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Fonte de todo conteúdo do CD: Olimpíada Brasileira de Matemática

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2010

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EDITORA FTD S.A.

Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 − Bela Vista − São Paulo − SP

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Silmara Sapiense Vespasiano

Editora

Rosa Maria Mangueira

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Preparadoras

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Cibely Aguiar de Souza Sala

Fernanda Kupty

Iara Rivera Soldera

Solange Guerra

Yara Affonso

Coordenador de produção editorial

Caio Leandro Rios

Assistente de produção

Ana Paula Iazzetto

Editor de arte e projeto gráfico

Carlos Augusto Asanuma

Editoração eletrônica

Diagramação

Cláudia da Silva

Nadir Fernandes Racheti

Gerente de pré-impressão

Reginaldo Soares Damasceno

3

Prezado professor,

Este CD contém provas, gabaritos

e resoluções das Olimpíadas

Brasileiras de Matemática de

2000 a 2009, níveis 1 e 2, 1a. e 2a. fases,

para você preparar avaliações,

simulados ou questões extras.

No propósito de aprimorar cada vez

mais seu trabalho, é que oferecemos

esta ferramenta, na certeza de que ela

lhe será muito útil.

APRESENTAÇÃO

4

A

B

C

D

XXXI OLIMPÍADABRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2009

PROVASNível 1 (6o. e 7o. anos)

PRIMEIRA FASE • • • • • •

Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos

Estados de:AL – BA – ES – GO – MA – RS – RN – SP – SC

1 Se 18

de um número é 15

, quanto vale 58

desse

número?

A) 18

B) 15 C) 1 D)

85

E) 2

2 Na figura, C é um pon-to do segmento BD tal que ACDE é um retân-gulo e ABCE é um pa-ralelogramo de área 22 cm2. Qual é a área de ABDE, em cm2?

A) 28 B) 33 C) 36 D) 42 E) 44

3 Numa festa, o número de pessoas que dançam é igual a 25% do número de pessoas que não dan-çam. Qual é a porcentagem do total de pessoas na festa que não dançam?

A) 50% B) 60% C) 75% D) 80% E) 84%

4 De quantas maneiras dois casais podem sentar-se em quatro cadeiras em fila se marido e mulher de-vem sentar-se em cadeiras vizinhas?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 24

5 Eliana tem 27 cubos iguais em tamanho, mas 4 são brancos e os demais, pretos. Com esses 27 cubos, ela monta um cubo maior. No máximo, quantas faces inteiramente pretas ela poderá obter?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6 A figura ao lado é o mapa de um bairro: os pontos A, B, C e D são as casas, e os segmentos são as ruas. De quantas casas é possível fazer um caminho que passa exatamente uma vez por cada uma das ruas? É permitido passar mais de uma vez por uma mes-ma casa.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

7 Se a 5 240, b 5 320 e c 5 710, então: A) c , b , a D) b , c , a B) a , c , b E) c , a , b C) b , a , c

8 Esmeralda lançou um dado dez vezes e obteve 57 como soma de todos os pontos obtidos nesses lançamentos. No mínimo, quantas vezes saíram 6 pontos?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

9 Usando palitos de fósforos, podemos construir um hexágono regular, formado por seis triângulos equi-láteros unitários, como mostra a figura. Juntando mais palitos a esse hexágono, queremos obter outro hexágono regular com o quádruplo da área, tam-bém formado por triângulos equiláteros unitários. Quantos palitos deverão ser acrescentados?

A) 12 C) 30 E) 48 B) 24 D) 36

10 Cinco cartas iguais têm um lado branco e um lado preto. Elas se encontram em fila com a face branca para cima. Um movimento consiste em escolher um único par de cartas vizinhas e virá-las. No mínimo, quantos movimentos são necessários para que as cartas fiquem como na figura ao lado?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5E) Não é possível obter a configuração acima.

11 Uma barra de chocolate é dividida entre Nelly, Pe-

nha e Sônia. Sabendo que Nelly ganha 25

da barra,

Penha ganha 14

e Sônia ganha 70 gramas, o peso

da barra, em gramas, é: A) 160 C) 240 E) 400 B) 200 D) 280

E

B

A

C

D

5

12

6

39

A B

D C P

QM

12 Numa fila para compra de ingressos para um jogo da seleção brasileira, havia 49 pessoas: 25 corintia-nos, 14 flamenguistas e 10 gremistas. Sabendo que cada pessoa da fila torce para um único time, dois torcedores do mesmo time não estão em posições consecutivas, podemos concluir que:A) tal fila não existe.B) algum dos torcedores das extremidades da fila é

gremista.C) algum dos torcedores das extremidades da fila é

flamenguista.D) algum flamenguista é vizinho de um gremista.E) algum gremista é vizinho de dois corintianos.

13 Na figura, P é um ponto da reta CD. A região cinza é comum ao retângulo ABCD e ao triângulo ADP.Se AB 5 5 cm, AD 5 8 cm e a área da região cinza é 34

da área do retângulo, quanto vale a distância PC?

A) 1 cm C) 3 cm E) 5 cm B) 2 cm D) 4 cm

14 Numa pesquisa sobre o grau de escolaridade, obtive-ram-se os resultados expressos no gráfico abaixo:

Que fração do total de entrevistados representa o total de pessoas que terminaram pelo menos o En-sino Fundamental?

A) 1

17 B)

313

C) 5

16 D)

1113

E) 1617

15 Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três algarismos se cada algaris-mo de A é maior do que o algarismo corresponden-te de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542, pois 1 , 2. Quantos números de três algarismos detonam 314?

A) 120 C) 360 E) 600 B) 240 D) 480

16 O relógio de parede indica inicialmente meio-dia.

Os ponteiros das horas e dos minutos irão formar um ângulo de 90 graus pela primeira vez:A) entre 12h e 12h10min.B) entre 12h10min e 12h15min.C) entre 12h15min e 12h20min.D) entre 12h20min e 12h25min.E) após as 12h25min.

17 Eduardo escreveu todos os números de 1 a 2009 numa folha de papel. Com os amigos, combinou o seguinte: cada um deles poderia apagar quantos números quisesse e escrever, no fim da lista, o alga-rismo das unidades da soma dos números apaga-dos. Por exemplo, se alguém apagasse os números 28, 3, 6, deveria escrever no fim da lista o número 7, pois 28 1 3 1 6 5 37. Após algum tempo, sobraram somente dois números. Se um deles era 2 000, qual dos números a seguir poderia ser o outro?

A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) 6

18 Uma folha de caderno de Carlos é um retângulo com dois lados (bordas) amarelos de 24 cm e dois lados (bordas) vermelhos de 36 cm. Carlos pinta cada ponto do retângulo na mesma cor do lado mais próximo desse ponto. Qual é a área da região pintada de amarelo?

A) 144 cm2 C) 364 cm2 E) 524 cm2

B) 288 cm2 D) 442 cm2

19 O professor Piraldo aplicou uma prova de 6 ques-tões para 18 estudantes. Cada questão vale 0 ou 1 ponto; não há pontuações parciais. Após a prova, Pi-raldo elaborou uma tabela como a seguinte para or-ganizar as notas, em que cada linha representa um estudante e cada coluna representa uma questão.

Questões Estudantes

1 2 3 4 5 6

Arnaldo 0 1 1 1 1 0

Bernaldo 1 1 1 0 0 1

Cernaldo 0 1 1 1 1 0

Piraldo constatou que cada estudante acertou exa-tamente 4 questões e que cada questão teve a mes-ma quantidade m de acertos. Qual é o valor de m?

A) 8 C) 10 E) 14 B) 9 D) 12

6

esq

uer

da

frente

vista da esquerda

vista da frente

esq

uer

da

frentees

qu

erd

afrente

esq

uer

da

frente

esq

uer

da

frente

(1) (2) (3)

fig. 1 fig. 2

20 Alguns cubos foram empilhados formando um bloco. As figuras abaixo representam a vista da esquerda e da frente desse bloco.

Olhando o bloco de cima, qual das figuras a se-guir não pode ser vista?

A) C) E)

B) D)

SEguNdA FASE – parte A • • • • • •

1 A figura abaixo mostra castelos de cartas de 1, 2 e 3 andares. Para montar esses castelos, foram usa-das 2, 7 e 15 cartas, respectivamente. Quantas car-tas serão necessárias para montar um castelo de 5 andares?

2 Numa classe do 6º. ano, de cada 11 estudantes, 4 são meninas. Se há 15 meninos a mais que meninas, quantos alunos há na classe?

3 Num curso com duração de cinco dias, a frequên cia dos alunos foi registrada na tabela abaixo:

Dia de aula1o

dia2o

dia3o

dia4o

dia5o

dia

Quantidade de alunos presentes

271 296 325 380 168

Cada aluno faltou exatamente dois dias. No dia de menor frequência, de quantos por cento foi o total de faltas?

4 Mariazinha deseja cobrir o tampo de uma mesa re-tangular de 88 cm por 95 cm colando quadrados de cartolina de lado 10 cm, a partir de um canto, como mostrado na figura. Ela cola os quadrados sem buracos nem superposições, até chegar às bor-das opostas. Aí, em vez de cortar as folhas para não ultrapassar as bordas, ela as sobrepõe, formando regiões retangulares com duas folhas de espessu-ra (região cinza) e uma pequena região retangular com quatro folhas de espessura (região preta). Qual é a área da região coberta por quatro folhas?

5 O número 200920092009... 2009 tem 2008 algaris-mos. Qual é a menor quantidade de algarismos que devem ser apagados, de modo que a soma dos al-garismos que restarem seja 2008?

6 Dizemos que dois ou mais números, com a mesma quantidade de algarismos, são membros da mesma família, quando todos possuem pelo menos um algarismo comum. Por exemplo, os números 72, 32, 25 e 22 pertencem à mesma família, pois todos possuem o algarismo 2, enquanto os números 123, 245 e 568 não pertencem à mesma família, pois não há um algarismo que apareça nesses três números. Qual é a maior quantidade de membros de uma fa-mília, cujos elementos têm três algarismos?

SEguNdA FASE – parte B • • • • • •

1 Carlinhos tem folhas iguais na forma de triângulos retângulos de lados 6 cm, 8 cm e 10 cm. Em cada triân gulo, o ângulo assinalado opõe-se ao menor lado. Fazendo coincidir lados iguais desses triân-gulos sobre uma mesa, sem superpor as folhas, ele desenha o contorno de cada figura obtida (linha grossa), como nos exemplos abaixo. O perímetro de uma figura é o comprimento do seu contorno.

a) Qual é a diferença entre os perímetros das figu-ras 1 e 2 do exemplo?

b) Com figuras de três triângulos, qual é o maior pe-rímetro que pode ser obtido?

7

A

B

C

D

B

E C D

A

_

α α α

b

2 Esmeralda ia multiplicar um número A de três alga-rismos por outro número B de dois algarismos, mas na hora de multiplicar inverteu a ordem dos dígitos de B e obteve um resultado 2 034 unidades maior.a) Qual era o número A, se os dígitos de B eram con-

secutivos?b) Qual seria o número A, se os dígitos de B não fos-

sem consecutivos?

3 Um campeonato de xadrez de 7 rodadas, com 4 jo-gos por rodada, tem 8 participantes, cujas pontua-ções por jogo são as usuais: um ponto por vitória, meio ponto por empate e nenhum ponto por der-rota. Cada par de jogadores se enfrenta exatamente uma vez.a) Ao término da terceira rodada, é possível que um

grupo de jogadores esteja em primeiro lugar e o restante dos jogadores esteja em segundo lugar? Explique por meio de um exemplo.

b) Ao término da terceira rodada, é possível que todos os jogadores tenham pontuações diferen-tes? Explique.

Nível 2 (8o. e 9o. anos) PRIMEIRA FASE

• • • • • •Esta prova também corresponde à prova da

Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de:

AL – BA – ES – GO – MA – RS – RN – SP – SC

1 Se 18

de um número é 15

, quanto vale 58

desse

número?

A) 18

B) 15

C) 1 D) 85

E) 2

2 Usando palitos de fósforos, podemos construir um hexágono regular, formado por seis triângulos equi-láteros unitários, como mostra a figura. Juntando mais palitos a esse hexá-gono, queremos obter ou-tro hexágono regular com o quádruplo da área, tam-bém formado por triângu-los equiláteros unitários. Quantos palitos deverão ser acrescentados?

A) 12 B) 24 C) 30 D) 36 E) 48

3 De quantas maneiras dois casais podem sentar-se em quatro cadeiras em fila se marido e mulher de-vem sentar-se em cadeiras vizinhas?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 24

4 Se 1

54

x15 , o valor de

16x1

é:

A) 15

B) 14

C) 23

D) 45

E) 1

5 A figura ao lado é o mapa de um bairro: os pontos A, B, C e D são as casas, e os segmentos são as ruas. De quantas casas é possível fazer um caminho que passa exatamente uma vez por cada uma das ruas? É permitido passar mais de uma vez por uma mes-ma casa.

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

6 Os inteiros positivos m e n satisfazem 15m 5 20n. Então é possível afirmar, com certeza, que mn é múltiplo de:

A) 5 B) 10 C) 12 D) 15 E) 20

7 Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três algarismos se cada algaris-mo de A é maior do que o algarismo corresponden-te de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542, pois 1 , 2. Quantos números de três algarismos detonam 314?

A) 120 C) 360 E) 600 B) 240 D) 480

8 Uma barra de chocolate é dividida entre Nelly, Pe-

nha e Sônia. Sabendo que Nelly ganha 25

da barra,

Penha ganha 14

e Sônia ganha 70 gramas, o peso

da barra, em gramas, é: A) 160 C) 240 E) 400 B) 200 D) 280

9 Esmeralda lançou um dado dez vezes e obteve 57 como soma de todos os pontos obtidos nesses lançamentos. No mínimo, quantas vezes saíram 6 pontos?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

10 Na figura ao lado, a 5 18° e AB 5 AC 5 AD 5 AE. O valor do ângulo b é:

A) 18o D) 20o B) 36o E) 30o

C) 15o

11 Cinco cartas iguais têm um lado branco e um lado preto. Elas se encontram em fila com a face branca para cima. Um movimento consiste em escolher um único par de cartas vizinhas e virá-las. No mínimo, quantos movimentos são necessários para que as cartas fiquem como na figura ao lado?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5E) Não é possível obter a configuração acima.

8

A B

b

C

G

D

E

H F

A B

D C P

QM

F

SR

E

A

B

12 Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular, CDFG é um quadrado e DFH é um triângulo equilá-tero. O valor do ângulo b é:

A) 30o C) 39o E) 60o

B) 36o D) 45o

13 Numa fila para compra de ingressos para um jogo da seleção brasileira, havia 49 pessoas: 25 corintia-nos, 14 flamenguistas e 10 gremistas. Sabendo que cada pessoa da fila torce para um único time, dois torcedores do mesmo time não estão em posições consecutivas, podemos concluir que:A) tal fila não existe.B) algum dos torcedores das extremidades da fila é

gremista.C) algum dos torcedores das extremidades da fila é

flamenguista.D) algum flamenguista é vizinho de um gremista.E) algum gremista é vizinho de dois corintianos.

14 Na figura, P é um ponto da reta CD. A região cinza é comum ao retângulo ABCD e ao triângulo ADP.Se AB 5 5 cm, AD 5 8 cm e a área da região cinza

é 34

da área do retângulo, quanto vale a distân-

cia PC?


15 A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo nú-mero inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. Por exemplo, 18 pode ser representado por 5 1 13 ou, ainda, por 7 1 11. Considerando todas as possíveis represen-tações de 126, qual a maior diferença entre os dois primos que a formam?

A) 112 C) 92 E) 80 B) 100 D) 88

16 Na figura abaixo, E é o ponto médio de AB, F é o pon-to médio de AC e BR 5 RS 5 SC. Se a área do triân-gulo ABC é 252, qual é a área do pentágono AERSF?

A) 168 B) 189 C) 200 D) 210 E) 220

17 Quantos pares ordenados (x, y) de números reais

satisfazem a equação x y x y2 1 5( ) ( )2 22 0?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) infinitos

18 O professor Piraldo aplicou uma prova de 6 ques-tões para 18 estudantes. Cada questão vale 0 ou 1 ponto; não há pontuações parciais. Após a prova, Pi-raldo elaborou uma tabela como a seguinte para or-ganizar as notas, em que cada linha representa um estudante e cada coluna representa uma questão.

Questões Estudantes

1 2 3 4 5 6

Arnaldo 0 1 1 1 1 0

Bernaldo 1 1 1 0 0 1

Cernaldo 0 1 1 1 1 0

Piraldo constatou que cada estudante acertou exa-tamente 4 questões e que cada questão teve a mes-ma quantidade m de acertos. Qual é o valor de m?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 14

19 Entre os inteiros positivos n14018, n51 2 20092, , ..., , quantos são quadrados perfeitos?

A) 1 945 C) 1 947 E) 1 949 B) 1 946 D) 1 948

20 Para cada número natural n, seja Sn a soma dos dez primeiros múltiplos positivos de n. Por exemplo,

S2 5 2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 12 1 14 1 16 1 18 1 20.

Quanto é S S S S1 2 3 101 1 1 1 ?

A) 2 925 C) 3 125 E) 3 325 B) 3 025 D) 3 225

21 Em uma folha quadriculada em que cada quadrado tem lado 2 cm, são desenhados dois círculos como na figura abaixo. A distância mínima entre os dois círculos mede:

A) 3 cm

B) 10 cm

C) 10 31( ) cm

D) 10 2( ) cm

E) 10 3( ) cm

9

esq

uer

da

frente

vista da esquerda

vista da frente

esq

uer

da

frente

esq

uer

da

frente

esq

uer

da

frente

esq

uer

da

frente

E

LB

H

CGD

K

F

A

22 Quantos números naturais de 1 a 100, inclusive, podem ser escritos na forma de potência ab, com a, b IN e a, b . 1?

A) 10 C) 14 E) 18

B) 12 D) 16

23 Uma folha de caderno de Carlos é um retângulo com dois lados (bordas) amarelos de 24 cm e dois lados (bordas) vermelhos de 36 cm. Carlos pinta cada ponto do retângulo na mesma cor do lado mais próximo desse ponto. Qual é a área da região pintada de amarelo?

A) 144 cm2 C) 364 cm2 E) 524 cm2

B) 288 cm2 D) 442 cm2

24 Os inteiros 0 , x , y , z , w , t são tais que w 5 z(x 1 y) e t 5 w(y 1 z). Sendo w 5 9, então t é igual a:

A) 45 C) 63 E) 81

B) 54 D) 72

25 Alguns cubos foram empilhados formando um bloco. As figuras abaixo representam a vista da esquerda e da frente desse bloco.

Olhando o bloco de cima, qual das figuras a se-guir não pode ser vista?

A) C) E)

B) D)

SEguNdA FASE – parte A • • • • • •

1 Esmeralda tem uma garrafa com 9 litros de uma mistura que tem 50% de álcool e 50% de água. Ela quer colocar água na garrafa de tal forma que ape-nas 30% da mistura seja de álcool. Quantos litros de água ela irá colocar?

2 Se a, b, c e d são, em alguma ordem, 1, 2, 3 e 4. Qual é o maior valor possível de

ab 1 bc 1 cd 1 da?

3 Dizemos que dois ou mais números, com a mesma quantidade de algarismos, são membros da mesma família, quando todos possuem pelo menos um al-garismo em comum. Por exemplo, os números 32, 25 e 22 pertencem à mesma família, enquanto 123, 245 e 568 não pertencem à mesma família, pois 123 e 568 não pertencem à mesma família. Qual é a maior quantidade de membros de uma família, cujos elementos têm três algarismos?

4 Determine a quantidade de inteiros de dois algaris-mos que são divisíveis pelos seus algarismos.

5 Na figura abaixo, ABCD e EFGH são quadrados de lado 48 cm. Sabendo que A é o ponto médio de EF e G é o ponto médio de DC, determine a área desta-cada em cm2.

SEguNdA FASE – parte B • • • • • •

1 Sejam m e n dois inteiros positivos primos entre si. O Teorema Chinês dos Restos afirma que, dados intei-ros i e j, com 0 < i , m e 0 < j , n, existe exatamen-te um inteiro a, com 0 < a , m ? n, tal que o resto da divisão de a por m é igual a i e o resto da divisão de a por n é igual a j. Por exemplo, para m 5 3 e n 5 7, temos que 19 é o único número que deixa restos 1 e 5 quando dividido por 3 e 7, respectivamente.Assim, na tabela a seguir, cada número de 0 a 20 aparecerá exatamente uma vez.

Restos por 7

Restos por 3

0 1 2 3 4 5 6

0

1 19

2

Qual a soma dos números das casas destacadas?

10

2 Observe:x r x s x r s x rs 5 1 1( )( ) ( )2

Assim, substituindo x por r e por s, obtemos:

r r s r rs

s r s s rs

a r r s r rn n2

2

2 10

0

1 1 5

1 1 5

1 11 1( )

( )

( ( )⇒

ss r

b s r s s rs s

n

n n n

?

?

)

( ( ) )

5

1 1 51 1

0

02 1

Somando as duas equações e sendo S a r b snn n5 1? ? ,

verifica-se que:

S r s S rsSn n n1 15 1 2 1( )

Dados S ar bs1 15 1 5 , S ar bs2

2 2 25 1 5 , S ar bs33 3 55 1 5 e

S ar bs44 4 65 1 5 , determine S ar bs5

5 55 1 .

3 Seja N o ponto do lado AC do triângulo ABC tal que AN 5 2NC e M o ponto do lado AB tal que MN é per-pendicular a AB. Sabendo que AC 5 12 cm e que o

baricentro G do triângulo ABC pertence ao segmen-to MN, determine o comprimento do segmento BG.Obs.: Baricentro é o ponto de interseção das media-nas do triângulo.

4 Um campeonato de xadrez de 7 rodadas, com 4 jo-gos por rodada, tem 8 participantes, cujas pontua-ções por jogo são as usuais: um ponto por vitória, meio ponto por empate e nenhum ponto por der-rota. Cada par de jogadores se enfrenta exatamente uma vez.a) Ao término da terceira rodada, é possível que

todos os jogadores tenham pontuações dis-tintas?

b) Se no final do campeonato todos os jogadores têm pontuações distintas, qual o menor núme-ro possível de pontos obtidos pelo primeiro colocado?

11

XXX OLIMPÍADABRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2008




Estados de:AL – BA – ES – GO – PI – RN – RS – SC

1 Com segmentos de 1 cm de comprimento podemos formar triângulos. Por exemplo, com nove desses segmentos podemos formar um triângulo equiláte-ro de lado 3 cm. Com qual número de segmentos a seguir é impossível formar um triângulo?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

2 Esmeralda compra cinco latas de azeite a quatro reais e setenta centavos a lata, cinco latas de leite em pó a três reais e doze centavos cada e três caixas de iogurte com seis iogurtes cada caixa ao preço de oitenta centavos por iogurte. Paga com uma nota de cinquenta reais e quer saber quanto irá receber de troco. Qual das expressões aritméticas a seguir representa a solução para este problema?A) 50 5 4 70 3 12 18 0 80 3 1 1 3( , , ) , B) 5 4 70 5 3 12 3 6 0 80 503 1 3 1 3 3 , , ,C) 5 4 70 3 12 3 6 0 80 503 1 1 3 3 1( , , ) ,[ ] D) 50 5 4 70 3 12 3 6 0 80 3 1 1 3 1( , , ) ,[ ]E) 50 5 4 70 3 12 6 0 80 3 1 1 3( , , ) ,[ ]

3 Uma pesquisa foi feita entre pessoas de ambos os sexos, em igual número, com a seguinte pergunta: Entre as cores azul, vermelho e amarelo, qual é a cor que você prefere? Cada pessoa apresentou a sua preferência por uma, e só uma, dessas cores. E o resultado da pesquisa aparece nos gráficos abaixo:

Podemos concluir que, em relação ao total de pesso-as pesquisadas, a ordem de preferência das cores é:

A) I, II, III B) I, III, II C) II, I, III D) II, III, I E) III, II, I

4 O quociente e o resto na divisão de 26 097 por 25 são, respectivamente:

A) 1 043 e 22 C) 143 e 22 E) 144 e 3 B) 1 044 e 3 D) 1 044 e 22

5 Numa reunião da comunidade do bairro, cada uma das 125 pessoas presentes recebeu um número di-ferente, a partir do número 1 até o 125. Em dado momento, foi feita uma lista das pessoas com nú-mero par e das pessoas com número múltiplo de 3, que deveriam participar de um projeto. Algumas pessoas reclamaram, dizendo que o seu nome apa-recia duas vezes na lista. Quantas pessoas aparece-ram duas vezes na lista?

A) 2 B) 6 C) 20 D) 41 E) 62

6 Sobre uma mesa retangular de uma sala foram colocados quatro sólidos, mostrados no desenho. Uma câmera no teto da sala, bem acima da mesa, fotografou o conjunto. Qual dos esboços a seguir representa melhor essa fotografia?

A) D)

B) E)

C)

7 Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, 60% de todos os alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

12

50 cm

30 cm

45o 45o

3

8 Uma urna contém 2 008 cartões. Cada cartão rece-beu um número diferente, a partir do número 1 até o 2 008. Retiram-se dois cartões ao acaso e somam- -se os números dos cartões. Quantos números ímpa-res diferentes podem ser obtidos dessa maneira?

A) 1 004 C) 2 007 E) 4 016 B) 1 005 D) 2 008

9 Juntando quatro trapézios iguais de bases 30 cm e 50 cm, como o da figura abaixo, podemos formar um quadrado de área 2 500 cm2, com um “buraco” quadrado no meio. Qual é a área de cada trapézio, em cm2?

A) 200 B) 250 C) 300 D) 350 E) 400

10 Quantos números pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares?

A) 20 B) 48 C) 100 D) 125 E) 225

11 Sabe-se que 29

do conteúdo de uma garrafa en-

chem 56

de um copo. Para encher 15 copos iguais a

esse, quantas garrafas deverão ser usadas? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

12 Quantos quadrados têm como vértices os pontos do reticulado ao lado?

A) 6 C) 8 E) 10 B) 7 D) 9

13 A primeira fase da OBM se realiza no dia 14 de junho, um sábado do ano bissexto 2008. Daqui a quantos anos o dia 14 de junho será novamente no sábado?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

14 No desenho temos AE 5 BE 5 CE 5 CD. Além disso, a e b são medidas de ângulos. Qual é o valor da

razão αβ ?

A) 35

B) 45

C) 1 D) 54

E) 53

15 Na multiplicação ao lado, alguns algarismos, não necessariamente iguais, foram substituídos pelo sinal *. Qual é a soma dos valores desses algarismos?

A) 17 C) 37 E) 57 B) 27 D) 47

16 Três amigos moram na mesma rua: um médico, um engenheiro e um professor. Seus nomes são: Arnal-do (A), Bernaldo (B) e Cernaldo (C). O médico é filho único e o mais novo dos três amigos. Cernaldo é mais velho que o engenheiro e é casado com a irmã de Arnaldo. Os nomes do médico, do engenheiro e do professor, nessa ordem, são:

A) A, B, C C) B, A, C E) A, C, B B) C, A, B D) B, C, A

17 Dois cartões iguais têm a forma de um triângulo re-tângulo de lados 5 cm, 12 cm e 13 cm. Esmeralda juntou os dois cartões sobre uma folha de papel e, contornando as beiradas com um lápis, obteve uma figura como a abaixo, que está fora de escala. Qual é o perímetro dessa figura?


18 Qual é o maior número de algarismos que de-vem ser apagados do número de 1 000 algarismos 20082008…2008, de modo que a soma dos algaris-mos restantes seja 2 008?

A) 130 B) 260 C) 510 D) 746 E) 1 020

19 Soninha tem muitos cartões, todos com o mesmo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figu-ra abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?

A) 16 B) 25 C) 30 D) 60 E) 120

20 Três carros com velocidades constantes cada um, na mesma estrada, passam no mesmo momento por Brasilópolis. Ao viajar 100 quilômetros, o carro A passa por Americanópolis, 20 quilômetros à fren-te do carro B e 50 quilômetros à frente do carro C. Quando o carro B passar por Americanópolis, quan-tos quilômetros estará à frente do carro C?

A) 20 B) 25,5 C) 30 D) 35 E) 37,5

13

2

4

6

6 4

3 2

2

5

1

SEGUNDA FASE – parte A• • • • • •

1 Nicanor quer completar o Sudoku abaixo, de modo que em cada linha (fileira horizontal) e cada coluna (fileira vertical) apareçam todos os números de 1 a 6. Qual é a soma de todos os números que faltam para completar o Sudoku?

2 A partir das igualdades

3 1 8 8 15 3 16 8 27 5 24 8 3

2 009 2

2 2

2 2

2 2

2

5 5 ? 5 5 ? 5 5 ?

,,,

e 0007 82 5 ? N,

podemos escrever 2 009 1 42 5 ? ? 1N N 1)( . Qual é o valor de N?

3 Certo banco brasileiro obteve um lucro de R$ 4,1082 bilhões ao final do primeiro semestre de 2008. Esse valor representa um aumento de 2,5% em relação ao resultado obtido no mesmo período do ano pas-sado. Qual é a soma dos dígitos do número inteiro que representa, em reais, o lucro desse banco no primeiro semestre de 2007?

4 A piscina do clube que Es-meralda frequenta tem a forma de um hexágono (po-lígono com seis lados), com um ângulo interno de 270º, os demais ângulos de 90º e os quatro lados menores com 12 metros cada. Esme-ralda costuma nadar pelo meio da piscina, a partir do ponto A, descrevendo o trajeto representado, na figura, pelo ângulo reto ABC, em que AB 5 BC. Certo dia, ela nadou por esse trajeto 4 vezes, isto é, foi e voltou 2 vezes. Quantos metros ela percorreu?

5 Com o dinheiro que Carlinhos tinha, poderia ter comprado 600 gramas de queijo ou 400 gramas de presunto. Usando esse dinheiro, ele resolveu com-prar quantidades iguais de presunto e queijo. Quan-tos gramas de cada item ele comprou?

6 Quantos números inteiros maiores que zero e me-nores que 100 possuem algum divisor cuja soma dos dígitos seja 5?

SEGUNDA FASE – parte B• • • • • •

1 Zezinho tem 37 cartões quadrados de lado 6 cm e 21 cartões quadrados de lado 9 cm. Ele quer colar esses cartões lado a lado, sem sobrepô-los nem dei-xar buracos, formando quadrados maiores.a) Apresente, através de desenhos, duas maneiras

diferentes de Zezinho construir um quadrado de lado 27 cm.

b) Quantos cartões são necessários para construir o quadrado com a maior área possível?

2 Para construir o arranjo trian-gular de letras ao lado, que tem 2 008 linhas, obedeceu- -se a uma certa regra.a) Quantas vezes a palavra

OBM aparece completa-mente na maior coluna desse arranjo?

b) Quantas vezes a letra O aparece no arranjo?

3 Em Ferius, os pontos do dominó vão de 0 a 7, ao con-trário de um dominó comum, em que os pontos vão de 0 a 6. Uma peça do dominó de Ferius é chamada importante se a soma de seus pontos é par. Por exem-plo, os seguintes dominós são importantes:

a) Quantas peças diferentes possui o dominó joga-do em Ferius?

b) Quantas dessas peças são importantes?c) Qual é a soma dos pontos de todas as peças im-

portantes?

Nível 2 (8o. e 9o. anos)PRIMEIRA FASE



AL – BA – ES – GO – PI – RN – RS – SC

1 No desenho temos AE 5 BE 5 CE 5 CD. Além dis-so, a e b são medidas de ângulos. Qual é o valor

da razão αβ ?

A) 35

D) 54

B) 45

E) 53

C) 1

14

2 Quantos dos números abaixo são maiores que 10?

3 11 , 4 7 , 5 5 , 6 3 , 7 2

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3 1212 é igual a:

A) 66 B) 122 3 C) 2 312 6? D) 612 E) 1212

4 Uma grande empresa possui 84 funcionários, e sabe-se que cada funcionário fala pelo menos uma das línguas entre Português e Inglês. Além disso, 20% dos que falam Português também falam Inglês, e 80% dos que falam Inglês também falam Portu-guês. Quantos funcionários falam as duas línguas?

A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

5 Edmílson, Carlos e Eduardo ganharam um total de R$ 150,00 lavando carros. Eles ganharam quanti-dades diferentes de dinheiro. Como eles são muito amigos, decidiram dividir o dinheiro ganho em par-tes iguais. Para isso, Edmílson deu metade do que ganhou para dividir em partes iguais entre Carlos e Eduardo, porém, Carlos tinha muito dinheiro e, por-tanto, deu R$ 10,00 a cada um dos outros dois. Final-mente, para que cada um tivesse a mesma quanti-dade de dinheiro, Eduardo deu R$ 2,00 a Edmílson. Quanto Eduardo ganhou antes da divisão?

A) R$ 76,00 C) R$ 23,00 E) R$ 100,00 B) R$ 51,00 D) R$ 50,00

6 Nove números são escritos em ordem crescente. O número do meio é a média aritmética dos nove números. A média aritmética dos 5 maiores é 68, e a média aritmética dos 5 menores é 44. A soma de todos os números é:

A) 560 B) 504 C) 112 D) 56 E) 70

7 Quantos quadrados têm como vértices os pontos do reticulado ao lado?

A) 6 C) 8 E) 10 B) 7 D) 9 8 A primeira fase da OBM se realiza no dia 14 de

junho, um sábado do ano bissexto 2008. Daqui a quantos anos o dia 14 de junho será novamente no sábado?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

9 Cinco inteiros positivos, a, b, c, d, e, maiores que um, satisfazem as seguintes condições:

a b c d e( )

( )

( )

(

1 1 1 5

1 1 1 5

1

128

155

203

b a c d e

c a b d e

d a b

1 1 5

1 11 1 5

1 1 1 5

c e

e a b c d

)

( )

243

275

Quanto vale a soma a b c d e1 1 1 1 ? A) 9 B) 16 C) 25 D) 36 E) 49

10 Os algarismos a, b e c são tais que os números de

dois algarismos aa , bc e cb são números primos,

e aa bc cb aa1 1 52

. Se b c< , então bc é igual a: A) 19 B) 17 C) 37 D) 29 E) 59

11 Em um triângulo ABC foi traçada a altura AH. Sejam M e N pontos sobre os lados AB e AC, respectivamen-te, tais que HM é perpendicular a AB, e HN é perpen-dicular a AC. Achar MN, sabendo que o perímetro do triângulo órtico do triângulo ABC é igual a 10.Observação: o triângulo órtico de um triângulo é aquele cujos vértices são as interseções das alturas do triângulo com os respectivos lados. Pode-se de-monstrar que o incentro (encontro das bissetrizes) do triângulo órtico é sempre igual ao ortocentro (encontro das alturas) do triângulo original.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

12 Quantos números inteiros positivos menores que 500 têm exatamente 15 divisores inteiros positivos?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

13 Seja P(n) a soma dos algarismos pares do número n. Por exemplo, P( ) .1234 2 4 65 1 5 Qual o valor de P P P P( ) ( ) ( ) ... ( )?1 2 3 1001 1 1 1

A) 200 B) 360 C) 400 D) 900 E) 2 250

14 De quantas maneiras podemos dividir R$ 10,00 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos, se pelo me-nos uma moeda de cada valor tem que ser usada?

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

15 Sejam a, b, c, d números inteiros tais que a b< 2 , b c< 3 , c d< 4 . Se d < 40, o maior valor possível de a será:

A) 960 B) 959 C) 951 D) 934 E) 927

16 A figura abaixo é um exemplo de um quadrado má-gico de ordem 4. A soma dos 4 números em cada linha, coluna e diagonal é 34. Então dizemos que a soma mágica deste quadrado mágico é 34. Supo-nha que exista um quadrado mágico de ordem 7, formado pelos números inteiros de 1 a 49. Determi-ne sua soma mágica.

A) 175 B) 2 450 C) 1225 D) 190 E) 100

17 Observe que:

3 4 53 4 12 133 4 12 84 85

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 51 1 51 1 1 5

,,

.

Qual o menor valor possível da soma x 1 y com x, y inteiros positivos tais que 3 4 12 842 2 2 2 2 21 1 1 1 5x y ?

3 4 12 842 2 2 2 2 21 1 1 1 5x y ?

A) 289 B) 250 C) 425 D) 795 E) 103

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

15

A B C

D E F

A A A1 2 3

18 Um número de três algarismos é 629 vezes menor que a soma de todos os outros números de três al-garismos. Este número é:

A) 450 D) 471 B) 785 E) 525 C) 630

19 Soninha tem muitos cartões, todos com o mes-mo desenho em uma das faces. Ela vai usar cinco cores diferentes (verde, amarelo, azul, vermelho e laranja) para pintar cada uma das cinco partes do desenho, cada parte com uma cor diferente, de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quantos cartões diferentes Soninha conseguirá produzir?

A) 16 C) 30 E) 120 B) 25 D) 60

20 Em um triângulo ABC, A 5 20o e B 5 110o. Se I é o incentro (centro da circunferência inscrita), e O, o circuncentro (centro da circunferência circunscrita) do triângulo ABC, qual a medida do ângulo IAO?

A) 20o C) 30o E) 35o

B) 25o D) 40o

21 Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, 60% de todos os alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho?

A) 1 C) 4 E) 8 B) 2 D) 6

22 Na figura abaixo os pontos A, B, C são colineares, as-sim como os pontos D, E, F. As duas retas ABC e DEF são paralelas.

Sendo A1, A

2 e A

3 as áreas das regiões destacadas na

figura, podemos afirmar que:

A) A2 5 2A

1 5 2A

3 D) A

2 < A

11A

3

B) A

2 5 A

11A

3 E) A

22 5 A

1 ? A

3

C) A2 > A

11A

3

23 O grupo A da última Copa do Mundo de futebol ter-minou com os seguintes resultados:

Equipe Número de Pontos

Áustria 7

Brasil 5

Camarões 4

Dinamarca 0

Sabe-se que Áustria e Camarões levaram apenas 1 gol, cada um. Além disso, Brasil e Dinamarca marcaram apenas 1 gol, cada um, enquanto Áus-tria marcou 3 gols. Qual o resultado da partida Áustria 3 Dinamarca?Observação: no grupo, cada seleção joga com as demais exatamente uma vez e, em cada partida, o time vencedor ganha 3 pontos, o perdedor não ga-nha nem perde pontos e, em caso de empate, cada time ganha 1 ponto.A) 1 3 0 B) 2 3 1 C) 2 3 0 D) 0 3 0E) Nada se pode afirmar.

24 Abaixo temos um quadrado mágico multiplicativo, onde o produto dos números em cada linha, coluna e diagonal é o mesmo e igual ao número de quatro dígitos ABCD, onde cada letra representa um dígi-to, e cada casa contém um número inteiro. Se AC representa o número de dois dígitos no centro do quadrado, a soma A 1 B 1 C 1 D vale:

4

AC

C 24

A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21

25 Tenho um cubo de madeira, com três faces ver-melhas e três faces azuis. O cubo é cortado em 3 3 3 3 3 5 27 cubos menores. Quantos destes cubos menores têm, pelo menos, uma face verme-lha e outra azul? A) 6 B) 12 C) 14 D) 16E) depende de quais faces do cubo são vermelhas e

quais são azuis.


1 Sejam x e y números reais positivos satisfazendo as

equações x y2 2 11 5 e x y4 4 1718

1 5 . Calcule o valor

de 1

xy.

16

2 Um viajante, que se encontrava perdido na floresta, andou 1 metro para o Leste, 2 metros para o Norte, 3 para o Oeste, 4 para o Sul, 5 para o Leste, 6 para o Norte, ..., 2 006 metros para o Norte, 2 007 para o Oeste e 2 008 para o Sul. Calcule, em metros, o valor inteiro mais próximo da distância entre as posições inicial e final do viajante.

3 Os números a e b são as raízes da equação x x2 1 0 5 . Calcule 13 55 7? 1 ?α β .

4 Em um triângulo ABC, seja D um ponto sobre o lado BC tal que DB 5 14, DA 5 13 e DC 5 4. Sabendo que o círculo circunscrito ao triângulo ADB tem raio igual ao do círculo circunscrito ao triângulo ADC, calcule a área do triângulo ABC.

5 Dado um número natural N, multiplicamos todos os seus algarismos. Repetimos o processo com o número obtido até obtermos um número com um algarismo. Este número será chamado de pri-mitivo de N. Por exemplo, como 3 2 7 42? ? 5 e 4 2 8? 5 , concluímos que o primitivo de 327 é 8. Calcule a soma dos algarismos do maior número natural com todos os algarismos diferentes cujo primitivo é ímpar.


1 Encontre todos os triângulos retângulos, de lados com medidas inteiras, nos quais a área tem valor numérico igual ao do perímetro.

2 No quadro negro são escritos os números 12, 22, 32, 42, ..., 2 0082. Pedro e Igor jogam um jogo onde eles apagam alternadamente um número por vez até sobrarem apenas dois números. Se a diferença entre estes dois números for múltiplo de 2 009, Igor vence. Caso contrário, quem vence é Pedro. Saben-do que Pedro é o primeiro a jogar, diga quem possui a estratégia vencedora. Justifique sua resposta.

3 Seja ABC um triângulo acutângulo com BC 5 5. Seja E o pé da altura relativa ao lado AC e F o ponto mé-dio do lado AB. Se BE 5 CF 5 4, calcule a área do triângulo ABC.

4 Um país tem 8 cidades, A1, A

2, ..., A

6, B, C, ligadas por

rodovias de mão dupla satisfazendo as seguintes condições: B e C são ambas ligadas às cidades A

1,

A2, ..., A

6, mas não são ligadas uma à outra; A

1, A

2, ...,

A6 são ligadas duas a duas. Calcule o número de

maneiras distintas de viajar de carro de B a C, sem passar duas vezes por uma mesma cidade.

17

XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2007



Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada

Regional nos Estados de:AL – BA – ES – GO – PA – PI – RN – RS – SC

1 Observe as multiplicações a seguir:

101 11 1111101 111 11 211101 1111 112 211101 1111

3 53 53 53 11 1122 2115

…

Qual é a soma dos algarismos do número obtido quando multiplicamos 101 pelo número 11111 11

2007

algarismos 1

?

A) 1 001 B) 2 007 C) 2 009 D) 4 008 E) 4 014

2 Quantos números inteiros positivos de três algaris-mos têm a soma de seus algarismos igual a 4? Observação: lembre-se de que zeros à esquerda não devem ser contados como algarismos; por exemplo, o número 031 tem dois algarismos.

A) 4 B) 6 C) 7 D) 10 E) 12

3 Juntando dois retângulos iguais lado a lado, sem sobreposição, podemos formar dois tipos de figu-ra: um quadrado de área igual a 144 cm2 ou um re-tângulo de largura diferente do comprimento. Qual é o perímetro deste último retângulo, em cm?

A) 12 B) 24 C) 48 D) 60 E) 72

4 A figura ao lado é formada por dois quadrados de área 100 cm2 cada um, parcialmen-te sobrepostos, de modo que o perímetro da figura (linha mais grossa) é igual 50 cm. Qual é a área da região comum aos dois quadrados, em cm2 ?

A) 20 B) 25 C) 30 D) 40 E) 50

5 A soma de todos os números positivos ímpares até 2 007 menos a soma de todos os números po-sitivos pares até 2 007 é igual a:

A) 1 003 B) 1 004 C) 2 005 D) 2 006 E) 2 007

6 Sílvia pensou que seu relógio estava atrasado 10 min e o acertou, mas na verdade o relógio estava adiantado 5 min. Cristina pensou que seu relógio estava adiantado 10 min e o acertou, mas na ver-dade o relógio estava atrasado 5 min. Logo depois, as duas se encontraram, quando o relógio de Sílvia marcava 10 horas. Neste momento, que horas o re-lógio de Cristina indicava?

A) 9h30min C) 10 h E) 10h 15min B) 9h50min D) 10h5min 7 A fração a

b, onde a e b são inteiros positivos, repre-

senta um número entre 0 e 1, na posição indicada no desenho abaixo. Qual é um possível valor para a soma a b1 ?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 55

8 Em uma prova de olimpíada, 15% dos estudantes não resolveram nenhum problema, 25% resolve-ram pelo menos um problema, mas cometeram algum erro, e os restantes, 156 estudantes, resolve-ram todos os problemas corretamente. O número de estudantes que participaram da olimpíada foi:

A) 200 B) 260 C) 93 D) 223 E) 300

9 Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é 2 : 3 e entre o número de mulheres e crianças é 8 : 1. A razão entre o número de adultos e crianças é:

A) 5 : 1 B) 16 : 1 C) 12 : 1 D) 40 : 3 E) 13 : 1

10 Na figura, o lado AB do triângulo equilátero ABC é paralelo ao lado DG do quadrado DEFG. Qual é o valor do ângulo x?

A) 80o C) 100o E) 120o

B) 90o D) 110o

A

B C E

D x F

GA

G

Fx

D

B C E

ab

0 1

18

11 Uma loja de CDs realizará uma liquidação e, para isso, o gerente pediu para Anderlaine multiplicar todos os preços dos CDs por 0,68. Nessa liquida-ção, a loja está oferecendo um desconto de:

A) 68% B) 6,8% C) 0,68% D) 3,2% E) 32%

12 Esmeralda e Pérola estão numa fila. Faltam 7 pes-soas para serem atendidas antes de Pérola, e há 6 pessoas depois de Esmeralda. Duas outras pessoas estão entre Esmeralda e Pérola. Dos números abai-xo, qual pode ser o número de pessoas na fila?

A) 9 B) 11 C) 13 D) 14 E) 15

13 Preenchemos as casas vazias da tabela ao lado com o produto dos nú-meros que estão som-breados na mesma linha e na mesma coluna da casa vazia a ser preenchida. Quantas dessas casas con-terão números primos?

A) 6 B) 7 C) 12 D) 14 E) 26

14 O conteúdo de uma garrafa de refrigerantes en-che três copos grandes iguais e mais meio copo pequeno ou 5 desses copos pequenos iguais mais a metade de um daqueles grandes. Qual é a razão entre o volume de um copo pequeno e o de um grande?

A) 25

B) 37

C) 710

D) 59

E) 35

15 Um código de barras é formado por barras verti-cais pretas de três larguras diferentes. Duas barras pretas sempre são separadas por uma barra bran-ca, também com três larguras diferentes. O código começa e termina com uma barra preta, como no exemplo abaixo.

17 Lina e Lana brincam da seguinte maneira: a pri-meira a jogar pensa em um número de 10 a 99 e diz apenas a soma dos algarismos do número; a segunda tem então que adivinhar esse número. Qual é o maior número de tentativas erradas que a segunda pessoa pode fazer?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

18 Anita imaginou que levaria 12 minutos para ter-minar a sua viagem, enquanto dirigia à velocidade constante de 80 km/h, numa certa rodovia. Para sua surpresa, levou 15 minutos. Com qual velocidade constante essa previsão teria se realizado?

A) 90 km/h C) 100 km/h E) 120 km/h B) 95 km/h D) 110 km/h

19 O gráfico ao lado mostra o percentual de acertos numa pro-va de 60 testes de seis candidatos finalistas de um concurso. Qual foi o número médio de questões erradas por esses candidatos nessa prova?

A) 14 B) 24 C) 30 D) 32 E) 40

20 Ao efetuar a soma 13 13 13 13 131 2 3 2 006 2 0071 1 1 1 113 13 13 13 131 2 3 2 006 2 0071 1 1 1 1 obtemos um número inteiro. Qual é o alga-

rismo das unidades desse número? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9


1 O número N 5 1010010100101... contém somen-te os algarismos 0 e 1, de modo que o número de algarismos 0 entre dois algarismos 1 é um ou dois, alternadamente. O número N tem exatamente 101 algarismos. Qual é a soma de todos os algarismos do número N?

2 Uma folha de papel tem 20 cm de comprimento por 15 cm de largura. Dobramos essa folha ao meio, pa-ralelamente à sua largura. Em seguida, dobramos a folha retangular dupla, de modo que dois vértices opostos coincidam. Ao desdobrar a folha, as marcas da segunda dobra dividem a folha em duas partes, conforme mostrado na figura abaixo. Qual é a área da parte escura, em cm2?

1 2 3 5 7 11 1312357

1113

x

Considere um código S, formado por uma barra preta fina, duas médias e uma grossa, separadas por barras brancas finas. Quantos códigos S diferentes podem ser assim formados?

A) 4 B) 6 C) 12 D) 24 E) 36

16 No quadriculado abaixo, cada quadradinho tem 1 cm2. Os segmentos inclinados ligam pontos mé-dios dos lados dos quadradinhos ou um vértice ao centro de um quadradinho. Qual é a área ocupada pela sigla OBM, em cm2?

A) 28 D) 34

B) 32 E) 35

C) 33

A B C D E F

10%20%30%40%50%60%70%

3

19

3 Observe as igualdades a seguir:

1 2 1 41 2 3 2 1 91 2 3 4 3 2 1 16

1 2 3 2006

1 1 51 1 1 1 51 1 1 1 1 1 5

1 1 1 1

11 1 1 1 1 52007 2006 3 2 1 A

Qual é o valor de A

2232 ?

4 Uma folha retangular de cartolina foi cortada ao longo de sua diagonal. Num dos pedaços restan-tes, na forma de um triângulo retângulo, foram feitos dois cortes, paralelos aos lados menores, pelos meios desses lados. Ao final sobrou um re-tângulo de perímetro 129 cm. O desenho abaixo indica a sequência de cortes.

2 Esmeralda comprou seis discos de ferro para usar num aparelho de ginástica. Esses discos têm mas-sas 1, 2, 3, 4, 5 e 6 quilogramas, respectivamente. Es-meralda pode combiná-los e obter outras massas, como, por exemplo: 1 disco de 2 kg 1 1 disco de 6 kg 5 8 kg. Qual a maior quantidade de massas diferentes que ela pode obter?

3 Observe como o quadriculado abaixo é preenchido.

Em centímetros, qual era o perímetro da folha antes do corte?

5 Um reservatório cúbico internamente tem 2 metros

de lado e contém água até a sua metade. Foram co-locados no reservatório 25 blocos retangulares de madeira, que não absorvem água, de dimensões 20 30 1603 3 centímetros. Sabendo que 80% do volume de cada bloco permanece submerso na água, calcule, em centímetros, a altura atingida pela água, no reservatório.

6 A adição ao lado está incorreta. Entretanto, se substituirmos somente um certo algarismo a, to-da vez que ele aparece, por um certo algarismo b, a conta fica correta. Qual é o valor de ab ?


1 A área do quadrado ABCD é 300 cm2. Na figura, M é ponto médio de CD, e o ponto F pertence à reta BC.

M

3

3

3

3

a) Qual é a área do triângulo ABF?b) Qual é a área do triângulo ADF?

a) Qual é a soma dos elementos da diagonal 9?b) Qual é o resto da divisão por 100 da soma dos

elementos da diagonal 2 007?

Nível 2 (7o. e 8o. anos)



Regional nos Estados de:AL – BA – ES – GO – PA – PI – RN – RS – SC


101 11 1 111

101 111 11 211

101 1 111 112 211

101 11 11

3 5

3 5

3 5

3 11 1 122 2115

…

Qual é a soma dos algarismos do número obtido

quando multiplicamos 101 pelo número 11111 112007

… algarismos 1

?

A) 1 001 C) 2 009 E) 4 014 B) 2 007 D) 4 008

2 A fração ab

, onde a e b são inteiros positivos, repre-

senta um número entre 0 e 1, na posição indica-da no desenho ao lado. Qual é um possível valor para a soma a b1 ?

A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4

0 1

ab

1

20

3 Na figura, o lado AB do triângulo equilátero ABC é paralelo ao lado DG do quadrado DEFG. Qual é o valor do ângulo x?

A) 80o B) 90o C) 100o D) 110o E) 120o

4 Em uma certa cidade, a razão entre o número de

homens e mulheres é 2 : 3 e entre o número de mu-lheres e crianças é 8 : 1. A razão entre o número de adultos e crianças é:

A) 5 : 1 B) 16 : 1 C) 12 : 1 D) 40 : 3 E) 13 : 1

5 Em uma prova de olimpíada, 15% dos estudantes não resolveram nenhum problema, 25% resolve-ram pelo menos um problema, mas cometeram algum erro, e os restantes, 156 estudantes, resolve-ram todos os problemas corretamente. O número de estudantes que participaram da olimpíada foi:

A) 200 B) 260 C) 93 D) 223 E) 300

6 Se N é o quadrado do quadrado de um número in-

teiro e tem 12 como fator, o menor valor para N

12 é:

A) 3 B) 12 C) 36 D) 54 E) 108

7 O jardim da casa de Maria é formado por cinco qua-drados de igual área e tem a forma da figura abai-xo. Se AB 5 10 m, então a área do jardim em metros quadrados é:

A) 200 B) 10 5 C) 100 D) 500

3 E)

1003

8 Sejam a, b, c e k números reais diferentes de zero

satisfazendo as relações ka

b cb

c ac

a b5

15

15

1.

Qual é o número de possíveis valores que k pode assumir?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

9 Doze pontos estão sobre um círculo. Quantos po-lígonos convexos podemos formar com vértices nesses 12 pontos?

A) 4 017 B) 220 C) 4 095 D) 66 E) 3 572

10 De quantas maneiras diferentes podemos escre-ver o número 2 007 como soma de dois ou mais números inteiros positivos e consecutivos?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11 As equações do 2o grau 2 007 2 008 1 02x x1 1 5 e x x2 2 008 2 007 01 1 5 têm uma raiz comum. Qual é o valor do produto das duas raízes que não são comuns?

A) 0 B) 1 C) 2 007 D) 2 008 E) 2 007

12 Qual é o máximo valor que o número a b c b a c( ) ( )1 2 1 a b c b a c( ) ( )1 2 1 pode assumir se a, b e c são inteiros satis-

fazendo 1 10 a , 1 10 b e 1 10 c ? A) 80 B) 81 C) 84 D) 90 E) 100

13 A quantidade de inteiros x com três dígitos tais que 6x e 7x possuem a mesma quantidade de dígitos é:

A) 767 B) 875 C) 876 D) 974 E) 975

14 A figura abaixo é formada por três quadrados de lado 1 e um retângulo que os contorna.

A área do retângulo é:

A) 3 2 B) 4 2 C) 6 D) 6 2 E) 8

15 Se x é real positivo e 1 1 (x2 1 x)(x2 1 5x 1 6) = 1812, então o valor de x(x 1 3) é:

A) 180 B) 150 C) 120 D) 182 E) 75

16 A figura abaixo mostra um retângulo, um pentá-gono, um triângulo e um círculo, com áreas res-pectivamente 121, 81, 49 e 25 centímetros quadra-dos. A diferença entre a área preta e a área cinza, em centímetros quadrados, é:

A) 25 B) 36 C) 49 D) 64 E) 81

17 As seguradoras de automóveis A e B cobram um va-lor anual (prêmio) mais um valor que o usuário deve pagar em caso de acidente (franquia). Jean quer fa-zer um seguro para seu automóvel e recebeu as se-guintes propostas das seguradoras: Seguradora A: Prêmio anual de R$ 1500,00 e fran-quia de R$ 1400,00;Seguradora B: Prêmio anual de R$ 1700,00 e fran-quia de R$ 700,00.Para valer a pena Jean contratar a Seguradora A, ele não deve se acidentar com o carro por pelo menos N anos. O valor de N é:

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

A

B C E

D x F

GA

G

F

ECB

x

D

A

BB

A

21

18 O desenho abaixo mostra um dado comum cujas somas das pontuações em faces opostas é sempre igual a 7. Ele é colocado em uma mesa horizontal com a face “1” voltada para Leste. O dado é, então, movido quatro vezes.

Leste

Norte

Um movimento consiste em uma rotação de 90o em relação a uma aresta. Depois do primeiro mo-vimento a face em contato com a mesa passa a ser a “1”, depois a “2”, então a “3” e, finalmente, a face “5”. Para que sentido está voltada a face “1” após esta sequên cia de movimentos?

A) Oeste B) Leste C) Norte D) Sul E) Cima

19 Uma avenida possui 100 prédios numerados de 1 a 100, onde prédios com numeração par se situam do lado direito da rua, e prédios com numeração ímpar se situam no lado esquerdo. A quantidade de andares de cada prédio é igual à soma dos al-garismos do número correspondente ao prédio. Assim, podemos afirmar que: A) A quantidade de prédios com mais de 10 anda-

res é maior do lado direito da rua.B) A quantidade de prédios com menos de 5 anda-

res é maior do lado direito da rua. C) Pelo menos metade dos prédios possui 10 ou

mais andares.D) Em ambos os lados da rua há a mesma quanti-

dade de prédios com exatos 8 andares.E) Pelo menos 25% dos prédios possui menos de

5 andares.

20 Qual o menor perímetro inteiro possível de um tri-ângulo que possui um dos lados com medida igual

a 5 3

2?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E)12

21 Determine em qual dos horários abaixo o ângulo determinado pelos ponteiros de um relógio é o menor.

A) 02h30 C) 05h40 E) 09h55 B) 06h20 D) 08h50

22 O máximo divisor comum entre os números 1 221, 2 332, 3 443, 4 554,........, 8 998 é:

A) 3 B) 33 C) 37 D) 11 E) 101

23 Uma mesa de bilhar tem dimensões de 3 metros por 6 metros e tem caçapas nos seus quatro cantos P, Q, R e S. Quando uma bola bate na borda da mesa, sua trajetória forma um ângulo igual ao que a traje-tória anterior formava.

Uma bola, inicialmente a 1 metro da caçapa P, é batida do lado SP em direção ao lado PQ, como mostra a figura. A quantos metros de P a bola acer-ta o lado PQ se a bola cai na caçapa S após duas batidas na borda da mesa?

A) 1 B) 67

C) 34

D) 23

E) 35

24 (Anulada) Considere todos os números abc de três algarismos, onde b = a2 1 c2 e a 0. A diferença entre o maior e o menor destes números é um número: A) Múltiplo de 3 B) Primo C) Com último algarismo igual a 7 D) Cuja soma dos algarismos é 10E) Múltiplo de 7

25 (Anulada) Seja {an} uma sequência na qual cada

termo é definido como o dobro da soma dos alga-rismos do termo anterior, mais uma unidade. Por exemplo, se a

n = 234, então an11 = 2(2 1 3 1 4) 1 1.

Se, a1 = 1, o valor de a

31 1 a

32 1 a

33 1 a

34 1 a

35 é

igual a:

A) 44 B) 54 C) 64 D) 77 E) 84


1 Ludmílson descobriu que o produto da idade que tinha há 55 anos atrás pela idade que terá daqui a 55 anos é igual ao cubo de um número primo. Qual é a idade atual de Ludmílson?

2 Sendo f(x) 5 100x 1 3, calcule o valor de f f

f( ) ( )

( )10 1010 10

18 3

8 3

−

−22

2 2 .

3 Na figura abaixo temos um pentágono regular, um quadrado e um triângulo equilátero, todos com a mesma medida de lado.

Determine a medida, em graus, do ângulo QCE.

Norte

Leste

P

Q R

S

R

S

Q

P

Q

P

C

B

E R

A T S D

R

QC

E

DAATS

P

B

22

4 Um inteiro positivo K tem n algarismos e é igual a 2 608 ? n. Determine a soma dos algarismos de K.

5 Em 1949 o matemático indiano D. R. Kaprekar inventou um processo conhecido como Operação de Kaprekar. Primeiramente escolha um número de quatro dígitos (não todos iguais), em seguida escreva a diferença entre o maior e o menor número que podem ser formados a partir de uma permutação dos dígitos do número ini-cial. Repetindo o processo com cada número assim ob-tido, obtemos uma sequência. Por exemplo, se o primei-ro número for 2 007, o segundo será 7 200 2 0027 5 5 7 173. O terceiro será 7 731 2 1 377 5 6 354.Começando com o número 1 998, qual será o 2 007-ésimo termo da sequência?


1 O triângulo ABC é retângulo em B. Sejam I o centro da circunferência inscrita em ABC e O o ponto mé-

dio do lado AC. Se AOI = 45o, quanto mede, em graus, o ângulo ACB?

2 Sejam a e b as raízes da equação quadrática (x 2 2)(x 2 3) + (x 2 3)(x 1 1) + (x 1 1)(x 2 2) 5 0.Determine o valor de:

11 1

12 2

13 3( )( ) ( )( ) ( )( )a1 b1

1a2 b2

1a2 b2

3 a) Determine a quantidade de divisores do nú- mero N = 235 2 23. b) Mostre que para todo número natural n, n5 2 n é

múltiplo de 30.

4 Um quadrado 4 3 4 é dividido em 16 quadrados unitários. Cada um dos 25 vértices desses quadra-dos deve ser colorido de vermelho ou azul. Ache o número de colorações diferentes tais que cada quadrado unitário possua exatamente dois vértices vermelhos.

23

XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2006




Regional nos Estados de:BA – ES – RS – RN – PA – PE – PI – SC

1 Em um tanque há 4 000 bolinhas de pingue-pon-gue. Um menino começou a retirar as bolinhas, uma por uma, com velocidade constante, quando eram 10 h. Após 6 horas, havia no tanque 3 520 bolinhas. Se o menino continuasse no mesmo ritmo, quando o tanque ficaria com 2 000 bolinhas?A) às 11 h do dia seguinte B) às 23 h do mesmo diaC) às 4 h do dia seguinte D) às 7 h do dia seguinteE) às 9 h do dia seguinte

2 O gráfico a seguir apresenta informações sobre o impacto causado por 4 tipos de monocultura ao solo. Para cada tipo de monocultura, o grá-fico mostra a quantidade de água, em litros, e a de nutrientes (nitrogênio, fósforo e potássio), em quilogramas, consumidos por hectare para a produção de 1 kg de grãos de soja ou 1 kg de milho ou 1 kg de açúcar ou 1 kg de madeira de eucalipto. Sobre essas monoculturas, pode-se afirmar que:

A) O eucalipto precisa de cerca de 13

da massa de

nutrientes necessários de que a cana-de-açúcar precisa para se desenvolver.

B) O eucalipto é a que mais seca e empobrece o solo, causando desequilíbrio ambiental.

C) A soja é a cultura que mais precisa de nutrientes.D) O milho precisa do dobro do volume de água de

que precisa a soja.E) A cana-de-açúcar é a que necessita do ambiente

mais úmido para crescer.

3 Um time de futebol ganhou 8 jogos mais do que perdeu e empatou 3 jogos menos do que ganhou, em 31 partidas jogadas. Quantas partidas o time venceu?

A) 11 B) 14 C) 15 D) 17 E) 23

4 Efetuando as operações indicadas na expressão

2 22 2

2 0062 007 2 005

2 006 2 004

11

3

obtemos um número de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

5 Quantos números de três algarismos ímpares dis-tintos são divisíveis por 3?

A) 18 B) 24 C) 28 D) 36 E) 48

6 Uma empresa de telefonia celular oferece planos mensais de 60 minutos a um custo mensal de R$ 52,00, ou seja, você pode falar durante 60 minu-tos no seu telefone celular e paga por isso exata-mente R$ 52,00. Para o excedente, é cobrada uma tarifa de R$ 1,20 cada minuto. A mesma tarifa por minuto excedente é cobrada no plano de 100 mi-nutos, oferecido a um custo mensal de R$ 87,00. Um usuário optou pelo plano de 60 minutos, e no primeiro mês ele falou durante 140 minutos. Se ele tivesse optado pelo plano de 100 minutos, quantos reais ele teria economizado?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

7 Quantos triângulos isósceles têm como vértices os vértices do pentágono regular dese-nhado ao lado?

A) 5 D) 20 B) 10 E) 25 C) 15

8 Dos números a seguir, qual é o único que pode ser escrito como produto de quatro naturais con-secutivos?

A) 712 C) 1 026 E) 1 680 B) 548 D) 1 456

água nutrientes

soja milho eucaliptocana-de-açucar

0

500

1000

1500

20002 000

1 500

1 000

500

-açúcar

24

9 Ao redor de um grande lago existe uma ciclovia de 45 quilômetros de comprimento, na qual sempre se retorna ao ponto de partida se for percorrida num único sentido. Dois amigos partem de um mesmo ponto com velocidades constantes de 20 km por hora e 25 km por hora, respectivamente, em senti-dos opostos. Quando se encontram pela primeira vez, o que estava correndo a 20 km por hora aumen-ta para 25 km por hora, e o que estava a 25 km por hora diminui para 20 km por hora. Quanto tempo o amigo que chegar primeiro ao ponto de partida deverá esperar pelo outro?

A) nada C) 12 min E) 18 min B) 10 min D) 15 min

10 Num relógio digital, as horas são exibidas por meio de quatro algarismos. Por exemplo, ao mostrar 00:00 sabemos que é meia-noite e ao mostrar 23:59 sabemos que falta um minuto para meia-noite. Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostra-dos são todos pares?

A) 60 B) 90 C) 105 D) 180 E) 240

11 São dadas duas tiras retan-gulares de papel com 20 cm de comprimento, uma com 5 cm de largura e outra com 11 cm de largura. Uma delas foi colada sobre a outra, perpendicularmente, de modo a formar a figura ilustrada acima. Qual é o perímetro dessa figura, em centímetros?

A) 50 B) 60 C) 80 D) 100 E) 120

12 Seis amigos planejam viajar e decidem fazê-lo em duplas, cada uma utilizando um meio de transporte diferente, dentre os seguintes: avião, trem e carro. Alexandre acompanha Bento. André viaja de avião. Carlos não acompanha Dário nem faz uso do avião. Tomás não anda de trem. Qual das afirmações a se-guir é correta?A) Bento vai de carro, e Carlos vai de avião.B) Dário vai de trem, e André vai de carro.C) Tomás vai de trem, e Bento vai de avião.D) Alexandre vai de trem, e Tomás vai de carro.E) André vai de trem, e Alexandre vai de carro.

13 Usando pastilhas de cerâmica preta na forma de quadradinhos foi composta uma decoração numa parede, mostrada parcialmente abaixo:

Quantas pastilhas foram empregadas em toda a de-coração considerando-se que na última peça mon-tada foram utilizadas 40 pastilhas?

A) 60 B) 68 C) 81 D) 100 E) 121

14 Sara foi escrevendo nas casas de um tabuleiro 95 por 95 os múltiplos positivos de 4, em ordem crescente, conforme a figura a seguir.

4 8 12 16 20 . . . 376 380

760 756 752 748 744 . . . 388 384

764 → → → → . . . → →← ← ← ← ← . . . ← ←

...

U

O número que Sara escreveu onde se encontra a letra U é:

A) 35 192 C) 36 100 E) 36 108 B) 35 196 D) 36 104

15 O desenho à direita representa dois qua-drados menores con-gruentes de lado 20 e um quadrado maior. O vértice O é o úni-co ponto comum aos dois quadrados me-nores e é o centro do quadrado maior. Os vértices A, O e B estão alinhados, e a área da região do quadrado maior não pintada é igual a 36% da área de toda a região pintada. Qual é a área do quadrado maior?

A) 420 B) 496 C) 576 D) 640 E) 900

16 Um certo número inteiro positivo, quando dividido por 15, dá resto 7. Qual é a soma dos restos das divi-sões desse número por 3 e por 5?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

17 No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois é 3 844. Quantos anos Neto completa em 2006?

A) 55 B) 56 C) 60 D) 62 E) 108

18 A figura a seguir representa um Tangram, quebra--cabeças chinês formado por 5 triângulos, 1 para-lelogramo e 1 quadrado. Sabendo que a área do Tangram a seguir é 64 cm2, qual é a área, em cm2, da região sombreada?

A) 7,6 B) 8 C) 10,6 D) 12 E) 21,3

90°

A O B

25

19 As permutações da palavra BRASIL foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de seis le-tras em um dicionário. A 361a palavra nessa lista é:

A) BRISAL C) RASBIL E) LABIRS B) SIRBAL D) SABRIL

20 No planeta POT o número de horas por dia é igual ao número de dias por semana, que é igual ao número de semanas por mês, que é igual ao nú-mero de meses por ano. Sabendo que em POT há 4 096 horas por ano, quantas semanas há num mês?

A) 8 B) 12 C) 64 D) 128


1 Qual é a soma dos algarismos do número 22

22

22

22

22

2 3

2

4

3

2 005

2 004

2 006

2 0051 1 1 1 1... ?

2 A massa de gordura de uma certa pessoa corres-ponde a 20% de sua massa total. Essa pessoa, pe-sando 100 kg, fez um regime e perdeu 40% de sua gordura, mantendo os demais índices. Quantos qui-logramas ela pesava ao final do regime?

3 Quantos números de dois algarismos têm a soma desses algarismos igual a um quadrado perfeito? Lembre-se de que, por exemplo, 09 é um número de um algarismo.

4 Os números de 1 a 99 são escritos lado a lado: 123456789101112...9899. Então aplicamos a se-guinte operação: apagamos os algarismos que apa-recem nas posições pares, obtendo 13579012...89. Repetindo essa operação mais 4 vezes, quantos al-garismos irão sobrar?

5 Com a parte destacada da fo-lha retangular ao lado, pode-se montar um cubo. Se a área da folha é 300 cm2, qual é o volume desse cubo, em cm3?

6 Na tabela a seguir, escreva os números de 1 a 9 em cada coluna, de modo que a soma dos números es-critos nas 9 linhas seja a mesma, igual a Y. Seja X a soma dos números de cada coluna. Calcule X 1 Y.

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

X X X


1 Jade escreveu todos os números de 3 algarismos em cartões amarelos, um por cartão, e escreveu todos os números de 4 algarismos em cartões azuis, um por cartão. Os cartões são todos do mesmo tamanho.a) Ao todo, quantos cartões foram utilizados? Lem-

bre-se de que, por exemplo, 037 é um número de dois algarismos, bem como 0853 é um número de três algarismos.

b) Todos os cartões são então colocados numa mes-ma urna e embaralhados. Depois Jade retira os cartões, um a um, sem olhar o que está pegando. Quantos cartões Jade deverá retirar para ter certeza de que há dois cartões azuis entre os retirados?

2 No quadriculado ao lado, cada quadradinho tem 1 cm2 de área.a) Qual é a área e o perímetro

da figura formada pelos quadradinhos pintados de cinza?

b) Pintando outros quadradi-nhos, podemos aumentar a área dessa figura, sem mudar o seu perímetro. Qual é o valor máxi-mo da área que podemos obter dessa maneira?

3 Esmeralda inventou uma brincadeira. Digitou alguns algarismos na primeira linha de uma folha. Depois, na segunda linha, fez a descrição dos algarismos digitados da seguinte maneira: ela apresentou as quantidades de cada um dos que apareceram, em ordem crescente de algarismo. Por exemplo, após digitar 21035662112, ela digitou 103132131526, pois em 21035662112 existe um algarismo 0, três algarismos 1, três algarismos 2, um algarismo 3, um algarismo 5 e dois algarismos 6.a) Ela começou uma nova folha com 1. Fez, então,

sua descrição, ou seja, digitou 11 na segunda li-nha. Depois, descreveu 11, ou seja, digitou 21 na terceira linha, e assim continuou. O que ela digi-tou na 10a linha da folha?

b) Esmeralda gostou tanto de fazer isso que de-cidiu preencher várias folhas com essa brin-cadeira, começando com 01 na primeira linha da primeira folha. Quais são os dois primeiros algarismos da esquerda do que ela digitou na 2 006a linha?



1 Efetuando as operações indicadas na expressão ao lado, obtemos umnúmero de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

2 22 2

2 0062 007 2 005

2 006 2 004

11

3

26

2 São dadas duas tiras retangulares de papel com 20 cm de comprimento, uma com 5 cm de largura e outra com 11 cm de largura. Uma delas foi cola-da sobre a outra, perpendicularmente, de modo a formar a figura ilustrada abaixo. O perímetro dessa figura, em centímetros é:

A) 50 B) 60 C) 80 D) 100 E) 120

3 Se um número de dois dígitos é 5 vezes a soma de seus dígitos, então o número formado pela troca dos dígitos é a soma dos dígitos multiplicada por:

A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7

4 Ao redor de um grande lago existe uma ciclovia de 45 quilômetros de comprimento, na qual sempre se retorna ao ponto de partida se for percorrida num único sentido. Dois amigos partem de um mesmo ponto com velocidades constantes de 20 km por hora e 25 km por hora, respectivamente, em senti-dos opostos. Quando se encontram pela primeira vez, o que estava correndo a 20 km por hora aumen-ta para 25 km por hora, e o que estava a 25 km por hora diminui para 20 km por hora. Quanto tempo o amigo que chegar primeiro ao ponto de partida deverá esperar pelo outro?

A) nada C) 12 min E) 18 min B) 10 min D) 15 min

5 Na figura, AB 5 AC, AE 5 AD, e o ângulo BAD mede 30o. Então, o ângulo x mede:

B D C

E

A

30°

x

A) 10º B) 20º C) 15º D) 30º E) 5º

6 A soma de três números naturais consecutivos é igual ao produto desses três números. A soma dos quadrados desses números é:

A) 14 B) 15 C) 18 D) 24 E) 36

7 No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois é 3 844. Em 2006 Neto fará:

A) 55 anos C) 60 anos E) 108 anos B) 56 anos D) 62 anos

8 Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.

30° 126°

75° x

A medida do ângulo x é: A) 39º B) 41º C) 43º D) 44º E) 46º

9 Sejam a, b e c inteiros e positivos. Entre as opções abaixo, a expressão que não pode representar o nú-mero 24 é:

A) ab3 C) c ca b E) b c aa b c B) a2b3 D) ab2c3

10 O número de quadrados que podem ser construí-dos com vértices nos pontos da figura abaixo é:

A) 18 B) 14 C) 9 D) 20 E) 10

11 Seis amigos planejam viajar e decidem fazê-lo em duplas, cada uma utilizando um meio de transporte diferente, dentre os seguintes: avião, trem e carro. Alexandre acompanha Bento. André viaja de avião. Carlos não acompanha Dário nem faz uso do avião. Tomás não anda de trem. Qual das afirmações a se-guir é correta?A) Bento vai de carro, e Carlos vai de avião.B) Dário vai de trem, e André vai de carro.C) Tomás vai de trem, e Bento vai de avião.D) Alexandre vai de trem, e Tomás vai de carro.E) André vai de trem, e Alexandre vai de carro.

12 Um triângulo equilátero e um hexágono regular têm o mesmo perímetro. A razão entre a área do tri-ângulo e a área do hexágono é:

A) 12

B) 1 C) 23

D) 32

E) 13

13 O máximo divisor comum de todos os termos da sequência a

n 5

n3 n, n

5

1, 2, 3, ... é:

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

14 Samuel possui três irmãos a mais do que irmãs. O número de irmãos de Samila, irmã de Samuel, é igual ao dobro do número de suas irmãs. O número de filhos (homens e mulheres) que possui o pai de Samuel e Samila é:

A) 10 B) 13 C) 16 D) 17 E) 20

A

E

CDBx

x

90°

27

15 A figura a seguir representa um Tangram, quebra--cabeças chinês formado por 5 triângulos, 1 para-lelogramo e 1 quadrado. Sabendo que a área do Tangram a seguir é 64 cm2, qual é a área, em cm2, da região sombreada?

A) 7,6 B) 8 C) 10,6 D) 12 E) 21,3

16 João escreveu todos os números com menos de 4 dígitos usando apenas os algarismos 1 e 2 numa folha de papel e depois somou todos eles. O valor obtido foi:

A) 2 314 B) 3 000 C) 1 401 D) 2 316 E) 1 716

17 Sejam a, b e c números reais positivos cuja soma é 1. Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo, podemos concluir que:

A) 012

012

012

a b e b c e c a

B) a e b e c 12

12

12

C) a b e b c e c a1 1 1 12

12

12

D) a e b e c 13

13

13

E) a e b e c 13

13

13

18 O número de soluções inteiras e positivas do siste-ma abaixo é:

a b c

a b c

1 5

1 1 5

2

30

A) 45 B) 23 C) 24 D) 25 E) 72

19 Um número com dois dígitos distintos e não nulos é chamado de bonito se o dígito das dezenas é maior do que o dígito das unidades. A quantidade de nú-meros bonitos é:

A) 72 B) 36 C) 35 D) 64 E) 56

20 O professor Piraldo aplicou uma prova para seus cinco alunos e, após corrigi-las, digitou as notas em uma planilha eletrônica que calcula automati-camente a média das notas à medida que elas são

digitadas. Piraldo notou que após digitar cada nota a média calculada pela planilha era um número in-teiro. Se as notas dos cinco estudantes são, em or-dem crescente, 71, 76, 80, 82 e 91, a última nota que Piraldo digitou foi:

A) 71 B) 76 C) 80 D) 82 E) 91

21 Simplificando a expressão:

2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 31 ? 1 1 ? 1 1 1 ? 1

Obtemos:

A) 2 C) 1 E) 2 31

B) 3 D) 2 21

22 Ludmilson percebeu que para numerar as páginas de um livro, consecutivamente, a partir da página 2, foram usados 2 006 algarismos. O número de pági-nas do livro de Ludmilson é:

A) 701 B) 702 C) 703 D) 704 E) 705

23 Sejam x, y, z números reais não nulos tais que x 1 y 1 z 5 0. O valor de

x y zx y x z y z

2 2 23 3 3 3 3 3

1 1 1( )

1 1 é:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

24 Num relógio digital, as horas são exibidas por meio de quatro algarismos. Por exemplo, ao mostrar 00:00 sabemos que é meia-noite e ao mostrar 23:59 sabe-mos que falta um minuto para meia-noite. Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostrados são todos pares?

A) 60 B) 90 C) 105 D) 180 E) 240

25 Na figura a seguir, ABC é um triângulo qualquer e ACD e AEB são triângulos equiláteros. Se F e G são os pontos médios de EA e AC, respectivamente, a

razão BDFG

é:

C

A

B

D

E

G

F

A) 12

D) 2

B) 1 E) Depende das medidas dos

C) 32

lados de ABC.

D

A

CB

FE

G

28


1 Esmeralda posicionou todos os números naturais de 1 a 2 006 no seguinte arranjo em forma de pirâmide:

21

20 13 22

19 12 7 14 23

18 11 6 3 8 15 24

17 10 5 2 1 4 9 16 25

Em qual andar se encontrará o número 2 006? (Por exemplo: o número 1 está no primeiro andar, o 6, no segundo andar, e o 23, no terceiro).

2 A soma dos quadrados de três inteiros consecutivos é igual a 302. Qual é a soma desses números?

3 Seja ABC um triângulo retângulo em A. Conside-re M e N pontos sobre a hipotenusa BC tais que CN 5 NM 5 MB. Os pontos X e Y são tais que XA 5 AM e YA 5 AN. Determine a área do quadrilátero XYBC, sabendo que o triângulo ABC tem área 12 cm2.

C

N

M

B

X

Y

A

4 Um tabuleiro de xadrez 8 3 8 será decomposto em retângulos que satisfazem simultaneamente às se-guintes propriedades:(i) cada retângulo possui um número inteiro de casas;(ii) os diversos retângulos possuem números de ca-sas distintos entre si;(iii) cada retângulo possui a mesma quantidade de casas brancas e pretas.Qual é o maior número de retângulos que pode ter a decomposição do tabuleiro?

5 A partir de uma terna ordenada (a, b, c), obtemos uma sequência de ternas através de sucessivas transformações do tipo:

(a, b, c) → (a2 ? b, a b 1 c, b c).

Por exemplo, a partir da terna (1, 2, 3), obtemos a seguinte sequência:

(1, 2, 3) → (2, 2, 1) → (8, 1, 3) → (64, 12, 4) ...

Se começarmos com (1, 1, 1) como a primeira terna ordenada de uma sequência, qual será a soma dos três termos da terna que ocupará a 2 006a posição nesta sequência?

SEGUNDA FASE – parte B • • • • • •

1 Na Rua do Gengibre, existem n casas numeradas de 1 a n (n IN). As casas de numeração par ficam to-das de um mesmo lado da rua, com as casas de nu-meração ímpar do lado oposto. O prefeito Ludmil-son Amottarim resolveu derrubar alguma(s) casa(s) a fim de que as somas dos números das casas fos-sem iguais dos dois lados da rua. Para atingir o seu objetivo, qual é o número mínimo de casas que o prefeito deve derrubar se:a) a rua tem n 5 15 casas?b) a rua tem n 5 16 casas?c) a rua tem n 5 2 006 casas?

2 No triângulo ABC isósceles abaixo, I é o encontro das bissetrizes, e H é o encontro das alturas. Sabe-se que HAI 5 HBC 5 a. Determine o ângulo a.

B

C

I

H

A

3 Sejam a e b números reais distintos tais que a2 5 6b 1 1 5ab e b2 5 6a 1 5ab. a) Determine o valor de a 1 b.b) Determine o valor de ab.

4 Todos os inteiros de 1 a 2 006 são escritos num qua-dro. Então, cada um destes números é substituído pela soma de seus algarismos. Estas substituições são realizadas repetidas vezes até que tenhamos 2 006 números com 1 algarismo cada. Dos números que restaram no quadro, qual aparece mais vezes: o 1 ou o 2?

B

I

H

CA

29

XXVII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2005




Regional nos Estados de:AM – AL – BA – PA – PB – PI – PR– RS – RN – SC

1 Sabendo-se que 9 174 532 3 13 5 119 268 916 po-de-se concluir que é divisível por 13 o número:

A) 119 268 903 D) 119 268 913 B) 119 268 907 E) 119 268 923 C) 119 268 911 2 Numa caixa havia 3 meias vermelhas, 2 brancas

e 1 preta. Professor Piraldo retirou 3 meias da caixa. Sabendo-se que nenhuma delas era preta, pode-mos afirmar sobre as 3 meias retiradas que:A) são da mesma cor. B) são vermelhas.C) uma é vermelha e duas são brancas. D) uma é branca e duas são vermelhas.E) pelo menos uma é vermelha.

3 Diamantino colocou em um recipiente três litros de água e um litro de suco composto de 20% de polpa e 80% de água. Depois de misturar tudo, que por-centagem do volume final é polpa?

A) 5% B) 7% C) 8% D) 20% E) 60%

4 Perguntado, Arnaldo diz que 1 bilhão é o mesmo que um milhão de milhões. Professor Piraldo o corri-giu e disse que 1 bilhão é o mesmo que mil milhões. Qual é a diferença entre essas duas respostas?

A) 1 000 D) 999 000 000 B) 999 000 E) 999 000 000 000 C) 1 000 000

5 Numa sequência, cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois termos anteriores mais próximos. O se-gundo termo é igual a 1, e o quinto termo vale 2 005. Qual é o sexto termo?

A) 3 002 B) 3 008 C) 3 010 D) 4 002 E) 5 004

6 Um galão de mel fornece energia suficiente para uma abelha voar 7 milhões de quilômetros. Quan-tas abelhas iguais a ela conseguiriam voar mil qui-lômetros se houvesse 10 galões de mel para serem compartilhados entre elas?

A) 7 000 C) 700 000 E) 70 000 000 B) 70 000 D) 7 000 000

7 Três anos atrás, a população de Pirajussaraí era igual à população que Tucupira tem hoje. De lá para cá, a população de Pirajussaraí não mudou, mas a popu-lação de Tucupira cresceu 50%. Atualmente, as duas cidades somam 9 000 habitantes. Há três anos, qual era a soma das duas populações?

A) 3 600 B) 4 500 C) 5 000 D) 6 000 E) 7 500

8 Um agricultor esperava receber cerca de 100 mil reais pela venda de sua safra. Entretanto, a falta de chuva provocou uma perda da safra avaliada entre 15

e14

do total previsto. Qual dos valores a seguir

pode representar a perda do agricultor? A) R$ 21 987,53 D) R$ 51 987,53 B) R$ 34 900,00 E) R$ 60 000,00 C) R$ 44 999,99

9 Devido a um defeito de impressão, um livro de

600 páginas apresenta em branco todas as páginas cujos números são múltiplos de 3 ou de 4. Quantas páginas estão impressas?

A) 100 B) 150 C) 250 D) 300 E) 430

10 Seis retângulos idênticos são reunidos para formar um retângulo maior, conforme indicado na figura. Qual é a área deste retângulo maior?

21 cm

A) 210 cm2 C) 430 cm2 E) 588 cm2

B) 280 cm2 D) 504 cm2

11 O relógio do professor Piraldo, embora preciso, é

diferente, pois seus ponteiros se movem no senti-do anti-horário. Se você olhar no espelho o relógio quando ele estiver marcando 2h23min, qual das se-guintes imagens você verá?

A)

E E EEE A) B) C) D) E) C)

E E EEE A) B) C) D) E) E)

E E EEE A) B) C) D) E)

B)

E E EEE A) B) C) D) E) D)

E E EEE A) B) C) D) E)

30

12 Uma placa decorativa consiste num quadrado de 4 metros de lado, pin-tada de forma simétri-ca com algumas faixas, conforme indicações no desenho ao lado. Qual é a fração da área da placa que foi pintada?

A) 12

B) 13

C) 38

D)6

13 E)

711

13 Películas de insulfilm são utilizadas em janelas de edifícios e vidros de veículos para reduzir a radiação solar. As películas são classificadas de acordo com seu grau de transparência, ou seja, com o percen-tual da radiação solar que ela deixa passar. Colo-cando-se uma película de 70% de transparência so-bre um vidro com 90% de transparência, obtém-se uma redução de radiação solar igual a:

A) 3% B) 37% C) 40% D) 63% E) 160%

14 Na figura, os dois triângulos são equiláteros. Qual é o valor do ângulo x?

75° 65°

x

A) 30o B) 40o C) 50o D) 60o E) 70o

15 Um serralheiro solda varetas

de metal para produzir peças iguais que serão juntadas para formar o painel abaixo. O dese-nho ao lado apresenta as me-didas, em centímetros, de uma dessas peças. O ser-ralheiro usa exatamente 20 metros de vareta para fazer o seu trabalho.

Qual dos desenhos abaixo representa o final do painel?

A) D)

B) E)

C)

16 Dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, escolha alguns e coloque-os nos círculos brancos de tal for-ma que a soma dos números em dois círculos vizi-nhos seja sempre um quadrado perfeito. Atenção: o 2 já foi colocado em um dos círculos e não é permi-tido colocar números repetidos; além disso, círculos separados pelo retângulo preto não são vizinhos.

2

A soma dos números colocados em todos os círcu-los brancos é:

A) 36 B) 46 C) 47 D) 49 E) 55

17 Figuras com mesma forma representam objetos de mesma massa. Quantos quadrados são necessários para que a última balança fique em equilíbrio?

?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

18 As 10 cadeiras de uma mesa circular foram numera-das com números consecutivos de dois algarismos, entre os quais há dois que são quadrados perfeitos. Carlos sentou-se na cadeira com o maior número, e Janaína, sua namorada, sentou-se na cadeira com o menor número. Qual é a soma dos números dessas duas cadeiras?

A) 29 B) 36 C) 37 D) 41 E) 64

19 Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco domingos?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

20 As nove casas de um tabuleiro 3 33 devem ser pin-tadas de forma que cada coluna, cada linha e cada uma das duas diagonais não tenham duas casas de mesma cor. Qual é o menor número de cores neces-sárias para isso?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7


1 O tanque do carro de Esmeralda, com capacidade de 60 litros, contém uma mistura de 20% de álcool e 80% de gasolina ocupando metade de sua capacidade. Esmeralda pediu para colocar álcool no tanque até que a mistura ficasse com quantidades iguais de ál-cool e gasolina. Quantos litros de álcool devem ser colocados?

10

10

10 5 5

5

1m

1m 1m

1m

1m 1m

oo

31

2 Na sequência de números 1, a, 2, b, c, d, ..., dizemos que o primeiro termo é 1, o segundo termo é a, o terceiro termo é 2, o quarto termo é b, e assim por diante. Sabe-se que essa sequência tem 2005 termos e que cada termo, a partir do terceiro, é a média aritmética de todos os termos anteriores. Qual é o último ter-mo dessa sequência?

3 Natasha é supersticiosa e, ao numerar as 200 pági-nas de seu diário, começou do 1 mas pulou todos os números nos quais os algarismos 1 e 3 aparecem juntos, em qualquer ordem. Por exemplo, os núme-ros 31 e 137 não aparecem no diário, porém 103 aparece.Qual foi o número que Natasha escreveu na última página do seu diário?

4 Juliana foi escrevendo os números inteiros positi-vos em quadrados de papelão, colados lado a lado por fitas adesivas representadas pelos retângulos escuros no desenho ao lado. Note que cada fila de quadra-dos tem um quadra-do a mais que a fila de cima. Ela escreveu até o número 105 e parou. Quantos pe-daços de fita adesiva ela usou?

5 Lara tem cubos iguais e quer pintá-los de maneiras diferentes, utilizando as cores laranja ou azul para colorir cada uma de suas faces. Para que dois cubos não se confundam, não deve ser possível girar um deles de forma que fique idên-tico ao outro. Por exemplo, há uma única maneira de pintar o cubo com uma face laranja e cinco azuis.Quantos cubos pintados de modos diferentes ela consegue obter?

6 Um carpinteiro fabrica caixas de madeira abertas na parte de cima, pregando duas placas retangula-res de 600 cm2 cada uma, duas placas retangulares de 1 200 cm2 cada uma e uma placa retangular de 800 cm2, conforme re-presentado no desenho. Qual é o volume, em li-tros, da caixa? Note que 1 litro 5 1 000 cm3.


1 Quatro peças iguais, em forma de triângulo retân-gulo, foram dispostas de dois modos diferentes, como mostram as figuras.

AB

CD

E

F

G

H

M N

OP

I J

KL

AB

CD

E

F

G

H

M N

OP

I J

KL

Os quadrados ABCD e EFGH têm lados respectiva-mente iguais a 3 cm e 9 cm. Calcule as áreas dos quadrados IJKL e MNOP.

2 Considere três números inteiros positivos consecu-tivos de três algarismos tais que o menor é múltiplo de 7, o seguinte é múltiplo de 9, e o maior é múlti-plo de 11. Escreva todas as sequências de números que satisfazem a essas propriedades.

3 Cada peça de um jogo de dominó possui duas casas numeradas. Considere as 6 peças formadas apenas pelos números 1, 2 e 3.A) De quantos modos é possível colocar todas es-

tas peças alinhadas em sequência, de modo que o número da casa da direita de cada peça seja igual ao número da casa da esquerda da peça imediatamente à direita?

A seguir, mostramos dois exemplos:

B) Explique por que não é possível fazer o mesmo com todas as 10 peças formadas apenas pelos números 1, 2, 3 e 4.




Regional nos Estados de:AM – AL – BA – PA – PB – PI – PR– RS – RN – SC

1 Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio “Compre um e leve outro pela metade do preço”. Outra promoção que a loja poderia fazer ofe-recendo o mesmo desconto percentual é:

A) “Leve dois e pague um” B) “Leve três e pague um” C) “Leve três e pague dois” D) “Leve quatro e pague três” E) “Leve cinco e pague quatro”

1

2 3

4

7

5

8

6

9 10

32

2 Películas de insulfilm são utilizadas em janelas de edifícios e vidros de veículos para reduzir a radiação solar. As películas são classificadas de acordo com seu grau de transparência, ou seja, com o percen-tual da radiação solar que ela deixa passar. Colocan-do-se uma película de 70% de transparência sobre um vidro com 90% de transparência, obtém-se uma redução de radiação solar igual a:

A) 3% B) 37% C) 40% D) 63% E) 160%

3 Seis retângulos idênticos são reunidos para for-mar um retângulo maior conforme indicado na fi-gura. Qual é a área deste retângulo maior?

A) 210 cm2 C) 430 cm2 E) 588 cm2

B) 280 cm2 D) 504 cm2

4 Perguntado, Arnaldo diz que 1 bilhão é o mesmo que um milhão de milhões. Professor Piraldo o corri-giu e disse que 1 bilhão é o mesmo que mil milhões. Qual é a diferença entre essas duas respostas?

A) 1 000 D) 999 000 000 B) 999 000 E) 999 000 000 000 C) 1 000 000

5 Devido a um defeito de impressão, um livro de 600 páginas apresenta em branco todas as páginas cujos números são múltiplos de 3 ou de 4. Quantas páginas estão impressas?

A) 100 B) 150 C) 250 D) 300 E) 430

6 Platina é um metal muito raro, mais raro até do que ouro. Sua densidade é 21,45 g/cm3. Suponha que a produção mundial de platina foi de cerca de 110 to-neladas em cada um dos últimos 50 anos e despre-zível antes disso. Assinale a alternativa com o objeto cujo volume é mais próximo do volume de platina produzido no mundo em toda a história.

A) uma caixa de sapatos B) uma piscina C) um edifício de dez andares D) o monte Pascoal E) a Lua

7 Numa sequência, cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois termos anteriores mais próximos. O segundo termo é igual a 1, e o quinto termo vale 2 005. Qual é o sexto termo?

A) 3 002 B) 3 008 C) 3 010 D) 4 002 E) 5 004

8 Figuras com mesma forma representam objetos de mesma massa. Quantos quadrados são necessários para que a última balança fique em equilíbrio?

?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

9 Entre treze reais não nulos há mais números positi-

vos do que negativos. Dentre os 13 122

783

5 pro-

dutos de dois dos treze números, 22 são negativos. Quantos números dentre os treze números dados são negativos?

A) 2 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

10 O desenho ao lado mostra um pedaço de papelão que será dobrado e colado nas bordas para for-mar uma caixa re-tangular. Os ângulos nos cantos do pape-lão são todos retos. Qual será o volume da caixa em cm3?

A) 1 500 B) 3 000 C) 4 500 D) 6 000 E) 12 000

11 Sendo a, b e c números reais, pela propriedade dis-tributiva da multiplicação em relação à adição, é verdade que a 3 (b 1 c) 5 (a 3 b) 1 (a 3 c). A distributiva da adição em relação à multiplicação a 1 (b 3 c) 5 (a 1 b) 3 (a 1 c) não é sempre verda-deira, mas ocorre se, e somente se:

A) a 5 b 5 c 5 13

ou a 5 0

B) a 5 b 5 c C) A igualdade nunca ocorre D) a 1 b 1 c 5 1 ou a 5 0 E) a 5 b 5 c 5 0

12 Em certa cidade, acontece um fato interessante. Dez por cento dos baianos dizem que são paulistas, e dez por cento dos paulistas dizem que são baianos. Todos os outros paulistas e baianos assumem a sua verdadeira origem. Dentre os paulistas e baianos, 20% dizem que são paulistas. Que percentual os realmente paulistas representam dentre os paulis-tas e baianos?

A) 12,5% B) 18% C) 20% D) 22% E) 22,5%

13 Na figura, os dois triângulos são equiláteros. Qual é o valor do ângulo x?

75° 65°

x

A) 30o B) 40o C) 50o D) 60o E) 70o

14 As letras O, B e M representam números inteiros. Se O 3 B 3 M 5 240, O 3 B 1 M 5 46 e O 1 B 3 M 5 64, quanto vale O 1 B 1 M?

A) 19 B) 20 C) 21 D) 24 E) 36

15 cm

20 cm

40 cm

21 cm

oo

40 cm 20 cm

33

15 Um serralheiro solda varetas de metal para produzir peças iguais que serão juntadas para formar o painel abaixo. O desenho ao lado apresenta as medidas, em centímetros, de uma dessas peças. O serralheiro usa exatamente 20 metros de vareta para fazer o seu trabalho.

Qual dos desenhos abaixo representa o final do painel?

A) D)

B) E)

C)

16 Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco domingos?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

17 Quantos números entre 10 e 13 000, quando lidos da esquerda para a direita, são formados por dígitos consecutivos e em ordem crescente? Exemplifican-do, 456 é um desses números, mas 7 890 não é:

A) 10 B) 13 C) 18 D) 22 E) 25

18 Um piloto percorreu três trechos de um rali, de ex-tensões 240 km, 300 km e 400 km, respectivamente. As velocidades médias nos três trechos foram 40 km/h, 75 km/h e 80 km/h, mas não necessaria-mente nessa ordem. Podemos garantir que o tempo total em horas gasto pelo piloto nos três trechos é:

A) menor ou igual a 13 horas B) maior ou igual a 13 horas e menor ou igual a

16 horas C) maior ou igual a 14 horas e menor ou igual a

17 horas D) maior ou igual a 15 horas e menor ou igual a

18 horas E) maior ou igual a 18 horas

19 Na figura, todas as circunferências menores têm o mesmo raio r, e os centros das circunferências que tocam a circunferência maior são vértices de um quadrado. Sejam a

e b as áreas cinza indicadas na figu-

ra. Então, a razão ab

é igual a:

A) 12

B) 23

C) 1 D) 32

E) 2

20 Um professor de Inglês dá aula particular para uma classe de 9 alunos, dos quais pelo menos um é brasileiro. Se o professor escolher 4 alunos para fazer uma apresentação, terá no grupo pelo menos dois alunos de mesma nacionalidade; se escolher 5 alunos, terá no máximo três alunos de mesma nacionalidade. Quantos brasileiros existem na classe?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

21 Um relógio, com ponteiros de horas, minutos e se-gundos, faz plim toda vez que um ponteiro ultrapas-sa outro no mostrador. O número de plins registrados em certo dia, no período entre as 12 horas e 1 segun-do e as 23 horas, 59 minutos e 59 segundos é:

A) 732 B) 1 438 C) 1 440 D) 1 446 E) 1 452

22 Na figura, a reta PQ toca em N o círculo que passa por L, M e N. A reta LM corta a reta PQ em R. Se LM 5 LN, e a medida do ângulo PNL é a, a 60o, quanto mede o ângulo LRP?

L

M

NP QR

α

A) 3a 180o C) 180o a E) a B) 180o 2a D) 90o α

2

23 Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação:

x y x y1 512

12

1

Qual das alternativas apresenta um possível valor de y?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

24 Dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, esco-lha alguns e coloque-os nos círculos brancos de tal forma que a soma dos números em dois círculos vizinhos seja sempre um quadrado perfeito. Aten-ção: o 2 já foi colocado em um dos círculos e não é permitido colocar números repetidos; além disso, círculos separados pelo retângulo preto não são vizinhos.

A soma dos números colocados em todos os círcu-los brancos é:

A) 36 B) 46 C) 47 D) 49 E) 55

10

10

10 5

5

5

a

b 2

34

25 Um bloco de dimen-sões 1 3 2 3 3 é colo-cado sobre um tabulei-ro 8 3 8, como mostra a figura, com a face X, de dimensões 1 3 2, vira-da para baixo. Giramos o bloco em torno de uma de suas arestas de modo que a face Y fique virada para baixo. Em seguida, gi-ramos novamente o bloco, mas desta vez de modo que a face Z fique virada para baixo. Giramos o blo-co mais três vezes, fazendo com que as faces X, Y e Z fiquem viradas para baixo, nessa ordem. Quantos quadradinhos diferentes do tabuleiro estiveram em contato com o bloco?

A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22


1 Natasha é supersticiosa e, ao numerar as 200 pági-nas de seu diário, começou do 1 mas pulou todos os números nos quais os algarismos 1 e 3 aparecem jun-tos, em qualquer ordem. Por exemplo, os números 31 e 137 não aparecem no diário, porém 103 aparece.Qual foi o número que Natasha escreveu na última página do seu diário?

2 Quatro peças iguais, em forma de triângulo retân-gulo, foram dispostas de dois modos diferentes, como mostram as figuras abaixo.

AB

CD

E

F

G

H

M N

OP

I J

KL

Os quadrados ABCD e EFGH têm lados respectiva-mente iguais a 3 cm e 9 cm. Determine a medida do lado do quadrado IJKL.

3 Juliana foi escrevendo os números inteiros positi-vos em quadrados de papelão, colados lado a lado por fitas adesivas representadas pelos retângulos escuros no desenho abaixo. Note que cada fila de quadrados tem um quadrado a mais que a fila de cima. Ela escreveu até o número 105 e parou. Quan-tos pedaços de fita adesiva ela usou?

1

2 3

4

7

5

8

6

9 10

4 Um terreno quadrangular foi dividido em quatro lo-tes menores por duas cercas retas unindo os pontos médios dos lados do terreno. As áreas de três dos lo-tes estão indicadas em metros quadrados no mapa a seguir.

200 210

250

Qual é a área do quarto lote, representado pela re-gião escura no mapa?

5 Seja a um número inteiro positivo tal que a é múlti-plo de 5, a 1 1 é múltiplo de 7, a 1 2 é múltiplo de 9, e a 1 3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir.


1 Gabriel resolveu uma prova de Matemática com questões de Álgebra, Geometria e Lógica. Após checar o resultado da prova, Gabriel observou que respondeu corretamente 50% das questões de Ál-gebra, 70% das questões de Geometria e 80% das questões de Lógica. Gabriel observou, também, que respondeu corretamente 62% das questões de Ál-gebra e Lógica e 74% das questões de Geometria e Lógica. Qual a porcentagem de questões corretas da prova de Gabriel?

2 O canto de um quadrado de cartolina foi cortado com uma tesoura. A soma dos comprimentos dos catetos do triângulo recortado é igual ao compri-mento do lado do quadrado. Qual o valor da soma dos ângulos a e b marcados na figura abaixo?

27°β

α

3 (a) Fatore a expressão: x xy y2 29 8 1 .(b) Determine todos os pares de inteiros (x; y) tais

que: 9 8 20052 2xy x y 5 .

Y

Z

35

4 Cada peça de um jogo de dominó possui duas casas numeradas. Considere as 6 peças formadas apenas pelos números 1, 2 e 3.A) De quantos modos é possível colocar todas es-

tas peças alinhadas em sequência, de modo que o número da casa da direita de cada peça seja igual ao número da casa da esquerda da peça imediatamente à direita?

A seguir, mostramos dois exemplos:

B) Explique por que não é possível fazer o mesmo com todas as 10 peças formadas apenas pelos números 1, 2, 3 e 4.

36

XXVII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2004



1a. Fase Olimpíada RegionalAL – BA – ES – GO – PI – PA – PE – RN – RS – SC

João Pessoa – PB – S. B. do Campo – SP

1 Calcule o valor de 1997 1 2004 1 2996 1 4003. A) 10 000 C) 10 900 E) 13 000 B) 11000 D) 12 000

2 Qual dos números a seguir é ímpar? A) 7 3 8 C) 9 3 36 E) 17 3 61 B) 37 2 23 D) 144 : 36 3 Quanto é 26 1 26 1 26 1 26 2 44? A) 0 B) 2 C) 4 D) 42 E) 44

4 20% de 40 é igual a: A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 20

5 Simplificando a fração 2004 2004

2004 2004 2004+

+ + , obtemos:

A) 2004 B) 113355

C) 1

2004 D)

23

E) 27

6 Os alunos de uma escola participaram de uma ex-cursão, para a qual dois ônibus foram contratados. Quando os ônibus chegaram, 57 alunos entraram no primeiro ônibus e apenas 31, no segundo. Quan-tos alunos devem passar do primeiro para o segun-do ônibus para que a mesma quantidade de alunos seja transportada nos dois ônibus?

A) 8 B) 13 C) 16 D) 26 E) 31

7 Uma professora tem 237 balas para dar a seus 31 alunos. Qual é o número mínimo de balas a mais que ela precisa conseguir para que todos os alunos recebam a mesma quantidade de balas, sem sobrar nenhuma para ela?

A) 11 B) 20 C) 21 D) 31 E) 41

8 Dezoito quadrados iguais são construídos e som-breados como mostra a figura. Qual fração da área total é sombreada?

A) 7

18 B) 4

9 C) 1

3 D) 5

9 E)

12

9 O preço de uma corrida de táxi é igual a R$ 2,50 (“bandeirada”), mais R$ 0,10 a cada 100 metros ro-dados. Tenho apenas R$ 10,00 no bolso. Logo, te-nho dinheiro para uma corrida de até:

A) 2,5 km C) 7,5 km E) 12,5 km B) 5,0 km D) 10,0 km

10 Um arquiteto apresenta ao seu cliente cinco plantas diferentes para o projeto de ajardinamento de um terreno retangular, onde as linhas cheias represen-tam a cerca que deve ser construída para proteger as flores. As regiões claras são todas retangulares e o tipo de cerca é o mesmo em todos os casos. Em qual dos projetos o custo da construção da cerca será maior?

A)

A) B) C) D) E)

C)

A) B) C) D) E)

E)

A) B) C) D) E) B)

A) B) C) D) E)

D)

A) B) C) D) E)

11 108 crianças da 5ª. e 6ª. séries vão fazer um passeio numa caverna. São formados grupos iguais com mais de 5, porém menos de 20 alunos. Com relação ao número de estudantes por grupo, de quantas formas diferentes eles podem ser feitos?

A) 2 B) 8 C) 5 D) 4 E) 3

12 O desenho ao lado mostra o mapa de um país (ima-ginário) constituído por cinco estados. Deseja-se colorir esse mapa com as cores verde, azul e amare-la, de modo que dois estados vizinhos não possu-am a mesma cor. De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado?

A) 12 B) 6 C) 10 D) 24 E) 120

13 Um artesão começa a trabalhar às 8h e produz 6 braceletes a cada vinte minutos; seu auxiliar come-ça a trabalhar uma hora depois e produz 8 bracele-tes do mesmo tipo a cada meia hora. O artesão para de trabalhar às 12h, mas avisa ao seu auxiliar que este deverá continuar trabalhando até produzir o mesmo que ele. A que horas o auxiliar irá parar?

A) 12 h C) 13 h E) 14h30min B) 12h30min D) 13h30min

37

14 O algarismo das unidades do número 1 3 3 3 5 3 3 … 3 97 3 99 é:

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

15 Dois quadrados, cada um com área 25 cm2, são co-locados lado a lado para formar um retângulo. Qual é o perímetro do retângulo?

A) 30 cm B) 25 cm C) 50 cm D) 20 cm E) 15 cm

16 Se girarmos o pentágono regular, ao lado, de um ângulo de 252°, em torno do seu centro, no sentido horário, qual figura será obtida?

A)

A) B) C) D) E)

B)

A) B) C) D) E)

C)

A) B) C) D) E) D)

A) B) C) D) E)

E)

A) B) C) D) E) 17 Os resultados de uma pesquisa das cores de cabelo

de 1200 pessoas são mostrados no gráfico abaixo.

preto 24% castanho 30%

loiro

ruivo 16%

Quantas dessas pessoas possuem o cabelo loiro? A) 60 B) 320 C) 360 D) 400 E) 840

18 Um cubo pode ser construído a partir dos dois pe-daços de papelão apresentados em uma das alter-nativas a seguir, bastando apenas dobrar nas linhas tracejadas e unir nas linhas contínuas. Esses dois pedaços são:

A) A) B)

C)

E)

D)

D)

A) B)

C)

E)

D)

B) A) B)

C)

E)

D)

E)

A) B)

C)

E)

D)

C)

A) B)

C)

E)

D)

19 Ao somar cinco números consecutivos em sua cal-culadora, Esmeralda encontrou um número de 4 al-garismos: 2 0 0 *. O último algarismo não está nítido, pois o visor da calculadora está arranhado, mas ela sabe que ele não é zero. Este algarismo só pode ser:

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 9

20 Sobre uma mesa estão três caixas e três objetos, cada um em uma caixa diferente: uma moeda, um grampo e uma borracha. Sabe-se que:• A caixa verde está à esquerda da caixa azul.• A moeda está à esquerda da borracha.• A caixa vermelha está à direita do grampo.• A borracha está à direita da caixa vermelha.Em que caixa está a moeda?A) Na caixa vermelha. B) Na caixa verde. C) Na caixa azul.D) As informações fornecidas são insuficientes para

se dar uma resposta.E) As informações fornecidas são contraditórias.

21 Um feirante vende batatas e, para pesar, utiliza uma balança de dois pratos, um peso de 1 kg, um peso de 3 kg e um peso de 10 kg. Considere a seguinte afir-mação: “Este feirante consegue pesar (com uma pe-sagem) n quilogramas de batatas”. Quantos valores positivos de n tornam essa afirmação verdadeira, su-pondo que ele pode colocar pesos nos dois pratos?

A) 7 B) 10 C) 12 D)13 E)14

22 O mapa abaixo mostra um conjunto residencial onde as casas, numeradas, são interligadas por 23 ruelas. O vendedor Zé Ruela, que mora na casa 8, planeja passar por todas as outras casas e retornar à sua, percorrendo o menor número possível de rue-las. Ele deixará de caminhar por quantas ruelas?

1 2 3 4

5

9

6

1011 12

7 8

A) 15 B) 10 C) 13 D)12 E) 11

23 O arranjo a seguir, composto por 32 hexágonos, foi montado com varetas, todas com comprimento igual ao lado do hexágono. Quantas varetas, no mí-nimo, são necessárias para montar o arranjo?

………

A) 113 B) 123 C) 122 D) 132 E) 152

38

24 Observe a figura:

Duas das figuras abaixo representam o objeto aci-ma colocado em outras posições.

I) II)

III) IV)

Elas são: A) I e II B) I e IV C) II e IV D) I e III E) II e III

25 Entre 1986 e 1989, época em que vocês ainda não tinham nascido, a moeda do país era o cruzado (Cz$). Com a imensa inflação que tivemos, a moe-da foi mudada algumas vezes: tivemos o cruzado novo, o cruzeiro, o cruzeiro real e, finalmente, o real. A conversão entre o cruzado e o real é: 1 real 5 5 2 750 000 000 cruzados.Imagine que a moeda não tivesse mudado e que João, que ganha hoje 640 reais por mês, tivesse de receber seu salário em notas novas de 1 cruzado. Se uma pilha de 100 notas novas tem 1,5 cm de altu-ra, o salário em cruzados de João faria uma pilha de altura:

A) 26,4 km D) 264 000 km B) 264 km E) 2 640 000 km C) 26 400 km


1 O número 1 000…02 tem 20 zeros. Qual é a soma dos algarismos do número que obtemos como quociente quando dividimos esse número por 3?

2 A soma de dois números primos a e b é 34 e a soma dos primos a e c é 33. Quanto vale a 1 b 1 c?

3 Na multiplicação a seguir, a, b e c são algarismos:

1 3 * * * * * *1 0 1

a bb

c c

×

Calcule a 1 b 1 c.

4 No desenho, os quadriláteros ABCD, EFAG e IAJH são retângulos e H é ponto médio de AE.Calcule a razão entre a área do retângulo ABCD e o triângulo AHI.

A I

J H

G E

F B

D C

5 Dizemos que um número natural é teimoso se, ao ser elevado a qualquer expoente inteiro positivo, termina com o mesmo algarismo. Por exemplo, 10 é teimoso, pois 10 10 102 3 4, , , ..., são números que tam-bém terminam em zero. Quantos números naturais teimosos de três algarismos existem?

6 Qual é o maior número natural menor que 100 cuja soma dos divisores positivos é ímpar?

7 Esmeralda, de olhos vendados, retira cartões de uma urna contendo inicialmente 100 cartões numerados de 1 a 100, cada um com um número diferente. Qual é o número mínimo de cartões que Esmeralda deve retirar para ter certeza de que o número do cartão seja um múltiplo de 4?

8 De quantos modos podemos sombrear quatro ca-sas do tabuleiro 4 4 abaixo, de modo que em cada linha e em cada coluna exista uma única casa sombreada?

9 Juntando cubinhos de mesmo volume, mas feitos de materiais diferentes - cada cubo branco pesando 1 grama e cada cubo cinza pesando 2 gramas - formou--se um bloco retangular, conforme mostrado na figura abaixo. Qual é a massa, em gramas, desse bloco?

39

10 Na população de uma espécie rara de 1 000 aves da floresta amazônica, 98% tinham cauda de cor verde. Após uma misteriosa epidemia que matou parte das aves com cauda verde, esta porcentagem caiu para 95%. Quantas aves foram eliminadas com a epidemia?


1 No desenho abaixo, o triângulo ABC é retângulo e os lados do polígono (região escura) são paralelos ou coincidem com algum dos catetos do triângulo.

x

5 10

2

A

B C

Calcule x de modo que a área do polígono seja igual à do triângulo.

2 Esmeralda, a digitadora, construiu uma tabela com

100 linhas e 100 colunas, preenchendo uma casa com 1, se o número da linha da casa divide o nú-mero da coluna, e com 0, caso contrário. Assim, por exemplo, a casa da linha 2 e da coluna 4 foi preen-chida com 1, porque 2 divide 4, e a casa na linha 3 e da coluna 7 foi preenchida com 0.

1

1 2 3 4 5 6 99 100 …

2

3

4

100

1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 1 0 0 1 1 0

0 0 0 1

…

…

a) Qual a soma dos números escritos na linha 5?b) Qual a soma dos números da coluna 60?

3 a) É possível dividir o conjunto {12, 22,…,72} em dois grupos A e B, de modo que a soma dos elemen-tos de A seja igual à soma dos elementos de B? Justifique.

b) É possível dividir o conjunto {12, 22, 32, …, 92} em dois grupos C e D, de modo que a soma dos ele-mentos de C seja igual à soma dos elementos de D? Justifique.


• • • • • •1a. Fase Olimpíada Regional

AL 2 BA 2 ES 2 GO 2 PI 2 PA 2 PE 2 RN 2 RS 2 SC


1 Quanto é 26 1 26 1 26 1 26 2 44? A) 0 B) 2 C) 4 D) 42 E) 44

2 Se m e n são inteiros não negativos com m n, de-finimos m n como a soma dos inteiros entre m e n, incluindo m e n. Por exemplo, 5 8 5 5 1 6 1 7 1

1 8 5 26.

O valor numérico de 22 264 6

∇∇

é:

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

3 Entre 1986 e 1989, época em que vocês ainda não tinham nascido, a moeda do país era o cruzado (Cz$). Com a imensa inflação que tivemos, a moeda foi mudada algumas vezes: tivemos o cruzado novo, o cruzeiro, o cruzeiro real e, finalmente, o real. A con-versão entre o cruzado e o real é:

1 real 5 2 750 000 000 cruzados

Imagine que a moeda não tivesse mudado e que João, que ganha hoje 640 reais por mês, tivesse que receber seu salário em notas novas de 1 cruzado. Se uma pilha de 100 notas novas tem 1,5 cm de altu-ra, o salário em cruzados de João faria uma pilha de altura:

A) 26,4 km D) 264 000 km B) 264 km E) 2 640 000 km

C) 26 400 km

4 O arranjo a seguir, composto por 32 hexágonos, foi montado com varetas, todas com comprimento igual ao lado do hexágono. Quantas varetas, no mí-nimo, são necessárias para montar o arranjo?

………

A) 113 B) 123 C) 122 D) 132 E) 152

5 O algarismo das unidades do número 1 3 5 97 993 3 3 3 3... é:

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

40

6 Se girarmos o pentágono regular, ao lado, de um ângulo de 252°, em torno do seu centro, no sentido horário, qual figura será obtida?

A)

A) B) C) D) E)

B)

A) B) C) D) E)

C)

A) B) C) D) E) D)

A) B) C) D) E)

E)

A) B) C) D) E) 7 Há 1 002 balas de banana e 1 002 balas de maçã numa caixa. Lara tira, sem olhar o sabor, duas balas da caixa. Seja p a probabilidade de as duas balas se-rem do mesmo sabor e seja q a probabilidade de as duas balas serem de sabores diferentes. Quanto vale a diferença entre p e q?

A) 0 B) 1

2004 C)

12003

D) 2

2003 E)

11001

8 O perímetro de um retângulo é 100 e a diagonal mede x. Qual é a área do retângulo?

A) 625 2 x2 C) 1 250 2 x2

2 E) 2 500 2 x2

2

B) 625 2 x2

2 D) 250 2 x2

2

9 Ao somar cinco números consecutivos em sua cal-culadora, Esmeralda encontrou um número de 4 al-garismos: 2 0 0 *. O último algarismo não está nítido, pois o visor da calculadora está arranhado, mas ela sabe que ele não é zero. Este algarismo só pode ser:

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 9

10 Para quantos inteiros positivos m o número 200422m −é um inteiro positivo?

A) um D) quatro B) dois E) mais do que quatro C) três

11 Se x 1 y 5 8 e xy 5 15, qual é o valor de x2 1 6xy 1 y2? A) 64 B) 109 C) 120 D) 124 E) 154

12 Dois espelhos formam um ângulo de 30o no ponto V. Um raio de luz, vindo de uma fonte S, é emitido paralelamente a um dos espelhos e é refletido pelo outro espelho no ponto A, como mostra a figura. Depois de certa quantidade de reflexões, o raio re-torna a S. Se AS e AV têm 1 metro de comprimento, a distância percorrida pelo raio de luz, em metros, é:

30°

A S

V

A) 2 C) 1 2 31 1 E) 5 3

B) 2 31 D) 2 1 31( )

13 Na figura, quanto vale x?

3x

4x

5x

6x

2x

A) 6° B) 12° C) 18° D) 20° E) 24°

14 Se 2(22x) 5 4x 1 64, então x é igual a: A) 2 2 B) 2 1 C) 1 D) 2 E) 3

15 Qual é o maior valor da soma dos algarismos da soma dos algarismos de um número de três alga-rismos?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

16 Um arquiteto apresenta a seu cliente cinco plantas diferentes para o projeto de ajardinamento de um terreno retangular, onde as linhas cheias represen-tam a cerca que deve ser construída para proteger as flores. As regiões claras são todas retangulares e o tipo de cerca é o mesmo em todos os casos. Em qual dos projetos o custo da construção da cerca será maior?

A)

A) B) C) D) E)

C)

A) B) C) D) E)

E)

A) B) C) D) E) B)

A) B) C) D) E)

D)

A) B) C) D) E) 17 Um ponto P pertence ao interior de um quadrado

com 10 cm de lado. No máximo, quantos pontos da borda do quadrado podem estar a uma distância de 6 cm do ponto P?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

18 Um cubo pode ser construído, a partir dos dois pe-daços de papelão apresentados em uma das alter-nativas a seguir, bastando apenas dobrar nas linhas tracejadas e unir as linhas contínuas. Esses dois pe-daços são:

A) A) B)

C)

E)

D)

D)

A) B)

C)

E)

D)

B) A) B)

C)

E)

D)

E)

A) B)

C)

E)

D)

C)

A) B)

C)

E)

D)

41

19 No triângulo PQR, a altura PF divide o lado QR em dois segmentos de medidas QF 5 9 e RF 5 5. Se PR 5 13, qual é a medida de PQ?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

20 Sobre uma mesa estão três caixas e três objetos, cada um em uma caixa diferente: uma moeda, um grampo e uma borracha. Sabe-se que:• A caixa verde está à esquerda da caixa azul.• A moeda está à esquerda da borracha.• A caixa vermelha está à direita do grampo.• A borracha está à direita da caixa vermelha.Em que caixa está a moeda?A) Na caixa vermelha. B) Na caixa verde. C) Na caixa azul.D) As informações fornecidas são insuficientes para

se dar uma resposta.E) As informações fornecidas são contraditórias.

21 No desenho abaixo, o quadrilátero ABCD é um qua-drado de lado 3 cm e os triângulos ABF e AED são am-bos equiláteros. Qual é a área da região destacada?

A

B

C

DF

E

A) 2 cm2 C) 3 cm2 E) 2,5 cm2

B) 1,5 cm2 D) 4,5 cm2

22 Uma folha quadrada foi cortada em 42 quadrados

menores, dos quais um tem área maior do que 1 cm2 e os demais têm área de 1 cm2. Qual é a medida do lado da folha?

A) 6 cm B) 12 cm C) 21 cm D) 19 cm E) 20 cm

23 Eu planejava fazer um curral quadrado, com uma certa área, usando uma certa quantidade de cerca de arame farpado. Descobri, porém, que tenho 10% a menos de cerca do que esperava. Por esta razão, a área cercada será:

A) 5% menor D) 20% menor B) 10% menor E) 25% menor C) 19% menor

24 Um artesão começa a trabalhar às 8h e produz 6

braceletes a cada vinte minutos; seu auxiliar come-ça a trabalhar uma hora depois e produz 8 bracele-tes do mesmo tipo a cada meia hora. O artesão para de trabalhar às 12h, mas avisa ao seu auxiliar que este deverá continuar trabalhando até produzir o mesmo que ele. A que horas o auxiliar vai parar?

A) 12 h C) 13 h E) 14h30min B) 12h30min D) 13h30min

25 Esmeralda, a digitadora, tentou digitar um núme-ro de seis algarismos, mas os dois algarismos 1 não apareceram (a tecla devia estar com defeito). O que apareceu foi 2004. Quantos são os núme-ros de seis algarismos que ela pode ter tentado digitar?

A) 4 B) 8 C) 10 D) 15 E) 20


1 Na multiplicação a seguir, a, b e c são algarismos:

1 3 * * * * * *1 0 1

a bb

c c

×

Calcule a 1 b 1 c.

2 De quantos modos podemos sombrear quatro ca-sas do tabuleiro 4 4 abaixo, de modo que em cada linha e em cada coluna exista uma única casa sombreada?

3 Qual é a soma dos algarismos do número

2004 2002 1998 1996 36 ? 1

4 No desenho abaixo, o triângulo ABC é retângulo e os lados do polígono (região escura) são paralelos ou coincidem com algum dos catetos do triângulo.Calcule x, de modo que a área do polígono seja igual à do triângulo.

x

5 10

2

A

B C

5 Um polígono com 20 lados é chamado icoságono. Unindo-se três dos vértices de um icoságono regu-lar obtemos triângulos. Quantos são triângulos re-tângulos?

42

SEGUNDA FASE – parte B

• • • • • •

1 a) É possível dividir o conjunto {12, 22,…,72} em dois grupos A e B de modo que a soma dos elementos de A seja igual à soma dos elementos de B? Justi-fique.

b) É possível dividir o conjunto {12, 22, 32,…,92} em dois grupos C e D de modo que a soma dos ele-mentos de C seja igual à soma dos elementos de D? Justifique.

2 a) Simplifique a expressão

b) Certa calculadora tem duas teclas especiais: A e B. A tecla A transforma o número x, que está no

visor, em 1x

. A tecla B transforma o número x, que

está no visor, em 12 x.

Pedro tem um número no visor e aperta sucessiva-mente, de forma alternada, as duas teclas:

A, B, A, B, ….

Após 1 000 operações, o visor mostrava o número 2 004. Que número Pedro tinha inicialmente no visor?

3 Uma folha de papel retangular ABCD foi dobrada de modo que o vértice B foi levado no ponto B’ sobre o lado AD. A dobra é EF, com E sobre AB e F sobre CD. Sabe-se que AE 5 8, BE 5 17 e CF 5 3.

a) Calcule a medida do segmento AB’.b) Calcule a medida do lado AD.

4 Um número de 4 algarismos a b c d é chamado de legal quando a soma dos números formados pelos dois primeiros e pelos dois últimos algarismos é igual ao número formado pelos algarismos centrais (ou seja, ab 1 cd 5 bc). Por exemplo, 2 307 é um número legal, pois 23 1 07 5 30.a) Qual é o menor número legal maior do que

2 307?b) Quantos são os números legais de 4 algarismos?

43

XXV OLIMPÍADABRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2003



1a. Fase Olimpíada RegionalAL – BA – GO – PA – PB – PI – RS – RN – SC

1 Onze cubinhos, todos de mesma aresta, foram cola-dos conforme a figura a seguir.

O menor número de cubinhos, iguais aos já utiliza-dos, que devem ser agregados ao sólido formado pelos onze cubinhos para obtermos um cubo ma-ciço é igual a:

A) 48 B) 49 C) 52 D) 53 E) 56

2 Na tabela a seguir vemos o consumo mensal de água de uma família durante os 5 primeiros meses de 2003.

Meses Consumo (m3)Janeiro 12,5

Fevereiro 13,8Março 13,7Abril 11,4Maio 12,1

O consumo mensal médio dessa família durante os 5 meses foi:

A) 11,3 m3 C) 12,7 m3 E) 317,5 m3

B) 11,7 m3 D) 63,5 m3

3 Você possui muitos palitos com 6 cm e 7 cm de comprimento. Para fazer uma fila de palitos com comprimento total de 2 metros, o número mínimo de palitos que você precisa utilizar é:

A) 29 B) 30 C) 31 D) 32 E) 33

4 Em um quadrado mágico, a soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. No quadrado mágico a seguir, o valor de x é:

A) 20 C) 23 E) 27 B) 22 D) 25

5 Considere um número inteiro x e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resulta-do for 220, o valor de x é:A) um número primo.B) um número par.C) um número entre 40 e 50.D) um número múltiplo de 3.E) um número cuja soma dos algarismos é 9.

6 Escreva os números de 0 a 9 nos círculos ao lado, de forma que eles cresçam no sentido anti-horário. Em segui-da, subtraia 1 dos nú-meros ímpares e some 1 aos números pares. Escolhendo três círcu-los consecutivos, qual é a maior soma que se pode obter?

A) 19 B) 21 C) 23 D) 24 E) 25

7 O retângulo da figura a seguir está dividido em 7 quadrados. Se a área do menor quadrado é igual a 1, a área do retângulo é igual a:

A) 42 B) 44 C) 45 D) 48 E) 49

8 Considere a sequência oscilante: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, …O 2 003o termo desta sequência é:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

9 João disse para Maria: “Se eu lhe der um quarto do que tenho, você ficará com metade do que vai me sobrar”. Maria acrescentou: “E eu lhe daria 5 reais, se lhe desse a metade do que tenho”. Juntos, os dois possuem:

A) 80 reais D) 120 reais B) 90 reais E) 130 reais C) 100 reais

1 14 x

26 13

44

A

B E

D

C

1 1 2 1

2 1 2 0

1 3 3 2

1 2 0 1

10 Uma escola precisa comprar mesas e cadeiras novas para seu refeitório, cada mesa com 4 cadeiras, que serão distribuídas nos 3 setores do refeitório. Em cada setor do refeitório cabem 8 fileiras de mesas e, em cada fileira, cabem 14 mesas. Quantas mesas e cadeiras deverão ser compradas?A) 112 mesas e 448 cadeirasB) 112 mesas e 1344 cadeirasC) 336 mesas e 448 cadeirasD) 336 mesas e 896 cadeirasE) 336 mesas e 1344 cadeiras

11 As 4 colorações a seguir são consideradas iguais por coincidirem por rotação.

De quantos modos diferentes é possível colorir as casas de um tabuleiro 2 3 2 de branco ou preto de modo que não existam dois tabuleiros que coinci-dam por rotação?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

12 Numa festa típica, cada prato de arroz foi servido para duas pessoas; cada prato de maionese, para três pessoas; cada prato de carne servia quatro pes-soas e, cada prato de doces dava exatamente para cinco pessoas. Foram utilizados 77 pratos e todas as pessoas se serviram de todos os pratos oferecidos. Quantas pessoas havia na festa?

A) 20 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

13 Na organização retangular de pontos da figura abaixo, a distância entre pontos vizinhos em uma mesma linha ou coluna é igual a 1 cm.

A área do pentágono ABCDE, em cm2, é igual a:

A) 9 D) 212

B) 192

E) 11

C) 10

14 Um quadrado de área 1 foi cortado em cinco filas de 5 quadradinhos cada. Todos os quadradinhos são congruentes. Marcam-se os quadradinhos de uma linha qualquer, de uma diagonal qualquer e de uma coluna qualquer, e, em seguida, retiram-se os quadrados assinalados. A área coberta pelos quadra-dinhos restantes vale, no mínimo,

A) 25

B) 1125

C) 1225

D) 1325

E) 35

15 Um troféu formado por cinco recipientes cúbicos foi construído da seguin-te maneira: sob o cubo de lado 10 cm foi soldado o cubo de lado 20 cm, sob este foi soldado o cubo de lado 30 cm, e assim por diante. Toda a superfície externa desse tro féu de-verá ser coberta com um certo tipo de revestimento. Quantos metros quadrados desse revestimento se-rão necessários?

A) 1,5 B) 2,5 C) 2,7 D) 2,75 E) 3

16 Num certo aeroporto, Nelly caminhava calmamente à razão de um metro por segundo; ao tomar uma esteira rolante de 210 metros, Nelly continuou an-dando no mesmo passo e notou ter levado um mi-nuto para chegar ao fim da esteira. Se Gugu ficar parado nesta esteira, quanto tempo levará para ser transportado?

A) 1min20s B) 1min24s C) 1min30s D) 1min40s E) 2min

17 Uma certa máquina tem um visor, onde aparece um número inteiro x, e duas teclas A e B. Quando se aperta a tecla A o número do visor é substituído por 2x 1 1. Quando se aperta a tecla B o número do visor é substituído por 3x 2 1.Se no visor está o número 5, apertando alguma se-quência das teclas A e B, o maior número de dois algarismos que se pode obter é:

A) 85 B) 87 C) 92 D) 95 E) 96

18 A sequência “22” descreve a si mesma, pois ela é for-mada por exatamente dois 2. Analogamente, a se-quência “31 12 33 15” descreve a si mesma, pois é for-mada por exatamente três 1, um 2, três 3 e um 5. Qual das seguintes sequências não descreve a si mesma?

A) 21 32 23 16 D) 21 32 33 24 15 B) 31 12 33 18 E) 41 32 23 24 15 16 18 C) 31 22 33 17 19

19 Camila e Lara estão disputando o seguinte jogo num tabuleiro 4 3 4: Camila marca algumas casas do tabuleiro e informa à Lara o número de casas marcadas na vizinhança de cada casa do tabuleiro. Neste jogo, duas casas distintas são consideradas vizinhas se possuem um lado ou um canto (vértice) em comum.Lara deve descobrir quais casas foram marcadas por Camila. Após marcar algu-mas casas, Camila passou para Lara o tabuleiro ao lado.O número de casas marca-das foi:

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

45

20 Imagine uma pilha com cem milhões de folhas de pa-pel sulfite, cada uma com 0,1 milímetro de espessura. Assinale a alternativa mais próxima da altura da pilha.A) a sua altura.B) o comprimento do maior animal do mundo, a

baleia-azul, que é cerca de 29 metros.C) a altura do edifício mais alto do mundo, o Petro-

nas Tower, que tem 88 andares.D) a altura do pico mais alto do mundo, o Monte Eve-

rest, que é 8 848 metros.E) a distância do planeta Terra à Lua, que é muito

maior que todas as alternativas anteriores.


1 Quantas vezes aparece o algarismo 9 no resultado da operação 10100 2 2003?

2 Quantos números inteiros maiores do que 20032 e menores do que 20042 são múltiplos de 100?

3 Quantos triângulos existem cujos lados estão sobre alguns dos segmentos traçados na figura abaixo?

4 Um estudante, com muito tempo livre e muita curio-sidade, resolveu fazer o seguinte: a cada minuto, ao mudar o horário em seu relógio digital, marcava em seu caderno um X para cada algarismo 7 que apa-recia no visor. Assim, se seu relógio mostrava 02:07 ele marcava X e quando seu relógio mostrou 07:17 ele marcou XX. Começou a fazer isso quando seu relógio mostrava 01:00 e parou quase doze horas depois, quan-do o relógio mostrava 12:59.Calcule a metade da quantida-de de X que ele marcou em seu caderno.

5 A grande atração do OBM Parque é uma roda-gi-gante (a figura mostra uma roda-gigante similar, porém com um número menor de cabines). As cabines são numeradas com 1, 2, 3,…, no sen-tido horário. Quando a cabine 25 está na posição mais baixa da roda-gigante, a de número 8 está na posição mais alta. Quantas cabines tem a roda-gigante?

6 Anos bissextos são múltiplos de 4, exceto aqueles que são múltiplos de 100, mas não de 400. Quantos anos bissextos houve desde a Proclamação da Re-pública, em 1889, até hoje?

7 Em um dado comum a soma dos pon-tos sobre faces opostas é sempre 7. Beatriz construiu uma torre com 4 dados comuns iguais, colando as faces como mostrado na figura. Qual é o menor nú-mero de pontos que Beatriz pode obter somando todos os pontos das dezoito faces da superfície da torre?

8 Na multiplicação a seguir a, b, c e d são algarismos.

45 a3 3

3bcd

Calcule b 1 c 1 d.

9 A média de cinco inteiros positivos diferentes é 11. Determine o maior valor possível para o maior dos cinco inteiros.

10 Nove peças diferentes de dominó estão sobre uma mesa, parcialmente cobertas por um pedaço de pa-pel. Os dominós se tocam de modo que 1 ponto é vizinho a 1 ponto, 2 pontos são vizinhos a 2 pontos, etc. Qual o total de pontos escondidos pelo papel?


1 Quais números inteiros positivos menores que 120 podem ser escritos como soma de duas ou mais po-tências distintas de base 3 e expoente positivo? Por exemplo, 12 5 32 131 é um número desse tipo, mas 18 5 32 1 32 não é.

46

2 No desenho ao lado, o quadrado ABCD tem área de 64 cm2 e o quadrado FHIJ tem área de 36 cm2. Os vértices A, D, E, H e I dos três quadrados pertencem a uma mesma reta. Calcule a área do quadrado BEFG.

3 Considere o produto de todos os divisores positi-

vos de um número inteiro positivo, diferentes des-se número. Dizemos que o número é poderoso se o produto desses divisores for igual ao quadrado do número. Por exemplo, o número 12 é poderoso, pois seus divisores positivos menores do que ele são 1, 2, 3, 4 e 6 e 1 2 3 4 6 144 122 5 5 . Apresente todos os números poderosos menores do que 100.



AL – BA – GO – PA – PB – PI – RS – RN – SC

1 O retângulo da figura a seguir está dividido em 7 quadrados. Se a área do menor quadrado é igual a 1, a área do retângulo é igual a:

A) 42 B) 44 C) 45 D) 48 E) 49

2 Você possui muitos palitos com 6 cm e 7 cm de com-primento. Para fazer uma fila de palitos com compri-mento total de 2 metros, o número mínimo de pali-tos que você precisa utilizar é:

A) 29 B) 30 C) 31 D) 32 E) 33

3 A maior raiz da equação (x 2 37)2 2 169 5 0 é: A) 39 B) 43 C) 47 D) 50 E) 53

4 Uma certa máquina tem um visor, onde aparece um número inteiro x, e duas teclas A e B. Quando se aperta a tecla A o número do visor é substituído por 2x 1 1. Quando se aperta a tecla B o número do visor é substituído por 3x 2 1.Se no visor está o número 5, apertando alguma se-quência das teclas A e B, o maior número de dois algarismos que se pode obter é:

A) 85 B) 87 C) 92 D) 95 E) 96

5 Em um quadrado mágico, a soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. No quadrado mágico a seguir, o valor de x é:

1 14 x

26 13

A) 20 C) 23 E) 27 B) 22 D) 25

6 Seja n 5 9 867. Se você calculasse n3 2 n2 você en-contraria um número cujo algarismo das unidades é:

A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

7 Na figura, o número 8 foi obtido somando-se os dois números diretamente abaixo de sua casinha. Os outros números nas três linhas superiores são obtidos da mesma forma. Qual é o valor de x?

42

8

3 5 x 6

A) 7 B) 3 C) 5 D) 4 E) 6

8 Considere um número inteiro x e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resulta-do foi 220, o valor de x é:A) um número primo.B) um número par.C) um número entre 40 e 50.D) um número múltiplo de 3.E) um número cuja soma dos algarismos é 9.

9 Os números a, b, e c são naturais consecutivos em ordem crescente. Então, o valor de c ab2 − é igual a:

A) 0 C) 2a 1 b E) 2b 1 c B) 1 D) 2a 1 c

10 Considere a sequência oscilante: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, ...O 2 003o termo desta sequência é:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11 Considere as seguintes definições:

• A média aritmética de dois números reais positi-vos é a metade da sua soma.

• A média harmônica de dois números reais positi-vos é o inverso da média aritmética dos inversos desses números.

A diferença entre a média aritmética e a média har-mônica dos números 4 e 6 é:

A) 0,1 C) 0,3 E) 0,5 B) 0,2 D) 0,4

47

A

B E

D

C

1 1 2 1

2 1 2 0

1 3 3 2

1 2 0 1

12 A sequência “22” descreve a si mesma, pois ela é formada por exatamente dois 2. Analogamente, a sequência “31 12 33 15” descreve a si mesma, pois é formada por exatamente três 1, um 2, três 3 e um 5. Qual das seguintes sequências não descreve a si mesma?

A) 21 32 23 16 D) 21 32 33 24 15 B) 31 12 33 18 E) 41 32 23 24 15 16 18 C) 31 22 33 17 19

13 O dominó mais conhecido tem como maior peça o duplo 6. Neste dominó são empregadas 28 peças diferentes. Quantas peças tem o dominó cuja maior peça é o duplo 8?

A) 34 B) 36 C) 42 D) 55 E) 45

14 Os quadrados dos números naturais maiores do que 2, subtraídos de seus sucessores, formam a se-quência 5, 11, 19, ... . O primeiro elemento dessa se-quência que não é um número primo é o:

A) quarto D) nono B) décimo E) sétimo C) sexto

15 Você está em um país estrangeiro, a LUCIÂNIA, e não conhece o idioma, o LUCIANÊS, mas sabe que as pa-lavras “BAK” e “KAB” significam sim e não, porém não sabe qual é qual. Você encontra uma pessoa que en-tende português e pergunta: “KAB significa sim?” A pessoa responde “KAB”. Pode-se deduzir que:A) KAB significa sim.B) KAB significa não.C) A pessoa que respondeu mentiu.D) A pessoa que respondeu disse a verdade.E) Não é possível determinar sem um dicionário

LUCIANÊS-PORTUGUÊS.

16 Na organização retangular de pontos da figura abaixo, a distância entre pontos vizinhos em uma mesma linha ou coluna é igual a 1 cm.

A área do pentágono ABCDE, em cm2, é igual a:

A) 9 B) 192

C) 10 D) 212

E) 11

17 As 4 colorações a seguir são consideradas iguais por coincidirem por rotação.

De quantos modos diferentes é possível colorir as casas de um tabuleiro 2 3 2 de branco ou preto de modo que não existam dois tabuleiros que coinci-dam por rotação?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

18 O valor da soma 2 94 3

2 94 3

2003 1001

1001 2003

2002 1001

1001 2003

1 é:

A) 13

B) 23

C) 1 D) 43 E) 2

19 Considere os números X = 2700 , Y =11200 e Z = 5300 . Assinale a alternativa correta:

A) X , Z , Y D) Z , X , Y B) Y , X , Z E) Z , Y , X C) Y , Z , X

20 Beatriz, Isabele e Nicole estão disputando um jogo fazendo lançamentos sucessivos com uma moeda. Beatriz ganha se, em dois lançamentos consecu-tivos, o primeiro resultar cara e o segundo, coroa. Isabele ganha se forem obtidas duas coroas em dois lançamentos consecutivos, e Nicole ganha se forem obtidas duas caras em dois lançamentos con-secutivos. Elas fazem os lançamentos até que uma das jogadoras seja vencedora. Qual(is) jogadora(s) possui(em) menos chances de ganhar o jogo?

A) Beatriz D) Beatriz e Nicole B) Isabele E) As três têm a mesma chance. C) Nicole

21 Camila e Lara estão disputando o seguinte jogo num tabuleiro 4 3 4: Camila marca algumas casas do tabuleiro e informa à Lara o número de casas marcadas na vizinhança de cada casa do tabuleiro. Neste jogo, duas casas distintas são consideradas vizinhas se possuem um lado ou um canto (vértice) em comum. Lara deve descobrir quais casas foram marcadas por Camila. Após marcar algumas casas, Camila passou para Lara o seguinte tabuleiro:

O número de casas marcadas foi: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

48

A

D C

G

F

E B

22 Divida os números 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17 em dois gru-pos x e y com produtos A e B, respectivamente, de modo que A 2 B 5 1.A soma dos algarismos de A é:

A) 10 B) 11 C) 13 D) 14 E) 15

23 A figura a seguir mostra um quadrado ABCD e um triângulo equilátero BEF, ambos com lado de me-dida 1 cm. Os pon-tos A, B e E são coli-neares, assim como os pontos A, G e F.A área do triângulo BFG é, em cm2:

A) 14

B) 13

C) 3

4 D)

312

E) 3

10

24 Carlinhos pensa num número ímpar positivo menor do que 100. Pedrinho se dispõe a descobrir que nú-mero é esse fazendo a seguinte pergunta, quantas vezes forem necessárias: “O número que você pen-sou é maior, menor ou igual a x? ”. Note que x é um número que Pedrinho escolhe. Quantas perguntas desse tipo Pedrinho poderá ter que fazer até descobrir o número pensado por Carlinhos?

A) 5 B) 7 C) 15 D) 25 E) 45

25 No triângulo ABC, AB 5 20, AC 5 21 e BC 5 29. Os pontos D e E sobre o lado BC são tais que BD 5 8 e EC 5 9. A medida do ângulo DÂE, em graus, é igual a:

A) 30 B) 40 C) 45 D) 60 E) 75

SEGUNDA FASE• • • • • •

1 No desenho abaixo, o quadrado ABCD tem área de 30 cm2 e o quadrado FHIJ tem área de 20 cm2. Os vértices A, D, E, H e I dos três quadrados perten-cem a uma mesma reta. Calcule a área do quadra-do BEFG.

2 Dados os números inteiros de 1 a 26, escolha 13 dentre eles de forma que: 1) O número 4 está entre os números escolhidos.2) Nenhum número escolhido é divisor de outro

número escolhido.

3 Uma folha retangular ABCD de área 1 000 cm2 foi dobrada ao meio e em seguida desdobrada (seg-mento MN); foi dobrada e desdobrada novamente (segmento MC) e, finalmente, dobrada e desdobra-da segundo a diagonal BD. Calcule a área do pedaço de papel limitado pelos três vincos (região hachura-da no desenho).

4 Considere o produto de todos os divisores positi-vos de um número inteiro positivo, diferentes des-se número. Dizemos que o número é poderoso se o produto desses divisores for igual ao quadrado do número. Por exemplo, o número 12 é poderoso, pois seus divisores positivos menores do que ele são 1, 2, 3, 4 e 6 e 1 2 3 4 6 144 122 5 5 . Apresente todos os números poderosos menores do que 100.

5 Seja : IR*1 IR*

1, uma função tal que

f x f y f xyxy

yx

( ) ( ) ( )2 5 1 quaisquer que sejam os reais

não nulos x e y.(a) Calcule f(1)(b) Encontre uma fórmula para f(x)

6 Dizemos que um número N de quatro algarismos é biquadrado quando é igual à soma dos quadrados de dois números: um é formado pelos dois primei-ros algarismos de N, na ordem em que aparecem em N, e o outro, pelos dois últimos algarismos de N, também na ordem em que aparecem em N. Por exemplo, 1233 é biquadrado pois 1233 5 122 1 332. Encontre um outro número biquadrado.Observação: Lembre-se de que um número de quatro algarismos não pode começar com zero.

49

aa

aa

a

a

a

1 2 3 30 31

1

2

A B4 5 6 7 8 9

XXIV OLIMPÍADABRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2002



1a. Fase Olimpíada RegionalBA – ES – MG – PA – PB – RJ – RS – SC

1 A razão ( )( )24

4 8

8 2 é igual a:

A) 14

B) 12

C) 1 D) 2 E) 8

2 Num armazém foram empilha-das embalagens cúbicas confor-me mostra a figura ao lado. Se cada caixa pesa 25 kg, quanto pesa toda a pilha?

A) 300 kg D) 375 kg B) 325 kg E) 400 kg C) 350 kg

3 Na balança a seguir temos pesadas bolas de chum-

bo, todas iguais, e leves saquinhos de plástico, to-dos com a mesma quantidade de bolinhas, iguais às que estão fora dos mesmos. Quantas bolinhas há em cada saquinho?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6

4 Escreva os números inteiros de 1 a 9 nos nove quadradinhos, de forma que as somas dos quatro números em cada uma das pás da “hélice” sejam iguais e de maior valor possível. Esse valor é:

A) 23 B) 22 C) 21 D) 20 E) 19

5 Qual é a quantidade total de letras de todas as respostas incorretas desta questão?

A) Quarenta e oito. D) Cinquenta e um. B) Quarenta e nove. E) Cinquenta e quatro. C) Cinquenta.

6 Toda a produção mensal de latas de refrigerante de certa fábrica foi vendida a três lojas. Para a loja A, foi vendida metade da produção; para a loja B,

foram vendidos 25

da produção e para a loja C, fo-

ram vendidas 2 500 unidades. Qual foi a produção mensal dessa fábrica?

A) 4 166 latas C) 20 000 latas E) 30 000 latas B) 10 000 latas D) 25 000 latas 7 Um quadrado de área 1 foi dividido em 4 retângu-

los congruentes, conforme indicado no desenho à esquerda. Em seguida, os quatro retângulos foram reagrupados de maneira a formar um quadrado, com um buraco quadrado no centro, conforme in-dica o desenho à direita.

A área do buraco é igual a:

A) 12

B) 9

16 C)

1625

D) 34

E) 1

8 A linha poligonal AB é desenhada mantendo-se sempre o mesmo padrão mostrado na figura. Seu comprimento total é igual a:

A) 31 B) 88 C) 90 D) 97 E) 105

9 A diferença entre os quadrados de dois números inteiros positivos consecutivos é sempre:

A) um número primo. B) um múltiplo de 3. C) igual à soma desses números. D) um número par. E) um quadrado perfeito.

50

M

1 2 3

A

B

jul

a go

s et

out

nov

d ez

milh

ões d

e re

ais

100120140160180200

10 Marcelo leva exatamente 20 minutos para ir de sua casa até a escola. Certa vez, durante o cami-nho, percebeu que esquecera em casa a revista Eureka! que ia mostrar para a classe; ele sabia que, se continuasse a andar, chegaria à escola 8 minu-tos antes do sinal, mas se voltasse para pegar a revista, no mesmo passo, chegaria atrasado 10 mi-nutos. Que fração do caminho já tinha percorrido neste ponto?

A) 25

B) 9

20 C)

12

D) 23

E) 9

10

11 O gráfico abaixo mostra o faturamento mensal das empresas A e B no segundo semestre de 2001.

Com base nesse gráfico, podemos afirmar que: A) houve um mês em que o faturamento da em-

presa A foi o dobro do faturamento da empre-sa B.

B) no mês de julho, a diferença de faturamentos foi maior que nos demais meses.

C) a empresa B foi a que sofreu a maior queda de faturamento entre dois meses consecutivos.

D) no semestre, o faturamento total de A foi maior que o de B.

E) a diferença entre os faturamentos totais do se-mestre excedeu os 20 milhões de reais.

12 Patrícia mora em São Paulo e quer visitar o Rio de Janeiro num feriado prolongado. A viagem de ida e volta, de ônibus, custa R$ 80,00, mas Patrícia está querendo ir com seu carro, que faz, em média, 12 quilômetros com um litro de gasolina. O litro da gasolina custa, em média, R$ 1,60, e Patrícia cal-cula que terá de rodar cerca de 900 quilômetros com seu carro e pagar R$ 48,00 de pedágio. Ela irá de carro e para reduzir suas despesas chama duas amigas, que irão repartir com ela todos os gastos. Dessa forma, não levando em conta o desgaste do carro e outras despesas inesperadas, Patrícia irá:A) economizar R$ 20,00.B) gastar apenas R$ 2,00 a mais.C) economizar R$ 24,00.D) gastar o mesmo que se fosse de ônibus. E) gastar R$ 14,00 a mais.

13 Uma escola vai organizar um passeio ao zoológico. Há duas opções de transporte. A primeira opção é alugar “vans”: cada van pode levar até 6 crianças e seu aluguel custa R$ 60,00. A segunda opção é con-tratar uma empresa para fazer o serviço: a empresa utiliza ônibus com capacidade para 48 crianças e

cobra R$ 237,00, mais R$ 120,00 por ônibus utili-zado. A escola deve preferir a empresa que utiliza ônibus se forem ao passeio pelo menos N crianças. O valor de N é:

A) 28 B) 31 C) 32 D) 33 E) 36

14 O produto de um milhão de números naturais, não necessariamente distintos, é igual a um milhão. Qual é o maior valor possível para a soma desses números?

A) 1 000 000 D) 1 999 999 B) 1 250 002 E) 13 999 432 C) 1 501 999

15 Se você tiver uma mesa de bilhar retangular cuja

razão entre a largura e o comprimento seja 57

e ba-

ter em uma bola que está em um canto, de modo que ela saia na direção da bissetriz do ângulo des-se canto, quantas vezes ela baterá nos lados antes de bater em um dos cantos?

A) 10 vezes C) 13 vezes E) 15 vezes B) 12 vezes D) 14 vezes

16 Na malha quadriculada a seguir, todas as circunfe-rências têm centro em M. Então, pode-se concluir que a área preta é:

A) dois quintos da área do círculo maior.B) três sétimos da área do círculo maior.C) metade da área do círculo maior.D) quatro sétimos da área do círculo maior.E) três quintos da área do círculo maior.

17 As figuras a seguir são construídas com palitos pre-tos e brancos. Para construir as figuras, os palitos pretos foram colocados apenas nas bordas, e os brancos, apenas no interior. A figura de número n corresponde a um retângulo 3 por n. Continuando esse procedimento, quantos palitos brancos tere-mos na figura 2 002?

A) 2 001 C) 12 006 E) 10 010 B) 4 004 D) 10 007

51

A

B D FC

G

E

18 Um produtor de leite engarrafa diariamente toda a produção de leite de sua fazenda. Depois de tirado, o leite segue para um tanque de forma cilíndrica e então é engarrafado, conforme vemos na figura a seguir. Na tabela vemos a quantidade de garrafas que foram enchidas e o nível do leite dentro do tan-que. Depois de quantas garrafas serem enchidas o tanque ficará vazio?

Quantidade de garrafas enchidas

0 200 400 600

Nível do tanque (cm) 210 170 130 90

A) 1 000 B) 1 050 C) 1 100 D) 1 150 E) 1 200

19 Escrevendo todos os números inteiros de 100 a 999, quantas vezes escrevemos o algarismo 5?

A) 250 B) 270 C) 271 D) 280 E) 292

20 Uma usina comprou 2 000 litros de leite puro e en-tão retirou certo volume V desse leite para produção de iogurte e substituiu esse volume por água. Em seguida, retirou novamente o mesmo volume V da mistura e novamente substituiu por água. Na mistu-ra final existem 1 125 litros de leite. O volume V é:

A) 500 litros C) 700 litros E) 900 litros B) 600 litros D) 800 litros


1 O ano 2002 é palíndromo, ou seja, continua o mes-mo se lido da direita para a esquerda.a) Depois de 2002, quais serão os próximos quatro

anos palíndromos?b) O último ano palíndromo, 1991, era ímpar. Quan-

do será o próximo ano palíndromo ímpar?

2 Um fazendeiro resolveu repartir sua fazenda para seus cinco filhos. O desenho abaixo (fora de esca-la) representa a fazenda e as partes dos herdeiros,

que são da forma triangular, de modo que BDBC

54

,

AEAC

53

, DFDC

52

e EG 5 GC. O filho mais novo

recebeu o terreno representado pelo triângulo escuro, de 40 alqueires. Quantos alqueires tinha a propriedade original?

3 Dado um número, pode-se escrever o seu dobro ou suprimir o seu algarismo das unidades. Apresente uma sequência que começa com 2 002 e termina com 13, usando somente essas duas operações.

4 Três amigas foram para uma festa com vestidos azul, preto e branco, respectivamente. Seus pares de sapa to apresentavam essas mes-mas três cores, mas somente Ana usava vestido e sapatos de mes-ma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia eram brancos. Marisa usava sapatos azuis. Des - creva a cor do vestido de cada uma das moças.

5 No jogo pega-varetas, as varetas verdes valem 5 pontos cada uma, as azuis valem 10 pontos, as amarelas valem 15, as vermelhas, 20, e a preta, 50. Existem 5 varetas verdes, 5 azuis, 10 amarelas, 10 vermelhas e 1 preta. Carlinhos conseguiu fazer 40 pontos numa jogada. Levando em conta apenas a quantidade de varetas e suas cores, de quantas maneiras diferentes ele poderia ter conseguido essa pontuação, supondo que em cada caso fosse possível pegar as varetas necessárias?

6 Nas casas de um tabuleiro 8 3 8 foram escritos nú-meros inteiros positivos de forma que a diferença entre números escritos em casas vizinhas (quadra-dos com um lado comum) é 1. Sabe-se que numa das casas está escrito 17 e, em outra, está escrito 3. Desenhe um tabuleiro 8 3 8, preencha-o segundo essas regras e calcule a soma dos números escritos nas duas diagonais do tabuleiro.



BA – ES – MG – PA – PB – RJ – RS – SC

1 Um comerciante comprou dois carros por um to-tal de R$ 27 000,00. Vendeu o primeiro com lucro de 10% e o segundo com prejuízo de 5%. No total ganhou R$ 750,00. Os preços de compra foram, res-pectivamente:A) R$ 10 000,00 e R$ 17 000,00B) R$ 13 000,00 e R$ 14 000,00C) R$ 14 000,00 e R$ 13 000,00D) R$ 15 000,00 e R$ 12 000,00E) R$ 18 000,00 e R$ 9 000,00

2 Se você tiver uma mesa de bilhar retangular cuja ra-

zão entre a largura e o comprimento seja 57

e bater

uma bola que está em um canto, de modo que ela saia na direção da bissetriz do ângulo desse canto, quantas vezes ela baterá nos lados antes de bater em um dos cantos?

A) 10 vezes C) 13 vezes E) 15 vezes B) 12 vezes D) 14 vezes

52

A

B

jul

a go

s et

out

nov

d ez

milh

ões d

e re

ais

100120140160180200

3 Dizer que uma tela de televisão tem 20 polegadas significa que a diagonal da tela mede 20 polegadas. Quantas telas de televisão de 20 polegadas cabem numa de 60 polegadas?

A) 9 B) 10 C) 18 D) 20 E) 30

4 Uma usina comprou 2 000 litros de leite puro e en-tão retirou certo volume V desse leite para produ-ção de iogurte e substituiu este volume por água. Em seguida, retirou novamente o mesmo volume V da mistura e substituiu novamente este volume por água. Na mistura final existem 1 125 litros de leite puro. O volume V é:

A) 500 litros D) 800 litros B) 600 litros E) 900 litros C) 700 litros

5 Dois irmãos, Pedro e João, decidiram brincar de pe-ga-pega. Como Pedro é mais velho, enquanto João dá 6 passos, Pedro dá apenas 5. No entanto, 2 passos de Pedro equivalem à distância que João percorre com 3 passos. Para começar a brincadeira, João dá 60 passos antes de Pedro começar a persegui-lo. Depois de quantos passos Pedro alcança João?

A) 90 passos D) 180 passos B) 120 passos E) 200 passos C) 150 passos

6 A diferença entre os quadrados de dois números inteiros consecutivos é sempre:A) um número primo.B) um múltiplo de 3.C) igual à soma desses números.D) um número par.E) um quadrado perfeito.

7 Marcelo leva exatamente 20 minutos para ir de sua casa até a escola. Certa vez, durante o caminho, per-cebeu que esquecera em casa a revista Eureka! que ia mostrar para a classe; ele sabia que, se continuas-se a andar, chegaria à escola 8 minutos antes do si-nal, mas se voltasse para pegar a revista, no mesmo passo, chegaria atrasado 10 minutos. Que fração do caminho já tinha percorrido neste ponto?

A) 25

B) 9

20 C)

12

D) 23

E) 9

10

8 Escreva os números inteiros de 1 a 9 nos nove quadradinhos, de forma que as somas dos quatro números em cada uma das pás da “hélice” sejam iguais e de maior valor possível. Esse valor é:

A) 23 B) 22 C) 21 D) 20 E) 19

9 Patrícia mora em São Paulo e quer visitar o Rio de Janeiro num feriado prolongado. A viagem de ida e volta, de ônibus, custa R$ 80,00, mas Patrícia está querendo ir com seu carro, que faz, em média, 12 quilômetros com um litro de gasolina. O litro de gasolina custa, em média, R$1,60, e Patrícia calcula que terá de rodar cerca de 900 quilômetros com seu carro e pagar R$ 48,00 de pedágio. Ela irá de carro e para reduzir suas despesas chama duas amigas, que irão repartir com ela todos os gastos. Dessa forma, não levando em conta o desgaste do carro e outras despesas inesperadas Patrícia irá:A) economizar R$ 20,00.B) gastar apenas R$ 2,00 a mais.C) economizar R$ 24,00.D) gastar o mesmo que se fosse de ônibus.E) gastar R$ 14,00 a mais.

10 Traçando segmentos, podemos dividir um quadra-do em dois quadradinhos congruentes, quatro tra-pézios congruentes e dois triângulos congruentes, conforme indica o desenho abaixo, à esquerda. Eli-minando algumas dessas partes, podemos montar o octógono representado à direita. Que fração da área do quadrado foi eliminada?

A) 19

B) 29

C) 14

D) 13

E) 38

11 O gráfico abaixo mostra o faturamento mensal das empresas A e B no segundo semestre de 2001.

Com base nesse gráfico, podemos afirmar que: A) houve um mês em que o faturamento da empre-

sa A foi o dobro do faturamento da empresa B.B) no mês de julho, a diferença de faturamentos

foi maior que nos demais meses.C) a empresa B foi a que sofreu a maior queda de

faturamento entre dois meses consecutivos.D) no semestre, o faturamento total de A foi maior

que o de B.E) a diferença entre os faturamentos totais no se-

mestre excedeu os 20 milhões de reais.

12 O produto de um milhão de números naturais, não necessariamente distintos, é igual a um mi-lhão. Qual é o maior valor possível para a soma desses números?

A) 1 000 000 C) 1 501 999 E) 13 999 432 B) 1 250 002 D) 1 999 999

53

1 2 3 30 31

1

2

A B4 5 6 7 8 9

A B

AB

C

13 O lava-rápido “Lave Bem” faz uma promoção:

Lavagem simples R$5,00Lavagem completa R$7,00

No dia da promoção, o faturamento do lava-rápido foi de R$ 176,00. Nesse dia, qual o menor número possível de clientes que foram atendidos?

A) 23 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30

14 Um quadrado de área 1 foi dividido em 4 retângu-los congruentes, conforme indicado no desenho à esquerda. Em seguida, os quatro retângulos foram reagrupados de maneira a formar um quadrado, com um buraco quadrado no centro, conforme in-dica o desenho à direita.

A área do buraco é igual a:

A) 12 B)

916

C) 1625

D) 34

E) 1

15 Quantos números inteiros positivos menores que 900 são múltiplos de 7 e terminam em 7?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

16 Dado um triângulo ABC, em que A 5 80º e C 5 40o, a medida do ângulo agudo formado pelas bissetri-zes dos ângulos A e B é:

A) 40o B) 60o C) 70o D) 80o E) 110o

17 Na malha quadriculada abaixo, há 6 quadrados de lado 30 cm. A área do triângulo ABC é:

A) 150 cm2 C) 75 cm2 E) 25 cm2

B) 100 cm2 D) 50 cm2

18 A linha poligonal AB é desenhada mantendo-se sempre o mesmo padrão mostrado na figura. Seu comprimento total é igual a:

A) 31 B) 88 C) 90 D) 97 E) 105

19 Escrevendo todos os números inteiros de 100 a 999, quantas vezes escrevemos o algarismo 5?

A) 250 B) 270 C) 271 D) 280 E) 292

20 Se xy 5 2 e x2 1 y2 5 5, então xy

yx

2

2

2

2 21 1 vale:

A) 52 B)

254 C)

54 D)

12 E) 1

21 Uma escola vai organizar um passeio ao zoológico. Há duas opções de transporte. A primeira opção é alugar “vans”: cada van pode levar até 6 crianças e seu aluguel custa R$ 60,00. A segunda opção é con-tratar uma empresa para fazer o serviço: a empre-sa utiliza ônibus com capacidade para 48 crianças e cobra R$ 237,00 mais R$ 120,00 por ônibus utili-zado. A escola deve preferir a empresa que utiliza ônibus se forem ao passeio pelo menos N crianças. O valor de N é:

A) 28 B) 31 C) 32 D) 33 E) 36

22 Durante sua viagem ao país das Maravilhas, a altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da se-guinte forma: primeiro ela tomou um gole de um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia: “beba-me e fique 25% mais alta”. A seguir, co-meu um pedaço de uma torta onde estava escrito: “prove-me e fique 10% mais baixa”; logo após, to-mou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótu-lo estampava a mensagem: “beba-me e fique 10% mais alta”. Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual estava escrito: “prove-me e fique 20% mais baixa”. Após a viagem de Alice, podemos afir-mar que ela:A) ficou 1% mais baixa.B) ficou 1% mais alta.C) ficou 5% mais baixa.D) ficou 5% mais alta.E) ficou 10% mais alta.

23 Vamos provar que 4 é maior que 4. Sejam a e b dois números tais que a . 4 e a 5 b.1) Vamos subtrair 4 dos dois termos desta equação:

a 5 ba 2 4 5 b 2 4

2) Colocamos 21 em evidência no segundo mem-bro da equação:

a 2 4 5 21(2b 1 4)a 2 4 5 21(4 2 b)

3) Elevamos ambos os termos da equação ao qua-drado:

( ) [ ( )]a b2 5 2 24 1 42 2

( ) ( ) ( )a b2 5 2 24 1 42 2 2

( ) ( )a b2 5 24 1 42 2( ) ( )a b2 5 24 42 2

4) Extraímos a raiz quadrada dos dois membros da equação:

( ) ( )a b2 5 24 42 2

a 2 4 5 4 2 b

54

azul

branco

amarelo

verde

B C

A DA D

CB

5) Como a 5 b, substituímos b por a:

a 2 4 5 4 2 a

6) Resolvemos a equação:

a 2 4 5 4 2 a 2a 5 8 a 5 4

Como escolhemos a tal que a . 4, chegamos à inacreditável conclusão de que 4 . 4.

Onde está o erro no argumento acima? A) Na passagem 2. D) Na passagem 5. B) Na passagem 3. E) Na passagem 6. C) Na passagem 4.

24 Qual é a quantidade total de letras de todas as respostas incorretas desta questão?

A) Quarenta e oito. D) Cinquenta e um. B) Quarenta e nove. E) Cinquenta e quatro. C) Cinquenta.

25 O resto da divisão por 9 de 1111111111 222222 é: A) 0 B) 1 C) 3 D) 6 E) 8


1 Geraldinho e Magrão saíram de suas casas no mes-mo instante com a intenção de um visitar o outro, caminhando pelo mesmo percurso. Geraldinho ia pensando num problema de olimpíada, e Ma-grão ia refletindo sobre questões filosóficas e nem perceberam quando se cruzaram. Dez minutos depois, Geraldinho chegava à casa de Magrão, e meia hora mais tarde, Magrão chegava à casa de Geraldinho. Quanto tempo cada um deles andou?

Observação: Cada um deles anda com velocidade constante.

2 Um grande painel na forma de um quarto de círculo foi com-posto com 4 cores, conforme in-dicado na figura ao lado, onde o segmento divide o setor em duas partes iguais e o arco interno é uma semicircunferência. Qual é a cor que cobre a maior área?

3 Nas casas de um tabuleiro 8 3 8 foram escritos números inteiros positivos de forma que a dife-rença entre números escritos em casas vizinhas (quadrados com um lado comum) é 1. Sabe-se que numa das casas está escrito 17 e, em outra, está escrito 3. Calcule a soma dos números escri-tos nas duas diagonais do tabuleiro.

4 O professor Pardal está estudando o comportamen-to familiar de uma espécie de pássaro. Os pontos A, B, C e D da figura a seguir representam a disposi-ção de quatro ninhos desses pássaros. O professor construiu um posto de observação equidistante dos quatro ninhos. Todos os ninhos e o posto de obser-vação estão em um mesmo nível de altura a partir do solo, a distância de B a D é de 16 me-tros e BAD oˆ 545 . De-termine a distância que o posto guarda de cada ninho.

5 O primeiro número de uma sequência é 7. O pró-ximo é obtido da seguinte maneira:Calculamos o quadrado do número anterior 72 5 5 49 e a seguir efetuamos a soma de seus algaris-mos e adicionamos 1, isto é, o segundo número é 4 1 9 1 1 5 14. Repetimos este processo, obten-do 142 5 196, e o terceiro número da sequência é 1 1 9 1 6 1 1 5 17, e assim sucessivamente. Qual o 2002o elemento desta sequência?

6 O ano 2002 é palíndromo, ou seja, continua o mes-mo se lido da direita para a esquerda.a) Depois de 2002, quais serão os próximos quatro

anos palíndromos?b) O último ano palíndromo, 1991, era ímpar. Quan-

do será o próximo ano palíndromo ímpar?c) O último ano palíndromo primo aconteceu há

mais de 1 000 anos, em 929. Determine qual será o próximo ano palíndromo primo.

55

XXIII OLIMPÍADABRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2001



1a. Fase Olimpíada RegionalAM – GO – PA – RJ – RS – SC

1 Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes. O maior deles só tem algarismos pares, e o menor só tem algaris-mos ímpares. O menor valor possível para a dife-rença entre eles é:

A) 111 B) 49 C) 29 D) 69 E) 5

2 Na figura abaixo, temos 4 circunferências e alguns pontos destacados no interior dessas circunferên-cias. Escolhendo exatamente um desses pontos dentro de cada uma das circunferências, e unin-do-os por segmentos de reta que não se cruzam, formamos um quadrilátero. Quantos quadriláteros diferentes seremos capazes de desenhar nessas condições?

A) 4 B) 14 C) 60 D) 120 E) 24

3 Joana escreve a sequência de números naturais 1, 6, 11, ..., em que cada número, com exceção do pri-meiro, é igual ao anterior mais cinco. Joana para quando encontra o primeiro número de três alga-rismos. Esse número é:

A) 100 B) 104 C) 101 D) 103 E) 102

4 Quantos números de dois algarismos não são pri-mos nem múltiplos de 2, 3 ou 5?

A) 1 C) 2 E) mais de 4 B) 3 D) 4

5 No conjunto {101, 1 001, 10 001, ..., 1 000 000 000 001} cada elemento é um número formado por algaris-mos 1 nas extremidades e por algarismos 0 entre eles. Alguns desses elementos são números primos, e outros são compostos. Sobre a quantidade de nú-meros compostos, podemos afirmar que:

A) é igual 11. B) é igual a 4. C) é menor do que 3. D) é maior do que 4 e menor do que 11. E) é 3.

6 Uma pera tem cerca de 90% de água e 10% de ma-téria sólida. Um produtor coloca 100 quilogramas de pera para desidratar até o ponto em que a água represente 60% da massa total. Quantos litros de água serão evaporados? (Lembre-se: 1 litro de água tem massa de 1 quilograma).

A) 15 litros. C) 75 litros. E) 30 litros. B) 45 litros. D) 80 litros.

7 O triângulo equilátero T à direita tem lado 1. Juntando triângulos congruentes a esse, podemos formar outros triângulos equiláteros maiores, conforme indicado no desenho abaixo.

Qual é o lado do triângulo equilátero formado por 49 dos triângulos T ?A) 7 B) 49 C) 13 D) 21E) É impossível formar um triângulo equilátero com

esse número de triângulos T.

8 Os números inteiros positivos de 1 a 1 000 são es-critos, lado a lado, em ordem crescente, formando a sequência 123 456 789 101 112 131 415... 9 991 000. Nessa sequência, quantas vezes aparece o grupo “89” ?

A) 98 C) 22 E) 21 B) 32 D) 89

9 Um serralheiro tem 10 pedaços de 3 elos de ferro cada um, mostrados abaixo.

Ele quer fazer uma única corrente de 30 elos. Para abrir e depois soldar um elo, o serralheiro leva 5 minutos. Quantos minutos, no mínimo, ele levará para fazer essa corrente?

A) 30 C) 40 E) 50 B) 35 D) 45

56

1

2 4

3 5

6 8

7

2 001

2 000

2 001

2 000

2 000

2 001

2 001

2 000

2 001

2 000

10 Escrevem-se os números naturais numa faixa deco-rativa, da seguinte maneira:

Assinale a figura correta:

A) C) E)

B) D)

11 2 melancias custam o mesmo que 9 laranjas mais 6 bananas; além disso, meia dúzia de bananas custa a metade de uma melancia. Portanto, o preço pago por uma dúzia de laranjas e uma dúzia de bananas é igual ao preço de:

A) 3 melancias. D) 5 melancias. B) 4 melancias. E) 2 melancias. C) 6 melancias.

12 Qual é o último algarismo da soma de 70 números inteiros positivos consecutivos?

A) 4 C) 7 E) Faltam dados. B) 0 D) 5

13 Em Tumbólia, um quilograma de moedas de 50 cen-tavos equivale, em dinheiro, a dois quilogramas de moedas de 20 centavos. Sendo 8 gramas o peso de uma moeda de 20 centavos, uma moeda de 50 centavos pesará:

A) 15 gramas. C) 12 gramas. E) 22 gramas. B) 10 gramas. D) 20 gramas.

14 As medidas dos lados de um retângulo são núme-ros inteiros distintos. O perímetro e a área do retân-gulo se exprimem pelo mesmo número. Determine esse número.

A) 18 B) 12 C) 24 D) 9 E) 36

15 O número N de três algarismos multiplicado por 7 deu como resultado um número que termina em 171. A soma dos algarismos de N é:

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

16 Em um tabuleiro retangular com 6 linhas e 9 colu-nas, 32 casas estão ocupadas.Podemos afirmar que:A) Todas as colunas têm pelo menos 3 casas ocupadas.B) Nenhuma coluna tem mais de 3 casas ocupadas.C) Alguma coluna não tem casas ocupadas.D) Alguma linha tem pelo menos 6 casas ocupadas.E) Todas as linhas têm pelo menos 4 casas ocupadas.

17 Contando-se os alunos de uma classe de 4 em 4 so-bram 2, e contando-se de 5 em 5 sobra 1. Sabendo- -se que 15 alunos são meninas e que nessa classe o número de meninas é maior que o número de me-ninos, o número de meninos nessa classe é:

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

18 São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411, etc.). A soma de todos esses nú-meros é:

A) 6 882 C) 4 668 E) 3 448 B) 5 994 D) 7 224

19 Cinco animais, A, B, C, D e E, são cães ou são lobos. Cães sempre contam a verdade, e lobos sempre mentem. A diz que B é um cão. B diz que C é um lobo. C diz que D é um lobo. D diz que B e E são ani-mais de espécies diferentes. E diz que A é um cão. Quantos lobos há entre os cinco animais?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

20 Com azulejos quadrados brancos e pretos, todos do mesmo tamanho, construímos os seguintes mosaicos.

A regra para se construir esses mosaicos é a se-guinte: inicialmente formamos um quadrado com 1 azulejo branco cercado por azulejos pretos; e, em seguida, outro quadrado, este com 4 azulejos brancos, também cercado por azulejos pretos; e assim sucessivamente.Com 80 azulejos pretos, quantos azulejos brancos serão necessários para se fazer uma sequência de mosaicos como essa?

A) 55 B) 65 C) 75 D) 85 E) 100


1 O jogo de dominó é formado por 28 peças retan-gulares distintas, cada uma com duas partes, com cada parte contendo de 0 a 6 pontinhos. Por exem-plo, veja três dessas peças:

Qual é o número total de pontinhos de todas as peças?

57

A

60O

40O

α

B

C

D

E

1 2

34

5 6 7

8

9 10

11

12

1313

12

118

76

3

2 As peças de um jogo chamado Tangram são cons-truí das cortando-se um quadrado em sete partes, como mostra o desenho: dois triângulos retângu-los grandes, um triângulo re-tângulo médio, dois triângulos retângulos pequenos, um qua-drado e um paralelogramo. Se a área do quadrado grande é 1, qual é a área do paralelogramo?

3 Carlinhos faz um furo numa folha de papel retangu-lar. Dobra a folha ao meio e fura o papel dobrado; em seguida, dobra e fura novamente o papel do-brado. Ele pode repetir esse procedimento quantas vezes quiser, evitando furar onde já havia furos. Ao desdobrar a folha, ele conta o número total de fu-ros feitos. No mínimo, quantas dobras deverá fazer para obter mais de 100 furos na folha?

4 Os pontos da rede quadriculada abaixo são numera-dos a partir do vértice inferior esquerdo seguindo o ca-minho poligonal suge-rido no desenho. Con-sidere o ponto corres-pondente ao número 2 001. Quais são os nú-meros dos pontos si-tuados imediatamente abaixo e imediatamen-te à esquerda dele?

5 Apresente todos os números inteiros positivos me-nores do que 1 000 que têm exatamente três divi-sores positivos. Por exemplo: o número 4 tem exata-mente três divisores positivos: 1, 2 e 4.

6 Seja N o número inteiro positivo dado por N 5 12 1 1 22 1 32 1 42 1…1 (196 883)2. Qual é o algarismo das unidades de N?


• • • • • •1a. Fase Olimpíada RegionalAM – GO – PA – RJ – RS – SC

1 Quantos números de dois algarismos não são pri-mos nem múltiplos de 2, 3 ou 5?

A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) Mais de 4.

2 O triângulo CDE pode ser obtido pela rotação do tri-ângulo ABC de 90o no sen-tido anti-horário ao redor de C, conforme mostrado no desenho ao lado. Podemos afirmar que a é igual a:

A) 75o C) 70o E) 55o

B) 65o D) 45o

3 No conjunto {101, 1 001, 10 001, ..., 1 000 000 000 001} cada elemento é um número formado por algaris-mos 1 nas extremidades e por algarismos 0 entre eles. Alguns desses elementos são números primos, e outros são compostos. Sobre a quantidade de nú-meros compostos, podemos afirmar que:A) é igual 11.B) é igual a 4.C) é menor do que 3.D) é maior do que 4 e menor do que 11.E) é 3.

4 Uma pera tem cerca de 90% de água e 10% de ma-téria sólida. Um produtor coloca 100 quilogramas de pera para desidratar até o ponto em que a água represente 60% da massa total. Quantos litros de água serão evaporados? (Lembre-se: 1 litro de água tem massa de 1 quilograma).

A) 15 litros. C) 75 litros. E) 30 litros. B) 45 litros. D) 80 litros.

5 Os números inteiros positivos de 1 a 1 000 são es-critos, lado a lado, em ordem crescente, formando a sequência 123 456 789 101 112 131 415... 9 991 000. Nessa sequência, quantas vezes aparece o grupo “89”?

A) 98 B) 32 C) 22 D) 89 E) 21

6 Um serralheiro tem 10 pedaços de 3 elos de ferro cada um, mostrados abaixo.

Ele quer fazer uma única corrente de 30 elos. Para abrir e depois soldar um elo, o serralheiro leva 5 minutos. Quantos minutos, no mínimo, ele leva-rá para fazer essa corrente?

A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

7 2 melancias custam o mesmo que 9 laranjas mais 6 bananas; além disso, meia dúzia de bananas cus-ta a metade de uma melancia. Portanto, o preço pago por uma dúzia de laranjas e uma dúzia de bananas é igual ao preço de:

A) 3 melancias. D) 5 melancias. B) 4 melancias. E) 2 melancias. C) 6 melancias.

8 Qual é o último algarismo da soma de 70 núme-ros inteiros positivos consecutivos?

A) 4 D) 5 B) 0 E) Faltam dados. C) 7

9 As medidas dos lados de um retângulo são núme-ros inteiros distintos. O perímetro e a área do retân-gulo se exprimem pelo mesmo número. Determine esse número.

A) 18 B) 12 C) 24 D) 9 E) 36

58

a

b

10 O número N de três algarismos multiplicado por 7 deu como resultado um número que termina em 171. A soma dos algarismos de N é:

A) 10 C) 12 E) 14 B) 11 D) 13

11 Os pontos P1, P

2, P

3, … estão, nessa ordem, sobre

uma circunferência e são tais que o arco que une cada ponto ao seguinte mede 35o. O menor valor de n . 1, tal que P

n coincide com P

1 é:

A) 37 C) 109 E) 361 B) 73 D) 141

12 Em um tabuleiro retangular com 6 linhas e 9 colu-nas, 32 casas estão ocupadas.Podemos afirmar que:A) Todas as colunas têm pelo menos 3 casas

ocupadas.B) Nenhuma coluna tem mais de 3 casas ocupadas.C) Alguma coluna não tem casas ocupadas.D) Alguma linha tem pelo menos 6 casas ocupadas.E) Todas as linhas têm pelo menos 4 casas

ocupadas.

13 ABCDE é um pentágono regular, e ABF é um triân-gulo equilátero interior. O ângulo FCD mede:

A) 38o C) 42o E) 46o

B) 40o D) 44o

14 Contando-se os alunos de uma classe de 4 em 4 so-bram 2, e contando-se de 5 em 5 sobra 1. Sabendo- -se que 15 alunos são meninas e que nessa classe o número de meninas é maior que o número de me-ninos, o número de meninos nessa classe é:

A) 7 C) 9 E) 11 B) 8 D) 10

15 Um círculo é dividido, por 2n 1 1 raios, em 2n 1 1 setores congruentes. Qual é o número máximo de regiões do círculo determinadas por estes raios e por uma reta?

A) 3n C) 3n 1 2 E) 4n B) 3n 1 1 D) 3n 1 3

16 Paulo e Cezar têm algum dinheiro. Paulo dá a Ce-

zar R$ 5,00, e, em seguida, Cezar dá a Paulo 13

do

que possui. Assim, ambos ficam com R$ 18,00. A diferença entre as quantias que cada um tinha inicialmente é:

A) R$ 7,00 C) R$ 9,00 E) R$11,00 B) R$ 8,00 D) R$10,00

17 Um fazendeiro tinha 24 vacas e ração para alimen-tá-las por 60 dias. Entretanto, 10 dias depois, ele comprou mais 6 vacas, e 10 dias depois dessa com-pra ele vendeu 20 vacas. Por mais quantos dias após essa última compra ele pode alimentar o gado com a ração restante?

A) 50 C) 70 E) 90 B) 60 D) 80

18 São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411 etc.). A soma de todos esses números é:

A) 6 882 C) 4 668 E) 3 448 B) 5 994 D) 7 224

19 Uma mesa retangular, cujos pés têm rodas, deve ser empurrada por um corredor de largura constante, que forma um ângulo reto.

Se as dimensões da mesa são a e b (com 2a , b), qual deve ser a largura mínima do corredor para que a mesa possa ser empurrada através dele?

A) a 1 b D) ( )22

4a b1

B) ( )a b12

2 E) ( )a b12

24

C) ( )a b12

4

20 Somente uma das figuras a seguir representa a pla-nificação de um cubo na qual está destacada a sua interseção com um plano. Qual?

A) C) E)

B) D)

21 Quantos dígitos tem o menor quadrado perfeito cujos quatro últimos dígitos são 2 001?

A) 9 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

22 Papa-Léguas participou de uma corrida (com o Ligeiri-nho e o Flash), que consistia em dar 100 voltas em um circuito. Como sempre, o Coiote queria pegar o Papa- -Léguas e colocou um monte de alpiste no meio da pis-ta. É claro que o Coiote não conseguiu pegar o Papa- -Léguas, mas ele fez com que a velocidade média dele na primeira volta fosse de apenas 200 km/h. Sabendo disso, a velocidade média do Papa-Léguas na corrida:A) não ultrapassa 200 km/h. B) não ultrapassa 250 km/h, mas pode ultrapassar

200 km/h. C) não ultrapassa 2 000 km/h, mas pode ultrapassar

250 km/h. D) não ultrapassa 20 000 km/h, mas pode ultrapassar

os 2 000 km/h.E) pode ultrapassar 20 000 km/h.

59

12

3

4 5

?

A

BC

D

E

F

1 2

34

5 6 7

8

9 10

11

12

1313

12

118

76

3

23 Com azulejos quadrados brancos e pretos, todos do mesmo tamanho, construímos os seguintes mosaicos.

A regra para se construir esses mosaicos é a se-guinte: inicialmente formamos um quadrado com 1 azulejo branco cercado por azulejos pretos; e, em seguida, outro quadrado, este com 4 azulejos bran-cos, também cercado por azulejos pretos; e assim sucessivamente.Com 80 azulejos pretos, quantos azulejos brancos serão necessários para se fazer uma sequência de mosaicos como essa?

A) 55 B) 65 C) 75 D) 85 E) 100

24 Cinco animais, A, B, C, D e E, são cães ou são lobos. Cães sempre contam a verdade, e lobos sempre mentem. A diz que B é um cão. B diz que C é um lobo. C diz que D é um lobo. D diz que B e E são ani-mais de espécies diferentes. E diz que A é um cão. Quantos lobos há entre os cinco animais?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

25 O hexágono ABCDEF é cir-cunscritível. Se AB 5 1, BC 5 2, CD 5 3, DE 5 4 e EF 5 5, quan-to mede FA?

A) 1 C) 158

E) 9

B) 3 D) 6


1 As peças de um jogo chamado Tangram são cons-truídas cortando-se um quadrado em sete partes, como mostra o desenho: dois triângulos retângu-los grandes, um triângu-lo retângulo médio, dois triângulos retângulos pe-quenos, um quadrado e um paralelogramo. Se a área do quadrado grande é 1, qual é a área do para-lelogramo?

2 Os pontos da rede quadriculada abaixo são nume-rados a partir do vértice inferior esquerdo seguindo o caminho poligonal sugerido no desenho. Considere o ponto cor-respondente ao núme-ro 2 001. Quais são os números dos pontos si-tuados imediatamente abaixo e imediatamen-te à esquerda dele?

3 Se a n-ésima OBM é realizada em um ano que é di-visível por n, dizemos que esse ano é superolímpico. Por exemplo, o ano 2001, em que está sendo realiza-da a 23a OBM, é superolímpico, pois 2 001 5 87 ? 23 e é divisível por 23. Determine todos os anos supe-rolímpicos, sabendo que a OBM nunca deixou de ser realizada desde sua primeira edição, em 1979, e supondo que continuará sendo realizada todo ano.

4 As medidas dos ângulos do triângulo ABC são tais que ˆ ˆ ˆA B C, , ,90o . As bissetrizes externas dos ân-gulos A e C cortam os prolongamentos dos lados opostos BC e AB nos pontos P e Q, respectivamente. Sabendo que AP CQ AC5 5 , determine os ângulos de ABC.

5 Dizemos que um conjunto A formado por 4 alga-rismos distintos e não nulos é intercambiável se podemos formar dois pares de números, cada um com 2 algarismos de A, de modo que o produto dos números de cada par seja o mesmo e que, em cada par, todos os dígitos de A sejam utilizados.Por exemplo, o conjunto {1; 2; 3; 6} é intercambiável, pois 21 ? 36 5 12 ? 63.Determine todos os conjuntos intercambiáveis.

6 O matemático excêntrico Jones, especialista em Teoria dos Nós, tem uma bota com 5 pares de fu-ros pelos quais o cadarço deve passar. Para não se aborrecer, ele gosta de diversificar as maneiras de passar o cadarço pelos furos, obedecendo sempre às seguintes regras:• o cadarço deve formar um padrão simétrico em

relação ao eixo vertical;• o cadarço deve passar exatamente uma vez por

cada furo, sendo indiferente se ele o faz por cima ou por baixo;

• ocadarçodevecomeçareterminarnosdoisfurossuperiores e deve ligar diretamente (isto é, sem passar por outros furos) os dois furos inferiores.

Representamos a seguir algumas possibilidades.

Qual é o número total de possibilidades que o ma-temático tem para amarrar seu cadarço, obedecen-do às regras acima?Observação: Maneiras como as exibidas a seguir devem ser consideradas iguais (isto é, deve ser le-vada em conta apenas a ordem na qual o cadarço passa pelos furos).

60

XXII OLIMPÍADABRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2000



1a. Fase Olimpíada RegionalBA – ES – GO – RJ – RN – SC – SP


12 345 679 3 18 5 222 222 22212 345 679 3 27 5 333 333 33312 345 679 3 54 5 666 666 666

Para obter 999 999 999, devemos multiplicar 12 345 679 por:

A) 29 B) 99 C) 72 D) 41 E) 81

2 Outro dia ganhei 250 reais, incluindo o pagamento de horas extras. O salário (sem horas extras) excede em 200 reais o que recebi pelas horas extras. Qual é o meu salário sem horas extras?

A) 200 reais. C) 225 reais. E) 180 reais. B) 150 reais. D) 175 reais.

3 Num relógio digital, que marca de 0:00 até 23:59, quantas vezes por dia o mostrador apresenta todos os algarismos iguais?

A) 10 B) 8 C) 6 D) 7 E) 9

4 A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro, vazias, por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

5 Numa caixa havia várias bolas, sendo 5 azuis, 4 amarelas, 3 vermelhas, 2 brancas e 1 preta. Renato retirou 3 bolas da caixa. Sabendo que nenhuma delas era azul, nem amarela, nem preta, podemos afirmar, a respeito dessas 3 bolas, que:A) eram da mesma cor. B) eram vermelhas. C) uma era vermelha, e duas eram brancas. D) uma era branca, e duas eram vermelhas. E) pelo menos uma era vermelha.

6 Se a área do retângulo dado é 12, qual é a área da figura sombreada?

A) 3 C) 5 E) 8 B) 4 D) 6

7 O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos: 10 5 5 1 5 e 10 5 7 1 3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos?

A) 4 C) 2 E) Nenhuma. B) 1 D) 3

8 1 litro de álcool custa R$ 0,75. O carro de Henrique percorre 25 km com 3 litros de álcool. Quantos reais serão gastos em álcool para percorrer 600 km?

A) 54 C) 50 E) 45 B) 72 D) 52

9 Um certo número N de dois algarismos é o quadrado de um número natural. Invertendose a ordem dos algarismos desse número, obtémse um número ímpar. A diferença entre os dois números é o cubo de um número natural. Podemos afirmar que a soma dos algarismos de N é:

A) 7 C) 13 E) 11 B) 10 D) 9

10 Juliano colou uma bandeirinha cinza em cada engrenagem, como mostra a figura abaixo.

As engrenagens são iguais, e quando a engrenagem da esquerda girou um pouco, a sua bandeirinha ficou na posição indicada com a bandeirinha branca pontilhada. Nessa condição, podemos afirmar que a posição da bandeirinha na engrenagem da direita é:

A) B) C) D) E)

11 Uma fábrica embala 8 latas de palmito em caixas de papelão cúbicas de 20 cm de lado. Para que possam ser mais bem transportadas, essas caixas são colocadas, da melhor maneira possível, em caixotes de madeira de 80 cm de largura por 120 cm de comprimento por 60 cm de altura. O número de latas de palmito em cada caixote é:

A) 576 C) 2 304 E) 144 B) 4 608 D) 720

61

I

H

D

C

G

F

E B A

12 Há 18 anos, Hélio tinha precisamente três vezes a idade de seu filho. Agora, tem o dobro da idade desse filho. Quantos anos têm Hélio e seu filho?

A) 72 anos e 36 anos. D) 50 anos e 25 anos. B) 36 anos e 18 anos. E) 38 anos e 19 anos. C) 40 anos e 20 anos.

13 Se os números naturais são colocados em colunas, como se mostra abaixo, debaixo de que letra aparecerá o número 2 000?

A B C D E F G H I

1 2 3 4 5

9 8 7 6

10 11 12 13 14

18 17 16 15

19 20 21 ... ...

A) F B) B C) C D) I E) A

14 O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39 filhos, incluindo muitos gêmeos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma, num dos seus escritos, que todos os filhos do emir eram gêmeos duplos, exceto 39; todos eram gêmeos triplos, exceto 39; todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39. O número de filhos do emir é:

A) 111 C) 51 E) 75 B) 48 D) 78

15 Quatro amigos vão visitar um museu, e um deles resolve entrar sem pagar. Aparece um fiscal que quer saber qual deles entrou sem pagar.— Eu não fui, diz o Benjamim. — Foi o Carlos, diz o Mário.— Foi o Pedro, diz o Carlos.— O Mário não tem razão, diz o Pedro.

Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada do museu?A) Mário. B) Pedro. C) Benjamim. D) Carlos. E) não é possível saber, pois faltam dados.

16 Em um jogo de duas pessoas, os jogadores tiram, alternadamente, 1, 2, 3, 4 ou 5 palitos de uma pilha, que, inicialmente, tem 1 000 palitos. Ganha o jogador que tirar o último palito da pilha. Quantos palitos o jogador que começa deve tirar na sua jogada inicial para assegurar sua vitória?

A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4

17 Quantos números inteiros e positivos menores do que 1 000 000 existem cujos cubos terminam em 1?

A) 1 000 C) 50 000 E) 500 000 B) 10 000 D) 100 000

18 Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas foram todas distintas, foram distribuídos em duas turmas, de acordo com a nota obtida no concurso: os 31 primeiros foram colocados na turma A, e os 30 seguintes, na turma B. As médias das duas turmas no concurso foram calculadas. Depois, no entanto, decidiuse passar o último colocado da turma A para a turma B. Com isso:A) A média da turma A melhorou, mas a da B piorou.B) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou.C) As médias de ambas as turmas melhoraram.D) As médias de ambas as turmas pioraram.E) As médias das turmas podem melhorar ou piorar,

dependendo das notas dos candidatos.

19 Escrevemse, em ordem crescente, os números inteiros e positivos que sejam múltiplos de 7 ou de 8 (ou de ambos), obtendose 7, 8, 14, 16, ... . O 100o

número escrito é: A) 406 B) 376 C) 392 D) 384 E) 400

20 A figura abaixo foi desenhada em cartolina e dobrada de modo a formar um cubo.

Qual das alternativas mostra o cubo assim formado?

A) C) E)

B) D)


1 De quantas maneiras diferentes podemos construir um paralelepípedo usando exatamente 24 blocos cúbicos de medidas 1 3 1 3 1?Obs.: Blocos de dimensões 2 3 3 3 4 e 2 3 4 3 3 devem ser considerados iguais.

2 O retângulo abaixo está dividido em 9 quadrados, A, B, C, D, E, F, G, H e I. O quadrado A tem lado 1, e o quadrado B tem lado 9. Qual é o lado do quadrado I?

62

AB

C

AB

C

3 Pintamos de vermelho ou azul 100 pontos em uma reta. Se dois pontos vizinhos são vermelhos, pintamos o segmento que os une de vermelho. Se dois pontos vizinhos são azuis, pintamos o segmento de azul. Finalmente, se dois pontos vizinhos têm cores distintas, pintamos o segmento de verde. Feito isso, existem exatamente 20 segmentos verdes.O ponto na ponta esquerda é vermelho.É possível determinar com esses dados a cor do ponto da ponta direita?Em caso afirmativo, qual a cor desse ponto?

4 Desejamos escrever os inteiros de 1 a 10 nas casas do desenho ao lado, de tal forma que quais quer quatro números alinhados aparecem em ordem crescente ou decrescente.

a) Mostre uma maneira de dispor os números respeitando essas condições.

b) Quais números podem aparecer nas pontas da estrela?

c) Quais números podem aparecer nas outras cinco posições?

5 Qual é o menor inteiro positivo que é o dobro de um cubo e o quíntuplo de um quadrado?

6 Qual é o maior inteiro positivo n tal que os restos das divisões de 154, 238 e 334 por n são iguais?



BA – ES – GO – RJ – RN – SC – SP

1 Quantos números inteiros e positivos menores do que 1 000 000 existem cujos cubos terminam em 1?

A) 1 000 D) 100 000 B) 10 000 E) 500 000 C) 50 000

2 Uma fábrica embala latas de palmito em caixas de papelão cúbicas de 20 cm de lado, de modo que cada caixa contém 8 latas. Para poderem ser mais bem transportadas, essas caixas são colocadas, da melhor maneira possível, em caixotes de madeira de 80 cm de largura por 120 cm de comprimento por 60 cm de altura. O número de latas de palmito em cada caixote é:

A) 576 C) 2 304 E) 144 B) 4 608 D) 720

3 Juliano colou uma bandeirinha cinza em cada engrenagem, como mostra a figura abaixo.

As engrenagens são iguais, e quando a engrenagem da esquerda girou um pouco, a sua bandeirinha ficou na posição indicada com a bandeirinha branca pontilhada. Nessa condição, podemos afirmar que a posição da bandeirinha na engrenagem da direita é:

A) B) C) D) E)

4 Quatro amigos vão visitar um museu, e um deles resolve entrar sem pagar. Aparece um fiscal que quer saber qual deles entrou sem pagar.— Eu não fui, diz o Benjamim. — Foi o Carlos, diz o Mário.— Foi o Pedro, diz o Carlos.— O Mário não tem razão, diz o Pedro.

Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada do museu?A) Mário. B) Pedro. C) Benjamim. D) Carlos. E) não é possível saber, pois faltam dados.

5 Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas foram todas distintas, foram distribuídos em duas turmas, de acordo com a nota obtida no concurso: os 31 primeiros foram colocados na turma A, e os 30 seguintes, na turma B. As médias das duas turmas no concurso foram calculadas. Depois, no entanto, decidiuse passar o último colocado da turma A para a turma B. Com isso:A) A média da turma A melhorou, mas a da B piorou.B) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou.C) As médias de ambas as turmas melhoraram.D) As médias de ambas as turmas pioraram.E) As médias das turmas podem melhorar ou piorar,

dependendo das notas dos candidatos.

6 No triângulo ABC representado abaixo, a medida do ângulo C

∧ é 60°, e a bissetriz do ângulo B

∧ forma

70° com a altura relativa ao vértice A. A medida do ângulo A

∧ é:

A) 50° B) 30° C) 40° D) 80° E) 70°

63

A

B

7 Se a área do retângulo dado é 12, qual é a área da figura sombreada?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

8 Alberto, Beatriz e Carlos correm numa pista circular. Todos saem ao mesmo tempo e do mesmo lugar, cada um desenvolvendo velocidade constante. Alberto e Beatriz correm no mesmo sentido. Correndo no sentido oposto, Carlos encontra Alberto, pela primeira vez, exatamente 90 segundos após o início da corrida e encontra Beatriz exatamente 15 segundos depois. Quantos segundos são necessários para que Alberto ultrapasse Beatriz pela primeira vez?A) 105 B) 630 C) 900 D) 1 050E) Não pode ser determinado.

9 DEFG é um quadrado no exterior do pentágono regular ABCDE. Quanto mede o ângulo EÂF?

A) 9º B) 12º C) 15º D) 18º E) 21º

10 Quantos são os números inteiros de 2 algarismos que são iguais ao dobro do produto de seus algarismos?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

11 Escrevemse, em ordem crescente, os números inteiros e positivos que sejam múltiplos de 7 ou de 8 (ou de ambos), obtendose 7, 8, 14, 16, …. O 100o número escrito é:

A) 406 B) 376 C) 392 D) 384 E) 400

12 Uma caixa contém 900 cartões, numerados de 100 a 999. Retiramse ao acaso (sem reposição) cartões da caixa e anotamos a soma dos seus algarismos. Qual é a menor quantidade de cartões que devem ser retirados da caixa para garantirmos que pelo menos três dessas somas sejam iguais?

A) 51 B) 52 C) 53 D) 54 E) 55

13 Se x e y são números reais positivos, qual dos números a seguir é o maior?

A) xy D) x2 1 y(x 1 y) B) x2 1 y2 C) (x 1 y)2 E)

x yx y

3 311

14 Na figura, as distâncias entre dois pontos horizon

tais consecutivos e as distâncias entre dois pontos verticais consecutivos são iguais a 1. A região comum ao triângulo e ao quadrado tem área:

A) 9

10 C)

89

E) 1415

B) 1516

D) 1112

15 Sejam a e b números reais positivos, tais que ab

, 1.

Então ab

11

11

:

A) é igual a ab

1 1.

B) é igual a ab

.

C) é menor que ab

.

D) é maior que ab

, mas menor que 1.

E) pode ser maior que 1.

16 Em um jogo de duas pessoas, os jogadores tiram, alternadamente, 1, 2, 3, 4 ou 5 palitos de uma pilha, que, inicialmente, tem 1 000 palitos. Ganha o jogador que tirar o último palito da pilha. Quantos palitos o jogador que começa deve tirar na sua jogada inicial para assegurar sua vitória?

A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4

17 Quantos são os retângulos que têm os pontos A e B como vértices, e cujos vértices estão entre os pontos de interseção das 9 retas horizontais com as 9 retas verticais da figura abaixo?

A) 3 C) 7 E) 5 B) 4 D) 2

18 O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39 filhos, incluindo muitos gêmeos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma, num dos seus escritos, que todos os filhos do emir eram gêmeos duplos, exceto 39; todos eram gêmeos triplos, exceto 39; todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39. O número de filhos do emir é:

A) 111 C) 51 E) 75 B) 48 D) 78

19 De Itacimirim a Salvador, pela Estrada do Coco, são 60 km. Às 11 horas, a 15 km de Salvador, dá se um acidente que provoca um engarrafamento, que cresce à velocidade de 4 km/h, no sentido de Itacimirim. A que horas, aproximadamente, devemos sair de Itacimirim para chegar a Salvador ao meiodia, sabendo que viajamos a 60 km/h, exceto na zona de engarrafamento, onde a velocidade é 6 km/h?

A) 10h43min C) 10h48min E) 11h01min B) 10h17min D) 10h53min

64

D F C

E

A B

G

I

H

D

C

G

F

E B A

20 Colocamos em ordem crescente os números escritos nas casas brancas do tabuleiro a seguir (estamos mostrando apenas as suas quatro primeiras linhas). Assim, por exemplo, o nono número da nossa lista é 14. Qual é o 2 000o número da nossa lista?

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

… … … … … … … … …

A) 3 931 C) 3 935 E) 3 939 B) 3 933 D) 3 937


1 Qual é o menor inteiro positivo que é o dobro de um cubo e o quíntuplo de um quadrado?

2 De quantas maneiras diferentes podemos construir um paralelepípedo usando exatamente 216 blocos cúbicos de medidas 1 3 1 3 1?Obs.: Blocos de dimensões 2 3 3 3 36 e 2 3 36 3 3 devem ser considerados iguais.

3 No retângulo ABCD, E é o ponto médio do lado BC, e F é o ponto médio do lado CD. A interseção de DE com FB é G.

O ângulo EAF∧

mede 20°. Quanto vale o ângulo EGB∧

?

4 O retângulo abaixo está dividido em 9 quadrados, A, B, C, D, E, F, G, H e I. O quadrado A tem lado 1. Qual é o lado do quadrado I?

5 Listamos os inteiros de 1 a n. Dessa lista, apagamos o inteiro m. A média dos n 2 1 números restantes

é 13411

. Determine n e m.

6 O campeonato Venusiano de futebol é disputado por 10 times, em dois turnos. Em cada turno, cada equipe joga uma vez contra cada uma das outras. Suponha que o Vulcano FC vença todas as partidas do 1o turno. Caso não vença o 2o turno, o Vulcano FC jogará uma final contra o vencedor do 2o turno, na qual terá vantagem caso faça mais pontos que o adversário durante todo o campeonato (vitória vale 3 pontos, empate vale 1 ponto, e derrota, 0 ponto).a) Determine o menor n tal que, se o Vulcano FC

fizer exatamente n pontos no segundo turno, garantirá pelo menos a vantagem na final (independente de contra quem e com que placares conquiste os n pontos).

b) Determine o menor n tal que, se o Vulcano FC fizer pelo menos n pontos no segundo turno, garantirá pelo menos a vantagem na final (independente de contra quem e com que placares conquiste os n pontos).

65

XXXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2009

RESOLUÇÕESNível 1 (6o. e 7o. anos)



Regional nos Estados de:AL 2 BA 2 ES 2 GO 2 MA 2

RS 2 RN 2 SP 2 SC

1 Resposta: (C)

Se um oitavo do número é 15

, então esse número

vale 85

. Assim, 58

desse número é 58

85

1⋅ = .

2 Resposta: (B)

5 Resposta: (D) Conseguiremos 4 faces totalmente pretas cortan-do o cubo como na figura abaixo e pintando da maneira a seguir.

A

B

C

D

E

A

D B

C

A

D B

C

A

D B

C

A

D B

C

Como ACDE é um retângulo, então AE 5 CD e AE // CD. Como ABCE é um paralelogramo, AE 5 BC e AE // BC. Como AE 5 CD 5 BC e AE // BD, então as áreas dos triângulos ABC, ACE e CDE são iguais. Além disso, as áreas dos triângulos ABC e ACE são iguais a 11; logo, a área de ABDE é 33.

3 Resposta: (D) Número de pessoas que dançam: xNúmero de pessoas que não dançam: y

x y xy

y x5 5 525

100 44⇒ ⇒

Porcentagem do número de pessoas que não dançam:

yx y

xx1

5 5 545

45

80100

5 80%

4 Resposta: (C) Seja C1 o casal 1 e C2 o casal 2. É fácil ver que po-demos permutar os dois casais nos bancos, ou seja, teremos as seguintes configurações: C C1 2 e C C2 1 . Além disso, podemos trocar as posições do marido e da mulher em cada casal. Pelo princípio multipli-cativo, temos: 2 2 2 8 5 .

6 Resposta: (C) Possível caminho: BADBCD

A

D B

C

A

D B

C

A

D B

C

A

D B

C

A

D B

C

A

D B

C

É impossível começar pelas casas A ou C, basta ver as situações abaixo:

66

7 Resposta: (A) a 5 240 5 (24)10 5 1610, b 5 320 5 (32)10 5 910 e c 5 710. Logo: a . b . c.

8 Resposta: (C) A soma máxima dos pontos é 6 10 603 5 . Portan-to, em no máximo três lançamentos, o número obti-do não é o máximo.Assim, em pelo menos sete lançamentos o número obtido é o máximo 6.

9 Resposta: (C) Para quadruplicar a área, devemos dobrar o lado do hexágono, como na figura abaixo:

Assim, a quantidade de palitos adicionais, em preto na figura, é 30.

10 Resposta: (B) Para que a primeira e a quarta cartas fiquem pretas, são necessários pelo menos dois movimentos. Por outro lado, com apenas dois movimentos, a segun-da carta seria preta. Assim, a quantidade mínima é três, conforme o exemplo abaixo:

11 Resposta: (B)

Veja que Nelly e Penha pegam juntas 25

14

1320

1 5

da barra. Portanto, os 70 gramas de Sônia represen-

tam 7

20 da barra. Dessa forma, o peso da barra será

200 gramas 207

70 200 5( ).

12 Resposta: (E) Como temos 24 torcedores ( )14 10 241 5 não corintianos, na fila deve existir, sempre entre dois torcedores corintianos, exatamente um torcedor de outra equipe.

13 Resposta: (E) Traçando uma paralela a DC por Q, temos que Área (ABQ) 5 Área (AQM). Logo, Q é ponto médio de BC.

B

Q

C P

A

M

D

Dessa forma, os triângulos ABQ e QCP são con-gruentes e PC 5 AB 5 5.

14 Resposta: (E) Temos um total de 10 1 30 1 20 1 50 1 20 1 40 5 170 pessoas entrevistadas. Destas, apenas 10 não termi-naram o Ensino Fundamental.Logo, 170 2 10 5 160 têm pelo menos o Ensino Fundamental.

A fração será 160170

1617

5 .

15 Resposta: (B) Seja XYZ um número de três dígitos que detona 314. Devemos ter X 5 4, 5, 6, 7, 8 ou 9; Y 5 2, 3, ..., 9 e Z 5 5, 6, 7, 8 ou 9. Portanto, temos 6 opções para o primeiro dígito, 8 para o segundo e 5 para o terceiro, ou seja, 6 8 5 240× × = .

16 Resposta: (C) Quinze minutos após o meio-dia, o ponteiro dos minutos terá se deslocado 90º, e o das horas terá se deslocado 7,5º. Assim, cinco minutos após 12h15min, o ponteiro dos minutos se deslocara 30º, e o das horas, menos que 7,5º. Portanto, eles irão for-mar um ângulo reto entre 12h15min e 12h30min.

17 Resposta: (D) Primeiramente observe que o algarismo das unida-des da soma de todos os números nunca muda. Inicialmente o algarismo das unidades da soma de todos os números é 5. Pois, 1 1 2 1 3 1 ... 1 10 5 55. E a cada bloco de dez consecutivos a soma terá o dígito das unidades igual a 5.Se, dos dois números que sobraram, um era 2 000, o outro deve ser 5.

18 Resposta: (B) A figura abaixo mostra todos os pontos amarelos,

que são dois triângulos de área 24 12

2144

⋅ = . Des-sa forma, a área total é 288.

A

D

B

Q

QP

M

C

67

19 Resposta: (D) Após completar a tabela, teremos quatro notas 1 em cada linha. Como temos 18 linhas, teremos 18 4 723 = notas 1 em toda a tabela.Se a quantidade de notas 1 é a mesma em cada co-luna, e temos seis colunas, teremos 12 notas 1 por

coluna 726

12=( ).

20 Resposta: (C) Considere a quantidade de cubos no quadradinho central da vista de cima apresentada na alternativa C. Esse é o único do meio da vista da frente e, por-tanto, deve ter 1 cubo; esse é também o único do meio da vista da esquerda e, portanto, deve ter 2 cubos, o que não é possível. Então, a vista de cima não pode ser a que está apresentada na alterna-tiva C.As figuras a seguir indicam possíveis quantidades de cubos em cada quadradinho da vista de cima das demais alternativas.

A)

3

2 1

1 1 1

D)

3

2

1 1

B)

3

2

1 1 1

E)

3

2 1

1

SEguNDA FASE – parte A• • • • • •

1 Resposta: (40) Para fazer um novo andar num castelo já cons-truído, precisamos de três cartas para cada andar anterior mais duas para o topo. Assim, a partir do castelo de 3 andares, para fazer o de 4 andares, precisamos de mais 3 3 2 113 1 5 cartas, num total de 15 1 11 5 26 cartas. Portanto, para fazer o castelo de 5 an dares, precisamos de 40 cartas ( ).26 4 3 2 401 3 1 5

Solução alternativa:Para acrescentarmos um quarto andar a um castelo de 3 andares, precisamos de 3 cartas para separar a base dos demais andares, e de 4 pares de cartas para a base, totalizando 11 cartas a mais (3 1 2 4 5 11). Veja a figura a seguir:

Analogamente, para acrescentarmos um quinto an-dar a um castelo de 4 andares, precisamos de 4 cartas para separar a base dos demais andares, e de 5 pares de cartas para a base, totalizando 14 cartas a mais (4 1 2 5 5 14). Assim, para montar um castelo de 5 andares, precisamos de 40 cartas (15 1 11 1 14 5 40).Observação: De fato, o acréscimo de um n-ésimo andar necessita de n 2 1 cartas para apoiar a base anterior e n pares de cartas para a nova base. Por-tanto, são acrescentadas n 2 1 1 2 n 5 3n 2 1 cartas por andar.

2 Resposta: (55) Seja x a quantidade de meninas. Assim, a quanti-dade de meninos é x 1 15, e a quantidade total de alunos será 2x 1 15. Fazendo a proporção, temos:

x2x � 15 11

4=

Resolvendo a equação, obtemos x 5 20.

3 Resposta: (65) Se cada aluno compareceu exatamente três dias, o número total de alunos do curso é

271 296 325 380 1683

1 4403

4801 1 1 1

5 5 . A me-

nor frequência foi de 168 alunos, num total de 312 faltas (480 2 168 5 312). Portanto, o percentual de

faltas nesse dia foi 312480

0 65 655 5, %.

4 Resposta: (10) Na direção da medida 88 cm, Mariazinha irá usar 9 folhas e na dire-ção da medida 95 cm, irá usar 10 folhas. Maria-zinha começa colando as folhas sem sobrepo-sição da esquerda para a direita e de cima para baixo (como na figura), e, ao chegar às bordas direita e inferior, desloca, res-pectivamente, 2 cm à esquerda e 5 cm para cima (as regiões em cinza representam as sobreposições de 2 folhas). A região retangular preta é a intersecção dessas duas faixas de sobreposição; logo, é coberta por 4 folhas. Sua área é de 10 cm2.

5 Resposta: (392) No número existem 502 algarismos 2 e 502 algaris-mos 9. Para retirar a menor quantidade possível de algarismos, devemos tentar deixar a maior quantida-de possível de algarismos 2. Porém, a soma de todos os algarismos 2 é 1 004. Ainda falta 1 004 para com-pletar a soma 2 008. Como 1 004 5 9 3 111 1 5, deve-mos deixar pelo menos 111 algarismos 9. Porém, é impossível deixar exatamente 111 algarismos 9. Se deixarmos 112 algarismos 9, devemos deixar 500 al-garismos 2. Portanto, deve-se retirar no mínimo 392 algarismos (2 1 390 5 392).

esq

uer

da

esq

uer

da

esq

uer

da

esq

uer

da

frente frente

frentefrente

68

6 Resposta: (252) Como todos os membros de uma família devem possuir pelo menos um algarismo comum, a maior quantidade de membros de uma família cujos ele-mentos têm três algarismos é igual ao número de elementos de qualquer conjunto formado por to-dos os números de três algarismos que possuem um determinado algarismo em sua representação decimal.O algarismo das centenas não pode ser zero. Vamos contar então todos os números que têm um deter-minado algarismo a, não nulo, pois há mais deles.Há 81 números ( )9 9 813 5 em que a aparece uma única vez, como algarismo das centenas.Há 72 números ( )8 9 723 5 em que a aparece uma única vez, como algarismo das dezenas (lembre-se: o das centenas não pode ser 0) e há 72 números em que a aparece uma única vez, como algarismo das unidades. Há 9 números com a na centena e na dezena, me-nos na unidade; 9 números com a na centena e na unidade, menos na dezena; 8 números com a na de-zena e na unidade, menos na centena; e um único número formado inteiramente de a. A quantidade total de números em que figura o al-garismo não nulo a é: 252 (81 1 72 1 72 1 9 1 9 1 8 1 1 5 252).

Solução alternativa:

Para simplificar o raciocínio, vamos contar quantos números de três algarismos não contêm um algaris-mo a, não nulo, fixado. Assim, nessa situação, exis-tem 8 escolhas para o algarismo das centenas (não pode ser 0 ou a), 9 escolhas para o algarismo das dezenas (não pode ser a), e 9 escolhas para os al-garismos das unidades (não pode ser a). Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, há 648 núme-ros (8 9 9 5 648) que não possuem o algarismo a. Assim, como existem 900 números de 3 algarismos, há 252 números (900 2 648 5 252) que possuem o algarismo a ( a ≠ 0 ). Essa é a maior quantidade de membros que uma família pode ter.

Observação:

Podemos verificar que a família formada por todos os números de três algarismos que possuem o zero tem 171 membros ( ).900 9 9 9 1712 5

SEguNDA FASE – parte B

• • • • • •

1 Respostas:

a) O perímetro da primeira figura é 36 (8 1 6 1 1 6 1 10 1 6 5 36), e o da segunda figura é 40 (10 1 8 1 6 1 8 1 8 5 40). Portanto, a dife-rença é 4 (40 2 36 5 4).

b) A figura de maior perímetro é obtida quando fa-zemos coincidir os dois menores lados de cada

um dos triângulos. Isso é mostrado na figura ao lado cujo perímetro é 44 (10 1 10 1 10 1

1 8 1 6 5 44). Há ou-tras com o mesmo pe-rímetro.

2 Resposta: Seja A o número de três dígitos e B 5 10x 1 y o número de dois dígitos. Portanto, ao trocar a ordem dos dígitos de B, obtemos o número 10y 1 x. Mon-tando a equação segundo as condições do proble-ma, temos:

A(10x 1 y) 2 A(10y 1 x) 5 9A(x 2 y) 5 2 034

Com isso:A x y( )2 5 5 226 2 113

Daí, se x e y são consecutivos, A 5 226, caso contrá-rio, A 5 113.

3 Respostas: a) Sim, é possível. Podem existir, por exemplo, qua-

tro jogadores com pontuação 2 e outros quatro com pontuação 1. Fazendo A, B, C, D o primeiro grupo, e E, F, G, H o segundo grupo, temos:

1a Rodada

A vence E

B vence F

C vence G

D vence H

2a Rodada

A empata com B

E empata com F

C empata com D

G empata com H

3a Rodada

A empata com F

B empata com E

C empata com H

D empata com G

b) Após três rodadas, um jogador pode acumular no máximo 3 pontos. Como as pontuações são

múltiplos inteiros de 12

, os possíveis valores de

pontuação após a terceira rodada são:

012

132

252

3, , , , , , (7 resultados possíveis).

Como existem 8 jogadores e apenas 7 possibili-dades, dois jogadores terão pontuações iguais.

69


• • • • • •Esta prova também corresponde

à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de:

AL – BA – ES – GO – MA – RS – RN – SP – SC

1 Resposta: (C) Se um oitavo do número é

15

, então esse número

vale 85

. Assim, 58

desse número é 58

85

1⋅ = .

2 Resposta: (C) Para quadruplicar a área, devemos dobrar o lado do hexágono, como na figura abaixo:

Assim, a quantidade de palitos adicionais, em preto na figura, é 30.

3 Resposta: (C) Seja C

1 o casal 1 e C

2 o casal 2. É fácil ver que pode-

mos permutar os dois casais nos bancos, ou seja, te-remos as seguintes configurações: C

1 C

2 e C

2 C

1. Além

disso, podemos trocar as posições do marido e da mulher em cada casal. Pelo princípio multiplicativo, temos: 2 . 2 . 2 5 8.

4 Resposta: (D) 1

54 5

14

654

16

45x

x xx1

5 1 5 1 51

5⇔ ⇔ ⇔

5 Resposta: (C) Possível caminho: BADBCD

A

D B

C

É impossível começar pelas casas A ou C, basta ver as situações abaixo:

A

D B

C

A

D B

C

A

D B

C

A

D B

C

A

D B

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

6 Resposta: (C) Como 15m 5 20n ⇔ m

n5

43

, e a fração 43

é irredutí-

vel, m 5 4k e n 5 3k, k inteiro positivo. Assim, mn 5 5 12k2, que é múltiplo de 12. Tomando k 5 1, verifi-camos que as demais alternativas são incorretas.

7 Resposta: (B) Seja XYZ um número de três dígitos que detona 314. Devemos ter X 5 4, 5, 6, 7, 8 ou 9; Y 5 2, 3, ..., 9 e Z 5 5, 6, 7, 8 ou 9. Portanto, temos 6 opções para o primeiro dígito, 8 para o segundo e 5 para o terceiro, ou seja, 6 8 5 2403 3 5 .

8 Resposta: (B) Veja que Nelly e Penha pegam juntas 2

514

1320

1 5

da barra. Portanto, os 70 gramas de Sônia represen-

tam 720

da barra. Dessa forma, o peso da barra será

200 gramas 207

70 200 5( ).

A

D B

C

70

9 Resposta: (C) A soma máxima dos pontos é 60 ( )6 10 603 5 e, portanto, em no máximo três lançamentos, o nú-mero obtido não é o máximo.Assim, em pelo menos sete lançamentos o número obtido é o máximo 6.

10 Resposta: (A) A circunferência de centro A e raio AB contém os pontos C, D e E. Logo, a medida do ângulo inscrito EBC é igual à metade da medida do ângulo central

EAC , ou seja, β α α=22

= = °18 .

11 Resposta: (B) Para que a primeira e a quarta cartas fiquem pretas, são necessários pelo menos dois movimentos. Por outro lado, com apenas dois movimentos, a segun-da carta seria preta. Assim, a quantidade mínima é três, conforme o exemplo abaixo:

12 Resposta: (C) As medidas dos ângulos internos de um triân-gulo equilátero, de um quadrado e de um pen-tágono regular são, respectivamente, 60º, 90º e

( ).

5 2 1805

1082

5o

o

Assim: m(HDE) o o o o o 5 2 1 1 5360 60 90 108 102( )

Temos ainda que o triângulo HDE é isósceles, com HD 5 DE e, portanto:

β β+ + ° = ° ⇔ = ° − ° = °102 180180 102

239β

13 Resposta: (E) Como temos 24 torcedores ( )14 10 241 5 não co-rintianos, na fila deve existir, sempre entre dois tor-cedores corintianos, exatamente um torcedor de outra equipe.

14 Resposta: (E) Traçando uma paralela a DC por Q, temos que Área(ABQ) 5 Área(AQM). Logo, Q é ponto médio de BC.

Dessa forma, os triângulos ABQ e QCP são con-gruentes e, com isso, PC 5 AB 5 5.

15 Resposta: (B) Para obtermos a maior diferença possível, devemos tomar o maior e o menor primo cuja soma seja 126. Como 123 5 3 41, 121 11 119 7 17 115 5 2325 5 5 , , , tal representação é 113 1 13, cuja diferença é 113 2 13 5 100.

16 Resposta: (A)

Temos BR RS SC13

BC.5 5 5 Sabemos ainda que,

como E é ponto médio de AB, a altura do triângulo EBR com relação à base BR é igual à metade da al-tura do triângulo ABC com relação à base BC. Con-

sequentemente, área ( )EBR 5 13

12

área ( )ABC 516

área (ABC). Analogamente, área (FSC) 516

área

(ABC) 5 23

252 168 5 .

17 Resposta: (C) Para x e y reais:

x y x y 2 0 x y 0x y 2 0

x yy y 2 0

22 2

22 2 2

2 52 2 5

52 2 5

( ) ( ) ⇔{ ⇔{2 21 5 ⇔⇔

⇔{ ⇔x y

y 1 ou y 2)

x 1 e y 1oux 4 e y 2

2552 5

5 52

5 5(

( )

( )

18 Resposta: (D) Após completar a tabela, teremos quatro notas 1 em cada linha. Como temos 18 linhas, teremos 18 4 723 5 notas 1 em toda a tabela.Se a quantidade de notas 1 é a mesma em cada co-luna, e temos seis colunas, teremos 12 notas 1 por

coluna 726

125( ).

19 Resposta: (B) Inicialmente, podemos observar que:

• Como 63 3 9692 5 e 64 4 0962 5 , 63 4 018 642 2 .

• 2 0092 1 4 018 2 0092 2 009 1 1 2 0092 1 4 018 (2 009 1 1)2

• Logo, entre os inteiros positivos n 1 4 018, n 5 1, 2, ..., 2 0092, encontramos os quadrados perfeitos 642, 652, ..., 2 0092, isto é, 2 009 64 1 19462 1 5 ao todo.

20 Resposta: (B)

S1 5 1 1 1 1 51 2 3 10 55...

S S2 15 1 1 1 1 5 1 1 1 1 52 4 6 20 2 1 2 3 10 2... ( ... )

S S3 15 1 1 1 1 5 1 1 1 1 53 6 9 30 3 1 2 3 10 3... ( ... )

S S10 15 1 1 1 1 5 1 1 1 1 510 20 30 100 10 1 2 3 10 10... ( ... )

Logo, S S S S S S S S (11 2 3 10 1 1 1 11 1 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 1... ... ...2 3 10 2 3 11 5 3 5 510 55 3 0252)S S S1 1 1

S S S S S S S S (11 2 3 10 1 1 1 11 1 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 1... ... ...2 3 10 2 3 11 5 3 5 510 55 3 0252)S S S1 1 1

A

D

B

Q

QP

M

C

71

21 Resposta: (E) A distância mínima entre os dois círculos é deter-minada pelo segmento que une seus centros. Ob-servando, então, a figura abaixo, concluímos que tal

distância é igual a 3 1 2 1 10 32 21 2 2 5 2( ) cm.

1cm 2cm

3cm 1cm

22 Resposta: (B) Listando todas as potências menores ou iguais a 100:Quadrados: 2 3 102 2 2, ,...,Cubos: 2 3 4 83 3 3 2, , =Demais potências: 2 4 3 9 2 2 84 2 4 2 5 6 25 5 5, , ,Portanto, 12 naturais podem ser escritos na forma indicada.

23 Resposta: (B) A figura abaixo mostra todos os pontos amarelos,

que são dois triângulos de área 24 12

2144

5 . Des-

sa forma, a área total é 288.

24 Resposta: (A) Considerando que x, y e z são inteiros positivos, da equação 9 5 z(x 1 y) chegamos às seguintes possi-bilidades:(z 5 3 e x 1 y 5 3) ou (z 5 1 e x 1 y 5 9)Porém, 0 x yz e, portanto: z 5 3, y 5 2 e x 5 1. Assim: t 5 w(y 1 z) 5 9(2 1 3) 5 45.

25 Resposta: (C) Considere a quantidade de cubos no quadradinho central da vista de cima apresentada na alternativa C. Esse é o único do meio da vista da frente e, portan-to, deve ter 1 cubo; esse é também o único do meio da vista da esquerda e, portanto, deve ter 2 cubos, o que não é possível. Então, a vista de cima não pode ser a que está apresentada na alternativa C.As figuras a seguir indicam possíveis quantidades de cubos em cada quadradinho da vista de cima das demais alternativas.

A)

3

2 1

1 1 1

D)

3

2

1 1

B)

3

2

1 1 1

E)

3

2 1

1

SEguNDA FASE - parte A• • • • • •

1 Resposta: (6)Inicialmente temos 4,5 litros de água e 4,5 litros de álcool. Colocados x litros de água, para termos 30%

de álcool na mistura, basta que 30

1009 4 5( ) ,1 5x ,

então x 5 6.

2 Resposta: (25) É fácil ver que: ab bc cd da b(a c) d(c a) (a c)(b d)1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 . Suponha sem perda de generalidade que a 5 1. Com isso, { , } { , }, { , }a c 5 1 2 1 3 ou { , }1 4 e consequen-temente {b, d} 5 {3, 4}, {2, 4} ou {2, 3}, respectiva-mente. Assim os possíveis valores do produto são 21, 24 e 25, e o máximo é 25.

3 Resposta: (252)O algarismo das centenas não pode ser zero. Vamos contar então todos os números que têm um deter-minado algarismo x, não nulo, pois há mais deles.Há 81 números (9 9 813 5 ) em que x aparece uma única vez, como algarismo das centenas.Há 72 números (8 9 723 5 ) em que x aparece uma única vez, como algarismo das dezenas (lembre-se que o das centenas não pode ser 0).Há 72 números em que o x aparece uma única vez, como algarismo das unidades. Há 9 números com x na centena e na dezena, me-nos na unidade; 9 números com x na centena e na unidade, menos na dezena; 8 números com x na de-zena e na unidade, menos na centena; e um único número formado inteiramente de x. A quantidade total de números em que figura o al-garismo não nulo x é: 252 (81 1 72 1 72 1 9 1 9 1 8 1 1 5 252).

4 Resposta: (14)Seja n =10A +B o número de dois dígitos. Se A divi-de n, então A divide B. Se A . 5, então B 5 A, pois B não pode ser 0, e B 10 2A.Listemos as possibilidades:Se A 5 1, então AB pode ser 11, 12, 15.Se A 5 2, então AB pode ser 22, 24.Se A 5 3, então AB pode ser 33, 36.Se A 5 4, então AB pode ser 44, 48.Se A 5 5, então AB pode ser 55.Se A 5 6, então AB pode ser 66.Se A 5 7, então AB pode ser 77.Se A 5 8, então AB pode ser 88.Se A 5 9, então AB pode ser 99.Logo, o total de números é 14 (3 1 2 1 2 1 2 1 1 5 5 14).

5 Resposta: (1 704)Sejam K a interseção dos lados AD e FG e L a inter-seção dos lados AB e EH. Por simetria, veja que KD 5 5 KF e AK 5 KG. Considere FK 5 x. Dessa forma, AK 5 48 2 x. Usando o teorema de Pitágoras no tri-ângulo AFK, temos: 242 21 5 2x (48 x2 ) , o que nos dá x 5 18.

esq

uer

da

esq

uer

da

esq

uer

da

esq

uer

da

frente frente

frentefrente

72

Agora, veja que os triângulos AFK e ALE são seme-lhantes. Portanto:AEFK

ELAF

5

Assim, EL 532.Para achar a área procurada, basta subtrair a área do quadrado EFGH das áreas dos triângulos AFK e AEL. Portanto, a área será 1 704.

SEguNDA FASE - parte B• • • • • •

1 Resposta: (69)

0 1 2 3 4 5 6

0 0 15 9 3 18 12 6

1 7 1 16 10 4 19 13

2 14 8 2 17 11 5 20

A resposta é 69 (15 1 8 1 10 1 11 1 12 1 13 5 69).

2 Resposta:

S (r s)S rsS (r s) 5 rs 2 5r 5s 2rs 64 3 25 1 2 5 1 2 5 1 2 5

S (r s)S rsS (r s) 2 rs 1 2r 2s rs 53 2 15 1 2 5 1 2 5 1 2 5

Com isso, encontramos: r s1 5− 4 e rs5−13 . Daí,

S (r s)S rsS 24 65 415 4 35 1 2 52 1 5

3 Resposta: B

M

G

N CPA

Se BP é uma mediana do triângulo, então AP 5 CP 5 6 e PN 5 2. Como G é o baricentro do triângulo, então

PGGB

= 12

e PNNC

= 12

. Assim, pela recíproca do teore-

ma de Tales, GN é paralelo a BC e B 5 90o. Como o triângulo ABC é retângulo, então AP 5 CP 5 BP 5 6. Com isso, BG 5 4 e GP 5 2.

4 Resposta:a) Após três rodadas, um jogador pode acumular no máximo 3 pontos. Como as pontuações são múlti-

plos inteiros de 12

, os possíveis valores de pontua-

ção após a terceira rodada são:

0, 12

, 1, 32

, 2, 52

, 3

Como existem 8 jogadores e apenas 7 possibilida-des, dois jogadores terão pontuações iguais.

b) Se k é a pontuação do primeiro colocado e todas as pontuações são distintas, a soma das pontuações dos oito jogadores será, no máximo:

k k k k k k

k k

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 2 1 2

12

132

252

372

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )) 5 28 14k

Como foram disputados exatamente 28 pontos (4 7), temos:8k 214 > 28

Logo, k > 5 1k � 5 �12

, pois as pontuações são múltiplos

inteiros de k � 5 �12

. Basta mostrarmos um exemplo onde

este valor é atingido.Na tabela abaixo, marcamos, na interseção da linha A

i com a coluna A

j, o número de pontos que A

i ga-

nhou na partida disputada contra Aj.

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

Total

A1

X 1 1 1 1 1k � 5 �12

0 k � 5 �12

A2

0 X 1 1 1 1 1 0 5

A3

0 0 X 1 1 1 1k � 5 �12

4 1 k � 5 �12

A4

0 0 0 X 1 1 1 1 4

A5

0 0 0 0 X 0 0 0 0

A6

0 0 0 0 1 Xk � 5 �12

1 2 1 k � 5 �12

A7

k � 5 �12

0 0 0 1k � 5 �12

X 1 3

A8

1 1k � 5 �12

0 1 0 0 X 3 1 k � 5 �12

A B

CD

E

F

G

H

K

L

73

XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2008


PRIMEIRA FASE• • • • • •


Regional nos Estados de:AL – BA – ES – GO – PI –

– RN – RS – SC

1 Resposta: (A) Com 4 segmentos é impossível formar um triângu-lo, pois teríamos lados de medida 1, 1 e 2, o que im-possibilita tal formação.

2 Resposta: (C) Ela compra 5 latas de azeite a R$ 4,70 a lata, 5 latas de leite a R$ 3,12 cada e 3 caixas de iogurte com 6 iogur-tes em cada caixa a R$ 0,80 por iogurte. O total gasto com esses itens é: 5 4 70 5 3 12 3 6 0 80 , , ,1 1 5

5 5 4 70 3 12 3 6 0 80( , , ) ,1 1 . Como ela paga com uma nota de R$ 50,00, ela irá receber de troco

50 5 4 70 3 12 3 6 0 80 5 4 70 3 12 3 6 1 1 1 5 1 ( , , ) , ( , , )[ ] 00 80 50,[ ]1

50 5 4 70 3 12 3 6 0 80 5 4 70 3 12 3 6 1 1 1 5 1 ( , , ) , ( , , )[ ] 00 80 50,[ ]1 .

3 Resposta: (B) ou (D) ambas devem ser considera-das como resposta correta. Seja 2n o número de pessoas entrevistadas. A quantidade de pessoas cuja preferência é pela cor I é de 19% das mulheres e 50% dos homens, ou seja, 0 19 0 50 0 69, , ,⋅ ⋅ ⋅n n n1 5 ; pela cor II é de 0 33 0 32 0 65, , , 1 5 n n n, e pela cor III é 0 48 0 18 0 66, , , 1 5 n n n. Nesse caso, a ordem de preferência das cores é II, III, I. Observação: nessas situações, quando se fala em ordem, é usual colo-carmos em ordem crescente. Porém, serão consi-deradas corretas as duas maneiras: crescente ou decrescente.

4 Resposta: (A) Como 26 097 1043 25 221 5 , o quociente procu-rado é 1 043 e o respectivo resto é 22.

5 Resposta: (C) Apareceram duas vezes na lista o nome das pessoas que tinham um número par e múltiplo de 3, que no intervalo dado é o conjunto 6 12 18 120, , , ...,{ }. Como 1 6 6 2 6 12 3 6 18 20 6 120 5 5 5 5, , , ..., , há 20 números nesse conjunto.

6 Resposta: (E) Olhando de cima, o cubo maior está em frente ao cubo menor. O esboço que representa melhor essa fotografia é o apresentado na alternativa E.

7 Resposta: (B) De todos os alunos dessa classe, 60% 60 22 18 0 60 40 24% ( ) , 1 5 5 foram prestar traba-lho comunitário. O número mínimo de alunas que participaram desse trabalho é obtido quando o nú-mero de alunos que participaram é máximo, ou seja, quando 22 alunos se envolveram, restando assim o mínimo de 2 vagas (24 22 2 5 ) para as meninas.

8 Resposta: (C) A soma de dois inteiros é ímpar quando um é par e o outro é ímpar (caso contrário, a soma é par). O menor resultado que satisfaz as condições dadas é 1 2 31 5 , e o maior, 2007 2008 40151 5 , e pode-se obter qualquer ímpar entre 3 e 4 015 com os nú-meros disponíveis nos cartões, ou seja, os números ímpares que podem ser obtidos estão no conjunto 3 5 7 4015, , , ...,{ }.

No conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 4 015, 4 016 há 4 016 números, dentre os quais não nos interessa os 2 008 pares (4016 2 2008÷ 5 ) e o número 1. Logo, a quantidade de números ímpares diferentes que pode ser obtida dessa maneira é 2007 (4016 2008 1 2007 5

4016 2008 1 2007 5 ).

9 Resposta: (E) Juntando os quatro trapézios, formamos um quadrado de área 2 500 cm2. Como o “buraco” quadrado no meio tem área 30 30 900 5 cm2, a área de cada um dos 4 trapézios é 400 cm2

( )2 500 900 4 1600 4 400 5 5 .

10 Resposta: (D) Seja ABC um número par de três algarismos. Nesse caso, há exatamente 5 possibilidades para o alga-rismo C: 0, 2, 4, 6 ou 8. Como esse número deve ter dois algarismos ímpares, os algarismos A e B deve-rão ser preenchidos com 1, 3, 5, 7 ou 9, ou seja, há 5 possibilidades para cada um. Logo, 125 números ( )5 5 5 125 5 pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares.

11 Resposta: (C) Serão necessárias 4 garrafas

15coposgarrafas

coposgarrafas gar

2956

1529

65

45 5 rrafas.

74

12 Resposta: (E) Podem ser construídos 10 quadrados (6 1 3 101 1 5 ) com vértices nos pontos do reticulado, conforme mostra a sequência de desenhos a seguir.

13 Resposta: (C) É verdade que 14 de junho de 2008 é um sábado. Logo, 14 de junho de 2009 será um domingo, em 2010 será uma segunda-feira, em 2011 será uma ter-ça-feira, em 2012 (que é bissexto) será uma quinta-feira, em 2013 será uma sexta-feira e, finalmente, em 2014 será um sábado. Portanto, a próxima vez que o dia 14 de junho cairá num sábado será daqui a 6 anos.

14 Resposta: (D) Como CE 5 CD, m(CÊD) 5 (180o 20o) : 2 5 80o. Logo, m(CÊB) 5 180o 80o 5 100o e, como BE 5 CE, 5 (180o 100o) : 2 5 40º. Além disso, m(BÊA) 5 m (CÊD) 5 80º e, como AE 5 BE, 5 (180o 80o) : 2 5 50o.

Portanto, o valor da razão

é 5040

54

o

o5 .

15 Resposta: (C) Vemos a multiplicação de um número de três alga-rismos por um outro de dois algarismos terminado em 7, que pode ser, portanto, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87 ou 97. Desses 9 números, o único divisor de 6 157 é 47, o que nos dá 131 ( )6 157 47 131 5 . Assim, a multiplicação é: 131 47 917 524 6157

E a soma dos números substituídos pelo sinal * é 37 (1 3 1 4 9 1 7 5 2 4 371 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ).

16 Resposta: (C) Como Cernaldo é casado com a irmã de Arnaldo e não é o mais novo, e o médico é filho único, Bernaldo é o médico. O médico é o mais novo dos três amigos e, como Cernaldo é mais velho que o engenheiro, Arnaldo é o engenheiro, e Cernaldo é o professor.

17 Resposta: (C) Os triângulos retângulos utilizados têm catetos 5 cm e 12 cm e hipotenusa 13 cm. Desse modo, temos:

5

12

12 α

β

A

B

C

D

Como os ângulos e são iguais, pois os lados de 12 cm são paralelos, o triângulo ABC é isósceles e, portanto, AB 5 BC e BD 5 AB. Consequente-mente, BD 5 BC e, assim, BD 1 BC 5 AD 5 13 cm. Final mente, o perímetro procurado é 42 cm ( ).12 5 12 13 421 1 1 5

18 Resposta: (D) A estratégia para apagar o maior número de alga-rismos é eliminar a maior quantidade possível de algarismos de menor valor. Vamos começar pelos 500 zeros (1 000 : 2 5 500) que aparecem no nú-mero. Restam agora 250 algarismos 2 e 250 alga-rismos 8, cuja soma é 2 500 (250 2 1 250

8 5 500 1 2 000 5 2 500) 250 2 1 250 8 5

5 500 1 2 000 5 2 500. Apagamos agora a maior quantidade de algarismos 2 e, como 2 500

2 008 5 492, podemos atingir nossa meta apa-gando 246 algarismos 2 ( )492 2 246 5 . Portan-to, o maior número de algarismos que devem ser apagados é 746 ( ).500 246 7461 5

19 Resposta: (C) ou (D) ambas devem ser considera-das como resposta correta. (C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferen-tes para pintar cada uma das quatro partes restan-tes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e

isso pode ser feito de 6 maneiras 4 3 2 1

46

5( ) ,

de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Pode-se verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois, girando cada uma delas, obtemos as outras três. Como há 5 ma-neiras de escolher uma cor para o quadrado do cen-tro, Soninha conseguirá produzir 30 cartões diferen-tes (5 6 5 30).(D) Se considerarmos que a diagonal com quadradi-nhos pretos é distinta da outra, então só precisamos dividir por 2. Logo, Soninha conseguirá 60 cartões diferentes.

20 Resposta: (E) No trajeto de 100 km, como o carro A passa por Americanópolis 20 quilômetros à frente do carro B, o carro B já percorreu 80 km 100 20 80 5( ) do trajeto e, de forma análoga, o carro C já percorreu 50 km ( )100 50 50 5 do mesmo trajeto. Perceba que, enquanto o carro B percorre 80 km, o carro C percorre 50 km, ou seja, enquanto o carro C per-corre 1 km, o carro B percorre 1,6 km ( , ).80 50 1 6 5 Assim, quando o carro B passar por Americanópo-lis, tendo percorrido os 20 km que lhe faltam, o carro C terá percorrido 12,5 km ( , , )20 1 6 12 5 5 e estará 37,5 km [100 (50 1 12,5) 5 37,5] atrás do carro B.

75


1 Resposta: (91) A soma de todos os números do Sudoku completo é igual a 6 vezes a soma dos números em cada linha, ou seja, 126 6 1 2 6 6 21 126 1 1 1 5 5( ) .…[ ] A soma dos números que já estão escritos no Su-doku é 35. Logo, a soma dos números que faltam para completar o Sudoku é 91 126 35 5 91.

2 Resposta: (1 004) Temos:2009 1 4 2 009 1 2 009 1 4 2 002 2 1 1 15 5N N 1) N N 1)( ( )( ) (⇔ ⇔ 88 2 010 4

2 0082

2 0102

42 2

1004 10

5

N N 1)N N 1)

((

11

⇔

⇔ = ⇔ 005 10045 5N N 1) N( 1 ⇔2009 1 4 2 009 1 2 009 1 4 2 002 2 1 1 15 5N N 1) N N 1)( ( )( ) (⇔ ⇔ 88 2 010 42 008

22 010

24

2 21004 10

5

N N 1)N N 1)

((

11

⇔

⇔ = ⇔ 005 10045 5N N 1) N( 1 ⇔2009 1 4 2 009 1 2 009 1 4 2 002 2 1 1 15 5N N 1) N N 1)( ( )( ) (⇔ ⇔ 88 2 010 4

2 0082

2 0102

42 2

1004 10

5

N N 1)N N 1)

((

11

⇔

⇔ = ⇔ 005 10045 5N N 1) N( 1 ⇔2009 1 4 2 009 1 2 009 1 4 2 002 2 1 1 15 5N N 1) N N 1)( ( )( ) (⇔ ⇔ 88 2 010 42 008

22 010

24

2 21004 10

5

N N 1)N N 1)

((

11

⇔

⇔ = ⇔ 005 10045 5N N 1) N( 1 ⇔

Soluções alternativas:1a soluçãoCada linha pode ser associada a um número ímpar e a um múltiplo de 8 da seguinte forma: na linha 1, temos o quadrado de 1 2 1 15 (no lado esquerdo da igual-dade) e 8 vezes 1 (no lado direito da igualdade); na li-nha 2, temos o quadrado de 3 2 2 15 e 8 vezes 2; na linha 3, temos o quadrado de 5 2 3 15 e 8 vezes 3; e assim sucessivamente, até chegarmos à linha N, onde temos o quadrado de 2007 2 15 N e 8 vezes N.Assim: 2 1 2 007 2 2 008 1004N N N 5 5 5⇔ ⇔

2a soluçãoCada linha pode ser associada a um múltiplo de 8 da seguinte forma: na linha 1, temos 8 vezes 1 (no lado direito da igualdade); na linha 2, temos 8 vezes 2; na linha 3, temos 8 vezes 3; e assim su-cessivamente, até chegarmos à última linha, onde temos 2 009 2 007 82 2 5 N, que é a linha 2 009 1

21004

5 , ou seja, N 5 1 004.

3a soluçãoTemos:

2 009 2 007 8 2 009 2 007 2 009 2 007 8 2 4 02 2 5 1 5 N ( )( ) N⇔ ⇔ 116 8 10045 5N N⇔

2 009 2 007 8 2 009 2 007 2 009 2 007 8 2 4 02 2 5 1 5 N ( )( ) N⇔ ⇔ 116 8 10045 5N N⇔

2 009 2 007 8 2 009 2 007 2 009 2 007 8 2 4 02 2 5 1 5 N ( )( ) N⇔ ⇔ 116 8 10045 5N N⇔

3 Resposta: (12) Seja x o lucro desse banco no primeiro semestre de 2007, em bilhões de reais. Logo: x 1 2,5% x 5 5 4,1082 x 1 0,025x 5 4,1082 1,025x 5 4,1082

x 5 4,008 bilhões de reais, ou seja, o lucro foi de R$ 4 008 000 000,00, cuja soma dos dígitos é 12.

4 Resposta: (144) A partir das informações da-das, concluímos que na fi-gura ID DE EF FG5 5 5 512 metros e que A é o pon-to médio de ID, ou seja, AD 5 6 metros e, da mesma forma, FC 5 6 metros.

Logo: AB 5 BC 5 12 1 6 5 18 metros e, portanto, Esmeral-da nadou 144 metros 4 18 18 4 36 144 ( )1 5 5[ ] .

5 Resposta: (240) Supondo que Carlinhos tem Q reais, o preço do

grama de queijo é Q

600, e o preço do grama de

presunto é Q

400. Seja m a quantidade, em gramas,

de queijo e de presunto que Carlinhos comprou.

Dessa forma:

mQ

mQ

Q m m 1 5 1 5 51

600 4001

6001

4001

11

6001

400

⇔

⇔ 55

1

5 5400 600400 600

240 0001000

240

mQ

mQ

Q m m 1 5 1 5 51

600 4001

6001

4001

11

6001

400

⇔

⇔ 55

1

5 5400 600400 600

240 0001000

240

Portanto, ele comprou 240 gramas de cada item.

6 Resposta: (34) São os múltiplos de 5, que nesse intervalo são 19; os múltiplos de 14, que são 6 (pois o 70 já foi contado); os múltiplos de 23, que são 4; os múltiplos de 32, que são 3 e, finalmente, os múltiplos de 41, que são 2. Note que o único múltiplo de 50 no intervalo, que é o próprio 50, já foi contado nos múltiplos de 5. Portanto, ao todo são 34 números (19 1 6 1 4 1 3 1 2 5 34).


1 Respostas:a) Os desenhos mostram as duas formas de cons-trução dos quadrados. Elas são as únicas possíveis.De fato, sendo x o número de quadrados de lado 6 cm e y o número de quadrados de lado 9 cm usa-dos para construir um lado de 27 cm, temos:

6 9 27 2 3 99 2

3x y x y y

x1 5 1 5 5

⇔ ⇔

Como x e y são inteiros não negativos, podemos substituir x apenas por 0, 1, 2, 3 ou 4. As únicas solu-ções para essa situação são x 5 0 e y 5 3 ou x 5 3 e y 5 1, representadas nos desenhos.

b) Repetindo mais 3 vezes a segunda construção acima, obtemos um quadrado de lado 54 cm, com a utilização de 36 cartões de lado 6 cm e 20 cartões de lado 9 cm, sobrando apenas 1 cartão de lado 6 cm e 1 cartão de lado 9 cm. Esse quadrado é o

I D

G

FE

76

maior que se pode construir, usando o maior núme-ro de cartões, 56 cartões. De fato, como os quadrados construídos com os car-tões devem ter lados com medidas inteiras, concluí-mos que o quadrado maior do que o construído de-veria ter lado de 60 cm, pelo menos, já que o cartão menor tem lado 6 cm. Como 60 54 6842 2 2 5 cm é maior do que 62 1 92 5 117 cm2, que é a soma das áreas dos quadrados que sobraram, concluímos que realmente o quadrado de lado 54 cm é o maior que se pode construir usando o maior número de cartões.

2 Respostas:

a) A maior coluna tem 2 008 letras e OBM é um bloco de 3 letras. Como 2 008 5 669 3 1 1, o número de vezes em que a palavra OBM aparece completamente na maior coluna é 669.

b) Da esquerda para a direita, fazendo a contagem ao longo das flechas, a primeira passa por 2008 letras O. Como a segunda inicia 3 linhas abaixo, ela passa por 2 005 letras O (2 008 3 5 2 005). Nesse pa-drão, a próxima passará por 2 002 letras O, a seguinte, por 1 999, e assim até a última fle-cha, que passará por 1.

Portanto, o número de vezes que a letra O aparece no ar-ranjo é:

2 008 2 005 2 002 1999 12 008 1 670

21 1 1 1 1 5

1 ( )5673 015

2 008 2 005 2 002 1999 12 008 1 670

21 1 1 1 1 5

1 ( )5673 015

3 Respostas:

a) Há 28 peças 8 7

228

5

com quantidades dife-

rentes de pontos em cada lado e 8 com quan-tidades iguais, ou seja, o dominó de Ferius tem 36 peças diferentes (28 1 8 5 36).

Outra solução: O dominó comum possui 28 peças. Como exis-

tem mais 8 novas peças que possuem alguma casa marcando 7 pontos, o dominó de Ferius tem 36 peças diferentes (28 1 8 5 36).

b) Como a soma de um par e um ímpar é ímpar, e há 4 quantidades ímpares de pontos (1, 3, 5, 7) e 4 quantidades pares de pontos (0, 2, 4, 6), há 16 pe-ças (4 4 5 16) que não são importantes. Logo, existem 20 peças (36 16 5 20) importantes.

c) Cada quantidade de pontos aparece exatamen-te 9 vezes. Assim, a soma dos pontos de todas as peças é 252 9 (1 1 2 1 3 1... 1 7) 5 252. A soma dos pontos de todas as peças que não são importantes é 112 4(1 1 2 1 3 1 ... 1 7) 5 5 112, pois cada quantidade de pontos aparece exatamente 4 vezes em peças que não são im-portantes. Assim, a soma pedida é 140 (252 112 5 140).


• • • • • •Esta prova também corresponde

à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de:

AL – BA – ES – GO – PI – RN – RS – SC

1 Resposta: (D) Como EDC é isósceles, CDE 5 CDE 5 80º. Como BEC é isósceles, CDE 5 BCE 5 . Usando ângu-lo externo, 5 40º. Como ABE também é isósceles, BAE 5 . Finalmente, usando mais uma vez ângu-lo externo, podemos concluir que 5 50º.

2 Resposta: (C) Os quadrados dos números são, respectivamente: 99, 112, 125, 108 e 98. Destes, apenas o primeiro e o último são menores que o quadrado de 10, que é 100. Assim, os três números do meio são maiores que 10.

3 Resposta: (C)

12 12 2 3 2 312 6 2 6 12 65 5 5( )

4 Resposta: (D) Seja P o número de funcionários que falam Portu-guês e I o número de funcionários que falam Inglês. É fácil ver que:

20100

20100

4 5 5P I I P I1 ⇒

Além disso, 420

10084 20I I I I1 5 5⇒ . Com

isso, o número de funcionários que falam as duas

línguas é 16 20

1004 16 I 5

.

5 Resposta: (C)

Edmílson xx2

x2

101x2

121

Eduardo y yx4

1 yx

1 14

10 yx

1 14

8

Carlos z zx

14

zx

1 4

20 zx

1 4

20

A quantidade final de cada é R$ 50,00, então x2

121 5 50, logo, x 5 76. Com isso, Eduardo tinha

inicialmente R$ 23,00.

6 Resposta: (B) Sejam a, b, c, d, e, f, g, h, i os números ordenados assim:

a b c d e f g h i

Então,

ea b c d e f g h i

e a b c d e f g h i51 1 1 1 1 1 1 1

5 1 1 1 1 1 1 1 19

9⇒ .

ea b c d e f g h i

e a b c d e f g h i51 1 1 1 1 1 1 1

5 1 1 1 1 1 1 1 19

9⇒ .

77

Além disso,

a b c d ea b c d e

1 1 1 15 1 1 1 1 5

568 340⇒ ,

e também temos a seguinte equação:

e f g h i1 1 1 15

544 ⇒

⇒ e f g h i1 1 1 1 5220

Portanto: 9e 1 e 5 560 e 5 56. E, assim, a soma desejada será 504.

7 Resposta: (E) Quadradinhos de lado 1 existem 6, e quadradinho de lado 2 existe 1. Além disso, existem três outros incli-

nados de lado 2. Portanto, temos 10 quadrados.

8 Resposta: (C) 2009 – Domingo 2012 – Quinta (pois é ano bissexto)2010 – Segunda 2013 – Sexta2011 – Terça 2014 – Sábado

9 Resposta: (D) Se a, b, c, d, e são cinco inteiros maiores que um, então a, b, c, d, e > 2, e com isso, a soma quaisquer de quatro deles é pelo menos 8. Observando a equação b(a 1 c 1 d 1 e) 5 155 5 5 31, em que 5 e 31 são primos, temos: b 5 5 e a 1 c 1 d 1 e 5 31. Da mesma maneira, c(a 1 b 1 d 1 e) 5 203, então c 5 7 e a 1 b 1 d 1 e 5 29. Baseado nos resultados encontrados, concluímos que a 1 d 1 e 5 24, a 1 1 b 1 c 1 d 1 e) 5 36 e da equação a(b 1 c 1 d 1 1 e) 5 128, obtemos a(36 a) 5 128, ou seja, a 5 4 ou a 5 32. Porém, a 5 32 não poderá ser solução, pois, caso fosse, teríamos a 1 b 1 c 1 d 1 e > 40. Portanto, a 1 b 1 c 5 16 e a equação e(a 1 b 1 c 1 1 d) 5 275 será a mesma que e(16 1 d) 5 275, em que d 1 e 5 36 a b c 5 20. Como 275 5 5 11 25 e 16 1 d > 18, temos que e 5 11 e d 5 5 25 16 5 9. Observe que outra fatoração de 275 5 5 55 faria d 5 39, que é muito grande. Por-tanto, a 1 b 1 c 1 d 1 e 5 4 1 5 1 7 1 9 1 11 5 36.

10 Resposta: (C) O único número primo de dois algarismos iguais é 11. Nesse caso, a 5 1. Usando agora a definição do sistema decimal:

11 1 10b 1 c 1 10c 1 b 5 121 11(b 1 c) 5 110 b 1 c 5 10

Como os números citados são primos, temos que b e c devem ser ímpares e diferentes de 5. Além disso, 91 é múltiplo de 7. Portanto, os valores para b e c são, respectivamente, 3 e 7.

11 Resposta: (A) É fácil ver que os triângulos EQH e HPF são isósce-les, logo EQ 5 QH 5 b e HP 5 PF 5 c. Seja QP 5 a. No triângulo EHF, temos que EF 5 2MN (MN é base média). Logo, MN 5 5.

12 Resposta: (D) Sejam p, q números primos, então para que o núme-ro de divisores inteiros e positivos seja exatamente 15, os números precisam ser da seguinte forma: p14 e p2 q4.Assim, teremos as seguintes possibilidades: 22 34 5 324, 32 24 5 144 e 52 24 5 400.

13 Resposta: (C) Entre os números 1 e 100, o algarismo 2 aparece dez vezes como dígito das dezenas e dez vezes como dígito das unidades. O mesmo ocorre com os alga-rismos 4, 6 e 8. Portanto, a soma pedida é:20 (2 1 4 1 6 1 8) 5 400

14 Resposta: (E)

Temos 10 25 10001000 25

10x y x

y1 5 5

⇒ , em que

x e y são, respectivamente, as quantidades de moe-das de 10 centavos e de 25 centavos. Para que x seja um valor inteiro positivo, basta que y seja qualquer número par entre 2 e 38. Logo, temos 19 maneiras diferentes.

15 Resposta: (E) Devemos encontrar o maior valor possível para a, en-tão determinaremos os maiores valores para d, c e b.Tomando d 5 39, observa-se que c 156. Tomando c 5 155, observa-se que b 465. Tomando b 5 464, a deverá ser menor que 928, e, portanto, o maior va-lor possível de a será 927.

16 Resposta: (A) A soma de todos os números é:

1 2 4949 50

212251 1

1 5 5

Como temos sete colunas com a mesma soma, o resultado da soma dos elementos de uma mesma

coluna é 175 1225

71755

.

78

17 Resposta: (A) Temos: y2 x2 5 852 5 52 172

Temos, então, quatro possibilidades:

y xy x

51 5

15 172 2{

y xy x

51 5

175 172{

y xy x

51 5

55 172{

y xy x

51 5

517

2

2{

Resolvendo os sistemas, temos:

x 3 612 720 204 132

y 3 613 725 221 157

O menor valor da soma x 1 y é 289.

18 Resposta: (B) Vamos chamar esse número de x. A soma de todos os números de três algarismos é:

100 101 9991 099 900

24945501 1 1 5 5

Assim, podemos montar a seguinte equação: 629x 5 49 4550 x x 5 785

19 Resposta: (C) ou (D) ambas devem ser considera-das como resposta correta. (C) Escolhendo uma cor para o quadrado do centro (como o azul do exemplo), sobram 4 cores diferentes para pintar cada uma das quatro partes restantes do desenho, cada parte com uma cor diferente, e isso

pode ser feito de 6 maneiras 4 3 2 1

46

5

,

de modo que não haja dois cartões pintados da mesma forma. Pode-se verificar que há 4 maneiras iguais de se pintar os cartões, pois, ao serem giradas, obtém-se a mesma. Como há 5 maneiras de escolher uma cor para o quadrado do centro, Soninha conse-guirá produzir 30 cartões diferentes ( ).5 6 30 5

(D) Se considerarmos que a diagonal com quadradi-nhos pretos é distinta da outra, então só precisamos dividir por 2. Logo, Soninha conseguirá 60 cartões diferentes.

20 Resposta: (C)

C

B

O

A

I

Como ABC 5 110º, então AOC 5 140º e, com isso, OAC 5 20º. Por outro lado, IAC 510º. Por-tanto, IAO 5 30º.

21 Resposta: (B)

Total de alunos: 40. Com isso, 60

10040 24 5 alunos.

Como temos 22 alunos, pelo menos 2 alunas parti-ciparão do trabalho.

22 Resposta: (B)

A B C

D E F

A A1 3

P QA1 A3

Seja P o ponto de interseção dos segmentos DB e AE; e Q o ponto de interseção de CE e BF. Note que os triângulos ADE e BDE possuem a mesma altura e a mesma base, logo, possuem a mesma área. O mes-mo ocorre com os triângulos BEF e CEF. Retirando as áreas comuns PDE e QEF, temos [ADP] 5 [PBE] e [BEQ] 5 [QCF]. Logo, A

2 5 A

1 1 A

3.

Observação: [XYZ] denota a área do triângulo XYZ.

23 Resposta: (B) Como cada time joga três vezes, podemos concluir que:•Dinamarcaperdeutodososjogos.•Camarões ganhou um jogo, empatou uma vez e

perdeu o outro.•Brasilganhouumjogoeempatououtrasduasvezes.•Áustriaganhoudoisjogoseempatououtro.

Assim, o Brasil venceu a Dinamarca. Como o Brasil marcou apenas um gol, o único resultado possível para esse jogo é 1 0. Além disso, os outros jogos do Brasil foram empates, logo o resultado foi 0 0 em ambos. Da mesma forma, podemos concluir que Camarões venceu a Dinamarca por 1 0. Assim, o único gol que a Dinamarca marcou deve ter sido contraaÁustria.Poroutro lado,sabemosqueaÁustriavenceuCa-marões e que Camarões levou apenas um gol. Logo, o resultado desse jogo foi 1 0. Finalmente, como aÁustriamarcoutrêsgols,ojogoÁustriacontraDi-namarca foi 2 1.

24 Resposta: (B) Como AC é um número de dois algarismos, então AC 5 10A 1 C. Com isso, 4 (10A 1 C) 5 24C, e daí C 5 2A. Temos agora um novo tabuleiro.Agora, 4x 5 24 6C, então x 5 36C. Com isso, o pro-duto mágico será (6C)3. Fazendo C 5 2, o produto

79

será 1 728 e assim a soma será 18, mas se C 5 3, a soma será 5 832, que também terá soma 18. Para valores de C maiores ou iguais a 4, o número procu-rado terá mais que 4 algarismos.

x 4

6C

C 24

25 Resposta: (E) Se o cubo tiver um vértice cujas três faces adjacen-tes são todas azuis, então estas faces conterão um total de 19 cubinhos com pelo menos uma face azul. Destes, devemos descontar os 7 cubinhos (do canto destacado) que não têm face vermelha. Neste caso, exatamente 12 (19 7 5 12) cubinhos têm pelo menos uma face de cada cor.

Por outro lado, se o cubo não tiver três faces azuis incidindo num mesmo vértice, teremos duas fa-ces opostas e uma face lateral azul, o mesmo acontecendo para as faces vermelhas. Nesse caso, supondo que as faces superior, inferior e frontal sejam azuis, há 5 cubos que não possuem cor vermelha: os 3 cubos dos centros das faces azuis e os 2 cubos que dividem face com essas faces centrais. Como o mesmo ocorre para as faces ver-melhas e há 26 cubos com pelo menos uma face pintada (de vermelho ou azul), neste caso há 16 (26 5 5 5 16) cubos com pelo menos uma face de cada cor.


1 Resposta:

De 1718

2 1 24 4 2 2 2 2 25 1 5 1 5 x y x y xy xy( ) ( ) ( )

obtemos ( ) ,xy 2 136

5 e daí 1

6xy

5 .

2 Resposta: O deslocamento líquido do viajante na direção les-te-oeste foi de:

( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )1 3 5 7 2005 2007 2 2 2 1 1 1 5 1 1 1 5 1004502 vezes

( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )1 3 5 7 2005 2007 2 2 2 1 1 1 5 1 1 1 5 1004502 vezes

Analogamente, o deslocamento líquido na direção norte-sul foi de 1 004. Portanto, pelo teorema de Pitágoras, a distância entre as posições inicial e final

do viajante é 1004 2. Observe agora que, como

2 1 414 , , temos 1004 2 1419 656 , . Para ter cer-teza se estamos usando uma aproximação boa o su-

ficiente, basta checar se 1419 5 1004 2 1420, , quer dizer, se ( , )1419 5 1004 2 14202 2 2 . Mas é fácil efetuar os cálculos e verificar que essas desi-gualdades realmente se verificam. Logo, a melhor aproximação pedida é 1 420 metros.

3 Resposta: Veja que � �� 1 e 3 5 2 5 ( 1 1) 5 2 1 5 2 1 14 5 3 5 (2 1 1) 5 22 1 5 3 1 25 5 4 5 (3 1 2) 5 32 1 2 5 5 1 3

Analogamente: 7 5 4 3 5 (5 1 3)( 1 1) 5 52 1 8 1 3 5

5 13 1 8

Portanto: 135 1 57 5 13(5 1 3) 1 5(13 1 8) 5 5 65( 1 ) 1 79 5 65 1 79 5 144

4 Resposta:Como os dois círculos circunscritos são iguais, segue do teorema do ângulo inscrito que ACB 5 ABC e, com isso, AB 5 AC.

A

B

MD

C

Seja AM a altura relativa ao lado BC. Como ABC é isósceles de base BC, segue que AM também é me-diana, e daí MC 5 9. Portanto, MD 5 5 e, pelo teo-rema de Pitágoras, AM 5 12. Finalmente, a área do

triângulo ABC é: 12

12

12 18 108AM BC( )( ) ( )( )5 5

5 Resposta: Para que o primitivo de um número seja ímpar, to-dos os seus algarismos precisam ser ímpares, pois o produto de um número par por um número qual-quer é sempre um número par. Assim, só nos restam

A

D

E F

C B

80

os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 para construir o número pretendido. Por outro lado, como os algarismos pre-cisam ser todos diferentes, o número terá, no máxi-mo, 5 algarismos. Contudo, qualquer número com 5 algarismos ímpares e todos distintos tem primitivo 0. De fato, o produto dos números 1, 3, 5, 7 e 9 é 945 e seu primitivo é 0. O maior número com 4 algaris-mos ímpares e todos diferentes é 9 753, mas esse número tem primitivo 0. O número que o antecede e tem seus 4 algarismos ímpares e distintos é 9 751, e seu primitivo é 5. Portanto, a soma de seus algaris-mos é 22 (9 1 7 1 5 1 1 5 22).


1 Resposta: Os catetos do triângulo medem a e b, e a hipote-nusa mede c. Como a área e o perímetro são iguais,

temos 12

ab a b c5 1 1 , e daí c ab a b5 12

. Usando

o teorema de Pitágoras, segue que:

a b ab a b a b ab a b b a a b2 2

2

2 2 2 2 2 212

214

1 5 5 1 1 1( ) ,

a b ab a b a b ab a b b a a b2 2

2

2 2 2 2 2 212

214

1 5 5 1 1 1( ) ,

ou ainda 8 4 4 02 2 2 2ab a b b a a b 1 5 . Dividindo por ab, obtemos a b 54 4 8( )( ) , de maneira que a 4 divide 8. Portanto, os possíveis valores de a são 2, 3, 5, 6, 8 e 12. Determinando os valores de b e c, encontramos os triângulos de lados 5, 12, 13 ou 6, 8, 10.

2 Resposta: Note que ( ) ( ),2 009 2 009 2 009 22 2 5 x x x um múltiplo de 2 009. Assim, sempre que Pedro apagar um número, x2 digamos, basta Igor apagar o núme-ro (2 009 x)2. Desse modo, no final restarão dois números cuja diferença é um múltiplo de 2 009.

3 Resposta:

Seja D o pé da perpendicular baixada de F a AC. Pelo

teorema de Pitágoras, segue que EC BC BE5 5 52 2 2 25 4 3.

EC BC BE5 5 52 2 2 25 4 3. Por outro lado, por semelhança de

triângulos, temos: FD BE5 512

2 e AE DE5 2 . Por -

tanto: DC CF FD5 5 52 2 2 24 2 2 3 , e daí:

DE 5 2 3 3 , de maneira que AE 5 4 3 6.

Finalmente:

ABC12

AE EC BE12

4 3 6 3 4 8 3 6[ ] ( ) ( )5 1 5 1 5

4 Resposta: Há duas escolhas envolvidas e que determinam a maneira de viajar de B a C: por quais dentre as ci-dades A A1 6, ..., devemos passar, e em que ordem. Digamos que escolhamos passar por exatamente k dentre as cidades A A1 6, ..., , com 1 6 k ; o nú-

mero de modos de escolher as k cidades é 6k

. Por

outro lado, após escolhermos as k cidades, devemos escolher em que ordem vamos visitá-las, o que cor-responde a k! possibilidades. Logo, o número de modos de viajar de B a C é:

6k

k!6!

6 k !6!5!

6!4!

...6!0!

1956k 1

6

( )� � �

��

�

∑∑∑k 1

6

�

1 956

81

A B

C D

E

F

10

10

10

10

5 5

5 5

10 10

XXIX OLIMPÍADABRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2007




Estados de:AL 2 BA 2 ES 2 GO 2 PA 2 PI 2 RN 2 RS 2 SC

1 Resposta: (E) No resultado da multiplicação de 101 por 1111 1

2 007

algarismos 1

,

o dígito 1 aparece 4 vezes, e o dígito 2 apare-ce 2 005 vezes (2 007 2 2 5 2 005). Portanto, a soma dos algarismos desse número é 4 014

1 4 2 2 005 4 4 010 4 0143 1 3 5 1 5 .

2 Resposta: (D) São dez: 103, 112, 121, 130, 202, 211, 220, 301, 310 e 400.

3 Resposta: (D) Um quadrado com área 144 cm2 tem lado 12 cm, e se ele foi formado juntando-se dois retângulos iguais lado a lado, esses retângulos têm um lado igual ao lado do quadra-do e o outro igual à metade do lado do quadrado, ou seja, seus lados me-dem 12 cm e 6 cm.

Juntando-se agora esses dois retângulos, e for-mando um retângulo de largura diferente do comprimento, formamos um retângulo de lados 24 cm e 6 cm.O perímetro desse retângulo é 60 cm (24 1 6 1 24 1 1 6 5 60).

4 Resposta: (E) A área do triângulo ADF é

5 102

25? = cm2, ou seja,

14

da área do quadrado. Como os triângulos ADF e

AEF são congruentes, a área da região comum aos dois quadrados é 50 cm2 (2 25 50⋅ = ).

5 Resposta: (B) A soma de todos os números positivos ímpares até 2 007, menos a soma dos números positivos pares até 2 007, é 1 004 (1 2 2) 1 (3 2 4) 1 (5 2 6) 1 ... 1 (2 005 2 2 006) 1 2 007 5 21 003 1 2 007 5 1 004.

6 Resposta: (A) Se Sílvia acertou o relógio, ela adiantou 10 min. Como já estava adiantado 5 min, o relógio ficou 15 min adiantado. Portanto, se marcava 10 h, eram na verdade 9h45min.Se Cristina acertou o relógio, ela atrasou 10 min. Como já estava atrasado 5 min, o relógio ficou 15 min atrasado. Como 9h45min foi o horário real do encontro, o relógio de Cristina indicava 9h30min.

7 Resposta: (E) A soma a b1 é 1 se a 5 0 e b 5 1, ou seja,

ab

50 , in-

compatível com o desenho. A soma é 2 se ab

5 511

1,

também incompatível. E a soma é 3 se ab

512

ou ab

5 521

2 , ambos incompatíveis.

Os casos em que a soma é 4 são: ab

513

12

, ou

ab

5 522

1 ou ab

5 531

3 , todos incompatíveis.

Como todas as quatro primeiras alternativas são falsas, a alternativa E é a verdadeira.

De fato, a soma é 5 nos casos: ab

514

12

, , ou

ab

523

12

. , ou ab

532

1. , ou ab

5 .41

1, dos

quais a possibilidade a 5 2 e b 5 3 dá a fração ab

523

0 67 , .

8 Resposta: (B) Os 156 estudantes que resolveram todos os problemas corretamente correspondem a 60% do total (100% 2 25% 2 15% 5 60%). Logo, o número total de estudantes é 260

156

60?

5100

260.

9 Resposta: (D) Sejam H, M e C as quantidades de homens, mu-

lheres e crianças, respectivamente. Temos HM

5

5 23

e MC

5 8. Logo, HC

5 HM

. MC

5 163

. Logo, a

razão entre o número de adultos e crianças é H 1 M

C 5

HC

1 MC

5 8 1 163

5 403

.

82

10 Resposta: (E) Como o triângulo ABC é equilátero, o ângulo inter-no Â mede 60°. Se DG é paralelo a AB , então o ân-gulo entre DG e AC é 60° ou 180° 2 60° 5 120°. Sendo x o maior ângulo entre esses dois segmen-tos, x 5 120°.

11 Resposta: (E) Ao multiplicar os preços por 0,68 5 68%, a loja ofe-rece um desconto de 32% (100% 2 68% 5 32%).

12 Resposta: (B) Se Pérola (P) estiver antes de Esmeralda (E), há (7 1 6 2 2 5 11) 11 pessoas na fila, como vemos no esquema a seguir:

7 6 5 4 3 2 1

E P1 2 3 4 5 6

Se Esmeralda (E) estiver antes de Pérola (P), há (7 1 6 1 2 1 2 5 17) 17 pessoas na fila, como vemos no esquema a seguir:

7 6 5 4 3 2 1

P E1 2 3 4 5 6

13 Resposta: (C) Dentre todos os produtos, são primos apenas os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13, que aparecem 2 vezes cada. Portanto, 12 casas ( 6 2 12× = ) conterão nú-meros primos.

14 Resposta: (D) Seja G o volume do copo grande e P, o do copo pe-queno. Temos:3 0 5 5 0 5G P P G1 5 1, , 2 5 4 5, ,G P5

PG

5 52 54 5

59

,,

15 Resposta: (C) Para formar os códigos S serão usadas 1 barra preta fina, 2 médias e 1 grossa, que serão separadas por 3 barras brancas finas. Como as barras brancas são todas iguais, uma vez colocadas em seus lugares, o número de códigos é o número de maneiras de se distribuir as 4 barras pretas (1 2 1 41 1 5 ), ou seja, 4 3 2 1 24? ? ? 5 . Como há 2 barras iguais, as mé-dias, o número de diferentes códigos S que podem

ser formados é 12 242

125( ).

16 Resposta: (D) Para a letra “O” foram necessários 11,5 quadradi-

nhos 12 418

11 52 ? 5 ,( ). Para a letra “B”, 12,5 qua-

dradinhos 13 418

12 52 ? 5 ,( ). E para a letra “M”,

10 quadradi nhos 12 212

818

102 ? 2 ? 5( ). Logo,

a área ocupada pela sigla é 34 cm2 (11 5 12 5 10 34, ,1 1 511 5 12 5 10 34, ,1 1 5 ).

17 Resposta: (B) Dentre os números de 10 a 99, a soma dos al-garismos mais frequente é 9 ou 10, ambas apa-recendo 9 vezes cada. Logo, o maior número de tentativas erradas que a segunda pessoa pode fazer é 8 (9 1 82 5 ).

18 Resposta: (C)

Viajando a 80 km/h por 15 minutos, ou seja, 1560

14

=

de hora, Anita percorreu 804

20= km. Para conse-

guir percorrer esses 20 km em 12 minutos, ou seja,

1260

15

= de hora, ela deveria trafegar a uma veloci-

dade constante de 100 km/h 2015

20 5 1005 ? 5

.

19 Resposta: (D) O candidato A errou 48 questões (80% ? 60 5 48), o candidato B, 36 questões (60% ? 60 5 36), o candi-dato C, 30 questões (50% ? 60 5 30), o candidato D, 18 questões (30% ? 60 5 18), o candidato E, 24 ques-tões (40% ? 60 5 24), e o candidato F, 36 questões (60% ? 60 5 36). Portanto, o número médio de questões erradas por esses candidatos foi 32:48 36 30 18 24 36

6192

632

1 1 1 1 15 5

20 Resposta: (E) Temos 13 131 = , 13 1692 = , 13 2 1973 5 e 13 28 5614 5 . A partir desse ciclo, 13 13 13 371 2935 1 45 5⋅ , 13 13 136 2 45 5⋅ 4 826 809 , 13 13 137 3 45 5⋅ 62 748 517 e 13 13 138 4 45 5⋅ 815 730 721. Veja que 135, 136, 137 e 138 terminam com o mesmo algarismo que, respectivamente, 131, 132, 133 e 134 . Desse modo, podemos formar grupos de 4 em 4, sabendo que o algarismo das unidades de cada um desses grupos é 3, 9, 7 e 1, respectivamente.Como 2007 501 4 35 ? 1 , podemos formar 501 grupos com algarismo das unidades 3, 9, 7 e 1, restando apenas os números 132 005, 132 006 e 132 007, que têm algarismo das unidades 3, 9 e 7, respectivamente. Portanto, o algarismo das uni-dades da soma é o algarismo das unidades de (3 1 9 17 11) ? 501 1 (3 1 9 17) 5 20 ? 501 1 19 5 5 10 020 1 19 5 10 039, ou seja, o algarismo 9.


1 Resposta: (41)O número é formado por blocos iguais, de 5 alga-rismos na forma “10 100”. Como o número tem 101 algarismos, concluímos que é formado por 20 des-ses blocos inteiros, mais o primeiro algarismo de um bloco, que é 1. A soma dos algarismos de cada bloco é 2 (1 1 0 1 1 1 0 1 0 5 2); portanto, a soma dos algarismos de N é 41 ( ).20 2 1 41 1 5

83

A 5 C

2 Resposta: (150) O desenho abaixo à esquerda mostra como fica a folha após a primeira dobra. À direita, mostra como fica a folha após as duas dobras.

Observamos que CE 5 EA e que CF 5 FA. Por uma propriedade da dobra, sabemos que o seg-mento FE é perpendicular ao segmento AC, e esses segmentos se cruzam em seus pontos mé-dios. Portanto, os quatro triângulos que com-põem o quadrilátero AECF são congruentes; são congruentes também os triângulos EBC e FDA. A dobra FE divide o retângulo ABCD em dois tra-pézios, EBCF e AEFD, de mesma área. Desdobran-do inteiramente a folha, obtemos duas metades iguais. Portanto, a área do pentágono convexo BEFE’B’ é igual à área do pentágono não conve-xo AA’E’FE, ou seja, a área da parte escura é me-tade da área da folha, ou seja, igual a 150 cm2

15 202

1503

5( ).

3 Resposta: (81) Pelo padrão observado, as somas são iguais ao qua-drado da parcela central (aquela cujo número de parcelas à esquerda é igual ao número de parcelas à direita).

Portanto, A 5 2 0072 e, assim, A

2232 007223

2 007223

9 812

2

2

2

25 5 5 5( ) .

A223

2 007223

2 007223

9 812

2

2

2

25 5 5 5( ) .

4 Resposta: (258) O retângulo que sobra após os cortes tem lados iguais às metades dos lados da cartolina original, cujo perímetro, então, é o dobro do perímetro des-se retângulo. Logo, o perímetro da cartolina antes do corte é 258 cm (129 3 2 5 258).

5 Resposta: (148) O volume de cada bloco de madeira é 0 2 0 3 1 60 0 096, , , ,3 3 5 m3

0 2 0 3 1 60 0 096, , , ,3 3 5 m3; o volume de cada bloco que fica submerso no líquido é 0 80 0 096, ,3 m3. O volume de líquido deslocado pelos 25 blocos é igual a 25 0 80 0 0963 3 5, , 1,92 m3. Como o re-servatório é um cubo de 2 m de lado, sua base é um quadrado de área 4 m2. Podemos pensar no líquido deslocado como se fosse um bloco cuja base é igual à base do reservatório, de altura h e volume acima.

Portanto: 4h 5 1,92 h 5 51 92

4,

0,48 m 5 48 cm.

Como a altura inicial do líquido era 100 cm, a nova altura será 148 cm.

6 Resposta: (64)À primeira inspeção, podemos admitir que os três algarismos à direita de todos os nú-meros estão corretos, isto é, estão corretamente escritos os algarismos 0, 1, 3, 4, 5, 6 e 8. Portanto, dentre os algarismos 2, 7 e 9, um deles está escrito incorretamente. O 9 está escrito corretamente, pois se o mudar-mos, a soma com 2 não estará certa. Logo, 2 ou 7 está errado. Se o 7 estiver errado, então 2 estará correto, mas isso não é possível, pois a soma de 2 com 4 mais 1 não estaria certa. Logo, o 2 é que deve ser substituído; olhando novamente a soma de 2 com 4 mais 1 resultando 1 vemos que o re-sultado só dará certo se no lugar de 2 colocar-mos 6. Fazendo a substituição, verificamos que o resto se encaixa. Teremos, então, ab 5 52 646 .


1 Respostas:

Temos m(F MC) 5 m(A MD) (ângulos opostos pelo vértice), m(A DM) 5 m(F CM) , pois ABCD é quadra-

84

do, logo, esses ângulos são retos, e MC 5 MD, pois M é ponto médio de CD. Logo, os triângulos AMD e FMC são congruentes. a) Vemos que a área ABF 5 área FMC 1 área

ABCM. Como área FMC 5 área AMD, temos: área ABF 5 área AMD 1 área ABCM 5 área do quadrado ABCD 5 300 cm2.

b) área ADF 5 área AMD 1 área DMF 5 área FMC 1 área DMF 5 área FCD.

Como AD 5 FC, CD é lado comum e os ângulos C e D são retos, concluímos que os triângulos FCD e ADC são congruentes, logo, área FCD 5 área

ADC 5 área ABCD

2. Portanto, a área do triân-

gulo ADF é igual a 150 cm2 300

21505( ).

2 Resposta:Dadas as massas de 1 a 6, podemos adicionar 1 a 6, 2 a 6 etc., até obter todos os pesos de 7 a 11; podemos adicionar 1 1 5 a 6, 2 1 5 a 6 etc., até obter todos os pesos de 12 a 15; podemos adicionar 1 1 4 1 5 a 6 etc., obtendo os pesos de 16 a 18; somando 1 1 3 1 1 4 1 5 a 6, obtemos 19; somando 2 1 3 1 4 1 5 a 6, obtemos 20 e, finalmente, somando 1 1 2 1 3 1 1 4 1 5 a 6, obtemos 21. Portanto, a quantidade de massas diferentes que Esmeralda pode obter é 21.

3 Respostas:Pode-se concluir, examinando a tabela, que a soma dos elementos da diagonal n é igual a 2n 1 (n 2 2 1)k, em que k é o algarismo das unidades do número n. Por exemplo, na diagonal de número 4, a soma dos números é 2 4 4 1 4 20? 1 2 ? 5( ) . Na diagonal de número 10, a soma dos números é 2 10 10 1 0 20? 1 2 ? 5( ) etc.a) Na diagonal de número 9, a soma dos elementos

é 90 2 9 9 1 9 90? 1 2 ? 5( ) . De outra forma, na diagonal 9 há 10 números 9; portanto, a soma é 90 (10 9 90? 5 ).

b) Na diagonal 2007, a soma será 18 056 2 2 007 2 007 1 7 4 014 14 042 18 056? 1 2 ? 5 1 5( ) .

O resto da divisão desse número por 100 é 56.




AL 2 BA 2 ES 2 GO 2 PA 2 PI 2 RN 2 RS 2 SC

1 Resposta: (E) No resultado da multiplicação de 101 por 1111 1

2 007

algarismos 1

,

o dígito 1 aparece 4 vezes, e o dígito 2 apare-ce 2 005 vezes (2 007 2 2 5 2 005). Portanto, a soma dos algarismos desse número é 4 014

1 4 2 2 005 4 4 010 4 0143 1 3 5 1 5 .

2 Resposta: (E) A soma a b1 é 1 se a 5 0 e b 5 1, ou seja,

ab

50 , in-

compatível com o desenho. A soma é 2 se ab

5 511

1,

também incompatível. E a soma é 3 se ab

512

ou

ab

5 521

2 , ambos incompatíveis.

Os casos em que a soma é 4 são: ab

513

12

, ou

ab

5 522

1 ou ab

5 531

3 , todos incompatíveis.

Como todas as quatro primeiras alternativas são falsas, a alternativa E é a verdadeira.

De fato, a soma é 5 nos casos: ab

514

12

, ,

ou ab

523

12

. , ou ab

532

1. , ou ab

5 .41

1, dos

quais a possibilidade a 5 2 e b 5 3 dá a fração

ab

523

0 67 , .

3 Resposta: (E) Como o triângulo ABC é equilátero, o ângulo in-terno Â mede 60°. Se DG é paralelo a AB , então o ângulo entre DG e AC é 60° ou 180° 2 60° 5 120°. Sendo x o maior ângulo entre esses dois segmen-tos, x 5 120°.

4 Resposta: (D) Sejam H, M e C as quantidades de homens, mu-

lheres e crianças, respectivamente. Temos HM

5

5 23

e MC

5 8. Logo, HC

5 HM

. MC

5 163

. Logo, a

razão entre o número de adultos e crianças é H 1 M

C 5

HC

1 MC

5 8 1 163

5 403

.

5 Resposta: (B) Os 156 estudantes que resolveram todos os problemas corretamente correspondem a 60% do total (100% 2 25% 2 15% 5 60%). Logo, o número total de estudantes é 260

156

60?

5100

260.

6 Resposta: (E) Como N é o quadrado de um quadrado perfeito, N é uma quarta potência e, como possui o fator 12 5 22 3 3, N deve ser divisível por 24334 5 1 296. Logo, N é da forma 1 296k, em que k é inteiro posi-

tivo. Portanto, N

12 5 108k, e o menor valor possível

para N

12 é 108.

7 Resposta: (C) A área do jardim é 5a2, em que a é o lado do qua - dra do. Pelo teorema de Pitágoras, AB2 5 a2 1 1 (2a)2 5 5a2. Daí, 5a2 5 100, que é a área do jardim.

85

Observação: também é possível resolver o proble-ma sem usar o teorema de Pitágoras, formando o quadrado de lado AB e observando que sua área é equivalente à de 5 quadrados menores.

8 Resposta: (C) Tem-se a 5 k(b 1 c), b 5 k(c 1 a) e c 5 k(a 1 b). Logo, (a 1 b 1 c) 5 2k(a 1 b 1 c). Há dois casos:

(i) a 1 b 1 c 5 0; neste caso, k 5 12

(e a igualdade

ocorre se e só se a 5 b 5 c 0); (ii) a 1 b 1 c 5 0.

Neste caso, temos a

(b 1 c) 5

b(c 1 a)

5 c

(a 1 b) 5

5 21. Portanto, k pode assumir os valores 12

ou 21.

9 Resposta: (A) Um polígono convexo inscrito no círculo fica deter-minado quando seus vértices são escolhidos. Cada um dos 12 pontos pode ou não ser escolhido como vértice, dando um total de 4 096 escolhas (212). Mas, para determinar um polígono, precisamos escolher 3 ou mais vértices. Logo, do número acima deve-mos excluir os casos em que são escolhidos 0 ponto

(1 caso), 1 ponto (12 casos) ou 2 pontos 12112

663 5 casos( ).

12112

663 5 casos( ). Portanto, o número de polígonos é

4 017 (4 096 2 1 2 12 2 66 5 4 017).

10 Resposta: (E)

A soma dos números de m a n é ( )( )m n n m1 2 112

.

Ou seja, devemos ter ( )( )m n m n1 2 1

51

22007, cuja

decomposição em fatores primos é 3 3 3 3 223. Da igualdade (m 1 n)(n 2 m 11) 5 2 3 3 3 3 3 223 (e observando que m 1 n > n 2 m 1 1), podemos ter os seguintes casos:a) m 1 n 5 223, n 2 m 11 5 18 (que resulta em

m 5 103 e n 5 120).b) m 1 n 5 446, n 2 m 1 1 5 9 (que resulta em

m 5 219 e n 5 227).c) m 1 n 5 669, n 2 m 1 1 5 6 (que resulta em

m 5 332 e n 5 337).d) m 1 n 5 1 338, n 2 m 1 1 5 3 (que resulta em

m 5 668 e n 5 670).e) m 1 n 5 2 007, n 2 m 1 1 5 2 (que resulta em

m 5 1 003 e n 5 1 004).Portanto, 2 007 pode ser escrito de 5 modos como soma de dois ou mais números inteiros e consecu-tivos.

11 Resposta: (B) Ambas as equações tem 1 como raiz. As outras raí-

zes são 1

2007

e 2 007, cujo produto é 1.

12 Resposta: (D) a(b 1 c) 2 b(a 1 c) 5 c(a 2 b), que é máximo quan-do c é máximo (ou seja, igual a 10) e b 2 a é máximo (ou seja, b 5 10 e a 5 1). Portanto, o produto máxi-mo é 90 10 3 (10 2 1) 5 90.

13 Resposta: (C) Como 100 < x , 1 000, temos 600 < 6x , 6 000 e 700 < 7x , 7 000. Os números 6x e 7x podem ter ambos 3 algarismos ou ambos 4 algarismos. Para que ambos tenham 3 algarismos, devemos ter 7x , 1 000, ou seja, x , 142,8...; há 43 números nes-tas condições. Para que ambos tenham 4 algarismos, devemos ter 6x > 1 000, ou seja, x > 166,6...; há 833 números nestas condições. Logo, há 876 nú-meros satisfazendo as condições do problema.

14 Resposta: (C) Os triângulos isósceles junto à base têm área igual à do quadrado. Os dois junto aos vértices supe-

riores têm área igual a 14

da área do quadrado.

Finalmente, o central no topo tem área igual à metade da área do quadrado. Logo, a área total é

6 3 212

12

61 1 1 5( ).

15 Resposta: (A) Note que:

x x x x x x x x x x2 2 2 25 6 1 2 3 3 3 21 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1( )( ) ( )( )( ) ( )x x (( ) x x x x x x x x x x2 2 2 25 6 1 2 3 3 3 21 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1( )( ) ( )( )( ) ( )x x (( ) .

Seja y5 1x x2 3 . Então:

1 1 y(y 1 2) 5 1812 (y 1 1)2 5 1812 y 1 1 5 181

y 5 180

16 Resposta: (D) Sendo x, y e z as áreas das partes brancas, a área pe- di da é: (121 2 x) 1 (49 2 y 2 z) 2 (81 2 x 2 y) 2 2 (25 2 z) 5 121 1 49 2 81 2 25 5 64 cm2.

17 Resposta: (B) Se o primeiro acidente é sofrido no ano N 1 1, Jean gasta 1 500(N 1 1) 1 1 400 com a seguradora A e 1 700(N 1 1) 1 700 com a seguradora B. Para que A seja mais favorável, devemos ter 1 500(N 1 1) 1 1 1 400 , 1 700(N 1 1) 1 700, ou seja, N . 2,5. Logo, Jean deve ficar pelo menos 3 anos sem sofrer acidentes.

18 Resposta: (A) A face 1 estará, no início, voltada para Leste e, a seguir, voltada para baixo. Quando o 2 estiver para baixo, 1 estará a Oeste. Quando o 3 estiver para baixo, 1 continua a Oeste. Quando o 5 estiver para baixo (face oposta ao 2), o 1 permanece a Oeste, e assim termina após os movimentos.

19 Resposta: (B)A) Falsa (há 16 do lado direito e 20 do esquerdo).

B) Verdadeira (há 9 do lado direito e 6 do es-querdo).

C) Falsa (há 45).

D) Falsa (há 5 do lado direito e 4 do esquerdo).

E) Falsa (há 15).

86

20 Resposta: (B) A soma dos outros lados tem de ser maior que

5 32

. Logo, o perímetro deve ser maior que

5 3 5 8,66..., o que mostra que o menor perí - me tro inteiro possível é 9.

21 Resposta: (E) Para medir o ângulo entre os ponteiros, basta obter as posições dos dois ponteiros. Fazendo isso para cada um dos horários, e lembrando que o ângulo entre dois números consecutivos do relógio é 30º:• 02h30:oponteiromaiorestásobreo6eomenor

está exatamente na metade entre o 2 e o 3. Logo, o ângulo entre eles será 105º (3 5 30 105, º º3 5 ).

12 1

2

3

5

4

6

9

11

7

8

10

• 06h20:oponteiromaiorestásobreo4eomenor

está 13

de hora depois do 6. Logo, o ângulo é 70º:

213

30 701 3 5( ) º º

12 1

2

3

5

4

6

9

11

7

8

10

• 05h40:oponteiromaiorestásobreo8eomenor

está 13

de hora antes do 6. Logo, o ângulo é 70º:

2

13

30 701 3 5( ) º º

12 1

2

3

5

4

6

9

11

7

8

10

• 08h50: o ponteiro maior está sobre o 10 e o menor

está 16

de hora antes do 9. Logo, o ângulo é 35º:

116

30 351 3 5( ) º º

12 1

2

3

5

4

6

9

11

7

8

10

• 09h55:oponteiromaiorestásobreo11eome-

nor está 1

12 de hora antes do 10. Logo, o ângulo é

32,5º:

1

112

30 32 51 3 5( ) º , º

12 1

2

3

5

4

6

9

11

7

8

10

22 Resposta: (D) Sendo d o m.d.c. destes números, temos: d 5 2 332 2 1 221 5 1 111 5 11 3 101. Como 101 é primo, 101 não divide 1 221, e 11 divide todos os 8 números, então 11 é o m.d.c. procurado.

23 Resposta: (B) Sejam B e C os pontos de batida da bola em PQ e QR, respectivamente, e A o ponto onde a bola está inicialmente. Como os ângulos das trajetórias de batida com a mesa são iguais, deveremos ter os tri-ângulos APB, CQB e CRS semelhantes. Seja BP 5 x. Assim:APBP

CQBQ x

CQx

CQ5 5 5 21

33

12 x

, APBP

CQBQ x

CQx

CQ5 5 5 21

33

12 x

, APBP

CQBQ x

CQx

CQ5 5 5 21

33

12 x

,

APBP

CRRS

5 521 7

3

3xx

APBP

CRRS

5 521 7

3

3xx 3 7 3

67

5 2 5x x 3 7 367

5 2 5x x

Outra solução:

Como o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, ao refletir o retângulo inicial em relação ao lado PQ e em seguida refletindo em relação ao lado QR, obtemos um segmento TUV, de acordo com a figura acima. Logo, pela semelhança dos triângulos TPU e TSV, temos:

TPTS

PUS V

PUPU

5

15 5

11 6 6

67

TPTS

PUS V

PUPU

5

15 5

11 6 6

67

TPTS

PUS V

PUPU

5

15 5

11 6 6

67

24 (Anulada) Resposta: Os únicos números com essa propriedade são: 110, 121, 152, 240, 251, 282 e 390. A diferença entre o maior e o menor é 280, que é múltiplo de 7 e, além disso, 2 1 8 1 0 5 10. (Há duas alternativas corretas).

25 (Anulada) Resposta:Os primeiros termos dessa sequência são: 1, 3, 7, 15, 13, 9, 19, 21, 7, 15, ..., de onde vemos que ela tem pe-ríodo 6 a partir do 3o termo. Assim, a

31 5 a

25 5 a

19 5

5 a12

5 a7 5 19, a

32 5 a

8 5 21, a

33 5 7, a

34 5 15 e

a35

5 13. A soma tem valor 75 (19 1 21 1 7 1 15 1 1 13 5 75). (Não há alternativa correta).

R

S

Q

U

PT

P V

R

S

87

B

I

DA C


1 Resposta:Seja x a idade de Ludmílson. Logo:( )( )x x p2 1 555 55 3 , em que p é primo. Temos, então, duas possibilidades:

i) xx p

2 51 5

55 155 3{

Nesse caso, teríamos x 5 56 e p 5 111, absurdo, pois 111 não é primo.

ii) x px p

2 51 5

5555 2{

Com isso, 110 1 11 1025 2 5 2 5p p p p( ) ? . Assim, te-mos p511 e x566. Logo, a idade de Ludmílson é 66 anos.

2 Resposta:

100 10 3 100 10 310 10

100 1 38 3

8 3

? 1 2 ? 22

2 ? 2 2 5

5

2

2

( )

110010 1010 10

97 100 97 1978 3

8 3

2

2

22

1 5 1 5

3 Resposta: Note que os triângulos PTA, ABD, BCE, e PQC são to-dos isósceles. Como STP 5 108°, PTA 5PAT 5 5 72°. Assim, temos: TPA 5 36° e BAD 5BDA 5 5 18°. Além disso, ABD 5 144° e CBE 5 66°. Como QPC 5 126°, temos QCP 5 27° e ECB 5 5 57°. Logo, QCE 5 174°.

4 Resposta:Tente 1, 2, 3 ... e perceba que, somente com n 5 5, K terá 5 algarismos. Assim, K 5 2 608 ? 5 5 13 040. Com isso, a soma dos algarismos de K é 8.

5 Resposta: A partir do sétimo termo, todos serão iguais a 6 174.

SEGUNDA FASE – parte B

• • • • • • 1 Resposta:

Como ABC é um triângulo retângulo, então AO 5 5 BO 5 CO. Se ABI AOI5 545o e BAI OAI5 , então ABI AOI (ALA). Com isso, AB 5 AO 5 BO, portanto, o triângulo ABO é equilátero. Assim: ACB530o

2 Resposta: É fácil ver que ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x x x x2 2 1 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 2 32 5+

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )x x x x x x x x2 2 1 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 2 32 5+ .

Fazendo x 5 21, 2 e 3, nesta igualdade, temos:

( )( )1 1 51 1 4, ( )( )2 2 522 2 1, ( )( ) 52 23 343

Com isso: 1

1 11

2 21

3 314

134

0( )( ) ( )( ) ( )( )1 1

12 2

12 2

5 2 1 5

11 1

12 2

13 3

14

134

0( )( ) ( )( ) ( )( )1 1

12 2

12 2

5 2 1 5

3 Resposta: a) N 5 ? 2 5 ? 1 2 5 ? 1 123 23 1 23 23 1 23 1 23 23 1 23 14 2 2 2( ) ( )( ) ( )( )(( )23 1 23 530 24 222 5 ? ? ? 5

N 5 ? 2 5 ? 1 2 5 ? 1 123 23 1 23 23 1 23 1 23 23 1 23 14 2 2 2( ) ( )( ) ( )( )(( )23 1 23 530 24 222 5 ? ? ? 5 52 3 5 11 23 535 ? ? ? ? ? . O número de divisores (positivos) de N é 192 (6 2 2 2 2 2 192 5 ).

b) N n n n n n n5 2 5 1 1 25 2 1 1 1( )( )( ). Necessariamente, n ou n 1 1 é par. Logo, 2 di-

vide N. Do mesmo modo, um dos números n 2 1, n ou n 1 1 é múltiplo de 3. Logo 3 tam-bém divide N. Finalmente, se nenhum dos 3 números n 2 1, n ou n 1 1 é múltiplo de 5, en-tão n é da forma 5k 1 2 ou 5k 1 3. No primeiro caso, temos n k k2 21 25 10 51 5 1 1 e, no segundo, n k k2 21 25 15 101 5 1 1 , ambos múltiplos de 5. Portanto, um dos números n, n n2 11 1, ou n2 11 é múltiplo de 5.

Assim, N é, simultaneamente, múltiplo dos núme-ros 2, 3 e 5, primos entre si, o que prova que N é múltiplo de 30.

4 Resposta: Vamos começar colorindo a primeira linha de vér-tices. Cada coloração dessa linha é uma sequência de letras “A” e “V”, por exemplo, A V V A V. Observe que, uma vez colorida a primeira linha, se aparece-rem duas letras consecutivas iguais, o restante dos vértices do tabuleiro já estão determinados. De fato, ao aparecer dois Vs consecutivos, os dois vértices imediatamente abaixo deles deverão ser coloridos com dois As, os que estão mais abaixo deverão ter dois Vs, e assim por diante. Isso completa a colora-ção dessas duas colunas. Dessa forma, cada coluna vizinha também estará determinada, pois em cada retângulo teremos três vértices previamente co-loridos, o que obriga o quarto vértice a ter sua cor determinada. Então, para cada sequência de As e Vs na primeira linha que contém pelo menos duas letras iguais consecutivas, há exatamente uma ma-neira de colorir o tabuleiro. Como há 25 2 2 5 30 de tais sequências, contamos 30 colorações possíveis.

A V V A VA AV VA AV V

88

Falta analisar um segundo caso, em que não há duas letras consecutivas iguais na primeira linha. Há duas possibilidades de sequências: começando com A ou começando com V.

A V A V A

V

Para cada uma dessas sequências, há duas manei-ras de escolher a primeira letra da segunda linha. Uma vez escolhida essa letra, a segunda linha in-teira também estará determinada. Para a primeira

letra da terceira linha também há 2 possibilidades. Com este raciocínio, cada vez que escolhemos a primeira letra de uma linha, determinamos a co-loração dessa linha. Logo, como há duas maneiras de escolher a primeira letra de cada linha, há 32 maneiras (25 5 32) de colorir o tabuleiro, neste se-gundo caso. Logo, o total de colorações é igual a 62 (30 1 32 5 62).

Observação: Veja que, no caso geral, para um qua-drado n 3 n, o raciocínio é análogo. No primeiro caso, teremos 2n 1 1 2 2 colorações; no segundo caso, mais 2n 1 1. Logo, teremos 2 ? 2n 1 1 2 2 5 2n 1 2 2 2 colorações.

89

XXVIII OLIMPÍADABRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2006




Estados de:BA – ES – RS – RN – PA – PE – PI – SC

1 Resposta: (A) Em 6h de trabalho foram retiradas 480 bolinhas (4 000 3520 4802 5 ), e como a velocidade de re-

tirada é constante, saem 80 bolinhas 480

6805( ) por

hora. Para que 2 000 bolinhas saiam do tanque são

necessárias 25 horas 2 000

80255( ). Portanto, o tanque

ficou com 2 000 bolinhas às 11 h do dia seguinte.

2 Resposta: (A) O eucalipto precisa de cerca de 600 kg de nutrientes

por hectare, aproximadamente 13

da massa de nu-

trientes necessários, mais ou menos 1 800 kg, para a cana-de-açúcar se desenvolver.

3 Resposta: (B) Seja n o número de partidas que o time venceu. En-tão, perdeu n 2 8 e empatou n 2 3 jogos. Portanto,n n n n n n1 2 1 2 5 2 5 5 58 3 31 3 11 31 3 42 14 n n n n n n1 2 1 2 5 2 5 5 58 3 31 3 11 31 3 42 14 n n n n n n1 2 1 2 5 2 5 5 58 3 31 3 11 31 3 42 14

n n n n n n1 2 1 2 5 2 5 5 58 3 31 3 11 31 3 42 14, isto é, o time venceu 14 partidas.

4 Resposta: (D) 2 22 2

2 0062 2 1

2

2 007 2 005

2 006 2 004

2 005 2

2

11

1

( )3 5

0004 22 12 006 2 2 006 4 012

15 5( ) 3 3

2 22 2

2 0062 2 1

2

2 007 2 005

2 006 2 004

2 005 2

2

11

1

( )3 5

0004 22 12 006 2 2 006 4 012

15 5( ) 3 3 . A soma dos algarismos do nú-mero 4 012 é 7.

5 Resposta: (B) Os algarismos ímpares são 1, 3, 5, 7 e 9. Para que o número seja divisível por 3, a soma dos seus 3 alga-rismos deve ser múltiplo de 3. Os conjuntos de três algarismos nessas condições são {1, 3, 5}, {3, 5, 7}, {5, 7, 9} e {1, 5, 9}. Com cada um desses conjuntos po-demos formar seis números diferentes. Por exem-plo, para o primeiro, temos os números 135, 153, 315, 351, 513 e 531. Portanto, há 24 números (4 6 243 5 ). Outra solução: o resto da divisão dos algarismos ímpares por 3 é igual a 0 (no caso de 3 e 9) ou 1 (no caso de 1 e 7) ou 2 (no caso do 5). Para que a soma de três desses algarismos diferentes dê um núme-

ro divisível por 3, um deve ter resto 0, um deve ter resto 1 e um deve ter resto 2; logo, eles podem ser escolhidos de 4 maneiras (2 2 1 43 3 5 ) diferentes e, para cada escolha podemos ordenar os algaris-mos de 6 maneiras (3 2 1 63 3 5 ) diferentes. Logo, a quantidade de números nas condições dadas é igual a 24 (4 6 243 5 ).

6 Resposta: (D) O usuário pagou 148 reais (52 140 60 1 20 1481 2 5( ) ,?

52 140 60 1 20 1481 2 5( ) ,? ); no plano de 100 minutos, teria pago 135 reais (87 140 100 1 20 1351 2 5( ) ,? ), ou seja, teria economizado 13 reais (148 2 135 5 13).

7 Resposta: (B) Sejam A, B, C, D e E os vértices do pentágono. Para cada um desses vértices podemos contar dois tri-ângulos isósceles cujos vértices coincidem com os vértices do pentágono, e esse vértice é oposto à base, conforme desenho abaixo (por exemplo, o vértice A é oposto às respectivas bases dos tri-ângulos isósceles ACD e ABE. Nota: um triângu-lo isósceles tem dois lados congruentes, e o ter-ceiro lado é chamado base.) Como há 5 vértices, concluímos que existem 10 triângulos (5 2 103 5 ) nas condições dadas. Outra solução: três vértices do pentágono determinam sempre um triângulo isósceles. Portanto, o número de triângulos isósce-les é igual ao número de formas pelas quais pode-mos escolher três vértices do pentágono, ou seja,

105 4 3

610

3 35( ).

8 Resposta: (E) Entre quatro números naturais consecutivos há sempre um múltiplo de 3 e um múltiplo de 4. O produto desses quatro números é múltiplo de 3, logo a soma de seus algarismos é divisível por 3 e, além disso, é múltiplo de 4, isto é, seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 4. O único número nessas condições é 1 680 (5 6 7 8 1 6803 3 3 5 ).

90

9 Resposta: (A) O intervalo de tempo entre a partida e o primeiro encontro é igual ao intervalo de tempo entre o pri-meiro encontro e o segundo encontro, no ponto de partida. Isso acontece porque, ao se inverterem as velocidades, a situação seria a mesma se cada um deles retornasse ao ponto de partida pelo caminho que veio, com a mesma velocidade. Portanto, eles chegarão no mesmo instante, ou seja, o tempo que um irá esperar pelo outro será igual a 0.

10 Resposta: (C) As horas possíveis são 00, 02, 04, 06, 08, 20 e 22, tota-lizando 7 possibilidades. Para cada uma dessas ho-ras, os minutos podem ser 00, 02, 04, 06, 08, ..., 40, 42, ..., 48 etc., num total de 15 possibilidades (3 5 153 5 ). Portanto, o número de vezes em que o relógio exi-be apenas algarismos pares é 105 (7 15 1053 5 ).

11 Resposta: (C) Traçando retas paralelas aos lados, verificamos que o perímetro da figura é o mesmo que o de um qua-drado de lado 20 cm, ou seja, 80 cm.

12 Resposta: (D) Se Alexandre não vai de carro e acompanha Bento, que não vai de avião, então ambos vão de trem. Car-los não acompanha Dário e não anda de avião; logo, é companheiro de Tomás, que não anda de trem; as-sim, ambos vão de carro. André, que viaja de avião, é companheiro de Dário; logo, ambos vão de avião. Portanto, Alexandre vai de trem, e Tomás vai de carro.

13 Resposta: (E) Seja n o número de quadradinhos para formar um lado de uma peça. Então, são necessários 4 2 4 4 8 4 4 4? 2 1 5 2 1 5 2( )n n n quadradi-nhos para formar a peça inteira. Na última peça da decoração temos 4 4 40 11n n2 5 5 4 4 40 11n n2 5 5 . Note que, para contar o número de quadradinhos utilizados, basta observar que cada peça da esquerda se en-caixa na da direita. Se encaixarmos todas, teremos um quadrado completo de lado igual a 11 quadradi-nhos. Portanto, o número de pastilhas utilizadas foi 121 (11 1212 5 ).

14 Resposta: (C) O tabuleiro contém 95 95 9 0253 5 casas. Nas li-nhas ímpares, a sequência é crescente, e nas linhas pares, é decrescente. Portanto, na 95a linha, a última casa da direita apresenta o maior múltiplo de 4 no tabuleiro, ou seja, Sara escreveu na casa U o número 36 100 (9 025 4 36 1003 5 ).

15 Resposta: (C) Como os quadrados pequenos dividem o maior em quatro quadriláteros congruentes, a área pintada é igual à soma das áreas dos dois quadrados meno-res, ou seja, 800. Como a área pintada do quadrado maior é igual à sua área não pintada, concluímos que a área do quadrado maior é igual a 72% da área total pintada, ou seja, 576 ( 0 72 800 576, 3 5 ).

16 Resposta: (B)

Seja A5 115 7p . Como A p

p3

15 73

573

51

5 1 , con-

cluímos que o resto da divisão de A por 3 é igual ao resto da divisão de 7 por 3, ou seja, 1. De forma análoga, o resto da divisão de A por 5 é o mesmo que o da divisão de 7 por 5, ou seja, é igual a 2. A soma desses restos é igual a 3 (1 1 2 5 3).

17 Resposta: (C) Se x era a idade de Neto no final de 1994, então o ano em que nasceu é 1994 2 x; de forma análoga, o ano em que sua avó nasceu é 1994 2 2x. Assim, te-mos 1994 1994 2 3844 3988 3 3844 3 144 482 1 2 5 2 5 5 5x x x x x( ) ( ) 1994 1994 2 3844 3988 3 3844 3 144 482 1 2 5 2 5 5 5x x x x x( ) ( )

1994 1994 2 3844 3988 3 3844 3 144 482 1 2 5 2 5 5 5x x x x x( ) ( ) 1994 1994 2 3844 3988 3 3844 3 144 482 1 2 5 2 5 5 5x x x x x( ) ( ) 1994 1994 2 3844 3988 3 3844 3 144 482 1 2 5 2 5 5 5x x x x x( ) ( ) . Portanto, Neto completa em 2006 a idade de 60 anos 2006 1994 48 12 48 602 1 5 1 5( )

2006 1994 48 12 48 602 1 5 1 5( ) .

18 Resposta: (D) Colocando o Tangram sobre uma malha quadricu-lada, a região sombreada ocupa 3 quadradinhos

da malha e sua área é, portanto, 3

16 da área do Tan-

gram, ou seja, 12 cm2 3

1664 12? 5( ).

19 Resposta: (E) A palavra BRASIL tem 6 letras diferentes. Fixando a primeira letra à esquerda, restam 5 letras. O nú-mero de palavras que se obtém permutando es-sas 5 letras é 120 (5 4 3 2 1 1203 3 3 3 5 ). Portanto, após fixar à esquerda as letras A, B e I, teremos lis-tado 360 palavras (3 120 3603 5 ). Obedecendo à ordem alfabética, a próxima letra a ser fixada é L; escrevendo as demais letras em ordem alfabética, teremos a palavra LABIRS.

20 Resposta: (A) Supondo que x seja o número de horas por dia, então x também é o número de dias por sema-na, o número de semanas por mês e o número de meses por ano. Logo, o número de horas por ano é x x x x x x x x? ? ? 5 5 5 5 5 54 4 12 4 3 4 34 096 2 2 2 8( ) x x x x x x x x? ? ? 5 5 5 5 5 54 4 12 4 3 4 34 096 2 2 2 8( ) x x x x x x x x? ? ? 5 5 5 5 5 54 4 12 4 3 4 34 096 2 2 2 8( )

x x x x x x x x? ? ? 5 5 5 5 5 54 4 12 4 3 4 34 096 2 2 2 8( ) . Portanto, o número de semanas por mês é 8.

91


1 Resposta:

22

22

22

22

22

2 2 2 22 3

2

4

3

2 005

2 004

2 006

2 0051 1 1 1 1 5 1 1 1 1 11 5 ? 52 2 005 2 4 010

2 005 parcelas iguais

22

22

22

22

22

2 2 2 22 3

2

4

3

2 005

2 004

2 006

2 0051 1 1 1 1 5 1 1 1 1 11 5 ? 52 2 005 2 4 010

2 005 parcelas iguais . A soma

dos algarismos desse número é 5 (4 0 1 0 51 1 1 5 ).

2 Resposta:Como 20% da massa total dessa pessoa correspon-dem à massa de gordura, ela tem 20 100 20% ? 5 kg de gordura. Ela perdeu 40% da sua gordura, ou seja, perdeu 40 20 8% ? 5 kg de gordura. Como ela man-teve os demais índices, no final do regime ela pesa-va 92 kg (100 8 922 5 ).

3 Resposta: A soma dos algarismos dos números de dois algaris-mos varia de 1 a 18. Dessas somas, as que são qua-drados perfeitos são 1, 4, 9 e 16. Temos, então:• Soma1:número10• Soma4:números13,22,31e40• Soma9:números18,27,36,45,54,63,72,81e90• Soma16:números79,88e97Portanto, nas condições propostas, há 17 números.

4 Resposta: A quantidade inicial de algarismos é 189 (9 2 90 1891 3 5 ), dos quais 94 aparecem nas po-sições pares e 95 nas posições ímpares. Apagados os algarismos que aparecem nas posições pares, sobram 95 algarismos; desses, 47 estão nas posi-ções pares e 48 nas posições ímpares. Repetindo a operação, restam 48 algarismos, sendo 24 algaris-mos em posições pares e 24 em posições ímpares. Na terceira aplicação da operação restam 12 alga-rismos e, na quarta, sobram 6 algarismos.

5 Resposta: Como a área da folha é 300 cm2, cada quadrado

destacado tem área 25 cm2 30012

255( ) e, portanto,

lado medindo 5 cm. Logo, o volume desse cubo é 125 cm3 (5 1253 5 ).

6 Resposta: A soma dos 27 números escritos na tabela é igual a 3 vezes o X e a 9 vezes o Y. Como X é a soma dos números de cada coluna, temos X 5 1 1 1 1 51 2 3 9 45 . Por tan-to: 3 1 2 3 9 9 3 45 9 15? 1 1 1 1 5 ? ? 5 ? 5( ) Y Y Y

3 1 2 3 9 9 3 45 9 15? 1 1 1 1 5 ? ? 5 ? 5( ) Y Y Y 3 1 2 3 9 9 3 45 9 15? 1 1 1 1 5 ? ? 5 ? 5( ) Y Y Y .Logo, X Y1 5 1 545 15 60. O dese-nho ao lado mostra uma forma de escrever os números na tabela.


1 Resposta:a) Há 900 números (999 100 1 9002 1 5 ) de três al-

garismos escritos em cartões amarelos, e 9 000 números (9 999 1000 1 9 0002 1 5 ) de quatro al-garismos escritos em cartões azuis. Ao todo, foram utilizados 9 900 cartões (900 9 000 9 9001 5 ).

b) Como existe a possibilidade de serem retirados todos os cartões amarelos antes de aparecer al-gum azul, para Jade ter certeza de que há dois cartões azuis entre os retirados ela deverá retirar 902 cartões (900 2 9021 5 ).

2 Resposta:Como cada quadradinho tem 1 cm2 de área, o lado de cada um mede 1 cm.

a) Há 20 quadradinhos pintados de cinza. Logo, a área da figura formada é 20 cm2 (20 1 202 2? 5cm cm

20 1 202 2? 5cm cm ) e como há 8 segmentos verticais à esquerda e 8 à direita além de 9 segmentos ho-rizontais pela parte de cima e 9 pela debaixo, o perímetro, que é a soma das medidas de todos os lados, é 34 cm (2 8 2 9 16 18 34? 1 ? 5 1 5 ).

b) O quadriculado inteiro é um retângulo de lados 8 cm e 9 cm, e, portanto, de perímetro 34 cm (2 8 2 9 16 18 34? 1 ? 5 1 5 ). Deste modo, o valor máximo da área que podemos obter é quando a figura for igual a todo o quadriculado e, assim, a área será 72 cm2 (8 9 72? 5 ).

3 Resposta:a) Ela escreveu em cada uma das 9 primeiras linhas,

na seguinte ordem, 1, 11, 21, 1 112, 3 112, 211 213, 312 213, 212 223 e 114 213. Logo, na 10a linha ela escreveu 31 121 314.

b) Esmeralda escreveu em cada uma das primeiras linhas, na seguinte ordem, 01, 1 011, 1 031, 102 113, 10 311 213, 10 411 223, 1 031 221 314, 1 041 222 314, 1 031 321 324, 1 031 223 314, 1 031 223 314, ..., e per cebeu que, a partir da 10a linha, o número 1 031 223 314 começa a se repetir.

Portanto, os dois primeiros algarismos da es-querda do número que ela digitou na 2 006a li-nha serão 1 e 0.

1 5 9 Y2 6 7 Y3 4 8 Y4 9 2 Y5 7 3 Y6 8 1 Y7 2 6 Y8 3 4 Y9 1 5 YX X X

92

A

E

CB Dx

30

30º 126º

x75º x

90°

7 Resposta: (C) Se x era a idade de Neto no final de 1994, então o ano em que nasceu é 1994 2 x; de forma análoga, o ano em que sua avó nasceu é 1994 2 2x. Assim, temos: 1 994 1 994 2 3 844 3 988 3 3 844 3 144 482 1 2 5 2 5 5 5x x x x x( ) ( )

1 994 1 994 2 3 844 3 988 3 3 844 3 144 482 1 2 5 2 5 5 5x x x x x( ) ( ) 1 994 1 994 2 3 844 3 988 3 3 844 3 144 482 1 2 5 2 5 5 5x x x x x( ) ( ) 1 994 1 994 2 3 844 3 988 3 3 844 3 144 482 1 2 5 2 5 5 5x x x x x( ) ( )Portanto, Neto completa em 2006 a idade de 60 anos 2006 1994 48 12 48 602 1 5 1 5( ) .

8 Resposta: (A) Trace retas horizontais pelos vértices mais baixos dos três quadrados:

Então, os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da esquerda são 60o e 30o, respecti-vamente; os ângulos à esquerda e à direita do vér-tice do quadrado do meio são, respectivamente, 180o 2 126o 2 30o 5 24o e 90o 2 24o 5 66o; os ângu-los à esquerda e à direita do vértice do quadrado da direita são, respectivamente, 180o 2 75o 2 66o 5 39o e 90o 2 39o 5 51o. Enfim, no triângulo retângulo com um dos ângulos igual a x, temos x 5 90o 2 51o 5 39o.

9 Resposta: (B) O número 24 5 23 3 3 tem somente dois divisores cubos perfeitos: 1 e 8. Assim, se é possível represen-tar 24 na forma a2b3, então b 5 1 ou b 5 2 e, portan-to, a2 5 24 ou a2 5 3, o que é impossível.Além disso, na alternativa A podemos tomar a 5 3 e b 5 2; na alternativa C, podemos tomar a 5 24 e b 5 c 5 1; na alternativa D, podemos tomar a 5 3, b 5 1 e c 5 2; e na alternativa E, podemos tomar a 5 2, b 5 3 e c 5 1.

10 Resposta: (D)

(veja as figuras acima)Contagem: 9 quadradinhos 1 3 14 quadrados 2 3 2, mas cada um deles tem um ins-crito, então o total é 4 3 2 5 8.1 quadrado 3 3 3, mas com 2 quadrados inscritos, então o total é 3.Total: 9 1 8 1 3 5 20


• • • • • •

1 Resposta: (D)

2 22 2

2 0062 2 1

2

2 007 2 005

2 006 2 004

2 005 2

2

11

3 51

( )

0004 22 12 006 2 2 006 4 012

13 5 3 5( )

2 22 2

2 0062 2 1

2

2 007 2 005

2 006 2 004

2 005 2

2

11

3 51

( )

0004 22 12 006 2 2 006 4 012

13 5 3 5( ) . A soma dos algarismos do nú-

mero 4 012 é 7.

2 Resposta: (C) Traçando retas parale-las aos lados, verifica-mos que o perímetro da figura é o mesmo que o de um quadra-do de lado 20 cm, ou seja, 80 cm.

3 Resposta: (C) 10 5 5 4 4 5 54 6 9a b a b a b a b1 5 5 5 5 5( ) ,1 3 10 5 5 4 4 5 54 6 9a b a b a b a b1 5 5 5 5 5( ) ,1 3 10 5 5 4 4 5 54 6 9a b a b a b a b1 5 5 5 5 5( ) ,1 3

10 5 5 4 4 5 54 6 9a b a b a b a b1 5 5 5 5 5( ) ,1 3

4 Resposta: (A) O intervalo de tempo entre a partida e o primeiro encontro é igual ao intervalo de tempo entre o pri-meiro encontro e o segundo encontro, no ponto de partida. Isso acontece porque, ao se inverterem as velocidades, a situação seria a mesma se cada um deles retornasse ao ponto de partida pelo caminho que veio, com a mesma velocidade. Portanto, eles chegarão no mesmo instante, ou seja, o tempo que um irá esperar pelo outro será igual a 0.

5 Resposta: (C)

ADE x ABD ADE AED1 5 1 5 530 30 15o o oABD x x ACD x1 2 5 1 5 ADE x ABD ADE AED1 5 1 5 530 30 15o o oABD x x ACD x1 2 5 1 5 ADE x ABD ADE AED1 5 1 5 530 30 15o o oABD x x ACD x1 2 5 1 5 ADE x ABD ADE AED1 5 1 5 530 30 15o o oABD x x ACD x1 2 5 1 5

6 Resposta: (A) Sejam n 2 1, n e n 1 1 os três números inteiros con-secutivos. Temos:( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n n n n n2 1 1 1 5 2 ? ? 1 5 2 2 5 51 1 1 1 3 1 1 3 42 2 2 nn52 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n n n n n2 1 1 1 5 2 ? ? 1 5 2 2 5 51 1 1 1 3 1 1 3 42 2 2 nn52

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n n n n n2 1 1 1 5 2 ? ? 1 5 2 2 5 51 1 1 1 3 1 1 3 42 2 2 nn52 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n n n n n2 1 1 1 5 2 ? ? 1 5 2 2 5 51 1 1 1 3 1 1 3 42 2 2 nn52 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n n n n n2 1 1 1 5 2 ? ? 1 5 2 2 5 51 1 1 1 3 1 1 3 42 2 2 nn52Portanto, os números são 1, 2 e 3, e a soma dos quadrados dos três números consecutivos é 14 (1 2 3 142 2 21 1 5 ).

93

11 Resposta: (D)Se Alexandre não vai de carro e acompanha Ben-to, que não vai de avião, então ambos vão de trem. Carlos não acompanha Dário e não anda de avião; logo, é companheiro de Tomás, que não anda de trem; assim, ambos vão de carro. André, que viaja de avião, é companheiro de Dário; logo, ambos vão de avião. Portanto, Alexandre vai de trem, e Tomás vai de carro.

12 Resposta: (C)

R5 5

a

a

2

2

34

6 316

23

, pois o lado do hexágono é me-

tade do lado do triângulo.Existe uma maneira bem geométrica de resolver, basta observar a figura!

13 Resposta: (E) Sabemos que n n3 2 é divisível por 6 para todo n 51 2 3, , , ... , e esse é o máximo divisor comum porque 2 2 63 2 5 .

14 Resposta: (C) Seja H o número de filhos homens e M o número de filhas mulheres. As afirmações são equivalentes a H 2 1 5 M 1 3 e H 5 2(M 2 1). Resolvendo o sis-tema, temos: M 5 6 e H 5 10; logo, a quantidade de filhos é 16.

15 Resposta: (D) Colocando o Tangram sobre uma malha quadricu-lada, a região sombreada ocupa 3 quadradinhos da

malha e sua área é, portanto, 316

da área do Tan-

gram, ou seja, 12 cm2 316

64 12? 5( ).

16 Resposta: (C) Vamos contar primeiro quantos números desse tipo existem:

2 com 1 dígito22 com 2 dígitos 23 com 3 dígitos

Cada número desejado pode ser pareado com ou-tro trocando os dígitos 2 por 1 (e vice-versa). Por exemplo, 122 e 211. A soma dos números em cada par é algo do tipo: 33 ... 3.Assim, a soma total é:

22

322

3322

333 1 4012 3

3 3 31 1 5

17 Resposta: (B) Pela desigualdade triangular, os números reais a, b e c são medidas dos lados de um triângulo se, e somente se:

a b c

b c a

c a b

c c

a a

b b

c

a

1 .

1 .

1 .

2 .

2 .

2 .

1

1

1

1212212

b

a b c

b c a

c a b

c c

a a

b b

c

a

1 .

1 .

1 .

2 .

2 .

2 .

1

1

1

1212212

b

a b c

b c a

c a b

c c

a a

b b

c

a

1 .

1 .

1 .

2 .

2 .

2 .

1

1

1

1212212

b

18 Resposta: (C) Devemos ter c(c 1 1) 5 30, então c 5 5. Para a 1 b 5 25, temos 24 soluções diferentes para o par (a, b). Daí, a resposta correta seria 24.

19 Resposta: (B) 1o) Existem 9 3 8 números de dois dígitos distintos,

exatamente metade deles é bonito, e a outra metade não é. Logo, existem 36 números boni-

tos 982

363 5( ).

2o) Existem 8 números bonitos que terminam em 1, 7 que terminam em 2, ..., 1 que termina em 8. Logo, existem 36 números bonitos: 8 1 7 1 ... 1 1 1 5 36

20 Resposta: (C) A soma de todas as notas é 400 (71 1 76 1 80 1 1 82 1 91 5 400). A média de k números é inteira quando a soma dos k números é divisível por k. As-sim, como 400 é divisível por 4, e a soma das quatro primeiras notas deve ser divisível por 4, o último número a ser digitado é múltiplo de 4, ou seja, é 76 ou 80.Se o último número é 76, a soma dos outros quatro números é 324 (400 2 76 5 324), que é múltiplo de 3. Seguindo um raciocínio análogo ao anterior, obtemos o penúltimo número a ser digitado, que é múltiplo de 3. Mas nenhum dos cinco números é múltiplo de 3. Absurdo.Logo, o último número é 80 (de fato, podem ocor-rer as “ordens de digitação” 76, 82, 91, 71, 80 e 82, 76, 91, 71, 80).

94

C

A

N

B

M

X

Y

21 Resposta: (C) Multiplicamos primeiro os dois últimos radicais:

2 2 2 31 1 1 ? 2 2 2 32 1 1

Obtemos : 2 2 32 1

Agora, multiplicamos o fator encontrado pelo se-gundo fator da expressão:

2 2 32 1 ? 2 2 31 1

E obtemos: 2 32

Finalmente, multiplicamos esse resultado pelo pri-meiro fator da expressão:

2 32 ? 2 31 5 1

22 Resposta: (E) 2 a 9 2 8 números 2 8 algarismos10 2 99 2 90 números 2 180 algarismosAinda restam 1 818 algarismos e, portanto, ainda conseguimos formar 606 números de 3 algaris-mos. Assim, o livro de Ludmilson tem 705 páginas (9 1 90 1 606 5 705).

23 Resposta: (D) Se x y z1 1 50, então x y z xyz3 3 3 31 1 5 . Por outro lado:

1 1 1 33 3 3 3 3 3

3 3 3

3 3 3 3 3x y x z y zx y z

x y zxyz

x y1 1 5

1 15

zz x y z3 2 2 2

35

24 Resposta: (C) As horas possíveis são 00, 02, 04, 06, 08, 20 e 22, totalizando 7 possibilidades. Para cada uma dessas horas, os minutos podem ser 00, 02, 04, 06, 08, ..., 40, 42, ..., 48 etc., num total de 15 possibilidades (3 3 5 5 5 15). Portanto, o número de vezes em que o relógio exibe apenas algarismos pares é 105 (7 15 1053 5 ).

25 Resposta: (D)

AGADAFAB

DAB GAB GAF

DAB GAF,

o

5

5

5 1 5

1212

60

LAL

com razão de semelhança 2

Portanto: BDFG

52


1 Resposta: Os números da coluna do meio podem ser dados por: 1 1 2 1 4 1 6 1 8 1...1 2n 5 n2 1 n 1 1. Dessa forma, o número do topo é: 442 1 44 1 1 5 1981. Como 1 981 está no 45o andar, e 2 006 2 1 981 5 25, 2 006 deve estar no 20o andar.

2 Resposta: Podemos representar os três inteiros consecutivos por n e n2 11 1, n . Temos: (n 2 1)2 1 n2 1 (n 1 1)2 5 5 302 n2 2 2n 1 1 1 n2 1 n2 1 2n 1 1 5 302

3n2 1 2 5 302 3n2 5 300 n2 5 100 n 5 210 ou n 5 10

Portanto, os três inteiros consecutivos são: 211, 210 e 29 ou 9, 10 e 11. Se admitirmos que estamos falando de inteiros positivos, a resposta é 30 (9 10 11 301 1 5 ).Rigorosamente falando, a resposta deveria ser: se os inteiros são positivos, então sua soma é 30 e, se os inteiros são negativos, então sua soma é 230.

3 Resposta: Observe que os triângulos AXY e ANM são congruen-tes, e YXA 5 AMN. Assim, XY MN e como XY 5 5 MN 5 MC 5 NB, segue que os quadriláteros XYCM e XYNB são paralelogramos. Como A é ponto médio de XM e NY, temos:

[AYC] 5 [BAX] 5 23

? 12 5 8

Logo: [XYCB] 5 83

? 12 5 32

4 Resposta: Cada retângulo da decomposição possui um núme-ro par de casas, pois possui a mesma quantidade de casas brancas e pretas. Veja que a maior quantida-de de números pares distintos tais que a soma não supera 64 é: 2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 12 1 14 5 56, pois 2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 12 1 14 1 16 5 72, ou seja, a soma de 8 números pares distintos é sem-pre maior que 64. Portanto, a decomposição pode ter, no máximo, 7 retângulos. Veja abaixo uma de-composição com 7 retângulos.

95

B

Q

CMAH

I

5 Resposta: Fazendo as primeiras transformações, obtemos a seguinte sequência:(1, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 2, 21)

(0, 23, 3) (0, 6, 26) ...Primeiramente, vemos que a partir da quarta ter-na, o primeiro vai ser sempre igual a 0 (zero). Então, a partir desta terna, as transformações são do tipo: (0, b, c) (0, 2b 1 c, b 2 c). Logo, a partir da quarta terna ordenada da sequência, a soma dos termos de todas as ternas será igual a 0 0 2 b 1 c 1 b 2 c 5 0. Logo, a soma dos três termos da terna que ocupará a 2 006a posição nesta sequência é igual a 0 (zero).


1 Resposta: Vamos usar a notação:S par 5 soma de todas as casas de numeração par;S ímpar 5 soma de todas as casas de numeração ímpar.a) Para este caso, temos: S par 5 56 (2 1 4 1 6 1 8 1

1 10 1 12 1 14 5 56) e S ímpar 5 64 (1 1 3 1 5 1 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 5 64). Como a diferen-ça entre as somas é par, e S ímpar . S par, há a necessidade de retirar pelo menos duas casas do lado ímpar como, por exemplo, as casas de nu-meração 7 e 1. Aí, teremos S par 5 S ímpar 5 56. Assim, o prefeito deve derrubar pelo menos 2 casas.

b) Para este caso, temos: S par 5 72 (2 1 4 1 6 1 1 8 1 10 1 12 1 14 116 5 72) e S ímpar 5 64 (1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 115 5 64). Como a diferença entre as somas é par, e S par . S ímpar, pode-se retirar apenas uma casa do lado par: a casa de numeração 8.

Então, teremos S par 5 S ímpar 5 64. Assim, o prefeito deve derrubar 1 casa.

c) Para este caso, temos: S par 5 2 1 4 1 6 1 8 1 1 10 1 ... 1 2 006 e S ímpar 5 1 1 3 1 5 1 ... 1 1 2005. Assim, temos S par 2 S ímpar 5 1 003

(2 2 1) 1 (4 2 3) 1 ... 1 (2 006 2 2 005) 5 5 1 003. Como 1 003 é ímpar, uma única casa não é suficiente, mas retirar as casas de nume-ração 1 006 e 3 basta para que S par 5 S ímpar. Assim, o número mínimo de casas que o prefeito deve derrubar é 2 casas.

2 Resposta:

Como o triângulo é isósceles, concluímos que: CBM 5 ABM e ACB 5 90o 2 aCom isso, CAQ 5 a, pois AQ é uma altura. Como AI é bissetriz, então CAI 5 IAB 5 2a. Finalmente, no AMB: a 1 a 1 2a 1 a 5 90o a 5 18o

3 Resposta:a) Subtraindo as duas equações dadas, temos:

a b b a2 2 62 5 2( ), ou seja, ( )( )a b a b2 1 1 56 0. Como a b , temos a b1 526 .

b) Da parte a, elevando ao quadrado, a b ab2 2 2 361 1 5 a b ab2 2 2 361 1 5 . Mas, somando as equações dadas,

temos: a b a b ab ab2 2 6 10 36 101 5 1 1 52 1( ) . Portanto: 2 1 1 536 2 10 36ab ab , o que dá ab56.

4 Resposta:Quando trocamos um inteiro positivo pela soma de seus algarismos, não alteramos o resto da divi-são por 9. Isso é explicado pela decomposição do inteiro na forma: abcd 5 1 000a 1 100b 1 10c 1 d 5 999a 1 99b 1 1 9c 1 a 1 b 1 c 1 dDaí, temos:abcd 2 ( a 1 b 1 c 1 d ) 5 999a 1 99b 1 9c 5 5 9(111a 1 11b 1 c)Logo, abcd e a 1 b 1 c 1 d deixam o mesmo res- to na divisão por 9.Como todos os números que restaram no qua-dro estão entre 0 e 9, inclusive, todos os números 1 restantes no quadro são originados a partir de números que deixam resto 1 na divisão por 9 (1, 10, 19, 28, 37, ..., 1 999). Da mesma forma, todos os números 2 restantes no quadro são originados a partir de números que deixam resto 2 na divisão por 9 (2, 11, 20, 29, 38, ..., 2 000). Comparando, ve-mos que cada um dos números 1 e 2 aparece 223 vezes no quadro. Portanto, ambos os números (1 e 2) aparecem o mesmo número de vezes.

96

(1) (2)

XXVII OLIMPÍADABRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2005


PRIMEIRA FASE

• • • • • •


Estados de:

AM – AL – BA – PA – PB – PI – PR – RS – RN – SC

1 Resposta: (A) Como 119 268 916 é divisível por 13, já que 9 174 532 13 119 268 9163 5 , podemos concluir que os números da forma 119 268 916 1 x , para x inteiro, são divisíveis por 13 se, e somente se, x é divisível por 13. Dentre os números apresentados, o número 119 268 916 1 (213) 5 119 268 903 é o único di-visível por 13.

2 Resposta: (E) Quando são retiradas três meias, uma das seguintes situações irá ocorrer: (i) as três meias são vermelhas, ou (ii) duas são vermelhas e uma é branca, ou (iii) uma é vermelha e duas são brancas, já que não ha-via meias pretas entre as retiradas. Portanto, pelo menos uma meia é vermelha.

3 Resposta: (A) A mistura final tem 0,2 litro de polpa e 31 50,8 3,8 litros de água. A porcentagem de polpa em relação

ao volume da mistura é 5% 0 24

240

0 05 5,

, % .5 5 5( ) 4 Resposta: (E)

Arnaldo: 1 bilhão 5 1000 000 1000 000 1000 000 000 0003 5 .

Professor Piraldo:1 bilhão 5 1 000 1 000 000 1 000 000 000× 5 .

A diferença é 999 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000.2 5999

5 Resposta: (B) Seja x o primeiro termo. Como o segundo termo é 1, o terceiro termo é x11, o quarto é 1 1 21 1 5 1x x( ) .Como o quinto termo é 2 005: x x x x x1 1 1 11 2 2 3 2 005 2 2 002 1 001( ) ( ) ⇔ ⇔5 5 5 5

x x x x x1 1 1 11 2 2 3 2 005 2 2 002 1 001( ) ( ) ⇔ ⇔5 5 5 5 . Logo, o sexto termo é 3 008 x x x1 1 1 1 ? 12 2 3 3 5 3 1 001 5 3 008( ) ( )5 5 5

x x x1 1 1 1 ? 12 2 3 3 5 3 1 001 5 3 008( ) ( )5 5 5 .

6 Resposta: (B) O voo 7 000 000 de quilômetros de 1 abelha é equi-valente ao voo de 1 000 quilômetros de 7 000 abe-lhas iguais a ela. Multiplicando por 10 o número de galões, podemos multiplicar por 10 o número de abelhas, ou seja, 70 000 abelhas.

7 Resposta: (E) Seja p a população de Tucupira há três anos. Atual-mente, Tucupira tem p de p p p p1 150 0 5 1 5% , ,5 5 , população igual à atual de Pirajussaraí. Temos:1 5 1 5 9 000 3 9 000 3 000, ,p p p p1 5 5 5⇔ ⇔Há três anos, a soma das populações das duas ci-dades era de 7 500 pessoas: 1 5 1 5 3 000 3 000 4 500 3 000 7 500, , .p p1 3 1 15 5 5

1 5 1 5 3 000 3 000 4 500 3 000 7 500, , .p p1 3 1 15 5 5

8 Resposta: (A)

Como 15

100 000100 000

520 000

14

100 000100 000

de e de5 5 544

25 0005

15

100 000100 000

520 000

14

100 000100 000

de e de5 5 544

25 0005 , concluímos que a

perda da safra está avaliada entre R$ 20 000,00 e R$ 25 000,00. Logo, um possível valor para a perda é R$ 21 987,53.

9 Resposta: (D) Em 600 números inteiros consecutivos positivos,

há 200 múltiplos de 3 6003

2005( ) e 150 múltiplos

de 4 600

41505( ); entretanto, alguns desses núme-

ros aparecem duas vezes nessa contagem, pois são múltiplos dos dois números, ou seja, são múltiplos

de 12. Como há 50 desses múltiplos 60012

505( ),

concluímos que o número de páginas com defeito é 300 ( ).200 150 50 3001 2 5

10 Resposta: (E) A partir da figura, vemos que o comprimento a dos retângulos menores é o dobro da sua largura b. Te-mos, então:a b b b b1 5 1 5 52 3 21, ou seja, b cm e a cm5 57 14 .Portanto, o comprimento do retângulo maior é 4 28b 5 e sua área é 588 cm2 (21 28 5883 5 ).

11 Resposta: (A) Olhando o relógio do profes-sor diretamente, vemos que ele marca 2h23min, de acor-do com a figura (1). Com a reflexão no espelho, o relógio aparecerá como na figura (2).

97

12 Resposta: (C) Traçando paralelas aos lados, podemos dividir a placa em quadrados de 1 metro de lado, conforme indicado na figura. Então, a área pintada é igual a 12 metades desses quadrados, ou seja, ela equiva-le a 6 desses quadrados. Como a placa total tem 16 desses quadrados, concluímos que a fração da área

pintada em relação à área da placa é: 6

1638

5 .

13 Resposta: (B)

A transparência é igual a 0,7 3 0,9 5 0,63. Logo, a re-dução da radiação é 37% (1 2 0,63 5 0,37 5 37%).

14 Resposta: (B)Como ABC e DEF são triângulos equiláteros, seus ângulos internos medem 60º. No triângulo AGD: m(GÂD em(GDA

)ˆ )

5

5

180 75 60 45180 65 60

° ° ° °° ° °

2 2 5

2 2 5555°Portanto, m(AGD)ˆ 5 2 2 5180 45 55 80° ° ° ° e no tri-ângulo CGH: x x1 1 5 580 60 180 40° ° ° ⇔ °

15 Resposta: (B) Para fazer uma peça, são necessários 45 centímetros (3 10 3 5 453 1 3 5 ) de arame. Como 20 metros 5 5 2 000 centímetros, e 2 000 dividido por 45 dá quo-ciente 44 e resto 20, o serralheiro irá fazer 44 peças completas, ficando com uma sobra de 20 centíme-tros, o que lhe possibilitará fazer as duas primeiras

partes de uma peça, na forma .

16 Resposta: (B) Nas condições dadas, a distribuição dos números pelos círculos é a representada a seguir. A soma dos números escritos é 46.

17 Resposta: (D) Na primeira balança, temos 3 triângulos 1 1 cír- culo 5 6 quadrados. Na segunda, vemos 2 triân- gulos 1 4 cír culos 5 8 quadrados, ou seja, 1 triângu- lo 1 2 círculos 5 4 quadrados. Logo, 4 triângulos 1 3 círculos 5 (3 triângulos 1 1 1 círculo) 1 (1 triângulo 1 2 círculos) 5 6 quadra-dos 1 4 quadrados 5 10 quadrados.

18 Resposta: (D) Os inteiros de dois algarismos formam a sequên- cia: 10 15 16 17 24 25 36 49, ... , , ( ), , ... , , ( ), ... , ( ) ... , ( ), .... ( ), ... ( ), , ... ,64 81 82 99

10 15 16 17 24 25 36 49, ... , , ( ), , ... , , ( ), ... , ( ) ... , ( ), .... ( ), ... ( ), , ... ,64 81 82 99 em que os números entre parênte-ses são quadrados perfeitos. O espaçamento entre esses quadrados é crescente: de 16 a 25 há 10 nú-meros, de 25 a 36 há 12 números, de 36 a 49 há 14 números etc. Portanto, o único conjunto de 10 números dessa sequência contendo dois qua-drados perfeitos é 16, 17, ..., 25. Note que, se come-çarmos antes de 16, a sequência de dez números terminará antes do 25, e se começarmos depois do 16, a sequência de dez números conterá somente um quadrado perfeito. A soma dos extremos desse conjunto é 41 (16 1 25 5 41).

19 Resposta: (C) Como 365 dividido por 7 dá quociente 52 e resto 1, e 366 dividido por 7 dá o mesmo quociente e resto 2, em um ano, bissexto ou não, há no máximo 53 do-mingos. Um mês tem entre 28 4 75 ? e 31 4 7 35 ? 1 dias, então todo mês tem 4 ou 5 domingos. Como 53 dividido por 12 dá quociente 4 e resto 5, há no máximo 5 meses com 5 domingos. Um exemplo de ano com cinco meses com cinco domingos é um ano iniciado no domingo.

20 Resposta: (C) Observe que as cinco casas marcadas com * devem ter cores diferentes:

* *

*

* *

Sendo 1, 2, 3, 4 e 5 cores distintas, uma possível co-loração é:

2 4 3

4 1 2

5 2 4

SEGUNDA FASE 2 parte A• • • • • •

1 Resposta:O tanque contém uma mistura de 30 litros, sendo 6 litros (0 2 30 6, 3 5 ) de álcool e 24 litros (30 2 6 5 5 24) de gasolina. Portanto, para que as quantidades de gasolina e álcool fiquem iguais, devem ser coloca-dos no tanque 18 litros (24 2 6 5 18) de álcool.

98

2 Resposta:Como 2 é a média aritmética de 1 e a, podemos

escrever 1

22

15

a, logo 1 4 31 5 5a a⇔ ; por-

tanto, b 51 2 3

32

1 15 ; c 5

1 3 2 24

21 1 1

5 ;

d 51 1 1 1

51 3 2 2 2

52. Esses exemplos suge-

rem que todos os termos, a partir do terceiro, são iguais a 2. De fato, quando introduzimos em uma sequência um termo igual à média de todos os ter-mos da sequência, a média da nova sequência é a mesma que a da sequência anterior. Assim, o último termo da sequência dada é 2.

3 Resposta:Natasha pulou os números 13, 31, 113, 130, 131, 132, ..., 139, num total de 13 números. Portanto, na última página do seu diário escreveu o número 214 (200 11 13 1 1 5 214).

4 Resposta:Olhando para o último número da fila n, vemos que ele é a soma de todos os números de 1 a n. Por exemplo, na fila 4, o último número da fila é 10 (1 1 1 2 1 3 1 4 5 10). Note que, para obter a quanti-dade de números até certa fila, basta somar o nú-mero da fila ao total de números que havia antes dessa fila. Assim, temos, fila 5: 15, fila 6: 21, fila 7: 28, fila 8: 36, fila 9: 45, fila 10: 55, fila 11: 66, fila 12: 78, fila 13: 91, fila 14: 105. O número de fitas adesivas horizontais entre uma fila n 2 1 e uma fila n é igual a n 2 1, e o número de fitas adesivas verticais numa fila n é igual n 2 1. Por-tanto, até a fila número 14, o número de fitas é 182:

1 2 13 1 2 13 213 14

21 1 1 1 1 1 1 5 ?

?5... ...( ) ( ) 182

5 Resposta:Todas as faces azuis: uma maneira. Cinco faces azuis e uma amarela: uma maneira.Quatro faces azuis e duas amarelas: duas maneiras (duas faces amarelas opostas ou duas faces amare-las adjacentes).Três faces azuis e três faces amarelas: duas maneiras (três azuis com um vértice comum 2 uma maneira ou três azuis com uma aresta comum duas a duas 2 uma maneira).Duas faces azuis e quatro amarelas: duas maneiras.Uma face azul e cinco amarelas: uma maneira.Todas as faces amarelas: uma maneira.Portanto, o número de maneiras diferentes de pin-tar o cubo é 10.

6 Resposta:Sejam a, b e c as medidas da caixa, conforme indica-do no desenho a seguir.Segundo o enunciado, podemos escrever ab 5 600, ac 5 1 200 e bc 5 800. Sabemos que o volume da caixa é abc. Utilizando as propriedades das igualda-des e de potências, podemos escrever:

ab ac bca b c

( ) ( ) ( ) ⇔⇔

? ? 5 ? ?

? ? ? ? ?

600 1 200 8002 3 10 22 2 2 25 22 2 3 2

2 6 2 6 6 2 6

3 10 2 10

2 3 10 2 3 10

? ? ? ?

5 ? ? ? ?

⇔

⇔ ( ) ⇔abc abc5 ⇔⇔⇔ abc cm52 3 10 24 1 0003 3 3? ? 5 ?

Como 1 litro é igual a 1 000 cm3, concluímos que o volume da caixa é 24 litros.

SEGUNDA FASE 2 parte B• • • • • •

1 Resposta:1a maneira: O quadrado IJKL e o quadrado MNOP têm como lados as hipotenusas dos triângulos re-tângulos dados, logo, têm a mesma área s. Fazendo os dois quadrados coincidirem, concluímos que o dobro da soma t das áreas dos quatro triângulos re-tângulos é a diferença entre as áreas dos quadrados IJKL e EFGH, ou seja, 2 9 3 2 72 362 2t t t5 2 5 5⇔ ⇔ . Assim, s 5 45 cm2 (9 1 36 5 81 2 36 5 45).

2a maneira: No quadrado IJKL, seja JC 5 x. Então IC 5 ID 1 DC 5 JC 1 DC 5 x 1 3. Então, no quadrado EFGH, temos HN NG x x x x1 5 1 1 5 5 53 9 2 6 3⇔ ⇔

HN NG x x x x1 5 1 1 5 5 53 9 2 6 3⇔ ⇔ . Portanto, a área do quadrado IJKL, igual à soma das áreas dos quatro triângulos re-tângulos com a área do quadrado ABCD, vale 45:

43 3 3

23 36 9 452?

? 11 5 1 5

( ), e a área do quadra-

do MNOP, igual à diferença entre a área do quadra-do EFGH e a soma das áreas dos quatro triângulos retângulos, vale 45 cm2:

9 43 3 3

281 36 452 2 ?

? 15 2 5

( ).

2 Resposta:Seja n 5 abc múltiplo de 11; então n 2 1 deve ser múltiplo de 9 e n 2 2 deve ser múltiplo de 7.Seja c0:Como abc é múltiplo de 11, podemos ter a b c ou a b c2 1 5 2 1 50 11. Como abc 2 1 é múlti plo de 9, podemos ter a b c ou a b c1 1 2 5 1 1 2 51 9 1 18

a b c ou a b c1 1 2 5 1 1 2 51 9 1 18. No caso de a b c1 1 521 0, tería-mos n n2 5 51 99 100⇔ , que não é múltiplo de 11. Assim, simultaneamente, somente podemos ter:

( )i a b c 10a c b

2b 10a c b

b 5a c 5

1 1 51 5

51 5

51 5{ ⇔ { ⇔ {

ou

( )ii a b c 19a c b 11

2b 11 19a c b 11

b 4a c

1 1 51 5 1

1 51 5 1

51 5{ ⇔ { ⇔

115{

ac

b

99

No caso (i), existem as seguintes possibilidades para n: 154, 253, 352, 451, que são múltiplos de 11; para n 2 1, temos os números 153, 252, 351, 450 e 549, que são múltiplos de 9. Para os números n 2 2, te-mos 152, 251, 350, 449 e 548, dos quais apenas 350 é múltiplo de 7. No caso (ii) existem as seguintes possibilidades para n: 649, 748, 847 e 946, que são múltiplos de 11; para n 2 1, temos os números 648, 747, 846 e 945, que são múltiplos de 9. Para os números n 2 2, temos 647, 746, 845 e 944, dos quais nenhum é múltiplo de 7.Seja c 5 0:Neste caso, n 2 1 tem os algarismos a, b, 21 e 9. Assim, a b ou a b1 2 1 5 1 2 1 51 9 9 1 9 18, ou seja: a b ou a b1 5 1 51 10.Como a b c a b ou a b c a b2 1 5 2 5 2 1 5 2 50 11, concluímos que a 5 b. Assim, a 5 b 5 5, o que forne-ce os números n 5 550, n 21 5 549 e n 2 2 5 548, que não é divisível por 7. Portanto, a única sequência de três números intei-ros consecutivos nas condições dadas é 350, 351 e 352.

3 Respostas:1a maneira:a) Podemos representar uma sequência válida

como uma sequência de pares ordenados. O primeiro exemplo é a sequência [(1, 1),(1, 2), (2, 2),(2, 3),(3, 3),(3, 1)] e, a partir dela, podemos criar outras sequências válidas movendo o par da esquerda para a direita (ou da direita para a esquerda). Assim, são válidas as sequências [(1, 2), (2, 2),(2, 3),(3, 3),(3, 1),(1, 1)], [(2, 2),(2, 3),(3, 3), (3, 1),(1, 1), (1, 2)] etc., num total de 6 sequências diferentes. Mudando a posição dos números dos pares ordenados, podemos criar outras 6 sequên cias: [(2, 1), (1, 1), (1, 3), (3, 3),(3, 2),(2, 2)], [(1, 1), (1, 3), (3, 3),(3, 2),(2, 2), (2, 1)] etc. Portanto, de acordo com as regras dadas, há 12 modos de colocar as peças em sequência.

2a maneira:b) As pontas devem ter o mesmo número, pois eles

aparecem um número par de vezes (se aparecer um número numa ponta e outro na outra, então há pelo menos dois números que aparecem um número ímpar de vezes, o que não ocorre). Algu-ma peça com dois números iguais deve aparecer em uma das pontas, pois do contrário teríamos três das quatro peças centrais com duas iguais, vizinhas, o que é impossível). Sendo assim, a se- quência pode ser representada por XX-XY-YY- -YZ-ZZ-ZX, em que temos três possibilidades para X, duas possibilidades para Y, e uma possibilidade para Z, num total de 6 possibilidades (3 ? 2 ? 1 5 6) para a sequência que começa com uma dupla. Se a sequência terminar com uma dupla, teremos novamente 6 possibilidades. Portanto, há 12 mo-dos de colocar as seis peças em sequência.

c) Para cada número, existem 4 peças. Por exem-plo, as peças com o número 1 estão desenhadas

ao lado. O nú-mero de vezes em que aparece o número 1 é ímpar, logo, a sequência deveria começar com 1 e terminar com outro número ou começar com outro número e terminar com 1. Nesse caso, os outros dois números deveriam aparecer um nú-mero par de vezes, pois não estariam na ponta, mas isso não ocorre: todos os quatro números aparecem um número ímpar de vezes.




AM 2 AL 2 BA 2 PA 2 PB 2 PI 2 PR2 RS 2 RN 2 SC

1 Resposta: (D) Pela promoção, quem levar 2 unidades paga pelo preço de 1,5 unidade, logo, quem levar 4 unidades paga pelo preço de 3 unidades, ou seja, leva quatro e paga três.

2 Resposta: (B) A transparência é igual a 0,63 (0,7 3 0,9 5 0,63). Logo, a redução da radiação é 37% (1 2 0,63 5 0,37 5 5 37%).

3 Resposta: (E) A partir da figura, vemos que o comprimento a dos retângulos menores é o dobro da sua largura b. Temos, então, que a b b b b1 5 1 5 52 3 21, ou seja, b cm e a cm5 57 14 .Portanto, o comprimento do retângulo maior é 4 28b5 e sua área é 588 cm2 (21 28 5883 5 ).

4 Resposta: (E) Arnaldo: 1 bilhão

(1 000 000 1 000 000 1 000 000 000 0003 5 ) Professor Piraldo: 1 bilhão

(1 000 1 000 000 1 000 000 0003 5 )A diferença é 999 000 000 000(1 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 0002 5999 )

5 Resposta: (D) Em 600 números inteiros consecutivos positivos,

há 200 múltiplos de 3 600

32005( ) e 150 múltiplos

de 4 600

41505( ); entretanto, alguns desses núme-

ros aparecem duas vezes nessa contagem, pois são múltiplos dos dois números, ou seja, são múltiplos

de 12. Como há 50 60012

505( ) desses múltiplos,

concluímos que o número de páginas com defeito é 300 (200 150 50 3001 2 5 ).

100

15 cm

20 c

m

40 c

m

10 c

m

6 Resposta: (B) O volume de platina produzido na história é:

50 anos110 toneladas

1 ano1 000 000 g1 tonelad

? ?aa

1 cm21,45 g

1 m1 000 000 cm

m3 3

33? ? 256

50 anos110 toneladas

1 ano1 000 000 g1 tonelad

? ?aa

1 cm21,45 g

1 m1 000 000 cm

m3 3

33? ? 256 , volume próximo ao de

uma piscina, por exemplo, de 1,6 m de profundida-de, com 16 metros de largura e 10 metros de com-primento.

7 Resposta: (B) Seja x o primeiro termo. Como o segundo termo é 1, o terceiro termo é x11, o quarto é 1 1 21 1 5 1x x( ) .Como o quinto termo é 2005:( ) ( )x x x x x1 1 1 5 1 5 5 51 2 2 3 2 005 2 2 002 1001⇔ ⇔Logo, o sexto termo é: ( ) ( )x x x1 1 1 5 1 5 ? 1 52 2 3 3 5 3 1 001 5 3 008

8 Resposta: (D) Na primeira balança temos 3 triângulos 1 1 círculo 5 5 6 quadrados. Na segunda, vemos 2 triângulos 1 1 4 círculos 5 8 quadrados, ou seja, 1 triângulo 1 1 2 círculos 5 4 quadrados. Logo, 4 triângulos 1 3 círculos 5 (3 triângulos 1 1 1 círculo) 1 (1 triângulo 1 2 círculos) 5 6 quadra-dos 1 4 quadrados 5 10 quadrados.

9 Resposta: (A) Sejam x e 13 2 x a quantidade de números negati-vos e positivos, respectivamente. Assim, há x(13 2 x) pares de números com produto negativo. Logo, x x x x x ou x( )13 22 13 22 0 2 1122 5 2 5 5⇔ ⇔1 5

x x x x x ou x( )13 22 13 22 0 2 1122 5 2 5 5⇔ ⇔1 5 . Como há mais positivos que negativos, há 2 núme-ros negativos.

10 Resposta: (B) A caixa terá dimensões 20 cm 3 15 cm 3 10 cm. Logo, seu volume será igual a 3 000 cm2 (20 3 15 3 3 10 5 3 000).

11 Resposta: (D) Temos:

a b c a b a ca bc a ab ac bca a b c

1 3 1 3 11 1 1 1

1 1

( ) ( ) ( )

(

55

2

⇔⇔ ⇔⇔

2

11 00 1

)55 5

⇔⇔ a ou a b c1 1

Tomando a 5 1 e b 5 c 5 0, vemos que as demais alternativas estão incorretas.

12 Resposta: (A) Se P é a fração de Paulistas, entre os Paulistas e Baia-nos temos: 0,9P 1 0,1(1 2 P) 5 0,2. Logo, 0,8 P 5 0,1, ou seja, P 5 0,125 5 12,5%.

13 Resposta: (B)Como ABC e DEF são triângulos equiláteros, seus ângulos internos medem 60o. No triângulo AGD:

m GÂD em GDA

( )( ˆ )

5 2 2 5

5 2 2 5

180 75 60 45180 65 60

° ° ° °° ° ° 555°

Portanto: m AGD( ˆ )5 2 2 5180 45 55 80° ° ° °Triângulo CGH: x ° ° ° x °1 180 60 180 405 5⇔

14 Resposta: (B) Sabendo que:

O B M O BM

B MO

3 3 5 3 5 3 5240240 240⇔ ⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔O B MM

M M M ou M3 1 5 1 1 546240

46 46 240 0 6 402M5 2 5 5

⇔ ⇔ ⇔ ⇔O B MM

M M M ou M3 1 5 1 1 546240

46 46 240 0 6 402M5 2 5 5

O B M OO

O O O ou O1 3 5 1 5 164240

64 64 240 0 4 602⇔ ⇔ ⇔2 5 5 5

O B M OO

O O O ou O1 3 5 1 5 164240

64 64 240 0 4 602⇔ ⇔ ⇔2 5 5 5

Sendo O, B e M inteiros, a única possibilidade é:

O 5 4, M 5 6 e B 5 240

4 610

35

Assim: O 1 B 1 M 5 4 1 10 1 6 5 20.

15 Resposta: (B) Para fazer uma peça, são necessários 45 centímetros (3 10 3 5 453 1 3 5 ) de arame. Como 20 metros 5 5 2 000 centímetros, e 2 000 dividido por 45 dá quo-ciente 44 e resto 20, o serralheiro irá fazer 44 peças completas, ficando com uma sobra de 20 centíme-tros, que lhe possibilitarão fazer as duas primeiras

partes de uma peça, na forma .

16 Resposta: (C) Como 365 dividido por 7 dá quociente 52 e resto 1, e 366 dividido por 7 dá o mesmo quociente e resto 2, em um ano, bissexto ou não, há no máximo 53 do-mingos. Um mês tem entre 28 4 75 ? e 31 4 7 35 ? 1 dias, então todo mês tem 4 ou 5 domingos. Como 53 dividido por 12 dá quociente 4 e resto 5, há no máximo 5 meses com 5 domingos. Um exemplo de ano com cinco meses com cinco domingos é um iniciado no domingo.

101

a

br

2r

L

M

NP QRα

α

α

180o–2α

17 Resposta: (D) Os números em questão são 12, 23, 34, 45, …, 89 (8 números), 123, 234, 345, …, 789 (7 números), 1 234, 2 345, …, 6 789 (6 números) e, por fim, 12 345, num total de 22 números (8 1 7 1 6 1 1 5 22).

18 Alternativa anulada. Resposta: (C) e (D)O tempo de percurso é minimizado quando se trafega o maior trecho a velocidades maiores e o menor trecho a velocidades menores, e maximiza-do quando se trafega o maior trecho a velocidades menores e o menor trecho a velocidades maiores. Assim, o tempo total gasto pelo piloto nos três tre-

chos é no mínimo 15 horas 24040

30075

40080

151 1 5( )

e no máximo 17 horas 24080

30075

40040

171 1 5( ). As-

sim, as respostas C e D estão corretas.

19 Resposta: (C)A área a é igual à área de um círculo de raio r, ou seja, a r5 2. A área b é igual à área de um quarto de cír-culo de raio 3r subtraída de duas vezes a área de um se-micírculo de raio r e da área de um quarto de círculo de raio r. Logo:

b r r r r5 2 2 514

3 212

14

2 2 2 2? ? ? ?( ) .

Portanto: ab

rr

5

52

2 1

20 Resposta: (C) Suponha que haja alunos de 4 ou mais nacionalida-des entre os 9 alunos da classe. Se escolhermos um aluno de cada nacionalidade, não haverá dois alu-nos de mesma nacionalidade, o que é um absurdo. Logo, há alunos de, no máximo, 3 nacionalidades.Da mesma forma, entre os 9 alunos não há 4 de mesma nacionalidade, pois, se houvesse, podería-mos formar um grupo de 5 alunos com mais de 3 alunos de mesma nacionalidade. Logo, há no má-ximo 3 alunos de cada nacionalidade.Como há 9 alunos, no máximo 3 nacionalidades e no máximo 3 alunos por nacionalidade, há exatamente 3 nacionalidades e 3 alunos de cada nacionalidade. Em particular, há 3 alunos brasileiros.

21 Alternativa anulada. Resposta: Vamos calcular o número de plins no intervalo (12h, 0h), e descontar os plins que ocorreram no último segundo depois.Seja w a velocidade angular do ponteiro das horas. Então as velocidades angulares dos ponteiros dos minutos e dos segundos são 12w e 720w. Vamos contar o número de plins entre cada par de pon-teiros: Minutos/Horas: Do referencial do ponteiro

das horas, ele está parado e o ponteiro dos minutos roda com velocidade angular 11w [*]. Como os dois começam juntos, e um ponteiro rodando a w com-pleta uma volta no período, o ponteiro dos minutos completa 11 voltas nas 12 horas do problema. Logo há 11 plins gerados por encontros deste tipo.Segundos/Horas: A velocidade relativa é 720w 2 w 5 5 719w, logo há 719 plins.Segundos/Minutos: A velocidade relativa é 720w 2 2 12w 5 708w, logo há 708 plins.Logo, no total, há 1 438 plins (11 1 719 1 708 5 1 438). Descontando os três plins ocorridos às 0h, há, no to-tal, 1 435 plins no período de 12h1s a 23h59min59s.

22 Alternativa anulada. Solução: (Esmeralda confundiu-se, digitando 60o onde deveria ser 60o. )

Como a reta PQ é tangente à circunferência, os ângu-los LNP e LMN são congruentes, ou seja, m(LMN) 5 5 a. Sendo o triângulo LMN isósceles com LM 5 LN, os ângulos LNM e LMN são congruentes, e, portanto, m(MLN) 5 180o 2 m(LNM) 2 m(LMN) 5 180o 2 2a.O ângulo LNP é externo do triângulo LNR, logo, m(LNP) 5 m(NLR) 1 m(LRN), ou seja, a 5 180o 2 2a 1 1 m(LRP) m(LRP) 5 3a 2 180o.

23 Resposta: (C)

Como x y x y1 12

12

2 e x é inteiro positivo,

x y x y

x y x y

x y x

1 2 5

1 2 5

1 2 1

12

12

1

12

12

1

12

21

2

2

2

⇔

⇔

⇔

⇔22

12

12

1

2 1 214

4 4 1 42 2 2

y x y x y

x x y x x x y y

2 2

2 2 2 2

1 5

5 1 5

⇔

⇔ ⇔ ⇔ 55 4 1x2

A única alternativa que contém um número da for-ma 4x 2 1 é a alternativa C.

24 Resposta: (B) Nas condições dadas, a distribuição dos números pelos círculos é a representada a seguir. A soma dos números escritos é 46.

L

M

NP R

180o 2 2

Q

8

6

102

a b

c d s

s

s

s

A M B

O Q

N

D P C

25 Resposta: (B) Note que giramos o bloco 5 vezes. Indicaremos os quadradinhos em contato com o bloco após o i-ésimo giro com o número i. Os quadradinhos em contato com o bloco na sua posição inicial estão indicados com o número zero.

0

4 4 0/4 3 3

5 5 1/5 2 2

5 5 1/5 2 2

1 2 2

Contando, observamos que o bloco esteve em con-tato com 19 quadradinhos do tabuleiro.


1 Resposta:Natasha pulou os números 13, 31, 113, 130, 131, 132, ..., 139, num total de 13 números. Portanto, na última página do seu diário escreveu o número 214 (200 1 1 13 1 1 5 214).

2 Resposta:Sejam x e y o maior e o menor catetos, respecti-vamente, do triângulo retângulo. Como o lado do quadrado ABCD mede 3 cm, temos x 2 y 5 3. Por outro lado, como o lado de EFGH mede 9 cm, temos x 1 y 5 9. Resolvendo o sistema, encontramos x 5 6 e y 5 3. Logo, o lado do quadrado IJKL, que é a hipotenusa do triângulo retângulo, mede

6 3 45 3 52 21 5 5 cm.

Outra solução: O quadrado IJKL e o quadrado MNOP têm como lados as hipotenusas dos triângulos retângulos dados, logo têm a mesma área s. Fazendo os dois quadrados coincidirem, concluímos que o dobro da soma t das áreas dos quatro triângulos retângulos é a diferença entre as áreas dos quadrados IJKL e EFGH, ou seja, 2t 5 92 2 32 , o que fornece t 5 36. Assim, s 5 9 1 36 5 81 2 36 5 45 cm2 e o lado do quadrado IJKL é 45 3 55 cm. [A resposta não é um número inteiro. Todos os alunos devem receber 4 pontos].

3 Resposta:Olhando para o último número da fila n, vemos que ele é a soma de todos os números de 1 a n: por exemplo, na fila 4, o último número da fila é 1 1 2 1 3 1 4 5 10. Note que para obter a quanti-

dade de números até certa fila, basta somar o nú-mero da fila ao total de números que havia antes dessa fila. Assim, temos, fila 5: 15, fila 6: 21, fila 7: 28, fila 8: 36, fila 9: 45, fila 10: 55, fila 11: 66, fila 12: 78, fila 13: 91, fila 14: 105. O número de fitas adesivas horizontais entre uma fila n 2 1 e uma fila n é igual a n 2 1 e o número de fitas adesivas verticais numa fila n é igual n 2 1. Por-tanto, até a fila número 14, o número de fitas é 182:

1 2 13 1 2 13 22

1821 1 1 1 1 1 1 5 ? 5... ...( ) ( ) 13 14?

4 Respostas:Primeira solução: Unindo os pontos médios de lados consecutivos do quadrilátero, obtemos seg-mentos paralelos às suas diagonais e iguais à me-tade delas. Portanto, o quadrilátero assim obtido é um paralelogramo. Os segmentos traçados dividem cada um dos quatro lotes em duas partes. Todas as

partes internas têm a mesma área s, igual a 14

da

área do paralelogramo. Cada uma das partes exter-

nas tem área igual a 14

do triângulo determinado

pela diagonal correspondente. Assim, a 1 c é igual à metade da área do quadrilátero, o mesmo ocorren-do com b 1 c. Daí, a 1 s 1 c 1 s 5 b 1 s 1 d 1 s. Portanto, a área S desconhecida satisfaz S 1 210 5 5 200 1 250, ou seja, S 5 240.

Segunda solução: Ligando o ponto de interseção das retas que representam as duas cercas aos vér-tices, obtemos:

Observemos que, como AQ 5 QD e as alturas de OAQ e OQD que passam por O são iguais, as áreas de OAQ e OQD são iguais.Analogamente, as áreas de OAM e OMB; OBN e ONC; OCP e OPD são iguais. Logo, área OAQ 1 área OAM 1 1 área OCP 1 área ONC 5 área OQD 1 área OMB 1 1 área OPD 1 área OBN área AMOQ 1 1 área CNOP 5 área DPOQ 1 área BMON

área AMOQ 5 200 1 250 2 210 5 240.

BMA

Q

D P C

NO

250

200 210

O

103

A B

C D

M

N α

β 27o

x

5 Resposta:Como a 1 3 é múltiplo de 11, a 1 3 5 11b, b . Sendo a múltiplo de 5, a b b2 5 210 3 também é, de modo que b 2 3 5 5c ⇔ ⇔ ∈ +b c a c c c5 5 2 55 3 11 5 3 3 55 30 21 1 1( ) ,

⇔ ⇔ ∈ +b c a c c c5 5 2 55 3 11 5 3 3 55 30 21 1 1( ) , . O número a 1 2 é múltiplo de 9, assim como a 1 2 2 54c 2 36 5 c 2 4. Portanto, c d c d a d d d2 5 1 1 1 14 9 9 4 55 9 4 30 495 250⇔ ⇔ ∈5 5 5( ) , .

c d c d a d d d2 5 1 1 1 14 9 9 4 55 9 4 30 495 250⇔ ⇔ ∈5 5 5( ) , . Por fim, sendo a 1 1 múltiplo de 7, então a 1 1 2 497d 2 245 5 a 1 1 2 7 (71d 1 1 35) 5 22d 1 6 5 22(d 2 3) também é, ou seja, d 2 3 5 7k ⇔ ∈d k k57 31 , e a k t5 1 1 5 1495 7 3 250 3 465 1 735( )

a k t5 1 1 5 1495 7 3 250 3 465 1 735( ) . Logo, o menor valor de a é 1 735.


1 Resposta: Vamos representar por A, G e L a quantidade de questões de Álgebra, Geometria e Lógica da prova, e por a, g e l as questões respondidas acertadamen-te em cada uma dessas áreas. As condições do pro-blema fornecem as seguintes equações:aA

0,5gG

0,7L

0,8aA L

0,62gG L

0,745 5 511

511

5; ; ; ;

Substituindo as relações expressas pelas três pri-meiras equações nas outras duas, obtemos:

0 5 0 80 12 0 18

32

, ,, ,

A LL

A L AL1

15 5 5

A0,62 ⇒ ⇒

0 7 0 80 74 0 04 0 06

32

, ,, , ,

G LG L

G L GL1

15 5 5⇒ ⇒

A porcentagem de questões acertadas é 65%:

a gA G L

A G LA G L

1 11 1

1 1 1 1

5 5

0 5 0 7 0 8, , ,

55 5 50 5

32

0 732

0 8

32

32

2 64

0 65 65, , ,

,, %

? 1 ? 1

1 15

L L L

L L L

2 Resposta:

Vamos denotar por A, B, C e D os vértices do quadra-do e por MN o corte efetuado. Como CM 1 CN 5 5 BC 5 CD, resulta que BM 5 CN e DN 5 MC. Em con-sequência, os triângulos ADN e DCM são congruen-tes, o mesmo ocorrendo com ABM e BCN (em cada caso, os triângulos são retângulos e possuem cate-tos iguais). Logo, DÂN 5 CDM 5 a e BÂM 5 CBN 5 5 . Assim, a 1 1 27o 5 90o e a 1 5 63o.

3 Resposta:a) x2 2 9xy 1 8y2 5 x2 2 xy 2 8xy 1 8y2 5 x(x 2 y) 2

2 8y (x 2 y) 5 (x 2 8y)(x 2 y). Alternativamente, as raízes da equação do 2o grau

x2 2 9xy 1 8y2, de incógnita x, são y e 8y. Logo, x2 2 9xy 1 8y2 fatora em (x 2 8y)(x 2 y).

b) A equação a ser resolvida é (x 2 y)(8y 2 x) 5 5 2005 (*)

Observemos que a fatoração em primos de 2005 é 5 ? 401.

Além disso, a soma dos fatores x 2 y e 8y 2 x é 7y, que é múltiplo de 7. A soma dos fatores é 406, sendo que somente 406 é múltiplo de 7. Assim:

(*)

x y e y xou

x y

2 2

2

5 5

5

5 8 401

401 e y xou

x y e y x

8 5

5 8 4

2

2 2 2 2

5

5 5 001

401 8 5ou

x y e y x2 2 252 5

⇔

x e you

x e y

5 5

5 5

63 58

459 58ou

x e y5 52 263 58ou

x e y52 5459 582

As soluções são, portanto: (63; 58), (459; 58), (263; 258) e (2459; 258).

Outra solução:Observando a equação dada como uma equação do segundo grau em x, obtemos:x2 2 9yx 1 8y2 1 2 005 5 0 (*), cujo discriminante é:D 5 (9y)2 2 4(8y2 1 2 005) 5 49y2 2 8 020

Para que (*) admita soluções inteiras, seu discrimi-nante deve ser um quadrado perfeito. Portanto:49y2 2 8 020 5 m2 (7y 2 m)(7y 1 m) 5 8 020 5 5 22 ? 5 ? 401 (**)

Podemos supor, sem perda de generalidade, que m > 0, pois se (m; y) é solução de (**), então (2m; y) também é. Observando também que 7y 2 m e 7y 1 m têm a mesma paridade e y 2 m < 7y 1 m, então podemos dividir o problema em 4 casos:• 7y2 m 5 2 e 7y 1 m 5 4 010

m 5 2004 e y 5 2 006

7, impossível;

• 7y2 m 5 10 e 7y 1 m 5 802 m 5 396 e y 5 58;• 7y2 m 5 2802 e 7y 1 m 5 210 m 5 396 e y 5 258;• 7y2 m 5 24 010 e 7y 1 m 5 22

m 5 2 004 e y 5 2 2 006

7, impossível.

Se y 5 58, as soluções em x de (*) são:9

29 58 396

2459

y m15

15

? e

92

9 58 3962

63y m2

52

5?

Se y 5 258, as soluções em x de (*) são:

92

9 58 3962

63y m1 2 1

25?

5( )

e 9

29 58 396

2459

y m25

2 25

?2

( )

Logo, as soluções são: (63; 58), (459; 58), (263; 258) e (2459; 258)

104

4 Respostas:1a maneira:a) Podemos representar uma sequência válida

como uma sequência de pares ordenados. O primeiro exemplo é a sequência [(1, 1),(1, 2), (2, 2),(2, 3),(3, 3),(3, 1)] e, a partir dela, podemos criar outras sequências válidas movendo o par da esquerda para a direita (ou da direita para a esquerda). Assim, são válidas as sequências [(1, 2), (2, 2),(2, 3),(3, 3),(3, 1),(1, 1)], [(2, 2),(2, 3),(3, 3), (3, 1),(1, 1), (1, 2)] etc. num total de 6 sequências diferentes. Mudando a posição dos números dos pares ordenados, podemos criar outras 6 se-quências: [(2, 1), (1, 1), (1, 3), (3, 3),(3, 2),(2, 2)], [(1, 1), (1, 3), (3, 3),(3, 2),(2, 2), (2, 1)] etc. Portanto, de acor-do com as regras dadas, há 12 modos de colocar as peças em sequência.

2a maneira:a) As pontas devem ter o mesmo número, pois eles

aparecem um número par de vezes (se aparecer um número numa ponta e outro na outra, então há pelo menos dois números que aparecem um número ímpar de vezes, o que não ocorre). Algu-ma peça com dois números iguais deve aparecer em uma das pontas, pois do contrário teríamos três das quatro peças centrais com duas iguais,

vizinhas, o que é impossível). Sendo assim, a se-quência pode ser representada por XX-XY-YY--YZ-ZZ-ZX, com três possibilidades para X, duas possibilidades para Y, e uma possibilidade para Z, num total de 6 possibilidades (3 ? 2 ? 1 5 6) para a sequência que começa com uma dupla. Se a sequência terminar com uma dupla, teremos no-vamente 6 possibilidades. Portanto, há 12 modos de colocar as seis peças em sequência.

b) Para cada número, existem 4 peças. Por exem-plo, as peças com o número 1 estão desenhadas abaixo. O número de vezes em que aparece o nú-mero 1 é ímpar, logo a sequência deveria começar com 1 e terminar com outro número ou começar com outro número e terminar com 1. Nesse caso, os outros dois números deveriam aparecer um número par de vezes, pois não estariam na pon-ta, mas isso não ocorre: todos os quatro números aparecem um número ímpar de vezes.

105

B

CD A

E

XXVI OLIMPÍADABRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2004



1a. Fase Olimpíada Regional

AL – BA – ES – GO – PI – PA – PE – RN – RS – SC


1 Resposta: (B) 1 997 1 2 004 1 2 996 1 4 003 5 (1 997 1 4 003) 1 1 (2 004 1 2 996) 5 6 000 1 5 000 5 11 000

2 Resposta: (E) 17 3 61 é produto de dois ímpares; logo, é ímpar. Os demais resultados são números pares.

3 Resposta: (A)

26 1 26 1 26 1 26 2 44 5 4 3 26 2 44 5 4 3 43 2 44 5 5 44 2 44 5 0

4 Resposta: (B) 20% de 40 5 0,2 3 40 5 8

5 Resposta: (D)

2 004 2 0042 004 2 004 2 004

2 2 0043 2 004

23

11 1

5??

5

6 Resposta: (B) 57 1 31 5 88 alunos; 88 ; 2 5 44 alunos para cada ônibus. Devem passar do primeiro para o segundo ônibus 13 alunos (57 2 44 5 13).

7 Resposta: (A)

237 5 31 3 7 1 20. Como o resto é 20, faltam 11 unidades (31 2 20 5 11) para a divisão por 31 ser exata. De fato: 237 1 11 5 248 e 248 ; 31 5 8. Logo, ela precisa conseguir 11 balas ou 42 ou 73 etc. No mínimo, 11.

8 Resposta:Há 10 metades de quadrados e 3 quadrados intei

ros, ou seja, 8 quadrados sombreados: 8

1849

5 .

9 Resposta: (C)

10,00 2 2,50 5 7,50

7 500 10

75010

75,,

5 5

75 3 100 5 7 500 metros 5 7,5 km

10 Resposta: (C) Nas figuras, basta ver se nos retângulos menores a linha tracejada é metade do perímetro. Isso não ocorre na figura onde a linha tracejada é menor que a metade.

11 Resposta: (D) Os divisores de 108 também são os quocientes da divisão de 108 por eles: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54 e 108.Temos:

1082

54108

336

1084

27108

618

1089

125 5 5 5 5; ; ; ; ;; ; ; ;6;10812

910818

10827

410836

310854

5 5 5 5 552

1082

54108

336

1084

27108

618

1089

125 5 5 5 5; ; ; ; ;; ; ; ;6;10812

910818

10827

410836

310854

5 5 5 5 552

O número de estudantes por grupo pode ser, então, 6, 9, 12 ou 18.

12 Resposta: (B)O estado A pode ser pintado de 3 formas: verde, azul ou amarelo. Para qualquer estado vizinho, por exemplo, o estado B, temos duas possibilidades, e os demais estados têm suas cores determinadas (1 possibilidade). Logo, podemos colorir o mapa de 6 formas (3 3 2 5 6).

13 Resposta: (D) O número de braceletes feitos pelo artesão é 72:

4 horas

6 braceletes20 minutos

4 horas18 brac

3 5 3eeletes

hora725

O auxiliar produz 8 braceletes

1hora

braceleteshora

2

165 .

Então, 72 braceletes 5

5 16braceletes

horat t h horas3 ? 5 5⇔ 72

164 5,

9 horas 1 4,5 horas 5 13 horas 30 minutos

14 Resposta: (C) 1 3 3 3 5 3 … 3 97 3 99 é múltiplo de 5 e é ímpar; logo, termina em 5.

106

5

55

55

5

A

B O

252°

A

B

O

180°

72°

2

3

4 90°

α

2

4 3

– 90°

α

3

4 2

90° α 2

4

3

90° α

4

3 2 – 90°

α

15 Resposta: (A) O lado de cada quadrado mede 5 cm.Temos:

Ou seja, o perímetro do retângulo formado é 30 cm (6 3 5 5 30).

16 Resposta: (B) Temos 252 180 72o o o5 1 , sendo o ângulo central

do pentágono igual a: 72o 760

572

oo5

17 Resposta: (C) Do gráfico, a porcentagem de loiros é 30%

100% 2 (30% 1 24% 1 16%) 5 30%. Temos, então, 360 loiros 1 200 3 30% 5 5 1 200 3 0,3 5 360.

18 Resposta: (E) Com as peças:

19 Resposta: (A) Cinco números consecutivos podem ser representados por a 2 2, a 2 1, a, a 1 1 e a 1 2 e sua soma é (a 2 2) 1 (a 2 1) 1 a 1 (a 1 1) 1 (a 1 2) 5 5a, ou seja, um múltiplo de 5, que só pode terminar em x 5 5, pois x 0.

20 Resposta: (A) As duas últimas informações podem ser reunidas no esquema abaixo:

O grampo, a moeda e a borracha estão dentro de caixas; logo, a moeda está dentro da caixa vermelha.

21 Resposta: (D) Usando 1 peso, temos 3 possibilidades: 1, 3 e 10. Colocando dois pesos num único prato, temos as seguintes possibilidades:1 1 3 5 4; 1 1 10 5 11; 3 1 10 5 13Colocando três pesos num prato, pesamos:1 1 3 1 10 5 14Colocando um peso em cada prato, temos:3 2 1 5 2; 10 2 1 5 9; 10 2 3 5 7

Colocando dois pesos num prato e um peso no outro, temos: 10 2 (1 1 3) 5 6; (10 1 1) 2 3

5 8; (10 1 3) 2 1 5 12

Os valores de n são treze: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

22 Resposta: (E) O percurso fechado ligando todas as 12 casas tem, no mínimo, 12 ruelas de ligação: 23 2 12 5 11.

23 Resposta: (B) Começando com 3 hexágonos para obter a configuração abaixo, verificamos serem necessárias 16 varetas (18 2 2 5 16), pois uma vareta pertence a dois hexágonos em duas situações. Para formar uma nova “camada”, são necessárias 11 varetas (linhas cheias no segundo desenho. Com 10 “camadas”, temos 30 hexágonos.Na última delas, devemos anexar 2 hexágonos, sendo necessárias mais 8 varetas, conforme desenho abaixo. Assim, o número total de varetas é 123

16 1 9 3 11 1 8 5 123.

24 Resposta: (C) Podemos representar esquematicamente a figura usando três segmentos perpendiculares dois a dois:

Nesse esquema, o segmento menor (2) é perpendicular ao plano a contendo os outros dois segmentos. O ângulo entre o segmento (3) e o segmento (4) é de 90° no sentido horário. Neste plano, esquematicamente, temos:

I) III)

II) IV)

As figuras I e III não representam o objeto, pois o ângulo entre os segmentos (3) e (4) é de 90o no sentido antihorário, no plano a.

107

25 Resposta: (D) 1 real 5 275 3 107 cruzados 640 reais 5 640 3 275 3 107 5 176 3 1010 cruzados 5 5 176 3 1010 notas de 1 cz$

Mas 1 5

100 176 1010

, cm de alturanotas de 1cz$

xnot

53 aas de 1cz$

⇔

⇔ xcm

cm

km

5 5 5

5 5

1 5 176 1010

264 10

264 10 264 00

10

28

3

, 3 33

3 00 km


1 Resposta:O quociente da divisão de 102 por 3 é 34, de 1 002 por 3 é 334, de 10 002 por 3 é 3 334 etc. Assim, o quociente da divisão de 10...02, com vinte algarismos zero, por 3, é igual a 33... 34, com vinte algarismos três. Logo, a soma dos algarismos do quociente é 64 20 3 3 1 4 5 64.

2 Resposta:a b e a c1 5 1 534 33; logo; b c2 51. Como b e c são primos, concluímos que b 5 3 e c 5 2. Dessa forma, a b5 2 5 2 534 34 3 31, de onde vem: a b c1 1 5 1 1 531 2 3 36

a b c1 1 5 1 1 531 2 3 36.

3 Resposta: b multiplicado por 3 dá um número terminado em 1; logo, b 5 7. Como 7 3 213 5 , concluímos que a multiplicado por 3, mais 2, ao somar com 9, deve resultar um número terminado em 0, ou seja, 3 2 9 0a1 1 5 , ou seja, a 5 3. Dessa forma, temos: a 5 3, b 5 7 e c 5 0, de onde vem a b c1 1 510.

1 3 73 7 3

4 1 19 5 9

1 0 0 0 1

4 Resposta:área retângulo ABCD área retângulo AFEG5 ?4área retângulo AFEG área retângulo AIHJ5 ?4 , logo:

área retângulo ABCD área retângulo AIHJ5 ?16

Mas: área retângulo AIHJ área triângulo AHI5 ?2

Portanto: área retângulo ABCD área triângulo AHI

área retâ5 ?32 ⇔

⇔ nngulo ABCDárea triângulo AHI

5 32

5 Resposta:São teimosos apenas os números que terminam em 0, 1, 5 e 6. A quantidade de números teimosos de 3 algarismos é 9 ? 10 ? 4 5 360 (na casa das centenas podemos escrever qualquer algarismo de

1 a 9, na casa das dezenas podemos escrever qualquer algarismo de 0 a 9 e na casa das unidades podemos escrever um dos quatro algarismos acima).

6 Resposta:A soma dos divisores é ímpar quando o número de divisores ímpares é ímpar. Isso acontece quando, por exemplo, o número tem somente um divisor primo ímpar de expoente par, na sua decomposição. Tomando os números menores do que 100, temos:99 3 1125 ? , que tem 6 divisores todos ímpares, cuja soma é par 98 2 725 ? , que tem 6 divisores (1, 7, 49, 2, 14, 98), três pares e três ímpares, portanto de soma ímpar.

7 Resposta: De 1 a 100, existem 25 múltiplos de 4; logo, 75 cartões não contêm múltiplos de 4. No pior caso possível, Esmeralda tiraria todos esses cartões antes de sair algum cartão múltiplo de 4. Assim, para ter certeza de que o número tirado seja múltiplo de 4, Esmeralda deve retirar todos eles e mais um, ou seja, 76 cartões.

8 Resposta: Podemos começar pintando uma casa da primeira linha, depois uma da segunda linha, em seguida uma da terceira e, finalmente, uma da quarta. O número de possibilidades para primeira linha é 4, para a segunda é 3 (pois uma das casas não pode ser pintada, já que a coluna com essa casa só pode ter essa casa pintada), para a terceira é 2, e para a quarta é 1. O número total de maneiras pelas quais podemos pintar o tabuleiro é 24 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24.

9 Resposta: Da frente para o fundo, a primeira, a terceira e a quinta camadas verticais têm 18 cubos brancos e 17 cubos cinza, a segunda e a quarta camadas têm 17 cubos brancos e 18 cinza. Logo, o número total de cubos brancos é 88 3 18 2 17 88? 1 ? 5 , e o número total de cubos cinza é 87 3 17 2 18 87? ?1 5 . Portanto, a massa total do bloco, em gramas, é 262 1 88 2 87 262? ?1 5 .

10 Resposta: Inicialmente, existiam 980 aves com a cauda verde e 20 das demais. Após a epidemia, essas 20 aves correspondem a 5%, donde o total de aves agora é 20 3 20 5 400 (sendo 380 da cauda verde). Portanto, morreram 600 aves.


1 Resposta:O polígono consiste na reunião de dois retângulos: um deles tem largura 10 e altura 2, e o outro tem largura 5 e altura x12. O triângulo tem catetos de medidas 15 e x12. Como a área do polígono é igual à área do triângulo, temos:

10 2 5 215 2

240 10 20 15 30 5 30 6? 1 1( )

( )x

xx x1 5

11 1 5 5 5⇔ ⇔ ⇔x x

10 2 5 215 2

240 10 20 15 30 5 30 6? 1 1( )

( )x

xx x1 5

11 1 5 5 5⇔ ⇔ ⇔x x

108

A

B O

252°

A

B

O

180°

72°

2 Resposta:a) Cada linha apresenta 1 nas colunas cujos núme

ros são múltiplos do número da linha. Assim, a linha 5 tem 1 nas colunas 5, 10, 15 etc. Até 100, existem 20 múltiplos de 5; logo, a soma dos números na linha 5 é igual a 20.

b) Cada coluna apresenta 1 no cruzamento com as linhas cujos números são divisores do número da coluna. Assim, a soma dos números da coluna 60 é igual ao número de divisores de 60. Como 60 2 3 525 3 3 , concluímos que 60 tem 12 divisores 3 ? 2 ? 2 5 12. Logo, a soma dos números da coluna 60 é 12.

3 Resposta:a) A soma total dos elementos é:

1 2 3 4 5 6 71 4 9 16 25 36 49 140

2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 55 1 1 1 1 1 1 5

Logo, cada um dos grupos deve conter elementos que somem 70.

Examinando as parcelas, vemos que 49 1 1 1 1 4 1 16 5 70.

Assim, podemos escrever, por exemplo: A 5 {12, 22, 42, 72} e B 5 {32, 52, 62}

b) Como 12 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 1 72 1 82 1 92 5 5 140 1 64 1 81 5 285 é ímpar, é impossível dividir em dois grupos de mesma soma.



AL – BA – ES – GO – PI – PA – PE – RN – RS – SC João Pessoa – PB – S. B. do Campo – SP

1 Resposta: (A) A mistura final tem 0,2 litro de polpa e 3 0 81 5, 3,8 litros de água. A porcentagem de polpa em relação

ao volume da mistura é 5% 0 24

240

0 05 5,

, % .5 5 5( ) 2 Resposta: (C)

22 264 6

22 23 24 25 264 5 6

12015

∇∇ 5

1 1 1 11 1

5 588

3 Resposta: (D) 1 real 5 275 3 107 cruzados

640 reais 5 640 3 275 3 107 5 176 3 1010 cruzados 5

5 176 3 1010 notas de 1 cz$

Mas 1 5

100 176 1010

, cm de alturanotas de 1cz$

xnotas de 1cz

53 $$

⇔

⇔ xcm

cm

km

5 5 5

5

1 5 176 1010

264 10

264 10 264 00

10

28

3

, 3 33

5 3 00 km

4 Resposta: (B) Começando com 3 hexágonos para obter a configuração abaixo, verificamos serem necessárias 16 varetas (18 2 2 5 16), pois uma vareta pertence a dois hexágonos em duas situações. Para formar uma nova “camada”, são necessárias 11 varetas (linhas cheias no segundo desenho. Com 10 “camadas”, temos 30 hexágonos.Na última delas, devemos anexar 2 hexágonos, sendo necessárias mais 8 varetas, conforme desenho abaixo. Assim, o número total de varetas é 123

16 1 9 3 11 1 8 5 123.

5 Resposta: (C) 1 3 3 3 5 3 … 3 97 3 99 é múltiplo de 5 e é ímpar; logo, termina em 5.

6 Resposta: (B)

Temos 252 180 72o o o5 1 , sendo o ângulo central do

pentágono igual a: 72o 760

572

oo5

7 Resposta: (C) Há 2 004 escolhas para a primeira bala e 2 003 para a segunda bala. Assim, podemos retirar duas balas de 2 004 2 003? maneiras, considerando a ordem em que são retiradas.Podemos retirar duas balas de banana de 1002 1001? maneiras e duas balas de maçã de 1002 1001? maneiras. Logo:

p 5? ?

?5

2 1 002 1 0012 004 2 003

1 0012 003

Podemos retirar uma bala de banana e uma bala de maçã, nessa ordem, de 1 002 1 002? maneiras, e uma bala de maçã e uma bala de banana, nessa ordem, de 1 002 1 002? maneiras.

Logo:

q 5 52 1 002 1 002

2 004 2 0031 0022 003

? ??

Logo, a diferença entre p e q é:

1 0022 003

1 0012 003

12 003

2 5

109

a

50 – a

x

.

30°

A S

V

30o

30o

60o 60o

60o

B

C

3x

4x

5x

6x

2x 3x + 4x = 7x 6x + 2x = 8x

180° – 7x

8 Resposta: (C) Sejam a e 50 2 a os lados do retângulo. A área procurada é 50 50 22 5 2a a a a( )? .

Pelo teorema de Pitágoras:

x a a x a a

a ax

2 2 2 2 2

22

50 2 500 100 2

50 12502

5 2 1 5 2

5

( ) ⇔ ⇔

⇔

1

1 2

Desse modo:

50 12502

12502

2 22

22

a a ax

ax

2 5 2 5 21 2

9 Resposta: (A) Cinco números consecutivos podem ser representados por a 2 2, a 2 1, a, a 1 1 e a 1 2 e sua soma é (a 2 2) 1 (a 2 1) 1 a 1 (a 1 1) 1 (a 1 2) 5 5a, ou seja, um múltiplo de 5, que só pode terminar em x 5 5, pois x 0.

10 Resposta: (B) Inicialmente, m2 2 2 deve ser positivo e divisor de 2 004. Os divisores de 2 004 são: 1 2 3 4 6 12 167 334 501 668 1 002, , , , , , , , , , ou 22 004

1 2 3 4 6 12 167 334 501 668 1 002, , , , , , , , , , ou 22 004. Para m inteiro positivo tal fato ocorre quando m 5 2 ou m 5 13.

11 Resposta: (D) ( )x y x xy y1 5 1 52 2 2 28 2 64⇔ 1

Logo:

x xy y x xy y xy2 2 2 26 2 4 64 4 15 1241 1 5 1 1 1 5 1 5?

12 Resposta: (B)

O raio de luz percorre o trajeto SABCBAS. Temos:

SA51 m, AC CV5 50 5, m , ACAB

ABo5 5cos 303

3m e

BCAC

tg o5 5303

6⇔ BC m

Logo, a distância percorrida pelo raio de luz é:

2 2 13

33

62 3SA AB BC1 1 5 1 1 5 1( )

m

13 Resposta: (C)

Temos: 8 180 7 5 10 180 18x x x x xo o o5 2 5 51 ⇔ ⇔

14 Resposta: (E) 2 2 4 64 2 2 2 64 2 64

2 6 3

2 2 2 2( ) ( )x x x x x

x x5 1 5 1 55 5

⇔ ⇔ ⇔⇔ ⇔

15 Resposta: (D) A soma dos algarismos de um número de três algarismos é menor ou igual a 27 e maior ou igual a 1. Logo, a soma da soma dos algarismos de um número de três algarismos é a soma dos algarismos dos números 1, 2, 3, …, 27, cujo maior valor obtido é 10.

16 Resposta: (C) Nas figuras, basta ver se nos retângulos menores a linha tracejada é metade do perímetro. Isso não ocorre na figura onde a linha tracejada é menor que a metade.

17 Resposta: (E) Os pontos que estão a 6 cm de distância do ponto P formam uma circunferência de centro P e raio 6 cm. Uma circunferência corta uma reta em, no máximo, 2 pontos. Como o quadrado é formado por 4 segmentos de reta, há no máximo 8 pontos da borda do quadrado a uma distância de 6 cm do ponto P.Tomando P como o centro do quadrado, temos um exemplo de circunferência que corta o quadrado em 8 pontos.

18 Resposta: (E) Com as peças:

19 Resposta: (C) P

13

R Q 5 F 9 . .

Pelo teorema de Pitágoras: PF2 2 25 131 5 e PQ2 2 212 9 155 1 5⇔ PQ

xa

50 2 a

S A

C

V

60o

30o

30o

60o

60o 30o

B

110

20 Resposta: (A) As duas últimas informações podem ser reunidas no esquema abaixo:

O grampo, a moeda e a borracha estão dentro de caixas; logo, a moeda está dentro da caixa vermelha.

21 Resposta: (D)

AE AF AB5 5 53 cm, m FÂD ° ° °( )5 2 590 60 30 ,

m( )FÂE ° ° °5 1 530 60 90Logo, FAE é retângulo em A e tem área:

AE AFcm

? ?2

3 32

4 5 25 5 ,

22 Resposta: (C) Inicialmente, sejam x o lado da folha e y o lado quadrado menor de lado maior que 1 cm. Como os demais 41 quadrados têm lado 1 cm, x e y são inteiros positivos. Assim: x y x y x y x y e x e2 2 41 1 41 1 41 215 1 2 1 5 2 5 1 5 5? ⇔ ⇔ ⇔( )( ) x y yy520.

x y x y x y x y e x e2 2 41 1 41 1 41 215 1 2 1 5 2 5 1 5 5? ⇔ ⇔ ⇔( )( ) x y yy520.Portanto, o lado da folha mede 21 cm.

23 Resposta: (C) Seja x o lado quadrado. Sua área é x2. Com 10% a menos de cerca, o lado quadrado passará a ser 0,9x e terá área (0,9x)2 5 0,81x2, que é 0,19 5 19% menor.

24 Resposta: (D) O número de braceletes feitos pelo artesão é 72:

4 horas

6 braceletes20 minutos

4 horas18 brac

3 5 3eeletes

hora725

O auxiliar produz 8 braceletes

1hora

braceleteshora

2

165 .

Então, 72 braceletes 5

5 16braceletes

horat t h horas3 ? 5 5⇔ 72

164 5,

9 horas 1 4,5 horas 5 13 horas 30 minutos

25 Resposta: (D) Com os dois algarismos 1 juntos, temos os números: 112 004, 211 004, 201 104, 200 114 e 200 411. Com os dois algarismos 1 separados: 121 004, 120 104, 120 014, 120 041, 210 104, 210 014, 210 041, 201 014, 201 041 e 200 141. No total, são 15 números.


1 Resposta: b multiplicado por 3 dá um número terminado em 1; logo, b 5 7. Como 7 3 213 5 , concluímos que a multiplicado por 3, mais 2, ao somar com 9, deve resultar um número terminado em 0, ou seja, 3 2 9 0a1 1 5 , ou seja, a 5 3. Dessa forma, temos:

a 5 3, b 5 7 e c 5 0, de onde vem a b c1 1 510 .

1 3 73 7 3

4 1 19 5 9

1 0 0 0 1

2 Resposta: Podemos começar pintando uma casa da primeira linha, depois uma da segunda linha, em seguida uma da terceira e, finalmente, uma da quarta. O número de possibilidades para primeira linha é 4, para a segunda é 3 (pois uma das casas não pode ser pintada, já que a coluna com essa casa só pode ter essa casa pintada), para a terceira é 2, e para a quarta é 1. O número total de maneiras pelas quais podemos pintar o tabuleiro é 24 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24.

3 Resposta:

2004 2002 1998 1996 36

2000 4 2000 2 2000

3 3 3

3 3

1 5

5 1 1 2( ) ( ) 22 2000 4 36( ) ( )3 2 1 5

5 2 1 2 1 5

5

2000 4 2000 4 2000 2 2000 2 36

20002

1 3 3 3

2

( ) ( ) ( ) ( )44 2000 2 362 2 2( ) ( )3 2 1 5

5 2 2 1 1 52000 2000 2 2000 4 2000 4 2 362 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3

5 2 1 5

5 2 5 2 5

2000 20 2000 100

2000 10 2000 10 3 999 9

4 2

2 2 2

3

( ) 990

Portanto, a soma dos algarismos é 48 3 9 9 9 9 9 0 481 1 1 1 1 51

4 Resposta: O polígono consiste na reunião de dois retângulos: um deles tem largura 10 e altura 2, e o outro tem largura 5 e altura x12. O triângulo tem catetos de medidas 15 e x12. Como a área do polígono é igual à área do triângulo, temos:

10 2 5 215 2

240 10 20 15 30 5 30

? 1

1

( )( )

xx

x x

1 51

1 1 5 5 5

⇔⇔ ⇔ ⇔x x 66

5 Resposta:O icoságono regular é inscritível em uma circunferência. Sejam A e B dois vértices diametralmente opostos do icoságono. Qualquer ponto C da circunferência, distinto de A e de B, unido com A e B formará um triângulo retângulo, conforme a figura.Para todo diâmetro cujas extremidades são dois vértices do icoságono, há 18 vértices que não são extremidades do referido diâmetro, possibilitando a formação de 18 triângulos retângulos. Como há

10 diâmetros 202

105( ) distintos, cujas extremida

des são dois vértices do icoságono, há 180 triângulos retângulos (18 10 1803 5 ).

A B

C

BA

C

111


1 Resposta: a) A soma total dos elementos é:

1 2 3 4 5 6 71 4 9 16 25 36 49 140

2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 51 1 1 1 1 1 5

+5

Logo, cada um dos grupos deve conter elementos que somem 70.

Examinando as parcelas, vemos que 49 1 1 1 4 1 116 5 70.

Assim, podemos escrever, por exemplo: A 5 {12, 22, 42, 72} e B 5 {32, 52, 62}

b) Como 12 1 22 1 32 1 42 1 52 1 62 1 72 1 82 1 92 5 5 140 1 64 1 81 5 285 é ímpar, é impossível dividir em dois grupos de mesma soma.

2 Resposta:

a) 11

11

11

11

11

1

11

11

111

1

1

22

2

5 22

2

5 22

2

5

22 2

2

5 2

xx

x

xx

x xx

5xx

x x2

21 2 5

11

1 15

b) xx x

x

xx

A B A B

B A B

→ → → →

→ →

11

1 1

11

11

11

1

11

11

22

22 2

2

→→ 11

11

11

22

2x

Como 11

11

11

22

2

5

x

x, vemos que após aper

tar 6 vezes sucessivamente, de forma alternada, as duas teclas A e B, o número que aparece no visor da calculadora volta a ser igual ao que aparecia inicialmente no visor. Uma vez que 1000 166 6 45 3 1 , basta analisar apenas as 4 primeiras interações, ou seja:

xx x

x x

A B A B→ → → →11

1 1

11

11

11

2 00422

22

5

xx x

x x

A B A B→ → → →11

1 1

11

11

11

2 00422

22

5

Assim, temos:

11

11

2 004 11

12 004

11

2 004 11

2

22

5 2 5

25 2

25

xx

x

xx

xx

⇔ ⇔

⇔ ⇔

2

2 0004 ⇔

⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔

x xx x

x x

2 22

522

5

2 5

11

2 0041

12 004

2 004 2 004 12 003

2 522 004

3 Resposta:

a) A partir da dobra da folha, podemos ver que B’E 5 BE 5 17, e como AE 5 8, aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

AB B E AE’ ’5 2 5 2 52 2 2 217 8 15

b) Temos: AB AE BE CD5 5 5 51 18 17 25 e

DF CD CF5 5 52 225 3 22 Seja G a intersecção de B’C’ e CD.

Como FC’ 5 FC e AB E DGB C GF’ ’ ’ , FGB E

FCAE

FGFG

’’

5 5 5⇔ ⇔17

38

518

. Logo:

DG CD CF FG5 2 2 5 2 2 525 3518

1258

Temos, também:

DBAE

DGAB

DBDB

’’

’’5 5 5⇔ ⇔

8

1258

15253

Finalmente: AD AB DB5 5 5’ ’1 115253

703

4 Resposta:

Como ab cd bc a b c d b c a d b c1 5 1 1 1 5 1 1 5 2⇔ ⇔10 10 10 10 9( )

ab cd bc a b c d b c a d b c1 5 1 1 1 5 1 1 5 2⇔ ⇔10 10 10 10 9( ), ou seja, 10a d1 é o número de

dois algarismos ad e é um múltiplo de 9.

a) Mantendo a 5 2, temos d 5 7. Além disso,

10 2 7 9 3? 1 5 2 2 5( )b c b c⇔ . O menor valor

de b que podemos escolher, após 3, é 4, e nesse

caso, c 5 1. O número procurado é, então, 2 417.

b) Uma vez que escolhemos b c2 , a e d estão

determinados: a é o algarismo das dezenas de

9( )b c2 , e d, o das unidades. Além disso,

9 10 2( )b c b c2 2 ⇔ .

Se b c2 52, b c, , ; , ; , ; ... ; ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 2 0 3 1 4 2 9 0 ,

um total de 8 possibilidades. Da mesma for

ma, vemos que se b c2 53, b c, , ; , ; , ; ...; ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 3 0 4 1 5 2 9 6

b c, , ; , ; , ; ...; ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 3 0 4 1 5 2 9 6 , há um total de 7 possibilidades.

Para b c2 5 4, b c, , ; , ; , ; ...; ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 4 0 5 1 6 2 9 5 ,

6 possibilidades; b c2 55, b c, , ; , ; , ; ...; ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 5 0 6 1 7 2 9 4

b c, , ; , ; , ; ...; ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 5 0 6 1 7 2 9 4 , 5 possibilidades; b c2 56, b c, , ; , ; , ; ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 6 0 7 1 8 2 9 3

b c, , ; , ; , ; ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 6 0 7 1 8 2 9 3 , 4 possibilidades; b c2 57,

b c, , ; , ; ,( ) ( ) ( ) ( ){ } 7 0 8 1 9 2 , 3 possibilidades; b c2 58,

b c, , ; ,( ) ( ) ( ){ } 8 0 9 1 , 2 possibilidades; e, finalmen

te, para b c2 59, b c, ,( ) ( )5 9 0 , 1 possibilidade.

Há, portanto, um total de 36 números legais 8 7 6 5 4 3 2 1 361 1 1 1 1 1 1 5

112

A

B E

D

C

XXV OLIMPÍADABRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2003




1 Resposta: (D)O cubo a ser construído deverá ter aresta 4, totali-zando 64 cubinhos (4 3 4 3 4 5 64). Portanto, falta agregar 53 cubinhos (64 2 11 5 53).

2 Resposta: (C) O consumo mensal médio é 12,7 m3

12 5 13 8 13 7 11 4 12 1

512 7

, , , , ,,

1 1 1 15

3 Resposta: (A)A quantidade utilizada de palitos é mínima quan-do o número de palitos de 7 cm é máximo. Como 200 5 28 3 7 1 4 5 26 3 7 1 3 3 6, o número mínimo de palitos é 29.

4 Resposta: (E)Igualando a soma dos valores da diagonal e da co-luna que se cruzam no quadrado com mesmo nú-mero, temos 26 1 14 5 x 1 13, isto é, x 5 27.

5 Resposta: (A)Fazendo as operações inversas, temos 220 1 5 5 225; 225 3 5 75; 75 2 1 5 74; 74 2 5 37, que é um número primo.

6 Resposta: (C)A partir de qualquer círculo, obtemos inicialmente a sequência 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; subtraindo 1 dos ímpares e somando 1 aos pares, a sequência torna- -se 1, 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8. A maior soma com 3 nú-meros consecutivos é 6 1 9 1 8 5 23.

7 Resposta: (C)Completando a figura com quadradinhos de lado 1, vemos 3 quadrados de área 1, 1 quadrado de área 9, 2 quadrados de área 4 e 1 quadrado de área 25. Logo a área do retângulo é 45 3 1 9 1 2 3 4 1 1 25 5 45.

8 Resposta: (C)Uma parte da sequência, com 8 algarismos, repete- -se: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2. Dividindo 2 003 por 8, obtemos 3 como resto, e deste modo o 2 003o termo corres-ponde ao terceiro elemento da parte da sequência que se repete, isto é, 3.

9 Resposta: (B)Maria tem 10 reais. Se João tem x reais, então:

104

42

104

38

38 4

108

10 801 1 2x x

xx x x x x

x52

5 5 5 5⇔ ⇔ ⇔ ⇔

104

42

104

38

38 4

108

10 801 1 2x x

xx x x x x

x52

5 5 5 5⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Os dois juntos têm 90 reais (10 1 80 5 90).

10 Resposta: (E)Devem ser compradas 336 mesas (8 3 14 3 3 5 336) e 1 344 cadeiras (4 3 336 5 1 344).

11 Resposta: (C) Há 6 possibilidades distintas de se colorir o tabu-leiro.

12 Resposta: (D)Seja n o número de pessoas na festa. Então foram

usados n n n n2 3 4 5

1 1 1 pratos, logo:

n n n n n n n n nn

2 3 4 577

30 20 15 1260

777760

771 1 1 51 1 1

5 5 5⇔ ⇔ ⇔ 660

n n n n n n n n nn

2 3 4 577

30 20 15 1260

777760

771 1 1 51 1 1

5 5 5⇔ ⇔ ⇔ 660

13 Resposta: (B)O pentágono pode ser decomposto em triângu-los e retângulos, conforme o desenho a seguir. A

área do pentágono é 23 12

3 12

2 12

3 12

432

32

132

192

2 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5

23 12

3 12

2 12

3 12

432

32

132

192

2 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5

cm2.

113

14 Resposta: (C) Marcando-se uma linha, uma coluna e uma diagonal que têm somente uma casinha em comum (como no desenho a seguir), o número de quadradinhos retirados é máximo, igual a 13. Restam 12 quadra-

dos, correspondendo à área de 1225

.

15 Resposta: (C)Juntando-se as partes das faces superiores dos cubos, obtemos uma face do cubo maior, de aresta 50 cm. A face inferior do cubo também é revestida. As quatro faces laterais dos cinco cubos deverão ser revestidas. A área total é igual a:

2 50 4 10 20 30 40 5027000 2 7

2 2 2 2 2 2

2 2

5

1 1 1 1 1 55

( ),cm m

16 Resposta: (B)Ao andar sobre a esteira em movimento, Nelly anda 210 metros em 60 segundos. Portanto, a esteira anda 150 metros (210 2 60 5 150) a cada minuto. Para alguém parado na esteira, o tempo necessário para percorrer 210 metros será:

210150

1 45 , minuto 5 1min24s

17 Resposta: (D)O diagrama de árvore a seguir mostra os resultados que podem ser obtidos.

5

14

11 32

23

41

29

68

47

95

65

86

59

83

95

Nele, vemos que o maior é 95.

18 Resposta: (D)A sequência (D) não tem dois 4.

19 Resposta: (B)As casas vizinhas às casas com o número 0 não po-dem ser marcadas. Observando a casa da terceira li-nha e segunda coluna, concluímos que as três casas que sobraram foram marcadas:

1 2 1 1

0 2 1 2 X X

2 3 3 1

1 0 2 1 X

Como a casa do canto superior direito e sua vizinha à esquerda têm o número 1, as casas do canto su-perior direito e suas vizinhas à esquerda e abaixo não foram marcadas. O número na casa da quarta coluna e segunda linha indica que sua vizinha abai-xo foi marcada. Por fim, o número no canto inferior direito mostra que a casa correspondente não foi marcada.

1 2 1 1

0 2 1 2 X X

2 3 3 1 X

1 0 2 1 X

O número de casas marcadas é 4.

20 Resposta: (D)A altura da pi lha é 100 000 000 3 0 ,1 5 5 10 000 000 mm 5 10 000 m. Considerando que um andar de um prédio tem cerca de 4 metros, a altura do Petronas Tower é cerca de 356 metros (4 3 88 5 356). A distância do planeta Terra à Lua é da ordem de milhares de quilômetros. Tendo isso em vista, a alternativa mais próxima à altura da pilha é a alternativa D. Observação: o Petronas Tower fica em Kuala Lum-pur, capital da Malásia, e tem 452 metros de altura. A baleia azul, além de ser o maior animal do mun-do, também é o mais barulhento (!). A distância da Terra à Lua é, em média, de aproximadamente 380 000 quilômetros.

SEGUNDA FASE – parte A

• • • • • •

1 Resposta:

10 2 003 1000 000 2 003 9100

1002 5 2 5...

zeros999 97 997100

... . algarismos

Dos

cem algarismos do resultado, dois são o 7; portanto, o número de algarismos 9 no resultado é 98.

2 Resposta:

2 003 4 012 0092 5 e 2 004 4 016 0162 5 . Os múl-tiplos de 100 são 4 012 100 5 40 121 3 100, 4 012 200 5 40 122 3 100, 4 012 300 5 40 123 3 3 100, ..., 4 016 000 5 40 160 3 100. O número de múltiplos de 100 é, então, 40 (40 160 2 40 120 5 40).

114

xx x x

3 Resposta:Podemos contar o número de triângulos segundo o diagrama abaixo:

O número total de triângulos é 17 (1 1 2 1 2 1 2 1 1 3 1 3 1 3 1 1 5 17).

4 Resposta:Quando o numerador das horas mostrar 01, 02, ..., 12, o marcador dos minutos apresentará o algarismo 7 nas seguintes situações: 07, 17, 27, 37, 47 e 57, tota-lizando 72 exibições (12 3 6 5 72) no marcador de minutos. Ocorre que o algarismo 7 também apare-ce no marcador das horas nas situações 07:00, 07:01 etc., ou seja, devem ser contadas mais 60 exibições do 7. O número total de vezes em que aparece o 7 é 132 (72 1 60 5 132) e metade desse número é 66.

5 Resposta:Se as cabines de números 8 e 25 estão em pontos diametralmente opostos na circunferência, en-tão de cada lado do diâmetro existem 16 cabines (25 2 8 2 1 5 16). Logo, o número total de cabines da roda-gigante é 34 (2 3 16 1 2 5 34).

6 Resposta:Os anos bissextos são 1 892, 1 896, 1 904, ..., 2 000 (note que 1900 não é bissexto, pois é múltiplo de 100, mas não é de 400; por outro lado, 2000 é bissex-to, pois é múltiplo de 100 e de 400). De 1904 a 2000

há 25 múltiplos de 4 2000 1904

41 24 1 25

21 5 1 5 .

Portanto, o número de anos bissextos desde 1889 até agora é 27 (25 1 2 5 27).

7 Resposta:As faces laterais em cada dado compõem-se de dois pares de faces opostas, logo nelas a soma é sempre 14 7 1 7 5 14. Temos liberdade de escolher os números que vão ficar na face superior e na face inferior, pois há 4 dados na pilha. Para minimizar a soma, escolhemos o 1 para figurar nessas duas faces. Portanto, a soma mínima é 58 (2 1 4 3 14 5 58).

8 Resposta:No produto 45 3 a3 5 3bcd, é imediato concluir que d 5 5, isto é, 45 3 a3 5 3bc5. Fazendo uma estimativa de a, vemos que as possibilidades são duas: 45 3 73 5 3 285 e 45 3 83 5 3 735, de onde se conclui que para a 5 7 temos b 5 2 e c 5 8, e para a 5 8 temos b 5 7 e c 5 3. Portanto, b 1 c 1 d 5 15 (2 1 8 1 5 5 7 1 3 1 5 5 15).

9 Resposta:Sejam a, b, c, d e e os cinco números. Temos a b c d e

a b c d e1 1 1 1

5 1 1 1 1 5 .5

11 55⇔ Um

desses números, digamos a, é o maior possível se, e somente se, a soma dos demais for a menor possí-vel. Isso ocorre para b c d e1 1 1 5 1 1 1 51 2 3 4 10, de onde vem que a 5 45 (55 2 10 5 45).

10 Resposta: Seja x o número de pontos que deve aparecer nas metades das peças do dominó conforme o desenho abaixo:

Temos x 0 (pois já foi usada a peça 0:3), x e x 1 4(já foi usada a peça 4:1), x 2 (já foi usada a peça 2:1), x 5 (já foi usada a peça 5:1) e x 6 (já foi usa-da a peça 6:2). Portanto, x 5 3 (verifica-se que esse caso é possível) e a soma dos pontos é 22 [3 1 4 1 1 1 1 2 1 (4 3 3) 5 22].


1 Resposta:Temos 3 3 3 9 3 27 3 81 3 2431 2 3 4 55 5 5 5 5, , , , mas (não serve). Assim, os números obtidos de acordo com as condições do problema são:

3 1 9 512, 3 1 27 5 30, 3 1 81 5 84, 9 1 27 5 36, 9 1 81 5 90, 27 1 81 5 108, 3 1 9 1 27 5 39, 3 1 9 1 81 5 93, 3 1 27 1 81 5 111, 9 1 27 1 81 5 117

Note que o número 3 1 9 1 27 1 81 5 120 não serve.

2 Respostas:Primeira solução: Os triângulos ABE e EHF são re-tângulos em A e H, respectivamente; a medida do ângulo BÊF é de 90°; se a medida do ângulo HÊF é x, então a medida dos ângulos EFHˆ e AÊB é 90° 2 x e, consequentemente, a medida do ângulo ABEˆ é x; como BE 5 EF (são lados do mesmo quadrado), então os triângulos mencionados são congruentes (pelo caso ALA de congruência de triângulos). Uti-lizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever BE AB AE2 2 25 1 , o que mostra que a área do quadra-do BEFG é a soma das áreas dos quadrados ABCD e FHIJ, ou seja, 64 1 36 5 100 cm2.

Segunda solução: Os triângulos ABE e EHF são re-tângulos em A e H, respectivamente; a medida do ângulo BÊF é de 90°; se a medida do ângulo HÊF é x, então a medida dos ângulos EFHˆ e AÊB é 90° 2 x e, consequentemente, a medida do ângulo ABEˆ é

1 triângulo 2 triângulos 2 triângulos 2 triângulos

3 triângulos 3 triângulos 3 triângulos 1 triângulo

115

x; como BE 5 EF (são lados do mesmo quadrado), então os triângulos mencionados são congruen-tes (pelo caso ALA de congruência de triângulos). Como o quadrado ABCD tem área igual a 64 cm2, concluímos que seus lados medem 64 85 cm; o quadrado FHIJ tem área igual a 36 cm2, logo seus lados medem 6 cm. Temos, então, BA 5 EH 5 8 cm e FH 5 AE 5 6 cm.Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escre-ver BE AB AE2 2 2 2 28 6 1005 1 1 55 , ou seja, a área do quadrado BEFG é 100 cm2.

Terceira solução (sem usar o teorema de Pitágo-ras): Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H, respectivamente; a medida do ângulo BÊF é de 90°; se a medida do ângulo HÊF é x, então a medida dos ângulos EFHˆ e AÊB é 90° 2 x e, consequente-mente, a medida do ângulo ABEˆ é x; como BE 5 EF (são lados do mesmo quadrado), então os triângu-los mencionados são congruentes (pelo caso ALA de congruência de triângulos). Como o quadrado ABCD tem área igual a 64 cm2, concluímos que seus

lados medem 64 85 cm; o quadrado FHIJ tem área igual a 36 cm2, logo seus lados medem 6 cm. Portanto, BA 5 EH 5 8 cm e FH 5 AE 5 6 cm.

A área do trapézio ABFH é igual a AB FH

AH cm1

1

2

8 62

14 98 25 5

AB FHAH cm

1

1

28 6

214 98 25 5 . Como o trapézio é compos-

to pelos triângulos ABE, EHF e BEF, e a área dos tri-

ângulos congruentes ABE e EHF é 6 8

224

5 cm2,

concluímos que a área do triângulo BEF é 50 cm2 (98 2 2 3 24 5 50) e, consequentemente, a área do quadrado ABFH é o dobro, ou seja, 100 cm2.

3 Resposta:Primeira solução: Os divisores positivos de um número inteiro N são d d d dk1 2 3, , , ,… , tais que 1 1 2 35 5d d d d Nk … e podemos observar que 1 N d d d dk k 5 5 2 22 1 3 2 etc. Por exemplo, os divisores positivos de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12, de for-ma que 1 3 12 5 2 3 6 5 3 3 4. Note que ao excluir os divisores 1 e 12, restam 2, 3, 4 e 6, cujo produto é 2 3 3 3 4 3 6 5 (2 3 6) 3 (3 3 4) 5 12 3 12 5 122. Assim, concluímos que o produto dos divisores po-sitivos de um inteiro, excluindo 1 e o próprio núme-ro, é igual ao quadrado do número se, e somente se, o número tem 6 divisores. Portanto, o número é da forma p5 ou p q2 , onde p e q são números primos positivos, distintos. Se o número é positivo menor do que 100, temos as 16 possibilidades seguintes:

2 322 3 122 5 202 7 282 11 442 13 522 17

5

2

2

2

2

2

2

5 5 5 5 5 5 55 5 5

682 19 762 23 92

2

2

3 2 183 5 453 7 633 11 99

2

2

2

2

5 5 5 5

5 2 505 3 75

2

2

5 5 7 2 982 5

Segunda solução: O produto de todos os divisores

positivos de um número inteiro N é igual a Nd(N)

2 , em que d(N) é o número de divisores positivos de N. O produto de todos os divisores positivos exceto 1

e N é N

NN

d(N)2 d(N)

21

52

.

Temos, então, N Nd(N d(N

d(Nd(N)

21 ) )

)2

5 2 5 5 52

21 2

23 6⇔ ⇔ ⇔

N Nd(N d(N

d(Nd(N)

21 ) )

)2

5 2 5 5 52

21 2

23 6⇔ ⇔ ⇔ . Portanto, o produto

dos divisores positivos diferentes de N é o quadrado de N se, e somente se, N tem 6 divisores positivos. Logo o número é da forma p5 ou p q2 , em que p e q são números primos positivos, dis-tintos. Se o número é positivo menor do que 100, temos as 16 seguintes possibilidades:

2 322 3 122 5 202 7 282 11 442 13 522 17

5

2

2

2

2

2

2

5 5 5 5 5 5 55 5 5

682 19 762 23 92

2

2

3 2 183 5 453 7 633 11 99

2

2

2

2

5 5 5 5

5 2 505 3 75

2

2

5 5 7 2 982 5


• • • • • •


1 Resposta: (C)Completando a figura com quadradinhos de lado 1, vemos 3 quadrados de área 1, 1 quadrado de área 9, 2 quadrados de área 4 e 1 quadrado de área 25. Logo a área do retângulo é 45 3 1 9 1 2 3 4 1 1 25 5 45.

2 Resposta: (A)A quantidade utilizada de palitos é mínima quan-do o número de palitos de 7 cm é máximo. Como 200 5 28 3 7 1 4 5 26 3 7 1 3 3 6, o número mí-nimo de palitos é 29.

3 Resposta: (D)(x2 37)2 5132 x 2 37 513 ou x 2 37 5 213. As-sim, x 5 50 ou x 5 24.

116

A

B E

D

C

4 Resposta: (D)O diagrama de árvore a seguir mostra os resultados que podem ser obtidos.

5

14

11 32

23

41

29

68

47

95

65

86

59

83

95

Nele, vemos que o maior é 95.

5 Resposta: (E)Igualando a soma dos valores da diagonal e da co-luna que se cruzam no quadrado com mesmo nú-mero, temos 26 1 14 5 x 1 13, isto é, x 5 27.

6 Resposta: (C)O algarismo final de n3 2 n2 é o mesmo algarismo final de 73 2 72 5 294.

7 Resposta: (E)

3 5 x 6

8 5 1 x x 1 6

13 1 x 11 1 2x

42

(13 1 x) 1 (11 1 2x) 5 42 x 5 6

8 Resposta: (A)Fazendo as operações inversas, temos 220 1 5 5 225; 225 : 3 5 75; 75 2 1 5 74; 74 : 2 5 37, que é um nú-mero primo.

9 Resposta: (E)a 5 c 22, b 5 c 21 c2 2 ab 5 c2 2 (c 2 2)(c 2 1) 5 c2 2 (c2 23c 1 2) 5 5 3c 22 5 2(c 2 1) 1 c 5 2b 1 c

10 Resposta: (C)Uma parte da sequência, com 8 algarismos, repete- -se: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2. Dividindo 2 003 por 8, obtemos 3 como resto, e deste modo o 2 003o termo corres-ponde ao terceiro elemento da parte da sequência que se repete, isto é, 3.

11 Resposta: (B)

4 62

114

16

2

52

14

16

525

12

5245

5 4 8 0 21

21

5 21

5 2 5 2 5 2 5, ,

4 62

114

16

2

52

14

16

525

12

5245

5 4 8 0 21

21

5 21

5 2 5 2 5 2 5, ,

12 Resposta: (D)A sequência (D) não tem dois 4.

13 Resposta: (E)Existem 9 peças com duplos (0 2 0, 1 2 1, …, 8 2 8)

e 9 3 82

5 36 peças com números diferentes.

14 Resposta: (C)Os seis primeiros termos são:32 2 4 5 5 (primo) 62 2 7 5 29 (primo)42 2 5 5 11 (primo) 72 2 8 5 41 (primo)52 2 6 5 19 (primo) e 82 2 9 5 55 5 5 3 11.

Outra solução: O n-ésimo termo da sequência é:

a n n n n n n nn 5 2 5 5 5( ) ( ) ( ) (( )1 1 1 1 1 1 12 3 3 114

4 12 414

2 32 2 2 22 52 )

a n n n n n n nn 5 2 5 5 5( ) ( ) ( ) (( )1 1 1 1 1 1 12 3 3 114

4 12 414

2 32 2 2 22 52 )

Seja p um divisor primo de n n2 3 11 1 .Como n n n n n2 3 1 1 2 11 1 1 1 15 ( ) é ímpar, p 2.

Assim, p n n14

2 3 5 2 3 52 2(( ) ) ( )1 12 ⇔ (módulo p).

Portanto, 5 deve ser resíduo quadrático módulo p.Logo, os menores valores de p são 5 e 11, de modo que se a

n é composto a

n > 5 3 11. (Observe que a

n

não é um quadrado perfeito, pois ( ) ( ) .2 2 4 2 32 2n a nn1 , , 1

( ) ( ) .2 2 4 2 32 2n a nn1 , , 1 ). Como ( ) ( ) ,n n n1 12 3 55 62 2 5 5⇔ o primeiro termo composto é o sexto.Observação: Na verdade, utilizando a lei da recipro-cidade quadrática, temos:

pp p

pp

55

15

5

12

5 12

⇔

5 2 5

2

2

( )

⇔

⇔p

p ou 4 (módulo 5).5

1 0 15 ,

pp p

pp

55

15

5

12

5 12

⇔

5 2 5

2

2

( )

⇔

⇔p

p ou 4 (módulo 5).5

1 0 15 ,

Para saber o que é lei da reciprocidade quadrática e

o símbolo pq

(que não é p dividido por q!), veja:

www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne/node15.html e http://mathworld.wolfram.com/QuadraticReciprocityTheorem.html

15 Resposta: (D)Se KAB significa sim, a resposta correta à pergunta é sim, ou seja, KAB. Se KAB significa não, a resposta correta à pergunta é não, ou seja, KAB. Assim, a pes-soa diz a verdade nos dois casos, mas não podemos deduzir o significado verdadeiro da palavra KAB.

16 Resposta: (B)O pentágono pode ser decomposto em triângu-los e retângulos, conforme o desenho a seguir.

A área do pentágono é 23 12

3 12

2 12

3 12

432

32

132

192

2 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5

23 12

3 12

2 12

3 12

432

32

132

192

2 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5

cm2.

117

A

D C

G

F

E B 1 1/2 M

3

2

x

17 Resposta: (C)Há 6 possibilidades distintas de se colorir o tabuleiro.

18 Resposta: (C)

2 94 3

2 94

2003 1001

1001 2003

2002 1001

1001

1

5

1

32 32 3

22003

2003 2 1001

2 1001 2003

2002( )( )

5( )

( )3

2 32 32

2 1001

2 1001 2003

2003 2002

2002 1

5 1 53

2 32 3

23

13

12003

2002 2002

2002 2003

2 94 3

2 94

2003 1001

1001 2003

2002 1001

1001

1

5

1

32 32 3

22003

2003 2 1001

2 1001 2003

2002( )( )

5( )

( )3

2 32 32

2 1001

2 1001 2003

2003 2002

2002 1

5 1 53

2 32 3

23

13

12003

2002 2002

2002 2003

2 94 3

2 94

2003 1001

1001 2003

2002 1001

1001

1

5

1

32 32 3

22003

2003 2 1001

2 1001 2003

2002( )( )

5( )

( )3

2 32 32

2 1001

2 1001 2003

2003 2002

2002 1

5 1 53

2 32 3

23

13

12003

2002 2002

2002 2003

19 Resposta: (C)112 , 53 , 27 (112 )100 , (53 )100 , (27)100

20 Resposta: (B)Vamos construir a árvore de possibilidades (Cara: c, Coroa: k)

k

c k

c

k

c

⇒ Nicole ganha (1/4)

⇒

⇒

⇒

Beatriz ganha (1/4)

Isabele ganha (1/4)

c

k ⇒

Nicole ganha (1/8)

Beatriz ganha (1/8)

14( )14( )

18( )18( )

14( )

Assim, as chances das jogadoras são as seguintes:

Beatriz 38( ), Nicole

38( ), e Isabele

14( ) .

21 Resposta: (B)As casas vizinhas às casas com o número 0 não po-dem ser marcadas. Observando a casa da terceira li-nha e segunda coluna, concluímos que as três casas que sobraram foram marcadas:

1 2 1 1

0 2 1 2 X X

2 3 3 1

1 0 2 1 X

Como a casa do canto superior direito e sua vizinha à esquerda têm o número 1, as casas do canto su-perior direito e suas vizinhas à esquerda e abaixo não foram marcadas. O número na casa da quarta coluna e segunda linha indica que sua vizinha abai-xo foi marcada. Por fim, o número no canto inferior direito mostra que a casa correspondente não foi marcada.

1 2 1 1

0 2 1 2 X X

2 3 3 1 X

1 0 2 1 X

O número de casas marcadas é 4.

22 Resposta: (C)Como A e B são consecutivos e AB 5 2 3 3 3 5 3 3 7 3 11 3 13 3 17 5 (11 3 13) 3 (14 3 15) 3 17 é próximo de 12 15 4 7202 2 2 23 3 5 , A e B são próxi-mos de 720. Notando que 720 5 122 3 5 é próximo de 13 3 11 3 3 5, vemos que A 5 13 3 11 3 5 5 715 e B 5 2 3 3 3 3 7 3 17 5 714. A soma dos algarismos de A é 7 1 1 1 5 5 13.

23 Resposta: (D)

ABG AMF

xx

1

3232

33

5 5⇒ . Então, a área do BFG é:

BG BM35

35

2

33

12

23

12

24 Resposta: (A)A estratégia é escolher o ímpar “no meio” de cada intervalo. Pedrinho pode começar com x 5 51, re-duzindo as possibilidades a, no máximo, 25 ímpa-res (por exemplo, se a resposta for menor, o número será um ímpar entre 1 e 49, e nesse caso Pedrinho escolherá x 5 25). Continuando essa estratégia, Pe-drinho reduzirá as possibilidades no próximo passo a, no máximo, 12 ímpares, depois a 6 ímpares, de-pois a 3 ímpares, e finalmente a 1 ímpar, acertando o número com, no máximo, 5 perguntas.

25 Resposta: (C)Os triângulos ABE e ACD são isósceles de bases AE e AD, respectivamente, pois AB 5 BE 5 20 e AC 5 CD 5 21. Se 2b e 2 são as medidas dos ân-gulos internos B e C do triângulo ABC, temos: BÊA 5

5 BÂE 5 90° 2 b e CDAˆ 5 CÂD 5 90° 2 . Logo: DÂE 5 180° 2 (90° 2 b) 2 (90° 2 ) 5 b 1 . Como 202 1 212 5 292, pela recíproca do teorema de Pitágoras, o ângulo BACˆ é reto. Logo, 90° 1 2b 1 12 5 180° b 1 5 45°. Portanto, o ângulo DAEˆ mede 45°.

12

118

C

D A

B

E

G

H

F

I

J


1 Respostas: Primeira solução:Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H, respectivamente; a medida do ângulo BEFˆ é 90°; se a medida do ângulo HEFˆ é x, então a medida dos ângulos EFHˆ e AEBˆ é 90° x2 e, consequentemen-te, a medida do ângulo ABEˆ é x; como BE 5 EF (são lados do mesmo quadrado), então os triângulos mencionados são congruentes (pelo caso ALA de congruência de triângulos).

Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escre-ver BE AB AE2 2 25 1 , o que mostra que a área do quadrado BEFG é a soma das áreas dos quadrados ABCD e FHIJ, ou seja, 30 1 20 5 50 cm2.

Segunda solução:Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H, respectivamente; a medida do ângulo BEFˆ é 90°; se a medida do ângulo HEFˆ é x, então a medida dos ângulos EFHˆ e AEBˆ é 90° x2 e, consequentemen-te, a medida do ângulo ABEˆ é x; como BE 5 EF (são lados do mesmo quadrado), então os triângulos mencionados são congruentes (pelo caso ALA de congruência de triângulos). Como o quadrado ABCD tem área igual a 30 cm2, concluímos que seus

lados medem 30 cm ; o quadrado FHIJ tem área

igual a 20 cm2, logo seus lados medem 20 cm. Te-

mos então, BA 5 EH 5 30 cm e FH 5 AE 5 20 cm. Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escre-ver BE AB AE2 2 25 1 , ou seja, a área do quadrado BEFG é 50 cm2.

Terceira solução (sem usar o teorema de Pitá-goras): Os triângulos ABE e EHF são retângulos em A e H, respectivamente; a medida do ângu-lo BEFˆ é 90°; se a medida do ângulo HEFˆ é x, en-tão a medida dos ângulos EFHˆ e AEBˆ é 90° x2 e, consequentemente, a medida do ângulo ABEˆ é x; como BE 5 EF (são lados do mesmo quadra-do), então os triângulos mencionados são con-gruentes (pelo caso ALA de congruência de triân-gulos). Como o quadrado ABCD tem área igual a

30 cm2, concluímos que seus lados medem 30 cm;

o quadrado FHIJ tem área igual a 20 cm2, logo

seus lados medem 20 cm. Temos, então: BA 5

5 EH 5 30 cm e FH 5 AE 5 20 cm.

A área do trapézio ABFH é igual a: ( )AB FH

AH1

51

5 1 2

30 202

25 20 30

2( )

( )AB FHAH

1 5

15 1

230 20

225 20 30

2( )

Como o trapézio é composto pelos triângulos ABE, EHF e BEF, e a área dos triângulos congruentes ABE e

EHF é 20 30

2

, concluímos que a área do triângu-

lo BEF é: 50 20 30 220 30

225 21 5

5 cm

2 Primeira solução:Todo número inteiro positivo n pode ser escrito na forma 2 0 0a b a b , , e b ímpar (chamamos b de parte ímpar de n). Considere dois números com a mesma parte ímpar: n ba

1 2 15 e n b.a2 2 25 Supon-

do, sem perda da generalidade, que a a1 2, , então temos que n1 é divisor de n2 .Assim, como de 1 a 26 temos 13 partes ímpares possíveis, a saber: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 e 25, cada um dos números deve ter uma parte ímpar diferente. Considerando que 1 divide todos os números inteiros, o número com parte ímpar 1 é o que deve ter maior a.Porém, 4 2 125 está entre os números escolhidos; logo, para os demais números escolhidos, devemos ter a 5 0 ou a 5 1. E podemos determinar todas as escolhas possíveis:

• 3édivisorde9;15e21.Logo, 2 3 6 9 15 5 , , e 21devem estar na nossa escolha.

• 5édivisorde15e25.Logo, 2 5 10 5 e 25 devem estar na nossa escolha.

• 7 é divisor de 21. Logo, 2 7 14 5 deve estar na nossa escolha.

• Comparteímpar11podemosescolher11ou22,ecom parte ímpar 13, 13 ou 26. As demais escolhas são 17, 19 e 23.

Portanto, as escolhas possíveis são (ordenadas se-gundo a parte ímpar):

4; 6; 10; 14; 9; 11 ou 22; 13 ou 26; 15; 17; 19; 21; 23; 25.

Segunda solução:Se houvesse apenas a condição 2, poderíamos es-colher os números 14, 15, 16, …, 26. Porém, temos de escolher o 4, o que nos impede de escolher os números 16, 20 e 24.Olhando os números restantes que não são diviso-res dos múltiplos de 4 (ou seja, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11), observamos que o número 10 pode ser adicionado às nossas escolhas e nenhum mais.Ficamos, então, com 12 números: 4, 10, 14, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 25 e 26. Devemos tirar um deles, pelo menos, para acrescentar dois.A retirada do 18 permite que acrescentemos o 6 e o 9, completando nossa solução: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 25 e 26 (de fato, podemos colocar 11 no lugar de 22 ou 13 no lugar do 26).

119

3 Primeira solução:Vamos usar a notação [X] para denotar a área do polígono X.

Sejam E e F os pontos de interseção como mos-trados na figura. Sejam AB 5 2a e BC 5 2b. Então AM 5 MB 5 DN 5 NC 5 a e ME 5 EN 5 b. Trace AN e seja P o ponto de interseção dos segmentos AN e BD. Os segmentos AN e MC são paralelos (pois AM 5 NC e AM || NC).Como M é ponto médio de AB e MF || AP, temos que F é o ponto médio do segmento PB. Analogamente, P é o ponto médio do segmento DF. Segue então que DP 5 PF 5 FB. Por simetria, verificamos que PE 5 EF e então EFFB

512

. Portanto, podemos escrever:

[ ][ ]MEFMBF

512

Por outro lado, [ ] , [ ]MBE ABD5 514

125,

[ ]MEF cm5 513

125125

32 e [ ] .MBF cm5 5

23

125250

32

Segunda solução:Observe que ME || BC e MB || DC. Assim, temos as semelhanças de triângulo:

• MEF BCF (na razão de 1 : 2)• MBF CFD (na razão de 1 : 2)

Lembrando que a razão entre as áreas de duas figu-ras semelhantes é igual ao quadrado da razão de se-melhança, temos: [ ] [ ]BCF MEF5 4 e [ ] [ ].CDF MBF5 4Também, [ ]BCD 5500 (metade da área do retângu-lo) e área do [ ]MCB 5250 (metade da área do retân-gulo MNCB, que é a metade da área do retângulo). Portanto:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

CFD BCF BCDMBF MEF MBF1 5 5

1 5 1500

4 4 500⇒

⇒ ⇒ [[ ]MEF 5125

1

e

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]MBF BCF MCB

MBF MEF1 5 5

1 5250

4 250⇒

⇒ 2

Subtraindo 1 de 2 , obtemos:

3 125125

3[ ] [ ]MEF MEF5 5⇒

4 Resposta:Primeira solução: Os divisores positivos de um número inteiro N são d d d dk1 2 3, , , ,… , tais que 1 1 2 35 5d d d d Nk … e podemos observar que 1 N d d d dk k 5 5 2 22 1 3 2 etc. Por exemplo, os divisores positivos de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12, de for-ma que 1 3 12 5 2 3 6 5 3 3 4. Note que ao excluir os divisores 1 e 12, restam 2, 3, 4 e 6, cujo produto é 2 3 3 3 4 3 6 5 (2 3 6) 3 (3 3 4) 5 12 3 12 5 122. Assim, concluímos que o produto dos divisores po-sitivos de um inteiro, excluindo 1 e o próprio núme-ro, é igual ao quadrado do número se, e somente se, o número tem 6 divisores. Portanto, o número é da forma p5 ou p q2 , onde p e q são números primos positivos, distintos. Se o número é positivo menor do que 100, temos as 16 possibilidades seguintes:

2 322 3 122 5 202 7 282 11 442 13 522 17

5

2

2

2

2

2

2

5 5 5 5 5 5 55 5

682 19 762 23 92

2

2 =

3 2 183 5 453 7 633 11 99

2

2

2

2

5 5 5 5

5 2 505 3 75

2

2

5 5 7 2 982 5

Segunda solução: O produto de todos os divisores

positivos de um número inteiro N é igual a Nd(N)

2 , em que d(N) é o número de divisores positivos de N. O produto de todos os divisores positivos exceto 1 e

N é N

NN

d(N)2 d(N)

21

52

.

Temos, então, N Nd(N d(N

d(Nd(N)

2125 2 5 5 52

21 2

23 6⇔ ⇔ ⇔) )

)

N Nd(N d(N

d(Nd(N)

2125 2 5 5 52

21 2

23 6⇔ ⇔ ⇔) )

) . Portanto, o produto dos divisores positivos diferentes de N é o quadrado de N se, e so mente se, N tem 6 divisores positivos. Logo o número é da forma p5 ou p q2 , em que p e q são números pri mos positivos, distintos. Se o número é positivo menor do que 100, temos as 16 seguintes possibilidades:

2 322 3 122 5 202 7 282 11 442 13 522 17

5

2

2

2

2

2

2

5 5 5 5 5 5 55 5 5

682 19 762 23 92

2

2

3 2 183 5 453 7 633 11 99

2

2

2

2

5 5 5 5

5 2 505 3 75

2

2

5 5

7 2 982 5

5 Resposta:(a) Fazendo x 5 y 5 1, obtemos [ ( )] ( )f f1 1 22 2 5 . Re-

solvendo a equação, obtemos f(1) 5 2 ou f(1) 5 5 2 1. Este último valor não serve, pois o con-tradomínio da função é o conjunto dos números reais estritamente positivos. Portanto, f(1) 5 2.

(b) Fazendo y 5 1 na identidade do problema ob-

temos f x f f x xx

.( ) ( ) ( )11

2 5 1

Substituindo o valor de f(1), obtemos a fórmula

para f(x): f x xx

( )5 11

A M B

D N C

P

E F

A M B

D N C

P

E F

120

6 Resposta:Vamos separar o número de quatro dígitos em duas partes: os dois primeiros dígitos, da esquerda para a direita, formam o número x e os dois restan-tes formam o número y.Então a propriedade significa que 100 2 2x y x y1 5 1 . Essa igualdade pode ser considerada uma equação do segundo grau em x:

x x y y2 2100 02 1 2 5 . 3

Resolvendo, encontramos:

x y y5 2 250 2 500 2( ) 4

Com o exemplo do enunciado, y 5 33 resulta em x 5 12 com o sinal (2) na expressão:

x 5 2 5 2 550 1444 50 38 12

Naturalmente, outra solução aparece quando co-locamos o sinal (1) na mesma expressão:

x1 50 1444 50 38 885 1 5 1 5

Então, outro número com a mesma propriedade é 8 833 5 882 1 332.

Comentários:A equação x x y y2 2100 02 1 2 5 é equivalente a ( ) ( )2 100 2 1 10 0012 2x y2 1 2 5 . Outra maneira de

resolver o problema é determinar todas as soluções inteiras (m, n) de m2 1 n2 5 10 001, com m par e n ímpar. Se dois números podem ser escritos como soma de dois quadrados, então o produto dos mes-mos também pode, pois, escrevendo p 5 r2 1 s2 e q 5 t2 1 u2, temos:

pq r s t u rt ts ru st5 1 1 5 1 1 2( )( ) ( ) ( ) .2 2 2 2 2 2

Observando que 10 001 73 137 8 3 11 42 2 2 25 3 5 1 3 1( ) ( ),

10 001 73 137 8 3 11 42 2 2 25 3 5 1 3 1( ) ( ), obtemos: ( ) ( ) ( ) ( )8 3 11 4 8 11 3 4 8 4 3 11 100 12 2 2 2 2 2 21 3 1 5 3 1 3 1 3 2 3 5 1 22

( ) ( ) ( ) ( )8 3 11 4 8 11 3 4 8 4 3 11 100 12 2 2 2 2 2 21 3 1 5 3 1 3 1 3 2 3 5 1 22

( ) ( ) ( ) ( )8 3 4 11 8 4 11 3 8 11 3 4 65 762 2 2 2 2 2 21 3 1 5 3 1 3 1 3 2 3 5 1 22

( ) ( ) ( ) ( )8 3 4 11 8 4 11 3 8 11 3 4 65 762 2 2 2 2 2 21 3 1 5 3 1 3 1 3 2 3 5 1 22

É possível mostrar que todas as maneiras de escre-ver 10 001 como soma de dois quadrados são as do tipo (m, n) 5 (100, 1) ou (m, n) 5 (65, 76) e suas permutações.A primeira solução nos dá 2x 2 100 5 100, re-sultado em x 5 0 ou x 5 100, que não servem para o problema.A segunda solução resulta em 2y 2 1 5 65 e 2x 2 100 5 76, de onde obtemos (x, y) 5 (88, 33) ou (x, y) 5 (12, 33).

121

XXIV OLIMPÍADABRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2002



1a. Fase Olimpíada RegionalBA – ES – MG – PA – PB – RJ – RS – SC

1 Resposta: (C)

2

4

24

2

2

22

14 8

8 2

32

16

32

2 16

32

32

( )( ) ( )

5 5 5 5

2 Resposta: (C)Examinando o desenho, vemos que há um total de 14 caixas na pilha. Portanto, a pilha pesa 350 kg (25 14 3503 5 ).

3 Resposta: (B)Observando a balança, vemos que 3 saquinhos (diferença do número de saquinhos entre os dois pratos) pesam o mesmo que 6 bolinhas (diferença do número de bolinhas entre os dois pratos). Logo, cada saquinho tem 2 bolinhas.

4 Resposta: (B)A soma dos números de 1 a 9 é 45. Ao colocar 1 no meio, podemos escrever numa das “pás” 22 5 9 1 1 6 1 5 1 2 e na outra 22 5 8 1 7 1 4 1 3. Essa não é a única possibilidade, mas isso não muda o fato de que a maior soma possível em cada pá é igual a 22.

5 Resposta: (D)O total de letras nas cinco respostas é 63, sendo 13 nas respostas das alternativas A e B, 9 na resposta da alternativa C, 12 na resposta da alternativa D e 16 na resposta da alternativa E. Como 63 2 13 5 5 50, 63 2 9 5 54, 63 2 12 5 51 e 63 2 16 5 47, a única alternativa correta é a D.

6 Resposta: (D)Para a loja C foi vendido

110

da produção

112

25

19

101

102 1 5 2 5

, no total de 2 500 uni-

dades. Portanto, a produção total da fábrica foi de 25 000 latas (10 2500 250003 5 ).

7 Resposta: (B)Cada retângulo tem comprimento 1 e largura

14

;

portanto, o buraco quadrado tem lado de medida

igual a 114

34

2 5 e sua área é 34

916

2

5 .

8 Resposta: (D)A linha é composta da re-petição da figura ao lado, cujo comprimento é 9. Cada figura inicia num ponto re-presentado por um múlti-plo de 3 no eixo horizontal: 0, 3, 6, ..., 30. A 11a figura, incompleta, tem compri-mento 7. Portanto, o comprimento da linha poligo-nal é igual a 97 (10 9 7 973 1 5 ).

9 Resposta: (C)Dois inteiros consecutivos positivos podem ser re-presentados por n e n11, sendo n1, e a diferen-ça entre seus quadrados é igual a:

( ) ( )n n n n n n n n1 2 1 1 2 1 1 11 2 1 2 1 12 2 2 25 5 5 ,

resultado igual à soma desses números.

10 Resposta: (B)O tempo necessário para voltar para casa e depois fazer todo o percurso até a escola foi de 18 mi-nutos (pois ia chegar 8 minutos adiantado, mas acabou chegando 10 minutos atrasado), tempo correspondente à distância a mais que percorreu, exatamente o dobro da distância entre o ponto de retorno e sua casa. Portanto, levou 9 minutos para ir de sua casa até o ponto de retorno, o que

corresponde a 9

20 da distância de sua casa até a

escola.

11 Resposta: (D)

- A alternativa A é falsa, pois analisando o gráfico fica claro que em nenhum dos meses o fatura-mento de A é o dobro do faturamento de B.

- A alternativa B é falsa, pois em outubro a diferença de faturamento entre as duas empresas foi mais de 80 milhões, maior do que a diferença em julho, que foi de 60 milhões.

- A alternativa C é falsa, pois foi a empresa A que teve a maior queda de faturamento entre dois meses consecutivos (100 milhões entre os meses de agosto e setembro).

- A alternativa D é correta, pois no semestre o fatu-ramento de B foi de 860 milhões, e o faturamen-to de A foi maior que 860 milhões e menor que 880 milhões.

- A alternativa E é falsa, pois a diferença de fatu-ramento no semestre foi menor que 20 milhões.

122

Partida

12 Resposta: (C)

O custo de combustível é 120 reais 90012

1 60 1203 5, .( )

Com o pedágio, o custo da viagem é 168 reais (120 1 48 5 168). Cada um dos três viajantes irá

pagar 56 reais 168

3565( ). Nesse caso, Patrícia irá

economizar 24 reais (80 2 56 5 24).

13 Resposta: (B)Observemos que um ônibus tem a mesma capa-

cidade que 486

5 8 “vans”. Para colocar crianças

que caberiam em k 1 1 ônibus, precisaríamos de pelo menos 8k “vans”. O gasto com ônibus seria 237 1 120(k 1 1) 5 120k 1 357 e o gasto com “vans” seria pelo menos 60 ? 8k 5 480k, que é maior que o preço do ônibus para k maior ou igual a 1, isto é, quando precisarmos de 2 ou mais ônibus.Se utilizarmos um ônibus, pagaremos 357 reais (237 1 120 5 357) para levar até 48 crianças. Co-mo 357 reais são suficientes para pagar 5 “vans”, mas não 6, é mais vantajoso utilizar ônibus se forem necessárias pelo menos 6 “vans”, o que acontece quando levamos pelo menos 31 crianças (5 ? 6 1 1 5 31). Logo, N 5 31.

14 Resposta: (D)Supondo que haja dois números a e b maiores do que 1, entre os fatores do produto, podemos sempre substituir esses fatores por ab e 1, já que ab 1 1 a 1 b (ao fazer isso, estamos aumentando o valor da soma). Dessa forma, chegamos ao produto 1 ? 1 ? 1 ? ... ? ? 1 ? 1 000 000, com 999 999 fatores iguais a 1 e um fator igual a 1 000 000, cuja soma é 1 999 999.

15 Resposta: (A)Ao dividir a mesa em um tabuleiro 5 3 7, temos a seguinte figura, com a trajetória da bola:

Observando a figura, nota-se que a bola bate na tabela 10 vezes antes de bater novamente em um canto.

Observação: pode-se demonstrar que se a razão en-tre a largura e o comprimento é a fração irredutível ab

, a bola bate na tabela a 1 b 2 2 vezes nas tabe-

las antes de bater novamente em um canto. A ideia para obter esse resultado é construir um quadrado de lado ab com retângulos a 3 b e contar o número de vezes que a diagonal do quadrado corta os lados dos retângulos.

16 Resposta: (C)A figura é determinada por um conjunto de circun-ferências concêntricas, com um eixo de simetria ver-tical (simetria de contornos), passando pelo centro dessas circunferências. Cada região em negro tem uma região simétrica, em branco. Logo, a área ne-gra é igual à área branca, ou seja, é igual à metade da área do círculo maior.

17 Resposta: (D)Na figura 1, temos 2 palitos brancos; na figura 2, temos 7 palitos brancos; na figura 3, temos 12 pa-litos brancos etc. Isso mostra que a sequência de figuras é formada acrescentando sempre 5 palitos brancos à quantidade anterior. Assim, na figura de número 2 002, teremos 10 007 palitos brancos

2 1 (2 001) ? 5 5 10 007.

18 Resposta: (B)Pela tabela, vemos que, cada vez que são reti-rados 200 litros de leite, o nível do tanque baixa 40 cm; portanto, o nível baixa 1 cm, quando são

enchidas 5 garrafas 20040

55( ). Assim, o tanque fi-

cará vazio quando forem enchidas 1 050 garrafas (210 5 10503 5 ).

19 Resposta: (D)Nas unidades, do 105 ao 995, o algarismo 5 apa-rece 90 vezes, nas dezenas, do 150 ao 259, do 250 ao 259, …, do 950 ao 959, o algarismo 5 aparece 90 vezes e finalmente, nas centenas, do 500 ao 599, o algarismo 5 aparece 100 vezes, totalizando assim 280 vezes (90 1 90 1 100 5 280).

20 Resposta: (A)Seja W 5 2 000 2 V. Assim, após a primei-ra substituição, há certo volume W de leite e V de água. Na segunda substituição, retira-se um

volume W

W VV

WV1

? 52 000

de leite. Assim,

WWV W V W

2 52

5 52 000

11252 000

2 0001125

2 0001125

2

⇔ ⇔( )

WWV W V W

2 52

5 52 000

11252 000

2 0001125

2 0001125

2

⇔ ⇔( ), e desse modo obtemos W 5

5 1 500 litros e V 5 500 litros.

SEGUNDA FASE

• • • • • •

1 Resposta:a) Os palíndromos entre 2 000 e 3 000 são da forma

2aa2, em que a é um algarismo. Logo, os próxi-mos quatro serão 2 112, 2 222, 2 332 e 2 442.

b) Como o primeiro algarismo é igual ao último, um palíndromo ímpar maior que 2 002 deve come-çar e terminar por um número ímpar maior ou igual a 3. Logo, o próximo será 3 003.

123

Partida

20

20

15 – 5

1010

5 – 5

5 – 5 – 5 – 5

20 + 20

20 + 15 + 5

20 + 10 + 10

20 + 10 + 5 + 5

20 + 5 + 5 + 5 + 5

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

15

155 – 5

10 10 5

5 – 5 – 5 – 5 – 5

15 + 15 + 1015 + 15 + 5 + 5

15 + 10 + 10 + 5

15 + 10 + 5 + 5 + 5

15 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5

(6)(7)

(8)

(10)

10

5 5 – 5 (9)

105 – 5 – 5 – 5

10

5 – 510 + 10 + 5 + 5 + 5 + 5

10 + 10 + 10 + 10

(12)(13)

(11)

10

1010 + 10 + 10 + 5 + 5

– 5 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 não dá, pois há apenas 5 varetas verdes. Não dá, pois há apenas 5 varetas verdes.

(9)

2 Resposta:Seja S a área do triângulo ABC.

Se BDBC

54

, então ( ) .ABDS

54

Se AEAC

53

, então ( )( )

AEDADC S

S SS

5 52

5 53

43

343 4

Se DFDC

52

, então: ( )( )

DEFDEC

SS S

S5 5

2 1

52

4 42 4

Se EG 5 EC, então ( )( )

GFCEFC

SS

S5 5 5

2

34

2 8

2

Como (GFC) 5 40, temos: S8

40 3205 5⇔ S alqueires

3 Resposta:Uma possível solução é: 2 002, 200, 20, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 51, 102, 204, 408, 816, 1 632, 163, 326, 652, 1 304, 130, 13.

4 Resposta:Como os sapatos de Marisa eram azuis, e nem o ves-tido nem os sapatos de Júlia eram brancos, conclui- -se que os sapatos de Júlia eram pretos; portanto, os sapatos de Ana eram brancos.O vestido de Ana era branco, pois era a única que usava vestido e sapatos da mesma cor; consequen-temente, o vestido de Júlia era azul e o de Marisa era preto.

5 Resposta:A soma dos pontos é 40. Segundo as regras do jogo, as possibilidades são:

6 Resposta:Como a diferença entre o 17 e o 3 é 14, esses nú-meros devem estar em posições afastadas de 14 casas, contadas na horizontal ou vertical.Portanto, 17 e 3 devem ocupar as extremidades de uma das diagonais do tabuleiro.A partir disso, o preenchimento das diagonais é feito de maneira única. E uma maneira de se pre-encher o tabuleiro é a seguinte:

17 16 15 14 13 12 11 10

16 15 14 13 12 11 10 9

15 14 13 12 11 10 9 8

14 13 12 11 10 9 8 7

13 12 11 10 9 8 7 6

12 11 10 9 8 7 6 5

11 10 9 8 7 6 5 4

10 9 8 7 6 5 4 3

A soma dos números escritos nas diagonais é 160 8 3 10 1 (3 1 5 1 ... 1 17) 5 160.



BA – ES – MG – PA – PB – RJ – RS – SC

1 Resposta: (C)Sejam 27 000 2 x e x os preços de compra do pri-meiro e do segundo carros, respectivamente. Te-mos 1,1 (27 000 2 x) 1 0,95x 5 27 000 1 750

0,15x 5 1 950 x 5 13 000 27 000 2 x 5 14 000

2 Resposta: (A)Ao dividir a mesa em um tabuleiro 5 3 7, temos a seguinte figura, com a trajetória da bola:

Observando a figura, nota-se que a bola bate na tabela 10 vezes antes de bater novamente em um canto.Observação: pode-se demonstrar que a razão entre

a largura e o comprimento é a fração irredutível ab

,

a bola bate na tabela a 1 b 2 2 vezes nas tabelas antes de bater novamente em um canto. A ideia para obter esse resultado é construir um quadrado de lado ab com retângulos a 3 b e contar o núme-ro de vezes que a diagonal do quadrado corta os lados dos retângulos.

124

3 Resposta: (A)As telas são retângulos semelhantes, e a razão de

semelhança é 2060

13

5 . Logo, a razão entre as áreas

é 13

19

2

5 . Portanto, cabem 9 telas de 20 polega-

das em uma de 60 polegadas.

4 Resposta: (A)Seja W 5 2 000 2 V. Assim, após a primei-ra substituição, há certo volume W de leite e V de água. Na segunda substituição, retira-se um

volume W

W VV

WV1

? 52 000

de leite. Assim,

WWV W V W

2 52

5 52 000

11252 000

2 0001125

2 0001125

2

⇔ ⇔( )

WWV W V W

2 52

5 52 000

11252 000

2 0001125

2 0001125

2

⇔ ⇔( ), e desse modo obtemos

W 5 1 500 litros e V 5 500 litros.

5 Resposta: (E)Os 60 passos que João tem de vantagem equiva-

lem a 40 passos de Pedro 23

60 403 5( ). Quando

João dá 6 passos, percorre uma distância equiva-lente a 4 passos de Pedro. Assim, a cada 5 passos, Pedro aproxima-se de João o equivalente a 1 pas-so, alcançando-o após 200 passos (40 3 5 5 200).

6 Resposta: (C)Dois inteiros consecutivos positivos podem ser re-presentados por n e n11, sendo n1, e a diferen-ça entre seus quadrados é igual a:

( ) ( )n n n n n n n n1 2 1 1 2 1 1 11 2 1 2 1 12 2 2 25 5 5 ,

resultado igual à soma desses números.

7 Resposta: (B)O tempo necessário para voltar para casa e depois fazer todo o percurso até a escola foi de 18 mi-nutos (pois ia chegar 8 minutos adiantado, mas acabou chegando 10 minutos atrasado), tempo correspondente à distância a mais que percorreu, exatamente o dobro da distância entre o ponto de retorno e sua casa. Portanto, levou 9 minutos para ir de sua casa até o ponto de retorno, o que corres-

ponde a 9

20 da distância de sua casa até a escola.

8 Resposta: (B)A soma dos números de 1 a 9 é 45. Ao colocar 1 no meio, podemos escrever numa das “pás” 22 5 9 1 1 6 1 5 1 2 e na outra 22 5 8 1 7 1 4 1 3. Essa não é a única possibilidade, mas isso não muda o fato de que a maior soma possível em cada pá é igual a 22.

9 Resposta: (C)

O custo de combustível é 120 reais 90012

1 60 1203 5,( ). Com o pedágio, o custo da viagem é 168 reais (120 1 48 5 168). Cada um dos três viajantes irá pa-

gar 56 reais 168

3565( ). Nesse caso, Patrícia irá eco-

nomizar 24 reais (80 2 56 5 24).

10 Resposta: (B)Como os quadrados, trapézios e triângulos são congruentes entre si, devemos ter o lado do qua-drado igual à altura do trapézio, igual a cada ca-teto do triângulo, igual à terça parte do lado do quadrado maior. Foram eliminados dois triângulos e um quadrado, cuja soma das áreas equivale à área de dois quadrados de lado igual à terça parte

do original, ou seja, 213

29

2

3 5

da área do qua-

drado original.

11 Resposta: (D)

- A alternativa A é falsa, pois analisando o gráfico fica claro que em nenhum dos meses o fatura-mento de A é o dobro do faturamento de B.

- A alternativa B é falsa, pois em outubro a diferença de faturamento entre as duas empresas foi mais de 80 milhões, maior do que a diferença em julho, que foi de 60 milhões.

- A alternativa C é falsa, pois foi a empresa A que teve a maior queda de faturamento entre dois meses consecutivos (100 milhões entre os meses de agosto e setembro).

- A alternativa D é correta, pois no semestre o fatu-ramento de B foi de 860 milhões, e o faturamen-to de A foi maior que 860 milhões e menor que 880 milhões.

- A alternativa E é falsa, pois a diferença de fatu-ramento no semestre foi menor que 20 milhões.

12 Resposta: (D)Supondo que haja dois números a e b maiores do que 1, entre os fatores do produto, podemos sempre substituir esses fatores por ab e 1, já que ab 1 1 a 1 b (ao fazer isso, estamos aumentando o valor da soma). Dessa forma, chegamos ao produto 1 ? 1 ? 1 ? ... ? ? 1 ? 1 000 000, com 999 999 fatores iguais a 1 e um fator igual a 1 000 000, cuja soma é 1 999 999.

13 Resposta: (C)Como a lavagem completa é mais cara, o menor número de clientes ocorre quando o número c de lavagens completas for máximo. Como 176 5 7 3 3 25 1 1, então c < 25. Além disso, 176 2 7c deve ser múltiplo de 5; portanto, c deve terminar em 3 ou em 8. Logo, o valor máximo de c é 23, em cujo caso

o número de lavagens simples é 3 176 23 7

53

25

3( ).

O menor número possível de clientes é 26 (23 1 1 3 5 26).

14 Resposta: (B)

Cada retângulo tem comprimento 1 e largura 14

;

portanto, o buraco quadrado tem lado de medida

igual a 114

34

2 5 e sua área é 34

916

2

5 .

125

A

X

40o

B

30o

G F

ED H

AB

C BC 5 15 cm

15 Resposta: (D)Um número inteiro positivo menor que 900 e que termina em 7 é da forma 10x 1 7, em que x é um inteiro e 0 < x < 89. Além disso, 10x 1 7 é múltiplo de 7 se, e somente se, 10x é múltiplo de 7. Como mdc (10, 7) 5 1, isso equivale a dizer que x é múlti-plo de 7. Como há 13 múltiplos de 7 de 0 a 89 (0, 7, 14,…, 12 3 7 5 84), há 13 inteiros positivos menores que 900, múltiplos de 7 e que terminam em 7.

16 Resposta: ( C)ˆ ˆ ˆB A C °o o o o5 2 2 2 2 5180 180 80 40 605

Seja X o ponto de encontro entre as bissetrizes de A e B . O ângulo pedido é ângulo externo do triân-gulo XAB; logo, vale XAB XBA o o oˆ ˆ1 5 1 530 40 70 .

17 Resposta: (C)

DHC DEFHCEF

DHDE

HC ⇒ ⇒5 5 512

45 cm

ABC DEFABBC

DEEF

AB ⇒ ⇒5 5 523

10 cm

Logo, área ABC5 510 15

275 23

cm

18 Resposta: (D)A linha é composta da repetição da figura ao lado, cujo compri-mento é 9. Cada figura inicia num ponto representado por um múltiplo de 3 no eixo hori-zontal: 0, 3, 6, ..., 30. A 11a figura, incompleta, tem comprimento 7. Portanto, o comprimento da linha poligonal é igual a 97 (10 9 7 973 1 5 ).

19 Resposta: (D)Nas unidades, do 105 ao 995, o algarismo 5 apa-rece 90 vezes, nas dezenas, do 150 ao 259, do 250 ao 259, ..., do 950 ao 959, o algarismo 5 aparece 90 vezes e, finalmente, nas centenas, do 500 ao 599, o algarismo 5 aparece 100 vezes, totalizando assim 280 vezes (90 1 90 1 100 5 280).

20 Resposta: (B)

xy

yx

x y x yx y

x yxy

2

2

2

2

4 4 2 2

2 2

2 2 2

222 25

41 1 5

1 15

15

( )( )

21 Resposta: (B)Observemos que um ônibus tem a mesma capaci-

dade que 486

5 8 “vans”. Para colocar crianças que

caberiam em k 1 1 ônibus, precisaríamos de pelo menos 8k “vans”. O gasto com ônibus seria 237 1 1 120(k 1 1) 5 120k 1 357 e o gasto com “vans” seria pelo menos 60 ? 8k 5 480k, que é maior que o preço do ônibus para k maior ou igual a 1, isto é, quando precisarmos de 2 ou mais ônibus.Se utilizarmos um ônibus, pagaremos 357 reais (237 1 120 5 357) para levar até 48 crianças. Como 357 reais são suficientes para pagar 5 “vans”, mas não 6, é mais vantajoso utilizar ônibus se forem necessárias pelo menos 6 “vans”, o que acontece quando levamos pelo menos 31 crianças (5 ? 6 1 1 5 5 31). Logo, N 5 31.

22 Resposta: (A)Sendo h a altura inicial de Alice, sua altura final será 0,99h (1,25 3 0,9 3 1,1 3 0,8h 5 0,99h). Ou seja, ela ficou 1% mais baixa.

23 Resposta: (C )Como a 4 e a 5 b, b 4. Logo 4 2 b , 0. Assim, na passagem 4, o correto seria:

( ) ( )a b2 5 24 42 2

a b2 5 24 4

a b2 5 24 4

24 Resposta: (D)O total de letras nas cinco respostas é 63, sendo 13 nas respostas das alternativas A e B, 9 na resposta da alternativa C, 12 na resposta da alternativa D e 16 na resposta da alternativa E. Como 63 2 13 5 50, 63 2 9 5 54, 63 2 12 5 51 e 63 2 16 5 47, a única alternativa correta é a D.

25 Resposta: (D)

1111111111222 222 10 19

2 10 19

10 2 1010 5 10 5

5 2 2 3 2 52 3 1( ) 11

910 1

333 333

5

52

5

1111111111222 222 10 19

2 10 19

10 2 1010 5 10 5

5 2 2 3 2 52 3 1( ) 11

910 1

333 333

5

52

5 . Para

calcular o resto da divisão por 9, basta somar os al garismos: 3 1 3 1 3 1 3 1 3 5 15, 1 1 5 5 6. O resto é 6.


1 Resposta:Seja t 0 o tempo, em minutos, decorrido desde a saída de Geraldinho e Magrão até o instante do encontro.Sejam g e m as distâncias entre o ponto de encontro e as casas de Geraldinho e Magrão, respectivamen-te. Como Geraldinho percorre a distância g em t mi-

nutos e a distância m em 10 minutos, temos: gm

5t

10.

Analogamente, gm t

540 . Logo:

tt t

1040

400 2025 5 5t

⇔ ⇔t

t t10

40400 2025 5 5

t⇔ ⇔ , pois t 0. Logo, Geraldi-nho andou 30 minutos (10 1 20 5 30), e Magrão andou 60 minutos (40 1 20 5 60).

126

wz

x

y

verdeazul

branco

amarelo

2 Resposta:

Sejam x, y, z e w as áreas das regiões branca, ama-rela, azul e verde, respectivamente.

Seja R o raio do semicírculo. Temos: x yR

1 5π 2

2

e y z x w RR

1 5 1 5 518

22

22

π π( ) .

Assim, x 1 y 5 y 1 z 5 x 1 w, logo: x 5 z e y 5 w.Como x é a área de um segmento circular de

ângulo 90° e raio R, xR R

R5 2 52π π2 2

2

4 22

4

e

y R51π 24

2

.

Assim: x 5 z , y 5 w.

3 Resposta:Como a diferença entre o 17 e o 3 é 14, esses nú-meros devem estar em posições afastadas de 14 casas, contadas na horizontal ou vertical.Portanto, 17 e 3 devem ocupar as extremidades de uma das diagonais do tabuleiro.A partir disso, o preenchimento das diagonais é feito de maneira única. E uma maneira de se pre-encher o tabuleiro é a seguinte:

17 16 15 14 13 12 11 10

16 15 14 13 12 11 10 9

15 14 13 12 11 10 9 8

14 13 12 11 10 9 8 7

13 12 11 10 9 8 7 6

12 11 10 9 8 7 6 5

11 10 9 8 7 6 5 4

10 9 8 7 6 5 4 3

A soma dos números escritos nas diagonais é 160 8 3 10 1 (3 1 5 1 . . . 1 17) 5 160.

4 Resposta:Observar que o posto do observador coincide com o centro do círculo circunscrito.No círculo circunscrito ao quadrilátero ABCD, temos:

BCD BAD °5 52 90? ˆ .

Como BD 516, sendo O o centro do círculo circuns-

crito, temos BOD °ˆ 590 e BO OD r5 5 , 162 2 25r r1

pelo teorema de Pitágoras, logo r5 5128 8 2 . Assim, a distância do posto (que deve ficar em O)

aos ninhos é de 8 2 metros.

5 Resposta:Os primeiros números da sequência são (7, 14, 17, 20, 5, 8, 11, 5...) de onde vemos que, exceto pelos 4 primeiros termos, a sequência é periódica com pe-ríodo 3. Como 2 002 deixa resto 1 quando dividido por 3, o número procurado coincide com aquele que ocupa o 7o lugar na sequência, a saber, 11.

Observação:Para qualquer termo inicial, a sequência construída de acordo com o método descrito no enunciado do problema será eventualmente periódica, (isto é teremos a

n 1 k 5 a

k para todo k > m, para certos

valores positivos de m e n).

6 Resposta: a) Os palíndromos entre 2 000 e 3 000 são da forma

2aa2, em que a é um algarismo. Logo, os próxi-mos quatro serão 2 112, 2 222, 2 332 e 2 442.

b) Como o primeiro algarismo é igual ao último, um palíndromo ímpar maior que 2 002 deve come-çar e terminar por um número ímpar maior ou igual a 3. Logo, o próximo será 3 003.

c) Um palíndromo de quatro algarismos é da forma abba 5 a 1 10b 1 100b 1 1 000a 5 1 001a 1 1 110b, que é múltiplo de 11, já que 110 e 1 001 são múltiplos de 11. Logo, o próximo ano palín-dromo primo tem, no mínimo, 5 algarismos.

Os menores palíndromos de 5 algarismos são 10 001, que é múltiplo de 73 e 10 101, que é múlti-plo de 3. O próximo é 10 201 5 1012, divisível por 101. O seguinte, 10 301, é primo, pois não é divisí-

vel por qualquer primo menor que 10 301 102, .

127

múltiplo de 4

mais 1múltiplo de 4

mais 3

múltiplo de 4

mais 1

múltiplo de 4

mais 2múltiplo de 4

XXIII OLIMPÍADABRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2001



1a. Fase Olimpíada RegionalAM – GO – PA – RJ – RS – SC

1 Resposta: (E) Para que a diferença entre esses dois números natu-rais seja a menor possível, os algarismos das cente-nas desses números devem diferir em uma unidade. Além disso, os algarismos da dezena e unidade de-vem ser os menores possíveis, ou seja, 02, para o nú-mero formado apenas por algarismos pares; já para o número formado apenas por algarismos ímpares, devem ser os maiores possíveis, ou seja, 97. Assim, o menor valor possível para a diferença entre esses números ocorre quando os números são 402 e 397 ou 602 e 597, e, portanto, é 5.

2 Resposta: (D) Basta escolher um ponto de cada circunferência. Isso pode ser feito de 4 3 2 5 1203 3 3 5 ; 120 ma-neiras diferentes (no enunciado subentende-se que dos quatro pontos escolhidos de cada vez, não haja três alinhados).

3 Resposta: (C) Os números da sequência, quando divididos por 5, deixam resto igual a 1. O menor número de três al-garismos nessas condições é o 101.

4 Resposta: (B) Como os números têm de ser compostos e ter dois algarismos, eles devem ser múltiplos de 7, mas não múltiplos de 2, de 3 nem de 5. Assim, só podem ser: 7 7 493 5 , 7 11 773 5 e 7 13 913 5 . Portanto, três números respeitam a condição enunciada.

5 Resposta: (D) O conjunto dado tem 11 números. Os números com quantidade par de zeros são divisíveis por 11. Por exemplo, 1 001 é igual a 91 113 (na verdade, basta aplicar o critério de divisibilidade por 11). Há 5 números nessas condições; além disso, o número 101 é primo; logo, a quantidade de números com-postos é maior do que 4 e menor do que 11 (na verdade, 101 é primo, e os dez outros números são compostos).

6 Resposta: (C) Inicialmente, há 90 kg de água e 10 kg de matéria sólida. As peras devem ser desidratadas até o ponto em que esses 10 kg representem 100% 2 60% 5 5 40% da massa total, ou seja, até que a massa

total seja igual a 10

4010

0 425

% ,;5 5 25 kg. Logo,

90 2 (25 2 10) 5 75; 75 litros de água serão evapo-rados.

7 Resposta: (A) Para formar um triângulo de lado 2, são necessários 4 T; para formar um triângulo de lado 3, são necessá-rios 9 T etc. Pode-se provar que, para formar um triân-gulo de lado n, são necessários n2 triângulos T. Logo, o triângulo formado por 49 triângulos T tem lado 7.

8 Resposta: (B) Na sequência, aparecem os números de um algaris-mo (8,9); os números de dois algarismos (uma vez o 89 e o agrupamento 98,99); os números de três alga-rismos que terminam com 89 (189, 289, ..., 989, num total de 9 números); os números que começam com 89, 890, 891, ..., 899 (num total de 10 números); e os agrupamentos 908, 909; 918, 919; ...; 998,999 (num total de 10 números). Portanto, o grupo “89” aparece 1 1 2 1 9 1 10 1 10 5 32; 32 vezes.

9 Resposta: (B) Abrindo uma cadeia de três elos, o serralheiro pode emendar 4 cadeias de 3 elos e formar um pedaço de 15 elos. Por isso, com 6 elos, ele forma dois pedaços de 15 elos. Abrindo mais um elo de um desses peda-ços, ele emenda 15 com 14, formando a corrente de 30 elos. Levará, portanto, 7 3 5 5 35; 35 minutos para fazer a corrente. Para verificar que não é possível fa-zer a corrente em menos tempo, basta observar que, abrindo 6 elos, restam pelo menos 8 pedaços forma-dos por 1, 2 ou 3 elos fechados e que necessitam de pelo menos 7 elos abertos para serem ligados.

10 Resposta: (D) Observando os números nos cantos, percebemos que aparecem assim:

128

2000

2001

1 1

b – 2 1

a a – 2

1

b 2 2

a 2 2a

1

1

1

1

Como 2 000 é múltiplo de 4, a resposta correta é:

11 Resposta: (A) Se 6 bananas 5

12

melancia, então 24 bananas 5

5 2 melancias 5 9 laranjas 1 6 bananas. Portanto, 18 bananas 5 9 laranjas; ou seja, 2 bananas 5 1 la-ranja. Assim, 12 laranjas 1 12 bananas 5 24 bana-nas 1 12 bananas 5 36 bananas 5 3 melancias.

12 Resposta: (D) Para cada 10 inteiros consecutivos aparecem todos os algarismos (0, 1, 2, …, 9) como último algarismo. Como a soma de todos os algarismos dá 45, que ter-mina em 5, e 7 3 5 5 35, que também termina em 5, a soma de 70 números inteiros positivos consecu-tivos sempre termina em 5.

13 Resposta: (B) 2 quilogramas de moedas de 20 centavos corres-

pondem a 2 000

82505 ; 250 moedas de 20 centavos,

que valem o mesmo que 100 moedas de 50 cen-tavos. Assim, 100 moedas de 50 centavos pesam 1 quilograma; logo, cada moeda pesa 10 gramas.

14 Resposta: (A)

Trace retas paralelas aos lados a uma distância 1. O perímetro é igual em valor numérico à soma das áreas dos quatro retângulos finos junto aos lados.Como essa soma é igual à área total do retângulo, vemos que a área do pequeno retângulo central é igual à soma das áreas dos quatro quadrados nos cantos. Assim, a b2 2 52 2 4( )( ) .Como a b, temos: a 2 2 5 4, b 2 2 5 1 ou a 2 2 5 1, b 2 2 5 4.

15 Resposta: (C) 453 3 7 5 3 171

16 Resposta: (D) Se cada linha tiver 5 casas ocupadas, teremos ape-nas 30 casas ocupadas. Logo, alguma linha tem 6 ou mais casas ocupadas.

17 Resposta: (E) O número total de alunos da turma é menor que 30, é par, maior que 15 e deixa resto 1, quando dividido por 5. Logo, é 26. Portanto, temos 11 meninos na classe.

18 Resposta: (A) Os números escritos são da forma a11, 1a1 ou 11a, em que a é um dos nove algarismos restantes. Para um dado a, a soma dos três números acima é aaa 1 1 222 5 111 3 (a12). Logo, a sua soma para todos os nove valores possíveis de a é: S 5 111 [(0 1 2 1 3 1 1 … 1 9) 1 (9 3 2)] 5 111 3 (44 1 18) 5 6 882.

19 Resposta: (D) Se A é cão, B é cão, C é lobo, D é cão, E é lobo, o que é absurdo, pois E diria que A é um lobo. Assim, A é lobo, B é lobo, C é cão, D é lobo e E é lobo, e, portanto, há quatro lobos no grupo de animais.

20 Resposta: (A) No primeiro mosaico, temos 3 1 3 1 1 1 1 5 8; 8 azulejos pretos; no segundo, temos 4 1 4 1 2 1 1 2 5 12; no terceiro, temos 5 1 5 1 3 1 3 5 16. Não é difícil perceber (e verificar) que os próximos mo-saicos têm 20 e 24 azulejos pretos. Como 8 1 12 1 1 16 1 20 1 24 5 80, é possível construir exatamen-te 5 mosaicos. Assim, serão necessários 12 1 22 1 1 32 1 42 1 52 5 1 1 4 1 9 1 16 1 25 5 55; 55 azu-lejos brancos.


1 Resposta:A quantidade de pontinhos nas peças varia de 0 a 12; há 1 peça com 0 pontinho, 1 peça com 1 pon-tinho, 2 com 2 pontinhos, 2 com 3 pontinhos, 3 com 4 pontinhos, 3 com 5 pontinhos, 4 com 6 pontinhos, 3 com 7 pontinhos, 3 com 8 pontinhos, 2 com 9 pon-tinhos, 2 com 10 pontinhos, 1 com 11 pontinhos, 1 com 12 pontinhos. O número total de pontinhos é:1 ? 0 1 1 ? 1 1 2 ? 2 1 2 ? 3 1 3 ? 4 1 3 ? 5 1 4 ? 6 1 1 3 ? 7 1 3 ? 8 1 2 ? 9 1 2 ? 10 1 1 ? 11 1 1 ? 12 5 168 Outra solução:Cada tipo de pontuação aparece 8 vezes dentre as 28 peças do dominó. Portanto, o número total de pontos é:8 ? (0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6) 5 168Outra solução:Listar todas as possibilidades e somar tudo.

2 Resposta: Traçando a menor diagonal do paralelogramo, ob-servamos que metade dele equivale a um triângulo

retângulo pequeno, cuja área é 14

da área do tri-

ângulo retângulo grande, que, por sua vez, é 14

da

área do quadrado. Logo, a área do paralelogramo é

igual a 2 3 1

1618

5 .

Outra solução: Cada triângulo retângulo grande tem área

14

. Dois

triângulos médios formam um triângulo grande;

129

1874

1849 1850 2025

2001

2424

logo, o triângulo médio tem área 18

. Dois triângulos

retângulos pequenos formam um triângulo médio;

logo, cada um tem área 1

16. O quadrado equivale a

dois triângulos pequenos; logo, sua área é igual a 18

.

Portanto, a soma das áreas de todas as peças, exceto

o paralelogramo, é 2 3 14

1 18

1 18

1 2 3 1

16 5

78

.

Assim, resta área 18

para o paralelogramo.

3 Resposta:Ao furar após a primeira dobra, Carlinhos faz 2 furos; após a segunda dobra, faz 4 furos; após a terceira dobra, faz 8 furos e assim por diante. Dessa maneira, ao desdobrar a folha, ele irá contar 1 1 2 1 4 1 8 1 1 ... furos. Notando que:

1 1 2 5 22 2 1 (Após a primeira dobra.)

1 1 2 1 4 5 23 2 1 (Após a segunda dobra.)

1 1 2 1 4 1 8 5 24 2 1 (Após a terceira dobra.) etc.

E observando que 26 2 1 , 100 , 27 2 1, concluí-mos que o número de furos na folha passará a ser maior do que 100 a partir da sexta dobra.

Outra solução: (por tentativas)

Ao furar após a primeira dobra, Carlinhos faz 2 furos; após a segunda dobra, faz 4 furos; após a terceira dobra, faz 8 furos etc. Assim, ao desdobrar a folha, ele irá contar 1 1 2 1 4 1 8 1 ... furos. Tem-se:

1 1 2 5 3; 3 furos (Após a primeira dobra.)

1 1 2 1 4 5 7; 7 furos (Após a segunda dobra.)

1 1 2 1 4 1 8 5 15; 15 furos (Após a terceira dobra.)

1 1 2 1 4 1 8 1 16 5 31; 31 furos (Após a quarta dobra.)

1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 5 63; 63 furos (Após a quinta dobra.)

1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 5 127; 127 furos (Após a sexta dobra.)

4 Resposta:Os pontos correspondentes aos quadrados perfei-tos pares e ímpares estão sobre os lados vertical e horizontal do quadriculado, respectivamente. Os quadrados perfeitos mais próximos de 2 001 são 1 936 5 442 e 2 025 5 452. Como 2 001 está mais pró-ximo de 2 025, o ponto correspondente está no seg-mento vertical descendente, que termina em 2 025. Logo, o ponto imediatamente abaixo dele corres-ponde ao número 2 002. Para achar o número do ponto imediatamente à esquerda, consideramos o quadrado perfeito ímpar anterior, que é 432 5 1 849. O ponto desejado está no segmento ascendente que começa em 1 850 e situado à mesma distân-

cia que o ponto 2 001 está de 2 025. Logo, o número correspondente é: 1 850 1 (2 025 2 2 001) 5 1 850 1 24 5 1 874.

5 Resposta:Se o número tiver exatamente dois fatores primos diferentes, ele vai ter 4 divisores positivos: 1, esses dois primos e o produto deles. Se o número for pri-mo, ele vai ter apenas dois divisores: 1 e ele próprio. Se o número for uma potência de primo com expo-ente maior que 2, ele vai ter pelo menos 4 divisores: 1, o tal primo, o quadrado e o cubo desse primo. As-sim, a única possibilidade de que o número tenha exatamente 3 divisores é que ele seja um quadrado de um número primo.Logo, os números procurados são: 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841 e 961.

Solução mais formal:Sabemos que todos os números inteiros maiores do que 1 admitem pelo menos um divisor (ou fator) primo. Dessa forma:• sen tem dois divisores primos (p e q), então 1, p, q

e pq são divisores de n; logo, n tem mais que três divisores;

• se n é primo, então tem somente dois divisores: 1 e n;

• sen é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma ps; então, 1, p, p2, ..., ps são os divisores posi-tivos de n. Assim, para que n tenha três divisores, s deverá ser igual a 2, isto é, n 5 p2. Portanto, os inteiros positivos menores que 1 000 com três di-visores positivos são: 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529, 841 e 961.

6 Resposta:Os algarismos das unidades dos quadrados dos nú-meros de 1 a 10 são, respectivamente, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1 e 0. Ora, a soma dos números formados por esses algarismos é 45. Portanto, a soma 12 1 22 1 32 1 42 1 1 …1 102 tem como algarismo das unidades o número 5. De 11 a 20, os algarismos das unida-des dos números se repetem na mesma ordem; portanto, o algarismo das unidades da soma de seus quadrados também é 5. Consequentemen-te, a soma dos quadrados dos números de 1 a 20 tem 0 como algarismo das unidades. Logo, a soma 12 1 22 1 32 1 42 1 ... 1 n2 tem zero como alga-rismo das unidades, se N é múltiplo de 20. Como N 5 12 1 22 1 32 1 42 1 ... 1 196 8832 5 12 1 22 1 32 1 42 1 1 … 1 196 8802 1 196 8812 1 196 8822 1 196 8832, concluímos que o algarismo das unidades de N é o mesmo do número 0 1 1 1 4 1 9 5 14, ou seja, 4.

130

1 1

b – 2 1

a a – 2

1

b 2 2

a 2 2a

1

1

1

1


• • • • • •1a. Fase Olimpíada RegionalAM – GO – PA – RJ – RS – SC

1 Resposta: (B) Como os números têm de ser compostos e ter dois algarismos, eles devem ser múltiplos de 7, mas não múltiplos de 2, de 3 nem de 5. Assim, só podem ser: 7 7 493 5 , 7 11 773 5 e 7 13 913 5 . Portanto, três números respeitam a condição enunciada.

2 Resposta: (E)

BC 5 DC. Como m BCDˆ( ) 5 90°, temos m DBC m BDCˆ ˆ( ) ( )5 5

m DBC m BDCˆ ˆ( ) ( )5 5 45°. Mas m BCA m DCEˆ ˆ( ) ( )5 5 80°. Portan-

to, a 5 180° 2 (45° 1 80°) 5 55°.

3 Resposta: (D) O conjunto dado tem 11 números. Os números com quantidade par de zeros são divisíveis por 11. Por exemplo, 1 001 é igual a 91 113 (na verdade, basta aplicar o critério de divisibilidade por 11). Há 5 nú-meros nessas condições; além disso, o número 101 é primo; logo, a quantidade de números compostos é maior do que 4 e menor do que 11 (na verdade, 101 é primo, e os dez outros números são compostos).

4 Resposta: (C) Inicialmente, há 90 kg de água e 10 kg de matéria sólida. As peras devem ser desidratadas até o ponto em que esses 10 kg representem 100% 2 60% 5 5 40% da massa total, ou seja, até que a mas-

sa total seja igual a 10

4010

0 425 25

% ,;5 5 kg. Logo,

90 2 (25 2 10) 5 75; 75 litros de água serão eva-porados.

5 Resposta: (B) Na sequência, aparecem os números de um algaris-mo (8,9); os números de dois algarismos (uma vez o 89 e o agrupamento 98,99); os números de três alga-rismos que terminam com 89 (189, 289, ..., 989, num total de 9 números); os números que começam com 89, 890, 891, ..., 899 (num total de 10 números); e os agrupamentos 908, 909; 918, 919; ...; 998,999 (num total de 10 números). Portanto, o grupo “89” aparece 1 1 2 1 9 1 10 1 10 5 32; 32 vezes.

6 Resposta: (B) Abrindo uma cadeia de três elos, o serralheiro pode emendar 4 cadeias de 3 elos e formar um pedaço de 15 elos. Por isso, com 6 elos, ele forma dois pedaços de 15 elos. Abrindo mais um elo de um desses pe-daços, ele emenda 15 com 14, formando a corrente de 30 elos. Levará, portanto, 7 3 5 5 35; 35 minu-tos para fazer a corrente. Para verificar que não é possível fazer a corrente em menos tempo, basta observar que, abrindo 6 elos, restam pelo menos

8 pedaços formados por 1, 2 ou 3 elos fechados e que necessitam de pelo menos 7 elos abertos para serem ligados.

7 Resposta: (A) Se 6 bananas 5

12

melancia, então 24 bananas 5

5 2 melancias 5 9 laranjas 1 6 bananas. Portanto, 18 bananas 5 9 laranjas; ou seja, 2 bananas 5 1 la-ranja. Assim, 12 laranjas 1 12 bananas 5 24 bana-nas 1 12 bananas 5 36 bananas 5 3 melancias.

8 Resposta: (D) Para cada 10 inteiros consecutivos aparecem todos os algarismos (0, 1, 2, …, 9) como último algarismo. Como a soma de todos os algarismos dá 45, que ter-mina em 5, e 7 3 5 5 35, que também termina em 5, a soma de 70 números inteiros positivos consecu-tivos sempre termina em 5.

9 Resposta: (A)

Trace retas paralelas aos lados a uma distância 1. O perímetro é igual em valor numérico à soma das áreas dos quatro retângulos finos junto aos lados.Como essa soma é igual à área total do retângulo, vemos que a área do pequeno retângulo central é igual à soma das áreas dos quatro quadrados nos cantos. Assim, a b2 2 52 2 4( )( ) .Como a b, temos: a 2 2 5 4, b 2 2 5 1 ou a 2 2 5 1, b 2 2 5 4.

10 Resposta: (C) 453 3 7 5 3 171

11 Resposta: (B) Seja x o número de arcos percorridos e y o número de voltas dadas.P

1P

r 5 35x 5 360y 7x 5 72y x 5 72

Logo, n 5 73.

12 Resposta: (D) Se cada linha tiver 5 casas ocupadas, teremos ape-nas 30 casas ocupadas. Logo, alguma linha tem 6 ou mais casas ocupadas.

13 Resposta: (C)

ABC BCDˆ ˆ5 52

5180 5 2

5108

( ) °

ABF FBC BCFˆ , ˆ , ˆ5 5 52

560 48180 48

266° ° °

Logo: FCDˆ .5 2 5108 66 42° ° °

131

1

2

3

n

n+1n 1 1

n

3

2

1

a22a

22

2b

2b

45°

b2

b2

aa

14 Resposta: (E) O número total de alunos da turma é menor que 30, é par, maior que 15 e deixa resto 1, quando divi-dido por 5. Logo, é 26. Portanto, temos 11 meninos na classe.

15 Resposta: (D) Uma reta determina o número máximo de regiões no círculo quando corta o número máximo de se-tores (ou seja, o maior número possível de raios). A figura mostra uma reta que corta n 1 1 raios, ou seja, n 1 2 setores, determinando assim n 1 2 novas regiões, para um total de 3n 1 3 regiões. Esse nú-mero é máximo, já que as extremidades dos raios extremos cortados por uma reta estão sempre em um mesmo semiplano determinado pela paralela à reta passando pelo centro do círculo.

16 Resposta: (B) Paulo tem x reais e Cezar tem y reais.

x y y2 1 1 5 1 5513

5 1823

5 18( ) ( ),

Logo, x 5 14 e y 5 22. y 2 x 5 8

17 Resposta: (E) Tomemos como unidade a quantidade de ração que 1 vaca come em 1 dia:10 24 10 30 10 24 60 90? 1 ? 1 ? 5 ? 5n n⇒

18 Resposta: (A) Os números escritos são da forma a11, 1a1 ou 11a, em que a é um dos nove algarismos restantes. Para um dado a, a soma dos três números acima é aaa 1 1 222 5 111 3 (a12). Logo, a sua soma para todos os nove valores possíveis de a é: S 5 111 [(0 1 2 1 3 1 1 … 1 9) 1 (9 3 2)] 5 111 3 (44 1 18) 5 6 882.

19 Resposta: (D) A mesa pode ser empurrada pelo corredor de dois modos: utilizando apenas movimentos de transla-ção ou girando-a em torno do ponto de encontro dos dois corredores. No primeiro caso, é preciso um corredor de largura igual à maior dimensão da mesa (ou seja b). No segundo caso, a posição crítica ocorre quando a mesa está igualmente inclinada em rela-ção aos dois corredores (isto é, faz um ângulo de 45° com a horizontal). Neste caso, a largura mínima

deve ser igual a ab

a b2

2 22

22

24

1 5 1( ) . Como

2a , b, esse valor é menor que b2

2 e, portanto,

menor que b. Logo, a largura mínima do corredor

deve ser igual a 22

4a b1( ) .

20 Resposta: (B) O plano que secciona o cubo no item B é aquele que contém os segmentos que ligam os pontos médios de arestas paralelas não coincidentes de duas faces adjacentes. Pode-se verificar que as demais planifi-cações não contêm representações de interseções de planos com o cubo.

21 Resposta: (B) Seja n2 o quadrado perfeito. Como ele termina com 2 001, temos n20 5 10 000m 1 2 001 n20 2 1 5 5 2 000 (5m 1 1) (n 2 1)(n 1 1) 5 2453(5m 1 1). Como mdc(n 2 1; n 1 1) 5 mdc(n 1 1; n 1 1 2 2 (n 2 1)) 5 mdc(n 1 1; 2) 5 2 (pois n é ímpar), n 2 1 ou n 1 1 é divisível por 53 5 125. Assim, n 5 125t 1 1 ou n 5 125t 2 1, em que t é inteiro positivo. Como n é ímpar, t é par; logo, o menor valor possível para t é 2. Para n 5 125 ? 2 2 1 5 249, temos n2 5 62 001, que termina em 2 001. Logo, o menor quadrado perfeito cujos últimos quatro dígitos são 2 001 é 2492 5 62 001, que tem 5 dígitos.

22 Resposta: (D) Seja S a extensão do circuito, t . 0 o tempo gasto pelo Papa-Léguas para dar a primeira volta e t´ . 0 o tempo gasto para dar as outras 99 voltas. Temos St

5200, e a velocidade média do Papa-Léguas na

corrida é 100 20 000

20 000S

t tt

t t15

1´ ´, . Por outro lado,

como nada sabemos sobre o valor de t’, se t' 9t, ,

teremos 100St t'

2 0001

. . Assim, a opção correta é D.

23 Resposta: (A) No primeiro mosaico, temos 3 1 3 1 1 1 1 5 8; 8 azulejos pretos; no segundo, temos 4 1 4 1 2 1 1 2 5 12; no terceiro, temos 5 1 5 1 3 1 3 5 16. Não é difícil perceber (e verificar) que os próximos mo-saicos têm 20 e 24 azulejos pretos. Como 8 1 12 1 1 16 1 20 1 24 5 80, é possível construir exatamen-te 5 mosaicos. Assim, serão necessários 12 1 22 1 1 32 1 42 1 52 5 1 1 4 1 9 1 16 1 25 5 55; 55 azulejos brancos.

132

2

ˆ90

C+

2

ˆ180 A−A

B

C

P

Q

C180 −

Â

1874

1849 1850 2025

2001

2424

24 Resposta: (D) Se A é cão, B é cão, C é lobo, D é cão, E é lobo, o que é absurdo, pois E diria que A é um lobo. Assim, A é lobo, B é lobo, C é cão, D é lobo e E é lobo, e, portanto, há quatro lobos no grupo de animais.

25 Resposta: (B) Sejam M, N, O, P, Q e R os pontos de tangência dos la-dos AB, BC, CD, DE, EF e FA na circunferência inscrita, respectivamente, e seja x 5 AM. Temos:

AR 5 AM 5 x, MB 5 1 2 x, BN 5 MB 5 1 2 x, NC 5 2 2 (1 2 x) 5 1 1 x, CO 5 NC 5 1 1 x, OD 5 3 2 (1 1 x) 5 2 2 x, DP 5 OD 5 2 2 x, PE 5 4 2 (2 2 x) 5 2 1 x, EQ 5 PE 5 2 1 x, QF 5 5 2 (2 1 x) 5 3 2 x e FR 5 QF 5 3 2 x. Logo, FA 5 FR 1 AR 5 3 2 x 1 x 5 3.


1 Resposta: Traçando a menor diagonal do paralelogramo, ob-servamos que metade dele equivale a um triângulo

retângulo pequeno, cuja área é 14

da área do tri-

ângulo retângulo grande, que, por sua vez, é 14

da

área do quadrado. Logo, a área do paralelogramo é

igual a 2 3 1

1618

5 .

Outra solução:

Cada triângulo retângulo grande tem área 14

. Dois

triângulos médios formam um triângulo grande;

logo, o triângulo médio tem área 18

. Dois triângulos

retângulos pequenos formam um triângulo médio;

logo, cada um tem área 1

16. O quadrado equivale a

dois triângulos pequenos; logo, sua área é igual a 18

.

Portanto, a soma das áreas de todas as peças, exceto

o paralelogramo, é 2 3 14

1 18

1 18

1 2 3 1

16 5

78

.

Assim, resta área 18

para o paralelogramo.

2 Resposta:Os pontos correspondentes aos quadrados perfei-tos pares e ímpares estão sobre os lados vertical e horizontal do quadriculado, respectivamente. Os quadrados perfeitos mais próximos de 2 001 são 1 936 5 442 e 2 025 5 452. Como 2 001 está mais próximo de 2 025, o ponto correspondente está no segmento vertical descendente, que termina em 2 025. Logo, o ponto imediatamente abaixo dele corresponde ao número 2 002. Para achar o número do ponto imediatamente à esquerda, consideramos o quadrado perfeito ímpar anterior, que é 432 5 5 1 849. O ponto desejado está no segmento as-

cendente que começa em 1 850 e situado à mesma distância que o ponto 2 001 está de 2 025. Logo, o número correspondente é: 1 850 1 (2 025 2 2 001) 5 1 850 1 24 5 1 874.

3 Resposta:Observando que no ano n é realizada a (n 2 1978)- -ésima OBM, temos que o ano n é superolímpico se, e somente se, n 2 1978 divide n. Assim, n 2 1978 divide n 2 (n 2 1978) 5 1978. Como os divisores positivos de 1978 são 1, 2, 23, 43, 46, 86, 989 e 1978, os anos superolímpicos são 1979, 1980, 2001, 2021, 2024, 2064, 2967 e 3956.

4 Resposta:Os triângulos ACQ e PAC são isósceles. No triângulo ACQ, temos:

CAQ 5 AQC 5 A

ACQ 5 C 1 180

2°2C

5 90° 1

C2

Logo, 2A 1 902

°1C

5 180° (1)

No triângulo PAC, temos:

C AP 5 180

2°2A

ACP 5 APC 5 180° 2 C

Logo, 1802°2A

1 2(180° 2 C ) 5 180° (2)

Resolvendo o sistema formado pelas equações

(1) e (2), obtemos A 5 12° e C 5 132°; daí,

B 5 180° 2 12° 2 132° 5 36°.

133

5 Resposta:Seja A 5 {x; y; t; z} um conjunto intercambiável. Então podemos supor, sem perda de generalidade, que:

(10x 1 y)(10t 1 z) 5 (10y 1 x)(10z 1 t) xt 5 yz (1)

Por (1), temos que 5 e 7 não podem aparecer em A. Se o maior dos elementos de A fosse menor ou igual a 4, teríamos A 5 {1; 2; 3; 4}, que não é intercam biável. Logo, A possui pelo menos um dos dígitos 6, 8 ou 9.Se o maior elemento de A é 9, temos por (1) que 3 e 6 também pertencem a A. Nesse caso temos o con-junto intercambiável A 5 {2; 3; 6; 9}.Se o maior elemento de A é 8, temos que 4 e outro algarismo par estão em A. Assim, temos A 5 {1; 2; 4; 8} ou A 5 {3; 4; 6; 8}.Se o maior elemento de A é 6, temos que 3 e outro algarismo par estão em A. Dessa forma, A 5 {1; 2; 3; 6} ou A 5 {2; 3; 4; 6}.Assim, temos no total 5 conjuntos intercambiáveis: {2; 3; 6; 9}, {1; 2; 4; 8}, {3; 4; 6; 8}, {1; 2; 3; 6} e {2; 3; 4; 6}.

Solução complementar:Seja A 5 {x; y; z; t} um conjunto intercambiável. Podemos supor que um dos pares de números é 10x 1 y e 10z 1 t.Observemos que, em cada par, podemos construir um conjunto D com os algarismos correspondentes às dezenas e outro conjunto U com os algarismos correspondentes às unidades. No par de números 10x 1 y e 10z 1 t, temos D 5 {x; z} e U 5 {y; t}.Para o outro par de números, sejam D’ e U’ os con-juntos correspondentes às dezenas e unidades, res-pectivamente, temos os seguintes casos:

I) D’ 5 D 5 {x; z} e U ’ 5 U 5 {y; t}. A única pos-sibilidade é 10x 1 t e 10z 1 y. Temos então: (10x 1 y)(10z 1 t) 5 (10x 1 t)(10z 1 y)

(y 2 t)(z 2 x) 5 0 y 5 t ou z 5 x, absurdo.

II) D’ 5 {x; t} e U’ 5 {z; y}. Temos duas possibilidades:

• 10x1 y e 10t 1 z. Temos: (10x 1 y)(10z 1 t) 5 (10x 1 y)(10t 1 z) t 5 z,

absurdo.

• 10x1 z e 10t 1 y. Temos: (10x 1 y)(10z 1 t) 5 (10x 1 z)(10t 1 y)

(100x 2 y)(z 2 t) 5 10(z 2 x)(t 2 y)(*)

Sendo o maior valor de |(z 2 x)(t 2 y)| igual a 49, temos que |(100x 2 y)(z 2 t)| < 490 100x 2 y < < 490 x < 4. Além disso,10 divide (100x 2 y) (z 2 t) e, portanto, 5 divide 100x 2 y ou z 2 t.

Se 5 divide 100x 2 y, 5 divide y e, portanto, y 5 5. Assim:(*) (20x 2 1)(z 2 t) 5 2(z 2 x)(t 2 y)

Observemos também que 1 < |z 2 x| < 8 e 1 < < |t 2 y| < 8.

Para x 5 1, temos que 20x 2 1 5 19 divide z 2 x ou t 2 y, absurdo.

Para x 5 2, temos 20x 2 1 5 39 e, portanto, 13 divide z 2 x ou t 2 y, absurdo.



Se 5 divide z 2 t, temos z 2 t 5 5 ou z 2 t 5 25.

Se z 2 t 5 5, temos:(*) 100x 2 y 5 2(t 1 5 2 x)(t 2 y)

Como |(t 1 5 2 x)(t 2 y)| < 8 ? 8 5 64, temos 100x 2 y < 128. Logo, x 5 1. Temos, então, 100 2 2 y 5 2(t 1 4)(t 2 y). Temos também que y é par. Para y 5 2, temos 98 5 2(t 1 4)(t 2 2), que não tem solução inteira em t; para y 5 4, temos 96 5 5 2(t 1 4)(t 2 4), que também não tem solu-ção inteira em t; para y 5 6, temos 94 5 2(t 1 4) (t 2 6); e para y 5 8, temos 92 5 2(t 1 4)(t 2 8). Em todos os casos, não há soluções inteiras em t.

Se z 2 t 5 25, temos:(*) 100x 2 y 5 22(t 2 5 2 x)(t 2 y)

Usando um argumento análogo ao anterior, te-mos que x 5 1, e y é par. Substituindo x 5 1 e y 5 2, 4, 6 e 8 na equação acima, vemos que não há soluções inteiras em t.

III) Os casos D’ 5 {x; y} e U’ 5 {z; t}, D’ 5 {z; y} e U’ 5 {x; t} e D’ 5 {z; t} e U’ 5 {x; y} podem ser anali-sados de forma análoga aos anteriores.

Iv) D’ 5 U 5 {y; t} e U’ 5 D 5 {x; z}. Novamente, há duas possibilidades:• 10y1 z e 10t 1 x. Temos: (10x 1 y)(10z 1 t) 5 (10y 1 z)(10t 1 x)

99(xz 2 yt) 5 10(z 2 x)(t 2 y)

Assim, 11 divide 10(z 2 x)(t 2 y), ou seja, 11 divi-de z 2 x ou t 2 y, absurdo.

Dessa forma, só nos resta o caso:

• 10y1 x e 10t 1 z, que é o caso estudado no gabarito anterior.

6 Resposta:Como o padrão deve ser simétrico, basta decidir os primeiros 5 furos pelos quais o cadarço deve pas-sar. A partir daí, os furos ficam determinados pela simetria. Por exemplo, o 7o furo deve ser o outro furo da mesma linha visitada no 4o furo. Note, ain-da, que a simetria implica que as linhas visitadas nos 5 primeiros furos são todas distintas. Além dis-so, a primeira dessas linhas é obrigatoriamente a de cima e a 5a é obrigatoriamente a de baixo, já que os furos da linha de baixo são visitados con-secutivamente. Assim, para obter um padrão para o cadarço, pode-mos iniciar pelo furo da esquerda da linha superior e devemos decidir:

134

• emqueordemas3linhasintermediáriassãovisi-tadas;

• dequeladoqueremospassarnessas3linhasenalinha de baixo.

Para escolher a ordem das 3 linhas, observamos que a primeira pode ser escolhida de 3 modos; a seguir, a segunda pode ser escolhida de 2 modos, ficando a terceira determinada. Logo, há 6 possibilidades de escolha para a ordem das linhas.Para escolher o lado por onde passar nas 4 linhas, temos duas opções para cada uma delas, para um

total de 2 3 2 3 2 3 2 5 16; 16 possibilidades. Logo, o número total de modos de amarrar o cadar-ço é: 6 3 16 5 96.

Outra solução:Começando do lado esquerdo da linha superior, o segundo furo pode ser escolhido de 6 modos (qual-quer uma das linhas intermediárias); o terceiro, de 4 modos (nas duas intermediárias restantes); e o quarto e quinto, de 2 modos cada (suas linhas estão determinadas, bastando escolher o lado). Logo, há um total de 6 3 4 3 2 3 2 5 96; 96 possibilidades.

135

A

AB

B

C

C C

C

XXII OLIMPÍADABRASILEIRA DE MATEMÁTICA - 2000



1a. Fase Olimpíada RegionalBA - ES - GO - RJ - RN - SC - SP

1 Resposta: (E) Os exemplos dados mostram que 12 345 679 3 9k 5 5 kkk kkk kkk. Assim, para obter 999 999 999, deve-mos multiplicar 12 345 679 por 9 3 9 5 81.

2 Resposta: (C) Salário 1 horas extras 5 250; salário 2 horas extras 5 200. Logo, o dobro do salário é igual a 450,

portanto, o salário é 450

2225= ; 225 reais.

3 Resposta: (B) Os algarismos são iguais nos seguintes instantes: 0:00, 1:11, 2:22, 3:33, 4:44, 5:55, 11:11, 22:22.

4 Resposta: (D) Ele separa 40 garrafas vazias e as troca por 10 garra-fas de 1 litro cheias de leite. Esvaziadas as 10 garrafas, ele pode juntá-las com as 3 vazias que restaram e tro-cá-las por 3 garrafas cheias, sobrando ainda 1 garrafa vazia. Esvaziando as 3 cheias e juntando com a gar-rafa vazia, ele ainda pode obter em troca mais uma garrafa cheia. Ao todo ele pode obter, por sucessivas trocas, 10 1 3 1 1 5 14; 14 garrafas cheias de leite, todas elas a partir das 43 vazias que ele possuía.

5 Resposta: (E) As três bolas retiradas são brancas ou vermelhas. Como há somente duas bolas brancas, haverá pelo menos uma vermelha dentre as retiradas.

6 Resposta: (D) Os três triângulos sombreados têm altura igual à al-tura do retângulo. Como a soma de suas bases é igual à base do retângulo, a soma de suas áreas é igual à metade da área do retângulo. Alternativamente, po-de-se observar que as partes sombreadas e não som-breadas podem ser subdivididas de tal modo que a cada parte sombreada corresponda exatamente uma parte congruente não sombreada, como mostra a figura ao lado. Logo, a área sombreada corresponde à metade da área do retângulo.

7 Resposta: (B) Como um desses primos é par, e o outro é ímpar, temos apenas 25 2 235 1 .

8 Resposta: (A)

6003

250 75

154 00km

Lkm

RL

R? ? 5$ ,

$ ,

9 Resposta: (D) Seja N 5 10a 1 b. O número 10b 1 a (obtido inver-tendo-se os algarismos de N) é ímpar; logo, a é ím-par. Portanto, N 5 16 ou N 5 36. Mas 61 2 16 5 45, que não é um cubo perfeito, e 63 2 36 5 27 5 33. Então N 5 36, e 3 1 6 5 9.

10 Resposta: (A) Considerando que a engrenagem da esquerda gi-rou um certo ângulo x em um sentido (horário ou anti-horário), a engrenagem da direita girou o mesmo ângulo x no sentido oposto, e, portanto, a bandei rinha ficou na posição mostrada na alterna-tiva A.

11 Resposta: (A)

Em cada caixote de madeira cabem 6020

8020

12020

72? ? 5 6020

8020

12020

72? ? 5 ; 72 caixas de papelão cúbicas de 20 cm de lado. Logo, em cada caixote cabem 72 8 5763 5 ; 576 latas de palmito.

12 Resposta: (A) Sendo x a idade atual do filho, 2x é a idade atual de Hélio; há 18 anos, as idades de Hélio e do filho, eram, respectivamente, 2 18x2 e x218. Assim:2 18 3 18 2 18 3 54 36x x x x x2 5 2 2 5 2 5( ) ⇔ ⇔ ; logo, 2 72x5 .

13 Resposta: (C) As colunas reúnem números que deixam mesmo resto na divisão por 9; como 2 000 dividido por 9 deixa resto 2, está na mesma coluna que o 2, ou seja, coluna C.

14 Resposta: (C) Número de gêmeos 5 número de trigêmeos 5 5 número de quadrigêmeos 5 n; logo, n é um múltiplo positivo de 12. Mas 39 2 02 .n ; logo, n512. Consequentemente, o número de filhos é 12 39 511 5 .

136

4

5

7 1 10

3 8

6

2 9

4

6

7 1 10

3 8

5

2 9

15 Resposta: (B)Mário e Carlos não podem ter, ambos, dito a ver-dade, pois somente um entrou sem pagar. Se Má-rio não falou a verdade, então o que Carlos disse é verdadeiro, o que Pedro disse é verdadeiro, e o que Benjamim disse é verdadeiro. Disso se con-clui que Pedro entrou sem pagar (Se Mário disse a verdade, Carlos não disse, e Pedro disse, o que é contraditório).

16 Resposta: (D)Uma estratégia que o jogador que começa pode adotar é tirar 6 2 k palitos, se o outro jogador ti-rou k palitos na jogada anterior. Como o resto da divisão de 1 000 por 6 é 4, temos que o jogador que começa deve tirar no começo 4 palitos para garantir a vitória (nas outras jogadas, basta seguir a estratégia anterior).

17 Resposta: (D) Para que o cubo de um número termine em 1, o nú-mero deve terminar em 1 (note que ele não pode ser par e que 3 273 5 , 5 1253 5 , 7 3433 5 e 9 7293 5 ). Assim, os números menores que 1 000 000 que têm

cubos terminados em 1 são 1000 000

10100 0005 .

18 Resposta: (C) Como o aluno que saiu da turma A é o que tinha a menor nota, a média das notas dessa turma aumen-tou; como, todavia, esse aluno tem nota maior que a de qualquer outro aluno da turma B, temos que a média da turma B aumentou.

19 Resposta: (E) O mínimo múltiplo comum de 7 e 8 é 56. Entre dois múltiplos consecutivos de 56, há sete múltiplos de 7 e seis múltiplos de 8. Assim, os múltiplos de 56 são os elementos de ordem 14, 28, 42, … da sequência. Portanto, o 98o elemento da sequência é igual a 56 3 7 5 392, e o 100o é 392 1 8 5 400.

20 Resposta: (B)

SEGUNDA FASE

• • • • • •

1 Resposta:Sejam a b c< < as dimensões do paralelepí-pedo. Temos que a, b e c [ IN* e abc 5 24. Como abc aaa a> <⇔ 2 24, temos a < 2, ou seja, a a5 51 2ou .Se a bc5 51 24, . As possibilidades para b e c são b c b c5 5 5 51 24 2 12e e; ; b c b c5 5 5 53 8 4 6e e; .

b c b c5 5 5 53 8 4 6e e; .Se a 5 52 12, .bc As possibilidades para b e c com b>2 são b c5 52 6e ; b c5 53 4e .Assim, há 6 maneiras de construirmos o paralelepí-pedo.

2 Resposta:O quadrado A tem medida de lado 1 cm, enquanto que o quadrado B tem medida de lado 9 cm. Temos que as longitudes dos lados dos quadrados restan-tes são:C 5 10 cm G 5 4 cmF 5 7 cm E 5 8 cmD 5 14 cm I 5 18 cm

3 Resposta:Temos que os segmentos verdes dividem os pontos da reta em conjuntos de pontos com cores iguais, sendo que o primeiro conjunto à esquerda contém pontos vermelhos, o segundo conjunto contém pontos azuis, o terceiro conjunto contém pontos vermelhos e assim por diante. Como há 20 segmen-tos verdes, temos 21 conjuntos de pontos.Assim, como o 21o conjunto contém pontos verme-lhos, o ponto na ponta direita é vermelho.

4 Respostas:

1) 1 e 2 ocupam pontas vizinhas. É fácil ver que co-locando o 2 no meio ou em uma ponta “oposta” a 1 o problema não tem solução.

2) 9 e 10 ocupam pontas vizinhas. Pelo mesmo raciocínio anterior.

3) Uma vez que 1 e 2 estão colocados, o 3 está no meio, entre o 1 e o 2. Observe que colocar o 3 em qualquer outra posição leva a um absurdo.

4) Uma vez que 1, 2 e 3 estão colocados, fica claro que o 4 é vizinho ao 3.

5) Se 1, 2, 3 e 4 já estão colocados, 5 pode estar no meio ou em uma ponta, e o mesmo ocor-re com o 6 (ver figuras). Quando um deles está numa ponta, o outro está no meio.

6) O 7 está no meio.a) Ver figuras.b) 1, 2, 9 e 10 obrigatórios, mais 5 ou 6.c) 3, 4, 7, 8 obrigatórios, mais 5 ou 6.

5 Resposta:Decomponha N em primos 5 2 32 3a a ...Dobro de um cubo quer dizer que todos os a

i são

múltiplos de 3, exceto a2, que deixa resto 1 na divi-

são por 3.Quíntuplo de um quadrado quer dizer que todos são pares, exceto a

5.

Os menores expoentes possíveis são, então, a2 5 4;

a5 5 3 e os outros a

3 5 a

7 5 ... 5 0.

Logo, N 5 24 ? 53 5 2 000.

137

A

AB

B

C

C C

C

D

B

C

G

F

A

E

AB

C

H

J I 70°

60°

6 Resposta:Dois números deixam o mesmo resto quando divi-didos por n se, e só se, sua diferença é múltipla de n. Logo, as diferenças 238 2 154 5 84 e 334 2 238 5 5 96 são ambas múltiplas de n. Como n é o maior possível, concluímos que n deve ser o maior divisor comum de 84 e 96, que é 12.


• • • • • •1a. Fase Olimpíada RegionalBA - ES - GO - RJ - RN - SC - SP

1 Resposta: (D) Para que o cubo de um número termine em 1, o nú-mero deve terminar em 1 (note que ele não pode ser par e que 3 273 5 , 5 1253 5 , 7 3433 5 e 9 7293 5 ). Assim, os números menores que 1 000 000 que têm

cubos terminados em 1 são 1000 000

10100 0005 .

2 Resposta: (A)

Em cada caixote de madeira cabem 6020

8020

12020

72? ? 5

5 72; caixas de papelão cúbicas de 20 cm de lado. Logo, em cada caixote cabem 72 8 5763 5 ; 576 la-tas de palmito.

3 Resposta: (A) Considerando que a engrenagem da esquerda gi-rou um certo ângulo x em um sentido (horário ou anti-horário), a engrenagem da direita girou o mesmo ângulo x no sentido oposto, e, portanto, a bandei rinha ficou na posição mostrada na alterna-tiva A.

4 Resposta: (B)Mário e Carlos não podem ter, ambos, dito a ver-dade, pois somente um entrou sem pagar. Se Má-rio não falou a verdade, então o que Carlos disse é verdadeiro, o que Pedro disse é verdadeiro, e o que Benjamim disse é verdadeiro. Disso se con-clui que Pedro entrou sem pagar (Se Mário disse a verdade, Carlos não disse, e Pedro disse, o que é contraditório).

5 Resposta: (C) Como o aluno que saiu da turma A é o que tinha a menor nota, a média das notas dessa turma aumen-tou; como, todavia, esse aluno tem nota maior que a de qualquer outro aluno da turma B, temos que a média da turma B aumentou.

6 Resposta: (D)

Temos

ABJ HBJˆ ˆ .5 5 2 590 70 20° ° °

Logo, ˆ ( ) .A5 2 1 5180 60 40 80° ° ° °

7 Resposta: (D)Os três triângulos sombreados têm altura igual à altura do retângulo. Como a soma de suas bases é igual à base do retângulo, a soma de suas áreas é igual à metade da área do retângulo. Por outro lado, pode-se observar que as partes sombreadas e não sombreadas podem ser subdivididas de tal modo que a cada parte sombreada corresponda exatamente uma parte congruente não sombreada, como mostra a figura abaixo. Logo, a área sombrea-da corresponde à metade da área do retângulo.

8 Resposta: (B) Sejam v

A, v

B e v

C as velocidades de Alberto, Beatriz

e Carlos, respectivamente, e seja d o comprimento da pista. O tempo necessário para que Alberto al-

cance Beatriz é: td

v vA B

52

. Por outro lado, temos

dv vA C1

590 e d

v vB C15105 . Assim, v v

dA C1 5

90,

v vd

B C1 5105

e, portanto, v vd d d

A B2 5 2 590 105 630

.

Logo, o tempo pedido é tdd

5 5

630

630;

630 se gundos.

9 Resposta: (A)

Lembrando de que o ângulo interno de um pentá-

gono regular é igual a ( )5 2 180

52 o

5 108o, temos

que AÊF 5 360o 2 108o 2 90o 5 162o. Como o triângulo AEF é isósceles, com AE 5 EF, temos

EÂF 5 180 162

2

o o2 5 9o.

10 Resposta: (B) Seja (ab)

10 um inteiro de dois algarismos. Deve-

mos ter:10a 1 b 5 2ab (2a 2 1)(b 25) 5 5Como a e b são inteiros, com a . 0 e 0 < b < 9, temos que 2a 2 1 . 0. Assim:2a 2 1 5 5 e b 2 5 5 1 a 5 3 e b 5 6Logo, o único inteiro satisfazendo as condições do enunciado é 36.

138

ABC

DE

FG

11 Resposta: (E) O mínimo múltiplo comum de 7 e 8 é 56. Entre dois múltiplos consecutivos de 56, há sete múltiplos de 7 e seis múltiplos de 8. Assim, os múltiplos de 56 são os elementos de ordem 14, 28, 42, … da sequência. Portanto, o 98o elemento da sequência é igual a 56 3 7 5 392, e o 100o é 392 1 8 5 400.

12 Resposta: (C) Existem 27 possíveis resultados para a soma dos al-garismos (1 a 27). As somas 1 e 27 só podem ser ob-tidas de um modo cada (100 e 999, respectivamen-te). Assim, no caso mais desfavorável, retiraríamos 27 cartões 1 25 cartões, e uma das somas apare-cerá pela terceira vez no próximo cartão. Portanto, precisamos de, no mínimo, 53 cartões.

13 Resposta: (C) Temos ( )x y xy x xy y

x yx y

2 2 1 511

2 2 23 3

0> <⇔ . As-sim, como xy . 0, temos:

xyx yx y

x xy y x y x xy y

x y x y

< , ,

,

3 32 2 2 2 2 2

2

11

5 2 1 1 1 1 5

5 1 1( ) xx xy y x y2 2 221 1 5 1( )

14 Resposta: (D)

Temos que ACE FGE AC3

12

5 AC 5 32

.

Logo, BC 5 32

2 1 5 12

. Temos também que

BCD ACE BD1

1232

5 BD 5 13

. Logo, a

área do triângulo BCD é: 12

12

13

? ? 5 1

12. Portanto,

a área desejada é: 1 2 1

12 5

1112

.

15 Resposta: (D)

Como a, b > 0, temos ab

,1 a , b. Portanto, como

a , b a 1 1 , b 1 1 ab

11

11

1, e a , b a 1

1 ab < b 1 ab ab

ab

,11

11

, temos que ab

11

11

é

maior que ab

, mas menor que 1.

16 Resposta: (D)Uma estratégia que o jogador que começa pode adotar é tirar 6 2 k palitos, se o outro jogador tirou k palitos na jogada anterior. Como o resto da divi-são de 1 000 por 6 é 4, temos que o jogador que começa deve tirar no começo 4 palitos para garantir a vitória (nas outras jogadas, basta seguir a estraté-gia anterior).

17 Resposta: (E)O segmento AB pode ser um dos lados do retângu-lo. Há 4 retângulos que podem ser construídos com essa propriedade. Se o segmento AB for uma dia-gonal do retângulo, podemos construir apenas um retângulo, totalizando 5 possibilidades.

18 Resposta: (C) Número de gêmeos 5 número de trigêmeos 5 nú-mero de quadrigêmeos 5 n; logo, n é um múltiplo positivo de 12. Mas 39 2 02 .n ; logo, n512. Conse-quentemente, o número de filhos é 12 39 511 5 .

19 Resposta: (A) Seja t o número de horas que devemos sair antes das 11 h para chegar a Salvador ao meio-dia e T o tempo passado, em horas, até entrarmos no con-gestionamento. Assim, antes de chegar ao conges-tionamento andamos 60(t 1 T) km. Em seguida, de-vemos passar por um congestionamento de exten-são 4T para depois de 15 km chegarmos a Salvador. Assim: 60(t 1 T) 1 4T 1 15 5 60 60t 1 64T 5 45.Portanto, passamos t 1 T horas antes do congestio-

namento, demoramos 46

23

T T5 horas no conges-

tionamento e passamos mais 1560

14

5 de hora até

chegarmos a Salvador. Devemos ter 1 1 t 5 t 1 T 1

1 23

14

T1 T 5

920

h.

Logo, 60t 5 45 2 64 ? 9

20 5 0,27; t 5 0,27 h 5 16,2 min.

Portanto, devemos sair aproximadamente às 10h43min.

20 Resposta: (D) Nas n primeiras linhas, temos 1 1 3 1 5 1 … 1

1 (2n 2 1) 5 n2 números, dos quais 1 1 2 1 3 1

1 … 1 n 5 n n( )11

2 estão em casas brancas. Como

62 632

2 00063 64

2? ?

, < , temos que o 2 000o núme-

ro está na 63a linha. Como 62 63

2?

5 1 953, concluí-

mos que o número procurado é o [2(2 000 2 1953) 2 2 1]o 5 93o número desta linha. Enfim, como o úl-timo termo da 62a linha é 622 5 3 844, temos que o número procurado é 3 844 1 93 5 3 937.


1 Resposta:Decomponha N em primos 5 2 32 3a a ...Dobro de um cubo quer dizer que todos os a

i são

múltiplos de 3, exceto a2, que deixa resto 1 na divi-

são por 3.Quíntuplo de um quadrado quer dizer que todos são pares, exceto a

5.

Os menores expoentes possíveis são então a2 5 4;

a5 5 3 e os outros, a

3 5 a

7 5 ... 5 0.

Assim, N 5 24 ? 53 5 2 000.

139

DI

H

E

F

BA

C

G

D F C

E

A B

G

y

x

y 20o x

θ

x 1 y 5 70o

2 Resposta:Sejam a b c< < as medidas do paralelepípedo. Temos, então, que a, b e c são inteiros positivos e abc 5 216.Como a b c a a a a? ? ? ?> <⇔ 6 e a| ,216 temos a a a a a5 5 5 5 51 3 4 6, , .2, ouSe a51, temos b c? 5216. As possibilidades nesse caso são: b 5 1 e c 5 216; b 5 2 e c 5 108; b 5 3 e c 5 72; b 5 4 e c 5 54; b 5 6 e c 5 36; b 5 8 e c 5 27; b 5 9 e c 5 24; b 5 12 e c 5 18.Se a52, temos b c? 5108, com b>2. Temos en- tão as possibilidades: b 5 2 e c 5 54; b 5 3 e c 5 36; b 5 4 e c 5 27; b 5 6 e c 5 18; b 5 9 e c 5 12.Se a53, temos b c? 572, com b>3. Temos então as possibilidades: b 5 3 e c 5 24; b 5 4 e c 5 18; b 5 6 e c 5 12; b 5 8 e c 5 9.Se a53, temos b c? 572, com b>3. Temos então as possibilidades: b 5 3 e c 5 24; b 5 4 e c 5 18; b 5 6 e c 5 12; b 5 8 e c 5 9.Se a54, temos b c b? 554 4, .com > Nesse caso, temos uma só solução, que é b c5 56 9e .Se a56, a única solução é b c5 56.Temos, assim, 19 maneiras de construir o paralele-pípedo.Observação: Pode-se verificar que o número de so-

luções de b c r,? 5 com b c< naturais, é d n( )

2

,

em que x[ ] denota o menor número inteiro maior ou igual a x e d n( ) é o número de divisores de n.

Assim, b ? c 5 216 tem d 216

28

( )

5 soluções;

b ? c 5 108 com b > 2 tem d 108

21 5

( )

2 5 solu-

ções (descontamos aqui a solução b c5 51 e 108);

b ? c 5 72 com b > 3 tem d 72

22 4

( )

2 5 solu-

ções (eliminamos b 5 5 e c 5 72 e b 5 2 e c 5 36);

b ? c 5 54 com b > 4 tem d 54

23 1

( )

2 5 solução

(eliminamos b 5 1, b 5 2 e b 5 3) e b ? c 5 36,

com b > 6, tem d 36

24 1

( )

2 5 solução (elimina-se

b 5 1, 2 ,3 ou 4).

3 Resposta:

1

2

) ˆ ˆ

) ˆ ˆFAD FBC x

EAB EDC y

5 5

5 5

DEC y xˆ 5 2 5190o

90 20o o2 1 5 5( )x y ⇒

4 Resposta:Seja x o lado de B. O lado de C 5 x 2 1, D 5 x 1 5, E 5 x 2 1, F 5 x 2 2, G 5 4, H 5 2x 2 3, I 5 x 1 9 (5 D 1 G), mas também é 3x 2 9 (5 F 1 H 2 G).Assim, x 1 9 5 3x 2 9 e x 5 9. Donde, o lado de I é 18.

5 Resposta:

A média aritmética dos inteiros de 1 a n é n11

2

.

Quando se apaga um desses números, a menor mé-

dia possível é a dos números de 1 a (n21), que é n2

,

e a maior é a dos números de 2 a n, que é n2

11.

Logo, deve-se ter n n2

122

11 21, , 1 , o que fornece

224

1124

411

< <n e, portanto, n é igual a 23 ou 24.

Mas a média dos números restantes é uma fração de denominador 11. Logo, a quantidade de núme-ros que restam no quadro deve ser multiplicada por 11. Portanto, n só pode ser igual a 23.Finalmente, a soma dos números que restam é

22 3 12 ? 2

11 5 268.

A soma dos números de 1 a 23 é 23 3 12 5 276.Logo, o número apagado foi m 5 276 2 268 5 8.

6 Resposta:No pior caso, o 2o colocado do 1o turno faz 24 pon-tos no 1o turno. Se o Vulcano FC fizer 23 pontos no 2o turno, ele ganhará 7 jogos e empatará 2, e o 2o colocado no 1o turno chegará a um máximo de 25 pontos (pois no máximo empatará com o Vulca-no FC) no 2o turno. Assim, o Vulcano FC terá vanta-gem na decisão, nesse caso.Note que se o Vulcano FC fizer 24 pontos no 2o tur-no, perdendo para o 2o colocado do 1o turno, este pode fazer 27 pontos no 2o turno e ganhar a vanta-gem para a decisão. Se o Vulcano FC fizer 22 pontos ou menos, e o Klin-gon FC tiver feito 24 pontos no 1o turno, poderá fazer 27 pontos no 2o turno, somando 51 pontos, mais que os 49 (ou menos) pontos do Vulcano FC.Assim, a resposta da segunda pergunta é n 5 25, enquanto a resposta da 1a pergunta é n 5 23.

fonte de todo conteúdo do cd: olimpíada brasileira de ...ºmero natural b de três algarismos se...

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