FORÇAS NO ESPAÇO

Força aplicada na origem O de um sistema de coordenadas cartesianas

x, y e z.

zyx F F FF

(1)

iFxFx

; jFyFy

; kFzFz

(2)

kFz jFy iFxF (3)

As componentes escalares cartesianas de F

são dadas por:

xFcosθFx ; yFcosθFy ; zFcosθFz (4)

A intensidade de F

é dada por:

222 FzFyFxF (5)

Exemplo 1: Uma força de 500 N forma ângulos de 60º, 45º e 120º,

respectivamente com os eixos x, y e z. Determine as componentes Fx , Fy e

Fz .

N 250 60º 500.cosxFcosθFx

N 354 45º 500.cosyFcosθFy

N 250- 120º 500.coszFcosθFz

Substituindo em (3) as expressões Fx ; Fy e Fz dadas em (4) fica:

F kcosθjcosθicosθFF zyx (6)

Sendo

o vetor de módulo unitário e de mesma direção e sentido que F

dado

por:

kcosθjcosθicosθ zyx

(7)

As componentes escalares cartesianas do vetor unitário

são:

xx cosθ ; yy cosθ ; zz cosθ (8)

Sendo 1

então:

1zyx 222 , ou:

1cosθcosθcosθ 222zyx (9)

Exemplo 2: Uma força F

tem as componentes N 100Fx ; N 150Fy e

N 300Fz . Determine seu módulo F e os ângulos xθ , yθ e zθ que ela forma

com os eixos coordenados.

222 FzFyFxF =222 300)150(100 = 350 N

73,4º350

100

F

Fxxx θcosθ

º4,151350

150

F

Fyyy θcosθ

º31350

300

F

Fzzz θcosθ

FORÇA DEFINIDA POR 2 PONTOS DE SUA LINHA DE AÇÃO.

Vetor

MN liga os pontos M e N e tem mesmo sentido de F

kdzjdyidxMN

O vetor unitário

ao longo da linha de ação de F

é:

kdzjdyidxd

1

d

MN

MN

MN

O vetor F

é igual ao produto de F por

logo:

kdzjdyidxd

FFF

Assim, as componentes escalares de F

são:

;d

F.dxFx ;

d

F.dyFy ;

d

F.dzFz

Sendo:

1 - 2 xxdx ; 1 - 2 yydy ; 1 - 2 zdz z

Os ângulos de F

com os eixos coordenados são dados por:

F

Fxcosθx ;

F

Fycosθy ;

F

Fzcosθz

Ou ainda através das componentes e módulo do vetor

MN:

d

dxcosθx ;

d

dycosθy ;

d

dzcosθz

ADIÇÃO DE FORÇAS CONCORRENTES NO ESPAÇO

FR

Fazendo a decomposição de cada força em suas componentes cartesianas dá:

kFzjFyiFx)kFzjFyi(FxkRzjRyiRx

E assim:

FxRx ; FyRy ; FzRz

O módulo da resultante é:

222 Rz)(Ry)(Rx)R

Os ângulos da resultante com os eixos coordenados são dados por:

R

Rxθxcos ;

R

Ryθycos ;

R

Rzθzcos

Exemplo 3

Exercícios Propostos

1 - Determine o comprimento da barra e o vetor posição dirigido de A para B. Qual é o

ângulo θ?

2 - Uma torre de transmissão é sustentada por três cabos de sustentação ancorados

por parafusos em B, C e D. Se a tração no cabo AB é 2.100 N, determine as

componentes da força exercida pelo cabo no parafuso em B.

3 - A torre é mantida no lugar por três cabos. Se a força de cada cabo atuando na torre

é mostrada, determine a intensidade da resultante e os ângulos que ela faz com os

eixos coordenados. Considerar x =20 m, y = 15 m.

4 - Uma força atua na origem de um sistema de coordenadas na direção definida pelos

ângulos 5,64θx e

9,55θz . Sabendo que o componente y da força é –200 N,

determine (a) o ângulo yθ e (b) os outros componentes e a intensidade da força.

5 - Sabendo que a tração no cabo AB é de 1425 N e no cabo AC é de 2130 N,

determine o módulo e a direção da resultante das forças aplicadas em A pelos dois

cabos.

Resp. º6,72;º122;º4,37;3115 zyxNR

6 - Uma barra de aço é curvada em forma de anel semicircular de raio 0,96 m e é

sustentada, em parte, pelos cabos BD e BE que estão amarrados ao anel em B.

Sabendo que a tração no cabo BD é 220 N e no cabo BE 250 N, determine as

componentes da força resultante exercida pelos cabos em B.

Resp. º96;º40;º129 N; 378,5 R;k40-j290i-240R zyx