folha resolvida 2 (draft nº3)

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Universidade do Minho Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Civil ESTRUTURAS DE BETÃO I EXERCÍCIOS RESOLVIDOS FOLHA 2 (DRAFT Nº3) Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis e Eduardo Pereira Outubro de 2009

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Page 1: Folha Resolvida 2 (Draft nº3)

Universidade do Minho Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Civil

E S T R U T U R A S D E B E T Ã O I

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

FOLHA 2 (DRAFT Nº3)

Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis e Eduardo Pereira

Outubro de 2009

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Folhas de Apoio às Aulas Práticas

Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 2

INDICE

Enunciado................................................................................................................................................ 4 

1  Exercício 1........................................................................................................................................ 8 

1.1  Pré-dimensionamento da secção transversal ......................................................................... 8 

1.2  Acréscimo de esforço axial (valor de cálculo), ∆NEd = 600 kN................................................ 8 

2  Exercício 2........................................................................................................................................ 9 

2.1  Armadura mínima a dispor na secção transversal .................................................................. 9 

2.2  Armadura longitudinal a dispor na secção transversal.......................................................... 10 

2.2.1  Disposições construtivas ................................................................................................... 11 

2.3  Valor do esforço axial de compressão quando εc = −0.25 × 10−3 (compressão) .................. 11 

3  Exercício 3...................................................................................................................................... 12 

3.1  Características dos materiais ................................................................................................ 12 

3.2  Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 13 

3.3  Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama parábola-rectângulo para a

distribuição de tensões no betão ....................................................................................................... 13 

3.4  Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama bi-linear para a distribuição de

tensões no betão ............................................................................................................................... 16 

3.5  Cálculo do momento flector resistente admitindo o bloco rectangular para a distribuição de

tensões no betão ............................................................................................................................... 19 

3.6  Dimensionamento das armaduras longitudinais recorrendo a tabelas de betão armado..... 21 

3.7  Cálculo do momento de fendilhação ..................................................................................... 23 

3.8  Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente

antes da fendilhação.......................................................................................................................... 24 

3.9  Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente

após a fendilhação............................................................................................................................. 25 

4  Exercício 4...................................................................................................................................... 26 

4.1  Características dos materiais ................................................................................................ 26 

4.2  Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 26 

4.3  Cálculo da armadura longitudinal necessária, admitindo o bloco rectangular para a

distribuição de tensões no betão ....................................................................................................... 27 

5  Exercício 5...................................................................................................................................... 30 

5.1  Características dos materiais ................................................................................................ 30 

5.2  Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 31 

5.3  Estimativa das armaduras necessárias admitindo como simplificação que o braço do binário

resistente é z = 0.9d .......................................................................................................................... 31 

5.4  Cálculo da armadura longitudinal necessária, admitindo o bloco rectangular para a

distribuição de tensões no betão ....................................................................................................... 31 

5.4.1  Momento flector positivo – M+ ........................................................................................... 32 

5.4.2  Momento flector negativo – M- .......................................................................................... 34 

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5.5  Cálculo da armadura longitudinal, utilizando tabelas de dimensionamento de armaduras.. 36 

6  Exercício 6...................................................................................................................................... 38 

6.1  Características dos materiais ................................................................................................ 38 

6.2  Cálculo do valor da extensão em cada nível de armadura ................................................... 38 

6.3  Cálculo do valor das forças internas ..................................................................................... 39 

6.4  Cálculo do valor do momento flector resistente .................................................................... 40 

7  Exercício 7...................................................................................................................................... 41 

7.1  Características dos materiais ................................................................................................ 41 

7.2  Cálculo da altura útil .............................................................................................................. 41 

7.3  Dimensionamento de armadura – utilização de tabela de flexão composta......................... 41 

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ENUNCIADO

Exercício 1 Considere um pilar sujeito a três acções independentes, representado na Figura 1. Suponha que este

pilar tem altura reduzida, pelo que se pode considerar que os efeitos de encurvadura são

desprezáveis. Nos cálculos a efectuar, não considere os efeitos da fluência do betão.

Admita que os materiais utilizados são o betão da classe C25/30 e aço A400. Considere um

recobrimento nominal de 3.5 cm.

Considere que neste problema se está a analisar um Estado Limite Último de Compressão.

(Este pilar foi objecto de estudo no Exercício 1 da Folha 1. Deste modo, considere os esforços de

cálculo determinados na resolução desse exercício).

a) Pré-dimensione as dimensões da secção transversal deste pilar, supondo que se trata de

uma secção quadrada e não considerando a contribuição da armadura;

b) Supondo agora que o pilar está sujeito a um acréscimo de esforço axial (valor de cálculo),

∆NEd = 600 kN, calcule a quantidade de armadura necessária de forma a que o pilar verifique

os Estados Limites Últimos de Resistência.

Figura 1 – Esquema de cargas aplicadas ao pilar

Exercício 2 Considere a secção transversal de 0.30 m de diâmetro indicada na Figura 2, que se destina a um

elemento estrutural que irá receber apenas esforços de tracção ou de compressão, dependendo da

combinação de acções considerada.

Materiais: C16/20, A500.

a) Tendo em vista evitar a rotura frágil do elemento quando este funciona como tirante,

determine a armadura mínima a dispor na secção transversal;

b) Dimensione as armaduras longitudinais para este elemento estrutural, tendo em conta a

verificação da segurança em relação ao estado limite último de resistência e considerando

as seguintes acções (em valor característico):

permanente: NGk = +400 kN (tracção)

variável: NQk = −800 kN (compressão)

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c) Verificando-se que na combinação quase permanente a extensão instalada no betão é

εc = −0.25 × 10−3 (compressão), calcule o valor do esforço axial de compressão que terá de

estar aplicado no pilar, supondo que a secção está armada com os varões determinados na

alínea b).

Figura 2 – Secção transversal de um tirante (dimensões em m).

Exercício 3 Considere a secção transversal representada na Figura 3. Admita que os materiais utilizados são:

betão da classe C20/25, aço A400, e recobrimento nominal de 3 cm.

a) Determine a capacidade resistente de cálculo da secção. Para o efeito, recorra ao diagrama

de tensões de comportamento elástico-perfeitamente plástico para o aço, e aos três

diagramas de tensões previstos pelo EC2 para o betão;

b) Recorrendo a tabelas de betão armado, dimensione as armaduras longitudinais e compare

com o resultado obtido na alínea a).

c) Calcule o momento flector para o qual se inicia a fendilhação da secção de betão e compare

com o valor do momento flector resistente determinado na alínea a);

d) Calcule os valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço,

imediatamente antes da fendilhação.

e) Calcule os valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço,

imediatamente após a fendilhação.

4φ20

0.60

0.30

Figura 3 – Secção transversal rectangular

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Exercício 4 Utilizando o bloco rectangular de tensões para o betão e o diagrama de comportamento

elástico-perfeitamente plástico para o aço, dimensione as armaduras a colocar na secção

representada na Figura 4. Considere os esforços de cálculo e os materiais indicados e admita um

recobrimento nominal de 3.5 cm.

0.40

0.60

0.20

MEd = 240 kN.m C20/25 e A400NR

l

Figura 4 – Secção transversal de largura variável

Exercício 5 Uma viga contínua, com a secção transversal em U invertido representada na Figura 5, está

submetida em diferentes secções a um momento máximo positivo e a um momento máximo negativo

de valores iguais MEd = 180 kN.m.

Materiais: C25/30 e A500. Considere um recobrimento nominal de 3.5 cm.

0,15 0,20 0,15

0,40

0,10

Figura 5 – Secção transversal em U Figura

a) Faça uma estimativa das armaduras necessárias admitindo como simplificação que o braço

do binário resistente é z = 0.9d;

b) Usando o bloco rectangular de tensões determine a armadura necessária nos dois casos.

Compare com os resultados obtidos na alínea anterior.

c) Recorrendo a tabelas de betão armado, dimensione as armaduras longitudinais e compare

com o resultado obtido nas alíneas a) e b).

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Exercício 6 Considere a secção transversal em I, representada na Figura 6. Considere que se trata de uma

secção de betão armado, que servirá para realizar um pilar, estando sujeita a momento flector

positivo e esforço axial.

a) Supondo que o eixo neutro está posicionado a 0.27 m da fibra superior da secção, calcule o

valor do esforço axial aplicado à secção;

b) Na mesma situação, calcule o momento flector positivo resistente.

6φ16

4φ16

0,70

0,20

0,35

0,20

0,25 0,20 0,25

0,33

0,43

0,12 0,

220,

18

0,03e.n.

Figura 6 – Secção transversal em I

Betão C20/25

S500-B

Diagrama elástico-perfeitamente plástico

para o aço

Distância das armaduras à face exterior

da secção: 5 cm

Armaduras – 4 níveis com 6φ16 + 2

níveis com 2φ16

Exercício 7 Recorrendo a tabelas de betão armado, calcule a armadura necessária para uma secção de

0.20 × 0.70 m2 resistir a um momento flector de cálculo de 350 kN.m e a um esforço axial de cálculo

de 100 kN (compressão), considerando que A = A’. Os materiais utilizados são o betão C25/30 e o

aço A400. Admita um recobrimento nominal de 4 cm.

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1 EXERCÍCIO 1 1.1 Pré-dimensionamento da secção transversal Num elemento de betão armado unicamente sujeito a esforços de compressão, o esforço axial

resistente resulta da contribuição da secção de betão e da contribuição das armaduras:

ydscdcRd fAfAN ×+×=

Se a quantidade de armadura for reduzida, a sua contribuição para a capacidade resistente da

secção pode não ser muito significativa. Em fase de pré-dimensionamento pode ser desprezada essa

contribuição, pois a quantidade de armadura longitudinal ainda não é conhecida:

cdcRd fAN ×=

Tendo em conta que para a combinação de acções mais desfavorável, o valor do esforço axial

actuante corresponde a NEd = 2337 kN, que a condição limite para verificação de segurança é

RdEd NN ≤ , e que se trata de uma secção quadrada, podemos considerar que

cdcEd fAN ×≤

5.110252337

32 ×

×≤ b

374.0≥b m

Escolhendo uma dimensão “corrente”, podemos então optar por uma secção transversal com

0.40m x 0.40m.

1.2 Acréscimo de esforço axial (valor de cálculo), ∆NEd = 600 kN

Nesta situação, supõe-se que há um acréscimo de esforço axial de 600 kN, logo este valor deve ser

somado ao valor de esforço axial que já estava instalado no pilar.

EdEdEd NNN ∆+='

'EdN = 2337 + 600 = 2937 kN

Como a secção transversal existente é aquela que foi definida na alínea anterior, 0.40m x 0.40m, o

acréscimo de esforço axial em parte será resistido com a contribuição das armaduras.

ydscdcEd fAfAN ×+×≤'

15.110400

5.1102540.02937

332 ×

×+×

×≤ sA

77.7≥sA cm2

Uma solução possível é a de colocar 8 varões com 12mm de diâmetro: As = 9.05 cm2.

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8φ12

0,400,

40

0,05

φ6//0.25

Figura 7 – Representação das armaduras na secção transversal do elemento de betão armado

2 EXERCÍCIO 2 2.1 Armadura mínima a dispor na secção transversal

Um tirante é um elemento que se encontra unicamente sujeito a esforços de tracção.

No caso de um tirante em betão armado, isso significa que toda a secção está traccionada, logo

verifica-se a ocorrência de uma rotura brusca se não houver qualquer armadura na secção

transversal ou quando a armadura existente fica submetida à tensão de cedência assim que abre a 1ª

fenda. Em qualquer um dos casos, o elemento sofre rotura porque não é capaz de resistir ao esforço

de tracção que é lhe aplicado.

Em consequência, quando ocorre a abertura da 1ª fenda, a quantidade de armadura existente na

secção transversal deve ser tal que a tensão nela instalada seja inferior à tensão de cedência.

Deste modo, é necessário calcular qual a carga que provoca a fendilhação da secção e dimensionar

a armadura que é capaz de resistir a esse esforço.

hom,c

crctm A

Nf = ( ) scc AAA ⋅−+= 1hom, α

Define-se então o coeficiente de homogeneização, dividindo o módulo de elasticidade do aço pelo

módulo de elasticidade do betão C20/25:

67.630200

===c

sEE

α

( )[ ] ydsctmsccr fAfAAN ⋅=⋅⋅−+= min,min,1α

C16/20 → fctm = 1.9 MPa (NP EN1992-1-1 – Quadro 3.1)

( )15.110500167.6

43.0109.1

3

min,min,

23 ×

×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−+

××× ss AAπ

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As,min = 3.167 cm2

Nota: No caso presente, seria mais conservativo considerar o valor de fctk0.95 do que o valor de fctm..

2.2 Armadura longitudinal a dispor na secção transversal Como o elemento está sujeito a carregamentos de tracção e a carregamentos de compressão, é

necessário estabelecer as combinações de acções que provocam os valores de esforço axial mais

elevados:

Combinação 1: NEd = 1.35 × 400 = 540 kN (tracção)

Combinação 2: NEd = 1.0 × 400 – 1.5 × 800 = –800 kN (compressão)

Quando o elemento está sujeito a esforços de tracção, apenas a armadura contribui para a sua

capacidade resistente:

NRd = As . fyd

540 = As × 500 x 103 / 1.15

As = 12.42 cm2

Quando o elemento está sujeito a esforços de compressão, podemos considerar a contribuição da

secção de betão e da secção de aço:

ydscdcRd fAfAN ⋅+⋅=

O artigo 6.1 (5), impõe que, em secções sujeitas a esforços aproximadamente centrados, a extensão

média de compressão nessa parte da secção deve ser limitada a εc2 (ou εc3 se se utilizar a relação

bilinear para o diagrama de tensões de compressão no betão). No caso do betão da classe C20/25,

temos:

εc2 = 2.0‰

Garantindo a compatibilidade de deformação, εc2 = 2.0‰ = εs

Até ser atingida a tensão de cedência, as armaduras apresentam um comportamento elástico:

sss E εσ ⋅=

σs = 200 × 106 × 2 × 10-3 = 400 MPa

Deste modo, a máxima tensão que pode estar instalada nas armaduras é igual a 400 MPa. Como

este valor é inferior a ydf , limitamos a tensão nas armaduras a 400 MPa.

800 = π × 0.32 / 4 × 16 × 103 / 1.5 + As × 400 × 103

As = 1.15 cm2

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Deste modo, é necessário colocar 12.42 cm2 de armadura na secção transversal em análise. Uma

solução adequada corresponde a 4 varões com 12mm de diâmetro + 4 varões com 16mm de

diâmetro (ver Figura 8).

4φ16 + 4φ12

0,3

φ6//0.15

Figura 8 – Representação das armaduras na secção transversal do tirante

Neste caso, As = π × 1.62 / 4 × 4 + π × 1.22 / 4 × 4 = 12.56 cm2

2.2.1 Disposições construtivas

- Verificação de armadura longitudinal mínima:

yd

Eds f

NA

1.0min, =

4.2

5.1105008001.0

3min, =×

×=sA cm2 < 12.56 cm2 → Ok!

- Diâmetro mínimo: =minφ 10 mm → Ok!

- Verificação de armadura longitudinal máxima:

cs AA 04.0max, =

27.284

3.004.02

max, =×

×=π

sA cm2 > 12.56 cm2 → Ok!

- Diâmetro da armadura transversal:

Não deve ser inferior a 6 mm ou a ¼ do diâmetro máximo dos varões longitudinais

φtr,min = Max { 6 ; 16 / 4 } = 6 mm

- Espaçamento da armadura transversal:

scl,max = min { 15 × φmin ; a menor dimensão do pilar ; 300 mm}

scl,max = min { 15 × 12 ; 300 ; 300 } = 180 mm

2.3 Valor do esforço axial de compressão quando εc = −0.25 × 10−3 (compressão) Por compatibilidade, sabemos que as extensões nas armaduras e no betão devem ser iguais.

εc = −0.25 × 10−3= εs (em compressão)

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s

ydyd E

f=ε → 3

6

3

10174.210200

15.110500

−×=×

×=ydε

εs < εyd ⇒ σs = Es × εs

Fs = Es × εs × As

Fs = 200 × 106 × 0.25 × 10-3 × 12.42 × 10-4 = 62.1 kN

Como a extensão do betão é baixa, pode admitir-se que

σc = Ec × εc

σc = 29 × 103 × 0.25 × 10-3 = 7.25 MPa ( < 0.4 fcm = 9.6 MPa) – ver Figura 3.2 da NP EN1992-1-1

Fc = σc × Ac

Fc = 7.25 × 103 × (π × 0.32 / 4 - 12.56 ×10-4) = 503.37 kN

FTotal = Fc + Fs

FTotal = 503.37 + 62.1 = 565.47 kN

3 EXERCÍCIO 3 3.1 Características dos materiais

Betão C20/25

fck = 20 MPa → 33.135.1

200.1 =×=⋅=c

ckcccd

ff

γα MPa

fctm = 2.2 MPa

Ecm = 30 GPa

Aço para varões A400

fyk = 400 MPa → 83.34715.1

400===

s

ykyd

ff

γ MPa

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3.2 Cálculo da altura útil

d - a

ltura

útil

0,60

0,30

0.030 (recobrimento)6-8 mm (estribo)φ / 2

a

Figura 9 – Recobrimento e posição das armaduras na secção transversal de uma viga

a = rec + φestribo + φ / 2

a = 0.03 + 0.006 (ou 0.008) + 0.02 / 2 = 0.046 m

Altura útil - d

d = 0.6 – 0.046 = 0.554 m

No cálculo do momento flector resistente, interessa que o valor da altura útil seja o maior possível, de

forma a que o binário resistente seja máximo. Deste modo, é seguro arredondar o valor da altura útil

para um limite inferior, sempre que isso se justifique. Neste caso, vamos trabalhar com uma altura útil

d = 0.55 m.

3.3 Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama parábola-rectângulo para a distribuição de tensões no betão Na resolução que se segue adoptaram-se os 3 diagramas propostos pela NP EN1992-1-1 para a

distribuição de tensões de compressão no betão. Chama-se a atenção que este regulamento prevê a

opção alternativa por qualquer um dos diagramas apresentados, sendo essa decisão uma

responsabilidade do projectista.

Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais:

Betão – Diagrama parábola-rectângulo → εc2 = 2‰ ; εcu2 = 3.5‰

Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico → εs = “∞”

Condições iniciais:

Rotura pelo betão → εc = εcu2

Aço plastificado → 74.110200

15.14003

=>s

yds E

fε ‰

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Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 10:

0,300,

60

x

η.fcd

Fc1

Fc2

Fs

d - a

ltura

útil

Fc = Fc1 + Fc2

z

εcu2

εc2

εs

y

Figura 10

Equações de equilíbrio:

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

∑∑

0

0

F

M⇔

⎩⎨⎧

−=

×=×=

scRd

scRdFFN

zFzFM

Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior

fica sccsc FFFFF =+⇔= 21 .

Definimos então cada uma das forças envolvidas:

( ) byxfF cdc ⋅−⋅=1 (área do rectângulo que multiplica pela largura da secção)

byfF cdc ⋅⋅=32

2 (área de uma parábola que multiplica pela largura da secção)

ydss fAF ⋅=

Precisamos de conhecer o valor de y para poder calcular o valor das forças de compressão. O valor

de y pode ser determinado a partir do diagrama de extensões:

xycuc 22 εε

= de onde resulta que xxycu

c5.3

2

2

2 ==εε

yx

εc2

εcu2 η.fcd

Obtemos assim uma relação entre as grandezas x e y que podemos substituir nas equações das

forças e na equação de equilíbrio:

( ) bxfbxxfbyxfF cdcdcdc ⋅⋅=⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=⋅−⋅= 429.05.3

21

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bxfbxfF cdcdc ⋅⋅=⋅⋅= 381.05.3

232

2

Somando então as duas forças de compressão:

bfxFFF cdccc ⋅⋅=+= 81.021

4 varões com 20mm de diâmetro correspondem a As = 12.57 cm2

Como por hipótese, a armadura trabalha em regime plástico, então a força instalada nas armaduras é

ydss fAF ⋅=

34 1083.3471057.12 ×××= −sF = 437.09 kN

Uma vez que todas as forças já estão definidas, então podemos resolver a equação de equilíbrio:

⇔⋅=⋅⋅⇔= ydscdsc fAbxfFF 81.0

⇔=⋅×⋅ 09.4373.01033.1381.0 3x

x = 0.1349m

É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que

a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando 74.1=>s

yds E

fε ‰:

77.101349.055.01349.0

5.32 =⇔−

=⇔−

= ssscu

xdxε

εεε‰ > 1.74‰ confirma-se que as

armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da

posição do eixo neutro é válido.

Voltando às equações de equilíbrio, podemos considerar agora a 1ª equação onde se estabelece o

equilíbrio de momentos:

zFzFM scRd ×=×=

Neste caso, iremos fazer equilíbrio de momentos em relação à posição da armadura, pelo que

teremos de trabalhar com as duas forças de compressão definidas, Fc1 e Fc2.

=⋅⋅= bxfF cdc 429.01 231.49 kN

=⋅⋅= bxfF cdc 381.02 205.59 kN

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Área1 = (x-y) . fcd

A2 = 23 . y . fcd

c1

38 . y

c2

y

x

fcd

Eixo de Referência

Figura 11

Ou em alternativa, calcular a resultante das duas forças, Fc1 e Fc2, e determinar a sua linha de acção.

Podemos agora determinar a posição da resultante das forças Fc1 e Fc2, fazendo equilíbrio de

momentos em relação à fibra superior:

cFcFcF ccc ⋅=⋅+⋅ 2211

cFyyxFyxF ccc ⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅+

−⋅

83

2 21

( ) ( ) ( ) cbxfxxxbxfxx

bxf cdcdcd ×⋅⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+−×⋅⋅+−

⋅⋅⋅ 81.05.3

283

5.32381.0

25.3

2

429.0

cxxxxx ⋅=⋅+⋅ 81.0149381.0

143429.0

cx =416.0

c = 0.416 × 0.1349 = 0.0561 m

Deste modo, o braço do binário resistente é dado por

z = d – c = 0.55 – 0.0561 = 0.4939m

Podemos então calcular o valor do momento resistente:

zFM cRd ×= = 437.09 x 0.4939 = 215.88 kNm

3.4 Cálculo do momento flector resistente admitindo o diagrama bi-linear para a distribuição de tensões no betão

Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais:

Betão – Diagrama bi-linear de distribuição de tensões → εc3 = 1.75‰ ; εcu3 = 3.5‰

Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico → εs = “∞”

Page 17: Folha Resolvida 2 (Draft nº3)

Folhas de Apoio às Aulas Práticas

Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 17

Condições iniciais:

Rotura pelo betão → εc = εcu3

Aço plastificado → 74.11020015.1400

3=

×=>

s

yds E

fε ‰

Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 12:

yεs

εc3

εcu3

z

Fc = Fc1 + Fc2

d - a

ltura

útil

Fs

Fc2

Fc1

η.fcd

x

0,60

0,30

Figura 12

Equações de equilíbrio:

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

∑∑

0

0

F

M⇔

⎩⎨⎧

−=

×=×=

scRd

scRdFFN

zFzFM

Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior

fica sccsc FFFFF =+⇔= 21 .

Definimos então cada uma das forças envolvidas:

( ) byxfF cdc ⋅−⋅=1 (área do rectângulo que multiplica pela largura da secção)

byfF cdc ⋅⋅=21

2 (área de um triângulo que multiplica pela largura da secção)

ydss fAF ⋅=

Precisamos de conhecer o valor de y para poder calcular o valor das forças de compressão. O valor

de y pode ser determinado a partir do diagrama de extensões:

xycuc 33 εε

= de onde resulta que xxxycu

c21

5.375.1

3

3 ===εε

Obtemos assim uma relação entre as grandezas x e y que podemos substituir nas equações das

forças e na equação de equilíbrio:

Page 18: Folha Resolvida 2 (Draft nº3)

Folhas de Apoio às Aulas Práticas

Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 18

( ) bxfbxxfbyxfF cdcdcdc ⋅⋅=⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=⋅−⋅= 5.021

1

bxfbxfF cdcdc ⋅⋅=⋅⋅= 25.021

21

2

Somando então as duas forças de compressão:

bfxFFF cdccc ⋅⋅=+= 75.021

De acordo com o cálculo anteriormente efectuado

Fs = 437.09 kN

Uma vez que todas as forças já estão definidas, então podemos resolver a equação de equilíbrio:

⇔⋅=⋅⋅⇔= ydscdsc fAbxfFF 75.0

⇔=⋅×⋅ 09.4373.01033.1375.0 3x

x = 0.1457m

É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que

a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando 74.1=>s

yds E

fε ‰:

71.91457.055.01457.0

5.33 =⇔−

=⇔−

= ssscu

xdxε

εεε‰ > 1.74‰ confirma-se que as

armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da

posição do eixo neutro é válido.

Voltando às equações de equilíbrio, podemos considerar agora a 1ª equação onde se estabelece o

equilíbrio de momentos:

zFzFM scRd ×=×=

Neste caso, iremos fazer equilíbrio de momentos em relação à posição da armadura, pelo que

teremos de trabalhar com as duas forças de compressão definidas, Fc1 e Fc2.

=⋅⋅= bxfF cdc 5.01 291.4 kN

=⋅⋅= bxfF cdc 25.02 145.7 kN

Podemos agora determinar onde passa a resultante das forças Fc1 e Fc2, fazendo equilíbrio de

momentos em relação à fibra superior:

cFcFcF ccc ×=×+× 2211

cFyyxFyxF ccc ×=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−×+−

×31

2 21

Page 19: Folha Resolvida 2 (Draft nº3)

Folhas de Apoio às Aulas Práticas

Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 19

c×=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ××−×+×−

× 09.4371457.021

321457.07.145

21457.05.01457.04.291

c = 0.0567 m

Deste modo, o braço do binário resistente é dado por

z = d – c = 0.55 – 0.0567 = 0.4933m

Podemos então calcular o valor do momento resistente:

zFM cRd ×= = 437.09 x 0.4933 = 215.63 kNm

3.5 Cálculo do momento flector resistente admitindo o bloco rectangular para a distribuição de tensões no betão

Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais:

Betão – Bloco rectangular de tensões → εcu3 = 3.5‰ ; λ = 0.8 ; η = 1.0

Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico εs = “∞”

Condições iniciais:

Rotura pelo betão → εc = εcu3

Aço plastificado → 74.110200

15.14003

=>s

yds E

fε ‰

Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 13: 0,30

0,60

x

η.fcd

Fc

Fs

d - a

ltura

útil

z

εcu3

εs

λx

Figura 13

Equações de equilíbrio:

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

∑∑

0

0

F

M⇔

⎩⎨⎧

−=

×=×=

scRd

scRdFFN

zFzFM

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Folhas de Apoio às Aulas Práticas

Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 20

Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior

fica sc FF = .

Definimos então cada uma das forças envolvidas:

bxfF cdc ⋅⋅= 8.0 (área do rectângulo que multiplica pela largura da secção)

ydss fAF ⋅=

Calculando a força de compressão no betão

bfxF cdc ⋅⋅= 8.0 = 3200 x

De acordo com o cálculo anteriormente efectuado

=sF = 437.09 kN

Uma vez que todas as forças já estão definidas, então podemos resolver a equação de equilíbrio:

⇔⋅=⋅⋅⇔= ydscdsc fAbxfFF 8.0

⇔=⋅×⋅ 09.4373.01033.138.0 3x x = 0.1366m

É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que

a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando 74.1=>s

yds E

fε ‰:

59.101366.055.01366.0

5.33 =⇔−

=⇔−

= ssscu

xdxε

εεε‰ > 1.74‰ confirma-se que as

armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da

posição do eixo neutro é válido.

Voltando às equações de equilíbrio, podemos considerar agora a 1ª equação onde se estabelece o

equilíbrio de momentos:

zFzFM scRd ×=×=

Deste modo, o braço do binário resistente é dado por

z = d – 0.8x / 2 = 0.55 – 0.8 × 0.1366/2 = 0.4954m

Podemos então calcular o valor do momento resistente:

zFM cRd ×= = 437.09 × 0.4954 = 216.52 kNm

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Folhas de Apoio às Aulas Práticas

Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 21

3.6 Dimensionamento das armaduras longitudinais recorrendo a tabelas de betão armado Em geral, as tabelas de dimensionamento de armaduras são construídas tendo por base as

equações de equilíbrio de força e momento flector ao nível da secção transversal, tal como se

mostrou na resolução da alínea a).

Nas resoluções da presente folha, são utilizadas as tabelas de dimensionamento de armaduras para

betão armado, propostas no relatório Relatório 07-DEC/E-27 da Universidade do Minho, onde as

equações de equilíbrio são formuladas para secções tranversais rectangulares, admitindo um

diagrama parábola-rectângulo para as tensões de compressão no betão e um comportamento

elástico com endurecimento para o aço. Ambas as opções referidas estão comtempladas na

NP EN1992-1-1.

Para utilizar as tabelas de dimensionamento de armaduras, temos de verificar o valor de alguns

parâmetros de entrada nessas tabelas, de forma a escolher qual é a tabela mais adequada ao caso

que estamos a estudar:

1º parâmetro: classe do aço

2º parâmetro: relação entre a distância da fibra mais traccionada à posição da armadura – a/h

3º parâmetro: momento flector reduzido: cd

Rd

fhb

M

⋅⋅=

4º parâmetro: relação entre a armadura de compressão (A’) e a armadura de tracção (A): AA'

No caso em estudo, a armadura longitudinal já é dada e queremos conhecer o valor do momento

flector resistente, pelo que a utilização da tabela requer a quantificação de um outro parâmetro, a

precentagem mecânica de armadura:cd

ydsff

hbA

⋅⋅

Então, no caso presente temos:

− Classe do aço S400-B

− 0833.06.0

05.0==

ha

− 0'=

AA

− cd

ydsff

hbA

⋅⋅

=ω = 12.57 × 10-4 / (0.3 × 0.6) × (347.83 × 103) / (13.33 × 103) = 0.1821

É necessário agora escolher qual a tabela mais adequada. Uma vez que o parâmetro a/h apresenta

um valor que é intermédio em relação aos valores que as tabelas propõem (a/h=0.05 e a/h=0.10),

considera-se a situação mais desfavorável para o dimensionamento, que é o braço do binário

resistente ser menor, obtido com a/h=0.10.

Verifica-se que a tabela mais adequada é a Tabela 2, tal como consta do Relatório 07-DEC/E-27.

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Folhas de Apoio às Aulas Práticas

Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 22

Interpolando o valor de ω=0.182 nos valores na Tabela 2, ω=0.177 e ω=0.184, chega-se à conclusão

que o valor do momento reduzido está entre 0.145 e 0.150, sendo portantanto igual a µ=0.148.

A partir do valor do momento reduzido, podemos calcular o valor do momento resistente:

cdRd fhbM ⋅⋅⋅= 2µ

MRd = 0.148 × 0.3 × 0.62 × 13333 = 213.12 kNm

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Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 23

Verifica-se que o valor do momento resistente obtido é um pouco inferior ao que tinha sido

determinado quando se utilizaram as equações de equilíbrio.

Relembra-se que este resultado foi obtido utilizando uma tabela em que a/h=0.10, ou seja, com um

braço de binário resistente inferior àquele que na realidade se verifica.

No Quadro 1 comparam-se os valores de momento resistente e da posição do eixo neutro que foram

anteriormente determinados. Quadro 1 – Comparação entre o valores do momento resistente para os vários modos de cálculo

x (m) MRd (kNm) Diagrama parábola-rectângulo 0.1349 215.88 Diagrama bilinear 0.1457 215.63 Bloco rectangular de tensões 0.1366 216.53 Tabela de dimensionamento 0.1365 213.12

3.7 Cálculo do momento de fendilhação Em condições de serviço, podemos admitir que o aço tem um comportamento elástico até atingir o

patamar de cedência, que o betão traccionado apresenta um comportamento elástico até a tensão

atingir o valor de fctm e que o betão comprimido apresenta um comportamento elástico até a tensão

atingir o valor de fcm

Como a secção é constituída por dois materiais de diferentes características, é necessário começar

por “homogeneizar” a secção, ou seja, definir uma nova secção constituída apenas por um dos

materiais usados.

Define-se então o coeficiente de homogeneização, dividindo o módulo de elasticidade do aço pelo

módulo de elasticidade do betão C20/25:

67.630200

===c

sEE

α

Calcula-se a área homogeneizada (em betão) da secção transversal:

( ) scc AAA ⋅−+= 1hom, α

=hom,cA 0.3 × 0.6 + (6.67 – 1) × 12.57 × 10-4 = 0.18713 m2

Calcula-se o centro de massa da secção homogeneizada (em betão):

( ) ( ) 2905.018713.0

05.01057.12167.630.018.012 4

hom,=

×××−+×=

××−+×=

c

scG A

aAhAy

αm

(yG é medido a partir da fibra inferior da secção)

Calcula-se também o momento de inércia da secção homogeneizada (em betão). Considera-se que o

eixo x é horizontal e baricêntrico.

( ) ( )2,

2

, 12

ayAIyhAII GsxsGcxcx −⋅⋅−++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅+= α

Page 24: Folha Resolvida 2 (Draft nº3)

Folhas de Apoio às Aulas Práticas

Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 24

( ) ( )

43

2423

108285.5

05.02905.01057.12167.602905.026.06.03.0

126.03.0

m

I x

×=

−×××−++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −××+×

=

(admite-se que a inércia dos varões em torno do seu eixo baricêntrico é muito pequena e pouco

relevante quando comparada com as restantes inércias, pelo que se considera que o seu valor é igual

a zero).

Calacula-se agora qual o valor do momento flector que provoca a fendilhação da secção. Isto

acontece quando a tensão instalada na fibra mais traccionada da secção é igual a fctm.

Gx

fendctm y

IM

f ⋅=

2905.0108285.5

102.23

3 ⋅×

=×−

fendM

Mfend = 44.14 kNm

Comparando agora o valor do momento em que se inicia a fendilhação da viga com o valor do

momento flector resistente, temos:

MRd / Mfend = 215.88 / 44.14 = 4.89

O que mostra que na fase inicial de formação de fendas, uma viga de betão armado se encontra

muito longe de atingir a rotura.

3.8 Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente antes da fendilhação

( ) ( ) 34.22905.06.0108285.5

14.443

=−××

=−⋅=−G

x

fendc yh

IM

σ MPa

( ) ( ) 15.1205.02905.0108285.5

14.4467.63

=−××

×=−⋅⋅=−

ayI

MG

x

fends ασ MPa

Zona traccionada

Zona comprimida da secção

0,29

05

2.34 MPa

12.15 MPa

Figura 14

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Folhas de Apoio às Aulas Práticas

Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 25

3.9 Valores das tensões que se instalam nas fibras extremas do betão e do aço, imediatamente após a fendilhação Após o início da fendilhação, a zona onde o betão se encontra traccionado deixa de contribuir para o

funcionamento da secção, embora ambos os materiais, aço e betão, se mantenham a funcionar em

regime elástico (aço em tracção e betão em compressão).

Deste modo, é necessário calcular um novo centro de massa e um novo momento de inércia, onde

não seja contabilizada a parte da secção transversal de betão que está traccionada.

Numa secção onde ambos os materiais trabalham em regime elástico, a posição do eixo neutro é

calculada, igualando o momento estático da secção de betão comprimida e o momento estático da

secção de aço tracionada, em relação à posição desse eixo.

( )xdAxxbSS ssc −⋅⋅=⋅⋅⇔= α2

( )xxx −⋅×⋅=⋅⋅ − 55.01057.1267.62

3.0 4

x = 0.1496 m

(x é medido a partir da fibra superior da secção)

De seguida, calcula-se o momento de inércia da secção com as características acima definidas.

( )23

, 3xdAxbI sfendx −⋅⋅⋅+

⋅= α

( )243

, 1496.055.01057.1267.631496.03.0

−×××⋅+×

= −fendxI

3, 10679.1 −×=fendxI m4

Com o valor do momento de inércia em secção fendilhada que acabamos de calcular, podemos

calcular o valor da tensão nas fibras extremas de betão e de aço:

93.31496.0106790.1

14.443,

=××

=⋅=−

xIM

fendx

fendcσ MPa

( ) ( ) 21.701496.055.0106790.1

14.4467.63,

=−××

×=−⋅⋅=−

xdIM

fendx

fends ασ MPa

Betão traccionado inactivo

Zona comprimida da secção

0,14

960,

4504

3.93 MPa

70.21 MPa

Figura 15

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Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 26

Chama-se particular atenção para o valor da tensão instalada na armadura logo após o início da

fendilhação, σs, cujo valor é inferior a fyk, o que mostra que a armadura mínima de flexão está

garantida.

De salientar ainda, o aumento do valor de σs, que devido à fendilhação da secção passa de

12.15 MPa para 70.21 MPa. Aqui se mostra a transferência de tensão que se verifica entre a secção

de aço e a secção de betão, quando ocorre a fendilhação da secção.

A Figura 16 resume, de uma forma genérica, as posições do eixo neutro e as configurações de

tensão para as situações de secção não fendilhada e secção fendilhada em secções rectangulares.

Secção não fendilhada

Zona comprimida da secção

σc,tracção

σs,tracção

σc,compressão σc,compressão

σs,tracção

Secção fendilhada

Zona traccionada

yG

xh-

xBetão traccionado inactivo

Zona comprimida da secção

Figura 16

4 EXERCÍCIO 4

4.1 Características dos materiais Betão C20/25

fck = 20 MPa → 33.135.1

200.1 =×=⋅=c

ckcccd

ff

γα MPa

fctm = 2.2 MPa

Ecm = 30 GPa

Aço para varões A400

fyk = 400 MPa → 83.34715.1

400===

s

ykyd

ff

γ MPa

4.2 Cálculo da altura útil Neste caso, uma vez que ainda não sabemos qual é a armadura longitudinal que vamos colocar na

secção, admitimos um varão com um diâmetro “razoável”.

a = rec + φestribo + φ / 2

a = 0.035 + 0.006 (ou 0.008) + 0.02 / 2 = 0.051 m

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Altura útil - d

d = 0.6 – 0.051 = 0.549 m

arredondando, consideramos d=0.54m

4.3 Cálculo da armadura longitudinal necessária, admitindo o bloco rectangular para a distribuição de tensões no betão

Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais:

Betão – Bloco rectangular de tensões → εcu3 = 3.5‰ ; λ = 0.8 ; η = 1.0

( consideramos η = 1.0 porque a secção “alarga” à medida que nos aproximamos das fibras mais

comprimidas – ver EC2 – artigo 3.1.7(3) )

Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico εs = “∞”

Condições iniciais:

Rotura pelo betão → εc = εcu3

Aço plastificado → 74.11020015.1400

3=

×=>

s

yds E

fε ‰

Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 17:

λx

εs

εcu3

z

Fs

Fc

η.fcd

x

0,40

0,20

d - a

ltura

útil

0,60

As = ?

Figura 17

A secção definida está sujeita a um momento flector positivo MEd = 240 kNm

Equações de equilíbrio:

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

∑∑

0

0

F

M⇔

⎩⎨⎧

−=

×=×=

scRd

scRdFFN

zFzFM

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Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 28

Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior

fica sc FF = .

A força de compressão no betão depende da área de secção comprimida. Essa área pode ser

calculada com base na Figura 18:

0,40

0,20

k

Área comprimida - Acomp

v

b(k)

Figura 18

kkbAcomp ⋅+

=2

)(4.0

( ) ( )3

4.06.0

22.04.024.0 kkkb −=⋅−

⋅−=

Podemos agora substituir b(k) na equação que define Acomp:

64.0

23

4.04.0 2kkk

k

Acomp −=⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=

Podemos ainda calcular o centro de massa deste trapézio, definido a partir da distância v da figura

anterior. A expressão que define o centro de massa de um trapézio pode ser encontrada nas

“Tabelas Técnicas” ou em qualquer bibliografia sobre “Geometria de Massa”.

( )[ ]( )[ ]

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

+⋅+⋅

=

38.03

322.1

4.034.02

k

kk

kbkkbv

Quando se utiliza o bloco rectangular de tensões, a altura do trapézio é igual a 0.8x, logo,

( ) ( ) 22

1067.032.068.08.04.0 xxxxAcomp −=−=

( ) ( )( ) x

xxx

xxv8.04.2

4267.096.0267.08.03

8.0533.02.1 2

−−

=−

⋅−=

Page 29: Folha Resolvida 2 (Draft nº3)

Folhas de Apoio às Aulas Práticas

Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 29

compcdc AfF ⋅=

( ) 22 27.142267.42661067.032.013333 xxxxFc −=−⋅=

ydss fAF ⋅=

ss AF ⋅×= 31083.347

A equação de equilíbrio de forças não pode ser ainda resolvida porque temos duas incógnitas: x e As.

Deste modo, começamos por resolver a equação de equilíbrio de momento:

EdscRd MzFzFM =×=×=

Neste caso, o braço do binário resistente é dado por

z = d – v = 0.54 –x

xx8.04.2

4267.096.0 2

−−

EdscRd MzFzFM =×=×=

( )⋅−= 227.142267.4266240 xx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−−

−x

xx8.04.2

4267.096.054.02

Resolvendo a equação em ordem a x, temos

x = 0.1188 m

Conhecendo o valor de x, podemos agora calcular Fc:

Fc = =×−× 21188.027.14221188.067.4266 486.81 kN

Resolvendo agora a 1ª equação de equilíbrio, temos,

sc FF =

Como admitimos que a armadura está plastificada,

ydss fAF ⋅=

Então,

ydssc fAFF ⋅==

31083.34781.486 ×⋅= sA

As = 13.996 cm2

Podemos colocar 2 varões com 32 mm de diâmetro.

Page 30: Folha Resolvida 2 (Draft nº3)

Folhas de Apoio às Aulas Práticas

Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 30

NOTA: é necessário verificar se o valor de altura útili admitido em 4.2, é respeitado:

a = rec + φestribo + φ / 2

a = 0.035 + 0.006 (ou 0.008) + 0.032 / 2 = 0.057 m

Altura útil - d

d = 0.6 – 0.057 = 0.543 m

como atrás considerámos d=0.54m → Ok!

É necessário agora verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que

a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando 74.1=>s

yds E

fε ‰:

70.121188.055.01188.0

5.33 =⇔−

=⇔−

= ssscu

xdxε

εεε‰ > 1.74‰ confirma-se que as

armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da

posição do eixo neutro é válido.

Desenho da secção transversal (Figura 19)

2φ320,20

0,40

0,60

Estribo

Armadura construtiva

Figura 19

5 EXERCÍCIO 5 5.1 Características dos materiais

Betão C25/30

fck = 25 MPa → 67.165.1

250.1 =×=⋅=c

ckcccd

ff

γα MPa

Aço para varões A500

fyk = 500 MPa → 78.43415.1

500===

s

ykyd

ff

γ MPa

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Folhas de Apoio às Aulas Práticas

Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 31

5.2 Cálculo da altura útil Neste caso, uma vez que ainda não sabemos qual é a armadura longitudinal que vamos colocar na

secção, admitimos um varão com um diâmetro “razoável”.

a = rec + φestribo + φ / 2

a = 0.035 + 0.006 (ou 0.008) + 0.02 / 2 = 0.051 m

Altura útil - d

d = 0.5 – 0.051 = 0.449 m

arredondando, consideramos d = 0.44m

5.3 Estimativa das armaduras necessárias admitindo como simplificação que o braço do binário resistente é z = 0.9d Neste caso, supõe-se que o braço do binário resistente é dado por

z = 0.9d = 0.9 × 0.44 = 0.396m

Deste modo, o braço do binário resistente é independente da área comprimida da secção, o que faz

com que o resultado seja o mesmo para momento flector positivo e momento flector negativo.

A equação de equilíbrio de momentos é dada por:

EdscRd MzFzFM =×=×=

396.0180 ×= sF

54.454=sF kN

Sabendo que ydss fAF ⋅= ,

então, 31078.43454.454 ×⋅= sA

As = 10.455 cm2

5.4 Cálculo da armadura longitudinal necessária, admitindo o bloco rectangular para a distribuição de tensões no betão Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais:

Betão – Diagrama parábola-rectângulo → εcu3 = 3.5‰ ; λ = 0.8 ; η = 1.0

Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico εs = “∞”

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5.4.1 Momento flector positivo – M+

Condições iniciais:

Rotura pelo betão → εc = εcu3

Aço plastificado → 17.21020015.1500

3=

×=>

s

yds E

fε ‰

Eixo neutro posicionado no banzo superior

Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 20:

λx

εs

εcu3

d - a

ltura

útil

Fs

Fc

η.fcd

x

0,50

0,10

0,40

0,150,200,15

z

Figura 20

Equações de equilíbrio:

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

∑∑

0

0

F

M⇔

⎩⎨⎧

−=

×=×=

scRd

scRdFFN

zFzFM

Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior

fica sc FF = .

Definimos então cada uma das forças envolvidas:

bxfF cdc ⋅⋅= 8.0 (b é a largura do banzo superior)

ydss fAF ⋅=

Calculando a força de compressão no betão

bfxF cdc ⋅⋅= 8.0 = 6666.67 x

ss AF ⋅×= 31078.434

A equação de equilíbrio de forças não pode ser ainda resolvida porque temos duas incógnitas: x e As.

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Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 33

Deste modo, começamos por resolver a equação de equilíbrio de momento:

EdscRd MzFzFM =×=×=

Neste caso, o braço do binário resistente é dado por

z = d – 0.8x = 0.44 – 0.4x

EdscRd MzFzFM =×=×=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=28.044.067.6666180 xx

Resolvendo a equação em ordem a x, temos

x = 0.0652 m < 0.1m

logo, a hipótese assumida de que o eixo neutro está posicionado no banzo, é confirmada. Se o valor

de x fosse superior a 0.10m, seria necessário redefinir a equação da força de compressão, Fc, tendo

em conta que uma parte das almas estaria comprimida.

Conhecendo o valor de x, podemos agora calcular Fc:

Fc = =× 0652.067.6666 434.88 kN

Resolvendo agora a 1ª equação de equilíbrio, temos,

sc FF =

Como admitimos que a armadura está plastificada,

ydss fAF ⋅=

Então,

ydssc fAFF ⋅==

31078.43488.434 ×⋅= sA

As = 10.00 cm2

Ao definir a disposição de varões, é necessário ter em conta que estes ficarão colocados na zona

inferior da secção, ou seja, nas almas. Cada alma tem 0.15 m de largura, pelo que é aconselhável

colocar apenas 2 ou 3 varões em cada uma delas. Deste modo, uma solução possível é colocar 2

varões com 16mm de diâmetro + 1 varão com 12mm de diâmetro, em cada alma.

É necessário ainda verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que

a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando 17.2=>s

yds E

fε ‰ :

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12.200652.044.00652.0

5.33 =⇔−

=⇔−

= ssscu

xdxε

εεε‰ > 2.17‰ confirma-se que as

armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da

posição do eixo neutro é válido.

5.4.2 Momento flector negativo – M-

Condições iniciais:

Rotura pelo betão → εc = εcu3

Aço plastificado → 17.21020015.1500

3=

×=>

s

yds E

fε ‰

Eixo neutro posicionado nas almas

Todas as hipóteses assumidas podem ser traduzidas na Figura 21:

0,15 0,20 0,15

0,40

0,10

0,50

η.fcd

Fc

Fs

d - a

ltura

útil

z

εs

εcu3

x

λx

Figura 21

Equações de equilíbrio:

⇔⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

∑∑

0

0

F

M⇔

⎩⎨⎧

−=

×=×=

scRd

scRdFFN

zFzFM

Quando se trata de um problema de flexão simples, NRd = 0, logo, a 2ª equação do sistema anterior

fica sc FF = .

Definimos então cada uma das forças envolvidas:

bxfF cdc ⋅⋅⋅= 8.02 (b é a largura de uma alma)

ydss fAF ⋅=

Calculando a força de compressão no betão

=⋅⋅×= bfxF cdc 8.02 4000 x

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Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 35

ss AF ⋅×= 31078.434

A equação de equilíbrio de forças não pode ser ainda resolvida porque temos duas incógnitas: x e As.

Deste modo, começamos por resolver a equação de equilíbrio de momento:

EdscRd MzFzFM =×=×=

Neste caso, o braço do binário resistente é dado por

z = d – 0.8x = 0.44 – 0.4x

EdscRd MzFzFM =×=×=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅=28.044.04000180 xx

Resolvendo a equação em ordem a x, temos

x = 0.1141 m < 0.4m

logo, a hipótese assumida de que o eixo neutro está posicionado nas almas, é confirmada. Se o valor

de x fosse superior a 0.40m, seria necessário redefinir a equação da força de compressão, Fc, tendo

em conta que uma parte do banzo estaria comprimida.

Conhecendo o valor de x, podemos agora calcular Fc:

Fc = =× 1141.04000 456.54 kN

Resolvendo agora a 1ª equação de equilíbrio, temos,

sc FF =

Como admitimos que a armadura está plastificada,

ydss fAF ⋅=

Então,

ydssc fAFF ⋅==

31078.43454.456 ×⋅= sA

As = 10.498 cm2

Neste caso, a armadura fica distribuída ao longo do banzo superior (largura de 0.50m).

Deste modo, uma solução possível é colocar 6 varões com 16mm de diâmetro.

É necessário ainda verificar se todas as condições iniciais admitidas são verdadeiras. Admitiu-se que

a armadura estava plastificada, o que só é verdade quando 17.2=>s

yds E

fε ‰ :

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997.91141.044.01141.0

5.33 =⇔−

=⇔−

= ssscu

xdxε

εεε‰ > 2.17‰ confirma-se que as

armaduras de tracção trabalham em regime plástico. O cálculo efectuado para determinação da

posição do eixo neutro é válido.

Nas 3 situações analisadas, verifica-se que a quantidade de armadura longitudinal calculada não

difere muito entre si. No entanto, em outras situações, tal poderá não acontecer. É preciso ter em

conta que:

− considerar z=0.9d é apenas uma estimativa, pelo que o resultado real pode ser diferente;

− a quantidade de armadura depende muito da área de betão comprimida;

5.5 Cálculo da armadura longitudinal, utilizando tabelas de dimensionamento de armaduras Definição dos parâmetros para entrada nas tabelas:

1º parâmetro: classe do aço → S500-B

2º parâmetro: relação entre a distância da fibra mais traccionada à posição da armadura –

102.05.0

051.0==

ha → podemos considerar que a/h = 0.15m

3º parâmetro: momento reduzido: 0864.01067.165.05.0

180322

=×××

=⋅⋅

=+

+

cd

Rd

fhb

144.01067.165.03.0

180322

=×××

=⋅⋅

=−

cd

Rd

fhb

4º parâmetro: relação entre a armadura de compressão (A’) e a armadura de tracção (A): AA'

No caso em estudo, queremos determinar a armadura longitudinal, pelo que a utilização da tabela

requer a quantificação de um outro parâmetro, a percentagem mecânica de armadura:cd

ydsff

hbA

⋅⋅

Verifica-se que a tabela mais adequada é a Tabela 9, tal como consta do Relatório 07-DEC/E-27.

De seguida, mostra-se a Tabela 9 onde se assinalam os pontos necessários ao dimensionamento.

Então,

M+ = 180 kNm → µ = 0.0864 → ω = 0.106 → As = 10.16 cm2

M- = 180 kNm → µ = 0.144 → ω = 0.189 → As = 10.87 cm2

Verificação da posição dos eixos neutros:

M+ = 180 kNm → µ = 0.0864 → ξ = 0.134 → x = 0.067 m (<0.1m)

Confirma-se que que o eixo neutro está posicionado no banzo superior da secção.

M- = 180 kNm → µ = 0.144 → ξ = 0.237 → x = 0.119 m (<0.4m)

Confirma-se que que o eixo neutro está posicionado nas almas da secção.

Page 37: Folha Resolvida 2 (Draft nº3)

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6 EXERCÍCIO 6 6.1 Características dos materiais Betão C20/25

fck = 20 MPa → 33.135.1

200.1 =×=⋅=c

ckcccd

ff

γα MPa

Aço para varões A500

fyk = 500 MPa → 78.43415.1

500===

s

ykyd

ff

γ MPa

6.2 Cálculo do valor da extensão em cada nível de armadura Hipóteses admitidas para o comportamento dos materiais:

Betão – Bloco rectangular de tensões → εcu3 = 3.5‰ ; λ = 0.8 ; η = 1.0

Aço – Diagrama elástico-perfeitamente plástico εs = “∞”

Condições iniciais:

Rotura pelo betão → εc = εcu3

Aço plastificado → 17.21020015.1500

3=

×==∧>

s

ydsysys E

fεεε ‰

Aço não plastificado → sys εε <

De acordo com a Figura 6, o eixo neutro da secção transversal em I está posicionado a 0.27m da

fibra superior da secção. Deste modo, o bloco rectangular de tensões engloba o banzo superior da

secção e uma parte da alma, tal como se representa na Figura 22.

εs5

εs1

εs2

εs6

εs4

εs3

Fs1

Fs2

Fs3

Fs4

Fs5

Fs6

η.fcd

Fc

NEd

0.21

6

0,27

εcu3

Figura 22 – Diagrama de extensões na secção transversal em I

Tendo em consideração as condições definidas, calcula-se o valor da extensão ao nível de cada fibra

da secção transversal que corresponde à posição de armadura:

Page 39: Folha Resolvida 2 (Draft nº3)

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Miguel Azenha, Isabel Valente, Ana Paula Assis, Eduardo Pereira 39

85.205.027.027.0

105.305.0

13

13 =⇔−

⇔−

=−

ssscu

xxε

εεε‰ > 2.17‰

as armaduras de compressão trabalham em regime plástico

56.115.027.027.0

105.315.0

23

23 =⇔−

⇔−

=−

ssscu

xxε

εεε‰ < 2.17‰

as armaduras de compressão trabalham em regime elástico

39.003.027.0

105.303.0

33

33 =⇔=×

⇔=−

ssscu

εεε‰ < 2.17‰

as armaduras de tracção trabalham em regime elástico

33.218.027.0

105.318.0

43

43 =⇔=×

⇔=−

ssscu

εεε‰ > 2.17‰

as armaduras de tracção trabalham em regime plástico

28.433.027.0

105.333.0

53

53 =⇔=×

⇔=−

ssscu

εεε‰ > 2.17‰

as armaduras de tracção trabalham em regime plástico

57.543.027.0

105.343.0

63

63 =⇔=×

⇔=−

ssscu

εεε‰ > 2.17‰

as armaduras de tracção trabalham em regime plástico

6.3 Cálculo do valor das forças internas Com o valor das extensões calculadas é possível calcular o valor da força em cada nível de

armadura.

51.52415.1105001006.12

34

111 =×

××=⋅=⇒> −ydsssys fAFεε kN

98.3731056.1102001006.12 3642222 =×××××=⋅⋅=⇒< −−

sssssys EAF εεε kN

37.311039.0102001002.4 3643333 =×××××=⋅⋅=⇒< −−

sssssys EAF εεε kN

84.17415.1105001002.4

34

444 =×

××=⋅=⇒> −ydsssys fAFεε kN

51.52415.1105001006.12

34

555 =×

××=⋅=⇒> −ydsssys fAFεε kN

51.52415.1105001006.12

34

666 =×

××=⋅=⇒> −ydsssys fAFεε kN

Page 40: Folha Resolvida 2 (Draft nº3)

Folhas de Apoio às Aulas Práticas

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Falta ainda calcular a força de compressão no betão. A área de betão comprimida está assinalada na

Figura 22, onde é necessário considerar todo o banzo superior e uma parte da alma.

67.18661033.1314.01033.1320.070.0 331 =××=×××=cF kN

67.421033.130032.01033.13)2.0216.0(20.0 332 =××=××−×=cF kN

33.190921 =+= ccc FFF kN

Conhecendo todas as forças que actuam ao nível da secção transversal, é possível resolver a 1ª

equação de equilíbrio. Neste equação, iguala-se o somatório das forças que actuam internamente na

secção com o somatório das forças externamente aplicadas:

⇔=−−−−++ Edssssssc NFFFFFFF 654321

⇔=−−−−++ EdN51.52451.52484.17437.3198.37851.52433.1909

59.1557=EdN kN

6.4 Cálculo do valor do momento flector resistente Uma vez que são conhecidas todas as forças que actuam na secção transversal, já é possível

resolver a 2ª equação de equilíbrio, calculando o valor do momento resistente. Neste caso, o

equilíbrio vai ser estabelecido em relação à posição do centro de massa da secção transversal,

anulando a parcela correspondente ao esforço axial NEd,

⇔⋅+⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅+⋅= 6655443322112211 ssssssssssssccccRd zFzFzFzFzFzFzFzFM

sendo,

zc1 = 0.275 m

zc2 = 0.167 m

zs1 = 0.325 m

zs2 = 0.225 m

zs3 = 0.075 m

zs4 = 0.075 m

zs5 = 0.225 m

zs6 = 0.325 m

⇔×+×+×

+×−×+×+×+×=

325.051.524225.051.524075.084.174075.037.31225.098.378325.051.524167.067.42275.067.1866RdM

44.1075=RdM kNm

Page 41: Folha Resolvida 2 (Draft nº3)

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7 EXERCÍCIO 7 7.1 Características dos materiais Betão C25/30

fck = 25 MPa → 67.165.1

250.1 =×=⋅=c

ckcccd

ff

γα MPa

Aço para varões A400

fyk = 400 MPa → 83.34715.1

400===

s

ykyd

ff

γ MPa

7.2 Cálculo da altura útil Neste caso, uma vez que ainda não sabemos qual é a armadura longitudinal que vamos colocar na

secção, admitimos um varão com um diâmetro “razoável”.

a = rec + φestribo + φ / 2

a = 0.04 + 0.006 (ou 0.008) + 0.02 / 2 = 0.056 m

Altura útil - d

d = 0.7 – 0.056 = 0.644 m

arredondando, consideramos d = 0.64m

7.3 Dimensionamento de armadura – utilização de tabela de flexão composta Definição dos parâmetros para entrada nas tabelas:

1º parâmetro: classe do aço → S400-B

2º parâmetro: relação entre a distância da fibra mais traccionada à posição da armadura –

08.07.0

056.0==

ha → podemos considerar que a/h = 0.10m

3º parâmetro: momento reduzido: 2143.01067.167.02.0

350322

=×××

=⋅⋅

=cd

Rd

fhb

4º parâmetro: esf. axial reduzido: 0429.01067.167.02.0

1003

=×××

=⋅⋅

=cd

Edfhb

5º parâmetro: relação entre a armadura de compressão (A’) e a armadura de tracção (A): A’ = A

No caso em estudo, queremos determinar a armadura longitudinal, pelo que a utilização da tabela

requer a quantificação de um outro parâmetro, a percentagem mecânica de armadura:cd

ydsff

hbA

⋅⋅

Verifica-se que a tabela mais adequada é a Tabela 13.p.

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De seguida, mostra-se a Tabela 13.p, onde se assinalam os pontos necessários ao

dimensionamento.

Então,

M = 350 kNm ; N = 100 kN → µ = 0.2143 ; υ = 0.0429

Interpolando,

Quando µ = 0.210 → ω = 0.459

Quando µ = 0.215 → ω = 0.471

Então, quando µ = 0.2143 → ω = 0.469 → A’ + A = 31.46 cm2

Uma solução possível é colocar 5 varões com 20mm de diâmetro em cada face.

Page 43: Folha Resolvida 2 (Draft nº3)

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