física - ondas

ONDAS

JHONE RAMSAY ANDREZ

TIPOS DE ONDAS

As ondas podem ser de três tipos especiais:

Ondas Mecânicas: Entre elas estão as ondas do mar e as ondas sonoras. São governadas pelas leis de Newton e existem apenas

em um meio material, como água e ar.

Ondas Eletromagnéticas: São por exemplo a luz visível, a luz ultravioleta, as ondas de rádio e tv , as microondas e os raios X. Estas não precisam de um meio material para se propagar, podem se propagar no vácuo. No vácuo elas se propagam com

velocidade 𝑐 ≈ 3 × 108 𝑚/𝑠2.

Ondas de Matéria: Estão associadas a elétrons, prótons e outras partículas elementares, e mesmo átomos e moléculas. Elas sáochamadas de ondas de matéria porque normalmente pensamos

nessas partículas como elementos básicos da matéria.

ONDAS TRANSVERSAIS E LONGITUDINAIS

Ondas Transversais: A perturbação é perpendicular a direção de propagação

Uma onda mecânica é causada pela perturbação de um meio, e iremos dividi-las em dois grupos:

Ondas Longitudinais: A perturbação é paralela a direção de propagação da onda.

ONDAS TRANSVERSAIS E LONGITUDINAIS

COMPRIMENTO DE ONDA E FREQUÊNCIA

𝐲 𝒕 = 𝒚𝒎 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕

Deslocamento no instante t

Amplitude

Tempo

Posição Frequência angular

Numero de onda

A função que fornece a forma daonda é dada pela equação:

A amplitude 𝑦𝑚 consiste no máximo deslocamento doselementos da onda a partir da posição de equilíbrio.

O Comprimento de onda 𝜆 de uma onda é a distância(paralela à direção de propagação) entre repetições daforma da onda.


Para 𝑡 = 0, temos que a função posição fica: y 𝑡 = 𝑦𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥

Pela definição, o deslocamento é o mesmo nas duas extremidades do comprimento de onda, ou seja:

𝑦𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥1 = 𝑦𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑘 𝑥1 + 𝜆 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥1 + 𝑘𝜆)

Usando a propriedade de periodicidade da função seno: 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃 + 2𝜋) 𝑘 =

2𝜋

𝜆


O período T de uma onda é definido pelo intervalo de tempo característico de uma repetição da onda. (Subida e descida de um elemento da onda ou intervalo de tempo necessário para que a crista alcance a posição da crista vizinha

A frequência angular 𝜔 determina quantos radianos são percorridos em cada segundo, e está relacionada com o período através da equação:

𝝎 =𝟐𝝅

𝑻= 𝟐𝝅𝒇


𝐲 𝒕 = 𝒚𝒎 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 + 𝝓

A Constante de Fase 𝜙de uma onda determina o deslocamento 𝑦 do elemento x = 0 deuma corda no instante 𝑡 = 0.

VELOCIDADE DE UMA ONDA PROGRESSIVA

Considere a mesma onda em dois instantesdiferentes de tempo. Podemos observar que afase da onda permanece constante.

𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Derivando com relação ao tempo dos dois lados:

𝑘𝑑𝑥

𝑑𝑡− 𝜔

𝑑𝑡

𝑑𝑡= 0

𝑣=𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑣 =

𝜔

𝑘

Como 𝝎 =𝟐𝝅

𝑻= 2𝜋𝑓:

𝑣 =𝜔

𝑘=

𝜆

𝑇= 𝜆𝑓

VELOCIDADE DE UMA ONDA EM UMA CORDA ESTICADA

Podemos aproximar a crista da onda na cordapor uma trajetória circular com arco Δ𝑙 e raio𝑅. A corda está esticada por uma tensão τ. Noeixo x a tensão se anula restando apenas duascomponentes do eixo y . Nessa condição temos:

𝐹 = 2 𝜏𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃≈𝜃

𝐹 = 𝜏(2𝜃)

Usando a relação 2𝜃 =∆𝑙

𝑅:

𝐹 = 𝜏∆𝑙

𝑅

Podemos definir a densidade linear da corda analogamente a definição de densidade

volumétrica:

𝜇 =∆𝑚

∆𝑙

Da segunda lei de Newton, obtemos:

𝐹 = ∆𝑚. 𝑎

∆𝑚=𝜇∆𝑙𝐹 = 𝜇. ∆𝑙. 𝑎

VELOCIDADE DE UMA ONDA EM UMA CORDA ESTICADA

Além disso, temos que o elemento de corda possui uma aceleração centrípeta

dada por: 𝑎 =𝑣2

𝑅. Assim:

𝐹 = 𝜇. ∆𝑙.𝑣2

𝑅

Igualando as duas equações de força:

𝜏∆𝑙

𝑅= 𝜇. ∆𝑙.

𝑣2

𝑅 → 𝑣 =𝜏

𝜇

A velocidade de uma onda emuma corda ideal esticada dependeapenas da tensão e da massaespecífica linear da corda, e nãoda frequência da onda.

ENERGIA E POTÊNCIA DE UMA ONDAPROGRESSIVA EM UMA CORDA

Energia Cinética: Um elemento de corda de massa 𝑑𝑚, oscilando transversalmente em ummovimento harmônico simples enquanto a onda passa por ele, possui energia cinéticaassociada a sua velocidade transversal 𝜇.

𝜇 =𝜕𝑦

𝜕𝑡= 𝑦𝑚 −𝜔 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝐾 =

∆𝑚𝜇2

2=

∆𝑚 𝑦𝑚 −𝜔 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 2

2

𝐾 =∆𝑚 𝜔𝑦𝑚

2cos2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

2

𝜇=∆𝑚

∆𝑥𝐾 =

𝜇𝑑𝑥 𝜔𝑦𝑚2cos2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

2

𝐾𝑚𝑒𝑑 =𝜇𝑑𝑥 𝜔𝑦𝑚

2 12

2𝐾𝑚𝑒𝑑 =

𝜇𝑑𝑥 𝜔𝑦𝑚2

4

Podemos calcular e energia cinética média, sabendo que: cos2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝑚𝑒𝑑 =1

2

ENERGIA E POTÊNCIA DE UMA ONDAPROGRESSIVA EM UMA CORDA

A taxa média com que a energia cinética é transportada é:

𝑑𝐾𝑚𝑒𝑑

𝑑𝑡=

𝜇𝑑𝑥𝑑𝑡

𝜔𝑦𝑚2

4=

𝜇𝑣 𝜔𝑦𝑚2

4

Para um sistema oscilatório, a energia cinética média é igual a energia potencial média:𝐸 = 𝐾𝑚𝑒𝑑 + 𝑈𝑚𝑒𝑑 = 2𝐾𝑚𝑒𝑑. Podemos calcular assim a potência média:

𝑃𝑚𝑒𝑑 =𝑑𝐸

𝑑𝑡𝑚𝑒𝑑

→ 𝑃𝑚𝑒𝑑= 2𝑑𝐾

𝑑𝑡𝑚𝑒𝑑

→ 𝑃𝑚𝑒𝑑=1

2𝜇𝑣𝜔2𝑦𝑚

2

A EQUAÇÃO DA ONDA

Existe uma equação diferencial geral que governa a propagação de ondas de todos ostipos. Ela é chamada de equação da onda e é dada pela relação:

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2=

1

𝑣2

𝜕2𝑦

𝜕𝑡2

PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS

Suponha que duas ondas se propagam simultaneamente na mesma cordaesticada. Sejam 𝑦1 𝑥, 𝑡 e 𝑦2 𝑥, 𝑡 os deslocamentos que a corda sofreria secada onda se propagasse sozinha. O deslocamento da corda quando as ondasse propagam ao mesmo tempo é a soma algébrica:

𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦1 𝑥, 𝑡 + 𝑦2 𝑥, 𝑡

Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir uma ondaresultante ou onda total. Além disso, ondas superpostas não se afetammutuamente.

INTERFERÊNCIA DE ONDAS

Suponha que duas ondas possuam a mesma frequência angula 𝜔, mesmo número de onda𝑘, e mesma amplitude 𝑦𝑚, mas possuindo uma diferença de fase 𝜙. Assim:

𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙

Usando o princípio da

superposição:𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦1 𝑥, 𝑡 + 𝑦2 𝑥, 𝑡

𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙

Usando a relação: 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛1

2𝛼 + 𝛽 𝑐𝑜𝑠

1

2(𝛼 − 𝛽)

𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 2𝑦𝑚𝑐𝑜𝑠1

2𝜙 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +

1

2𝑘𝜙)

INTERFERÊNCIA DE ONDAS

Interferência totalmente construtiva: 𝜙 = 0

Interferência totalmente destrutiva: 𝜙 = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 (180°)

Imagine duas ondas com o mesmo comprimento de onda, mesma amplitude se propagandoem sentidos opostos As equações das ondas ficam:

ONDAS ESTACIONÁRIAS

𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡

Usando o princípio da

superposição:

𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦1 𝑥, 𝑡 + 𝑦2 𝑥, 𝑡

𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡

𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 𝜔𝑡

Sendo: 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛1

2𝛼 + 𝛽 𝑐𝑜𝑠

1

2(𝛼 − 𝛽)

𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 2𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡


𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 2𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 A analise dos 5 instantes que aparecem na figura nos mostramque a onda resultante possui pontos que nunca se movem,chamados de nós. Os pontos da onda resultante que podematingir de máxima amplitude são chamados de antinós.


𝑦′ 𝑥, 𝑡 = 2𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

REFLEXÃO EM UMA INTERFACE

ONDAS ESTACIONÁRIAS E RESSONÂNCIA

A condição de ressonância é satisfeitaquando o espaço de confinamento equivale a

um múltiplo inteiro de𝜆

2:

𝐿 = 𝑛𝜆

2→ 𝜆 =

2𝐿

𝑛𝑛 = 1,2,3, …

A frequência de ressonância fica:

𝑓 =𝑣

𝜆→ 𝑓 = 𝑛

𝑣

2𝐿

física - ondas

Science