi#=a#Pa#'Aa#3A#I#'AA#IUIJIFKLR$

6QbIUQ#E$'3#&#!QULH#MQ#bO^ZHGQWXL#JmfOJQ#LbKOMQ#FL#NHIRIFKI#KHQbQUhL$

Formul. Número de Elementos

4 8 10 20 100

AFT =33$?E =3A$AP' ='?$?E ='?$?A ='?$?A

YGN =3:$B\ =3A$==P =3A$3? =3A$'\ =3A$'=

PTT \PA$\: =\E$3:B ==?$3: =3\$?P =3A$3\

PT2 =3:$3? =3A$:B: =3A$3: =3A$'B =3A$'=

*L`QJIFKI# o# `IHO^OGQMQ# ZJQ# IfGIRRO`Q# HO[OMIY# NQHQ# L# IUIJIFKL# S66a# L# nZI

NHL`Q`IUJIFKI#RI#MI`I#{#ROJNUOGOMQMI#MI#RZQR#^ZFWgIR#MI#OFKIHNLUQWXLa#UOFIQHIR#NQHQ#Za

`#I#θa#I#KQJboJ#{#MIRGLFROMIHQWXL#MLR#MIRULGQJIFKLR#MI#GLHNL#HV[OML#FQ#LbKIFWXL#ML

`IKLH# MI# ^LHWQR# OFKIHFQR$# (LJL# OUZRKHQML# FQ# 6QbIUQ# E$'3a# IRRI# NHLbUIJQ# NLMI# RIH

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_'??Eca# IJNHI[QFML# S66# I# ZJ# JLMIUL# IRKHZKZHQU# GLJ# P# IUIJIFKLR# ^OFOKLRa# o

UO[IOHQJIFKI#JIUhLH#nZI#Q#LbKOMQ#FL#NHIRIFKI#KHQbQUhL$#/GHIMOKQ@RI#nZI#IRRI#^QKL#RI#MI`I

Q#GLFROMIHQWgIR#GLJNZKQGOLFQOR#QMOGOLFQOR#FXL#^LHFIGOMQR#FL#QHKO[L#GOKQML$

Page 160: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

':B

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2QU`XL

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Page 161: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

136

7.3 – PROBLEMAS FORTEMENTE NÃO-LINEARES

Esta seção pretende verificar a capacidade das formulações não-lineares

implementadas neste trabalho em analisar problemas estruturais fortemente não-

lineares. Soluções numéricas, ou analíticas, encontradas na literatura serão utilizadas

para testar a eficiência computacional dessas formulações.

Com a intenção de ratificar as observações dos exemplos anteriores serão

utilizadas todas as formulações implementadas neste trabalho na análise do arco abatido

mostrado na Figura 7.23a, usando como referência os resultados extraídos de Yang e

Kuo (1994).

A análise do arco circular ilustrado na Figura 7.23b terá o objetivo de analisar e

comparar as formulações que se mostraram mais eficientes nos exemplos anteriores:

AFI, TFI, YGN, PTT e PT2. Serão usados como referência a solução analítica para o

primeiro ponto limite apresentada em Wood e Zienkiewicz (1977) e os resultados

numéricos fornecidos por Kouhia e Mikkola (1989).

O exemplo de arco circular, cujo comportamento fortemente não-linear é

mostrado na Figura 7.23c, terá o objetivo de analisar as formulações apresentadas por

Yang e Kuo (1994): YSN, YGN, YGE e YHN.

As formulações sugeridas por Alves (1993b) e Torkamani et al. (1994) serão

novamente analisadas na solução do pórtico de Lee, Figura 7.23d, com o objetivo de

preencher algumas lacunas deixadas nas observações finais do Exemplo (7.2.4).

A eficiência computacional das formulações propostas por Pacoste e Eriksson

(1997) será avaliada através da análise do arco pouco-abatido da Figura 7.23e em cuja

trajetória de equilíbrio pode ser identificado um ponto de bifurcação.

Page 162: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

137

P

M = 2 x P

θ

w

u

w

PGalvão

Carga CentradaCarga Excêntrica

(a)

P

α

θ

w

u

PR^2

/EI

Ga lvão

w (b)

w

u

θ

P

w

P G a lv ã o

(c)

P

Galvão

u

w

θ

w , u

P Ga lvã o

wu

(d)

w

R

P

m0

-2

0

2

4

6

P

w

Ponto debifurcação

(e)

Figura 7.23 – Problemas fortemente não-lineares.

Page 163: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

138

7.3.1 – Arco Abatido Birrotulado sob Carga Pontual

O arco circular abatido birrotulado ilustrado na Figura 7.24 será analisado para

duas situações de carregamento: carga pontual centrada e carga excêntrica. Com o

objetivo de facilitar a modelagem da estrutura, a carga excêntrica será representada por

uma carga vertical aplicada no eixo de simetria do arco, associada a uma carga

momento. Nesta mesma figura estão indicados todos os parâmetros geométricos e

físicos da estrutura a serem considerados na análise.

50 50w

P

E = 2000 G = E/2 A = 1 I = 1

5

M = 2 x P

θ

u

Figura 7.24 - Arco abatido birrotulado sob carga pontual excêntrica.

Por ser o primeiro dessa nova série de exemplos, também aqui, como aconteceu

nas Seções (7.2.1) e (7.2.2), serão analisadas todas as formulações estudadas neste

trabalho. Esse procedimento tem o objetivo de ratificar as observações feitas naquelas

seções e verificar a eficiência computacional dessas formulações na solução de um

problema fortemente não-linear.

Os resultados obtidos usando-se as formulações implementadas neste trabalho

serão comparados com aqueles fornecidos em Yang e Kuo (1994), obtidos para um

modelo estrutural com 26 elementos usando YGN, que também está implementada no

presente trabalho.

Page 164: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

139

Para o caso em que a estrutura é submetida à carga centrada, isto é, aplicada no

eixo de simetria do arco, foram modelados semi-arcos formados por: 2, 3, 5 e 10

elementos, com restrições à rotação θ e ao deslocamento tangencial u, no nó coincidente

com o eixo de simetria do arco. Para o caso em que a carga é excêntrica, foram

analisados modelos formados por: 4, 6, 10 e 20 elementos finitos.

Para a solução não-linear foi utilizado o método de Newton-Raphson modificado

junto com a estratégia de iteração deslocamentos generalizados e a estratégia de

incremento de carga baseada no parâmetro GSP. Foi adotada uma tolerância ζ = 10-3.

A obtenção exata dos pontos singulares (pontos limites e de bifurcação) e o

desenvolvimento de técnicas para o traçado das trajetórias secundárias (branch

switching techniques) têm sido objeto de recentes pesquisas. Entretanto, na presente

dissertação não foi implementado nenhum desses métodos. O procedimento utilizado

aqui para obtenção dos pontos limites com precisão, foi adotar um valor ‘pequeno’ para

o parâmetro inicial de carga, da ordem de 0.01.

Este sistema estrutural, no caso da carga excêntrica, exibe um comportamento

altamente não-linear, apresentando quatro pontos limites de carga, dois pontos limites

para os deslocamentos w e θ e quatro pontos limites para o deslocamento u. Os gráficos

apresentados na Figura 7.25 ilustram essas observações; e foram obtidas usando YGN

com o modelo estrutural formado por 20 elementos finitos. No caso da carga centrada é

observada a presença apenas de dois pontos limites de carga para o gráfico P x w

(Figura 7.25a).

Page 165: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

140

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 10.5 12.0

w

-0.6

-0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

P

Yang e Kuo (1994)

P.L. de carga

P.L. de deslocamento

Carga excêntrica YGN (20 elem.)

Galvão

C a rg a c en tra d a Y G N (1 0 e lem .)

P r e s e n t e T r a b a l h o

(a) Curva P x w.

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10θ

-0.6

-0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

P Galvão

Presente Trabalho

Carga centrada (10 elem.)

Carga excêntrica (20 elem.)

(b) Curva P x θ.

Page 166: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

141

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10u

-0.6

-0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

P Galvão

PresenteTrabalho

Carga centrada (10 elem.)

Carga excêntrica (20 elem.)

(b) Curva P x u.

Figura 7.25 – Trajetórias de equilíbrio.

As Tabelas 7.13a e 7.13b foram construídas com o objetivo de verificar as

formulações, usando como referência os resultados extraídos diretamente do gráfico

apresentado em Yang e Kuo (1994). Nessas tabelas são apresentados os valores da

média aritmética dos ‘erros percentuais’ nos pontos limites (carga e deslocamento), dos

valores obtidos nesta dissertação em relação aos apresentados no trabalho citado. Estes

‘erros’ foram calculados conforme o procedimento da Figura 7.26.

Page 167: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

142

% u

uup

pp x 100 E

2

a

ab2

a

aba/b

−+

−=

Galvão

( ua , pa )

( ub , pb)

A

B

u

P

Figura 7.26 – Cálculo do erro de posição de B em relação a A.

A Tabela 7.13a mostra portanto a média aritmética entre os ‘erros’ calculados nos

2 pontos limites de carga da estrutura submetida ao carregamento centrado. A Tabela

7.13b fornece a média aritmética entre ‘erros’ nos 6 pontos limites (4 de carga e 2 de

deslocamento) da mesma estrutura quando submetida à carga excêntrica.

Page 168: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

143

Tabela 7.13a – ‘Erros’ percentuais médios: carga centrada.

Formul. Número de Elementos: metade do arco

2 3 5 10

AFT 18.95 9.25 4.60 2.81

AFI 9.12 5.03 2.01 0.78

TFT 20.49 8.31 3.11 1.26

TFI 9.34 5.17 2.19 0.56

YSN 9.02 4.92 1.96 0.92

YGN 9.12 5.05 2.05 0.75

YGE 10.49 6.09 3.05 1.37

YHN 9.19 5.00 1.98 0.77

PTT 20.31 8.89 2.90 1.25

PT1 11.14 5.39 2.15 1.28

PT2 17.63 7.78 3.04 1.25

PC1 11.14 5.39 2.15 1.28

PC2 17.63 7.78 3.04 1.25

Observa-se na Tabela 7.13a que, para os modelos estruturais mais simples, os

melhores resultados foram os apresentados pelas formulações que calculam o vetor de

forças internas com os deslocamentos incrementais, ou seja, AFI, TFI, YSN, YGN,

YGE e YHN.

Page 169: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

144

Tabela 7.13b – ‘Erros’ percentuais médios: carga excêntrica.

Formul. Número de Elementos para o Arco

4 6 10 20

AFT 18.63 9.19 4.82 3.09

AFI 20.37 9.71 3.76 1.30

TFT --- 8.05 3.29 1.57

TFI 20.10 9.46 3.56 1.26

YSN 20.63 10.01 4.03 1.56

YGN 20.79 10.13 4.20 1.72

YGE 19.82 9.44 3.64 1.89

YHN 20.82 10.18 4.18 1.74

PTT --- 14.64 3.55 1.49

PT1 22.37 6.66 2.57 1.79

PT2 17.43 7.72 3.26 1.56

PC1 22.37 6.66 2.57 1.79

PC2 17.43 7.72 3.26 1.56

Para o arco submetido à carga excêntrica pode-se afirmar que:

• AFT apresentou dificuldades na obtenção do caminho de equilíbrio para o modelo

estrutural formado por quatro elementos, provocando a ocorrência de muitas

iterações (até 718) para satisfazer o critério de convergência nas configurações

próximas aos pontos críticos;

• Com esse mesmo modelo (4 elementos), TFT não foi capaz de atingir o segundo

ponto limite de carga;

• PTT apresentou novamente um comportamento mais rígido que as demais,

necessitando portanto de um modelo estrutural mais refinado. Para o modelo

estrutural com 4 elementos, o ‘erro’ médio do elemento tipo PTT não consta na

Tabela 7.13b porque a trajetória obtida por este não foi similar à esperada,

Page 170: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

145

apresentando apenas dois pontos limites de carga, se assemelhando à do arco sob

carga centrada. A Figura 7.27 ilustra a evolução dos resultados obtidos pelo

elemento tipo PTT, para a curva carga-deslocamento tangencial.

• Neste exemplo foi novamente verificada a semelhança dos resultados obtidos por

PT1 e PC1, bem como PT2 e PC2.

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 u

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

p

(a)(b) (c) (d)

(b)(c)(d)

(a) Presente - PTT (4 elem.)

(b) Presente - PTT (6 elem.)

(c) Presente - PTT (10 elem.)

(d) Presente - PTT (20 elem.)

Galvão

Figura 7.27 – Formulação PTT: refinamento da malha.

A Figura 7.28 apresenta os valores de P e w ( ponto nodal central) nos pontos

limites de carga e de deslocamentos obtidos usando YGN e modelo formado por 100

elementos finitos. Esses valores (considerados exatos) serão utilizados a seguir como

referência para verificar todas as formulações implementadas. Nessa mesma figura são

apresentadas as configurações deformadas nos 6 pontos limites da estrutura.

Page 171: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

146

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0 10.5 12.0

w

-0.6

-0.3

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

P

Galvão

1

5

32

6

4 1 - ( 2.4107 , 1.1928)2 - ( 8.0884 , -0.4179)3 - ( 7.8983 , -0.4612)4 - ( 3.9732 , 1.0932)5 - ( 3.9274 , 1.0797)6 - ( 8.5088 , -0.3675)

YGN (100elem)Pontos Limites - PL (w , P):

A B

(a) Trajetória de equilíbrio.

(1)

M = 2 x P

w = 2.4107

P= 1.1928

(2)

P = -0.4179

M = 2 x P

w = 8.0884

(3)

P = -0.4612

M = 2 x P

w = 7.8983

(4)

w = 3.9732

P = 1.0932

M = 2 x P

(5)

w = 3.9274

P = 1.0797

M = 2 x P

(6)

w = 8.5088

P = -0.3675

M = 2 x P

(b) Configurações deformadas nos pontos limites: fator de escala = 1.5.

Figura 7.28 – Carga excêntrica: YGN (100 elem.).

Page 172: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

147

A Tabela 7.14 exibe, para todas as formulações implementadas e um modelo

estrutural com 20 elementos finitos, a média aritmética dos erros percentuais de posição,

nos seis pontos limites, em relação aos resultados fornecidos na Figura 7.28. Essa

mesma tabela, fornece o tempo de processamento necessário para se traçar a trajetória

de A até B, medido nas mesmas condições com um equipamento do tipo: Pentium II

350 / 32MB.

Tabela 7.14 – Eficiência computacional.

Formul. Arco Completo: 20 Elementos

Erro médio % Tempo A-B (seg.)

AFT 1.94 97.1

AFI 0.52 86.0

TFT 0.44 55.4

TFI 0.93 44.7

YSN 0.89 33.9

YGN 0.79 35.9

YGE 1.59 36.6

YHN 0.79 119.9

PTT 0.45 54.9

PT1 0.66 125.2

PT2 0.42 152.6

PC1 0.66 164.4

PC2 0.42 169.2

Page 173: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

148

Baseado na Tabela 7.14 algumas observações são destacadas a seguir:

• PC2 apresentou o maior tempo de processamento, 399% maior do que o

apresentado por YSN (menor tempo);

• AFI mostrou erro menor do que TFI, entretanto necessitou de um tempo de

processamento 92% maior;

• YSN, YGN e YGE necessitaram dos menores tempos de processamento, sendo

que YGE apresentou erro maior do que as demais formulações propostas por

Yang e Kuo (1994). YHN necessitou de um tempo de processamento 254% maior

do que o tempo gasto por YSN;

• PC1 e PC2 apesar de terem apresentados erros idênticos aos obtidos,

respectivamente, por PT1 e PT2, necessitaram de tempos maiores de

processamento.

Page 174: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

149

7.3.2 – Arco Circular Rotulado-Engastado Sob Carga Pontual Centrada

Um arco circular rotulado-engastado submetido a uma carga pontual centrada em

seu eixo de simetria, conforme indicado na Figura 7.29, será analisado nesta seção.

2150

R=100

H

H = 1

E = 12 x 106

w

P

G =E/2

Figura 7.29 - Arco circular rotulado-engastado sob carga pontual centrada.

A análise deste problema, cujo comportamento, como ilustrado na Figura 7.30, é

fortemente não linear, terá o objetivo de verificar e comparar mais uma vez formulações

que se mostraram mais eficientes nos exemplos anteriores. Assim, serão utilizadas as

formulações: AFI; TFI; YGN; PTT e PT2.

A solução analítica, até o primeiro ponto limite de carga, apresentada em Wood e

Zienkiewicz (1977) e os resultados numéricos obtidos por um modelo estrutural

formado por 64 elementos finitos, apresentados em Kouhia e Mikkola (1989) serão

usados como referência.

A solução não-linear seguiu a estratégia de iteração comprimento de arco

cilíndrico acoplada ao método de Newton-Raphson modificado. O comprimento de arco

foi usado como controlador do parâmetro de carga, inicialmente adotado: 5.001 =λ∆ .

Uma tolerância ζ = 10-4 foi empregada.

Page 175: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

150

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6w/R,

-2

0

2

4

6

8

10

PR^2

/EI

θ

Presente - PTT (32 elem.)

w/Rθ

Galvão

Wood e Zienkiewicz (1977) - Analítico

A

B

C

D

-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6-u/R

-2

0

2

4

6

8

10

PR^2

/EI

Galvão

P resente - PTT (32 elem .) W ood e Z ienkiew icz (1977) - A nalítico

Galvão

A

B

C

D

(a) Trajetórias de equilíbrio.

Page 176: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

151

- A -

w* = 0.5745503P* = 6.0077

u* =0.4290926

- B -

w *= 1.138842

u* = -0.6118334

P* = 9.098987

- C -

w *= 1.211965

u* = -0.5741094

P* = -0.794223

- D -

P* = 0.99992

u* = -0.0973192

w * = 1.679506

P* = PR2/EI; w* = w/R; u* = u/R

(b) Configurações deformadas.

Figura 7.30 – Solução não-linear: PTT ( 32 elem.).

Page 177: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

152

A Tabela 7.15 fornece os valores obtidos para o primeiro ponto limite de PR2/EI,

juntamente com o erro percentual deste em relação ao valor analítico.

Tabela 7.15 – PR2/EI no 1o ponto limite.

Formul. Número de Elementos

8 10 16 32

Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%

AFI 9.32 3.90 9.15 2.00 9.07 1.11 9.00 0.33

TFI 9.32 3.90 9.15 2.00 9.07 1.11 9.00 0.33

YGN 9.32 3.90 9.15 2.00 9.07 1.11 9.00 0.33

PTT 11.34 26.42 10.38 15.72 9.50 5.91 9.10 1.45

PT2 --- --- --- --- --- --- --- ---

Solução analítica: PR2/EI = 8.97 (Wood e Zienkiewicz, 1977)

Baseado nessa tabela, pode-se fazer os seguintes comentários:

• PTT, como já esperado, apresentou uma rigidez excessiva, fornecendo um valor

elevado para a carga no primeiro ponto crítico;

• PT2 apresentou problemas de convergência e não foi capaz de atingir o primeiro

ponto limite de carga;

• AFI, TFI e YGN apresentaram valores rigorosamente iguais. O gráfico

apresentado na Figura 7.31 ratifica esta observação, exibindo a trajetória de equilíbrio

obtida por AFI, TFI e YGN para um modelo estrutural formado por 16 elementos. Vale

lembrar que essas formulações têm em comum a forma incremental de obtenção do

vetor de forças internas.

Page 178: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

153

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0w/R

-2

0

2

4

6

8

10

12

PR^2

/EI

Presente Trabalho

AFI

TFI

YGN

16 elem.

Kouhia e Mikkola (1989) 64 elem.

Galvão

Figura 7.31 – Trajetórias de Equilíbrio: AFI, TFI, YGN (16 elem.).

A Figura 7.32 pretende ilustrar a evolução dos resultados obtidos pelo

formulações analisadas. Como AFI, TFI e YGN apresentaram resultados semelhantes,

são representados apenas os resultados obtidos por YGN.

Page 179: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

154

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0w/R

-2

0

2

4

6

8

10

12

PR^2

/EI

08 elem.10 elem.16 elem.32 elem.

08 elem.10 elem.16 elem.32 elem.

Kouhia e Mikkola (1989) - 64 elem.

Galvão

(a) YGN.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0w/R

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

PR^2

/EI

08 elem.10 elem.16 elem.32 elem.

32 elem.16 elem.10 elem.08 elem.

10 elem.16 elem.32 elem.

Kouhia e Mikkola (1989) - 64 elem.

Galvão

(b) PTT.

Figura 7.32 – Evolução dos resultados obtidos.

Page 180: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

155

Pode-se destacar da presente análise as seguintes observações:

• pode-se notar na Figura 7.32b que, para o modelo com 8 elementos, PTT

apresenta um comportamento absurdo para a trajetória de equilíbrio que se segue ao

primeiro ponto crítico, porém, melhorando-se a discretização do modelo estrutural,

nota-se uma aproximação do comportamento esperado. Essa aproximação é mais rápida

em PTT que nas outras formulações analisadas. Esse fato deve-se provavelmente às

relações deformação-deslocamento fortemente não-lineares definidas para este elemento

a partir de funções trigonométricas sem aproximações;

• PT2, que tem em comum com o elemento PTT a maneira de se obter o vetor de

forças internas, mostrou-se ineficiente na obtenção da trajetória, não sendo capaz de

atingir o primeiro ponto crítico;

• AFI e TFI, que foram gerados a partir de relações deformação-deslocamento mais

simples, mas que calcula o vetor de forças internas de forma incremental, atingiram com

sucesso todos os pontos limites;

• mais uma vez, as formulações que calculam o vetor de forças internas de forma

‘incremental’ mostraram-se mais eficientes no traçado de trajetórias de equilíbrio com

acentuada não-linearidade. Essas formulações atingiram e ultrapassaram pontos limites

que outros tipos de formulações, mesmo tendo relações deformação-deslocamento mais

completas, não puderam atingir ou contornar. Exceção a essa observação é feita a PTT,

pois esta é baseada em relações deformação-deslocamento fortemente não-lineares,

porém, devido às funções de interpolação lineares, esta formulação necessita de

modelos estruturais melhores.

Page 181: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

156

Finalmente, na Tabela 7.16, os resultados obtidos no presente trabalho são

comparados com os fornecidos em Saje et al. (1998) para formulações publicadas na

década de 90.

Tabela 7.16 - 1o ponto limite: diversas formulações.

Formulação No de elem. PR2/EI Erro %

Presente trabalho

AFI 32 9.00 0.33

TFI 32 9.00 0.33

YGN 32 9.00 0.33

PTT 32 9.10 1.45

Trabalhos recentes

Sandhu et al. (1990) 6 8.97 0.00

Wagner (1991) 20 9.27 3.34

Borri e Bottasso (1994) 10 9.07 1.11

Kegl et al. (1995) 4 8.97 0.00

Ibrahimbegovic (1995) 20 8.97 0.00

Franchi e Montelaghi (1996) 40 8.98 0.11

Saje et al. (1998) 4 8.97 0.00

Solução analítica: PR2/EI = 8.97 (Wood e Zienkiewicz, 1977)

Page 182: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

157

7.3.3 – Arco Circular Birrotulado

O sistema estrutural a ser analisado nesta seção é o arco circular birrotulado

submetido às duas situações de carga indicadas na Figura 7.33. Essas duas situações de

carga provocam na estrutura um comportamento fortemente não-linear, como ilustram

as trajetórias de equilíbrio mostradas na Figura 7.34.

E = 2000 A = 10 I = 1

w

P

π/50

L =100

Modelo perfeito

Modelo imperfeito

Figura 7.33 - Arco circular birrotulado.

Este exemplo tem o objetivo de verificar e comparar, mais uma vez, a eficiência

computacional das formulações apresentadas em Yang e Kuo (1994), ou seja: YSN,

YGN, YGE e YHN.

Para realizar a análise não-linear deste problema foram utilizadas, juntamente com

o método de Newton-Raphson modificado, a estratégia de iteração Deslocamentos

generalizados e a estratégia de incremento de carga baseada no parâmetro GSP. Com

essas estratégias, utilizando a formulação YGN e um modelo com 25 elementos para

metade do arco se chegou à trajetória da Figura 7.34a, para a estrutura perfeita. As

demais trajetórias dessa figura foram obtidas com o modelo imperfeito de arco completo

composto por 26 elementos.

Page 183: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

158

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90w

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

PGalvão

Presente Trabalho Semi-arco: YGN (25 elem.)

Yang e Kuo (1994) Arco completo: YGN (26 elem.)

(a) Carga centrada: P x w.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100w

-100

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

125

PGalvão

Presente Trabalho Arco completo: YGN (26 elem.)

Yang e Kuo (1994)Arco completo: YGN (26 elem.)

(b) Carga excêntrica: P x w.

Page 184: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

159

-30 -20 -10 0 10 20u

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

PGalvão

Presente trabalhoArco completo: YGN (26 elem.)

(c) Carga excêntrica: P x u.

-1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4θ

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

PGalvão

Presente trabalhoArco completo: YGN (26 elem.)

(d) Carga excêntrica: P x θ.

Figura 7.34 – Trajetórias de equilíbrio.

Page 185: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

160

0 20 40 60 80 100w

-80

-40

0

40

80

PGalvão

-1-

-2-

-3-

-4-

0 20 40 60 80 100w

-20

-10

0

10

20

PGalvão

-1-

-2-

-3-

-4-

P = 7.583

- 1 -

P = 4.558

P = -21.615

- 2 -

P = -8.496P = -8.496

P = 48.149

- 3 -

P = 14.554

P = -75.434

- 4 -

P = -19.693

(a) Carga centrada. (b) Carga excêntrica

Figura 7.35 – Configurações deformadas da estrutura: YGN (16 elem.).

Page 186: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

161

Para as duas situações de carga o arco apresenta um comportamento cíclico. Esse

comportamento é ilustrado na Figura 7.35 que mostra as deformadas da estrutura para as

diversas situações de carregamento. Pode-se observar nessa figura uma subdivisão do

arco a cada ciclo. Dessa observação conclui-se que, após cada ciclo, os resultados

tornam-se menos precisos, pois o número de elementos utilizados no modelo estrutural

torna-se menos eficiente na representação da estrutura.

A Figura 7.36 ilustra essa observação, mostrando a evolução da solução para a

situação de carga centrada, em relação ao apresentado por Yang e Kuo (1994), à medida

que se melhora o modelo estrutural.

Presente TrabalhoMetade do arco: YGN (2 elem.)

0 20 40 60 80 100w-200-160-120-80-40

04080

120160

P

Yang e Kuo (1994)Arco completo: YGN (26 elem.)

(a) YGN (2 elem.).

Presente TrabalhoMetade do arco: YGN (3 elem.)

0 20 40 60 80 100w-200-160-120

-80-40

04080

120160

P

Yang e Kuo (1994)Arco completo: YGN (26 elem.)

(b) YGN (3 elem.).

Page 187: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

162

Presente TrabalhoMetade do arco: YGN (4 elem.)

0 20 40 60 80 100w-200-160-120-80-40

04080

120160

P

Yang e Kuo (1994)Arco completo: YGN (26 elem.)

(c) YGN (4 elem.).

Presente TrabalhoMetade do arco: YGN (5 elem.)

0 20 40 60 80 100w-200-160-120-80-40

04080

120160

P

Yang e Kuo (1994)Arco completo: YGN (26 elem.)

(d) YGN (5 elem.).

Presente TrabalhoMetade do arco: YGN (10 elem.)

0 20 40 60 80 100w-200-160-120

-80-40

04080

120160200240

P

Yang e Kuo (1994)Arco completo: YGN (26 elem.)

(e) YGN (10 elem.).

Figura 7.36 – Evolução dos resultados: carga centrada.

Page 188: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

163

As trajetórias de equilíbrio obtidas pelas outras formulações em estudo

coincidiram com as trajetórias mostradas na Figura 7.36, portanto, não há necessidade

de mostrá-las. Entretanto, é notável que uma formulação baseada em relações com

termos de ordem elevada, YHN, produza resultados semelhantes a uma formulação tão

simplificada como YSN.

A Tabela 7.17 mostra, para o caso do arco sujeito à carga centrada, os resultados

para a primeira carga crítica obtidos pelas formulações YSN, YGN, YGE e YHN. Para

isso foram utilizados modelos com 2, 3, 4 e 5 elementos finitos, respectivamente, para a

metade do arco, restringindo-se a rotação e o deslocamento tangencial no nó que

coincide com o eixo de simetria.

Tabela 7.17 – 1a Carga crítica.

Formul. Número de Elementos: metade do arco

2 3 4 5

Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro% Valor Erro%

YSN 10.784 31.74 8.752 6.91 8.609 5.17 8.442 3.13

YGN 10.782 31.71 8.751 6.90 8.607 5.14 8.440 3.10

YGE 10.782 31.71 8.751 6.90 8.608 5.16 8.441 3.12

YHN 10.754 31.37 8.748 6.87 8.605 5.12 8.439 3.09

Valor de referêcia: 1Pcr = 8.186 (Yang e Kuo, 1994)

Pode-se observar nessa tabela que os resultados encontrados com as formulações

em questão, ao se utilizar o mesmo número de elementos, foram praticamente idênticos,

com a diferença entre eles menor que 0.6%.

As Tabelas 7.18a e 7.18b pretendem comparar a eficiência computacional das

formulações implementadas mostrando, para o caso do carregamento excêntrico: os

valores de carga obtidos nos pontos limites de carregamento, o tempo gasto na

execução do problema, o número de incrementos necessários, a média de iterações por

incremento de carga e a diferença percentual média dos resultados obtidos no presente

trabalho em relação aos apresentados por Yang e Kuo (1994) nos pontos limites de

Page 189: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

164

carga. Para isso foi considerado um modelo estrutural formado por 26 elementos

finitos. Novamente, o tempo de processamento apresentado está relacionado ao

emprego do equipamento: Pentium II 350 / 32MB.

Tabela 7.18 – Eficiência das formulações: arco completo (26 elem.).

(a) Pontos limites de carregamento.

Form. 1o P.L. 2oP.L. 3o P.L. 4o P.L. 5o P.L. 6o P.L. 7o P.L. 8o P.L. 9o P.L.

YSN 5.812 -8.487 16.127 -22.176 38.456 -48.899 64.542 -82.471 104.143

YGN 5.811 -8.483 16.113 -22.152 38.391 -49.790 64.345 -82.189 103.679

YGE 5.812 -8.476 16.090 -22.142 38.309 -49.664 64.143 -81.933 103.353

YHN 5.811 -8.483 16.113 -22.152 38.392 -49.791 64.352 -82.187 103.703

Ref. 5.813 -8.498 16.149 -22.162 38.566 -49.896 64.875 -82.420 104.611

(b) Eficiência computacional.

Formul. Tempo (seg.) No increm. Média de iterações Erro Médio %

YSN 1137 38999 3.453 0.65

YGN 1587 38999 3.442 0.82

YGE 1134 39193 2.07 1.01

YHN 4302 38999 3.429 0.83

A principal conclusão deste exemplo é que, das formulações estudadas, as

baseadas em relações mais simples, isto é, YSN, YGN e YGE mostraram maior

eficiência computacional. Da Tabela 7.18 pode-se fazer as seguintes observações que

ratificam essa afirmação:

• praticamente não houve diferença entre os valores das cargas críticas obtidas

pelas diferentes formulações analisadas;

• YHN necessitou de um tempo de processamento 171 % maior do que o tempo

necessário a YGN, 278 % maior do que YSN e 279% maior do que YGE.

Page 190: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

165

7.3.4 – Pórtico de Lee

A Figura 7.37 ilustra o exemplo a ser abordado, bem como os modelos discretos

utilizados. Trata-se do Pórtico de Lee, que é usado freqüentemente por pesquisadores

para validar estratégias de solução não-linear.

120

A = 6.0I = 2.0E = 720.0

ν = 0.3

P

24 96

Galvão

u

w

θ

(a) Sistema estrutural.

3 elem.

24 96

4 elem.

24 96

6 elem.

24 48 48

8 elem.

24 32 32 32

10 elem.

24

Os modelos com 20 e 100 elementos são subdivisões do modelo com 10 elementos.

(b) Modelos discretos.

Figura 7.37 – Pórtico de Lee.

Page 191: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

166

Neste exemplo o fenômeno de instabilidade só ocorre após o aparecimento de

grandes deslocamentos. As trajetórias de equilíbrio apresentadas na Figura 7.38, obtidas

usando-se AFI com 20 elementos, mostram a presença de pontos limites de carga e

também de pontos limites de deslocamento.

0 20 40 60 80 100u, w

-1

0

1

2

3

4

P

Presente: AFI (20 elem.)

Schweizerhof e Wriggers (1986)

u w

(a) P x u , w.

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8θ

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

P

Presente

AFI (20 elem.)

Galvão

(b) P x θ.

Figura 7.38– Trajetórias de equilíbrio.

Page 192: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

167

O objetivo deste exemplo é preencher as lacunas deixadas nas observações finais

do Exemplo (7.2.4), para as formulações de elementos finitos propostas por Alves

(1993b): AFT e AFI; e Torkamani et al. (1997): TFT e TFI.

Adotou-se a estratégia de iteração comprimento de arco cilíndrico juntamente

com o método de Newton-Raphson modificado, com incremento automático do

comprimento de arco controlando o valor inicial do parâmetro de carga, ∆λ0. No início

do processo adotou-se: 01.001 =λ∆ . Para controlar a convergência foi adotado ζ = 10-3.

Foram efetuadas análises para modelos estruturais com: 3, 4, 6, 8, 10 e 20

elementos finitos. Para servir de referência e avaliar a precisão dos resultados analisados

foi realizada a seguir a análise do pórtico considerando um modelo com 100 elementos,

cujos pontos limites podem ser vistos na Figura 7.39. Com o mesmo objetivo foram

usados resultados numéricos extraídos de Schweizerhof e Wriggers (1986), que também

utilizaram elementos finitos.

0 20 40 60 80w

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

P

A

B

C

D

A

D

C

B

Galvão

Pontos limites: A (48.791 , 1.856)

B (61.006 , 1.192)

C (50.749 , -0.438)

D (58.188 , -0.942)

Figura 7.39 – Trajetória de equilíbrio e deformadas: AFI (100 elem.).

Page 193: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

168

A seguir são feitas algumas observações relacionadas ao desempenho das

formulações em estudo:

• AFT e TFT não foram capazes de obter a trajetória de equilíbrio de forma

completa, apresentando problemas de convergência nas proximidades do primeiro ponto

limite;

• como pode ser visto na Figura 7.40, para um modelo estrutural formado por 20

elementos, a trajetória obtida com AFT ultrapassa o primeiro ponto limite, enquanto

TFT não só não atinge o ponto limite como visivelmente apresenta erros. Esse fato,

somado a observações feitas em exemplos anteriores, mostra que no caso de

formulações que calculam o vetor de forças internas de forma ‘total’ (ou em RLT), a

qualidade das relações cinemáticas é importante;

• AFI e TFI não apresentaram problemas de convergência e obtiveram toda a

trajetória de equilíbrio;

• AFI e TFI produziram resultados semelhantes. A Figura 7.41 ilustra esse fato

mostrando as soluções obtidas com diferentes modelos estruturais;

• observe que com modelos estruturais discretizados em 6 ou mais elementos, AFI e

TFI apresentaram um comportamento próximo do esperado, com 2 pontos limites de

carga e 2 pontos limites de deslocamento.

Page 194: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

169

0 10 20 30 40 50 60w

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

P

Schweizerhof e Wriggers (1986)

TFT (20 elementos)

AFI (100 elem.)

AFT (20 elem.)

Galvão

Figura 7.40 – Trajetórias de equilíbrio: AFT e TFT (20 elem.).

0 15 30 45 60 75 90w

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.0

P

Galvão

3 elem.

4 elem.

6 elem.

10 elem

Presente Trabalho

AFI

TFI

AFI (100 elem.)Schweizerhof e Wriggers (1986)

Figura 7.41 – Evolução das soluções: AFI e TFI.

Page 195: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

170

A Tabela 7.19 foi elaborada com o objetivo de comparar a eficiência

computacional de AFI e TFI. Esta tabela apresenta o tempo de processamento da análise

e a média aritmética dos erros percentuais dos valores encontrados nos pontos limite em

relação aos fornecidos na Figura 7.39. O tempo foi medido do começo do

processamento até o ponto da trajetória de equilíbrio que, após ultrapassar os dois

pontos limite de carga, atinge o valor de carga P = 3.0. Novamente foi utilizado o

equipamento: Pentium II 350 / 32MB.

Tabela 7.19 – Eficiência: AFI e TFI.

Form. Número de Elementos

06 08 10 20

Erro % T (seg.) Erro % T (seg.) Erro % T (seg.) Erro % T (seg.)

AFI 14.63 26.47 7.32 30.60 6.92 40.87 1.87 81.9

TFI 14.55 16.86 7.41 18.23 6.95 25.65 1.71 48.5

Como em outros exemplos, nota-se que quase não há diferenças entre os valores

limites de carga obtidos com as formulações que têm em comum a obtenção do vetor de

forças internas de forma ‘incremental’. Entretanto, o fato de AFI ser baseado em

relações deformação-deslocamento mais completas do que as que se baseiam TFI, fez

com que o tempo de processamento de AFI fosse em média 60% maior que o tempo

gasto por TFI.

Page 196: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

171

7.3.5 – Arco Circular Pouco Abatido

O arco circular pouco abatido sob uma carga pontual vertical aplicada no seu

topo, conforme mostrado na Figura 7.42, será analisado considerando as seguintes

condições: estrutura perfeitamente simétrica, m0 = 0; e estrutura com imperfeições

iniciais, m0 = 72.15.

α = 53.130 R = 2540

E = 68.8 G = E/2

o

α

w

R

H = 25.397

Pm0 = 72.15

H

H

Figura 7.42 – Arco circular pouco abatido.

Este exemplo tem o objetivo de analisar as formulações propostas por Pacoste e

Eriksson (1997) que foram implementadas neste trabalho: PTT, PT1, PT2, PC1 e PC2.

Serão usados os resultados fornecidos por Meek (1991), cuja solução foi obtida

numericamente para um modelo estrutural com 8 elementos finitos. Adicionalmente,

serão usados como referência, resultados numéricos obtidos usando a formulação YGN

e um modelo estrutural com 100 elementos, para o caso em que há imperfeições iniciais,

e um modelo de metade do arco com 50 elementos para o caso perfeitamente simétrico.

No caso do arco perfeito, o comportamento do sistema é semelhante ao do

Exemplo (7.3.3), entretanto, a introdução de imperfeições permite identificar um ponto

de bifurcação ao longo da trajetória. A Figura 7.43 ilustra essas afirmações mostrando

as trajetórias de equilíbrio nos dois casos citados.

Page 197: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

172

0 500 1000 1500 2000w

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

P

Metade do arco (50 elem.)

Presente YGN

Caso simétrico

Galvão

(a) Caso simétrico: P x w.

0 500 1000 1500 2000

w

-2

0

2

4

6

PGalvão

Simétrico - Metade do arcoPresente - YGN (50 elem)

Assimétrico - Arco completoPresente - YGN (100 elem.)

Meek (1991)

(b) Casos simétrico e assimétrico: P x w.

-200 -100 0 100 200u

-2

0

2

4

6

PGalvão

m -0 m +0

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0θ

-2

0

2

4

6

PGalvãom -0

m +0

(c) Caso assimétrico: (P x u) e (P x θ).

Figura 7.43 – Trajetórias de equilíbrio: YGN (100-50 elem.).

Page 198: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

173

Verifica-se, portanto, que pequenas deformações assimétricas na configuração

inicial da estrutura provocam um comportamento diferente do comportamento

observado para a estrutura perfeita, com a ocorrência de um caminho de equilíbrio, pós-

bifurcação, instável.

0 500 1000 1500 2000w

-40

-20

0

20

40

60

PGa lvão

-A-

-B-

-C-

Metade do arco - YGN (50 elem):

A ( 559.430 , 5.636 ) B (1772.580 , -16.069 ) C ( 200.505 , 35.846 )

0 500 1000 1500 2000w

-4

-2

0

2

4

6

PGa lvão

-A-

-B-

-C-

Arco completo - YGN (100 elem):

A ( 275.048 , 4.760 ) B (2076.129 , -2.537 ) C (2112.920 , 0.031 )

-A-

-B-

Galvão -C- Galvão

(a) Estrutura simétrica. (b) Estrutura imperfeita.

Figura 7.44 – Deformadas da estrutura.

Page 199: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

174

A Figura 7.44 ilustra as deformadas do arco para diferentes situações de carga (A,

B e C). Observe que a estrutura perfeita apresenta um comportamento cíclico,

semelhante ao do Exemplo (7.3.3). Para o arco com imperfeições iniciais não é

observado esse comportamento cíclico.

Para a análise das formulações, a estratégia de solução não-linear foi baseada no

emprego do método de Newton-Raphson modificado com a estratégia de iteração

deslocamentos generalizados. O incremento de carga foi controlado pelo parâmetro

GSP, com valor inicial: 05.010 =λ∆ . A tolerância adotada foi ζ = 10-4.

As Tabelas 7.20a e 7.20b apresentam erro percentual obtido para as cargas críticas

(1o ponto limite e bifurcação) usando-se as formulações PTT, PC1 e PC2 para diferentes

modelos estruturais. É mostrado também o tempo de processamento necessário para o

traçado da trajetória de equilíbrio, do início do processo até o primeiro valor de carga

0P = . Utilizou-se para avaliação desse tempo um equipamento PII 350 / 32MB.

Tabela 7.20 – Eficiência computacional das formulações.

(a) Caso simétrico: 10 ponto limite de carga.

Form. Número de Elementos: Metade do arco

04 05 06 10 15

E % T (s) E % T (s) E % T (s) E % T (s) E % T (s)

PTT 25.4 9.28 15.03 9.77 9.99 9.78 3.35 14.23 1.42 18.01

PC1 9.77 20.59 6.23 26.75 4.31 25.37 1.53 46.58 0.66 72.00

PC2 1.14 22.52 0.66 27.24 0.43 30.81 0.12 50.70 0.04 73.05

Plim = 5.636 (presente YGN - 50 elem.)

Page 200: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

175

(b) Caso imperfeito: ponto de bifurcação.

Form. Número de Elementos: Arco Completo

08 10 12 20 30

Erro% T (s) Erro% T (s) Erro% T (s) Erro% T (s) E rro% T (s)

PTT 11.18 36.0 6.95 42.6 5.93 52.2 1.68 65.4 0.72 108.9

PT1 4.95 71.6 3.16 88.1 2.20 101.4 0.78 166.5 0.35 263.1

PT2 0.83 97.1 0.52 116.3 0.37 133.0 0.13 209.4 0.07 309.2

PC1 4.95 104.3 3.16 128.3 2.20 147.5 0.78 212.5 0.35 341.2

PC2 0.83 123.7 0.52 147.9 0.37 170.1 0.13 237.9 0.07 349.4

Valor de referência: Pbif = 4.588 (presente YGN - 100 elem.)

A seguir são feitas algumas observações relativas às análises realizadas:

• PTT necessitou de modelos melhores para obter resultados tão bons quanto PC2,

entretanto, observa-se, pelo tempo de processamento, que a eficiência

computacional destes dois tipos de elementos se equivalem;

• PTT não apresentou problemas de convergência, sendo capaz de atingir e

ultrapassar o segundo ponto limite de carga, para o caso do arco imperfeito;

• PT1, PT2, PC1 e PC2 apresentaram problemas de convergência nas proximidades

do segundo ponto limite de carga. A Figura 7.45 ilustra esse fato mostrando ainda,

a evolução dos resultados encontrados por PTT ao se melhorar o modelo

estrutural;

• PC1 e PT1, bem como PT2 e PC2, como já observado em outros exemplos,

apresentam resultados idênticos. Essas formulações, entretanto, não apresentam o

mesmo tempo de processamento.

Page 201: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

176

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8θ

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

P

PT2 (04 elem.)

YGN (100 elem.)

PTT - Número de elementos: 08 10 12 20 30

Galvão

Figura 7.45 – Evolução dos resultados obtidos por PTT.

A Tabela 7.21 compara a eficiência computacional de PC1 e PC2, que têm

abordagem ‘Corrotacional’, com PT1 e PT2, com abordagem ‘Total’, mostrando o erro

percentual da carga de bifurcação e o tempo necessário para obtenção da trajetória de

equilíbrio (até o primeiro ponto em que a carga P assume o valor nulo). Foi utilizado um

modelo assimétrico com 30 elementos. Observe que as formulações com abordagem

‘Total’, apesar de apresentarem resultados rigorosamente idênticos às formulações

‘Corrotacionais’, mostraram-se mais eficientes quanto ao tempo necessário ao

processamento.

Tabela 7.21 – Comparação: Total x Corrotacional.

Form. Modelo: Arco Completo (30 Elem.)

Valor de P Erro percentual Tempo (s)

PC1 4.60424827 0.35 341.2

PT1 4.60424827 0.35 263.1

PC2 4.58538117 0.07 349.4

PT2 4.58538117 0.07 309.2

Pbif = 4.588 (presente YGN - 100 elem.)

Page 202: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

8CONCLUSÕES E SUGESTÕES

8.1 – INTRODUÇÃO

Considerando as análises mostradas no Capítulo 7, são apresentadas na Seção

(8.2) algumas conclusões de caracter geral relacionadas à eficiência das formulações

geometricamente não-lineares, presentes nos Capítulos 3, 4 e 5, para análise não-linear

de sistemas reticulados planos.

Na apreciação dessas conclusões deve-se levar em conta os aspectos

computacionais considerados na implementação das formulações e da metodologia de

solução. Os principais aspectos do programa computacional desenvolvido neste trabalho

estão expostos no Capítulo 6.

Visando a continuidade do presente trabalho, são fornecidas na Seção (8.3)

algumas sugestões para trabalhos futuros.

Page 203: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

178

8.2 – CONCLUSÕES

Formulações geometricamente não-lineares de elementos finitos planos de viga-

coluna, propostas por Alves (1993b), Yang e Kuo (1994), Torkamani et al. (1997) e

Pacoste e Eriksson (1997), foram implementadas com sucesso na metodologia de

solução de sistemas de equações não-lineares proposta por Silveira (1995).

Com o objetivo de validar essas implementações e avaliar a eficiência

computacional dessas formulações, foram estudados vários exemplos de problemas

estruturais encontrados na literatura. Esses exemplos e suas respectivas análises foram

apresentadas no Capítulo 7.

De acordo com essas análises pode-se chegar às seguintes conclusões com

respeito às formulações, na forma como estão implementadas:

1 - Pode-se observar nos Exemplos (7.2.1, 7.2.2, 7.3.1, 7.3.2 e 7.3.3) que as

formulações AFI, TFI, YSN, YGN e YGH, que calculam o vetor de forças

internas através dos deslocamentos naturais incrementais, na forma proposta por

Yang e Kuo (1994), apresentaram resultados bem semelhantes. Dessa observação

se conclui que as formulações desse grupo baseadas em relações mais simples,

por envolverem menos operações e necessitarem de um tempo de processamento

menor, são computacionalmente mais eficientes;

2 - Da conclusão expressa no item anterior pode-se destacar a formulação YSN, que,

apesar de ser baseada em uma equação de equilíbrio linearizada e relações

deformação-deslocamento simplificadas, não apresentou nenhum problema de

convergência nos exemplos analisados neste trabalho;

3 - As formulações AFI e TFI produziram resultados, em média, melhores que AFT e

TFT, que são baseadas, respectivamente, nas mesmas relações que AFI e TFI, mas

diferem destas por calcularem o vetor de forças internas com os deslocamentos

naturais totais, na forma proposta por Alves (1993b). Isto pode ser constatado nos

Exemplos (7.2.1, 7.2.2, 7.3.1 e 7.3.4), entretanto, no Exemplo (7.2.4), que trata de

Page 204: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

179

um arco biengastado sob pressão radial, AFT e TFT apresentaram resultados mais

precisos que AFI e TFI;

4 - Todas as formulações citadas em (1) foram capazes de traçar, de forma completa,

as trajetórias de equilíbrio dos problemas do Capítulo 7, não apresentando

nenhum problema de convergência. As demais formulações, que calculam as

forças internas com os deslocamentos totais, com exceção de PTT, apresentaram

problemas de convergência nos Exemplos (7.2.2, 7.2.4, 7.3.2 e 7.3.4), e não foram

capazes de traçar toda a trajetória de equilíbrio. Dessas observações, pode-se

concluir que a forma total de obtenção do vetor de forças internas necessita de

melhores relações cinemáticas. Portanto, a forma ‘incremental’ de obtenção do

vetor de forças internas, proposta por Yang e Kuo (1994), é mais eficiente na

obtenção de trajetórias de equilíbrio não-lineares que apresentam trechos com

mudanças bruscas de direção;

5 - A formulação YGE se diferencia de YGN por calcular o vetor de forças internas

através da matriz de rigidez externa. Essa forma de cálculo tem a vantagem de ser

mais geral e sistemática do que a forma que utiliza os deslocamentos naturais,

podendo ser estendida à análise de estruturas compostas por outros tipos de

elementos. Entretanto, a Seção (4.4.2.2) mostra que, na definição da chamada

matriz de rigidez externa, Yang e Kuo (1994), admitindo serem os deslocamentos

incrementais suficientemente pequenos, introduziram algumas aproximações no

cálculo dos deslocamento nodais. As aplicações numéricas mostraram que a

acuidade dessas aproximações dependem da estratégia de incremento de carga

utilizada. Assim, no Exemplo (7.2.3), que trata de um arco birrotulado sob

carregamento distribuído, os resultados produzidos por YGE tendem a se

aproximar dos fornecidos por YGN à medida que se diminui o valor médio dos

incrementos de carga;

6 - Analisando-se os resultados obtidos pelas formulações AFT e TFT, observa-se

que, em geral, AFT, que é baseada em relações deformação-deslocamento mais

completas do que TFT e possui considerações adicionais, produziu resultados

Page 205: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

180

melhores que TFT. Exceções são observadas nos Exemplos (7.2.1 e 7.3.1), onde,

ao se melhorar os modelos estruturais aumentando-se o número de elementos, a

melhora dos resultados foi mais sensível em TFT do que em AFT;

7 - Ao se analisar as soluções obtidas pelas formulações PTT, PT1, PT2, PC1 e PC2

nos Exemplos (7.2.1, 7.2.2, 7.2.5 e 7.3.1), para um mesmo modelo estrutural,

constata-se que, em média, os resultados mais precisos foram os produzidos por

PT2 e PC2, que se baseiam em aproximações melhores para as relações

deformação-deslocamento. Entretanto, como já comentado no item (4), em alguns

exemplos estruturais com forte não-linearidade, essas duas formulações, bem

como PT1 e PC1, apresentam problemas de convergência e não foram capazes de

traçar toda a trajetória de equilíbrio;

8 - As formulações PT1 e PT2 apresentaram resultados idênticos a PC1 e PC2,

concordando assim com as observações presentes em Pacoste e Eriksson (1997).

Essa afirmação pode ser constatada nos Exemplos (7.2.1, 7.2.2, 7.2.5 e 7.3.1).

Porém, as Tabelas (7.14 e 7.21) mostram que o tempo de processamento de PC1 e

PC2 é superior àquele apresentado por PT1 e PT2. Assim, no presente trabalho, a

abordagem total mostrou melhor eficiência computacional do que a abordagem

corrotacional;

9 - PTT necessitou de modelos estruturais melhores que as demais formulações para

produzir bons resultados. Isto se deve às funções de interpolação lineares e a

desconsideração dos efeitos de corpo rígido. Entretanto, como pode ser observado

no Exemplo (7.3.5), esta deficiência é compensada pelo pequeno tempo

computacional apresentado por essa formulação. Além disso, como já comentado

em (4), essa formulação mostrou ser capaz de atingir e ultrapassar pontos críticos

não atingidos pelas outras formulações que também calculam as forças internas de

forma ‘total’;

10 - No Exemplo (7.2.5), verificou-se uma pequena diferença entre os resultados

obtidos no presente trabalho pela formulação PTT (Tabela 7.12), e os fornecidos

Page 206: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

181

por Pacoste e Eriksson (1994) para a mesma formulação (Tabelas 7.11). Além

disso, as implementações do presente trabalho para as formulações PT1, PT2, PC1

e PC2, em algumas análises, apresentaram problemas de convergência não

observadas no citado trabalho. Essas constatações sugerem que esses autores

utilizaram procedimentos computacionais adicionais, não fornecidos no artigo

citado, para contornarem alguns problemas. Portanto, as conclusões observadas

acima são restritas à implementação computacional realizada no presente trabalho

para essas formulações;

11 - Para que se pudesse efetuar comparações entre as formulações, em cada exemplo

procurou-se manter as mesmas estratégias de solução não-linear (incremento de

carga e iteração), variando-se a formulação e a discretização dos modelos

estruturais. Em geral, as estratégias de iteração escolhidas mostraram-se

eficientes, ou seja, permitiram a obtenção das trajetórias de forma completa,

entretanto, as seguintes observações relacionadas às estratégias de incremento de

carga merecem destaque:

(i) No Exemplo (7.2.3), como já comentado em (5), a formulação YGE não

apresentou bons resultados ao utilizar a estratégia do comprimento arco para

controlar ∆λ0, pois foram obtidos valores médios de incremento de carga

relativamente grandes, o que diminui a precisão dessa formulação. Esse problema

foi minorado de duas formas diferentes: a) reduzindo-se o valor inicial do

parâmetro de carga; b) utilizando-se a estratégia de incremento de carga baseada

no parâmetro GSP;

(ii) A escolha do parâmetro GSP como controlador de ∆λ0, juntamente com o

critério de escolha do sinal e as formulações empregadas, foi determinante para se

conseguir obter toda a trajetória de equilíbrio ‘cíclico’ dos arcos dos Exemplos

(7.3.3 e 7.3.5).

12 - Nas análises realizadas neste trabalho, os aspectos que se mostraram de maior

relevância na precisão dos resultados obtidos pelas formulações não-lineares são:

Page 207: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

182

(i) A modelagem do sistema estrutural: como exemplifica o item (9), uma

discretização melhorada do modelo estrutural pode compensar eventuais

problemas com a formulação;

(ii) O referencial de obtenção dos deslocamentos (RLT ou RLA);

(iii) A forma de se calcular o vetor de forças internas: o fato de AFI e TFI terem

apresentado melhor desempenho que AFT e TFT mostra a importância desse

aspecto na convergência dos resultados obtidos;

(iv) A qualidade das relações cinemáticas: esse aspecto torna-se especialmente

importante se o cálculo do vetor de forças internas for feito de forma ‘total’;

(v) Funções de interpolação utilizadas para os deslocamentos: um exemplo da

importância desse aspecto é mostrado no item (9);

8.3 – SUGESTÕES

A metodologia de solução não-linear empregada no presente trabalho, incluindo

as formulações, pode ser adaptada para a solução de grande diversidade de problemas

estruturais, caracterizando, portanto, uma base implementada, para vários trabalhos

futuros.

A seguir são apresentadas algumas sugestões que podem ser implementadas no

sistema computacional atual dando continuidade ao presente trabalho:

1 - Outras formulações geometricamente não-lineares de elementos finitos planos de

viga-coluna, propostas em publicações recentes, podem ser implementadas. Entre

elas, por exemplo, destaca-se a formulação mista baseada no método da

flexibilidade, proposta por Neuenhofer e Filippou (1998) e as formulações de

elementos finitos parabólicos introduzidas por Litewka e Rakowski (1997 e

1998);

2 - O sistema atual pode ser facilmente adaptado para que se possa implementar

formulações não-lineares de pórticos tridimensionais, como por exemplo, as

Page 208: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

183

formulações tridimensionais de elementos finitos retos e curvos propostas por

Yang e Kuo (1994);

3 - Pode-se implementar também formulações geometricamente não-lineares que

incluem a elasto-plasticidade de sistemas estruturais reticulados, como, por

exemplo, as propostas por Park e Lee (1996), Ovunc e Ren (1996) e Saje et al.

(1998);

4 - Dar continuidade ao trabalho que vem sendo desenvolvido por Rocha (2000),

implementando-se no atual sistema outras estratégias de solução não-linear,

incluindo novas estratégias de incremento de carga e de iteração;

5 - Implementação de procedimentos numéricos que permitam avaliar com precisão

os pontos críticos existentes, e obter as trajetórias de equilíbrio secundárias

(Crisfield, 1997);

6 - O sistema computacional pode ser estendido facilmente à analise de sistemas

estruturais com ligações semi-rígidas (Saldanha, 1997);

7 - O sistema desenvolvido neste trabalho pode também ser adaptado à analise do

comportamento de estruturas reticuladas sob incêndio (Bailey, 1998);

8 - Adaptação das formulações implementadas no presente trabalho ao programa

implementado por Silveira (1995) para análise de sistemas estruturais com

restrições unilaterais de contato.

Page 209: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 221: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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Page 222: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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+�

j jD8τ τ_ a c _ a c' : : ='= − = − �

j jD8τ τ_ a c _ a c' \ = \3= − = − �

j j jS8

S8

-"-/τ τ τ_ a c _ a c _ a c3 3 3 B B B :

\B

'3= − = = +

j j j jS S

8-"-/τ τ τ τ_ a c _ a c _ a c _ a c3 : 3 \ : B B \ 3'A

\= = − = − = +

j jS8 S

8-"-/τ τ_ a c _ a c: : \ \

3'B

== = +

�#I

jS8 S

8-"-/τ _ a c: \ :A

3= − +

$

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_:$3\c#I#_:$3Eca#I#Q#RI[ZOHa#UI`QFML@RI#L#HIRZUKQML#IJ#_:$::Gca#LbKoJ@RI#QR#GLJNLFIFKIR

MQ#JQKHOY#MI#HO[OMIY#GLJ#FXL@UOFIQHOMQMI#MI#NHOJIOHQ#LHMIJ#G!$#,IRKQ#^LHJQa#IRGHI`I@

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c\a\_'

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jj#########################

jjj########+

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imétrica!G #########################################################_/$:c

Page 223: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

LFMIi

( )j j j-/8

Z Z' '' ' = = ' ' = 3 3 ':

_ a c _ a c _ a c= = − = −∆ ∆ �

( )j j j j-/8' ' 3 ' ' B ' 3 = ' = B A ' 3'A'3_ a c _ a c _ a c _ a c= − = − = = − − +∆θ ∆θ ∆θ

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-"8

∆θ ∆θ ∆θ− − �

( ) ( )j j-/ -"

8' ' : ' : = A ' 3 3 A ' 3:A: =

\: 3_ a c _ a c= − = − + + − −∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ �

( ) ( )j j-/ -"

8' ' \ ' = \ A ' 3 3 A ' 3:A: =

\: 3_ a c _ a c= − = + − + − −∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ �

( ) ( )j j j-/8

Z Z-"8

Z Z' 3 3 ' 3 B ' B B 3 3 ' = 3 '\B

:\_ a c _ a c _ a c= − = = − + −∆ ∆ ∆ ∆ �

( ) ( )j j j j-/8

Z Z-"8

Z Z' 3 : ' 3 \ ' : B ' B \ 3 ' : 3 ''A'P

_ a c _ a c _ a c _ a c= = − = − = − + −∆ ∆ ∆ ∆ �

( ) ( )j j-/

Z Z-"8

Z Z' : : ' \ \ 3 ' 3 3 '3'B

'3_ a c _ a c= = − + −∆ ∆ ∆ ∆ �#I

( ) ( )j-/

Z Z-"8

Z Z' : \ 3 ' 3 3 ':A\

_ a c = − − + −∆ ∆ ∆ ∆ a

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_:$3Eca# I# UI`QFML@RI# L# HIRZUKQML# IJ# _:$::Ica# LbKoJ@RI# QR# GLJNLFIFKIR# MQ# JQKHOY# MI

HO[OMIY#GLJ#FXL@UOFIQHOMQMI#MI#RI[ZFMQ#LHMIJ#G4$#,IRKQ#^LHJQa#IRGHI`I@RIi

Page 224: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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c\a\_3

c\aB_3cBaB_3

c\a=_3cBa=_3c=a=_3

c\a:_3cBa:_3c=a:_3c:a:_3

c\a3_3cBa3_3c=a3_3c:a3_3c3a3_3

c\a'_3cBa'_3c=a'_3c:a'_3c3a'_3c'a'_3

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( )j j j-/8

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_ a c _ a c _ a c= = − = − +∆ ∆

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3A ' A 3 '

3' 3 3

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( )( )j j j j-/8

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##############z# ( )( ):\3= 3 ' A ' 3

-"8

Z Z∆ ∆ ∆θ ∆θ ∆θ− − − �

( )( )j j-/8

Z Z3 ' : 3 : = 3 ' A ' 3'B: =_ a c _ a c= − = − − + +∆ ∆ ∆θ ∆θ ∆θ

###############z# ( )( )'3: 3: 3 ' A ' 3

-"8

Z Z∆ ∆ ∆θ ∆θ ∆θ− − − �

( )( )j j-/8

Z Z3 ' \ 3 = \ 3 ' A ' 3'B: =_ a c _ a c= − = − + − +∆ ∆ ∆θ ∆θ ∆θ

###############z# ( )( )'3: 3: 3 ' A ' 3

-"8

Z Z∆ ∆ ∆θ ∆θ ∆θ− − − �

( ) ( )j j j-/8

Z Z-"8

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B 3 '3\

B:\

_ a c _ a c _ a c= − = = − + − +∆ ∆ ∆ ∆

################z# ( )-/8BA3'\ :\ :\ ? 3 ?A

3A ' A 3 '

3' 3 3

3∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + − + +

################z# ( )=B

'AP \: \: '' '' '': A3

A ' A 3 '3

' 3 33-"

8∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + + + +

Page 225: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

#################z# ( )E3B

B= B= B= '\ 33 '\B A3

A ' A 3 '3

' 3 33-

∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + + + �

( ) ( )j j-/8

Z Z-"8

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_ a c _ a c= − = − + − +∆ ∆ ∆ ∆

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A ' A 3 '3

' 3 33∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− + + + + +

################z# ( )3B

\: == 33 ? \ :3 A3

A ' A 3 '3

' 3 33-"

8∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + + + +

################z# ( ):\B

B= \= == 3' 33 ''= A3

A ' A 3 '3

' 3 33-

∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + + + �

( ) ( )j j-/8

Z Z-"8

Z Z3 3 \ 3 B \ 3 3 '3

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'A'P

_ a c _ a c= − = − + − +∆ ∆ ∆ ∆

################z# ( )-/'BA

B= \ B= 3 \A3

A ' A 3 '3

' 3 33∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ+ − + + + +

################z# ( )3B

\: 33 == : \ ?3 A3

A ' A 3 '3

' 3 33-"

8∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + + + +

################z# ( ):\B

B= == \= '' 33 3'= A3

A ' A 3 '3

' 3 33-

∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + + + �

( ) ( )j-/8

Z Z-"8

Z Z3 : : 3 '3

: 3 '33

'B'3

_ a c = − + − +∆ ∆ ∆ ∆

##############z# ( )-/8'BA

3E '3 3 P = :A3

A ' A 3 '3

' 3 33∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + − + +

##############z# ( )=B

'' ? : =A3

A ' A 3 '3

' 3 33-"

8∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + + + +

##############z# ( )3=B

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A ' A 3 '3

' 3 33-

∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + + + �

( ) ( )j-/8

Z Z-"8

Z Z3 : \ 3 '3

: 3 '3

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_ a c = − − + − −∆ ∆ ∆ ∆

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: 3 3 3 \ 3A3

A ' A 3 '3

' 3 33∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ+ + + − + +

##############z# ( )3B

'' \ \ =A3

A ' A 3 '3

' 3 33-"

8∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + + + +

##############z# ( )'3B

\\ \\ \\ '? 3P '?: A3

A ' A 3 '3

' 3 33-

∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + + + �#I

( ) ( )j-/8

Z Z-"8

Z Z3 \ \ 3 '3

: 3 '33

'B'3

_ a c = − + − +∆ ∆ ∆ ∆

Page 226: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

##############z# ( )-/8'BA

3E 3 '3 : = PA3

A ' A 3 '3

' 3 33∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + − + +

##############z# ( )=B

'' : ? =A3

A ' A 3 '3

' 3 33-"

8∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + + + +

##############z# ( )3=B

=P :: \: E '? 33: A3

A ' A 3 '3

' 3 33-

∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ ∆θ− − + + + a

LFMIi

∆θ ∆ ∆A 3 '= −_ c s` ` 8a#I

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GLJNLFIFKIR#MQR#JQKHOYIR#G8a#Gττττaaz#G!,_∆Mc#I#G4,_∆M[#∆Mc$

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6LHjQJQFO# IK# QU$# _'??Eca# o# RIJIUhQFKI# {# QNHIRIFKQMQ# IJ# _/$'c# NQHQ# Q# ^LHJZUQWXL# MI

/U`IR#_'??:bc$

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HO[OMIY#[ILJoKHOGQ#Gττττ$#,IRKQ#^LHJQa#IRGHI`I@RIi

Page 227: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

=

τ

ττ

τττ

ττττ

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c\aB_cBaB_

c\a:_cBa:_c:a:_

c\a3_cBa3_c:a3_c3a3_

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'ASjjjj c\aB_cBa:_c\a3_c:a3_ =−=−== ττττ �

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_:$3Eca# I# UI`QFML@RI# L# HIRZUKQML# IJ# _:$::Gca# LbKoJ@RI# QR# GLJNLFIFKIR# MQ# JQKHOY# MI

HO[OMIY#GLJ#FXL@UOFIQHOMQMI#MI#NHOJIOHQ#LHMIJ#G!$#,IRKQ#^LHJQa#IRGHI`I@RI

=

c\a\_'

c\aB_'cBaB_'

c\a=_'cBa=_'c=a=_'

c\a:_'cBa:_'c=a:_'c:a:_'

c\a3_'cBa3_'c=a3_'c:a3_'c3a3_'

c\a'_'cBa'_'c=a'_'c:a'_'c3a'_'c'a'_'

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j#jjj#j#j

imétrica!G #########################################################_/$\c

Page 228: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

LFMIi

Ajjj c=a'_'c=a=_'c'a'_' === �

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-/jjjj θ∆−θ∆−θ∆==−=−= �

( )3'Ac=a:_'c:a'_' =::A-/jj θ∆+θ∆−θ∆=−= �

( )3'Ac\a=_'c\a'_' =::A-/jj θ∆−θ∆+θ∆=−= �

( )'33cBaB_'cBa3_'c3a3_' ZZ8B-/\jjj ∆−∆==−= �

( )'3c\aB_'cBa:_'c\a3_'c:a3_' ZZ8'A

-/jjjj ∆−∆=−=−== �

( )'3c\a\_'c:a:_' ZZ'B-/3jj ∆−∆== �#I

( )'3c\a:_' ZZ:A-/j ∆−∆−= a

GLJ#∆θ ∆ ∆A 3 '= −_ c s` ` 8$

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_:$3Eca# I# UI`QFML@RI# L# HIRZUKQML# IFGLFKHQML# IJ# _:$::Ica# LbKoJ@RI# QR# GLJNLFIFKIR# MQ

JQKHOY#MI#HO[OMIY#GLJ#FXL@UOFIQHOMQMI#MI#RI[ZFMQ#LHMIJ#G4$#,IRKQ#^LHJQa#IRGHI`I@RIi

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c\a\_3

c\aB_3cBaB_3

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c\a'_3cBa'_3c=a'_3c:a'_3c3a'_3c'a'_3

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Simétrica4G ########################################################_/$Ec

Page 229: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

LFMIi

Ajjjjjjj cBa=_3c=a3_3cBa'_3c3a'_3c=a'_3c=a=_3c'a'_3 ======= �

Ajjjj c\a=_3c\a'_3c=a:_3c:a'_3 ==== �

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8'P

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3'c\aB_3c\a3_3 E3'APc3_:

'=A-/jj θ∆θ∆−θ∆+θ∆θ∆+θ∆−θ∆=−= �

[ ( )]3'A3A3'

33

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EA-/8j θ∆−θ∆θ∆+θ∆+θ∆θ∆−θ∆+θ∆= �

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'=A-/8j θ∆+θ∆θ∆−θ∆θ∆+θ∆+θ∆−= �#I

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33

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EA-/8j θ∆−θ∆θ∆+θ∆+θ∆θ∆−θ∆+θ∆= a

GLJ#∆θ ∆ ∆A 3 '= −_ c s` ` 8$

Page 230: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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LHMIJ#IUI`QMQ#d9*$#+IHXL#KQJboJ#^LHFIGOMQR#QR#GLJNLFIFKIR#MQR#JQKHOYIR#MI#LHMIJ

IUI`QMQ#G!# I#G4a# nZI# MI`IJ# RIH# IJNHI[QMQR# RLJIFKI# FL# GmUGZUL# ML# `IKLH# MI# ^LHWQR

OFKIHFQR#NIUQ#Q#^LHJZUQWXL#MI#LHMIJ#IUI`QMQ#d9*$

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/R#GLJNLFIFKIR#MQ#JQKHOY# MI# HO[OMIY# UOFIQH# IUmRKOGQ#G8# NQHQ# QR# ^LHJZUQWgIR# MI

dQF[# I# eZL$# _'??=c# RXL# RIJIUhQFKIR# {R# QNHIRIFKQMQR# FL# /NrFMOGI# /a# NQHQ# QR

^LHJZUQWgIR#MI#/U`IR#_'??:bc#I#6LHjQJQFO#et al$#_'??Ec$

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IJ# _=$:3bca# LbKoJ@RI# QR# GLJNLFIFKIR# MQ# JQKHOY# MI# HO[OMIY# [ILJoKHOGQ# Gτ# MQR

^LHJZUQWgIR#d2*a#d2-#I#d9*$#,IRKQ#^LHJQa#IRGHI`I@RIi

Page 231: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

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ττ

τττ

ττττ

τττττ

ττττττ

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c\aB_cBaB_

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c\a:_cBa:_c=a:_c:a:_

c\a3_cBa3_c=a3_c:a3_c3a3_

c\a'_cBa'_c=a'_c:a'_c3a'_c'a'_

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Simétrica>G ########################################################_4$'c

LFMIi

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j jD8τ τ_ a c _ a c' : : ='= − = − �#j j

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j j jS8

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j j j jS S

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j jS8 S

8-"-/τ τ_ a c _ a c: : \ \

3'B

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S8 S8

-"-/τ _ a c: \ :A

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^LHJZUQWXL#UOFIQHOYQMQ@ROJNUO^OGQMQ#_d+*ca#GLJ#Q#-nZQWXL#_=$3Ec#FL#UZ[QH#MI#_=$3:bc$

/RROJa#KIJ@RIi

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c\a\_

c\aB_cBaB_

c\a=_cBa=_c=a=_

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Simétrica�G #######################################_4$3c

Page 232: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

LFMIi

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cBa=_Rc=a3_RcBa'_Rc3a'_R8

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'ASjjjj c\aB_RcBa:_Rc\a3_Rc:a3_R =−=−== −τ−τ−τ−τ �

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GLJNLFIFKIR# MQ#JQKHOY# MI# HO[OMIY# GLJ# FXL@UOFIQHOMQMI# MI# NHOJIOHQ# LHMIJ#G!$# ,IRKQ

^LHJQa#IRGHI`I@RI

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Page 233: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

( )+θ∆−θ∆−θ∆==−=−= 3'AcBa=_'c=a3_'cBa'_'c3a'_' '38'A

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Simétrica4G ########################################################_4$=c

Page 234: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

LFMIi

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333'

3'3A'A

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8:'A'A'A\\'P

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( )( )+θ∆+θ∆−θ∆∆−∆=−= 3'A'3c=a:_3c:a'_3 =:ZZ8'B

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( ) ( ) +∆−∆−∆−∆==−= 3'3B

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8:B-"\ θ∆+θ∆θ∆+θ∆+θ∆θ∆−θ∆θ∆−θ∆ �

( ) ( ) +∆−∆+∆−∆=−= 3'3=

3'33cBa:_3c:a3_3 ZZ

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####z# ( )+θ∆+θ∆θ∆+θ∆−θ∆θ∆−θ∆ 333'

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####z# ( )333'3'3A'A

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Page 235: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

( ) ( ) +∆−∆+∆−∆=−= 3'3=

3'33c\aB_3c\a3_3 ZZ

8-":ZZ

8'A-/jj

####z# ( )+θ∆−θ∆+θ∆θ∆−θ∆ 33

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####z# ( )333'3'3A'A

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( ) ( ) +∆−∆+∆−∆= 3'3:

3'3c:a:_3 ZZ

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( ) ( ) +∆−∆+∆−∆−= 3'3:

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3A '\='\PP'B

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( ) ( ) +∆−∆+∆−∆= 3'3:

3'3c\a\_3 ZZ

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3'3A'A

3A '3:::'P

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####z# ( )333'3'3A'A

3A '3P:33'3AP:\

8:B-" θ∆+θ∆θ∆+θ∆+θ∆θ∆−θ∆θ∆−θ∆ a

GLJi#∆θ ∆ ∆A 3 '= −_ c s` ` 8$

Page 236: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

APÊNDICE C

CÁLCULO DAS COMPONENTES DAS MATRIZES DE RIGIDEZ E

DOS VETORES DE FORÇAS INTERNAS:

PACOSTE e ERIKSSON (1997)

Seguindo a sugestão de Pacoste e Eriksson (1997), neste trabalho foi utilizado o

software MAPLE V (v 3.0 RELEASE For Windows) para se calcular as componentes

das matrizes de rigidez e dos vetores de forças internas. Este software têm a vantagem

de permitir a geração direta dos resultados em códigos da linguagem de programação

FORTRAN. Nesta seção serão apresentadas os procedimentos utilizados nesses cáculos.

C.1 FORMULAÇÃO TOTAL-TIMOSHENKO: PTT

As componentes fii do vetor de forças internas Fi, e as componentes kij da matriz

de rigidez elementar K são determinadas através dos seguintes procedimentos no

software MAPLE V:

> #####################################################################

> # Formulação total: PTT #

> # componentes de Fi e K #

> #####################################################################

> #

> restart; with (linalg); readlib(fortran);

> ux:=(u2-u1)/l; vx:=(v2-v1)/l;

> t:=(t1+t2)/2; tx:=(t2-t1)/l;

Page 237: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

> #

> e:=(1+ux)*cos(t)+vx*sin(t)-1;

> g:=vx*cos(t)-(1+ux)*sin(t);

> k:=tx;

> #

> Ue:=1/2*l*EA*e^2;

> Ug:=1/2*l*GA*g^2;

> Uk:=1/2*l*EI*k^2;

> U:=Ue+Ug+Uk;

> #

> Fi:=grad(U,[u1,v1,t1,u2,v2,t2]);

> K:=hessian(U,[u1,v1,t1,u2,v2,t2]);

> #

> #################### Gerar em linguagem FORTRAN #####################

> fortran(Fi,mode=double);

> fortran(K,mode=double);

> ######################### Fim de PTT #################################

C.2 FORMULAÇÕES TOTAIS: PT1 e PT2

A matriz de rigidez elementar K e o vetor de forças internas Fi são obtidos através

das equações:

Fg AF fiTtt =∆+ e

f3f1ff A AAKg AK 31Ttt fg fg ++=∆+

As componentes fgi do vetor de forças generalizadas Fg, e as componentes kgij da

matriz de rigidez correspondente Kg são determinadas, juntamente com as matrizes Af,

Af1 e Af3, através dos seguintes procedimentos no software MAPLE V:

Page 238: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

>#####################################################################

># Formulações totais: PT1 e PT2 #

># componentes de Fg, Kg, Af, Af1 e Af3 #

> ####################################################################

#

> restart; with (linalg); readlib(fortran);

> Dt2:=1-2*x/l; Dt3:=1-6*x/l+6*x^2/l^2;

> Dtx2:=diff(Dt2,x); Dtx3:=diff(Dt3,x);

> tetae:=Dt2*f2+Dt3*f3; tetax:=diff(tetae,x);

> #

> ux:=f4; vx:=(1+f4)*tan(f1);

> #

> ############### Para PT1 tire o comentário '#' da linha a abaixo ##############

> # ep1:=1+ux-cos(f1); ga:=vx-sin(f1);

> #

> ########## Para PT2 tire os comentários '#' das duas linhas a seguintes ##########

> # ep1:=1+ux-cos(f1)*(1-1/6*f2^2-1/10*f3^2);

> # ga:=vx-sin(f1)*(1-1/6*f2^2-1/10*f3^2);

> #

> k:=tetax;

> #

> Ue:=(1/2*int(e*a*ep1^2,x=0..l));

> Ug:=(1/2*int(e*a*ga^2,x=0..l));

> Uk:=expand(1/2*int(e*i*k^2,x=0..l));

> U:=Ue+Ug+Uk;

> #

> Fg:=grad(U,[f1,f2,f3,f4]);

> Kg:=hessian(U,[f1,f2,f3,f4]);

Page 239: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

> #

> ################ Matrizes de transformação: Af, Af1 e Af3 ##################

> f1:=arctan((v2-v1)/(l+u2-u1));

> f2:=(t2-t1)/2; f3:=(t1+t2)/2-f1; f4:=(u2-u1)/l;

> ff:=vector([f1,f2,f3,f4]);

> #

> Afs:=jacobian(ff,[u1,v1,ti,u2,v2,t2]);

> Af:=map(simplify,Afs);

> Af1:=hessian(f1,[u1,v1,ti,u2,v2,t2]);

> Af3:=hessian(f3,[u1,v1,ti,u2,v2,t2]);

> #

> #################### Gerar em linguagem FORTRAN #####################

> fortran(Kg,mode=double);

> fortran(Fg,mode=double);

> fortran(Af,mode=double);

> fortran(Af1,mode=double);

> fortran(Af3,mode=double);

> ######################## Fim de PT1 e PT2 #############################

C.3 FORMULAÇÕES CORROTACIONAIS: PC1 e PC2

A matriz de rigidez elementar K e o vetor de forças internas Fi são obtidos através

das equações:

nci F AF Ttt =∆+ e

c3c2c1cnc A A AAK AK 21Ttt M M P +++=∆+

As componentes P, M1 e M2 do vetor de forças naturais totais Fn, e as

componentes kij da matriz de rigidez correspondente Kn são determinadas, juntamente

Page 240: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

com as matrizes Ac, Ac1 , Ac2 e Ac3, através dos seguintes procedimentos no software

MAPLE V:

> #####################################################################

> # Formulações corrotacionais: PC1 e PC2 #

> # componentes de Fn, Kn, Ac, Ac1, Ac2 e Ac3 #

> #####################################################################

> #

> restart; with (linalg); readlib(fortran);

> H3:=1/4*(-1-2*xi+3*xi^2); H4:=1/4*(-1+2*xi+3*xi^2);

> dH3:=1/l*(-1+3*xi); dH4:=1/l*(1+3*xi);

> k:=dH3*tn1+dH4*tn2;

> #

> #========> Para PC1 tire o comentário '#' da linha a abaixo ##################

> # ep:=un2/l;

> #

> #========> Para PC2 tire o comentário '#' da linha a abaixo ##################

> # ep:=un2/l+1/(4)*int((H3*tn1+H4*tn2)^2,xi=-1..1);

> #

> Ue:=(1/2)*(l/2)*int(EA*ep^2,xi=-1..1);

> Uk:=simplify((1/2)*(l/2)*int(EI*k^2,xi=-1..1));

> U:=Ue+Uk;

> #

> Fn:=grad(U,[un2,tn1,tn2]);

> Kn:=hessian(U,[un2,tn1,tn2]);

> #

> ############## Matrizes de Transformação: Ac, Ac1, Ac2 e Ac3 ##############

> dx:=x2-x1; dy:=y2-y1;

> dxn:=x2-x1+u2-u1; dyn:=y2-y1+v2-v1;

> tr:=arctan(((x2-x1)*(v2-v1)-(y2-y1)*(u2-u1))/(dx*dxn+dy*dyn));

Page 241: Formulações Não-Lineares de Elementos Finitos para Análise

> tn1:=t1-tr; tn2:=t2-tr;

> un2:=((x2-x1+u2-u1)^2+(y2-y1+v2-v1)^2)^(1/2)-((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^(1/2);

> un:=vector([un2,tn1,tn2]);

> #

> Aes:=jacobian(un,[u1,v1,t1,u2,v2,t2]);

> Ae:=map(simplify,Aes);

> Ae1:=hessian(un2,[u1,v1,t1,u2,v2,t2]);

> Ar:=hessian(-tr,[u1,v1,t1,u2,v2,t2]);

> #

> ################# Gerar em linguagem FORTRAN ########################

> fortran(Fn,mode=double);

> fortran(Kn,mode=double);

> fortran(Ae,mode=double);

> fortran(Ae1,mode=double);

> fortran(Ar,mode=double);

> ######################## Fim de PC1 e PC2 ############################