fisica ii termodinamica e ondas

)v)t F=m aEv+)x=v+CA 4BR

SEARS & ZEMANSKY

YOUNG & FREEDMAN

FSICA IITERMODINMICA E ONDAS

12a EDIO

So Paulo

Brasil Argentina Colmbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala Mxico Peru Porto Rico Venezuela

Hugh D. YoungUniversidade Carnegie-Mellon, Pittsburgh

Roger A. FreedmanUniversidade da Califrnia, Santa Brbara

ColaboradorA. Lewis Ford

Universidade A&M do Texas

TraduoSonia Midori Yamamoto

Reviso TcnicaAdir Moyss LuizDoutor em cincia

Professor associado do Instituto de Fsica da Universidade Federal do Rio de Janeiro

Cludia Santana Martins

So Paulo

Brasil Argentina Colmbia Costa Rica Chile EspanhaGuatemala Mxico Peru Porto Rico Venezuela

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ndice para catlogo sistemtico:1. Fsica : Estudo e ensino 530.07

2008

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Young, Hugh D.Fsica I / Young e Feedman ; traduo Sonia Midori Yamamoto ;

reviso tcnica Adir Moyss Luiz. 12. ed. So Paulo : Addison Wesley, 2008.

Ttulo original: Sears and Zemanskys university physics

ISBN 978-85-88639-30-0

1. Fsica 2. Fsica Estudo e ensinoI. Feedman. II. Luiz, Adir Moyss. III. Ttulo.

07-10684 CDD-530.07

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Supervisor de produo editorial: Marcelo FranozoEditores: Arlete Sousa e Marco PacePreparao: Marina Mouro Fanti

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Projeto grfico e diagramao: Globaltec Artes Grficas

Young, Hugh D.Fsica II : Termodinmica e Ondas / Young e Freedman ; [colabo-

rador A. Lewis Ford]; traduo Cludia Santana Martins ; reviso tcnica Adir Moyss Luiz. 12. ed. So Paulo : Addison Wesley, 2008.

Ttulo original: Sear and Zemansky`s University physics.

ISBN 978-85-88639-33-1

1. Fsica 2. Ondas 3. TermodinmicaI. Freedman, Roger A. II. Ford, A. Lewis. III. Ttulo.

08-02034 CDD-530

1. Fsica : Estudo e ensino 530

5a reimpresso agosto 2012Direitos exclusivos para a lngua portuguesa cedidos

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FSICA 2 TERMODINMICA E ONDAS

CAPTULO 12 Gravitao

12.1 Lei de Newton da Gravitao 0112.2 Peso 0512.3 Energia Potencial Gravitacional 0812.4 Movimento de Satlites 1012.5 As Leis de Kepler e o Movimento de Planetas 13*12.6 Distribuio Esfrica de Massa 17*12.7 Peso Aparente e Rotao da Terra 2012.8 Buraco Negro 22

Resumo/Principais Termos 25Questes/Exerccios/Problemas 27

CAPTULO 13 Movimento Peridico

13.1 Causas da Oscilao 3613.2 Movimento Harmnico Simples 3813.3 Energia no Movimento Harmnico Simples 4513.4 Aplicaes do Movimento Harmnico Simples 4913.5 O Pndulo Simples 5213.6 O Pndulo Fsico 5413.7 Oscilaes Amortecidas 5613.8 Oscilaes Foradas e Ressonncia 58


CAPTULO 14 Mecnica dos Fluidos

14.1 Densidade 7214.2 Presso em um Fluido 7414.3 Empuxo 7914.4 Escoamento de um Fluido 8214.5 Equao de Bernoulli 8414.6 Viscosidade e Turbulncia 88


CAPTULO 15 Ondas Mecnicas

15.1 Tipos de Ondas Mecnicas 103

SUMRIO

15.2 Ondas Peridicas 10515.3 Descrio Matemtica das Ondas 10715.4 Velocidade de uma Onda Transversal 11315.5 Energia no Movimento Ondulatrio 11615.6 Interferncia de Ondas, Condies de Contorno de

uma Corda e Princpio da Superposio 11915.7 Ondas Estacionrias em uma Corda 12115.8 Modos Normais de uma Corda 125


CAPTULO 16 Som e Audio

16.1 Ondas Sonoras 14016.2 Velocidade das Ondas Sonoras 14516.3 Intensidade do Som 14916.4 Ondas Estacionrias e Modos Normais 15316.5 Ressonncia e Som 15716.6 Interferncia de Ondas 15916.7 Batimentos 16116.8 O Efeito Doppler 162*16.9 Ondas de Choque 167


CAPTULO 17 Temperatura e Calor

17.1 Temperatura e Equilbrio Trmico 17917.2 Termmetros e Escalas de Temperatura 18117.3 Termmetro de Gs e Escala Kelvin 18217.4 Expanso Trmica 18417.5 Quantidade de Calor 19017.6 Calorimetria e Transies de Fases 19317.7 Mecanismos de Transferncia de Calor 198


CAPTULO 18 Propriedades Trmicas da Matria

18.1 Equaes de Estado 21718.2 Propriedades Moleculares da Matria 22318.3 Modelo Cintico-Molecular de um Gs Ideal 22618.4 Calor Especfico 231

vi FSICA II

*18.5 Velocidades Moleculares 23518.6 Fases da Matria 237


CAPTULO 19 A Primeira Lei da Termodinmica

19.1 Sistemas Termodinmicos 25119.2 Trabalho Realizado Durante Variaes de

Volume 25219.3 Caminhos entre Estados Termodinmicos 25519.4 Energia Interna e Primeira Lei da

Termodinmica 25619.5 Tipos de Processos Termodinmicos 26119.6 Energia Interna de um Gs Ideal 26219.7 Calor Especfico de um Gs Ideal 26319.8 Processo Adiabtico de um Gs Ideal 266


CAPTULO 20 A Segunda Lei da Termodinmica

20.1 Sentido de um Processo Termodinmico 27820.2 Mquinas Trmicas 27920.3 Mquinas de Combusto Interna 28220.4 Refrigeradores 28420.5 Segunda Lei da Termodinmica 28620.6 O Ciclo de Carnot 28820.7 Entropia 293*20.8 Interpretao Microscpica da Entropia 298


APNDICES

A Sistema Internacional de Unidades 311B Relaes Matemticas teis 313C Alfabeto Grego 314D Tabela Peridica dos Elementos 315E Fatores de Converso das Unidades 316F Constantes Numricas 317

Respostas dos Problemas mpares 319

ndice Remissivo 323

Crditos das fotos 327

Sobre os autores 329

FSICA 1MECNICA

CAPTULO 1 Unidades, Grandezas Fsicas e Vetores

1.1 A Natureza da Fsica 1.2 Soluo de Problemas de Fsica1.3 Padres e Unidades1.4 Coerncia e Converso de Unidades 1.5 Incerteza e Algarismos Significativos1.6 Estimativas e Ordens de Grandeza1.7 Vetores e Soma Vetorial1.8 Componentes de Vetores1.9 Vetores Unitrios1.10 Produtos de Vetores

Resumo/Principais TermosQuestes/Exerccios/Problemas

CAPTULO 2 Movimento Retilneo

2.1 Deslocamento, Tempo e Velocidade Mdia2.2 Velocidade Instantnea2.3 Acelerao Instantnea e Acelerao Mdia2.4 Movimento com Acelerao Constante2.5 Queda Livre de Corpos*2.6 Velocidade e Posio por Integrao


CAPTULO 3 Movimento em Duas ou Trs Dimenses

3.1 Vetor Posio e Vetor Velocidade3.2 Vetor Acelerao3.3 Movimento de um Projtil3.4 Movimento Circular3.5 Velocidade Relativa


CAPTULO 4 Leis de Newton do Movimento

4.1 Fora e Interaes4.2 Primeira Lei de Newton

Sumrio vii

4.3 Segunda Lei de Newton4.4 Massa e Peso4.5 Terceira Lei de Newton4.6 Exemplos de Diagramas do Corpo Livre


CAPTULO 5 Aplicaes das Leis de Newton

5.1 Uso da Primeira Lei de Newton: Partculas em Equilbrio

5.2 Uso da Segunda Lei de Newton: Dinmica das Partculas

5.3 Foras de Atrito5.4 Dinmica do Movimento Circular*5.5 As Foras Fundamentais da Natureza


CAPTULO 6 Trabalho e Energia Cintica

6.1 Trabalho6.2 Energia Cintica e o Teorema do Trabalho-Energia6.3 Trabalho e Energia com Foras Variveis6.4 Potncia


CAPTULO 7 Energia Potencial e Conservao da Energia

7.1 Energia Potencial Gravitacional7.2 Energia Potencial Elstica7.3 Foras Conservativas e Foras No Conservativas7.4 Fora e Energia Potencial7.5 Diagramas de Energia

Resumo/Principais TermoQuestes/Exerccios/Problemas

CAPTULO 8 Momento Linear, Impulso e Colises

8.1 Momento Linear e Impulso8.2 Conservao do Momento Linear

8.3 Conservao do Momento Linear e Colises8.4 Colises Elsticas8.5 Centro de Massa*8.6 Propulso de um Foguete


CAPTULO 9 Rotao de Corpos Rgidos

9.1 Velocidade Angular e Acelerao Angular9.2 Rotao com Acelerao Angular Constante9.3 Relaes entre a Cinemtica Linear e a Cinemtica

Angular9.4 Energia no Movimento de Rotao9.5 Teorema dos Eixos Paralelos*9.6 Clculos de Momento de Inrcia


CAPTULO 10 Dinmica do Movimento de Rotao

10.1 Torque10.2 Torque e Acelerao Angular de um Corpo Rgido10.3 Rotao de um Corpo Rgido em Torno

de um Eixo Mvel10.4 Trabalho e Potncia no Movimento de Rotao10.5 Momento Angular10.6 Conservao do Momento Angular10.7 Giroscpios e Precesso


CAPTULO 11 Equilbrio e Elasticidade

11.1 Condies de Equilbrio11.2 Centro de Gravidade11.3 Solues de Problemas de Equilbrio de Corpos

Rgidos11.4 Tenso, Deformao e Mdulos de Elasticidade11.5 Elasticidade e Plasticidade


viii FSICA II

FSICA 3ELETROMAGNETISMO

CAPTULO 21 Carga Eltrica e Campo Eltrico

21.1 Carga Eltrica 21.2 Condutores, Isolantes e Cargas Induzidas 21.3 Lei de Coulomb 21.4 Campo Eltrico e Foras Eltricas 21.5 Determinao do Campo Eltrico 21.6 Linhas de Fora de um Campo Eltrico 21.7 Dipolos Eltricos

Resumo/Principais Termos Questes/Exerccios/Problemas

CAPTULO 22 Lei de Gauss

22.1 Carga Eltrica e Fluxo Eltrico 22.2 Determinao do Fluxo Eltrico 22.3 Lei de Gauss 22.4 Aplicaes da Lei de Gauss 22.5 Cargas e Condutores


CAPTULO 23 Potencial Eltrico

23.1 Energia Potencial Eltrica 23.2 Potencial Eltrico 23.3 Determinao do Potencial Eltrico 23.4 Superfcies Equipotenciais 23.5 Gradiente de Potencial


CAPTULO 24 Capacitncia e Dieltricos

24.1 Capacitncia e Capacitores 24.2 Capacitores em Srie e em Paralelo 24.3 Armazenamento de Energia em Capacitores e

Energia do Campo Eltrico 24.4 Dieltricos *24.5 Modelo Molecular da Carga

Induzida*24.6 Lei de Gauss em Dieltricos


CAPTULO 25 Corrente, Resistncia e Fora Eletromotriz

25.1 Corrente 25.2 Resistividade 25.3 Resistncia 25.4 Fora Eletromotriz e Circuitos 25.5 Energia e Potncia em Circuitos Eltricos*25.6 Teoria da Conduo em Metais


CAPTULO 26 Circuitos de Corrente Contnua

26.1 Resistores em Srie e em Paralelo 26.2 Leis de Kirchhoff 26.3 Instrumentos de Medidas Eltricas 26.4 Circuito R-C 26.5 Sistemas de Distribuio de Potncia


CAPTULO 27 Campo Magntico e Fora Magntica

27.1 Magnetismo 27.2 Campo Magntico 27.3 Linhas de Campo Magntico e Fluxo Magntico 27.4 Movimento de Partculas Carregadas em um Campo

Magntico27.5 Aplicaes do Movimento de Partculas Carregadas 27.6 Fora Magntica Sobre um Condutor Transportando

uma Corrente 27.7 Fora e Torque Sobre uma Espira de Corrente*27.8 O Motor de Corrente Contnua *27.9 O Efeito Hall


CAPTULO 28 Fontes de Campo Magntico

28.1 Campo Magntico de uma Carga em Movimento

28.2 Campo Magntico de um Elemento de Corrente 28.3 Campo Magntico de um Condutor Retilneo

Transportando uma Corrente 28.4 Fora Entre Condutores Paralelos 28.5 Campo Magntico de uma Espira de Corrente 28.6 Lei de Ampre 28.7 Aplicaes da Lei de Ampre*28.8 Materiais Magnticos


CAPTULO 29 Induo Eletromagntica

29.1 Experincias de Induo 29.2 Lei de Faraday 29.3 Lei de Lenz 29.4 Fora Eletromotriz Produzida pelo Movimento 29.5 Campos Eltricos Induzidos*29.6 Correntes de Rodamoinho29.7 Corrente de Deslocamento e Equaes de Maxwell *29.8 Supercondutividade


CAPTULO 30 Indutncia

30.1 Indutncia Mtua 30.2 Indutores e Auto-Indutncia 30.3 Indutores e Energia do Campo Magntico 30.4 O Circuito R-L 30.5 O Circuito L-C 30.6 O Circuito R-L-C em Srie


CAPTULO 31 Corrente Alternada 31.1 Fasor e Corrente Alternada 31.2 Resistncia e Reatncia 31.3 O Circuito R-L-C em Srie 31.4 Potncia em Circuitos de Corrente Alternada 31.5 Ressonncia em Circuitos de Corrente Alternada 31.6 Transformadores


CAPTULO 32 Ondas Eletromagnticas

32.1 Equaes de Maxwell e Ondas Eletromagnticas

32.2 Ondas Eletromagnticas Planas e a Velocidade da Luz 32.3 Ondas Eletromagnticas Senoidais 32.4 Energia e Momento Linear em Ondas

Eletromagnticas32.5 Ondas Eletromagnticas Estacionrias Resumo/Principais Termos Questes/Exerccios/Problemas

FSICA 4 TICA E FSICA MODERNA

CAPTULO 33 Natureza e Propagao da Luz

33.1 Natureza da Luz 33.2 Reflexo e Refrao 33.3 Reflexo Interna Total*33.4 Disperso33.5 Polarizao*33.6 Espalhamento da Luz33.7 Princpio de Huygens


CAPTULO 34 tica Geomtrica e Instrumentos de tica

34.1 Reflexo e Refrao em uma Superfcie Plana 34.2 Reflexo em uma Superfcie Esfrica 34.3 Refrao em uma Superfcie Esfrica 34.4 Lentes Delgadas 34.5 Cmera 34.6 O Olho 34.7 A Lupa 34.8 Microscpios e Telescpios


CAPTULO 35 Interferncia

35.1 Interferncia e Fontes Coerentes 35.2 Interferncia da Luz Produzida por Duas Fontes 35.3 Intensidade das Figuras de Interferncia 35.4 Interferncia em Pelculas Finas 35.5 O Interfermetro de Michelson


Sumrio ix

x FSICA II

CAPTULO 36 Difrao

36.1 Difrao de Fresnel e Difrao de Fraunhofer 36.2 Difrao Produzida por uma Fenda Simples 36.3 Intensidade na Difrao Produzida por uma Fenda

Simples36.4 Fendas Mltiplas 36.5 A Rede de Difrao 36.6 Difrao de Raios X 36.7 Orifcios Circulares e Poder de Resoluo*36.8 Holografia


CAPTULO 37 Relatividade

37.1 Invarincia das Leis Fsicas 37.2 Relatividade da Simultaneidade 37.3 Relatividade dos Intervalos de Tempo 37.4 Relatividade do Comprimento 37.5 As Transformaes de Lorentz*37.6 O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagnticas37.7 Momento Linear Relativstico 37.8 Trabalho e Energia na Relatividade 37.9 Mecnica Newtoniana e Relatividade


CAPTULO 38 Ftons, Eltrons e tomos

38.1 Emisso e Absoro da Luz 38.2 O Efeito Fotoeltrico 38.3 Espectro Atmico de Linhas e Nveis de Energia 38.4 O Ncleo do tomo 38.5 O Modelo de Bohr 38.6 O Laser 38.7 Espalhamento e Produo de Raios X 38.8 Espectro Contnuo 38.9 A Dualidade Onda-Partcula


CAPTULO 39 A Natureza Ondulatria das Partculas

39.1 Onda de De Broglie 39.2 Difrao de Eltrons 39.3 Probabilidade e Incerteza 39.4 O Microscpio Eletrnico 39.5 Funo de Onda e Equao de Schrdinger


CAPTULO 40 Mecnica Quntica

40.1 Partcula em uma Caixa 40.2 Poo de Potencial 40.3 Barreira de Potencial e Efeito Tnel 40.4 O Oscilador Harmnico 40.5 Problemas em Trs Dimenses


CAPTULO 41 Estrutura Atmica

41.1 O tomo de Hidrognio 41.2 O Efeito Zeeman 41.3 Spin do Eltron 41.4 tomos com Muitos Eltrons e o Princpio de Excluso 41.5 Espectro de Raios X


CAPTULO 42 Molculas e Matria Condensada

42.1 Tipos de Ligaes Moleculares 42.2 Espectro Molecular 42.3 Estrutura de um Slido 42.4 Bandas de Energia 42.5 Modelo do Eltron Livre para um Metal 42.6 Semicondutores 42.7 Dispositivos Semicondutores 42.8 Supercondutividade


CAPTULO 43 Fsica Nuclear

43.1 Propriedades do Ncleo 43.2 Ligao Nuclear e Estrutura Nuclear 43.3 Estabilidade Nuclear e Radioatividade 43.4 Atividade e Meia-Vida 43.5 Efeitos Biolgicos da Radiao 43.6 Reaes Nucleares 43.7 Fisso Nuclear 43.8 Fuso Nuclear


Sumrio xi

CAPTULO 44 Fsica das Partculas e Cosmologia

44.1 Partculas Fundamentais uma Histria 44.2 Aceleradores de Partculas e Detectores 44.3 Interaes entre Partculas 44.4 Quarks e o Modelo com Simetria de Oito Modos 44.5 O Modelo Padro e os Modelos Futuros 44.5 O Universo em Expanso 44.6 O Comeo do Tempo


Este livro o resultado de meio sculo de liderana e inovao no ensino da Fsica. A primeira edio do livrosica, de Francis W. Sears e Mark W. Zemansky, publicada em 1949, foi revolucionria dentre os livros-texto baseados

em clculo por dar nfase aos princpios da Fsica e suas aplicaes. O xito alcanado por esta obra para o uso de diver-sas geraes de alunos e professores, em vrias partes do mundo, atesta os mritos desse mtodo e das muitas inovaesintroduzidas posteriormente.

Ao preparar esta nova edio, incrementamos e desenvolvemos o livro de modo a incorporar as melhores idias extra-das de pesquisas acadmicas, com ensino aprimorado de soluo de problemas, pedagogia visual e conceitual pioneira.

Novidades desta Edio

Estratgias para a soluo de problemas eExemplos resolvidos. Sees de Estratgia para asoluo de problemas permeiam o livro e fornecem aosalunos tticas especficas para a resoluo de determina-dos tipos de problema. Eles atendem s necessidades detodo estudante que j sentiu que compreende os concei-tos, mas no consegue resolver os problemas.

Todas as sees de Estratgia para a Soluo deProblemas seguem a abordagem ISEE (do inglsdenti et p E ec te and Eval ate Identificar,

Preparar, Executar e Avaliar). Essa abordagem ajuda osestudantes a saber como comear a tratar uma situaoaparentemente complexa, identificar os conceitos rele-vantes de Fsica, decidir quais recursos so necessriospara solucionar o problema, executar a soluo e depoisavaliar se o resultado faz sentido.

Cada seo de Estratgia para a Soluo de Problemas seguida por um ou mais Exemplos resolvidos, que ilus-tram a estratgia. Muitos outros Exemplos podem serencontrados em cada captulo. Assim como as sees deEstratgia para a Soluo de Problemas, todos os exem-plos quantitativos aplicam a abordagem ISEE. Vriosdeles so puramente qualitativos e classificados comoExemplos Conceituais.

Ensino associado prtica. Um recurso eficientee sistemtico de aprendizado associado prtica incluios Objetivos de Aprendizagem, disponveis no incio decada captulo, e os Resumos dos captulos, que consoli-dam cada conceito por meio de palavras, frmulasmatemticas e figuras.

Essa uma idia extrada de pesquisas acadmi-cas realizadas recentemente na rea. Por ser um recur-so extremamente didtico, muito eficiente para oaprendizado.

Exemplo 12.1

CLCULO DE UMA FORA GRA VI TA CIO NAL A massa m1de uma das esfe ras peque nas da balan a de Cavendish igual a 0,0100 kg, a massa m2 de uma das esferas gran des igual a 0,500 kg, e a dis tn cia entre o cen tro de massa da esfe ra peque na e o cen tro de massa da esfe ra gran de igual a 0,0500 m. Calcule a fora gra vi ta cio nal Fg sobre cada esfe ra.

SOLU O

IDEN TI FICAR: como os obje tos de 0,0100 kg e 0,500 kg so esfe ri ca men te sim tri cos, pode mos cal cu lar a fora gra vi ta cio nal que um exer ce sobre o outro, supon do que eles sejam par t cu las dis tan cia das de 0,0500 m. Cada esfe ra rece be uma fora de mesmo mdulo da outra esfe ra, ainda que suas mas sas sejam muito dife ren tes.

PREPARAR: usaremos a lei da gra vi ta o, Equao (12.1), para deter mi nar Fg.

Estratgia para a soluo de problemas 14.1

EQUAO DE BERNOULLI A equao de Bernoulli foi deduzida a partir do teorema do tra-balho-energia, portanto no surpresa que possamos aplicar aqui muitas recomendaes de estratgia para a soluo de problemas mencionadas na Seo 7.1.

IDENTIFICAR os conceitos relevantes: comece certificando-se de que o escoamento do fluido seja estacionrio e que o fluido seja compressvel e livre de atrito interno. Este caso uma idea-lizao, mas surpreendentemente aplicvel a fluidos que escoem por tubos suficientemente grandes e a escoamentos dentro de fluidos com grande volume (por exemplo, o ar que cerca um avio ou a gua ao redor de um peixe).

PREPARAR seguindo os passos:1. Sempre comece identificando claramente os pontos 1 e 2 men-

cionados na equao de Bernoulli.2. Defina o seu sistema de coordenadas e, em especial, o nvel em

que y = 0.3. Faa uma lista das grandezas conhecidas e desconhecidas na

Equao (14.17). As variveis so P1, P2, v1, v2, y1 e y2; as cons-tantes so S e g. O que foi dado? O que voc precisa calcular?

EXECUTAR o problema da seguinte forma: escreva a equao de Bernoulli e encontre as grandezas desconhecidas. Em alguns problemas voc ter de usar a equao da continuidade [Equao (14.10)] para obter uma relao entre as duas velocidades em termos das reas das sees retas dos tubos ou dos recipientes. Ou talvez voc conhea as velocidades, mas precise encontrar uma

PREFCIO

xiv FSICA II

Questes e exerccios. No final de cada captulo h um conjunto de Questes para discusso destinadas a aprofun-dar e ampliar a assimilao conceitual pelo aluno, e, logo aps, vm os Exerccios, problemas simples que envolvem umdado conceito relacionado com sees especficas do texto. Em seguida temos os Problemas, que normalmente necessi-tam de duas ou mais etapas no triviais, e, por fim, os Problemas desafiadores, destinados a desafiar os melhores estu-dantes. Os problemas abrangem aplicaes a campos to diversos quanto astrofsica, biologia e aerodinmica. Muitosdeles possuem partes conceituais as quais os estudantes devem discutir e explicar seus resultados. As novas questes,exerccios e problemas desta edio foram criados e organizados por Wayne Anderson (Sacramento City College), LairdKramer (Florida International University) e Charlie Hibbard.

O poder didtico das guras. O poder ins-trutivo das figuras potencializado por meioda comprovada tcnica de anotao (comen-trios no estilo quadro-negro integrados sfiguras, para orientar o estudante em sua inter-pretao) e do uso eficiente de detalhes.

Problemas em destaque, ao final doscaptulos. Outro reconhecido mrito desta12a edio vai ainda mais longe: ela ofereceem seus quatro volumes a primeira bibliotecade problemas sistematicamente melhoradosem Fsica, com mais de 800 novos problemas,que compem o acervo total de 3700.

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

Estudando este captulo, voc aprender:

& ##!!0! #/# !!,.-/.- !!,

& !!+ .-versus !#versus !.-versus !#!!0

& " #!!0.- !!"" !1 "#

& #!!0 .-- !!

Teste sua compreenso da Seo 2.2 A Figura 2.9 um grfico xt do movimento de uma partcula. a) Classifique osvalores da velocidade vx da partcula nos pontos P, Q, R e S, domais positivo para o mais negativo. b) Em quais pontos vx posi-tiva? c) Em quais pontos vx negativa? d) Em quais pontos vx nula? e) Classifique os valores da velocidade escalar da partcu-la nos pontos P, Q, R e S, do mais rpido para o mais lento.

Figura 2.27 .-#"#!#

!,! -! ! ".-.-!

Acelerao: DesconhecidaVelocidade: A ser determinadaPosio: A ser determinada

Destino Londres

OrigemMiami

N

LO

S

Organizao dos captulosA Introduo de cada captulo fornece exemplos espec-ficos do contedo e faz a conexo com assuntos aborda-dos em captulos anteriores. H tambm uma Perguntade abertura do captulo e uma lista de Objetivos deAprendizagem para que o aluno reflita sobre a matriano captulo a seguir. (Para encontrar a resposta a essapergunta, procure pelo cone ?.) A maioria das seestermina com um Teste de compreenso, que apresentaperguntas simples relacionadas ao contedo estudado.Esse recurso ajuda os alunos a testarem instantanea-mente o que acabaram de aprender. O final de cada cap-tulo traz um Resumo visual dos princpios mais impor-tantes apresentados, bem como uma lista de Principaistermos com referncia da pgina na qual cada termo foiintroduzido pela primeira vez. As respostas Perguntade abertura do captulo e do Teste de compreenso vmna seqncia dos Principais termos.

Teste sua compreenso da Seo 14.4 Uma equipe de manuteno est trabalhando em um trecho de uma estrada de trs pistas, deixando apenas uma pista aberta ao trfego. O resultado um trfego muito mais lento (um engarrafamento). Os carros na estrada se comportam como (i) molculas de um fluido incom-pressvel ou (ii) molculas de um fluido compressvel?

OBJE TI VOS DE APREN DI ZA GEM

Ao estudar este cap tu lo, voc apren de r:

s #OMODESCREVEROSCILAESEMTERMOSDAAMPLITUDEPERO-DOFREQNCIAEFREQNCIAANGULAR

s #OMO FAZER CLCULOS COM MOVIMENTO HARMNICO SIMPLES-(3UMTIPOIMPORTANTEDEOSCILAO

s #OMOUSARCONCEITOSDEENERGIAPARAANALISAR-(3

s #OMOAPLICAROSCONCEITOSENVOLVIDOSEMUM-(3ADIFE-RENTESSITUAESFSICAS

s #OMOANALISAROSMOVIMENTOSDEUMPNDULOSIMPLES

s /QUEUMPNDULOFSICOECOMOCALCULARASPROPRIEDADESDESEUMOVIMENTO

FRIO

QUENTE

Uma chapa se dilataquando aquecida...

... ento um buracorecortado na chapatambm deve se dilatar.

Figura 17.10 1UANDOUMOBJETOPASSAPORDILATAO TRMICAQUAISQUERBURACOSEXISTENTESNOOBJETOTAMBMSEDILATAM!DILATAOFOIEXAGERADANAGRAVURA

Prefcio xv

No Companion Website deste livro (www.aw.com/young_br), professores e estudantes tm acesso a mate-riais adicionais que facilitaro a exposio das aulas e o aprendizado.Para os professores: manual de solues (em ingls) e apresentaes em PowerPoint com figuras e os prin-cipais conceitos do livro (protegidos por senha).Para estudantes: exerccios de mltipla escolha para ajudar na fixao de conceitos e animaes (em ingls)que simulam alguns temas das lies, como no exemplo abaixo.

Pargrafos de ateno. Duas dcadas de pesquisaacadmica em Fsica revelaram uma srie de armadilhasconceituais que comumente afligem os iniciantes no estudoda Fsica. Dentre elas, as noes de que uma fora neces-sria para o movimento, que a corrente eltrica usada aolongo de um circuito e que o prprio produto da massa pelaacelerao uma fora. Os pargrafos de Ateno alertampara essas e outras armadilhas e explicam onde est o errona abordagem (que pode ter inicialmente ocorrido ao estu-dante) de uma determinada situao.

Notao e unidades. Os estudantes geralmente levam muito tempo para distinguir as grandezas escalares das gran-dezas vetoriais. Nesta edio usamos letras em itlico e negrito com uma seta em cima para designar vetores, como

e vetores unitrios como possuem acento circunflexo. Os sinais em negrito , , e so usados para rela-cionar grandezas vetoriais e no confundir com os respectivos sinais usados para relacionar grandezas escalares.

Nesta edio so usadas somente unidades SI (as unidades inglesas ocorrem em casos de exceo). O joule usado comounidade padro para todas as formas de energia, incluindo o calor.

Um guia para o estudante. Muitos estudantes sentem dificuldade simplesmente porque no sabem como fazer omelhor uso do livro-texto. Depois deste prefcio, inclumos uma seo com o ttulo Como Aprender Fsica Tentandopara Valer, que serve como um manual do usurio apontando para todas as caractersticas deste livro. Essa seo, escri-ta pelo Professor Mark Hollabaugh (Normandale Community College), fornece tambm inmeras dicas para os alunos.Recomendamos que t os estudantes leiam atentamente essa seo! Flexibilidade. Este livro pode ser utilizado em uma grande variedade de cursos. Existe material suficiente para cursosde trs semestres ou cinco trimestres. Embora muitos professores possam achar que h material demais para um cursode um ano, ele pode ser usado omitindo-se certos captulos ou sees. Por exemplo, alguns ou todos os captulos sobremecnica dos fluidos, acstica, ondas eletromagnticas ou relatividade podem ser omitidos sem perda da continuidade.Seja como for, ningum obrigado a seguir estritamente a seqncia do livro.

dFS

;aS,vS,

ATENO Energia potencial gravitacional versus ener-gia potencial elstica Uma diferena importante entre aenergia potencial gravitacional grav e a energia poten-cial elstica que temos a liberdade de esco-lher arbitrariamente o valor x 0. Para ser coerente com aEquao (7.9), x 0 ser necessariamente o ponto para oqual a mola no est comprimida nem alongada. Para essaposio, sua energia potencial elstica igual a zero e a foraque ele exerce tambm nula.

el12 x2

Material Adicional

ATENO interna? Note que a energia interna no incluia energia potencial decorrente das interaes entre o sistema e suas vizinhanas. Se o sistema for um copo com gua, quando o colocarmos no alto de uma prateleira sua energia potencial oriunda da interao com a Terra aumentar. Porm, isso no acarreta nenhuma mudana na energia potencial decorrente das interaes entre as molculas da gua, de modo que a energia interna da gua no varia.

Simulao de um processo adiabtico

No Companion Website deste livro (www.pearson.com.br/young), professores e estudantes tm acesso a mate-

xvi FSICA II

Como Aprender Fsica Tentando para ValerMark Hollabaugh (Normandale Community College)

A fsica abrange o pequeno e o grande, o velho e o novo. Dos tomos at as galxias, dos circuitos eltricos at a aero-dinmica, a fsica parte integrante do mundo que nos cerca. Voc provavelmente est fazendo este curso de fsica baseadono clculo como pr-requisito de cursos subseqentes que far para se preparar para uma carreira de cincias ou de enge-nharia. Seu professor deseja que voc aprenda fsica e que goste da experincia. Ele est muito interessado em ajud-lo aaprender essa fascinante matria. Essa uma das razes para ter escolhido este livro-texto para o seu curso. Tambm foipor isso que os doutores Young e Freedman me pediram para escrever esta seo introdutria. Desejamos o seu sucesso!

O objetivo desta seo fornecer algumas idias que possam auxili-lo durante a aprendizagem. Aps uma breve abor-dagem sobre hbitos e estratgias gerais de estudo, sero apresentadas sugestes especficas sobre como usar o livro-texto.

Preparao para este CursoCaso esteja adiantado em seus estudos de fsica, voc aprender mais rapidamente alguns conceitos, por estar fami-

liarizado com a linguagem dessa matria. Da mesma forma, seus estudos de matemtica facilitaro sua assimilao dosaspectos matemticos da fsica. Seu professor poder indicar alguns tpicos de matemtica que sero teis neste curso.

Aprendendo a AprenderCada um de ns possui um estilo prprio e um mtodo preferido de aprendizagem. Compreender seu estilo de

aprender ajudar voc a identificar as dificuldades e super-las. Obviamente voc preferir dedicar mais tempo estudandoos assuntos mais complicados. Se voc aprende mais ouvindo, assistir s aulas e conferncias ser muito importante.Caso prefira explicar, o trabalho em equipe vai lhe ser til. Se a sua dificuldade est na soluo de problemas, gaste umaparte maior do seu tempo aprendendo a resolver problemas. Tambm fundamental desenvolver bons hbitos de estudo.Talvez a coisa mais importante que voc possa fazer por si mesmo seja estabelecer uma rotina de estudos, em horriosregulares e em um ambiente livre de distraes.

a a a a aR GHCI5DHCD5F5IG5FCG7CB79=HCGA5H9AVH=7CG:IB85A9BH5=G85V@;96F585;9CA9HF=5985HF=;CBCA9HF=55GC

no esteja apto, faa um programa de reviso com a ajuda de seu professor.)R A7IFGCGG9A9@

Prefcio xvii

Deixe um espao em suas notas para inserir o diagrama depois. Aps as aulas, revise suas anotaes, preenchendo aslacunas e anotando os pontos que devem ser mais desenvolvidos posteriormente. Anote as referncias de pginas, equa-es ou sees do livro.

Faa perguntas em classe ou procure o professor depois da aula. Lembre-se de que a nica pergunta tola aquelaque no foi feita.

ExamesFazer uma prova gera um elevado nvel de estresse. Contudo, estar bem preparado e descansado alivia a tenso.

Preparar-se para uma prova um processo contnuo; comea assim que termina a ltima prova. Imediatamente depoisde uma prova, voc deve rever cuidadosamente os eventuais erros cometidos. Proceda do seguinte modo: divida umafolha de papel em duas colunas. Em uma delas, escreva a soluo correta do problema. Na outra, coloque sua soluo everifique onde foi que errou. Caso no consiga identificar com certeza o erro, consulte seu professor. A fsica se constria partir de princpios bsicos e necessrio corrigir imediatamente qualquer interpretao incorreta. Ateno: emboravoc possa passar em um exame deixando para estudar na ltima hora, no conseguir reter adequadamente os concei-tos necessrios para serem usados na prxima prova.

AgradecimentosDesejamos agradecer s centenas de revisores e colegas que ofereceram valiosos comentrios e sugestes para este

livro. O sucesso duradouro de deve-se, em grande medida, s suas contribuies.

Edward Adelson (Ohio State University)Ralph Alexander (University of Missouri at

Rolla)J. G. Anderson, R. S. AndersonWayne Anderson (Sacramento City College)Alex Azima (Lansing Community College)Dilip Balamore (Nassau Community

College)Harold Bale (University of North Dakota)Arun Bansil (Northeastern University)John Barach (Vanderbilt University)J. D. Barnett, H. H. Barschall,Albert Bartlett (University of Colorado)Paul Baum (CUNY, Queens College)Frederick Becchetti (University of Michigan)B. Bederson, David Bennum (University of

Nevada, Reno)Lev I. Berger (San Diego State University)Robert Boeke (William Rainey Harper

College)S. Borowitz, A. C. Braden, James Brooks

(Boston University)Nicholas E. Brown (California Polytechnic

State University, San Luis Obispo)Tony Buffa (California Polytechnic State

University, San Luis Obispo)A. Capecelatro, Michael Cardamone

(Pennsylvania State University)Duane Carmony (Purdue University)Troy Carter (UCLA)P. Catranides, John Cerne (SUNY at

Buffalo)Roger Clapp (University of South Florida)William M. Cloud (Eastern Illinois

University)Leonard Cohen (Drexel University)

W. R. Coker (University of Texas, Austin)Malcolm D. Cole (University of Missouri at

Rolla)H. Conrad, David Cook (LawrenceUniversity)Gayl Cook (University of Colorado)Hans Courant (University of Minnesota)Bruce A. Craver (University of Dayton)Larry Curtis (University of Toledo)Jai Dahiya (Southeast Missouri State

University)Steve Detweiler (University of Florida)George Dixon (Oklahoma State University)Donald S. Duncan, Boyd Edwards (West

Virginia University)Robert Eisenstein (Carnegie Mellon

University)Amy Emerson Missourn (Virginia Institute

of Technology)William Faissler (Northeastern University)William Fasnacht (U.S. Naval Academy)Paul Feldker (St. Louis Community

College)Carlos Figueroa (Cabrillo College)L. H. FisherNeil Fletcher (Florida State University)Robert FolkPeter Fong (Emory University)A. Lewis Ford (Texas A&M University)D. Frantszog, James R.Gaines (Ohio State University)Solomon Gartenhaus (Purdue University)Ron Gautreau (New Jersey Institute of

Technology)J. David Gavenda (University of Texas,

Austin)

Dennis Gay (University of North Florida)James Gerhart (University of Washington)N. S. GingrichJ. L. GlathartS. GoodwinRich Gottfried (Frederick Community

College)Walter S. Gray (University of Michigan)Paul Gresser (University of Maryland)Benjamin Grinstein (UC San Diego)Howard Grotch (Pennsylvania State

University)John Gruber (San Jose State University)Graham D. Gutsche (U.S. Naval Academy)Michael J. Harrison (Michigan State

University)Harold Hart (Western Illinois University)Howard Hayden (University of Connecticut)Carl Helrich (Goshen College)Laurent Hodges (Iowa State University)C. D. HodgmanMichael Hones (Villanova University)Keith Honey (West Virginia Institute of

Technology)Gregory Hood (Tidewater Community

College)John Hubisz (North Carolina State

University)M. Iona, John Jaszczak (Michigan Technical

University)Alvin Jenkins (North Carolina State

University)Robert P. Johnson (UC Santa Cruz)Lorella Jones (University of Illinois)John Karchek (GMI Engineering &

Management Institute)

xviii FSICA II

Alm disso, ns dois temos agradecimentos individuais a fazer.Estendo meus cordiais agradecimentos aos meus colegas da Carnegie-Mellon, em especial aos professores Robert

Kraemer, Bruce Sherwood, Ruth Chabay, Helmut Vogel e Brian Quinn, por discusses estimulantes sobre pedagogia daFsica e por seu apoio e incentivo durante a elaborao das sucessivas edies deste livro. Agradeo tambm s muitas gera-es de estudantes da Carnegie-Mellon, por me ajudarem a entender o que ser um bom professor e um bom escritor e porme mostrarem o que funciona ou no. sempre um prazer e um privilgio expressar minha gratido minha mulher, Alice,e minhas filhas, Gretchen e Rebeca, pelo amor, suporte e amparo emocional durante a elaborao das sucessivas ediesdeste livro. Quem dera todos os homens e mulheres fossem abenoados com o amor que elas me dedicam.

H. D.Y.

Thomas Keil (Worcester Polytechnic Institute)

Robert Kraemer (Carnegie Mellon University)

Jean P. Krisch (University of Michigan)Robert A. Kromhout, Andrew Kunz(Marquette University)Charles Lane (Berry College)Thomas N. Lawrence (Texas State

University)Robert J. LeeAlfred Leitner (Rensselaer Polytechnic

University)Gerald P. Lietz (De Paul University)Gordon Lind (Utah State University)S. LivingstonElihu Lubkin (University of Wisconsin,

Milwaukee)Robert Luke (Boise State University)David Lynch (Iowa State University)Michael Lysak (San Bernardino Valley

College)Jeffrey Mallow (Loyola University) RobertMania (Kentucky State University)Robert Marchina (University of Memphis)David Markowitz (University of

Connecticut)R. J. MaurerOren Maxwell (Florida International

University)Joseph L. McCauley (University of

Houston)T. K. McCubbin, Jr. (Pennsylvania State

University)Charles McFarland (University of Missouri

at Rolla)James Mcguire (Tulane University)Lawrence McIntyre (University of Arizona)Fredric Messing (Carnegie-Mellon

University)Thomas Meyer (Texas A&M University)Andre Mirabelli (St. Peters College, New

Jersey)Herbert Muether (S.U.N.Y., Stony Brook)Jack Munsee (California State University,

Long Beach)Lorenzo Narducci (Drexel University)Van E. Neie (Purdue University)

David A. Nordling (U. S. Naval Academy)Benedict Oh (Pennsylvania State

University)L. O. OlsenJim Pannell (DeVry Institute of Technology)W. F. Parks (University of Missouri)Robert Paulson (California State University,

Chico)Jerry Peacher (University of Missouri at

Rolla)Arnold Perlmutter (University of Miami)Lennart Peterson (University of Florida)R. J. Peterson (University of Colorado,

Boulder)R. PinkstonRonald Poling (University of Minnesota)J. G. PotterC. W. Price (Millersville University)Francis Prosser (University of Kansas)Shelden H. RadinMichael Rapport (Anne Arundel

Community College)R. ResnickJames A. Richards, Jr.,John S. Risley (North Carolina State

University)Francesc Roig (University of California,

Santa Barbara)T. L. RokoskeRichard Roth (Eastern Michigan University)Carl Rotter (University of West Virginia)S. Clark Rowland (Andrews University)Rajarshi Roy (Georgia Institute of

Technology)Russell A. Roy (Santa Fe Community

College)Dhiraj Sardar (University of Texas, San

Antonio)Bruce Schumm (UC Santa Cruz)Melvin Schwartz (St. Johns University)F. A. ScottL. W. SeagondollarPaul Shand (University of Northern Iowa)Stan Shepherd (Pennsylvania State

University)Douglas Sherman (San Jose State)Bruce Sherwood (Carnegie Mellon

University)

Hugh Siefkin (Greenville College)Tomasz Skwarnicki (Syracuse University)C. P. SlichterCharles W. Smith (University of Maine,

Orono)Malcolm Smith (University of Lowell)Ross Spencer (Brigham Young University)Julien Sprott (University of Wisconsin)Victor Stanionis (Iona College)James Stith (American Institute of Physics)Chuck Stone (North Carolina A&T State

University)Edward Strother (Florida Institute of

Technology)Conley Stutz (Bradley University)Albert Stwertka (U.S. Merchant Marine

Academy)Martin Tiersten (CUNY, City College)David Toot (Alfred University)Somdev Tyagi (Drexel University)F. VerbruggeHelmut Vogel (Carnegie Mellon University)Robert Webb (Texas A & M)Thomas Weber (Iowa State University)M. Russell Wehr (Pennsylvania State

University)Robert Weidman (Michigan Technical

University)Dan Whalen (UC San Diego)Lester V. WhitneyThomasWiggins (Pennsylvania StateUniversity)DavidWilley (University of Pittsburgh,Johnstown)George Williams (University of Utah)John Williams (Auburn University)Stanley Williams (Iowa State University)Jack WillisSuzanne Willis (Northern Illinois

University)Robert Wilson (San Bernardino ValleyCollege)L. Wolfenstein, James Wood (Palm BeachJunior College)Lowell Wood (University of Houston)R. E. WorleyD. H. Ziebell (Manatee Community College)George O. Zimmerman (Boston University).

Prefcio xix

Gostaria de prestar agradecimento aos meus colegas do passado e do presente da UCSB, incluindo Rob Geller, CarlGwin, Al Nash, Elisabeth Nicol e Francesc Roig, pelo dedicado apoio e pelas valiosas discusses. Expresso minha gra-tido especial aos meus primeiros professores Willa Ramsay, Peter Zimmerman, William Little, Alan Schwerttman eDirk Walecka por me mostrarem como claro e envolvente o ensino da Fsica, e a Stuart Johnson por me convidar aparticipar deste projeto como co-autor a partir da nona edio. Meus especiais agradecimentos equipe editorial daAddison Wesley e seus parceiros: a Adam Black pela viso editorial; a Margot Otway pelo extraordinrio senso grficoe cuidadoso desenvolvimento desta edio; a Peter Murphy e Carol Reitz pela cuidadosa leitura do manuscrito; a WayneAnderson, Charlie Hibbard, Laird Kramer e Larry Stookey pelo trabalho nos problemas de final de captulo; e a LauraKenney, Chandrika Madhavan, Nancy Tabor e Pat McCutcheon por manter a produo editorial fluindo. Desejo agrade-cer ao meu pai por seu amor e suporte permanentes e por reservar um espao na estante para este livro. Acima de tudo,desejo expressar minha gratido e amor minha esposa, Caroline, a quem dedico minhas contribuies a este livro. Al,Caroline, a nova edio finalmente saiu vamos comemorar!

R.A.F.

Os anis de Saturno so com pos tos de in me ras par t cu las indi vi duais orbi tan do. Todas as par t cu las do anel orbi tam mesma velo ci da de ou as par t cu las de den tro so mais rpi das ou mais len tas do que as de fora?

OBJE TI VOS DE APREN DI ZA GEM

Ao estudar este cap tu lo, voc apren de r:

s #OMOCALCULARASFORASGRAVITACIONAISQUEDOISCORPOSQUAISQUEREXERCEMUMSOBREOOUTRO

s #OMORELACIONAROPESODEUMOBJETOEXPRESSOGERALPARAAFORAGRAVITACIONAL

s #OMO USAR E INTERPRETAR A EXPRESSO GERAL PARA A ENERGIAPOTENCIALGRAVITACIONAL

s #OMORELACIONARAVELOCIDADEOPERODOORBITAL E AENERGIAMECNICADEUMSATLITEEMUMARBITACIRCULAR

s !SLEISQUEDESCREVEMOSMOVIMENTOSDOSPLANETASECOMOUTILIZLAS

s /QUESOBURACOSNEGROSCOMOCALCULARSUASPROPRIEDADESECOMOELESSOENCONTRADOS

GRAVITAO

A lgumas das primeiras investigaes em Fsica comearam com perguntas que as pessoas se faziam a respeito do cu noturno. Por que a Lua no cai sobre a Terra? Por que os planetas se deslocam no cu? Por que a Terra no sai voando no espao em vez de permanecer em rbita ao redor do Sol? O estudo da intera-o gravitacional fornece respostas para essas e outrasperguntas relacionadas.

Conforme acentuamos no Captulo 5 (Fsica I), a gra-vitao uma das quatro classes de interaes presentes na Natureza, e foi a primeira das quatro a ser estudada exten-sivamente. No sculo XVII, Newton descobriu que a inte-rao que faz a ma cair de uma macieira a mesma que mantm os planetas em rbita ao redor do Sol. Essa desco-berta assinalou o comeo da mecnica celeste, o estudo da dinmica dos astros. Hoje, nossos conhecimentos da mec-nica celeste nos permitem determinar como colocar um satlite artificial da Terra em uma rbita desejada, ou esco-lher a trajetria exata para enviar uma nave espacial a outro planeta.

Neste captulo estudaremos a lei bsica que governa a interao gravitacional. Essa lei universal: a gravidadeatua do mesmo modo entre a Terra e o corpo do leitor deste livro, entre o Sol e um planeta, e entre um planeta e uma

de suas luas. Aplicaremos a lei da gravitao a fenmenoscomo a variao do peso com a altura, as rbitas de um satlite em torno da Terra e as rbitas de planetas em torno do Sol.

12.1 Lei de Newton da gravitao

O seu peso, a fora que te atrai para o centro da Terra, talvez seja o mais familiar exemplo de atrao gravitacio-nal que voc conhece. Estudando o movimento da Lua e dos planetas, Newton descobriu o carter fundamental da atrao gravitacional entre dois corpos de qualquer nature-za. Juntamente com as trs leis do movimento, Newton publicou a lei da gravitao em 1687. Ela pode ser enun-ciada do seguinte modo:

Cada partcula do universo atrai qualquer outra partcu-la com uma fora diretamente proporcional ao produtodas respectivas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre as partculas.

Traduzindo matematicamente, essa lei pode ser escri-ta da seguinte forma

12

1

2 F S IC A I I

Gravitao e corpos de simetria esfricaEnunciamos a lei da gravitao em termos da intera-

o entre duas partculas. Verifica-se que a interao gra-vitacional entre dois corpos que possuem distribuies de massa com simetria esfrica (tal como esferas macias ou ocas) igual interao gravitacional entre duas partculaslocalizadas nos centros das respectivas esferas, como indi-cado na Figura 12.2. Portanto, quando modelamos a Terra como um corpo esfrico de massa mT, a fora que ela exer-ce sobre uma partcula ou sobre um corpo com simetriaesfrica de massa m, sendo r a distncia entre seus respec-tivos centros, dada por

Fg 5GmTm

r 2(12.2)

desde que o corpo esteja situado na parte externa da Terra. Uma fora de mesmo mdulo realizada pelo corpo sobre a Terra. (Essas afirmaes sero demonstradas na Seo 12.6.)

Para os pontos situados no interior da Terra, a situao diferente. Se pudssemos fazer um furo at o centro da Terra e medssemos a fora gravitacional em diferentes pro-fundidades, verificaramos que a fora gravitacional diminui com o aumento da profundidade, em vez de crescer com 1/r2. medida que um corpo penetra no interior da Terra (ou em qualquer outro corpo esfrico), as partes externas da massa da Terra opostas em relao ao centro exercem sobre o corpo foras em sentidos contrrios. Exatamente no centro da Terra, a fora gravitacional exercida por ela sobre o corpo igual a zero.

Fg 5Gm 1m 2

r 2

(lei da gravitao) (12.1)

onde Fg o mdulo da fora gravitacional que atua sobre cada partcula, m1e m2 so as massas das partculas, r a distncia entre elas (Figura 12.1) e G uma constante fsica fundamental denominada constante gravitacional. O valor numrico de G depende do sistema de unidades usado.

A Equao (12.1) nos mostra que a fora gravitacio-nal entre duas partculas diminui com o aumento da distn-cia r: se a distncia dobra, a fora se reduz a um quarto, e assim por diante. Embora muitas estrelas no cu noturnopossuam muito mais massa do que o Sol, elas esto to distantes que sua fora gravitacional sobre a Terra pode ser desprezada, pois muito pequena.

ATEN O Como os sm bo los g e G so muito pareci-dos, bastante comum confundir as grandezas gravitacionais representadas por eles. A letra minscula g a acelerao da gravidade, que relaciona o peso p com a massa m do corpo atravs da equao pmg. O valor de g varia em locais dife-rentes da Terra e sobre as superfcies de outros planetas. Em contraste, a letra maiscula G relaciona a fora entre dois corpos com as suas massas e a distncia entre eles. A cons-tante G denomina-se universal porque ela possui sempre o mesmo valor para dois corpos, independentemente dos locais do universo nos quais os corpos estejam. Na prxima seo mostraremos como G se relaciona com g.

As foras gravitacionais atuam sempre ao longo da linha que une as duas partculas, constituindo um par de ao e reao. Essas foras possuem sempre mdulos iguais, mesmo quando as massas so diferentes (Figura 12.1). A fora de atrao que o seu corpo exerce sobre a Terra possui o mesmo mdulo da fora de atrao que a Terra exerce sobre voc. Quando voc salta do trampolim de uma piscina, a Terra se move em sua direo! (Por que voc no nota isso? Porque a massa da Terra cerca de 1023 vezes maior do que a sua massa, de modo que a acelerao da Terra igual a 1023 da sua acelerao.)

2 F S IC A I I

Fg

R1

R2m2

r

Fg

r

m2

m1

Fg

Fg

(a) A fora gravitacional entre duas massascom simetria esfrica m1 e m2 ...

(b) ... a mesma que se reunssemostoda a massa de cada esfera no centro da esfera.

m1

Quaisquer duas partculas separadas por uma distncia r se atraem

mutuamente pela ao da fora gravitacional.

As duas foras possuem mdulos iguais, mesmo quando as massas das partculas so bastante diferentes.

Fg (1 sobre 2) 5 Fg (2 sobre 1)

r

m1

m2

Fg (1 sobre 2)r

Fg (2 sobre 1)r

Figura 12.1 &ORAS GRAVITACIONAIS ENTRE DUAS PARTCULAS DEMASSASm1Em

Figura 12.2 /EFEITOGRAVITACIONALNAPARTEexter naDEQUALQUERDISTRIBUIODEMASSACOMSIMETRIAESFRICAOMESMOEFEITOPRODUZIDOSUPONDOSEQUEAMASSATOTALDAESFERAESTEJAREUNIDAEMSEUCENTRO

Captulo 12 Gravitao 3

Corpos que possuem uma distribuio de massa com simetria esfrica so muito importantes, porque luas, planetas e estrelas tendem a possuir uma forma esfrica. Visto que todas as partculas de um corpo sofrem a ao de foras gravitacionais que tendem a aproxim-las entre si, as partculas tendem a se mover para minimizar a distncia entre elas. Por causa disso, o corpo tende naturalmente a possuir uma forma esfrica, do mesmo modo que uma poro de barro tende a assu-mir uma forma esfrica quando voc comprime o barro com fora igual em todas as direes. Quando o corpo celeste possui massa pequena, esse efeito bastante reduzido, porque as foras gravitacionais so menos intensas, e esses corpos tendem a no assumir uma forma esfrica (Figura 12.3).

Gravitao 3

A gravitao atrai as pequenas massas para as grandes massas, fazendo com que a fibra vertical de quartzo gire.

As esferas pequenas atingem uma nova posiode equilbrio quando a fora elstica exercida pela fibra de quartzo deslocada equilibra a fora gravitacional entre elas.

Massa grande m2

Massa pequena m1

EspelhoRaio laser

Fibra de quartzo

m1 Fg

m2

Escala

Laser

Fg

1

A deflexo do raio laser indica o quanto a fibra girou. Assim que o instrumento calibrado, esse resultado fornece o valor de G.

2

Figura 12.4 0RINCPIODEFUNCIONAMENTODEUMABALANADE#AVENDISHUSADAPARAADETERMINAODOVALORDEG/NGULODEDEmEXOESTEXAGERADOPARAMAIORCLAREZA

Determinao do valor de GPara determinar o valor da constante gravitacional G,

devemos medir a fora gravitacional entre dois corpos de massas conhecidas m1 e m2 separados por uma distncia rconhecida. Essa fora extremamente pequena para cor-pos existentes em laboratrios, mas ela pode ser medidacom um instrumento denominado balana de toro,usado em 1798 por Henry Cavendish para determinar o valor de G.

Uma verso moderna da balana de Cavendish indica-da na Figura 12.4. Uma haste leve e rgida em forma de letra T invertida sustentada verticalmente por uma fibra de quart-zo fina. Duas pequenas esferas, cada uma com massa m1,esto fixadas nas extremidades dos braos horizontais da armao em forma de T. Ao aproximarmos duas esferas gran-des, cada uma com massa m2, nas posies indicadas, as for-as gravitacionais fazem o T girar um pequeno ngulo devido toro. Para medir esse ngulo, fazemos um feixe de luz incidir sobre um espelho fixado na haste do T. O feixe refleti-do atinge uma escala graduada e, quando o T sofre uma tor-o, o feixe refletido se move ao longo da escala.

Depois de calibrar a balana de Cavendish, podemos medir as foras gravitacionais e, assim, determinar o valor de G. O valor atualmente aceito (em unidades SI) dado por

G = 6,742(10) 1011 N m2/kg2

Com trs algarismos significativos, escrevemos: G 6,67 1011 N m2/kg2. Como 1 N 1 kg m/s2, as uni-dades de G (em unidades fundamentais do SI) tambmpodem ser expressas como m3 /(kg s2).

As foras gravitacionais devem ser adicionadas veto-rialmente. Se duas massas exercem foras gravitacionaissobre uma terceira massa, a fora resultante sobre a tercei-ra massa igual soma vetorial dessas duas foras gravi-tacionais. No Exemplo 12.3, utilizamos esta propriedade,normalmente chamada de superposio de foras.

100 km100000 km

Amaltia, uma das pequenas luas de Jpiter, possui uma massa relativamente pequena (7,17 1018 kg,apenas cerca de 3,8 109 da massa de Jpiter) efraca atrao gravitacional mtua, por isso tem umaforma irregular.

A massa de Jpiter muito grande (1,90 1027 kg),ento a atrao gravitacional mtua de suas partes deu-lhe uma forma quase esfrica.

Figura 12.3 #ORPOSESFRICOSENOESFRICOSOPLANETA*PITEREUMADESUASPEQUENASLUAS!MALTIA

4 F S IC A I I4 F S IC A I I

Exemplo 12.1

CLCULO DE UMA FORA GRA VI TA CIO NAL A massa m1de uma das esferas pequenas da balana de Cavendish igual a 0,0100 kg, a massa m2 de uma das esferas grandes igual a 0,500 kg, e a distncia entre o centro de massa da esfera pequena e o centrode massa da esfera grande igual a 0,0500 m. Calcule a fora gravitacional Fg sobre cada esfera.

SOLU O

IDEN TI FICAR: como os objetos de 0,0100 kg e 0,500 kg so esfericamente simtricos, podemos calcular a fora gravitacionalque um exerce sobre o outro, supondo que eles sejam partculasdistanciadas de 0,0500 m. Cada esfera recebe uma fora de mesmo mdulo da outra esfera, ainda que suas massas sejam muito diferentes.

PREPARAR: usaremos a lei da gravitao, Equao (12.1), para determinar Fg.

EXECUTAR: o mdulo da fora que uma esfera exerce sobre a outra

5 1 3 1 21

F 51 3 1 211 # 2 2 2 1 1 2 1 2

1 2 2

AVA LIAR: essa fora bastante pequena, como era de se esperar. No experimentamos atrao gravitacional perceptvel devido a objetos comuns de massa pequena em nosso meio ambiente. preciso um objeto de massa realmente grande para exercer uma fora gravitacional substancial.

Exemplo 12.2

ACELERAO PRO DU ZI DA POR ATRA O GRA VI TA CIO NAL Suponha que uma esfera pequena e uma esfera grande sejam des-tacadas do dispositivo descrito no Exemplo 12.1 e colocadas a uma distncia de 0,0500 m (entre seus centros) em um local do espao muito afastado de outros corpos. Qual o mdulo da ace-lerao de cada esfera em relao a um sistema inercial?

SOLU O

IDEN TI FICAR: a fora gravitacional que as duas esferas exercemuma na outra possui o mesmo mdulo. (O sistema de duas esferasest to distante de outros corpos que podemos desprezar quais-quer outras foras.) Mas as aceleraes das duas esferas so diferentes, porque suas massas so diferentes.

PREPARAR: calculamos o mdulo da fora sobre cada esfera no Exemplo 12.1. Para achar o mdulo da acelerao de cada esfera,usaremos a segunda lei de Newton.

EXECUTAR: a acelerao a1 da esfera menor possui mdulo1

a1 5Fgm 1

51,33 3 10210 N

0,0100 kg5 1,33 3 1028 m/s2

A acelerao a2 da esfera maior possui mdulo

a2 5Fgm 2

51,33 3 10210 N

0,500 kg5 2,66 3 10210 m/s2

Figura 12.5 !FORAGRAVITACIONALRESULTANTESOBREAESTRELAMENOREMOASOMAVETORIALDAS FORASGRAVITACIONAISEXERCIDASSOBREELAPELASDUASESTRELASMAIORES%MCOMPARAOAMASSADO3OLUMAESTRELABASTANTE COMUM r KG E A DISTNCIA DA 4ERRA AO 3OL r11M

AVA LIAR: a esfera maior possui uma massa 50 vezes maior do que a da menor e, assim, sua acelerao igual a 1/50 da acele-rao da menor. Note tambm que as aceleraes no so cons-tantes: as foras gravitacionais aumentam medida que as esferasse aproximam.

Exemplo 12.3

SUPERPOSIO DE FOR AS GRA VI TA CIO NAIS Muitas estrelas no cu so, na verdade, sistemas de duas ou mais estrelasmantidas juntas devido atrao gravitacional mtua. A Figura 12.5 mostra um sistema de trs estrelas em um instante em que elas esto localizadas nos vrtices de um tringulo retngulo de 45. Determine o mdulo, a direo e o sentido da fora gravita-cional resultante sobre a estrela menor exercida pela ao das duas estrelas maiores.

SOLU O

IDEN TI FI CAR: devemos usar o princpio da superposio: a fora gravitacional resultante sobre a estrela menor a soma vetorial das duas foras gravitacionais produzidas pelas estrelasmaiores.

PREPARAR: vamos supor que as estrelas sejam esferas, para que possamos usar a lei da gravitao em cada fora, como na Figura 12.2. Primeiro calcularemos os mdulos de cada fora usando a Equao (12.1) e depois a soma vetorial usando componentes ao longo dos eixos mostrados na Figura 12.5.

EXECUTAR: o mdulo de F1, a fora exercida pela estrela grandesuperior sobre a estrela menor dado por

5 6,67 3 1025 N

F1 5B

1 6,67 3 10211 N # m2/kg223 1 8,0 3 1030 kg2 1 1,0 3 1030 kg2

R

1 2,0 3 1012 m 2 2 1 1 2,0 3 1012 m 2 2

O mdulo da fora F2 exercida pela estrela grande inferior dado por

5 1,33 3 1026 N

F2 5B

1 6,67 3 10211 N # m2/kg2 23 1 8,0 3 1030 kg 2 1 1,0 3 1030 kg 2

R

1 2,0 3 1012 m 2 2

8,0 3 1030 kg

8,0 3 1030 kg

2,0 3 1012 m

x1,0 3 1030 kg

FF1

F2

2,0 3 1012 m

u

O

y


O conceito de campo um mtodo til para descreverforas que atuam a distncia. Um corpo produz uma per-turbao ou campo em todos os pontos do espao, e a fora que atua sobre outro corpo situado em um dado ponto uma resposta do campo do primeiro corpo nesse ponto. Existem campos associados s foras que atuam a distncia; por essa razo, mencionaremos campos gravitacionais, camposeltricos, campos magnticos, e assim por diante. Como no necessitamos do conceito de campo gravitacional para os estudos deste captulo, no o mencionaremos mais aqui. No entanto, em captulos posteriores, verifica-remos que o conceito de campo uma ferramenta extre-mamente poderosa para descrever interaes eltricas e magnticas.

Teste sua com preen so da Seo 12.1 O planeta Saturno possui cerca de cem vezes a massa da Terra e fica cerca de dez vezes mais longe do Sol do que a Terra. Comparada ace-lerao da Terra provocada pela atrao gravitacional do Sol, quo maior ou menor a acelerao de Saturno em virtude da atrao gravitacional do Sol? (i) cem vezes maior; (ii) dez vezes maior; (iii) igual; (iv) 1/10 da acelerao da Terra; (v) 1/100 da acelerao da Terra.

12.2 PesoDefinimos o peso de um corpo na Seo 4.4 (Fsica I)

como a fora de atrao gravitacional exercida pela Terra sobre o corpo. Podemos agora estender nossa definio:

O peso de um corpo a fora gravitacional resultanteexercida por todos os corpos do universo sobre o corpo.

Quando o corpo est prximo da superfcie terrestre,podemos desprezar todas as outras foras gravitacionais e considerar o peso somente a atrao gravitacional exercidapela Terra sobre o corpo. Na superfcie da Lua considera-

Gravitao 5

Os componentes x e y destas foras so

F2y 5 0F2x 5 1,33 3 1026 NF1y 5 16,67 3 1025 N 2 1 sen45 2 5 4,72 3 1025 NF1x 5 16,67 3 1025 N 2 1 cos45 2 5 4,72 3 1025 N

Os componentes da fora resultante sobre a esfera menor so

Fy 5 F1y 1 F2y 5 4,72 3 1025 NFx 5 F1x 1 F2x 5 1,81 3 1026 N

O mdulo da fora resultante dado por

5 1,87 3 1026 N

F 5 "Fx2 1 Fy2 5 "1 1,81 3 1026 N 2 2 1 14,72 3 1025 N 2 2

e sua direo em relao ao eixo Ox determinada pelo ngulo

u 5 arctgFyFx

5 arctg4,72 3 1025 N1,81 3 1026 N

5 14,6

AVA LIAR: embora a fora resultante sobre a estrela pequenaseja imensa, o mdulo da acelerao resultante no : a = Fm = (1,87 r1026 N)(1,0 x 1030 kg) = 1,87 r 104 m/s2

Voc capaz de mostrar que essa fora no est dirigida para o centro de massa das duas estrelas maiores? (Veja o Problema 12.51.)

Por que as foras gravitacionais so importantes

Comparando os exemplos 12.1 e 12.3, vemos que as foras gravitacionais entre objetos caseiros de tamanhonormal so desprezveis, mas bastante significativas entre objetos do tamanho de estrelas. Com efeito, a gravidade a fora mais importante na escala de planetas, estrelas e gal-xias (Figura 12.6). Ela responsvel por manter a nossa Terra agregada e por manter os planetas girando ao redor do Sol. A atrao gravitacional mtua entre as diversas par-tes do Sol comprime a massa no ncleo do Sol a intensida-des e temperaturas muito altas, possibilitando as reaesnucleares que acontecem l. Essas reaes geram a energiado Sol, que torna possvel a existncia da vida na Terra e permite que voc esteja agora lendo estas palavras.

A fora gravitacional muito importante em escala csmica porque ela atua a distncia sem nenhum contato entre os corpos. As foras eltricas e magnticas tambm possuem essa notvel propriedade, mas so menos impor-tantes em escala astronmica porque grandes acumula-es de matria so eletricamente neutras, ou seja, con-tm quantidades iguais de carga positiva e negativa. Em resultado, as foras eltricas e magnticas entre estrelas e planetas aproximam-se de zero. As interaes fortes e fracas discutidas na Seo 5.5 (Fsica I) tambm agem a distncia, porm sua influncia desprezvel em distn-cias muito maiores do que o dimetro de um ncleo at-mico (cerca de 1014 m).

Figura 12.6 .OSSOSISTEMASOLARPARTEDEUMAGALXIAEMESPIRALCOMOESTAQUECONTMNOAPENASESTRELASMASTAMBMGSPOEIRAEOUTROSMATERIAIS/CONJUNTOTODOMANTIDOAGREGADODEVIDOATRAOGRAVITACIONALMTUAENTRETODAAMATRIADAGALXIA

6 F S IC A I I

Em nossa discusso sobre peso, consideramos a Terra um corpo que possui aproximadamente uma distribuiode massa com simetria esfrica. Porm, isso no significasupor que a Terra seja uniforme. Para provar que ela no pode ser uniforme, vamos inicialmente calcular sua densi-dade mdia; ou seja, a massa por unidade de volume da Terra. Supondo que ela seja esfrica, seu volume

VT 543

pRT3 543

p 16,38 3 106 m 2 3 5 1,09 3 1021 m3

A densidade mdia S (letra grega r) igual massa total dividida pelo volume:

5 5500 kg/m3 5 5,5 g/cm3r 5

mTVT

55,97 3 1024 kg1,09 3 1021 m3

(Compare com a densidade da gua dada por 1000 kg/m31,0 g/cm3.) Caso a Terra fosse uniforme, as rochas nas vizi-nhanas da superfcie terrestre deveriam possuir essa densi-dade. Na realidade, a densidade das rochas de superfcie bem menor: entre aproximadamente 2000 kg/m3 2 g/cm3

para as rochas sedimentares e cerca de 3300 kg/m3 3,3 g/cm3 para o basalto. Portanto, a Terra no pode ser unifor-me, e o interior dela deve possuir uma densidade maior do que a densidade da superfcie terrestre para que a sua den-sidade mdia seja de 5500 kg/m3 5,50 g/cm3. De acordocom modelos geofsicos do interior da Terra, a densidademxima no centro da Terra aproximadamente igual a 13000 kg/m3 13 g/cm3. A Figura 12.9 mostra um grficoda densidade em funo da distncia ao centro da Terra.

Exemplo 12.4

GRAVIDADE EM MARTE Um veculo explorador no tripula-do enviado superfcie do planeta Marte, que possui raio RM3,40 106 m e massa mM 6,42 1023 kg. O veculo possui um

mos o peso do corpo a atrao gravitacional exercida por ela sobre o corpo, e assim por diante.

Se modelarmos a Terra como um corpo esfrico de raioRT e massa mT, o peso p de um corpo pequeno de massa mna superfcie terrestre (a uma distncia RT do seu centro) dado por

p 5 Fg 5GmTm

RT2 (12.3)

(peso de um corpo de massa m na superfcie terrestre)

Sabemos, porm, da Seo 4.4, que o peso p de um corpo a fora que produz uma acelerao g quando o corpo est em queda livre, ento, pela segunda lei de Newton, p = mg. Igualando esta relao com a Equao (12.3) e dividindo por m, obtemos

(acelerao da gravidade na superfcie)

g 5GmTRT2

(12.4)

A acelerao da gravidade g independente da massa m do corpo, porque m no aparece na relao anterior. J conhecamos esse resultado, porm agora verificamos como ele decorre da lei da gravitao.

Com exceo de mT, as demais grandezas da Equao (12.4) so mensurveis, portanto, usando-se essa relao podemos determinar a massa da Terra. Explicitando mT da Equao (12.4) e usando os valores RT 6.380 km 6,38 106 m e g 9,80 m/s2, achamos

mT 5gRT2

G5 5,98 3 1024 kg

resultado bem prximo do valor de 5,974 1024 kg atual-mente aceito. Quando Cavendish mediu G, ele determinoua massa da Terra usando esse mtodo.

Em um ponto acima da superfcie terrestre situado a uma distncia r do centro da Terra (a uma altura r RTacima da superfcie), o peso de um corpo dado pela Equao (12.3), substituindo-se RT por r,

p 5 Fg 5GmTm

r 2 (12.5)

O peso de um corpo diminui com o inverso do qua-drado da distncia ao centro da Terra (Figura 12.7). A Figura 12.8 mostra como o peso varia com a altura acima da Terra para uma astronauta que pesa 700 N na superfcieterrestre.

O peso aparente de um corpo na superfcie terrestredifere ligeiramente da fora de atrao gravitacional exer-cida pela Terra porque a Terra gira e, portanto, ela no precisamente um sistema de referncia inercial. Em nossa discusso anterior desprezamos esse efeito, e a Terra foiconsiderada um sistema de referncia inercial. Voltaremos a discutir o efeito da rotao da Terra na Seo 12.7.

6 F S IC A I I

Figura 12.7 1UANDOESTEMUMAVIOVOANDOAUMAALTITUDEELEVADAVOCPESAMENOSPORESTARMAIS LONGEDOCENTRODA4ERRADOQUEQUANDOESTSOBREASUPERFCIETERRESTRE/EFEITOBASTANTEPEQUENOPORMMENSURVEL 6OC CAPAZ DEMOSTRAR QUE A UMA ALTURA DE KM ACIMA DASUPERFCIETERRESTRESEUPESOPRECISAMENTEMENORDOQUESEUPESOSOBREASUPERFCIETERRESTRE


5 194 N

516,67 3 10211 N # m2/kg2 2 1 6,42 3 1023 kg 2 1 400 kg 2

1 9,4 3 106 m 2 2

Fg 5GmMm

r 2

A acelerao decorrente da gravidade de Marte no ponto consi-derado

gM 5Fgm

5194 N400 kg

5 0,48 m/s2

Essa acelerao a mesma experimentada por Fobos em sua rbi-ta, a uma altura de 6,0 106 m acima da superfcie de Marte. b) Para achar Fg e gM na superfcie de Marte, repetimos os clculosefetuados no item (a), substituindo r 9,4 106 m por RM 3,40 106 m. De modo alternativo, como Fg e gM so inversa-mente proporcionais a 1/r2 (em qualquer ponto fora do planeta),podemos multiplicar o resultado da parte (a) pelo fator

1

9,4 3 106 m3,40 3 106 m 2

2

Convidamos voc a completar os clculos pelos dois mtodos e a mostrar que na superfcie de Marte Fg = 1500 N e gM = 3,7 m/s2.

AVA LIAR: os resultados do item (b) mostram que o peso e a ace-lerao da gravidade de um objeto so, na superfcie de Marte, aproximadamente 40% de seu valor na superfcie da Terra. Os filmes e histrias de fico cientfica que se passam em Marte em geral descrevem as temperaturas mais baixas e a atmosfera mais rarefeita do planeta, mas raramente se concentram na experinciade se estar em um ambiente de baixa gravidade.

Gravitao 7

peso na Terra igual a 3920 N. Calcule o peso Fg e a acelerao gMdecorrentes da gravidade em Marte: a) a uma altura de 6,0 106

m acima da superfcie de Marte (a distncia entre a rbita do sat-lite Fobos e a superfcie de Marte); b) sobre a superfcie de Marte. Despreze os efeitos das (muito pequenas) luas de Marte.

SOLU O

IDEN TI FI CAR: precisamos encontrar o peso Fg do veculo e a acelerao gravitacional gM em duas distncias diferentes do centro de Marte.

PREPARAR: encontramos o peso Fg usando a Equao (12.5), substituindo mT (a massa da Terra) por mM (a massa de Marte). Note que o valor da constante gravitacional G sempre o mesmo em qualquer local do universo; ele uma constante fsica fundamental. A seguir, encontramos a acelerao gM usando a equao FgmgM,onde m a massa do veculo. O valor da massa no foi dado, mas podemos calcul-lo a partir do peso do veculo na Terra.

EXECUTAR: a distncia r entre o ponto e o centro de Marte dada por

r 5 16,0 3 106 m 2 1 13,40 3 106 m 2 5 9,4 3 106 m

A massa m do veculo que deve pousar em Marte dada pelo seu peso na Terra S dividido pela acelerao da gravidade g na Terra:

m 5 pg

53920 N9,8 m/s2 5 400 kg

A massa da nave sempre a mesma, esteja na Terra ou em Marte, ou em qualquer lugar entre esses planetas. Usando a Equao (12.5),

5 peso da astronauta 5 GmTm/r25 distncia da astronauta ao centro da Terrar5 distncia da astronauta superfcie da Terrar 2 RE

Raio da Terra RT 5 6,38 3 106 m

Massa da astronauta m

Massa da Terra mT

r RT (3 106 m)

r (3 106 m)5 10 15 20 25 300

5 10 15 20 250

100

200

300

400

500

600

700

(N)

r 13 106 m2

4

8

12

16

r1

3 1

000

kg/m

3 2

1 2 3 4 5 6 RT0

Ncleoslidointerior

Ncleoexterior

quase todolquido Manto

slido

Figura 12.8 5MAASTRONAUTAPESANDO.NA SUPERFCIE TERRESTRE SOFREAAODEUMA FORAGRAVITACIONALMENOREMPONTOSACIMADESSASUPERFCIE!DISTNCIAQUE IMPORTAADISTNCIARDAASTRONAUTAAOCENTRODA4ERRANOADISTNCIADAASTRONAUTASUPERFCIETERRESTRE

Figura 12.9 ! DENSIDADE DIMINUI MEDIDAQUEAUMENTAADISTNCIAAOCENTRODA4ERRA

8 F S IC A I I8 F S IC A I I

Teste sua com preen so da Seo 12.2 Coloque os seguintes planetas hipotticos em ordem, da maior menor gra-vidade de superfcie: (i) massa 2 vezes a massa da Terra, raio 2 vezes o raio da Terra; (ii) massa 4 vezes a massa da Terra, raio 4 vezes o raio da Terra; (iii) massa 4 vezes a massa da Terra, raio 2 vezes o raio da Terra; (iv) massa 2 vezes a massa da Terra, raio = 4 vezes o raio da Terra.

12.3 Energia potencial gravitacional

Quando desenvolvemos o conceito de energia poten-cial gravitacional na Seo 7.1 (Fsica I), a fora gravita-cional que atua sobre um corpo foi considerada constanteem mdulo, direo e sentido. Isso nos levou ao resultadoU mgy. Agora, contudo, sabemos que a fora gravitacio-nal que atua sobre um corpo de massa m em qualquerponto fora da Terra dada de forma geral pela Equao (12.2), Fg GmTm/r2, onde mT a massa da Terra e r a distncia entre o corpo e o centro da Terra. Em problemasnos quais r varia de modo suficiente para que a fora gra-vitacional no possa ser considerada constante, precisamosde uma expresso genrica para a energia potencial gravi-tacional.

Para obter essa expresso, seguimos as mesmas eta-pas indicadas na Seo 7.1. Consideramos um corpo de massa m fora da Terra e, inicialmente, calculamos o traba-lho Wgrav realizado pela fora gravitacional quando o corpo se move ao longo de uma reta que o une ao centro da Terra, movendo-se diretamente para cima ou para baixo, como na Figura 12.10, desde o ponto r r1 at o ponto r r2. Esse trabalho dado por

Wgrav 5 3r2

r1Fr dr (12.6)

onde Fr o componente radial da fora gravitacional , ou seja, o componente que aponta para fora do centro da Terra. Como a fora aponta para dentro do centro da Terra, Fr negativo. Esse componente diferente da Equao (12.2), que fornece o mdulo da fora gravitacional, por-que ele possui um sinal negativo:

Fr 5 2GmTm

r 2(12.7)

Substituindo a Equao (12.7) na (12.6), vemos que Wgrav dado por

Wgrav 5 2GmTm3r2

r1

drr 2

5GmTm

r22

GmTmr1 (12.8)

A trajetria no precisa ser retilnea; ela poderia ser uma trajetria curva, como a indicada na Figura 12.10. Usando-se um mtodo semelhante ao da Seo 7.1, vemos que esse trabalho depende apenas do valor final e do valor inicial de r, e no da trajetria descrita. Isso prova tambmque a fora gravitacional sempre conservativa.

Agora definimos a energia potencial gravitacional Ucorrespondente de tal modo que Wgrav = U1 U2, como na Equao (7.3). Comparando este resultado com a Equao (12.8), vemos que a definio apropriada da energiapotencial gravitacional

U 5 2GmTm

r(energia potencial gravitacional) (12.9)

A Figura 12.11 mostra como a energia potencial gravita-cional depende da distncia r entre o corpo de massa m e o centro da Terra. Quando o corpo se afasta da Terra, a distncia r aumenta, a fora gravitacional realiza um trabalho negativo e U aumenta (isto , torna-se menos negativa). Quando o corpo cai na direo da Terra, a distncia r diminui, a fora gravitacional realiza um trabalho positivo e a energia poten-cial gravitacional diminui (isto , torna-se mais negativa).

Talvez voc fique confuso com a Equao (12.9), por-que ela afirma que a energia potencial gravitacional sem-pre negativa. No entanto, voc j encontrou valores negati-vos para U anteriormente. Ao usar a relao U mgy na Seo 7.1, voc verificou que U se tornava negativa quando o corpo de massa m se encontrava em uma altura y abaixo do ponto que voc escolheu para y 0, ou seja, sempre que a distncia entre o corpo e a Terra era menor do que uma certa distncia arbitrria. (Veja o Exemplo 7.2 na Seo 7.1.) Ao definir U pela Equao (12.9), escolhemos U = 0 quando o corpo de massa m se encontra em uma distncia infinita da Terra (r@). medida que o corpo se aproxima da Terra, a energia potencial gravitacional diminui e, por-tanto, torna-se negativa.

S

A fora gravitacional conservativa. O trabalho realizado por Fg no depende da trajetria de r1 a r2.

Trajetria curva

Trajetria retilnea

m

r2

r1mT

FgS

Figura 12.10 4RABALHOREALIZADOPELAFORAGRAVITACIONALQUANDOOCORPOSEMOVEDACOORDENADARADIALr1ATr2

Captulo 12 Gravitao 9Gravitao 9

Caso fosse nosso desejo, poderamos fazer U 0 na superfcie terrestre, onde r RT, simplesmente adicionando a quantidade GmTm/RT Equao (12.9). Isso faria U se tor-nar positiva para r RT. No faremos isso por dois motivos: primeiro, porque tornaria a expresso de U mais complicada; segundo, porque o termo adicionado no alteraria a diferena de energia potencial entre dois pontos arbitrrios, que a nica grandeza que possui significado fsico.

ATEN O Fora gra vi ta cio nal x Energia poten cial gra vi ta cio nal. Tome cuidado para no confundir a relaoda fora gravitacional, dada pela Equao (12.7), com a relao da energia potencial gravitacional, dada pela Equa-o (12.9). A fora Fr proporcional a 1/r2, enquanto a energia potencial gravitacional U proporcional a 1/r.

Tendo a Equao (12.9) como ferramenta, podemos agora usar relaes gerais de energia em problemas nos quais a fora gravitacional dependa de 1/r2. Quando a fora gravi-tacional a nica fora que realiza trabalho, a energia mec-nica total do sistema constante, ou se conserva. No exem-plo fornecido a seguir, usaremos esse princpio para calcular a velocidade de escape, a velocidade mnima necessria para que um corpo escape completamente de um planeta.

Exemplo 12.5

DA TERRA LUA No livro com esse ttulo escrito por Jlio Verne em 1865, um projtil com trs homens foi disparado em direo Lua por um gigantesco canho semi-enterrado no solo na Flrida. a) Calcule a velocidade mnima necessria na boca do canho para que o projtil disparado verticalmente atinja uma altura igual ao raio da Terra. b) Calcule a velocidade de escape ou seja, a velocidade mnima necessria para que o projtil deixe a Terra completamente. Despreze a resistncia do ar, a rotao da Terra e a atrao da Lua. O raio da Terra dado por

RT 6380 km 6,38 106 m, e a massa da Terra mT 5,97 1024 kg (veja o Apndice F).

SOLUO

IDENTIFICAR: assim que o projtil sai da boca do canho, ape-nas a fora gravitacional (conservativa) realiza trabalho, e a ener-gia mecnica conservada. Usamos esse fato para encontrar a velocidade com que o projtil precisa sair da boca do canho a fim de (a) atingir sua altura mxima a uma distncia de dois raios da Terra desde o centro do planeta e (b) atingir sua altura mximaa uma distncia infinita da Terra.

PREPARAR: tanto no item (a) quanto no item (b), usamos a equao da conservao da energia, K1 U1 K2 U2, em que a energia potencial U obtida pela Equao (12.9). A Figura 12.12 mostra nossos esboos para resolver o problema. O ponto 1 aquele em que o projtil sai do canho com velocidade v1 (a varivel procurada). Nesse ponto, a distncia do centro da Terra r1 RT, o raio da Terra. O ponto 2 onde o projtil atinge a sua altura mxima; no item (a) isso acontece quando r2 2RT(Figura 12.12a), e no item (b) isso acontece infinitamente longe da Terra, em r2 @ (Figura 12.12b). Em ambos os casos, o pro-jtil est em repouso no ponto 2, ento v2 0 e K2 0. Vamos considerar m a massa do projtil (com os passageiros).

EXECUTAR: podemos calcular v1 usando a equao da conserva-o da energia mecnica

12

mv12 11

2GmTm

RT 25 0 1

1

2GmTm

2RT 2

K1 1 U1 5 K2 1 U2

Reagrupando os termos, encontramos

5 7900 m/s 15 28400 km /h 25

16,67 3 10211 N # m2/kg2 2 1 5,97 3 1024 kg 26,38 3 106 m

v1 5

GmTRT

= 17700 mi h/(b) Desejamos que o projtil seja capaz de atingir o ponto 2 em r2 c, sem nenhuma energia cintica, ou seja, K2 0. Quando o projtil est a uma distncia infinita da Terra, a energia potencial

RTr

U

O

GmTmRT

2

Massa da Terra mT

Massa da astronauta m

GmTmr

U sempre negativa, mas se

torna menos negativa com o aumento da distncia radial r.

Figura 12.11 'RlCODAENERGIAPOTENCIALGRAVITACIONALUPARAOSISTEMADA4ERRAMASSAm4EASTRONAUTAMASSAmEMFUNODADISTNCIARDAASTRONAUTAAOCENTRODA4ERRA

Massa do projtil m2 2

Massa da Terra mT

1

1

r1 = RT

r1 = RT

r2 = 2RTr2 =

8

Massa da Terra mT

Massa do projtil m

(a) (b)

Figura 12.12 .OSSOSESBOOSPARAESTEPROBLEMA

10 F S IC A I I

esta relao para deduzir a Equao (7.2), U mgy, de modo que podemos considerar essa expresso da energiapotencial gravitacional um caso particular da relao mais geral dada pela Equao (12.9).

Teste sua com preen so da Seo 12.3 possvel que um planeta possua a mesma gravidade de superfcie que a Terra (ou seja, o mesmo valor de g na superfcie) e ainda assim tenha uma velocidade de escape maior?

12.4 Movimento de satlitesSatlites artificiais em rbita em torno da Terra cons-

tituem um fato familiar na vida contempornea (Figura 12.13). No entanto, quais so os fatores que determinam as propriedades das rbitas e como eles permanecem em rbi-ta? As respostas podem ser fornecidas aplicando-se as leis de Newton e a lei da gravitao. Veremos na prximaseo que o movimento de planetas pode ser analisado de modo semelhante.

Para comear, lembre-se do raciocnio feito na Seo 3.3 (Fsica I), quando discutimos o movimento de um pro-jtil. No Exemplo 3.6, um motociclista se lana horizontal-mente da extremidade de um morro, descrevendo uma trajetria parablica que termina no solo plano na base do morro. Caso ele sobreviva e repita essa experincia com velocidades crescentes em cada lanamento, ele chegar ao solo em pontos cada vez mais afastados do local do lana-mento. possvel imaginar que ele se lance com uma velo-cidade suficientemente grande para que a curvatura da Terra passe a ser um fator importante. medida que ele cai, a Terra se encurva embaixo dele. Caso ele se lance com uma velocidade suficientemente grande e caso o topo do morro seja suficientemente elevado, ele pode dar a volta na Terra sem retornar ao solo.

A Figura 12.14 mostra uma variante do tema apresen-tado no pargrafo anterior. Lanamos um projtil de um ponto A em uma direo AB tangente superfcie terrestre.As trajetrias de (1) at (7) mostram o efeito do aumentoda velocidade inicial. Nas trajetrias de (3) at (5) o proj-til no volta para o solo e torna-se um satlite artificial da Terra. Caso no exista nenhuma fora retardadora, a velo-

10 F S IC A I I

tambm nula U2 0 (veja a Figura 12.11). A energia resultante, portanto, zero, e quando o projtil disparado, a soma da ener-gia cintica K1 positiva com a energia potencial gravitacional U1negativa deve ser igual a zero:

5 1,12 3 104 m/s 15 40200 km /h 5 25000 mi /h 25

2 16,67 3 10211 N # m2/kg2 2 1 5,97 3 1024 kg 26,38 3 106 m

v1 5

2GmTRT

12

mv12 11

2GmTm

RT 25 0 1 0

AVALIAR: esse resultado no depende nem da massa do projtilnem da direo em que ele foi lanado. As modernas espaonaveslanadas na Flrida devem atingir essencialmente a velocidadeencontrada no item (b) para deixar a Terra. Uma espaonave no solo em Cabo Canaveral j est se movendo a 410 m/s de oeste para leste em virtude da rotao da Terra; lanando-se a espao-nave de oeste para leste, ela recebe gratuitamente essa contri-buio para a velocidade de escape.

Generalizando nosso resultado, a velocidade inicial v1necessria para que um corpo escape da superfcie de um astro esfrico de massa M e raio R (desprezando-se a resistncia) dada por

v1 5

2GMR

(velocidade de escape)

Voc pode usar esse resultado para calcular a velocidade de escape da superfcie de outros astros. Para Marte, voc achar 5,02 103

m/s, para Jpiter, 5,95 104 m/s e, para o Sol, 6,18 105 m/s.

Outras relaes envolvendo energia potencial gravitacional

Como observao final, mostraremos que, quandoestamos nas vizinhanas da superfcie terrestre, a Equao (12.9) se reduz ao resultado familiar U mgy obtido no Captulo 7. Inicialmente, reescrevemos a Equao (12.8) do seguinte modo

Wgrav 5 GmTmr1 2 r2

r1r2Quando o corpo est nas vizinhanas da superfcie terres-tre, podemos substituir r1 e r2 pelo raio da Terra RT no denominador, logo

Wgrav 5 GmTmr1 2 r2

RT2

Usando a Equao (12.4), g GmT /RT2, obtemosWgrav 5 mg 1 r1 2 r2 2

Substituindo-se cada r pelo respectivo y, obtemos justa-mente a Equao (7.1) referente ao trabalho realizado por uma fora gravitacional constante. Na Seo 7.1 usamos

Figura 12.13 #OM M DE COMPRIMENTO E MASSA IGUAL A KG O 4ELESCPIO %SPACIAL (UBBLE EST ENTRE OSMAIORES SATLITESCOLOCADOSEMRBITA


fora resultante (a fora da gravitao) que atua sobre um satlite de massa m dada por Fg GmTm/r2 e possui a mesma direo e sentido da acelerao. Ento, a segundalei de Newton permite escrever.

GmTmr 2

5mv2

r

Explicitando v, obtemos

v 5

GmTr

(rbita circular) (12.10)

Essa relao mostra que a escolha de v no pode ser feita de modo independente da escolha de r; para um dado valor de r, a velocidade v de uma rbita circular determinadapor essa relao.

A Equao (12.10) tambm mostra que o movimento de um satlite no depende de sua massa m, visto que o valor de m no aparece nessa equao. Caso pudssemos dividir um satlite em duas partes iguais sem alterar sua velocidade, as duas partes continuariam a se deslocar como no movimento original. Uma astronauta no interior de um nibus espacial em rbita ela prpria um satlite artificial da Terra, mantido na mesma rbita do nibus espacial em virtude da atrao gravitacional do planeta. A acelerao e a velocidade da astronauta possuem valores iguais aos da acelerao e da velocidade do nibus espa-cial, de modo que no existe nenhuma fora empurran-do-a nem contra a parede nem contra o piso do nibus espacial. Ela est no chamado estado de imponderabili-dade, no qual seu peso aparente nulo, tal como no caso de um elevador em queda livre; ver a discusso que segue o Exemplo 5.9 da Seo 5.2. (Um verdadeiro estado de imponderabilidade ocorreria somente quando ela estives-se muito afastada de qualquer corpo, de modo que a atra-

cidade quando ele retorna ao ponto A igual velocidadeinicial, e o corpo repete esse movimento indefinidamente.As trajetrias de (1) at (5) se fecham sobre si mesmas e denominam-se rbitas fechadas. Todas as rbitas fecha-das ou so elipses ou segmentos de elipses; a trajetria (4) uma circunferncia, que um caso particular de elipse.(Estudaremos as propriedades das elipses na Seo 12.5.) As trajetrias (6) e (7) denominam-se rbitas abertas.Nessas trajetrias o projtil no retorna ao ponto A; em vez disso, afasta-se cada vez mais da Terra.

Satlites: rbitas circularesA rbita circular, como a trajetria (4) indicada na

Figura 12.14, o caso mais simples. tambm um caso importante, porque muitos satlites artificiais possuem rbi-tas quase circulares, e as rbitas dos planetas do sistema solar tambm so quase circulares. A nica fora que atua sobre um satlite artificial em rbita circular em torno da Terra sua atrao gravitacional, que est orientada para o centro desta e, portanto, para o centro da rbita (Figura 12.15). Conforme discutimos na Seo 5.4, isso equivale a dizer que o satlite descreve um movimento circular unifor-me e sua velocidade constante. Em sua queda, o satliteno vai em direo Terra; em vez disso, ele segue cons-tantemente ao redor dela, e sua velocidade tangencial na rbita circular exatamente aquela necessria para manterconstante sua distncia ao centro da Terra.

Como podemos achar a velocidade constante v de um satlite em uma rbita circular? O raio da rbita r, medi-do a partir do centro da Terra; a acelerao do satlite pos-sui mdulo arad v2/r e ela est sempre dirigida para o centro do crculo. De acordo com a lei da gravitao, a

Gravitao 11

Fg

a

O satlite est em uma rbita circular: suaacelerao a sempre perpendicular sua velocidade , ento sua velocidade constante.

Fg

a

Fg

a

RT

r

Figura 12.15 ! FORA DEVIDA ATRAO GRAVITACIONAL EXERCIDA PELA 4ERRAFORNECEAACELERAOCENTRPETANECESSRIAPARAMANTEROSATLITEEMRBITA#OMPAREESSAlGURACOMA&IGURA&SICA)

Figura 12.14 4RAJETRIAS DE UM PROJTIL LANADO DE UMA GRANDE ALTURADESPREZANDOARESISTNCIADOAR!SRBITASESECOMPLETARIAMCOMOMOSTRADO SEA4ERRA FOSSEUMAMASSAPONTUAL EM# %STA ILUSTRAO SEBASEIAEMUMAILUSTRAODOLIVRO0RINCIPIADE)SAAC.EWTON

132

4

6

7

Um projtil lanado de A para B. As trajetrias de a mostram o efeito do aumento da velocidade inicial.

1 7

5

BA

CRT

r

12 F S IC A I I

(1E 5 2GmTm

2r (rbita circular)

E 5 K 1 U 512

mv2 11

2GmTm

r 25

12

m1

GmTr 2

2GmTm

r

(12.13)

A energia mecnica total em uma rbita circular negativa e igual metade da energia potencial gravitacio-nal. Aumentar o raio r da rbita significa aumentar a ener-gia mecnica (isto , fazer E ficar menos negativa). Quando o satlite est em uma rbita relativamente baixa no limiarda atmosfera terrestre, a energia mecnica diminui por causa do trabalho negativo realizado pela fora de resistn-cia do ar; portanto, o raio da rbita deve ir diminuindo at que o satlite se queime ou ento caia no solo.

Temos nos referido principalmente a satlites artifi-ciais da Terra, porm podemos aplicar a anlise anterior pa

fisica ii termodinamica e ondas

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