formação de professores - ciep 355pacto nacional pelo fortalecimento do ensino médio 1. ensino...

Ministeacuterio da EducaccedilatildeoSecretaria de Educaccedilatildeo Baacutesica

Formaccedilatildeo de Professores do Ensino Meacutedio

MATEMAacuteTICA

Pacto Nacional pelo Fortalecimento do Ensino Meacutedio

VERSAtildeO PRELIMINAR

Etapa II - Caderno VCuritiba

Setor de Educaccedilatildeo da UFPR2014

MINISTEacuteRIO DA EDUCACcedilAtildeO

SECRETARIA DE EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA (SEB)

MINISTEacuteRIO DA EDUCACcedilAtildeO SECRETARIA DE EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA Esplanada dos Ministeacuterios Bloco L Sala 500 CEP 70047-900 Tel (61)20228318 - 20228320

Brasil Secretaria de Educaccedilatildeo Baacutesica Formaccedilatildeo de professores do ensino meacutedio etapa II - caderno V matemaacutetica Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Secretaria de Educaccedilatildeo Baacutesica [autores Ana Paula Jahn et al] ndash Curitiba UFPRSetor de Educaccedilatildeo 2014 49p ISBN Inclui referecircncias Pacto Nacional pelo Fortalecimento do Ensino Meacutedio 1 Ensino meacutedio 2 Professores - Formaccedilatildeo 3 Matemaacutetica ndash Estudo e ensino I Jahn Ana Paula II Universidade Federal do Paranaacute Setor de Educaccedilatildeo III Matemaacutetica IV Pacto Nacional pelo Fortalecimento do Ensino Meacutedio V Tiacutetulo CDD 37319

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANAacuteSISTEMA DE BIBLIOTECAS ndash BIBLIOTECA CENTRAL

COORDENACcedilAtildeO DE PROCESSOS TEacuteCNICOS

Andrea Carolina Grohs CRB 91384

MATEMAacuteTICAEtapa II ndash Caderno V

AUTORESAna Paula JahnIole de Freitas Druck Iacutetalo Modesto DutraMaria Cristina BonomiViviana Giampaoli

COORDENACcedilAtildeO DA PRODUCcedilAtildeOMonica Ribeiro da Silva (coordenadora)Ceacuteuli Mariano JorgeEloise Medice ColontonioGiacutelian Cristina BarrosGiselle Christina CorrecircaLeacuteia de Caacutessia Fernandes Hegeto

LEITORES CRIacuteTICOSCassiano Roberto Nascimento OgliariFernando Pereira dos SantosJoatildeo Carlos de ArauacutejoMaria Tereza Carneiro Soares

REVISAtildeOGiselle Christina Correcirca

PROJETO GRAacuteFICO E EDITORACcedilAtildeOVictor Augustus Graciotto SilvaRafael Ferrer Kloss

CAPAYasmin FabrisRafael Ferrer Kloss

ARTE FINALRafael Ferrer Kloss

Sumaacuterio

1 Contextualizaccedilatildeo e contribuiccedilotildees 9

11 A contribuiccedilatildeo da Matemaacutetica como saber escolar e sua relaccedilatildeo com as necessidades da vida

cotidiana 9

12 Os tipos de pensamento matemaacutetico e sua relaccedilatildeo com o fazer escolar 10

13 Reconhecimento das praacuteticas de docecircncia a relaccedilatildeo da Matemaacutetica com as outras aacutereas e os outros

componentes curriculares 13

2 Os sujeitos estudantes do ensino meacutedio e os direitos agrave aprendizagem e ao desenvolvimento humano na aacuterea de matemaacutetica 16

21 Centralidade do estudante 17

22 A Matemaacutetica na formaccedilatildeo dos jovens do Ensino Meacutedio 20

3 Trabalho cultura ciecircncia e tecnologia na aacuterea de matemaacutetica 25

31 Breves consideraccedilotildees histoacutericas 26

32 Conhecimentos matemaacuteticos pertinentes a um curriacuteculo de Ensino Meacutedio elaborado com base nas

dimensotildees do trabalho cultura ciecircncia e tecnologia 28

4 Diaacutelogo entre as aacutereas do conhecimento escolar princiacutepios e proposiccedilotildees pedagoacutegico-curriculares 33

41 Para finalizar 41

Referecircncias 43

7


INTRODUCcedilAtildeO

Qual o papel que a Matemaacutetica escolar pode desempenhar na formaccedilatildeo humana integral dos estudantes do Ensino Meacutedio

Cara Professora caro Professor neste Caderno buscamos discutir e apontar possibilidades de res-

postas a essa questatildeo Evidentemente a pergunta colocada eacute abrangente e natildeo haacute resposta simples nem

uacutenica para ela No entanto uma reflexatildeo a esse respeito eacute necessaacuteria natildeo apenas por parte dos professores

de Matemaacutetica mas tambeacutem por todos os que atuam no Ensino Meacutedio se acreditamos que a accedilatildeo curri-

cular integrada entre as aacutereas de conhecimento eacute fundamental para o favorecimento da formaccedilatildeo humana

integral

Sabemos bem do estigma que a Matemaacutetica escolar tem de ser inacessiacutevel desinteressante e inuacutetil

Isso eacute reflexo das abordagens equivocadas que dominam o ensino desta ciecircncia Com isso na escola essa

aacuterea tem mais contribuiacutedo para gerar inseguranccedilas e frustraccedilotildees nos estudantes do que real aprendizagem

Buscamos aqui discutir as caracteriacutesticas especiacuteficas da Matemaacutetica capazes de favorecer de fato o de-

senvolvimento humano na escola

Em particular a Matemaacutetica propicia o desenvolvimento de quatro tipos especiacuteficos de pensamen-

to indutivo loacutegico-dedutivo geomeacutetrico-espacial e natildeo-determiniacutestico Muitos de seus conhecimentos

satildeo uacuteteis em vaacuterias situaccedilotildees do cotidiano aleacutem de serem inuacutemeras as articulaccedilotildees possiacuteveis com as de-

mais aacutereas do conhecimento ou componentes curriculares intriacutensecas a situaccedilotildees problemas em diversos

acircmbitos Essa discussatildeo eacute feita na Unidade 1 desse Caderno

Ao longo da Unidade 2 coloca-se em pauta a centralidade do jovem com seus desejos e interesses

esclarecendo que as diferentes aprendizagens satildeo direitos de todos os jovens e que as aacutereas precisam

encontrar maneiras adequadas para possibilitar a consecuccedilatildeo de tais direitos focando particularmente as

potencialidades da Matemaacutetica em contribuir com o estabelecimento e a execuccedilatildeo de atividades integra-

doras

Na Unidade 3 apresentamos algumas contribuiccedilotildees da Matemaacutetica desenvolvidas ao longo da his-

toacuteria que evidenciam a integraccedilatildeo desta aacuterea com as dimensotildees do trabalho cultura ciecircncia e tecnologia

desde suas origens Tambeacutem apontamos a necessidade da escolha de conhecimentosconteuacutedos da aacuterea

que por se relacionarem intrinsecamente com essas dimensotildees merecem ser destacados num curriacuteculo

desenvolvido a partir das mesmas como eacute proposto nas Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino

Meacutedio (DCNEM)

Na Unidade 4 inicialmente fazemos uma reflexatildeo sobre o papel do trabalho como princiacutepio educa-

tivo e da pesquisa como princiacutepio pedagoacutegico enquanto norteadores de abordagens pedagoacutegico-curricula-

res que visem uma formaccedilatildeo integral Em seguida a partir de exemplos de praacuteticas escolares envolvendo

a aacuterea de Matemaacutetica buscamos um entendimento mais concreto sobre as efetivas potencialidades de

articulaccedilatildeo de conhecimentos matemaacuteticos com as demais aacutereas em atividades de caraacuteter integrador

Salientamos que este Caderno pretende oferecer subsiacutedios para a reflexatildeo dos professores de todas

as aacutereas Seu objetivo portanto natildeo inclui discussotildees e reflexotildees mais aprofundadas sobre conhecimentos

especiacuteficos da aacuterea de Matemaacutetica Essa temaacutetica eacute seguramente necessaacuteria no contexto das finalidades

8

Matemaacutetica

do Ensino Meacutedio constantes das atuais DCNEM e estaraacute presente na terceira etapa da formaccedilatildeo do Pacto

Nacional pelo Fortalecimento do Ensino Meacutedio momento em que seratildeo promovidas discussotildees mais de-

talhadas sobre conhecimentos fundamentais de cada aacuterea do conhecimento

Esperamos contribuir com pistas fecundas para reflexotildees sobre possiacuteveis respostas agrave pergunta ini-

cial natildeo apenas na teoria e que sejam inspiradoras para as transformaccedilotildees necessaacuterias da praacutetica escolar

no Ensino Meacutedio na busca pelo desenvolvimento humano e pela formaccedilatildeo integral

Desejamos um bom trabalho a todos e a todas

9


1 Contextualizaccedilatildeo e contribuiccedilotildees

11 A contribuiccedilatildeo da Matemaacutetica como saber escolar e sua relaccedilatildeo com as necessidades da vida cotidiana

O fato de a Matemaacutetica estar tatildeo intimamente ligada agrave atividade

escolar e ao mesmo tempo a um conhecimento por vezes descrito

como inalcanccedilaacutevel por muitos estudantes e adultos que jaacute concluiacuteram

a Educaccedilatildeo Baacutesica torna a aacuterea particularmente importante no con-

texto educacional Isso porque se faz necessaacuterio construir experiecircn-

cias em educaccedilatildeo matemaacutetica capazes de superar barreiras e distacircncias

criadas por relaccedilotildees ldquoimprodutivasrdquo entre o professor o estudante e o

conhecimento Tais relaccedilotildees satildeo reforccediladas por abordagens escolares

incapazes de produzir comunicaccedilatildeo efetiva entre os saberes dos estu-

dantes ou as suas necessidades de aprendizagem e o conhecimento

mediada pelos professores Sobre essa problemaacutetica refletiremos com

mais detalhes nas demais unidades do Caderno

Por outro lado haacute um claro reconhecimento social da impor-

tacircncia do domiacutenio baacutesico dos conceitos e das ferramentas que a Ma-

temaacutetica oferece para a vida humana Tal reconhecimento eacute muitas

vezes confundido com a garantia de mais espaccedilo no curriacuteculo para a

Matemaacutetica o que natildeo necessariamente implica em maior qualida-

de das aprendizagens em Matemaacutetica Em especial no Ensino Meacutedio

onde haacute treze disciplinascomponentes curriculares obrigatoacuterios de

acordo com as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Meacutedio

(BRASIL 2012) eacute preciso olhar com cuidado as atividades desses

componentes e de outros definidos nas escolas para se aproveitar das

inuacutemeras relaccedilotildees existentes entre os conceitos e assuntos que todos

eles podem englobar Atividades integradoras entre as aacutereas de conhe-

cimento seratildeo discutidas na Unidade 4

Que tal nos debruccedilarmos um pouco mais sobre os argumentos

apresentados ateacute aqui Professores qual a importacircncia dos conhe-

cimentos de Matemaacutetica abordados com seus estudantes no Ensino

Meacutedio Essa pergunta por mais simples que pareccedila pode auxiliar na

reflexatildeo sobre a insuficiente relaccedilatildeo entre os conhecimentos de Ma-

temaacutetica tratados na escola e o cotidiano da maioria dos estudantes

brasileiros E tal pergunta tambeacutem precisa ser levada em consideraccedilatildeo

por aqueles professores que natildeo satildeo da aacuterea de Matemaacutetica Isso por-

Sugerimos a leitura do artigo Por que se en-sina Matemaacutetica de au-toria de Ubiratan DrsquoAm-broacutesio um dos pioneiros na pesquisa em Educaccedilatildeo Matemaacutetica no Brasil dis-poniacutevel em

httpapoiolondri-napbworkscomfPor20que20ensinar20Matema-ticapdf

Esse texto pode suscitar algumas reflexotildees relativas agrave unidade Fare-mos uso desta leitura no final da seccedilatildeo na atividade compartilhada

10

Matemaacutetica

No Ensino Meacutedio compreendem-se como campos da Matemaacutetica escolar nuacutemeros e ope-raccedilotildees funccedilotildees equaccedilotildees algeacutebricas geometria ana-liacutetica geometria estatiacutesti-ca e probabilidades

No Guia do Livro Didaacutetico do PNLD 2012 (BRASIL 2011 p 14-16 p 24-26) apresentam-se conceitos fundamentais para a compreensatildeo dos diferentes tipos de pen-samento matemaacutetico tra-zendo inclusive um breve resgate histoacuterico sobre a questatildeo Professores isso pode ser conferido no link wwwfndegovbrarquivoscategory125-guiasdown-load=5512pnld-2012-mate-matica

que precisamos garantir a ampliaccedilatildeo de tais conhecimentos no sentido

de possibilitar o acesso desses estudantes a praacuteticas sociais que lhe

permitam uma leitura de mundo mais criacutetica bem como a compreen-

satildeo dos modos de produccedilatildeo de conhecimento em diversas aacutereas

Caros professores se pararem para pensar rapidamente poderatildeo

identificar vaacuterias situaccedilotildees nas quais os conhecimentos de Matemaacuteti-

ca satildeo usados no dia a dia Que tal agora tentar fazer esse exerciacutecio

pensando na relaccedilatildeo entre os conceitos e conteuacutedos do seu compo-

nente curricular que envolvem Matemaacutetica e onde eles se aplicam no

cotidiano Haacute conceitosconteuacutedos matemaacuteticos que vocecirc natildeo conse-

gue relacionar ao seu cotidiano Anote suas conclusotildees para posterior

compartilhamento com os demais colegas

Como jaacute comentamos anteriormente haacute muitas escolhas em re-

laccedilatildeo aos conteuacutedos trabalhados na escola que satildeo feitas sem levar em

consideraccedilatildeo as necessidades dos estudantes e principalmente sem

que se procure organizar contextos em diversas aacutereas que auxiliem na

atribuiccedilatildeo de significados aos estudantes No texto Por que se ensina

Matemaacutetica apresentado no primeiro ldquoSaiba Maisrdquo desta Unidade

haacute algumas pistas que poderatildeo auxiliar nessas escolhas e na organiza-

ccedilatildeo de seu planejamento

12 Os tipos de pensamento matemaacutetico e sua relaccedilatildeo com o fazer escolar

Caracterizar o pensamento matemaacutetico natildeo eacute tarefa trivial por

mais que se queira Em se tratando da Matemaacutetica para a escola de

Educaccedilatildeo Baacutesica essa tarefa se torna ainda mais delicada uma vez

que se faz necessaacuterio superar certas tradiccedilotildees que vecircm caracterizando

a escolha de conteuacutedos escolares sem a devida atenccedilatildeo agrave necessidade

de explorar as caracteriacutesticas dessa ciecircncia de modo que favoreccedilam o

desenvolvimento integral

Mesmo com criteacuterios de validaccedilatildeo baseados em princiacutepios loacutegi-

cos comuns a todos seus campos o fazer matemaacutetico mobiliza quatro

diferentes tipos de raciociacutenios ou intuiccedilotildees o pensamento indutivo

(ou raciociacutenios plausiacuteveis presentes no ato de criaccedilatildeo matemaacutetica na

formulaccedilatildeo intuitiva de novas conjecturas a serem validadas poste-

riormente) o raciociacutenio loacutegico dedutivo (proacuteprio da aacutelgebra e de tudo

que diz respeito a provas de propriedades em todos os campos da Ma-

temaacutetica) a visatildeo geomeacutetrico-espacial (necessaacuteria para o aprendizado

O link proposto ser-ve de provocaccedilatildeo Onde estaacute a Matemaacutetica na En-genharia Civil Estamos aqui pensando nas rela-ccedilotildees da Matemaacutetica com o cotidiano e ao mesmo tempo observando uma proposta de atividade feita por um professor que tem a intenccedilatildeo de ampliar os conhecimentos a respeito de uma aacuterea de atuaccedilatildeo humana na modificaccedilatildeo do espaccedilo httpportaldopro-fessormecgovbrfichaTec-nicaAulahtmlaula=27230

11


significativo da geometria e de suas aplicaccedilotildees) e o pensamento natildeo-determiniacutestico (caracteriacutestico da

estatiacutestica e da probabilidade campos que estudam eventos que envolvem aleatoriedade)

Vamos explorar um pouco mais essas ideias Muitas atividades e exemplos podem ser pensados

no sentido de construir estruturas que permitam a utilizaccedilatildeo de cada tipo de pensamento

No caso do pensamento indutivo podemos conceber atividades que possibilitam aos estudantes

construir determinadas hipoacuteteses por exemplo em relaccedilatildeo a alguns algoritmos elementares por que

o resto de uma divisatildeo natildeo pode ser maior que o divisor E como esse fato pode ser relacionado agrave re-

presentaccedilatildeo decimal dos nuacutemeros racionais Outra situaccedilatildeo na qual utilizamos o pensamento indutivo

eacute quando generalizamos a partir de alguns casos particulares como por exemplo para a validaccedilatildeo do

Teorema de Pitaacutegoras a partir do que sugerem as imagens na figura a seguir

Figura 1 Vocecirc vecirc o Teorema de Pitaacutegoras

FONTE Os autores (2014)

Na figura anterior se pode visualizar indutivamente que a aacuterea ldquodo quadrado da hipotenusardquo

equivale agrave soma das ldquoaacutereas dos quadrados dos catetosrdquo de um triacircngulo retacircngulo Por outro lado se

atribuirmos valores geneacutericos agraves medidas dos catetos e da hipotenusa do mesmo triacircngulo e utilizarmos

como conhecimentos preacutevios jaacute deduzidos a expressatildeo do trinocircmio do quadrado perfeito e as foacutermulas

para a obtenccedilatildeo das aacutereas do quadrado e dos triacircngulos pode-se empregar o raciociacutenio loacutegico-dedutivo

em uma demonstraccedilatildeo algeacutebrica do Teorema de Pitaacutegoras

Para o raciociacutenio loacutegico-dedutivo eacute necessaacuterio observar a utilizaccedilatildeo de determinadas regras que

podem ser simplesmente tomadas como verdade ou provadas anteriormente e a partir dessas regras

construir novas Assim usamos raciociacutenio loacutegico-dedutivo na deduccedilatildeo da relaccedilatildeo fundamental da trigo-

nometria (sen2x + cos2x = 1) a partir do Teorema de Pitaacutegoras e das definiccedilotildees das funccedilotildees seno e cos-

seno no ciacuterculo trigonomeacutetrico por exemplo Da mesma forma o fazemos quando provamos a validade

da propriedade (b) a partir da propriedade (a) enunciadas a seguir

(a) Duas retas satildeo paralelas se e somente se os acircngulos correspondentes determinados por elas

com uma reta transversal tecircm medidas iguais

(b) Uma reta que corta dois lados de um triacircngulo eacute paralela ao terceiro lado do mesmo triacircngulo

se e somente se determina um triacircngulo semelhante ao primeiro

12

Matemaacutetica

A primeira propriedade eacute usualmente estudada no Ensino Fundamental II enquanto que a segunda

eacute muito uacutetil no Ensino Meacutedio

Sabemos que a Geometria Analiacutetica eacute um campo da Matemaacutetica que estabelece importantes rela-

ccedilotildees entre os registros graacuteficos e algeacutebricos de funccedilotildees o que permite inclusive a utilizaccedilatildeo de programas

computacionais graacuteficos Assim dois registros distintos dados - um graacutefico e uma equaccedilatildeo - representam

a mesma funccedilatildeo se as coordenadas cartesianas de todos os pontos do graacutefico satisfazem a equaccedilatildeo e vice-

versa se todas as soluccedilotildees da equaccedilatildeo forem coordenadas de pontos do graacutefico dado Assim a propriedade

(b) comentada anteriormente eacute que nos permite comprovar por meio de raciociacutenio loacutegico-dedutivo que

qualquer equaccedilatildeo do tipo y = ax + b representa uma reta no plano cartesiano

No caso da visatildeo geomeacutetrico-espacial as estruturas que permitem o uso de tal pensamento advecircm

da interaccedilatildeo com os objetos e com os movimentos no espaccedilo fiacutesico Podemos caracterizaacute-lo a partir da

construccedilatildeo de representaccedilotildees mentais que possibilitam por exemplo reconhecer caracteriacutesticas de figuras

geomeacutetricas (Eacute um paralelepiacutepedo Eacute um cubo) interpretar relaccedilotildees entre objetos no espaccedilo e estimar

aacutereas e volumes sem mediccedilatildeo direta antecipar resultados de transformaccedilotildees de figuras planas e objetos

espaciais (o que acontece quando giramos um triacircngulo em torno de um dos seus lados) produzir e inter-

pretar representaccedilotildees planas de objetos espaciais plantas baixas de construccedilotildees mapas de diversos tipos

ou maquetes Observa-se que o desenvolvimento divisatildeo geomeacutetrico-espacial em muitas situaccedilotildees pode

propiciar raciociacutenios indutivos e vice-versa

Jaacute no caso do pensamento natildeo-determiniacutestico entramos no campo da incerteza e da variabilidade

duas noccedilotildees que para muitos parecem natildeo ter relaccedilatildeo com a Matemaacutetica Entretanto satildeo inuacutemeras as

situaccedilotildees nas quais interagimos fazendo uso desse tipo de raciociacutenio a definiccedilatildeo de criteacuterios e condiccedilotildees

que influenciam determinados fenocircmenos sociais (como movimentos migratoacuterios intenccedilatildeo de voto) ou

ambientais (probabilidade de chuva ou de tempestade ou valores de variaccedilatildeo da umidade relativa do ar)

a escolha de trajetos no bairro em uma cidade ou oferecidos por sistemas de localizaccedilatildeo (GPS) levando

em consideraccedilatildeo o tempo de trajeto o traacutefego dentre outros

Muitas das escolhas de conteuacutedos feitas por noacutes professores parecem indicar uma abordagem mais

concentrada em um determinado tipo de pensamento matemaacutetico a saber o raciociacutenio loacutegico-dedutivo

Ainda assim eacute muito caracteriacutestico das abordagens mais tradicionais confundir o pensamento loacutegico-de-

dutivo com a simples memorizaccedilatildeo de regras e foacutermulas Tal equiacutevoco frequente induz a deturpaccedilotildees so-

bre a concepccedilatildeo da proacutepria natureza da Matemaacutetica Procedimentos e regras podem ter sua validade efeti-

vamente comprovada apenas por meio de raciociacutenios loacutegico-dedutivos Decorar natildeo pode ser sinocircnimo de

raciocinar Executar procedimentos padratildeo sem compreensatildeo em exerciacutecios repetitivos natildeo promove o

desenvolvimento de raciociacutenio nem a aprendizagem significativa dessa ciecircncia A memorizaccedilatildeo de certos

procedimentos por meio da repeticcedilatildeo de teacutecnicas ou regras de uso muito frequentes pode ateacute ter utilidade

na continuidade dos estudos nessa aacuterea O indesejaacutevel eacute a simples prescriccedilatildeo de regras sem preacutevia discus-

satildeo e validaccedilatildeo pelos estudantes pois natildeo contribui para a formaccedilatildeo integral almejada

Eacute importante proporcionar experiecircncias escolares que promovam o desenvolvimento desses quatro

tipos de raciociacutenios ou intuiccedilotildees fazendo escolhas mais adequadas agraves necessidades de compreensatildeo e usos

dos conhecimentos matemaacuteticos em contextos enriquecedores Para tanto torna-se fundamental um equi-

13


liacutebrio no uso das ferramentas que a Matemaacutetica oferece no sentido de

construir experiecircncias que promovam o desenvolvimento dos diferen-

tes todavia articulados modos de raciocinar da Matemaacutetica possibili-

tando aos estudantes mobilizaacute-los em todas as aacutereas de conhecimento

13 Reconhecimento das praacuteticas de docecircncia a relaccedilatildeo da Matemaacutetica com as outras aacutereas e os outros componentes curriculares

A organizaccedilatildeo curricular do Ensino Meacute-dio tem uma base nacional comum e uma parte diversificada que natildeo devem constituir blocos distintos mas um todo integrado de modo a garantir tanto conhecimentos e saberes comuns necessaacuterios a todos os estudantes quanto a formaccedilatildeo que considere a diversidade e as ca-racteriacutesticas locais e especificidades regionais (BRASIL 2012 art 7o)

Eacute com esse espiacuterito que as DCNEM tratam da organizaccedilatildeo cur-

ricular para essa etapa da Educaccedilatildeo Baacutesica Nesse sentido precisamos

dar especial atenccedilatildeo agraves praacuteticas pedagoacutegicas instituiacutedas e encontrar

soluccedilotildees que tentem alcanccedilar o que o texto das Diretrizes propotildee em

relaccedilatildeo agraves aacutereas de conhecimento o ldquocurriacuteculo deve contemplar as

quatro aacutereas do conhecimento com tratamento metodoloacutegico que evi-

dencie a contextualizaccedilatildeo e a interdisciplinaridade ou outras formas

de interaccedilatildeo e articulaccedilatildeo entre diferentes campos de saberes especiacutefi-

cosrdquo (BRASIL 2012 art 8o sect 1o)

A partir de uma reflexatildeo sobre o texto das DCNEM que praacute-

ticas na docecircncia satildeo mais frequentes na rotina de sua escola O que

precisamos reorganizar para nos aproximarmos do que se propotildee nas

Diretrizes

A organizaccedilatildeo por aacutereas de conhecimento natildeo dilui nem exclui componentes curriculares com especificidades e saberes proacuteprios cons-truiacutedos e sistematizados mas implica no forta-lecimento das relaccedilotildees entre eles e a sua con-textualizaccedilatildeo para apreensatildeo e intervenccedilatildeo na realidade requerendo planejamento e execuccedilatildeo conjugados e cooperativos dos seus professores (BRASIL 2012 art 8o sect 2o)

Natildeo seria a interdisciplinaridade ou outras praacuteticas integradoras

da Matemaacutetica com outros componentes ou aacutereas do conhecimento

As duas obras a se-guir satildeo exemplos de uso dos conhecimentos de matemaacutetica em diversas aacutereas da atuaccedilatildeo humana Satildeo elas A matemaacutetica nos tribunais uso e abu-so dos nuacutemeros em jul-gamentos (SCHNEPS amp COLMEZ 2014) e Os Nuacutemeros (Natildeo) Mentem como a Matemaacutetica pode ser usada para enganar vocecirc (SEIFE 2012) Uma similaridade entre as duas obras eacute que as mesmas descrevem uma seacuterie de atividades nas quais o co-nhecimento matemaacutetico pode ser usado como uma ferramenta para construir narrativas natildeo necessaria-mente verdadeiras Pen-sando em atividades que estabeleccedilam pontes entre a Matemaacutetica e os demais componentes curricula-res essas obras podem ser uma boa fonte de inspira-ccedilatildeo para o planejamento coletivo

14

Matemaacutetica

uma forma de garantir espaccedilos curriculares mais interessantes para todos pela construccedilatildeo de contextos

de fato significativos para os estudantes Essa eacute uma questatildeo de extrema relevacircncia pois como sabemos

eacute bastante comum a disputa de espaccedilotempo escolar entre disciplinas - os treze componentes curricu-

lares obrigatoacuterios previstos nas DCNEM Assim a otimizaccedilatildeo de espaccedilotempo pode abrir caminhos

para atividades integradoras das quais participem especialistas de diferentes componentes curriculares

Tais atividades aleacutem de trazerem vantagens no aporte de contextualizaccedilatildeo e atribuiccedilatildeo de significados

aos estudantes requerem um planejamento coletivo o que certamente implicaraacute na discussatildeo sobre a

relevacircncia e pertinecircncia de vaacuterios dos conteuacutedos abordados

Eacute importante salientar que contextualizaccedilatildeo e interdisciplinaridade satildeo muitas vezes reduzidas

ao uso de situaccedilotildees-problema ou exemplos simples em atividades de Matemaacutetica que envolvem con-

ceitos de outros componentes curricularesdisciplinas sem estabelecer relaccedilotildees mais consistentes entre

eles Assim natildeo podemos chamar de contexto um problema sobre movimento retiliacuteneo uniforme ou

velocidade meacutedia cujo uacutenico objetivo eacute que o estudante escreva e resolva uma equaccedilatildeo Contexto natildeo eacute

mero pretexto No acircmbito do que estamos propondo aqui eacute preciso que se reconheccedila a diferenccedila entre

exemplos simples e contextos que requerem a negociaccedilatildeo conjunta de diversos pontos de vista intrin-

secamente pertinentes a mais de um componente ou aacuterea Ou seja verdadeiros contextos no sentido

de abordagens didaacutetico-pedagoacutegicas com potencial de favorecer aprendizagens significativas precisam

envolver necessariamente diversos conhecimentos de diferentes aacutereascomponentes para a compreensatildeo

mais abrangente de uma situaccedilatildeo-problema relevante Essas questotildees seratildeo retomadas em outros mo-

mentos nas Unidades 3 e 4

15


REFLEXAtildeO E ACcedilAtildeO

Caro Professor cara Professora

No texto dessa Unidade fizemos a afirmaccedilatildeo de que haacute um predomiacutenio nem sempre desejaacutevel do

pensamento loacutegico-dedutivo nas atividades propostas em Matemaacutetica Vocecirc Professor de Matemaacutetica

concorda com isso Ou o dominante eacute mesmo a mera prescriccedilatildeo de regras e procedimentos sem compro-

vaccedilatildeo

Vamos pensar sobre o assunto Nos exemplos que usamos no texto haacute a indicaccedilatildeo de atividades

que podem ser pensadas por vaacuterias aacutereas ou componentes curriculares Propomos que em grupo seja

analisado um conjunto de atividades realizadas com os estudantes no periacuteodo de uma semana O ideal eacute

que sejam analisadas as atividades de todos os componentes curriculares de uma determinada turma de

estudantes na tentativa de observar e identificar os tipos de pensamento matemaacutetico que possam estar

presentes nessas atividades Sugerimos o uso da seguinte tabela

Componente curricular Breve descriccedilatildeo da Atividade Tipos de pensamento matemaacutetico envolvidos

(acrescentem as linhas que forem necessaacuterias)

Com os dados completos dessa tabela eacute possiacutevel identificar os tipos de pensamento matemaacutetico

em todas as atividades Quais seratildeo os tipos de pensamento mais frequentes na sua aacutereacomponente A

partir das explicaccedilotildees e exemplos feitos no texto pode-se verificar o que foi afirmado em relaccedilatildeo a ser o

pensamento loacutegico-dedutivo o mais usado nas atividades de Matemaacutetica Como produzir maior equiliacutebrio

em relaccedilatildeo aos diversos tipos de pensamento matemaacutetico Como isso pode auxiliar em planejamentos

individuais e coletivos que apontem a escolha do que seraacute trabalhado com os jovens Eacute importante que o

produto dessa reflexatildeo possa ser utilizado em comparaccedilatildeo com as outras atividades que propomos adiante

Compartilhem essa tabela e suas reflexotildees em formato de artigo publicando-as no Portal EMdialo-

go disponiacutevel em httpwwwemdialogouffbr

16

Matemaacutetica

2 Os sujeitos estudantes do ensino meacutedio e os direitos agrave aprendizagem e ao desenvolvimento humano na aacuterea de matemaacutetica

Professores lembramos que no Caderno II da Etapa I desta For-

maccedilatildeo foi apresentada a ideia do jovem como sujeito do Ensino Meacutedio

Foram fornecidas ldquochaves analiacuteticas que possam facilitar o processo

de aproximaccedilatildeo e conhecimento dos estudantes que chegam agrave escola

como jovens sujeitos de experiecircncias saberes e desejosrdquo (BRASIL

2013a p 8) Foi apresentada ainda na seccedilatildeo 11 a noccedilatildeo de juventu-

de explicitando a ideia de que na verdade existem ldquojuventudes no

plural para enfatizar a diversidade de modos de ser jovem existenterdquo

(BRASIL 2013a p 16)

Observou-se tambeacutem que os diversos ldquoproblemas da juventude

na escolardquo referem-se mais a questotildees de relacionamento entre jovens

professores e instituiccedilotildees e que a busca de ldquoculpadosrdquo pelos conflitos

vivenciados na escola revela-se completamente infrutiacutefera De fato

a anaacutelise dessas relaccedilotildees mostra que o ldquoproblemardquo natildeo estaacute reduzido

somente aos jovens ou agrave escola e seus professores Eacute importante perce-

ber que a instituiccedilatildeo escolar faz parte de um espaccedilo social mais amplo

Assim todas as questotildees que a envolvem evidenciam dificuldades que

numa visatildeo macro satildeo encontradas de alguma forma nesse espaccedilo

Estando isso claro torna-se necessaacuterio estabelecer estrateacutegias

para que a escola busque espaccedilos de convivecircncia onde todos se sin-

tam instigados a participar da construccedilatildeo de conhecimentos Eacute funda-

mental superar a tendecircncia de procurar de quem eacute a ldquoculpardquo relativa

agravequela problemaacutetica e desenvolver um novo olhar para a instituiccedilatildeo

escolar e para as relaccedilotildees entre seus diferentes agentes natildeo esquecen-

do da inserccedilatildeo de todas as juventudes com seus saberes desejos e

direitos na escola

O jovem chega ao Ensino Meacutedio proveniente de diferentes ldquotri-

bosrdquo e pode eventualmente vir a se integrar em algum novo grupo

a partir da realidade vivida na escola Eacute importante que a instituiccedilatildeo

acolha os interesses juvenis Para tanto conveacutem que as escolas de En-

sino Meacutedio desenvolvam projetos educacionais de qualidade social

adequados agraves caracteriacutesticas das juventudes que a frequentam permi-

tindo que muitos dos desejos que trazem se transformem em projetos

que possam ser perseguidos e concretizados Professores no Parecer

Para conhecimento da completude sobre a ex-tensatildeo dos direitos legais a Emenda Constitucional nordm 59 de 11 de novembro de 2009 pode ser acessada pelo link

httpwwwplanaltogovbrccivil_03constitui-caoEmendasEmcemc59htm

17


das DCNEM (BRASIL 2011 p 9) indica-se a necessidade da ldquoreinvenccedilatildeordquo da escola Vamos refletir

sobre como a Matemaacutetica pode contribuir nesse processo Como instigar estudantes com a Matemaacutetica

escolar quando a sala de aula eacute vista como um local desinteressante caracterizado por poucas interaccedilotildees

ausecircncia de espontaneidade e de questionamentos

Professor professora sugerimos a leitura da reportagem publicada no Estadatildeo (disponiacutevel em

httpculturaestadaocombrnoticiasgeralensina-me-a-viver-imp-1504072) onde Faacutebio Porchat jovem ator e

comediante apresenta questionamentos quanto ao ensinar e o aprender a partir de sua experiecircncia como

estudante Vocecirc considera que seus estudantes tecircm a mesma percepccedilatildeo da escola

Esta unidade estaacute organizada em duas seccedilotildees Na primeira eacute discutida a centralidade do jovem no

processo educativo e mais especificamente seratildeo apresentadas algumas ideias de como o ensino de Mate-

maacutetica pode enfatizar tal centralidade Na segunda seccedilatildeo faz-se uma reflexatildeo sobre o papel da Matemaacutetica

no trabalho com projetos

21 Centralidade do estudante

Os jovens fazem parte de grupos sociais diferentes constituiacutedos a partir por exemplo de interes-

ses conveniecircncias afinidades ou proximidades regionais Natildeo podemos esquecer tambeacutem que muitos

ldquovivemrdquo num mundo virtual no qual estatildeo permanentemente conectados uns com os outros mesmo natildeo

estando proacuteximos fisicamente mas acessiacuteveis e presentes o tempo todo

Uma formaccedilatildeo matemaacutetica integral na Educaccedilatildeo Baacutesica demanda que os saberes dos estudantes

sejam valorizados nas suas proacuteprias formas de representaccedilatildeo e expressatildeo e contrastados com os conhe-

cimentos historicamente estabelecidos garantindo a integraccedilatildeo de suas vivecircncias e experimentaccedilotildees com

aquelas proacuteprias agrave ciecircncia Eacute fundamental situar a relaccedilatildeo dos estudantes com a Matemaacutetica na perspec-

tiva de um sujeito ativo e social que atua na produccedilatildeo e transformaccedilatildeo das realidades e da sua proacutepria

existecircncia Neste sentido torna-se essencial que contextos de seus efetivos interesses sejam considerados

na escola A fim de estabelecer um permanente diaacutelogo entre esses saberes e a praacutetica educativa particu-

larmente em Matemaacutetica eacute desejaacutevel buscar situaccedilotildees que possibilitem aos jovens perceber a presenccedila

de conhecimentos desta aacuterea em atividades diversas sendo elas artiacutesticas esportivas educacionais de

trabalho ou outras

Observem por exemplo o trecho da muacutesica Capiacutetulo 4 Versiacuteculo 3 dos Racionais MCrsquos que des-

tacamos a seguir

60 dos jovens de periferia sem antecedentes criminais

jaacute sofreram violecircncia policial

A cada 4 pessoas mortas pela poliacutecia 3 satildeo negras

Nas universidades brasileiras apenas 2 dos estudantes satildeo negros

A cada quatro horas um jovem negro morre violentamente em Satildeo Paulo

Vinte e sete anos contrariando a estatiacutestica

18

Matemaacutetica

Seu comercial de TV natildeo me engana

Eu natildeo preciso de status nem fama

Seu carro e sua grana jaacute natildeo me seduz

No contexto de gecircneros musicais da preferecircncia de certos grupos de jovens eacute possiacutevel encontrar

textos como esse que tecircm o potencial de favorecer um trabalho integrado com professores de vaacuterias aacutereas

natildeo eacute verdade

A seguir foram selecionados para uma discussatildeo mais aprofundada dois aspectos que tecircm se mos-

trado muito presentes em todas ldquoas juventudesrdquo ou ldquotribosrdquo que chegam ao Ensino Meacutedio atualmente a

perda da curiosidade inerente agrave infacircncia e a conexatildeo com o mundo virtual particularmente com as redes

sociais Tal escolha eacute devida ao fato de consideramos ser a Matemaacutetica uma aacuterea especialmente propiacutecia

para favorecer tanto a ldquorecuperaccedilatildeo da curiosidade perdidardquo como para acolher e contrastar a ldquofebre de

conexatildeo com o mundo virtualrdquo dominante entre os jovens com os conhecimentos matemaacuteticos escolares

O tema das juventudes eacute amplo e certamente natildeo se esgota nesses dois aspectos

Desde crianccedila o estudante normalmente possui um vasto repertoacuterio de perguntas que vatildeo desde o

ldquopor querdquo ldquocomordquo ldquoo quecircrdquo ateacute algumas mais elaboradas do tipo ldquoe se fosse assimrdquo Ao chegar

agrave escola seu caraacuteter inquiridor curioso estaacute sempre presente Haacute tantas coisas para descobrir interesses

variados estiacutemulos interessanteshellip

Entretanto conforme os anos escolares vatildeo passando em geral a curiosidade vai tristemente dimi-

nuindo natildeo eacute mesmo Seraacute porque ela foi vetada por procedimentos autoritaacuterios ou paternalistas Paulo

Freire jaacute refletiu sobre isto

Se haacute uma praacutetica exemplar como negaccedilatildeo da experiecircncia formadora eacute a que difi-culta ou inibe a curiosidade do educando e em consequecircncia a do educador Eacute que o educador que entregue a procedimentos autoritaacuterios ou paternalistas que impedem ou dificultam o exerciacutecio da curiosidade do educando termina por igualmente tolher sua proacutepria curiosidade Nenhuma curiosidade se sustenta eticamente no exerciacutecio da nega-ccedilatildeo da outra curiosidade

[] Como professor devo saber que sem a curiosidade que me move que me in-quieta que me insere na busca natildeo aprendo nem ensino (FREIRE 1996 p 94)

Ao chegar no Ensino Meacutedio de um modo geral as questotildees de diversos jovens frequentemente natildeo

envolvem problemaacuteticas muito elaboradas as perguntas satildeo cada vez mais particulares localizadas com

interesses imediatos

Nos dias de hoje dada a facilidade de acesso agrave informaccedilatildeo muitos jovens se porventura tiverem

algum questionamento ou pergunta acreditam que a Internet possa responder e na sua visatildeo de forma

raacutepida e eficiente Na verdade sites de busca podem fornecer respostas satisfatoacuterias mas na maioria das

vezes eacute necessaacuterio um niacutevel de criacutetica e questionamento adequados natildeo sendo possiacutevel aceitar a priori

todas as opccedilotildees que aparecem como resposta Evidentemente dependendo da pergunta colocada seraacute ne-

19


cessaacuteria aleacutem de uma seleccedilatildeo criteriosa uma leitura cuidadosa e apro-

fundada do material escolhido para poder concluir sobre o assunto

pesquisado Em todo caso o discernimento e a criacutetica satildeo caracteriacutesti-

cas importantes a serem desenvolvidas no estudante do Ensino Meacutedio

Eacute essencial paulatinamente conduzir o jovem para uma revisatildeo de

seus saberes ou crenccedilas e para em particular uma desmistificaccedilatildeo do

poder absoluto da Internet

Especificamente em atividades matemaacuteticas eacute fundamental a

criacutetica relativa aos resultados obtidos na maacutequina como no caso das

aproximaccedilotildees de nuacutemeros com infinitas casas decimais O que eacute uma

limitaccedilatildeo ldquonaturalrdquo da maacutequina pode possibilitar uma discussatildeo frutiacute-

fera com os estudantes que envolve um ldquopreconceitordquo relativo agrave tatildeo di-

fundida exatidatildeo na Matemaacutetica De fato numa maacutequina seja ela uma

calculadora relativamente simples ou o mais sofisticado computador

natildeo haacute espaccedilo para o ldquoinfinitordquo No visor ou na tela sempre apareceraacute

uma quantidade finita de diacutegitos o que no caso de um nuacutemero com

infinitas casas decimais constitui uma aproximaccedilatildeo Outro exemplo

interessante pode ser observado numa curva desenhada utilizando um

software graacutefico onde eacute possiacutevel perceber que na realidade tal curva

eacute constituiacuteda por uma coleccedilatildeo de segmentos de reta Novamente tal

situaccedilatildeo merece uma reflexatildeo interessante com os estudantes

Professores consideramos importante ter claro que a utilizaccedilatildeo

de qualquer tipo de tecnologia digital natildeo tem por objetivo a simples

Caro professor cara professora o texto e o viacutedeo de Michel Serres apresentam interessantes e provocativas ideias para sua reflexatildeo sobre a im-portacircncia da inserccedilatildeo das tecnologias digitais na es-cola

h t t p m a e l s -t r o m l i f e w o r d p r e s s com20110410michel-ser-res-E28093-tics-revo-lucoes-culturais-e-cogniti-vas

Figura 2 Jovem e Celular


20

Matemaacutetica

reduccedilatildeo do tempo empregado em determinada atividade que poderia ser realizada manualmente Isso pode

ateacute ocorrer mas natildeo eacute o principal objetivo O essencial eacute abrir o leque de possibilidades para o fazer e o

pensar matemaacutetico buscando reconhecer e valorizar os conhecimentos e diferentes formas de expressatildeo

dos estudantes a fim de estabelecer um permanente diaacutelogo com a praacutetica educativa

Nos dias de hoje as transformaccedilotildees culturais mais decisivas provecircm de mutaccedilotildees tecnoloacutegicas Assim sendo as relaccedilotildees entre cultura e comunicaccedilatildeo se modificam e se acentuam para a atual geraccedilatildeo juvenil Com efeito as tecnologias da informaccedilatildeo e da comunicaccedilatildeo (TICs) transformam-se em verdadeiras marcas de identidade dos jovens assim como satildeo instrumentos de demarcaccedilatildeo de fronteiras sociais (BRASIL 2014 p 79 grifos nossos)

Como sugere Moran a educaccedilatildeo escolar precisa compreender e incorporar mais as novas lingua-

gens desvendar os seus coacutedigos dominar as possibilidades de expressatildeo e as possiacuteveis manipulaccedilotildees Eacute

importante educar para usos democraacuteticos mais progressistas e participativos das tecnologias que facili-

tem os processos de construccedilatildeo do conhecimento (MORAN 1999 p 5-6) E ainda se por um lado as TIC

favorecem a comunicaccedilatildeo e a identificaccedilatildeo entre os jovens propiciando novos processos de socializaccedilatildeo

por outro podem tambeacutem ldquoproduzir novas e mais severas formas de exclusatildeo social aprofundando as

desigualdades sociaisrdquo (BRASIL 2014 p 80)

De qualquer forma eacute preciso ter claro que urge a educaccedilatildeo para as miacutedias a fim de compreendecirc-las

em seus alcances criticaacute-las e utilizaacute-las da forma mais abrangente Cabe agrave escola ser um lugar importante

no qual o jovem possa desenvolver sua capacidade de utilizaccedilatildeo dessas miacutedias para inclusive exercer

plenamente sua cidadania

Outro fato a ser considerado eacute que em geral os jovens sabem mais e melhor utilizar as ferramentas

informaacuteticas do que os adultos A possibilidade que se abre dessa maneira eacute a de os estudantes poderem

vir a compartilhar conhecimentos com o professor Em geral tal situaccedilatildeo pode ser muito prazerosa porque

os estudantes se sentem valorizados por possibilitarem aos seus professores a aprendizagem os papeacuteis se

invertem na sala de aula

Frota e Borges (2004 p 2) esclarecem que superar as barreiras para o uso efetivo de tecnologias di-

gitais na sala de aula depende de dois movimentos do professor enquanto sujeito no sentido de se formar

para uma incorporaccedilatildeo tecnoloacutegica e do sistema educacional como um todo enquanto responsaacutevel pela

implantaccedilatildeo de condiccedilotildees para essa formaccedilatildeo e demais aspectos relativos agrave tal inserccedilatildeo

22 A Matemaacutetica na formaccedilatildeo dos jovens do Ensino Meacutedio

Uma das principais finalidades da Matemaacutetica eacute a de desenvolver as capacidades de formular e

resolver problemas de comunicar de analisar criticamente uma situaccedilatildeo considerando suas diferentes

possibilidades ou restriccedilotildees O ensino de Matemaacutetica com tal foco favorece a formaccedilatildeo de cidadatildeos aptos

a realizar intervenccedilotildees na realidade a partir da compreensatildeo de problemas e situaccedilotildees da sociedade atual

Os tipos de raciociacutenios ou intuiccedilotildees ndash pensamento indutivo raciociacutenio loacutegico-dedutivo visatildeo geo-

meacutetrico-espacial pensamento natildeo-determiniacutestico ndash satildeo peculiares ao fazer matemaacutetico como discutido na

21


Unidade 1 expressos por meio de linguagens que lhe satildeo proacuteprias Cabe agrave Matemaacutetica escolar propiciar

aos estudantes o desenvolvimento de tais modos de pensar e a apropriaccedilatildeo significativa das formas de

representar objetos matemaacuteticos Para tanto seraacute importante promover accedilotildees didaacutetico-pedagoacutegicas que

levem os jovens a realizar atividades tais como explorarexperimentar fazer conjecturas procurar ge-

neralizaccedilotildees ou o que haacute de invariante numa situaccedilatildeo entre outras e tambeacutem a fazer os registros de suas

observaccedilotildees e hipoacuteteses usando diferentes tipos de representaccedilotildees

Eacute importante fazer com que o estudante compreenda que em Matemaacutetica natildeo basta uma hipoacutetese

ou conjectura ser verificada em um ou alguns casos para concluir-se que a afirmaccedilatildeo seja verdadeira

sempre Eacute imprescindiacutevel encontrar propriedades e argumentos matemaacuteticos para validaacute-la ou fornecer

um contraexemplo para rejeitaacute-la assim como poder comunicar suas conclusotildees em linguagem apro-

priada Tais procedimentos levam ao desenvolvimento de aspectos essenciais da competecircncia matemaacuteti-

ca e de repertoacuterio de linguagens especiacuteficas que permitem a comunicaccedilatildeo adequada das ideias na aacuterea Eacute

nessa perspectiva que o ensino pode contribuir para desenvolver uma atitude positiva face agrave Matemaacutetica

e de modo mais amplo face agrave ciecircncia De fato levar os estudantes a desenvolver a atitudecuriosidade

de formular conjecturas e procurar validaacute-las desenvolve o espiacuterito criacutetico a capacidade de argumenta-

ccedilatildeo e a criatividade

Entretanto tradicionalmente a Matemaacutetica escolar privilegia caacutelculos e memorizaccedilatildeo e o ensino

eacute focado em teacutecnicas operatoacuterias e prescriccedilatildeo de procedimentos sem justificativas tambeacutem as avalia-

ccedilotildees costumam restringir-se a repeticcedilotildees das mesmas teacutecnicas ou procedimentos Assim os estudantes

incorporam a ideia de que Matemaacutetica eacute tatildeo somente executar accedilotildees do tipo ldquocalcularrdquo ldquoefetuarrdquo

ldquosimplificarrdquo ldquodeterminarrdquo etc E mais a ecircnfase no seu caraacuteter teacutecnico e formal a falta de conexatildeo en-

tre os diferentes campos e suas aplicaccedilotildees limitam a percepccedilatildeo dos jovens que acabam considerando a

Matemaacutetica como um mero conjunto de regras foacutermulas e procedimentos

Pensando novamente naquela crianccedila curiosa que chega no iniacutecio da escolaridade querendo sa-

ber ldquo e se fosserdquo podemos observar sua busca por situaccedilotildees novas talvez mais gerais querendo

eventualmente descobrir padrotildees regularidades que mantidas as devidas proporccedilotildees se aproxima da

atitude de uma pessoa que quer estudar ou produzir Matemaacutetica Eacute importante que esse tipo de atitude

seja estimulado nos jovens que muitas vezes perderam a curiosidade Cabe ao professor nos espaccedilos de

aprendizagem de Matemaacutetica em todos os niacuteveis escolares particularmente no Ensino Meacutedio resgatar

essa salutar caracteriacutestica do ser humano

Precisamos ter presente que segundo Machado (2000) mais do que ministrar conteuacutedos cabe ao

professor a tarefa de estimular a elaboraccedilatildeo de projetos Uma vez que um projeto nasce de uma pergunta

eacute importante entatildeo fazer renascer nos estudantes a capacidade de formular perguntas

Para o autor o conhecimento exige ldquoa capacidade de estabelecer conexotildees entre elementos infor-

macionais aparentemente desconexos processar informaccedilotildees analisaacute-las relacionaacute-las () organizaacute

-las em sistemasrdquo(MACHADO 1995 p 67-68) E continuando adverte sobre a necessidade de

22

Matemaacutetica

[] administrar conhecimentos disponiacuteveis construir novos conhecimentos administrar da-dos ou informaccedilotildees disponiacuteveis organizar-se para produzir novos dados e informaccedilotildees sem-pre em razatildeo de uma accedilatildeo intencional tendo em vista atingir objetivos previamente traccedila-dos ou seja visando agrave realizaccedilatildeo de um projeto (MACHADO 1995 p 68)

Acima do conhecimento existe o niacutevel da inteligecircncia que se-

gundo o autor pode ser associada agrave capacidade de ter projetos Mais

ainda eacute importante ter claro que o homem natildeo vive sem projetos sem

desejos sonhos bem como natildeo eacute possiacutevel ter projetos pelos outros

A inteligecircncia humana se revela na capacidade do homem esta-

belecer seus objetivos e em sua busca para concretizaacute-los ou seja em

sua capacidade de elaborar e executar um projeto

Assim um dos grandes objetivos da escola eacute o de fazer com que

seus estudantes tanto considerados individualmente como em grupos

tenham interesses questionamentos queiram encontrar respostas para

suas perguntas ou em poucas palavras venham a ter projetos Nesse

sentido eacute muito importante favorecer a formulaccedilatildeo de perguntas por

parte dos estudantes

Observe professor e professora que soacute eacute possiacutevel pensar em

uma pergunta sobre um tema se existe algum conhecimento a seu res-

peito Assim em lugar de apenas propor exerciacutecios para verificar se

os estudantes conhecem as teacutecnicas para resolvecirc-los seraacute interessante

solicitar tambeacutem que eles proacuteprios proponham questotildees para em se-

guida discuti-las e validarem ou natildeo suas respostas Se o estudante

natildeo aprendeu natildeo conseguiraacute propor uma questatildeo ou problema in-

teressante original e criativo E depois nem mesmo saberaacute resolver

com compreensatildeo de maneira a avaliar criticamente os resultados

inclusive porque acredita que resolver significa simplesmente dar uma

resposta reproduzindo uma teacutecnica jaacute apresentada em sala de aula

Talvez seja importante insistir uma vez que se espera que o es-

tudante aprenda a ter projetos e ainda antes seja capaz de se colocar

perguntas suas pessoais torna-se necessaacuterio estimulaacute-lo o tempo todo

para isto Seraacute tambeacutem possiacutevel estabelecer entre os estudantes a per-

muta de questotildees criadas por eles proacuteprios Evidentemente tal traba-

lho forneceraacute muitas informaccedilotildees A questatildeo proposta pelo estudante

eacute pertinente A questatildeo proposta eacute original Eacute criativa Estas e outras

questotildees que o professor considerar relevantes viratildeo a constituir um

Os projetos que destacamos nesta unidade satildeo os referentes agrave pes-quisa como princiacutepio pe-dagoacutegico Esses projetos podem tambeacutem ser trata-dos como componentes curriculares diferentes dos obrigatoacuterios Vale sa-lientar que estes natildeo estatildeo desvinculados dos proje-tos de vida dos estudantes como vimos na Unidade 3 do Caderno II da Etapa I

23


repertoacuterio interessante para que conheccedila melhor cada um de seus es-

tudantes podendo ser parte de uma avaliaccedilatildeo diagnoacutestica qualitativa

de sua classe

Para concluir conveacutem salientar trecircs pontos a) o estudante que

natildeo conseguiu formular uma questatildeo de maneira adequada natildeo poderaacute

ser menosprezado mas estimulado a tentar fazer uma nova pergunta

melhor elaborada b) atividades investigativas costumam favorecer o

engajamento dos jovens e naturalmente provocam questionamentos

c) finalmente natildeo esqueccedilamos que ao ser desafiado o jovem procura

dar uma resposta agrave altura do esperado

Cabe ainda uma reflexatildeo sobre o importante papel da avalia-

ccedilatildeo do processo educativo particularmente em atividades com proje-

tos Eacute necessaacuterio possibilitar que cada um dos estudantes compreenda

suas aprendizagens e desenvolvimentos nesses processos e que estes

possam ser identificados pelos professores assim como analisar os

sucessos e dificuldades de percurso para novos planejamentos

Eacute importante que a avaliaccedilatildeo de um projeto seja cuidadosamen-

te prevista e imaginada em cada etapa da execuccedilatildeo ou seja uma ava-

liaccedilatildeo contiacutenua Mas afinal o que deve ser avaliado

Evidentemente eacute necessaacuterio avaliar a consecuccedilatildeo dos objeti-

vos mas isso natildeo basta Todas as accedilotildees empreendidas precisam ser

avaliadas isto eacute importa examinar o percurso e natildeo apenas os resulta-

dos obtidos Na execuccedilatildeo de qualquer projeto podem ocorrer mudan-

ccedilas de rota justamente em funccedilatildeo dessa avaliaccedilatildeo processual

Uma avaliaccedilatildeo adequada necessita considerar todas as accedilotildees

observar como e porque foram realizadas e tambeacutem a participaccedilatildeo de

todos e cada um dos agentes envolvidos isto eacute que desempenharam

algum papel para o desenvolvimento do projeto

Na dependecircncia do projeto instrumentos de avaliaccedilatildeo poderatildeo

ser variados e diferentes como observaccedilotildees diaacuterio de bordo regis-

tros de accedilotildees e resultados discussatildeo entre os personagens (autoavalia-

ccedilatildeo) discussatildeo em grupos diagnoacutestico final sobre as transformaccedilotildees

obtidas comparativamente com um diagnoacutestico inicial

Como afirmam Ponte Brocado e Oliveira (2003) investigar eacute procu-rar conhecer o que natildeo se sabe Em portuguecircs com um significado muito proacute-ximo senatildeo equivalente temos os termos pesqui-sar inquirir examinar

Para esses pesqui-sadores em Educaccedilatildeo Matemaacutetica as atividades investigativas satildeo de natu-reza exploratoacuteria e aberta Numa investigaccedilatildeo ma-temaacutetica parte-se de uma questatildeo geral ou de um conjunto de informaccedilotildees a partir das quais se procu-ra formular pergunta(s) e produzir diversas conjec-turas Depois testam-se essas conjecturas ndash algu-mas podem ser descarta-das ou abandonadas por meio de contraexemplos e outras por se revela-rem corretas podem ser aprofundadas Eacute interes-sante observar que nesse processo novas questotildees ou conjecturas surgem ou satildeo formuladas e aquelas iniciais satildeo eventualmen-te modificadas ou aban-donadas As conjecturas que subsistem estimulam a busca da necessaacuteria va-lidaccedilatildeo matemaacutetica Desta forma a atividade adqui-re certo grau de imprevi-sibilidade e demanda do professor flexibilidade para lidar com as novas situaccedilotildees que podem sur-gir ao longo do processo Para conhecer mais sobre a perspectiva desses auto-res sugerimos a leitura do artigo

PONTE J P In-vestigaccedilatildeo sobre investi-gaccedilotildees matemaacuteticas em Portugal Investigar em Educaccedilatildeo 2 p 3-10 Dis-poniacutevel em

h t t p w w w e d u c fculptdocentesjpontedocs-pt03-Ponte(Rev-SPCE)pdf

Acesso em 2472014

24

Matemaacutetica



Nessa seccedilatildeo discutimos sobre as juventudes no Ensino Meacutedio

e do reconhecimento que em geral a curiosidade e a criatividade satildeo

pouco exploradas no cotidiano da escola para esses grupos Vamos

entatildeo fazer um exerciacutecio em torno da construccedilatildeo de um projeto que

possa sustentar um trabalho coletivo dos estudantes e uma interaccedilatildeo

entre os diversos componentes curriculares Isso pode ser realizado

entre vocecircs professores e depois transposto para um planejamento

nas atividades da escola junto com os jovens

Formulem uma ou mais perguntas em uma aacuterea de interesse

do grupo Percebam que eacute necessaacuteria uma negociaccedilatildeo para a escolha

dessas questotildees Como foi a de vocecircs A partir das escolhas feitas

elaborem um projeto Para tanto propomos discutir as justificativas

(por que o projeto eacute importante) e os objetivos ou finalidades (o que

se pretende alcanccedilar com o projeto) Outra discussatildeo fundamental

tem a ver com a metodologia ou planejamento de atividades (como o

projeto seraacute desenvolvido) Por fim quais instrumentos podem ser

utilizados para a compreensatildeo sobre o quanto os objetivos foram atin-

gidos e sobre a adequaccedilatildeo do planejamento (Avaliaccedilatildeo processual e

das aprendizagens)

Cada aacuterea de conhecimento ou componente curricular consegue

se inserir nesse trabalho Como identificar conhecimentos da aacuterea a

partir das escolhas feitas por vocecircs Como planejar atividades como

essa no seu contexto Eacute preciso modificar a divisatildeo dos tempos e re-

pensar os espaccedilos da escola

Se ficaram interessados sugerimos como leitura suplementar a

seguinte obra Trajetoacuterias Criativas - Caderno 7 - Iniciaccedilatildeo Cientiacutefica

disponiacutevel em

h t t p s o n e d r i v e l i v e c o m r e d i r r e s i d = 8 8 C 4 A D 5 8 D -065805D2117ampauthkey=ALW605lvSjWCL40ampithint=folder2c

Aqui sugerimos uma leitura complementar que pode ser interessante O texto eacute do Prof Paulo Abrantes e trata de avalia-ccedilatildeo no contexto da Educa-ccedilatildeo Matemaacutetica Mesmo para quem natildeo eacute professor de matemaacutetica muitas das reflexotildees propostas ali po-dem ser aproveitadas para todas as aacutereas

ABRANTES P Avaliaccedilatildeo e Educaccedilatildeo Matemaacutetica Seacuterie Refle-xotildees em Educaccedilatildeo Mate-maacutetica MEMUSU - GE-PEM (1995)

25


3 Trabalho cultura ciecircncia e tecnologia na aacuterea de matemaacutetica

No Caderno IV da Etapa I da Formaccedilatildeo de Professores do Ensino Meacutedio foi feita uma discussatildeo

aprofundada sobre o papel de eixo integrador entre os conhecimentos de distintas naturezas que as atu-

ais DCNEM atribuem agraves dimensotildees do trabalho cultura ciecircncia e tecnologia nessa fase escolar Laacute satildeo

explicitados os significados em que cada uma dessas dimensotildees eacute entendida nas Diretrizes e tambeacutem

destacada a importacircncia de que o ensino escolar aborde os conteuacutedos como ldquoconhecimentos construiacutedos historicamente que se constituem como condiccedilatildeo necessaacuteria para que os educandos possam construir

novos conhecimentos e compreender o processo histoacuterico e social pelo qual os homens produziram e pro-

duzem sua existecircncia com conquistas e problemasrdquo (LUKAacuteCS apud BRASIL 2013c p 25 grifo nosso)

Nesta Unidade iremos apresentar algumas reflexotildees sobre como a Matemaacutetica articula-se espe-

cialmente com as quatro dimensotildees integradoras mas tambeacutem com as demais aacutereas do conhecimento no

Ensino Meacutedio Professor professora sugerimos fortemente que releia as paacuteginas de 20 a 36 do Caderno

IV citado Aqui destacamos alguns trechos dos Caderno III e IV da primeira fase da formaccedilatildeo apenas para

relembrar os significados que as DCNEM fixaram para essas dimensotildees mais amplamente discutidas nas

paacuteginas acima mencionadas

Entendemos como trabalho o modo pelo qual o ser humano produz para si o mun-do os objetos e as condiccedilotildees de que precisa para existir []

Nessa perspectiva se identificamos o trabalho com essa accedilatildeo transformadora cons-ciente do ser humano chamaremos de cultura o conjunto dos resultados dessa accedilatildeo sobre o mundo [] A cultura eacute o proacuteprio ambiente do ser humano socialmente formada com valores crenccedilas objetos conhecimentos etc (BRASIL 2013c p21-22 grifos dos autores)

A esta concepccedilatildeo de trabalho estaacute associada a concepccedilatildeo de ciecircncia e tecnolo-

gia conhecimentos produzidos sistematizados e legitimados socialmente ao longo da histoacuteria como resultado de um processo empreendido pela humanidade na busca da compreensatildeo e da transformaccedilatildeo dos fenocircmenos naturais e sociais (BRASIL 2013b p 23 grifos dos autores)

Aleacutem disso as DCNEM preveem no seu artigo 5o aliacutenea VIII que a Organizaccedilatildeo do Ensino Meacutedio

baseia-se na ldquointegraccedilatildeo entre educaccedilatildeo e as dimensotildees do trabalho da ciecircncia da tecnologia e da cultura

como base da proposta e do desenvolvimento curricularrdquo (DCNEM 2012 grifo nosso) No artigo

seguinte lecirc-se

Art 6ordm O curriacuteculo eacute conceituado como a proposta de accedilatildeo educativa constituiacuteda pela seleccedilatildeo de conhecimentos construiacutedos pela sociedade expressando-se por praacuteti-cas escolares que se desdobram em torno de conhecimentos relevantes e pertinen-tes permeadas pelas relaccedilotildees sociais articulando vivecircncias e saberes dos estudantes e contribuindo para o desenvolvimento de suas identidades e condiccedilotildees cognitivas e socioafetivas (BRASIL 2012 grifo nosso)

26

Matemaacutetica

Em que o nosso grifo tem por objetivo explicitar uma das ideias que norteou a organizaccedilatildeo dessa

Unidade 3 A outra ideia partiu do destaque da citaccedilatildeo anterior de Lukaacutecs

Ao longo do tempo o homem desenvolveu por sobrevivecircncia meios para suprir necessidades re-

alizando em geral avanccedilos em benefiacutecio da humanidade Por outro lado intervenccedilotildees na natureza foram

feitas tambeacutem no sentido de dominaacute-la para satisfazer necessidades momentacircneas de grupos especiacuteficos

a serviccedilo de interesses econocircmicos ou outros de grupos com maior capacidade de influenciar o poder Ateacute

hoje observamos accedilotildees equivocadas nessa mesma direccedilatildeo apesar da maior informaccedilatildeo sobre a necessida-

de de desenvolvimento sustentaacutevel do ser humano no planeta Reflexotildees sobre esses assuntos favoreceratildeo

uma formaccedilatildeo de cidadatildeos conscientes e capazes de analisar as contradiccedilotildees os avanccedilos e os retrocessos

que homem fez para constituir a sociedade contemporacircnea

O que segue pretende explicitar a partir da aacuterea de Matemaacutetica e em situaccedilotildees mais concretas as

questotildees discutidas de forma geral anteriormente e no Caderno IV antes mencionado Inicialmente faze-

mos uma breve discussatildeo sobre a Matemaacutetica na histoacuteria salientando como a produccedilatildeo desses conheci-

mentos teve ligaccedilotildees estreitas com trabalho cultura ciecircncia e tecnologia A seguir discutiremos exemplos

de conhecimentos e conceitos matemaacuteticos proacuteprios do Ensino Meacutedio que consideramos relevantes e

pertinentes se quisermos pensar um desenvolvimento curricular que efetivamente seja embasado nas di-

mensotildees do trabalho cultura ciecircncia e tecnologia

31 Breves consideraccedilotildees histoacutericas

As origens dos conceitos matemaacuteticos satildeo tatildeo antigas quanto a proacutepria cultura As motivaccedilotildees para

a construccedilatildeo desses conceitos foram problemas ligados por exemplo ao comeacutercio agrave agricultura agraves cons-

truccedilotildees de grande porte ou agraves observaccedilotildees e registros sobre corpos celestes com a finalidade de produzir

objetos ou condiccedilotildees necessaacuterias para a existecircncia humana (trabalho) o que acarretou o desenvolvimento

de ciecircncia e tecnologia constituindo portanto a cultura das respectivas eacutepocas e sociedades Em particular

a resoluccedilatildeo de tais problemas de ordem praacutetica ou de questotildees culturais mais amplas acabou por gerar

conhecimentos e dentre eles conhecimentos matemaacuteticos

Assim por exemplo o desenvolvimento de calendaacuterios foi uma questatildeo central na China antiga e

os babilocircnios elaboraram sistemas de caacutelculo de aacutereas e meacutetodos para a resoluccedilatildeo de problemas comer-

ciais como estimativas de tempos caacutelculos para a fixaccedilatildeo de preccedilos e empreacutestimos dentre outros Por

sua vez os egiacutepcios usaram conhecimentos matemaacuteticos para a construccedilatildeo de suas piracircmides e na Greacutecia

antiga Arquimedes (287 aC ndash 212 aC) utilizou conhecimentos para construir diversos tipos de artefatos

Gerada a partir de necessidades sociais ligadas entre outras agrave economia agrave poliacutetica ou ateacute a questotildees

beacutelicas a Matemaacutetica foi uma produccedilatildeo humana e portanto uma manifestaccedilatildeo cultural sendo enquanto

produccedilatildeo humana tanto determinante quanto determinada pelo trabalho pela ciecircncia e pela tecnologia

Satildeo exemplos disso na Antiguidade os reloacutegios solares e as construccedilotildees arquitetocircnicas de grande porte

ou catapultas de longo alcance Aleacutem disso desde as inscriccedilotildees deixadas em cavernas podem-se constatar

atividades tipicamente humanas de registrar figurativamente animais ou cenas de caccedila Enfim registros

imageacuteticos de legados culturais de suas eacutepocas

27


Ao longo do tempo os registros foram se transformando em

acervos de esquemas de representaccedilatildeo talvez primoacuterdios das repre-

sentaccedilotildees hoje proacuteprias agrave Geometria Embora a origem desse campo

matemaacutetico possa ser encontrada no antigo Egito onde surgiu a neces-

sidade de se efetuar mediccedilotildees da terra devido agraves inundaccedilotildees perioacutedicas

do rio Nilo satildeo da Greacutecia antiga os primeiros registros encontrados

de ideias desenvolvidas de maneira axiomaacutetica ou seja explicitando

raciociacutenio loacutegico-dedutivo

Assim no seacuteculo VI aC a escola pitagoacuterica unia Matemaacuteti-

ca Filosofia e misticismo deixando registros de importantes relaccedilotildees

entre nuacutemeros e figuras geomeacutetricas O legado de Os Elementos de

Euclides de Alexandria (seacuteculo III a C) imprime a marca ateacute hoje ca-

racteriacutestica da Matemaacutetica como ciecircncia hipoteacutetico-dedutiva Primeiro

tratado sistemaacutetico encontrado sobre o conjunto dos conhecimentos

matemaacuteticos desenvolvidos da Greacutecia antiga a obra conteacutem a teoria

axiomaacutetica sobre a Geometria Euclideana plana e espacial e a impor-

tante contribuiccedilatildeo da teoria das proporccedilotildees de Eudoxo de Cnido (390

aC - 338 a C)

Ao longo da histoacuteria algumas pessoas despontaram como dota-

das de uma formaccedilatildeo integrada como atestam as obras que deixaram

No Renascimento Leonardo da Vinci (1452 ndash 1519) merece destaque

por ter sido - como se diria nos dias de hoje - matemaacutetico engenheiro

inventor anatomista pintor escultor arquiteto e botacircnico Eacute bastante

conhecido o uso que fez de geometria e de proporccedilotildees tanto em seus

quadros e esculturas como nas construccedilotildees que projetou Os esboccedilos

encontrados de suas obras mostram com clareza a integraccedilatildeo da ciecircn-

cia com a arte da matemaacutetica com a biologia e outras integraccedilotildees tan-

tas que se consigam elencar como atesta o famoso esboccedilo do Homem

Vitruviano a seguir reproduzido

Professor professora que tal aproveitar um pouco de sua curio-

sidade a partir dessa imagem Procure listar a partir dela noccedilotildees es-

peciacuteficas do seu componente curricular que eacute capaz de identificar A

ideia eacute que no espaccedilo coletivo de discussatildeo ao final da Unidade todos

os professores possam refletir em conjunto sobre a complexidade de

leituras possiacuteveis para esse esboccedilo de Leonardo da Vinci

Um dos autores de uma importante ediccedilatildeo de Os Elementos foi Teon de Alexandria pai da pri-meira mulher considerada matemaacutetica Hipaacutetia (370 ndash 415) uma das mulheres mais relevantes do iniacutecio da era cristatilde Seus estudos incluiacuteram tambeacutem fiacutesi-ca astronomia e filosofia sendo a uacuteltima diretora da Biblioteca de Alexandria

Professores su-gerimos assistir ao filme espanhol ldquoAlexandriardquo di-rigido por Alejandro Ame-naacutebar de 2009 que relata a histoacuteria de Hipaacutetia Ele abre portas para reflexotildees sobre o contexto histoacuterico a valorizaccedilatildeo da ciecircncia o papel da mulher questotildees que podem ser discutidas em sala de aula

Sobre as contribui-ccedilotildees de Eudoxo vale a pena ler o artigo do educa-dor matemaacutetico Vicenzo Bongiovanni em

httpgooglL1uqaV

28

Matemaacutetica

32 Conhecimentos matemaacuteticos pertinentes a um curriacuteculo de Ensino Meacutedio elaborado com base nas dimensotildees do trabalho cultura ciecircncia e tecnologia

Retomemos consideraccedilotildees feitas no Caderno II da Etapa I

O que muda na organizaccedilatildeo curricular de uma escola a qual se fundamenta na possibili-dade integradora da articulaccedilatildeo entre trabalho cultura ciecircncia e tecnologia [] Essa mudan-ccedila exige que cada comunidade escolar reflita discuta e estabeleccedila novos consensos miacutenimos acerca das concepccedilotildees de educaccedilatildeo de ciecircncia de tecnologia de trabalho de cultura de ser hu-mano

Enfim o redesenho curricular tendo como eixo estruturante as dimensotildees do trabalho da ciecircncia da tecnologia e da cultura exige a atuali-zaccedilatildeo do Projeto Poliacutetico-Pedagoacutegico das unida-des escolares (BRASIL 2013b p 38)

Nessa perspectiva natildeo esqueccedilamos que a funccedilatildeo primordial de

um curriacuteculo natildeo eacute a de conduzir as atividades de ensino mas sim a

de propor os caminhos que melhor possibilitem o aprendizado dos

estudantes na direccedilatildeo da formaccedilatildeo integral pretendida Curriacuteculo eacute

percurso escolar Deve refletir os caminhos mais adequados a serem

FONTE Wikipeacutedia (2014)

Disponiacutevel em

httpptwikipediaorgwikiFicheiro-Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatourjpg

Marcus Vitruvius foi um arquiteto romano em I aC autor do famoso tratado sobre arquitetura intitulado De Arquitetu-ra de dez volumes No livro III o autor indica o que considera como as proporccedilotildees de um corpo humano Assim surgiu a ideia de Homem Vitru-viano Posteriormente no Renascimento Leonar-do da Vinci para ilustrar suas notas a respeito desta obra realiza o famoso de-senho apresentado aqui O artista nessa obra especi-fica mais precisamente as proporccedilotildees que conside-rou serem as ideais dos pontos de vista tanto ana-tocircmicos como artiacutesticos Mais informaccedilotildees no link

http wwwuffbrcdmerzarza-htmlrza-vitru-vian-brhtml

29


trilhados para que os estudantes com suas caracteriacutesticas pessoais so-

ciais econocircmicas e culturais proacuteprias possam caminhar efetivamente

na direccedilatildeo dos direitos agrave aprendizagem e ao desenvolvimento humano

previstos nos textos legais Seraacute assim necessaacuterio na construccedilatildeo de

uma proposta curricular fazer escolhas condizentes com os objetivos

pretendidos e coerentes com as convicccedilotildees e cultura proacuteprias de cada

equipe em sua escola Natildeo seraacute necessaacuterio superar a tradiccedilatildeo ldquoen-

ciclopedistardquo do Ensino Meacutedio com 13 disciplinas todas buscando

ldquocumprir um extenso programardquo refeacutem apenas do objetivo ldquopreparar

para o vestibularrdquo Se o foco eacute a formaccedilatildeo integral natildeo seraacute necessaacute-

rio reorganizar repensar os componentes curriculares possibilitando

espaccedilos que promovam uma efetiva articulaccedilatildeo entre aacutereas Nesse

caso tambeacutem a avaliaccedilatildeo mereceraacute ser compartilhada para natildeo cor-

rer o risco de provocar uma fragmentaccedilatildeo ainda maior com mais do

que 13 componentes envolvendo instrumentos e ldquonotas ou pareceres

descritivosrdquo separados Pensar em integraccedilatildeo requer a produccedilatildeo de

instrumentos de avaliaccedilatildeo tambeacutem integrados que permitam um olhar

global sobre as aprendizagens dos estudantes

A seguir apresentamos algumas consideraccedilotildees que envolvem

conhecimentos matemaacuteticos fundamentais nas quais a Matemaacutetica e

as demais aacutereas do conhecimento ou seus componentes possam intrin-

secamente ser articulados por via das dimensotildees do trabalho cultura

ciecircncia e tecnologia Professores tambeacutem buscamos fornecer elemen-

tos que enriqueccedilam suas reflexotildees visando as formulaccedilotildees de novos

curriacuteculos Ressaltamos que as propostas apresentadas neste item natildeo

abrangem todos os conteuacutedos matemaacuteticos que podem ser considera-

dos Fizemos uma seleccedilatildeo de conhecimentos e portanto certamente

omitimos possibilidades importantes ou interessantes Contamos com

que vocecircs professores inspirados nas ideias apresentadas possam

imaginar um curriacuteculo onde os conhecimentos matemaacuteticos contem-

plados sejam aqueles que considerem os mais relevantes para uma

formaccedilatildeo integral

Funccedilotildees se constituem em um campo da Matemaacutetica no Ensino

Meacutedio que emergiu de questotildees pertinentes aos acircmbitos das quatro di-

mensotildees articuladoras de curriacuteculos Foram desenvolvidas como mo-

delos para a compreensatildeo de fenocircmenos variados e satildeo amplamente

utilizadas em muitos acircmbitos da atividade humana como Fiacutesica Quiacute-

mica Biologia Astronomia Economia Sociologia Comunicaccedilatildeo

Demografia Informaacutetica Engenharia entre outros Assim por exem-

O Guia do Li-vro Didaacutetico do PNLD 2012(BRASIL 2011) pode ser um material in-teressante para consulta sobre os campos de co-nhecimentos matemaacuteticos do Ensino Meacutedio com destaques para suas carac-teriacutesticas e relevacircncia na formaccedilatildeo geral dos estu-dantes especialmente no trecho das paacuteginas 16 a 38

wwwfnde govbr a rqu ivos ca tegory 125-guiasdownload=5512pnld-2012-matematica

No Guia do Livro Didaacutetico do PNLD 2008 (BRASIL 2007) na seccedilatildeo A Matemaacutetica no mundo de hoje (p12-14) vocecirc pode encontrar reflexotildees interessantes sobre o que satildeo modelos matemaacuteticos

httpwwwfndegovbrarquivosfile1947-guia-pnld-2008-matematica

30

Matemaacutetica

plo funccedilotildees trigonomeacutetricas satildeo uacuteteis para descrever fenocircmenos perioacutedicos como no caso do movimento

de um pecircndulo as funccedilotildees logariacutetmicas servem para descrever o decaimento radioativo de isoacutetopos de

elementos quiacutemicos Em 1798 o economista e demoacutegrafo inglecircs Thomas Malthus (1766-1834) formulou

um modelo para descrever a populaccedilatildeo presente em um ambiente como uma funccedilatildeo exponencial do tem-

po Esse modelo e suas posteriores modificaccedilotildees satildeo aplicados por exemplo ao estudo do crescimento

de bacteacuterias Modelos matemaacuteticos satildeo uacuteteis para fazer previsotildees sobre o comportamento de fenocircmenos

poreacutem por serem abstratos e ideais os resultados obtidos seratildeo sempre aproximaccedilotildees Do ponto de vista

de uma formaccedilatildeo integral a importacircncia do estudo de funccedilotildees reside muito mais nas conexotildees com as

situaccedilotildees que as originaram do que por exemplo no mero treinamento de propriedades para a resoluccedilatildeo

de equaccedilotildees como as que envolvem funccedilotildees trigonomeacutetricas ou logariacutetmicas

Eacute de se destacar ainda o uso cada vez mais crescente e importante de funccedilotildees para o desenvolvi-

mento de processos e artefatos na programaccedilatildeo de aplicativos computacionais em aparelhos de eletro-

cardiograma na construccedilatildeo civil de grande porte na construccedilatildeo e lanccedilamento de foguetes espaciais em

antenas paraboacutelicas e telescoacutepios em aparelhos de tomografia ou de ressonacircncia magneacutetica apenas para

citar alguns

Ao longo da histoacuteria a humanidade desenvolveu muitos instrumentos de maneira criativa com

maior ou menor precisatildeo diante da necessidade de medir grandezas O emprego de instrumentos pro-

cessos e unidades de medida adequadas para registrar e interpretar mediccedilotildees nunca eacute exato sempre eacute apro-

ximado Consequentemente eacute importante o desenvolvimento da percepccedilatildeo sobre o grau de aproximaccedilatildeo

que eacute condizente com os objetivos de cada situaccedilatildeo Por exemplo para executar uma receita culinaacuteria

uma balanccedila de precisatildeo digital eacute suficiente poreacutem um laboratoacuterio farmacecircutico utiliza balanccedila analiacutetica

para a anaacutelise de determinada grandeza submetida a certas condiccedilotildees ambientais

A geometria estaacute presente em todo lugar Diferentes povos tecircm utilizado figuras geomeacutetricas em

diversas manifestaccedilotildees culturais como em tecidos e maacutescaras africanas em mandalas como os yantras

indianos e a pintura corporal da etnia Kayapoacute do Brasil Padrotildees geomeacutetricos tambeacutem podem ser en-

contrados no artesanato brasileiro como na ceracircmica Marajoara nos bordados fileacute alagoanos e na renda

renascenccedila de origem pernambucana Por sua vez existiram vaacuterios movimentos artiacutesticos relacionados agrave

geometria Entre eles o Neoplasticismo cujo criador e principal teoacuterico foi Piet Mondrian (1872-1944) e o

cubismo sendo um de seus representantes o pintor Pablo Picasso (1881-1973) No Brasil em 1954 surgiu

o Grupo Frente do qual Lygia Clark (1920ndash1988) foi uma das fundadoras Ela apresentou uma seacuterie de

obras nas quais os elementos geomeacutetricos satildeo centrais como em ldquoSuperfiacutecies Moduladas 1955-57rdquo Es-

sas seacuteries de obras satildeo instigantes e incentivam a participaccedilatildeo ativa do observador que pode transformaacute-la

numa nova obra Outro grande artista plaacutestico que utilizou a geometria como inspiraccedilatildeo eacute Heacutelio Oiticica

(1937-1980) Como exemplo citamos a obra Magic Square 5 (1977) localizada em Inhotim no estado

de Minas Gerais Nesta proposta pode-se ldquobrincarrdquo com as posiccedilotildees ou localizaccedilotildees do observador e as

perspectivas de suas visotildees criando muacuteltiplos trabalhos artiacutesticos diferentes

Professores vocecircs conseguem idealizar uma exposiccedilatildeo inspirada na obra de Lygia Clark ou Heacutelio

Oiticica como uma maneira de mobilizar conhecimentos de todas as aacutereas a partir das dimensotildees do tra-

Materiais interes-santes sobre Lygia Clark podem encontrados em httpwwwlygiaclarkorgbrnoticiaPtasp

Informaccedilotildees sobre Heacutelio Oiticica e Inhotim podem ser obtidas nos portais httpwwwheliooi-ticicaorgbrhomehomephp

httpwwwinhotimorgbrinhotimarte-contem-poraneaobrasinvencao-da-cor-penetravel-magic-squa-re-5-de-luxe

A obra Magic Squa-re 5 serviu como ce-naacuterio do viacutedeo musical ldquoPelos Aresrdquo de Adriana Calcanhoto httpswwwyoutubecomwatchv=1nP-TwUxTxR8amplist=RDHC7-vx5sCyN2k

31


balho cultura ciecircncia e tecnologia Anotem suas ideias para compar-

tilhar posteriormente com os colegas das demais aacutereas

Eacute interessante observar tambeacutem que a localizaccedilatildeo espacial e a

criaccedilatildeo de sistemas de referecircncia satildeo fundamentais para o desenvol-

vimento de vaacuterias atividades humanas que vatildeo desde a confecccedilatildeo de

mapas impressos ou virtuais ateacute a determinaccedilatildeo de rotas e distacircncias

com o uso do GPS (Global Positioning System)

Reconhecer a existecircncia de incerteza eacute fundamental para o de-

senvolvimento do pensamento matemaacutetico natildeo-determiniacutestico Ela

estaacute presente na vida dos jovens por exemplo em relaccedilatildeo ao merca-

do de trabalho e seus riscos (BRASIL 2013a) Nos mais diferentes

acircmbitos tenta-se quantificar as incertezas utilizando probabilidade e

estatiacutestica como no mercado financeiro pesquisas de intenccedilatildeo de voto

ou no esporte

O jovem para poder exercer inteiramente a cidadania neces-

sitaraacute perceber que os nuacutemeros taxas iacutendices e estimativas que satildeo

apresentadas nas miacutedias envolvem certo grau de incerteza e aleato-

riedade mesmo que as pesquisas tenham sido feitas com o maior ri-

gor metodoloacutegico A estatiacutestica estaacute presente em vaacuterios campos como

por exemplo no estudo da efetividade e seguranccedila de um medica-

mento em anaacutelises do funcionamento de um sistema em campanhas

eleitorais e mesmo em muacutesicas como vimos na Unidade 2 na letra

Capiacutetulo 4 Versiacuteculo 3 dos Racionais MCrsquos Logo suas produccedilotildees

acabam influenciando de alguma maneira em inuacutemeras atividades do

ser humano em todas as dimensotildees Assim a importacircncia do estudo

de estatiacutestica no Ensino Meacutedio reside muito mais em favorecer a lei-

tura adequada e criacutetica de informaccedilotildees do que a simples construccedilatildeo de

tabelas e graacuteficos















citar alguns




























Uma atividade rela-cionada ao GPS estaacute des-crita em

httpportaldoprofes-sormecgovbrfichaTecnica-Aulahtmlaula=43507

32

Matemaacutetica


Professor professora no decorrer desta Unidade propusemos dois exerciacutecios individuais de re-

flexatildeo a partir da sua especialidade Chegou o momento de compartilhar suas ideias e anotaccedilotildees com os

demais colegas

a) Sobre o Homem Vitruviano propomos que

- Compartilhem as anotaccedilotildees feitas anteriormente sobre o que identificaram no desenho de Leonar-

do da Vinci

- Explicitem quais articulaccedilotildees percebem nessa obra com as dimensotildees do trabalho cultura ciecircn-

cia e tecnologia compatiacuteveis com a eacutepoca em que ela foi produzida pelo artista

b) Sobre a exposiccedilatildeo idealizada

- Compartilhem e debatam as anotaccedilotildees feitas anteriormente sobre as ideias que teve para idealizar

a exposiccedilatildeo

- Registrem os conhecimentos que consideraram mobilizados em cada aacuterea de conhecimento e as

articulaccedilotildees identificadas com as dimensotildees do trabalho cultura ciecircncia e tecnologia

A partir desses dois exerciacutecios de reflexatildeo e combinando com as reflexotildees realizadas nos outros dois

capiacutetulos seria possiacutevel definir alguns criteacuterios para a modificaccedilatildeo de determinadas rotinas no trabalho

semanal que permitissem novos planejamentos mais integrados

33


4 Diaacutelogo entre as aacutereas do conhecimento escolar princiacutepios e proposiccedilotildees pedagoacutegico-curriculares

O desenvolvimento das discussotildees e propostas que faremos nessa unidade eacute baseado principal-

mente nos dois princiacutepios destacados nas DCNEM como norteadores para a organizaccedilatildeo dos curriacuteculos e

para a sua consecuccedilatildeo na praacutetica escolar o trabalho como princiacutepio educativo e a pesquisa como princiacutepio

pedagoacutegico

O trabalho aqui eacute entatildeo entendido no seu sentido ontoloacutegico como lemos em Lukaacutecs (1981) ine-

rente agrave espeacutecie humana e primeira mediaccedilatildeo na produccedilatildeo de bens conhecimentos e cultura O trabalho

como princiacutepio educativo se consubstancia em atividades criativas portanto prazerosas com as quais os

estudantes de maneira solidaacuteria se transformam criam e recriam conhecimentos ciecircncia tecnologia e

portanto cultura ao mesmo tempo em que se desenvolvem para assumir seus lugares na sociedade como

cidadatildeos conscientes de seus direitos e deveres (BRASIL 2013c p 29)

Por seu lado a pesquisa como princiacutepio pedagoacutegico

[] contribui para a construccedilatildeo da autonomia intelectual do educando e para uma formaccedilatildeo orientada pela busca de compreensatildeo e soluccedilotildees para as questotildees teoacutericas e praacuteticas da vida cotidiana dos sujeitos trabalhadores Afinal formar integralmente os educandos implica natildeo soacute que estes aprendam o significado e o sentido das ciecircncias das tecnologias das praacuteticas culturais etc mas eacute preciso fundamentalmente formar as pessoas para produzirem novos conhecimentos compreender e transformar o mundo em que se vive (BRASIL 2013c p 35-36)

Analogamente ao que foi feito na unidade anterior retomamos aqui a reflexatildeo sobre o que foi dis-

cutido no Caderno III da primeira etapa da formaccedilatildeo especialmente na Unidade 4 (BRASIL 2013b p 36-

43) do qual sugerimos a releitura A partir de exemplos buscamos um entendimento mais concreto sobre

as efetivas potencialidades de articulaccedilatildeo de conhecimentos matemaacuteticos com conhecimentos das demais

aacutereas ou componentes em atividades escolares de caraacuteter integrador Nos termos de Brasil (2013b)

Assim as propostas voltadas para o ensino meacutedio em geral estatildeo baseadas em metodologias mistas as quais satildeo desenvolvidas em pelo menos dois espaccedilos e tem-pos um voltado para as denominadas atividades integradoras e outro destinado ao aprofundamento conceitual no interior das disciplinas Eacute a partir daiacute que se apresenta uma possibilidade de organizaccedilatildeo curricular do ensino meacutedio que potencialize uma am-pliaccedilatildeo de conhecimentos em sua totalidade e natildeo por suas partes isoladas (BRASIL 2013b p 40 grifos nossos)

Nesse pequeno trecho satildeo fornecidas vaacuterias pistas do que seja necessaacuterio para um redesenho cur-

ricular o qual possibilite abordagens pedagoacutegico-curriculares favorecedoras do papel formativo que as

DCNEM preveem para essa etapa escolar A grade horaacuteria usual com aulas de 50 minutos para que cada

disciplina ldquocumpra um programardquo (em geral voltado para conteuacutedos de vestibulares) seguramente muito

contribui para a fragmentaccedilatildeo do ensino tradicionalmente observada no Ensino Meacutedio As grades horaacuterias

tradicionais dificultam enormemente a possibilidade de que as aqui chamadas atividades integradoras

superem o caraacuteter de ser apenas uma superposiccedilatildeo de ldquoaplicaccedilotildeesrdquo simultacircneas de alguns conhecimentos

de diferentes componentes Se isso eacute mais do que a fragmentaccedilatildeo e a falta de diaacutelogo absoluto entre

34

Matemaacutetica

componentes ou aacutereas de conhecimento eacute ainda muito menos do que o proposto nas DCNEM para a

formaccedilatildeo integral dos estudantes Cabe ainda observar que o espaccedilo tradicional de uma sala de aula com

lousa giz sua disposiccedilatildeo de carteiras e os estudantes sentados em linhas e colunas de frente para o pro-

fessor expositor tampouco favorece atividades mais dinacircmicas e que envolvam a iniciativa dos estudantes

em pesquisas ou a elaboraccedilatildeo de produtos coletivos eventualmente imprescindiacuteveis em abordagens peda-

goacutegico-curriculares que privilegiem o protagonismo dos estudantes no seu proacuteprio processo de aprendiza-

gem e que tenham por base o trabalho como princiacutepio educativo

Por todas essas razotildees torna-se necessaacuterio reorganizar os tempos e os espaccedilos escolares para po-

der obter-se um curriacuteculo que estimule o protagonismo dos estudantes no seu proacuteprio desenvolvimento

e aprendizagem ao mesmo tempo em que promova a integraccedilatildeo dos conhecimentos de todas as aacutereas de

conhecimento articuladas pelas dimensotildees do trabalho cultura ciecircncia e tecnologia

Salientamos novamente a necessidade de que em cada escola a organizaccedilatildeo de um curriacuteculo por

aacutereas de conhecimento no Projeto Poliacutetico-Pedagoacutegico (PPP) seja estabelecida a partir do entendimento

e dos acordos possiacuteveis entre os educadores de todas as aacutereas Sem duacutevida haacute mais um desafio para a

equipe escolar a saber o planejamento de atividades que contemplem de maneira efetiva a construccedilatildeo de

conhecimentos de seu componente curricular integrada a outros componentes eou aacutereas Assim tambeacutem

os professores da aacuterea de Matemaacutetica necessitaratildeo repensar e reconhecer as possibilidades de contribui-

ccedilotildees em atividades integradoras a partir dos conhecimentos que lhe satildeo proacuteprios que possuam um alto

potencial de articulaccedilatildeo com contextos autecircnticos das demais aacutereas e sejam relevantes para a formaccedilatildeo

integral dos estudantes

Mas como colocar na praacutetica de atividades escolares a pesquisa como princiacutepio pedagoacutegico Mais

ainda qual eacute o papel dos professores em tais atividades Certamente as respostas a estas perguntas natildeo satildeo

oacutebvias nem uacutenicas Natildeo haacute ldquoreceita infaliacutevelrdquo para tanto Vamos refletir juntos sobre elas

Assumir a pesquisa como princiacutepio pedagoacutegico significa buscar situaccedilotildees de interesse que contem-

plem a diversidade dos estudantes e permitam questionamentos A partir destes os estudantes poderatildeo

protagonizar investigaccedilotildees que levem a um entendimento mais completo da situaccedilatildeo questionada e possi-

bilitem intervenccedilotildees transformadoras Cabe aos professores serem mediadores desse processo ldquoa media-

ccedilatildeo do professor eacute essencial possibilitando aos estudantes atingirem niacuteveis de desempenho e pensamento

que natildeo conseguiriam por conta proacutepria incentivando-os a se confrontarem com outros pontos de vista e

assim reconstruiacuterem seus entendimentos e a compreensatildeo do que investigamrdquo (MORAES 2010 p142)

Segundo explicam Galiazzi e Moraes (2002) o processo de educar pela pesquisa pode ser caracterizado

por ciacuterculos reiterativos de trecircs movimentos principais questionamento construccedilatildeo e validaccedilatildeo de argu-

mentos Assim a essecircncia da pesquisa eacute partir de perguntas para formular um projeto de investigaccedilatildeo

Para existir o protagonismo do estudante eacute necessaacuterio que ele faccedila o questionamento ou que deste se

aproprie Nesse momento a mediaccedilatildeo do professor eacute crucial no sentido de perceber o grau de dificuldade

envolvido de favorecer a viabilidade da elaboraccedilatildeo e da execuccedilatildeo de um projeto assim como direcionar

para uma construccedilatildeo significativa de conhecimentos Analisamos a importacircncia das perguntas e sua rela-

ccedilatildeo com a elaboraccedilatildeo de projetos na Unidade 2 Reveja-as se for necessaacuterio

35


Como realizar um projeto de pesquisa integrador Pode-se partir do levantamento por parte dos

professores junto agrave comunidade e aos estudantes de problema(s) ou tema(s) de interesse que mereccedilam ser

investigados visando a elaboraccedilatildeo de propostas de intervenccedilatildeo (soluccedilotildees) De posse desta problemaacutetica

cada aacuterea poderaacute propor questotildees especiacuteficas que daratildeo iniacutecio ao(s) processo(s) de pesquisa Observa-se

que inicialmente a pesquisa pode demandar a elaboraccedilatildeo de um diagnoacutestico ou estudos preliminares so-

bre os conhecimentos envolvidos na dependecircncia do tema ou questotildees Conveacutem lembrar que leituras de

publicaccedilotildees diversas uso de diferentes recursos pedagoacutegicos eou tecnoloacutegicos para a produccedilatildeo proacutepria

e coletiva de textos aacuteudios viacutedeos e blogs explorando inclusive recursos externos agrave escola podem ser

utilizados bem como visitas a reservas naturais parques museus e cinemas Mais detalhes sobre a orga-

nizaccedilatildeo e planejamento de atividades podem ser encontrados a partir da leitura das abordagens propostas

no Caderno IV (BRASIL 2013c p 41) da Etapa I da formaccedilatildeo

Tendo as reflexotildees anteriores como pano de fundo passamos agrave apresentaccedilatildeo de exemplos de ques-

totildees ou situaccedilotildees que a partir de caracteriacutesticas e conhecimentos proacuteprios da aacuterea de Matemaacutetica possi-

bilitam propor questotildees ao coletivo da escola com potencial para gerar projetos como atividades integra-

doras entre as quatro aacutereas e que estimulem a participaccedilatildeo ativa dos estudantes em accedilotildees transformadoras

como qualificadas anteriormente Eacute importante ser levada em conta a abrangecircncia de cada situaccedilatildeo tra-

ta-se de todo um contexto do qual uma determinada escola pode se beneficiar utilizando certos aspectos

enquanto outra escola pode preferir outros ou necessitar criar novos

Conveacutem notar que as situaccedilotildees apresentadas natildeo tecircm a pretensatildeo de serem as uacutenicas possiacuteveis Satildeo

apenas exemplos imaginados para escolas e contextos hipoteacuteticos Caberaacute a cada escola decidir sobre

situaccedilotildees mais adequadas ao seu contexto especiacutefico

Assim tais exemplos pretendem ser sugestivos de como podemos imaginar mudanccedilas na praacutetica

pedagoacutegica que possibilitem o favorecimento da formaccedilatildeo humana integral dos estudantes Longe de

serem ldquoprescriccedilotildeesrdquo eles pretendem apenas convidar vocecircs professores no debate com a comunidade

escolar a elaborarem suas proacuteprias questotildees em consonacircncia com a realidade local O desafio eacute grande

mas os resultados pretendidos satildeo relevantes e ateacute hoje ineacuteditos para a maioria considerando indica-

dores de desempenho escolar amplamente divulgados pela miacutedia O desafio eacute reorganizar o curriacuteculo da

escola e suas praacuteticas para que ela de fato se torne um local de acolhimento de expectativas ansiedades

e de sonhos ao mesmo tempo em que propicie espaccedilos tempos e atividades adequadas agrave aprendizagem

e ao desenvolvimento humano a que os estudantes tecircm direito Pretendemos portanto com as sugestotildees

de possibilidades de abordagens pedagoacutegico-curriculares convidaacute-los a colocar a ldquomatildeo na massardquo com

o coletivo das suas escolas para criarem suas atividades em um planejamento conjunto das equipes das

aacutereas de conhecimento

Inicialmente sugerimos alguns exemplos de questotildees capazes de mobilizar o estudo de conheci-

mentos matemaacuteticos fundamentais e ao mesmo tempo com potencial para o desenvolvimento de pro-

jetos integradores entre as aacutereas de conhecimento escolares Tais projetos demandam investigaccedilatildeo pelos

estudantes sobre as questotildees propostas (diagnoacutestico preacutevio e pesquisa) e possibilitam accedilotildees transforma-

doras junto agrave comunidade da escola (trabalho) envolvendo necessariamente um forte protagonismo dos

estudantes Vale notar as possibilidades de aprofundamento nas investigaccedilotildees que deveratildeo ser realizadas

36

Matemaacutetica

pelos estudantes e seus professores a riqueza de cada situaccedilatildeo pode

estimular a interaccedilatildeo da escola com a comunidade da qual faz parte

Passamos agrave apresentaccedilatildeo dos exemplos imaginados para con-

cretizar o que vimos discutindo ateacute aqui Professores esperamos que

eles consigam incentivar sua reflexatildeo e provocar sua criatividade

Uma proposta desafiadora que apontamos articula potencial-

mente as quatro aacutereas de conhecimento Pode-se propor a escolha

por parte do grupo de estudantes de um tema de interesse para o en-

gajamento da escola em alguma campanha de esclarecimento junto

agrave comunidade local ou para a organizaccedilatildeo de um evento na escola

aberto agrave participaccedilatildeo da comunidade como por exemplo coleta eou

reciclagem de lixo muacutesica teatro etc O projeto a ser elaborado de-

veraacute estimular o protagonismo dos jovens Ele demandaraacute um estudo

preacutevio sobre a temaacutetica escolhida (quais problemas relacionados ao

lixo satildeo mais presentes na comunidade consulta entre os estudantes

para a tomada de decisatildeo sobre as caracteriacutesticas do evento segundo

os interesses ou habilidades artiacutesticas dos estudantes da escola) e a

organizaccedilatildeo das accedilotildees a serem realizadas

A temaacutetica do lixo estaacute diretamente ligada a importantes ques-

totildees contemporacircneas relativas ao meio ambiente e ao desenvolvimen-

to sustentaacutevel Ela mobiliza necessariamente conhecimentos dos acircm-

bitos da ciecircncia da tecnologia do trabalho e da cultura Ela tem sido

assim objeto de muitos projetos de pesquisa escolares vaacuterios deles

bem sucedidos Por esse motivo escolhemos alguns para que vocecircs

professores possam verificar a diversidade de abordagens adotadas

com sucesso

Passamos agora a detalhar uma possiacutevel atividade integradora

voltada agrave realizaccedilatildeo de um evento artiacutestico na escola Se na escola

houver uma banda a pergunta central poderaacute ser como podemos in-

centivar e divulgar o trabalho da(s) banda(s) da escola Tal questatildeo

visa abrir caminhos para estudos e projetos onde a produccedilatildeo cultural

dos jovens seraacute valorizada e incentivada mas tambeacutem visa abrir por-

tas para accedilotildees de intervenccedilatildeo que demandam o apoio integrado das

aacutereas de conhecimento Exploremos mais em detalhes esse tipo de

opccedilatildeo de atividade integradora

Pode ser interessante que as aacutereas de Linguagens e de Mate-

maacutetica proponham a realizaccedilatildeo de um concurso de logotipos para o

incentivo e a divulgaccedilatildeo do trabalho da(s) banda(s) da escola junto

agrave comunidade da regiatildeo Tal proposta pode dar iniacutecio a um projeto

Alguns projetos in-tegradores desenvolvidos em escolas e envolvendo questotildees sobre o lixo po-dem ser consultados em

httpportaldoprofes-sormecgovbrstoragemate-riais0000016221pdf

httpcrveducacaomggovbr s i s tema_crvbanco_objetos_crv7B5F-87D4D2-0055-4E6F-99C2-DCAFD9FDB8067D_pro-jetopdf

httpwwwciencia-emtelanutesufrjbrarti-gos0110_gervaniopdf

h t tp shei la lu iza wordpresscomfotografia

37


envolvendo criatividade artiacutestica elaboraccedilatildeo de textos cartazes e uso de graacuteficos funcionais criados por

programas de computador Uma ideia eacute que os estudantes elaborem um logotipo para a(s) banda(s) pro-

gramando seu desenho em computador e para tanto utilizem trechos de graacuteficos de funccedilotildees que juntos

componham o logotipo imaginado O projeto integrador pode articular vaacuterios subprojetos de diversas

aacutereas Permite acolher e incentivar atividades artiacutesticas jaacute presentes entre os estudantes promover a or-

ganizaccedilatildeo de evento artiacutestico aberto agrave comunidade envolvendo inclusive sua divulgaccedilatildeo por exemplo

Pode-se dar iniacutecio agraves atividades pela redaccedilatildeo de um regulamento para o concurso de logotipos que

contemple condiccedilotildees como inscriccedilatildeo participaccedilatildeo apresentaccedilatildeo do trabalho criteacuterios de avaliaccedilatildeo co-

missatildeo julgadora e eventual premiaccedilatildeo Tudo isso a partir de debates que propiciem um consenso sobre

as regras estabelecidas pelo grupo Algumas ideias que podem ser desenvolvidas nesta proposta estatildeo

organizadas na tabela a seguir

Professor professora observe com atenccedilatildeo na tabela detalhamos quatro subprojetos seus objeti-

vos de aprendizagem e de desenvolvimento humano os ldquoprodutos finaisrdquo almejados e as metodologias

ou accedilotildees necessaacuterias para o seu desenvolvimento bem como as dimensotildees articuladoras da formaccedilatildeo

integral dos estudantes envolvidas mais diretamente No que segue solicitaremos que elaborem esse tipo

de instrumento por acreditarmos que ele pode ser bastante uacutetil como uma etapa do planejamento coletivo

de atividades integradoras Natildeo esqueccedilamos da necessaacuteria discussatildeo sobre quais sejam as atividades e

instrumentos de avaliaccedilatildeo adequados para o acompanhamento e a anaacutelise dos resultados educacionais es-

perados Prevecirc-los eacute imprescindiacutevel para um dimensionamento dos subprojetos que forem propostos a fim

de que fiquem condizentes com a realidade da escola e dos estudantes e principalmente com os objetivos

previstos Um aspecto a ser levado em conta eacute o fato de que o desenvolvimento de um projeto sempre

requer a resoluccedilatildeo de problemas cujas soluccedilotildees poderatildeo ser variadas algumas mais outras menos com-

plexas Assim o papel de cada estudante nesses desafios eacute tambeacutem uma fonte para uma anaacutelise avaliativa

Professores notem que o desenvolvimento de projetos possibilita ainda uma avaliaccedilatildeo de sua proacute-

pria praacutetica e sinaliza quais aspectos podem ser aprimorados Um meio de fazer isso eacute refletir sobre a jus-

tificativa - por quecirc - os objetivos propostos inicialmente em cada projeto - o quecirc - e como as atividades

foram conduzidas Enumeramos a seguir algumas questotildees que podem guiar as anaacutelises As atividades

promoveram a consecuccedilatildeo dos objetivos As questotildees motivadoras foram bem respondidas As accedilotildees

foram adequadamente planejadas executadas e registradas Os registros elaborados podem auxiliar no

estabelecimento e na execuccedilatildeo de futuros projetos Houve colaboraccedilatildeo e compartilhamento entre todos os

atores do projeto Qual eacute a percepccedilatildeo dos estudantes sobre seus proacuteprios aprendizados e desenvolvimento

a partir da execuccedilatildeo do projeto

38

Matemaacutetica

Tabela 1 - como podemos incentivar e divulgar o trabalho das bandas da escola

Subprojeto Por quecirc O quecirc Como Dimensotildees

Evento Show musical interno com a(s) banda(s) da escola

- Valorizar os interesses dos jovens

- Incentivar e aperfeiccediloar as habilidades musicais ou artiacutesticas

- Compartilhar e divertir

- Apresentaccedilatildeo da(s) banda(s) em evento interno na escola

- Promover os ensaios

- Organizar a montagem de um espetaacuteculo (cenaacuterio som iluminaccedilatildeohellip)

Trabalho

Cultura

Ciecircncia

Tecnologia

Logotipo Desenvolvimento de logotipo(s) para a(s) banda(s) da escola

- Incentivar a expressatildeo graacutefica

- Desenvolver visatildeo geomeacutetrico-espacial

- Propiciar contexto instigante para o conceito de funccedilatildeo

- Estudar funccedilotildees com o uso de ferramentas computacionais

- Criar logotipo (ideias)

- Graacutefico de funccedilotildees com software graacutefico

- Desenho e ediccedilatildeo graacutefica por computador

Trabalho

Cultura

Ciecircncia

Tecnologia

Concurso de logotipos

Organizaccedilatildeo e realizaccedilatildeo aberto agrave participaccedilatildeo da comunidade

- Incentivar a participaccedilatildeo da comunidade na comissatildeo julgadora e outras funccedilotildees

- Estimular a expressatildeo escrita

- Convites para a participaccedilatildeo

- Regulamento do concurso (definiccedilatildeo de comissatildeo julgadora e criteacuterios de avaliaccedilatildeo)

- Debate anaacutelise e redaccedilatildeo escrita

- Organizaccedilatildeo de espaccedilos e modos de apresentaccedilatildeo

Trabalho

Cultura

Tecnologia

Evento Espetaacuteculo de apresentaccedilatildeo da(s) banda(s) aberto agrave comunidade da regiatildeo da escola

- Incentivar a participaccedilatildeo da comunidade

- Produzir e incentivar a expressatildeo cultural e artiacutestica dos estudantes



- Produccedilatildeo do cartaz para o evento cada banda com logotipo

- Apresentaccedilatildeo da(s) banda(s) para a comunidade

- Promover ensaios

- Desenho e ediccedilatildeo graacutefica dos cartazes por computador

- Organizar divulgar e realizar o evento

Trabalho

Cultura

Ciecircncia

Tecnologia


bull Outro projeto integrador pode ser inspirado pela seguinte pergunta central O transporte puacuteblico atende agrave comunidade de maneira adequada agraves necessidades da regiatildeo

Tal projeto estaacute relacionado agraves possibilidades de transporte para a comunidade da regiatildeo o que in-

clui o acesso dos estudantes agrave escola Ele mobiliza claramente os componentes curriculares da Geografia

e da Sociologia assim como da Estatiacutestica e se bem problematizado pode articular todas as aacutereas por

meio do eixo do trabalho cultura ciecircncia e tecnologia A ideia seria propor aos estudantes inicialmente

o uso de algum aplicativo como o Google Maps para delimitar a regiatildeo da escola e realizar um levanta-

mento dos meios de transportes puacuteblicos disponiacuteveis (ocircnibus trem metrocirc barco etc) e seus percursos

Concomitantemente fazer um levantamento junto aos usuaacuterios da regiatildeo visando diagnosticar as suas

39


necessidades quanto agrave utilizaccedilatildeo dos transportes puacuteblicos para deslocamento da populaccedilatildeo por razotildees de

trabalho estudo lazer ou outras Inicialmente seraacute necessaacuterio determinar o ldquopuacuteblico-alvordquo estudantes

todos os usuaacuterios sistemaacuteticos eventuais ou de periacuteodo diurno etc Uma vez definida a populaccedilatildeo de inte-

resse determinar-se-aacute uma estrateacutegia para a definiccedilatildeo da coleta de dados seja por censo (toda a populaccedilatildeo

- ldquopuacuteblico-alvordquo) ou por amostragem

Ao final do diagnoacutestico os estudantes com a orientaccedilatildeo dos professores poderatildeo elaborar um ques-

tionaacuterio para os usuaacuterios O objetivo seraacute analisar por exemplo a adequaccedilatildeo do trajeto de cada um dos

meios de transporte nuacutemero de pontos de parada duraccedilatildeo do percurso completo tempo de espera condi-

ccedilotildees dos veiacuteculos das ruas estradas ou demais vias e locais de maior demanda da populaccedilatildeo

Caso concluam que os serviccedilos de transporte satildeo satisfatoacuterios mas carecem por exemplo de sinali-

zaccedilotildees em pontos de parada especiacuteficos ou haacute falta de esclarecimento aos usuaacuterios sobre linhas ou trajetos

os estudantes poderatildeo propor uma intervenccedilatildeo de esclarecimento Nesse caso poderatildeo elaborar cartazes

placas ou folhetos com indicaccedilotildees sobre o trajeto de cada meio de transporte que passa por tais pontos

bem como divulgar melhor os trajetos disponiacuteveis e seus horaacuterios previstos de chegadas e partidas Com

tal material seraacute possiacutevel organizar uma campanha informativa estudando a melhor forma de fazer chegar

os esclarecimentos aos moradores da regiatildeo

Se a conclusatildeo for sobre a conveniecircncia de mudanccedilas nos transportes relativamente a itineraacuterios

horaacuterios ou outras para melhor satisfazer as necessidades da populaccedilatildeo local os estudantes poderatildeo

elaborar e encaminhar aos poderes puacuteblicos competentes uma peticcedilatildeo embasada sobre alternativas que

contribuam para a melhoria do serviccedilo de transporte na regiatildeo

Um subprojeto associado a essa proposta ainda mais voltado aos proacuteprios estudantes da escola

pode envolver os componentes curriculares da Educaccedilatildeo Fiacutesica e da Biologia Havendo interesse os

estudantes podem ser incentivados a analisar as vantagens e desvantagens de realizar o percurso de casa

ateacute a escola a peacute ou de bicicleta avaliando por exemplo condiccedilotildees de seguranccedila tempo de percurso e

quantidade de calorias queimadas na atividade fiacutesica demandada no trajeto Outro subprojeto envolvendo

Matemaacutetica poderaacute englobar noccedilotildees de Geometria relativas a sistemas de referecircncia escalas e representa-

ccedilatildeo de trajetos por meio de mapas esquematizados onde se possa inclusive utilizar noccedilotildees de Geometria

Analiacutetica para avaliar distacircncias e otimizaccedilatildeo de percursos


Convidamos vocecircs professores das aacutereas a fazer o exerciacutecio de organizar conjuntamente as ideias

discutidas no uacuteltimo exemplo e outras que imaginarem em subprojetos que acreditem ter viabilidade na

sua escola a partir da pergunta central formulada Registrem seus subprojetos as questotildees motivadoras os

objetivos e as accedilotildees pretendidas em uma tabela anaacuteloga agravequela desenvolvida ao final do primeiro exemplo

Natildeo esqueccedilam de discutir e registrar os processos adequados de avaliaccedilatildeo para os subprojetos elencados

bull Uma sugestatildeo de atividade integradora com possibilidade de acolher praacuteticas luacutedicas frequentes

entre os jovens pode ser desenvolvida a partir do seguinte questionamento Como a Matemaacutetica pode ajudar a ser vitorioso em jogos eletrocircnicos

40

Matemaacutetica

Nas palavras de Moura (2009) as tecnologias moacuteveis querem

e podem entrar na sala de aula com diferentes finalidades de apreender

e ensinar Acreditamos que isto eacute possiacutevel num trabalho integrador e

atrativo Haacute muitos jogos disponiacuteveis nos aparelhos eletrocircnicos que

os jovens utilizam em particular no smartphone que a maioria traz

consigo

Os jogos satildeo o resultado do trabalho de programadores que uti-

lizam conhecimentos de diferentes aacutereas Conhecimentos matemaacuteti-

cos e de outros componentes curriculares podem favorecer o desen-

volvimento de estrateacutegias vencedoras em muitos jogos disponiacuteveis

Por exemplo no caso especiacutefico do jogo AngryBirdsreg (httpchrome

angrybirdscom) jogo que esteve muito em voga haacute alguns anos eacute

possiacutevel discutir especificamente como os conteuacutedos de Matemaacutetica

e Fiacutesica podem contribuir para obter estrateacutegias vencedoras

Em primeiro lugar seraacute interessante que cada professor exa-

mine o jogo para saber seu enredo em httpwwwyoutubecomwatch-

v=1Bk_nqUQ0 que mostra a histoacuteria dos passarinhos que tiveram seus

ovos roubados por porquinhos O viacutedeo eacute o mote para estabelecer o

objetivo do jogo a destruiccedilatildeo das edificaccedilotildees dos ladrotildees Ajudaraacute

tambeacutem a conhecer minimamente as funccedilotildees de cada personagem e

tentar jogar Por exemplo a funccedilatildeo do passarinho preto pode ser vista

em httpswwwyoutubecomwatchv=Dv54QkH6ocg Durante o jogo

poderaacute ser observada a presenccedila da Fiacutesica no lanccedilamento de projeacuteteis

e da Matemaacutetica nas trajetoacuterias dos projeacuteteis que satildeo descritas por pa-

raacutebolas como graacuteficos de funccedilotildees polinomiais do segundo grau

A sugestatildeo eacute o desenvolvimento de atividade integradora utili-

zando esse ou outro jogo que esteja sendo jogado com frequecircncia pe-

los estudantes Eacute bom natildeo esquecer que inicialmente os professores

precisam familiarizar-se bem com o jogo e analisar suas potencialida-

des para mobilizar conhecimentos de alguns componentes curricula-

res no favorecimento de estrateacutegias vencedoras A partir dessa anaacutelise

pode ser imaginada pelos professores dos componentes envolvidos

uma proposta de atividade integradora aos estudantes

Uma tal atividade seraacute bastante motivadora para todos profes-

sores e estudantes e teraacute potencial de ganhar a adesatildeo de muitos

bull Outra pergunta central que pode motivar um projeto eacute A vio-lecircncia eacute um assunto que lhe preocupa

A questatildeo Quais satildeo os problemas que mais lhe preocupam atu-almente Foi respondida por jovens na pesquisa estatiacutestica intitulada Pes-quisa Nacional sobre Per-fil e Opiniatildeo dos Jovens Brasileiros 2013 (BRA-SIL 2013d) realizada sob a responsabilidade da Secretaria Nacional de Juventude (SNJ) Na paacute-gina 69 desta publicaccedilatildeo pode-se lerldquoO que mais preocupa pessoalmente os jovens hoje eacute na declara-ccedilatildeo espontacircnea em pri-meiro lugar a questatildeo da violecircncia (citada por 43 dos jovens)

41


A partir de levantamento bibliograacutefico de textos que tratem o tema da violecircncia os estudantes po-

dem elaborar novos questionamentos para aprofundar a reflexatildeo a respeito Com a orientaccedilatildeo das aacutereas de

Matemaacutetica e Ciecircncias Humanas os estudantes podem planejar e realizar uma pesquisa para a obtenccedilatildeo

de informaccedilotildees que permitam argumentar sobre diferentes aspectos da violecircncia no sentido de embasar

propostas de accedilotildees visando agrave prevenccedilatildeo das mesmas

Com o apoio da aacuterea de Linguagens as accedilotildees de prevenccedilatildeo da violecircncia podem incluir por exem-

plo a elaboraccedilatildeo de materiais com esclarecimentos sobre medidas de prevenccedilatildeo e seguranccedila para serem

divulgadas em campanhas de conscientizaccedilatildeo sobre os aspectos nocivos do uso de drogas ou de armas

a prevenccedilatildeo de acidentes no tracircnsito sobre inclusatildeo social Essas campanhas podem promover palestras

debates abertos aos familiares folhetos ou livretos informativos e ateacute sendo do interesse de grupos de

estudantes encenaccedilotildees teatrais ou shows musicais

Conveacutem lembrar que leituras de publicaccedilotildees diversas uso de diferentes recursos pedagoacutegicos eou

tecnoloacutegicos para a produccedilatildeo proacutepria e coletiva de textos aacuteudios viacutedeos e blogs explorando inclusive

recursos externos agrave escola podem ser utilizados como reservas naturais parques museus e cinemas Mais

detalhes sobre organizaccedilatildeo de planejamento de atividades podem ser encontrados a partir da leitura das

abordagens propostas no Caderno IV (BRASIL 2013c p41) da Etapa I da formaccedilatildeo

41 Para finalizar

Professor professora esperamos que este Caderno tenha conseguido inspirar reflexotildees significati-

vas sobre o papel que a Matemaacutetica pode desempenhar na formaccedilatildeo integral dos estudantes do Ensino Meacute-

dio Esperamos tambeacutem que ele lhe decirc pistas para a construccedilatildeo de novos percursos no cotidiano da praacutetica

pedagoacutegica que levem em consideraccedilatildeo o trabalho como princiacutepio educativo e a pesquisa como princiacutepio

pedagoacutegico Desta maneira seraacute favorecida a articulaccedilatildeo do processo de ensino com a realidade vivida pe-

los seus estudantes sempre valorizando o diaacutelogo a construccedilatildeo e a reconstruccedilatildeo dos saberes individuais e

coletivos Entendemos e natildeo subestimamos a existecircncia de dificuldades ou mesmo de barreiras para tanto

Todavia diante da necessidade urgente de reinvenccedilatildeo do Ensino Meacutedio para que ele cumpra sua funccedilatildeo

relativa agrave formaccedilatildeo integral dos estudantes apostamos em sua determinaccedilatildeo ousadia e competecircncia para

enfrentar os desafios que essa busca necessariamente coloca

Concluiacutemos fazendo nossas as palavras de Paulo Freire ldquoEacute impossiacutevel ensinar sem essa coragem

de querer bem sem a valentia dos que insistem mil vezes antes de uma desistecircnciardquo (FREIRE 1998 p8)

42

Matemaacutetica


Reconhecemos o desafio que pode significar a organizaccedilatildeo e implementaccedilatildeo de atividades integra-

doras com a aacuterea de Matemaacutetica Por esse motivo propomos reservar um tempo para o aprofundamento

Organizar uma roda de conversa com os professores sobre os exemplos de atividades de trabalho e

pesquisa propostas nessa unidade Debatam sobre a viabilidade desse tipo de proposta em sua realidade

escolar e apontem o que identificam como positivo e possiacutevel e o que possa apresentar maiores dificul-

dades ou mesmo impossibilidade de realizaccedilatildeo Justifiquem suas conclusotildees e sendo o caso discutam

alteraccedilotildees para melhor adequar as ideias das propostas

A partir de cada aacuterea de conhecimento e levando em conta as caracteriacutesticas dos seus estudantes

atuais seus possiacuteveis interesses e a cultura da comunidade local formulem questotildees para a elaboraccedilatildeo

de um projeto de pesquisa e intervenccedilatildeo que possa mobilizar conhecimentos da aacuterea e com potencial de

adesatildeo dos estudantes agrave proposta

Com as questotildees formuladas a partir das diferentes aacutereas negociem um dos temas sugeridos que

tenha o maior potencial integrador das aacutereas para ser objeto de planejamento conjunto de um possiacutevel pro-

jeto a ser desenvolvido pelos estudantes Nessa atividade deve ser favorecido o protagonismo dos jovens

assim como o trabalho como princiacutepio educativo e a pesquisa como princiacutepio pedagoacutegico

Faccedilam o registro das diferentes etapas desta atividade e socializem com os demais professores em

formaccedilatildeo publicando-as em forma de artigo no Portal EMdialogo disponiacutevel em

httpwwwemdialogouffbr

43


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BRASIL (2013b) Secretaria de Educaccedilatildeo Baacutesica Formaccedilatildeo de professores do ensino meacutedio etapa I - Caderno III o curriacuteculo do ensino meacutedio seu sujeito e o desafio da formaccedilatildeo humana integral Mi-nisteacuterio da Educaccedilatildeo Secretaria de Educaccedilatildeo Baacutesica [autores Carlos Artexes Simotildees Monica Ribeiro da Silva] Curitiba UFPRSetor de Educaccedilatildeo 2013

BRASIL (2013c) Secretaria de Educaccedilatildeo Baacutesica Formaccedilatildeo de professores do Ensino Meacutedio etapa I - Caderno IV aacutereas de conhecimento e integraccedilatildeo curricular Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Secretaria de Educaccedilatildeo Baacutesica [autores Marise Nogueira Ramos Denise de Freitas Alice Helena Campos Pierson] Curitiba UFPRSetor de Educaccedilatildeo 2013

BRASIL (2013d) Secretaria Nacional de Juventude Pesquisa Nacional sobre Perfil e Opiniatildeo dos Jo-vens Brasileiros 2013 elaboraccedilatildeosupervisatildeo Helena Wendel Abramo Elisa Guaranaacute de Castro Gustavo Venturi Ana Laura Lobato e Carla de Paiva Bezerra Brasiacutelia SNJ 2013 Disponiacutevel emhttpwwwjuventudegovbrnoticiasarquivospesquisa-atualizada-16-012013Acesso em 1662014

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MINISTEacuteRIO DA EDUCACcedilAtildeO

SECRETARIA DE EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA (SEB)

MINISTEacuteRIO DA EDUCACcedilAtildeO SECRETARIA DE EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA Esplanada dos Ministeacuterios Bloco L Sala 500 CEP 70047-900 Tel (61)20228318 - 20228320

Brasil Secretaria de Educaccedilatildeo Baacutesica Formaccedilatildeo de professores do ensino meacutedio etapa II - caderno V matemaacutetica Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Secretaria de Educaccedilatildeo Baacutesica [autores Ana Paula Jahn et al] ndash Curitiba UFPRSetor de Educaccedilatildeo 2014 49p ISBN Inclui referecircncias Pacto Nacional pelo Fortalecimento do Ensino Meacutedio 1 Ensino meacutedio 2 Professores - Formaccedilatildeo 3 Matemaacutetica ndash Estudo e ensino I Jahn Ana Paula II Universidade Federal do Paranaacute Setor de Educaccedilatildeo III Matemaacutetica IV Pacto Nacional pelo Fortalecimento do Ensino Meacutedio V Tiacutetulo CDD 37319

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANAacuteSISTEMA DE BIBLIOTECAS ndash BIBLIOTECA CENTRAL

COORDENACcedilAtildeO DE PROCESSOS TEacuteCNICOS

Andrea Carolina Grohs CRB 91384









Sumaacuterio



cotidiana 9













Referecircncias 43

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citar alguns




























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demais colegas



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Diretrizes





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direitos na escola











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trabalho ou outras


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Matemaacutetica





















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citar alguns




























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ou no esporte





























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demais colegas



do da Vinci











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pedagoacutegico























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com sucesso



















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Cultura

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Cultura

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- Promover ensaios



Trabalho

Cultura

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Meacutedio (DCNEM)









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ou no esporte





























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demais colegas



do da Vinci











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pedagoacutegico























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com sucesso



















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Cultura

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Cultura

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Cultura

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consigo
































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do da Vinci











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citar alguns




























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ou no esporte





























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demais colegas



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Cultura

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Tecnologia









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Cultura

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- Promover ensaios



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demais colegas



do da Vinci











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Cultura

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