física fundamental

FísicaFundamental

Adelino Antônio da Silva RibeiroEliane da Silva Soares FerreiraSimara Moraes Vasconcelos

Manaus 2007

º4.Período

FICHA TÉCNICA

GovernadorEduardo Braga

Vice–GovernadorOmar Aziz

ReitoraMarilene Corrêa da Silva Freitas

Vice–ReitorCarlos Eduardo S. Gonçalves

Pró–Reitor de Planejamento

Osail de Souza Medeiros

Pró–Reitor de Administração

Fares Franc Abinader Rodrigues

Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários

Rogélio Casado Marinho

Pró–Reitora de Ensino de GraduaçãoEdinea Mascarenhas Dias

Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa

José Luiz de Souza Pio

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)Carlos Alberto Farias Jennings

Coordenador PedagógicoLuciano Balbino dos Santos

NUPROMNúcleo de Produção de Material

Coordenador GeralJoão Batista Gomes

Editoração EletrônicaHelcio Ferreira Junior

Revisão Técnico–gramaticalJoão Batista Gomes

SUMÁRIO

Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

UNIDADE I – Os fundamentos da Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09

TEMA 01 – O que é Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Fundamentos da teoria eletromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26TEMA 03 – Os alicerces da mecânica dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

UNIDADE II – As forças fundamentais da natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

TEMA 01 – O conceito de força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35TEMA 02 – Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40TEMA 03 – A força na hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44TEMA 04 – Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49TEMA 05 – Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53TEMA 06 – Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

UNIDADE III – O estudo dos movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

TEMA 01 – Análise do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63TEMA 02 – Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76TEMA 03 – Fluidos em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81TEMA 04 – Alguns tipos de movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84TEMA 05 – Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87TEMA 06 – Óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

UNIDADE IV – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

TEMA 01 – O momento linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101TEMA 02 – A Lei da Gravitação Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109TEMA 03 – A Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

UNIDADE V – As Leis do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

TEMA 01 – As Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 TEMA 02 – Forças em sistemas de referenciais inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135TEMA 03 – Indução magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

UNIDADE VI – Lei da Conservação da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

TEMA 01 – Trabalho – Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145TEMA 02 – A Energia Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148TEMA 03 – Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152TEMA 04 – A Energia Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 TEMA 05 – Potencial Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 TEMA 06 – Lei de ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165TEMA 07 – Lei da Conservação da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168TEMA 08 – Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170TEMA 09 – A Primeira Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

UNIDADE VII – Lei da Conservação do Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

TEMA 01 – Segunda Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185TEMA 02 – Definição de Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Adelino Antônio da Silva RibeiroLicenciado em Física – UFAM

Especialista em Ensino de Ciências – UFAM

Mestre em Educação – UFAM

Eliane da Silva Soares FerreiraBacharel em Física – UFAM

Licenciada em Física – UFAM

Simara Moraes Vasconcelos Mestra em Física – UFAM

PERFIL DOS AUTORES

APRESENTAÇÃO

Professor Adelino Ribeiro

A intenção ao escrever estas Notas de Aulas é o de apresentar, em nível introdutório, os conceitos fundamentais da

Física Clássica como parte da preparação dos alunos para prosseguirem e se aprofundarem posteriormente nas demais

disciplinas de Física que compõem a matriz curricular do Curso de Licenciatura em Matemática. Estas Notas de Aulas,

portanto, constituem-se num material preparatório para o desenvolvimento de idéias e habilidades, que serão aplicadas

durante o estudo de tópicos específicos, desenvolvidos em outros cursos mais especializados.

Acreditamos que os conceitos e as ideias que constituem o conjunto de paradigmas da Física Clássica, ao tornarem-se

parte da sua vida profissional, irão, com toda a certeza, auxiliar na suas maneiras de compreender o Universo em que

vivemos. Quanto mais profundamente se dedicar a aprender, tanto mais fácil será o restante de seu curso de graduação

e de pós-graduação. Assim sendo, ao longo deste curso, abordaremos alguns problemas específicos e de fundamen-

tal importância em Física, como, por exemplo, as Leis do Movimento, as Leis de Conservação, as Leis da Óptica, as Leis

da Termodinamica, as interações fundamentais, os conceitos de campo e de entropia, tendo em vista não só o interesse

e a importância em relação à Física e ao seu valor instrutivo, como também por se constituírem a base conveniente para

se resolver a maioria dos problemas de Física Clássica.

Tendo esses objetivos em vista, ao abordarmos um determinado fenômeno, procuraremos, tanto quanto possível, inte-

grar a interpretação física com o tratamento matemático (cálculo e álgebra), de modo que o aluno possa averiguar se a

sua intuição corresponde ou se precisa ser corrigida apropriadamente.

Outra peculiaridade destas Notas de Aulas é a forma pela qual os temas a serem estudados estão estruturados.

Diferentemente da seqüência encontrada tradicionalmente nos livros-textos de Física, estas Notas de Aulas operam o

conhecimento por outro caminho, sem causar, no entanto, qualquer prejuízo aos conteúdos selecionados. Segue,

abaixo, um breve comentário sobre cada unidade.

A primeira unidade foi projetada com a modesta intenção de fornecer uma visão preliminar da relação da Física com

as outras Ciências, os limites da Física Classica que vai ser estudada. Procuraremos enfatizar, nesta unidade, a base

fundamental sobre a qual se ergue todo o Edifício da Física, de modo que o aluno possa compreender a relação entre

a Física e a Matemátca, a importância das atividades experimentais e a função dos modelos teóricos em Física.

Na segunda unidade, faremos uma bordagem relativamente simples das interações fundamentais existentes na

Natureza, suas aplicações e combinações, de modo que o aluno se familiarize com o conceito de vetor.

Na terceira unidade, faremos um análise fenomenológica dos movimentos, identificando seus elementos e suas carac-

terísticas principais. Chamando atenção principalmente para aplicação de modelos de partícula e de onda no estudo da

Física.

Na quarta unidade, centralizaremos nossos estudos naquela que se constituiu a mais duradoura compreensao do uni-

verso: a visao mecanicista da natureza. A ênfase recairá na Lei da Conservação do Momento Linear e na Lei da

Gravitação Universal e suas aplicações. Aqui, merecem ser destacadas formas para a determinação de campos devido

à distribuição de massas e cargas.

A quinta unidade focalizará as Leis de Newton e a sua extrema importância para o estudo de alguns Tópicos Especiais,

tais como: o lançamento de projétil, Movimento Circular e Uniforme, Sistemas de Referências Inercial (dado seu papel

primordial no desenvolvimento dos conceitos básicos e os princípios físicos envolvidos na Teoria da Relatividade Restrita

de Einstein) e Sistemas de Referencias Não-Inerciais (em razão do movimento da Terra).

Na sexta unidade, estudaremos o conceito de Trabalho com ênfase na Lei da Conservação da Energia, enfatizando sua

estreita ligação com as Leis da Termodinâmica e aplicação tecnológica no caso das máquinas térmicas.

Na sétima unidade, faremos o estudo da Lei da Conservação do Momento Angular, aplicando-a, particularmente, nos

problemas que tratam de rotação de corpos rígidos (enquanto sistemas de partículas) em torno de um eixo fixo.

UNIDADE IOs Fundamentos da Física

TEMA 01

O QUE É FÍSICA?

“Não afirmamos que o quadro que estamos pintando represente toda

a verdade, mas apenas uma viagem.”Victor Hugo

Entender o universo – este tem sido o supremodesejo que tem perseguido, incansavelmente,o ser humano. A intricada e complexa rede defenômenos que o cercam é apenas uma pontado Iceberg Cósmico, cuja maior parte, aindahoje, se oculta no mar da nossa ignorância.Evidentemente que o conhecimento científicocresceu exponencialmente até os nossos dias,mas não conhecemos tudo. Aliás, se soubés-semos que na Física tudo já foi descoberto,todas as questões já foram respondidas e nãohá nada mais para explorar, ainda assim, nadaimpossibilitaria o ser humano de examinar taisverdades, as suas limitações, os seus parado-xos e as possíveis falhas.

1. Atualmente, tem sido bastante divulgada pelamídia a possibilidade de existência de água noplaneta Marte. Comente a respeito da veraci-dade do fato. Com base em que(ais) teoria(s)cientifica(s) é possível justificar essa descober-ta? Elas são suficientes? Quais as limitaçõesdo conhecimento científico nesse campo?

2. Algumas pessoas afirmam que são capazes delocalizar água utilizando uma simples forquilhade madeira. Embora este procedimento sejaalgo controvertido, existem muitas histórias deêxitos. Com base em seus conhecimentos cien-tíficos, como você poderia explicar, em termosfísicos, este procedimento para furar poço?

3. Recentemente, foi bastante comentada a in-venção de um equipamento construído por um

cientista amador que é capaz de blindar o cam-po gravitacional, ou seja, quando uma pessoaentra no equipamento, ele imediatamente sedesprende perdendo seu peso. Com base emseus conhecimentos de Física, como você ava-lia essa descoberta? Esse equipamento pode-ria ser usado para transportar um Homem atéa Lua? Quais suas limitações?

A Física é um campo de investigação sem fim;um processo construtivo interminável, decor-rente das próprias limitações da mente huma-na. Ainda não conhecemos todas as leis funda-mentais do Universo e nem sabemos se essabusca algum dia será alcançada, pois somentea ponta do Iceberg revela-se de forma diretadiante do homem.

A suprema função da Física é tentar captar umaimagem completa deste mundo físico (IcebergCósmico). É penetrá-lo mais além do imediato,do visível, mergulhar nas profundezas do Ocea-no Cósmico para ser capaz de estabelecer re-lações (as regras do jogo) que governam aspropriedades e os processos observados noUniverso, colocando a explicação num novo emais amplo nível e contexto. Essas regras (leis)são inerentes ao Universo; são independentesda existência ou da vontade humana.

Essa busca e esperança são reforçadas pelaconvicção humana de que, por baixo do Ice-berg Cósmico, existe uma ordem, uma regula-ridade, apesar da diversidade e da aparentecomplexidade de fenômenos observados.

A crença nessa regularidade é tão imprescin-dível para a sobrevivência do ser humano que,desde a antiguidade, os filósofos gregos con-sideravam a mente como o princípio que pro-duz a ordem que se crê existir no Universo.

Apesar de alto grau de desordem existentenum gás, a aposta na existência de regulari-dades leva-nos a fazer previsões, por exemplo,das suas propriedades termodinâmicas. Foiassim também que, a partir da visão da dançade alguns pontos luminosos no céu noturno,chegamos a estabelecer a imagem de um sis-tema planetário. Igualmente, a partir da cons-tatação de alguns riscos coloridos (raias es-pectrais), captadas por observações espec-

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Física Fundamental – Os Fundamentos da Física

troscópicas, é que se conseguiu entender oprocesso de emissão da luz pela matéria, acomposição química de uma substancia e atémesmo o afastamento das galáxias.

Nesse sentido, determinar uma lei é revelar aordem pré-existente na arquitetura do Univer-so, é acreditar que todos os eventos e proces-sos que ocorrem no Universo estão interco-nectados. No século XVIII, Newton unificou amecânica terrestre e celeste ao descobrir a Leida Gravitação Universal. No século XIX, Jouleunificou a Mecânica com a Termodinâmica, eMaxwell unificou os fenômenos elétricos e mag-néticos, incorporando a Óptica nesse quadro.No século XX, Einstein passou parte da sua vi-da tentando formular uma teoria que unificassea gravitação com a eletrodinâmica. Sua ante-visão foi recompensada em 1968, quando osfísicos Steven Weinberg e Abdus Salam ganha-ram o premio Nobel, por demostrarem a cone-xão entre a força eletromagnética e a forçanuclear fraca, dando origem à força eletrofra-ca.

Como se vê, em meio a mudanças existem car-acterísticas imutáveis, padrões fixos no Univer-so. O que gera a ordem ao universo é o fato depodermos assegurar, com absoluta precisão,que determinadas coisas nunca acontecem.Você, por exemplo, pode viver 10 bilhões deanos, contudo nunca verá, na superfície da Ter-ra, uma pedra “cair para cima”. É isso que osfísicos denominam de ordem.

Parece-nos estranho declarar que não é ver-dade; o que realmente orienta a Física não é adescoberta do que acontece, mas a descober-ta do que não acontece. A simples possibilida-de de que o Universo possa comportar-se demodo diferente de um dia para o outro tornariainsegura a vida e, possivelmente, seria impos-sível a sobrevivência da espécie humana. Noentanto o que se constata é que existem deter-minadas constantes no Universo que se repe-tem e que conduzem ao mesmo resultado.

Uma vez determinado qual é a propriedade físi-ca invariante, o ser humano passa a dispor deuma poderosa ferramenta em suas mãos que oajudará entender melhor a dinâmica do Univer-so. Daí as Leis de Conservação serem extre-mamente importantes quando se passa de um

campo a outro dentro da própria Física, conti-nuando dando bons frutos ao transitarmos pa-ra outros ramos da Árvore da Ciência.

Apesar da robustez da Física e dos frutos nelacolhidos, é inútil tentar cutucar o solo e espe-cular sobre onde nascem as raízes da Árvoreda Ciência, pois não somos capazes de desco-brir a origem de certos conceitos. Certamente,o que não deixa menor margem para dúvidas,como escreveu o poeta, é que: “Nil posse cre-ari de nihilo”. Igualmente, as idéias físicas nãonasceram e operaram no vácuo social, comose tivessem nascidas prontas e acabadas damente do cientista, ou cuja finalidade tenhasido essencialmente utilitaristas, enquanto pro-duto pronto para ser usado.

1. Faça uma análise comparativa dos dois casosrelacionados abaixo a respeito de como ocor-rem a construção do conhecimento científicodos fenômenos ocorridos na Natureza.

I. Segundo contam, Arquimedes descobriu a Lei

do Empuxo porque estava a serviço do rei, que

lhe solicitou que investigasse se a coroa era

mesmo de ouro maciço.

II. Sir Isaac Newton descobriu a Lei da Gravitação

Universal devido à queda de uma maçã na sua

cabeça, enquanto descansava no jardim de sua

mansão; isso despertou suas idéias para o

referido tema.

Sendo a atividade cientifica realizada por sereshumanos num ambiente impregnado de polari-dades e antagonismos culturais, nenhum indi-víduo, por maior que seja sua genialidade oupor mais importante e fundamental que sejaseu descobrimento, pode ser considerado isen-to das influências sociais, culturais, políticas eeconômicas que a sociedade vivencia numdeterminado momento histórico.

Muito do que atualmente se sabe dos estudosdos fluidos desenvolveu-se da grande necessi-dade de abastecimento de água para irrigaçãodos campos, do controle de inundações e daseca. A construção de diques, represas e canais

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UEA – Licenciatura em Matemática

é fruto dessa necessidade, que antecede aArquimedes. Uma das primeiras aplicações dosfenômenos térmicos inventada pelo ser huma-no foi a eolípila, desenvolvida por Heron deAlexandria. Eis aí o principio de funcionamentode uma turbina a vapor muito rudimentar devi-do à força do vapor que escapa pelos tubos,fazendo girar o aparelho. Essa capacidade deo vapor produzir trabalho foi aplicada no desen-volvimento e no aperfeiçoamento das máqui-nas para retirar água acumulada nas minas decarvão; disso se originou a Revolução Indus-trial.

A Física, enquanto atividade humana especial-izada, não tem, portanto, existência indepen-dente. Ela emergiu, cresceu e somente se con-solidou porque buscou satisfazer as necessi-dades básicas do Homem, seja explicando eelaborando processos de controle dos fenô-menos naturais, seja desenvolvendo técnicaspara aumentar a produção de bens e serviços,seja como fonte de idéias para outros camposde pesquisa, seja contribuindo para a segu-rança nacional por meio da criação de armasde defesa e ataque, etc. Essas multifacetadas“impressões digitais” da Física são passíveisde identificação ao longo da sua História, aindaque estranhamente irregulares, em zigueza-gue, entrecortadas por descontinuidades.

As tentativas de explicar o mundo físico nãosão algo recente. A própria Bíblia ensina-nosque o primeiro ato divino foi o de criar a Luz.Qual a razão para isso? Talvez tenha sido otemor que os nossos ancestrais (e, ainda hoje,muitos de nós) sentiam quando o sol desa-parecia, e a Terra escurecia. Ou seja, tantopara os nossos ancestrais quanto para nós,uma noite de lua cheia constitui-se, ainda hoje,num fenômeno exuberante.

Assim, no fim do dia, após uma jornada esta-fante, eles, como nós, ao admirarem o luar,devem ter-se indagado sobre inúmeros por-quês: por que a lua brilha? Será que a lua temluz própria ou será que a luz nasce dos olhos?O que é a luz? Quanto deve valer a velocidadeda luz? Será que é finita ou infinita? Por que alua não cai? O que faz que ela se mantenha emsua órbita? Como ir da Terra à Lua?

Muitos outros fenômenos naturais também

devem ter sido observados, registrados e de-sencadeados. Vêm, então, outra série de per-guntas: como se forma o arco-íris? Por queocorrem os eclipses? O que é o raio? O que éo fogo? O que fazer para mantê-lo aceso? Oque causa os terremotos? Por que o tronco deuma árvore bóia e a pedra afunda? Por que oscorpos caem e a fumaça sobe? O que faz ummagneto atrair um pedaço de ferro e não demadeira? De onde ele retira esse poder ou vir-tude? Como surgiu o universo e as coisas quenele existem?

Não há como não reconhecer, nessa protofísi-ca, as raízes, por exemplo, dos conceitos, dasleis, das teorias e dos princípios que se estu-dam até hoje na estática e na dinâmica. Todo odesenvolvimento do eletromagnetismo deve-se à estranha propriedade do âmbar (resinafóssil empregada na antiguidade, na fabrica-ção de amuletos, jóias e bijuterias) e de certaspedras magnéticas (óxido de ferro) que, maistarde, receberam a denominação de ímãs.

A capacidade e a habilidade do ser humano deresponder a essas e a muitas outras comple-xas questões geraram a Física – apenas umdos ramos da Árvore da Ciência –, mas funda-mental para o entendimento do Universo emque vivemos. Certamente que esse desenvolvi-mento não ocorreu por acaso, mas do esforçoconsciente e deliberado do trabalho de ho-mens e mulheres para trazer à tona a parteoculta do Iceberg Cósmico e, assim, conseguirprever e planejar suas ações para seremcapazes de sobreviver neste Planeta e, poste-riormente, aventurar-se em frágeis jangadas,em expedição pelo Oceano Cósmico descon-hecido.

O que conhecemos e o que ainda está sendodescoberto, nos dias de hoje, não teria sidopossível se os nossos antecessores não tives-sem assentado, com firmeza, os alicerces des-te grande edifício em constante construção,que é a Física, num terreno bastante sólido.

Portanto, quando se retrocede na História daHumanidade, verifica-se que as idéias físicasressoam desde a aurora dos tempos, quandoo ser humano lançou suas primeiras inquie-tações e curiosidades em relação aos fenô-menos naturais, e o quanto estes descobri-mentos foram decisivos e essenciais para oconhecimento atual da Natureza.

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A FÍSICA E AS OUTRAS CIÊNCIAS

Em sua luta obstinada para entender a Natu-reza, o ser humano depara-se com uma varie-dade e complexidade de fenômenos que ge-raram o desenvolvimento de um conjunto deconhecimento específico. Nesse desdobramen-to, a Física ficou com a parte mais simples,restringindo-se aos aspectos mais fundamen-tais dos fenômenos naturais. Evidentementeque, para atingir essa compreensão e alcançara profundidade indispensável, os físicos pre-cisaram desenvolver um nível da análise rigoro-síssimo. Em vista disso, os demais ramos daArvore da Ciência, em seus projetos de tam-bém avançar no conhecimento, foram buscarna Física as leis fundamentais e os métodosempregados. Nasceu daí a intensa conexãoentre a Física e as outras ciências, o que temproporcionado explorar novos experimentos,gerando novos conhecimentos e produtos in-dustrializados.

A Química, por exemplo, emprega MecânicaQuântica nas explicações das propriedades edas reações químicas. Desse modo, novassubstâncias podem ser desenvolvidas a partirdos fundamentos da interação entre átomos emoléculas. Tanto que, em 1998, o físico WalterKohn recebeu o premio Nobel de Química pelasua contribuição aos métodos da química quân-tica.

A Geofísica emprega as teorias do magne-tismo no estudo da Física da Terra. O estudoda Física dos Fluidos fornece o entendimentodas causa dos abalos sísmicos e dos proces-sos que moldaram o nosso planeta.

O conhecimento de Física Nuclear é crucial naAstrofísica para a compreensão da fonte deenergia das estrelas e da evolução (geração desupernovas).

A Cosmologia utiliza a Teoria da RelatividadeGeral para estudar a origem e a evolução doUniverso, para explicar a força da gravidade e amisteriosa expansão do Universo; utiliza-a tam-bém no desenvolvimento do sistema de loca-lização GPS.

O conhecimento de Física é essencial no estu-do das Ciências Biomédicas (Biologia, Bio-química e Medicina). Na área de diagnose e

tratamento médicos, são empregadas técnicasde ressonância magnética, ultra-som, tomogra-fia po raios X, radiografia, ecocardiograma, ele-trocefalograma, aplicação de partículas (isó-topos) radioativas, etc.

Em Biofísica, o estudo das propriedades físi-cas dos sistemas biológicos dentro da célula(tais como a elasticidade do DNA e a interaçãoentre DNA-proteínas) e a aplicação de técnicasna modelagem das redes neurais, etc.

Os conhecimentos de Física Clássica (Mecâ-nica, Termodinâmica e Eletromagnetismo) sãoessenciais no campo das Engenharias (Civil,Mecânica, Elétrica, Robótica, Aeroespacial, etc).

1. Comente, fornecendo exemplos e justificativas,a maneira pela qual a Física e a Filosofia serelacionam.

2. Existe ou já existiu, em alguma época, co-nexão entre a Física e a Arte? Cite dois casosconcretos.

FÍSICA E MATEMÁTICA

Provavelmente, em algum momento de sua vi-da, você deve ter realizado, mentalmente, certos“cálculos” ou, intuitivamente, avaliou a situa-ção-problema apelando para as leis do movi-mento. Com toda a certeza, antes de atraves-sar uma avenida, para não colocar em riscosua vida, você já deve ter, intuitivamente, ava-liado inúmeras vezes a velocidade do carro efeito uma estimativa do tempo necessário paraatravessar, com segurança, uma ampla e movi-mentada avenida de Manaus. Não é mesmo?

1. Um planeta X hipotético dá uma volta inteiraem torno do seu eixo em um terço do tempogasto pela Terra (1 dia), e dá uma volta emtorno do Sol no dobro do tempo gasto pela

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Terra (365 dias). Na Terra, a relação entre aduração do dia e a do ano é 1/365. No planetaX, quanto corresponderá a mesma relação?

Esta convicção de que a razão humana écapaz de oferecer uma interpretação quantita-tiva coerente dos fenômenos perceptíveispelos sentidos, com ajuda de engenhosasequações matemáticas, constitui-se numa dasmais extraordinárias conquistas humanas deimportância para a ciência. O prêmio Nobel deFísica Max Planck, ao se referir aos trabalhosde Maxwell, comentou que:

“Maxwell, após diversos anos de pesquisa reser-

vada, alcançou um sucesso que deve ser conta-

do entre os maiores milagres do intelecto

humano. Ele conseguiu, pela razão pura, vislum-

brar segredos da natureza que somente

começaram a vir à luz depois de uma geração e,

ainda assim, por meio de experiências muito

laboriosas. Seria completamente inconcebível

que tal conquista fosse conseguida, se não reco-

nhecêssemos que há uma relação muito íntima

entre as leis da natureza e as do pensamento.”

A percepção de que matematização dos fenô-menos físicos é a chave para decifrar os mis-térios do Universo é atribuída a Pitágoras,para quem, na natureza, “tudo é numero”. Otrampolim para esta conexão entre a Física e aMatemática teria sido a descoberta da relaçãofuncional entre o som que uma corda esticadaemite e o comprimento da corda. Posterior-mente, Arquimedes (séc. III a.C.), seguindo oestilo empregado por Euclides, descobriu a leida alavanca e a lei do Empuxo, abrindo, deforma convincente, o caminho para a mate-matização da Natureza.

1. A quantidade de energia luminosa incidentepor unidade de área, em iluminação normal,varia na razão inversa do quadrado da distân-cia da superfície à fonte. Com base nessa infor-mação, estabeleça uma relação entre a quanti-dade média de energia solar incidente entre oplaneta Plutão e a Terra.Assim, por meio da descrição matemática, a

compreensão do fenômeno ultrapassa a meradescrição qualitativa e subjetiva das percep-ções sensoriais do ser humano. A partir deagora, as qualidades das sensações fisiológi-cas, tais como o som, a cor, a luz, o calor, ogosto, etc. constituem-se num conjunto de sím-bolos moldados por uma equação matemática. O movimento, por exemplo, a questão dotráfego, um dos graves problemas da vida real,é resolvido por meio do cálculo diferencial.Velocidade passa a ser, portanto, dx/dt. Ascores do arco-íris são determinadas pela fre-qüência (µµ) ou pelo comprimento de onda (λλ)da radiação. A sensação de calor que temosquando estamos fazendo um churrasco é dadapor E = hµµ. A intensidade do som da “Bandado Mano” durante o carnaval é

descrita por .

1. No Laboratório de Física, um pesquisador ob-serva atentamente um próton atravessar umaregião na qual existe um campo elétrico e umcampo magnético, sendo ambos uniformes.Ao acompanhar o movimento do próton, eleconstata que a trajetória da partícula dependede como ela penetra na referida região. Na ten-tativa de auxiliar esse pesquisador, qual instru-mento matemático você lhe aconselharia aaplicar ao problema?

A matematização propicia, assim, uma econo-mia de pensamento, pois, por meio da abs-tração, não precisamos ficar presos aos deta-lhes e às características desnecessárias de umfenômeno. Em vez disso, procuramos selecio-nar e concentrar-nos somente naquelas pro-priedades que, no conjunto, são essenciaispara seu entendimento e que podem ser quan-tificadas, mensuradas.

Quando se analisa, por exemplo, o movimentode queda livre de uma esfera, o que realmenteimporta é a relação entre a posição (X) e otempo de queda (t), a velocidade (V), etc.

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Ignora-se, por exemplo, propriedades como acor, a textura e os detalhes da composição daesfera. Desse modo, a descoberta da relação

faz que a esfera deixe de ser uma

entidade individual, pois a expressão matemá-tica serve para qualquer esfera. No fim, a es-fera real fica completamente esquecida, e, emseu lugar, fala-se de um de uma partícula, deuma entidade abstrata que se move no vácuo.

O eco dessa tradição pitagórica continuou areverberar intensamente no século XVII, po-dendo ser encontrado nas obras de Galileu,que declara com toda a ênfase:

“A filosofia (atualmente, diríamos a Física) en-

contra-se escrita neste grande livro que conti-

nuamente se abre perante nossos olhos – quero

dizer, o Universo – que não se pode compreen-

der antes de entender a língua e conhecer os

caracteres com os quais está escrito. Ele está

escrito em linguagem matemática, os carac-

teres são triângulos, circunferências e outras

figuras geométricas (teríamos que acrescentar

agora outros símbolos matemáticos), sem cujos

meios é impossível entender humanamente as

palavras; sem eles nós vagamos perdidos den-

tro de um obscuro labirinto.”

Armados com a concepção de que “tudo nanatureza são números” ou ainda “Naturezaestá escrita em caracteres matemáticos” (ouformas geométricas), os físicos, por meio docálculo, deduzem a trajetória que, muitas ve-zes, escapa à percepção visual. É bem conhe-cida, por exemplo, o episódio no qual Halley, oastrônomo real, pergunta a Newton: “qual acurva descrita pelos planetas”, ao que Newtonrespondeu sem hesitação: “Uma elipse”.Surpreso, Halley replicou: “Como é que vocêsabe?”, ao qual Newton retrucou: “Ora, eu acalculei”.

A resposta de Newton significa dizer que eleficara extremamente satisfeito em determinar eprovar, matematicamente, que a causa do mo-vimento era simplesmente uma equação ma-temática. Indo mais além, utilizando seus cál-culos matemáticos, demonstrou que essa “for-ça” era responsável pelas marés oceânicas,pela periodicidade misteriosa dos cometas,etc.

Assim sendo, na investigação dos sistemasfísicos, é expressamente proibido que a deter-minação das regras (leis, teorias, etc) das co-nexões lógicas sejam feitas por um mero jogode palavras, produto da descrição qualitativa everbal empregada na linguagem cotidiana,mas de forma precisa e quantitativa. Sendo as-sim, não há nada que se impeça de descrevero azul do céu ou as cores do arco-íris em ter-mos matemáticos, em vez de expressar o fenô-meno em termos de uma linguagem limitada eimprecisa que estamos acostumados a empre-gar na vida diária.

1. Seja (N) o número de páginas que devem serlidas por um aluno durante a disciplina de Fí-sica Fundamental; (W) o número de semanasde aula; (P) o número de páginas que deverãoser lidas durante uma semana. Com base noexposto, represente, matematicamente, a rela-ção entre N, W e P.

A busca de uma relação funcional correta é oretrato da luta incessante da mente humanapara que os fenômenos naturais possam serrepresentados matematicamente. Levada aosconfins mais íntimos e extremos, a convicçãode que a Natureza opera misteriosamente se-gundo princípios matemáticos fez que os físi-cos, buscassem uma relação funcional entredeterminados parâmetros físicos, na tentativade explicar o funcionamento do Universo.

Foi esse ideal que levou Ptolomeu, século IId.C., a elaborar uma explicação para a Má-quina do Universo em termos de conceitosgeométricos altamente abstratos, tais como:círculos, deferentes epiciclos, equantes. Omesmo aconteceu com Galileu, século XVII, aodescrever a queda de um corpo por meio derelação matemática entre os números ímpares.Newton, também, vai explicar a força de atra-ção gravitacional que mantém a estabili-

dade das órbitas planetárias por .

Maxwell deduz da equação que a luz

é uma onda eletromagnética que se propagaaproximadamente 300.000.000 m/s. MaxPlanck descreveu o fenômeno da emissão dairradiação do corpo negro pela expressão

. Einstein demonstrou que a mas-

sa de um corpo em movimento não perma-nece constante, mas aumenta com a velocida-

de , por conseguinte deduziu

que a inércia (massa) de um corpo está rela-cionada a seu conteúdo energético por meioda equação E = m.c2.

Embora tenhamos apresentado algumas “fór-mulas”, não se deve confundir a Física com aMatemática, pois, como enfatizou Einstein,“Nenhum cientista pensa com fórmulas”. Oque comumente se faz na Física é começarcom a idéia física e depois procurar torná-lamais precisa, expressando-a matematicamen-te. Foi assim que se deu com Maxwell, que, apartir das idéias de Faraday de linha de força,transformou-a na teoria do campo eletromag-nético, expressando-a na forma de equaçõesdiferenciais.

Portanto, do ponto de vista da Física, um fenô-meno da natureza é considerado explicado quan-do se encontra uma relação funcional que rela-ciona os parâmetros que admitimos fazer parteexplicativa de um determinado fenômeno.

É por meio da matematização do fenômenoque o Físico dispõe de um conjunto de regrasde correspondência que tornam possível efetu-ar certas seqüências de operações. O cálculotorna-se, assim, uma espécie de jogo mentalcom os símbolos matemáticos por meio dosquais se torna possível estabelecer uma rela-ção funcional dos resultados empíricos obtidospor uma dada teoria.

1. Por meio de um dispositivo, uma caneta move-se em MHS ao longo do eixo Y. Ele registrasobre uma fita de papel que se move com

velocidade de 10 cm/s da direita para a esquer-da, conforme mostra a figura abaixo. Suponhaque no instante t = 0 a caneta encontre-se noponto X = 0 e Y = 0. Determine a função Y(t)que representa o movimento da caneta con-forme a curva mostrada no gráfico.

Assim, por meio de uma expressão matemáti-ca, ou seja, com a mesma formula do cálculo,podemos escrever o conteúdo empírico porum conjunto de sentenças equivalente que re-presenta os efeitos observáveis. Por exemplo,uma regra de correspondência, expressandouma relação diretamente proporcional, podeservir para coordenar o termo de observação,temperatura, com o termo designado de ener-gia cinética. De modo que podemos tambémexpressar que a “temperatura de um gás é dire-tamente proporcional à energia cinética médiadas moléculas de um gás.”

Portanto o que o cientista busca com freqüên-cia é encontrar uma “relação funcional” do tipoY = f (x) entre as propriedades que variam, ouseja: a corrente elétrica com a voltagem numcondutor, a distância percorrida por um corpomuda com o tempo, o volume de um gás mudacom a pressão exercida sobre ele, o compri-mento de uma haste de latão varia com a tem-peratura, etc.

Suponha que se queira encontrar uma relaçãofuncional entre a posição de um objeto e otempo que ele leva durante a queda. Após re-gistrar numa tabela as quantidades correspon-dentes, ele procura estabelecer uma relaçãoexata entre elas.

Pode ocorrer, no entanto, que ele nem consigaencontrar nenhuma relação, pois os dados po-dem variar independentemente uns dos outros.Caso descubra que existe uma relação entreas propriedades investigadas, ele pode repre-sentá-las por uma relação simbólica conven-cional do tipo

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. Se essa relação for amplamente

confirmada pelos experimentos, pode-se dizerque temos agora uma Lei Física. São os casos,por exemplo, da lei da queda livre, das leis deNewton, da lei de Ohm, as Lei de Kepler, etc.

Além de resumir o conjunto de dados, a equa-ção pode ser usada como uma definição paravelocidade: v = a.t; como uma técnica para amedição da aceleração; para prever todas asfuturas observações e ir bem além das aparên-cias, do imediato, estabelecendo relações deforma a colocar os fenômenos observados emum novo e mais amplo contexto.

Essa foi a maneira por meio da qual Maxwell, apartir de um conjunto de equações, deduziuque a luz se desloca com a mesma velocidadeda luz e que, por conseguinte, a luz deve seruma forma de radiação eletromagnética. Igual-mente assim procedeu o físico inglês PaulDirac, ao deduzir das suas equações a existên-cia dos pósitrons (elétrons carregados positi-vamente).

A lei declara simplesmente a existência de umpadrão estável por trás de um evento e coisas,mas é a teoria que assinala o mecanismo res-ponsável por esse padrão. É a teoria que pos-sibilita ir além das aparências.

Todavia o simples fato de que os fenômenosnaturais sejam simplesmente formulados e ex-plicados matematicamente não é uma justifica-tiva aceitável capaz de determinar as causas,pois não há como ter certeza de que aquela Leinão é resultado fortuito de muitas causas dife-rentes atuando independentemente, sem umaverdadeira regularidade.

Portanto é indispensável encontrar uma causaúnica subjacente ao fenômeno. Newton, porexemplo, não conseguiu persuadir muito osseus contemporâneos de que a formulaçãoalgébrica da lei da gravitação, descoberta porele, consistia, por si só, uma explicação acei-tável, sem que houvesse a necessidade dequaisquer mecanismos físico.

Atualmente, o que prevalece entre os físicos é,basicamente, esse tipo de justificativa. Levan-do-se em conta tais fatos, pode-se compreen-der com facilidade porque Einstein se opôs eenfrentou Bohr durante uma conferencia.

Para Einstein, o fato da Mecânica Quântica uti-lizar o conceito de probabilidade deve-se à nos-sa ignorância em compreender, de maneiraexata, como as coisas em nível microscópicoacontecem; se soubéssemos exatamente co-mo os eventos acontecem, por exemplo, a ma-neira como um conjunto de dados foi arremes-sado e todos os detalhes da superfície onderolam poderíamos, pelo menos em principio,prever o resultado. Na defesa de seu ponto devista, dizia Einstein: “Deus é sutil, mas não émalicioso: Ele não joga dados!”

OS CONCEITOS

Por mais refinada e perfeita que seja a lingua-gem cotidiana, ela é extremamente limitada eindefinida para esclarecer certas relações con-ceituais tão delicadas e precisas sobre o mun-do físico que nos cerca. Ainda que expressõesdo tipo: velocidade, espaço, gravidade, tempo,aceleração, repouso, energia, massa, eletrici-dade, calor e movimento sejam bastante fami-liares e utilizadas diariamente, elas não sãoóbvias e nem evidentes.

Seus significados soam misteriosamente, poistais expressões não são da mesma naturezaque os conceitos lingüísticos (cerveja, dinhei-ro, boi, canoa, barranco) empregados diaria-mente ou da mesma natureza que os concei-tos matemáticos (número, grau, reta, epiciclo,diferencial).

1. Durante um teste, quando perguntados sobreo que significava em Física afirmar-se que: “ossistemas conservativos são aqueles em que severifica a conservação da energia mecânica”,quatro alunos responderam que tal afirmação:

Aluno I – é uma constatação experimental.

Aluno II – é uma dedução.

Aluno III – é uma definição.

Aluno IV – é um postulado.

Na sua opinião, qual(ais) aluno(s) está(ão) cor-reto(s)? Explique sua resposta.

Como se vê, os conceitos físicos não desig-nam um fato bruto, mas sua representação pe-lo pensamento, por meio de suas característi-cas gerais. Um conceito é uma representaçãointelectual de um objeto físico. O conceito delinha de corrente, por exemplo, é uma repre-sentação das trajetórias seguidas pelas par-tículas de um fluido que serve para descreversuas propriedades.

É desse jogo intelectual que nascem as enti-dades (conceitos) que inventamos e que irãopovoar o Universo. Enquanto símbolos, elessão extremamente úteis para exprimir as rela-ções matemáticas: os quarks, fótons, ondas deprobabilidade, saltos quânticos, força, inércia,energia, campo, etc.

Outra particularidade relacionada ao conceitoé que um mesmo conceito pode reaparecer naexplicação de diversas situações. Os concei-tos, por exemplo, de força, momento angular ede átomo explicam inúmeras situações a partirdas condições de validade de uma determina-da teoria física. Embora seja possível medir ouatribuir valores a certos conceitos, nem sempreé fácil defini-lo com palavras. Por exemplo, émuito difícil definir o conceito de energia, cargaelétrica, temperatura, etc. Desse modo, um con-ceito pode ser expresso por um código gráficoou matemático, ou por uma frase.

Em resumo, numa ciência tão matematizadacomo a Física, o simbolismo matemático paraser aplicado à realidade deve ser interpretadopela mente humana.

A EXPERIMENTAÇÃO

Na elaboração convincente de uma teoria físi-ca, três fatores interconectam-se e influenciammutuamente: a matemática, a experimentaçãoe a construção de modelos.

Entender a matemática como uma construçãohumana ajuda-nos a melhor compreender, tam-bém, outra característica fundamental da Físi-ca: a experimentação.

Não importa quão bela seja a teoria ou a equa-ção matemática obtida! Em Física, tais idéiasprecisam necessariamente ser testadas expe-rimentalmente, de modo a assegurar seu do-mínio de validade. É indispensável que não

nos esqueçamos de que o conhecimento ma-temático não é algo com o qual nascemos ouque exista predeterminado na mente humana.Devemos tomar cuidado para não imaginarque os axiomas e os teoremas matemáticossejam entendidos ou confundidos como ver-dades a priori ou enunciados exatos acerca douniverso.

Dessa maneira, o que denominamos de expe-rimentação são observações que se efetuamem condições controladas, ou seja, fenôme-nos que podem ser reproduzidos. Essa é umadas vantagens da experimentação, pois atra-vés dela, o fenômeno pode ser recriado, ascondições diversificadas ou simplificadas, osresultados aperfeiçoados, etc.

1. Com o objetivo de determinar o período deoscilação de um pêndulo simples, um alunolistou 4 grandezas: comprimento do fio, massado pêndulo, aceleração da gravidade e o ângu-lo (amplitude) de oscilação. Como ele deveproceder experimentalmente para excluir asgrandezas que são irrelevantes na determi-nação do período do pêndulo simples que exe-cuta pequenas oscilações?

A importância da experimentação é tamanhaque, não há, na Física, campo no qual mais sebusque excelência do que no domínio experi-mental. O que não falta é motivação para obteros melhores resultados possíveis em termosde precisão e significado teórico. A Física temo compromisso com a verificação e não com acontemplação, de modo que devemos apelarpara a experiência em busca de uma resposta.

De maneira sintética, pode-se dizer que exis-tem basicamente dois tipos de experimenta-ção: do tipo didático e do tipo de pesquisa. Afinalidade dos experimentos didáticos é fami-liarizar o aluno com o manejos de técnicas, ti-rar medidas, proceder a tratamento dosdados em função das limitações dos instru-mentos, traçar e interpretar gráficos, escreverrelatórios, etc.

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A experimentação que envolve pesquisa sãoaquelas como as que foram realizados por Mi-chelson e Morley, Yang e Lee, nas quais o Físi-co se defronta com novos resultados, ou seja,são experimentos que determinaram uma mu-dança decisiva nos rumos da Física.

Nesses casos, a predição teórica e a concor-dância do resultado experimental obtido nãose resumem a uma mera coincidência numéri-ca. Os dados só servem de prova a umahipótese quando os interpretamos a partir deuma formulação matemática apropriada; docontrario, carecem de valor. Em outraspalavras, a compatibilidade entre a teoria e osdados somente se verifica por métodosmatemáticos. Em suma, os dados não falampor si sós, pois resultam da interação entre aNatureza e o observador.

1. O filme “Guerra nas Estrelas” apresenta cenasde explosões com estrondos impressionantes,além de efeitos luminosos espetaculares, tudoisso acontecendo no espaço interplanetário.Tais efeitos estão de acordo com as Leis daFísica? Justifique.

PROJETOS EXPERIMENTAIS

As atividades didático-experimentais aqui apre-sentadas têm como principal objetivo propor-cionar o contato do aluno com o fenômeno e,a partir daí, buscar sua compreensão pela açãoe pela integração do saber com o fazer, e dateoria com a prática.

A grande vantagem desse procedimento resi-de no aprender a aprender compartilhado co-letivamente entre professor-aluno, por meio:

1. do planejamento das atividades;2. da escolha adequada dos procedimentos a

serem executadas;3. da procura de solução própria para o prob-

lema;4. da análise dos resultados e deduções con-

clusivas, etc.Nesse estilo de condução, é fundamental oenvolvimento e a cooperação entre os

alunos juntamente com o acompanhamentodo professor na execução das atividadesprogramadas.

A escolha do desenvolvimento de atividades,por meio de projeto, implica a superação datradicional “aulas de laboratório”, na qual a prá-tica se submete a uma relação de dependênciacom a teoria cuja finalidade é o de apenas con-firmar ou reforçar a informação apresentadaem sala de aula, ou o que “está no livro”.

Nesse esforço de redimensionar as atividadesexperimentais padronizadas, assumindo açõesabertas, liberam-se as habilidades e as criativi-dades (manual e intelectual) dos alunos asfixi-ados pelos roteiros do tipo “receitas de bolo”.

Para concretizar esse processo, são apresen-tadas as seguintes atividades:

MECÂNICA

1. Realização de uma experiência de Galileucom o objetivo de examinar a aplicabilida-de e a determinação quantitativa da rela-

ção de uma esfera que se move ao

longo de um plano inclinado.

2. Desenvolvimento e apresentação de umaimpressionante demonstração, procuran-do descobrir, por meio dos conceitos físi-cos, o que está por trás do recorde de pú-blico durante sua exibição.

3. Estabelecer o alcance máximo de um ob-jeto uniforme maciço quando o fio no qual

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ele se encontra amarrado é cortadodurante sua trajetória.

4. Determinar qual deve ser a potência quevocê deve fornecer para a roda traseira desua bicicleta de modo a ser capaz de man-ter, numa pista horizontal, uma velocidadede aproximadamente 12m/s. (DICA: paraevitar que sua cabeça crie muita turbulên-cia, curve-se sobre o guidão e considere ocoeficiente de arrasto da ordem de 1,00 ea área frontal igual a 0,463m².)

TERMODINÂMICA

1. Elabore um experimento com um líquido(água, óleo, etc.) para reproduzir a experiên-cia de Torricelli sobre a pressão atmosférica.

2. Faça uma prensa hidráulica (usando serin-gas, por exemplo) para verificar o princípiode Pascal.

3. Construa um calorímetro para medir o calorespecífico de um corpo.

4. Elabore um experimento para observar adilatação térmica de um sólido ou de umlíquido.

5. Mostre como ocorre transmissão de calorpor convecção num gás sob aquecimento,usando, por exemplo, latas de refrigerantesem forma de cata-vento.

ÓPTICA

1. Para evidenciar a propagação retilínea daluz, construa uma câmara escura de orifício.Trata-se de uma caixa de paredes opacas(pode ser uma caixa de sapatos) com umpequeno orifício em uma das paredes. Façaque a luz atravesse o orifício. Varie as di-mensões do orifício. Tente prever o que ocor-rerá com o feixe de luz ao passar pelo orifí-cio. Como se comporta a luz? Em que situa-ção o “desvio” da luz aumenta ou diminui?Relate o que você observou.

ELETROMAGNETISMO

1. Em meados do século XIX, surgiu a hipóte-se de que a energia poderia entrar ou sairde um sistema por meio do calor e do traba-lho realizado. Isso ocorreu em 1843, quan-

do surgiu, no meio científico, um artigo deJames Prescott Joule (1818-1889), com otítulo: Sobre a produção de calor pela eletri-cidade voltaica. Descreva em detalhes essefenômeno.

Em que a estrutura da matéria influencia es-se fenômeno? Cite exemplos claros de suaaplicação.

2. As leis da indução eletromagnética propor-cionaram um grande avanço para os nos-sos dias. Após o advento da pilha elétrica,uma imensa expectativa se formou em fun-ção das possibilidades de desenvolvimentona geração de energia elétrica. Mostre ofuncionamento de um motor elétrico, cons-truindo um modelo simples desse aparato ejustifique seus princípios físicos.

APLICAÇÃO DAS LEIS DE MAGNETIZAÇÃO

Esta experiência exige material específico, quenem sempre está disponível (ou acessível) enem sempre pode ser improvisado. No entantoé uma atividade fascinante, pois envolve intera-ções a distância, invisíveis e por isso tem carátermágico.

Vamos precisar de uma bobina de 300 espiras defio esmaltado de cobre de 1,5mm de diâmetro. Ocomprimento da bobina é de cerca de 6cm, comnúcleo vazado de seção quadrada de 3cm delado, onde se encaixa um núcleo de ferro de pelomenos 15cm de comprimento (podem-se empil-har 2 ou 3 barras verticalmente para obter essecomprimento). A ligação dos terminais da bobinaà rede elétrica deve ser feita com fio flexível, depelo menos 2mm de diâmetro, com um pluguede boa qualidade para corrente de 15A. É interes-sante usar um interruptor de campainha para amesma corrente.

Apóie a bobina sobre a mesa, de modo que onúcleo de ferro fique na vertical e encaixado atéa base.

Agora você precisa de um anel de alumínio ou decobre, que envolva, com folga, o núcleo de ferro.Você pode conseguir esse anel cortando uma fatiade 1cm de um cano de alumínio ou de cobre com,mais ou menos, 3 ou 4cm de diâmetro.

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Ligue a bobina e coloque o anel no núcleo. Elenão cai, mas fica levitando em volta do núcleo.Desligue a bobina. O anel cai. Em seguida, liguenovamente a bobina. O anel dá um violento sal-to, atingindo uma boa altura.

Para estudar esse experimento, lembre que acorrente elétrica da rede é alternada. Como vo-cê pode “ver” esse fato? Pesquise as leis deFaraday e de Lenz.

Se você tiver outro anel, serre-o e repita o ex-perimento. O que ocorre? Por quê?

AVALIAÇÃO DO TRABALHO

Após a definição das equipes, estabeleça comseu professor um planejamento para a exe-cução da atividade (os prazos, as metas, aconstrução de um calendário, o que estudar epesquisar, as formas de medição, etc.).

Juntamente com os demais integrantes da equi-pe, defina as atribuições de cada membro, aseleção dos materiais e os instrumentos demedidas, o local e a hora de trabalho e de estu-do, etc.

A avaliação constará de dois momentos, emdatas a serem especificadas antecipadamente:

1. Entrega do relatório detalhando e compro-vando todo o processo de desenvolvimentodo trabalho, ao qual devem ser anexados: asetapas do planejamento e o calendário daexecução das ações; o cronograma de pla-nejamento, as tabelas, os gráficos, as fotos,os vídeos, etc.

2. Exposição do trabalho na forma de apre-sentação de seminário.

CÁLCULO DA MÉDIA.

Será atribuída, para cada uma dessas ativi-dades, uma nota de zero a dez.

A nota final será a media aritmética desses doismomentos, que será atribuída a cada integran-te da equipe.

MODELOS FÍSICOS

A compreensão dos mecanismos ocultos e/oudesconhecidos da Natureza, visando tornar osfenômenos previsíveis, ocorre por meio da cons-trução de modelos teóricos: um esquema con-ceitual ou um conjunto de idéias extremamenteabstratos que a mente livremente inventa ou pos-tula com a finalidade de ser capaz de explicare predizer, quantitativamente, o que o Universoesconde em seu interior.

Um modelo é, pois, uma espécie de guia queexiste apenas na imaginação do cientista, queemprega tanto para o estabelecimento dos pres-supostos fundamentais de uma teoria, quantopara a fonte de sugestões que permitem ampli-ar ou romper essa teoria. Para descrever, porexemplo, a natureza interior da matéria, admi-te-se a existência dos quarks e, a partir daí,constrói-se um modelo atômico para a matéria.

Esse ideal de tentar explicar a realidade pormeio da construção de entidades imagináriasfoi obra do filósofo grego Platão (séc.IV a.C.),que propôs a seus discípulos que tentassem“salvar o fenômeno” do movimento retrógradodos planetas admitindo, racionalmente, que elesse movessem em círculos (ou como combina-ção de vários movimentos circulares) em tornoda Terra com velocidades constantes.

Na tentativa de satisfazer essa condição, o ma-temático Eudóxio de Cnido propôs um modelogeocêntrico para o movimento planetário, con-stituído de 27 esferas homocêntricas. Posterior-mente, Aristóteles e Calipo aperfeiçoaram o mo-delo de Eudóxio, ampliando para um total de55 a quantidade de esferas cristalinas. Seguin-do adiante, Cláudio Ptolomeu, séc. II d.C., de-senvolveu um modelo maravilhosamente edifi-cado por meio das seguintes entidades geomé-tricas: ciclos, epiciclos, deferentes e equantes.Evidentemente que essas “rodas dentro de ro-das” não existiam realmente no espaço, nãopassavam de pura ficção matemática útil.

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Como se vê, o modelo não tem a pretensão deretratar a realidade física, mesmo porque nema imagem necessita ser uma reprodução fiel,nem muito menos direta de um objeto ou deum sistema físico. A principal função de ummodelo é tornar visível ao “olho da mente” aestrutura hipotética de um objeto de estudo.

Assim, quando falamos no modelo de uma nu-vem, não nos estamos referindo a uma nuvemfeita em escala com algodão. Estamos descre-vendo o que acontece nas nuvens em funçãode propriedades que podemos medir no labo-ratório, das idéias e das Leis Físicas testadas,que mostram as relações entre tais medidas.No Universo Mecânico, o comportamento dosfenômenos naturais que nos cercam é atribuí-do a uma estrutura particulada da matéria.

Assim, uma vez admitido o conceito de partícu-la como abstração útil para tratar a complexi-dade das situações vividas, emprega-se nadescrição do movimento de qualquer móvel,independente de seu tamanho, tal como omovimento de um barco que se move pelo rioAmazonas, a queda de um ouriço de castanha,a órbita de um planeta. Isso equivale a predi-zer, quantitativamente, a trajetória, a velocida-de num dado instante de tempo, a aceleração,etc. Com essa transição de um mundo real aoimaginário, as leis do movimento tornam-seaplicáveis a qualquer corpo.

Consideremos, por exemplo, o caso da cons-trução de um modelo para um gás ideal. Casodesejemos determinar, do ponto de vista mi-croscópico, a energia interna U em termos dasvariáveis macroscópicas P, V e T, devemos fa-zer algumas suposições; uma delas é de que aamostra do gás se constitui, numa primeiraaproximação, de partículas (pontos materiais).

Ainda que, na Natureza, os processos macros-cópicos sejam irreversíveis, com auxílio da Má-quina de Carnot é possível construir o modelode um processo reversível capaz de auxiliar acompreensão dos processos irreversíveis.

Na época em que Maxwell estava desenvolven-do sua teoria eletromagnética, modelos me-cânicos utilizando o conceito de éter luminí-fero, como meio propagador da luz, eram am-plamente utilizados para produzir explanaçõessatisfatórias.

1. Analise as duas declarações abaixo:

1.a afirmação:

“Na Teoria Cinética dos Gases, tal como se encon-

trava desenvolvida no século XIX, admitia-se que as

Leis de Newton para o movimento se aplicavam ao

estudo do movimento e das colisões entre molécu-

las”.

2.a afirmação:

“No século XX, verificou-se que a Mecânica New-

toniana era aplicável não apenas no estudo do

movimento molecular, mas também do movimento

dos átomos no seio das moléculas”.

Com base nos seus conhecimentos, explique,

minuciosamente, se essas firmações são ver-dadeiras ou falsas.

Fazendo-se uso do formalismo matemático, oconteúdo empírico (efeitos observáveis) deuma teoria pode ser expresso por conjunto desentenças, em que os termos não interpreta-dos do cálculo são substituídos por outros ter-mos ou conceitos físicos já conhecidos. Pode-mos obter, por exemplo, a equação de estadodo gás relacionando as variáveis macroscópi-cas P, V e T.

Robert Boyle realizou muitas experiênciassobre a pressão dos gases e descobriu umaLei que leva seu nome. Encontrou que se o vo-lume se reduz pela metade, a pressão aumen-ta ao dobro.

Assim, pela manipulação das equações, po-demos fazer similitudes e analogias estruturaise funcionais entre as propriedades do modelopor meio das equações matemáticas que setransferem para uma dada teoria Física.

1. Esquematize um modelo que explique a Lei deBoyle

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O modelo, nesse sentido, é uma representaçãodo cálculo por meio de regra de correspondên-cia com os termos da observação empírica quedescrevem um dado fenômeno, cuja teoria pre-tende explicar. Por exemplo, uma regra de cor-respondência, expressando uma relação dire-tamente proporcional, pode servir para coor-denar o conteúdo empírico, por exemplo, tem-peratura, com o termo designado de energiacinética. De modo que podemos também ex-pressar que a “temperatura de um gás é dire-tamente proporcional à energia cinética médiadas moléculas de um gás”.

Em vista disso, uma equação do tipo, por exem-plo, X+ n2X = 0 pode representar, numa pri-meira aproximação, o movimento de um sis-tema massa-mola ou de um pêndulo. Todaviasabe-se que, para esse modelo adequar-se aosresultados empíricos, ele precisa sofrer modifi-cações.

1. Indique algumas vantagens e desvantagensdos modelos teóricos.

2. Faça a distinção entre modelo físico-teórico emodelo matemático

3. Quando você se movimenta numa moto ouquando põe sua mão para fora da janela de umônibus em movimento, você não sente nenhu-ma partícula colidindo contra seu corpo?Então, qual são as vantagens e as desvanta-gens de se aplicar o modelo de partícula noestudo dos fluidos?

4. Perguntado sobre quais fenômenos o modelocorpuscular da luz explica de modo simples ecorreto, um aluno enumerou os seguintes fenô-menos:

I. Propagação retilínea.

I. Produção de sombra e penumbra.

III. Reflexão.

IV. Refração.

VI. Interferência.

VII. Polarização.

Você concorda com as indicações do aluno?De qual você discorda? Explique sua resposta.

OBJETIVOS DA MECÂNICA

O tema que analisaremos, durante nossas au-las, é a Mecânica Newtoniana, também deno-minada de Mecânica Clássica, por ter sido aprimeira ciência a se constituir como uma teo-ria cientifica madura e sobre a qual foi edifica-da toda uma Filosofia da Natureza e o maravi-lhoso edifício da Física Moderna. Por con-seguinte, essas Notas de Aulas focalizarão oestudo dos conceitos fundamentais, das leis eteorias da Mecânica Newtoniana, visando esta-belecer uma conexão entre o mundo dos fenô-menos e o mundo das idéias.

Os princípios da Mecânica Newtoniana apli-cam-se não somente à Estática e à Dinâmica,mas à Acústica, à Óptica, à Termodinâmica eao Eletromagnetismo. Seus princípios esten-dem-se também aos fenômenos astronômicos,constituindo-se na chamada Mecânica Celes-te. As leis de Conservação desempenham umpapel fundamental na Mecânica Quântica.

Uma outra razão da importância dos estudosda Mecânica justifica-se pelo o fato de que, foia maravilhosa estrutura conceitual da Mecâ-nica que fomentou e potencializou a revoluçãocientifica no início do século passado, com oaparecimento da Teoria da Relatividade e daMecânica Quântica como novas e importantesáreas de Física.

Finalmente, o aspecto mais importante para aHumanidade talvez tenha sido a visão da Me-cânica como companheira inestimável e aliadainseparável na busca de soluções que respon-dam às necessidades práticas do Homem. Nãohá a menor dúvida de que, na luta pela sobre-vivência, o ser humano tenha recorrido aosprincípios da Mecânica para ajudá-lo. Nota-seisso na construção de abrigos, casas, templos,represas e embarcações; no desenvolvimentode equipamentos para erguer e deslocarcoisas; no estabelecimento de processos deorientação geográfica.

Do ponto de vista intelectual, a Mecânica, tam-bém foi indispensável para que o ser humanoformasse uma compreensão dos fenômenosque o cercam, como, por exemplo, a regulari-dade dos movimentos dos corpos celestes.

O campo de abrangência da Mecânica estáintimamente associado ao estudo do fenôme-no do movimento. O movimento, por constituir-se num dos fenômenos que, indubitavelmente

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o que mais presenciamos ao nosso redor, noscoloca frente a frente com algumas das maisprofundas questões acerca do Universo.

O mais extraordinário nessa busca é, porexemplo, descobrirmos que o movimento deuma pedra pode conter os segredos do movi-mento planetário. Como acreditar que, por trásdesse movimento tão simplório e corriqueiro,estejam envolvidos conceitos acerca da natu-reza do espaço e do tempo?

A aplicação dos conceitos da Mecânica, entre-tanto, não se reduzem apenas à compreensãode fenômenos do mundo físico cotidiano, elessão essenciais também para o entendimento defenômenos em escalas atômicas e cósmicas.

O conceito de energia, por exemplo, é essen-cial para o estudo da evolução do universo,das propriedades das partículas elementares,dos mecanismos que regem as reações bio-químicas; é essencial também na análise docrescimento das sociedades industriais, no“design” de construção de motores, etc.

Portanto qualquer Curso de Física Fundamen-tal deve fornecer uma visão geral da estruturae dos métodos da Mecânica Newtoniana quefizeram dela uma ciência tão bem-sucedida.No entanto é um equivoco esperar que estecurso apresente adequada e rigorosamente to-do o conteúdo abrangido pela Mecânica New-toniana. Para que tenhamos um bom Curso deFísica Fundamental, vamos priorizar e enfatizaros conceitos, as leis e as teorias básicas daMecânica Newtoniana.

Por fim, chamamos a atenção para o fato de queestas Notas de Aulas estão estruturadas e con-struídas diferentemente da tradição dominante.Optamos pela apresentação de um tratamentounificado e global da estrutura sobre a qual seassenta a Mecânica Newtoniana, dadas as suassimilaridades conceituais e matemáticas.

Para melhor compreender as idéias presentesnas teorias da Mecânica Newtoniana, tentare-mos abordá-las, sempre que possível, sobuma perspectiva histórica: como foram cons-truídas, tomaram forma, rompem os obstácu-los epistemológicos e desaparecem.

O conhecimento da evolução das idéias ajuda-nos, por exemplo, a compreender o ponto devista aceito modernamente de inércia. Outras

vezes, análise de casos bem particulares(queda livre) pode também ser um ponto departida valioso para a discussão geral de umaLei Física, por exemplo, a Lei da GravitaçãoUniversal. Muitos conceitos físicos podem tor-nar-se familiares por meio da abordagem unidi-mensional do problema em vez da análise ime-diata em três dimensões; exemplo: o conceitode quantidade de movimento.

Apesar de toda essa importância e riquezaconceitual da Mecânica Newtoniana, não po-demos esquecer que todas as teorias físicaspossuem um domínio de validade, isto é, sãoaplicáveis até um certo limite. Fora desse do-mínio, não há garantia de sobrevivência, e aanálise do fenômeno requer outro tratamento,outra teoria, outros equipamentos experimen-tais, etc. O esquema abaixo, mostra, de formaquantitativa, os intervalos de validades para asdiversas áreas da Física.

DOMÍNIO NÃO-FÍSICO!?

Na passagem de um domínio de estudo para aoutro, embora as teorias físicas utilizem termoscomuns, seus significados são diferentes. Porexemplo, na análise dos movimentos com ve-locidades próximas à da luz (c = 3x108 m/s), osconceitos básicos da Mecânica Newtoniana re-querem uma drástica modificação. Na Me-cânica Newtoniana, o espaço é absoluto e Eu-clidiano, enquanto na teoria de Einstein, oespaço é curvo. Um extraordinário contraste,não é mesmo?

Atente para este outro exemplo: de acordocom a Teoria da Relatividade Geral, a matéria éum aspecto do espaço – tempo (que é contín-uo e determinista) enquanto na MecânicaQuântica, a matéria é descontínua ou particula-da dotada de características ondulatória e fun-damentalmente não determinante.

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TEMA 02

FUNDAMENTOS DA TEORIAELETROMAGNÉTICA

O que é eletricidade ?

É quase impossível pensarmos em um mundosem energia elétrica. Com exceção dos fenôme-nos governados pela força gravitacional (que-da dos corpos e movimento dos planetas),praticamente todos os fenômenos físicos e quí-micos que observamos em nosso cotidianosão regidos pelas forças elétricas.

Os fenômenos elétricos são inumeráveis: a ele-tricidade produz-se espontaneamente sobre aterra e na atmosfera; circula em forma de cor-rente, criada por pilhas, dínamos; encontramo-la nos dispositivos que produzem raios X, on-das de rádio, raios catódicos e nas emissõesde radiações por substâncias radioativas.

Para compreender a eletricidade, precisamosde uma abordagem gradativa, em etapas, emque cada conceito servirá de alicerce para ooutro.

Então, muita calma nessa hora!

Ao estudar conceitos básicos, se você for rápi-do em excesso, eles podem tornar-se difíceis,confusos e até mesmo frustrantes.

Os conceitos que veremos tiveram origemnuma estranha propriedade de uma resina aoser esfregada em um pedaço de lã: o âmbar,que tinha a capacidade de atrair para sipequenos objetos.

Iniciou-se, então, uma nova ciência – a eletrici-dade.

O ÂMBAR

Desde a antiguidade, dos antigos povos gre-gos até os nossos dias, sempre houve a con-

vicção de que a eletricidade é uma proprie-dade da matéria. O que significa que sua inter-pretação, sua explicação, dependeria da com-preensão da estrutura elementar da matéria.

E logo se descobriu, por meio de ensaios ex-perimentais, que são as nossas ações sobre amatéria que evidenciam essa propriedade. Daí,as idéias, as hipóteses teóricas, os ensaiosexperimentais dos fenômenos de natureza elé-trica foram os mais variados, no entanto nemsempre se obteve muito sucesso.

Alguns filósofos da Grécia antiga, entre elespodemos citar Tales de Mileto, cerca de 630a.C., já sabiam que o atrito comunica ao âmbar(resina fóssil de pinheiro, de cor amarelatranslúcida) a propriedade singular de atrair oscorpos leves e de produzir faíscas quando delese aproxima o dedo.

Eles já admitiam que a matéria deveria ser for-mada por minúsculas partículas indivisíveis.Mas foi no fim do século XVIII e início do sécu-lo XIX, devido aos trabalhos dos cientistasLavoisier, Proust e Dalton, que se chegou à con-clusão de que todo e qualquer tipo de matériaé formado por partículas extremamente peque-nas denominadas átomos.

Veja que essa idéia volta o olhar da comu-nidade científica para o mundo microscópico,“o mundo que não se vê”, ou seja, “o mundoinvisível” formado por átomos que vão comporo mundo macroscópico, “o mundo que se vê”.

Foi desse modo que se originou a teoria atômi-ca, cujas idéias básicas são válidas até hoje. Ecom ela, a certeza de que a eletricidade é umapropriedade das partículas elementares quecompõe o átomo.

Segundo o modelo atômico atualmenteaceito, o átomo é formado por três tipos departículas: prótons e nêutrons, que formamum núcleo compacto, em torno do qual cir-cundam os elétrons. E essas constituem amatéria macroscópica.

Na figura a seguir, como exemplo, temos oátomo de lítio: à esquerda, neutro, com trêsprótons no núcleo e três elétrons circundandoesse núcleo. Ao centro, um íon positivo é obti-do removendo-se um elétron do átomo neutro.À direita, um íon negativo é obtido adicionan-do-se um elétron ao átomo neutro.

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No decorrer do tempo, experiências foram fei-tas, demonstrando-se que prótons e elétrons seatraem; também comprovaram que prótons, aointeragirem, repelem-se, e que os elétrons tam-bém se repelem mutuamente. Os nêutrons nãosofrem nenhuma força, a não ser a gravita-cional, no entanto desempenham importantepapel ao aumentar a distância entre os prótons.

A propriedade fundamental e característicaque produz a atração e a repulsão entre essaspartículas é chamada Carga Elétrica.

AS INTERAÇÕES ENTRE AS CARGAS

Inúmeras partículas positivas e negativas estãounidas pela imensa atração da força elétrica.Nessa imensa massa compacta, que mais pa-rece um formigueiro de partículas negativas epositivas, as enormes forças elétricas equili-bram-se quase que perfeitamente. Esse, formi-gueiro são os átomos que constituem a matéria.

Quando dois ou mais átomos se juntam paraformar uma molécula, ela também é constituídade partículas positivas e negativas equilibradas.

Assim como estão equilibradas as forças elétri-cas quando trilhões de moléculas se juntampara formar um pedacinho de matéria.

Preste atenção! Entre dois pedaços de maté-ria, praticamente não há atração ou repulsãoelétrica, pois cada um deles está em equilíbrioeletrostático, ou seja, cada um possui o mes-mo número de partículas positivas e negativas.

Podemos usar os corpos celestes como exem-plo. Entre esses corpos, não há qualquer resul-tante da força elétrica. A força gravitacional,muito mais fraca e sempre atrativa, é que ficacomo a força predominante entre esses cor-pos. Como foi definido e demonstrado pornosso tutor maior, Isaac Newton, em suagrande obra O Princípia.

Mais adiante, entraremos em maiores detalhese estudaremos a respeito das cargas elétricase as suas interações.

Em 1770, aproximadamente, Benjamim Fran-klin, o inventor do pára-raios, fazia experiên-cias com a eletricidade das nuvens por meiode um papagaio. Franklin pode ser considera-do um dos pioneiros no estudo científico daeletricidade. Foi ele quem primeiro usou os ter-mos positivo e negativo, que prevalecem atéos dias de hoje. A escolha por representar ascargas com sinais matemáticos era em funçãodo saldo ou déficit de eletricidade em umcorpo, mas indica também a preocupação dosfísicos, já naquela época, em descrever mate-maticamente os fenômenos físicos.

A partir daí, Charles Augustin de Coulomb(1736-1806), estabeleceu a lei quantitativa, apartir da qual uma teoria matemática determinaa quantidade elétrica, a força, o trabalho, opotencial, etc., isto é, o Campo Elétrico.

A MAGNETITA

Depois, foi constatado que os ímãs em formade barras, ao serem suspensos de maneira agirarem livremente, giravam e se orientavam nadireção norte-sul da Terra. Essa propriedadepossibilitou a construção das bússolas, instru-mento de excepcional importância para asgrandes navegações.

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O ELETROMAGNETISMO

Como podemos perceber, a eletricidade e omagnetismo eram tidos como questões distin-tas. Possuíam ‘causas’ diferentes. Do século VIa.C. até o fim do século XVI, nenhuma expli-cação desses fenômenos havia sido dada.Porém, mesmo assim, várias experiênciasobtiveram resultados práticos: AlessandroVolta (1745-1827), cientista italiano e pesqui-sador experimental da eletricidade, descobre apilha, e a eletricidade, até então estática, passaa ser dinâmica, fluindo através dos condutorese estabelecendo fenômenos magnéticos, calo-ríficos, químicos, etc. Esse advento marca novaetapa: a Corrente Elétrica. As pesquisas deAndré Marie Ampère (1775-1836) marcam osestudos sobre o Campo Magnético da cor-rente elétrica, explicando-os e estabelecendoas leis que definem qualitativa e quantitativamen-te o campo magnético da corrente. Em 1820, odinamarquês Hans Christian Oersted (1777-1851) mostrou uma conexão entre o efeito elé-trico e o efeito magnético em um experimentoque possibilitou a construção dos motores elé-tricos e do telefone. A partir de então, os cam-pos elétrico e magnético são inseparáveis econstituem o Eletromagnetismo.

TEMA 03

OS ALICERCES DA MECÂNICA DOS FLUIDOS

ARISTÓTELES (384 – 322 a.C.) apresentou al-guns conceitos referentes ao movimento dosprojéteis e à resistência do ar, embora muitacoisa que ele pressupôs mostrou ser equivoca-da. Mas ele argumentou que os fluidos devemser contínuos, isto é, por pequena que sejauma porção do fluido, mesmo assim ela é aindadivisível. Em geral, todas as suas concepçõesfísicas pressupunham a existência de um meiomaterial em que os corpos se movem. Ele con-siderava que, em ausência de um meio materi-al, o movimento de um corpo se daria com ve-locidade infinita (sabemos que isso não estácorreto). Pelos estudos de Aristóteles, verifica-mos que ele estava envolvido com os primeirospassos da mecânica dos fluidos.

ARQUIMEDES viveu aproximadamente entre287 a 212 a.C., na cidade de Siracusa, na Gré-cia. Era matemático e engenheiro, fez seus es-tudos em Alexandria. Podemos dizer que foi oprimeiro a examinar a estrutura interna doslíquidos. Ele chegou a afirmar que os fluidosnão podem ter espaços vazios internamente,significando que eles devem ser contínuos. Eleteve também noção da pressão hidrostática deum fluido e de sua transmissão em todos ossentidos. No tratado de Arquimedes, intituladoSobre os Corpos Flutuantes, ele apresenta oatualmente chamado de Princípio de Arquime-des. Na realidade, o trabalho de Arquimedes éconseqüência de várias proposições que elefaz no tocante ao comportamento dos sólidosem um fluido.

Seu estudo mais famoso consta de um proble-ma apresentado pelo rei Hierão II: descobrir sea coroa encomendada pelo soberano a umourives era de ouro maciço ou se o artesãomisturou prata em sua confecção. A soluçãodo problema ter-lhe-ia ocorrido por acaso, emuma casa de banho, ao perceber que o volumeda água derramada da banheira cheia era opróprio volume de seu corpo. A euforia pela

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descoberta fê-lo sair pelas ruas, sem roupa,gritando: Heureka! Heureka! Arquimedes mer-gulhou a coroa num recipiente com água emediu o volume derramado; a seguir mergu-lhou blocos de ouro maciço e de prata maciçacom pesos iguais ao da coroa, medindo os vo-lumes derramados. O volume derramado pelacoroa, ficou entre os volumes derramados pe-los blocos de ouro e de prata, evidenciando afraude do ouvires, que teria sido condenado àmorte por esse motivo.

HERON DE ALEXANDRIA (viveu por volta doséculo II d.C.) também deu contribuição para oestudo aplicado da mecânica dos fluidos.Descreveu diversos mecanismos, em que seutilizava ar aquecido ou ar comprimido e vapor.A Máquina de Heron é uma antepassada dasturbinas modernas. Os romanos, apesar de te-rem criado algumas formidáveis obras de en-genharia, como os famosos aquedutos queabasteciam Roma.

LEONARDO DA VINCE (1425 – 1519) foi umamistura de cientista, engenheiro, inventor, filóso-fo e artista, interessando-se por muitos assuntos.No que concerne aos rios, Leonardo disse exis-tir uma lei geral: onde a corrente transporta umagrande quantidade de água, a sua velocidade émaior e vice-versa. Em seus manuscritos, ele for-mula a mesma idéia de modo diferente: onde orio se torna mais estreito, a água flui mais de-pressa. Por isso, Leonardo chegou à lei:

vA = constante

SIMON STEVIN viveu entre 1548 a 1620, eramatemático, pode ser considerado o pioneirono estudo do equilíbrio dos líquidos. No fim doséculo XVI, a ciência italiana apresentou umperíodo de relativa estagnação; por isso, ocentro do movimento científico transferiu-separa a Holanda, onde, em 1581, Simon Stevinestudava na Universidade de Leyden, tornandose um grande professor de Matemática. Alémde realizar importantes trabalhos de Matemá-tica, Stevin deu uma grande contribuição aodesenvolvimento da mecânica, principalmenteno que se refere à estática dos sólidos e dos lí-quidos. Na sua obra, destacam-se três impor-

tantes publicações: Princípios de estática, umaespécie de continuação dos trabalhos de Ar-quimedes (teoria da alavanca, centro de gravi-dade dos corpos, etc., e o teorema dos planosinclinados), Aplicações de estática e Princípiosde hidrostática, uma importante contribuiçãoao estudo da hidrostática, entre outros assun-tos, tratando sobre o deslocamento de corposmergulhados em água e a explicação doparadoxo da hidrostática – a pressão de umlíquido independe da forma do recipiente,depende apenas da altura da coluna líquida.Influenciado pelas teorias de Da Vince,pesquisou o comportamento hidrostático daspressões, divulgando o princípio do paralelo-gramo das forças.

Embora preocupado com temas teóricos,Stevin era um homem de ação, não tendo aban-donado nunca as questões de ordem prática.Tanto que se deve a ele a demonstração dofato de que um barco é mais estável quantomais baixa a posição de seu centro de gravi-dade. E também a demonstração de que ocentro de gravidade do barco deve situar-semais abaixo que o centro de gravidade daágua deslocada pelo casco. A maior invençãodesse grande cientista foi um veículo construí-do para Maurício de Nassau, em 1600, dentrodo qual cabiam 28 pessoas e que nenhum ca-valo podia alcançar.

GALILEU GALILEI (1564 – 1642), tentandoentender o princípio de funcionamento dosifão, utiliza o conceito de velocidade virtual:uma pequena massa de líquido (contida numtubo estreito) pode ficar em equilíbrio comuma grande massa de líquido (contida numgrande recipiente), pois uma pequena descidado nível do líquido no recipiente correspondea uma grande subida do líquido no tubo.Essas observações e inferências permitiram aGalileu apresentar uma nova abordagem paraos conceitos da hidrostática de Arquimedes,pois o próprio Arquimedes usara outro pro-cedimento, ou seja, ele partiu de consider-ações estáticas, propriamente ditas, ao passoque Galileu, trabalhando com o conceito develocidade virtual, utiliza um raciocínio combase na cinemática.

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BENEDETTO CASTELLI (1577–1644) foi autorde um tratado sobre medições de água cor-rente (Della misura dell’ácque correnti, 1628).Ele utiliza a lei de Leonardo da Vinci: Av = constante.

EVANGELlSTA TORRICELLI viveu entre 1608–1647, físico italiano, foi discípulo de Galileu,tornando-se seu secretário nos últimos anos devida do notável cientista e sucedendo-o no car-go de matemático na corte de Florença. Tam-bém é conhecido como precursor de Newton eLeibniz no desenvolvimento do cálculo infini-tesimal; foi ele o responsável pela compro-vação do peso do ar.

Torricelli conseguiu resolver um problema quefoi proposto a Galileu pelo duque de Toscana.Este mandou abrir poços muito profundos, comcerca de 15m de profundidade, e a água sóconseguia subir, através de tubos, até a alturade 10m quando bombas aspiravam o ar dostubos. A explicação dada por Torricelli foi deque a pressão exercida por uma coluna deágua de 10m de altura contrabalançava a pres-são exercida pelo ar atmosférico. Estabeleceua idéia de pressão atmosférica e, para compro-var sua teoria, realizou a famosa experiênciacom um tubo de mercúrio, em vez de água.Como o mercúrio tem densidade 13,6 vezesmaior do que a da água, Torricelli concluiu quea coluna de mercúrio que deveria contraba-lançar a pressão atmosférica deveria ter umaaltura de 76cm; com essa experiência, compro-vou suas hipóteses. Ocorreu-lhe ainda que apressão atmosférica deveria mudar com a alti-tude, o que foi comprovado posteriormente porPascal.

BLAISE PASCAL viveu entre 1623 e 1662;matemático, físico e filósofo francês, foi o autorda famosa frase: “O coração tem razões que aprópria razão desconhece”. Seus trabalhos emMatemática e Física foram notáveis. Inventorda primeira máquina de calcular, patenteadacom o nome de “La Pascaline”, tornou pratica-mente possível a estrutura das modernas cal-culadoras. Deu uma contribuição para o estu-do do cálculo combinatório e para a teoria dasprobabilidades.

No campo da Física, sua tendência foi de va-lorizar a experimentação. Pascal preferiu de-dicar-se a experiências diretas, principalmenteporque havia decidido resolver alguns proble-mas sobre os quais os cientistas discutiam hábastante tempo, sem conseguir chegar a umaconclusão definitiva. Na hidrostática, ele esta-beleceu que a pressão exercida em um pontode um líquido transmite-se a todos os outrospontos. Prosseguindo os estudos de Torricelli,Pascal usou o dispositivo criado pelo cientistaitaliano como barômetro, comprovando, expe-rimentalmente, que a coluna de mercúrio dimi-nui à medida que se escala uma montanha.Concluiu, desse modo, que a pressão atmos-férica diminui com o aumento da altitude.

DANIEL BERNOULLI (1700–1782), em seulivro Hydrodynamica, publicado em 1738, estu-da a relação entre a pressão e a velocidadenum líquido ideal (viscosidade nula e incom-pressível), ao longo de um tubo horizontal, queparte do fundo de um reservatório.

No entanto a “equação de Bernoulli”, que éconhecida hoje, não foi obtida diretamente porBernoulli, mas sim por Joseph Louis Lagrange(1736–1813), com base na integração das equa-ções diferenciais de Leonhard Euler (1707–1783), utilizando uma matemática mais avan-çada. Euler foi o grande arquiteto da Mecânicados Fluidos. A equação de Bernoulli pode serconsiderada a equação fundamental da hidro-dinâmica dos escoamentos laminares de flui-dos ideais não compressíveis.

O físico italiano GIAMBATTISTA VENTURI(1746–1822) combinou as leis de Leonardo daVince e de Bernoulli-Lagrange com o manôme-tro de Torricelli, construindo um dispositivochamado tubo de Venturi, que serve como umdispositivo para medir a velocidade de escoa-mento do fluido.

Em fins do século XVIII, a hidrodinâmica haviachegado a um ponto a partir do qual qualquerdesenvolvimento posterior do assunto exigiriaa introdução da viscosidade em suas equa-ções. Com isso, a manipulação matemática doassunto ficou muito mais complicada, mas tor-nou-se necessário assim proceder. Esta será acontribuição do século XIX e do século XX.

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JEAN LE ROND D’ALEMBERT (1717–1783),estudando a resistência experimentada por umcorpo sólido que se move com velocidade cons-tante num fluido ideal e incompressível (fluidoao qual se aplica a equação de Bernoulli) ficousurpreso ao constatar, depois de rigorosa aná-lise matemática do problema, que essa resis-tência seria nula. Esse resultado é um para-doxo, pois, experimentalmente constata-se que,apesar de tudo, essa resistência existe e cres-ce com a velocidade com o que o corpo semove em relação ao fluido.

No século XIX, foi desenvolvida uma célebreequação para os fluidos viscosos: equação deNAVIER- STOKES, mas, por se tratar de umaequação não-linear, ela é de difícil solução.Muitos casos de interesse técnico não pode-riam ser resolvidos por meio dessa equação.Sendo assim, os engenheiros, interessados emcasos concretos de aplicação da mecânicados fluidos, mostraram-se decepcionados coma hidrodinâmica clássica. Havia belas equa-ções matemáticas, mas pouco adequadas pa-ra seus fins práticos.

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UNIDADE IIAs Forças Fundamentais da Natureza

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Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza

TEMA 01

O CONCEITO DE FORÇA

INTRODUÇÃO

O conceito de força é primário e, como tal, ca-rece de definição. Desde a infância, estamosacostumados a associar, de forma intuitiva esubjetiva, o efeito cinestésico proveniente doesforço muscular que exercemos para, porexemplo, empurrar, puxar ou erguer um deter-minado objeto. Da experiência cotidiana tam-bém aprendemos a avaliar qualitativamente oefeito da direção da força, pois, ainda que o es-forço muscular exercido seja o mesmo, a dire-ção da força para empurrar um corpo sobreuma superfície não é a mesma para erguer ocorpo. Assim, sem saber, você aprende, desdecedo, a associar à Força uma intensidade euma direção. Uma força, portanto, é uma açãoque deforma, movimenta ou muda o estado demovimento e de repouso de um corpo.

1.1 AS FORÇAS FUNDAMENTAIS DA NATUREZA

Predizer os movimentos a partir do conheci-mento das Forças de modo a determinar a tra-jetória é uma das mais importantes aplicaçõesda Física. Se cada par de partículas no Uni-verso tivesse sua interação característica, a ta-refa tornar-se-ia impossível, pois colocar emordem todas as observações experimentais pa-ra encontrar a força pode transformar-se numatarefa extremamente tediosa e difícil. Felizmen-te, a natureza é um sistema muito mais simplesdo que isso.

Até onde sabemos, existem quatro tipos dife-rentes de interações fundamentais no Univer-so: a gravitacional, a eletromagnética, a forçanuclear forte e a força nuclear fraca.

As interações gravitacionais e eletromagnéti-cas podem atuar a grandes distâncias, poisdecrescem com o inverso do quadrado da dis-tancia. Contudo a força gravitacional é sempreatrativa, enquanto que a força eletromagnéticapode ser atrativa e repulsiva.

Na natureza, a interação que nos é mais fami-liar é a Interação Gravitacional. Na realidade,não “sentimos” essa interação; o que presen-ciamos são forças de interação de contatos(compressões, trações ) que costumam equili-brar-se nas nossas atividades diárias; é a forçaresultante da interação gravitacional (ou peso).

A FORÇA OU INTERAÇÃO GRAVITACIONALdeve-se a ação das massas (m) e apresenta asseguintes características:

1. É uma interação atrativa.

2. Varia com o inverso do quadrado da distân-cia (F α 1/r2 ). (Figura 01)

3. É sensível se pelo menos uma das partícu-las tiverem uma massa muito grande.

4. É a que mantêm os planetas em órbita aoredor do Sol, mantêm-nos ligados à Terra eproduz as marés.

Fig. 1

FORÇA PESO

Quando um objeto cai em queda livre, a forçaque atua sobre ele é de atração gravitacionalcom que a Terra puxa o corpo para baixo. EssaForça que atua sobre o corpo verticalmente pa-ra baixo na direção do centro da Terra é o quedenominamos de “Peso de um corpo”, dadopela seguinte relação: Fg = Peso = m.g.

Desse modo, se você conhece a massa do cor-po e o valor da aceleração da gravidade (g) deuma determinada localidade, você pode deter-minar a massa ou peso do corpo. Assim, opeso do corpo muda quando o transportamosda Terra à Lua. Entretanto a massa do corpopermanece constante. O peso é a força da gra-vidade atuando sobre um objeto (quer ele este-ja caindo ou não). A massa de um corpo, entre-tanto, é uma propriedade intrínseca do corpo.

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CENTRO DE GRAVIDADE.

Ao nos referirmos à Força Gravitacional (Peso),verificamos que a gravidade puxa todas as par-tículas do corpo para baixo. Como a gravidadeage de maneira diferente sobre cada partículado corpo, o peso de um corpo, ou seja, a resul-tante de todas essas forças está aplicada numdeterminado ponto geométrico do corpo. Por-tanto denominamos de CENTRO DE GRAVI-DADE o ponto no qual o peso está aplicado.

Nos sistemas macroscópicos, a interação ele-tromagnética de atração e de repulsão se can-celam permanecendo, no entanto, a força gra-vitacional. Por esta razão, a força gravitacionaldomina a Escala Cósmica do nosso Universo.

Inversamente, o Universo ao nosso redor é do-minado pelas interações eletromagnéticaspois, numa escala atômica, elas mais intensasque as forças gravitacionais. As interaçõeseletromagnéticas são responsáveis pela aestrutura dos átomos, moléculas, formas maiscomplexas de matéria e, também, pela aexistência da luz.

FORÇA (OU INTERAÇÃO) ELETROMAGNÉ-TICA deve-se à existência de cargas elétricasem repouso ou em movimento. Apresenta asseguintes características :

1. Pode ser atrativa se as cargas tiverem sinaiscontrários, ou repulsivas se as cargas tive-rem os mesmos sinais.

2. Varia, também, com o inverso do quadradoda distância.

3. É a responsável pelas chamadas forças decontato, que se manifestam todas as vezesem que dois corpos são comprimidos um so-bre o outro. Por exemplo, um livro sobre umamesa.

4. Leva em conta atrito, tensão superficial, vis-cosidade.

5. É a responsável pela rigidez e pela força elás-tica dos materiais, a chamada “força detração”, que se manifesta nos fios, nas cor-das, nos cabos, nas correntes.

1. Suponha que o nosso Universo não tenha aforça gravitacional e que somente as forçaseletromagnéticas mantenham todas as partícu-las unidas. Admita que a Terra tenha uma car-ga elétrica de 1 Coulomb.

a) Qual deveria ser a ordem de grandeza dacarga elétrica do Sol para que a Terra tives-se exatamente a mesma trajetória do uni-verso real?

b) Se, neste estranho Universo, também nãoexistisse a força eletromagnética, certa-mente não haveria nem o Sol e nem os pla-netas. Explique por quê.

As forças de interação nuclear (forte e fraca)têm um curto alcance, importante somente emnível das distancias nucleares, da ordem de10–15m. A força nuclear forte é a responsávelpela manutenção do núcleo atômico coeso.Fora isso, seus efeitos são pouco perceptíveisem nível dos fenômenos cotidiano.

A força nuclear forte apresenta as seguintescaracterísticas :

1. Tem alcance reduzido da ordem de 10-15m,o que corresponde ao diâmetro do núcleo.

2. Existe unicamente entre certa classe de par-tículas, conhecidas como HÁDRONS, quese subdividem em:

i) MÉSONS – partículas ligeiras:

ii) BÁRIONS – partículas pesadas:

A força nuclear fraca desempenha uma funçãofundamental para o entendimento dos fenôme-nos radioativos, mas somente pode ser detecta-da por meio de complexos experimentos. Ela émenos conhecida e não muito bem compreen-dida. Apresenta as seguintes características :

1. Apresenta um alcance muito reduzido, deordem 10–17m.

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2. Manifesta-se somente em certos processosde decaimento de partículas (desintegra-ção, radioatividade beta).

3. É responsável pelo início da reação decadeia que leva à fusão nuclear, por meioda qual o Sol nos alimenta de energia.

Somente para que você tenha uma noção deintensidade dessas diferentes interações, com-paremos o que ocorre quando se tem comopadrão a força entre dois prótons a uma distân-cia de 10–15m.

Nosso objetivo com esta síntese é compreen-der como as forças que nos são familiares eimportantes no estudo da Mecânica podem serentendidas como manifestações macroscópi-cas dessas quatro interações fundamentais.

Assim, podemos entender qualitativamente asforça de contato, tais como a força que um livroexerce sobre uma mesa, a força numa mola, numbastão, num barbante, num arame, viscosidade,atrito, etc. Essas forças não são fundamentais,elas surgem das forças elétricas que atuam demaneira complicada entre uma enorme quanti-dade de átomos.

Grosso modo, podemos dizer que, num objeto,os átomos mantém-se juntos devido a forçasinteratômicas que tendem a mantê-los afasta-dos de uma certa distância finita, denominadade distância de equilíbrio. Assim, quando vocêpuxa um fio por uma de suas extremidades,cada átomo puxa vigorosamente o seu vizinho,de modo que o puxão se transmite à outraextremidade, tal como ocorre com os elos deuma corrente. A resultante de todas essas for-ças elétricas atuando sobre os átomos aparecesob a forma de uma força macroscópica, a

Tensão.

Outro exemplo de força de contato é a Com-pressão. Nesse caso, o processo é o inverso:quando se comprime um dos lado, cada átomoempurra o seu vizinho, tendendo manter a se-paração de equilíbrio, de modo que o empur-rão é transmitido à outra extremidade.

A Força Normal é o resultado da força entre osátomos de dois objetos. As regras empíricaspara uma força normal são de que a sua inten-sidade depende de quão firme é o objeto pres-sionado. A direção da Força normal é sempreperpendicular à superfície

Além do seu papel de transmitir forças, a ten-são e a compressão também podem alterar aforma do corpo, alongando-o ou encurtando-o.Pode-se obter uma explicação qualitativa doque ocorre, considerando que em um fio, porexemplo, sob tensão, cada átomo sofre umpequeno deslocamento da sua posição deequilíbrio. Apesar de as forças elétricas tenta-rem restituir os átomos a suas posições deequilíbrio, alguma elongação permanecequando o fio está sob tensão.

O atrito é outro exemplo inescapável da forçaproduzida pela eletricidade. Ainda que superfí-cies extremamente polidas possam parecerlisas, quando examinadas por meio de micros-cópios elas aparecem rugosas, repletas de sa-liências e incontáveis irregularidades. Assim,quando dois objetos são colocados em conta-to, essas saliências microscópicas tendem aentrelaçar-se ou mesmo soldar-se devido àsforças elétricas, dificultando o movimento rela-tivo das superfícies em contato.

Desse modo, quando um objeto desliza sobre

RELAÇÃO ENTRE AS FORÇAS FUNDAMENTAIS DA NATUREZA

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outro, esses pequenos pontos de solda conti-nuamente estão quebrando-se e recompondo-se. Além disso, os obstáculos entrelaçados pre-cisam ser superados por deformação ou abra-são. O resultado dessas complexas causas é ao atrito, ou seja, uma força paralela à superfícieque se opõe ao movimento do objeto.

Desde que a quantidade desses pontosmicrooscópicos de soldas seja proporcional àpressão do objeto sobre a superfície, a forçade atrito é proporcional à força normal sobre oobjeto.

Observando-se o comportamento da força in-teratômica entre dois átomos, pode-se obser-var imediatamente o quanto ele é diferente daLei de Coulomb. Enquanto a Lei de Coulombcai com 1/r2, a força interatômica varia com1/r–7.

Estudos sobre a natureza microscópica damatéria indicam que a atração a longo alcanceé resultado do cancelamento entre as atraçõese as repulsões entre os elétrons e os núcleosde dois átomos; a repulsão, de curto alcance, égovernada por efeitos quânticos que tendem amanter os elétrons dos dois átomos afastados.

Na ausência de perturbações externas na dis-tância de equilíbrio (rO), a força elétrica é nula.As grandes separações, como ocorre quandoum fio é puxado por uma de suas extremida-des, são resistidas por forças atrativas de lon-go alcance, o que fornece a tensão. Inversa-mente, as pequenas separações, como ocorrenas compressões, são resistidas por forçasrepulsivas de curto alcance, que originam aforça normal.

O fundamento microscópico para a Lei deHooke pode ser explicado pelo comporta-mento linear (reta tangente à curva) entreforça e deslocamento em torno do ponto deequilíbrio (rO).

Outros exemplos de forças de contato incluemas forças existentes numa mola, numa corda,numa vara, a viscosidade.

Uma das grandes realizações do século XX foia de os físicos terem explicado as descobertasempíricas dos cientistas do séculos anterioresem termos das propriedades atômicas da ma-téria.

1.2 APLICAÇÃO DAS FORÇAS DE CONTATO

Como examinamos acima, apesar do notávelavanço na compreensão das forças fundamen-tais, ainda hoje a dedução quantitativa das for-ças de contato, a partir das forças fundamen-tais, permanece difícil, e as velhas regras empí-ricas continuam sendo usadas. Elas foram de-duzidas pelos cientistas do século XVIII, quenão tinham nenhum conhecimentos das forçasfundamentais da natureza. Essas regras empí-ricas não passavam de simples sumários dosseus resultados experimentais.

Um exemplo de Força de Contato é aquela queexercemos quando empurramos um objeto comas mãos, ou chutamos uma bola. Tal força é oresultado do contato direto do objeto com amão ou com o pé.

FORÇA ELÁSTICA

Outra força de grande utilidade no estudo daMecânica é a Força Elástica. Ela resulta da de-formação facilmente observada, por exemplo,numa mola. Assim, quando se aplica uma for-ça (F) à extremidade de uma mola, ela se esti-ca de um determinado comprimento (x). Ces-sando a aplicação da força, a mola retorna aoseu comprimento inicial. Dada essa proprie-dade, dizemos que a Força Elástica é uma for-ça restauradora. Podemos, portanto, medir aintensidade da força a partir da deformação damola. Experimentalmente, a Força Elástica (F)é diretamente proporcional à deformação (x)que ela produz. Em termos matemáticos, essarelação é conhecida como Lei de Hooke: F =K.x, onde K é uma constante que depende daqualidade da mola. Dada essa propriedade, aForça Elástica pode ser empregada na confec-ção de dinamômetros (balança de mola), ins-trumento utilizado para medir forças.

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1. Relacione pelo menos uma das limitações daLei de Hooke

2. Descreva as etapas de uma experiência quepermita determinar a massa desconhecida (M)de um objeto com ajuda da Lei de Hooke.

3. Como você poderia usar a lei de Hooke paradeterminar, experimentalmente, a proporcio-nalidade entre a massa e a aceleração de umobjeto?

FORÇA NORMAL E A FORÇA DE ATRITO.

As forças de contato são provenientes da açãodireta entre os corpos, como ocorre quandoum livro está sobre a mesa. Um efeito óbviodas forças de contato é impedir que os corposse interpenetrem. À nível macroscópico, umaforma particularmente conveniente de descre-ver a força de contato entre duas superfíciesplanas de dois sólidos envolve a decomposi-ção (resolução), de uma força de contato emduas forças: uma paralela à superfície de con-tato, chamada de Força de Atrito, e a outraexercida perpendicularmente pela superfíciesobre o corpo, denominada de Força (ouReação) Normal.

A causa das forças de atrito, já mencionadas,são extremamente complexas. Do ponto de vis-ta microscópico, as forças de atrito de desliza-mento surgem das Forças Interatômicas quesoldam durante o deslizamento as incontáveisrugosidades ou irregularidades que as superfí-cies de contato apresentam.

Todavia, do ponto de vista macroscópico, nãose leva em consideração a origem microscópi-ca da força de atrito, operaremos com elascomo sendo uma força oposta ao movimentorelativo das superfícies de contato. Seu estudoé feito em laboratório, ou seja, as leis que re-gem o comportamento do atrito são experimen-tais, isto é, de caráter empírico, e as suas pre-dições são aproximadas.

Dessa experiência, constata-se que, dentro decertos limites, a força de atrito de deslizamen-to:

1. Depende da natureza das superfícies de con-tato:

2. Depende das condições em que se encon-tram as superfícies.

Isso explica, por exemplo, o fato de que a pre-sença de óleo ou de água no asfalto diminuir ocoeficiente de atrito entre os pneus de um veí-culo e a estrada.

3. Depende daa força de compressão que assuperfícies de contato exercem perpendicu-larmente.

4. É independente da área de contato.

A razão para isso é que, numa escala atômica,a área de contato é uma fração diminuta daárea total.

A análise experimental detida da força de atritoindica que a sua intensidade pode ser determi-nada pela seguinte expressão: fatr ≤ µ.N, emque (µ) é uma constante de proporcionalidadechamada de coeficiente de atrito.

O gráfico ilustra o comportamento das forçasde atrito estático e cinético.

FORÇA DE ATRITO DEVIDO A UM FLUIDO.

Quando um objeto sólido, tal como uma pedra,se move em um fluido (água ou gás), ele exer-ce uma força de atrito sobre o objeto. O com-portamento dessa força depende de muitos fa-tores, inclusive da forma do objeto, da sua ve-locidade e da própria natureza do fluido.

A propriedade de um fluido responsável pelaforça é a viscosidade; por isso é que a força édenominada de “força viscosa”, “força de arras-te” ou “força retardadora”.

Quando um objeto se move, por exemplo, abaixa velocidade através de um fluido, tal co-mo um gás ou um líquido, a viscosidade é pro-porcional à velocidade. Matematicamente, re-presentamos isso como: FVISC = - K. η. V.

O sinal menos indica que essa força é sempreoposta à velocidade do objeto. A constante deproporcionalidade K depende do tamanho eda forma do objeto, e η é o coeficiente de vis-cosidade, depende do atrito interno entre asdiferentes camadas do fluido.

Em geral, o cálculo de K é bastante trabalhoso,mas George Stokes mostrou que, para umaesfera de raio R, o valor de K valia: K = 6 π.R.Assim, a força de viscosidade que atua sobreuma esfera é: F = - 6 π.R. η. V.

Essa relação não é válida para grandes obje-tos. Nesses casos, a força de atrito viscoso éproporcional à área da seção transversal multi-plicada pelo quadrado da velocidade.

1. Uma gota de chuva de 0,05g cai com veloci-dade constante de 2m/s. Qual a força retar-dadora que age sobre a gota?

FORÇAS – EMPUXO

2. Quando você esta pescando com um caniço,quais são as forças que atuam sobre o peixeno instante em que você o fisga?

3. Duas esferas A e B estão ligadas por um fio eencontram-se em equilíbrio, imersas na águade um recipiente. Determine a força no fio queliga as esferas.

Dados:

Esfera A: Volume = 20cm3; Densidade =5,0g/cm3

Esfera B: massa= 120 g; densidade =0,6g/cm3

Água: densidade = 1,0g/cm3

TEMA 02

ELETROSTÁTICA

2.1 CARGA ELÉTRICAA Eletricidade é a parte da Física que estuda osfenômenos (comportamento e características)ligados às cargas elétricas.

A principal característica de uma carga elétricaé a sua capacidade de interagir com outras car-gas. Na teoria do eletromagnetismo, em que seestudam as interações elétricas e magnéticas,essa interação é mediada pelo campo elétrico,este está sempre presente em torno de umacarga elétrica. Pode-se entender o campo elé-trico como sendo uma “aura” em torno de umacarga elétrica.

A força elétrica entre dois prótons ou entre doiselétrons é sempre repulsiva, no entanto um elé-tron e um próton sempre se atraem. Então, hádois tipos diferentes de carga elétrica, a doelétron, que caracterizamos: negativa, e a dopróton que caracterizamos: positiva.

Fenômenos como os relâmpagos sugerem avasta quantidade de cargas elétricas positivase negativas que está armazenada nos objetosque nos cercam, que, em grande parte, se can-celam mutuamente, mantendo uma condiçãode neutralidade elétrica nesses objetos. Ape-nas quando esse equilíbrio elétrico é perturba-do é que a natureza nos revela os efeitos dodesequilíbrio de cargas positivas e negativas,produzindo efeitos externos.

Quando definimos um objeto como “carrega-do”, estamos assumindo que ele tenha umdesequilíbrio de cargas, ou seja, excesso decargas positivas (prótons) ou excesso de car-gas negativas (elétrons).

PROCESSO DE ELETRIZAÇÃO

Essencialmente, podemos dizer que um mate-rial pode ser eletrizado por meio dos proces-sos:

• Eletrização por atrito.

• Eletrização por contato.

• Eletrização por indução.

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Eletrização por atrito ocorre quando materiaisnão condutores são atritados uns contra os ou-tros. Nesse processo, um dos materiais perdeelétrons e o outro ganha, de modo que um tipode material fica positivo e outro fica negativo.Uma experiência simples consiste em carregarum pente passando-o várias vezes no cabelo.A comprovação de que ele ficou carregado éobtida atraindo-se pequenas partículas, porexemplo, de pó de giz.

A Figura acima ilustra as etapas essenciais doprocesso de eletrização por indução. Na ilus-tração, tem-se inicialmente um corpo carrega-do e outro descarregado (para que o processoseja factível, este corpo deve ser condutor). Aaproximação do corpo positivamente carrega-do atrai as cargas negativas do corpo eletrica-mente neutro. A extremidade próxima ao corpocarregado fica negativa, enquanto a extremi-dade oposta fica positiva.

Mantendo-se o corpo carregado próximo, liga-se o corpo eletricamente neutro à terra. Elé-trons subirão da terra para neutralizar o “exces-so” de carga positiva. Cortando-se a ligação àterra, obtém-se um corpo negativamente carre-gado.

A eletrização por contato tem por característicaa presença de um condutor neutro e um con-dutor carregado; assim, parte da carga elétricado corpo eletrizado passa para o corpo neutro,e ambos adquirem carga elétrica de mesmotipo.

No Sistema Internacional de Unidades (SI), onome oficial da grandeza carga elétrica é quan-tidade de eletricidade. No entanto o costumeconsagrou o termo carga elétrica, usado atéem trabalhos científicos.

EXEMPLO

A figura representa uma experiência que utilizaum bastão carregado positivamente e um ele-troscópio (detector de carga elétrica).

1. Quando se aproxima o bastão carregado doeletroscópio, observa-se que a lâmina sofreuma deflexão; quando se afasta o bastão, alâmina volta à posição inicial.

2. Quando o bastão carregado se aproximada esfera do eletroscópio e toca-a, observa-se que a lâmina sofre uma deflexão, quepermanece mesmo quando se afasta o bas-tão.

Entendendo o que ocorre

1. O bastão carregado próximo ao eletroscó-pio provoca a separação das cargas doeletroscópio: a parte superior fica predomi-nantemente negativa e a inferior, onde estáa lâmina, fica predominantemente positiva.Por isso, a lâmina é repelida pela placa esofre deflexão. Quando se afasta o bastão,as cargas se redistribuem novamente, e oeletroscópio volta à situação inicial.

2. Quando o bastão toca o eletroscópio, ocor-re a eletrização por contato: o eletroscópioperde elétrons para o bastão, tornando-setambém eletricamente positivo. Por isso, alâmina mantém-se defletida.

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1. Os elétrons livres de um metal são atraídospela força gravitacional da Terra. Então, por queeles não se acumulam na base de um condu-tor, tal como a sedimentação de partículas nofundo do rio?

2. Como a carga de um elétron difere da de umpróton?

2.2 A CONSERVAÇÃO E A QUANTIZAÇÃO DACARGA

Experimentalmente, sabe-se que as cargas nãopodem ser criadas, nem destruídas. Elas po-dem ser combinadas de formas diferentes, noentanto a carga total não varia em um sistemaisolado. Ou seja, a carga elétrica total de um sis-tema permanece constante. Em qualquer pro-cesso no qual um corpo é carregado, a carganão pode ser criada nem destruída, ela é mera-mente transferida de um corpo para outro.

A experiência mostra-nos que a carga elétricaobedece ao Princípio da Conservação daCarga Elétrica. De acordo com esse princípio,a carga elétrica total de um sistema isoladopermanece constante.

A expressão “sistema isolado”, nesse caso, sig-nifica que nenhuma carga entra ou sai do sistema.É um sistema livre de qualquer influência externa.Várias grandezas, como energia, momento lineare momento angular, conservam-se em um sis-tema isolado. Assim, se um dos corpos do sis-tema perder carga elétrica, certamente ele irá paraoutro sistema, de modo que o total de cargas nãose alterará. Ou seja, a soma algébrica de todas ascargas em um sistema isolado nunca se altera.

Qualquer objeto eletricamente carregado pos-sui um excesso ou uma deficiência no númerototal de elétrons. Os elétrons não podem serdivididos em frações de si mesmos. Então, alémda conservação, outra propriedade importanteé que a quantidade de carga elétrica dos cor-pos é uma grandeza física quantizada, poisaparece como um múltiplo da carga elementar,que é sua unidade básica. Isso quer dizer quea carga de todas as partículas observadas em

sua forma livre na natureza é um múltiplo intei-ro da carga do próton ou da carga do elétron(fora o sinal). Ele não pode ter uma carga igual

a 5 ou 0,75 elétrons, por exemplo. A carga é

“granulosa”, e cada unidade é denominadaquanta, descrita como “carga quantizada”. Es-sa propriedade é conhecida como Princípio daQuantização da carga. O nosso dinheiro é umexemplo bem inteligível do que é quantização.Não há valor menor do que um centavo, assimcomo nenhuma carga elétrica pode ser divididaem uma quantidade menor do que a carga deum próton ou de um elétron (seus módulos).

A experiência da gota de óleo de Millikan veiocomprovar que nenhuma partícula carregadapode ter carga menor do que a do próton oudo elétron, que é igual a 1,60 x 10–19 Coulomb,e é representada por e. Assim, qualquer corpocarregado, até o momento, pode ter somentemúltiplos inteiros de e. Isto é, Q = n.e, em que:

e é carga elementar (do próton ou do elétron),tem valor experimental de 1,60217733 x 10–19;

n é um número inteiro positivo ou negativo;

Q é a quantidade de carga .

No Sistema Internacional de Unidades (SI), aunidade de carga é o coulomb (C).

EXEMPLO

Um corpo está eletrizado com uma carga elétri-ca Q = –1,6 x 10–10C.

1. O corpo apresenta falta ou excesso deelétrons?

2. Qual o numero de elétrons correspondente?

Solução:

1. Como a carga elétrica do corpo é negativa,ele apresenta excesso de elétrons.

2. Sendo Q = ne, temos:

–1,6 x 10–10C = n(–1,6 x 10–19C) → n = 109

elétrons

1. Que número de elétrons corresponde a umaquantidade de carga de –1,0C ?

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2. Um corpo eletrizado cedeu 1,0 x 1020 elétrons.

a) O corpo possui carga elétrica positiva ounegativa?

b) Qual a quantidade de carga elétrica adquiri-da pelo corpo?

3. Se você esfregar vigorosamente uma moedaentre seus dedos, ela não parecerá carregar-sepelo atrito. Por quê?

2.3 CONDUTORES E ISOLANTES

Do ponto de vista da eletrostática, os materiaispossuem dois comportamentos: condutores deeletricidade e isolantes ou dielétricos. Os con-dutores são aqueles que apresentam cargaselétricas móveis em sua estrutura. No caso dosmetais, que contêm um grande número de por-tadores de carga livres, os elétrons mais exter-nos dos átomos são influenciados pelos out-ros átomos próximos, de forma que ficamlivres dentro da estrutura do metal, formandouma nuvem eletrônica, ou seja, respondem acampos elétricos quase infinitesimais e contin-uam a se mover enquanto estão sob a ação deum campo. Tais portadores livres conduzirão acorrente elétrica quando um campo esta-cionário for mantido no condutor por umafonte externa de energia.

Além dos metais, também as soluções iônicas(eletrolíticas), tais como soluções de sais e áci-dos, são condutores. Nesse tipo de condutor, ascargas móveis ou portadores são os íons po-sitivos e negativos.

Os gases rarefeitos podem-se tornar tambémcondutores sob certas condições, como no ca-so dos tubos de iluminação. Nos gases ioniza-dos, os portadores são os elétrons e os íons.

Os materiais isolantes são aqueles nos quaisnão existem cargas móveis, por exemplo: aborracha, o vidro, a madeira, o plástico, etc.Dielétricas (isolantes) são substâncias em quetodas as partículas carregadas estão ligadasfortemente às moléculas constituintes. As par-tículas podem até mudar sua posição em res-posta a um campo elétrico, porém não se afas-tam da vizinhança de suas moléculas.

Devemos ressaltar que mesmo os isolantes con-duzem eletricidade, porém muito lentamente.Existem alguns materiais, como, por exemplo,o silício, o carbono e o germânio que estão em

uma terceira categoria, denominada de semi-condutores, ou seja, materiais que podem secomportar como condutores ou como isolan-tes. Esses materiais estão no meio da faixa deresistividade elétrica.

Em resumo, podemos dizer que, nos materiaiscondutores, os elétrons estão fracamente liga-dos aos núcleos e podem, em geral, mover-sepelo metal livremente; esses elétrons sãochamados “elétrons livres” ou “de condução”.Diferentemente, em um material isolante, oselétrons estão fortemente ligados aos núcleos.Ou seja, nos metais, há muitos elétrons livres;nos semicondutores, poucos; e nos isolantes,quase nenhum.

A capacidade de os materiais transportaremeletricidade de um ponto a outro é descrita poruma propriedade chamada “condutividade elé-trica”.

Sob esse novo olhar, podemos dizer que ummaterial isolante oferece grande resistência aofluxo de carga elétrica, ao passo que os mate-riais condutores oferecem pouca resistência.Mas, a temperaturas suficientemente baixas,alguns materiais possuem condutividade infini-ta, ou seja, resistência nula. A esses materiaischamamos supercondutores.

Nos séculos XVIII e XIX, as técnicas em Físicaexperimental alcançaram um alto grau de pre-cisão, possibilitando experiências rigorosassobre as interações elétricas entre cargas elé-tricas. Essas experiências foram imprescin-díveis para a compreensão das leis básicas doeletromagnetismo, e só foram possíveis dada aenorme diferença na condutividade dos mate-riais, e continua sendo o fenômeno mais im-portante para a eletrotécnica e a eletrônica,pois se sabe que a eletricidade flui nos objetosde forma extremamente sensível à composiçãodeles. Por exemplo, um fio de cobre é capazde conduzir a eletricidade gerada em uma usi-na por milhares de quilômetros, enquanto queuma fina camada de esmalte recobrindo essesfios é capaz de impedir que ela se transfirapara seu exterior.

1. Uma solução de sulfato de cobre é um condu-tor. Que partículas servem como as portadorasde carga nesse caso?

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TEMA 03

A FORÇA NA HIDROSTÁTICA

3.1 INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS

Podemos dizer que a mecânica dos fluidos di-vide-se em duas partes: a hidrostática, que es-tuda o equilíbrio dos fluidos, e a hidrodinâmica,que estuda seu movimento.

Compreendem-se os fluidos como os líquidose os gases.

• Os líquidos escoam sob a ação da gravi-dade até preencherem as regiões mais bai-xas possíveis dos vasos que os contém.

• Os gases expandem-se até ocuparem todoo volume do vaso; isso ocorre devido àsmoléculas dos gases não se restringiremao movimento dentro do recipiente que oscontém.

Os fluidos representam um papel importanteem nossa vida diária. Nós os respiramos e be-bemos, e uma grande quantidade de fluidosvitais circula em nosso sistema cardiovascular.Existe também fluido no oceano, na atmosferae no interior do núcleo da Terra.

Na Mecânica dos Fluidos, estudamos o movi-mento do conjunto de partículas, e não o decada partícula, como na Mecânica Newtoniana.

Inicialmente, vamos estudar os conceitos depressão, densidade e profundidade de um flu-ido em repouso. Em seguida, vamos analisar ofluido em movimento, e devido a complexida-de desse fenômeno, limitar-nos-emos ao estu-do de fluidos ideais.

3.2 HIDROSTÁTICA

A hidrostática é o ramo da física que estuda aspropriedades relacionadas aos líquidos em equi-líbrio estático; essas propriedades podem serestendidas aos fluidos de um modo geral.

Consideramos sempre que o líquido é incom-pressível, com volume definido, sem viscosida-de e não aderente à superfície do recipienteque o contenha.

• Os líquidos têm volume praticamente inva-riável. Por exemplo, quando se transfere água

de um recipiente para outro, seu volume per-manece o mesmo.

• Os gases têm volume variável. Por exem-plo, quando colocamos um gás num recipi-ente, ele ocupa totalmente o recipiente queo contém.

3.3 CONCEITO DE DENSIDADE

Se tivermos um corpo de massa m e volume V,definimos sua densidade ρ através da relação:

A unidade de densidade no Sistema Interna-cional de Unidades é o kg/m3. No entanto,usualmente, são utilizados o g/cm3 e o kg/l,que são unidades equivalentes. Por exemplo, adensidade da água vale:

ρ = 1 000 kg/m3 = 1 kg/l = 1 g/cm3.

Se o corpo for homogêneo, podemos usar otermo massa específica ou densidade absolutacomo sinônimo de densidade.

Tabela 1.1: Densidade de alguns materiais

Materiais Densidade (kg/m3)

ar (20ºC e 1 atm) 1,2

Gelo 0,92 x 103

Água 1,0 x 103

Alumínio 2,7 x 103

Ferro 7,6 x 103

Mercúrio 13,6 x 103

Ouro 19,3 x 103

Platina 21,4 x 103

Visto que a densidade absoluta ρ de um corpode massa m depende do volume V, devemoslembrar que alterações de temperatura provo-cam variações no volume, modificando, dessaforma, a densidade.

O volume dos sólidos e dos líquidos pode seralterado de forma sensível devido a variaçõesde temperatura, o que ocasiona mudanças emsua densidade. No caso de gases, seu volumefica sujeito às variações de temperatura e depressão existentes; portanto, sempre que nosreferimos à densidade de um gás, deveremoscitar quais as condições de pressão e de tem-peratura que nos levaram ao valor obtido.

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Densidade Relativa

Dadas duas substâncias A e B, de densidadesabsolutas ρA e ρB, respectivamente, definimosdensidade da substância A em relação à subs-tância B por meio da relação:

Observe que o resultado final não pode apre-sentar unidades, ou seja, a grandeza densida-de relativa é adimensional e constitui uma for-ma de compararmos a densidade de duas subs-tâncias distintas.

1. Sabendo que a densidade do ouro é de 19,3 g/cm3, determine:

• O volume de uma barra de ouro de massaigual a 100 gramas.

Solução:

Da definição de densidade, temos o volume:

= 193cm3

• A massa de uma esfera de ouro de raioigual a 1cm.

m = Vρ= ρ = x 3,14 x 1cm3 x

19,3g/cm3 = 80,8 g

2. Numa experiência de laboratório, os alunosobservaram que uma bola (de massa especiale flexível) afundava na água. João colocou salna água e viu que a bola flutuou. No entantoMaria conseguiu o mesmo efeito modelando amassa sob forma de barquinho. Explique, comargumentos da Física, os efeitos observadospor João e Maria.

Solução:

Sabemos que um corpo flutua sobre um líqui-do se a densidade do corpo for menor do quedensidade do líquido. Nessa experiência, issopode ter ocorrido de duas formas:

• João, ao colocar sal na água, aumentou adensidade do líquido, logo a bola flutuou,

pois ela tinha a densidade menor que aágua com sal.

• Maria, ao transformar a bola em um barqui-nho, aumentou o volume do corpo, dimi-nuindo-lhe a densidade.

3.4 Conceito de Pressão

Considere a ação de polimento de um automó-vel; suponha que, nesse caso, esteja sendo apli-cada uma força constante F, esfregando-se apalma da mão sobre a superfície do carro.Imagine, agora, que se deseja eliminar umamancha bastante pequena existente no veícu-lo. Nessa ação, esfregam-se apenas as pontasdos dedos na região da mancha, a fim de au-mentar o “poder de remoção”.

Nos dois casos, a força aplicada é a mesma,porém os resultados obtidos no trabalho sãodiferentes. Isso acontece por que o efeito do“polimento” depende não apenas da força quea mão exerce sobre o carro, mas também daárea de aplicação.

A grandeza dada pela relação entre a intensi-dade da força F que atua perpendicularmentee a área A em que a mesma se distribui édenominada pressão p (veja a Figura 1).

Figura 1. Um força de intensidade F aplicada numa área A

A unidade de pressão no Sistema Internacionalde Unidade (S.I.) é o newton por metro quadra-do (N/m2), denominado pascal (Pa). Outrasunidades usadas com freqüência são:

• centímetro de mercúrio: cmHg

• milímetro de mercúrio: mmHg

45


• atmosfera: atm

• milibar: mbar

Devemos observar que o valor da pressão de-pende não só do valor da força exercida, mastambém da área A na qual essa força está dis-tribuída. Uma vez fixado o valor de A, apressão será, evidentemente, proporcional aovalor de F. Por outro lado, uma mesma forçapoderá produzir pressões diferentes, depen-dendo da área sobre a qual ela atua. Assim, sea área A for muito pequena, poderemos obtergrandes pressões, mesmo com pequenasforças. Por esse motivo, os objetos de corte(faca, tesoura, enxada, etc.) devem ser bemafiados, e os objetos de perfuração (prego,broca, etc.) devem ser pontiagudos. Dessamaneira, a área na qual atua a força exercidapor esses objetos será muito pequena, acar-retando uma grande pressão, o que tornamais fácil obter o efeito desejado.

Em outros casos, quando desejamos obter pe-quenas pressões, devemos fazer que a força sedistribua sobre grandes áreas. Para caminharna neve, uma pessoa usa sapatos especiais,de grande área de apoio, para diminuir a pres-são que a impede de afundar.

1. Encontre a pressão aplicada num fluido emuma seringa quando uma enfermeira aplicauma força de 43N ao êmbolo da seringa, deraio 1,1cm.

Solução:

F = 43N

r = 1,1cm = 0,011m

= 113 118,4N/m2 = 1,13 x 105Pa

2. Antigamente, era comum a exibição de faqui-res, homens que jejuavam cercados de ser-pentes e deitados numa cama de pregos comas pontas voltadas para cima. Suponha que umfaquir tenha massa de 50kg e deita-se sobreuma cama com 100 pregos. Calcule a pressão

exercida no faquir por cada prego. (Suponhaque o peso do faquir distribua-se uniforme-mente sobre os pregos e que a ponta de cadaprego tenha área de 1mm2 e que g = 9,8m/s2 ).

Solução:

F = P = mg = 50 kg x 9,8 m/s2 = 490N

A = 100 10–6 m2 = 10–4m2

= 4,9 x 106 N/m2

3.5 TEOREMA DE STEVIN

Simon Stevin era matemático e físico, nasceuna Holanda e realizou importantes trabalhos naárea da hidrostática. Deduziu o teorema queleva seu nome até hoje.

Consideremos um líquido de densidade ρ, ho-mogêneo e incompressível em equilíbrio. Paracalcular a diferença de pressão entre dois pon-tos no interior do líquido, basta imaginar umvolume cilíndrico, cuja altura h seja ao longo davertical à superfície com as bases contendo ospontos 1 e 2, respectivamente (veja a Figura 2).

Figura 2. No cilindro líquido do esquema

F1 age na base superior e F2 na base inferior.

A área das bases pode ser qualquer, desdeque elas estejam dentro do fluido. Como o vo-lume cilíndrico é estático, a força na base debaixo deve ser igual à força na base de cima so-

46


mada à forca peso devido ao volume de águadentro do cilindro. Ou seja, como a massa dofluido é dada por ρAh, obtém-se que:

F2 – F1 = (ρAh)g

Dividindo a equação pelo valor da área das ba-ses, obtém-se que a pressão nos pontos 1 e 2estão relacionadas pela diferença de altura en-tre os dois pontos.

p2 = p1 + ρgh

Por meio do teorema de Stevin, pode-se con-cluir que todos os pontos que estão numa mes-ma profundidade, num fluido homogêneo emequilíbrio, estão submetidos à mesma pressão.

Figura 3. Como conseqüência do

teorema de Stevin, pa = pb = pc

Atenção – A pressão efetiva depende somenteda densidade do fluido, da sua altura acima doponto e da aceleração gravitacional, e inde-pende do formato e do tamanho do recipiente.

1. Um mergulhador está a 5m de profundidade,num lago de densidade 1g/cm3. A pressão

atmosférica é de 105Pa. Sendo g = 9,8m/s2, cal-cule a pressão absoluta exercida no mergu-lhador.

Solução:h = 5mρ = 1g/cm3 = 103kg/m3

patm = 105Pag = 9,8m/s2

Cálculo da pressão:

p = patm + gρh = 105 + 9,8 x 103 x 5 = 1,49 x105Pa

2. A figura mostra dois líquidos não-miscíveis en-tre si, sendo um deles a água, em equilíbrionum tubo. Calcule a densidade do líquido des-conhecido, sabendo que a densidade da águaé 1g/cm3, a altura da água é hB = 0,6cm e aaltura do líquido desconhecido é hA = 0,8cm.

Solução:

Na linha que separa os dois líquidos, a pressãohidrostática é a mesma, portanto:

pA = pB

gρA hA = gρB hB

ρA hA = ρBhB

1 x 0,6 = ρB 0,8

A densidade do líquido desconhecido é,ρB= 0,75 x 103 g/cm3

1. Uma bailarina de 49kg apóia-se sobre a pontade uma de suas sapatilhas, cuja área de conta-to com o piso é de 6cm2. Calcule a pressão empascal que a bailarina exerce sobre o piso.

2. Um recipiente contém um líquido homogêneo,de densidade 0,8g/cm3. Adotando g = 9,8m/s2,calcule:

a) a pressão efetiva a 0,6m de profundidade;

b) a diferença de pressão entre dois pontos queestão a profundidades de 0,7 e 0,5m.

.A .B .C

.A .B .C

A pressão em um ponto situado à profundidadeh, no interior de um líquido em equilíbrio, é dadapela pressão na superfície, exercida pelo ar, de-nominada pressão atmosférica, mais a pressãodevida à coluna de líquido situada acima do pon-to e expressa pelo produto ρAh:

p = patm + ρgh,

expressão que traduz o teorema de Stevin.

47


1. Verificação de níveis

O objetivo desta atividade é determinar se doispontos do espaço estão no mesmo nível.

A água, preenchendo, sem bolhas de ar, umamangueira, apresenta-se no mesmo nível nassuas duas extremidades (veja a figura).

Tome um pedaço de mangueira transparente eencha-o com água. Cuide para que não hajabolhas de ar no líquido. Agora, saia por aí ve-rificando o nível.

2. Determinar a densidade de líquidos

O objetivo desta atividade é determinar a den-sidade de alguns líquidos.

Consideremos dois líquidos não-miscíveis emum tubo em U (veja a ilustração seguinte).

Como PA(h1) = PB(h2), temos, pela equação fun-damental da hidrostática:

ρ1h1 = ρ2h2

Assim, conhecendo-se a densidade de um doslíquidos e medindo-se as alturas das colunasno tubo em U, pode-se determinar a densidadedo outro líquido.

Coloque os líquidos em um tubo em U, come-çando pelo que você estima ser o mais denso.Ao colocar o segundo líquido, faça-o lentamen-te pelas paredes do tubo. Meça as alturas dascolunas acima do ponto de separação dos lí-quidos e, com os números obtidos, calcule adensidade procurada.

O procedimento acima não pode ser usadopara líquidos miscíveis. Para esses, usa-se umtubo em Y invertido (veja ilustração abaixo).

Do mesmo modo que antes:

ρ1h1 = ρ2h2

Tomando dois líquidos diferentes, coloque-osem recipientes diferentes. Mergulhe o tubo emY invertido com cada ramo em um dos recipi-entes e, usando uma seringa conectada ao ter-ceiro ramo do tubo por uma mangueira de bor-racha, aspire o ar deste ramo. Adicione o cor-respondente líquido no recipiente cujo nível fi-car mais baixo para nivelá-lo com o líquido dooutro recipiente. Meça as alturas das colunasacima do nível comum e calcule a densidadeprocurada.

48


TEMA 04

ESTÁTICA

A Estática trata do equilíbrio de corpos. Implicaausência de qualquer movimento e é tipica-mente aplicada a objeto em repouso nas pro-ximidades da superfície da Terra.

Como não existe repouso absoluto, uma defini-ção mais geral de equilíbrio é ausência de ace-leração, de modo que a soma de todas as for-ças (resultante) que atuam sobre o corpo énula: ΣΣ

→→F→→

=0→→

. Isso nos leva a outra interpretaçãopara ΣΣF

→= 0: a de que existem forças, mas elas

se cancelam gerando um somatório nulo. Σ(F

→

1 + F→

2 + F→

3 + F→

4 +... + F→

n) = 0→

A fim de aplicar a relação ΣΣ F = 0, é necessárioque se conheçam as propriedades dos diver-sos tipos de forças. Alem da força da gravida-de, existem as forças que agem por meio defios, cabos, correntes, hastes, etc.

Elementos não-rígidos, como um fio, podem so-mente puxar e nunca empurrar. Essas forças,chamadas de tração (T), são de grande utilidadequando desejamos transmitir forças. Assim,quando puxamos um fio, as forças se trans-mitem ao longo de seu comprimento até a outraextremidade e termina sendo aplicada ao corpo.

1. Uma rede de massa m está presa entre doisarmadores, formando um ângulo com a mes-ma inclinação sobre ambos os lados. Deter-mine a intensidade da tensão nos punhos darede, quando uma pessoa de peso P deita-senela. Discuta as condições para que a rede nãorasque.

4.1 REGRA DO PARALELOGRAMO

Apesar de o cálculo vetorial ter sido inventadoapenas no século XIX, há muito se sabia queforças externas, de intensidades e direçõesdiferentes, atuando sobre um determinado cor-po podiam ser compostas (adiciondas) parafornecer uma resultante.

A experiência diária, também ensina que variasforças podem se combinar para produzir umefeito resultante. É o que ocorre quando um car-

ro fica “no prego de gasolina ou de bateria”. Ca-da pessoa aplica, individualmente, suas forçasmas, no geral, o que vale é a combinação, ouseja, a resultante, para que o carro consiga mo-ver-se. Em outras palavras, somente Forças ex-ternas atuando num objeto podem modificarseu movimento.

Portanto, tratando-se de um conjunto de for-ças, um conceito extremamente útil é o de re-sultante das forças empregada para significara soma vetorial de todas as forças individuaisque atuam no sistema. Σ(F

→

1 + F→

2 + F→

3 +... + F→

n

Essa propriedade de as forças somarem-se co-mo vetores é as vezes chamada de Principioda Superposição. O que significa dizer que ca-da força exerce individualmente uma ação so-bre o corpo independente daquela exercida pe-las demais forças.

Do ponto de vista Físico, a Força Resultante éaquela que substitui todas as forças aplicadasno sistema, isto é, ela faz o mesmo papel decada uma das forças aplicada no sistema. F→→

= ΣΣF→→

EXTERNA

Assim, uma propriedade básica dos vetores éa indiferença na ordem pelo qual são combina-dos (somados). Dessa maneira, quando umacerta quantidade de forças atua no sistema, po-demos combinar (somar) as forças de muitasmaneiras. O que é essencial para que existaequilíbrio é que as forças formem um polígonofechado. Consideremos o caso no qual se en-contram aplicadas duas forças sobre o corpo(figura1). Para encontrar a resultante das for-ças, podemos combiná-las de duas maneiras:por meio do método da triangulação das for-ças [figura 2 (F

→

1 + F→

2); ou figura 3 (F→

1 + F→

2)],ou pelo método do paralelogramo (figura 4).Qualquer que seja o caso, a resultante é a mes-ma, o que demonstra que a soma de doisvetores obedece à propriedade comutativa daadição, isto é: F

→

1 + F→

2 = F→

2 + F→

1.

49


No caso de três ou mais forças, aplica-se, rei-teradamente, a regra do paralelogramo, ou en-tão se constrói o polígono das forças, e o vetorresultante pode ser ainda encontrado da mes-ma maneira que foi feito acima, ou seja, adicio-nando a resultante F’ das forças F1 e F2 à ter-ceira força F3 que, por sua vez, fornece outrovetor resultante F’’ que é somado à força F4,que produz outro vetor resultante F’’’, e assimsucessivamente.

Suponhamos que sobre um corpo atuem duasforças F1 e F2, que formam entre si um ânguloè. Podemos determinar vetorialmente a forçaresultante utilizando a Lei dos Co-senos. Pode-mos determinar a intensidade de

,

enquanto a direção de F vale:

Outra maneira bastante simples de se encontrara força resultante F, para qualquer quantidade deforças atuando sobre a partícula, é decomporcada uma das forças em suas componentesretangulares ao longo dos eixos, cartesianos.

Para ilustrar esse método, vamos supor quequeiramos determinar a força resultante de umsistema submetido à ação de três forças F1, F2

e F3, que todas estejam no mesmo plano e queformem com os eixos cartesianos os ângulosα, β e θ respectivamente.

Sabendo-se que a força resultante F é dadapela soma de suas componentes FX e FY, istoé, , basta que determinemos osvalores de FX e FY. Assim, para determinar aintensidade da componente FX e FY, decom-põe-se cada força ao longo dos eixos cartesi-anos X e Y e, em seguida, somam-se os va-lores encontrados em cada um dos eixos, detal modo que:

ΣFX = F1 coss α + F2 coss β + F3 coss θΣFY = F1 sen α + F2 sen β + F3 sen θ

Reescrevendo as relações acima de forma abre-viada, temos:

ΣFX = ΣFi.coss θ’; onde θ’ é o ângulo que aforça faz com o eixo do XΣFY = ΣFi.sen θ’; onde θ’ é o ângulo que aforça faz com o eixo do Y

A direção da força resultante F pode ser obtida

pela seguinte relação:

4.2 O TORQUE

O estado de equilíbrio de um corpo não signifi-ca necessariamente repouso. Freqüentemen-te, encontram-se casos nos quais mesmo quea resultante das forças externas seja nula, o cor-po tende a girar. É o que acontece, por exem-plo, numa gangorra, onde duas crianças A e B,de mesmo peso, estão sentadas em diferentespontos da barra. Como se pode facilmente cons-tatar, ainda que as forças aplicadas (os pesosdas crianças) em suas extremidades sejamiguais e opostas, a gangorra gira em torno doponto de apoio (eixo de rotação).

Nessas situações, para que um o corpo fiqueem completo equilíbrio, tem-se de evitar asrotações, mas para isso é necessário especi-ficar algumas condições. No caso da gangorra,a tendência para que ela gire depende nãoapenas do peso da criança, mas também dadistancia que se encontra a criança ao pontode apoio.

Para expressar essa tendência de uma forçaproduzir uma rotação, definimos uma grande-za denominada de Torque (τ), determinadapelo produto da força pela distância ao eixode rotação. Matematicamente, o torque é oproduto vetorial de r e F: τ = r x F, isto é, oTorque é um vetor perpendicular ao plano der e F

→→, ou, em outras palavras, ao longo do

eixo de rotação.

Para impedir que o objeto entre em rotação, énecessário que a soma dos momentos ou tor-que de todas as forças aplicada ao corpo sejanula: Σ τ = 0.

50


→→

Para situações mais gerais, em que a força (F)aplicada tem uma direção qualquer θ com oeixo de rotação, a distância D deve ser tal que:D = r. sen θθ, onde r é o vetor posição.

ττ = F . D

ττ = F . r. sen θ

Essa expressão pode ser reescrita como: ττ = r. F. sem θ, onde o vetor r é denominado de

braço da alavanca, ou seja, ele serve para situ-ar o ponto de aplicação da força em relação aoeixo de rotação.

Do ponto de vista matemático, expressa um pro-duto vetorial entre r e F.

Isso implica uma definição mais geral para oTorque, como:

ττ = r . F

Por essa definição, o vetor Torque é perpendi-cular ao plano formado pelos vetores r e F.

Por definição, a direção do vetor torque (τ→

) éperpendicular ao plano formado por r e F, ouseja, na direção do eixo de rotação.

Quanto à intensidade ou ao módulo do torque,este é dado por τ = r. F.senθ ou τ = F. r.senθ,em que o ângulo θ é o ângulo entre os vetoresr e F.

Ocorre que r . senθ é a distância perpendicularentre a linha de ação da força e o eixo de rota-ção, distância comumente denominada, de “bra-ço da alavanca”.

Portanto, para que o torque se torna mais efe-tivo, a força deve ser perpendicular ao “braçoda alavanca”.

Eis a razão por que um borracheiro, quando sedepara com um parafuso da roda de um carroemperrado, acrescenta um cano à chave de ro-da para aumentar o efeito de rotação sobre oparafuso.

Retornando ao caso da gangorra, podemos ve-rificar agora que a condição de equilíbrio

TORQUE produzido pela força: ττ = F . d,

onde d é a distância perpendicular entre alinha de ação da força e o eixo de rotação.Por mera conveniência, define-se o torqueno sentido horário como positivo. De modoque a Força F1 faz que a gangorra gire nosentido horário, enquanto que F2 tende a pro-duzir uma rotação no sentido anti-horário.Essas duas tendências se equilibram ou secancelam, de modo que podemos escre-ver, matematicamente, esse resultado como:F1.D – F2d = 0

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requer que os Torques produzido sejam nulos(τ = 0), ou seja, o torque produzido no sentidohorário pela criança A, seja contrabalançadopelo Torque produzido no sentido anti-horáriopela criança B

Finalmente, após termos reconhecido o papeldas Forças Externas e dos Torques que atuamsobre um dado corpo, podemos dizer que ascondições necessárias e suficientes para queum corpo rígido esteja em equilíbrio são as se-guintes: ΣΣ F = 0 e ΣΣττ = 0

1. Determine a intensidade e a posição da resul-tante do sistema de forças ilustrado na figuraabaixo, observando-se a escala dada no pro-blema.

2. Numa obra, um bloco de concreto de 100N émantido parado sobre uma rampa de 3m dealtura por 5m de comprimento por meio deuma parede. Determine a força exercida peloloco sobre o plano e sobre a parede. R = 80N e 60N.

3. Uma esfera pesando P = 50 N está apoiadanuma parede sem atrito, e mantida nessa po-sição por uma rampa sem atrito que forma umângulo de 60o com o plano horizontal. Quantovale a intensidade das forças N e F?

4. Uma escada de peso P está em equilíbrio,apoiada contra uma parede. Faça um esque-ma das forças que atuam sobre a escada.

5. Indique, num esquema, as forças que atuamsobre a prancha de madeira na figura abaixo.

6. Três esferas X, Y, e Z, cujos pesos são 1ON, 15Ne 8N respectivamente, estão suspensas porum arame extremamente fino.

a) Identifique, num esquema, as forças queatuam sobre cada esfera.

b) A intensidade da força que o fio suportaentre X e Y.

3

52


7. Um bloco de peso P está suspenso por doisfios presos a paredes nos pontos A e B.Quanto vale o módulo das forças exercidaspelos fios nos pontos A e B (despreze as mas-sas dos fios)?

8. Um peso de 20N está suspenso por duas cor-das A e B, conforme mostra a figura abaixo.Admitindo o sistema em equilíbrio, determinaras trações nos fios.

9. Uma barra homogênea de 2,0kg está apoiadanos seus extremos, distanciados de 1,0m. A2,0m da extremidade B foi colocada umamassa de 2,0kg. Quais os módulos das forçasque os apoios A e B exercem sobre a barra?

10. Suponha que você tenha 80kg e queira erguerum objeto usando uma alavanca cujos braçosvalem 1,0m e 3,0m.

a) Qual a maior peso que você poderá erguerusando o seu próprio peso?

TEMA 05

FORÇAS

5.1 LEI DE COULOMB

As interações eletrostáticas são baseadas nocomportamento dual da carga elétrica, ou seja,cada carga elétrica pode exercer força sobreoutra e sentir a força exercida pela outra. Cadacarga cria um campo elétrico, e a força asso-ciada à interação é percebida quando umaoutra carga está imersa no campo da primeira.Então, o campo elétrico de uma carga está as-sociado à sua capacidade de exercer força elé-trica sobre outras cargas elétricas.

Charles Augustin de Coulomb (1736–1806) es-tudou a força de interação entre partículas car-regadas em 1784. A balança de torção foi o ins-trumento utilizado, que permitiu a verificaçãoexperimental da lei quantitativa das interaçõesentre cargas elétricas.

O uso da balança de torção por Coulomb mar-ca o início das pesquisas quantitativas na ele-tricidade e no magnetismo. Trata-se de um ins-trumento para verificação experimental das for-ças elétricas para cargas puntiformes, ou seja,para corpos carregados separados por umadistância r muito maior do que os respectivostamanhos.

53


A balança de torção é constituída por umacaixa de vidro cilíndrica fechada por uma tam-pa, também de vidro, aonde se acopla um tubocom um disco metálico na extremidade opos-ta. Um fio suspenso no centro do disco metáli-co atravessa o interior do tubo, sustentandouma agulha horizontal. Essa agulha tem, numadas extremidades, um pequeno disco verticalde latão e, na outra, uma esfera de medula desabugueiro. A altura da agulha é regulada pormeio de uma manivela, que faz girar um eixohorizontal, onde o fio está enrolado. Esse eixoestá montado sobre um disco giratório, emque há uma escala dividida em graus. Essaescala avança em relação a uma marca dereferência, fixa na coluna do vidro, de modoque se possam medir os deslocamentos angu-lares. A marca zero do aparelho é obtida peloalinhamento visual do fio com o zero da escala.

Balança semelhante foi usada treze anos maistarde por Cavendish para estudar a força deinteração gravitacional, que é muito mais fracado que a elétrica. Cavendish substituiu as es-feras carregadas por massas.

Coulomb verificou que, eletrizando as esferascom cargas iguais, a esfera móvel afasta-se dafixa de um determinado ângulo, dando umatorção no fio, que aplica uma força restaurado-ra tentando fazer que a agulha volte à posiçãoinicial. Pode-se concluir que a força restau-radora é proporcional ao ângulo no qual aagulha da balança de torção gira. Coulomb fezassim a comparação entre a força de torção eo ângulo de desvio. Repetiu a experiência comcargas diferentes e ainda, variando as distân-cias entre elas, o que permitiu estabelecer asregularidades que determinaram a lei quantita-tiva da força elétrica. Para cargas puntiformes,Coulomb verificou que a força elétrica entreeles é proporcional a 1/r² . Ou seja, quando adistância r dobra, a força se reduz a 1/4 do seuvalor inicial; quando a distância se reduz àmetade, a força se torna quatro vezes maiorque seu valor inicial.

A força elétrica entre dois corpos depende dacarga existente em cada corpo, que chamare-mos q ou Q. Coulomb dividiu uma carga emduas partes iguais, colocando um pequenocondutor esférico carregado de outro idênticodescarregado; por simetria, as cargas são divi-

didas igualmente entre as esferas (lei da con-servação das cargas). Assim, ele obtinha umacarga igual à metade da carga inicial, um quar-to da carga inicial, e assim por diante. Então,ele verificou que a força elétrica entre as duascargas q1e q2 é proporcional a cada uma dascargas e, portanto proporcional ao produto (q1.q2) das duas cargas.

Dessa maneira, Coulomb estabeleceu, em 1785,a denominada lei de Coulomb, enunciada aseguir:

O módulo da força elétrica (as forças deatração e repulsão elétricas) entre duas cargaspuntiformes é diretamente proporcional ao pro-duto das cargas e inversamente proporcionaisao quadrado da distância entre elas.

A relação matemática que descreve a intera-ção elétrica ou força eletrostática, entre duascargas pontuais q1 e q2, separadas por umadistância r, o módulo da força que qualqueruma das cargas exerce sobre a outra é dadapela relação:

Onde k é uma constante de proporcionalidadedenominada constante eletrostática, cujo valorno SI é 8,98 x 109N.m²/C².

As barras verticais que indicam valor absolutosão justificadas porque as cargas q1 e q2

podem ser positivas ou negativas, enquanto omódulo da força F é sempre positivo.

A direção das forças que qualquer uma dascargas exerce sobre a outra é sempre ao longoda reta que passa pelas cargas. As duas forçasobedecem à terceira lei de Newton: possuemsempre o mesmo módulo e sentidos contrá-rios, mesmo quando as cargas não são iguais.

Escrevendo a lei de Coulomb em termos daunidade de corrente elétrica (carga por unida-de de tempo), ou seja, o ampère, que é igual aum coulomb por segundo, escreve-se:

As constantes: epsilon zero (ε0) = 8,854 x 10(–12)C²/N.m² e

= k = 8,988 x 109 N.m²/C².

54


Como já dissemos, a unidade mais fundamen-tal de carga elétrica é o módulo da carga deum próton ou de um elétron, que será designa-do por e, cujo valor é:

e = 1,60217733 x 10–19C,

1 (um) coulomb é o módulo da carga elétricaequivalente à carga total existente aproximada-mente em 6 x 1018 elétrons. Por exemplo, cercade 1019 elétrons passam através do filamentoluminoso de uma lâmpada incandescente acada segundo.

EXEMPLO

1. Uma partícula á (alfa) o núcleo do átomo dehélio. Ela possui massa m = 6,64 x 10–27kg ecarga q = +2e = 3,2 x 10–19C. Compare a forçade repulsão elétrica entre duas partículas αcom a força de atração gravitacional entre elas.

Solução:

O módulo F da força de repulsão elétrica é da-do pela equação:

Fe = ,

e o módulo F da força gravitacional é dado pe-la equação:

.

Para comparar os módulos, dividimos membroa membro as duas relações anteriores:

Esse número mostra o quanto a força gravita-cional é ínfima em relação à força elétricaquando se trata de interações entre partículasatômicas e subatômicas.

1. Duas cargas puntiformes, q1= +25 nC eq2= –75nC estão separadas por uma distânciade 3,0cm. Determine o módulo, a direção e osentido:

a) da força elétrica que q1 exerce sobre q2;b) da força elétrica que q2 exerce sobre q1.

2. Se os elétrons, em um metal como o cobre,são livres para vagar, devem, com freqüência,encontrar-se a caminho da superfície do metal.Por que eles não continuam e deixam o metal?

3. Explique o significado da afirmação de que asforças eletrostáticas obedecem ao principio dasuperposição.

4. Que semelhanças existem entre a força elétricae a força gravitacional? Quais são as diferen-ças mais relevantes entre essas forças?

5.2 FORÇA MAGNÉTICA

Para calcularmos a intensidade do campo mag-nético, vamos retomar alguns conceitos bási-cos estudados em campo elétrico:

• Cargas elétricas em repouso criam um cam-po elétrico E

→no espaço à sua volta.

• O campo elétrico provoca uma força F→

= q. E→

sobre qualquer carga q imersa no campo.

Fazendo uma analogia, podemos conceituar asinterações magnéticas:

• Cargas elétricas móveis ou uma correnteelétrica criam, além do campo elétrico, umcampo magnético em suas vizinhanças.

• O campo magnético provoca uma força F→

sobre qualquer outra corrente ou carga quese mova no interior do campo.

Então, a força magnética atua específica e so-mente sobre uma partícula carregada e emmovimento, com uma velocidade v. Como cam-po magnético é uma grandeza vetorial, asso-ciada a cada ponto do espaço, a relação entrea intensidade do campo magnético B

→, com a

intensidade da força magnética F→

mag, que atuasobre a partícula de carga elétrica q, movimen-tando-se com velocidade v, é dada por:

Ou seja, a força magnética:

• Depende da velocidade da partícula (lem-bre que para a força elétrica a carga podeestar em repouso ou em movimento).

55


• É ortogonal à direção do campo magnético.

• É ortogonal à velocidade v da partícula.

• É proporcional a v e a sen è.

No SI, a unidade de campo magnético é cha-mada de tesla, definida como:

1 tesla (T) = 1

Podendo ser escrito assim:

1 tesla (T) = 1

Ou seja, 1T = 1N/A.m

Outra unidade usada para medida de campomagnético é o gauss (G). A relação entre teslae gauss é:

1gauss = 10–4tesla

Matematicamente falando, o produto vetorial(V

→ x B

→) é definido como o produto das duas

grandezas multiplicado pelo ângulo formadoentre elas (velocidade e campo magnético), ouseja:

(V→

x B→

)= v. B. senθ

Então, a intensidade de força magnética podeser escrita da seguinte forma:

F→

mag = q.v.B.senθ

Portanto podemos concluir que a força mag-nética (F

→

mag) que atua sobre uma partícula ele-tricamente carregada e que se movimenta comuma velocidade (v

→ ), em um campo magnético

(B→

), é sempre perpendicular a essas gran-dezas, v

→ e B

→.

A regra prática, conhecida como “regra da mãodireita”, funciona como o sistema de coorde-nadas x,y,z, que formam ângulos retos entre si;a rotação do eixo x para o eixo y é equivalenteao giro de um parafuso na direção de z. Pro-curamos dispor o polegar, o indicador e o dedomédio como mostra a figura acima.

Se uma partícula carregada está submetida,simultaneamente, a um campo elétrico e mag-nético, essa partícula sofre a ação dos doiscampos. A força resultante será a soma vetorialda força elétrica e da força magnética, ou seja:

F→

= F→

e + F→

mag ⇔ F→

+ q. [ E→

+ ( v→

x B→

)]

EXEMPLO

Considere um elétron em movimento num tubode um aparelho de televisão, deslocando-se auma velocidade de 8,0 x 106m/s ao longo doeixo x. O tubo de imagem gera um campomagnético no plano xy de 0,025 T, fazendo umângulo de 60° com o eixo x. Determine a forçamagnética sobre o elétron e a sua aceleração.

Solução:

A força magnética pode ser calculada a partirda relação:

F→

mag = q.v.B.senθ, sabendo que a carga do elé-tron vale 1,6 x 10–19C, apenas substituiremos osvalores:

F→

mag = (1,6 x 10–19C).(8,0 x 106).(0,025).(sen60o) =

= 2,8 x 10–14N

Para o cálculo da aceleração do elétron, pode-se usar a 2.a lei de Newton, sabendo que amassa do elétron é de 9,1x 10–31 kg e de possedo valor da força magnética:

F→

mag = m.a ⇔

a = 3,1 x 1016m/s2

1. Em um campo magnético de intensidade 10² T,uma partícula com carga 2,0 x10–14C é lançadacom velocidade de 2,0x105m/s, em umadireção que forma um ângulo de 30° com adireção do campo magnético. A intensidade daforça que atua sobre a partícula é:

56


TEMA 06

HIDROSTÁTICA

6.1 PRESSÃO ATMOSFÉRICA

Em torno da Terra, há uma camada de ar de-nominada atmosfera. Ela é constituída por umamistura gasosa cujos principais componentessão o oxigênio e o nitrogênio. Aproximadamen-te 90% de todo o ar existente encontra-se abai-xo de 18 000 metros.

Essa massa de ar exerce pressões sobre todosos corpos no seu interior, pressão esta deno-minada atmosférica. Observe os exemplos quecomprovam a existência dessa pressão.

6.1.1 Experiência de Torricelli

No início do século XVII, um problema foi apre-sentado a Galileu Galilei: por que as bombasaspirantes não conseguem elevar água acimade 18 braças (10,3 metros)?

Galileu não chegou à solução do problema,porém supôs que essa altura máxima depen-dia do líquido: quanto mais denso fosse, me-nor seria a altura alcançada.

Um discípulo de Galileu, Evangelista Torricelli,resolveu fazer a experiência com um líquidomuito denso: o mercúrio. Tomou um tubo de vi-dro de 1,30m de comprimento, fechado em umaextremidade, encheu-o completamente commercúrio e, tampando a extremidade aberta,emborcou-o num recipiente contendo mercú-rio também. Ao destampar o tubo, Torricelli ve-rificou que a coluna de mercúrio no tubo des-cia até o nível de aproximadamente 76cm aci-ma do nível do mercúrio do recipiente, forman-do-se vácuo na parte superior do tubo (na ver-dade, esse espaço fica preenchido com vaporde mercúrio, mas esse fato não é relevantepara a experiência).

Figura 7. Experiência de Torricelli

Torricelli concluiu que a coluna de mercúrio eraequilibrada pela atmosfera através de sua pres-são. Ao nível do mar, num local onde g = 9,8m/s2, a 0ºC, a coluna de mercúrio tem aaltura de 76cm ou 760mm. Então, a pressãoatmosférica, ao nível do mar, é:

Patm = ρ. g . h = 13,6 . 103(kg/m3) . 9,8(m/s2) . 0,76 (m)

logo Patm = 1,013 . 105N/m2

Então, por convenção, dizemos que: 1atm = 1,013 . 105Pa = 760 mmHg

6.1.2 Os hemisférios de Magdeburgo

A primeira bomba de vácuo foi construída porVon Guericke, em Magdeburgo, na Alemanha,permitindo que ele realizasse a famosa expe-riência dos “hemisférios de Magdeburgo”. To-mando dois hemisférios, bem adaptados umao outro, formando, assim, uma esfera ocade cerca de 50cm de diâmetro, Von Guerickeextraiu o ar do interior dessa esfera. Como apressão interna foi muito reduzida, a pressãoexterna (pressão atmosférica) forçou um he-misfério tão fortemente contra o outro queforam necessários 16 fortes cavalos parasepará-los.

57


Contribuição da experiência de Torricelli

• Primeira vez que o vácuo foi obtido em la-boratório;

• Construiu-se o primeiro barômetro (instru-mento usado para medir a pressãoatmosférica);

• A pressão atmosférica, ao nível do mar,numa latitude de 45o é patm = 760 mmHg.

Figura 5. Experiência da Bomba de Magdeburg.

6.1.3 Exemplos

I. Com uma bomba de vácuo, podemos extrairgrande parte do ar do interior de uma latavazia. Se fizermos isto, a lata será esmagadapela pressão atmosférica. Antes da retirada doar, isso não acontecia porque a pressão atmos-férica estava atuando tanto no interior quantono exterior da lata (Figura a). Ao ser ligada abomba de vácuo, a pressão interna torna-sebem menor do que a externa, e a lata é esma-gada (Figura b).

Figura 4. Aplicação da pressão atmosférica

II. É também graças à força exercida pela atmos-fera que você consegue tomar refresco comum canudinho. Quando você chupa na extre-midade do canudo, você provoca uma redu-ção na pressão do ar no interior do canudo. Apressão atmosférica, atuando na superfície dolíquido, faz que ele suba no canudinho. Algu-mas bombas, para elevação de água, têm seufuncionamento baseado nesse mesmo princí-pio.

Figura 6. Aplicação da pressão atmosférica

6.2 Princípio de Pascal

Quando é exercida uma pressão num ponto deum líquido, essa se transmite a todos os pon-tos do líquido. É o que ocorre, por exemplo, nofreio hidráulico de um automóvel, cuja pressãoexercida pelo motorista no pedal se transmiteaté as rodas através de um líquido (fluido defreio). Este fato é conhecido como “princípiode Pascal”:

Figura 8. Princípio de Pascal aplicado

num elevador hidráulico.

A Figura 3 mostra o Princípio de Pascal comoa base de funcionamento de um elevadorhidráulico. Seja uma força externa de móduloF1 exercida sobre o lado esquerdo (ou entrada)do pistão, cuja área é A1. Para manter o sis-tema em equilíbrio, um peso externo exerceuma força de módulo F2 sobre o lado direito(ou saída) do pistão, cuja área é A2. Pode-seescrever para a variação da pressão associadaa essas forças:

∆p1 = ∆p2

Logo,

Em que a força na saída é maior que na entra-da, pois A2 > A1.

Os acréscimos de pressão sofridos porum ponto de um líquido em equilíbrio sãotransmitidos integralmente a todos ospontos do líquido e nas paredes do reci-piente onde está contido.

58


Observação – A prensa hidráulica é um dis-positivo que multiplica a intensidade de forças,e, apesar da verificação do aumento ou da di-minuição na intensidade de forças, a prensahidráulica não pode modificar a quantidade deenergia envolvida, pois deve obedecer ao prin-cípio da conservação de energia.

1. Num elevador hidráulico, um automóvel de1200kg de massa está apoiado num pistãocuja área é de 800cm2. Qual é a força que deveser aplicada no pistão de 20cm2 de área paraerguer o automóvel?

Solução:

F2 = mg = 1200 kg x 9,8 m/s2 x

F2 = 294N

Não houve necessidade de transformar as uni-dades das áreas, pois elas, estando na mesmaunidade, cancelam-se.

Portanto deve ser aplicada uma força maiorque 294N para erguer o carro.

6.3 EMPUXO

Quando mergulhamos um corpo num líquido,seu peso aparentemente diminui, chegando àsvezes a parecer totalmente anulado (quando ocorpo flutua). Esse fato se deve à existência deuma força vertical de baixo para cima, exercidano corpo pelo líquido, a qual recebe o nome deempuxo.

O empuxo se deve à diferença das pressõesexercidas pelo fluido nas superfícies inferior esuperior do corpo. Sendo as forças aplicadaspelo fluido à parte inferior maiores que as exer-cidas na parte superior, a resultante dessasforças fornece uma força vertical de baixo paracima, que é o empuxo.

6.3.1 Princípio de Arquimedes:

“Todo corpo imerso, total ou parcialmente, numfluido em equilíbrio, dentro de um campo gra-vitacional, fica sob a ação de uma força verti-cal, com sentido ascendente, aplicada pelofluido. Essa força é denominada empuxo (E

→),

cuja intensidade é igual ao peso do líquido des-locado pelo corpo.”

E = Pfluido = mfluido . gE = ρfluido . Vdes . gE = ρ . V . g

onde ρ é a densidade do fluido, e V é o volu-me do fluido deslocado.

observação – O valor do empuxo não depen-de da densidade do corpo imerso no fluido; adensidade do corpo (ρc) é importante para sesaber se o corpo afunda ou não no fluido.

• ρc < ρf ⇒ O corpo pode flutuar na superfí-cie do fluido (no caso de líquido).

• ρc = ρf ⇒ O corpo fica em equilíbrio nointerior do fluido (com o corpo totalmenteimerso).

• ρc > ρf ⇒ O corpo afunda no fluido.

1. Se a experiência de Torricelli fosse feita ao níveldo mar, com água (ρ = 103kg/m3) e (g = 9,8m/s2), qual seria a altura da coluna líquida deágua?

2. No freio hidráulico da figura temos, A1 = 1 cm2

e A2 = 10 cm2, que são as áreas dos êmbolos.Se o motorista aplica uma força de 20N aopedal, determine a força que as lonas exercemnas rodas.

3. Um corpo de peso igual a 5N aparenta ter so-mente 2N de peso quando completamente

59


mergulhado na água, cuja densidade é de1g/cm3. Determine:

a) o empuxo recebido pelo corpo;b) o volume do corpo;c) a densidade do corpo.

1. PRESSÃO ATMOSFÉRICA

a) COM MERCÚRIO

O objetivo desta atividade é medir a pres-são atmosférica com o procedimento deTorricelli, usando mercúrio e água.

Anote a temperatura ambiente.

Encha um tubo de vidro com cerca de 1mde comprimento com mercúrio. Atenção: omercúrio é muito nocivo à saúde. Protejasuas mãos com luvas de borracha, use más-cara e, se possível, trabalhe perto de umexaustor.

Tampando a saída do tubo, emborque-onuma proveta contendo também mercúrio.Liberte a saída do tubo e deixe o sistemaatingir o equilíbrio. Meça a altura da colunade mercúrio dentro do tubo.

b) COM ÁGUA

Encha uma mangueira com 13m de compri-mento com água. Feche uma das extremi-dades e eleve-a verticalmente, colocando aoutra extremidade em um copo com água.Meça a altura da coluna de água após oequilíbrio ter sido alcançado.

2. DETERMINAÇÃO DA DENSIDADE DE UMCORPO

O objetivo desta atividade é determinar a den-sidade de um corpo sólido.

Suspenda uma mola de constante elásticaconhecida em um suporte (Fig.16). Meça ocomprimento de equilíbrio da mola (y0).Suspenda o corpo cuja densidade desejadeterminar na outra extremidade da mola emeça o comprimento de equilíbrio (y1). Enchauma proveta com água e mergulhe o corpo emquestão no líquido. Quando o equilíbrio foratingido, meça o comprimento da mola (y2).

O peso do corpo é PC = ρCVg = k(y1 – y0) e opeso da água deslocada, PA = ρAVg = k(y1 –y0), de modo que a densidade do corpo podeser escrita:

Com os valores numéricos obtidos e conside-rando a densidade da água como sendo 1kgm–3, calcule c.

60


UNIDADE IIIO Estudo dos Movimentos

63

Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos

TEMA 01

ANÁLISE DO MOVIMENTO

INTRODUÇÃO

Uma das características mais notável do nossoUniverso, o fenômeno que primeiro chama aatenção, é o movimento. Neste instante, porexemplo, muito embora não se ouça o ventoassobiar, você encontra-se se movendo comuma velocidade de cerca de 108.000km/h aoredor do sol e girando por volta de 160Km/h . Asmoléculas de ar que estão caoticamente semovimentando ao seu redor, colidem contra seucorpo com uma velocidade maior do que umabala de revolver. Os raios luminosos refletemcontra a parede num tempo “bilhonesimamente”curto. Cada átomo desta folha de papel está exe-cutando milhões de vibrações. Alguns movimen-tos podem ser simples outros extremamentecomplexos; alguns bastante familiar, quase evi-dentes, outros até impossível de acreditar.

O estudo do movimento foi, sem dúvida, detodas as lutas intelectuais que a mente humanajá se defrontou, aquela que exigiu durante sécu-los maior esforço de compreensão. Tal dis-cussão que trata da descrição do movimento,sem levar em consideração o que causa domovimento é denominada de Cinemática. ACinemática. apenas descreve e classifica geo-metricamente os movimentos. Neste campo daFísica, qualquer descrição precisa do movimen-to, depende, essencialmente, dos conceitos deposição e tempo. De maneira que, um objetoem movimento experimenta uma mudança con-tínua de sua posição com o tempo. Nosso obje-tivo, portanto, neste capitulo é estabelecermosos conceitos de velocidade e aceleração demodo a interpretar e explicar grande parte dosmovimentos que nos rodeia.

1.1 OS ELEMENTOS PRELIMINARES PARA ADESCRIÇÃO DOS MOVIMENTOS

Semelhante a um grupo perdido de turista numafloresta que precisam abrir picadas para avançarrumo a sobrevivência, o ser humano para alcan-çar a compreensão dos movimentos precisoudesenvolver alguns conceitos e princípios básicospara analise e compreensão dos movimentos.

Para descrição minuciosa do movimento, capazde determinar onde objetos macroscópicos seencontra (móvel) ou predizer onde estará e quãorápido está se movendo em qualquer instante detempo, emprega-se o conceito de ponto materi-al, de referencial e de trajetória. Assim, sempreque as distâncias envolvidas forem muito grandepodemos desprezar o tamanho do móvel, querseja um planeta, uma carreta ou uma bicicleta epassamos a tratar o móvel como se fosse umapartícula ou ponto material.

O Referencial ou Sistema de Referência é, porsua vez, algo em relação ao qual o movimentoesta sendo descrito ou estudado. Caso vocêdiga, por exemplo, que “aquele carro está semovendo”, o que você está descrevendo,muito certamente, é o movimento do carro emrelação a superfície da Terra, a um edifício, oua você mesmo. A escolha do referencial é umaquestão inteiramente de gosto e conveniência.Entretanto, torna-se mais vantajoso empregarum Sistema de Referencia por meio do qual adescrição seja o mais simples possível.

Para um passageiro, por exemplo, que semovimenta dentro de um barco que navega anoite pelo rio Amazonas, pouco importa se oreferencial é a “beirada do rio” ou o cruzeiro dosul. Todavia, para o prático o movimento dobarco em relação a “beirada” é extremamenteimportante para tornar a navegação segura.

Na Física, movimento e repouso são conceitosrelativos, que estes conceitos dependem do ref-erencial adotado. Você, por exemplo, está emrepouso em relação à Terra mas, em movimentoem relação ao Sol. Não existe, portanto, movi-mento ou repouso absoluto. Estes conceitos sãorelativos, pois dependem do referencial escolhi-do. Dentro de um ônibus você está, por exemp-lo, em repouso ao cobrador, mas em movimento,em relação a uma pessoa parada na esquinaesperando o momento certo de atravessar a rua.

1. Considere a seguinte afirmação:

“Todo movimento é relativo. Então, podemos di-zer que em relação a um mesmo referencial que:

64


I. Se A está em movimento em relação a B eB está em movimento em relação a C, entãoA está em movimento em relação a C;

II. Se A está parado em relação a B e B estáparado em relação a C, então A está para-do em relação a C;

III. Se A se move com velocidade V→

em relaçãoa B, então B se move com a mesma veloci-dade vetorial V

→ em relação a A”

Examine atentamente as afirmações eindique qual (ais) dela (s) é (são) verdadeira(s) ou falsa(s). Explique sua resposta.

Outro importante conceito da Cinemática, e quedepende também do Referencial, é a de Traje-tória. Quando uma partícula se movimenta a suaposição varia de instante para instante. O conjun-to dessas posições, no decorrer do tempo é o quechamamos de trajetória. Podemos, assim dizer,que a trajetória representa o caminho descritopelo móvel em relação ao referencial adotado.

Deste modo a descrição do movimento de umponto da periferia de uma roda de uma bicicle-ta depende do referencial escolhido.

A figura abaixo ilustra as trajetórias de váriospontos de uma roda que rola sobre uma super-fície plana e horizontal.

Observe que em relação à superfície, o pontocentral da roda (eixo) descreve uma trajetóriaretilínea, enquanto que um ponto da periferiadescreve uma trajetória curvilínea (no caso, umaCiclóide). Por outro lado, em relação ao eixo, atrajetória de um ponto da periferia é circular.

Em relação ao solo, a trajetória do ponto seráuma ciclóide, enquanto que para uma pessoana bicicleta, a trajetória do ponto será circular.Como se vê, nem sempre um referencial situa-do na Terra fornece uma descrição mais sim-ples. Foi o que Copérnico procurou ressaltarem relação ao movimento planetário quando seadmite o sol como o centro do sistema solar.

Um outro exemplo muito interessante á a deuma bola de ferro que é deixada cair do toldode um barco de linha enquanto navegasuavemente pelas tranqüilas e paradisíacaságuas do lago do Puraquequara.

Para um passageiro, dentro do barco, a tra-jetória da bola é uma linha reta vertical, enquan-to que para um turista, parado na margem dolago, a bola descreve uma trajetória parabólica.

Uma vez que todo movimento esta associadoa noção de tempo, não podemos nos esque-cer que na interpretação de um evento, o con-ceito de tempo depende, também, do referen-cial escolhido.

No caso das Leis da Mecânica, o tempo éabsoluto. O tempo, não se dilata e nem se con-trai, transcorre sempre da mesma maneiraindependente do referencial escolhido. Casovocê disponha de relógios idênticos (sincro-nizados), o intervalo de tempo que um corpodemora a cair será o mesmo, quer você estejaem repouso ou em movimento uniforme. Éindependente do referencial.

A grande sacada genial de Einstein ao elaborara sua Teoria da Relatividade Restrita foi a de queo conceito de tempo também não tem nada deabsoluto, isto é não tem existência própria, masdepende do referencial em que é medido.

65


1.2 ANÁLISE DO MOVIMENTO

Um dos problemas fundamentais da Física é aanalise do movimento. Para simplificar e facilitara compreensão dos conceitos de velocidade eaceleração, vamos considerar o movimento deuma partícula numa só dimensão. Por exemplo,o movimento de um automóvel em linha reta.

Para descrever o movimento precisamosdefinir um referencial, que no nosso caso, seráa origem (ponto O). Desse modo, a posição dapartícula, num determinado instante (t), serádescrito pela abscissa correspondente [X(t)].A partir dessa base teórica podemos filmar outirar fotografias estroboscópicas do movimentoda partícula como uma estratégia para “conge-lar” sua posição em determinados instante. Emseguida constrói-se uma tabela da posição emfunção do tempo ou o gráfico do movimento.

A situação mais simples é aquela na qual,durante um mesmo intervalo de tempo (∆t), aposição da partícula (∆X) varia sempre damesma maneira. Neste caso dizemos que oMovimento é Uniforme. Assim sendo, podemos

definir a velocidade da partícula por .

Uma vez que, em intervalos de tempos iguais,as variações das posições também variam em

intervalos de tempos iguais, a razão dará

sempre o mesmo valor, ou seja a velocidadeserá sempre a mesma, isto é, será constante.

1. A Galáxia mais próxima da Terra é a Galáxia deAndrômeda, que dista cerca 1,8 x 109km.Suponha que um observatório em Andrômedatenha tirado uma fotografia desta Galáxia etenha remetido a Terra com a velocidade daluz. Há quantos anos corresponderia o aspec-to da Galáxia de Andrômeda nesta foto?(Considere que um ano tenha 3 x 107s.)

2. Um velocista consegue fazer 100m finais deuma corrida em 10s. se durante esse tempoele deu passadas constantes de 2,0m, qual foia freqüência de suas passadas?

A partir do gráfico [X=f(t)] interpretação geo-métrica da velocidade é bastante simples, érepresentada pelo coeficiente angular da reta,ou seja: V = tgθ.

Na pratica, quando se esta dirigindo, mantersempre a mesma velocidade é algo impossívelde se obter, pois em determinados trechos daestrada aumentamos a velocidade, ora pre-cisamos frear, em algumas situações dar mar-cha-ré, em outras, ficar parados. De tal modoque, na prática, a velocidade do carro estasempre variando.

Nestas circunstâncias, para avaliar o movimen-to global desenvolvido pelo carro costuma-seempregar o conceito de velocidade média

. Assim, se o carro, por exemplo, per-

corre uma distancia de 100km em 2 horas, avelocidade média desenvolvida foi de 50km/h.Resultado, evidentemente, extremamente impre-ciso, pois informa muito pouco sobre o queaconteceu durante aquele percurso. O carropode ter parado durante o trajeto, em algunsintervalo de tempo, a velocidade ter sido bas-tante superior, etc.

Uma maneira concisa, bastante eficiente devisualizar o movimento é através do gráfico daposição (X) em função do tempo (t). O gráficoretrata resultado do movimento descrito acima.

66


Analisando o gráfico podemos tirar algumasconclusões:

1 – o móvel percorreu distâncias iguais (∆X)em tempos iguais (∆t) ou seja: sempre 50Km em 1,0 hora.

2 – a razão pode ser medida pela tangente

do ângulo θ.

3 – a velocidade média permaneceu constante.

Deste modo que a expressão

pode ser rescrita como: ∆X = V.∆t ouX = X0 + V.t

4 – a partir do gráfico da posição (X) podemosencontrar o gráfico da velocidade (V) emfunção do tempo (t).

5 – a partir do gráfico da velocidade pode-seobter a distância percorrida pelo móvel.Para isso utiliza-se a área da figura entre oeixo do tempo e a curva obtida.

Observe que a figura obtida é um retângulo, demodo que:

∆X = área do retângulo

∆X = base X altura.

Substituindo os valores da base e da altura,temos que:

∆X = 2,0 h X 50 km/h. Portanto:

∆X = 100 km.

Evidentemente que outro veículo pode fazer omesmo percurso no mesmo tempo de 2,0 horas.

Entretanto, o modo como vai percorrer distanciade 100km será, com certeza, completamente di-ferente do caso anterior. O motorista pode, porexemplo, após ter percorrido 40km em 15 minu-tos, tirar uma soneca de 20 minutos. Depois, devoltar a dirigir 30km em 30min, resolver parar 45minutos para almoçar. Voltar a dirigir, ininterrup-tamente, e, ainda, chegar ao seu destino notempo previsto. Certamente, que as velocidadesmédias desenvolvidas nas duas situações foramidênticas, mas o que aconteceu durante o mes-mo intervalo de tempo difere completamentenos dois casos.

Como se pode verificar, o simples cálculo davelocidade escalar média não nos fornecetodos os detalhes do movimento como conse-qüência, a qualidade da informação obtida ficaextremamente comprometida.

A velocidade escalar média é, pois um cálculoestimativo para o movimento admitindo-seque, durante todo o trajeto, o móvel mantenhaa velocidade constante.

Caso queiramos obter uma precisão do queacontece realmente durante todo o movimen-to, isto é, a maneira pela qual a posição domóvel mudou com o tempo é indispensáveldefinir o conceito de velocidade instantânea.

Uma maneira de representar o complexo movi-mento do carro sem cometer erro em demasia, éfragmentando o trajeto percorrido em pequenostrechos e, em seguida, determinar a velocidademédia em cada um deles.

Analisando-se a tabela 1 abaixo constata-seque no limite, quando o intervalo de tempotorna-se extremamente pequeno, tendendo azero, a velocidade média se estabiliza em tornode um determinado valor.

Fica claro pela tabela que, a medida que a rela-

ção tende para um valor limite de 7,1 cm/s.

Esta técnica de tornar razão extremamente

pequeno corresponde ao processo matemáticodenominado de “passagem ao limite”, queimplica em calcular a taxa de variação daposição com relação ao tempo.

Matematicamente, representa-se esta “pas-sagem ao limite” por:

67


.

Em termos geométrico a velocidade instan-tânea em cada instante do movimento é repre-sentada geometricamente no gráfico [X = f(t)]uma tangente, cuja inclinação representa umvalor particular da velocidade instantânea domóvel, ou seja V = tgθ.

.

1. Um móvel se movimenta sobre o eixo X, comaceleração constante, de acordo com aseguinte equação horária: X = 2 + 2t – 2t2,onde t é dado em segundos e X em metros.

a) Qual a velocidade media do móvel entre osinstantes t=0 e t=2s?

b) Qual a velocidade instantânea do móvel noinstante t=2 s?

1.3 VELOCIDADE RELATIVA E MOVIMENTORELATIVO.

Na discussão acima enfatizamos o quanto aescolha do referencial é de suma importânciana analise do movimento. Analisemos, agora,uma situação prática.

Suponhamos que você esteja parado numacalçada da sua casa observando o movimentode uma moto (Vm) tentando ultrapassar umautomóvel (Va) que se encontra a sua frente,enquanto um caminhão (Vc) se desloca nosentido oposto ao do motoqueiro. Admitindoque as velocidades (Vm, Va e Vc) dos trêsmóveis são constante, a velocidade relativaentre os móveis vai depender do referencialescolhido. Assim, se o referencial for o carro avelocidade do motoqueiro em relação ao carroserá: Vmoto/carro = Vmoto – Vcarro.

Entretanto, caso o referencial seja o caminhão,a velocidade do motoqueiro em relação aocaminhão será Vmoto/caminhão = Vmoto + Vcaminhão

Essa descrição do movimento relativo não éválida quando se estuda sistemas que se

TABELA 1

68


movem com a velocidade da luz.

A Teoria da Relatividade Restrita corrige adescrição do movimento relativo, empregando

a seguinte expressão:

1. Suponha que você esteja dirigindo numa estra-da reta seu carro como uma velocidades con-stantes de 100Km/h e, na sua frente, no mesmosentido encontra-se um ônibus movem-se tam-bém, com velocidade constante de 80 Km/h.

a) Qual a velocidade do ônibus em relação avocê?

b) Se num determinado momento, o ônibusestiver a 600m à sua frente. Quanto tempodecorrerá ate que você encontre o ônibus?

2. Um avião desloca-se de uma cidade A paraoutra cidade B com uma velocidade e 300Km/hem relação ao ar, é atingido por um tufão quesopra a 60Km/h numa direção de 60° emrelação ao curso do avião. Determine a veloci-dade do avião em relação ao solo.

3. Um avião voa em relação ao solo com veloci-dade constante de 1000 Km/h, tendo direção esentido de Leste para Oeste. O vento sopradirigido e com sentido Norte para o Sul comvelocidade constante de 200Km/h. Qual adireção e o sentido da velocidade do avião emrelação vento.

4. Um ônibus com MRU, com direção e sentidoLeste para Oeste, em relação ao solo. No inte-rior do ônibus, um assaltante dispara seurevólver e a bala segue a direção e sentidoNorte para Sul, em relação ao ônibus. Em quedireção, um passageiro, sentado dentro doônibus, verá a bala caminhar?

5. O centro de um pneu que rola sem escorregardesloca-se com velocidade constante de 5,0m/s. Qual o módulo da velocidade no ponto B

no instante em que o diâmetro AB do pneuestá paralelo a pista. (Considere o raio do pneusendo 20 cm)

1.4 MOVIMENTOS ACELERADOS

Evidentemente, o que observa-se com muitafreqüência no cotidiano, é que a velocidadeinstantânea de um móvel não se mantém con-stante, ora ela aumenta quando a pista estálivre; ora diminui quando se percebe umobstáculo. Às vezes, se é obrigado a parar.Existe, portanto, um conjunto de fatores queobrigam a velocidade instantânea variar nodecorrer de um determinado percurso.

Em razão da velocidade instantânea variar como tempo durante o movimento, podemos agoradefinir para qualquer movimento não-uniformeo conceito de aceleração como a grandeza físi-ca que mede a “rapidez” com que a velocidadeinstantânea de um móvel varia com o tempo éa aceleração. Definimos a AceleraçãoEscalar Média de um móvel a razão entre avariação de velocidade (∆V) pelo correspon-dente intervalo de tempo (∆t).

Matematicamente: . Do mes-

mo modo que foi possível determinar pelo“processo do limite” a velocidade Instantânea,podemos definir, por analogia, a AceleraçãoInstantânea como sendo: a = lim∆t→ 0am, ou

ainda .

Para o caso do movimento uniformemente vari-ado, a variação de velocidade com o tempo

é constante, temos que a aceleração

instantânea do movimento é constante

.

69


Caso a velocidade do móvel varie uniformemente,por exemplo, de 10 m/s, de 1,0 em 1,0 segundo,a aceleração é constante. Neste caso, o movi-mento é denominado de Uniformemente Variado.

Para que você possa entender estes conceitos,considere a tabela abaixo, no qual a veloci-dade varia da seguinte maneira.

Observe que a partir da análise do gráficopodemos tirar algumas conclusões:

1. o móvel variou sua velocidade (∆V) semprede 10,0 m/s em cada 2,0 segundos (∆t).

2. a razão pode ser medida pela tangente

do ângulo θ.

3. a aceleração escalar média permaneceuconstante. Deste modo que a expressão

am = pode ser rescrita como:

∆V = a.∆t. Deste modo a relação fica:Vf = Vi + a.t

4. a partir do gráfico da velocidade (V)podemos encontrar o gráfico da aceleração(a) em função do tempo (t).

5. a partir do gráfico da velocidade pode-seobter a variação de velocidade por meio daárea da figura.

1. Perguntado sobre alguns movimentos comaceleração constante, um aluno forneceu osseguintes exemplos:

I. queda de uma folha seca de uma árvoreII. queda de uma manga do seu quintalIII. viagem de um avião entre Manaus - São

Paulo de Olivença.IV. movimento inicial de um atleta durante uma

corrida de 100 m

Você concorda com as sugestões? Quais vocêdiscorda? Explique por que.

Uma situação que frequentemente ocorre naCinemática é a determinação da variação daposição (∆X) a partir da velocidade instan-tânea. A partir do gráfico da velocidade pode-se obter a distância percorrida pelo móvel.Para isso utiliza-se a área da figura entre o eixodo tempo e a curva obtida.

70


Observe que a figura obtida é um trapézio, demodo que:

∆X = Área do Trapézio.

∆X = 120m

Generalizando o cálculo feito acima pode-sedemonstrar que a função horária da posiçãoem função do tempo do MUV é dada por:

, Como a função horária

obtida é do 2º grau, o gráfico será uma parábo-la (vide a figura abaixo).

Caso deseje exprimir a velocidade em função daposição, isole o termo (t) na equação (1) e (2) doMovimento Uniformemente Variado, para obter adenominada de Equação de Torricelli (3).

1 - V = V0 + a.t

2 -

3 -

Diariamente presenciamos situações em queum corpo varia rapidamente sua velocidadeem intervalos de tempo extremamente curtos.Podem ocorrer, por exemplo, elevadas aceler-ações quando:

i) um projétil é disparado por uma armaii) uma bola é chutada iii) no lançamento de um fogueteiv) na arrancada de um beija-flor.

1. Um corredor de curta distancia, partindo dorepouso, consegue imprimir a si próprio umaaceleração constante de 5,0m/s2 durante 2,0 se, depois, percorre o resto do percurso, com amesma velocidade adquirida no final do perío-do de aceleração.

a) esboce o gráfico da V = f(t) desse atleta.

b) qual a distancia total que ele percorre nessacorrida?

2. Dois motoboys partem simultaneamente de doispostes, afastados em linha reta de uma distanciaD, com velocidades constantes de 72Km/h e54Km/h, respectivamente em direção ao ginásioque fica na mesma avenida. Os motoboyschegam, no mesmo instante ao ginásio 10 min-utos depois. Com base nestas informações,quanto vale a distancia D entre os dois postos.

3. Um carro viaja em MRU com velocidade de 10m/s até o instante (t). A partir desse instante ocarro adquire uma aceleração constante de2,0m/s2. Que distancia o carro percorredurante 20 segundos após o instante (t)?

4. avenida movimentada, para se dirigir comsegurança recomenda-se manter o veículo dafrente a uma distancia mínima de um carro(≈ 4,0 m) para cada 16Km/h.

a) Seguindo esta recomendação, qual deveria

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ser a distancia mínima que você dirigindoseu carro a 108 Km/h deve manter-se afas-tado de um caminhão que vai a sua frente?

b) Mesmo que seu reflexo seja extremamenteágil (≈0,50s) demonstre que, caso vocêesteja afastado 10 m do caminhão, vocênão conseguirá evitar a colisão.

5. Um automóvel parte do repouso com umaaceleração constante de 9m/s2 em um percur-so de 72m. Depois, seu movimento passa a seruniforme durante 20s, após o que é freado em3s. Qual a aceleração media de freamento e adistancia percorrida ate o inicio da freada?

6. Uma partícula parte do repouso e percorreuma trajetória retilínea, de tal forma que, emcada intervalo de tempo de 1 s, a distancia porela percorrida é igual ao dobro da percorridano segundo anterior. Sabe-se que, a contar doinicio do movimento, a partícula leva 4 s parapercorrer 30 m.

a) Qual a velocidade media da partícula entreos instantes t=2s e t=3s

b) pode-se afirmar que a partícula está emMRUV? Por que?

7. Admita que você inicia uma corrida de bicicle-ta a partir do repouso, acelerando 0.50m/s2.Nesse instante passa por você, no mesmo sen-tido, outro ciclista com velocidade constantede 5,0 m/s.

a) Quanto tempo, após a largada vocêalcançara o outro competidor.

b) No momento da ultrapassagem, quantovalerá sua velocidade?

1.5 O ESTUDO DA QUEDA LIVRE

Dentre os movimentos que a humanidadelevou séculos para resolver, o problema daqueda de um corpo, se constitui num dos maisimportante. Ele está ligado concepção cos-mológica do Universo. O Modelo Copernicano(heliocêntrico), gera sérias e marcantes ques-tionamentos na explicação do movimento daqueda de um corpo numa Terra imóvel.

Compreender e explicar a queda de um corpocom a percepção armada por outro ponto devista, exige uma profunda alteração nas expli-cações e nas imagens mentais retratada cos-tumeiramente segundo o quadro prevalecentedo Universo. Este desafio e a luta intelectualnecessitava do desenvolvimento radical daabstração humana, sem a qual, a nova visãode mundo não se impunha.

Nesta caminhada, que se inicia na Grécia antigacom Aristóteles e nos leva até Einstein, não forampoucos aqueles e, nem pequenos, seus trabalhosna tentativa de tentar encontrar uma explicaçãopara o problema da queda de um corpo nas prox-imidades da superfície da Terra em movimento.

1. Por volta de 150 dC, Cláudio Ptolomeu deAlexandria, seguindo os ensinamentos deAristóteles, reforçou a crença de que a Terraencontra-se imóvel no centro do Universo. Se-gundo Ptolomeu. se a Terra girasse, as nuvens,as aves e todos os objetos no ar seriam deixa-dos para trás.

Comente este argumento de Ptolomeu.Justifique sua posição.

Para Aristóteles, a variável fundamental na quedade um corpo era o peso. A observação cotidianademonstra que quanto maior o peso de umcorpo mais rápido atinge o solo. Evidentementeque, ainda no Mundo Antigo, alguns discor-davam desta explicação, entre os quais,podemos citar João Filoponos, no século VI.

Com o passar dos anos outras explicaçõesforam aparecendo fazendo com que a propos-ta original de Aristóteles perdesse um poucoda sua força. Por volta do século XIV, surgiramas primeiras tentativas de geometrizar o prob-lema e a empregar, a partir do século XV, anti-gas e bem conhecidas regras numéricas paraexplicar a variação da posição durante a quedade um corpo.

72


Apesar destes avanços, importantes mestresdas universidades francesas e italianas,durante o século XVI, continuavam apegadosas explicações físicas aristotélicas-escolásticaspara o movimento dos corpos.

Nicolau Copérnico

Neste processo de liberação das amarras dosistema cosmológico tradicional defendidopelos escolásticos, um jovem cônego polonês,Nicolau Copérnico (1473-1543), talentosoastrônomo e matemático, elaborou um modeloplanetário centrado no Sol, o que colidia fron-talmente contra a tradição e a percepçãohumana. Evidentemente que a idéia deCopérnico, era difícil de ser aceita, pois car-regava em seu interior ilações perigosas eameaçadoras que colocavam em cheque a féreligiosa, tão abalada na Europa daquelesanos. Tanto que em1616, a Inquisição colocano Índex dos Livros proibidos, a obra deCopérnico, como “falso e de todo contrário àsSantas Escrituras”

1. Na sua opinião qual dos sistemas de referên-cia, o de Ptolomeu ou o de Copérnico, é maisvalido de um ponto de vista moderno?Justifique suas respostas.

É imerso nesta atmosfera cultural, treinado ebebendo cientificamente desta tradição queGalileu (1564-1642) vai iniciar seus estudoscomo estudante de medicina na Universidadede Pisa.

Os ensinamentos aí ministrados estavam pro-fundamente impregnados pelos comentáriosescolásticos, fundamentados na Física deAristóteles.

Dada esta realidade Galileo estava convicto deque, disputar contra uma doutrina tão firme-mente estabelecida, exigia muito mais do queatirar pesos da Torre Inclinada de Pisa. Era pre-ciso construir uma nova Física.

Determinado a sustentar a Teoria de Copér-nico, pôs-se Galileo a idealizar argumentosfavoráveis ao movimento de rotação da Terra.Dentre estes, aquele cuja solução vinha searrastando há séculos: o de que, se uma pedracaísse do alto de uma torre, ela não atingiria osolo junto a base da torre, pois não poderiaacompanhar o movimento da Terra. Em sín-tese, se a Terra girasse, a pedra seria deixadapara trás. Entretanto, não é isto o que se obser-va ao nosso redor: a pedra cai ao pé da torre.

1. Admita que a velocidade tangencial de umponto do equador da Terra seja aproximada-mente de 450 m/s e que uma pedra seja deixa-da cair do alto de uma torre de 45 m. Segundoa teoria de Aristotélica-Escolástica a quantosmetros do “pé” da torre a pedra atingiria o solo?

a) Sua solução apóia, a qual das teorias?

b) Apoiado em seus conhecimentos de Física,como você explica esta contradição?

2. Você seria capaz de justificar experimental-mente que a Terra gira? Explique.

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Armado com suas descobertas astronômicas,Galileo passou a se dedicar em estabelecernovos princípios gerais para o movimento apartir do estudo do comportamento dos cor-pos caindo sobre uma Terra em movimento.Isto o levou a meditar sobre os seguintes prob-lemas profundamente interligadas: elaboraçãodas leis da queda livre, sistemas de referenciase inércia para a explicação dos movimentosem uma Terra em movimento.

Com relação ao problema da queda livreGalileo havia apreendido que o núcleo da expli-cação da queda dos corpos residia na veloci-dade. Isso vai deslocar o foco da explicaçãopara o papel da aceleração do movimento.

1. O desenho abaixo representa as posiçõessucessivas de uma partícula, a partir dorepouso, livre de forças dissipativas.

Apoiado na análise dessa figura, você pode afir-mar com segurança que o movimento da partícu-la é de Queda Livre? Justifique sua resposta.

Inicialmente, Galileu assume que a velocidadeé proporcional a distância. Todavia, à medidaque suas idéias vão amadurecendo, ao revisarseus argumentos, Galileu descobre a incor-reção daquela proposição e passa a buscaruma explicação adequada em termos físicos.

Somente em 1638, na sua obra, “Discorsidimostrazioni matematiche intorno à duenuove Scienze”, é que ele apresenta publica-mente, em sua versão final, a formulação cor-reta para a queda de um corpo.

Galileu começa a construção racional para o“movimento naturalmente acelerado, tal como é oefetuado pelos corpos pesados em queda” pos-tulando que “a velocidade é proporcional aotempo”, pois esta é a maneira mais simples parao comportamento da natureza já que, “pela adi-

ção repetida de uma mesma parcela” em iguaisintervalos de tempo, ocorrerá o mesmo efeito.

A partir dessa premissa Galileu parte para o estu-do quantitativo do movimento uniformementeacelerado, definindo que: “um objeto é dito seruniformemente acelerado quando, partindo dorepouso, sua velocidade recebe iguais incre-mentos em intervalos de tempos iguais”. Em ou-tras palavras: ∆V ∞ ∆t; ou ∆V = a. ∆t.

Prosseguindo, Galileu aplica uma conhecidíssi-ma a regra geométrica que trata o movimentouniformemente acelerado como se fosse ummovimento uniforme. Galileu, chega a con-clusão que as distancias percorridas durante omesmo intervalo de tempo é proporcional aseqüência dos números primos (1,3, 5, 7, 9, ...).

O golpe de mestre de Galileu foi ter compreen-dido que a queda dos corpos era a chave paraa consolidação da nova cosmologia coperni-cana. Embora todos parecessem concordarque a queda de uma pedra sobre uma Terraem movimento, comportava-se exatamente damesma maneira quando ela caia do mastro deum navio em movimento.

O que se viu, entretanto, com o desenrolar dahistória de vida de Galileu, foi algo completamentediferente. Ele foi condenado, morto e sepultadopor tentar ajudar a suportar tamanha “heresia”.

1. Um corpo é deixado cair, a partir do repouso,de uma certa altura H. Se no último minuto daqueda ele percorre 25m, qual o valor da altura.

2. Uma pedra é lançada verticalmente para cima,com velocidade de 3,0 m/s de uma posição 2,0m acima do solo. Quanto tempo decorrerádesde o instante de lançamento ate o instanteda pedra chegar ao solo?

3. Uma torneira mal fechada pinga em intervalosde tempos iguais. No instante em que o 3ºpingo está se soltando, o 1º pingo caiu umadistancia X e o 2º pingo uma distancia Y.Quanto vale a relação X/Y? (considere g ≅10m/s2 e despreze a resistência do ar).

74


4. Uma partícula é lançada verticalmente para cima,com velocidade de 10 m/s. Dois décimos desegundo depois, do mesmo ponto, outra partícu-la é lançada, em idênticas condições. Nestascondições, ocorrerá a colisão entre as partículas?Caso ocorra, determine o instante e localize aposição onde ocorrerá a colisão. (Despreze aresistência do ar e considere g ≅ 10m/s2)

5. Uma bolinha de gude é lançada verticalmentepara cima com velocidade de 2,0 m/s, vindoatingir novamente o solo. (a) Qual foi a veloci-dade média da bolinha? R = zero. (b) qual oespaço total percorrido pela bolinha?

6. Um chuveiro defeituoso pinga água com freqüên-cia constante. Uma fotografia instantânea mostraque as distancias entre três pingos consecutivossão respectivamente 30 cm e 50 cm. Despre-zando a resistência do ar, a que distancia encon-tra-se a o pingo que caiu antes do primeiro.

7. Três bolinhas de gude, A, B e C, são largadascom velocidade inicial nula e percorrem amesma distancia D até atingirem o solo.Coloque na ordem de chegada ao solo asbolinhas. R = tA > tC > tB.

1.6 – ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

É uma constatação que, desde que nos enten-demos no mundo, todos os corpos abandona-dos de uma certa altura caem. No entanto,durante a queda, devido a existência do ar, ocorpo pode cair mais devagar. Fazendo-se cer-tas idealizações, tais como o corpo serextremamente pesado, altura de queda nãomuito grande, o movimento pode ser consider-ada aproximadamente uma queda livre.

Na época de Galileu admitir a existência do vácuoou vazio era um contra-senso. Entretanto, com odesenvolvimento da tecnologia de construção debombas de vácuo, constatou-se que todos oscorpos caem, no vácuo, com a mesma acelera-ção, denominada de aceleração da gravidade(g).

Durante uma viagem, em 1973, da missãoApolo XV a Lua, o astronauta David Scottdeixou cair contra o solo lunar uma pena de fal-cão e um martelo, constatando que apesar dadiferença de peso, ambos os corposchegavam ao solo no mesmo tempo.

O valor de (g) pode ser obtido experimental-mente com grande precisão. Todavia, paraefeito de simplificação de cálculo, vamosempregar um valor aproximado para (g) comosendo de: g ≅ 10m/s2.

A aceleração da gravidade para pontos próxi-mo da superfície de um planeta dependeessencialmente de sua massa e do raio, segun-

do a expressão , onde G é uma cons-

tante obtida experimentalmente. No entanto,dada a heterogeneidade do material que con-stitui a Terra, medidas das variações da gravi-dade pelos geofísicos podem indicar a pre-sença de campos petrolíferos, depósitos sub-terrâneos de gás, jazidas, etc.

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1.7 VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VETORIAL

Até agora, temos considerado apenas o papelda direção da velocidade, o que fica bastanteevidenciado na analise dos movimentos curvilí-neos. Um caso típico, por exemplo, é o caso domovimento circular uniforme, onde a partícula,embora se move sempre com a mesmo valorpara a velocidade, a direção muda constante-mente. Como a velocidade instantânea é repre-sentada geometricamente por uma tangente, aanalise do MCU revela que no ponto A direçãoda tangente é horizontal, no ponto B é vertical eno C é inclinada, o que demonstra que adireção da velocidade esta mudando.

Dada estas circunstancias, e conveniente rep-resentar geometricamente a mudança do vetorvelocidade pelo vetor aceleração média, querepresenta as variações do vetor velocidade

instantânea: ou ainda,

A partir disso, pode-se calcular facilmente quevetor aceleração, que representa as variaçõesdo vetor velocidade instantânea aponta para ocentro da curva de raio R. Esta aceleração sedenomina de Aceleração Centrípeta, que é

dado por:

, o que implica que ou

.

No caso do MCU, a velocidade (V) pode serexpressa em função da velocidade de rotação(ω), denominada de velocidade angular, dadapor V = ωr. A velocidade angular, também estaassociada a um vetor na mesma direção doeixo de rotação cujo sentido é dado pela regrada mão direita.

1. Dois atletas percorrem uma pista de corrida cir-cular, de raio R, no mesmo sentido, com veloci-dades tangenciais constantes iguais a V e 3V.Quanto tempo decorre entre dois encontrossucessivos entre eles?

TEMA 02

CAMPOS

2.1 LINHAS DE FORÇA DO CAMPO ELÉTRICO

Linha de força do campo elétrico é uma linhareta ou curva imaginária de maneira que suatangente, em cada um de seus pontos, forneçaa direção e o sentido do vetor representativodo campo. Quando as linhas de força são retase paralelas o campo é dito uniforme. Por con-venção as linhas de força saem dos corpospositivamente eletrizados e em caso contrário,convergem para ele.

As imagens mostram as formas das linhas deforça elétrica (a) de uma placa carregada - lin-has de força paralelas e (b) dos fios com car-gas iguais e opostas.

O conjunto das linhas de força que atravessamuma determinada área, constitui o fluxo de força.

Podemos concluir que as linhas de campoelétrico fornecem uma representação gráficado campo elétrico. A tangente à linha, forneceem qualquer ponto de uma linha de campo, a

direção e o sentido de E→

no ponto considera-do. O valor do campo é maior onde houvermaior concentração das linhas de campo e,consequentemente menor, nos locais ondeestiverem mais espaçadas.

2.2 CAMPO ELÉTRICO

Na Mecânica, ao falarmos sobre campo gravita-cional dizemos que a região do espaço queenvolve cada planeta sofre uma alteração, poisnele surge um campo de força gravitacional eque qualquer corpo que possui massa, colocadonessa região, fica sujeito a uma força de atraçãoexercida pelo planeta. Essa é a propriedade fun-damental dos campos gravitacionais.

Por exemplo, a evidência mais comum docampo gravitacional é a força peso. Se tomar-mos um objeto qualquer, seu peso próximo aochão, no alto de um edifício ou dentro de umavião será o mesmo, o que sugere que ocampo é uniforme em todos os pontos e eleexiste independentemente de haver ou nãocorpos ocupando um determinado espaço.

Por analogia, em Eletrostática, podemos afir-mar que o espaço que envolve uma cargaelétrica também está modificado, pois surgenele um campo de forças elétrico, o que com-preende que qualquer partícula eletrizada quefor inserida nessa região, fica sujeita a umaforça elétrica de atração ou de repulsão, depen-dendo dos sinais das cargas em questão.

Estas, não são forças de contato, mas forçasque atuam a distância.

O mecanismo dessas forças foi explicado porMichael Faraday, no início do século XIX, intro-duzindo o conceito de campo. No caso doscorpos celestes, é a idéia de campo de gravi-dade onde esses corpos interagem e, no casoda eletrostática, surgiu a idéia de um campoelétrico envolvendo a partícula eletrizada.

Compare estas figuras para uma melhor com-preensão das representações de linhas de

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força de um campo elétrico. Temos linhas deforça do campo elétrico entre duas cargaselétricas de sinais contrários e ação de um ímãsobre limalha de ferro (campo magnético).

É importante observarmos que comparaçãoentre os campos gravitacional e elétrico nos foiconveniente ante a necessidade de compreen-são do que é campo. No entanto, além danatureza diferente, a interação gravitacional éapenas atrativa enquanto que a interação elétri-ca vem a ser atrativa e repulsiva. Em comum,podemos dizer que os dois campos são regiõesem que se produzem interações que variamcom o quadrado da distância entre os corpossob influência mútua. Ou seja, em torno de umacarga elétrica sempre haverá um campo elétricoe para detectar a existência de um campo elétri-co em uma região do espaço, basta colocarmosnela uma carga de prova, que significa umacarga com um valor minúsculo o suficiente paraque sua presença não desloque as cargas cujocampo está sendo medido.

É importante esclarecer que, o campo gravita-cional atua sobre a massa do corpo de prova,ao passo que o campo elétrico atua sobre acarga elétrica do corpo de prova.

No campo gravitacional assim como no campoelétrico, quer o corpo de prova esteja emrepouso ou em movimento, surgirá nele umaforça de campo E

→.

A força é uma grandeza vetorial, assim sendoo campo também é. Logo, ela deve ser carac-terizada por uma intensidade, uma direção eum sentido e todas as operações com o vetorcampo devem seguir as regras vetoriais. Adireção é a mesma da força elétrica que agesobre a carga de prova. A intensidade é inver-samente proporcional à distância, ou seja,aumenta nas proximidades da carga e diminuià medida que dela se afasta.

definimos o campo elétrico E→

em um pontocomo a força elétrica F

→ que atua sobre uma

carga q nesse ponto, dividida pela carga q.Então o campo elétrico em um dado ponto éigual à força elétrica por unidade de carga queatua sobre uma carga situada nesse ponto:

Usando unidades SI, para as quais a unidadede força é 1N e a unidade de carga é 1C, entãoa unidade de campo é:

O sinal da carga Q, geradora do campo elétri-co, é quem defini o sentido do campo, pordefinição:

• Se Q < 0 (negativa), o sentido converge, defora para dentro.

• Se Q > 0 (positiva), o sentido diverge, dedentro para fora da carga.

Falando em termos da força F→

:

• quando Q > 0 (positiva), a força F→

que atuasobre a carga terá o mesmo sentido de E

→;

• quando Q < 0 (negativa), F→

e E→

terão sen-tidos contrários.

Para cálculos práticos da força elétrica e docampo elétrico, se colocar uma carga testepequena q no ponto do campo P a uma distân-cia r do ponto da fonte, o módulo F será dadopela lei de Coulomb:

e da equação do campo elétrico, o módulo Eno ponto P é dado por:

Outra situação fácil de se encontrar o campoelétrico é o caso do interior de um condutor.Caso existisse campo elétrico no interior de umcondutor, o campo exerceria uma força sobrecada carga existente em seu interior, o que pro-duziria um movimento das cargas livres. Pordefinição não há movimento efetivo em uma

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situação eletrostática. De onde se conclui quena eletrostática o campo elétrico deve ser iguala zero em todos os pontos do interior de umcondutor.

EXEMPLO

Calcule o módulo do campo elétrico de umacarga puntiforme q = 4,0nC em um ponto docampo situado a uma distância de 2,0m dacarga (a carga puntiforme pode ser qualquerobjeto pequeno carregado com a carga q,desde que as dimensões do objeto sejammuito pequenas em comparação com a distân-cia entre o objeto e ao ponto do campo.).

Solução:

Usando a equação para o módulo do campoelétrico de uma carga puntiforme:

=

1. Um próton é colocado num campo elétrico E.Quais devem ser a magnitude, a direção e osentido desse campo, sabendo-se que a forçaeletrostática que atua sobre o próton equilibraseu peso?

2. A figura mostra uma carga de q1 = +1,5µC euma carga q2 = 2,3L = 13 cm. Em que ponto Pao longo de x o campo é igual a zero?

2.3 MAGNETISMO

O estudo da eletricidade e do magnetismo foiatravés de um conjunto de descobertas experi-mentais e generalizações de teorias que semprese renovavam com as “mais recentes descober-tas”. Passaram-se séculos até que se pudesse“unificar” o magnetismo e a eletricidade, até entãoestudados separadamente. Esse vínculo foi esta-

belecido a partir das medições precisas dasforças magnéticas feitas por André Marie Ampèreque descobriu o magnetismo criado por uma cor-rente elétrica e a influência que esta sofre por essamagnetização. Essa influência foi descrita porMichael Faraday como “linhas de forças”, estassaiam do pólo norte de um ímã em direção ao seupólo sul. E assim, surgiu a idéia de campo. Comessa “novidade”, as explicações da maneiracomo as forças eletromagnéticas podem atuar alongas distâncias ganharam consistência.

Até aqui estudamos alguns tópicos básicossobre eletricidade e forças elétricas, agora estu-daremos as forças magnéticas e para isso vere-mos alguns conceitos básicos sobre o magnet-ismo, que estuda os fenômenos associados aosímãs, e sobre o eletromagnetismo, que estuda osfenômenos causados pelas correntes elétricas.

A propriedade de alguns corpos atraírem oferro foi observada, há muito tempo, com umminério da região de Magnésia, na Ásia, con-hecido como óxido magnético de ferro (Fe3O4);daí o nome magnetita dado ao minério e demagnetismo a propriedade nele observada.

Podemos enumerar algumas ações magnéti-cas, tais como:

• São capazes de atrair algumas substâncias(níquel, aço e outras).

• Dependendo de como aproximá-los a forçade interação entre os ímãs pode ser deatração ou repulsão.

• Os ímãs não agem sobre cargas elétricasem repouso, que por sua vez, não exercemforça sobre os ímãs.

• Um ímã em forma de barra suspenso pelo seucentro de gravidade de modo que possa girarlivremente, orienta-se sempre da mesma

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maneira num determinado local, em relação àdireção Norte-Sul geográficos: Região polarNorte magnética do ímã(N) – voltada para oNorte geográfico e Região polar Sul magnéti-ca do ímã(S) – voltada para o Sul geográfico.

• Os pólos magnéticos são inseparáveis, isto é,se cortarmos um ímã ao meio, obteremos doisnovos ímãs, cada qual com N e S magnéticos.

A magnetita é um ímã natural, mas para usoprático, se utilizam materiais com característi-cas magnéticas mais acentuadas e favoráveis(ligas de alumínio, níquel e cobalto) para fazerímãs artificiais de formas as mais variadas, deacordo com a conveniência da aplicação.

Os ímãs podem conservar as propriedadesmagnéticas por muito tempo, ímãs perma-nentes, ou perdê-la, assim que cesse a iman-tação, ímãs temporários ou transitórios.

1. O pólo A de um ímã atrai o pólo B de outro ímã,que repele o pólo C de um terceiro ímã, cujopólo oposto atrai A. Esta afirmativa é correta?Justifique.

2. como sabemos uma agulha magnética (bússola)se orienta numa direção preferencial sobre a Ter-ra. Na tentativa de explicar tal fenômeno, o cien-tista inglês W. Gilbert apresentou a seguinte idéia:

“[...] a orientação da agulha magnética se deveao fato de a Terra se comportar como umgrande ímã. Segundo Gilbert, o pólo geográficoda Terra seria também um pólo magnético queatrai a extremidade norte da agulha magnética.De modo semelhante, o pólo sul geográfico daTerra se comporta como um pólo magnéticoque atrai o pólo sul da agulha magnética.”

Em vista da explicação apresentada, é correto afir-mar que as linhas de indução do campo magnéti-co da Terra se orientam externamente no sentido:

a) leste – oesteb) sul – nortec) oeste – lested) norte – sule) para o centro da Terra

2.4 CAMPO MAGNÉTICO

O campo magnético, da mesma forma que ocampo elétrico, pode ser representado atravésde linhas de força ou linhas de campo.Podemos facilmente ver essas linhas decampo ao espalhar em torno de um ímã, limal-ha de ferro. Os pequenos fragmentos orien-tam-se como se fossem bússolas. Ou seja, emresposta ao campo magnético produzido peloímã, os pequenos fragmentos de ferro se alin-ham com a direção do campo magnético.

As linhas de campo são de tal maneira que, emcada ponto, o vetor campo magnético B

→ é tan-

gente à linha de campo. O espaçamento entre aslinhas de campo representa a sua intensidade,verificando-se que esta será mais intensa nospontos em que as linhas de campo estão maispróximas e menos intensa no caso contrário.

2.4.1 DIREÇÃO E SENTIDO DO CAMPOMAGNÉTICO

Quando queremos representar a direção de B→

,em um ponto, colocamos nesse ponto umabússola (onde seu eixo de giro será colocadosobre o ponto). A direção de B

→ é por definição,

a direção em que a agulha da bússola fica emequilíbrio, esta mostra o campo magnético tan-gente a linha de campo naquele ponto.

Assim, em cada ponto em torno do ímã, o sen-tido de B

→ é tal que se afasta do pólo norte e se

aproxima do pólo sul.

Observando as figuras vemos a região entre os

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braços do U em que as linhas de campo sãoquase paralelas. Isso significa que, em toda essaregião, o vetor B

→ tem, aproximadamente, a

mesma direção e o mesmo sentido. Se as linhasestiverem exatamente paralelas, definimos ocampo como uniforme e neste caso, todos osponto do campo B

→ possui a mesma intensidade.

Quando submetemos um ímã em forma de barraa uma região com campo uniforme, o ímã ficasujeito a duas forças de mesma intensidade F

→ e

– F→

. A resultante das forças é nula. Isso significaque o ímã não será acelerado para nenhum doslados, podendo apenas girar (posição de equi-líbrio), enquanto que se submetido a um camponão uniforme, as forças em cada pólo são difer-entes, logo a resultante será diferente de zero,podendo provocar uma aceleração do ímã.

1. A figura indica quatro bússolas que se encon-tram próximas a um fio condutor, percorridopor uma intensa corrente elétrica.

a) Represente, na figura, a posição do condu-tor e o sentido da corrente.

b) Caso a corrente cesse de fluir, qual será aconfiguração das bússolas? Faça a figuracorrespondente.

2. Imagine um plano com área de 3,0cm² em umcampo magnético uniforme. Sabendo que o

vetor área A→

forma com B→

um ângulo de 60° eque o fluxo magnético através da área é igual a0,90 mWb, calcule o módulo do campo mag-nético e determine a direção e o sentido dovetor área.

3. Raios cósmicos são partículas de grande veloci-dade que, provenientes do espaço, atingem aTerra de todas as direções. Sua origem é, atual-mente, objeto de estudos. A Terá possui umcampo magnético semelhante ao criado por umímã em forma de uma barra cilíndrica, cujo eixocoincide com o eixo magnético da Terra. Umapartícula cósmica P com carga elétrica positiva,quando ainda longe da Terra, aproxima-se per-correndo uma reta que coincide com o eixomagnético da Terra.

Desprezando a atração gravitacional, podemosafirmar que a partícula, ao se aproximar da Terra:

a) Aumenta sua velocidade e não se desvia desua trajetória retilínea.

b) Diminui sua velocidade e não se desvia desua trajetória retilínea.

c) Tem sua trajetória desviada para o leste.

d) Tem sua trajetória desviada para o oeste.

e) Não altera sua velocidade nem se desvia desua trajetória.

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TEMA 03

FLUIDOS EM MOVIMENTO

3.1 INTRODUÇÃO AO MOVIMENTO DE UM FLUIDO

A hidrodinâmica trata dos problemas rela-cionados a fluidos (líquidos e gases) em movi-mento, tais como o escoamento da água aolongo de um tubo ou de um rio, o sangue quecircula nas veias de uma, a fumaça de umachaminé ou de um cigarro.

O movimento de um fluido real é complicado eainda não é bem compreendido, e um dosmodos de descrever o movimento de um fluidoé dividi-lo em elementos de volume infinitesi-mais, que podem ser chamados de partículasdo fluido, e acompanhar o movimento de cadapartícula. Conhecendo-se as forças que atuamsobre cada uma das partículas pode-se, emprincípio, obter as velocidades e as coorde-nadas em função do tempo. Este método, queé uma generalização direta da mecânica dapartícula, foi desenvolvido por Joseph LouisLagrange (1736-1813). Como o número departículas do fluido é em geral grande, o usodeste método implica a resolução de um prob-lema matemático de enorme complexidade.

Existe um tratamento diferente desenvolvido porLeonhard Euler (1707-1783), que é mais conve-niente para muitas aplicações. Ao utilizar estemétodo, não é necessário especificar a trajetóriade cada partícula do fluido e sim, especificar adensidade e a velocidade do fluido em cadaponto do espaço e em cada instante. Este é ométodo que será utilizado aqui. Além disso, serádiscutido o movimento de um fluido ideal que émais simples de tratar matematicamente. Apesardos resultados não concordarem totalmente como comportamento dos fluidos reais, a diferença édesprezível em algumas situações práticas.

a) Escoamento estacionário:

Num escoamento estacionário (ou escoa-mento permanente) a velocidade do fluidoem movimento, num dado ponto, não variano decorrer do tempo, nem em módulo,nem em sentido.

b) Escoamento incompressível:

Tal como foi admitido no estudo do equi-líbrio de fluidos, é suposto que o escoa-mento de um fluido ideal seja incompressí-vel, ou seja, sua densidade permanecesempre constante.

c) Escoamento ideal:

A viscosidade num fluido é semelhante aoatrito de um sólido. Em ambos os casos, aenergia cinética do corpo que se move podetransformar-se em energia térmica. Naausência de atrito, um objeto movendo-seno seio de um fluido ideal (sem viscosidade)não deve sofrer a ação de nenhuma força dearraste devido ao atrito viscoso.

d) Escoamento irrotacional:

Neste tipo de escoamento, um corpo deteste colocado dentro do fluido não gira emtorno de nenhum eixo passando pelo seucentro de massa.

3.2 LINHAS DE CORRENTE E A EQUAÇÃO DACONTINUIDADE

Figura 9. Um tubo de escoamento é definido pelas linhas de corrente que delimitam suas

fronteiras. A vazão do fluido deve ser a mesma em todas as seções retas do tubo de escoamento.

A Figura 9 mostra duas seções transversais deáreas A1 e A2 ao longo de um tubo de escoa-mento fino. Observando num intervalo detempo t o movimento do fluido em P tem-seque uma partícula do fluido percorrerá umadistância v1t varrendo um volume de fluido Vdado por:

V = A1 v1t .

Sendo o fluido incompressível e não havendofontes ou sorvedouros na região consideradana Figura 9, tem-se que o mesmo volume defluido deve passar em Q ou seja,

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V = A1 v1t = V = A2 v2t .

Portanto, podemos escrever para qualquerponto ao longo do tubo de escoamento:

R = A v = constante,

ou

R =

onde R é chamada vazão volumétrica, e suaunidade no SI é dada em m3/s.

Multiplicando a vazão volumétrica pela densi-dade (constante) do fluido, obtemos a quanti-dade:

Av ρ = const,

denominada vazão mássica. Também é con-hecida como equação da continuidade, eexpressa a conservação da massa em mecâni-ca dos fluidos.

1. Um líquido escoando pelo tubo indicado nafigura, atravessa a seção 1, com velocidade de3 m/s2. Encontre a velocidade que passa naseção 2, sabendo-se a área da seção 1 corre-sponde a 3 x 10–2 m e da seção 2 é 1,5 x 10–2 m.

Solução:

Aplicando a equação da continuidade, temos

A1 . v1 = A2 . v2

3 x 10–2 x 3 = 1,4 x 10–2 v2A velocidade na seção 2 é 6,4 m/s2.

3.3 EQUAÇÃO DE BERNOULLI

A equação de Bernoulli, inicialmente desen-volvida por Daniel Bernoulli em 1738, não é umprincípio básico, mas sim uma proposiçãodecorrente da lei de conservação da energia

adaptada para problemas que envolvem flui-dos. Ela é dada por:

onde o último termo da soma no primeiromembro representa a pressão devida à veloci-dade do escoamento.

Se a altura y for constante, de modo que o flu-ido não mude de nível enquanto escoa, entãoobtemos

a qual nos diz que se a velocidade de umapartícula do fluido aumenta enquanto ela seescoa ao longo de uma linha de corrente1, apressão do fluido deve deminuir e vice-versa.

1. Um tanque de grande área é cheio de água auma profundidade de 0,30m. Um buraco deárea A = 6,5cm2 no fundo do tanque permiteque a água escoe. Determine a que taxa aágua flui pelo buraco.

Solução:

D = 0,30 m

A = 6,5 cm2 = 6,5 x 10–4 m2

Vamos usar a Equação de Bernoulli, paraencontrar a velocidade com que á água sai noburaco do fundo do tanque:

nos pontos 1 na superfície da água dentro do tan-que e o ponto 2 no buraco no fundo do tanque:

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Considerando o buraco no fundo do tanque pe-queno, a velocidade na superfície 1 é aproxima-damente zero (v1 ≅ 0), e também D = y2 – y1,temos:

.

Os pontos 1 e 2 estão em contato com aatmosfera, logo p1 = p2 = patm, então obtemosa velocidade,

v2 = = 2,4 m/s.

O fluxo de água, ou seja a vazão é dada por,

R = Av = 1,58 m3/s.

1. Em duas regiões distintas do leito de um rio:uma larga A com área de seção transversal de200 m3, e outra estreita B, com 40m2 de áreaseção transversal. A velocidade do rio na regiãoA tem módulo igual 1 m/s. De acordo com aequação da continuidade aplicada ao fluxo deágua, calcule a a velocidade do rio na região B.

2. O sangue circula a 30 cm/s numa aorta com 9mm de raio. Calcule a vazão do sangue emlitros por minuto.

1. DETERMINAR A VAZÃO

O objetivo desta atividade é determinar a vazãode um líquido.

Deixe escorrer na proveta um certo volume delíquido, anotando o tempo correspondente. Arazão entre o volume acumulado e o intervalode tempo é a vazão. Usando a equação dacontinuidade, calcule a velocidade da água namangueira.

2. SOPRO SOBRE UMA FOLHA DE PAPEL

Segure uma folha de papel na posição horizon-tal, na altura da boca, e sopre fortemente sobrea folha. Observe e tente explicar o ocorrido.

3. FLUXO DE AR ENTRE DUAS BOLINHAS DEPING-PONG

Suspenda duas bolinhas de pingue-pongue,separadas por cerca de 3 cm, por fios demesmo comprimento e sopre entre elas.

• Sopre suavemente entre elas.

• Observe e tente explicar o que acontece.

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TEMA 04

ALGUNS TIPOS DE MOVIMENTOS

4.1 MOVIMENTO AO LONGO DE UM PLANOINCLINADO

Um corpo em queda livre, a partir do repouso,percorre em 1,0 segundo cerca de 5,0 metros,o que serve para dar uma medida do grau dadificuldade de se determinar experimental-mente, por exemplo, o tempo de queda parapequenas alturas. Em vista disso, Galileu utili-zou um plano inclinado para controlar a distan-cia a ser percorrida e o tempo do movimentodurante a queda de um objeto.

A mesma situação ocorre no caso de umPêndulo Simples, onde cada elemento infinitesi-mal da curva traçada durante seu movimento,pode ser considerado um micro-plano inclinado.O pendulo simples é um sistema idealizado, con-stituído de um ponto de massa (m) localizado naextremidade de um fio inextensível e sem massade comprimento (L) (vide a figura abaixo). O prob-lema do pendulo é essencialmente bidimensionalembora seu movimento real seja especificadocompletamente somente por um angulo θ.

1. O telhado da casa da dona Dorva tem a formada figura abaixo e que, Afrânio, seu neto, façacom que um tijolo deslize pelo telhado, atinja osolo no ponto C.

Determine:

a) O módulo da aceleração adquirida pelo tijo-lo ao longo do telhado.

b) As componentes da velocidade do tijolo noinstante em queixa o beiral (ponto C)

c) A velocidade com que o tijolo atinge o solo

4.2 VELOCIDADE TERMINAL

Como já foi dito, a presença do ar é um fatorque reduz a velocidade de queda dos corpos.Se assim não fosse, uma gota de chuva esma-garia a sua cabeça. Na realidade, o que ocorreé que a gota durante a queda alcança umavelocidade limitadora que impede que veloci-dade cresça indefinidamente. Chamamos estavelocidade de Velocidade Terminal.

Este efeito de retardamento pode ser observa-do no caso de uma bolinha de gude que cai,por exemplo, dentro de um recipiente comglicerina, a força de atrito viscoso se opõe aopeso, aumentado linearmente sua intensidadefazendo com que a força resultante diminua.

Quando a força de atrito viscoso equilibra aforça da gravidade, a velocidade tende paraum valor limite chamada de VelocidadeTerminal, como se vê no gráfico abaixo.

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Deste modo podemos determinar a VelocidadeLimite ou Velocidade Terminal (VL) quandofvis = Peso, donde se obtém a seguinte expressãopara velocidade terminal: VL = P/FViscoso.

1. Uma conseqüência superinteressante davelocidade terminal ser proporcional ao pesodo objeto, se relaciona com a explicação deAristóteles de que os corpos mais pesadoscaem mais rápido que os mais leve. Sendoassim, o nosso mundo é, então, Aristotélico?!Por sua vez, se em nosso mundo a resistênciado ar está sempre presente, porque Galileupreferiu ignorar no seu estudo da queda livre.

2. Uma gota de chuva de 0,05 g cai com veloci-dade constante de 2 m/s. qual a força retar-dadora que age sobre a gota?

4.3 AS LEIS DE KEPLER

As Leis de Kepler, no sentido moderno, sãoconsideradas pelos físicos como uma dasprimeiras “Leis Naturais”: afirmações precisas,verificáveis, sobre relações universais gover-nando fenômenos particulares, expressas emtermos matemáticos.

Entretanto, a maneira como Kepler chegou aelas é fascinante. Para adentrar no mundode Kepler não podemos nos esquecer asfortes influências que ele recebeu. Kepler foiastrólogo, místico, matemático, pastor luter-ano, etc.

Apesar destas idéias serem consideradas,atualmente, muito estranhas para quem estudaFísica, elas não as foram para Kepler. Sua ado-ração, por exemplo, pelo o Sol forneceu-lhe,em grande medida, a motivação de sua vida,do seu trabalho e, as razões pelas quais ado-tou a teoria de Copérnico quando raros eramaqueles que tinham suficiente coragem paradefender esta teoria, vindo a se tornar, em seucoração, partidário da nova astronomia

O seu entusiasmo pelo copernicismo, tambémesta arraigada ao apego de Kepler a tradiçãoplatônica-pitagórica, o levaram em 1602, a desco-berta da Lei correta, conhecida como a SegundaLei de Kepler, embora tivesse sido a primeira!!

Além de verificar que a órbita de Marte não écircular, Kepler também percebeu também queo movimento do planeta ao longo da órbita nãoé uniforme ou seja: a velocidade é maior quan-do ele está mais próximo do Sol.

A Segunda Lei de Kepler, conhecida como Leidas Áreas, demonstra que um planeta quandoestá mais próximo do sol a área é mais curta elarga, e quando se encontra longe, a área émais comprida e estreita. Entretanto, as duasáreas, para um mesmo intervalo de tempo, sãosurpreendentemente iguais.

Lei Áreas: “O raio vetor que liga um planeta aoSol descreve áreas iguais em tempos iguais”.

Tendo descoberto esta relação entre a veloci-dade e a posição de um planeta, Kepler retomaa questão da órbita planetária.

Após três anos lutando incansavelmente comeste problema, em que varias vezes estevecom a solução às mãos, mas deixava escapar,por não reconhecer a elipse como uma figuraperfeita. Tendo que recomeçar tudo de movo e,novamente, ..., e novamente,... Kepler desco-bre, em 1605, sua segunda Lei do MovimentoPlanetário, mas que denominamos de PrimeiraLei de Kepler, ou Lei das Órbitas.

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Lei das Órbitas : As órbitas descritas pelosplanetas em redor do Sol são elipses com oSol num dos focos.

Se a é o semi-eixo maior de uma elipse e c asemi-distância focal (vide a figura abaixo), arazão e = c/a chama-se excentricidade daelipse. Para e = 0, a elipse degenera num círcu-lo; quanto maior for e, mais “achatada” a elipse.

F e F’= focos; P = planeta

Entretanto, essas duas Leis não o acalmaram enem o satisfaziam plenamente, faltava-lhedescobrir a ordem pelo qual Deus organizou oMundo. Kepler, acreditava e perseguia obses-sivamente desde a juventude, a Harmonia quedeveria existir no universo.

Finalmente, em 1619, Kepler, descobre a LeiHarmônica. Esta lei relaciona o período demovimento de cada planeta em relação a suadistancia médias ao sol.

Lei dos Períodos, estabelece que: “Osquadrados dos períodos de revolução dedois planetas quaisquer estão entre si comoos cubos de suas distâncias médias ao Sol”.

Se T1 e T2 são períodos de revolução de doisplanetas cujas órbitas têm raios médios R1 eR2 respectivamente, a 3ª lei afirma que(T1/ T2)2 = (R1/R2)3

4.4 O MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

Este é sem duvida alguma é um dos maisimportante movimento no estudo da Física.Ainda que tão diversos em aparências, o uni-verso esta repleto de osciladores harmônicossimples, tais como: molas oscilando, átomosvibrando, circuitos elétricos, pêndulos. Todostem em comum a presença de uma forçarestauradora linear.

Movimento periódico ou movimento harmôni-co, é um movimento que se repete em interva-

los de tempos iguais. Vamos explorar esse tipode movimento, para o caso de uma partículaque descreve um movimento circular uniformeno plano vertical.

Um boa aproximação deste movimento é dadapelo movimento de vai-e-vem da sombra dapartícula que se repete periodicamente aolongo do eixo X. Um objeto que se move numamesma trajetória num movimento harmônico,dizemos que ele está oscilando. Muitos efeitosna Natureza são periódicos; por exemplo: asbatidas cardíacas, as estações do ano, asoscilações de um pendulo simples, asvibrações dos átomos num sólido, a correnteelétrica numa lâmpada; as oscilações dasmoléculas do ar numa onda sonora, etc.

Existe uma relação básica entre o MHS e o MCU,que pode ser visualizado de maneira bem sim-ples pelo movimento de uma partícula se movenuma trajetória circular de raio (A), ao redor deum eixo vertical que passa pelo centro do circu-lo, com uma velocidade angular (w) em rad/seg.

Se nos concentrarmos na sombra da partículaao longo de um plano horizontal verificaremosque ela se move para frente e para trás.Podemos, portanto, considerar a projeção domovimento de uma partícula em M.C.U. execu-tando um M.H.S.

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Outra característica bem marcante de todomovimento harmônico é o Período (T), ao finaldo qual o movimento se repete, reproduzindoexatamente, seu deslocamento e velocidade.O valor do Período (T), se obtém facilmente,observando que o movimento ao executar um

ciclo completo, . Tal propriedade é o que

possibilidade que um oscilador possa ser usadocomo um cronômetro.

Nestes casos, pode-se empregar o período domovimento de um pêndulo simples pode ser

facilmente determinado por: . Por-

tanto, num dado planeta, a freqüência de umpendulo simples não depende da massa massomente de seu comprimento.

, que quando comparada com

a = (–ω2).X, obtém-se .

TEMA 05

ONDAS

5.1 MOVIMENTO ONDULATÓRIO: O QUE ÉUMA ONDA?

O conceito de onda permeia todo o universo:escutamos onda, vemos onda, sentimos onda e,quando descrevemos átomos e moléculas,imaginamos ondas. A característica mais extra-ordinária de um movimento ondulatório: sejaqual for as circunstâncias uma onda transportaenergia, quantidade de movimento e informaçãoa uma hiper-longínqua região sem transportar omeio e com poucas perdas. Um terremoto ouum tsunami (ondas de grande amplitude, umapororoca gigantesca) pode se propagar porquilômetros destruindo tudo que encontra pelafrente. O sol emite radiação (ondas) eletromag-nética responsável pelo clima da Terra.

Conceitos relativos á Ondulatória.

Na experiência cotidiana, é possível percebermosalguns fenômenos que, inicialmente, poderemoschamar de simples perturbações, como porexemplo, uma pedra caindo em um lago. Após apedra cair, na superfície aparece pequenas ondu-lações contínuas, que demonstra que o meio ma-terial sofreu uma perturbação que se propagou.

Assim, podemos dizer que uma onda se formaa partir de uma série de pulsos, distúrbiosque se propagam através de um meio, semque haja transporte de matéria.

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Quanto á natureza, as ondas podem ser:

MECÂNICAS, quando necessitam de um meiomaterial para sua propagação; exemplos: asondas que se formam na superfície da água,em cordas balançando etc.

ELETROMAGNÉTICAS, originadas porvibrações eletromagnéticas que não necessi-tam de meio material para sua propagação. Éo caso das ondas luminosas.

Uma onda é qualquer sinal que se transmite deum ponto a outro de um meio com velocidadedefinida sem transportar matéria. É por issoque quando deixamos a cortiça num certolugar, ela sobe e desce, mas não sai do lugar.

Para cada tipo de distúrbio (onda), existe umamaneira especial de analisar o que causa a alter-ação na sua vizinhança. Neste sentido, devemosdiferenciar a onda longitudinal da onda trans-

versal. No primeiro caso, as partículas do meiomovem-se na mesma direção da propagação daonda, enquanto que no segundo, as partículas semovem perpendicularmente a direção de propa-gação. Vamos exemplificar cada um destes tiposde propagação analisando dois fenômenos natu-rais bastante conhecidos: o som e a luz.

Na primeira e na segunda foto, de cima parabaixo, exemplo de ondas transversais e, na últi-ma, exemplo de onda longitudinal.

Num movimento periódico, além do período,zuma observação importante é verificar quan-tas vezes o movimento se repete. A grandezafísica responsável por isso é freqüência, quese define como o número de vezes que umfenômeno se repete. A medida da distânciaentre duas cristas ou dois vales consecutivosdetermina o comprimento de onda (λλ).

Outro importante conceito é o da Frente deOnda, que se define como o conjunto de todosos pontos do meio que, em determinadoinstante, são atingidos pela onda que se propa-ga. Vale frisar que a frente de onda separa aregião perturbada da região ainda não pertur-bada. Cada ponto de uma frente de onda noinstante inicial zero pode ser considerado comouma fonte de ondas secundárias. A nova frentede onda é a superfície que tangencia essasondas secundárias. As ondas possuem aindacapacidade de reflexão, refração e difração.

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No primeiro caso, as ondas podem, ao incidirnuma superfície sofrer uma reflexão, de talmaneira que o ângulo de incidência é igual aoângulo de reflexão. O fenômeno da refração con-siste no fato de que, uma onda ao se propagar deum meio material para outro altera sua velocidadede propagação. Difração é o fenômeno o qual asondas conseguem contornar obstáculos e seusraios sofrem encurvamento. É tanto mais acentu-ado quanto maior o comprimento de onda. Porisso, a difração sonora é mais acentuada e maisfacilmente perceptível que a difração luminosa.

A polarização é outro fenômeno ondulatóriocaracterístico das ondas transversais, como asondas luminosas. Por esse fenômeno, a luz nat-ural, cujas ondas vibram em todas as direções,pode ser filtrada num único plano de vibração.

5.2 VELOCIDADE DO SOM

Um dos fenômenos naturais que tem impres-sionado desde os primórdios o Homem, dadoao misto de espetáculo e de medo que o acom-panha, são as tempestades. Ao relâmpagosegue uma intensa trovoada, cujo som pareceindicar que o “céu esta desabando”. A obser-vação de um terremoto, também, deve ter sidoalgo apavorante. O que não dizer dos maremo-tos e os Tsunami cujo som é ensurdecedor.

O som, entretanto, depende das condições domeio no qual se propaga ou seja, da densidade,pressão e temperatura do meio. Nos sólidos ébem maior do que nos líquidos que, por sua vez,é maior do que nos gases. O som, entretanto,nada mais é do que uma perturbação ou distúr-bio que se propaga longitudinalmente num movi-mento vibratório através da matéria. Assim, quan-do você fala, grita, canta e ouve um barulho, umasérie de ondas de compressão se propagamcontinuamente através do meio. Apenas por con-veniência, vamos admitir que uma onda longitu-dinal esteja se propagando num meio homogê-neo, isotrópico e elástico. Considerando a densi-dade do meio por (ñ), vamos imaginar umaporção deste meio como um tubo rígido de com-primento infinito, tendo numa das extremidadesum pistão. Caso o pistão seja subitamente impul-sionado para frente ele aplica uma compressãono meio originando-se um pulso (uma pertur-bação ou distúrbio) que se propaga com veloci-dade (V) através do meio.

Laplace, demonstrou matematicamente, que aexpressão geral de uma onda sonora, atravésde um processo adiabático (por causa de queas vibrações do ar são tão rápidas que a tem-peratura produzida não tempo para seequalizarem), é dada pela seguinte expressão

. Todavia levando-se em conta a e-

quação de estado de um gás ideal e adefinição de densidade, a equação pode ser

re-escrita como: , onde M é o peso

molecular de um gás. A partir desta equaçãopodemos concluir que a velocidade do somnum gás ideal depende somente do tipo degás e da temperatura; ou seja, é completa-mente independente da pressão.

Contrariamente, velocidade do som num sóli-

do é dada por: .

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No ar a velocidade do som é de aproximada-mente 341m/s ou seja: 1227Km/h.

A tabela abaixo fornece alguns valores davelocidade de propagação do som em difer-entes materiais:

Aviões supersônicos podem voar com veloci-dade maior que a do som. Entretanto, paraconseguir tal proeza, o bico do avião deve sercapaz de furar as ondas de pressão que seacumulam a sua frente. Essa espécie de“muralha de ar” é denominada de barreira dosom. De modo que quando o avião conseguederrubar esta barreira, ouve-se um estrondo.

5.3 VELOCIDADE DA LUZ

As origens da Óptica remonta a Antiguidade. Émuito difícil imaginar nosso mundo envolto emeterna obscuridade. Por isso não é difícil desurpreender que a óptica tenha surgido comouma dos primeiros ramos da ciência natural.Não apenas o homem tem sido atraído pelosfenômenos luminosos, que despertavamgrande curiosidade, mas também lhe propor-cionava uma grande variedade de benefíciospráticos: espelhos, lentes e prismas.

Os matemáticos gregos, também se preocu-param com os aspectos geométricos envolvi-dos nos fenômenos luminosos, tais como apropagação retilínea da luz, e a igualdade dosângulos de incidência e de reflexão. Eviden-temente, que desde a antiguidade o homemobservara formação de sombras, eclipses, mi-ragem e que o tempo de propagação da luzentre dois pontos é mínimo.

A “câmara escura”, conhecida desde a An-tiguidade serve para demonstrar a propagaçãoretilínea da luz na formação de imagens é achamada "Câmara Escura". A imagem que seobserva é invertida.

A propagação retilínea da luz permite explicara formação de regiões de sombra, de penum-bra e os eclipses.

Quando uma fonte luminosa de grandesdimensões (fonte extensa) projeta um feixe deluz sobre uma tela e se interpor um corpoopaco entre a fonte se observam três regiões:luz, sombra e penumbra.

O ECLÍPSE, pode ser definido como una ocul-tação total ou parcial de um corpo celeste poroutro. Existem vários tipos de eclipses: Lunar,Solar e Anular. Um eclipse Lunar é aquele dev-ido a interposição da Terra entre o Sol e a Lua, aqual impede que os raios solares possam chegaraté a superfície desta. O eclipse Solar, se devea interposição da Lua entre o Sol e a Terra,impedindo a visão total ou parcial do disco solar.No eclipse anular a situação é a mesma na quala Lua se interpõe entre o Sol e a Terra. A difer-ença é que ela somente cobre sua parte central enão de maneira total, ficando assim descobertouma coroa circular. Os eclipses mais conheci-dos popularmente são o Lunar e o Solar.

ECLÍPSE TOTAL O SOL

ECLÍPSE LUNAR

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Quanto a velocidade da luz os antigos tambémacreditavam que a luz se propagava instan-táneamente. Entretanto, está parece não tersido a opinião do sábio árabe Ibn al Haytam,conhecido pelo nome latinizado de Alhazen(965 - 1039), o primeiro a sustentar que a luz semovia com uma enorme velocidade, mas finita.Todavia, o que prevalecia até o século XVII,entre a grande maioria dos cientistas, era umadisputa quanto à velocidade da luz: se era fini-ta ou infinita. Cada grupo buscando encontrarum experimento que confirmasse suas idéias.

Galileu tentou elucidar essa questão, utilizandodois homens posicionados no alto de duas col-inas, cada qual com uma lanterna e umanteparo para servia para cobrir e descobri-la,assim que cada um deles visse a luz emitidapelo outro. Infelizmente Galileu não conseguiudeterminar, por meio desta experiência, qual-quer valor para a velocidade da luz.

Seu contemporâneo, Descartes, sugeriu que atra-vés de observações astronômicas do eclipses daLua, o experimento poderia se tornar exeqüível.

A criação do Observatório de Paris proporcio-nou ao físico dinamarquês Ole Römer ouRoemer (1644-1710) estruturar uma maneirade determinar a velocidade da luz através doeclipse dos satélites de Júpiter, que haviamsido descobertos por Galileu.

O eclipse ocorre quando um dos satélites deJúpiter cruza o plano da órbita do planeta, seocultando. Neste caso, é possível determinar comprecisão o momento em que começa e termina oeclipse, devido ao intenso brilho do satélite.

Para um observador situado em T1 o satélite(S1) de Júpiter está oculto, pois Júpiter seinterpõe na sua linha de visão. O eclipse parao observador situado em T2, pois ele não vê osatélite (S2) já que ele se encontra dentro dasombra projetada por Júpiter, isto é, o satélite

se eclipsou. Enquanto isso, o observador situ-ado em T3, acompanha o transito do satélite(S3) na frente do planeta.

Para Roemer, o que interessava era observar oeclipse, daí ter se interessado em acompanhardurante o eclipse o movimento de Io (o satélitede Júpiter mais interno). Roemer descobriuque o período entre dois eclipses sucessivosera cerca de 42,5 h. entretanto, quando faziaas medições um semestre depois o períodoapresentava uma diferença de 15 segundosem relação ao tempo esperado. Roemeratribuiu esta discrepância como prova de quea velocidade da luz não era infinita, pois neces-sitava de mais tempo (exatamente os 15segundos) para percorrer uma distância igualao diâmetro da órbita da Terra. Apesar de nãoter conseguido determinar o valor, Roemerchega a conclusão de que a velocidade da luzé finita ou seja, ela não se propaga instanta-neamente como muitos acreditavam.

1. Posição da Terra um semestre depois. Observe que adistancia L’ aumentou um diâmetro da órbita terrestre.De modo que o tempo decorrido para que o obser-vador veja o eclipse vai, também, aumen-

tar de .

Como conseqüência .

2. Tempo transcorrido para que um observador na Terra

veja o eclipse .

3. Eclípse - região de sombra.4. Satélite de Júpiter.

A tabela abaixo resume alguns dados impor-tantes sobre os satélites de Júpiter.

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1. Ao observar os satélites de Júpiter pela primeiravez, Galileu fez diversas anotações e tirou impor-tantes conclusões sobre a estrutura de nossouniverso. A figura abaixo reproduz uma anotaçãode Galileu referente a Júpiter e seus satélites.

De acordo com essa representação e com osdados da tabela acima, os pontos indicados por1, 2, 3 e 4 correspondem, respectivamente, a:

a) Io, Europa,Ganimedes e Calisto.b) Ganimedes, Io, Europa e Calistoc) Europa, Calisto, Ganimedes e Iod) Calisto, Ganimedes, Io e Europae) Calisto, Io, Europa e Ganimedes

Em 1725, o astrônomo James Bradley ao tentarmedir a distância de uma estrela, em duas difer-entes épocas do ano, confirmou que a teoria deRomer era correta: a velocidade da luz é finita.

A primeira determinação terrestre com sucessoda velocidade da luz foi realizada, em 1849, pelofisico francês Fizeau onde obteve a medida de315.300km/s. Seu colega Leon Foucault, em1850, num comunicado a Academia de Ciênciasde Paris, defendeu a tese de que a velocidadeda luz na água é menor do que no ar, abrindooutra fonte de pesquisa. Para a velocidade daluz no ar, Foucault, encontrou 296.796Km/s.Outras medidas, empregando outros métodosforam realizadas para a velocidade da luz. Ovalor, atualmente aceito, para a velocidade daluz é de aproximadamente 300.000 Km/s.

Enquanto as novidades aconteciam no campoda óptica, Maxwell em seus os estudos de eletri-cidade e magnetismo ia gestando a conclusãode que o campo eletromagnético poderia sepropagar como uma onda transversal no éterluminífero. Resolvendo suas equações, Maxwell,chegou teoricamente à conclusão de que a luzera uma onda eletromagnética. Com estadescoberta a Óptica se incorporava ao eletro-magnetismo, ramos da Árvore da Física, que ha-viam se desenvolvido independentemente.

A figura abaixo ilustra a geração de uma ondaeletromagnética devido à oscilação mutua-mente perpendiculares do campo elétrico e docampo magnético.

A confirmação experimental da teoria deMaxwell foi obtida, em 1888, pelo Físico alemãoHeinrich Hertz, resultado que consolidou etornou aceito a existência do éter pela comu-nidade científica. Atualmente, o que chamamosde espectro eletromagnético, inclui umaenorme variedade de radiações que diferemsomente em comprimento de onda ou freqüên-cia. Apesar dos diversos nomes dados ásdiversas regiões do espectro as ondas sãodescritas por relações funcionais idênticas, queobedecem ao mesmo conjunto de equações.

A partir da confirmação experimental de Hertzos físicos começaram a empreender umesforço na tentativa de determinarem anatureza física do éter. Em face deste desafioMichelson e Morley se propuseram a realizaruma experimento extremamente preciso paramedir o efeito do movimento da Terra atravésdo éter. Todavia, seu resultado foi inconclusivo:não conseguiram medir absolutamente nada!

Na tentativa de “salvar o fenômeno, Fitz Gerald,Lorentz, Poincaré e outros começaram a fazerremendos na teoria do éter. Foi, por esta épocaque Einstein também, tornou-se interessado noéter, sem que houvesse qualquer filiação com otrabalho experimental de Michelson. Em 1905,Einstein, publica o trabalho sobre: "A Eletrodi-nâmica dos Corpos em Movimento", que veio setornar conhecido, posteriormente, como a Teoriada Relatividade Restrita. Nele, Einstein descarta oéter luminífero apenas por não ser essencial parao resultados que almeja alcançar com aquele tra-balho. Posteriormente, no entanto, Einsteinvoltou a acreditar na existência do éter.

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TEMA 06

ÓPTICA

A natureza da luz é algo que instiga a curiosidadedo homem desde as mais remotas épocas. Oque é luz? Como se propaga? Como é gerada?

Buscando essas respostas, ao longo dos sécu-los, algumas explicações se mostraram corre-tas , outras infelizmente são erradas. Mas essejogo de “tentativas e erros” nas explicaçõesperduram até hoje: após a observação dofenômeno, se dá início às experiências bus-cando uma conclusão que é chamada leiexperimental, onde se lança as hipóteses queexplica e relaciona as causas e efeitos de umfenômeno. Daí surge as teorias e modelos paraque possamos entender melhor os fenô-menos. Esse caminho vale para a construçãoda ciência de modo geral e contribuiu muitopara o desenvolvimento da óptica.

Óptica – do grego optiké e do latim optice – é aparte da física que estuda a propagação e ocomportamento da luz, bem como os fenô-menos da visão. A historia da óptica começou naÍndia, em torno de 2000 a.C., com uma teoriaque procurava explicar a natureza corpuscularda luz, ou seja, que a luz era formada por minús-culas partículas, denominada corpúsculos, emi-tidas por corpos luminosos (que emitem luzprópria) lembrando a atual teoria quântica.

No século III a.C. o geômetra grego Euclidesafirmava que “o olho emite raios visuais que sepropagam em linha reta e com grande veloci-dade” e que “um objeto só se pode ser vistodepois de varrido pelos olhos”. Para Platão, aimagem era formada pela superposição de doisraios, um emitido pelo olho e outro emitido peloobjeto em observação. Hoje se sabe que o olhoé um receptor e não um emissor de raios deluz, ao contrário do que pensava Euclides.

Na Escola Pitagórica, discípulos de Pitágoras(581 – 497 a.C.), acreditava-se na existência deum fluxo visual, resultado da incidência de umraio de luz, que provinha do próprio olho.

O matemático e astrônomo egípcio CláudioPtolomeu, que viveu no século II d.C., ampliou

a teoria de Euclides, admitindo que os raiosvisuais atingiam os objetos próximos mais rap-idamente. Foi ele quem iniciou os estudos dareflexão e da refração da luz.

O cientista italiano Leonardo da Vinci (1452 –1519), realizou estudos a respeito do funciona-mento do corpo humano e construiu umacâmara escura, comparando seu princípio defuncionamento com o do olho. No mesmoséculo (XIII) surgiram as lentes usadas na cor-reção de defeitos da visão. Na seqüência foraminventados aparelhos ópticos com o objetivo deampliar a capacidade da visão do ser humano:o microscópio, para observação de objetosminúsculos, e luneta e telescópio para a visual-ização de objetos muito distantes, como osplanetas e as estrelas. Esses aparelhos foramaperfeiçoados ao longo do tempo, buscandoobter imagens cada vez mais nítidas.

No início do século XVI foi construído ummicroscópio com o espelho côncavo (sistemaconvergente de imagem). Em 1590 surgiu aprimeira luneta com uma lente ocular conver-gente, e foi aperfeiçoada na Holanda a partirde 1604. No início do século XVII a construçãode lentes, microscópios e lunetas astronômi-cas contribuíram para um grande progresso noestudo da óptica.

Em1610, o italiano Galileu Galilei construiuuma luneta astronômica, com a qual observouas luas de júpiter.

As imagens obtidas com os primeirosmicroscópios com lentes (1615) eram menosnítidas do que as obtidas com microscópioscom espelhos côncavos. Isto, porque os raiosluminosos de cores diferentes eram desviadosem direções diferentes, além da má qualidadedo vidro utilizado em sua fabricação. As novastécnicas de polimento permitiram melhorar odesempenho dos microscópios com lentes.

Em 1665, o cientista inglês Robert Hooke,observou pela primeira vez as células de cor-tiça usando microscópio composto, com umalente ocular e uma objetiva (a objetiva forneceuma imagem real ampliada e a ocular, usandoessa imagem como objeto, dela conjuga umaimagem final virtual).

No final do século XVII o microscópio ganhou

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novos acessórios como o suporte e a platina.

Em 1666 o cientista inglês Isaac Newton usouum prisma para fazer a decomposição da luzbranca nas sete cores do espectro que com-põe o arco-íris. A partir dessa decomposiçãoformulou uma teoria que dizia ser a luz forma-da por partículas que se propagavam agrandes velocidades. As idéias de Newtonsobre a natureza da luz foram contestadaspelo holandês Christian Huygens e por Hooke,que afirmava ser a luz composta por ondas. Naatualidade compreende-se que tanto Newtonquanto Huygens tinham razão.

Em 1877 o físico alemão Ernest Karl Abbeescreveu o princípio da óptica, o que possibili-tou o aperfeiçoamento rápido do microscópio.Por isso é considerado seu verdadeiro inventor.

Max Planck (1900), físico alemão, formulou a teo-ria quântica, segundo a qual a energia só podeser emitida ou absorvida pela matéria em peque-nos pacotes de energia, denominados quanta.

Em 1905 o físico norte americano, nascidoalemão, Albert Einstein propôs que, em certascircunstâncias, a luz poderia ser consideradacomo composta por pequenas partículas deenergia luminosa que chamamos de fótons.Segundo a teoria proposta por Einstein, a luz,por ser uma forma de energia, não é emitidacontinuamente, mas em pacotes separados deenergia ou quanta. Inicialmente essa teoria nãofoi aceita pela comunidade científica. Umadécada depois, o físico norte americano RobertAndrews Millikan demonstrou, por meio deexperiências que Einstein estava correto.

Atualmente, dependendo do fenômeno que seestuda, a ciência considera que a luz tem duasnaturezas: ondulatória e corpuscular em outraspalavras, a luz se comporta como onda oucomo propagação de partículas.

A Teoria corpuscular diz que a luz era consid-erada como um feixe de partículas emitidas poruma fonte de luz que atinge o olho, estimulan-do a visão.

A Teoria ondulatória diz que a luz é uma modali-dade de energia radiante que se propagam pormeio de ondas eletromagnéticas, assim como ocalor radiado, os raios x e as ondas de rádio. Asondas eletromagnéticas são ondas de energia

produzidas pela oscilação ou aceleração deelétrons. As que podem ser percebidas por nos-sos olhos são denominadas ondas luminosas ouluz. Essa teoria permite compreender fenômenoscomo a propagação, a reflexão e a refração daluz, sendo utilizada no estudo das cores.

O estudo da óptica é dividido em duas grandespartes: óptica geométrica – estuda a propa-gação retilínea da luz; os espelhos, lentes eprismas; a reflexão e a refração da luz; osinstrumentos ópticos; o fenômeno da visão eetc., enquanto que a óptica física – estuda anatureza da luz, ou seja, a luz como resultadode um movimento vibratório, a sua velocidadede propagação nos diversos meios transpar-entes, a sua polarização, a decomposição daluz branca, as cores, a intensidade luminosa,os fenômenos de interferência, a difração, etc.

6.1 OS PRINCÍPIOS DA ÓTICA GEOMÉTRICA

1. Princípio da propagação retilínea da luz:quando a luz se propaga em meios trans-parentes e homogêneos, seu caminho éuma linha reta.

2. Princípio da independência dos raios deluz: os raios de luz ao se interceptarem,cada um seguem seu caminho, sem sofrerinterferência um do outro.

3. Princípio da reversibilidade do raio de luz: atrajetória de um raio de luz não depende dosentido de propagação, ou seja, se permu-tamos a posição da fonte com a do obser-vador, a trajetória não se modifica.

1. Represente cada um dos princípios da óticageométrica por meio de desenhos ou porrecortes de jornais ou revistas.

Agora será apresentada uma síntese dos fenô-menos luminosos. É importante você perceberque em todos considera-se uma superfície deseparação entre os meios e um feixe de raiosparalelos que se propaga de um meio para outro.

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6.2 A REFRAÇÃO DA LUZ

A refração costuma ser definida como sendo amudança da velocidade da luz quando estapassa de um meio transparente homogêneopara um outro meio diferente, também transpar-ente e homogêneo, quase sempre seguida dedesvio na sua direção de propagação. Porexemplo, quando a luz passa do ar para a água.

Quando um feixe luz proveniente de um meioincide numa superfície de separação com o outromeio e se propaga através deste, os seguintesfenômenos acontecem: parte da luz se reflete noprimeiro meio; parte penetra no segundo meio emuda sua velocidade, além de sofrer, quase sem-pre, um desvio na sua direção de propagação.

Nos meios mais densos como a água, a veloci-dade de propagação da luz é menor do que nosmeios menos densos, como o ar. Dizemosentão que a água é mais refringente do que o ar.

O par de meios transparentes à luz constituium dioptro. Assim, o dioptro pode ser formadopor ar + água, ar + vidro, água + vidro, óleo+ água, etc.

Se a incidência do raio de luz for perpendicularà superfície de separação dos meios haverámudança da velocidade de propagação da luzno segundo meio, mas não se observarádesvio em sua direção de propagação, embo-ra a refração aconteça.

6.3 ÍNDICE DE REFRAÇÃO ABSOLUTO

A relação entre a velocidade de propagação daluz no vácuo e a velocidade de propagação da luzno meio considerado é conhecida como Índicede refração absoluto (n), e pode ser definido:

sendo:

c é a velocidade da luz no vácuo.

v é a velocidade da luz propagada no meioconsiderado.

Observe que o valor de n equivale a quantasvezes a velocidade da luz no vácuo é maiorque a velocidade da luz no meio considerado.Por exemplo, o índice de refração da água én=1,33. Isso significa que a luz se propaga novácuo a uma velocidade 1,33 maior do que naágua. É devido à refração que um lápis pareceestar quebrado quando parte dele é mergulha-do na água ou quando em uma piscina pareceque nossa perna encolheu.

6.4 REFLEXÃO DA LUZ

Quando um feixe luz proveniente de um meioincide numa superfície de separação com ooutro meio e muda de direção sem atravessara superfície é chamado reflexão da luz.

A reflexão obedece a seguinte lei: o ângulo dereflexão é igual ao ângulo de incidência ( r = i ).

A reflexão, caso ocorra numa superfície lisa(polida) denomina-se regular ou especular.Neste tipo de reflexão, os raios são refletidoscom uniformidade. Por exemplo, se os raiosincidentes forem paralelos, os refletidos tam-bém serão paralelos. Porém, se a superfície forirregular ou rugosa, os raios refletidos espal-ham-se desordenadamente em todas asdireções. No entanto, em cada ponto destasuperfície, as leis da reflexão são verificadas.

Considere o dioptro constituído pelos meios 1e 2, sendo n1 < n2. Por exemplo, ar e água.Uma fonte de luz é colocada no meio 2 e emiteraios luminosos. À medida que os ângulos de

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incidência desses raios aumentam, os respec-tivos ângulos de refração aumentam propor-cionalmente até atingirem seu valor máximo de90°. Ou seja, quando i = 90°, o valor de r é omaior possível para o ângulo de refração,denominado ângulo limite de refração (L).

Para um ângulo de incidência maior que oângulo limite, o raio luminoso sofrerá reflexãototal , quando o raio volta para o mesmo meio.

Um exemplo de aplicação da reflexão total é ocaso das fibras ópticas, usadas na tecnologiamoderna. As fibras ópticas são tubos finíssimosde materiais transparentes e dielétricos, capazesde conduzir luz por sucessivas reflexões em seuinterior por centenas de quilômetros sem quehaja necessidade de se regenerar o sinal.

Considerações importantes:

• O raio incidente, o raio refletido, o raiorefratado e a normal à superfície estãosobre o mesmo plano.

• O ângulo de reflexão é igual ao ângulo deincidência para todos os comprimentos deonda e para qualquer par de materiais.

r = i ou θr = θa (lei da reflexão)

• Para luz monocromática e para um dadopar de materiais, a e b, separados pelainterface, a razão entre o seno do ângulo θa

e o seno do ângulo θb, onde esses ângulossão medidos a partir da normal à superfície,é igual ao inverso da razão entre os doisíndices de refração:

, (lei da refração ou lei de Snell).

6.5 ABSORÇÃO

O feixe de raios paralelos se propaga no meio 1até atingir a superfície e ser por ela absorvido.Nessa situação, a superfície é escura e alta-mente absorvedora de energia. Nesse fenô-meno ocorre um aquecimento da superfície.

Podemos observar esses fenômenos simultanea-

mente, apesar de um deles sempre ser mais evi-dente. Por exemplo, em uma piscina, num dia desol, temos os raios paralelos; vemos a água dapiscina, reflexão difusa; vemos nossa imagem naágua, reflexa;, também podemos ver objetos oupessoas dentro (imersas) da água, refração; e aomergulhar na água, senti-la aquecida, absorção.

6.6 DIFRAÇÃO

Quando a luz emitida por uma fonte luminosapuntiforme passa pelo orifício de um anteparo,observamos a propagação em linha reta da luz,de maneira que passado o anteparo vemos umfeixe de luz (cônico) com vértice na fonte.

Contudo, se esse orifício é muito pequeno, osraios de luz sofrem um desvio ao passarem peloorifício, e então, a luz “invade” a região fora docone. A esse fenômeno chamamos Difração.

O fenômeno da difração depende da relaçãoentre o diâmetro do orifício e o comprimentode onda da luz. Só conseguimos observar oefeito da difração quando o orifício é muitopequeno, menor que o comprimento de ondada luz emitida.

1. Um raio de luz incide verticalmente sobre umespelho plano inclinado de 10° em relação aum plano horizontal. Pode-se afirmar, que:

a) o raio refletido também é vertical.

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b) o raio refletido forma um ângulo de 5° como raio incidente.

c) o raio refletido forma um ângulo de 10° como raio incidente.

d) o raio refletido forma um ângulo de 20° como raio incidente.

2. Na figura, S e S’ são superfícies de separaçãode meios transparentes. A trajetória do raio deluz apresentado representa que a luz:

a) se reflete em S e em S’,

b) se refrata em S e em S’,

c) sofre apenas uma refração em S’,

d) se reflete em S e se refrata em S’,

e) se refrata em S e se reflete em S’..

S

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UNIDADE IVUniverso Mecânico: o Universo como uma máquina

101

Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina

TEMA 01

O MOMENTO LINEAR

O século XVII foi a época no qual a ciênciaassumiu a sua forma moderna e o espírito cien-tífico contagiou a Europa.

René Descartes

Um dos expoentes mais significante e influente daFilosofia Natural desta época foi René Descartes(1596-1650), que desde jovem se rebelou contraa tradição na qual havia sido educado. No entan-to, a atmosfera carregada de medo e de insegu-rança advinda da condenação de Galileo pordefender o sistema copernicano, fez com queDescartes, para fugir de possível perseguição reli-giosa, fosse levado a desenvolver outro modelopara o Universo semelhante a um gigantesco reló-gio. Nesta construção, segundo Descartes, basta-va apenas matéria e movimento, que, por ação decontato, geravam inumeráveis vórtices no espaçoceleste que impeliam ao seu redor os planetas dosistema solar.

1. Dê algumas razões porque a teoria do movi-mento planetário de Descartes poderia ter sido“uma boa idéia útil”.

Sua concepção de Universo apresentava, con-tudo, um sério e profundo problema religiosopois para que seu imenso Relógio Mecânicopudesse seguir seu curso inexoravelmente,

Deus era obrigado a lhe dar corda de vez emquando, o que significava admitir que a obrade Deus era imperfeita.

Para evitar problemas, Descartes vai se refugiarna crença Metafísica, da indestrutibilidade domovimento. Com esta tese, Descartes, passa adefender abertamente, a concepção de queDeus, no momento da criação, dotou o Universode movimento, e que se mantém constante-mente. Consequentemente, se uma das partícu-las deste Universo Mecânico diminui a suavelocidade, outra partícula deve aumentar develocidade para que a quantidade de movimen-to (p

→ = m.v

→ ) do Universo permaneça constante.

Assim, num Universo Mecânico, ainda que aquantidade de movimento individual de cadapartícula possa mudar, a quantidade de movi-mento total do sistema de partículas per-manece constante. Diz ele:

“É perfeitamente razoável admitir que Deus, aocriar a matéria deu diferentes movimentos àssuas partes, preserve toda a matéria nas mes-mas condições em que a criou, portanto pre-serve nela a mesma quantidade de movimento”

Definindo a quantidade de movimento (oumomento linear) total de um sistema departículas por meio da soma dos momentosindividuais de cada partículas do sistema,temos que: m1. v1 + m2.v2 + m3. v3 + m4.v4 +m5. v5 + m6.v6 +...+ mi. vi , o que é o mesmoque escrever p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 +...+pi.. Em síntese, a quantidade de movimentototal do Universo é PTOTAL = Σpi = constante.

Guiado por sua convicção na Conservação daQuantidade de Movimento, as Leis da Colisão seconverteu no principal tema da investigação cien-tífica. No entanto, para que as Leis da Colisão fos-sem consideradas em pormenor e de maneirarazoavelmente precisa, Descartes, discordava dacompreensão de movimento inercial formuladopor Galileu. Para Descartes, o movimento inercialdevia retilíneo em qualquer direção.

1. Demonstre que, para um sistema de duas

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partículas de massa m1 e m2, que colidem aolongo de uma reta com velocidades V1i e V2i aconservação do momentum é dado por: m1

V1i + m2 V2i = m1 V1f + m2 V2f .

A partir da definição de Descartes para a quan-tidade de movimento de um objeto Newtondefiniu matematicamente o conceito de Forçacomo sendo “A quantidade de movimento semede pela velocidade e quantidade dematéria tomadas conjuntamente (isto é,fazendo-se o produto)”. O que implica dizerque a Força é diretamente proporcional a vari-ação da quantidade de movimento durante

certo intervalo de tempo, isto é: .

1.1 AÇÃO E REAÇÃO E MOMENTO LINEAR

Durante a interação entre um par isolado departículas, a quantidade de movimento deduas partículas varia em virtude das respecti-vas forças exercidas entre elas. De acordo coma conservação da quantidade de movimento(ou momento linear) temos que: p1 + p2=Constante. Entretanto, pela definição de força,temos que F1 + F2 = 0; ou seja: F1 = – F2

O que significa dizer que dois corpos ao inter-agirem as ações mutuas entre eles sejamiguais e opostas. Este par de forças (F1 e F2),denominado de par ação e reação, foi assinal-ada por Newton da seguinte maneira: “A qual-quer ação se opõe uma reação igual: ouainda, as ações mútuas de dois corpos sãosempre iguais e se exercem em sentidosopostos”

1. A tabela abaixo apresenta os módulos dasvelocidades V, em diversos instantes detempo t, dos corpos I, II, III, e IV, todos demassas constantes e iguais. Os corpos semovem sobre linhas retas, todos na mesmadireção e sentido.

a) Em qual dos corpos atuou a força mediacujo o módulo aumentou nos intervalossucessivos de tempo?

b) Qual dos corpos apresentou a maior vari-ação, em módulo, da quantidade de movi-mento linear, entre 0 e 4 segundos?

1.2 DUAS ESPÉCIES DE MASSAS.

Sabemos pela nossa experiência cotidiana queexiste certa dificuldade para se colocar umdeterminado corpo em movimento. Empurrarum caderno não é a mesma coisa que empurrarum armário. O caderno requer menos esforço.Tal dificuldade provém, na realidade, da quanti-dade de matéria que eles contém. Essa quanti-dade de matéria é o que denominamos demassa inercial ou seja, a medida da dificuldadede se acelerar um determinado corpo.

A relação F1 = - F2, permite que definamosoperacionalmente o conceito de massa iner-cial. Assim, a partir da relação ∆p1 = –∆p2

chega-se a seguinte igualdade: m1/m2 = a2/a1.

A experiência não pode fornecer o valor damassa inercial de um dos discos, ela forneceapenas a razão entre suas massas m1/m2 =a2/a1. No entanto, a partir do momento quepodemos comparar, podemos medir. Paraisso, basta escolher um corpo padrão e con-vencionar que sua massa inercial (m0) será aunidade. Por conseguinte, a massa inercial (m)desconhecida pode ser obtida pela relação:

.

Entretanto, devemos nos acautelar quanto essadefinição de massa, pois será que ela servetambém para descrever o movimento de obje-tos nas proximidades da superfície da Terra? Deacordo com a experiência realizada por Galileu,quando deixamos cair dois corpos de massas

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inerciais diferentes próximo a superfície da terra,a experiência mostra que, desprezando-se osefeitos da resistência do ar, eles caem com amesma aceleração. Neste caso, o que a massainercial tem a ver com a massa gravitacional?Certamente que estes dois diferentes aspectosda massa, a coincidência entre a massa inerciale gravitacional, se constitui, talvez, num dosmaiores mistério da Mecânica Clássica.

Curiosamente, no entanto, Newton parece tercompreendido essa coincidência entre as mas-sas pois ele fornece uma definição de massa,na qual: “A quantidade de matéria se medepela densidade e volume conjuntamente”,que não passa de um circulo vicioso.

1.3 IMPULSO

Quando duas partículas colidem, cada uma

delas experimenta uma força dada por .

Mesmo que o intervalo de tempo no qual aforça age seja extremamente pequeno, a forçaatuando sobre um objeto durante a colisãotransfere momento à partícula. Vamos agorarelacionar estas forças de interação com asvariações das quantidades de movimento doscorpos que colidem.

Para qualquer força que aja durante um interva-lo de tempo bastante curto temos: F

→ .∆t = ∆p

→.

O produto F→

.∆t se denomina de Impulso (I) deuma força, que se define pela variação da quan-tidade de movimento. Dessa maneira, podemosfocalizar nossa atenção no que está ocorrendocom apenas uma partícula e, dizer que sobre apartícula atua uma Força Impulsiva.

Com base nesta definição, gera-se um impulsoI = F

→ .∆t quando uma força atua durante um

curto intervalo de tempo numa colisão entre doiscorpos. De modo que a intensidade da forçavaria desde zero, no exato momento do contato,alcança um valor máximo durante o tempo emque os corpos ficam em contato, e depois cainovamente a zero no exato momento em queocorre a separação (vide a figura abaixo).

No caso da força variar com o tempo, cabedefinir uma Força Média (FMÉD) dada por: I= <F>. ∆t. Desse modo, a aplicação de umaforça média, desde que permaneça constante,produz o mesmo impulso.

1. Um móvel de 4 kg tem uma velocidade de 30m/s no instante t = 0 em que se lhe aplica umaforça na mesma direção da velocidade, deintensidade representada no gráfico. Nestascondições, qual a velocidade do corpo noinstante t = 6,0s?

2. Um objeto de 20Kg está inicialmente emrepouso sujeito a ação de duas forças ortogo-nais de 6,0N e 8,0N respectivamente. Se estasforças atuarem durante 4,0s (a) qual a veloci-dade final do objeto R = 2,0 m/s. (b) qual o tra-balho realizado pela resultante das forças?

3. Uma nave espacial de 103kg se movimenta,livre de quais quer forças, com velocidade con-

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stante de 1,0m/s em relação a um referencialinercial. Necessitando parar, o centro de cont-role decide acionar um dos motores auxiliares,que fornece uma força constante de 200N namesma direção, mas em sentido contrario aodo movimento. Este motor deverá ser progra-mado para funcionar durante quanto tempo?

4. Uma metralhadora dispara (n) balas porsegundo. Cada bala tem uma massa (m) euma velocidade escalar (V). As balas atingemum alvo fixo, onde ficam encravadas. Qual aforça média exercida sobre o alvo?

Sendo o impulso igual a variação da quanti-dade de movimento de cada bala, que valeexatamente m.V, ou seja, cada bala exerce umimpulso m.V sobre o alvo. Como o numero debalas que atinge o alvo igual a n.∆t, o impulsototal exercido é I = Numerototaldebalas . ∆p = n∆tmV.Sendo I = F.∆t, temos que a força média será:F = nmV, que pelo principio da ação e reação,corresponde a intensidade da força mediaexercido pelas balas sobre a arma durante odisparo. A figura abaixo ilustra a diferençaentre a força instantânea e a força média exer-cidas pelas balas.

1. Num intervalo de 1,0 segundo, 300 partículas,cada uma de 10 g e com velocidade de 10m/s,colidem elasticamente e perpendicularmentecontra uma parede de área igual a 1m2. Qual apressão media exercida na parede duranteesse intervalo de tempo.

Este resultado simples, pode ser ilustrado pornúmeros exemplos cotidianos como, por exem-

plo, o do jogador de tênis que para transmitir omáximo de quantidade de movimento a bola,ele a impulsiona com um movimento do corpo.

Pode acontecer, também de o intervalo detempo da colisão ser extremamente curto e aforça ser bastante intensa. Este é o caso, porexemplo, do que ocorre quando uma pessoachuta uma bola, causando um considerávelimpulso a bola.

O mesmo acontece quando um lutador decaratê quebra uma pilha de tijolos com a mão.Ele procura atingir os tijolos com uma grandevelocidade, de modo que a sua mão não parena superfície, mas em algum dentro da telha.Sendo o tempo de contato extremamentecurto, a força torna-se extremamente intensa.

Portanto, durante uma colisão para que a forçaexercida sobre um objeto torne-se máxima, demodo a criar uma variação de momento linearmáximo, é necessário tornar o intervalo detempo o mais curto possível.

Estas são as razões pelas quais, os modernosautomóveis são construídos com materiais quepossam ser facilmente deformáveis, aumen-tando o intervalo de tempo de colisão, demodo a reduzir ao máximo a força de impactoe a desaceleração.Algumas vezes, no entanto, ocorre de quer-ermos variar o momento linear de um objetocom uma força pequena. Por exemplo, quandovocê pula de um muro/janela. Instintivamente,dobramos o joelho ao tocarmos o chão.

Este simples ato aumenta o tempo de colisãoentre o corpo e o solo, reduzindo a força exer-cida sobre você pelo solo.

Porque os lutadores de boxe procuram movi-mentar a cabeça ao longo do soco.

Este movimento estende o tempo de contatocom a luva do adversário, reduzindo a força deimpacto necessário para parar o soco, evitan-do que o maxilar quebre.

1.4 LEI DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LI-NEAR

Na analise da colisão entre duas partículas cadaum dos corpos exerce uma força externa sobreo outro, num intervalo de tempo tão pequeno.

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Assim, se durante uma colisão unidimensional,a partícula 1 exerce uma força (F

→

12) sobre apartícula 2 esta, por sua vez, exerce uma força(F

→

21) sobre a partícula 1 (vide figura abaixo).

Sendo F→

12 = –F→

21 e, como estas forças tem amesma duração, obtemos que: ∆p

→

1 = –∆p→

2 ouseja: ∆p

→

1 + ∆p→

2 = 0 que expressa a Lei daConservação da Quantidade de Movimento.

Generalizando a expressão ∆p→

1 + ∆p→

2 = 0temos que: p

→

1i + p→

2i = p→

1f + p→

2f, onde os índicesi e f é empregado para denotar os valores daquantidade de movimentos das esferas 1 e 2,antes e depois da colisão.

O resultado acima pode ser representado veto-rialmente por meio da figura abaixo.

Esta é uma generalização muito poderosa,pois se aplica a uma variedade de colisões,independente do grau de dureza e elasticidadedo material que constitui as esferas. Aliás, foiutilizando a relação entre as velocidades relati-vas depois e antes da colisão, que se definia ograu de elasticidade dos materiais, que eradenominado de Coeficiente de Restituição,cujo o símbolo é a letra minúscula (e), que sedetermina pela seguinte relação:

.

Assim, com base neste critério era possível clas-sificar o tipo de colisão. Quando (e = 0) a col-isão era considerada elástica ou perfeitamenteelástica, isto é: quando o rebote é quase per-feito como no caso da colisão entre duasesferas de aço, de marfim, vidro, etc,. Se (e = 1)a colisão se chamava completamente inelásti-ca, pois não há rebote, como ocorre no caso

da colisão entre duas esferas de massa devidraceiro. Quando (0<e<1) a colisão era con-siderada parcialmente elástica.

Ainda que tenhamos considerado a Lei daConservação da Quantidade de Movimentopara duas partículas, ela é validada, também,para um numero qualquer de partículas queconstituem um sistema isolado, isto é vale parapartículas sujeitas apenas as interações mutuas,sem interações com outras partes do Universo.

Portanto em sua forma geral, a Lei daConservação da Quantidade de Movimentotem o seguinte enunciado: “num sistema físi-co isolado a quantidade de movimento éconstante”, isto é: se F

→ = 0 então ∆p

→ = con-

stante, o que significa dizer que: ∆p→

1 – ∆p→

f.

EXEMPLOS

I – Quando uma granada ou uma bomba, porexemplo, explode em vôo, a quantidade totalde todos fragmentos, imediatamente após aexplosão, deve ser igual ao valor da quan-tidade de movimento da granada ou dabomba, imediatamente antes da explosão.

II – De modo semelhante quando um núcleo sedesintegra, emitindo um elétron e um neu-trino, a quantidade de movimento total doelétron, do neutrino e do núcleo resultantedeve ser nula, desde que, inicialmente, osistema estava em repouso em relação aolaboratório.

III – Outro exemplo, é o recuo de um canhão.Inicialmente, o sistema (arma + projétil) estaem repouso, e a quantidade de movimentototal é nulo. Quando a arma é disparada, ocanhão recua para compensar a quantidadede movimento adquirido pelo projétil em seumovimento.

1. Um tronco de 50kg desde o rio madeira leva-do por ma correnteza com velocidade con-stante de 2,0m/s. Um marreco de 10Kg, voan-do a 2,0m/s rio acima, procura pousar no tron-co. O marreco escorrega de uma extremidadea outra sem conseguir permanecer obre o tron-co, saindo com velocidade de 0,5 m/s.

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Desprezando-se o atrito com a água, qual avelocidade final do tronco, assim que o mar-reco o abandona? (Considere todas as veloci-dades em relação às margens do rio madeira)

2. Um garoto de 20 Kg corre por cima de umatora da madeira de 80 Kg tora de madeira quese encontra boiando n’água. Despreze o atritoentre a tora de madeira e a superfície d’água.Se o garoto corre com uma velocidade con-stante de 1 m/s em relação tora.

a) qual o sentido do movimento da tora emrelação a superfície d’ água?

b) Qual a velocidade do garoto em relação asuperfície d’água?

3. Adryelle e suas amigas Ariane e Ágata, alunasde Física querendo determinar a massa de umcarrinho, montaram o seguinte experimento.Prenderam uma mola de massa desprezívelentre o seu carrinho e um outro cuja a massaM era conhecida. Em seguida comprimiramuma mola entre os carros e, para que os carrin-hos ficassem em repouso sobre uma superfícieplana e extremamente lisa, amarraram os car-rinhos com um barbante. Ao cortar o barbante,elas constaram que a velocidade do seu carrin-ho era 3 vezes menor que a do outro. Qual amassa do carrinho da Adryelle?

4. Durante as compras num supermercado, Ângeloempurra um carrinho de 10Kg, contendo 15Kg demercadorias, com velocidade constante de 0,1m/s, num piso horizontal, com atrito desprezível.Em dado momento, Ângelo esquece o carro quecontinua seu MRU. Sua mãe, preocupada com asituação retira, verticalmente, do carrinho um pa-cote de açúcar de 5Kg. Qual a velocidade do car-rinho após a mãe ter retirado o pacote de açúcar?

5. Uma espaçonave de massa M, desloca-se comvelocidade V. Em determinado instante, os tripu-lantes desprendem o compartimento de “lixoespacial” (M/2) do módulo de comando umcompartimento (M/2) que passam a viajar namesma e no mesmo sentido. Admitindo-se queo módulo de comando adquiriu uma velocidadeque é o dobro do compartimento da lixeira, qualo modulo das suas velocidades finais?

1.5 COLISÃO INELÁSTICA

Ocorre quando duas partículas, após a colisão,permaneçam juntas. Mesmo neste caso, a leida conservação da quantidade de movimentocontinua válida. Desse modo, caso uma daspartículas esteja em repouso, a velocidadecom que o sistema se move após a colisão é

1. tentar medir a velocidade da uma bala, umbloco de madeira foi colocada na beira de umamesa plana e lisa de 0,80 m de altura. Quandoa bala foi disparada horizontalmente contra obloco, ela alojou-se nele, vindo o conjunto atin-gir o solo a 1,20 da beira da mesa. Determinea velocidade V da bala.

1.6 COLISÃO OBLÍQUA

Resulta do fato dos centros de duas esferasque estão se movendo não estarem na mesmadireção. Assim, o vetor quantidade de movi-mento após o impacto pode ser decompostoem duas componentes: um na direção da linhaque atravessa o centro do impacto e a outra nadireção perpendicular a esta linha.

Considere, por exemplo, a seguinte situação: umaesfera se move horizontalmente e, após colidircontra outra esfera em repouso, se observa quesuas trajetórias se desviam de um ângulo α e β.

A determinação do comportamento final dasduas esferas, pode ser esclarecida utilizando-se a equação vetorial p

→

1i + p→

2i = p→

1f + p→

2f con-forme mostra a figura abaixo.

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A figura abaixo é uma fotografia na qual umapartícula alfa (núcleo de hélio) incidindo contraum átomo de hidrogênio, inicialmente emrepouso. A fotografia mostra que a partículaalfa é desviada da sua direção original e oátomo de hidrogênio é posto em movimento.Por meio do diagrama das quantidades demovimento é possível determinar, por exemplo,o ângulo de espalhamento entre as partículas.

1.7 COLISÃO: CASO GERAL

No capitulo anterior apresentamos a aplicaçãoda Lei da Conservação da Quantidade deMovimento para vários tipos de colisões, o queimplica em se conhecer as massas e as veloci-dades envolvidas, antes e após a colisão.Dada a diversidade de variáveis envolvidas, aaplicação sozinha da relação acima não con-segue oferecer uma resposta completa aoproblema. Neste caso, é indispensável que seestabeleça outra relação entre as velocidadeatravés da Energia Cinética.

A partir do estabelecimento das Leis de Conser-vação da Quantidade de Movimento e da Conser-vação de Energia podemos obter, de uma ma-neira geral, as velocidades finais das duas esferasdurante uma colisão elástica unidimensional.

A partir destas relações vejamos alguns casosespeciais de colisões elásticas unidimension-ais que merecem destaque:

1º CASO: Partículas de mesmas massas(m1 = m2) com velocidades iniciais.

Após a colisão as partículas trocam de veloci-dades. A velocidade final de uma e a veloci-dade inicial da outra.

2º CASO: A partícula-alvo (m2) está emrepouso e é muito maior que a partícula-projétil(m1), ou seja: m2>>m1.

Após a colisão a velocidade da partícula levese inverte e a partícula-alvo se mantém pratica-mente em repouso.

3º CASO: A partícula-projétil (m1) é muito maismaciça que a partícula-alvo (m2), isto é: m1<<m2.

Após a colisão, a partícula-alvo passa a ter odobro da velocidade da partícula-projétil.Quanto a partícula-projétil, mantém pratica-mente sua velocidade inicial.

1. Num jogo de bilhar uma bola preta, de massaM e velocidade V colide frontalmente contrauma bola vermelha, idêntica, parada. Após acolisão, qual a velocidade da bola preta?

2. Uma esfera A, de 6,0Kg, desloca-se com umavelocidade de 8,0m/s quando colide contraoutra esfera B, de 4,0Kg, que se encontra para-da. Após a colisão, quais as velocidades daesfera A e da esfera B?

3. Uma esfera de massa M, com velocidade V,colide frontalmente contra outra esfera demassa 2M inicialmente em repouso. Após ochoque quais as velocidades, respectivas, decada esfera?

1.8 A EXTRAPOLAÇÃO DO CONCEITO DEIMPULSO DISCRETO AO CONTINUO

A extrapolação do principio da ação e reação apartir da colisão entre duas partículas para cor-pos afastados gera alguns embaraços conceitu-ais quanto a aplicação das forças. No caso daspartículas estarem em contato, é muito fácil

108


imaginar que a transmissão da força é instan-tânea. Entretanto, se as partículas estiverem sep-aradas, surge a seguinte questão: como umapartícula pode transmitir instantaneamenteatravés do espaço a ação para a outra partícula?

Uma vez que na definição da quantidade demovimento p

→ = m. V

→ existe a dependência do

valor da velocidade, torna-se difícil de aceitarque a transmissão do momento linear de umapartícula a outra ocorra instantaneamente. Aluz, por exemplo, demora cerca de 8 minutospara percorrer a distância do Sol a Terra.

Michael Faraday, século XIX, tentou superar estadificuldade admitindo que a quantidade de movi-mento é transportado mediante a existência deum campo que se estabelece no espaço. Newtonpercebeu que esta questão da “ação à distância”constituía-se numa falha de sua Teoria da Gravita-ção, contornou o problema postulando a existên-cia de um meio material, extremamente sutil, im-ponderável, chamado de éter. Ele acreditava quea atração entre os corpos devia-se uma sucessãode pequenos impulsos sobre a Terra dirigido sem-pre para o mesmo ponto (centro de forças).

Em vista disso, ele imaginou que um objetodeslocando-se ao longo de AB, recebia umpequeno impulso sempre dirigido para o pontoS (centro das forças). Como resultado, o obje-to passava a se mover ao longo da reta Bc, aoinvés de Bc. Impulsos similares levam o objetoas posições D, E e F.

No limite, quando os intervalos de tempo entrecada uma das colisões se tornarem extrema-mente pequenos, tanto a linha poligonal quantoa série de forças impulsivas discreta e simultâ-neas, se tornam continuas. Tal como ocorre du-rante uma rajada intermitente da balas dispara-das por uma metralhadora.

1. Quando um meteorito passa próximo a Terra,devido a interação gravitacional desvia sua tra-jetória e, as vezes escapa, sem colidir com aTerra. Considerando que o módulo das veloci-dades inicia e final do meteorito sejam as mes-mas, determine a direção e o sentido da quan-tidade de movimento adquirido pelo meteoritoe pela Terra.

109


TEMA 02

A LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

O interesse de Newton pelo desenvolvimento deuma dinâmica para o movimento planetário, nasegunda metade do século XVIII, é uma peque-na amostra das discussões que se realizavamdurante os encontros da Royal Society. Porexemplo, um grupo de respeitáveis cavalheiros,entre os quais se destacam Edmond Halley(famoso astrônomo), Christopher Wren (ex-presidente da Royal Society, astrônomo,geômetra, físico e arquiteto) e Robert Hooke(exímio físico experimental e conceituadoastrônomo), debatiam, entre outras coisas, qualdeveria ser a Lei de Força necessária para queum planeta se movesse numa órbita elíptica,conforme havia sido estabelecido por Kepler.

Nestas discussões, as idéias eram impregnadapela teoria do filósofo francês René Descartes(1596-1650), segunda a qual o espaço estavacheio de um fluido sutil e invisível (Éter), quetransportava os planetas através de gigan-tescos redemoinhos em torno do Sol. Aliás,mesmo depois de Newton ter publicado suateoria, físicos e astrônomos continuaramempregando ta explicação.

1. Em que difere a concepção de força conjec-turada por Kepler com a de Newton?

2. tem alguma idéia do porque a Teoria deDescartes era considerada útil pelos cientistasda época?

3. Qual é atualmente a importância da obra deNewton? Somente histórica? ou ela ainda érealmente útil para a Ciência? Explique seuponto de vista.

Apesar de tudo, aquele grupo de estudiososnão descartaram completamente as expli-cações de Kepler, de que a Força emanada do

Sol deveria diminuir com o quadrado da dis-tância ao Sol. O próprio Hooke gabou-se aHalley de tê-la determinado.

1. Explique que implicações essa relação encontra-da por Halley pode ter no cálculo da aceleraçãoda gravidade? e para o peso de um objeto?

Entretanto, a despeito dos insistentes pedidosde Halley e Wrem para que Hooke apresen-tasse publicamente a solução, ele não o fez.Cansados de esperar, Halley, em agosto de1684, decidiu ir à luta, foi até Cambridge con-sultar Newton. Qual não foi sua surpresa, aosaber que Newton, a partir de que a gravidadediminua com o quadrado da distância, já haviaaté calculado que a curva descrita por umplaneta era uma elípse.

Após insistentes apelos, Halley, conseguiuconvencer a Newton que publicasse, em 1687,sua obra “Philosophiae Naturalis PrincipiaMathematica”, vindo se revelar no maior fenô-meno de público e de vendas, como tambémde críticas desde aquela época.

1. Qual a idéia central da Teoria de Newton ? Emque ela difere da de Descartes?

No Principia, Newton aplica sua teoria dinâmicapara a explicação da Máquina do Mundo, ou seja,como as mesmas leis gerais do movimento ter-restre podiam ser aplicadas tanto aos planetas eseus satélites, quanto aos fenômenos terrestres.

1. Sugira uma maneira bem simples pela qualNewton podia demonstrar as Leis de Kepler.

110


O golpe de mestre de Newton consistiu em terse conscientizado de que a gravidade estende-se até órbita da lua. De modo que guiado poresta idéia comparou a distancias percorridaspela maçã e pela “queda” da lua ao afastar-sede seu movimento inercial em 1,0 segundo,

Newton constatou que a relação era de .

Sabedor de que a Lua está 60 vezes maislonge do centro da Terra que uma maçã, seuscálculos revelavam maravilhosamente que aforça era proporcional o inverso do quadradoda distancia. Newton demonstra, portanto, quea força que mantém a lua em órbita é a mesmaque atua sobre uma maça puxando para aTerra. Força da Gravidade.

Foi esta arrojada e brilhante conjectura que lhepermitiu unificar os movimentos dos corpospróximos à superfície terrestre e os movimen-tos celestes.

Em resumo, foi em termos da força centrípeta,em conjunto, com as Leis de Kepler que Newtonconstituiu o núcleo central de sua Teoria daGravitação Universal.

Conforme ele mesmo fez questão de contar,esta descoberta foi realizada, em 1665, aos 23anos, durante os anos da Peste Negra queassolou Londres. Como a Universidade foifechada, Newton refugio-se em sua casa,levando em sua bagagem um caderno ondeconstavam 22 questões que havia proposto asi mesmo que ia desde as descobertas deGalileu da queda dos corpos e das leis domovimento planetário estabelecido por Kepler.

Newton sabia que para a Lua se manter emórbita, alguma coisa tinha que atrair a Lua, poisde acordo com o Principio da Inércia ela tende-ria a se mover em MRU. Dispondo dos valoresda excentricidade da órbita elíptica para diver-sos planetas, como se pode constatar pelatabela 1, considerou como uma aproximaçãomuito boa que o movimento orbital da luafosse um MCU e, se perguntou, então, comoage a força que atua sobre a lua?

Sabendo que num MCU a aceleração é centrípe-ta e, uma vez entendido que a força que mantéma Lua na sua órbita é a mesma que faz umamaçã cair, Newton cunhou a expressão Força

Centrípeta para qualquer força que esteja dirigi-da para o centro da curva descrita pelo objeto.

Fundamentado na 3ª Lei de Kepler, Newtondeduziu que a Lei da Atração Gravitacional,além de variar na razão inversa do quadradoda distancia deveria ser proporcional à massado planeta. Newton, foi assim levado à con-clusão que não somente a Terra atrai umamaçã e também a Lua, mas que qualquercorpo do universo atrai todos os outros.

Esta descoberta era apenas o começo, pois osproblemas teóricos que ele precisava vencereram enormes. Se comparar-mos o período dadescoberta, por volta de 1665 e a publicaçãoda sua obra cientifica, o Principia, publicadoem 1687, verificaremos que mais de 20 anosse passaram. O que teria levado Newton aaguardar tantos anos antes de publicar osseus resultados?

A dificuldade principal residia em encontrarresposta matematicamente correta e convincentea suposição de que o cálculo da força de atraçãoque a Terra exerce sobre um corpúsculo situadofora dela, podia ser feito admitindo que toda amassa da Terra estava concentrada no seu cen-tro. Esta conjectura audaciosa foi o que levouNewton a criar um instrumento matemático queele não dispunha na época: o cálculo integral.

A construção e o desenvolvimento destas idéiasserve como parâmetro para avaliar a capacidadeintelectual de Newton. Foi, portanto, a elabo-ração das demonstrações matemáticas que jus-tificassem aquela suposição que levaram maisde vinte anos. Somente por volta de 1685 é queNewton conseguiu demonstrar que, para umaforça central inversamente proporcional aoquadrado da distância (aliás, isto só vale parauma tal força!), a atração exercida por umaesfera por uma partícula externa é como se todaa massa da esfera estivesse concentrada em seucentro, o que está muito longe de ser óbvio.

1. Demonstre a seguinte proposição de Newton:

“... que um corpúsculo situado fora de uma esfera

111


é atraído com uma força inversamente propor-cional ao quadrado de sua distancia ao centro.”

Entretanto, Newton resolveu o problema pormeio de uma explicação surpreendente bastantesimples. Considerou que uma reta qualquer quepassa pelo ponto P interno à camada, cortandoa esfera nos pontos A e B (figura abaixo).

Um cone infinitésimo de vértice P e eixo ABintercepta a esfera em duas áreas infinitésimas∆A e ∆B, cujas projeções no plano da figurasão A’A” e B’B”. Os triângulos infinitésimosPA’A” e PB’B” são semelhantes, pela igualdadedos ângulos correspondentes, de modo queA’A” = PA”.

Portanto, uma casca esférica, uniforme, dematéria atrai uma partícula que está fora dela,como se toda a sua massa estivesse concen-trada no seu centro. Assim sendo, podemosimaginar a Terra como uma superposição decascas esféricas, cada uma atraindo umapartícula exterior ao planeta, como se a suamassa estivesse no centro dela.

A partir desse resultado Newton generalizapara o caso de uma esfera maciça. Nasolução, Newton aplicou o Principio daSuperposição, o que lhe permitiu que pudessedividir mentalmente a esfera numa coleção definas camadas concêntricas, de modo queatuando individualmente pudessem sertratadas como se fossem partículas.

1. graficamente o comportamento da força gravita-cional para (a) uma esfera oca e para (b) umaesfera maciça exercem sobre um corpúsculo.

Newton, em seguida, estende seus resultadose aos demais planetas do sistema solar e, final-mente, estabelece sua extraordinária síntese: aLei da Gravitação Universal.

“Que existe uma potencia de gravidade quepertence a todos os corpos e é proporcionala diferente quantidade de matéria que cadaum deles contém. [Porque] já demon-stramos que todos os planetas gravitam umpara o outro, e que a força da gravidadepara cada um deles, considerada separada-mente, é inversamente proporcional aoquadrado da distância ao centro do planeta.E portanto segue que a gravidade que tendepara todos os planetas é proporcional amatéria que contem.”

Se traduzirmos “potencia de gravidade” comoa força pelos quais os corpos se atraem, e“quantidades de matéria” pela massa,podemos estabelecer formalmente a Lei daGravitação Universal da maneira como é atual-mente entendida: É a força com que cadaobjeto no Universo atrai conjuntamente outroobjeto, sendo diretamente proporcional aoproduto de suas massas e inversamente pro-porcional ao quadrado da distancia entre eles.

Matematicamente, podemos expressar a Força

de Atração Gravitacional por: ,

onde M1 e M2 são as massas dos dois corpos,r é a distancia entre eles e G é uma universalconstante da natureza, denominada de cons-tante gravitacional.

Como as forças de atração, F e –F entre asduas partículas dependem apenas da sepa-ração entre elas, diz-se que elas estão sujeitasa força central numa dada região do espaço.

Uma força central [F→

= f(r) r ] tem, portanto,tem as seguintes propriedades:

112


i) Está dirigida segundo a linha que liga apartícula a um ponto fixo, chamado centrode forças.

ii) O valor da força só depende da distância rao centro de forças. Logo, o valor de F temo mesmo valor em todos os pontos de umaesfera de raio r.

2.1 O VALOR DE G e a MASSA DA TERRA

Deve-se evitar confundir a constante G, quenão é uma constante universal, com a aceler-ação da gravidade (g), cujo valor depende dolocal onde deve ser determinadas. Newton,tentou obtê-la no “Principia”, através da densi-dade media (ρT) da Terra.

O problema técnico da determinação do valorde G foi resolvido por Henry Cavendish, após71 anos após a morte de Newton, que utilizan-do uma balança de torção, obteve um valorpara Gque é bastante próximo do valor atual-mente aceito:

G = 6,67x10–11N.m2/kg2. Esta experienciaCavendish denominou de “pesagem da Terra”.

1. Empregando a Força de Atração Gravitacionaldada acima, determine o valor da aceleraçãoda gravidade (g) de uma massa (m) na super-fície da Terra. Sendo M massa da Terra.

Do ponto de vista, por exemplo, de uma maçã,a Terra se comporta como uma partícula, tendoa sua massa localizada no centro.

A maçã puxa a Terra para cima com a mesmaintensidade que é puxada pela Terra parabaixo.

Suponha, de acordo com a figura, que a Terra

puxe a maçã para baixo com uma força de 0,80N. Então, a maçã deve atrair a Terra para cimacom uma força de mesmo módulo, que vamosconsiderar no centro do planeta. Emborasejam iguais em módulo, essas forças pro-duzem acelerações diferentes, quando deix-amos a maçã cair. Para a maça, a aceleração écerca de 9,8 m/s2, a conhecida aceleração dagravidade perto da superfície da Terra.

Este resultado nos leva a três implicações cru-ciais:

I. a de que, desprezando-se a resistência doar, a aceleração adquirida por todos osobjetos, independente de suas massas (m)ou de seus pesos (P) caem livremente,próximo a superfície da Terra, é constante.Tal como postulada por Galileu.

Como se pode verificar, o valor desta acel-eração (g) depende essencialmente dascaracterísticas do planeta: sua massa, raio,constante gravitacional G, volume, constitu-ição física, etc.

Em particular, na superfície da Terra, próxi-mo ao nível do mar a uma latitude de 45º e,desprezando-se a resistência do ar, o valorcalculada para aceleração da gravidade (g)vale: g = 9,8665 m/s2

II. A segunda conseqüência é a de que, den-tro da mecânica newtoniana a equivalênciaentre a massa inercial e a massa gravita-cional é uma pura coincidência experimen-tal, conforme ele mesmo expressou.

III. Finalmente, como dissemos acima, a 2ª leide Kepler, desvela a existência do conceito,até então insuspeito, associado ao movi-mento rotacional, de Momento Angular esua conservação.

1. As observações astronômicas realizadas coma luneta, por Galileo, em 1610, o levou adescoberta das “luas” de Júpiter (pequenossatélites) girando em torno dele, em uma órbi-ta circular de raio r e período T. Diz ele: “... percebi que ao lado do planeta

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havia três pequenas estrelinhas, pequenas,mas muito brilhantes ...”

Tendo por base unicamente estas infor-mações, qual(ais) da(s) medida(s) abaixo podeser determinada? Justifique sua resposta.

a) a massa de Júpiterb) o valor g para numa das “luas”c) o valor de na superfície de Júpiterd) a força gravitacional sobre uma das “luas”.

2. Analise e comente a seguinte afirmação: “aforça com que o Sol atrai a Terra e a forçaque faz um pedaço de pão cair no chão sãode mesma natureza”

3. A massa do Sol é cerca de 27.000.000 vezesmaior que a da Lua; o Sol está cerca de 400vezes mais distante da Terra que da Lua.Compare as forças gravitacionais exercidapelo sol e pela Lua sobre a Terra.

4. Júpiter, o maior planeta do sistema solar, temdiâmetro 11 vezes maior do que a Terra e massa320 vezes maior que a terrestre. Sabendo-seque na Terra o peso de um astronauta com todoo seu equipamento é de 120 N, quanto ele cor-responderá na superfície de Júpiter?

5. Devido a rotação da Terra em torno de seueixo, o peso de um corpo é diferente nos diver-sos pontos da Terra. Considere a Terra comouma esfera de raio R e, como se a sua massaM fosse homogênea. Indique a direção dasforças que atuam sobre o seu corpo noEquador e no Pólo Norte da Terra. Estabeleçapara esses casos uma relação para a intensi-dade da aceleração da gravidade local

6. Quando você está assistindo um programa de TVisto só é possível, porque os satélites artificiaisusados em telecomunicação, capta o sinal eletro-magnético da estação transmissora, amplifica eemite para o local que deve receber a transmis-são. Este satélites geralmente são colocados emórbita circulares no plano equatorial da Terra.

a) porque estes satélites são denominados deEstacionários ?

b) porque eles não caem sobre a Terra?c) Qual a relação entre a velocidade angular e

a velocidade tangencial do satélite?

6. Pretende-se colocar, a uma altitude de 800km aci-ma da superfície, um satélite artificial de 1,0 tone-lada em órbita circular ao redor da Terra. Determi-ne: (a) A velocidade tangencial para se obter a ór-bita desejada. (b) O numero de voltas que o saté-lite dará por dia em volta da Terra. (c) O peso dosatélite naquela altura. (d) A Energia total do saté-lite em função da sua distancia ao centro da Terra.

Considere:

G = 6,67 x 10–11N.m2.kg–2

M = 6,67 x 1024kg

R = 6,67 x 103km

7. Suponha que exista um planeta que tem o trip-lo da massa da Terra e o seu raio é o dobro doraio da Terra. Quanto valerá, na superfície desteplaneta, o peso de uma massa de 20Kg?

8. Suponha que a velocidade de rotação da Terraaumentasse até que o peso de um objetosobre o equador ficasse nulo. De quanto deve-ria ser o período de rotação da Terra em tornode seu próprio eixo? (Considere o raio da Terrade 6 400Km e g = 10m/s2)

9. Antes do astronauta entrar na nave espacial queo conduzirá até Júpiter, seu peso é de 1000N.Sabendo-se que o raio de Júpiter é 11 vezesmaior que o da Terra e que sua massa 320vezes maior que a da Terra (a) quanto valerá amassa e o peso do astronauta em Júpiter?

10. Duas estrelas duplas, de massas M e 2M, sep-aradas por uma distancia D executam movi-mentos circulares em torno do centro demassa comum. Nessas condições, qual a mín-ima quantidade de energia necessária paraseparar completamente as duas estrelas?

11. Na sua opinião, porque a Lua não de encontroa Terra?

12. Afrânio cresceu tomando banho no cacimbãopulando do galho de uma mangueira de 6,0 mde altura. Após concluir seu curso dematemática, virou astronauta e foi pular no Marda Tranqüilidade na Lua. De que altura Afrâniodeve cair na Lua para adquirir a mesma veloci-dade com que atingia a água do cacimbão?

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TEMA 03

A LEI DE GAUSS

Um dos maiores matemáticos de todos os tem-pos, Sr. Carl Friedrich Gauss (1777-1855), paraexpressar a relação entre carga elétrica ecampo elétrico, formulou a denominada lei deGauss. Essa lei foi formulada em termos doconceito de fluxo do campo elétrico através deuma superfície fechada.

Friedrich Gauss

Conversando com um guarda de trânsito acer-ca da quantidade de carros que passam numadeterminada via de um bairro em Manaus numdado intervalo de tempo, estaremos exatamenteconsiderando o fluxo de veículos que passamnaquele lugar. Pronto, já temos a idéia de fluxo.Agora vamos pensar em como calculá-lo.

Para determinar o fluxo do campo elétricoatravés de uma superfície precisamos dividi-laem pedacinhos de área ∆Si, calcular o fluxoatravés de cada pedacinho e por fim, somar ascontribuições de todos os pedacinhos. O fluxodo campo elétrico através de um elemento deárea ∆Si é em geral dado por:

Φ∆Si= Ei∆Sicosθi

Onde θi é o ângulo entre os vetores que repre-sentam o campo elétrico e a normal N

→ à super-

fície ∆Si.

Então podemos determinar o fluxo do campoelétrico de uma carga puntiforme Q através deuma superfície fechada que envolve essa carga.

Observando a figura (a) temos a normal saindoda superfície irregular forma um ângulo φ como vetor campo elétrico. Na figura (b) temos aprojeção do elemento de área dA sobre asuperfície esférica.

Por questão de ser mais fácil escolheremosuma superfície esférica de raio r e com a cargaexatamente em seu centro.

Observe que a escolha da superfície gaussianadeve sempre satisfazer a condição de simetria,sendo assim, poderíamos usar também umasuperfície cilíndrica ou até mesmo cúbica. Oimportante é saber que no uso da Lei de Gauss,a questão não é usar a simetria apenas parafacilitar a solução, a aplicação dessa lei de-pende fundamentalmente da simetria e se nãopudermos usar a simetria não podemos usar alei de Gauss para obter a solução.

omo podemos observar, o vetor campo elétricoE→

i e a normal N→

i são paralelos de modo quecosθi= 1 e

Φtotal = Ei∆Si

Usando a lei de Coulomb, onde ,

podemos escrever:

∆Si

Onde ri corresponde à distância entre as car-gas e ponto em que se quer medir o campo.

A lei de Coulomb e a lei de Gauss elétrica estab-elecem uma relação entre o campo elétrico e ascargas elétricas que são fontes desse campo.

115


Neste caso em que a carga se encontra posi-cionada no centro de esfera, a distância paraqualquer elemento de área é igual ao raio r daesfera, então nossa equação fica assim:

Φtotal = ∆Si

O valor da somatória dos elementos de área ∆Si

para uma esfera de raio r é igual à área da super-fície esférica, é dado matematicamente por:

∆Si = Stotal = 4πr², o que corresponde a área

da superfície esférica escolhida.

Daí, Φtotal = 4πr² = , ou seja, o fluxo

elétrico é independente do raio da esfera. Eledepende apenas da carga Q existente no inte-rior da esfera.

Logo, podemos concluir que a expressão:

Φtotal = representa a lei de Gauss e podemos

descrevê-la assim:

“o fluxo total do campo elétrico através de umasuperfície fechada é proporcional às cargaselétricas situadas no interior dessa superfíciedividida por ε0”.

A lei de Gauss nos dá uma nova visão para oscampos e para as cargas elétricas. Uma con-seqüência dessa lei é a constatação de que ascargas de um condutor se distribuem sobresua superfície e não em seu interior.

Bem, se pararmos para pensar em algumas apli-cações tecnológicas que derivam das forçaselétricas, podemos nos lembrar do tubo de raioscatódicos de uma televisão; monitores de com-putador; osciloscópio, que mostra a variação deum sinal elétrico em um dado intervalo de tempoatravés de visualização gráfica (também usadono diagnóstico de peças defeituosas em equipa-mentos eletrônicos, regulagem de equipamentosde som, etc.). E se tomarmos como exemplo aluz que vem de uma estrela distante, veremosque o conceito de campo elétrico não é mera-mente ilustrativo. O campo elétrico é uma enti-dade física real, o que fica bem evidente ao anal-isarmos as ondas eletromagnéticas (será estuda-do mais adiante, aguardem!). O campo elétricotransportado pela onda é capaz de carregar ener-gia, momento linear e momento angular.

EXEMPLO

A figura abaixo indica o campo elétrico pro-duzido por duas cargas puntiformes de mesmomódulo e sinais diferentes q e –q (um dipoloelétrico). Determine o fluxo elétrico através dassuperfícies fechadas

A, B, C e D.

Solução:

Pela definição de fluxo elétrico teríamos queusar a seguinte integral para esse cálculo:

No entanto, a lei de Gauss nos diz que o fluxototal através de qualquer superfície fechada éigual ao valor da carga elétrica total no interiorda superfície, dividido por ε0.

Sendo assim:

• a superfície A engloba a carga positiva;então, Q = +q;

• a superfície B engloba a carga negativa;então, Q = –q;

• a superfície C engloba ambas as carga;então, Q = +q +(–q)=0;

• a superfície D não possui nenhuma cargaem seu interior; então, Q = 0.

Com esse artifício fica claro a conveniência emaplicar a lei de Gauss. E podemos concluir que

• o fluxo elétrico total para a superfície A é

dado por ΦE = +

• o fluxo elétrico total para a superfície B é

dado por ΦE = –

• o fluxo elétrico total para as superfícies C eD é dado por ΦE = 0.

Observe que esses resultados só dependemdas cargas existentes no interior da superfíciegaussiana.

1. Pode-se afirmar que, numa placa condutora planainfinita e eletricamente carregada, as cargas elétri-cas se distribuem uniformemente por simetria.Como conseqüência a densidade superficial decarga é uniforme, as linhas de força são perpen-diculares à superfície e o vetor campo elétrico ge-rado por essa carga é constante em qualquerponto. Podemos considerar a placa infinita ao re-lacionar a distancia do ponto à placa como muitomenor que a área da placa que esta a sua volta.

Supondo que a placa esteja carregada positi-vamente.

Calcule o fluxo do campo elétrico que atraves-sa o cilindro da figura.

2. Está representada na figura uma partícula demassa m = 5,0 x 10–4kg, com carga elétrica posi-tiva q = 2,0 x 10–9C, flutuando acima de uma placacondutora positivamente carregada, no vácuo, nasuperfície da terra. Utilizando os valores de ε0 =8,9 x 10–12C2/N.m2 e g = 10N/kg. Determine:

a) o modulo do vetor campo elétrico geradopor essa placa;

b) a densidade superficial de cargas da placa.

3.2 CAMPO ELÉTRICO NUMA ESFERA OCA EMACIÇA

A lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas di-ferentes de abordar o mesmo problema. Portanto,o cálculo do campo elétrico para determinada dis-tribuição de carga fornece o mesmo resultado,quer seja realizado através de uma ou outra lei.

Então, quando e por que usar uma ou outralei? Como regra, o uso de uma ou outra lei édeterminado pelas seguintes circunstâncias:

• Distribuição de cargas com alta simetria

Lei de Gauss

• Distribuição de cargas com baixa simetria

Lei de Coulomb

CAMPO DE UMA CARGA PUNTIFORME

Por argumentos de simetria, é fácil chegar àconclusão de que o campo de uma carga pun-tiforme deve ter simetria esférica. Isto é, o valordo campo é o mesmo para qualquer pontosobre uma esfera. Mais do que isso, o campodeve ser normal a esta esfera.

Portanto, a melhor Gaussiana para calcular ocampo a uma distância r de uma carga pun-tiforme é uma esfera de raio r.

Em qualquer ponto sobre a Gaussiana, o pro-duto escalar será simplesmente EdS. Então,tendo em conta que E é constante, teremos

A integral fechada sobre a superfície corre-sponde à área da esfera, 4πr2. Portanto, ocampo de uma carga puntiforme, q, a uma dis-tância r, é dado por

Como era de se esperar, essa expressão é igual àexpressão, obtida com o uso da lei de Coulomb.

116


117


DISTRIBUIÇÃO ESFERICAMENTESIMÉTRICA

Um condutor em equilíbrio eletrostático sem-pre apresentará campo nulo em seu interior.

Grosso modo, num material não-condutor acarga fica onde a colocamos.

No caso de uma distribuição de cargas comsimetria esférica, convém distinguir algumassituações. Em primeiro lugar, dependendo domaterial o tratamento será bem diferente:

Material condutor - Já sabemos que quandocerta quantidade de carga elétrica é colocadanum material condutor, ela se distribuirá demodo a manter o campo nulo no interior domaterial. Numa esfera a carga ficará uniforme-mente distribuída na sua superfície. Portanto,para um material condutor não há diferençaentre uma esfera e uma casca esférica. Emambos os casos, a carga elétrica se distribuiráuniformemente na superfície externa.

Material dielétrico - Quando o material é não-condutor, a situação é bem diferente. A carganão se distribui como no caso do condutor;grosso modo, ela fica onde a colocamos. Paraesse tipo de material não é suficiente con-hecermos a quantidade de carga, há que sesaber a forma como ela está sendo distribuída.Isto é, necessitamos conhecer a densidade decarga no interior do material. Portanto, em ter-mos de cálculo de campo elétrico e uso da leide Gauss, uma esfera dielétrica pode ser bas-tante diferente de uma casca esférica.

ESFERA CONDUTORA

Já vimos acima que no caso de material con-dutor, pouco importa se temos uma esferamaciça, oca ou se temos uma simples cascaesférica; qualquer que seja o objeto, o campointerno sempre será nulo.

De modo análogo ao caso da carga puntiforme,argumentos de simetria nos levam à conclusãode que o campo de uma esfera condutora temsimetria esférica, de modo que a melhor Gaus-siana será uma esfera concêntrica com a distribui-ção de cargas. O campo é igual ao de uma cargapuntiforme, dado na equação acima descrita.

Portanto, uma esfera condutora de raio R compor-ta-se, para pontos externos, r > R, como se todasua carga estivesse concentrada no seu centro.

ESFERA DIELÉTRICA

Vamos considerar o caso em que a distribuiçãode cargas é uniforme. Isto é, a densidade ρ,dada em C/m3, é constante. Poderíamos teruma distribuição mais complexa, na qual a den-sidade variasse com a distância ao centro.

• Região I , onde r > R (Raio da distribuição).

O cálculo é análogo ao do campo de umacarga puntiforme. O resultado tem a mesmaforma apresentada na equação:

Se a carga total, Q, for conhecida, basta co-locá-la no lugar de q.

Se ao invés disso, conhecermos a densi-dade, ρ, então a carga será dada pelo pro-duto da densidade pelo volume da esfera,Q = 4πR3ρ/3, resultando

118


• Região II, onde r < R

A carga que aparece na lei de Gauss

é aquela envolvida pela superfície Gaussiana,isto é, a carga no interior do volume 4πr3/3.

Se conhecermos a densidade de carga, ter-emos Q= 4πρr3/3. O campo no interior daesfera será dado por

r

A variação do campo, em função do raio, érepresentada na figura abaixo.

Veja que a variação para r > R é válida paraqualquer distribuição de cargas de simetriaesférica, enquanto que a variação para r < R éválida apenas para uma distribuição uniforme.

3.3 BLINDAGEM ELETROSTÁTICA

Quando eletrizamos um condutor as cargas sedistribuem pela sua superfície devido à repul-são, ou seja, as cargas podem movimentar-sefacilmente através deles. Portanto, todo corpometálico comporta-se como um condutor elétri-co. Quando esse movimento cessa, dizemosque o corpo atingiu o equilíbrio eletrostático.

Então, se nenhuma corrente elétrica se moveatravés de um metal, o campo elétrico em seuinterior é nulo, mesmo que fora o campo elétri-co seja diferente de zero.

Podemos definir: no interior de um condutoreletrizado e em equilíbrio eletrostático, quer sejaoco ou maciço, o campo elétrico é sempre nulo.

Ocorre que os elétrons se distribuem sobresua superfície externa, mas em seu interior ocampo elétrico é nulo. Esse fenômeno é con-hecido como gaiola de Faraday.

O material condutor que constitui a gaiola de Fa-raday pode assumir as mais variadas formas geo-métricas. Se essa forma for esférica, a distribuiçãode carga em sua superfície é uniforme. Se não foresférica, a distribuição de carga elétrica não é uni-forme e se acumula nos vértices (ou nas protube-râncias) do condutor por se repelirem mutuamen-te para essa posição. Neste ultimo caso, o campoelétrico junto às pontas do condutor e distribuiçãode carga, é muito maior do que no restante docondutor, dando origem a um fenômeno conheci-do como poder das pontas. Esse fenômeno foiutilizado na construção dos pára-raios.

A gaiola de Faraday, nos laboratórios de testesde aparelhos elétricos, é de extrema importân-cia caso você queira proteger um instrumentoeletrônico muito sensível da ação de possíveiscampos elétricos que interfeririam na leitura doinstrumento.

O mesmo princípio físico se aplica à proteçãodurante uma tempestade na qual há relâmpa-gos, o ideal seria estarmos dentro de nossascasas ou prédios, ou no interior de um veículo,pois todos esses lugares constituem uma gaio-la de Faraday.

Com o princípio da gaiola de Faraday podemosblindar o campo elétrico e com isso diferencia-lomais uma vez do campo gravitacional, pois nãohá maneira conhecida de se blindar a gravidade.

119


1. Analise cada afirmativa como verdadeira (V) oufalsa (F):

a) Uma ponta sempre se eletriza mais facilmentedo que uma região não pontiaguda. ( )

b) A intensidade de um campo elétrico dentroda esfera é zero. ( )

c) Em qualquer ponto P, fora da esfera, ocampo elétrico é inversamente proporcionalao quadrado da distância entre esse pontoe o centro da esfera. ( )

d) As cargas elétricas em um condutor elet-rostático distribuem-se em sua superfícieexterior. ( )

e) Se um corpo já está eletrizado, uma pontaperde mais carga elétrica do que as regiõesnão pontiagudas; por isso é difícil mantereletrizado um corpo que possua pontas. ( )

2. Marque aplicação tecnológica do conceito apre-sentado por Faraday, no século XIX, na exper-iência conhecida como gaiola de Faraday.

a) Isolamento térmico nas garrafas térmicas.b) Atração dos raios nas tempestades por

pára-raios.c) Isolamento elétrico promovido pelas bor-

rachas dos pneus de veículos.d) Recobrimento com material isolante em cabos

utilizados para transporte de energia elétrica.e) Bloqueio para chamadas de telefones celu-

lares em penitenciárias.

3. A ausência de cargas eletrostáticas no interiorde um condutor elétrico, quaisquer que sejamsuas formas, está relacionada ao fato de que:

a) O potencial elétrico é nulo no interior decondutores.

b) A densidade superficial de cargas é constante.c) O campo elétrico é nulo no interior de condu-

tores.d) As cargas elétricas não se deslocam facil-

mente em condutores.e) Não é possível isolar completamente um

condutor.

4. Por que é possível blindar uma sala contraforças elétricas, mas não é possível contraforças gravitacionais?

UNIDADE VAs Leis do Movimento

123

Física Fundamental – As Leis do Movimento

TEMA 01

AS LEIS DE NEWTON

INTRODUÇÃO

Como foi exposto, Newton, menciona insisten-temente no “Principia”, que sua teorizaçãomatemática se devia a familiaridade com oconhecimento cientifico da época e com astécnicas experimentas empregadas, frutos dosresultados das pesquisas desenvolvidas pelosmembros da Royal Society. Diz Newton:

“Ate aqui tenho exposto os princípios tal comotem sido aceitos na época pelos matemáticos,e que são amplamente confirmados pelosexperimentos.”

Newton

Numa carta a Hooke, Newton volta a declarartextualmente, seu débito para com seus prede-cessores, ao mencionar que: “Se vi mais longefoi porque vi desde os ombros de gigantes”

Hooke

É surpreendente observar tais reconhecimen-tos por parte de Newton pois, como é sabido,ele se envolveu em batalhas ferrenhas contraLeibniz, Robert Hooke, Flamsteed pela priori-

dade sobre certas descobertas que defendiaferozmente, com unhas e dentes, como sendode sua autoria.

Nesta constelação de predecessores, Newton,no entanto, esquece deliberadamente deacrescentar explicitamente as contribuiçõesde Descartes, enfatizando principalmente osnomes de Galileo por ter "descoberto que aqueda dos corpos varia com o quadrado dotempo, e que o movimento dos projéteisseguem uma trajetória parabólica, e os experi-mentos assim o confirmam ... Sir CristopherWren, o Dr Wallis, o Sr Huygens que são osmaiores astrônomos de nossos dias, determi-naram as regrasdo impacto e da reflexão doscorpos rígidos, e comunicaram aproximada-mente ao mesmo tempo seus descobrimentosa Royal Society..."

1.1 AS LEIS ENUNCIADAS POR NEWTON PARAO MOVIMENTO DE UM CORPO

Fica, pois, perfeitamente evidente a partirdestas manifestações laudatórias o quantoNewton estava a par da tradição da pesquisaem Física levada a efeito na Royal Society asquais possibilitaram a Newton obter suas Leisdo Movimento.

A essência do estudo do movimento por Newtonconsiste, portanto, em analisar o movimento deum dado objeto em função das interações a qualestá submetidas devidas sua vizinhança.

Assim é que, logo no prefácio de sua obraprima, o “Principia”, Newton expõe comclareza o papel preponderante do conceito deforça na construção de sua teoria. Escreve ele:

“A tarefa da filosofia parece consistir nisso:

124


investigar as forças da natureza a partir dosfenômenos dos movimentos, e logo, a partirdestas forças, demonstrar os restantes fenô-menos. As proposições gerais contidas noprimeiro e no segundo livro estão dirigidos aeste propósito. No terceiro livro dou um exemp-lo disto na explicação de Sistema de Mundo ...”

Embora a idéia de força seja um conceito fun-damental para Newton, sua forma de atacar oproblema será empregando essencialmente amudança da quantidade de movimento daspartículas em interação.

Desde que os conceitos, os princípios, leis queexpostos no “Principia” constituem, essencial-mente a base que fundamenta a MecânicaClássica é inadmissível que não façamos, pelomenos, uma menção as ricas e prolíferas expli-cações físicas e aos resultados obtidos porNewton. Para tanto, vamos examinar breve-mente sua estrutura lógica e as evidencias desua relação com a Visão Mecanicista doMundo prevalecente na época.

O “Principia” está estruturado em 3 Livros. NoLivro I, Newton examina abstratamente adinâmica isto é, a noção de ponto de massasob condições especificas; no Livro II, ele con-sidera o movimento dos objetos em meiosresistivos enquanto que o Livro III, denominadopor ele de “Sistema do Mundo” é uma apli-cação dos dois primeiros livros ao movimentodos planetas, lua, cometas e marés.

Apesar de Newton ter inventado o cálculo difer-encial e integral ele não os emprega no“Principia”, mas tem como modelo os“Elementos” de Euclides. Dessa maneiraNewton estrutura sua teoria através de um con-junto de definições e axiomas, corolários, etc .

Newton começa, assim, definindo e explicandooito termos tal como ele quer que sejam enten-didos ao longo de sua obra. Na linguagem daFísica atual, estas definições correspondemaos conceitos de massa, momentum ou quan-tidade de movimento, inércia e força.

Newton, inicia pela noção de massa definindo-a da seguinte maneira:

A quantidade de matéria é a medida da mesma,que se obtém conjuntamente de sua densidadee seu volume”.

Apesar de atualmente denominarmos demassa a esta “quantidade de matéria”, Newtonprefere definir a massa a partir da densidadede um corpo.

Entretanto, como ele não define o que seja adensidade sua definição de massa se perdenesta circularidade. Além disso, Newtonempregar indistintamente os conceitos demassa inercial e massa gravitacional.

Sinteticamente, apesar de, aos nossos olhos,Newton ter cometido certas incoerências nasua definição de massa, o importante dissotudo é que ele tem consciência e assinala comclareza que todos os corpos tem uma pro-priedade fundamental característica, que diferede seu peso e que determina seu movimento.É esta propriedade que ele chama de massa.

Conforme verificamos podemos definir opera-cionalmente a massa (m) de um corpo qualquera partir da eleição arbitrária de um corpo padrão(mo) escolhido como unidade de medida.

Feito estes esclarecimentos a respeito damassa Newton define um conceito que é cen-tral para sua Física: a quantidade de movimen-to ou momento linear.

“A quantidade de movimento é a medida domesmo que se obtém conjuntamente da veloci-dade e da quantidade de matéria”

Empregando a linguagem da Física atual dize-mos que a quantidade de movimento (p

→) é

igual a ao produto escalar da massa pelavelocidade: p

→ = m.v

→. Trata-se de uma gran-

deza vetorial sujeita as regras da operaçãovetorial. Portanto, o momento linear varia quan-do aceleramos, freamos ou quando variamos adireção do movimento.

Desde que para Descartes, o estado de movi-

125


mento de um objeto, na ausência de influen-cias externas era, hipoteticamente, de contin-uar seu movimento, a análise de Newton sevolta para a definição de Inércia.

“A força inata da matéria, é um poder de resis-tir, mediante a qual cada corpo, no quedepende dele, continua em seu estado pre-sente, quer seja este de repouso ou de movi-mento uniforme para frente em linha reta”.

Por esta definição, a inércia de um corpo é asua tendência de continuar em seu estado derepouso ou de movimento retilíneo uniforme eé proporcional a sua massa.

Dando mais um passo na determinação dasLeis do Movimento, Newton define outro con-ceito fundamental: o de força

“Uma força aplicada é uma ação exercidasobre um corpo a fim de modificar seu estado,quer seja de repouso ou de movimento uni-forme em linha reta.”.

No entanto, segundo Newton, uma força“Consiste somente na ação, e não permaneceno corpo quando termina a ação. Porque umcorpo mantém cada novo estado que adquire,devido somente a sua inércia”

Quanto aos tipos de forças que podem ser apli-cadas ao corpo Newton assinala as seguintes:“O choque, pressão, força centrípeta”.

Entretanto, ele define somente a ultima, uma vezque as duas primeiras são bem conhecidas.

Percebe-se pois, por essas definições, comoNewton, antes de semear foi preparando o ter-reno para o desenvolvimento e fortalecimentode suas idéias, de maneira que suas Leis parao movimento se encadeassem e se encaixas-sem perfeitamente bem numa estrutura lógica,consistente com este conjunto de definições,

axiomas, etc. Estes axiomas são os seguintes:

I. “Cada corpo continua em seu estado derepouso, ou de movimento uniforme numalinha reta, a menos que seja compelido amodificar tais estados por forças impressasnele”

II. “A mudança de movimento é proporcional aforça motriz impressa; e é feita na direçãoda linha reta na qual a força é imprimida.

III. “A cada ação existe sempre oposta umareação igual; ou, a ação mutua de dois cor-pos, um sobre o outro, é sempre igual edirigido para as partes contrarias.”

Vamos examinar cada um destas “Leis” sepa-radamente.

1.2 A LEI DA INÉRCIA

O conceito de movimento persistente, chamadode Inércia, não foi inventado por Newton. Comotemos ressaltado, tal idéia vinha sendo amadure-cida e retrabalhada por muitos pensadores antesdele. Contrariamente a concepção de que orepouso é o estado natural dos corpos e o movi-mento algo passageiro, Newton inverte esteraciocínio, justificando que tanto o repouso,quanto o movimento, são estados dinâmicos.

Este 1ª axioma pode ser considerado comoum critério para se verificar se existe ou nãouma força resultante externa atuando sobre umcorpo. Portanto, contrário a concepção deGalileo, para quem o movimento orbital de umplaneta era considerado natural, para Newton,qualquer corpo que se mova num círculo,exige a presença constante de uma força exter-na atuando sobre o mesmo.

Observa-se também, que o enunciado da Leida Inércia, pressupõe obviamente a existênciade um sistema de referencia em relação aoqual a mesma se mantenha válida. Tais referen-ciais, são denominados de ReferenciaisInerciais ou seja, sistemas de referencia queestão em repouso ou que se movem em MRU,um em relação a outro.

O LANÇAMENTO DE PROJÉTIL

O interesse despertado por este problemanasceu, também, da necessidade de Galileo

126


rebater os argumentos lançados contra ele pelosopositores da teoria copernicana. Em defesa daTeoria de Copérnico, Galileo, estrategicamente,contra-atacava seus adversários com as mes-mas armas argumentos que lançavam.

Para Galileo, a argumentação dos escolásticosnão se constituía numa prova irrefutável de quea Terra estivesse parada.

Segundo Galileo, se a Terra estivesse semovendo com movimento uniforme, obter-se-ia o mesmo resultado, ou seja: a pedra contin-uaria alcançando a base da torre.

Como justificativa, Galileo empregou oPrincipio da Independência do Movimento,segundo o qual os movimento horizontal e ver-tical, apesar de ocorrerem simultaneamentesão independentes uma da outra, ou seja:atuam separadamente e não interferem um nomovimento do outro. Em resumo, o movimen-to da pedra caindo sobre uma Terra em movi-mento se comporta exatamente da mesmamaneira do que numa Terra imóvel.

1. Um gato de 1,0Kg, dá um pulo, atingindo aaltura de 1,25m e caindo a uma distancia de1,5m do local do pulo. Qual o valor da veloci-dade com que o gato pulou?

2. Durante um treinamento de morteiro, enquantoo recruta Ângelo lançava do alto de uma colinaos torpedos, o recruta Aroldo se responsabi-lizava palas medições e pelos cálculos.com os

projeteis atingiam o solo. Sabendo que Ângelofez três disparos:

O primeiro horizontalmente, com velocidadeinicial V.

O segundo horizontalmente, com velocidadeinicial 3V.

O terceiro obliquamente para cima com veloci-dade V formando um ângulo de 30° com a hor-izontal

Desprezando a resistência do ar, você concor-da que o tempo encontrado pelo Aroldo foi omesmo nos três lançamentos? Se você discor-dar, indique o que está errado e expliqueporque?

3. Suponha que você esteja dentro de um táxi,quando o motorista por frear bruscamente,você acaba batendo sua cabeça contra o para-brisa. Dentro do carro trava-se o seguinte“bate-boca”.

Taxista: “Perdão! não tive culpa. A culpa foitoda sua, por não está usando o cinto de segu-rança”.

Você (passando a mão na testa):“Vaiii...(impublicável)!! Eu só continuei emmovimento porque você não apenas vinha cor-rendo muito como freou bruscamente o carro”.

Taxista: “Isso não é verdade! A culpa foi todasua!, pois o carro foi freado, mas você continu-ou seu movimento”.

Você: “Vai te .... (impublicável)!! Eu podia estáamarrado no banco dessa carroça e, aindaassim, o banco continuaria me empurrandopara frente no momento da freada”.

Taxista (rindo): “Há! Essa é boa! Vou mandar proFaustão. Quer dizer, então, que o meu carro é umreferencial onde não vale as Leis de Newton”.

Você: “É isso mesmo! Mas vamos deixar paraesclarecer tudo isso, agora, na presença dapolicia”

De acordo com o diálogo imaginário acima,qual(ais) explicação(ões) acima você consid-era correta? Explique porque.

4. Ao terminar de explicar o Principio da Inércia, oprofessor perguntou para seus alunos o que

127


eles tinham compreendido. Três alunosforneceram, então, as seguintes explicações:

I – Se nenhuma força externa atuar sobre umponto material, com certeza ele estará mequilíbrio estático ou dinâmico.

II – Só é possível a um ponto material estar emequilíbrio se ele estiver em estado de repouso.

III – A inércia é a propriedade da matéria deresistir à variação de seu estado de repousoou movimento.

Com base nestas explicações qual(ais) vocêconsidera correta? Justifique sua resposta.

5. Um objeto é observado no espaço movimen-tando-se com velocidade constante. Se a tra-jetória do objeto deixa o rastro conformemostra a figura abaixo, indique a força resul-tante que atua sobre o objeto.

Galileo, de modo a solidificar definitivamenteseu argumento, oferece como exemplo, umaexperiência pensada na qual um objeto é deix-ado cair do mastro de um barco. Para ele, quero barco esteja ancorado ou navegando emMRU, a pedra tocará o convés, junto ao “pé”do mastro. Uma importante conclusão destaidéia é a impossibilidade de se escolher umsistema de referencia como autêntico; um ref-erencial que esteja, por exemplo, em repousoabsoluto. A generalização desta conclusão nosleva ao Principio da Relatividade de Galileo, noqual todas as leis da Mecânica Clássica per-manecem validas.

1.3 A SEGUNDA LEI

O objetivo de Newton com este axioma é quan-tificar a intensidade da força resultante a partirde seus efeitos durante o movimento. Paratanto, ele estabelece que:

“A mudança de movimento é proporcional a

força motriz impressa; e é feita na direção dalinha reta na qual a força é imprimida.”

Segundo a terminologia atual, o que Newtonestá indicando é que a “taxa de variação daquantidade de movimento” deve ser propor-cional à força motriz impressa, ou seja:

ou, melhor dizendo .

Assim, uma vez admitida a existência de umaforça resultante atuando sobre o objeto,podemos determinar a intensidade desta forçaa partir dos efeitos observados na variação da

quantidade de movimento, isto é: .

Euler

Considerando-se a massa constante, temos que:

.

Entretanto, como nada mais é do que a

definição de aceleração, a 2ª Lei de Newtonque pode ser re-escrita na forma estabelecidapor Euler: ΣF

→ = m.a

→ .

Esta re-definição coloquial da 2ª Lei pode serestabelecida da seguinte forma:

“Quando uma força externa é aplicada a umobjeto, ele acelera na direção da força e, quan-to mais intensa a força, maior a aceleraçãoadquirida pelo objeto.”

No caso de um objeto em queda livre, dada amassa (m) do corpo podemos determinar a

variação da velocidade do mesmo ( ) a par-

tir da 2ª Lei como .

128


Uma vez que a aceleração, como postuladapor Galileo, é constante, a razão entre a força

e a massa ( ) deve ser a mesma para todos

os corpos.

A FORÇA CENTRÍPETA

INTRODUÇÃO

A busca de uma identidade entre os movimen-tos terrestre e celeste constitui-se num dosmais importantes momentos da História doPensamento Cientifico. Ele nos leva ao núcleoe ao coroamento do trabalho de Newton.

Apesar da enorme relevância e dos frutíferosavanços colhidos das descobertas de Galileopara a Física, ele nada diz sobre qual a causapara o processo de incremento da velocidadedurante a queda livre.

No entanto, o desenvolvimento de uma Dinâmicaexigia uma explicação para a causa física.

Kepler

Nesta busca Kepler (1571-1630) admite que

alguma espécie de força ou “emanação” deviaprovir do sol que os guiava em suas órbitas.Posteriormente, altera sua explicação paraforças magnéticas originárias do sol.

1. Em que difere a concepção de força de Keplercom a de Newton?

Embora a concepção de força de Kepler nãose revelasse correta, a idéia de que existia umaforça única que controla os movimentos detodos os planetas ficou para a posteridade.

Outro cientista que muito contribuiu para esta-belecer esta relação,destaca-se ChristiannHuygens (1629-95), Filósofo Natural,denacionalidade holandesa e membro consagra-do da Academia Francesa de Ciência.Huygens havia demonstrado que, de acordocom o conceito de Inércia, deveria existir, paraqualquer corpo em MCU, uma força resultante(arrancando-a de seu curso inercial) dirigidapara o centro de um círculo.

Tal força produziria uma a aceleração, dada

por , onde V é a velocidade do corpo e

R é o raio de sua órbita.

Newton sabia, entretanto, até onde seu con-temporâneo e rival tinha chegado pois, a seusolhos, a questão central permanecia semresposta, ou seja: como a força centrípeta serelaciona com variação do momentum numcerto intervalo de tempo.

Para um claro entendimento destas questões,é oportuno relembrar a definição e a discussãoestabelecida por Newton a respeito da ForçaCentrípeta.

Desde sua época de estudante universitário,Newton vinha tentando descobrir uma difer-ente e engenhosa maneira de provar matemati-camente a força centrípeta que chegasse aosmesmos resultados obtidos por Huygens.

Na época em que escreveu o “Principia” a

129


força centrípeta havia se convertido num con-ceito de extrema importância para suas idéiasa respeito do movimento planetário. Tanto que,ao exemplificar, por exemplo, alguns tipos deforças, Newton preferiu se preocupar emdefinir apenas a força centrípeta, da seguintemaneira:

“Uma força centrípeta é aquela devido a qualos corpos são atraídos ou impelidos, ou dealguma maneira tendem para um ponto comopara um centro.”

Newton apresenta como exemplo o movimen-to de uma pedra presa por um barbante postaa girar pela mão de uma pessoa.

A força centrípeta é fornecida pela tensão dobarbante. Caso a corda arrebente, a pedra saipela tangente exatamente no ponto onde obarbante arrebentou. Entretanto, para os seuspropósitos, Newton menciona o exemplo daLua, onde a atração gravitacional da Terrasobre a Lua fornece a força centrípetanecessária para mantê-la em órbita.

1. Outro exemplo da presença da força centrípe-ta para a explicação do movimento curvilíneo,ocorre quando carro realiza uma curva.

No caso de uma curva plana, a força centrípe-

ta é fornecida pela força de atrito entre ospneus e a pista.

Ainda assim, a força de atrito é incapaz demanter, por exemplo, um carro de corridapresa a curva se a pista estiver molhada.

Para evitar que o carro venha a se desgov-ernar, os engenheiros para aumentar a segu-rança, inclinam a curva para dentro. A incli-nação da estrada é escolhida de tal modo que,obedecendo-se à velocidade escalar para qualfoi projetada, não haja necessidade de o carroter atrito com o piso para efetuar a curva.

Demonstre que este ângulo de inclinação é

dado por .

2. No caso do movimento em loop, tal comoacontece com os movimentos numa montanharussa ou nas exibições no Globo da Morte,para que seus ocupantes se divirtam comsegurança ao passar pelo ponto mais alto,demonstre que a velocidade mínima que omotociclista deve ter para passar pelo pontomais alto da trajetória, de modo que a motonão desgrude do Globo da Morte é dada por

.

Newton, entretanto, para deixar bastante claraseu conceito de força centrípeta, apresenta outroexemplo em que, dependendo da direção e daintensidade da velocidade inicial de uma bala decanhão, a órbita exata é uma cônica: um círculo,uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola:

“Se uma bola de chumbo, projetada desde o alto

130


de uma montanha pela força da pólvora com umavelocidade dada em direção paralela ao horizonte,se move ao longo de uma curva ate cair no solo auma distancia de duas milhas, se não existisse aresistência do ar e se a sua velocidade se duplicas-se ou se decuplicasse, recorreria uma distanciadupla ou dez vezes maior. E aumentando a veloci-dade poderíamos aumentar a distancia quantoquiséssemos, e diminuir a curvatura da linha quepoderia descrever, de modo que por último pode-ria cair a distancia de 10, 30 ou 90 graus, ou aindapoderia dar uma volta ao redor da terra antes decair, ou, finalmente, podia não voltar jamais a cair aterra, mas que se moveria para os espaços celesti-ais e prosseguiria seu movimento in infinitum.”

É impressionante a atualidade desta reflexãoespeculativa de Newton tendo em vista as via-gens espaciais a partir do século XX. Percebaque o único requisito necessário para que umsatélite entre em órbita ao redor da Terra é queo satélite tenha uma velocidade inicial mínimade lançamento dada por , onde R é oraio do planeta de onde o satélite esta sendolançado. Caso contrario, o satélite cairá devolta ao solo ao longo de uma parábola ouescapará da Terra ao longo de uma trajetóriahiperbólica, se perdendo na imensidão do uni-verso. A velocidade de escape é dada por

. No caso da Terra esta velocidadeé de aproximadamente 11Km/s.

1. Deduza a expressão para a força de atraçãogravitacional para manter a Lua em MCU emtorno da Terra.

2. Consiga duas apostilas e as coloque umasobre a outra e, em seguida, as apóie sobre apalma da sua mão. Em seguida, movimente-asverticalmente para cima, a partir do repouso.Admita que cada apostila tenha em media 500ge que a aceleração tenha sido de 1,0m/s2. a) Qual a intensidade da força que a palma da

mão exerceu sobre a apostila que está emcontato com ela.

b) Qual a intensidade da força que uma apos-tila exerce sobre a outra.

3. Uma pessoa está pescando com uma linhaque pode suportar no máximo 40N. Ela fisgaum peixe de 2Kg que pode exercer uma forçade 60N durante alguns segundos. Qual a acel-eração mínima com que ela deve soltar a linha,durante esse intervalo de tempo, para que alinha não arrebente?

4. Suponha que você esteja dirigindo tranquila-mente seu carro numa pista reta, a uma veloci-dade de 100km/h, quando inesperadamentevê outro carro cruzar sua frente. Você então pi-sa com toda força no freio travando as rodas,fazendo o carro deslizar cerca de 10 m na pistaaté parar. Desprezando os demais fontes deatrito qual o coeficiente de atrito entre o pneusdo carro e a pista?

5. A figura representa uma mola presa a umbloco de massa M. Quando a mola é esticada,seu comprimento varia de Xcm, e o blocoadquire uma aceleração a. qual será a aceler-ação que essa mesma mola produzirá numcorpo de massa igual a 2M, quando seu com-primento variar 2 X cm?

6. No gráfico abaixo está representado a veloci-dade escalar de uma partícula em função dotempo, que se desloca numa trajetóriaretilínea. A partir do gráfico V=f(t), construa ográfico da força resultante em função do tempoque atua sobre a partícula.

131


7. Um bloco B de 20 Kg esta apoiado sobre umaplaca P de 60 Kg, que encontra-se em repousosobre uma superfície horizontal sem atrito. Osvalores dos coeficiente de atrito estático ecinético entre B e P são, respectivamente 0,4 e0,3. Qual a aceleração do bloco ao ser aplica-do uma força horizontal de 120N?

8. Um professor, comumente, ao apagar a lousapressiona o apagador de 0,1Kg contra o qua-dro. Admitindo-se que ele exerça uma forçaperpendicular de 5N e que o coeficiente de atri-to cinético seja de 0,4. Qual a intensidade daforça de atrito quando o apagador é movidohorizontalmente.

9. Uma caixa vazia, pesando 10N é colocadasobre uma superfície horizontal. Ao ser aplicadauma força horizontal ela começa a se moverquando a intensidade da força atinge 5N.Todavia, quando a caixa está cheia de areia elasó começa a se mover quando a intensidade daforça atinge 50N. Qual a quantidade de areia?

10. Suponha que você, ao acabar de comer,empurra seu prato sobre uma mesa horizontalcom uma certa velocidade inicial, e que eledesliza aproximadamente 1m sobre a mesa atéparar. Se a massa do prato for duplicada evocê voltasse a repetir a “falta de educação”com a mesma velocidade inicial, qual a distan-cia que o prato deslizaria até parar?

11. Ao sair para sua tradicional pescaria, seu

Aroldinho atrelou a sua camionete de massa Mum vagão de massa 2M. Considerando o coe-ficiente de atrito estático igual a µ, qual a máx-ima aceleração que ele pode imprimir ao sis-tema para que as rodas não deslizem.(Considere a pista horizontal e todos asdemais fontes de atrito desprezíveis)

1.4 A TERCEIRA LEI

Indubitavelmente, esta foi a mais engenhosacontribuição de Newton no seu empenho deaxiomatizar Mecânica.

Este axioma, freqüentemente referido como aLei da Ação e Reação, estabelece que durantea interação entre dois corpos, as forças ocor-rem sempre aos pares na Natureza.

Assim, se um corpo A exerce uma força sobreum corpo B, este corpo B exerce uma força demesma intensidade, mas de sentido oposta,sobre o corpo A.

Como exemplo, Newton cita os seguintescasos: “Se você pressiona uma pedra com seudedo, seu dedo também é pressionado pelapedra. Se um cavalo arrasta uma pedra amarra-da com uma corda, o cavalo (se me permite aexpressão) será igualmente arrastado para apedra; porque a corda estendida, por seupróprio esforço para desenrolar-se, atrairá ocavalo, e obstruirá o progresso de um comopromove o do outro”

No exemplo do cavalo, Newton parece sugerirque o cavalo não arrasta a pedra. A faláciaenvolvida nesta argumentação ilustra bem adificuldade usual para se entender a Lei daAção e da Reação. Comumente, está baseadana desatenção quanto ao isolamento dos cor-pos envolvido no problema.

1. Há milhões de anos atrás, quando os bichosfalavam, um fazendeiro “pediu” para um cavalopuxar sua carroça, mas o cavalo recusou lheatender. Em sua defesa, se apoiou na 3ª Lei deNewton: “se eu puxar a carroça, a carroça vaime puxar igualmente para trás. Desse modonunca nos movimentaremos. Além disso, jamaispoderei exercer uma força tão intensa sobre acarroça que ela não possa exercer sobre mim.Portanto, sinto muito, mas não posso atenderseu pedido. Estou impedido pela lei da Físicade iniciar o movimento da carroça”.

Baseados nos seus conhecimentos das Leis deNewton, que conselhos você daria ao fazen-deiro para que ele se defenda destes argumen-tos e convença o cavalo a puxar a carroça?

Em seus acréscimos, após a 3ª Lei, Newtoncomenta o caso de mais de uma força atuar sobreo corpo, Ele estabelece, através da Regra doParalelogramo, os efeitos de diversas forças agin-do simultaneamente sobre uma partícula. Comojá foi visto, uma característica de grande importân-cia, implícita na Regra do Paralelogramo, é o esta-belecimento da independência dos efeitos decada força ao atuarem conjuntamente.

É o que ocorre, por exemplo, no caso de umcorpo suspenso por uma corda. Sobre o corpoatuam duas forças, o peso e a força exercidapela corda. Se a corda for cortada, esta forçadesaparece, mas o peso continua agindo fazen-do com que o corpo caia com uma aceleração.

1. Duas forças de 3N e 4N atuam perpendicular-mente sobre um corpo de 1 Kg. Determine aaceleração do corpo?

2. Demonstre que: “Num sistema isolado deforças externas, o momento linear de qualquer

sistema é conservado” isto é, a quantidade demovimento de qualquer sistema é constante.

3. Uma das mais interessante aplicação da Lei daAção e Reação é o sistema de propulsão deum foguete. Um foguete ejeta numa direçãouma massa de gás em altíssima velocidade, eé acelerado de pela reação na direção oposta.

Considere a velocidade dos gases em relaçãoao foguete sendo Vr e (v – Vr) em relação aTerra e admita que em vez do foguete emitircontinuamente gás sobre um determinadoperíodo de tempo, o gás seja emitido que nemas balas de uma arma de fogo.

a) Mostre a relação que existe entre massa ini-cial (m0) e a massa final mf do foguete, paraque sua velocidade passe de v0 à vf.

b) Determine a velocidade do foguete emfunção do tempo e da massa.

4. Diz o dito popular que: “toda ação corre-sponde uma reação”. Se assim fosse, a reaçãoanularia a ação e não existiria movimento.Enuncie corretamente o Principio da ação eReação e discuta a afirmação anterior.

5. Durante uma aula o professor solicitou aoaluno que identificasse as forças de ação ereação existentes num livro em repouso sobrea mesa. O aluno respondeu que: “o peso e anormal constituem um par ação-reação pois, asintensidades destas são forças são iguais emmódulos”. Comente a resposta do aluno.

6. A figura abaixo representa as forças atuantessobre um corpo suspenso por fio. Identifiqueas forças que constituem um par ação-reação.

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Um objeto, inicialmente em repouso, explodeem duas partes, A e B, com massas M e 3M,respectivamente. Num determinado instante t,após a explosão, a parte B está a 6,0 m dolocal da explosão. Nestas circunstancias, quala distancia entre A e B no instante t?

1.5 QUAL A VERDADEIRA MEDIDA DE UMAFORÇA?

Durante séculos, o modelo de explicação pa-ra os fenômenos naturais se baseou na idéiade FORÇA, pois parecia intuitivamente corre-ta a concepção de que um corpo é dotado decerta “alma”, “Virtudes”, “Potências” ou “Prin-cípios Ativos”.

Ainda hoje é bastante ouvir-se expressões dotipo; “fulano tem força”; “a força do amor”;“casa de força” etc. Assim, a primeira vista, aidéia de que também existe no Universo uma“força”, uma espécie de constituinte imaterialparece ser uma idéia bastante simples, atéauto-evidente.

Perseguindo historicamente na busca daessência do conceito de energia verifica-seque desde o século XVII, os cientistas procu-ravam refinar a nossa conhecidíssima noçãode força que, comumente, associamos aoesforço muscular de puxar ou de empurrar.

Na época de Newton uma questão que, porexemplo, era bastante debatido dizia respeitosobre o que é Força? Procurava-se saberporque é que quando a força é impressa aocorpo ela o impede de continuar seu estado derepouso ou de MRU ? Como medi-la? etc.

Para muitos a equação F = m.a parece bas-tante simples, ou seja: tem-se a impressão deque a equação F = m.a é uma definição deforça, de modo que conhecendo a massa deum objeto, e medindo a sua aceleração, a forçaexterna aplicada pode ser encontrada. A princi-pio, conhecendo-se a força que atua sobre apartícula, a abordagem newtoniana é suficientepara descrever seu movimento. Através daSegunda Lei, podemos obter a aceleração e,por integração, encontrar a velocidade e aposição. Tudo parece ser muito simples, não éverdade?! Parece não existir neste tratamento

qualquer problema. Porem, para os físicos, oessencial não reside na aplicação matemáticada força, expresso por F = m.a, mas no signifi-cado físico da Força, pois na Física o que inter-essa é interação entre sistemas.

Nestes casos, as abordagens Lagrangeana e oHamiltoniana tornam-se mais eficaz pois, aoinvés de empregar o conceito de FORÇA, uti-liza-se o conceito de ENERGIA como conceitofundamental.

Para que possamos obter um entendimento darelação existente entre força e movimento apre-sentaremos uma breve visão histórica de comoas controvertidas questões mencionadas acimageraram, a partir do século XVII, o refinamentoconceitual de Força que resultaram no desen-volvimento do conceito de Energia.

1.6 UMA QUASE HISTÓRIA DA EVOLUÇÃO DOCONCEITO DE ENERGIA

A história completa da evolução dos conceitosde trabalho, de energia e do principio da con-servação de energia é lenta e sinuosa. Suasraízes encontram-se nas tentativas de seresponder a seguinte questão: como medir oefeito de uma força? Como se poderiam com-parar os efeitos de duas forças diferentes? queespécies de variações ocorrem durante omovimento de um corpo quando ele colidecontra outro? por que razão a variação domomento deve ser tomado como medida deforça? Não nos parece, que o movimento estámais ligado ao módulo da velocidade do queda sua direção?

Por exemplo, Galileu havia demonstrado quese o corpo desloca-se ao longo de um planoinclinado e sobe por outro (vide figura abaixo),o que determina a altura (h) que o corpoalcançará, depende do valor absoluto davelocidade e não da sua direção.

Descartes, como já examinamos, ao procurar

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responder a velha questão sobre qual a ver-dadeira medida de uma força, por meio deseus estudos da colisão entre corpo, defend-eu a idéia de que a chave do problema é aquantidade de movimento,que se mantémconstante.

Leibniz contesta esta explicação ao defenderque o que se conservava no movimento era a‘vis viva” (força viva), pois é ela que expressaa capacidade de movimento de um objeto. Apartir daí, como não poderia deixar de ser,desencadeia uma briga entre eles e seus par-tidários por mais de meio século que, noentanto, foi crucial para o desenvolvimentodos conceitos de energia cinética e potencial.Antes de prosseguir, é preciso que se escla-reça que, na linguagem do século XVII, o ter-mo vis era comumente empregado no sentidode resistência, força, vigor.

Ao analisar as experiências de queda livre real-izada por Galileu, nas quais todos os corposcaem com a mesma velocidade, não importan-do o tamanho ou o peso que possam ter,Leibniz se perguntava sobre qual dos corposproduziria maior estrago ao atingir o solo: umde 100 gramas ou de uma tonelada?

Para tanto, Leibniz realiza uma demonstraçãona qual compara a força necessária paraerguer dois corpos, um de 4 varas e outro de 1varas (aproximadamente 1,10cm), sendo queum dos corpos é quatro vezes maior que ooutro. Leibniz mostra que a força necessária éa mesma. Entretanto, a força de depende dedois fatores: o peso e a altura da queda. A con-jugação destas duas grandezas, segundoLeibniz, poderia servir perfeitamente bem paramedir a força.

Pressionado por outros sábios a responderonde entra a altura quando um corpo se movi-menta num plano horizontal, Leibniz realizaoutra demonstração, na qual um corpo caindode uma dada altura, adquire “força” suficientepara retornar a mesma altura. Empregando osresultados da 1ª demonstração, mostra que as“forças” são iguais, no entanto, a quantidadede movimentos é diferente.

Em face destes novos resultados, Leibnizmuda sua explicação e passa argumentar que

o importante não era a altura em o quanto rap-idamente o objeto se movimenta (cai ousobe). Por conseguinte, passou a defenderque a medida da força era o peso do corpo ea sua velocidade. Em resumo, para Leibniz a“vis viva” (“força viva”), que expressava pelarelação m.v2, era uma qualidade intrínseca deum corpo que lhe permitia causar dano aoutro objeto.

As controvérsias sobre a medida da força emtermos de mv (Descartes) ou mv² (Leibniz) per-maneceu mesmo após a publicação do tratadosobre a dinâmica de D’Alembert (1743), demaneira que até a metade do século XIX, otermo “kraft” (força) era usado para o conceitode energia.

A expressão ENERGIA, foi proposta em 1807,o médico e físico inglês, Thomas Young para adescrição dos fenômenos originalmenteatribuído a “vis viva” (mv²). Este termo, queoriginariamente em grego significa Trabalho,ficou imortalizada no vocabulário técnico–cien-tífico devido principalmente os trabalhos deWilliam Thomson (Lord Kelvin) e Rankine. Apartir, de então, passou-se a identificar a forçacomo o agente que transporta, através de umacerta distância, energia.

Para facilitar a compreensão do conceito deEnergia, retornemos a experiência realizadapor Galileo mencionada acima. Ele observouque independente da inclinação dos planos,a bola alcançava uma posição momentâneade repouso, sempre na mesma altura quehavia sido solta do primeiro plano (vide afigura acima)

Em seguida, utilizando um pêndulo simples oprocedimento era análogo ao movimento noplano inclinado. Mesmo quando colocava umobstáculo na trajetória do pendulo, a experiên-cia confirmar suas suspeitas de que a massadeixada cai de uma mesma altura adquiria umavelocidade suficiente para levar-lhe de novopara cima, ainda que durante seu movimentoencontrasse um obstáculo. Esta descobertaparecia-lhe bastante intrigante, pois lhe pareciaque a bola parecia ser dotada de uma certa“memória”, pois ela sempre se lembrava deque altura havia sido largada.

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Analisando-se o experimento percebe-se que,para a bola alcançar sempre a mesma altura,“algo” deve estar associada a velocidade queele adquire durante ao longo de sua trajetória.Atualmente, relacionamos ao movimento daesfera, um tipo de energia que denominamosde ENERGIA CINÈTICA (Ec), que se expressa

pela seguinte relação .

TEMA 02

FORÇAS EM SISTEMAS DE REFERENCIASINERCIAIS

O estudo do movimento, conforme verificamosao examinar o 1ª axioma ou Lei da Inércia,pressupõe, obviamente, a existência de umsistema de referencia em relação ao qual asLeis do Movimento se mantenha válida. Taisreferenciais, são denominados de ReferenciaisInerciais pois estão em repouso ou que semovem em MRU, um em relação a outro. Istoimplica que não se tem nenhuma maneira dedeterminar a partir do próprio referencial iner-cial se um corpo está em repouso ou se move.

1. Imagine-se viajando dentro de um avião isola-do acusticamente,com as janelas lacradas e

sem turbulência. Admita que você observauma bola rolando pelo no piso do avião. O quevocê pode dizer do movimento avião?Justifique sua resposta.

Vimos, também, que foi empregando estrategi-camente este argumento que Galileo conseguicontra-atacar os opositores da teoria coperni-cana a respeito do movimento da Terra.Utilizando um experimento pensado o argu-mento do barco, Galileo contra argumenta quequando observamos um corpo cair vertical-mente, é porque nos encontramos no mesmoreferencial do objeto. Caso estivéssemos nosmovimentando em MRU, perpendicularmente,em relação à direção da gravidade veríamosuma parábola. Foi exatamente este problemaque Galileo precisou enfrentar em defesa dosistema copernicano.

Assim, através deste experimento pensado,Galileo comprova a impossibilidade de seescolher um sistema de referencia comoautêntico, algo que esteja, por exemplo, em

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repouso absoluto. Consequentemente, a Terranão precisa estar estacionária no centro douniverso para explicar a queda de um corpo.

A generalização desta conclusão nos leva aoPrincipio da Relatividade de Galileo, no qualtodas as leis da Mecânica Clássica per-manecem validas.

Galileu não forneceu, contudo, uma claraestrutura dinâmica a partir da qual pudessederivar suas idéias. São obscuras suas idéias arespeito de como tratar o movimento num sis-tema de referencial quer seja inercial ou aceler-ado em relação aquele.

As Leis de Newton, pelo contrário permite taisdescrições. O tratamento, por exemplo, domovimento circular, visto por um observadorsituado num referencial acelerado permite quese explique as incontestáveis sensações senti-das por ele. Ao mesmo tempo que, outroobservador localizado num referencial inercialoferece uma distinta observação.

Para que possamos compreender estasaparentes contradições, vamos iniciar con-siderando uma situação bem simples mas,muito importante, no qual um observador este-ja se deslocando com velocidade constanteem relação ao outro. Em tal caso, utilizandocomo pressuposto que “qualquer sistema dereferencia que se desloque com velocidadeconstante em relação a um Sistema deReferencia Inercial é também um Sistema deReferencia Inercial”, nos certificaremos comoé que se explicam os movimentos comportamas Leis de Newton em dois diferentes sistemasde referencia inerciais que se movimentam emtranslação pura.

2.1 O PRINCIPIO DA RELATIVIDADE DE GALILEOAS TRANSFORMAÇÕES DE GALILEO

A descrição do movimento a partir de doissistemas de referencias inerciais é o quechamamos de Transformação de Galileo.Fisicamente, as transformações de Galileorepresentam a relação entre as medidasespaciais e temporais que são feitas por doisobservadores que estão em movimentos uni-formes relativos.

Consideremos por exemplo, um casal de

namorados, que estejam em movimentos uni-formes relativos. Suponhamos que o “curu-mim” esteja, situado dentro do compartimentode carga de um caminhão-baú que se moveem MRU, cujas paredes sejam de vidrosextremamente transparentes. Vamos admitir que quando o “curumim”passa pela “cunhantã”, para se exibir, jogauma bola verticalmente para cima.Evidentemente, que o “casal de pombinho”concordarão que a bola deixou e voltou a mãodo sujeito. O que eles provavelmente nãoconcordarão é sobre a trajetória realizada pelabola. Estes dois referenciais inerciais, estãomostrados na figura abaixo.

X = L + X', de modo que X = (V.t) + X'. POR-TANTO. X' = X − V.t

Vamos admitir, por simplicidade, que os eixosdo X estejam alinhados para direita na mesmadireção do movimento relativo dos sistemas dereferencias inerciais. Um, pode ser associadoao “curumim” e outro, a “cunhantã”.

Admitamos, também, que no instante t = t’ =0, a origem do sistema de referencia localizadono carro-baú está afastado de uma distancia L= v.t da origem do referencial da “cunhantã”.

A relação entre estes dois sistemas de coorde-nadas, num determinado instante (t), é dadopelo seguinte conjunto de equações:

X’= X – V.tY’ = YZ’ = Zt’ = t

Note, que em relação ao “curumim”, suanamorada está se movendo com velocidade(–V). Quanto a trajetória da bola, enquanto o“curumim” vê a bola se movimentar numa linhareta vertical, a “cunhantã” vê uma parábola,

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cujo a forma exata vai depender da velocidadecom que os sistemas de referencia que estão semovendo relativamente um em relação a outro.

Uma importante característica das Transfor-mações de Galileo é a de que o tempo é umparâmetro invariante, ou seja: o intervalo detempo gasto no evento é o mesmo em qualquersistema de referencia ou seja, o tempo é inde-pendente do sistema de referência escolhido.

Um dispositivo empregado nos Laboratórios deFísica consiste de um carrinho que contem noseu centro uma cavidade na qual uma esfera deaço mantém comprimida uma mola. Quando amola é liberada, ela impulsiona a esfera vertical-mente para cima em relação ao carro.

A experiência consiste em colocar o carrinhoem movimento com velocidade Vx sobre umtrilho horizontal constante quando, depois dealguns segundo, a mola é liberada e a bola éprojetada em seu movimento. Utilizando asTransformações de Coordenadas de Galileo,determine matematicamente a forma da tra-jetória da bolinha para um observador localiza-do no Laboratório.

A adição clássica das velocidades é outra con-seqüência direta das transformações deGalileu. Caso desejarmos determinar a veloci-dade (V’) de um corpo, num determinadoinstante (t), em relação a ambos sistema de ref-erencia, obteremos: V’ = U – V. Onde (V’) é amedida da velocidade do evento no referencialS’ que se move com velocidade (V), enquanto(U) é a medida da velocidade no referencial S.

1. Suponha que o nosso caminhão-baú esteja semovendo a uma velocidade de 108 Km/h emrelação ao solo e o “curumin” atire do fundo docaminhão-baú para frente, uma bola com umavelocidade de 2Km/h. Para a “cunhantã”, para-da na calçada, quanto corresponde a veloci-dade da bola?

Outra importante conseqüência especial da

equação acima é que um corpo, quandoobservado movendo-se com velocidade emrelação a outro Sistema de Referencia Inercial,sua velocidade ainda é constante. Assim, paraobtermos as transformações da aceleração,basta lembrarmos que, sendo a velocidadeconstante, qualquer mudança de velocidade,implicara numa mesma variação para ambosobservadores.

Consequentemente, as medidas feitas simul-taneamente pelos observadores serão idênti-cas: a=a’. Deste modo que cada um dos “pom-binhos” mede a mesma aceleração a’ = a.

Portanto, a passagem de um referencial paraoutro referencial em translação retilínea e uni-forme em relação ao primeiro, as posições e asvelocidades podem mudar, mas as aceler-ações não se alteram.

1. Por exemplo, considere um carrinho que con-tem um dispositivo que atira bolas vertical-mente para cima. Quando carro encontra-separado em relação ao solo, dispara-se a bolin-ha. O mesmo ocorre quando o carro move-sehorizontalmente com velocidade constantepara a direita. Determine o movimento da bolaquando vista por dois observadores (a) umpostado carro e (b) outro localizado no solo.

Assim, a aceleração de uma pedra que cai oua de um projétil é a mesma nos dois sistemasde referencia inercial. Conseqüentemente, asLeis do Movimento são as mesmas em ambosos sistemas de referencia inerciais, em suma:elas permanecem invariantes com respeito astransformações de coordenadas. Esta invari-ança das Leis do Movimento é chamada dePrincipio da Relatividade de Galileu.

Este principio é conseqüência da experiênciaimaginária de Galileo, na qual examina o movi-mento de queda em relação ao barco e emrelação ao Sol. Daí Galileu ter descoberto que,considerando-se insignificante a resistência do

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ar durante a experiência, tanto faz deixar cair umcorpo em relação a Terra, quanto a um barcoem MRU, eles caem com a mesma aceleração.

Na Mecânica Clássica, a massa também, não éafetada pelo movimento do sistema de referen-cia, por conseguinte, o produto (m.a) será omesmo para todos os observadores inerciais.Todavia, sendo a relação (m.a) é tomado comoa definição de força, cada observador obtém amesma medida para cada força, ou seja: F’ = Fem todos os sistemas inerciais. Deste modo,um observador em qualquer sistema de refer-encia inercial deduz sempre as mesmas Leisdo movimento.

Uma importante conseqüência da invariançadas Leis da Física é a de que nenhum experi-mento mecânico, realizado inteiramente numsistema inercial, pode dizer ao observador qualo movimento daquele sistema em relação aqualquer outro sistema inercial.

Assim, imaginemos que o “curumim” se mudepara um caminhão-baú que tem suas paredesperfeitamente isolada visualmente, acusticamentee dos mais contatos com o mundo exterior. Parao “curumim”, que trafega por uma rua ideal, semsaber que está em MRU, vê uma bola, também,mover-se em MRU pelo o assoalho do veículo.

Apenas observando o movimento da bola, o“curumim” nada pode dizer sobre o movimen-to do caminhão-baú com relação ao solo poisnenhum sistema inercial é preferido sobre qual-quer outro. Não há como dizer se o “curumim”está se movendo uniformemente ou parado.

Vamos imaginar uma outra situação, na qual ocaminhão-baú se move milagrosamente com avelocidade da luz. Se o “curumim” olhar paraa parede do fundo, ele não verá nada. Nestecaso, o “curumim” dispõe agora de um meioseguro para saber se está se movendo ou não!Ocorre que, como vimos, pela Teoria daRelatividade de Galileu isto é impossível!!Desconcertante, não é mesmo!! Esta experiên-cia pensada parece violar a Teoria daRelatividade de Galileu.

Foi exatamente uma situação semelhante aesta, que levou Einstein a criar a sua Teoria daRelatividade Restrita.

Segundo conta, quando tinha 16 anos, ele se

perguntou sobre o que aconteceria se pudesseacompanhar o movimento de um raio luminoso.

Einstein

Foi por meio desta experiência mental, queEinstein, se deu conta que algo devia estar, dealguma forma, errado com as explicaçõeseletromagnéticas.

Entretanto, foram precisos 10 anos para queEinstein conseguisse resolver estes paradoxos.

2.2 FORÇAS EM SISTEMA DE REFERÊNCIANÃO-INERCIAL.

Existem situações nas quais o sistema de ref-erencia move-se com aceleração. Neste casocomo ficam as leis de Newton? Nestes casosserá que elas ainda continuam valendo?

Para que possamos examinar o entendimentoda natureza física da força, da aceleração edas Leis da Física, é conveniente, portanto, uti-lizar Sistemas de Referência Não-Inercial.

Vamos admitir que tenhamos um sistema dereferência não-inercial que translada em movi-mento uniformemente acelerado com respeitoa um sistema inercial.

1. Considere um corpo suspenso por um fiopreso ao retrovisor de um carro acelerado.Explique o comportamento deste corpo paraum observador no carro e outro na calçada.

Para não confundir os símbolos empregadoanteriormente, admitiremos que o sistema de ref-erencia não-inercial seja representado por (S’’).

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Vamos supor também, que o sistema (S’’)tenha uma aceleração (a’) em relação a umsistema inercial (S).

Neste caso, teremos: a’’ = a – a’ (1), onde a’ éaceleração de S’’, medida a partir de S

De acordo com a 2ª Lei de Newton, a forçaexperimentada pelo corpo em relação a S éF= ma enquanto que no sistema acelerado aforça aparente é: F’’=m.a’’.

Substituindo o valor de a’’, obtemos:

F’’ = ma – ma’. (2)

Onde (–ma’) é denominada de força de inérciaou fictícia.

Assim: Fficticia = –ma’ (3), cuja origem da forçafictícia se deve, pois a aceleração do sistemade referencia e não a interação entre os cor-pos, como acontece com a força gravitacional.Portanto a equação (2) torna-se F’’ = ma +Fficticia, ou seja:

F’’aparente = Freal + Fficticia. De maneira que,quando a”=0, a F’’aparente = Freal

1. Um corpo cai dentro de um carro-baú emMRUV. Descreva como será a trajetória docorpo para um observador localizado dentrodo carro-baú e para um observador inercial.

2. Um elevador de massa M sobe com uma acel-eração constante (a0). Dentro do elevador, umapessoa de massa m, se encontra em pé sobresob uma balança de molas colocada no pisodo elevador. Qual a força aparente que reg-istrada pela balança?

3. Admita que sua massa seja de 60Kg e quevocê esteja em pé sobre uma balança, dentrode um elevador. (a) Se a indicação que você lêna balança for de 420N, o que você pode dizera respeito do movimento do elevador? (b)Caso você leia 600N o que você pode dizer arespeito do movimento do elevador?

4. Para determinar a aceleração de um carro,

Ângelo, pendurou no teto um pendulo. Eleconstatou que quando o carro acelera o pen-dulo sofre uma inclinação de 45º. (a) Indiqueas forças que atuam no pendulo vista porÂngelo e por sua amiga, Ariane, que se encon-tra sentada na calçada. (b) A intensidade daaceleração do carro

5. Admita que uma bola seja lançada no piso ho-rizontal de um avião perpendicularmente àdireção do movimento do avião. Caso o aviãoesteja sendo acelerado faça um esboço decomo será a trajetória da bola.

6. Enquanto andava de skate, André, querendotestar o Principio da Relatividade de Galileulançou cerca de 80 cm uma laranja vertical-mente para cima e apanhou na volta e exam-inou o que acontecia em três situações.

I – situação: com o skate parado em relação aseu irmão, Adelino Jr, que se encontravasentado na calçada o tempo de permanên-cia no ar da laranja era de 0,8 s e a forma datrajetória era uma linha reta.

II – situação: com o skate em MRU com umavelocidade de 2,5 m/s, André não mais con-seguia apanhar a laranja, no entanto a tra-jetória da laranja para seu irmão continuavauma linha reta.

III – situação: André e Adelino Jr, ambos semovendo em MRU com a mesma veloci-dade de 2,5 m/s. A diferença e´que o skatedo Adelino Jr se move no sentido oposto aode André. Neste caso, eles não observavammais o movimento da laranja. Para ambosos irmão, a laranja parecia ficar parada noar, como se flutuasse.

Desprezando a resistência do ar, você concor-da com os resultados das experiências real-izadas por André? Se você discordar, indique oque está errado e explique porque?

7. Uma balança de braços iguais está presa aoteto de um elevador. Quando o elevador está

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parado, a balança fica equilibrada indicandoum valor P para o peso de um objeto. Caso oelevador desça com aceleração constante (a)que peso a balança indicará?

Denominamos, pois de Peso Aparente, aforça de reação normal exercida para cimapela balança. Caso o elevador estivesse emqueda livre, ele experimentaria uma aceleraçãoa0 = g relativa ao referencial inercial. Dessemodo, a força F’’ que atua sobre o corpo emrelação ao elevador será nula ou seja, o corponão teria peso em relação ao elevador.

Esta falta de peso (ou imponderabilidade)não ocorre apenas dentro de um elevador emqueda livre, mas também dentro de uma naveespacial em órbita.

Num sistema de referencia localizada dentroda nave espacial, os astronautas e tudo maisque estiver dentro dela estão sem peso. Esteefeito da ausência de peso aparente, dá-se deforma concreta ao visualizarmos astronautas,canetas, maçãs “flutuado” dentro da nave.Entretanto, em relação a um sistema de refer-encia localizado na Terra, tanto o astronautacomo tudo que vai dentro dela tem peso.

Para observadores situados na Terra, o astro-nauta, canetas, maçãs que parecem “flutua-do” dentro da nave porque eles estão caindona mesma taxa que a nave espacial durante asua órbita. Caso o astronauta desejasse mediro seu peso aparente, ele não conseguiria; poisele não exercer nenhuma força de com-pressão sobre a balança, uma vez que ela tam-bém esta caindo em direção a Terra. Dessemodo, a balança registraria zero.

2.3 OS EFEITOS DA ROTAÇÃO NUM SISTEMADE REFERENCIA EM M.C.U.

Um importante caso de forças inercial ocorrequando o Sistema de Referencia gira em MCUem relação a um Sistema de ReferenciaInercial. Exemplos desse tipo, incluem a Terra,carrossel, e muitos outros sistemas familiares.

Em tais sistemas, o observador tem a sen-sação de que uma força lhe empurra radial-mente para fora do círculo. A esta forçadenominamos de Força Centrífuga.

Uma importante conseqüência devido ao efeitode rotação da Terra e o desvio da trajetória deum móvel que cai verticalmente em razão dapresença da Força de Coriolis. Esta força sedeve ao fato da partícula está se deslocandocom uma velocidade relativamente aoReferencial Não-Inercial.

De maneira que, neste referencial, como aTerra, a trajetória de um móvel seguirá uma tra-jetória curva, no sentido contrario ao darotação do referencial Do ponto de vista de umSistema de Referencia Inercial, o desvio deve-se a presença da Força de Coriolis, de inten-sidade é dado por FCORIOLIS = 2mwv

1. Cite alguns efeitos devidos à rotação da Terra.

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TEMA 03

INDUÇÃO MAGNÉTICA

31 LEI DA INDUÇÃO DE FARADAY

Não é necessário justificar a enorme relevânciados motores elétricos. Poderíamos enumeraras discussões ambientais, já que as reservasde combustíveis estão contadas, e asmáquinas a vapor, tão importantes naRevolução Industrial, apresentavam sériosproblemas, por exemplo, a energia não podiaser transportada e isso sem falar da poluiçãocom a fumaça que chegava a cobrir cidadesinteiras. Então logo se viu os benefícios devidoao baixo custo, fácil construção, facilidade notransporte e, ainda, baixíssimo índice depoluição. Daí, as atenções terem se voltadopara a produção de energia elétrica em largaescala com a invenção dos geradores eletro-magnéticos de corrente elétrica. Esses ger-adores produzem energia de grande intensi-dade, podem ser distribuídas a longas distân-cias através de fios metálicos que alimentamas indústrias e nossas casas.

Mas, qual será a física por trás da produção dequase toda energia que consumimos?

Já determinamos o campo elétrico gerado poruma carga elétrica em repouso e o campo mag-nético produzido por uma determinada correnteelétrica constante. Michael Faraday mostrou queuma corrente elétrica pode ser induzida em umcircuito por um campo magnético variável, o quesignifica que uma corrente elétrica é produzidaem um fio enquanto ele atravessa um campomagnético. Fenômeno conhecido como induçãoeletromagnética. Em outras palavras, quando ofluxo magnético varia através de um circuito,ocorre a indução de uma fem( força eletro motriz)e de uma corrente no circuito.

À corrente elétrica assim gerada denominamoscorrente induzidas.

3.2 INDUÇÃO MAGNÉTICA

Colocado num campo magnético, um circuitofechado é percorrido por uma corrente, cadavez que o fluxo que o atravessa experimenta

qualquer variação. A esse fenômenochamamos indução magnética; o fluxo mag-nético que varia através de um circuito e provo-ca a indução de uma força eletromotriz (fem)necessária para produzir a corrente é a feminduzida; a corrente elétrica no circuito échamada de corrente de indução.

O fenômeno comum em todos os efeitos deindução é a variação do fluxo magnéticoatravés do circuito. Para um elemento de áreainfinitesimal ∆A

→em um campo magnético B

→, o

fluxo magnético ΦB através da área é dado por:

ΦB = B. Acosθ

• Para o caso de B→

perpendicular a superfí-cie,a expressão fica:

θ = ⇒ cosθ = 1 ⇒ ΦB = B.A

• Para o caso de B→

paralelo a superfície,aexpressão fica:

θ = 90º ⇒ cosθ = 0 ⇒ ΦB = B.A.cos90º = 0

No SI, a unidade de fluxo magnético é definida:

1weber (Wb) = 1 tesla(T). metro quadrado (m²)

Enunciando a lei de Faraday da indução:

A fem induzida em uma espira fechada é dadapela taxa de variação do fluxo magnético, como sinal negativo, através da área delimitadapela espira:

Onde o sinal negativo diz respeito ao sentidoda corrente, que foi induzida no sistema. Parao caso particular de n espiras concêntricas eidênticas a fem induzida será a soma da feminduzida em cada espira:

A lei de Faraday-Lenz enuncia que a forçaeletromotriz induzida num circuito elétrico éigual a variação do fluxo magnético concatena-do ao circuito. É importante notar que umcampo magnético constante não dá origem aofenômeno da indução. Por esta razão, não épossível colocar um magneto no interior de umsolenoide e obter energia elétrica. É neces-sário que o magneto ou o solenóide movam-se, consumindo energia mecânica. Por esse

141


motivo que um transformador só funciona comcorrente alternada. A lei é de natureza relativís-tica, portanto o seu efeito é resultado do movi-mento do circuito em relação ao campo mag-nético.

1. Um trilho isolante em forma de U suporta umabarra AB metálica e se encontra imerso numcampo magnético como na figura. Quandomovimentamos a barra, surge nela uma forçaeletromotriz (fem) induzida.

a) Sendo a distância entre as hastes do trilhode 1 m, e que a barra é puxada com veloci-dade de 5 m/s e que o campo magnéticotem intensidade de 8,0 x 10–2T, calcule a feminduzida na barra.

b) Se o material isolante do trilho for substituí-do por um material condutor, qual será osentido da corrente induzida?

142


UNIDADE VILei da Conservação da Energia

TEMA 01

TRABALHO - ENERGIA

INTRODUÇÃO

O Físico holandês H.A.Kramers disse uma vezque “Minha idéia favorita é que geralmente omundo do pensamento humano, e particu-larmente na ciência física, os conceitosmais importante e mais frutíferos são aque-les aos quais é impossível associar um sig-nificado bem definido”.

Nada se aplica melhor a este comentário do queos conceitos de trabalho e energia. Quando setenta compreender seus significados, é que sepercebe o quanto é difícil fornecer certas defi-nições em física.

1.1 DEFINIÇÃO DE TRABALHO

No nosso cotidiano, trabalho refere-se frequente-mente a qualquer esforço exercido durantealgum intervalo de tempo, pelo qual, às vezes,você imagina que vai ficar rico. Um carregador“trabalha” quando transporta objetos pesados,cansando-se. Um vigia “trabalha” sentado,observando as pessoas que entram e saem deuma casa. Um segurança “trabalha” quandotransporta uma mala de dinheiro. Você “traba-lha” quando resolve um problema de física.

Na Física, entretanto, a expressão “trabalho”significa algo mais preciso. É empregada paraexpressar a medida da transferência de energiade um sistema para outro, por meio da apli-cação de uma força em certa distancia. Nestecaso, uma criança “trabalha” quando puxa umbrinquedo. Todavia, o carregador “não trabal-ha” enquanto carrega um saco de batatas noombro. O operário “trabalha” quando levantauma lata de concreto. Entretanto, você “não tra-balha” quando apóia a mão no queixo ao tentarresolver o exercício de física. Um elefante “tra-balha” quando ergue uma tora de madeira dochão. Mas, seu professor “quase não trabalha”quando vira as páginas destas Notas de Aula.

O conceito de trabalho empregado na Física seoriginou por volta da Revolução Industrial, quan-do máquinas a vapor começaram a ser empre-

gadas como força motriz para retirar água dasminas de carvão que se encontravam alagadas.

Matematicamente, define-se o Trabalho (ττ)realizado por uma força constante, de intensi-dade (F), paralela ao deslocamento (d) de umobjeto, como sendo o produto escalar entre aforça e o deslocamento, isto é: ττ = F.d. O tra-balho, portanto, é uma grandeza escalar, cujoo resultado é um número, que pode ser positi-vo, negativo ou nulo. A unidade tanto do trabal-ho quanto da energia no SI é o Joule (J)

Caso você exerça uma força de 20 N paradeslocar um carrinho de supermercado de8 m. O trabalho realizado sobre o carrinho seráde: τ = (10 N) x (8 m) = 80 J

1. Uma formiga caminha com velocidade médiade 0,20cm/s. Qual o trabalho que ela realizapara transportar uma folha de 0,2g de umaaltura de 8,0m?

1.2 O CONCEITO DE ENERGIA

Embora seja difícil associar uma definição bas-tante clara do que seja energia, todos nós temosuma idéia intuitiva do que seja energia e o que elarepresenta para a Humanidade. Sabemos, porexemplo, que os alimentos contem alguma espé-cie de energia armazenada, pois o funcionamen-to e a capacidade da “máquina humana” derealizar trabalho depende da sua ingestão.

A tabela abaixo ilustra o consumo de Energiaempregado em algumas atividades por partede uma pessoa saudável, jovem, de constitu-ição e metabolismos médios desenvolvido nodecorrer do dia

145

Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia

O mesmo processo de funcionamento da“máquina humana” ocorre num automóvel. Paramovimentá-lo, precisamos abastece-lo com umdeterminado combustível (gasolina, óleo Dieselou álcool). Caso o gás de cozinha acaba e vocêainda pode dispor de lenha ou de carvão, parapreparar o “peteco” (feijão com arroz”), cozinharos outros os alimentos ou fazer aquele churras-co. Mais ainda, se todas as luzes de nossascasas se apagam repentinamente, a primeiracoisa que imediatamente procuramos saber éporque é que “a luz foi embora”? Rápido desco-brimos que para que uma residência “tenha luz”é preciso que as lâmpadas (e as tomadas) dis-ponham de uma quantidade de energia elétricaproveniente ou do combustível, ou do níveld’água da represa de Balbina, ou que a “contada luz” tenha sido paga.

A “Energia é, portanto, uma espécie demoeda Universal” com a qual pagamos ascoisas que desejamos realizar. Cada gota desuor, de gasolina ou de álcool; cada m3 degás, cada Kwh de eletricidade; cada “colhera-da” de comida representam de uma forma oude outra aquilo que é necessário para realizaro que chamamos de TRABALHO.

O objetivo neste capitulo, é bastante modesto,pois resume-se em entender cuidadosamente,analisar e aplicar o conceito de EnergiaMecânica a fenômenos físicos e situaçõescotidianas. Partiremos da compreensão intuiti-va e dos argumentos experimentais apresenta-do por Galileu, de modo que possamos analis-ar as grandezas cruciais envolvidas no con-ceito de ENERGIA.

1.3 O TRABALHO DO PESO

Para facilitar a compreensão da relação entreTrabalho-Energia suponha, por exemplo, quevocê suspenda um corpo de tal maneira queele não acelere. Neste caso, a força (F) deve seigualar ao peso (P) do corpo. Sabendo, porsua vez, que o peso de um corpo nas proximi-dades da superfície da Terra é constante, o tra-balho executado para mover o peso até umacerta altura (h) será: ττ = P. h.

De acordo com esta definição, você poderiaimaginar que o trabalho executado contra agravidade dependa, por exemplo, da maneira

pela qual se ergue o peso entre dois andar deuma construção: se, por uma polia; por atravésde uma rampa; por meio de um pêndulo ouatravés de uma escada.

1. Suponha que sua mochila pese 80N e quevocê esteja transportando ela presa às suascostas. Ao tentar subir ao 4º andar de um pré-dio, você dispõe de três alternativas:

I - uma escadaII –uma rampaIII – um elevador

Calcule o trabalho realizado por você paracada uma dessas opções. Explique porque aspessoas preferem ir de elevador.

CONCLUSÃO:

TRABALHO DA FORÇA GRAVITACIONAL NÃODEPENDE DO CAMINHO

É fácil perceber na vida diária que um pesosuspenso contém uma certa quantidade deenergia devido a sua posição, pois se umouriço de castanha cair, ele pode realizar umcerto Trabalho como, por exemplo, “achatar” alataria de um carro.

Usando a definição de trabalho, ττ = F.d , onde(F) é o Peso do corpo e (d) é a altura, dizemosque ττ = P. h ou ττ = m.g.h

Fisicamente, pode-se compreender essa

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relação admitindo-se que a força aplicada (F)realizou um trabalho sobre o objeto ou, alterna-tivamente, que a força realizou um trabalhocontra a força da gravidade. Em síntese, o quetem que ficar claro, é que o trabalho, como jáfoi dito, representa uma transferência da ener-gia armazenada no ouriço que pode vir serusada em qualquer instante.

Esta energia devido a sua posição, em relaçãoao chão, é o que se denomina de ENERGIAPOTENCIAL (Ep). Portanto, W = Ep = m.g.h

Como a Energia Potencial depende da altura, oseu valor sempre depende da escolha de umnível de referência escolhido arbitrariamente.Na prática, o nível escolhido é aquele no quala força resultante é nula. Neste nível a energiapotencial é nula.

1. Um helicóptero é usado para recolher, pormeio de um cabo inextensível e de massadesprezível, um astronauta de 72kg, através de15m, verticalmente, a partir da superfície dooceano. Suponha que, num determinadoinstante, a tensão no cabo seja de 1200N.

a) Determine, neste instante, o sentido e omodulo do vetor aceleração

b) É possível saber se, neste instante, o heli-cóptero esta subindo ou descendo? Justifi-que sua resposta.

c) Qual o trabalho realizado pelo helicópterosobre o astronauta?

d) Qual o trabalho realizado pela força gravita-cional sobre o astronauta?

e) Qual a energia cinética e a velocidade doastronauta, imediatamente antes, de chegarao helicóptero?

1.4 RELAÇÃO GERAL ENTRE TRABALHO EENERGIA

Podemos agora generalizar os resultados jáobtidos. Para tanto, considere, por exemplo,uma partícula se movendo do ponto A até o Bao longo da seguinte trajetória submetida aação de uma força constante (F).

Lembrando que um objeto em movimento pos-sui determinada quantidade de Energia Cinéticapodendo realizar trabalho, isto se expressa porEc= τ.

Reescrevendo essa relação na forma Ec= F.d,obtém-se a seguinte relação: (τb

a = EfC – Ei

C);resultado que é conhecido pela denominaçãode Teorema do Trabalho-Energia.

Igualmente, podemos obter uma relação entreo trabalho e a Energia Potencial, que seexpressa por τb

a = – (Eip – Ef

p) = –∆Ep

1. Um carrinho de mão, cheio de pedras, inicial-mente em repouso, tem aproximadamente120Kg. Para que o carrinho se mova um operárioaplica uma força constante horizontal de 240N.Desprezando-se os atritos, qual a energia cinéti-ca do carrinho após ter percorrido 5,0 m?

Até agora, temos definido o conceito de trabalhoa partir de situações cotidianas bem simplesonde, por exemplo, a força gravitacional (o Peso)era constante para pequenas variações de altura.

Uma expressiva classe de problemas emFísica envolve situações onde a força que atuasobre a partícula varia tanto em direção quan-to em intensidade. Desse modo para calcular otrabalho devemos conhecer como a força variaem função do tempo, ao longo da trajetória dapartícula (vide a figura abaixo).

Nestas situações, o trabalho total realizado por(F) para deslocar a partícula desde o ponto A

147


até o B pode ser expresso como: ,

onde dr é um deslocamento infinitesimal aolongo da trajetória.

1.5 TRABALHO DA FORÇA ELÁSTICA

Consideremos agora o trabalho realizado paradistender uma mola. Experimentalmente, sabe-se que para se distender uma mola, sem acel-eração, de uma pequena distância (X), énecessário aplicar-se uma força igual e opostaaquela produzida pela mola, dada pela Lei deHooke, ou seja: F = k.X.

Uma propriedade muito importante da ForçaElástica é que ela é uma Força Restauradora.Assim, toda vez que se tenta distender uma amola, ela reage opondo-se a este deslocamento,tendendo retornar a sua posição de equilíbrio.

O trabalho realizado sobre a mola pode serfacilmente determinado a através do gráfico docomportamento da força aplicada contra amola. A área do triângulo fornece a medida dotrabalho realizado.

1. Uma mola, presa a uma parede rígida, é com-primida por um bloco de 0,40Kg. Quando obloco é liberado ele adquire uma velocidadede 2,0m/s. Determine o trabalho da força exer-cida pela mola sobre o bloco.

2. Uma mola elástica é comprimida 10 cm poruma força de 10N. Se a mola se distender, paraempurrar um carrinho de 1Kg, com que veloci-dade ele iniciará o movimento?

TEMA 02

A ENERGIA MECÂNICA

INTRODUÇÃO

O resultado encontrado para o trabalho paratransportar um peso, próximo a superfície daTerra, demonstra que ele depende apenas daaltura que se deseja elevar o corpo ou seja, daposição inicial e final. Deste modo, podemoserguer um corpo por diferentes trajetórias queo resultado será o mesmo, o implica dizer quese requer sempre a mesma quantidade de tra-balho para erguer um peso. Portanto, o trabal-ho da força gravitacional não depende do cam-inho a ser percorrido pelo objeto.

2.1 FORÇAS CONSERVATIVAS

Imaginemos que uma partícula se mova desdeo ponto A até o ponto B ao longo da trajetória1, retornando para A ao longo da trajetória 2.varias forças podem agir na partícula duranteseu percurso. Separando-se cada uma dessasforças, se a força for conservativa, o trabalhopor ela realizado sobre a partícula, em um per-curso fechado, deve ser nulo.

Sendo o resultado independente da trajetória, aisto é: τAB(1) = τAB(2), a força que obedece estapropriedade é denominada de Força Conser-vativa. De modo que, o trabalho realizado pelaforça conservativa (vide a figura acima) ao longode uma trajetória fechada é nula, ou seja:

τAB(1) + τAB(2) = τAB(1) – τAB(2) = 0

1. Suponha que a força que age sobre uma partícu-la dependa de velocidade com que o trajeto épercorrido. Pode tal força ser conservativa?

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Nos casos onde a Força é Conservativa é pos-sível sempre associar uma Energia Potencial.Como as interações fundamentais em Físicadependem da posição podemos associar acada força desse tipo uma energia armazena-da no sistema que pode vir, ao ser liberada,realizar um determinado trabalho. Por exemp-lo, pregar um prego, disparar uma flecha, etc .

No caso da força gravitacional associa-se umaENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL, en-quanto que no caso de uma mola, associa-sea força elástica uma ENERGIA POTENCIALELÁSTICA.

Existem outras formas de Energia Potencial,que estão associadas a outros tipos de forças.Por exemplo, num átomo, se o elétron for afas-tado do núcleo por uma força externa, a ener-gia potencial elétrica aumentará. O mesmoacontece no caso de dois imãs.

Ainda que a Energia Potencial possa parecercomo pertencente somente ao corpo, nãopodemos nos esquecer que é o sistema comoum todo que determina a Energia Potencial.Desse modo, a Energia Potencial Gravitacional,que surge devido, por exemplo, ter sido erguidouma mochila, não esta localizada somente namochila, mas sim em todos os corpos que con-stituem o sistema e que estão interagindo.Assim, a Energia Potencial, surge da realizaçãodo trabalho, que aumenta a energia total do sis-tema, no caso, da Terra-mochila.

2.2 TRABALHO REALIZADO PELO ATRITO

Um objeto quando desliza sobre uma superfície,normalmente, atua sobre ele uma força de atritona direção contraria ao do seu movimento.

Pela definição de trabalho τ = F→

. r→

a força deatrito realiza um trabalho sempre negativosobre o objeto durante todo o seu movimento.Assim, o trabalho realizado num percurso deida-e-volta, é diferente de zero. Portanto a forçade atrito não é conservativa

1. Um corpo de 10 Kg cai, a partir do repouso, deuma altura de 100 m e chega ao solo com uma

velocidade de 40 m/s. sabendo-se que a acel-eração da gravidade e a força de resistência doar são praticamente constante, qual o trabalhorealizado pela força de resistência do ar?

2. De acordo com o depoimento de um certonadador, numa prova de 100m, se dispendecerca de 280000J em 60 segundos. Admitamosque 3/4 desta energia sejam liberados, direta-mente, sob forma de calor, e o restante seja dis-sipado por suas mãos e pernas em trabalhomecânico. Com base nestas informações qual aforça media que se opõe a seu movimento?

3. Um corpo de massa M gira em MCU sobre umamesa presa num fio de comprimento R. Admitaque o coeficiente de atrito entre o corpo e a mesaseja µ e que, num determinado instante, o módu-lo da velocidade tangencial do corpo seja V. a) Qual deve ser o valor de V para que o corpo

pare após duas voltas completas. b) Qual o trabalho realizado pela força de atri-

to durante a última volta.

4. Normalmente, num frigorífico, o operário dis-põe de uma rampa por onde desliza os blocosde gelos (≈80kg), a partir do repouso. Medidasefetuadas numa rampa de 1,8m indica que osblocos de gelo chegam na sua base com umavelocidade de aproximadamente 4,0 m/s. Quala quantidade de energia dissipada pelo atrito.

2.3 A LEI DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

A Lei de Conservação da Energia é um dos maisprofundos, robustos e resistentes pilares doEdifício da Física e de toda atividade cientifica.Contudo, sua formulação explicita como um dosaspectos fundamental da presença de uma or-dem no Universo é recente, data da segunda me-tade do século XIX. Ela constitui-se numa des-coberta que custou milhares de anos de trabalhomental para se chegar a formulação correta.

Para facilitar a compreensão da Lei daConservação da Energia, podemos novamenteretornar ao experimento de Galileo com oplano inclinado e com pêndulos em termos datransformação da energia cinética em da ener-gia potencial, e vice versa.

149


Assim, a partir do instante que a bola parte desua posição inicial, começa existir uma troca ouuma transformação de energia potencial para aenergia cinética, uma vez que a bola perdealtura mas, em compensação, ganha/adquirevelocidade. Este processo de transformação deenergia se inverte quando a bola sobe pelosegundo plano inclinado. Pelo fato de na subi-da a velocidade da bola ir diminuindo, suaenergia cinética diminui, enquanto sua energiapotencial vai crescendo, devido a altura da bolaem relação a mesa, ir aumentando.

Desse modo quando a bola alcança nova-mente sua posição de repouso momentâneo,toda a energia cinética da bola foi transforma-da em energia potencial e, a altura alcançadapela bola é precisamente a mesma que elatinha no começo da experiência.

Assim, podemos descrever o movimento dabola entre dois pontos A e B ao longo do planoinclinado da seguinte forma:

EAP + EA

C = EBP + EB

C, isto implica que a ENERGIAé conservada. Em resumo, a Lei daConservação da Energia estabelece que:

EP = EC = Cte

1. No rótulo de uma lata de leite em pó, você podeler “valor energético: 1509KJ por 100g (361Kcal)”.Caso toda a energia armazenada numa lata con-tendo 400g de leite fosse utilizado para levantarum objeto de 10Kg, que altura ele atingiria?

2. Um bate-estaca consta de um corpo pesado(P) que, depois de levantado a certa altura H, éabandonado, vindo colidir inelasticamentecontra a cabeça de uma estaca de massa (m).Se a estaca penetra no solo uma profundidade(h) determine a força média de resistênciaexercida pelo solo.

3. Um menino de 50Kg desce, a partir do repouso,por um tubo-água de 4,0m de altura. Ao escorre-gar ele cai dentro de uma piscina a uma distanciade 1,5m, medido a partir da extremidade maisbaixa do tubo-água. Sabendo-se que a extremi-dade mais baixa do tubo-água encontra-se a1,25m do nível da água da piscina, encontre:

a) a velocidade com que o menino deixa o tubo-água.

b) a perda de energia mecânica da criançadurante a descida no tubo-água.

4. Um bloco de 5,0Kg desliza a partir do repousopor uma rampa, colidindo inelasticamente comoutro bloco idêntico que estava parado noplano horizontal. Até que altura o conjuntopoderá subir na rampa seguinte.

5. Um peso P cai de uma altura H sobre umamola de comprimento Y e constante elástica K.Demonstre matematicamente que a velocidadedo bloco ao sofrer uma deformação X é dada

pela seguinte relação:

150


6. Um pendulo, inicialmente, em repouso é postopara oscilar entre os pontos A e B. Indique asforças que atuam sobre ele, no instante emque passa pelo pontos X, Y, e Z. Demonstreque a a intensidade da força aplicada no fioquando o pendulo passa pela posição Y é otriplo do que quando ele está em repouso.

7. Uma bolinha de aço cai de uma altura de 1,0 msobre uma placa de mármore. A bola repicasobre a placa varias vezes. Em cada colisão, abolinha perde 20% de sua energia.

a) que altura máxima a bola atinge após duascolisões contra a placa?

b) com que velocidade a bolinha atinge aplaca na terceira colisão?

8. Acredita-se que a cratera do Arizona foi forma-do pelo impacto de um meteoro contra a terrahá cerca de 20.000 anos. Estima-se em 1,0 x

1012kg a massa do meteoro e que ele tenhacolidido a frontalmente contra a Terra (m≈1,0 x1024kg a 36000km/h. A colisão é perfeitamenteinelástica e libera enorme quantidade de calor.

a) que fração de energia cinética do meteoritose transforma em calor?

b) que fração se transforma em energia cinéti-ca do conjunto Terra + meteorito?

9. Os nativos australianos desenvolveram umesporte radical, o qual denominamos de“bungee jumping”, em que o nativo cai de umgalho de uma árvore para a água amarrado porum “cipó”. Sua queda é interrompida, apoucos metros da superfície da água.Suponha que o peso de um desses “atletas”seja de 750N, que o comprimento do “cipó”não distendido seja de 30 m e que a distençãomáxima seja de 10m. Nestas condições, qual ovalor da constante elástica do cipó utilizado?

10. Um objeto de 8,0 kg e volume 1,0 litro imersonum grande recipiente contendo água deslo-ca-se para baixo com velocidade constante de0,2 m/s.

a) identifique as forças que atuam sobre oobjeto

b) qual a quantidade de energia transformadaem calor no sistema objeto + água?

11. Um “bole-bole” é constituído por uma pedra demassa M amarrada por um fio inextensível decomprimento L que gira num plano vertical.

a) qual a velocidade inicial mínima para que apedra realize uma volta completa?

b) qual a velocidade mínima no ponto maisalto da trajetória.

c) qual a força no fio no ponto mais alto e maisbaixo da trajetória?

151


TEMA 03

TEMPERATURA

3.2 Temperatura A temperatura é uma medida da agitação daspartículas que compõe certo material. Se con-siderarmos as moléculas um gás, quantomaior a sua temperatura mais energia cinéticaterão essas moléculas.

O tato constitui uma das maneiras mais simplesde fazer uma distinção entre corpos quentes efrios. Mas essa maneira de avaliação é bastanteimprecisa, e além do mais poderá causar dificul-dades se as temperaturas dos corpos estiveremmuito próximas. Se construirmos uma experiên-cia com três recipientes contendo água, onde umdeles está a temperatura ambiente, o segundo auma temperatura acima da ambiente e o terceiroa uma temperatura abaixo da ambiente. Vamosmergulhar uma das mãos no recipiente comágua a uma temperatura acima da ambiente e aoutra mão no recipiente com água a uma temper-atura abaixo da ambiente, e permanecer poucomais de um minuto nessa situação.

Ao mergulhar as duas mãos no recipiente a tem-peratura ambiente iremos ter a sensação estran-ha onde uma mão manda a informação que aágua está numa certa temperatura enquanto aoutra mão manda uma informação de uma tem-peratura diferente. A mão que estava no recipi-ente com água mais fria sente a água maisquente, e a mão que estava no recipiente comágua mais quente sente a água mais fria.

Felizmente existem substâncias que nos dãouma medida da temperatura de outros corpose a relação entre elas. São chamadas de sub-stâncias termométricas.

3.2.1 Equilíbrio térmico

Dois corpos em contato físico, estão em equi-líbrio térmico quando param de trocar energia,quando o fluxo líquido de energia entre eles énulo. Quando isso acontece, a temperaturados dois corpos é a mesma.

Lei Zero da Termodinâmica

Se dois corpos A e B estão em equilíbrio térmi-

co com um terceiro corpo C, então, elesestarão em equilíbrio térmico entre si.

3.2.2 Medindo a Temperatura

Existem várias grandezas que variam as suascaracterísticas quando varia a nossa per-cepção fisiológica de temperatura. Entre essasgrandezas estão:

• O volume de um líquido;

• O comprimento de uma barra;

• A resistência elétrica de um material;

• O volume de um gás mantido a pressãoconstante.

Qualquer dessas pode ser usada para construirum termômetro, isto é: estabelecer uma determi-nada escala termométrica. Essa escala ter-mométrica é estabelecida pela escolha de umadeterminada substância termométrica e tambémuma propriedade termométrica desta substância.

Termômetros e Escalas Termométricas

O desenvolvimento da termometria, ou seja, atécnica de medir a temperatura começou como termoscópio inventado por Galileu Galilei,no século XVI. As escalas de mediçãodefinidas pela escola científica florentina aolongo do século XVII tomavam como base atemperatura anual mínima da região, e osinstrumentos eram calibrados em relação aela. Com o tempo, adotaram-se pontos deorigem mais racionais e genéricos. No princí-pio do século XVIII, havia na Europa mais de35 escalas diferentes de temperatura. Asescalas mais usadas atualmente são: Celsius(°C), Fahrenheit (°F), Kelvin (K) e Rankine (°R).Em algumas situações, ainda se utiliza aescala Réaumur (°Re).

A primeira escala centígrada, hoje conhecidacomo escala Celsius, foi desenvolvida peloastrônomo sueco Anders Celsius em 1742. Adiferença entre seus valores de referência: 0oCpara o ponto de fusão e 100oC para o pontode ebulição da água facilitou sua adoção nospaíses que adotam o sistema métrico decimal.

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É utilizada em quase todos os países domundo, inclusive no Brasil.

A escala Fahrenheit foi criada pelo físico alemãoDaniel Gabriel Fahrenheit, entre 1700 e 1730.Tem três referências básicas: a temperatura deum cubo de gelo, que recebeu o valor 32, a tem-peratura do corpo humano, definida em 98,6, eo ponto de ebulição da água, fixado em 212.Divide-se em 180 partes (diferença entre ospontos de fusão e ebulição), cada uma equiva-lente a 1°F. É utilizada nos Estados Unidos ealguns outros países de língua inglesa.

Em 1848 o físico britânico William Thomson(lorde Kelvin) propôs um novo sistema demedição de temperatura, mais adequado àscrescentes necessidades da termodinâmica.Conhecida como escala absoluta ou Kelvin ebaseada no sistema centígrado, tem suaorigem no chamado zero absoluto, definidopelo valor -273,15 da escala Celsius. O kelvin,sua unidade de temperatura, é reconhecidocomo padrão universal para as medições cien-tíficas de temperatura. A equivalência entre asescalas Celsius e Kelvin se obtém pelo simplesdeslocamento do valor de origem.

A escala absoluta Rankine também é muitousada em engenharia. Origina-se no zero abso-luto da escala Fahrenheit, definido em -459,67°F. Mais raramente utilizada é a escalaRéaumur, que se baseia num intervalo de 0 a 80entre os pontos de fusão e ebulição da água.

3.2.3 Tipos de termômetro

Nas figuras abaixo, mostramos dois tipos determômetros, no entanto, há outros tipos, porexemplo: o digital e o bimetálico.

Figura 1: Termômetro de vidro (comum)

Figura 2: Termômetro Clínico (Máxima)

3.2.4 Relações entre as escalas: Celsius,Fahrenheit e Kelvin

O intervalo de 0°C a 100°C e de 273K a 373K é

dividido em 100 partes iguais e cada uma dasdivisões corresponde a 1°C e 1K, respectiva-mente. Na escala Fahrenheit o intervalo de32°F a 212°F é dividido em 180 partes.

Supondo que a grandeza termométrica seja amesma, podemos relacionar as temperaturasassinaladas pelas escalas termométricas daseguinte forma:

1. Um médico americano é convidado a fazer umestágio num município amazonense. Na consultade um paciente com suspeita de infecção, medesua temperatura e obtêm 102,8ºF. Responda:

a. Qual a temperatura medida pelo médico emgraus Celsius?

b. O médico tem motivo para se preocuparcom o paciente?

c. Explique por que uma pessoa com febresente frio.

Resolução

a)

Tc = 39,3ºC

b) Sim, pois a temperatura do paciente émaior que a temperatura normal do corpohumano.

153


c) Como a febre é devido a uma temperaturamaior que a normal, ele perde energia tér-mica mais depressa para o ambiente, porisso, ele sente frio.

1. A temperatura em uma sala de aula é 25ºC.Qual será a leitura na escala Fahrenheit?Resposta: 77ºF

2. Uma escala, criada pelo francês RenéRéaumur, adotava os valores zero para a tem-peratura da água em fusão e 80 para a da águaem ebulição.

a) Estabeleça uma fórmula de conversão entrea escala de Réaumur e a celsius.

b) Determine a temperatura em ºR correspon-dente a 50ºC.

3.3 DILATAÇÃO TÉRMICA DOS SÓLIDOS ELÍQUIDOS

O estudo da dilatação possui importantes apli-cações em nosso cotidiano, tais como:

• A dilatação dos trilhos e das pontes: calcu-la-se da separação entre os segmentos;

• A dilatação dos pêndulos: verifica-se a com-pensação;

• Os canos das refinarias: possuem laços deexpansão de modo a não se deformaremcom o aumento da temperatura;

• O material que o dentista usa parapreencher as cavidades nos dentes, devemter as mesmas propriedades de expansãotérmica do dente.

Dilação térmica é o fenômeno onde o corposofre uma variação nas suas dimensões,quando varia a sua temperatura. O fenômenoacontece devido a variação das distâncias rel-ativas entre as moléculas, associada aoaumento de temperatura.

Para efeitos didáticos vamos estudar em parteseparadas: a dilatação dos sólidos e dos líqui-dos, distinguindo-se, no caso dos sólidos, a

dilatação linear, a superficial e a volumétrica.

3.3.1 Dilatação dos sólidos

Dilatação Linear: é aquela em que predominaa variação em uma única dimensão, ou seja, ocomprimento. Para estudarmos a dilatação lin-ear, consideremos uma barra de comprimentoinicial L0, à temperatura inicial T0. Aumentandoa temperatura da barra para T, seu comprimen-to passa a ser L.

Figura 3: Ao variarmos a temperatura ∆T = T – T0,há também uma variação do comprimento ∆L = L – L0.

Experimentalmente, verificou-se que:

• ∆L é diretamente proporcional ao compri-mento inicial L0.

• ∆L é diretamente proporcional à variaçãode temperatura T.

• ∆L depende do material que constitui a barra.

A partir dessas relações, podemos escrever:

∆L = L0 α ∆T,

Em que é uma constante característica domaterial que constitui a barra, denominadacoeficiente da dilatação linear.

Dilatação Superficial: é aquela em que pre-domina a variação em duas dimensões, ou seja,a área. Consideremos uma placa de área inicialA0, à temperatura inicial T0. Aumentando a tem-peratura da placa para T, sua área passa para A.

Figura 4: Ao variarmos a temperatura ∆T = T – T0,há também uma variação superficial ∆A = A – A0.

A experiência mostra que ∆A é proporcional a∆A0 e ∆T, logo:

∆A = A0β∆T

154


Em que β é o coeficiente de dilatação super-ficial do material que constitui a placa, e éigual ao dobro do coeficiente de dilatação lin-ear, isto é: β = 2α

Dilatação Volumétrica: é aquela em queocorre quando existe variação das três dimen-sões de um corpo: comprimento, largura eespessura. Com o aumento da temperatura, ovolume da figura sofre um aumento, tal que:

Figura 5: Ao variarmos a temperatura ∆T = T – T0,há também uma variação volumétrica ∆V = V – V0.

Analogamente ao que descrevemos nos casosanteriores, temos:

∆V = V0γ∆T

O coeficiente de dilatação volumétrica éaproximadamente igual ao triplo do coeficientede dilatação linear , isto é: γ = 3α

3.3.2 Dilatação dos Líquidos

Como os líquidos não apresentam formaprópria, ao estudar a dilatação dos líquidostem de se levar em conta a dilatação do recip-iente sólido que o contém. De maneira geral,os líquidos dilatam-se sempre mais que os sóli-dos ao serem igualmente aquecidos.

A dilatação aparente é aquela diretamenteobservada e a dilatação real é aquela que olíquido sofre realmente.

Consideremos um recipiente totalmente cheiode um líquido à temperatura inicial T0. Aumen-tando a temperatura do conjunto (recipiente +líquido) até uma temperatura T, nota-se umextravasamento do líquido, pois este se dilatamais que o recipiente. A dilatação aparente dolíquido é igual ao volume que foi extravasado.

A dilatação real do líquido é dada pela soma dadilatação aparente do líquido e da dilataçãovolumétrica sofrida pelo recipiente.

Figura 6: Dilatação de líquidos

∆Vreal = ∆Vap + ∆Vrecip

∆V0γreal ∆T = V0γap∆T + V0γrecip. ∆T

γreal = γap + γrecip.

1. Ao colocar um fio de cobre entre dois postes,num dia de verão, um eletricista não devedeixá-lo muito esticado. Por que?

2. Um homem usa uma aliança de ouro, de 1,5cm de diâmetro. Ao tirar sua aliança, ela escor-rega e cai dentro de uma panela de água fer-vendo. Admitindo que a aliança estava emequilíbrio térmico com o corpo do homem, cal-cule a variação no seu diâmetro em virtude doaquecimento. Dado: αouro = 1,4.10–5oC–1.

3. Num posto de gasolina comprou 20000 litrosdesse combustível. O caminhão que trans-portava a gasolina sofreu um aquecimentodevido à incidência de raios solares sobre seutanque. Assim, a temperatura do combustível,ao ser colocado no depósito do posto, era de25oC. No depósito, ele sofreu novo aquecimen-to e, quando foi vendido, estava a 27oC.Sabendo que a gasolina foi vendida nesta tem-peratura e que seu coeficiente de dilataçãovolumétrica é de 11.10–4oC–1, determine o lucro,em litros, que o dono do posto obteve.

4. Um recipiente de vidro contém 400cm3 de mer-cúrio a 20oC. Determinar a dilatação real e aaparente do mercúrio quando a temperaturafor 35oC.

No aquecimento de um líquido contidonum recipiente, o líquido irá, ao dilatar-sejuntamente com o recipiente, ocupar parteda dilatação sofrida pelo recipiente, alémde mostrar uma dilatação própria, chama-da dilatação aparente.

155


TEMA 04

A ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL

Como vimos a Energia Potencial Gravitacionalpara um objeto próximo à superfície da Terra é

Ep = PESO.Altura = m.g.h. Entretanto, para umveículo espacial ou qualquer objeto bastantelonge da Terra, deve-se se buscar umadefinição mais geral. Nestas circunstanciaspara se encontrar a Energia PotencialGravitacional, precisamos calcular o trabalhorealizado pela Força de Gravitação Universalsobre o objeto.

Sendo esta força conservativa, deve se asso-ciar ela uma Energia Potencial Gravitacional.

. O sinal menos indica que um

aumento na Energia Potencial corresponde umadiminuição da energia cinética.

Ao resolver o lado direito da equação obtém-se

que:

Escolhendo-se, adequadamente, o nível de ref-erencia conveniente, no qual a Força Resultanteseja nula, podemos obter uma expressão geralpara a Energia Potencial dada pela seguinte

relação:

O gráfico abaixo exibe o comportamento daEnergia Potencial Gravitacional, tendendo azero para uma separação infinita.

4.1 VELOCIDADE DE ESCAPE

Suponhamos que temos um objeto na superfíciede um planeta e que desejamos lançar umaespaçonave para que consiga escapar docampo gravitacional do planeta e que nuncamais retorne. Esta velocidade denominamos deVelocidade de Escape. Para determinar seu valor,vamos admitir que o planeta seja uma esfera deraio R. Ao aplicar a Lei da Conservação da

Energia obtemos que , fa-

zendo as simplificações, temos que

. No caso da Terra a velocidade

de escape é da ordem de 11,2km/s

4.2 ATRAÇÃO DE UMA PARTÍCULA POR UMAESFERA SÓLIDA.

Utilizando o conceito de Energia PotencialGravitacional, podemos determinar a forçaexercida por uma esfera sólida sobre umapartícula afastada a uma distancia (r) do centroda esfera.

Este problema corresponde exatamente aqueleenfrentado por Newton quando tentou estendea Lei da Gravitação até a órbita da Lua.

Uma forma de analisar o problema é tratar aesfera como se fosse formada de um grandenumero de finas fatias esféricas, tal como ascapas de uma cebola.

De modo que somando-se a contribuição decada uma dessas fatias, pode-se calcular oefeito total da esfera sobre a partícula. Portantoo problema resume-se em calcular a força

156


exercida por uma fatia esférica considerandoque a força varia com o inverso o quadrado dadistancia.

Se, ainda hoje, este problema lhe parece difícil,o que não pensar na época de Newton. Eleprecisou inventar o cálculo para que obtivessea solução de forma correta.

Aplicando geometria ele demonstrou que a

força é . Independente da forma

como a densidade varia entre o centro e a super-fície da Terra, Newton considerou toda a massada esfera estivesse concentrada no centro.

No caso da partícula estar situada no interiorda esfera, deve-se conhecer a massa envolvi-da por uma esfera imaginaria de raio r, quepasse pela partícula. Considerando a densi-dade da esfera no seu interior como constante,

obtém-se que a força vale: .

Os gráficos abaixo representam o comporta-mento da Força e da Energia PotencialGravitacional para uma esfera maciça.

TEMA 05

POTENCIAL ELÉTRICO

5.1 DIFERENÇA DE POTENCIAL (ddp)Toda carga abandonada no interior de umcampo elétrico sofre ação da força elétrica,que irá deslocá-la, realizando trabalho.

Imaginemos uma carga de prova q deslocan-do-se de A para B no interior de um campoelétrico. Definimos diferença de potencial(ddp), entre A e B, como sendo:

UA – UB=

A diferença de potencial entre os pontos A e Bé definido pelo trabalho realizado pelo campoelétrico por unidade de carga elétrica.

A energia potencial e a carga são escalares, demodo que o potencial elétrico é uma grandezaescalar.

Suas unidades são obtidas pela razão entre asunidades de energia potencial e as unidadesde carga.

No SI, a ddp será medida em joules porcoulomb, sendo denominada volt (V):

V = ⇔

Da definição de ddp, podemos determinar otrabalho realizado por um campo uniformesobre uma carga de prova. No campo elétricouniforme, a força elétrica se mantém con-stante, em módulo, direção e sentido, de modoque seu trabalho pode ser calculado usando-se os conceitos da mecânica.

157


Se abandonarmos uma carga pontual q > 0num ponto A de um campo elétrico uniforme poração exclusiva da força elétrica F

→ , ela será

deslocada ao longo da linha de força. O trabalhoda força elétrica é dado pelo produto da intensi-dade da força pela distância considerada. Ouseja, no deslocamento de A até B, o trabalho é:

τ = F.d ,

e sendo F = q.E , temos que:

τAB = q.E.d

Logo a ddp: UA – UB= = E.d

Na mecânica vimos que quando a força é con-servativa, o trabalho não depende da trajetória,mas apenas das posições inicial e final dapartícula sobre a qual ela atua.

Nos circuitos, a diferença de potencial (ddp) entredois pontos é comumente chamada de tensão.Os conceitos de potencial e de tensão são funda-mentais para se entender o funcionamento de umcircuito elétrico, que veremos mais adiante.

1. Uma carga puntiforme +2q é deslocada doponto A para o ponto B, em uma região comcampo elétrico uniforme E, com velocidadeconstante, por um agente externo, seguindo atrajetória indicada pela figura:

Desprezando-se a ação da força gravitacionale sabendo-se que a distância entre A e B é d ,determine:

a) A diferença de potencial (ddp) entre os pon-tos A e B.

b) O trabalho realizado pelo agente externo aodeslocar a carga + 2q segundo a trajetóriadescrita.

5.2 POTENCIAL ELÉTRICO

Qualquer massa elétrica gera um campo deforças e é capaz de produzir trabalho; ora, estetrabalho depende não só da massa elétricamas ainda do seu nível elétrico ou potencial.Então este trabalho pode ser expresso em ter-mos da energia potencial elétrica. E fazendouma analogia com a energia potencial gravita-cional que depende da altura em que se encon-tra a massa sobre a superfície terrestre, a ener-gia potencial elétrica depende da posição dapartícula carregada no campo elétrico.

Dessa forma, podemos pensar no potencial oupotencial elétrico (nível elétrico) como análogoao nível hidráulico, por exemplo, 1kg de águaque cai de 5m de altura produz 5 vezes mais tra-balho do que a massa que cai de 1m de altura.

O potencial elétrico é ainda semelhante à tem-peratura dos corpos quentes, por exemplo, 1kgde água que passa de 80°C a 10°C desprende70 vezes mais energia (calorífica) do que amesma água que baixa de 11°C a 10°C.

A energia potencial elétrica será descrita porum novo conceito chamado potencial elétricoou apenas potencial.

Então, por definição:

“o potencial elétrico de um condutor isolado émedido pelo trabalho que a unidade de cargaelétrica deste condutor pode produzir”.

Então,

Observe a figura abaixo, onde uma carga elétri-ca puntiforme é deslocada de A para B, sobação de um campo elétrico:

τAB = EpotA – EpotB

Ora, por definição:

VA = ⇒ EpotA = q. VA

E, analogamente:

EpotB = q. VB

158


Portanto:

τAB = q. VA – q. VB ⇒ τAB = q.( VA – VB), esseserá o trabalho efetuado pela carga

Considerações importantes:

• O potencial elétrico é uma grandezaescalar, portanto seus valores podem serpositivos e negativos.

• O potencial elétrico em um dado ponto P,não depende da carga de prova.

usando a expressão, V = ⇔ ;

sabendo que ∆Epot = q.E.d

e ainda que

então, fazendo as devidas substituições nadefinição do potencial, temos:

• Potencial elétrico é uma grandeza associa-da a cada ponto de uma região onde hajacampo elétrico.

• Energia potencial elétrica é associada a umsistema quando uma força elétrica conserva-tiva realiza trabalho atuando entre as partícu-las carregadas situadas num campo elétrico.

• Energia potencial elétrica depende daposição em que a carga se encontra nocampo elétrico.

• Podemos relacionar a energia potencialelétrica (Epot) com a carga elétrica pun-tiforme (q) e o seu potencial elétrico (V):Epot = q.V

• A energia potencial elétrica assim como opotencial, depende de um ponto de referên-cia (P), normalmente usamos um ponto noinfinito:

P → ∞ ⇒ Epot∞ = 0 e Vpot = 0

• No SI, o potencial é medido em volts,enquanto que a energia potencial e o trabal-ho são medidos em joules.

EXEMPLO

1. Dois prótons no núcleo de um átomo de U238

estão à distância de 6,0 fm um do outro. Quala energia potencial associada à força elétricaque age entre essas duas partículas?

Solução:

Usaremos a equação e

q1 = q2 = 1,6 x 10–19C,

V = 3,8 x 10–14J = 2,4 x 105 e V = 240 keV

Os dois prótons não são separados infinitamentepela ação de uma força conhecida como forçaforte atrativa que mantém o núcleo estável.

1. Imagine um triângulo eqüilátero de aresta iguala 12 cm, e que as cargas q1 = +q, q2 = –4q eq3 = +2q estejam dispostas em seus vértices.Sendo q = 150 nC. Qual a energia potencial dosistema?

2. Uma partícula alfa (q= +2e) em um aceleradornuclear se move de um terminal cujo potencial éVa = 6,5 x 106V para outro de potencial Vb = 0.

a) Qual a variação correspondente na energiapotencial do sistema?

b) Supondo que os terminais e as suas cargasnão se movam e que nenhuma força exter-na atua no sistema, qual a variação da ener-gia cinética da partícula?

3. Qualquer que seja a situação envolvendo campoelétrico e potencial elétrico, podemos afirmar:

a) se, num ponto, o campo elétrico for nulo, opotencial elétrico necessariamente tambémo será;

b) quando o campo elétrico for diferente dezero num ponto, o potencial necessaria-mente também o será;

c) quando o campo elétrico for constantenuma região, o potencial necessariamentetambém o será;

d) quando o campo elétrico for nulo numaregião, o potencial necessariamente tam-bém o será nessa região, podendo ou nãoser nulo.

159


5.3 CORRENTE ELÉTRICA

Nas aulas anteriores, estudamos as interaçõesdas cargas em repouso. A partir de agora estu-daremos as cargas elétricas em movimento,isto é, o fluxo de partículas carregadas(elétrons ou íons).

Por volta do século XVII, eram conhecidos ape-nas os fenômenos de atração e repulsão elétri-cas, faíscas das máquinas eletrostáticas e dagarrafa de Leyde, descargas instantâneascomo de um raio que são descargas elétricasentre nuvens ou entre uma nuvem e o solo (oclarão observado é chamado relâmpago e obarulho que é ouvido é conhecido como trovãoe é produzido pela expansão do ar dado omovimento das cargas). Esses equipamentoseram vistos, pelas pessoas, comuns comomáquinas de mágicas. E hoje entendemos queatravés desses experimentos se estruturouprincípios básicos para os mais modernosequipamentos e com as mais diversas apli-cações que conhecemos na atualidade.

Como foi abordado anteriormente, toda e qual-quer matéria é formada por átomos e estes porprótons, elétrons e nêutrons. Pois imagine umfio metálico, os elétrons livres movem-se des-ordenadamente no interior da rede cristalinaque compõe esse material. Quando esse fio éconectado a uma fonte de energia apareceuma força de origem elétrica que age sobrecada um dos elétrons livres e sobre os íons darede. Como os íons possuem grande massa einteragem entre si, quase não se movem,enquanto que os elétrons livres são aceleradospor essa mesma força originando a correnteelétrica nos metais.

Essa força de natureza elétrica é devida àexistência de um campo elétrico que se estab-elece no interior do fio quando conectado auma fonte de energia. Do mesmo modo que ocampo gravitacional pode agir sobre umamassa , esse campo elétrico agirá sobre todas

as partículas carregadas (elétrons e íons) nointerior do fio, gerando forças sobre elas. Emparticular, sobre os elétrons livres, o que acar-retará um fluxo direcionado o qual chamamoscorrente elétricas.

Então, podemos definir qualquer movimentode cargas de uma região para outra como cor-rente elétrica.

Se abrirmos uma torneira de uma canalização deágua, obteremos uma corrente que pode durarindefinidamente porque o gerador (caixa de água)produz novas quantidades igual as que es-coaram. Da mesma forma se fecharmos atorneira, haverá um nivelamento dos vasos comu-nicantes, após o qual permanecerá em equilíbrio.

O controle das correntes elétricas, primeiro naescala macroscópica e atualmente em escalascada vez menores (estamos na era da nan-otecnologia), tem modificado o ambiente tec-nológico em que vivemos.

No nosso caso, vamos focar nosso interessena corrente elétrica que flui em um metal. Osmetais são excelentes condutores de correnteelétrica. Por isso, invariavelmente se usa fiosmetálicos nas redes de transmissão de cor-rente elétrica. Os metais, do ponto de vistamicroscópico, são formados por íons e a cor-rente elétrica é associada a um tipo de movi-mento dos elétrons nos espaços entre os íons.Desse modo, o nosso modelo fala da interaçãoentre os elétrons e os íons.

O átomo isolado de um metal é eletricamenteneutro. No interior do metal, cada átomoperde, em geral, um ou dois elétrons, tornan-do-se íons positivos. Tais íons se estruturamespaçadamente em uma espécie de redecristalina tridimensional. A distância entre osíons é de três vezes o raio de um íon. Issoimplica que apenas cerca de 15% do volumedo fio é ocupado pelos íons, o restante é oespaço disponível para locomoção doselétrons livres.

160


À temperatura ambiente os elétrons e os íonsmovimentam-se: os íons vibram em suaposição de equilíbrio e tem velocidadedesprezível, se comparados suas massas econsiderando as interações elétricas entreeles, enquanto que os elétrons livres pos-suem movimento aleatório e velocidade de100 000 m/s. Este movimento não constituia corrente elétrica, pois não existe nenhumfluxo efetivo de cargas em nenhuma direçãofixa e portanto, não há corrente. Esta só éestabelecida ao ligarmos o fio a uma fontede energia, onde a força de origem elétricaque age em cada um dos elétrons livres esobre os íons aparece. Os elétrons são acel-erados por essa força ocasionada pelocampo elétrico e assim produzem a correnteelétrica nos metais.

As setas, na figura, representam o campoelétrico de uma carga negativa que se com-porta exatamente como o campo gravita-cional, que não varia com o tempo. Ao conec-tarmos um fio elétrico a uma bateria, o campoelétrico que aparece em seu interior é dessetipo. Então dizemos que as correntes obtidassão contínuas. Mas, muitos eletrodomésticospor exemplo, são ligados à tomada para fun-cionarem. Estes são submetidos à correntealternada, já que o movimento de avanço doselétrons alterna constantemente seu sentido.Neste caso temos um campo que varia com otempo.

A freqüência de alternância da corrente emnossas casas é de sessenta vezes por segun-do (60Hz). Isso significa 1/60 segundos, o quenuma escala atômica é bem grande. Nestecaso, o suficiente para um elétron livre percor-rer 20 000 espaçamentos da rede cristalina emcada sentido de alternância.

5.4 VELOCIDADE DE ARRASTE

Como já estudamos, corrente é qualquer movi-mento de carga de uma região para outra napresença de um campo elétrico. Mas, no interi-or do fio condutor, o movimento das partículascarregadas é caótico e elas colidem com osíons grandes do material que permanecempraticamente estáticos. Além do movimentodas partículas carregadas, há um movimentomuito lento, chamado movimento de arraste,de um grupo de partículas carregadas nadireção da força elétrica F

→ = qE

→. Esse movi-

mento é definido por velocidade de arraste v→

d

das partículas. Daí, surge a corrente efetiva nocondutor: a velocidade de arraste é muito lenta,da ordem de 10–4m/s ; em conta partida avelocidade do movimento das partículas car-regadas é muito elevada.

O conceito de trabalho e energia pode serusado para entender o movimento de arrastedas cargas através de um condutor. O desloca-mento das cargas é em função do trabalho queo campo elétrico realiza. As freqüentes col-isões com os íons acarretam uma energiacinética que é transferida para o material con-dutor, com isso há um aumento na energia devibração média dos íons em suas posições narede cristalina do condutor, conseqüentementehá um aumento na temperatura do material.

161


Portanto, grande parte do trabalho realizadopelo campo elétrico é usada no aquecimentodo condutor e não para acelerar os elétrons.

5.5 EFEITOS DA CORRENTE ELÉTRICA

A passagem da corrente elétrica causa váriosefeitos e possui várias aplicações:

• Efeito joule ou térmico - aquecimento pro-duzido pela passagem da corrente elétricano condutor (torradeira).

• Efeito magnético – uma corrente elétricaorigina um campo magnético no espaço emtorno de si (desvia a agulha da bússola).

• Efeito químico – eletrólise, utilizado naquímica (cromação das maçanetas dosautomóveis).

• Efeito fisiológico – passagem da correnteelétrica por organismos vivos (choqueelétrico).

5.6 INTENSIDADE DA CORRENTE ELÉTRICA

Definimos a intensidade da corrente elétricaatravés da área A como igual ao fluxo total dascargas através da área por unidade de tempo.Logo, se uma carga total dq flui através de umaárea em um intervalo de tempo dt , a corrente Iatravés da área é dada por:

No SI, a intensidade de corrente é medida emampère (A). E um ampère é definido como umcoulomb por segundo (1A = 1C/s).

5.7 ALGUNS EXEMPLOS DE MEDIDAS DEINTENSIDADE DE CORRENTE

• Lanterna comum ligada – 0,5 até 1A.

• Motor de arranque de um carro – 200A.

• Circuitos de rádio e televisão – 1mA = 10–3Aou 1µA = 10–6A

• Circuitos de computadores – 1 pA = 10–12A .

EXEMPLOS

1. A corrente elétrica através de um bulbo de uma

lâmpada incandescente é igual a 0,15 A.Determine o número de elétrons que passampelo bulbo por segundo.

Solução:

Usaremos a relação:

I = n

2. A instalação elétrica de um chuveiro, cujainscrição na chapinha é 220 V - 2800/4400W,feita com fio de cobre de bitola 12, estabeleceuma corrente elétrica de aproximadamente 12A, quando a chave está ligada na posição“verão”. Na posição ‘inverno’ a corrente é deaproximadamente 20A. calcule o número deelétrons que atravessa, em média, uma seçãotransversal do fio em um segundo , para asduas posições da chave, sabendo-se que acarga de um elétron é, em módulo, 1,6 x 10–19C.

Solução

A quantidade de carga que atravessa um fioem, em média, num intervalo de tempo dt é dq.

Se, , então dq = i.dt

O número de elétrons correspondente à carga é:

Na posição “inverno”,

e

Na posição “verão”,

Podemos relacionar esses valores pela razãoentre eles:

OBSERVANDO SEU AMBIENTE

Mexer com eletricidade ou com equipamentosformados por componentes eletrônicos requer

162


muito cuidado. Os manuais de instalação efuncionamento dos eletrodomésticos, porexemplo, precisam ser lidos. As placas desinalização devem ser respeitadas. Aproveiteesse espaço para uma séria pesquisa e aseguir responda:

a) Descreva os efeitos que ocorrem quandouma corrente elétrica atravessa um organis-mo vivo?

b) Que fatores influenciam no perigo dochoque elétrico?

c) Qual a função do desfibrilador?

d) Símbolos que representem materiais elétri-cos, radioativos, avisos de cuidadosnecessários, etc.

5.8 SENTIDO CONVENCIONAL DA CORRENTE

O segmento de um condutor no qual uma cor-rente está fluindo, está representado a seguir:

Todo o estudo dos circuitos elétricos foi desen-volvido com base na teoria do fluido elétrico deFranklin, segundo a qual o fluido escoava dopólo positivo para o pólo negativo da pilha.

No século XX, com a teoria atômica da matéria,ficou estabelecido que, num fio metálico, ascargas que se movem são negativas (elétrons),portanto em sentido oposto ao que semprefora adotado. Para evitar confusões, conven-cionou-se que:

O sentido de uma corrente sempre será repre-sentado como se as cargas móveis fossem aspositivas, ou seja, consideramos as cargaspositivas, de modo que elas se movem nomesmo sentido da corrente.

5.9 DENSIDADE DE CORRENTE

Vamos considerar novamente a figura acima.

A densidade de corrente J é definida como acorrente que flui por unidade de área:

As unidades de densidade de corrente sãoampère por metro quadrado (A/m²).

EXEMPLO

1. A corrente elétrica (I) através de um bulbo deuma lâmpada incandescente é igual a 0,15 A.Determine o número de elétrons que passampelo bulbo por segundo.

Solução:

Usaremos a relação:

I = n

Vimos exemplos de campo magnético deímãs. Agora vejamos campos magnéticos decorrente elétrica:

Campo de um fio retilíneo:

Experimentalmente verificou-se que a intensi-dade do campo magnético criado por um fiolongo e retilíneo é proporcional à intensidadeda corrente que o atravessa e inversamenteproporcional a distância do ponto até o fio:

É muito comum, termos que representarvetores perpendiculares ao plano do papel.Para isso, adotamos a seguinte notação:

⊗ vetor “entrando” no papel.

• vetor “saindo “ do papel.

163


Campo de uma espira circular (fio em formade circunferência):

Por simetria é possível determinar a expressãodo módulo do vetor campo magnético no cen-tro de uma espira circular de raio r , percorridapor uma corrente elétrica contínua:

, onde n é o número de espiras.

Campo de um solenóide (espiras circularesem planos paralelos ou fio enrolado em formade espiral):

Se o comprimento do solenóide predomina emrelação ao diâmetro do cilindro, o campo mag-nético em seu interior é praticamente uniformee no seu exterior, nulo. Aplicando a regra damão direita temos:

, onde l é o comprimento do solenóide.

1. Considere os condutores cilíndricos de cobreda figura. Indique, em ordem decrescente, ovalor da intensidade da corrente elétrica quepercorre esses condutores quando submeti-dos a uma mesma diferença de potencial.

2. Observando a figura a seguir, o que você pode di-zer a respeito do sentido de movimento da correnteelétrica através das quatro regiões do fio de cobre?

GALVANÔMETRO DE TANGENTE

Para fazer a bobina, você pode utilizar como baseo anel de papelão de um rolo de fita crepe, enrolan-do cerca de 10 espiras de fio esmaltado de cobrede número 24 a 30. Ligue às extremidades da bobi-na dois terminais com pedaços de 30cm mais oumenos de fio fino flexível. Faça uma base de ma-deira fina para montar seu experimento. Coloque abobina apoiada verticalmente. Fixe um transferidorhorizontalmente e, sobre ele uma bússola dentroda bobina (construa uma bússola). Procure fazercom que o eixo da agulha da bússola, o centro dotransferidor e o centro da espira coincidam.

Gire a montagem até que a agulha da bússolaesteja contida no plano da bobina (essa é adireção do campo magnético da Terra no local).

Use uma pilha alcalina grande para ligar os ter-minais para formar um circuito. Em seguidafeche o circuito e observe a deflexão da agulha.

1. o que você pode medir qualitativamentecom esse aparelho?

2. Para obter um resultado quantitativo, useum amperímetro para efetuar as medidas,meça a intensidade da corrente, com essevalor você pode calcular a intensidade dovetor campo magnético terrestre. Para issouse µ0 = 4π.10–7m/A para permeabilidademagnética do ar.

164


TEMA 06

6.1 LEI DE OHM ( RESISTIVIDADE)

Correntes elétricas geradas pelo mesmocampo e consequentemente pelo mesmopotencial possuem diferentes intensidades emcondutores diferentes. Um fato experimentalimportante é que, exceto para altas voltagens,a corrente será proporcional a voltagem V (ddpnas extremidades do fio). Esse fenômeno édenominado lei de Ohm:

, onde R é definida como resistência elétri-

ca do fio.

No SI, a unidade de medida utilizada para aresistência é o ohm (Ω) definido por:

→

Quando um condutor obedece à lei de Ohm,ou seja, quando a sua resistência elétrica éconstante, ele é chamado de condutor ôhmico.

Um elemento qualquer inserido em um circuitodestinado a limitar a intensidade de correnteelétrica (oferecer resistência elétrica) este édenominado resistor. E especificamente os dis-positivos capazes de transformar a energiaelétrica em energia térmica são chamadosaparelhos resistivos.

Considere agora, um circuito formado por con-dutores diferentes pela natureza, ou pelasdimensões, cada um se aquece de maneiradiferente. Por exemplo, o filamento de uma lâm-pada é aquecido até a incandescência, enquan-to os fios de uma casa pouco se aquecem.

Então podemos concluir que a resistência deum condutor é diretamente proporcional aocomprimento, inversamente proporcional àseção e diretamente proporcional também aum coeficiente próprio da substância de que éconstituído chamado de resistividade.

Expressando a resistência do material peladefinição de resistividade:

1. Qual o valor da corrente que fluirá por umalâmpada de resistência igual a 60Ω, quandoaplicado 12V através dela?

2. O que causa o choque elétrico, a corrente ou avoltagem?

LEIS DO CAMPO MAGNÉTICO

6.2 A LEI DE BIOT-SAVART

O campo magnético devido a uma correnteelétrica que passa em um fio de forma arbi-trária pode ser calculado diretamente pela leide Biot-Savart. Imagine um fio conduzindouma corrente elétrica de intensidade (i) dividi-do em n pedacinhos de comprimento infinites-imal (∆l), pequeno o bastante para que ocampo seja considerado constante.

O campo magnético produzido no ponto Ppelo elemento de corrente i∆l é dado por:

Como para todos os elementos de áreaθ = 90°. E sendo, sen 90° = 1.

Então temos:

Onde r é o vetor que vai do elemento de cor-rente até o ponto P.

165


Essa expressão constitui a lei de Biot-Savart. Adireção do vetor B é perpendicular ao plano dei∆l e r e o sentido é dado pela regra da mãodireita. Assim como o módulo do campo elétri-co, o módulo do campo magnético dependedo inverso do quadrado da distância: 1/r² .

O campo magnético produzido por um condu-tor finito, será a soma de todas as con-tribuições devidas aos elementos de correnteque compõe o condutor.

Como exemplo de aplicação da lei de Biot-Savart, vamos calcular o campo magnético nocentro de uma espira circular.

, sendo sen 90° = 1, temos

Mas, para obtermos o campo total, somaremostodas as parcelas de B. todos os vetores de Btêm mesma direção, perpendicular ao eixo daespira, portanto somaremos seus módulos:

Vamos colocar em evidência a constante :

Como a corrente é a mesma em todos os ele-mentos de área e estão a mesma distânciar = R em relação ao centro da espira. Logo,

é constante e pode ser posto em evidência:

A soma de todos os ∆l é igual ao comprimen-to da circunferência :

Então , concluímos que

6.3 LEI DE AMPÈRE

A lei de Ampère é o equivalente magnético dalei de Gauss. Foi enunciada por André-MarieAmpère e complementada por James ClerkMaxwell.

Pode-se calcular o campo magnético resultanteem um ponto devido a qualquer distribuição decorrente através da lei de Biot-Savart. Mas sehouver nessa distribuição, uma certa simetria, épossível aplicar a lei de Ampère.

Considere qualquer que seja a distribuição decorrente elétrica (I = i1 + i2 +...+in). No campomagnético dessas correntes, imaginemos umalinha de força que envolva todas elas (umalinha fechada), dividida em um grande númerode segmentos (elementos de comprimento) ?l,pequeno o bastante para que , sobre cada umdeles o campo magnético B seja constante.

A lei de Ampère permite determinar o módulodo vetor B

→ num ponto P à distancia r de um

condutor retilíneo de comprimento infinito, per-corrido por uma corrente contínua de intensi-dade i. A expressão de B, nessas condições é

A direção e o sentido do vetor campo magnéti-co são dados pela regra da mão direita e ovetor B

→ é tangente à superfície descrita em volta

do condutor.

A lei de Ampère afirma que, assim como na lei deBiot-Savart, a soma dos produtos B. ∆l ao longoda linha inteira é proporcional a corrente total

ΣB.∆l = µ0I

a constante µ0 é chamada permeabilidademagnética do vácuo. No SI, vale:

A lei de Ampère permite determinar a intensi-dade do campo magnético, para qualquercaminho fechado, mesmo que ele não coinci-da com uma linha de força. Nesse caso, deve-se projetar o vetor B

→ sobre o segmento ∆l:

ΣB.cosθ.∆l = µ0I

A lei de Ampère é valida apenas quando ascorrentes são estacionárias e não existammateriais magnéticos bem como campo elétri-co em sua vizinhança.

6.4 LEI DE LENZ

O sentido das correntes induzidas é dado pela leide Lenz que estabelece que: a corrente induzida

166


tem um sentido que contraria a causa que aprovocou; em outros termos, a corrente induzidaopõe-se à variação do fluxo indutor (fem).

Portanto, se o fluxo indutor nasce ou cresce, ofluxo induzido (fem induzida) tem sentido con-trário ao aparecimento ou aumento do fluxoindutor (fem) e vice-verso. O fenômeno seassemelha a inércia, de maneira que paragerar uma corrente induzida é preciso gastaruma determinada quantidade de energia.

Considere, por exemplo, um circuito fecha-do na forma de uma espira retangular imer-so num campo magnético uniforme. Sedeslocarmos a espira para a direita, o fluxomagnético que ela intercepta aumentará,gerando uma corrente induzida nessa espi-ra. O sentido da corrente induzida na espiraé anti-horária de modo que o campo mag-nético criado por ela tende a deter a aproxi-mação da espira.

No caso da espira se afastar o número de lin-has de campo que atravessam a espiradiminiu. O sentido da corrente induzida éhorário, criando um campo magnético queprocura impedir o afastamento da espira.

Como se pode verificar para se obter, segun-do a lei de Lenz, uma corrente elétricainduzida na espira, tem que realizar trabalho.O que implica dizer que na espira temos atransformação de energia mecânica emenergia elétrica.

Esta última análise é compatível com oprincípio da conservação de energia, pois seo circuito é aberto e não há fluxo de corrente,não há dissipação de energia pelo efeitoJoule. Por este motivo não há uma força dereação à variação do campo magnético e omovimento do magneto ou do circuito nãorealiza trabalho (força nula x movimento =zero). Todavia, caso exista corrente circulan-do no circuito (com dissipação de energia), avariação do campo magnético resultará

numa resistência que demandará a realiza-ção de trabalho.

É exatamente por isso que um gerador con-some tanto mais energia mecânica quantomais energia elétrica ele produz e, nem esta-mos levando em conta a energia dissipda peloatrito e pelo efeito Joule.

1. A direção do campo elétrico, E, é definidacomo a direção da força elétrica aplicadasobre uma carga positiva. Por que nãopodemos definir a direção do campo magnéti-co, B, da mesma forma?

a) porque sobre uma carga em repouso aforça magnética é diferente de zero.

b) porque sobre uma carga em repouso aforça magnética é sempre zero.

c) porque em uma carga positiva a direção daforça magnética depende do vetor veloci-dade, v, da carga.

d) Porque o sentido da força magnéticasobre uma carga positiva ou negativa é omesmo.

2. O biomagnetismo trata de medir os camposmagnéticos gerados por seres vivos, com oobjetivo de obter informações a cerca dos sis-temas biofísicos, a realizar diagnósticos clíni-cos e a criar novas terapias com grandes pos-sibilidades de aplicações em medicina. Oscampos magnéticos gerados pelo organismohumano são tênues e para medi-los, sem sofr-er interferência de outros campos magnéticos,inclusive o da Terra, milhares de vezes maisintensos são necessários equipamentos sele-tivos. A figura é um modelo do gradiômetromagnético, constituído de duas espiras para-lelas e de mesmo raio, capaz de detectar sele-tivamente campos magnéticos, e um ímã emforma de barra que se move perpendicular-mente aos planos das espiras, afastando-sedelas, numa direção que passa pelo centrodas espiras.

167


Segundo a Lei de Lenz, as correntes elétricasinduzidas em cada espira, no instante repre-sentado na figura,

a) somam-se, resultando em corrente elétricade 1 para 2.

b) somam-se, resultando em corrente elétricade 2 para 1.

c) subtraem-se, resultando em corrente elétri-ca de 1 para 2.

d) subtraem-se, resultando em corrente elétri-ca de 2 para 1.

e) Anulam-se, não interferindo na medição deoutros campos.

ATIVIDADE COMPLEMENTAR

1. Esta atividade tem como objetivo a correlaçãoentre o desenvolvimento da ciência e aevolução da sociedade na cultura, na econo-mia, na política e no comportamento. A per-spectiva é ter cidadãos informados, inseridos nomundo contemporâneo. Articulando os conhec-imentos da Física que você adquiriu, construacom seus companheiros de classe um JornalCientífico onde se registrará fatos atuais, curiosi-dades, desafios, fotografias, poesias, etc.

TEMA 07

LEI DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

7.1 CONSERVAÇÃO DE ENERGIA MECÂNICA

Como temos dito, a Energia Potencial Gravi-tacional pertence ao sistema, de modo quequando o objeto cai isto não passa de umaresposta a ação de uma força exercida poruma parte do sistema sobre a outra. Em ter-mos de energia, o que ocorre é uma conversãode uma modalidade de energia para outra. Porexemplo, no caso de um corpo que cai, a par-tir do repouso, de uma altura H, a energiapotencial se transforma em energia cinética.Mas, em cada instante, a soma das mesmaspermanece a mesma. Portanto, num sistemacomposto de forças conservativas a quanti-dade de energia do sistema como um todo nãose altera. Em síntese: a energia total do sis-tema deve permanecer constante, ou seja:E = constante , de modo que E = ∆Ecinética + ∆Pgravitacional.

De maneira geral podemos dizer que:

∆Ecinética + ∆Pgravitacional = Cconstante, ou ainda: paraque ∆(Ecinética + ∆Pgravitacional) = Cconstante, implicaque ∆(Ecinética + ∆Pgravitacional) = 0. Portanto:

∆Ecinética = –∆Pgravitacional.

Estas expressões exprimem de modos diferentesa Lei da Conservação da Energia Mecânica.

A presença de forças dissipativas no sistemamecânico faz com que a energia cinética dosistema diminua, impedindo que o trabalhoseja inteiramente recuperado.

Ilustremos a situação considerando um sis-tema bloco + mesa. Quando o bloco deslizan-do sobre uma mesa a superfície da mesa inter-age com a do bloco por meio da força de atri-to, produzindo um trabalho negativo (sobre obloco) alterando a energia (cinética) do bloco.Em conseqüência dessa alteração do trabalhotorna-se impossível aumentar a EnergiaPotencial e/ou a Energia Cinética do sistema.

A medida que o bloco se desloca, como não háuma variação de altura equivalente a diminuiçãoda velocidade do bloco, as superfícies de conta-

168


to se tornarem mais quentes. O atrito passou ase constituir num indicativo de que a energiacinética estava se transformando em calor. Daí onome de Energia Interna, pois o calor está asso-ciada a mudança de estado de um sistema.Consequentemente, a Energia Térmica é algoque se processa internamente dentro aos cor-pos, resultado do movimento desordenado dasmoléculas que constituem o bloco.

Dada a existência de outras forças, além dagravitacional e do atrito, estarem presentes nossistemas físicos surgiu a necessidade de sebuscar alguma Lei mais geral na qualpudessem ser incluídas estes efeitos.

Uma idéia ainda que vaga e formulada impre-cisamente por alguns físicos, a de que osvários fenômenos da natureza não estavamseparados uns dos outros, mas eram manifes-tações de uma mesma força básica foi a quefrutificou e tornou-se útil para que o calor (ener-gia interna) fosse incluído na definição da Leide Conservação da Energia Mecânica.

Experiências cuidadosas confirmaram, posteri-ormente, que a variação da energia interna éexatamente igual ao modulo do trabalho rea-lizado pela força de atrito. Em outras palavras

∆EINTERNA = –τATRITO.

Com este entendimento, pode-se re-arrumar ostermos da equação ECi + EPi + τATRITO = ECf + EPf

e obter-se que τATRITO = ECf – ECi + EPf – EPi .

Lembrando que ∆EINTERNA = –τATRITO, chega-se aexpressão ∆Ecinética + ∆Epotencial + ∆EINTERNA = 0.

Este resultado é a formulação geral da Lei daConservação da Energia. Ela significa que numdado processo, podem ocorrer variações deenergia cinética, de energia potencial e daenergia interna do sistema. Contudo a somadessas energias é sempre igual a zero.Havendo a diminuição de uma dessas formasde energia, ocorrerá aumento de outra. O queimplica dizer que: “a energia nunca pode sercriada ou destruída; ela pode apenas mudarde uma forma para a outra”

Em virtude dessa Lei ter sido jamais violada,ela pode ser aplicada a sistemas termodinâmi-cos, em que variações de energia interna,vari-ações de temperatura, trabalho realizado e tro-

cas de calor. Mais concretamente .

Não esquecendo que a variação de∆Ecinética + ∆Epotencial = ∆E(MECÂNICA), podemos re-escrever a Lei de Conservação da EnergiaMecânica da seguinte forma:

,

que é chamada, por vezes, de Primeira Lei daTermodinâmica. Se não houver qualquer trans-ferência de energia sob forma de calor então,∆E(interna) = 0 e, portanto, ∆E(MECÂNICA) = τEXTERNA.Neste caso, a variação de energia de um sistemaé igual a trabalho resultante efetuado sobre ele.

1. Faça uma estimativa de quantos metros vocêcai caso seu carro sofra uma colisão frontal a100km/h.

2. Faça uma estimativa do calcule as seguintesEnergias Cinéticas: (a) de um jogador de fute-bol; (b) de um ciclista; (c) de uma bala

3. Um homem correndo tem energia cinética igualà de um garoto de massa igual a metade dasua. Se o homem aumentar a sua velocidadeinicial de 1,0 m/s ele consegue ficar com amesma energia cinética do garoto. Quais eramas velocidades iniciais do homem e do garoto?

4. Os cientistas atualmente tem fortes indíciosque a causa da extinção em massa dos dinos-sauros deveu-se ao impacto de um cometacontra a Terra. Admita que um cometa tenhauma massa igual a 8,0 x 1011kg e que ele col-ida contra a Terra a uma velocidade de 30km/s. Determine:

a) qual a energia do cometa em megatons deTNT (Dica: a explosão de 1 milhão de tone-ladas de TNT libera uma quantidade de ener-gia igual a 4,0 x 1015J)

b) o diâmetro da cratera produzida peloimpacto desse cometa (Dica: o diâmetro dacratera é igual raiz cúbica da energia libera-

169


da. A explosão de 1megatons de TNT pro-duz, por exemplo, uma cratera de 1km dediâmetro)

5. Um gato, devido a sua habilidade ao cair, con-segue sair ileso de muitas quedas. Suponhaque a maior velocidade com a qual ele possaatingir o solo sem se machucar seja de 8,0m/s. Qual altura máxima de queda para queeste gato nada sofra?

6. Um zagueiro, para tentar evitar um gol, dá umchute numa bola com uma velocidade de108km/h. Imediatamente outro jogador adver-sário cabeceia a bola quando ela atinge umavelocidade de 72km/h. Qual o trabalho realiza-do pela força de resistência do ar sobre a bola?

7. Um carro cuja massa é de 103 kg, movendo-seinicialmente com velocidade de 72km/h, é frea-do e pára após percorrer 50m. Determine: (a) aforça resultante; (b) o tempo que ele demorapara parar.

8. A tabela abaixo relaciona as forças resultantese as energias cinéticas que três amigos desen-volvem em trajetória retilínea, ao realizarem omesmo percurso, durante um passeio ciclísti-co. Indique qual deles desenvolveu a maior, amenor, ou se foram iguais a forças resultantesaplicadas. Justifique sua resposta.

TEMA 08

CALOR

Um pouco de história: Da idéia do calórico àteoria mecânica do calor

Desde os primórdios, o homem vem querendoentender o que é o “calor”, mas vamos começaro nosso estudo com a idéia do calórico atéchegarmos no conceito atual do calor.

Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794), químicofrancês foi partidário da Teoria do Calórico. Eleconsiderava o calor como um fluido elástico, inde-strutível e imponderável, designado por calórico.Um corpo mais quente tinha mais calórico do queum frio e os fenômenos térmicos explicavam-sepor trocas de calórico entre os corpos. Esta teoriadenominada Teoria do Calórico foi sendo postaem causa desde a sua apresentação.

Joseph Black, (1728-1799) era um médicoEscocês, e tinha o mesmo pensamento deLavoisier sobre o calórico, e foi dele o mérito deentender o calor como uma quantidade, definiua unidade para medir o calor a “caloria”, intro-duziu o conceito de capacidade térmica e calorespecífico, que são usados até hoje.

Só nos finais do século XVIII se pôs de parteesta falsa teoria, através de um jovem ameri-cano chamado, Benjamin Thomson (1753-1814), conde de Rumford. Ele observou queao brocar os metais para fabricar peças deartilharia, estes aqueciam consideravelmente.O aquecimento era assim produzido pelabroca, o que significava que o calor poderiaser produzido pelo trabalho, o que desmentiaeficazmente a Teoria do Calórico. Os trabalhosde Rumford levaram à substituição da Teoriado Calórico pelo conceito de calor como ener-gia em movimento.

Damos um destaque a Julius Robert VonMayer que conseguiu, a partir dos fenômenosrelacionados à fisiologia da respiração e daanálise do corpo humano como uma máquina,generalizar o princípio de conservação da ener-gia para diferentes fenômenos. Mayer, porém,obteve menos reconhecimento do que Joule,embora tenha enunciado o princípio da equiv-

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alência entre trabalho e calor, em maio de 1842,um ano e meio antes da publicação de Joule.

Em 1843, o físico inglês James Prescott Jouleconvenceu os céticos de que o calor não erauma substância, finalizando com a Teoria doCalórico e conduzindo à Teoria Mecânica doCalor. A partir de um grande número de exper-iências, Joule chegou à mesma conclusão queMayer, de que o mesmo efeito podia ser con-seguido quer fornecendo calor quer fornecendotrabalho. Com todo o seu trabalho Joule verifi-cou que o equivalente mecânico do calor é 4,154J. Ao comparar o valor do equivalente mecânicodo calor conhecido atualmente e o obtido porJoule, verificamos que o erro experimental deJoule é de aproximadamente 1%. Em sua hom-enagem a unidade do sistema internacional (SI)de energia, sob todas as formas, é o joule, emb-ora se utilize ainda, por tradição, a caloria.

Apesar de a determinação de J vista acima rep-resente um aspecto do Princípio da Conser-vação de Energia, este princípio só foi matem-aticamente formalizado pelo fisiologista e físicoalemão Hermann Ludwig Ferdinand vonHelmholtz (1821-1894) num artigo em 1947.

8.1 CONCEITO DE CALOR

Quando dois corpos em temperaturas difer-entes são colocados em contato, produz-seuma transferência de energia do corpo queapresenta temperatura mais elevada ao de tem-peratura mais baixa, o que faz com que ambasse iguale. Pode-se definir calor como a energiatransferida entre dois sistemas, que é propor-cional à diferença de temperatura existente entreeles. Uma superfície através da qual pode havertransferências de calor chama-se diatérmica.Em caso contrário, denomina-se adiabática.

8.2 EXPERIÊNCIA DE JOULE

Por meio de experiências bem planeadas, ide-alizando e construindo calorímetros apropria-dos, Joule pôde determinar a quantidade decalor que se gerava por agitação, fornecendouma quantidade conhecida de trabalho.

Num recipiente bem isolado colocou uma certaquantidade de água a 14,5 ºC. Um conjunto depás no interior desse recipiente, ligadas a um

sistema de pesos, permitia realizar trabalhosobre a água. A água aquecia à medida que aspás iam rodando e, portanto, o trabalhomecânico era equivalente ao calor. Ao medir otrabalho fornecido à água e a temperatura final,calculou o equivalente mecânico do calor .

Joule

Uma das máquinas de Joule

8.3 ABSORÇÃO DE CALOR POR SÓLIDOS ELÍQUIDOS

A definição de calor deixa claro que não esta-mos tratando de uma nova grandeza, calor éenergia. Essa relação entre calor e energia nãofoi uma conclusão óbvia, e sim um resultadode um processo histórico, como descrevemosanteriormente. Usaremos a letra Q como sím-bolo do calor (ou quantidade de calor).

Sendo o calor uma modalidade de energia,poder ser medido em joule (J), que é a unidadeno SI. No entanto, é comum a utilização dacaloria (cal).

1cal = 4,186J

e

1kcal = 1000cal.

8.3.1 Capacidade calorífica de um corpo:

A capacidade calorífica C de um objeto (porexemplo, uma xícara de café de porcelana,uma frigideira de metal ou uma pedra de már-more) é a constante de proporcionalidade

171


entre o calor adicionado ao objeto e amudança de temperatura que resulta. Assim,

Q = C(T – T0),

em que T0 e T são as temperaturas inicial efinal do objeto. A capacidade calorífica C deuma pedra de mármore usada para aqueci-mento pode, por exemplo, ser de 179 cal/oC.

A palavra "capacidade", neste contexto, estámal empregada, pois sugere uma analogia coma capacidade de um balde para conter água. Aanalogia é falsa. Apesar de o calor poder sertransferido para um objeto, não é possível falardo objeto como "contendo" calor. Aliás, a trans-ferência de calor pode ocorrer sem limitesenquanto a diferença necessária de temperatu-ra for mantida. O objeto pode, é claro, derreter-se ou vaporizar-se durante o processo.

1. Um bloco de zinco de capacidade térmicaigual a 20 cal/ºC receba 100 cal. Calcule a vari-ação de temperatura do bloco.

8.3.2 Calor específico de uma substância:Dois objetos feitos do mesmo material (porexemplo, mármore ou ferro) terão uma capaci-dade calorífica proporcional às suas massas.É, então, conveniente definir o calor específicoque se refere não ao objeto, mas ao materialde que o objeto é feito. Assim,

Q = mc(T – T0),

no qual a constante c é o calor específico domaterial. Pode-se dizer que, apesar da capaci-dade calorífica da pedra de mármore men-cionada anteriormente ser de 179cal/oC, ocalor específico do mármore é 0,21cal/goC.

Por razões históricas, ainda se usa comounidade de calor a caloria ou cal, que se definecomo a quantidade de calor necessária paraaquecer 1g de água de 14,50C até 15,5oC.Desse modo, a unidade do calor específicoserá cal/goC.

O calor específico da água é

c = 1 cal/goC

A seguir o calor específico de algumas subs-tâncias à temperatura ambiente:

1. Calcular a quantidade de calor necessária paraelevar uma massa de 500 gramas de ferro de15ºC para 85ºC. O calor específico do ferro éigual a 0,114 cal/gºC.

Resolução:

Se a massa de ferro aumenta de temperatura ocalor é sensível, logo,

Q = mc (T – T0)

Q = 500 . 0,114 (85 – 15)

Q = 3990 cal.

A quantidade de calor recebida pelo ferro é de3990 cal.

2. Como se explica o fenômeno das brisas marí-timas?

Resposta: A brisa marítima e a brisa terrestre édevido ao calor específico da água e da terra.Por a água ter um dos maiores calores especí-ficos ela não só custa a aumentar a temperatu-ra como também custa a ceder. O ar ficandomais denso nas proximidades da água devidoa temperatura mais baixa durante o dia (do quea areia da terra) fará com que surja a brisamarítima. A noite o processo se inverte. Elatambém é que regula a temperatura terrestre.

1. Uma barra de ferro com 500g de massa deveser aquecida de 20ºC até 220ºC. Sendo 0,114

172


173


cal/gºC o calor específico do ferro, calcule:

a) a quantidade de calor que a barra devereceber;

b) a sua capacidade calorífica.

3. Quanta caloria perderá um quilograma deágua, quando sua temperatura variar de 80ºCpara 10ºC?

8.3.3 Mudanças de fase - Calor de transfor-mação

Vimos que quando cedemos calor a um corpo,este aumentará sua tem temperatura. Porémesse calor pode ser utilizado para não aumen-tar a temperatura e sim para modificar o esta-do físico do corpo.

A mudança de estado pode ser:

A quantidade de calor por unidade de massatransferida durante uma mudança de fase échamada de calor latente (símbolo L) para oprocesso. O calor total transferido é, então,

Q = mL,

onde m é a massa da amostra. A quantidadede calor latente pode ser positiva ou negativaconforme o corpo receba ou ceda calor.

Em nosso curso adotaremos:

Calor latente de fusão do gelo (a 0ºC)Lf = 79,5 cal/g

Calor latente de solidificação da água (a 0ºC)Ls = -79,5 cal/g

Calor latente de vaporização da água (a 100ºC)Lv = 539 cal/g

Calor latente de condensação do vapor (a 100ºC)Lc = -539 cal/g

26.3.5 Princípio da igualdade das trocas de calor:

Quando dois ou mais corpos com temperat-uras diferentes são colocados num recipienteisolado termicamente, eles trocam calor entre

si até atingirem o equilíbrio térmico. A equaçãoque representa esse princípio é:

Q1 + Q2 + Q3 + ... + Qn = 0

Ainda podemos dizer que, a quantidade decalor recebida por uns é igual à quantidade decalor cedida pelos outros.

Por exemplo, quando colocamos água quenteem um recipiente, a água perde calor e o recip-iente ganha até que a água e o recipientefiquem com a mesma temperatura, isto é, atéque atinjam o equilíbrio térmico. Se não hou-vesse troca de calor com a ambiente, a quanti-dade de calor cedida pela água deveria serigual à quantidade de calor recebida pelorecipiente. Havendo troca de calor com oambiente, a quantidade de calor cedida pelaágua é igual à soma das quantidades de calorabsorvidas pelo recipiente e pelo ambiente.

Os recipientes utilizados para estudar a trocade calor entre dois ou mais corpos são denom-inados calorímetros. Os calorímetros não per-mitem perdas de calor para o meio externo,isto é, são recipientes termicamente isolados.

1. Colocam-se 800g de ferro a 90ºC em um recip-iente contendo 600 gramas de água a 18ºC.Sabendo-se que o calor absorvido pelo recipi-ente é desprezível, calcular a temperatura doequilíbrio térmico.

Formando uma tabela com os dados:

Qferro + Qágua = 0m c (T – T0,Ferro) + m c (T – T0,água) = 0800 . 0,114 (T – 90) + 600 . 1(T – 18) = 091,2T – 820,8 + 600T – 10800 = 0691,2T = 11620,8T = 16,8ºC

2. Calcular a massa de ferro a 180ºC que se devecolocar em um recipiente contendo 200 g degelo a –15ºC para que o equilíbrio térmico sejaestabelecido a 30ºC. Dados: 0,5 cal/gºC, Lf =79,5 cal/g, cágua = 1cal/gºC e cferro = 0,114cal/gºc.

Resolução:

Qfe + Qgelo + Qgelo(fusão) + Qágua = 0

x . 0,114 (30º – 180º) + 200 . 0,55(0º + 15º) +200 . 79,5 + 200 . 1 (30º – 0º) = 0

–17,1x + 1650 + 15900 + 6000 = 0

17,1x = 23550

x = 1377,19 g

A massa de ferro é de 1374,27 g.

1. Determine a temperatura de equilíbrio quandose colocam 200 g de alumínio a 100ºC em 100g de água a 30ºC.

2. Um bloco de gelo de massa 600 gramasencontra-se a 0ºC. Determinar a quantidade decalor que se deve fornecer a essa massa paraque se transforme totalmente em água a 0ºC.

3. Colocam-se 80g de gelo a 0ºC em 100g deágua a 20ºC. Admitindo o sistema isolado ter-micamente, determine:

a) a temperatura final da mistura;

b) a massa de água líquida após ser atingido oequilíbrio térmico.

4. Determine a quantidade de calor necessáriapara transformar 20g de gelo, a –20ºC, emvapor de água a 120ºC. R: 14.686 cal

8.4 TRANSMISSÃO DO CALOR

Nos processos de transmissão de calor, existe atroca de energia térmica entre dois ou mais cor-pos. A transmissão pode ser direta (condução),ou indireta (irradiação e convecção), onde se de-pende de um meio condutor (como o ar, porexemplo).

Condução:

Quando há contato entre dois materiais, existeuma tendência para a troca de energias. Estatroca, quando ocorre via contato direto dosmateriais, chama-se condução. A troca deenergia, ou calor, ocorre através de uma trans-missão de vibração de uma partícula para aseguinte, e assim sucessivamente.

Uma situação que ocorre um processo detransmissão de calor por condução, é atravésde uma barra metálica. Neste processo, os áto-mos do metal que estão em contato comafonte térmica recebem calor desta fonte eaumentam sua agitação térmica. Devido a isto,colidem com os átomos vizinhos, transmitindo-lhes agitação térmica. Assim, de partícula parapartícula, a energia térmica flui ao longo dabarra,aquecendo-a por inteiro.

Transmissão de calor por condução

Portanto condução é o processo de transmis-são de calor de partícula por partícula. Noteque as partículas apenas aumentam avibração, elas não se deslocam.

As partículas vibram, transmitem

o calor, mas não se deslocam

Exemplo de condução:

• Ao mexer uma panela com uma colher demetal, depois de um tempo você percebeque a colher esquenta, isso acontece devi-do a condução de calor;

• Algumas panelas de aço inox vêm com ocabo do mesmo material, isso não auxilia adona de casa, porque ao esquentar a pan-ela, cabo também esquenta por condução.

174


1. Caso não tenha meio material, há transmissãode energia por condução?

Na ausência de um meio material, como novácuo, por exemplo, não ocorre troca de calorpor condução. Entretanto, é possível transmitirenergia através do vácuo, através do processode irradiação.

• Convecção:

O fenômeno de convecção ocorre em fluidos(líquidos e gases), e independe do meio serbom ou mal condutor de calor. Está associadoao movimento de massas, devido à diferençade densidades. Quando existe um corpoquente, este troca calor com o meio fluido, quetende a subir. O calor sobe, forçando o ar queestava em cima a descer. É interessante men-cionar que este é um dos fenômenos que cau-sa os ventos na atmosfera. A convecção nãoocorre na ausência de meio material (vácuo),pois depende do movimento de matéria.

Há dois tipos de convecção:

Natural: quando ocorre devido à diferençade densidade da matéria, ocasionada peladiferença de temperatura do meio.

Forçada: quando é provocada por venti-ladores e bombas.

Exemplo: No Congelador na parte de cimada geladeira faz com que haja uma trans-missão de energia por convecção, o arquente é menos denso que o ar frio, portan-to ele tende a subir devido a pressão.

Exemplo de transmissão por convecção

Os recipientes adiabáticos são aqueles quenão deixam o calor se propagar, por exem-plo: garrafa térmica, isopor, etc.

• Irradiação

A irradiação é a transmissão de energiaatravés de ondas eletromagnéticas. Aenergia é emitida por um corpo e se propa-ga até o outro, através do espaço que ossepara. Este espaço não precisa dematéria, ou seja, a irradiação ocorre novácuo, além dos meios materiais.

Dois corpos em temperatura diferentes ten-dem ao equilíbrio térmico, mesmo queentre eles não haja nenhum meio material.Ex.: Sol esquentando a Terra (existe vácuoentre eles).

Estufa: Numa estufa, a radiação luminosado sol atravessa o vidro e é absorvida pelosobjetos que estão no interior, aquecendo-os. Em seguida, os objetos emitem radi-ação do infravermelho, mas este é barradopelo vidro. Assim, é pelo fato de o vidro sertransparente à radiação luminosa e opacoao infravermelho que as estufas conservamuma temperatura superior à do meio exter-no. (O mesmo fenômeno ocorre quandoum automóvel, com os vidros fechados, ficaexposto ao sol.)

Exemplo de transmissão de energia por irradiação

Efeito Estufa: De dia a radiação solar aque-ce a Terra, que, à noite, é resfriada pelaemissão da radiação do infravermelho. Esseresfriamento é prejudicado quando háexcesso de gás; carbônico (CO2) na atmos-fera, pois o CO2 é transparente à luz, masopaco ao infravermelho.

Nos últimos anos, a quantidade de gás car-bônico na atmosfera tem aumentado; con-sideravelmente em razão da queima decombustíveis fósseis (petróleo e carvão). Seessa demanda continuar crescendo noritmo atual, em meados do século XXI aquantidade de CO2 na atmosfera, além de

175


trazer outras conseqüência drásticas,provocará um aumento da temperaturamédia da Terra, que hoje está em torno de18ºC. Tal aquecimento poderá provocar oderretimento de parte do gelo acumuladonos pólos e elevar o nível do mar em algu-mas dezenas de metros.

Efeito estufa

1. Ao observar o interior de uma garrafa térmica,você pode verificar que suas paredes são devidro espelhado. Tais paredes são duplas e hávácuo entre elas. Por que elas são construídasdesta maneira?

A garrafa térmica

Resolução:

A garrafa térmica conserva por algum tempobebidas quentes ou frias. Isto só é possível evi-tando que a energia se transfira do líquido,quando quente, para o ambiente. Ou do ambi-ente para o líquido, quando este está frio.

A função das paredes espelhadas é refletir aradiação infravermelha, isolando termicamenteo líquido no interior da garrafa. O vácuo entreas paredes evita a transmissão de energia porcondução e convecção, uma vez que estesprocessos só ocorrem na presença da matéria.

176


TEMA 09

A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA

No cotidiano, as pessoas usufruem dos benefí-cios práticos da termodinâmica, sem muitasvezes conhecer seus conceitos e princípios, porexemplo, ao dirigir um carro, ao ligar o ar-condi-cionado, ao usar uma panela de pressão, etc.

A termodinâmica é o ramo da física que estu-da as relações entre calor, temperatura, trabal-ho e energia. Abrange o comportamento geraldos sistemas físicos em condições de equi-líbrio ou próximas dele. Qualquer sistema físi-co, seja ele capaz ou não de trocar energia ematéria com o ambiente, tenderá a atingir umestado de equilíbrio, que pode ser descritopela especificação de suas propriedades,como pressão, temperatura ou composiçãoquímica. Se as limitações externas são alter-adas (por exemplo, se o sistema passa a poderse expandir), então essas propriedades semodificam. A termodinâmica tenta descrevermatematicamente essas mudanças e prever ascondições de equilíbrio do sistema.

Podemos utilizar um ponto de vista microscópi-co para estudar a termodinâmica, baseando-nos na energia cinética e na energia potencialde cada molécula individual de um sistema.Contudo, é importante enfatizar que os princí-pios básicos da termodinâmica podem serestudados de modo inteiramente macroscópi-co, sem fazer nenhuma referência a nenhummodelo microscópico. Na realidade, a general-ização e o grande poder da termodinâmicadecorrem em parte do fato de que ela nãodepende dos detalhes da estrutura da matéria.

9.1 INTRODUÇÃO

A primeira lei da termodinâmica é consideradauma das maiores descobertas da física dosmeados do século XIX. É baseada num princí-pio fundamental em física: a conservação daenergia.

O estudo desta lei é fundamental para entender-mos os processos de expansão dos gases, elaamplia este princípio de modo a incluir trocas de

calor energia tanto por transferência de calorquanto por realização de trabalho e introduz oconceito de energia interna de um sistema.

A conservação de energia desempenha umpapel vital em todas as partes das ciências físi-cas e a primeira lei da termodinâmica possuiuma utilidade muito grande.

Para formular relações envolvendo energiacom precisão é necessário introduzir o con-ceito de sistema termodinâmico e definir ocalor e o trabalho como dois modos de trans-ferir energia para o interior ou para o exteriordeste sistema.

9.2 SISTEMA TERMODINÂMICO

Sistema é uma porção do universo sobanálise. Todo sistema tem um contorno, pare-des, fronteiras ou limites do sistema. Todosestes termos tratam de um conceito único, asuperfície de contorno. O meio externo, ouentorno do sistema é a parte do universo próx-ima ao sistema que é afetada, em algumamedida, por ele. Um sistema pode ser fechado,isto é, é uma porção constante de massa.Alguns autores, definem sistema como sendo,necessariamente, o sistema fechado. O sis-tema pode também ser aberto, quando a trans-ferência de massa e energia ocorre através deseus limites. Nesse caso é mais usual que osautores o definam como volume de controle,e a superfície de controle, que em parte é per-meável. O sistema pode ser também um sis-tema isolado, quando ele não transfere massaou energia para o meio externo.

Um sistema pode ser um dispositivo mecânico,um sistema biológico ou uma dada quantidadede material tal como um refrigerante em umcondicionador de ar ou o vapor que seexpande em uma turbina.

Um sistema termodinâmico é caracterizadopor ser capaz de realizar trocas de energiacom sua vizinhança, ou seja, ele interage como meio ambiente em sua volta. Isso pode ocor-rer através de transferência de calor ou realiza-ção de trabalho.

Exemplos:

Um exemplo bem familiar é a quantidade de

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pipoca preparada em uma panela com tampa.Quando a panela é colocada sobre a chamade um fogão, ocorre transferência de calor porcondução para o milho de pipoca e a medidaque o milho começa a estalar e se expandir,realiza um trabalho sobre a tampa da panela,que sofre um deslocamento. O estado domilho mudou neste processo variaram, umavez que o volume, a temperatura e a pressãodo milho variaram quando ele começou a esta-lar. Um processo como este, em que ocorremvariações no estado do sistema termodinâmi-co, denomina-se processo termodinâmico.

Além do exemplo da pipoca, a termodinâmicapossui raízes em muitos problemas práticos, taiscomo o motor de um automóvel e o motor a jatode um avião usam o calor de combustão dos res-pectivos combustíveis para impulsionar o veículo.

O tecido muscular de um organismo vivometaboliza a energia química provenientes dealimentos para realizar um trabalho mecânicosobre suas vizinhanças.

Um motor de vapor ou uma turbina a vapor usao calor de combustão do carvão ou de outrocombustível para realizar um trabalho mecâni-co tal como mover um gerador elétrico ouimpulsionar um trem.

Neste tema, iremos abordar a primeira lei da ter-modinâmica, discutir alguns processos termod-inâmicos a partir da primeira lei e aplicar isso emsituações práticas. Este estudo é importantíssi-mo para o entendimento de máquinas térmicas,como será visto mais adiante.

9.3 ENERGIA INTERNA

A energia interna é um dos conceitos maisimportante da termodinâmica. Porém, deixamosuma pergunta: o que energia interna? Podemosolhar de diversos ângulos esse conceito.

Vamos começar usando a idéia de mecânica, amatéria é constituída de átomos e moléculas eestas são partículas que possuem energia cinéti-ca e potencial. Uma tentativa de definir a energiainterna é dizer que: A energia interna é a soma daenergia cinética de todas as partículas que con-stituem o sistema somada com a sua energiapotencial total, devido à interação entre elas.

Note que a energia interna não inclui a energia

potencial devido as interações entre o sistema e avizinhança. Por exemplo, se colocarmos um co-po com água em uma prateleira, sua energia po-tencial devido a interação com a terra aumentará,no entanto, a não acarretará mudanças na ener-gia potencial decorrente a interação das molécu-las de modo que a energia interna não variará.

Usaremos a letra U para representar a energiainterna. Durante uma mudança de estado de umsistema a energia cinética pode variar de umestado inicial para um estado final, ∆U = Uf – Ui.

A primeira lei da termodinâmica nos dá umarelação para encontrar ∆U a partir do calortransferido e do trabalho realizado, com isso, épossível definir um valor específico de U paraum estado de referência e dessa forma encon-trar a energia em qualquer outro estado.

9.4 TRABALHO EM UM SISTEMA

Um gás no interior de um cilindro com um pistãomóvel é um exemplo simples de um sistema ter-modinâmico. Tais como, o motor de combustãointerna, um motor a vapor, os compressores doscondicionadores de ar e refrigeradores. Por essemotivo, usaremos o sistema do gás no interiorde um cilindro para estudar diversos processosenvolvendo transformação de energia.

Consideremos um gás contido num cilindroprovido de êmbolo. Ao se expandir, o gásexerce uma força no êmbolo que se deslocano sentido da força. Veja a figura abaixo:

Figura 13: Expansão de um gás em um cilindro.

O trabalho dessa força é dado por:

W = F . h

Utilizando a definição de pressão, obtemos

W = P . A . h

o produto da área pela altura é a variação dovolume, logo

W = P . V

ou

W = P (V2 – V1)

178


Numa expansão o gás realiza um trabalho pos-itivo sobre o meio exterior. Já numa com-pressão o deslocamento do êmbolo tem senti-do oposto ao da força que o gás exerce sobreo êmbolo. O trabalho é resistente.

Figura 14: Compressão de um gás em um cilindro

Na compressão o meio externo realiza um tra-balho negativo sobre o gás. Assim, temos:

V > 0 ⇒ W > 0: gás realiza trabalho sobre omeio.

V < 0 ⇒ W < 0: meio realiza trabalho sobre ogás.

V = 0 ⇒W = 0.

Num diagrama pressão x volume, o trabalho real-izado pela força que o gás exerce sobre o êmbo-lo é numericamente igual à área sob a curva.

A = W

1. Em um processo à pressão constante de 2,0 .105N/m2 um gás aumenta seu volume de8 .10–6m3 para 13 . 10–6 m3. Calcular o trabalhorealizado pelo gás.

Resolução:Dados:P = 2 . 105N/m2

V2 = 13 . 10–6m3

V1 = 8 . 10–6m3

SoluçãoW = P (V1 – V2)W = 2 . 105 (13 . 10–6 – 8 . 10–6)W = 2 . 105 . 5 . 10–6

W = 1J

1. Num processo à pressão constante de 4,0 .105N/m2, um gás aumenta seu volume, de 2m3

para 5 m3. Determine o trabalho realizado pelogás.

2. Uma massa gasosa realiza a transformação deA para B indicada pela figura abaixo. Calcule otrabalho realizado pelo gás.

9.5 PRIMEIRO PRINCÍPIO DA TERMODINÂMICA(1A LEI DA TERMODINÂMICA)

De acordo com o princípio da Conservação daEnergia, a energia não pode ser criada nemdestruída, mas somente transformada de umaespécie em outra. O primeiro princípio da ter-modinâmica estabelece uma equivalênciaentre o trabalho e o calor trocados entre umsistema e seu meio exterior.

Figura 15: Usando o primeiro princípio da Termodinâmica

179


Consideremos um sistema recebendo umacerta quantidade de calor Q. Parte desse calorfoi utilizado para realizar um trabalho W e orestante provocou um aumento na sua energiainterna ∆U.

A expressão que representa analiticamente oprimeiro princípio da termodinâmica é dadapor:

∆U = Q – W

Cujo enunciado pode ser:

Para a aplicação do primeiro princípio deTermodinâmica deve-se respeitar as seguintesconvenções:

Q > 0: calor recebido pelo sistema.

Q < 0: calor cedido pelo sistema.

W > 0: volume do sistema aumenta.

W < 0: volume do sistema diminui.

U > 0: temperatura do sistema aumenta.

∆U < 0: temperatura do sistema diminui.

1. Sobre um sistema realiza-se um trabalho de3000 J e, em conseqüência, ele fornece 500 calao meio exterior durante o mesmo intervalo detempo. Determine a variação da energia do sis-tema. Adote 1 cal = 4,186 J.

Resolução:

W = – 3000 J (trabalho realizado sobre o sis-tema compressão)

Q = 500 cal (calor cedido pelo sistema)

Q = –500 x 4,186 = –2093 J

A variação da energia interna é dada por:

U = Q – W ⇒ U = –2093 J + 3000 J

U = 907 J

Resposta: A variação da energia vale 907J.

9.6 TRANSFORMAÇÕES TERMODINÂMICASPARTICULARES

Neste item, vamos descrever alguns tiposespecíficos de transformações termodinâmi-cas que ocorrem muito em situações práticas.

a) Transformação isotérmica:

Uma transformação isotérmica é um proces-so que ocorre quando a temperatura do sis-tema se mantém constante, consequente-mente a variação da energia interna é nula.Usando a primeira lei da termodinâmica

Como ∆U = 0, temos:

∆U = Q – W

Q = W

Exemplo: Considere um gás sofrendo umaexpansão isotérmica conforme mostra as fi-guras.

A quantidade de calor que o gás recebe éexatamente igual ao trabalho por ele real-izado. A área sombreada sob a curva énumericamente igual ao trabalho realizado.

b) Transformação isométrica:

Quando o volume do sistema se mantémconstante, não há realização de trabalho.

como W = 0,

∆U = Q – W, ∆U = Q.

A variação da energia interna de um sistema é igual a diferença entre o calore o trabalho trocados pelo sistema com

o meio exterior.

180


Todo o calor trocado com o meio externo étransformado em variação da energia inter-na. Assim, se o calor é adicionado ao sis-tema (isto é, se Q > 0), a energia interna dosistema aumenta (U > 0). Reciprocamente,se calor é removido durante o processo(isto é, se Q < 0), a energia interna do sis-tema deve diminuir (U < 0).

c) Transformação isobárica:

Numa transformação onde a pressão per-manece constante, a temperatura e o vol-ume são diretamente proporcionais, ouseja, quando a temperatura aumenta o vol-ume também aumenta.

U > 0 ⇒ temperatura aumenta.

W > 0 ⇒ volume aumenta.

Parte do calor que o sistema troca com omeio externo está relacionado com o trabal-ho realizado e o restante com a variação daenergia interna do sistema.

d) Transformação adiabática:

Nessa transformação, o sistema não trocacalor com o meio externo, o trabalho real-izado é graças à variação de energia inter-na. Da primeira lei da termodinâmica, comQ = 0, temos

W = –U

Exemplo:

Numa expansão adiabática, o sistema real-iza trabalho sobre o meio e a energia inter-na diminui.

Figura 16: Expansão adiabática ocorre um abaixamen-

to de temperatura.

Durante a compressão adiabática, o meiorealiza trabalho sobre o sistema e a energiainterna aumenta.

Figura 17: Ocorre uma elevação de temperatura.

1. Um sistema gasoso recebe do meio externo

200 cal em forma de calor. Determinar emjoules:

a) o trabalho trocado com o meio, numa trans-formação isotérmica.

b) a variação da energia interna numa transfor-mação isométrica.

Resolução:

a) Numa expansão isotérmica, a temperaturapermanece constante (U = 0), o gás aoreceber calor aumenta de volume e realizatrabalho Q = 200 cal transformando: Q =200 . 4,186 = 837,2 J.

Como U = 0 Q = W

W = 837,2 J

b) Numa transformação isométrica, o volumepermanece constante (V = 0), o calor rece-bido é transformado em variação da ener-gia interna.

Q = 200 cal = 200 . 4,186 = 837,2 J.

Como V = 0 Q = U

U = 837,2 J

Transformação Cíclica:

Denomina-se transformação cíclica ou ciclo deum sistema o conjunto de transformaçõessofridas pelo sistema de tal forma que seusestados final e inicial são iguais.

Como a temperatura final é igual à temperatu-ra inicial, a energia interna do sistema não varia(U), havendo uma igualdade entre o calor e otrabalho trocados em cada ciclo.

Q = W

Num diagrama P x V uma transformação cíclicaé representada por uma curva fechada. A áreainterna do ciclo é numericamente igual ao tra-balho total trocado com o meio exterior.

181


Quando o ciclo é percorrido no sentidohorário, o sistema recebe calor e realiza trabal-ho; e no sentido anti-horário o sistema cedecalor e recebe trabalho.

Exemplo: Em uma transformação cíclica existeequivalência entre o calor Q trocado pelo gás eo trabalho realizado W.

Por que o alimento cozinha mais rápido na panela de pressão?

A transformação do calor em energiamecânica pode ser observada na cozinha desua casa, usando a panela de pressão.Qualquer sistema, em que seja possívelrealizar a transformação de calor em energiamecânica (fogão + panela com água, porexemplo) é chamado máquina térmica.

O princípio de funcionamento de umapanela de pressão baseia-se no fato de que oponto de ebulição de uma substância variacom a pressão: quanto maior a pressão sobre

um líquido, maior será a, temperatura de ebu-lição. Sabemos que numa panela aberta, aonível do mar, onde a pressão exterior é 1,0 atm,a água ferve a 100°C. No mesmo local, se forutilizada uma panela de pressão, a água deveráser aquecida acima de 100°C antes que suapressão de vapor se iguale à pressão externa,isto é, antes que inicie a ebulição. Nestas pan-elas, geralmente consegue-se uma pressãosobre a água de cerca de 2,0 atm, com a águacontinuando líquida até por volta de 120°C, porisso, os alimentos cozinham mais rápido nelas.

Quando fechamos uma panela de pressãocom o alimento e a água em seu interior e acolocamos no fogo, todo o vapor de água quevai sendo formado fica retido dentro dela. Apósum certo tempo, o vapor de água acumuladosobre a água líquida tem pressão suficientepara levantar um pino, abrindo a válvula princi-pal que impedia sua saída. Apesar desta fugade vapor, a pressão no interior da panela aindaé maior do que a atmosférica.

Se o vapor for impedido de sair pela válvulaprincipal e a pressão na panela tornar-se muitogrande, ela poderá explodir. Por isso, há tam-bém uma válvula de segurança na tampa, quedeixa o vapor escapar caso a válvula principalesteja entupida.

A panela de pressão foi inventada pelo físicofrancês Denis Papin, que publicou em 1861 umadescrição do equipamento, denominando-odigestor. Atualmente, esse recipiente é empre-gado não só nas tarefas domésticas, mas tam-bém nos hospitais (usado sob a forma de auto-claves para esterilizar material cirúrgico), naindustria de papel (como digestor para transfor-mar lascas de madeira em fibras que servempara fabricar papel) e nas fábricas de conservasalimentícias (para eliminar bactérias).

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UNIDADE VIILei da Conservação do Momento Angular

TEMA 01

SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA

1.1 INTRODUÇÃO

Algumas coisas ocorrem naturalmente, outrasnão. Por exemplo:

• Um gás expande para preencher todo o vol-ume disponível de um recipiente;

• Um corpo quente esfria à mesma temper-atura das vizinhanças;

• Uma reação química ocorre em umadireção ao invés de outra, dependendo dascondições.

• Alguns aspectos determinam a direção espon-tânea da transformação, a direção que nãorequer realização de trabalho para ocorrer.

O fluxo de calor de um corpo frio para umcorpo quente não viola a primeira lei da ter-modinâmica, a energia seria conservada.Porém, isso não ocorre na natureza. Por quenão? É fácil converter completamente a ener-gia mecânica em calor; isto ocorre por exemp-lo, sempre que usamos o freio para parar umcarro. Indo no sentido inverso, existem muitosdispositivos que convertem parcialmente ocalor em energia mecânica, o motor de umautomóvel é um exemplo. Porém nem o maisinteligente inventor jamais conseguiu construiruma máquina capaz de converter completa-mente uma quantidade de calor em energiamecânica. Novamente, por que não?

A resposta para estas duas perguntas dizrespeito aos sentidos dos processos termo-dinâmicos e é dada pela segunda lei da ter-modinâmica. Esta lei determina limites funda-mentais para o rendimento de uma máquinaou de uma usina elétrica. Ela também estipulalimites para a energia mínima que deve serfornecida a um refrigerador. Portanto, a segun-da lei é diretamente relevante para muitosproblemas práticos importantes.

Podemos também enunciar a segunda lei em ter-mos de conceito de entropia, uma grandeza quemede o grau de desordem de um sistema. A idéiade entropia ajuda a entende por que a tinta que se

mistura com água não pode jamais se separadaespontaneamente e qual é a razão pela qual um:grande quantidade de processos aparentementepossível nunca ocorre na natureza.

1.2 SENTIDO DE UM PROCESSOTERMODINÂMICO

1.2.1 Processos expontâneos e não-expon-tâneos

Pode-se confinar um gás a um pequeno vol-ume, pode-se esfriar um objeto com um refrig-erador, e pode-se forçar algumas reações paraocorrer em sentido inverso. Entretanto, nen-hum desses processos ocorre espontanea-mente, todos eles só podem ser realizadoscom aplicação de algum tipo de trabalho.

O mundo está cheio de eventos que aconte-cem de uma maneira, mas nunca de outra.Estamos tão habituados a isso que nãoreparamos se esses fatos acontecem naseqüência “certa”, mas ficaríamos perplexosse acontecessem de outro modo.

O reconhecimento de duas classes deprocessos, os espontâneos e os não-espon-tâneos, é motivo de estudo da segunda lei datermodinâmica.

1.2.2 Os processo irreversíveis

Os processos termodinâmicos que ocorrem nanatureza são todos processos irreversíveis.Estes processos são aqueles que ocorrem emum determinado sentido, no entanto não ocor-rem no sentido contrário.

• O fluxo de calor de um corpo quente paraum corpo frio ocorre irreversivelmente,como no caso da expansão livre de um gás;

• Quando um livro desliza sobre uma mesa,sua energia mecânica é convertida em calorpelo atrito; este processo é irreversível, vistoque ninguém jamais observou o processoinverso (no qual um livro em repouso sobrea mesa começa: a se mover espontanea-mente e a temperatura do livro e da mesacomeçasse a diminuir).

Assim, o principal tópico deste tema é a segun-da lei da termodinâmica, que determina qual éo sentido preferido destes processos.

185

Física Fundamental – Lei da Conservação do Momento Angular

1.2.2 Os processos reversíveis

Apesar do sentido preferido de todo processonatural, podemos imaginar uma classe deprocessos idealizados que poderiam ser rever-síveis. Um sistema que realiza este processoreversível ideal está sempre próximo do equi-líbrio termodinâmico com as vizinhanças e nointerior do próprio sistema. Qualquer mudançade estado que ocorra pode ser invertida (real-izada do outro modo) produzindo-se peque-nas variação nas condições do sistema.

Um processo reversível é, portanto, um proces-so de equilíbrio, no qual o sistema está sempreem equilíbrio termodinâmico. Obviamente, seum sistema está realmente em equilíbrio ter-modinâmico, não pode ocorrer nenhumamudança no estado do sistema. O calor nãopoderia fluir nem para dentro nem para fora deum sistema que tivesse uma temperatura rig-orosamente constante em todos os seus pon-tos e um sistema que estivesse realmente emequilíbrio mecânico não poderia realizar nen-hum trabalho sobre suas vizinhanças.

Uma transformação reversível é uma idealiza-ção que não pode ser realizada com precisãono mundo real.

Processo termodinâmico ocorrendo de modo natural

O processo anterior só é passível de reversibilidade por um caminho não natural:

O estado aleatório ou o grau de desordem doestado final de um sistema pode ser rela-cionado com o sentido da realização de umprocesso natural. Por exemplo:

• Imagine uma tarefa de organização monó-tona, tal como colocar em ordem alfabéticamilhares de títulos de livros impressos emcartões de arquivos. Jogue para o ar o con-junto todo dos cartões que estavam em

ordem alfabética; Quando eles atingirem osolo estarão em ordem alfabética? Não, atendência normal é que eles cheguem ao soloem um estado aleatório ou desordenado.

• Na expansão livre de um gás, o ar está maisdesordenado depois que ele se expandepara o recipiente inteiro do que quando eleestava contido somente em um dos ladosdo recipiente, do mesmo modo que suasroupas ficam mais desordenadas quandoestão espalhadas no chão de seu quarto doque quando elas estavam arrumadas nointerior do seu armário.

Analogamente, a energia cinética macroscópi-ca é a energia associada com a organização, omovimento coordenado de muitas moléculas,porém a transferência de calor envolve vari-ações de energia do estado aleatório, ou omovimento molecular desordenado. Logo, aconversão de energia mecânica em calorenvolve um aumento de desordem do sistema.

Nas próximas seções vamos introduzir asegunda lei da termodinâmica considerandoduas grandes classes de dispositivos: asmáquinas térmicas, que convertem trabalhoem calor com êxito parcial; e os refrigeradores,que transportam o calor de um corpo frio paraum corpo quente com êxito parcial.

Enunciados da segunda lei da termodinâmica

A segunda lei da termodinâmica estabeleceum sentido preferencial de ocorrência dosprocessos naturais. De maneira simplespodemos enunciar da seguinte maneira:

Existem vários enunciados para a segunda leida termodinâmica, todos equivalentes, dosquais citarei mais dois, por terem importânciafundamental na análise das máquinas térmicasque faremos logo a seguir.

Devido a transferência preferencial de calor docorpo quente para o corpo frio, Rudolf JuliusEmanuel Clausius, enunciou a segunda lei daseguinte forma:

O calor não flui espontaneamente de umcorpo frio para um corpo quente.

O calor ocorre sempre no sentido docorpo mais quente para o corpo mais frio.

186


Segundo Lord Kelvin e Max Planck:

1.3 MÁQUINAS TÉRMICAS

28.3.1 Máquinas térmicas e rendimento

Máquina térmica é todo dispositivo que con-verte continuamente calor em trabalho útil uti-lizando um fluido, dito fluido de trabalho, querealiza ciclos de sentido horário entre duastemperaturas que permanecem constantes.

A máquina térmica operando em ciclos retirauma determinada quantidade de calor da fontequente, transformando parte desse calor emtrabalho. A parte restante é rejeitada à fonte fria.

O trabalho realizado pela máquina térmica éigual à diferença entre o calor recebido (retira-do) e o calor rejeitado.

W = Q1 – Q2

Se o processo é reversível, seu estado final é igualao inicial e a variação da energia interna é nula.

O rendimento de máquina térmica reversívelque opere segundo o ciclo carnot e é definidocomo a razão entre o trabalho que dela podeser aproveitado e a quantidade de calor rece-bido da fonte quente.

Como W = Q1 – Q2, temos

Logo a eficiência pode ser dado por:

onde Q1 e Q2 estão em módulo.

Assim, o rendimento de Carnot, η, dependesomente da razão Q1/Q2. Por outro lado, estarazão é uma função das temperaturas do reser-vatório quente e do reservatório frio,

Reforçando o enunciado de Planck, Carnotdemonstrou que as quantidades de calor Q1 eQ2 seriam proporcionais às temperaturas T1 e T2:

ou

Esta fórmula permite que se estabeleça umaimportante conclusão:

Como as temperaturas devem ser dadas emKelvin, para que a eficiência fosse de 100%deveríamos ter a temperatura da fonte fria igualao zero absoluto, o que não pode ser atingidana prática.

A utilização das máquinas térmicas

O modo de vida adotado por nossa sociedadeexige cada vez mais a utilização de máquinas,no trabalho, no transporte, nas diferentes for-mas de lazer, nas atividades domésticas, noacesso às informações e, principalmente, nascondições ambientais do planeta.

A utilização de máquinas em larga escala teveinício com o aperfeiçoamento da máquina avapor, no inicio do século XVIII. Com as flo-restas praticamente extintas, a Inglaterra preci-sava de carvão pára substituir a lenha utilizadano aquecimento das residências e nas recém-instaladas indústrias. A máquina a vapor foiinventada com o fim específico de retirar água

O rendimento no ciclo de carnot éfunção exclusiva das temperaturas dasfontes quentes e fria, não dependendo

da substância utilizada.

É impossível construir uma máquina tér-mica, que opere num ciclo termodinâmi-co, cujo único efeito seja a retirada de

calor de uma fonte quente e sua integralconversão em trabalho mecânico.

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das minas de carvão inglesas, que se tornavamcada vez mais profundas, a máquina a vaporimpulsionou uma grande transformação social,econômica e tecnológica, historicamentechamada de primeira revolução industrial.

Das vários pessoas que deram contribuiçãopara o desenvolvimento da máquina térmica,vamos citar os seguintes:

Thomas Newcomen (1663-1729), em 1712,desenvolveu juntamente com seus colabo-radores, um novo conceito: o uso de um con-junto cilindro-pistão para o bombeamento deágua e constitui o que hoje entendemos ser aprimeira máquina térmica, pois seu funciona-mento era cíclico. A máquina era conhecidacomo a "máquina atmosférica" pois combinavaum vácuo e a pressão atmosférica parafornecer o curso de potência. A máquina deNewcomen foi um sucesso instantâneo.

James Watt (1736-1819), engenheiro escocês,interessou-se por melhorar a performance dosmotores a vapor após ter sido chamado, em1763, revolucionou a aplicação das máquinastérmicas. Watt surpreendeu-se com a quanti-dade de vapor que o pequeno motor consumia.ele conseguiu descobrir que, para melhorar seufuncionamento, era necessário elevar a temper-atura do vapor, resfriando-o depois brusca-mente durante a expansão. Acrescentou entãoo condensador de vapor e outros artifícios des-tinados a melhorar o rendimento do engenho.

Foi ajudado por Joseph Black, o descobridordo calor latente do vapor e quem mais con-hecia vapor que estava na mesmaUniversidade que ele. A primeira patente deWatt envolveu não só o uso de um conden-sador separado mas também de uma bombade ar para o condensador, do isolamento docilindro, e outros.

Primeiramente operada em 1775 para sebombear água, sua máquina representou aprimeira de uma grande seqüência demáquinas, cada uma com novas melhorias,maiores potências e em pouco tempo, amáquina a vapor foi utilizada na indústria detecelagem e de aço, nos barcos e embar-cações e até mesmo na impressão dos jornais.

Em 1820, a máquina térmica, foi utilizada pela

primeira vez em locomotivas e, em 1841,empregada nas máquinas agrícolas, acionandoas debulhadoras. Alguns anos mais tarde, foiusada como motor de tração em automóveis.Seu papel é importante até mesmo nos dias dehoje, pois são aproveitadas nas usinas ter-moelétricas para gerar eletricidade. No casoespecífico da máquina a vapor que utiliza car-vão mineral como combustível, parte da ener-gia química do carvão é transformada em ener-gia interna do vapor de água, outra parte, emenergia de movimento.

1.3.2 Máquinas frigoríficas:

Numa máquina frigorífica, ou bomba de calor,o fluido de trabalho realiza um ciclo de sentidocontrário, retirando calor Q2 de uma fonte fria ecedendo calor Q1 a uma fonte quente.Obviamente essa passagem de calor de umafonte fria para uma fonte quente não é espon-tânea, visto que se realiza à custa de um trabal-ho externo; portanto não viola a segunda lei datermodinâmica.

O diagrama abaixo representa esquematica-mente uma máquina frigorífica, na qual ocorreconversão de trabalho em calor.

A geladeira doméstica, por exemplo, é umamáquina frigorífica na qual a fonte fria é o con-gelador, a fonte quente é o meio ambiente e otrabalho é realizado pelo compressor.

1. Assinale a alternativa que explica, com base natermodinâmica, um ciclo do funcionamento deum refrigerador:

a) Remove uma quantidade de calor Q1 deuma fonte térmica quente à temperatura T1,realiza um trabalho externo W e rejeita uma

quantidade de calor Q2 para uma fonte tér-mica fria à temperatura T2, com T1 > T2;

b) Remove uma quantidade de calor Q1 deuma fonte térmica quente à temperatura T1

e rejeita a quantidade de calor Q1 parauma fonte térmica fria à temperatura T2,com T1 >T2;

c) Remove uma quantidade de calor Q1 deuma fonte térmica fria à temperatura T1,recebe o trabalho externo W e rejeita umaquantidade de calor Q2 para uma fonte tér-mica quente à temperatura T2, com T1 < T2;

d) Remove uma quantidade de calor Q1 de umafonte térmica fria à temperatura T1 e rejeita aquantidade de calor Q1 para uma fonte térmi-ca quente à temperatura T2, com T1 < T2.

1. Uma máquina térmica de Carnot recebe deuma fonte quente 1000 cal por ciclo. Sendo astemperaturas das fontes quente e fria, respec-tivamente, 127ºC e 427ºC, determinar:

a) O rendimento da máquina;

b) O trabalho, em joules, realizado pelamáquina em cada ciclo;

c) A quantidade de calor, em joules, rejeitadapara a fonte fria.

Usar 1 cal = 4,2 J

Solução:

a) T1 = 427 + 273 = 700 K

T2 = 127 + 273 = 400 K

Q1 = 1 000 cal = 1000 . 4,2 = 4 200J

O rendimento da máquina é dado por:

⇒ ⇒ η = 0,43 ou 43%

b) O trabalho realizado em cada ciclo é:

⇒ W = 1806 J

c) A quantidade de calor rejeitada para a fontefria é dada por:

W = Q1 – Q2 ⇒ Q2 = 2394 J

1. Um motor a vapor absorve, em cada ciclo, 1000 kcal da fonte quente e devolve 900 kcalpara a fonte fria.

a. Qual o trabalho realizado em cada ciclo emjoules?

b. Qual o rendimento do motor?

2. Uma máquina de Carnot opera entre duasfontes cujas temperaturas são 27ºC e 177ºC.Qual o rendimento dessa máquina?

3. Uma máquina térmica recebe, por ciclo, 1.000J de calor de uma fonte quente enquanto rejei-ta 700 J para uma fonte fria. Sabe-se que amáquina realiza 10 ciclos/s. Determine:

a. o trabalho realizado por ciclo pela máquinatérmica;

b. a potência útil obtida da máquina;

c. o rendimento dessa máquina.

1.3 ENTROPIA

A primeira lei da termodinâmica levou a intro-duzir a energia interna. A energia interna é umafunção de estado que nos permite perceberquando uma mudança é permitida: somentequando a energia interna em um sistema isola-do for constante.

A lei que é usada para identificar o sentido damudança espontânea, a segunda lei da ter-modinâmica, também pode ser expressa emtermos de outra função de estado, a entropia.

A entropia (que é uma medição da desordemde um sistema) permite prever quando umestado é acessível vindo de outro por umamudança espontânea.

A primeira lei utiliza a energia interna para iden-tificar as mudanças permitidas; a segunda leiutiliza a entropia para identificar as mudançasespontâneas entre aquelas permitidas.

A segunda lei da termodinâmica pode serexpressa em temos de entropia:

A entropia de um sistema isolado cresce no

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sentido da mudança espontânea, termodinami-camente, os processos irreversíveis (como oresfriamento à mesma temperatura das vizin-hanças e a expansão livre dos gases) sãoprocessos espontâneos, e assim devem seracompanhados de um aumento na entropia.

1.3.1 Definição Termodinâmica da Entropia

A definição termodinâmica da entropia con-centra-se na variação de entropia, que ocorrecomo resultado de uma mudança física oquímica (normalmente, um "processo").

A definição é motivada pela idéia de que umamudança no contexto onde a energia é disper-sada em uma maneira desordenada dependeda quantidade de energia transferida comocalor. Como já explanado, o calor estimula omovimento desordenada das vizinhanças. Otrabalho, que estimula o movimento uniformedos átomos das vizinhanças, não muda o graude desordem, e portanto não afeta a entropia.

Como todos os processos naturais são irrever-síveis, o que sempre resulta é o aumento da des-ordem do universo. Processos idealizados, rever-síveis, mantêm a entropia do universo constante.

A 1a e a 2a Leis da Termodinâmica podem serresumidas da seguinte maneira:

A segunda lei da termodinâmica

Com o aprimoramento da máquina a vapor nosséculos XVIII e XIX fez seu rendimento melho-rar muito. Nicolas Leonard Sadi Carnot(1796-1832), fez importantes observaçõessobre a máquina a vapor que conduziram ao

ciclo teórico que traz seu nome hoje. Seu ciclopropõe o contato térmico das fontes quente efria com corpos sempre a mesma temperatura.Publicou em 1824 seu único livro: “ Reflexõessobre a potência motriz do fogo”, no qualprocurou as bases da conversão de calor emtrabalho, indicando que o agente térmico era ocalórico e não o vapor (devido a falta de outrateoria para o calor precisou empregar a teoriacalórica nas suas deduções, suas conclusõesestão corretas pois a segunda Lei daTermodinâmica independe da primeira Lei oude qualquer outra teoria de calor).Estabeleceu que a eficiência térmica do cicloproposto é proporcional à diferença das tem-peraturas entre as fontes e que ele é menorquando a temperatura da fonte é mais elevada.

Quando seu trabalho foi publicado, muitaspessoas pensaram que suas conclusões eramdependentes da teoria calórica, por inúmerasrazões, inclusive a falta de rigor em seu texto,sua obra passa despercebida até 1834, quan-do Clayperon, lhe acrescenta uma formaliza-ção algébrica e dá uma representação gráficados ciclos de funcionamento.

É a partir deste trabalho que Rudolf Clausius eLord Kelvin mostraram a total independênciada segunda Lei com a teoria calórica.

Em 1850, o físico alemão Rudolf JuliusEmmanuel Clausius (1822-1888) afirmou quea produção de trabalho nas máquinas térmicasnão resultava meramente do deslocamento docalor da fonte quente para a fonte fria e sim,também, por consumo de calor. Afirmou maisainda que o calor poderia ser produzido àcusta do trabalho mecânico e que, portanto,era impossível realizar um processo cíclicocujo único efeito seja o de transferir calor deum corpo mais frio para um corpo mais quente.Essas afirmações se constituem na primeiraidéia do que hoje se conhece como SegundaLei da Termodinâmica.

Em 1854, Clausius começou a pensar que atransformação de calor em trabalho e a trans-formação de calor em alta temperatura paracalor em baixa temperatura poderia ser equiv-alentes. Em vista disso, propôs que o fluxo decalor de um corpo quente para um corpo frio(com a conseqüente transformação de calor

A energia do Universo permanece constante; a entropia do

Universo sempre aumenta.

“Qualquer processo implicará ou em nen-huma mudança da entropia do universoou no aumento da entropia do universo”.

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em trabalho) deveria ser compensado pelaconservação de trabalho em calor, de modoque o calor deveria fluir do corpo frio para ocorpo quente. Desse modo, Clausius introduz-iu o conceito de valor de equivalência de umatransformação térmica e que era medido pelarelação entre a quantidade de calor (∆Q) e atemperatura (T) na qual ocorre a transfor-mação. Por intermédio desse novo conceitofísico, Clausius pôde fazer a distinção entreprocessos reversíveis e irreversíveis. Assim,assumindo arbitrariamente que a transfor-mação de calor de um corpo quente para umfrio tivesse um "valor de equivalência" positivo,ele apresentou uma nova versão para aSegunda Lei da Termodinâmica: A somaalgébrica de todas as transformações ocorren-do em um processo circular somente pode serpositiva.

Foi somente em 1865 que Clausius propôs otermo entropia (do grego, que significa trans-formação), denotando-o por S, em lugar dotermo valor de equivalência. Nesse trabalho,ao retomar suas idéias sobre esse novo con-ceito físico, Clausius considerou um ciclo qual-quer como constituído de uma sucessão deciclos infinitesimais de Carnot.

Ainda nesse trabalho, Clausius resumiu as Leisda Termodinâmica nas expressões:

Primeira Lei da Termodinâmica - A energia doUniverso é constante;

Segunda Lei da Termodinâmica - A entropiado Universo tende para um máximo.

Apesar da origem termodinâmica da entropia,ser introduzida por Clausius, atualmente utiliza-se muito a interpretação estatística. Osprimeiros passos na direção da interpretaçãoestatística da Termodinâmica foram dados pelofísico e matemático escocês James ClerkMaxwell, em 1860, através do estudo da dis-tribuição das velocidades das moléculas deum gás. Em 1867, Maxwell escreveu uma cartana qual apresentou o caráter probabilístico dasegunda Lei da Termodinâmica, através doseguinte exemplo:

“Um recipiente que possui uma parede nomeio com uma janela que poderá ser manipu-lada por um porteiro (denominado Demónio de

Maxwell por William Thomson), contém um gása uma determinada temperatura. Atravésdessa janela, o porteiro deixaria passar partícu-las que tivessem velocidade alta e impediria apassagem das partículas que tivessem veloci-dade baixa, já que, segundo a sua distribuiçãode velocidades, num gás em equilíbrio, aspartículas distribuem-se com as mais variadasvelocidades.”

Assim, depois de um certo tempo, um lado dorecipiente estaria mais quente que o outro,mostrando, assim, que o fluxo de calor poderiaocorrer em dois sentidos, e não em apenasum, conforme indicava a segunda Lei daTermodinâmica.

O físico austríaco Ludwig Edward Boltzmannintroduziu, em 1872, a interpretação estatísticada entropia. A entropia do sistema ( S ) é rela-cionada com a constante de Boltzmann ( k ) ecom o número de diferentes meios de dis-tribuição de átomos e moléculas da amostra eque podem dar origem à mesma energia ( W ).

S = k . ln W

De acordo com essa concepção, um litro degasolina representa um estado organizado demoléculas na forma de energia química e osgases resultantes de sua queima no interior docilindro indicam a transformação para um esta-do muito mais desorganizado de tais molécu-las. A esse estado de maior desorganizaçãocorrespondia um aumento da entropia. Aindasegundo esta concepção, a desordem máximacorresponderia a uma regularidade uniforme eindiferenciada de todas as partes que formamum determinado sistema.

É oportuno observar que, embora essaexpressão esteja gravada no túmulo deBoltzmann, no Cemitério Central de Viena, elasó foi escrita dessa maneira pelo físico alemãoMax Karl Ernst Planck (1858-1947) que, por suavez, introduziu k, denominada por ele de con-stante de Boltzmann, pela primeira vez em suacélebre fórmula de 1900, sobre a distribuiçãode equilíbrio térmico da radiação do corponegro, que considera a energia quantizada.

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TEMA 02

DEFINIÇÃO DE MOMENTO ANGULAR

Os movimentos de rotações constitui-se numdos mais comuns e intrigantes característicasdo nosso Universo. Numa escala cósmica,Planetas, luas e estrelas giram sobre seuseixos. O sistema solar tem luas e o sol templanetas revolvendo ao redor dele. Umagrande parcela de estrelas parecem serbinárias, estrelas duplas giram em conjuntocom seu par. Estrelas e seus satélites revolvemao redor do centro de suas galáxias e, muitasgaláxias são partes de aglomerados querodopiam em volta de outras galáxias.

Na escala humana, você provavelmente já deveter visto tromba d’água, furacões, tornados eciclones em movimento pela superfície daTerra. Ao observar o rio você deve ter notadopequenos redemoinhos (rebojos). Bailarianasdão um show de exibição ao rodopiarem naponta de um dos pés. Gatos, jogadores de fute-bol e nadadores, durante suas apresentações,realizam rotações em seus corpos durante aexecução de saltos mortais.

Muitas destas rotações começam com movi-mento de matéria ao longo de uma linha reta.Mas, o que faz tudo girar?

Desde os tempo primitivos, em todas as civiliza-ções a regularidade dos dias e as noites, as fasesda lua, levou o homem a acreditar que tudo gira-va em torno da Terra. O grande desafio foi, noentanto, explicar o movimento dos planetas.

Kepler em 1609, após analisar os precisos edetalhados registros astronômicos encontradopelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe,descobriu que o segmento de reta traçado dosol a qualquer planeta (raio vetor) descreveáreas iguais em tempos iguais. Isso obriga que oplaneta, quando esta mais próximo do sol, tenhauma velocidade maior e, mais lento quando estaafastado. Essa lei, denominada de lei das áreas,é uma das três importantes leis descoberta porKepler sobre o movimento dos planetas.

Dado a grandeza de sua importância para aFísica no estabelecimento da forma da nossa

galáxia e na determinação do momento angulardo nosso sistema solar, faremos uma breve ref-erencia seu estudo.

Atualmente sabemos que a lei das áreas (a 2ª leide Kepler) é a manifestação da existência de umconceito, até então insuspeito, associado aomovimento rotacional, de Momento Angular ede um importantíssimo principio da física querege o funcionamento de todo o Universo: A LEIDA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR.

Esta é uma lei muito geral que se aplica nãoapenas para o movimento dos planetas masque pode ser comprovada em inúmeras outrassituações, independente do tipo de força ou dotipo de trajetória que o corpo descreve. Asinterações gravitacional e elétrica, por exemp-lo, constituem-se numa importante manifes-tação da existência em nosso Universo daschamadas forças centrais que ocorre quandoum corpo gira ao redor de um centro e suaintensidade depende exclusivamente da dis-tancia (r) da partícula ao centro de rotação.Como exemplo, vamos aplicar esta pro-priedade para entender a 2ª Lei de Kepler.

Desde a Antiguidade, já se conhecia que operíodo orbital dos cincos planetas visíveis aolho nu eram diferentes de um para o outro.Conhecia-se, portanto, que os planetas não semoviam em suas órbitas com velocidade con-stante. Próximos do sol eles se movem maisrápidos do que quando estão afastados. Istoimplica que os ângulos medidos não são iguaisem duas diferentes posições da órbita de umplaneta, em intervalos de tempos iguais. Járessaltamos nos capítulos anteriores que foi abusca obstinada de que existe uma regulari-dade no Universo que impulsionou Kepler aoestudo do movimento planetário vindo desco-brir que “o raio vetor que liga os planetas aosol, descreve áreas iguais em tempos iguais”.

Considere, pois, um raio vetor ligando aposição de um planeta de massa (m) emalgum intervalo de tempo, conforme mostra afigura abaixo. Consideremos que o planetadescreva uma órbita elíptica com o Sol em umdos focos. Seja (∆r

→) uma porção da trajetória

descrita pelo planeta em um intervalo detempo (∆t)

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Tal como mostra a figura abaixo, a linha queune o sol ao planeta em movimento descreve,num intervalo de tempo infinitesimal (∆t), umaárea (∆A).

Devido o intervalo de tempo ser muitopequeno, a porção da trajetória descrita peloplaneta é “quase” retilínea.

A área varrida, portanto, pode ser consideradacomo a área do triangulo isto é:

; onde a altura do triangulo é

dada por h = ∆r→

.senθ. Substituindo este valor

na expressão acima tem-se: .

Comparando este resultado com a definiçãodo produto vetorial de dois vetores, verifica-seque o resultado obtido, pode ser escrito como:

. Calculando a taxa de variação

da área temos que: .

Multiplicando e dividindo a expressão do lado

direito por m, obtemos:

No limite, quando o intervalo de tempo tende azero, a taxa de variação desta área é: ou seja:

que é o mesmo que escrever

onde m. = V→

= p→

.

Assim a taxa de variação desta área é:

Definimos o produto vetorial entre o vetorposição (r

→) e o vetor quantidade de movimen-

to (p→

) como sendo o MOMENTO ANGULAR(L

→).

Portanto : L→

= r→

X p→

cujo o módulo vale:

L = m.r.Vsenθ.

Este resultado demonstra que o MomentoAngular é conservado: o vetor L tem a mesmaintensidade e a mesma direção no plano for-mado por r e p. Em resumo, a conservação domomento angular implica que a órbita dosplanetas é plana.

Apesar de usualmente, associarmos o momen-to angular ao movimento de rotação, umapartícula de massa (m) em movimento retilíneocom velocidade constante (V) tem um momen-to angular em relação a um ponto situado forada linha. Considere, por exemplo, a seguintesituação, descrita abaixo:

L→

= r→

Xp→

= r.m(V.senθ) = m.V(r.senθ)= mV.r⊥

Assim, segundo equação L = mv.r⊥, a partícu-la continua a se mover em linha reta enquantoque a componente de r perpendicular a veloci-dade, permanece igual a r⊥.

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Também pode ser verificado que:

L→

= r→

xp→

= rmVsenθ = rm, V// = rmVTANGENCIAL

onde V.senθ = VTANGENCIAL o módulo de vetorMomento Angular também pode ser escritocomo: L = m.r.VTANGENCIAL.

Para o caso de uma partícula se movendo emMovimento Circular Uniforme a VTANGENCIAL = W.Rque substituindo em L = m.r.VTANGENCIAL torna omódulo do Momento Angular igual: L = m.r2W.

Podemos, agora definir o termo m.r2 comosendo o MOMENTO DE INÉRCIA que repre-sentamos simbolicamente pela seguinterelação: I = mr2.

O Momento de Inércia (I), serve para indicar amaneira pela qual a massa do corpo esta dis-tribuída em torno do eixo de rotação.

Assim, o Momento Angular pode, também serexpresso por L

→ = Iω

→

Pela definição do Momento de Inércia (I = m.r2),quanto mais afastado a partícula estiver doeixo de rotação maior será seu momento deinércia e, por conseguinte, mais difícil se tornafazer a partícula girar, a partir do repouso eparar, após estiver girando.

O momento de inércia, de forma similar amassa, denota uma resistência a mudança,devido ao torque, ou seja:

, onde ( ) é a

aceleração angular.

No caso de um conjunto de partículas situadasa diferentes distâncias do eixo de rotação, omomento de inércia é dado por: I = Σmir2

i.

A tabela a seguir fornece o Momento de Inérciapara alguns corpos de densidades uniformescom o eixo de rotação passando pelo centro.

1. Para clarificar esta dependência entre L→

= I.w→

,considere vários corpos rígidos esféricos rolan-do do alto de um plano inclinado sem atrito.Nestas condições, qual a ordem de chegadados mesmos na base do plano?

Da mesma maneira pelo qual a 2ª Lei deNewton esta relacionada ao momento linear

( ), o Momento Angular se relaciona

com o torque pela relação .

Neste sentido, no movimento de rotação o

torque ( ) é um resultado extremamente

importante, pois nas situações nos quais otorque externo aplicado ao corpo é nulo ou secancela o Momento Angular se conserva.

Neste caso = 0 ou seja: L é constante.

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Mesmo que um torque externo seja aplicado aosistema, o sistema reage exercendo um torqueno sentido contrario. Um exemplo clássico bas-tante comum é a demonstração de um alunoque gira sentado sobre um banco segurandonuma das mãos dois pesos no plano horizontal.Quando o estudante aplica um torque sobre oaro, este aplica um torque no sentido contrariosobre o estudante. Neste caso, nem o momen-to angular do banco e do estudante se conser-vam individualmente, mas sim, o momentoangular do sistema (banco, aluno e aro).

Outro exemplo interessante é o da bailarina eda patindora. Se, inicialmente ele rodopianuma trajetória circular com os braços estendi-dos//abertos, para aumentar o efeito visual doseu movimento junto a platéia, a bailarina, nor-malmente, cruza repentinamente os braços,aumentando, assim, sua velocidade. A força dagravidade e a força normal não exercem torquesobre o corpo e o atrito é muito pequeno. Noinicio seu Momento Angular vale: Li = R.m.V.Na situação final, tem-se: Lf = r.m.v.

A Conservação do Momento Angular implicaque Lf = Li, deste modo r. m. v = R.m.V . Por

conseguinte . Lembrando que v = ω.r,

obtém-se:.

Este resultado, também, explica o redemoinhoque se forma numa pia cheia de água quando

se retira a tampa. Como cada pequena quanti-dade de água move-se em direção ao ralo,suas distancias ao eixo de rotação diminui,fazendo com que a velocidade aumente paraque haja a conservação do momento angular.Consequentemente, quando a água se aproxi-ma do fim, inicia-se um redemoinho. A águamove-se numa espiral em torno do eixo quepassa pelo ralo.

SALTO ORNAMENTAL

O centro de massa percorre uma parábola no ar.

Ao tomar impulso para cima com o corpo incli-nado, o atleta imprime um momento angularao seu corpo, o qual gira em torno do centrode massa.

Quando esta no ar, a mergulhadora se constituinum sistema isolado e seu momento angularnão pode ser mais alterado. Observe que aprox-imação do tronco com as pernas. Logo que ini-cia o salto o momento de inércia diminui fazen-do com que a velocidade angular aumentar. Nofinal do salto, já se aproximando do mergulho, aspernas e os braços se esticam, aumentando omomento de inércia eportanto a velocidadeangular ao entrar naágua. De modo que omomento angular se con-serva durante o salto.

QUEDA DE UM GATO

Quando se segura umgato de cabeça parabaixo e larga-o nestaposição sem dar nen-hum impulso, o momen-to angular total é nulo. Ogato pode manobrar opróprio corpo para fazeruma rotação de 180° ecair corretamente em pé.

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1. Uma das manifestações mais espetaculares daLei da Conservação do Momento Angular é aforma da nossa galáxia se parece com a de um“ovo frito”. Explique fisicamente o porque?

2. Admita que a Terra seja uma esfera maciça-mente homogênea cujo os dados são seguinte:

Massa: 6 x 1024 kg

Distancia media ao Sol: 1,5 x 1011m

Raio: 6,4 x 106m

Momento de Inércia:

Com base nestes valores faça uma estimativa domomento angular da Terra, levando em conta:

a) Seu movimento de rotação em torno do seueixo.

b) Seu movimento de rotação em torno do sol.

3. Segundo Galileo, a velocidade alcançada por umobjeto se deslocando por um plano inclinado era

, enquanto que a aceleração era:

a = g sem

Este resultado foi muito importante para ele,pois lhe permitiu fazer deduções sobre aqueda livre observando o movimento de umobjeto rolando por um plano inclinado comuma ligeira inclinação.

Ocorre que, quando a esfera move-se, doismovimentos simultâneos estão ocorrendo: ode rotação e o de translação.

Determine a velocidade e aceleração de umaesfera maciça que parte do repouso de umaaltura H acima do plano inclinado e rola semdeslizar até a base do plano. Compare suaresposta com a de Galileo.

4. Uma das grandes preocupações do movimentodos ambientalistas é com a possível destruição dacamada de ozônio e suas conseqüências para oclima da Terra devido a poluição industrial.

Considere que as calotas polares tem cerca de2,3 x 1019kg de gelo. Se elas entrarem numprocesso de derretimento, de modo que onível de água se distribua uniformemente pelasuperfície do planeta, faça uma estimativa dequanto vai variar a duração do dia.

5. Explique a razão de um helicóptero ter doisrotores: o principal e um outro menor, localiza-do na cauda cujo eixo é horizontal.

O que acontece com o helicóptero se o rotormenor falhar?

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REFERÊNCIAS

física fundamental

Documents