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  • Congresso de Mtodos Numricos em Engenharia 2015 Lisboa, 29 de Junho a 2 de Julho, 2015

    APMTAC, Portugal, 2015

    FORMULACIN DE UN ELEMENTO VIGA-COLUMNA CON DISCONTINUIDADES INTERIORES PARA EL MODELADO DEL

    DAO EN ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO

    Enrique Tenorio Montero1* y Gelacio Jurez Luna2

    1: Departamento de Materiales Universidad Autnoma Metropolitana

    Azcapotzalco San Pablo 180, Reynosa Tamaulipas, 02200, Azcapotzalco, Mxico D.F.

    e-mail: 1etenorio14@hotmail.com, 2gjl@azc.uam.mx web: http:// www.azc.uam.mx

    Palabras clave: Colapso, Discontinuidades, dao, dislocacin, articulacin, ablandamiento

    Resumen Se formula un elemento viga-columna con discontinuidades interiores para modelar la formacin de articulaciones, en el que se considera el desarrollo de rtulas, dislocaciones transversales y axiales. En este elemento se utilizan modelos constitutivos para considerar la capacidad de momento, fuerza cortante y axial, basados en la mecnica y en pruebas experimentales reportadas en la literatura, las cuales incluyen el comportamiento constitutivo del concreto con acero de refuerzo. Para validar la capacidad de modelar el dao de los elementos finitos desarrollados, se presentan ejemplos numricos de tneles, vigas y marcos estructurales de concreto reforzados sujetos a cargas que inducen dao en sus elementos. Las curvas carga contra desplazamiento calculadas son congruentes con las reportadas experimentalmente, por lo cual se valida el elemento viga-columna para modelar la evolucin del dao en estructuras.

    1. INTRODUCCIN Una estructura presenta dao incipiente cuando las acciones externas o internas alcanzan los valores umbrales de la resistencia de los materiales; el incremento del dao puede llevar al colapso de las estructuras. El dao puede darse cuando se presentan fenmenos como: inestabilidad elstica (pandeo), excesiva deformacin plstica (fluencia generalizada), fatiga (cargas cclicas), corrosin, fractura, etc. El estudio del inicio del dao y evolucin al colapso en estructuras es de importancia para conocer la carga ltima o su capacidad residual, lo cual depende del comportamiento constitutivo de los materiales, as como de las acciones de fuerzas dinmicas o sobrecargas que afectan las estructuras. En estructuras, como los edificios, sus elementos estructurales pueden ser afectados por cargas adicionales a las del diseo o por acciones externas tales como: sismos, explosiones, colapso de estructuras vecinas, actividades de construccin, etc. Para estudiar el dao y la evolucin al colapso en estructuras se utiliza principalmente el mtodo de los elementos finitos, a travs de elementos

  • Enrique Tenorio Montero y Gelacio Jurez Luna

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    slidos o unifilares con los cuales se construyen los modelos numricos. A estos elementos se les deben incorporar los comportamientos constitutivos de los materiales, con los cuales se simula el desarrollo de las no linealidades que puedan presentarse. Se han realizado diversos estudios en el desarrollo de elementos finitos para el anlisis no-lineal en estructuras; sin embargo, casi siempre estn condicionados para comportamientos especficos, por lo cual no presentan todas las discontinuidades posibles en el sistema estructural analizado, como los que se mencionan en [1] quienes formularon un elemento finito tipo viga de Timoshenko con la capacidad de modelar discontinuidades de rotacin y desplazamiento transversal, que requiere de funciones definidas por los autores como operadores de deformacin necesarios para mejorar la solucin, con los que se obtienen matrices de rigideces asimtricas que pueden presentan dificultades numricas en el proceso de clculo. Posteriormente, [2] desarrollaron un elemento finito con discontinuidades embebidas con base en la teora de vigas de Euler-Bernoulli, en el que slo se considera la discontinuidad de rotacin. [3] modelaron el dao en el elemento viga-columna como articulaciones plsticas, utilizando modelos constitutivos momento-curvatura elastoplsticos o con ablandamiento positivo, que no consideran el ablandamiento que se presenta despus de alcanzar la carga ltima. [4] desarroll un modelo multi-escala para el estudio de discontinuidades interiores axiales y rotacionales, en el cual utilizaron elementos slidos en 2D para la micro-escala y elementos vigas Euler-Bernoulli para la macro-escala; [5] desarrollaron unas formulaciones para vigas gruesas y delgadas con discontinuidades embebidas con base en funcionales de energa, cuyas aproximaciones con elementos finitos proporcionan matrices simtricas, bien condicionadas, las cuales fueron validadas con ejemplos reportados en la literatura. Estos autores presentan una formulacin de modelos constitutivos por flexin y cortante, asumiendo que existe ablandamiento despus de alcanzar un valor umbral, sin considerar el acoplamiento de ambos efectos, ni un fundamento energtico para definir el rea debajo de las respectivas curvas momento-salto rotacin o cortante-salto desplazamiento transversal; un elemento finito con discontinuidades interiores basado en la teora de Euler-Bernoulli se formul en [6], en el que slo se considera la discontinuidad de la rotacin, consideraron el comportamiento constitutivo momento-curvatura de una viga de concreto reforzada, semejante al desarrollado por [4], en el que el ablandamiento es posterior al intervalo plstico. Posteriormente, [7] desarroll un elemento finito que considera la no-linealidad axial en vigas tipo Euler-Bernoulli y Timoshenko, mediante una seccin de viga discretizada en fibras, a las que les atribuy el comportamiento constitutivo esfuerzo-deformacin. Estas fibras son consideradas como barras esforzadas axialmente debido a fuerzas axiales aplicadas o fuerzas producto de los momentos flexionantes. Lo anterior indica que los elemento finitos viga-columna estudiados no desarrollan todas las discontinuidades en cualquiera de los desplazamientos y rotacin posible, lo cual motiva al desarrollo e implantacin del elemento viga-columna con la capacidad de simular el comportamiento desde el intervalo lineal hasta la evolucin del dao que lleve al colapso de la estructura. El elemento finito se formula a partir de funcionales de energa de barras y vigas con base en la teora de Euler-Bernoulli y Timoshenko a los que se les incluyen discontinuidades embebidas de desplazamiento axial y transversal, as como de rotacin, debidas a la accin respectiva de carga axial, cortante y momento.

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    2. ELEMENTO VIGA-COLUMNA CON DISCONTINUIDADES INTERIORES El elemento finito viga-columna se formula agrupando los elementos vigas y barra, ambos con discontinuidades interiores. El elemento barra tiene la capacidad de desarrollar discontinuidad axial, mientras que el elemento viga delgada desarrolla una discontinuidad de rotacin y la viga gruesa que incluye deformaciones por cortante presenta discontinuidades en la rotacin y/o en el desplazamiento transversal.

    2.1. Elemento barra con discontinuidades interiores El elemento mostrado en la Figura 1 corresponde a una barra con longitud L, seccin transversal A y mdulo elstico E, la cual se sujeta a carga hasta que ocurre una concentracin de deformaciones en una zona S, donde se presenta una discontinuidad o salto en los desplazamientos axiales, tal que el domino de la barra [0,L], queda dividido por la discontinuidad S, por lo tanto = -+ +.

    Figura 1. Elemento barra con discontinuidades interior

    El funcional de energa de este elemento, de acuerdo a [10], dependiente del campo de desplazamientos, u, y el salto u es:

    ( ) [ ] 0

    , ( )u

    i i Su u W b u d F u T u d u

    = + (1)

    en el que 0

    ( ) ( )W d

    = es la energa de deformacin del elemento, i iF u es el trabajo

    externo debido a las cargas concentradas y 0

    u

    ST u d u es el trabajo en la discontinuidad.

    El campo de desplazamientos se aproxima como: ( ) ( ) ( )su N d M u= + x x x (2) donde d son los desplazamientos en los nodos del elemento y ( )N x contiene las funciones de forma estndar del elemento, tal que:

    [ ]1 2

    2 11 2

    ( )

    ( ) , ( )

    N N Nx x x xN N

    L L

    =

    = =

    x

    x x (3)

    La funcin SM , mostrada en la Figura 2, que aproxima el salto de desplazamiento se define

    [| |]

    S1 2L

    u

    xn1 n2

    d1 d1S1 2

    n1 n2- +

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    como: ( ) ( ) ( )S SM H = x x x (4)

    en la que ( )SH x es la funcin salto de Heaviside y ( ) x es una funcin continua tal que:

    ( ) 0( ) 1

    +

    =

    =

    x xx x

    (5)

    Figura 2. Representacin grfica de la funcin MS

    Las deformaciones continuas se aproximan como: ( ) ( ) ( )CB d B u = + x x x (6) donde las derivadas de las funciones de forma definidas en las ecs. (3) y (5), respectivamente, son:

    [ ]1( ) 1 11( )C

    BL

    BL

    =

    =

    x

    x (7)

    Sustituyendo las ecs. (2) y (6) en la ec. (1), se obtiene:

    )( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( ) 00

    , ( )

    ( )

    T TT T T T T TC C C

    uT uT T T

    C i S

    d u C d B u B Bd B u b d N x u N d

    d N x u N F T u d u

    = + + +

    + +

    (8)

    La ec. (8) se deriva y linealiza con series de Taylor respecto a d y u y se tiene:

    int

    T TC

    V V ext

    T T TC C C N

    V V

    B CB dv B CB dvd fu fB CB dv B CB dv C d

    = +

    (9)

    Sustituyendo los trminos de la ec. (7) en la ec. (9)se obtiene la matriz de rigideces de una barra con discontinuidades interiores siguiente:

    ( )

    ( ) ( )

    1

    11 1

    2 2

    n

    n