Fónons – Propriedades Térmicas

Quantização das ondas elásticas

• A energia das vibrações da rede é quantizada. O quantum de energia é chamado um fónon em analogia com o fóton da onda eletromagnética. Ondas elásticas num cristal são feitas de fónons. Excitações térmicas permitem que os fónons ocupem estados de mais alta energia. A energia de um modo elástico de freqüência angular é:

• quando o modo é excitado para um número quântico n, isto é, quando o modo é ocupado por n fónons. O termo h /2 é a energia de ponto zero. Isso ocorre em conseqüência com a equivalencia com osciladores harmônicos.

• Os fónons não carregam momento. A razão disso é porque a coordenada do fónon (exceto para K=0) envolve coordenadas relativas do átomos.

hnE )2/1(

Energia total dos fónons numa temperatura T

• A energia total dos fónons a uma temperatura T num cristal pode ser escrita como a soma das energias de todos os modos de fónons, de vetor de onda K e polarização p:

• é a ocupação no equilíbrio térmico dos fónons com vetor de onda K e polarização p.

pKK K p

pKp

pK nUU ,,,

pKn ,

Como obter essa ocupação?

• Lembrando que os modos vibracionais da rede são quantizados em termos de osciladores harmônicos com energia:

• Consideremos um conjunto idêntido de osciladores em equilíbrio térmico. A razão do número de osciladores no seu estado quântico (n+1) de excitação para aquele com n osciladores, é dada, usando o fator de Boltzmann por:

hnE )2/1(

TkN

N

Bn

n exp1

• A fração do número total de osciladores no estado de número quântico n é:

00

exp

exp

s B

B

ss

n

Tks

Tkn

N

N

Valor médio do número de osciladores

s B

s B

Tks

Tks

s

n

exp

exp

Obtendo as somas

xx

s

s

1

1

2)1( x

xx

dx

dxsx

s

s

s

s

Função distribuição de Bose Einstein!

1exp

1

1

Tk

x

xn

B

Os fónons são bósons

• Bósons não estão sujeitos ao princípio de exclusão de Pauli: Um número ilimitado de partículas pode ocupar o mesmo estado ao mesmo tempo.

• Se são bósons não podem ter spin semi inteiro: Os fónons têm spin zero.

Escrevendo a energia numa temperatura T

K p

B

pK

pK

Tk

U

1exp ,

,

p

B

pK

pKp

Tk

DdU

1exp

)(,

,

Capacidade térmica a volume constante

VV T

UC

ppBrede x

xxDdkC

2

2

)1(exp

exp)(

Tkx

B

Como encontrar D() , o número de modos por faixa de freqüência?

Densidade de Estados em Uma Dimensão• Linha elástica de N+1 (N=10) átomos com condições de

contorno que em s=0 e s=10 os átomos estão fixos.

0s 10s

su a

Soluções de onda estacionária• Cada modo normal vibracional de polarização p tem solução

na forma de uma onda estacionária:

O vetor de onda é restrito a:

• A solução para s=0 é nula e também para s=N que corresponde ao máximo valor de K. Logo, existem N-1 soluções independentes para K. Esse número é igual ao número de partículas que podem se mover.

)sin()exp( , sKatiuu pKs

L

N

LLLK

)1(,......

3,

2,

Cada valor de K permitido é associado com uma onda estacionária

• Aqui os primeiros três modos de N-1 modos (N=10):

Número de modos

• Para a linha unidimensional existe um modo em cada intervalo:

• O número total de modos para K /a é L/ e para K> /a é zero.

LK

Condição de contorno periódica• Se considera o meio como não limitado mas se requere que as

soluções sejam periódicas sobre uma grande distância L de tal modo que:

• Com soluções do tipo:

• E valores permitidos para K:

)()( Lsausau

L

N

LLLK

,.........

6,

4,

2,0

)(exp)( tsKaiusau K

Condição periódica unidimensional

1s

3s

8s

7s

su

a

Número de modos

• Um modo no intervalo:

• O número de modos no intervalo -/aK /a é L/(2 ). Não existem modos fora desse intervalo.

LK

2

Condição de contorno periódica bidimensional

• Rede quadrada bidimensional com L=10a. Existe um valor de K por área (2/L)2. Num círculo K2 o número de pontos é K2(L/ 2)2.

K

Densidade de estados em três dimensões

• Aplicando condições periódicas sobre N3 células primitivas num cubo de lado L, de modo que K se determina pela condição:

)(exp zKyKxKi zyx

)]()()((exp[ LzKLyKLxKi zyx

Valores de K

• Temos então:

• Então existe um valor permitido de K por volume (2/L)3 espaço K, ou valores permitidos por unidade de volume no espaço K, para cada polarização e para cada ramo. O volume total é V=L3.

L

N

LLLKKK zyx

,.........

6,

4,

2,0,,

Número de modos em três dimensões

• O número total de modos com vetor de onda menor do que K é:

• Para cada tipo de polarização. A densidade de estados para cada polarização é então:

33

3

4

2K

LN

d

dKVK

d

dND

2

2

2)(

Modelo de Debye: Fónons na aproximação de comprimentos de onda

longos• Nessa aproximação:

• Onde v é a velocidade do som no sólido.Obtemos para a densidade de estados:

Kv

32

2

v2)(

V

D

Freqüencia máxima: Freqüência de Debye

• Os fónons não podem ter uma freqüência infinita, sua freqüência é limitada pelo meio em que se propagam, isto é, o sólido cristalino.

• Se substituimos a aproximação de Debye no número total de modos com freqüência menor do que Kmax:

3

23

3

v63

4

2

DV

KL

N

V

ND

33 v6

Energia térmica no modelo de Debye

• Para cada polarização p:

)()( nDdU

1expv203

2

Tk

VdU

B

D

Na aproximação da velocidade dos fónons independente da polarização

1expv2

3 3

03

Tk

dV

U

B

D

Tkx

B

Temperatura de Debye

• Definindo ainda:

• Isso define a temperatura de Debye, TD:T

T

Tkx D

B

DD

3/126v

V

N

kT

BD

Reescrevendo a energia

1v2

3 3

033

44

x

x

B

e

xdx

TVkU

D

19

3

0

3

x

x

DB e

xdx

T

TTNkU

D

Obtendo a capacidade térmica

Dx

x

x

DBV

e

exdx

T

TNkC

02

43

19

Aproximação de baixa temperatura

• No limite T<<TD:

02

43

19

x

x

DB

V

e

exdx

T

T

Nk

C

5

129

43

DB

V

T

T

Nk

C

Aproximação de alta temperatura

• Quando T>>TD:

11 xsexex

TT

DB

VD

x

xdx

T

T

Nk

C/

02

43

9

33

19

33

T

T

T

T

Nk

C D

DB

V

Algumas temperaturas de Debye

Aluminium 428 K

Cadmium 209 K

Chromium 630 K

Copper 343.5 K

Gold 165 K

Iron 470 K

Lead 105 K

Manganese 410 K

Nickel 450 K

Platinum 240 K

Silicon 645 K

Silver 225 K

Tantalum 240 K

Tin (white) 200 K

Titanium 420 K

Tungsten 400 K

Zinc 327 K

Carbon 2230 K

Ice 192 K