98ISSN 1517-1469Planaltina, DFJulho, 2003Tcnico

Comunicado

Formulao de Dietas de Custo Mnimo da Matria Secapara Bovinos de Corte em Planilha Eletrnica

Lus Gustavo Barioni1Lus Orlindo Tedeschi2Geraldo Bueno Martha Jnior3Dante Pazzanese4Rui Fonseca Veloso5

Ministrio da Agricultura,Pecuria e Abastecimento

Introduo

A dieta um dos principais determinantes dodesempenho dos animais (Soest, 1994), e os gastos comalimentao superam, via de regra, 70% dos custos totaisna produo (Campos, 1993). Assim a formulao dedietas e a gesto eficiente da alimentao sofundamentais para o sucesso da atividade.

Atualmente, a formulao de dietas baseia-se no conceitode que os alimentos so veculos para os princpiosnutricionais e podem, portanto, ser substitudos com basena sua composio nutricional. Nas ltimas trs dcadas,os mtodos de formulao de dietas para bovinos decorte evoluram consideravelmente. Entre os fatoresresponsveis por essa evoluo citam-se: (a) a melhordescrio dos princpios nutricionais e antinutricionaisdos alimentos; (b) a maior preciso nas estimativas dasexigncias nutricionais pelos animais e pelosmicrorganismos do rmen; (c) o avano na capacidade depreviso dos nveis de ingesto de matria seca e dodesempenho dos animais; (d) a aplicao de novosmtodos para formulao de raes capazes de considerargrande nmero de restries e especificar critrioseconmicos na formulao.

At a dcada de 1970, a formulao de raes erarealizada utilizando-se os mtodos da tentativa, doQuadrado de Pearson e de equaes simultneas. Emborasejam computacionalmente simples, esses mtodos somuito restritivos quanto ao nmero de nutrientes ouatributos da dieta que pode ser considerado, oudemasiadamente ineficientes (no caso de aproximaespor tentativa). Alm disso, esses mtodos tm comonico critrio de formulao o atendimento das exignciasnutricionais dos animais, desconsiderando a eficinciaeconmica da dieta na formulao.

Critrios econmicos puderam ser eficientementeincorporados formulao de raes a partir da aplicaoda programao linear (Scott, 1972). O critrioeconmico mais usado nesse tipo de programao aminimizao do custo da matria seca da dieta (MCMS), aprogramao linear possibilitou tambm o uso de umnmero praticamente ilimitado de alimentos e restriesquanto aos atributos da rao para o estabelecimento daformulao tima. Ainda a formulao para MCMS podeser utilizada como parte da resoluo de problemas naformulao de raes por critrios mais sofisticados comoa minimizao do custo de produo e a maximizao dolucro (Barioni, 2002).

1 Disponvel para download no site http://www.cpac.embrapa.br2 Eng. Agrn., Doutor, Embrapa Cerrados, barioni@cpac.embrapa.br3 Eng. Agrn., PhD, Cornell University, lot1@cornell.edu4 Eng, Agrn., Doutor, Embrapa Cerrados, gbmartha@cpac.embrapa.br5 Eng. Agrn., Ph.D, ESALQ/USP, dplanna@esalq.usp.br6 Eng. Agrn., Doutor, Embrapa Cerrados, rui@cpac.embrapa.br

michelleSoest, 1994),

michelleCampos, 1993).

michelleScott, 1972).

michelleBarioni, 2002).

2 Formulao de Dietas de Custo Mnimo da Matria Seca...

Nesse Comunicado so apresentadas recomendaestcnicas para desenvolvimento e uso de planilhaseletrnicas para formulao de raes.

Conceitos e formulao algbricaO custo direto da matria seca da dieta (CMS, $/kg) calculado como a soma do produto, do preo e quantidadede cada alimento (em base seca) de cada alimento nacomposio da dieta (Equao 1).

(1)

onde:

Pi: preo da matria seca do i-simo alimento, $/kg;

Ai: proporo do i-simo alimento na matria seca, kg/kg.

A Equao 1 freqentemente chamada de funoobjetivo do problema.

Uma vez que a quantidade do i-simo alimento no podeassumir valores negativos, os problemas de programaolinear possuem as chamadas restries de nonegatividade, isto ,

(2)

necessrio tambm especificar qual a quantidade derao que se deseja formular. Se uma quantidade mnimano for especificada, o mnimo custo de matria seca seratingido quando a quantidade de todos os alimentos fornula, o que tambm torna zero o custo da dieta.Normalmente utiliza-se como padro otimizar umatonelada mtrica (1000 kg) de rao (Equao 3).

(3)

Critrios tcnicos so adicionados ao problema de MCMSpor meio de restries na concentrao de nutrientes nadieta, associadas s exigncias nutricionais dos animais.Normalmente essas restries dizem respeito aconcentraes mnimas de nutrientes, mas tambm podemreferir-se a nveis mximos de algum nutriente ou outrocomposto na dieta. Algebricamente essas restries soexpressas como:

(4)

(5)

Onde:

Nij a concentrao do j-simo nutriente ou elemento deinteresse no i-simo alimento, mg/kg;

Ej a exigncia nutricional mnima do j-simo nutrienteem base da matria seca, mg/kg. Essa exigncia definida de acordo com as caractersticas do animal emquesto, e;

Tj a concentrao mxima do j-simo nutriente, mg/kg,em base da matria seca.

Em alguns casos, alm de restries nutricionais, pode-seoptar por restringir as quantidades mxima ou mnima dedeterminado alimento em razo de suas propriedades, porexemplo, densidade ou palatabilidade. Alm disso, asrestries para a quantidade mnima de um ingrediente,tambm podem ser utilizadas quando existir estoque doingrediente ou quando propriedades desejveis desseingrediente no forem formalmente consideradas noproblema de outra maneira. Essas restries soalgebricamente descritas pelas inequaes 6 e 7.

ii MnA > (6)

ii MxA < (7)

onde, Mni e Mxi so respectivamente os nveis mnimo emximo desejados para o i-simo alimento naformulao, kg.

Implementando a planilhaPlanilhas eletrnicas constituem uma das formas maisconvenientes e flexveis para formulao de raes.Assim, ser apresentado o desenvolvimento de umaplanilha para minimizao do custo de matria secadesenvolvida em Microsoft Excel (Figura 1).

Embora as planilhas eletrnicas no restrinjam a formacomo o problema de MCMS possa ser implementado, aorganizao e a padronizao auxiliam bastante a obtenode uma ferramenta eficiente. Recomenda-se organizar aplanilha na forma de tabela na qual os nomes dosalimentos so colocados na primeira coluna, e os atributosda rao so colocados na primeira linha (Figura 1).

Deve-se reservar a segunda coluna da planilha (coluna B)para a proporo, em peso seco, dos ingredientes (Ai).A coluna B ir conter a soluo do problema deminimizao do custo de matria seca.

A coluna C deve conter o preo da matria seca de cadaalimento (Pi). Esse valor pode ser calculado dividindo-se opreo do alimento em sua apresentao original pelo seurespectivo teor de matria seca. conveniente deixar acoluna apenas com valores calculados, proteg-la e utilizarduas outras colunas (colunas D e E, na planilha acima)para entrar com dados relativos a preo do alimento(matria original) e teor de matria seca.

michelleFigura 1).

michelleFigura 1).

3Formulao de Dietas de Custo Mnimo da Matria Seca...

7 No Excel a representao de um conjunto de clulas feita referenciando-se a clula do canto superior esquerdo do conjunto e a clula do canto inferior direito,separadas por dois pontos (exemplo A1:B3)

Figura 1. Exemplo de uma planilha para formulao de raes.

Recomenda-se destinar trs linhas abaixo do ttulo daslinhas para o clculo do valor nutricional da rao (linha 3,na planilha da Figura 1), para o estabelecimento do valordas restries nutricionais (mxima e mnima, linhas 4 e 5)e para o clculo da diferena entre o valor nutricional e onvel mnimo para cada nutriente (linha 6).

As colunas F e G devem conter restries de valoresmximo e mnimo para cada alimento para posteriorimplementao das inequaes 6 e 7.

Da coluna H em diante, devem-se colocar os atributosnutricionais da dieta, particularmente os teores de energia(NDT ou EM), Protena Bruta (PB), Protena Degradvel noRmen (PDR), Nitrognio no protico (NNP) e Fibra (FDNou FDNe). Macro e microminerais tambm devem seracrescentados. Esses atributos nutricionais permitem aposterior implementao das inequaes 4 e 5.

Nomeando planilhas e clulasNomear planilhas e clulas melhora bastante a organizao ea eficincia da planilha de formulao de raes. Um arquivo(pasta de trabalho) do Excel possui uma coleo deplanilhas. Inicialmente, elas so nomeadas automaticamentepelo programa como Plan1, Plan2, Plan3 e assim por diante.Atribuir nomes mais descritivos s planilhas utilizadas eexcluir as suprfluas importante para organizar o trabalho.

O Excel permite que clulas ou conjunto de clulas sejamnomeados. Isso torna suas frmulas mais legveis e asvariveis mais fceis de encontrar (em planilhas grandes,esse fator passa a ser importante). Assim, ao invs defazer referncia ao endereo da clula, A1, por exemplo, possvel fazer referncia ao seu nome nas funes eoperaes em que se deseja utilizar o valor dessa clula ouvalores de um conjunto de clulas.

Para nomear uma clula ou conjunto de clulas, selecionea(s) clula(s) a nomear. No menu principal clique Inserir ->Nome -> Definir. Um formulrio como o apresentado naFigura 2.

Figura 2. Formulrio para definir nome de conjuntos de clulas.

Nesse formulrio, define-se o nome do conjunto de clulasde B7 a B37 da planilha Formulao (definidos na caixade texto no extremo inferior do formulrio) comocomposio (o nome definido na caixa de texto noextremo superior do formulrio).

Pressionando o boto adicionar, o nome da clula definido. Esse nome deve aparecer ento na caixa delistagem na poro central do formulrio em que apresentada a clula nomeada CMS (Figura 2).

til estabelecer os nomes de conjuntos de clulas7,utilizando o ttulo da coluna. Nesse trabalho, o conjuntode clulas que contm os coeficientes tcnicos relativos aoteor do nutriente no alimento tem o nome do ttulo dacoluna ou similar. clula com o valor mdio na rao, foiacrescido o prefixo R_. Ao nome da clula contendo arestrio para a concentrao mnima de um nutriente nadieta foi adicionado o prefixo N_. Para a clula que contma concentrao mxima usou-se o prefixo X_. O conjuntode clulas pode conter mais clulas do que as que serorealmente utilizadas. Assim, nomearam-se os conjuntos declulas das linhas 7 a 37 de modo a permitir formulaescom at 30 alimentos. Na Tabela 1, esto relacionados osnomes de alguns dos principais conjuntos de clulasnomeados e seus respectivos endereos na planilha deformulao de raes.

4 Formulao de Dietas de Custo Mnimo da Matria Seca...

Tabela 1. Relao de clulas nomeadas na planilha formulao.

Nome Referncia1 Descrio

Composio $B$7:$ B$37 Conjunto de clulas com a proporo dos alimentos na composio da raoPreoMS $C$7:$ C$37 Conjunto de clulas com preo da matria seca dos alimentosMS $E$7:$ E$37 Conjunto de clulas com o teor de matria seca dos alimentosMin $F$7:$ F$37 Conjunto de clulas com a proporo mnima de matria seca de cada alimentoMax $G$7:$ G$37 Conjunto de clulas com a proporo mxima de matria seca de cada alimentoNDT $H$7:$ H$37 Conjunto de clulas com o teor de nutrientes digestveis totais na matria seca

de cada alimentoEE $I$7:$ I$37 Conjunto de clulas com o teor de extrato etreo na matria seca de cada alimentoPB $J$7:$ J$37 Conjunto de clulas com o teor de protena bruta na matria seca de cada alimentoPDR $K$7:$ K$37 Conjunto de clulas com a degradabilidade ruminal da protena de cada alimentoNNP $L$7:$ L$37 Conjunto de clulas com o teor de nitrognio no protico na protena bruta de

cada alimentoFDNe $M$7:$ M$37 Conjunto de clulas com o teor fibra detergente neutro efetiva na matria seca

de cada alimentoR_MS $E$3 Teor de matria seca da raoR_NDT $H$3 Teor de nutrientes digestveis totais da raoR_EE $I$3 Teor de extrato etreo da raoR_PB $J$3 Teor de protena bruta da raoR_PDR $K$3 Proporo de protena degradvel no rmenR_NNP $L$3 Proporo de nitrognio no protico na protena brutaR_FDNe $M$3 Teor de fibra detergente neutro efetiva na protena bruta da raoN_MS Teor mnimo de matria seca da raoN_NDT $H$4 Teor de mnimo de nutrientes digestveis totais da raoN_EE $I$4 Teor mnimo de extrato etreo da raoN_PB $J$4 Teor mnimo de protena bruta da raoN_PDR $K$4 Proporo mnima de protena degradvel no rmenN_NNP $L$4 Proporo mnima de nitrognio no protico na protena brutaN_FDNe $M$4 Teor mnimo de fibra detergente neutro efetiva na protena bruta da raoX_MS $E$5 Teor mximo de matria seca da raoX_NDT $H$5 Teor de mximo de nutrientes digestveis totais da raoX_EE $I$5 Teor mximo de extrato etreo da raoX_PB $J$5 Teor mximo de protena bruta da raoX_PDR $K$5 Proporo mxima de protena degradvel no rmenX_NNP $L$5 Proporo mxima de nitrognio no protico na protena brutaX_FDNe $M$5 Teor mximo de fibra detergente neutro efetiva na protena bruta da raoR_Nut $H$3:$ M$3 Conjunto de valores para o teor mdio de nutrientes na dietaE_Nut $H$4:$ M$4 Conjunto de valores para as exigncias nutricionais ou teores mnimos de

nutrientes na dietaD_Nut $H$6:$ M$6 Conjunto de valores para a diferena entre o teor mdio de nutrientes na dieta e

a exigncia nutricional ou restrio de mnimoX_Nut $H$5:$ M$5 Conjunto de valores para as restries de teor mximo de nutrientes na dieta

1 Todas as referncias so relativas planilha Formulao. Assim o endereo completo da clula precisa fazer meno ao nome da planilha. Como exemplo, oconjunto de clulas $B$7:$ B$37 ser referenciado no formulrio para definio de nomes como =Formulao! $B$7:$ B$37.

2 No foram includas as referncias s clulas que contm teores e restries para minerais.

Inserindo FunesEm programao de computadores, funes so rotinasque possuem um valor (ou um conjunto de valores) deretorno e argumentos8. No Excel, argumentos soinformados entre parnteses e depois do nome da funo.Quando a funo possui mais de um argumento, estessero separados por ponto-e-vrgula (no caso da

configurao padro do portugus). O valor de retorno atribudo prpria clula na qual a funo foi inserida.

O Excel possui uma extensa srie de funes. Umafuno bastante usada a SOMA, que possui comoargumentos um ou mais conjuntos de clulas. A sintaxedessa funo :

5Formulao de Dietas de Custo Mnimo da Matria Seca...

=SOMA(matriz1;matriz2;matriz3;...)

A funo SOMA pode ser utilizada, por exemplo, paraverificar se a soma dos ingredientes da rao igual unidade (100%), como na equao 3.

Outra funo interessante para uso em planilhas paraclculo de raes SOMARPRODUTO. A funoSOMARPRODUTO permite que se calculem diretamenteos nveis nutricionais da dieta a partir da composio darao e dos nveis nutricionais de um alimento.

SOMARPRODUTO(matriz1;matriz2;matriz3;...)

Matriz1, matriz2, matriz3 so matrizes de cujos componen-tes se deseja multiplicar e depois somar. As duas primeirasso obrigatrias; as seguintes, opcionais. Utiliza-se a funoSOMARPRODUTO9 para calcular os nveis nutricionais deuma dieta. Assim, soma-se o produto da matriz (vetor ouconjunto de clulas) de teor dos alimentos na matria seca

com o vetor do teor de um nutriente no alimento (eg. PB).O resultado obtido ser o teor mdio do nutriente na dieta.Se os teores na MS e os teores de nutrientes do alimentoestiverem em porcentagem, o resultado ter de ser divididopor 100 para possuir unidades porcentuais tambm.

Um caso especial ocorre em relao protena degradvelno rmen (PDR). A composio dos alimentos expressaem termos de degradabilidade (a proporo da protenabruta que degradada no rmen). Assim, o teor deprotena, degradvel na matria seca de um alimento, calculado como o produto entre o teor de protena bruta esua degradabilidade. Portanto, o teor de protenadegradvel na dieta calculado com a seguinte frmula:=SOMARPRODUTO(composio;PDR;PB). Dessa forma,implementam-se os clculos necessrios para estabeleceras inequaes 4 e 5.

Na Tabela 2, apresenta-se uma relao das funes usadasna planilha.

Tabela 2. Relao de funes utilizadas na planilha Formulao. Os argumentos das funes so apresentados comoreferncias nomeadas (endereo das clulas apresentado na Tabela 1.

Nome Referncia1 Frmula

R_Composio $B$3 =SOMA(composio)R_PreoMS $C$3 =SOMARPRODUTO(composio; preoMS)R_MS $E$3 =SOMARPRODUTO(composio;MS)R_NDT $H$3 =SOMARPRODUTO(composio;NDT)R_EE $I$3 =SOMARPRODUTO(composio;EE)R_PB $J$3 =SOMARPRODUTO(composio;PB)R_PDR $K$3 =SOMARPRODUTO(composio;PDR;PB)R_NNP $L$3 =SOMARPRODUTO(composio;NNP;PDR;PB)R_FDNe $M$3 =SOMARPRODUTO(composio;FDNe)D_Nut $H$6:$ M$6 =R_Nut-E_Nut

1 Todas as referncias so relativas planilha Formulao. Assim, o endereo completo da clula precisa fazer meno ao nome da planilha. Como exemplo, oconjunto de clulas $B$7:$ B$37, ser referenciado no formulrio para definio de nomes como =Formulao! $B$7:$ B$37.

8 Funes sem argumentos tambm existem. Funes podem ter argumentos obrigatrios e opcionais. Caso existam argumentos opcionais, a funo possui umvalor default para esse argumento que utilizado caso este no seja definido.

9 Os argumentos da matriz devem ter a mesma dimenso (isto , o mesmo nmero de linhas e colunas. Se no tiverem, SOMARPRODUTO retornar o valor deerro #VALOR! Essa funo trata as entradas da matriz no numricas como se fossem zeros.

10 Se o Solver no estiver disponvel no submenu, selecione Ferramentas->Suplementos e no formulrio Suplementos selecione Solver, se ele no estiver disponvelem suplementos, haver necessidade de adicion-lo a partir do disco de instalao do Microsoft Office. A instalao tpica do Microsoft Office no instala oSolver. A instalao completa, sim.

Otimizao da dietaPara otimizar a dieta, necessrio informar as restriesaos nveis mnimo e mximo de nutrientes da dieta econfigurar o Solver (uma ferramenta suplementar do Excelque contm algoritmos para soluo de problemas linearese no lineares).

Para configurar as restries, consultam-se tabelas ouprogramas para clculo de exigncias nutricionais como,

por exemplo, as do Nutritional Research Council (2000).Entretanto, o ideal a interpretao de um nutricionista.As exigncias e os nveis mximos dos nutrientes sodados de entrada para as linhas 4 e 5 da Planilha (Figura.1), respectivamente.

Para acessar o Solver, basta selecionar, no menu principal,Ferramentas e Solver... no submenu10. Uma caixa dedilogo como a da Figura 3 ser apresentada.

michelleTabela 1.

michelleNutritional Research Council (2000).

michelleFigura.

michelle1),

michelleFigura 3

6 Formulao de Dietas de Custo Mnimo da Matria Seca...

Figura 3. Formulrio para configurao do Excel Solver.

Nessa caixa de dilogo, a clula de destino refere-se aoendereo da clula onde est sendo apresentado o resultadodo custo da matria seca da dieta (clula R_PreoMS, nocaso da planilha na qual est sendo implementada).

A seguir, tem-se a legenda Igual a: e trs opes deseleo: Max, Min e Valor de. No caso do problema deMCMS, escolhe-se a opo Min, indicando que se desejaminimizar o valor da clula de destino (funo objetiva).

Chega-se agora ao ponto de selecionar as clulas variveis,isto , quais as variveis do problema que afetam o valorda clula de destino e que se tem controle sobre elas. Noexemplo em discusso, as clulas variveis so as quecontm a proporo dos ingredientes na dieta (isto , oconjunto de clulas nomeado composio).

O passo seguinte configurar o Solver para o problema deprogramao linear a ser resolvido. Clique no botoOpes no formulrio do Solver (Figura 3). Serapresentado um formulrio como o da Figura 4. Selecione asopes Presumir modelo linear e Presumir no negativos.

Figura 4. Formulrio para configurao das opes de

configurao do Excel Solver.

Depois de configurado o Solver, basta acionar o botoResolver no formulrio do Solver (Figura 4) e esperar aresoluo do problema. Caso o Solver seja incapaz deresolver o problema, uma mensagem como a da Figura 5ser apresentada.

Figura 5. Mensagem do Excel Solver informando que o

problema no pde ser resolvido.

Nesse caso, deve-se clicar em OK e manter a soluo doSolver e tentar aliviar as restries do problema. Asrestries podem ser alteradas reduzindo algum dosvalores de restrio de mnimo para algum alimento ounutriente ou aumentando o valor de restrio de mximo.Alm disso, a adio de novos alimentos pode solucionaro problema.

Uma orientao para evitar formulaes inviveis utilizardiversos alimentos (pelo menos 5). obrigatrio queexista um alimento protico (com mais de 20% de protenabruta na matria seca, como farelo de algodo ou farelo desoja), um alimento energtico (alimentos com mais de70% de NDT e menos de 14% PB, como milho ou sorgomodos), uma forragem (pasto, feno ou silagem). Aincluso de fontes de nitrognio no protico (uria ousulfato de amnio) e minerais tambm recomendada.Outra orientao evitar restries para minerais nasprimeiras formulaes.

Assim, conveniente ter pelo menos trs configuraespara o Solver: a primeira sem restries de minerais, asegunda com a adio de restries para macrominerais e aterceira com a adio de restries para macro emicrominerais. O Solver possui recursos para salvarconfiguraes para cada uma dessas situaes.

Depois de configurar um problema no formulrio principaldo Solver (Figura 3), clique no boto Opes nessemesmo formulrio. Um formulrio como o da Figura 4ser apresentado. Clique no boto Salvar Modelo....Um pequeno formulrio como o da Figura 6 serapresentado.

Figura 6. Formulrio para seleo da rea

da planilha no qual sero salvas as configu-

raes do Solver.

7Formulao de Dietas de Custo Mnimo da Matria Seca...

possvel salvar tantas configuraes quantas foremnecessrias. Para utilizar essas configuraes basta acionarCarregar Modelo..., no formulrio de opes do Solver,e selecionar a rea (conjunto de clulas) em que foi salva aconfigurao que se deseja utilizar.

RefernciasBibliogrficas

BARIONI, L. G. Modelagem dinmica e otimizaometaheurstica para apoio tomada de decises na recria eengorda de bovinos de corte. 2002. 100 f. Tese(Doutorado) - Escola Superior de Agricultura Luiz deQueiroz, USP, Piracicaba, 2002.

CAMPOS, C. L. Anlise econmica de confinamento debovinos: estudo de caso. 1993. 94 f. Dissertao(Mestrado) Universidade Federal de Viosa, Viosa,1993.

NATIONAL RESEARCH COUNCIL. Subcommittee on BeefCattle Nutrition. Nutrient requirements of beef cattle. 8. ed.Washington: National Academic Press, 2000.

SCOTT , J. T., JR.; BROADBENT, E. E. A computerizedcattle feeding program for replacement and rationformulation. Illinois Agricultural Economics, Champaign, v.2, n. 2, p. 16-25, 1972.

SOEST, P. J. van. Nutritional ecology of the ruminant.New York: Cornell University Press, 1994. 476 p.

Diet Formulation With Minimum Dry Matter Cost forBeef Bovines Using Electronic spreadsheetAbstract - The diet is one of the main costs in animal production in feedlots. In addition, diet composition is one ofthe main determinants of the animals performance. Therefore, adequate diet formulation is crucial for the success ofthe feedlot. This publication describes the fundamentals of diet formulation through the criteria of least cost of drymatter and teaches how to implement it in an electronic spreadsheet for diet formulation. The aim is to allowspreadsheet users to easily evaluate and formulate diets for bovines.

Index terms: animal production, feed lot diet composition, formulation.

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Expediente

ComunicadoTcnico, 98

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1a edio1a impresso (2003): 100 exemplares

Presidente: Dimas Vital Siqueira Resck.Editor Tcnico: Carlos Roberto Spehar.Secretria Executiva: Nilda Maria da Cunha Sette.

Superviso editorial: Jaime Arbus Carneiro.Reviso de texto: Maria Helena Gonalves Teixeira Jaime Arbus Carneiro.Normalizao bibliogrfica: Shirley da Luz Soares.Editorao eletrnica: Leila Sandra Gomes Alencar.Impresso e acabamento: Divino Batista de Souza

Jaime Arbus Carneiro.