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FLEXIBILIDADE E SUPORTAÇÃO

PROF.: KAIO DUTRA

AULA 10-11 – DEFLEXÕES

Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica◦Deflexões de estruturas podemocorrer de várias fontes, comocargas, temperatura, erros defabricação, ou recalques.◦No projeto, deflexões têm de serlimitadas a fim de proporcionarintegridade e estabilidade àscoberturas, e evitar fissuras emmateriais frágeis anexados comoconcreto, reboco ou vidro.

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Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica◦A deflexão de uma estrutura é causada por seu

carregamento interno como a força normal,força cortante, ou momento fletor.

◦Muitas vezes é interessante fazer um esboço daforma defletida da estrutura quando ela estácarregada a fim de conferir parcialmente osresultados.

◦Esse diagrama de deflexão representa a curvaelástica ou lugar geométrico dos pontos quedefine a posição deslocada do centroide daseção transversal ao longo dos membros.

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Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica◦Normalmente é necessário, para facilitar a análise,que o diagrama de momento para a viga ouestrutura seja traçado primeiro.

◦Para isto, relembramos que:◦Um momento positivo tende a flexionar uma viga ou

membro horizontal côncavo para cima:

◦Um momento negativo tende a flexionar a viga oumembro côncavo para baixo:

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Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica◦Na figura ao lado podemos observar algumas curvas de deflexãopara duas situações.

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Diagramas de Deflexão e a Curva Elástica

◦É importante observar que a interação dos apoios com a curvaelástica, conforme apresentado na tabela abaixo.

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Teoria da Viga Elástica◦Quando o momento interno M deformao elemento da viga, cada seçãotransversal permanece plana e o ânguloentre elas torna-se dθ.

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Teoria da Viga Elástica◦Desta forma a deformação pode ser:

◦Porem:

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◦Relacionando a deformação pontualcom a deformação máxima temos:

Teoria da Viga Elástica

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◦Para o regime elástico temos que a Leide Hooke.

◦Usando a Lei de Hooke na relação dedeformação, temos:


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◦Por definição, a força relaciona-se com atensão da forma apresentada abaixo:


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◦Por definição, a força relaciona-se com atensão da forma apresentada abaixo:

◦Por definição, o momento relaciona-secom a força da forma apresentadaabaixo:


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◦Aplicando a relação de tensões da definição de momento,temos:


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◦Voltando para a relação de deformações, aplicando a Lei deHooke e a tensão de flexão, temos:

◦Na maioria dos livros de calculo é mostrado que a relação decurvatura pode ser dado por:


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◦Desta forma para verificação da curvaelástica é necessário resolver a equaçãodiferencial de segunda ordem não linear aolado:

◦Porém esta equação pode ser simplificadatendo em vista que a inclinação da curvaelástica é muito pequena, desta forma:

◦dυ/dx ≈ 0


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◦Convenção de sinais. Ao aplicar aequação anterior, é importante usar osinal apropriado para M comoestabelecido pela convenção de sinaisque foi usada na derivação dessaequação.

◦Também, tendo em vista que oângulo de inclinação será muitopequeno, o seu valor em radianospode ser determinado diretamente:

Método da Integração Dupla

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◦Além disso, lembre-se que adeflexão positiva, υ, é para cima,e como resultado, o ângulo deinclinação positivo θ serámedido no sentido anti-horáriodo eixo x.


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◦Conforme apresentado na teoria da vigaelástica e usando outros resultadospreviamente estudados nos diagramasde momento fletor e força cortante,temos:


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◦Condições de continuidade e contorno. Asconstantes de integração são determinadasavaliando as funções para inclinação oudeslocamento em um ponto em particular naviga onde o valor da função é conhecido.◦Por exemplo, se a viga é suportada por um roloou pino, então é necessário que o deslocamentoseja zero nesses pontos.◦Também, em um apoio fixo a inclinação e odeslocamento são, ambos, zero.


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Método da Integração DuplaExemplo 8.3

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◦Teorema 1: a mudança na inclinação entrequaisquer dois pontos na curva elástica éigual à área do diagrama M/EI entre estesdois pontos.

Teorema de Momentos das Áreas

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◦Teorema 2: o desvio vertical da tangenteem um ponto (A) na curva elástica, comrelação à tangente que se estende a partirde outro ponto (B), é igual ao “momento”da área sob o diagrama M/EI entre os doispontos (A e B).

Teorema de Momentos das Áreas

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Teorema de Momentos das ÁreasExemplo 8.6

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Método da Viga Conjugada◦A base para o método vem da similaridade de algumasequações:

◦Ou integrando:

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Método da Viga Conjugada◦A viga conjugada é “carregada” com o

diagrama M/EI derivado da carga w sobre aviga real.

◦Das comparações anteriores, podemosdeclarar dois teoremas relacionados à vigaconjugada, a saber,

◦Teorema 1: A inclinação em um ponto na vigareal é numericamente igual ao cortante noponto correspondente na viga conjugada.

◦Teorema 2: O deslocamento de um ponto naviga real é numericamente igual ao momentono ponto correspondente na viga conjugada.

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Método da Viga Conjugada

◦Apoios da viga conjugada:Conforme mostrado natabela ao lado, um apoio depino ou rolo naextremidade da viga realproporciona deslocamentozero, mas a viga tem umainclinação que não é zero.

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Método da Viga Conjugada◦Apoios da viga conjugada: Abaixo estão apresentadas algumastransformações de vigas reais em vigas conjugadas.

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Método da Viga ConjugadaExemplo 8.13

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Método da Viga ConjugadaExemplo 8.14

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